Sur une généralisation de la méthode de Steffensen

Ion Păvăloiu
(Cluj-Napoca)

Soit $X$ un espace de Banach et

(1)

f\left(x\right)=\theta

une équation, où $f:X\rightarrow X$ est une application et $\theta$ est l’élément nul de l’espace $X$ .

Désignons par $\left[u,v;f\right]$ la différence divisées du premier ordre de l’application $f$ sur les points $u,v\in X$ et par $\left[u,v,w;f\right]$ la différence divisée de deuxième ordre de cette application sur les points $u,v,w\in X$ . Ces différences ont été introduites dans les travaux [1], [2], [5], [6], [7]. Supposons leur symétrie comme fonctions des points sur lesquels elles sont définies. À côté de l’équation (1) nous considérons une application $g:X\rightarrow X$ à l’aide de laquelle nous construisons la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ fournie par le procédé itératif suivant:

(2)

x_{n+1}=x_{n}-\left[x_{n},g\left(x_{n}\right);f\right]^{-1}f\left(x_{n}\right)% ,\qquad n\in\mathbb{N}

$x_{0}$ étant un élément arbitraire de $X$ .

Il est bien connu que la différence divisée $\left[x_{n},g\left(x_{n}\right);f\right]$ est une application linéaire de $X$ en lui même, la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ sera bien définie dans le cas où cette application admettra une inverse pour chaque $n\in\mathbb{N}$ .

Nous admettrons le fait que l’applicaiton $\left[x_{0},g\left(x_{0}\right);f\right]$ admet un inverse $\left[x_{0},g\left(x_{0}\right);f\right]^{-1}$ et nous donnerons des conditions suplémentaires pour que tous les éléments de la suite $\left(\left[x_{n},g\left(x_{n}\right);f\right]\right)_{n=0}^{\infty}$ soient inversables. En même temp nous donnerons des conditions pour la convergence de la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ , fournie par la relation (2).

On remarque que la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ , fournie par la méthode (2), coincide avec la suite $\left(y_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ donnée par les égalités suivantes:

(3)

y_{n+1}=g\left(y_{n}\right)-\left[y_{n},g\left(y_{n}\right);f\right]^{-1}f% \left(g\left(y_{n}\right)\right),

où $y_{0}=x_{0},\ n=1,2,\ldots$

Considérons les nombres réels et positifs $B_{0},\ K,\ \alpha,\ \rho,\ \lambda$ et $d_{0}=\left\|f\left(x_{0}\right)\right\|$ .

Désignons par $q\geq 2$ un nombre réel quelconque. Considérons l’ensemble

(4)

S=\{x\in X:\left\|x-x_{0}\right\|\leq\lambda\},\qquad x_{0}\in X

et désignons par $a$ la plus petite racine de l’équation:

(5)

\left(1+\rho\right)t^{2}-\big{[}2\left(1+\rho\right)+\alpha d_{0}^{q-2}\big{]}% t+1+\rho=0.

En ce qui concerne la convergence de la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ fournie par (2) on a le théorème suivant:

Théorème 1.

Si les applications $f$ et $g$ et les nombres réels $B_{0},\ K,\ \alpha,$ $\rho,$ $\lambda$ et $q$ vérifient les conditions suivantes:

i.

$\left\|f\left(g\left(x\right)\right)\right\|\leq\alpha\left\|f\left(x\right)% \right\|^{q-1}$ pour chaque $x\in S;$
ii.

la différence divisée $\left[u,v;g\right]$ est symétrique comme fonction de $u$ et $v$ et $\left\|\left[u,v;g\right]\right\|\leq\rho$ , pour chaque $u,v\in S;$
iii.

$\left\|\left[u,v,w;f\right]\right\|\leq K,$ pour chaque $u,v,w\in S;$
iv.

il existe l’application $\left[x_{0},g\left(x_{0}\right);f\right]^{-1}$ et $\big{\|}\left[x_{0},g\left(x_{0}\right);f\right]^{-1}\big{\|}\leq B_{0};$
v.

