NOTES ON HIGHER ORDER CONVEX FUNCTIONS (IX)

BY
TIBERIU POPOVICIU
(Cluj)

1Linear and bilinear inequalities between convex functions.

1.-Let us consider $m(\geqq n+2)$ ordered points
(1)

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}

and a linear functional

\mathrm{A}(f)=\sum_{i=1}^{m}\tau_{i}f\left(x_{i}\right)

(2)

defined for functions $f(x)$ , finite and uniform on the points (1). The constants $\tau_{i}$ , which characterize the functional $\mathrm{A}(f)$ , are independent of the function $f$ .

We have studied linear inequalities of the form

\mathrm{A}(f)\geqq 0

(3)

verified by any function $f$ , non-concave of order $n(\geqq 0)$ on points (1) ¹ )

We will take up this problem again here.
Any polynomial of degree $n$ is non-concave of order $n$ , inequality
(3) must therefore be verified, in particular, by the functions

x^{i},-x^{i},i=0,1,\ldots,n

We thus find the necessary conditions

\mathrm{A}\left(x^{l}\right)=0,i=0,1,\ldots,n

(4)

⁰⁰footnotetext:¹⁾ See notes III and IV of this series in Máthematica, 16, 74-86 (1940) resp. Disquisitiones Mathematicae et Physicae 1, 163-171 (1940).

To find other necessary conditions, consider the functions $f_{n+1,i}^{*}$ , defined by

f_{n+1,i}^{*}\left(x_{r}\right)=\left\{\begin{array}[]{l}0,1\leqq r\leqq i+n\quad\text{ (or) }1\leqq r\leqq i)\\ \left(x_{r}-x_{i+1}\right)\left(x_{r}-x_{i+2}\right)\quad\ldots\left(x_{r}-x_{i+n}\right)\\ n+i+1\leqq r\leqq m\quad(\text{ out }i+1\leqq r\leqq m)\\ \quad i=1,2,\ldots,mn-1\end{array}\right.

The function $f_{n+1,i}^{*}$ is therefore zero on the $i+n$ first points (1) and is a polynomial of degree $n$ on the $mid$ last points (1). In particular we take

f_{1,i}^{*}\left(x_{r}\right)=\left\{\begin{array}[]{l}0,r=1,2,\ldots,i\\ 1,r=i+1,i+2,\ldots,m.\end{array}\right.

We will now prove
Lemma 1. The functions $\mathrm{f}_{\mathrm{n}+1,\mathrm{i}}^{*}(\mathrm{x})$ are non-concave of order n on the points (1).

Let us use, as usual, the notations

	$\displaystyle\Delta_{j}^{l}(f)=\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+j};f\right],\left(\Delta_{0}^{i}(f)=f\left(x_{i}\right)\right),$		(6)
	$\displaystyle i=1,2,\ldots,mj,\quad j=0,1,\ldots,m-1,$

for the divided differences of the function $f$ , taken on consecutive points of an ordered sequence, such as (1).

The proof of Lemma 1 is then immediate. We have, with the notation (6),

\Delta_{n+1}^{j}\left(f_{n+1,i}^{*}\right)=0\text{, if }j+n+1\leqq n+i\text{ or }j\geqq i+1,

\begin{array}[]{r}\Delta_{n+1}^{i}\left(f_{n+1,i}^{*}\right)=\frac{f_{n+1,i}^{*}\left(x_{i+n+1}\righ t)}{\left(x_{i+n+1}-x_{i}\right)\left(x_{i+n+1}-x_{i+1}\right)\cdot\left(x_{i+n+1}-x_{i+n}\right)}=\\ \left.=\frac{1}{\therefore x_{i+n+1}-x_{i}}>0^{2}\right)\end{array}

² ) This demonstration is based on the following property: The necessary and sufficient condition for a function to be non-concave of order n on the given points or (1) is that we have

\Delta_{n+1}^{i}(f)\geqq 0,\quad i=1,2,\ldots,mn-1.

This is a consequence of the formula for the average of divided differences. See: Tiberiu Popoviciu „Introduction to the theory of divided differences" Bull Ma'h. Soc. Roumaine des Sc, 42, 65-78 (1940).

Conversely, the formula for the mean is obtained from the non-concavity of order $n$ functions $f_{n+1,i}^{*}$ . It is therefore of interest to demonstrate this non-concavity directly. Without going into details, it is sufficient to say here that this demonstration results from the recurrence formula
$\left[x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n+2}};f_{n+1,}^{*}\right]=\frac{1}{x_{i_{n+2}}-x_{i_{1}}}\left\{\left(x_{i_{n+2}}-x_{i+n}\right)\right.$

\left.\left[x_{i_{2}},x_{i_{3}},\ldots,x_{i_{n+2}};f_{n,i}^{*}\right]+\left(x_{i+n}-x_{i_{1}}\right)\left[x_{i_{1}},xi_{2},\ldots x_{i_{n+1}};f_{n,1}^{*}\right]\right\}

i_{1}<i_{2}<\ldots<i_{n+2},i_{1}\leqq i\leqq i_{n+2}-n-1

(Or)

For inequality (3) we therefore obtain the necessary conditions

\mathrm{A}\left(f_{n+1,i}^{*}\right)\geqq 0,i=1,2,\ldots,mn-1.

(8)

2.
- —
  
  Let us now show that conditions (4) and (8) are also sufficient. This property will result from the following lemma.

Lemma 2.-Any function $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ , non-concave of order n on the points (1) is of the form

f(x)=\mathrm{P}(x)+\sum_{i=1}^{mn-1}c_{i}f_{n+1,i}^{*}(x)

(9)

Or $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ is a polynomial of degree n and the $\mathrm{c}_{\mathrm{i}}$ are nonnegative constants.

The demonstration is simple. By doing $x=x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ in (9) we find a system of $m$ linear equations in $m$ unknown, which are the $c_{i}$ and the coefficients of the polynomial $\mathrm{P}(x)$ . We can easily see that the determinant of this system is $\neq 0$ .

We have

\Delta_{n+1}^{i}(f)=c_{i}\Delta_{n+1}^{i}\left(f_{n+1,i}^{*}\right)

and formula (7) shows us that

c_{i}=\left(x_{i+n+1}-x_{i}\right)\Delta_{n+1}^{i}(f)\geqq\mathbf{0}

(10)

Noting that

f\left(x_{i}\right)=\mathrm{P}\left(x_{i}\right),i=1,2,\ldots,n+1

—

we can write

\mathrm{P}(x)=\mathrm{P}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x\right),

with the notation we use for the Lagrange polynomial of the function $f$ , relating to points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1}$ .

Finally, formula (9) can be written

	$\displaystyle f(x)=\mathrm{P}\left(x_{1},x_{2},\ldots,\right.$	$\displaystyle\left.x_{n+1};f\mid x\right)+$		(11)
		$\displaystyle+\sum_{i=1}^{m-1}\left(x_{i+n+1}-x_{i}\right)\Delta_{n+1}^{i}(f)f_{n+1,i}^{*}(x)$		(x)

The sufficiency of conditions (4) and (8) is now immediate.
We have

\mathrm{A}(f)=\sum_{i=1}^{m-n-1}\left(x_{i+n+1}-x_{i}\right)\Delta_{n+1}^{l}(f)\mathrm{A}\left(f_{n+1,i}^{*}\right)\geqq 0

(12)

hence the property.

If, moreover, the $\tau_{i}$ are all $\neq$ conditions (4) and (8) are necessary and sufficient for the more precise inequality
(13)

\mathrm{A}(f)>0

is verified by any convex function of order $n$ on points (1). But if $n>1$ , due to the non-extendability of a convex function of order $n$ , the previous hypothesis, which we adopted in the note $II{}^{3}$ ) for simplicity, is a bit restrictive.

Formula (12) shows us that if (4) and (8) are satisfied, either $\mathrm{A}(f)$ is identically zero or (13) is verified by any convex function of order $n$ . For (13) to be verified it is therefore sufficient that it is verified by a convex function of order $n$ , for example by the function $x^{n+1}$ .

Finally we can state
Theorem 1. For inequality (3) to be verified by any non-concave function of order n on points (1), it is necessary and sufficient that conditions (4) and (8) are satisfied.

For the more precise inequality (13) to be verified by any convex function of order n on the points (1), it is necessary and sufficient that the conditions (4), (8) and $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}+1}\right)>0$ are satisfied.
3. Consider the linear functional

\mathrm{B}(f)=\sum_{i=1}^{m}p_{i}f\left(x_{i}\right)

The numbers

s_{k}=\mathrm{B}\left(x^{k}\right),k=0,1,\ldots

(14)

are the moments corresponding to this functional. A polynomial of degree $k,\mathrm{P}(x)$ , which verifies equalities

\mathrm{B}\left(\mathrm{P}.x^{i}\right)=0,i=0,1,\ldots,k-1,

is an orthogonal polynomial of degree $k$ attached to the functional $\mathrm{B}(f)$ . This polynomial is said to be normal if moreover

\mathrm{B}\left(\mathrm{P}^{2}\right)=1.

Let us also consider the determinants

\delta_{k}=\left|\begin{array}[]{cccc}s_{0}&s_{1}&\ldots&s_{k}\\ s_{1}&s_{2}&\ldots&s_{k+1}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ s_{k}&s_{k+1}&.&s_{2k}\end{array}\right|,k=0,1,\ldots

3.

See loc. cit. ¹ )

If we designate by

\mathrm{V}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}\right)=\prod_{i<j}\left(\alpha_{j}-\alpha_{i}\right)

the Vandermonde determinant of numbers $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}$ , we can write

\delta_{k}=\sum p_{j_{1}}p_{j_{2}}\ldots p_{j_{k+1}}\mathrm{\penalty 10000\ V}^{2}\left(x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{k+1}}\right)

the summation extending to all combinations $j_{1},j_{2},\ldots,j_{k+1}$ numbers $1,2,\ldots,m$ taken $k+1$ has $k+1^{4}$ ). Using an interesting device of Stieltjes ⁵ ), we can write

\delta_{k}=\frac{1}{(k+1)!}B_{t_{1}}B_{t_{2}}\ldots B_{t_{k+1}}\left(V^{2}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{k+1}\right)\right),

$\mathrm{B}_{t_{i}}$ being the operation B with respect to a function of the variable $t_{i}$ .
The orthogonal and normal polynomial of degree $k$ is completely determined if $\delta_{k-1}\neq 0,\delta_{k}\neq 0$ and this polynomial is then

\text{ (16) }\quad\mathrm{P}_{k}=\frac{1}{\sqrt{\delta_{k-1}\cdot\delta_{k}}}\left|\begin{array}[]{cccc}s_{0}&s_{1}&\ldots&s_{k}\\ s_{1}&s_{2}&\ldots&s_{k+1}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ s_{k-1}&s_{k}&\ldots&s_{2k-1}\\ 1&x&\ldots&x^{k}\end{array}\right|,\left(\mathrm{P}_{0}=\frac{1}{\sqrt{\delta_{0}}}\right)

We say that the functional $B(f)$ is non-negative if

\mathrm{B}(f)\geq 0

(17)

whatever the non-negative function $f$ . The functional is said to be positive if, moreover, the equality in (17) is only possible if $f$ is identically zero. So that $B(t)$ is non-negative it is necessary and sufficient that the coefficients $p_{l}$ are non-negative and so that $\mathrm{B}(f)$ be positive it is necessary and sufficient that the $p_{i}$ are positive. This notion of positivity is, of course, strictly relative to points (1). If $\mathrm{B}(f)$ is a non-negative functional, all determinants (15) for $k=0,1,\ldots,m-1$ are non-negative and if $\mathrm{B}(f)$ is a positive functional all these determinants are positive. If B (f) is non-negative,

⁰⁰footnotetext: ⁴ )

\Sigma

est une notation abrégée pour

\sum_{k+1-k+1}^{m}\sum_{k^{-k}}^{j_{k+1}-\sum^{-k}}\cdots\sum_{2^{-2}}^{j_{3}-1}\sum_{j_{1}^{\prime}-1}^{j_{2}-1}

we have $\delta_{k}>0$ if and only if at least $k+1$ coefficients $p_{i}$ are positive and we then necessarily have $\delta_{0}>0,\delta_{1}>0,\ldots,\delta_{k-1}>0$ ,

Let us now designate pai $\mathrm{U}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right)$ the detemmant that we obtain from $\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right)$ when replacing the elements $x_{i}^{n+1}$ by $f\left(x_{i}\right)$ respectively. We then have

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+3};f\right]=\frac{\mathrm{U}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right)}{\mathrm{V}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}\right)}

Taking into account the expression (16) of orthogonal polynomials, we find, assuming $\delta_{n}\neq 0,\delta_{n+1}\neq 0$ ,

V\overline{\delta_{n}n_{n+1}}\mathrm{\penalty 10000\ B}\left(P_{n+1}.\hat{h}\right)=

(18)

$=\Sigma p_{i_{1}}p_{i_{2}}\ldots p_{i_{n+2}}\quad V\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n+2}}\right)U\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n+2}};f\right)=$
$=\Sigma p_{i_{1}}p_{i_{2}},\ldots p_{i_{n-1}}\quad\mathrm{\penalty 10000\ V}^{2}\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n-2}}\right)\left[x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n-2}};f\right]=$
$=\frac{1}{(n+2)!}\mathrm{B}_{t_{1}}\mathrm{\penalty 10000\ B}_{t_{2}}\ldots\mathrm{\penalty 10000\ B}_{t_{n+2}}\left(\mathrm{\penalty 10000\ V}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n+1}\right)\cup\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n+2};f\right)\right)$
and we obtain
Theorem 2. If B (f) is a non-negative linear functional such that ${}_{n+1}>0$ and if $\mathrm{P}_{n+1}$ is the orthogonal (and normal) polynomial of degree $\mathrm{n}+1$ corresponding to this functional, we have

\mathrm{B}\left(\mathrm{P}_{n+1}\cdot f\right)\geqslant 0,\quad\text{ resp }.>0,

(19)

for any non-concave or convex function of order n on the points (1).

Phs exactly, legality in (19) is possible, in the field of non-concave functions of order n, only if the function reduces to a polynomial of degree n on the fields (1) to which coefficients correspond $p_{i}$ no nuts.

In the particular case where $\mathrm{A}(f)$ is of the form $\mathrm{B}\left(\mathrm{P}_{n+1}f\right)$ we were able to establish the inequality directly, using (18), without using conditions (4) and (8) found above.

It is obvious that we can replace in (19) the polynomial $P_{n+1}$ , by $c\mathrm{P}_{n+1},c$ being a positive constant.
4. - Let us now consider the bilinear functional

\mathrm{A}(f,g)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\tau_{i,j}f\left(x_{i}\right)g\left(x_{j}\right)

(20)

in the field of functions $f,g$ defined on the points (1). Let us look for the conditions so that we have
(21)

\mathrm{A}(f,g)\geqq 0,

for any pair of two functions $f,g$ non-concave of order $n$ on (1).
I] first need this inequality to be verified if $f$ resp. $g$ is a polynomial of degree $n$ And $g$ resp. $f$ non-concave function of order $n$ . We therefore find the necessary conditions

\mathrm{A}\left(x^{i},f\right)=\mathrm{A}\left(f,x^{i}\right)=0,i=0,1,\ldots,n,

Or $f$ is a non-concave function of order $n$ any.
Note that
Lemma 3. If $\mathrm{A}(\mathrm{f})$ is a linear functional and if $\mathrm{A}(\mathrm{f})=0$ for any non-concave function of order n, this equality is verified identically by any function (i.e. the functional $\mathrm{A}(f)$ is zero identically).

Indeed, from $\mathrm{A}(-f)=-\mathrm{A}(f)$ it follows that $\mathrm{A}(f)$ also vanishes for any non-convex function of order $n$ . But, any function $f(x)$ on (1) is the difference of two non-concave functions of order $n$ (or the sum of a non-concave function and a non-convex function of order $n$ ). Hence the property.

We can therefore say that the equalities (22) are verified identically with respect to the function $f$ .

Other necessary conditions for inequality (21) are

\mathrm{A}\left(f_{n+1,i}^{*},f_{n+1,j}^{*}\right)\geqq 0,i,j=1,2,\ldots,m-n-1.

(23)

We can easily see that the previous conditions are also sufficient.

Indeed, taking into account formula (11), we find, if $f,g$ are non-concave of order $n$ .

\begin{array}[]{r}\mathrm{A}(f,g)=\sum_{i=1}^{m=n-1}\sum_{j=1}^{m-n-1}\left(x_{i+n+1}-x_{i}\right)\left(x_{j+n+1}-x_{j}\right)\Delta_{n+1}^{i}(f)\Delta_{n+1}^{j}(g)\\ \mathrm{A}\left(f_{n+1,i}^{*},f_{n+1,j}^{*}\right)\geq 0.\end{array}

Finally, to make the inequality more precise

\mathrm{A}(f,g)=0

(24)

is verified by any pair of two convex functions of order $n$ , it is necessary and sufficient to more than

\mathrm{A}\left(x^{n+1},x^{n+1}\right)>0.

(25)

Indeed, $\mathrm{A}\left(x^{n+1},g\right)$ est une fonctionnelle lineaire de $g$ et on a A $\left(x^{n+1},g\right)>0$ pour toute fonction convexe d’ordre $n,g$ , d’après le
théorème 1 et, encore d’après le théorème 1 , on a (24) si $f$ est aussi convexe d’ordre $n$ .

Finalement nous avons donc le
Théorème 3. Pour que l’inégalité (21) soit vérifiée par tout couple de deux fonctions non-concaves d’ordre n sur les points (1), il jaut et il suffit que les conditions (22) (identiquement par rapport à la fonction $f$ ) et (23) soient satisfaites.

Pour que l’inégalité plus précise (24) soit véri iiée par tout couple de deux fonctions convexes d’ordre n sur les pounts (1), il faut et il sufjit que les conditions (22), (24) et (25) soient satisfaites.

Il est clair, qu’en même temps qu’avec deux fonctions non-concaves d’ordre $n$ quelconques, nos inégalités sont vérifiées aussi par deux fonctions non-convexes d’ordre $n$ . L’inégalité contraire est toujours vraje si l’une des fonctions est non-concave et l’autre non-convexe (resp. convexe et concave) d’ordre $n$ sur les points (1).
5. - Reprenons la fonctionnelle B ( $f$ ) de Nr. 3. Si cette fonctionnelle est non-négative on a évidemment
(26) $\Sigma p_{i_{1}}p_{i_{2}}\ldots p_{i_{n+2}}\mathrm{U}\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n+2}};f\right)\mathrm{U}\left(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{n+2}};g\right)\geq 0$ ,
pour tout couple de deux fonctions non-concaves d’ordre $n$ sur (1).
Cherchons à exprimer le premier membre de (24) à l’aide de la fonctionnelle $\mathrm{B}(f)$ . Cette expression s’écrit aussi

\text{ (27) }\left|\begin{array}[]{ccccc}s_{0}&s_{1}&\ldots&s_{n}&\sum_{i=1}^{m}p_{i}g\left(x_{i}\right)\\ s_{1}&s_{2}&\ldots&s_{n+1}&\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}g\left(x_{i}\right)\\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&\ldots&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\ s_{n}&s_{n+1}&\ldots&s_{2n}&\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}^{n}g\left(x_{i}\right)\\ \sum_{i=1}^{m}p_{i}f\left(x_{i}\right)\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}f\left(x_{i}\right)&\ldots&\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}^{n}f\left(x_{i}\right)\sum_{i=1}^{m}p_{i}f\left(x_{i}\right)g\left(x_{i}\right)\end{array}\right|

qui est aussi égal à

i_{n}\sum_{i=1}^{m}p_{i}f\left(x_{i}\right)g\left(x_{i}\right)+\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}p_{i}p_{j}\left|\begin{array}[]{ccccc}&&&&1\\ &&&&\vdots\\ &&&&x_{j}\\ &&&&\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&x_{j}^{n}\\ 1&x_{i}&\ldots&x_{i}^{n}&0\end{array}\right|f\left(x_{i}\right)g\left(x_{j}\right)

Si nous reprenons les polynomes orthogonaux (16), un calcul facile, sur lequel il est inutile d’insister, nous montre que le déterminant qui intervient dans la detxième sommation est égal à

-\grave{o}_{n}\sum_{r=0}^{n}\mathrm{P}_{r}\left(x_{i}\right)\mathrm{P}_{r}\left(x_{j}\right)

L’expression (27) devient donc

		$\displaystyle\mathrm{o}_{n}\left[\sum_{i=1}^{m}p_{i}f\left(x_{i}\right)g\left(x_{i}\right)-\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}p_{i}p_{j}\left(\sum_{r=0}^{n}\mathrm{P}_{r}\left(x_{i}\right)\mathrm{P}_{r}\left(x_{j}\right)\right)f\left(x_{i}\right)g\left(x_{j}\right)\right]=$
		$\displaystyle=\mathrm{c}_{n}\left[\sum_{i=1}^{m}p_{i}f\left(x_{i}\right)g\left(x_{i}\right)-\sum_{r=0}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m}p_{i}\mathrm{P}_{r}\left(x_{i}\right)f\left(x_{i}\right)\right)\left(\sum_{i=1}^{m}p_{i}\mathrm{P}_{r}\left(x_{i}\right)g\left(x_{i}\right)\right)\right]$

et on peut énoncer le
Théorème 4. Si B(f) est une fonctionnelle linéaire non-négative, telle que ${}_{n+1}>0$ , et si l’on construit les polynomes orthogonaux (et normaux) (16) correspondants à cette fonctionnelle, on a

\mathrm{B}(fg)\geqslant\sum_{r=0}^{n}\mathrm{\penalty 10000\ B}\left(\mathrm{P}_{r}.f\right)\mathrm{B}\left(\mathrm{P}_{r}.g\right)

(28)

pour-tout couple de deux fonctions non-concaves d’ordre n sur les points (1). Si les fonctions sont convexes d’ordre n sur les points (1) le signe $>$ est toujours valable dans (28).

D’ailleurs, si l’une des fonctions est convexe d’ordre $n$ l’égalité n’est possible dans (28) que si l’autre fonction se réduit à un polynome. de degré $n$ sur les points $x_{i}$ auxquels correspondent des coefficients $p_{i}$ non nuls, cette fonction étant supposée, bien entendu, non-concave d’ordre $n$ .

Pour $n=0$ nous trouvons l’inégalité classique de Tohebycheff, en termes finis et qui peut s’écrire

\frac{\Sigma p_{i}u_{i}v_{i}}{\Sigma p_{i}}\geqq\left(\frac{\Sigma p_{i}u_{i}}{\Sigma p_{i}}\right)\left(\frac{\Sigma p_{i}v_{i}}{\Sigma p_{i}}\right)

les suites finies $u_{1},u_{2},\ldots;v_{1},v_{2},\ldots$ , étant monotones de même sens et $p_{i}\geq 0,\Sigma_{p_{i}}>0$ .
6. - D’une inégalité bilinéaire on déduit facilement des inégalités linéaires, en particularisant l’une des fonctions. Par exemple, en prenant $g=x^{n+1}$ dant (26) nous retrouvons l’inégalité du Nr. 3. Le théorèm ${}^{\text{r }}$ résulte donc du théorème 4.

Remarquons aussi que l’inégalité (26) est vraie quelle que. fonction $f$ identique à la fonction $g$ . On en déduit le

Théorème 5. Si B (f) est une fonctionnelle linéaire non-négative, telle que $\delta_{n+1}>0$ , toute fonction f sur les points (1) vérifie l’inégalité
(29)

\mathrm{B}\left(f^{2}\right)\geq\sum_{r=0}^{n}\left(\mathrm{\penalty 10000\ B}\left(\mathrm{P}_{r}.f\right)\right)^{2}

L’égalité dans (29) n’est possible que si f se réduit à un polynome de degré n sur les points (1) auxquels correspondent des coefficients $\mathrm{p}_{\mathrm{i}}$ positifs.