$B_{0}^{2}K\left(1+\rho\right)\left\|f\left(x_{0}\right)\right\|\leq a;$
vi.

$\lambda\geq\max\{\mu,\rho\mu+\left\|g\left(x_{0}\right)-x_{0}\right\|\}$ où

$\displaystyle\mu$ $\displaystyle=B_{0}b^{\frac{1}{q-1}}\cdot\tfrac{c\delta_{0}}{1-\left(c\delta_{% 0}\right)^{q-1}},\ c=\tfrac{1}{\left(1-a\right)^{2}},\ b=KB_{0}^{2}\alpha,$

$\displaystyle\delta_{0}$ $\displaystyle=b^{\frac{1}{q-1}}d_{0};$
vii.

$c\delta_{0}<1;$

alors l’équation (1) a au moins une solution $\bar{x}\in S,\ \bar{x}=\lim\ x_{n}$ et on a la délimitation suivante:

\left\|\bar{x}=x_{n}\right\|\leq B_{0}b^{-\frac{1}{q-1}}\cdot\tfrac{\left(c% \delta_{0}\right)^{q^{n}}}{1-\left(c\cdot\delta_{0}\right)^{q^{n}\left(q-1% \right)}}

Démonstration..

Désignons par:

D_{i}=\left[x_{i},g\left(x_{i}\right);f\right]\quad\text{et~{}}\Gamma_{i}=D_{i% }^{-1},\quad i=0,1,\ldots

Si nous envisageons les notations ci-dessus, nous déduisons de (2) et (3) les relations suivantes:

(6)

x_{1}=x_{0}-\Gamma_{0}\cdot f\left(x_{0}\right)

(7)

x_{1}=g\left(x_{0}\right)-\Gamma_{0}\cdot f\left(g\left(x_{0}\right)\right)

d’où l’on déduit:

(8)

\left\|x_{1}-x_{0}\right\|\leq B_{0}d_{0}

(9)

\left\|x_{1}-g\left(x_{0}\right)\right\|\leq B_{0}\alpha d_{0}^{q-1}

En employant l’identité:

f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{0}\right)+\left[x_{0},g\left(x_{0}\right);f% \right]\left(x_{1}-x_{0}\right)+\left[x_{1},x_{0},g\left(x_{0}\right);f\right]% \left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{1}-g\left(x_{0}\right)\right)

de iii, (6), (7), (8), (5) et de l’hypothèse $x_{1}\in S$ on déduit.

(10)

\left\|f\left(x_{1}\right)\right\|\leq KB_{0}^{2}\alpha d_{0}^{q}.

Pour prouver que $x_{1}\in S$ nous remarquons que la plus petite racine de l’equation (5) vérifie la relation $0<a<1,$ donc $c=\frac{1}{\left(1-a\right)^{2}}>1$ .

Alors de (8) il résulte que:

\left\|x_{1}-x_{0}\right\|\leq B_{0}d_{0}\leq B_{0}b^{-\frac{1}{q-1}}\cdot cb^% {\frac{1}{q-1}}d_{0}\leq B_{0}\cdot b^{-\frac{1}{q-1}}\cdot c\delta_{0}\leq\mu\leq\lambda

c’est’à’dire $x_{1}\in S$ .

Par la suit nous prouvons l’existence de l’application $\Gamma_{1}=D_{1}^{-1}$ .

En employant les propriétés des différences divisées et les et les hypothèses du théorème on a:

(11)		$\displaystyle\left\\|D_{0}-D_{1}\right\\|=$
	$\displaystyle=\left\\|\left[x_{0},g\left(x_{0}\right);f\right]-\left[x_{1},g% \left(x_{1}\right);f\right]\right\\|$
	$\displaystyle\leq\left\\|\left[x_{0},g\left(x_{0}\right);f\right]-\left[x_{1},g% \left(x_{0}\right);f\right]\right\\|+\left\\|\left[x_{1},g\left(x_{0}\right);f% \right]-\left[x_{1}g\left(x_{1}\right);f\right]\right\\|$
	$\displaystyle\leq KB_{0}d_{0}+K\rho B_{0}d_{0}=K\left(1+\rho\right)B_{0}d_{0}.$