D’ailleurs, l’inégalité n’est autre que l’inégalité de Bessel correspondante au développement de la fonction $f$ suivant les polynomes orthogonaux et normaux (16).

§ 2. - Sur quelques propriétés préliminaires des fonctions convexes d’ordre supérieu :

7.
- —
  
  Nous allons maintenant considérer, sauf avis contraire, uniquement des fonctions finies, uniformes et définies dans un intervalle fini et fermé $[a,b]$ .

Une fonction non-concave d’ordre $n\geq 0$ dans $[a,b]$ est toujours bornée dans $[a,b]$ et si $n>0$ elle est toujours continue dans l’intervalle ouvert ( $a,b$ ). Pour toute fonction non-concave d’ordre $n$ les limites $f(a+0),f(b-0)$ existent et on a

f(b)\geqq f(b-0),\quad(-1)^{n+1}[f(a)-f(a+0)]\geqq 0.

La fonction $\boldsymbol{f}^{*}(x)$ définie par

f^{*}(x)=\begin{cases}f(a+0),&x=a\\ f(x),&x=(a,b)\\ f(b-0),&x=b\end{cases}

est non-concave resp. convexe d’ordre $n$ en même temps que $f$ .
On voit que toute fonction qui est à la fois non-concave de deux ordres de parités différentes est continue même au point $a$ .

Nous allons considérer des fonctions qui sont à la fois non-concaves d’ordres $0,1,\ldots,n$ . Nous dirons qu’une telle fonction est ( $n+1$ )fois monotone. Une fonction qui est non-concave de tout ordre $n\geq 0$ est dite complètement monotone. Une fonction ( $n+1$ )-fois monotone, pour $n>0$ , est continue dans l’intervalle $[a,b)$ fermé à gauche et ouvert à droite. Nous allons montrer qu’on peut préciser d’avantage l’allure d’une telle fonction au voisinage de $a$ .

Lemme 4. Toute fonction $(\mathrm{n}+1)$ - fois monotone, $\mathrm{n}>0$ , dans l’interv :alle $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ a des dérivées non-négatives d’ordre $1,2,\ldots,\mathrm{n}$ au point cl.

Par cet énoncé nous voulons dire que pour chaque $k=1,2,\ldots,n$ , la limite

\lim_{x_{1},x_{2},\ldots x_{k}\rightarrow a}\left[a,x_{1},x_{2},\ldots,x_{k};f\right]=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\geq 0

existe ⁶ ).
La démonstration se fait de la manière suivante : Soit d’abord une suite infinie décroissante

\xi_{1},\quad\xi_{2},\quad\ldots,\quad\xi_{m},

et ayant pour limite le point $a$ . La suite des nombres non-négatifs
(31) $\quad\left[a,\vdots_{m},\vdots_{m+1},\ldots,\xi_{m+k-1};f\right],\quad m=1,2,\ldots$
est non-croissante puisque

	$\displaystyle{\left[a,\grave{\xi}_{m},\grave{\xi}_{m+1},\ldots,\xi_{m+k-1}\right.}$	$\displaystyle;f]-\left[a,\grave{\xi}_{m+1},\grave{\xi}_{m+2},\therefore,\grave{\xi}_{m+k},f\right]=$
		$\displaystyle=\left(\grave{\xi}_{m}-\grave{\xi}_{m+k}\right)\left[a,\grave{\xi}_{m},\grave{\xi}_{m+1},\ldots,\xi_{m+k};f\right]\geq 0.$

Donc

\lim_{m\rightarrow\infty}\left[a,\xi_{m},\xi_{m+1},\ldots,\xi_{m+k-1};f\right]

existe et est non-négatif.
Soit maintenant $m$ un nombre naturel et $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k},k$ points distincts, différents de $a$ et tous compris dans l’intervalle ( $a,\mathfrak{s}_{m+k-1}$ ). Une formule connue de la théorie des différences divisées nous donne
$\left[a,\xi_{m},\xi_{m+1},\ldots,\xi_{m+k-1};f\right]-\left[a,x_{1},x_{2},\ldots,x_{k};f\right]=$
$=\sum_{i=1}^{k}\left(\xi_{m+i-1}-x_{i}\right)\left[a,\xi_{m},\xi_{m+1},\ldots,\xi_{m+i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{k};f\right]\geqq 0$ .
Mais, nous pouvons trouver un nombre naturel $m^{\prime}$ tel que $\xi_{mt^{\prime}}$ soit à gauche de tous les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}$ . La même formule nous montre alors que
$\left[a,x_{1},x_{2},\ldots,x_{k};f\right]-\left[a,\hat{\mathfrak{s}}_{m^{\prime}},\mathfrak{s}_{m^{\prime}+1},\ldots,\xi_{m^{\prime}+k-1};f\right]\geqq 0$ .
Toute différence divisée $\left[a,x_{1},x_{2},\ldots,x_{k};f\right]$ , pourvu que les points $x_{i}$ soient suffisamment près de $a$ , est donc comprise entre deux différences divisées de la forme (31). Le lemme en résulte.
8. - Examinons maintenant les fonctions qui correspondent, dans le cas d’un intervalle, aux fonctions $f_{n+1,i}^{*}$ qui interviennent dans le cas d’un ensemble fini (1).
⁶ ) Sans entrer dans des délails, il suffit de dire ici qu’alors la dérivée d’ordre $k$ au sens ordinaire existe et est égale à $f^{(k)}(a)$ .

Considérons les fonctions ${}_{1}^{*}n+1,2(x)$ définie par la formule
(32) $\operatorname{o}_{n+1,\lambda}(x)=\left(\frac{|x-\lambda|+x-\lambda}{2}\right)^{n}=\left(\frac{|x-\lambda|+x-\lambda}{2}\right)(x-\lambda)^{n-1},a\leqq\lambda\leqq b$ , en supposant $n>0$ . Cette fonction est donc nulle dans l’intervalle $[a,\lambda]$ et se réduit au polynome $(x-\lambda)^{n}$ dans l’intervalle $[\lambda,b]$ . Nous complétons la définition pour $n=0$ par la suivante

i_{1,i}(x)=\begin{cases}0,&x\Subset[a,\lambda),\\ 1,&x\in[\lambda,b].\end{cases}

Nous avons la relation de récurrence
(33)

n_{n+1,2}(x)=(x-\lambda)n_{n,2}(x).

Lemme 5. La fonction _1n+1, est non-négative et ( $\mathrm{n}+1$ )-fois monotone dans l’intervalle $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$

Le signe de $\stackrel{{?}}_{n+1,\lambda}$ est évident. Pour démontrer la monotonie il faut montrer que

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{k+1};{}_{n-1,2}\right]\geq 0,

(34)

quels que soient $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{k+1}$ et $k=1,2,\ldots,n+1$ .
Nous allons procéder par induction. Supposons la propriété vraie jusqu’à $n$ et démontrons-la pour $n$ .

Si $x_{k+1}<\lambda$ , la différence divisée (34) est nulle.
Si $x_{1}>\lambda$ et $k=n+1$ , la différence divisée (34) est encore nulle.
Si $x_{1}>\lambda$ et $k\leqq n$ nous employons la formule

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{k+1};(x-i)^{n}\right]=}\\ =\sum_{i=1}^{k}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1};(x-\lambda)^{n-k+i-1}\right]\left(x_{i+1}-\lambda\right)+\left(x_{1}-\lambda\right)^{n-k}\end{gathered}

qu’on déduit facilement de la formule de Leibniz donnant la différence divisée du produit de deux fonctions ⁷ ).

Si $x_{1}\leqq\lambda\leqq x_{k+1}$ nous employons la formule de récurrence

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{k+1};{}_{n+1,\lambda}\right]=}\\ =\frac{\left(x_{k+1}-\lambda\right)\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{k+1};{}_{n,j}\right]+\left(\lambda-x_{1}\right)\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{k};{}_{n,\lambda}\right]}{x_{k+1}-x_{1}}\end{gathered}

qu’on déduit de la même formule de LeIbNIZ appliquée à (33).
9. - Une combinaisons linéaire de polynomes de degré $n$ et d’un nombre fini de fonctions de la forme ${}^{\div}{}_{n+1,2}$ est dite une fonction élémentaire d’ordre n. Pour le moment nous supposons $n>0$ . Une fonction élémentaire est donc de la forme
(35)

\mathrm{P}(x)+\sum_{i=1}^{m}c_{i}{}_{n+1,i,i}

(x)

où $a<\lambda_{1}<\lambda_{2}$

<\lambda_{m}<b.

Les polynomes de degré $n$ et les fonctions $\overbrace{n+1,\lambda}$ sont des fonctions élémentaires d’ordre $n$ particulères. Remarquons que toute fonction élémentaire d’ordre $n(>0)$ est continue dans $[a,b]$ .

Lemme 6. Pour que la fonction élémentaire d’ordre n (35) soit non-concave d’ordre n dans $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ il faut et il suffit que les constantes $\mathrm{c}_{\mathrm{i}}$ soient non-négatives.

Les conditions sont évidemment suffisantes. Montrons qu’elles sont aussi nécessaires. Si nous désignons la fonction (35) par ( $x$ ) et si nous prenons les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}$ tels que

\lambda_{i-1}<x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}<\lambda_{i}<x_{n+2}<\lambda_{i+1}\quad\left(\lambda_{n}=a,\lambda_{m+1}=b\right),

nous avons

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};\psi\right]=\frac{c_{i}\left(x_{n+2}-\lambda_{i}\right)^{n}}{\left(x_{n+2}-x_{1}\right)\left(x_{n+2}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{n+2}-x_{n+1}\right)}\geq 0.

On voit facilement que pour qu’un polynome de degré $n$ soit non-négatif et ( $n+1$ )-fois monotone dans $[a,b]$ il faut et il suffit que si on ordonne ce polynome suivant les puissances de $x-a$ , tous ses coefficients sojent $\geq 0$ . Nous en déduisons le

Lemme 7. Pour que la fonction élémentaire d’ordre n (33) soit non-négative et $(\mathrm{n}+1)$ - fois monotone dans l’intervalle $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ il faut et il suffit que les constantes $\mathrm{c}_{\mathrm{i}}$ soient o et que les coefficients $\gamma_{1}$ du polynome

\mathrm{P}(x)=\gamma_{0}+\gamma_{1}(x-a)+\ldots+\gamma_{n}(x-a)^{n}

soient aussi non-négatifs.
Dans le cas des fonctions définies sur un nombre fini de points nous avons déjà remarqué que toute fonction non-concave d’ordre $n$ est de la forme (9) avec des coefficients $c_{i}$ non-négatifs. Le polynome $\mathrm{P}(x)$ de cette formule peut aussi s’écrire

		$\displaystyle\mathrm{P}(x)-\mathrm{P}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\mid x\right)=$
		$\displaystyle=f\left(x_{1}\right)+\sum_{i=1}^{n}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{i+1};f\right]\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i}\right)$

Il en résulte que toute fonction non-négative et ( $n+1$ ) - fois monotone sur les points (1) est de la forme

\gamma_{0}+\sum_{i=1}^{n}\gamma_{i}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i}\right)+\sum_{i=1}^{m-n-1}c_{i}f_{n+1,i}^{*}(x),

où les $\gamma_{i}$ et les $c_{i}$ sont non-négatifs.
10. - Nous allons maintenant démontrer la propriété suivante.

Théorème 6. Toute fonction continue et non-concave d’ordre n dans l’intervalle $\mathrm{a},\mathrm{b}]$ est la limite d’une suite uniformément convergente de fonctions élémentaires d’ordre n , non-concaves d’ordre n dans $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ .

C’est une propriété que nous avons souvent utilisé. Nous en allons donner maintenant une démonstration directe, sans passer par les dérivées de la fonction considérée.

Soit $f(x)$ la fonction et divisons l’intervalle $[a,b]$ en $m$ parties égales par les points

\lambda_{i}=a+ih,i=0,1,\ldots,m,h=\frac{b-a}{m}.