Pour établir la dernière inégalité on emploie le fait que $g\left(x_{0}\right),\ g\left(x_{1}\right)\in S$ . Démontrons maintenant ces appartenances. En effet on a:

\left\|g\left(x_{0}\right)-x_{0}\right\|<\left\|g\left(x_{0}\right)-x_{0}% \right\|+\rho\mu\leq\lambda

\left\|g\left(x_{1}-x_{0}\right)\right\|\leq\left\|g\left(x_{1}\right)-g\left(% x_{0}\right)\right\|+\left\|g\left(x_{0}\right)-x_{0}\right\|\leq\rho\mu+\left% \|g\left(x_{0}\right)-x_{0}\right\|\leq\lambda.

De (11) on déduit:

\left\|\Gamma_{0}\cdot\left(D_{0}-D_{1}\right)\right\|\leq B_{0}^{2}K\left(1+% \delta\right)d_{0}\leq a.

Du fait que $0<a<1$ et de l’hypothèse (vi) il résulte qu’on peut inverser l’opérateur

H_{0}=I-\Gamma_{0}\left(D_{0}-D_{1}\right),

où $I$ représente l’application identique.

On a:

\left\|H_{0}^{-1}\right\|\leq\tfrac{1}{1-a}.

Remarquons par la suite que:

H_{0}=\Gamma_{0}D_{1}

c’est-à-dire

H_{0}^{-1}=D_{1}^{-1}\cdot\Gamma_{0}^{-1}

d’où l’on déduit

D_{1}^{-1}=\Gamma_{1}=H_{0}^{-1}\cdot\Gamma_{0}

\left\|\Gamma_{1}\right\|\leq\tfrac{B_{0}}{1-a}.

Si nous désignons par $B_{1}$ l’expression $\left\|\Gamma_{1}\right\|,$ l’inégalité ci-dessus devient:

(12)

B_{1}\leq\tfrac{B_{0}}{1-a}

Prouvons maintenant que:

B_{1}^{2}K\left(1+\rho\right)d_{1}<a.

En effet de (10) et (12) on déduit

	$\displaystyle B_{1}^{2}K\left(1+\rho\right)d_{1}$	$\displaystyle\leq\tfrac{B_{0}^{4}K^{2}\left(1+\rho\right)\alpha d_{0}^{q}}{% \left(1-a\right)^{2}}=\tfrac{\left[B_{0}^{2}\cdot K\cdot\left(1+\rho\right)d_{% 0}\right]^{2}}{\left(1-a\right)^{2}\left(1+\rho\right)}\cdot\alpha\cdot d_{0}^% {q-2}$
		$\displaystyle\leq\tfrac{a^{2}\alpha d_{0}^{{}^{q-2}}}{\left(1-a\right)^{2}% \left(1+\rho\right)}=a.$

La dernière égalité est justifiée du fait que $a$ représente la plus petite racine de l’équation (5).

Supposons par la suite que les hypothèses suivantes sont vérifiées:

$\alpha)$

il existe les opérateurs $\Gamma_{0},\Gamma_{1},\ldots,\Gamma_{s};$
$\beta)$

$B_{i}\leq\frac{B_{i-1}}{1-a}$ où $B_{i}=\left\|\Gamma_{i}\right\|\ i=1,2,\ldots,s;$
$\gamma)$

$B_{s}^{2}K\left(1+\rho\right)d_{s}\leq a,d_{s}=\left\|f\left(x_{s}\right)% \right\|;$
$\delta)$

$x_{i}\in S,\ g\left(x_{i}\right)\in S,\ \$ pour $i=1,2,\ldots,s+1$

Dans ces hypothèses, en employant une identité analogue à celle de laquelle on a déduit la relaiton (10), on a l’inégalité suivante:

(13)

\left\|f\left(x_{s+1}\right)\right\|\leq KB_{s}^{2}\alpha\left\|f\left(x_{s}% \right)\right\|^{q}

c’est-à-dire:

d_{s+1}\leq KB_{s}^{2}\alpha d_{s}^{q}

Mais de $\beta)$ il résulte l’inégalité suivante:

d_{s+1}\leq\tfrac{KB_{0}^{2}\alpha d_{s}^{q}}{\left(1-a\right)^{2s}}

où

(14)

d_{s+1}\leq bc^{s}d_{s}^{q}.

Des hypothèses de l’induction il résulte les inégalités suivantes:

d_{i+1}\leq bc^{i}d_{i}^{q},\qquad i=0,1,\ldots,s.

En muiltipliant par $\frac{1}{b^{q-1}}$ les termes des dernières inégalités et en désignant par $\delta_{i}$ l’expression:

\delta_{i}=b^{-\frac{1}{q-1}}d_{i},\qquad i=0,1,\ldots,s

nous obtenons:

\delta_{i+1}\leq c^{i}\cdot\delta_{i}^{q},\qquad i=0,1,\ldots,s.

Admettons maintenant l’existence des nombres:

\alpha_{i}\ \text{et }\beta_{i},\quad i=0,1,\ldots,s

tels que:

\delta_{i}\leq c^{\alpha_{i}}\delta^{\beta_{i}},\qquad i=1,2,\ldots,s

où $\beta_{0}=1$ et $\alpha_{0}=0.$ Alors on a:

\delta_{i+1}\leq c^{i}c^{q\alpha_{i}}\delta_{0}^{\beta_{i}q}

c’est-à-dire

\delta_{i+1}\leq c^{q\alpha_{i}+i}\delta_{0}^{\beta_{i}q}=c^{\alpha_{i+1}}% \cdot\delta_{0}^{\beta_{i+1}}

où $\alpha_{i+1}=q\alpha_{i}+i\ \alpha_{0}=0$ $i=0,1,\ldots,s;$ et $\beta_{i+1}=q\cdot\beta_{i},\beta_{0}=1$ $i=0,1,\ldots,s$ .

Des relations ci-dessus nous déduisons facilement que:

\alpha_{i}=\tfrac{i-1-iq+q^{i}}{\left(q-1\right)^{2}},\ \beta=q^{i},\qquad i=0% ,1,\ldots,s.

Alors si nous envisageons le fait que $c>1$ , nous déduisons les inégalités suivantes:

(15)

\delta_{i+1}\leq\left(c\delta_{0}\right)q^{q^{i+1}};\qquad i=0,1,\ldots,s.

Démontrons maintenant que l’applicaiton $\Gamma_{s+1}$ existe.

En effet on a:

\left\|D_{s}-D_{s+1}\right\|=\left\|\left[x_{s},g\left(x_{s}\right);f\right]-% \left[x_{s+1},g\left(x_{s+1}\right);f\right]\right\|\leq K\left(1+\rho\right)% \left(B_{s}d_{s}\right)

\left\|\Gamma_{s}\left(D_{s}-D_{s+1}\right)\right\|\leq K\left(1+\rho\right)B_% {s}^{2}d_{s}\leq a.

Par conséquent l’applicaiton

H_{s}=I-\Gamma_{s}\cdot\left(D_{s}-D_{s+1}\right)=\Gamma_{s}D_{s+1}

admet une inverse pour laquelle

\left\|H_{s}^{-1}\right\|\leq\tfrac{1}{1-a}.

Des relations ci-dessus nous déduisons que:

D_{i+1}^{-1}=\Gamma_{i+1}=H_{i}^{-1}\cdot\Gamma_{i}

c’est-à-dire

\left\|\Gamma_{i+1}\right\|\leq\tfrac{B_{i}}{1-a}

ce qui nous conduit à l’inégalité suivante:

(16)

B_{s+1}\leq\tfrac{B_{s}}{1-a}

c’est-à-dire à l’inégalité $\beta)$ pour $i=s+1$ .