(36)

Supposons, pour fixer les idées, $m$ assez grad, en espèce $m>2n$ . Considérons alors la fonction élémentaire d’ordre $n$

f_{m}(x)=\sum_{i=1}^{m-n}\left(\lambda_{i+n}-\lambda_{i-1}\right)\Delta_{n+1}^{i-1}(f)\wp_{n+1,\lambda_{i+n-1}}(x)

(37)

la notation (6) étant relative à la suite (36). Nous avons $\lambda_{1+n}-\lambda_{i-1}=(n+1)h$ et

\Delta_{n+1}^{i-1}(f)=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!h^{n+1}}\sum_{j=0}^{n+1}(-1)^{j}\binom{n+1}{j}f\left(\lambda_{l+j-1}\right)

(38)

Nous pouvons alors écrire :
Pour $x\in\left[\lambda_{0},\lambda_{n}\right]$ ,

f_{m}(x)=0

Pour $x\in\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right],0\leqq j\leqq n-1$ ,

	$\displaystyle f_{m}(x)=$	$\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n!h^{n}}\left\{\sum_{r=0}^{j}(-1)^{r}f\left(\lambda_{r}\right)\left[\sum_{s=0}^{r}(-1)^{s}\binom{n+1}{r-s}\left(x-\lambda_{n+s}\right)^{n}\right]+\right.$
		$\displaystyle+\sum_{r=j+1}^{n}(-1)^{r}f\left(\lambda_{r}\right)\left[\sum_{s=0}^{j}(-1)^{s}\binom{n+1}{r-s}\left(x-\lambda_{n+s}\right)^{n}\right]+$
		$\displaystyle\left.+\sum_{r=n+1}^{n+j+1}(-1)^{r}f\left(\lambda_{r}\right)\left[\sum_{s=r-n-1}^{j}(-1)^{s}\binom{n+1}{r-s}\left(x-\lambda_{n+s}\right)^{n}\right]\right\}$

\begin{gathered}\text{ Pour }\left.xs\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right],n\leqq j\leqq m-n-1,{}^{8}\right)\\ f_{m}(x)=\frac{(-1)^{n+1}}{n!h^{n}}\left\{\sum_{r=0}^{n}(-1)^{r}f\left(\lambda_{r}\right)\left[\sum_{s=0}^{r}(-1)^{s}\binom{n+1}{r-s}\left(x-\lambda_{n+s}\right)^{n}\right]+\right.\\ \left.+\sum_{r=j+1}^{n+j+1}(-1)^{r}f\left(\lambda_{r}\right)\left[\sum_{s=r-n-1}^{j}(-1)^{s}\binom{n+1}{r-s}\left(x-\lambda_{n+s}\right)^{n}\right]\right\}\end{gathered}

Considérons le polynome ⁹ )

\mathrm{Q}_{m}(x)=\frac{(-1)^{n}}{n!h^{n}}\left\{\sum_{r=0}^{n}(-1)^{r}f\left(\lambda_{r}\right)\left[\sum_{s=0}^{r}(-1)^{s}\binom{n+1}{r-s}\left(x-\lambda_{n+s}\right)^{n}\right]\right\}

Nous allons démontrer que la fonction

\psi_{m}(x)=f_{m}(x)+\mathrm{Q}_{m}(x),

(39)

qui est bien de la forme (35), converge uniformément vers la fonction $f$ dans $[a,b]{}^{10}$ ).

Remarquons que

\begin{gathered}\sum_{r=0}^{n}(-1)^{r}\left[\sum_{s=0}^{r}(-1)^{s}\binom{n+1}{r-s}\left(x-\lambda_{n+s}\right)^{n}\right]=\sum_{s=0}^{n}(-1)^{s}\binom{n}{s}\left(x-\lambda_{2n-s}\right)^{n}=\\ =(-1)^{n}h^{n}\sum_{s=0}^{n}(-1)^{s}\binom{n}{s}(n-s)^{n}=(-1)^{n}h^{n}n!\end{gathered}

Il en résulte que la fonction $\psi_{m}(x)$ se réduit identiquement à 1 lorsque $f(x)=1$ . La différence $f(x)-\psi_{m}(x)$ s’obtient donc de $\psi_{m}(x)$ en remplaçant partout $f\left(\lambda_{r}\right)$ par $f(x)-f\left(\lambda_{r}\right)$ . Enfin désignons par $\omega(8)$ le module d’oscillation de $f$ .
8) Le coefficient de $f\left(\lambda_{r}\right)$ pour $n+1\leqq r\leqq j(j>n)$ est

\frac{1}{n!h^{n}}\sum_{s=0}^{n+1}(-1)^{s}\binom{n+1}{s}\left(x-\lambda_{r+s-1}\right)^{n}

et est donc nul identiquement, d’après une propriété connue des différences d’ordre $n+1$ .
⁹ ) Dans le cas $n=1,\mathrm{Q}_{m}(x)$ n’est autre que le polynome de lagrange $\mathrm{P}\left(\lambda_{0},\lambda_{1};f\mid x\right)$ .
¹⁰ ) Lorsque $n=1,y=\psi_{m}(x)$ représent la ligne polyonale inscrite dans la courbe $y=f(x)$ suivant les abscisses $x_{i}$

Nous avons alors :
Pour $x\in\left[\lambda_{o},\lambda_{n}\right]$ ,

\begin{gathered}\left|f(x)-\psi_{m}(x)\right|=\left|f(x)-Q_{m}(x)\right|\leqq\\ \leqq\frac{1}{n!h^{n}}\sum_{r=o}^{n}\left[\left|f(x)-f\left(\lambda_{r}\right)\right|\sum_{s=0}^{r}\binom{n+1}{r-s}\left(\lambda_{n+s}-x\right)^{n}\right]\end{gathered}

et on a

		$\displaystyle\left\|f(x)-f\left(\lambda_{r}\right)\right\|\leqq\omega\left(\left\|x-\lambda_{r}\right\|\right)\leqq\omega(nh)$
		$\displaystyle 0\leqq\lambda_{n+s}-x\leqq(n+s)h,s=2,\ldots,n$

donc

\left|f(x)-\psi_{m}(x)\right|\leqq\frac{M_{n}^{\prime}}{n!}\omega(nh),x\in\left[\lambda_{0},\lambda_{1}\right]

où

\mathrm{M}_{n}^{\prime}=\sum_{r=0}^{n}\sum_{s=0}^{r}\binom{n+1}{r-s}(n+s)^{n}

est indépendant de $m$ .
Pour $x\in\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right],0\leqq j\leqq n-1$ ,

\begin{array}[]{r}\left|f(x)-\psi_{m}(x)\right|\leqq\frac{1}{n!h^{n}}\left\{\sum_{r=j+1}^{n}\left[\left|f(x)-f\left(\lambda_{r}\right)\right|\sum_{s=j+1}^{r}\binom{n+1}{r-s}\left(\lambda_{n+s}-x\right)^{n}\right]+\right.\\ \left.\quad+\sum_{r=n+1}^{n+j+1}\left[\left|f(x)-f\left(\lambda_{r}\right)\right|\sum_{s=r-n-1}^{j}\binom{n+1}{r-s}\left(x-\lambda_{n+s}\right)^{n}\right]\right\}\end{array}

et on obtient de la même manière

\left|f(x)-\psi_{m}(x)\right|\leqq\frac{M_{n}^{\prime\prime}}{n!}\omega(nh),\quad x\in\left[\lambda_{n},\lambda_{2n}\right]

où
$\mathrm{M}_{\begin{subarray}{c}n\\ j=0,1,\ldots,n-1\end{subarray}}^{\prime\prime}=\max\left[\sum_{r=j+1}^{n}\sum_{s=j+1}^{r}\binom{n+1}{r-s}(n+s-j-1)^{n}+\right.$

\left.+\sum_{r=n+1}^{n+j+1}\sum_{s=r-n-1}^{j}\binom{n+1}{r-s}(j+1-s)^{n}\right]

est indépendant de $m$ .

Pour $x\in\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right],n\leqq j\leqq m-n-1$ ,

\left|f(x)-\psi_{m}(x)\right|\leqq

\left.\frac{1}{n!h^{n}}\left\lvert\,\sum_{r=j+1}^{n+j+1}\left[\left|f(x)-f\left(\lambda_{r}\right)\right|\sum_{s=r-n-1}^{i}\binom{n+1}{r-s}\left(x-\lambda_{n+s}\right)^{n}\right]\right.\right\}

d’où il résulte, comme plus haut,

\left|f(x)-\psi_{m}(x)\right|\leqq\frac{M_{n}^{\prime\prime\prime}}{n!}\omega(nh),x\varepsilon\left[\lambda_{j+n},\lambda_{j+n+1}\right],n\leqq j\leqq m-n-1

où

\mathrm{M}_{n}^{\prime\prime\prime}=\sum_{r=j+1}^{n+j+1}\sum_{s=r-n-1}^{j}\binom{n+1}{r-s}(j+1-s)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\sum_{s=0}^{n-r}\binom{n+1}{r+s+1}(s+1)^{n}

est indépendant de $m$ et de $j$ .
Finalement donc

\left|f(x)-\psi_{m}(x)\right|\leqq\frac{M_{n}}{n!}\omega(nh),\quad x\Subset[a,b],

où $\mathrm{M}_{n}=\max\left(\mathrm{M}_{n}^{\prime},\mathrm{M}_{n}^{\prime\prime},\mathrm{M}_{n}^{\prime\prime\prime}\right)$ est un nombre indépendant de $m$ , ce qui démontre la propriété.
11. - Le théorème 6 reste vrai pour $n=0$ . Dans ce cas, on peut écrire

\begin{gathered}f_{m}(x)=\sum_{i=1}^{m}\left[f\left(\lambda_{l}\right)-f\left(\lambda_{i-1}\right)\right]p_{1},\lambda_{i-1}(x)\\ \mathrm{Q}_{m}(x)=f(a)\end{gathered}

Supposons que $a=\lambda_{0}<\lambda_{1}<\ldots<\lambda_{m-1}<\lambda_{m}=b$ sont des points quelconques, non pas équidistants en général et posons

\delta=\max_{i=1,2,\ldots,m}\left(\lambda_{l}-\lambda_{i-1}\right).

Nous avons alors

f_{m}(x)=\left\{\begin{array}[]{l}f\left(\lambda_{j+1}\right)-f(a),x\in\left[\lambda_{j},\lambda_{j+1}\right),j=0,1,\ldots,m-2\\ f(b)-f(a),\quad x\in\left[\lambda_{m-1},b\right],\end{array}\right.

et on voit que

\left|f(x)-\psi_{m}(x)\right|\leqq\omega(\delta),x\varepsilon[a,b].

Il suffit donc de prendre des points $\lambda_{i}$ tels que $\delta\rightarrow 0$ pour déduire le théorème 6 ,

Voyons maintenant ce qui se passe pour les fonctions nondécroissantes quelconques. Pour cela nous allons généraliser, un peu les fonctions élémentaires d’ordre 0.

Considérons les fonctions $\overbrace{1,\lambda}(x;\beta)$ définies par

P_{1,j}^{\prime}(x;\rho)=\left\{\begin{array}[]{l}0,x\Subset[a,\lambda)\\ \rho,x=\lambda\\ 1,x\varepsilon(\lambda,b]\end{array}\right.

où $0\leqq\rho\leqq 1$ , et, en particulier,

f_{1,a}(x;\rho)=\left\{\begin{array}[]{l}\rho,x=a\\ 1,x\varepsilon(a,b],\end{array}\quad\text{ in }_{1,b}(x;\rho)=\left\{\begin{array}[]{l}0,x\in[a,b)\\ \rho,x=b\end{array}\right.\right.

La fonction $\varphi_{1,\lambda}(x;1)$ coïncide donc avec $\varphi_{1,\lambda}(x)$ .
Nous dirons encore que ces fonctions et, plus généralement, toute combinaison linéaire de la forme

	$\displaystyle\psi(x)=$	$\displaystyle c_{0}+\sum_{i=1}^{m}c_{i}\varphi_{1,\lambda_{i}}\left(x;\rho_{i}\right)$		(41)
		$\displaystyle a\leqq\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{m-1}<\lambda_{m}\leqq b$

est une fonction élémentaire d’ordre 0 . Dans $\psi(x)$ on peut, d’ailleurs, toujours supposer que si $\lambda_{1}=a$ on a $\rho_{1}=0$ et si $\lambda_{m}=b$ on a $\rho_{m}=1$ .

Pour qu’une fonction élémentaire (41) soit non-décroissante il faut et il suffit que $c_{i}\geq 0,i=1,2,\ldots,m$ .

Nous pouvons alors démontrer le
Théorème 7. Toute fonction non-décroissante dans l’intervalle $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ est la limite d’une suite uniformément convergente de fonctions élémentaires d’ordre 0 , non-décroissantes dans l’intervalle $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ .

Soit $f(x)$ une fonction non-décroissantes dans $[a,b]$ . On peut toujours écrire
(42)

f(x)=f^{*}(x)+h(x)

où $f^{*}$ est continue et non-décroissante dans $[a,b]$ et $\%(x)$ est la fonction des sauts de $f$ . Si $\dot{\xi}_{i}$ sont les points de discontinuité de la fonction $f$ , on a
$\chi(x)=\Sigma\left[f\left(\xi_{i}+0\right)-f\left(\xi_{i}-0\right)\right]\xi_{1},\xi_{i}\left(x;\rho_{i}\right),\rho_{i}=\frac{f\left(\xi_{i}\right)-f\left(\xi_{i}-0\right)}{f\left(\xi_{i}+0\right)-f\left(\xi_{i}-0\right)}$ , où la sommation s’étend à toutes les discontinuités $\dot{\xi}_{i}$ . On convient de poser $\chi(a-0)=\chi(a),\chi(b+0)=\%(b)$ . Note that

f\left(\xi_{i}+0\right)-f\left(\xi_{i}-0\right)>0

$\chi(x)$ is non-decreasing and is either an elementary function of order 0, or is the sum of an absolutely and uniformly convergent series of elementary functions of order 0. Theorem 7 follows.

For functions $f$ which are continuous on the right, Theorem 7 coincides with Theorem 6. In this case, in fact, $\chi(x)$ is continuous on the right and only introduces elementary functions of the form $\varphi_{1,h}(x)$ .

The decomposition (42) can also be written for a nonconcave function of order $n>0$ . In this case, by slightly modifying formula (42), we can take for $f^{*}(x)$ the function (30) and for $\chi(x)$ the function
$\chi(x)=[f(a)-f(a+0)]\left[1-\varphi_{1,a}(x;0)\right]+[f(b)-f(b-0)]\rho_{1,b}(x)$ .
We can conclude that $f(x)$ is still the limit of a uniformly convergent sequence of elementary functions of order $n$ , non-concave of order $n$ and corrected by the function $\%(x)$ .

When the function $f$ is continuous in $a$ , the function $\chi(x)$ is reduced to

\chi(x)=[f(b)-f(b-0)]Q_{1,b}(x)

(43)

12.
- —
  
  Let's suppose $n>0$ and let's take the polynomial again $\mathrm{Q}_{m}(x)$ , given at No. 10. Noting that

\sum_{s=r-n-1}^{r}(-1)^{s}\binom{n+1}{r-s}\left(x-\lambda_{n+s}\right)^{n}=0,\left(\lambda_{-1}=a-h\right)

we can write

\mathrm{Q}_{m}(x)=\frac{1}{n!h^{n}}\left\{\sum_{r=0}^{n}f\left(\lambda_{r}\right)\left[\sum_{s=0}^{n-r}(-1)^{s}\binom{n+1}{s}\left(x-\lambda_{r+s-1}\right)^{n}\right]\right\}

Taking into account the transformation formula

\sum_{r=0}^{n}c_{r}f\left(\lambda_{r}\right)=\sum_{r=0}^{n}\left[\sum_{s=r}^{n}\binom{s}{r}c_{s}\right]\left[\sum_{s=0}^{r}(-1)^{r-s}\binom{r}{s}f\left(\lambda_{s}\right)\right]

and from formula (38), we find
$\mathrm{Q}_{m}(x)=\frac{1}{n!}\sum_{r=0}^{n}\left\{r!\left[\lambda_{0},\lambda_{1},\ldots,\lambda_{r};f\right]\frac{1}{h^{n-r}}\sum_{s=0}^{n-r}(-1)^{s}\binom{n-r}{s}\left(x-\lambda_{r+s-1}\right)^{n}\right\}$ .

Now suppose that the function $f$ either ( $n+1$ )-times monotonic in $[a,b]$ . By Lemma 4, we have

\lim_{n\rightarrow 0}r!\left[\lambda_{0},\lambda_{1},\ldots,\lambda_{r};f\right]=f^{(r)}(a)\geq 0,r=1,2,\ldots,n

On the other hand

\begin{gathered}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h^{n-r}}\sum_{s=0}^{n-r}(-1)^{s}\binom{n-r}{s}\left(x-\lambda_{r+s-1}\right)^{n}=\\ =\frac{(-1)^{n-r}n!}{r!(n-r)!}\lim_{n\rightarrow 0}\sum_{s=0}^{n-r}(-1)^{s}\binom{n-r}{s}(r+s-1)^{n-r}\left(x-\lambda_{r+s-1}\right)^{r}=\frac{n!}{r!}(x-a)^{r}\end{gathered}

since

(-1)^{n-r}\sum_{s=0}^{n-r}(-1)^{s}\binom{n+r}{s}(r+s-1)^{n-r}=(n-r)!

and, obviously, this limit is reached uniformly in $[a,b]$ . It follows that

\lim_{n\rightarrow 0}Q_{m}(x)=\sum_{r=0}^{n}\frac{f^{(r)}(a)}{r!}(x-a)^{x}

uniformly in $[a,b]$ .
We deduce
Theorem 8. Any continuous, non-negative function ( $\mathrm{n}+1$ ) times monotonic in the interval [ $\mathrm{a},\mathrm{b}$ ] is the limit of a uniformly convergent sequence of elementary functions of order n, of the form (35), where the $\mathrm{c}_{\mathrm{i}}^{-}$ are $\geqq 0$ and the polynomial $P(x)$ , ordered according to the powers of $\mathrm{x}-\mathrm{a}$ has all its coefficients $\geqq 0$ .

Just take the functions

\sum_{m}(x)=\sum_{r=0}^{n}\frac{f^{(r)}(a)}{r!}(x-a)^{r}+f_{m}(x)

If we consider functions ( $n+1$ )-any monotonic times (not necessarily continuous in $b$ ) just correct the functions $\%(x)$ corresponding to the function $f^{*}(x)$ by the function (43).
13. Now suppose that $f(x)$ be completely monotonous in $[a,b]$ . We then have the following theorem

Theorem 9. Any non-negative and completely monotone function in the interval [ $\mathrm{a},\mathrm{b}$ ] is the limit of a uniformly
convergent sequence of non-negative and completely monotone polynomials in the interval $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ .

Any continuous non-negative and completely monotone function is therefore a uniform limit of polynomials which are ordered according to the powers of $x-a$ all have their coefficients non-negative.

This property is easily obtained by considering MS Bernstein polynomials.

\frac{1}{(b-a)^{m}}\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}f\left(a+i\frac{b-a}{m}\right)(x-a)^{i}(b-x)^{m-i}

(44)

which enjoy the required properties ¹¹ ).
If we consider any completely monotonic functions it is sufficient to correct the polynomials (44), corresponding to the function $f^{*}$ by function (43) and $f(x)$ will be the uniform limit of these polynomials thus corrected.

§ 3. - Linear inequalities for convex functions defined in an interval

14.
- —
  
  Consider a linear functional $\mathrm{A}(f)$ defined for functions $f(x)$ , bornées et ayant au plus des discontinuités de premières espèce dans l’intervalle $[a,b]$ . Pour fixer les idées prenons

A(f)=\int_{a}^{b}f(x)dx(x)+2\tau_{i}f\left(x_{i}\right)\quad\left(\tau_{i}\neq 0\right)

(45)

où $\alpha(x)$ est une fonction continue à variation bornée dans $[a,b]$ , les $x_{i}\equiv[a,b]$ sont en nombre fini ou en infinité au plus dénombrable et la série $\Sigma\tau_{i}$ est alors absolument convergente. Ces points $x_{i}$ sont les points critiques de la fonctionnelle linéaire $\mathrm{A}(f)$ .

Remarquons que la fonctionnelle considerée au § 1 est un cas particulier où $\%(x)$ se réduit à une constante et le nombre des points critique est fini.

⁰⁰footnotetext: ¹¹⁾ Voir : Tiberiu Popoviciu „Sur l’approximation des fonctions convexes d’ordre superieur" Mathematica, 10, 49-54 (1934).

On sait, d’ailleurs, que toute fonctionnelle linéaire définie pour les fonctions $f$ continues dans $[a,b]$ est de la forme ¹² ).

\int_{a}^{b}f(x)d\alpha(x)

où $x(x)$ est une fonction à variation bornée dans $[a,b]$ . Lorsqu’il s’agit uniquement des fonctions $f$ continues, on peut toujours prendre $\mathrm{A}(f)$ sous cette forme.

On voit que
(46)

\lim_{m\rightarrow\infty}\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(f_{m}\right)=\mathrm{A}(f)

si la suite des fonctions $f_{m}$ converge uniformément vers la fonction limite $f$ .

Nous nous proposons de trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour que l’inégalité

\mathrm{A}(f)\geq 0

(47)

ait lieu pour toute fonction non-concave d’ordre $n$ dans l’intervalle $[a,b]$ . Les résultats du § 1 permettent de traiter un peu plus rapidement cette question.

Nous allons supposer d’abord $n>0$ .
On voit, comme au § 1, que les conditions

\mathrm{A}\left(x^{i}\right)=0,i=0,1,\ldots,n

(48)

sont nécessaires.

Le lemme 5 nous montre que les conditions
(49)

\mathrm{A}\left(\varphi_{n+1,\lambda}\right)\geqq 0,\quad a\leqq\lambda\leqq b

sont aussi nécessaires
Ces conditions sont aussi suffisantes. En effet, supposons d’abord $f(x)$ continue et non-concave d’ordre $n$ . Construisant la fonction (39) et compte tenant de (48), (49) nous trouvons

\mathrm{A}\left(\psi_{m}\right)=\mathrm{A}\left(f_{m}\right)=(n+1)h\sum_{i=1}^{m-n}\Delta_{n+1}^{i-1}(f)\mathrm{A}\left[\left(\zeta_{n+1,\lambda_{i+n-1}}\right)\right]\geq 0

(50)

¹² ) FrédÉric Riesz „Sur les opérations fonctionnelles linéaires" C. R. Acad. sc. Paris, 149, 974-977 (1909). .

NOTES SUR LES FONCTIONS CONVEXES D’ORDRE SUPÉRIEUR (IX) 107
et, d’après (46), en tenant compte de la démonstration du théorème 6,
(51)

\lim_{m}\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(\psi_{m}\right)=\mathrm{A}(f)\geqq 0.

Si les extrémités $a,b$ de l’intervalle $[a,b]$ ne sont pas des points critiques de $\mathrm{A}(f)$ les résultats précédents sont évidemment valables pour toutes les fonctions non-concaves d’ordre $n$ dans $[a,b]$ .