Démontrons maintenant qu’on a l’inégalite $\gamma$ ) pour $s+1$ c’est-à-dire:

B_{s+1}^{2}K\left(1+\rho\right)d_{s+1}\leq a.

En effet de (15) il résulte $d_{s}\leq d_{0}$ et alors de (13) et (16) déduisons:

	$\displaystyle B_{s+1}^{2}K\left(1+\rho\right)d_{s+1}$	$\displaystyle\leq\tfrac{B_{s}^{2}K)1+\rho}{\left(1-a\right)^{2}}KB_{s}^{2}% \alpha d_{s}^{q}$
		$\displaystyle=\tfrac{B_{s}^{2}K\left(1+\rho\right)d_{s}}{\left(1-a\right)^{2}% \left(1+\rho\right)}\alpha d_{s}^{q-2}\leq\tfrac{a^{2}\alpha d_{s}^{q-2}}{% \left(1-a\right)^{2}\left(1+\delta\right)}\leq a.$

Démontrons par la suite l’appartenance de $x_{i+1}$ et celle de $g\left(x_{s+1}\right)$ a la sphère $S$ .

On démontre facilement que $\alpha_{s+1}+\frac{s+1}{2}\leq q^{s+1},$ pour $q\geq 2$ , pour chaque $s\in\mathbb{N}$ ; alors on déduit de (2)

	$\displaystyle\left\\|x_{s+2}-x_{s+1}\right\\|$	$\displaystyle\leq\left\\|\Gamma_{s+1}\right\\|\cdot\left\\|f\left(x_{s+1}\right)% \right\\|\leq\tfrac{B_{0}}{(1-a)^{s+1}}$
		$\displaystyle\leq B_{0}\cdot c^{\frac{s+1}{2}}\cdot c^{\alpha_{s+1}}\cdot% \delta_{0}^{\beta_{s+1}}\cdot b^{-\frac{1}{q-1}}$
		$\displaystyle\leq c^{\alpha_{s+1}+\frac{s+1}{2}}\cdot\delta^{\beta_{s+1}}\cdot B% _{0}b^{{}^{-\frac{1}{q-1}}}$
		$\displaystyle\leq B_{0}b^{-\frac{1}{q-1}}\left(c\delta_{0}\right)^{q^{s+1}}.$

Des relations ci-dessus il résulte les inégalités suivantes:

	$\displaystyle\left\\|x_{s+2}-x_{0}\right\\|$	$\displaystyle\leq\sum_{k=0}^{s+1}\left\\|x_{k+1}-x_{k}\right\\|\leq B_{0}b^{-% \frac{1}{q-1}}\sum_{k=0}^{s+1}\left(c\delta_{0}\right)^{q^{k}}$
		$\displaystyle<\tfrac{B_{0}\cdot b^{-^{\frac{1}{q-1}}}\cdot c\cdot\delta_{0}}{1% -\left(c\cdot\delta_{0}\right)^{q-1}}\leq\mu<\lambda$

	$\displaystyle\left\\|g\left(x_{s+2}\right)-x_{0}\right\\|\leq$
	$\displaystyle\leq\left\\|g\left(x_{s+2}\right)-g\left(x_{s+1}\right)\right\\|+% \cdots+\left\\|g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{0}\right)\right\\|+\left\\|g\left(x_% {0}\right)-x_{0}\right\\|$
	$\displaystyle\leq\rho\mu+\left\\|g\left(x_{0}\right)-x_{0}\right\\|\leq\lambda,$

c’est-à-dire $x_{s+2}\in S$ et $g\left(x_{s+2}\right)\in S$ .

Nous étudions par la suite la convergence de la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ .

Des inégalités.

\left\|x_{k+1}-x_{k}\right\|\leq\tfrac{B_{0}}{b^{\frac{1}{q-1}}}\left(c\delta_% {0}\right)^{q^{k}},

que sont vraies pour chaque $k\in\mathbb{N}$ , il résulte

(17)		$\displaystyle\left\\|x_{n+p}-x_{n}\right\\|$	$\displaystyle\leq\sum_{k=n}^{n+p-1}\left\\|x_{k+1}-x_{k}\right\\|\leq B_{0}b^{-% \frac{1}{q-1}}\cdot\sum_{k=n}^{n+p-1}\cdot\left(c\delta_{0}\right)^{q^{k}}$
		$\displaystyle\leq\tfrac{B_{0}b^{-\frac{1}{q-1}}\left(c\delta_{0}\right)^{q^{n}% }}{1-\left(c\delta_{0}\right)^{\left(q-1\right)q^{n}}}$

pour chaque $n,\ p\in\mathbb{N}$ .

En envisageant le fait que $c\cdot\delta_{0}<1$ et le fait que l’espace $X$ est complet, il résulte que la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est convergente.

Désignons par $\bar{x}$ la limite; $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}$ . De l’inégalité (17) en $y$ faisant $p\rightarrow\infty$ on déduit:

\left\|\bar{x}-x_{n}\right\|\leq\tfrac{B_{0}b^{-\frac{1}{q-1}}\left(c\delta_{0% }\right)^{q^{n}}}{1-\left(c\delta_{0}\right)^{\left(q-1\right)q^{n}}}

De $\delta_{n}\leq\left(c\delta_{0}\right)^{q^{n}}$ il résulte que:

\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(x_{n}\right)=f\left(\bar{x}\right)=\theta

ce qui signifie que $\bar{x}$ est la solution de l’équation (1). ∎

Bibliographie

[1] Balasz M. şi Goldner G., Diferenţe divizate în spaţii Banach şi unele aplicaţii ale lor. St. cerc. mat. 21, 7, (1969), pp. 985–995.
[2] ^†^†margin: homepage (papers soon) $\rightarrow$ Diaconu A., Interpolation dans les espaces arbitraits. Méthodes itératives pour la résolution des équations opérationnelles obtenus par l’interpolations inverse. III. Research Seminar of Functional Analysis and Numerical Methodes, Preprint Nr.1 1985, pp. 21–70.
[3] Lică Dionis, Analiza funcţională şi rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor neliniare. Editura Ştiinţifică, Kişinău, 1975.
[4] ^†^†margin: clickable $\rightarrow$ Păvăloiu I. Sur la méthode de Steffensen pour la résolution des équations opérationnelles non linéaires, Revue Roumaine de Mathematiques pures et appliquées. XIII, 1, (1968), pp. 149–158.

[5] Păvăloiu I., ^†^†margin: clickable $\rightarrow$ Introducere în teoria aproximării soluţiilor ecuaţiilor. Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 1976.
[6] Ul’m, S., Ob obobscennîh razdelennîh raznostiah I, Izv. Acad. Nauk. Estonskoi S.S.R. 16, 1, (1967), pp. 13–26.
[7] Ul’m, S. Ob obobscennîh razdelennîh raznostiah II, Izv. Acad. Nauk. Estonskoi S. S.R. 16, 2, (1967), pp. 146–155
[8]

Reçu le 20.XII. 1990

Institutul de Calcul

Str. Republicii, 37

3400 Cluj-Napoca

România

(11)		$\displaystyle\left\\|D_{0}-D_{1}\right\\|=$
	$\displaystyle=\left\\|\left[x_{0},g\left(x_{0}\right);f\right]-\left[x_{1},g% \left(x_{1}\right);f\right]\right\\|$
	$\displaystyle\leq\left\\|\left[x_{0},g\left(x_{0}\right);f\right]-\left[x_{1},g% \left(x_{0}\right);f\right]\right\\|+\left\\|\left[x_{1},g\left(x_{0}\right);f% \right]-\left[x_{1}g\left(x_{1}\right);f\right]\right\\|$
	$\displaystyle\leq KB_{0}d_{0}+K\rho B_{0}d_{0}=K\left(1+\rho\right)B_{0}d_{0}.$

On a generalization of the Steffensen method

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	$\displaystyle\delta_{0}$	$\displaystyle=b^{\frac{1}{q-1}}d_{0};$