Démontrons maintenant le
Lemme 8. Si l’extrémité a est un point critique de la fonctionnelle A(f) et si les conditions (48) et (49) sont satisfaites, on a

(-1)^{n+1}\tau^{\prime}>0

(52)

$\tau^{\prime}$ étant le coefficient $\tau_{i}$ correspondant au point critique a.
Si l’extrémité b est un point critique, dans les même conditions, on a

t^{\prime\prime}>0

(53)

$\tau^{\prime\prime}$ étant le coefficient $\tau_{i}$ correspondant au point critique $\mathrm{b}^{13}$ ).
Désignons par $\sum_{x_{i}\geq\text{ i. }},\sum_{x_{i}>{}_{i}},\ldots$ etc., des sommations qui s’étendent à toutes les valeurs de $i$ pour lesquelles $x_{i}\geqq\lambda,x_{i}>\lambda,\ldots$ etc. On a alors

		$\displaystyle 0\simeq A\left(\tau_{in+1,\lambda}\right)=\int_{\lambda}^{b}(x-\lambda)^{n}dx(x)+\sum_{x_{i}\geq\lambda}\tau_{i}\left(x_{i}-\lambda\right)^{n}=$
		$\displaystyle=-\int_{a}^{\lambda}(x-\lambda)^{n}dx(x)-\sum_{x_{i}\leq\lambda}\tau_{i}\left(x_{i}-\lambda\right)^{n}$

Nous en déduisons, pour $a<\lambda<b$ ,
$-\frac{1}{(\lambda-a)^{n}}\int_{a}^{\lambda}(x-\lambda)^{n}dx(x)+(-1)^{n+1}=^{\prime}-\sum_{a<x_{i}\leq i}=_{i}\left(\frac{x_{i}-\lambda}{\lambda-a}\right)^{n}\geqq 0$ et faisant $\lambda\rightarrow a$ on trouve (52).
¹³ ) Cette propriété est valable aussi dans le cas ou A ( $f$ ) se réduit à une fonctionnelle telle que (2). Les points (1) étant ordonnes et l’inégalité étant vérifiée par toute ’onction non-concave d’ordre $n$ définie sur les points (1) ou définie dans l’intervalle $[a,b]$ (en supposant $\tau_{1}\neq 0,\tau_{m}\neq 0$ , ce qui ne restrient pas la généralité), $(-1)^{n+1}\tau_{1}>0,\tau_{m}>0$ .

De même, nous avons,

\frac{1}{(b-\lambda)^{n}}\int_{\lambda}^{b}(x-\lambda)^{n}dx(x)+\tau^{\prime\prime}+\sum_{b>x_{i}\geq\lambda}\tau_{i}\left(\frac{x_{i}-\lambda}{b-\lambda}\right)^{n}\geq 0.

et pour $\lambda\rightarrow b$ on déduit (53).
Soit maintenant une fonction $f(x)$ non-concave d’ordre $n$ . La fonction $f^{*}(x)$ donnée par (30) est continue et aussi non-concave d’ordre $n$ . Sous les hypothèses (48), (49) on a donc

\mathrm{A}\left(f^{*}\right)\geqq 0

et
(54) $\mathrm{A}(f)=\mathrm{A}\left(f^{*}\right)+\tau^{\prime}[f(a)-f(a+0)]+\tau^{\prime\prime}[f(b)-f(b-0)]$ , donc, en vertu du lemme 8,

\mathrm{A}(f)\geqq 0

Finalement donc nous avons le
Théorème 10. Pour que l’inégalité (47) soit véritiée par toute fonction non-concave d’ordre in dans [a, b], il faut et il suffit que les conditions (48) et (49) soient satisfaites.
15. - Cherchons maintenant les conditions sous lesquelles l’inégalité plus précise
(55)

A(f)>0

est vraie pour toute fonction convexe d’ordre $n$ dans l’intervalle $[a,b]$ . Les conditions (48) et (49) sont encore nécessaires, puisque toute fonction non-concave d’ordre $n$ est la limite d’une suite uniformément convergente de fonctions convexes d’ordre $n^{14}$ ).

La relation (54) nous montre qu’il suffit de considérer des fonctions continues et convexes d’ordre $n$ .

Remarquons que la fonction

F(\lambda)=A\left({}_{n}(n+1,i)\right.

est continue et non-négative dans $[a,b]$ .
Démontrons alors le
Lemme 9. Si les conditions (48) et (49) sont satisfaites, et si la fonction $\mathrm{F}(\lambda)$ n’est pas identiquement nulle, toute fonction continue et convexe d’ordre n vérifie l’inégalité (55).

⁰⁰footnotetext: ¹⁴⁾ Par exemple

f(x)

est limite de

f(x)+\frac{x^{n+1}}{m}

pour

m\rightarrow\infty

NOTES SUR LES FONCTIONS CONVEXES D’ORDRE SUPÉRIEUR (IX)

109
En effet, la continuité de $\mathrm{F}(\lambda)$ nous montre qu’on peut trouver un intervalle $[c,d]\subseteq[a,b]$ et un nombre positif C tels que

\mathrm{F}(\lambda)>\mathrm{C},\quad\lambda\varepsilon[c,d].

(56)

On peut toujours choisir les nombres $c,d$ de manière qu’ils divisent rationnellement l’intervalle $[a,b]$ et que l’on ait $a<c<d<b$ . Soit

c=a+\alpha\frac{b-a}{r},d=a+\beta\frac{b-a}{r},

oú $1\leqq x<\beta\leqq r-1,x,\beta,r$ étant des entiers.
Reprenons les points (36) avec $m=r.p$ , où $p$ est assez grand, en espèce $p<\frac{n(n+1)}{\beta-\alpha}$ , et les fonctions (37) correspondantes.

Ces fonctions peuvent s’écrire

f_{nl}(x)=\sum_{i=1}^{m-n}\left[\Delta_{n}^{i}(f)-\Delta_{n}^{i-1}(f)\right]_{in+1,\lambda_{i}+n-1}(x)

Les inégalités (50) et (56) nous donnent
$\mathrm{A}\left(\psi_{m}\right)=\mathrm{A}\left(f_{m}\right)>\mathrm{C}\sum_{i=0,p-n+1}^{np-1}\left[\Delta_{n}^{i}(f)-\Delta_{n}^{i-1}(f)\right]>$

>\mathrm{C}\sum_{i=n,p+1}^{\beta p-n}\left[\Delta_{n}^{i}(f)-\Delta_{n}^{i-1}(f)\right]=\mathrm{C}\left[\Delta_{n}^{\beta p-n}(f)-\Delta_{n}^{\alpha p}(f)\right]

Divisons l’intervalle $\left[\lambda_{\alpha,p},\lambda_{\beta p}\right]=[c,d]$ en $n+1$ parties égales par les points

y_{i}=c+i\frac{d-c}{n+1},i=0,1,\ldots,n+1

Une formule bien connue des différences divisées nous donne $\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{n};f\right]-\Delta_{n}^{\alpha p}(f)=$
$=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\lambda_{\alpha p+i}\right)\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{i},\lambda_{\alpha p+i},\lambda_{\alpha p+i+1},\ldots,\lambda_{\alpha p+n};f\right]>0$ .
$\Delta_{n}^{\beta p-n}(f)-\left[y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1};f\right]=$
$=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\lambda_{\beta p-n+i}-y_{i+1}\right)\left[\lambda_{\beta p-n},\lambda_{\beta p-n+1},\ldots,\lambda_{\beta p-n+i},y_{i+1},y_{i+2},\ldots,y_{n+1};f\right]>0$ ,

Il en résulte que

\begin{gathered}\Delta_{n}^{\beta p-n}(f)-\Delta_{n}^{\alpha p}(f)>\left[y_{1},y_{2},\ldots,y_{n+1};f\right]-\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{n};f\right]=\\ =(d-c)\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{n+1};f\right]>0.\end{gathered}

Nous avons donc

\mathrm{A}\left(\psi_{m}\right)>\mathrm{C}(d-c)\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{n+1};f\right]>0

Faisons maintenant $p\rightarrow\infty$ , alors $m\rightarrow\infty$ , mais les points $y_{i}$ sont indépehdants de $p$ , donc de (51) il résulte que

\mathrm{A}(f)\geqq\mathrm{C}(d-c)\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{n+1};f\right]>0

ce qui démontre le lemme 9.
Nous complétons la propriété précédente par le
Lemme 10. Si les conditions (48), (49) sont satisfaites et si l’inégalité (55) est vérifiée par une fonction continue et convexe d’ordre n , alors cette inégalité sera verifiée par toute fonction continue et convexe d’ordre n.

En effet, si l’inégalité (55) est satisfaite pour une fonction convexe $f$ , la formule (51) nous montre que $\mathrm{F}(\lambda)$ ne peut être identiquement nul. En particulier, $x^{n+1}$ est une fonction convexe d’ordre $n$ et nous déduisons le

Théorème 11. Pour que l’inégalité (55) soit vérifiée par toute fonction convexe d’ordre n dans l’intervalle $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ il faut et il suffit que les conditions (48), (49) soient satisfaites et que, de plus, l’on ait
(57)

\mathrm{A}\left(x^{n+1}\right)>0

On peut aussi chercher dans quels cas l’égalité
(58)

A(f)=0

est valable pour une fonction non-concave d’ordre $n$ dans $[a,b]$ .
L’analyse précédente nous montre que si les conditions (48), (49) sont satisfaites, l’égalité (58) n’est possible, pour une fonction nonconcave d’ordre $n$ que si cette fonction se réduit a un polynome de degré $n$ dans tout intervalle où $F(\lambda)$ est positif.
16. - Nous avons supposé jusqu’ici $n>0$ . Supposons maintenant que $n=0$ . Nous allons démontrer que les théorèmes 9 et 10 restent vrais encore dans ce cas ¹⁵ ).

⁰⁰footnotetext: ¹⁵⁾ Cette propriété est comprise, en partie, dans le théorème 399 de l’excellent livie de MM. G. H. Hardy, J. E. Littlewood et G. Polya „Inequalities", Cambridge Univ., Press. 1934.

Toutes les conditions précédentes sont évidemment nécessaires. Il reste à montrer qu’elles sont aussi suffisantes.

La suffisance des conditions (48), (49) pour l’inégalité (47) résulte, dans le cas où la fonction $f$ est continue, comme plus haut.

Si la fonction non-décroissante $f(x)$ n’est pas continue le théorème 10 se démontre comme plus haut, mais en s’appuyant sur le théorème 7. Pour cela il faut démontrer que si les conditions (48), (49) sont vérifiées, l’inégalité (37) est vraie pour toutes les fonctions $?_{1,2}(x;p)$ données par (40). Dans le cas où $\lambda$ ne coïncide pas avec un point critique de $\mathrm{A}(J)$ ceci est évident, puisqu’alors A ( $\varphi_{1},;(x;\rho)$ ) ne dépend pas de la valeur de la fonction au point $\lambda$ .

Supposons donc que $\lambda$ coïncide avec le point critique $x_{r}$ . Si nous prenons, comme plus haut,

\mathrm{F}(\lambda)=\mathrm{A}\left(?_{1},\lambda\right),

la condition (49) s’écrit, pour $\lambda=x_{r}$ ,

\mathrm{F}\left(x_{r}\right)=\alpha(b)-\alpha\left(x_{r}\right)+\sum_{x_{i}\geqq x_{r}}\tau_{i}\geqq 0.

La fonction $F(\lambda)$ n’est pas continue en général, mais elle n’a que des discontinuités de première espèce au plus (plus exactement elle est à variation bornée). On en déduit que

\mathrm{F}\left(x_{r}+0\right)=\alpha(b)-\alpha\left(x_{r}\right)+\sum_{x_{i}>x_{r}}\tau_{i}\geqq 0.

La propriété résulte maintenant de

	$\displaystyle A\left(g_{1,x_{r}}(x;\rho)\right)$	$\displaystyle=\alpha(b)-\alpha\left(x_{r}\right)+\sum_{x_{i}>x_{r}}\tau_{i}+\tau_{r}\rho=$
		$\displaystyle=\alpha(b)-\alpha\left(x_{r}\right)+\sum_{x_{i}\geqq x_{r}}\tau_{i}+\tau_{r}(\rho-1).$

Examinons maintenant le théorème 11. Supposons donc (48), (49) et $\mathrm{A}(x)>0$ satisfaites. Je dis que, dans ce cas, on peut trouver un sousintervalle $[c,d]$ de $[a,b]$ tel que

\mathrm{F}(\lambda)\gg\gamma=\frac{\mathrm{A}(x)}{2(b-a)},\quad\lambda\varepsilon[c,d]

En effet, dans le cas contraire, l’ensemble des $\lambda$ pour lesquels $\mathrm{F}(\lambda)\leqq\%$ serait partout dense dans $[a,b]$ . Sous cette hypothèse, con-
struisons la fonction $\psi(x)$ du Nr. 11, en prenant les $\lambda_{i}$ dans cet ensemble tel que
(59)

\left|\mathrm{A}(x)-\mathrm{A}\left(\psi_{m}\right)\right|<\frac{\mathrm{A}(x)}{2},\text{ donc }\frac{\mathrm{A}(x)}{2}<\mathrm{A}\left(\psi_{m}\right)

D’autre part

\Lambda\left(\psi_{m}\right)\leq\frac{\mathrm{A}(x)}{2(b-a)}(b-a)=\frac{\mathrm{A}(x)}{2}

qui est en contradiction avec (59). La propriété est donc démontrée. - L’inégalité (55) pour une fonction continue et croissante résulte maintenant comme au Nr. précédent. Pour une fonction croissante quelconque, la décomposition (42) nous montre que la propriété est encore vraie. En effet, $f^{*}(x)$ est alors continue et croissante et on a

\mathrm{A}(f)=\mathrm{A}\left(f^{*}\right)+\mathrm{A}(\ell),\mathrm{A}\left(f^{*}\right)\geqq 0,\mathrm{\penalty 10000\ A}(\ell)\geqq 0.

Maintenant, ou bien il y a des discontinuités de $f$ comprises entre $c$ et $d$ et alors $\mathrm{A}(\%)>0$ , ou bien $f^{*}$ est croissante dans $[c,d]$ et alors $\mathrm{A}\left(f^{*}\right)>0$ , comme il résulte de la démonstration du Nr. précedent.

Les conclusions relatives à l’égalité (58) s’étendent au cas $n=0$ . Si $f(x)$ est non-décroissante, pour que cette égalité ait lieu il faut et il suffit que

\mathrm{A}\left(f^{*}\right)=0,\mathrm{\penalty 10000\ A}(\chi)=0

La première égalité ne peut avoir lieu que si $f^{*}$ se réduit à une constante dans tout intervalle où $F(\lambda)$ reste plus grand qu’un nombre positif fixe. Pour que la seconde égalité ait lieu il faut que

\mathrm{A}\left(\rho_{1,}\xi_{i}\left(x;\rho_{i}\right)\right)=0,\rho_{i}=\frac{f\left(\xi_{i}\right)-f\left(\xi_{i}-0\right)}{f\left(\xi_{i}+0\right)-f\left(\xi_{i}-0\right)}

pour toutes les discontinuités $\xi_{i}$ de $f(x)$ .
Mais,

\left.\mathrm{A}\left(p_{1,}\xi_{i}\right)\left(x;p_{i}\right)\right)=\mathrm{F}\left(\xi_{i}\right)

si $\xi_{i}$ n’est pas un point critique de $\mathrm{A}(f)$ et

\mathrm{A}\left(\xi_{1,\xi_{i}}\left(x;\xi_{i}\right)\right)=\mathrm{F}\left(x_{r}\right)-\tau_{r}\left(1-\rho_{i}\right)=\mathrm{F}\left(x_{r}+0\right)

si $\xi_{i}$ coïncide avec le point critique $x_{r}$ .

NOTES SUR LES FONCTIONS CONVEXES D’ORDRE SUPÉRIEUR (IX) 113

II en résulte que l’égalité (58) n’est possible pour une fonction non-décroissante que si cette fonction se réduit à une constante dans tout intervalle ou $\mathrm{F}(\lambda)$ reste plus grand qu’un nombre positif fixe.
17. Des résultats précédents nous déduisons une importante formule de moyenne qui, au moins sous une forme particulière, est due à M. N. Ciorănescu ¹⁶ ).

Soit $\mathrm{A}(f)$ la fonctionnelle linéaire considérée plus haut et supposons que (48), (49) et (57) soient satisfaites ( $n\geqq 0$ ).

Si une fonction continue $f(x)$ vérifie l’égalité $\mathrm{A}(f)=0$ , elle ne peut être ni convexe ni concave d’ordre $n$ . Or, pour une telle fonction on peut toujours trouver $n+2$ points distincts $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}$ situés dans l’intervalle $[a,b]$ et tels que

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]=0

Soit alors $f(x)$ une fonction continue quelconque dans l’intervalle $[a,b]$ . Nous avons

\mathrm{A}\left(f-\frac{\mathrm{A}(f)}{\mathrm{A}\left(x^{n+1}\right)}x^{n+1}\right)=0

et en appliquant le résultat précédent, on trouve

\mathrm{A}(t)=\mathrm{A}\left(x^{n+1}\right)\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]

donc
Théorème 12. Si A (f) est une fonctionnelle linéaire définie pour les fonctions continues dans l’intervalle [a, b] et si

\begin{gathered}\mathrm{A}(1)=\mathrm{A}(x)=\ldots=\mathrm{A}\left(x^{n}\right)=0,\quad\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(x^{n+1}\right)>0\\ \mathrm{\penalty 10000\ A}\left(\eta_{n+1},\lambda\right)\geq 0,\quad a\leq\lambda\geq b\end{gathered}

pour toute fonction continue $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ dans l’intervalle $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ on peut trouver $\mathrm{n}+2$ points distincts $\mathrm{x}_{1},\mathrm{x}_{2},\ldots,\mathrm{x}_{n+2}$ de cet intervalle tels que l’on ait

\mathrm{A}(f)=\mathrm{A}\left(x^{n+1}\right)\quad\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]

La formule proprement dite de M. N. Cioranescu en résulte pour les fonctions admettant une dérivée d’ordre $n+1$ .
¹⁶⁾ N. Ciorănescu „La généralisation de la première formule de la moyenne" l’Enseignement Mathématique, 37, 292-302 (1938).
18. - Les résultats du Nr. 3 s’étendent immédiatement. Soit B (f) une fonctionnelle linéaire telle que (45). Nous construisons à l’aide de cette fonctionnelle les moments (14), les déterminants (15) et les polynomes orthogonaux et normaux (16). La fonctionnelle B ( $f$ ) est nonnégative resp. positive dans les mêmes conditions qu’au Nr. 3.

Nous déduisons le
Théorème 13. Si $\mathrm{B}(\mathrm{f})$ est une fonctionnelle linéaire non-négative telle que $\delta_{\mathrm{n}+1}>0$ et si $\mathrm{P}_{\mathrm{n}+1}$ est le polynome orthogonal (et normal) de degré $\mathrm{r}+1$ correspondant à cette fonctionnelle, on a
(60)

\mathrm{B}\left(\mathrm{P}_{n+1}\cdot f\right)\geqq 0\text{ resp. }>0,

pour toute fonction non-concave resp. convexe d’ordre n.
Ce théorème résulte d’ailleurs de la formule

V\overline{\delta_{n}\cdot\delta_{n+1}}\mathrm{\penalty 10000\ B}\left(\mathrm{P}_{n+1}\cdot f\right)=

$=\frac{1}{(n+2)!}B_{t_{1}}\mathrm{\penalty 10000\ B}_{t_{2}}\ldots\mathrm{\penalty 10000\ B}_{t_{n+2}}\left(\mathrm{\penalty 10000\ V}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n+2}\right)\mathrm{U}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n+2};f\right)\right)$ .

En particulier, nous pouvons prendre

\mathrm{B}(f)=\int_{a}^{b}p(x)f(x)dx

(61)

où $p(x)$ est une fonction bornée sommable et non-négative, ayant une integrale positive dans $[a,b]$ . C’est alors bien une fonctionnelle linéaire positive.

Par exemple, si $p(x)=1,a=-1,b=1$ , le polynome $\mathrm{P}_{n+1}$ diffère seulement par un facteur constant positif du polynome

\mathrm{X}_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}(n+1)!}\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}\left(x^{2}-1\right)^{n+1}

(62)

de Legendre de degré $n+1$ . En considérant la fonctionnelle

\mathrm{A}(f)=\int_{-1}^{+1}\mathrm{X}_{n+1}(x)f(x)dx

nous pouvons facilement calculer maintenant la fonction $F(\lambda)$ .

On a

F(\lambda)=\int_{\lambda}^{+1}X_{n+1}(x)(x-\lambda)^{n}dx

et un calcul facile nous donne

F(\lambda)=\frac{\left(1-\lambda^{2}\right)^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)}

Nous avons donc le
Théorème 14. Si $\mathrm{X}_{\mathrm{n}+1}(\mathrm{x})$ est le polynome de Legendre de degré $\mathrm{n}+1$ , on a l’inégalité

\int_{-1}^{+1}\mathrm{X}_{n+1}(x)f(x)dx\geq 0

pour toute fonction non-concave d’ordre n dans l’intervalle $[-1,+1]$ . L’égalité n’est possible que si la fonction se réduit à un polynome de degré n dans l’intervalle ouvert ( $-1,+1$ ).

Il est facile d’énoncer une propriété analogue correspondante à la fonctionnelle linéaire positive (61).

§ 4. - Inégalités bilinéaires pour les fonctions convexes définies dans un intervalle

19.
- —
  
  Now consider a bilinear functional $\mathrm{A}(f,g)$ defined in the functions field $f,g$ bounded and admitting at most discontinuities of the first kind in the interval $[a,b]$ . HAS ( $f,g$ ) is therefore a linear functional of $f$ resp. of $g$ of the nature indicated in § 3, for any given function $g$ resp. $f$ . A very special case is the bilinear functional (20) studied in § 1. It is unnecessary to specify here the form of $\mathrm{A}(f,g)$ in the general case.

Let us propose to look for necessary and sufficient conditions for inequality

\mathrm{A}(f,g)\geqq 0

(63)

is verified by any pair of two non-concave functions of order $n$ In $[a,b]$ .

Let us first assume $n>0$ .
First of all we find, as above, the necessary conditions
(64)

\mathrm{A}\left(f,x^{i}\right)=\mathrm{A}\left(x^{i},f\right)=0,\quad i=0,1,\ldots,n

Or $f$ is a non-concave function of order $n$ In $[a,b]$ .

Moreover, if conditions (64) are satisfied by $f$ non-concave order $n$ , they are satisfied identically for any function $f$ continues in $[a,b]$ . This property results from the following lemma.

Lemma 11. If A (f) is a linear functional and if A (f) $=0$ for any continuous and non-concave function of order n in $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ , we have this same equality $\mathrm{A}(\mathrm{f})=0$ for any continuous function in $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ .

Indeed, from $\mathrm{A}(-f)=-\mathrm{A}(f)$ it follows that the equality is also verified by any non-convex function of order $n$ . The property is therefore also true for any function which is the sum of a non-concave function and a non-convex function of order $n$ . Now, any continuous function is the uniform limit of functions which are such sums (polynomials for example). Hence the property.

The nature of the conditions (64) is therefore specified.
Lemma 4 shows us that the conditions

\mathrm{A}\left(\varphi_{n+1,\lambda},\varphi_{n+1,u}\right)\geqq 0,\quad a\leqq\lambda\leqq b,\quad a\leqq\mu\leqq b,

(65)

are also necessary for inequality (63).
Conditions (64), (65) are also sufficient. To see this, it is enough to construct the functions $\psi_{m}$ corresponding to $f$ and to $g$ assumed to be continuous and non-concave of order $n$ In $[a,b]$ . Let $\psi_{m}^{\prime},\psi_{m}^{\prime\prime}$ these functions. We see first that

\mathrm{A}\left(\psi_{m}^{\prime},\psi_{m}^{\prime\prime}\right)\geqq 0

and then

\lim_{m^{\prime}\rightarrow\infty}\mathrm{A}\left(\psi_{m^{\prime\prime}}^{\prime},\psi_{m^{\prime\prime}}^{\prime\prime}\right)=\mathrm{A}\left(f,\psi_{m^{\prime\prime}}^{\prime\prime}\right),\lim_{m^{\prime\prime}\rightarrow\infty}\mathrm{A}\left(f,\psi_{m^{\prime\prime}}^{\prime\prime}\right)=\mathrm{A}(f,g).

To make the inequality more precise

\mathrm{A}(f,g)>0

(66)

is verified by any pair of two convex functions of order n, it is necessary to furthermore that

\mathrm{A}\left(x^{n+1},x^{n+1}\right)>0

(67)

This condition is also sufficient. Indeed, if (64), (65) and (67) are satisfied we have

\mathrm{A}\left(x^{n+1},g\right)>0

for any function $g$ convex of order $n$ , since the linear functional $\mathrm{A}\left(x^{n+1},g\right)$ of $g$ verifies conditions (48), (49) and (57). $g$ being a convex function of order $n$ , the linear functional $\mathrm{A}(f,g)$ of $f$
also verifies conditions (48), (49) and (57). We therefore have inequality (66) if $f$ is also convex of order $n$ .

Finally, if the functions $f,g$ are not continuous, sees that the results persist. Indeed, $f^{*},g^{*}$ being the corresponding functions (30), we first have

\mathrm{A}\left(f^{*},g^{*}\right)\geq 0

from where

\mathrm{A}\left(f,g^{*}\right)\geq 0

The linear functional $\mathrm{A}(f,g)$ of $g$ then shows us the property.

So finally

Theorem 15. For inequality (62) to be verified by any pair of two non-concave functions of order n in [a, b], it is necessary and sufficient that conditions (64), (65) are satisfied.

For the more precise inequality (66) to be verified by any pair of two convex functions of order n in $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ , it is necessary and sufficient that conditions (64), (65) and (67) are satisfied.

If conditions (64), (65) and (67) are satisfied and if $g$ is a convex function of order $n$ given, we find the conditions under which

\mathrm{A}(f,g)=0

for a non-concave function of order $n$ , as above, considering the linear functional $\mathrm{A}(f,g)$ of $f$ .
20. - The results of No. 5 can be generalized immediately. What we have established so far allows us to state the

Theorem 16. If B (f) is a non-negative linear functional such that $\delta_{n+1}>0$ and if we consider the orthogonal (and normal) polynomials (16) relative to this functional, we have

\mathrm{B}(fg)\geq\mathrm{resp}.>\sum_{r=0}^{n}\mathrm{\penalty 10000\ B}\left(\mathrm{P}_{r}f\right)\mathrm{B}\left(\mathrm{P}_{r}g\right),

(68)

for any pair of two non-concave or convex functions of order n in the interval $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ .

This property also results immediately from the inequality

\mathrm{B}_{t_{1}}\mathrm{\penalty 10000\ B}_{t_{2}}\ldots\mathrm{\penalty 10000\ B}_{t_{n+2}}\left(\mathrm{U}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n+2};f\right)\mathrm{U}\left(t_{1},t_{2},.,t_{n+2};g\right)\right)\geqq 0

In particular, we can take the positive functional (61). In this case, if $p(x)$ remains larger than a fixed positive number, we can say that the equality in (68) is only possible, if one of the functions is
convex of order $n$ and the other non-concave of order $n$ , that if the latter is reduced to a polynomial of degree $n$ in the open interval ( $a,b$ ).

Let's take the particular case $p(x)=1,a=-1,b=1.\mathrm{P}_{r}$ are then, up to positive constant factors, the Legendre polynomials (62). We have

\mathrm{P}_{r}=\sqrt{\frac{2r-1}{2}}\mathrm{X}_{r}

and we deduce
Theorem 17. If $\mathrm{X}_{0},\mathrm{X}_{1},\ldots,\mathrm{X}_{n}$ are the Legendre polynomials of degrees $0,1,\ldots,\mathrm{n}$ , we have the unequal

\int_{-1}^{+1}f(x)g(x)dx\geq\text{ resp. }>

(69)

\sum_{r=0}^{n}\frac{2r+1}{2}\left[\int_{-1}^{+1}\mathrm{X}_{r}(x)f(x)dx\right]\left[\int_{-1}^{+1}\mathrm{X}_{r}(x)g(x)dx\right]

for any pair of two non-concave or convex functions of order n in the interval $[-1,11$ .

Moreover, if one of the functions $\mathrm{f},\mathrm{g}$ is convex and the other nonconcave of order in in | - 1, 1], the equality in (69) is only possible if this second function reduces to a polynomial of degree n in the open interval (-1,1).

It is easy to state an analogous property for the more general functional (61).
21. - Theorem 16 generalizes a Tchebycheff inequality. For $n=0$ inequality (69) returns to that of Tchebycheff. In a slightly more general form this inequality can be written
$\int_{a}^{b}p(x)dx\int_{a}^{b}p(x)f(x)g(x)dx\geq\int_{a}^{b}p(x)f(x)dx\int_{a}^{b}p(x)g(x)dx$ , $f,g$ being non-decreasing in $(a,b)$ And $p(x)$ of the nature indicated in (61).

From any bilinear inequality (63) resp. (66) we deduce a linear inequality, by particularizing one of the functions $t,g$ . Thus Theorem 13 can be deduced from Theorem 16 by taking $g=x^{n+1}$ .

Inequality (68) is verified identically if $f\equiv g$ and we thus obtain the

Theorem 18. Any bounded function having at most discontinuities of the first kind in [a, b] verifies inequality ¹⁷ )

\mathrm{B}\left(f^{2}\right)\geq\sum_{r=0}^{n}\left[\mathrm{\penalty 10000\ B}\left(\mathrm{P}_{r}\cdot f\right)\right]^{2}

(70)

Or $\mathrm{B}(f)$ And $\mathrm{P}_{r}$ have the same meaning as in Theorem 16.
This is none other than the Bessel inequality corresponding to the development of the function $f$ following orthogonal and normal polynomials $\mathrm{P}_{r}$ .

In some cases it can be immediately stated that the equality in (70) is only possible if $f$ reduces to a polynomial of degree $n$ . This is the case, for example, if $f$ is assumed to be continuous and $\mathrm{B}(f)$ is of the form (61) with $p(x)>\gamma>0$ , In $[a,b]$ .

§ 5. - Sur quelques limitations d’une fonctionnelle linéaire

22.
- —
  
  Considérons une fonctionnelle linéaire $\mathbf{A}(f)$ . Dans ce $\S$ nous supposerons toujours que cette fonctionnelle vérifie l’égalité

A(1)=0

donc qu’elle ne dépend pas d’une constante additive de $f$ .
Il en résulte que si $Q$ est l’oscillation de la fonction $f$ (là où elle est définie), il existe une constante $M$ , indépendante de la fonction $f$ , telle que l’on ait

|\mathrm{A}(f)|<\mathrm{M}.2

(72)

La fonctionnelle $\mathrm{A}(f)$ étant donnée, le nombre M de (72) a un minimum $\mathrm{M}_{0}$ qui est évidemment donné par l’égalité

\mathrm{M}_{0}=\max|\mathrm{A}(f)|

le maximum étant relatif à toute les fonctions (admises) dont les valeurs restent comprises entre 0 et 1 .

Nous allons chercher à préciser la limitation (72) lorsqu’on impose à la fonction $t$ des conditions supplémentaires. Supposons, par exemple, que $f$ soit $k$ -fois monotone. Le nombre $M$ de (72) a alors un minimum $\mathrm{M}_{k}$ qui est donné par

\mathrm{M}_{k}=\max|\mathrm{A}(j)|

où le maximum est relatifs à toutes les fonctions $k$ -fois monotones dont les valeurs restent comprises entre 0 et 1 .
17) L’inégalité reste vraie dans des cas beaucoup plus généraux. Par exemple, si on prend la fonctionnelle (61), pour toute fonction $f$ mesurable et bornée dans $[a,b]$ .

Si la fonction est définie dans un intervalle, on peut aussi considérer des fonctions complètement monotones. Dans ce cas le minimum $\mathrm{M}^{*}$ de M est donné par

M^{*}=\max|\mathrm{A}(f)|,

le maximum étant relatif à toutes les fonctions complètement monotones dont les valeurs restent comprises entre 0 et 1 .

La suite

\mathrm{M}_{0},\mathrm{M}_{1}

(73)

est non-croissante. Si $f(x)$ est définie sur $m$ points cette suite a $m$ termes. Si $f(x)$ est définie dans un intervalle la suite est infinie et on a évidemment

\lim_{k\rightarrow M^{*}}

(74)

23.
- —
  
  Supposons d’abord que la fonction $f(x)$ soit définie sur les $m$ points ordonnés (1) et considérons la fonctionnelle (2) satisfaisant, bien entendu, à (71).

On voit immédiatement que

M_{0}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\left|\tau_{i}\right|

et ce maximum est atteint par toute fonction qui prend la valeur 0 en tous les points $x_{i}$ auxquels correspondent des coefficients $\bar{i}_{i}$ de même signe et la valeur 1 en tous les points $x_{i}$ auxquels correspondent des coefficients $\tau_{i}$ qui ont le signe contraire.

Voyons maintenant comment on détermine les nombres $\mathrm{M}_{k},k>0$ . On voit immédiatement que pour trouver $M_{k}$ il suffit de considérer seulement les fonctions non-négatives $k$ -fois monotones et telles que

f\left(x_{1}\right)=0,\quad f\left(x_{m}\right)=1

Si $k=1$ , une telle fonction est de la forme

f(x)=\sum^{m-1}c_{i}f_{1,i}^{*}(x),

(75)

où $c_{i}\geq 0,c_{1}+c_{2}+\ldots+c_{m-1}=1$ .

Le nombre $M_{1}$ est donc égal au maximum de $\sum_{i=1}^{m-1}c_{i}\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(f_{1,t}^{*}\right)\mid$ lorsque les nombres non-négatifs $c_{i}$ ont leur somme égale à 1. Mais, nous avons

a_{1,i}=\mathrm{A}\left(f_{1,i}^{*}\right)=\sum_{j=i+1}^{n}\tau_{j},i=1,2,\ldots,m-1

et il en résulte que

\mathrm{M}_{1}=\max\left(\left|a_{1,1}\right|,\left|a_{1,2}\right|,\ldots,\left|a_{1,m-1}\right|\right)

Ce maximum est atteint par toute fonction (75) dans laquelle tous les $c_{i}$ sont nuls, sauf ceux pour lesquels $\left|a_{1,i}\right|=\mathrm{M}_{1}$ .

Si $k>1$ , la fonction $f(x)$ est de la forme
(76) $f(x)=\sum_{i=1}^{k-1}r_{i}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i}\right)+\sum_{i=1}^{m-k}c_{i}f_{k,i}^{*}$
$(x)$
où les $\gamma_{i},c_{i}$ sont non-négatifs et vérifient l’égalité

	$\displaystyle\sum_{i=1}^{k-1}y_{i}\left(x_{m}-x_{1}\right)\left(x_{m}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i}\right)+$		(77)
	$\displaystyle\quad+\sum_{i=1}^{m-k}c_{i}\left(x_{m}-x_{i+1}\right)\left(x_{m}-x_{i+2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i+k-1}\right)=1$

Le nombre $M_{k}$ est alors égal au maximum de

\left|\sum_{i=1}^{k-1}\gamma_{i}\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i}\right)\right)+\sum_{i=1}^{m-k}c_{i}\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(f_{k,i}^{*}\right)\right|

lorsque les $\gamma_{i},c_{i}$ restent non-négatifs et vérifient l’égalité (77).
Posons
$a_{i}=\frac{\mathrm{A}\left(\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i}\right)\right)}{\left(x_{m}-x_{1}\right)\left(x_{m}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i}\right)}=\frac{\sum_{j=i+1}^{m}\tau_{j}\left(x_{j}-x_{1}\right)\left(x_{j}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{j}-x_{i}\right)}{\left(x_{m}-x_{1}\right)\left(x_{m}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i}\right)}$

i=1,2,.,m-2

$a_{k,i}=\frac{\mathrm{A}\left(f_{k,l}^{*}\right)}{\left(x_{m}-x_{i+1}\right)\left(x_{m}-x_{i+2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i+k-1}\right)}=$

	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\sum_{j=i+k}^{m}\tau_{j}\left(x_{j}-x_{i+1}\right)\left(x_{j}-x_{i+2}\right)\ldots\left(x_{j}-x_{i+k-1}\right)}{\left(x_{m}-x_{i+1}\right)\left(x_{m}-x_{i+2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i+k-1}\right)}$
	$\displaystyle i=$	$\displaystyle 2,\ldots,m-k,k=3,\ldots,m-1.$

Nous avons alors
(78) $\quad\mathrm{M}_{k}=\max\left(\left|a_{1}\right|,\left|a_{2}\right|,\ldots,\left|a_{k-1}\right|,\left|a_{k,1}\right|,\left|a_{k,2}\right|,\ldots,\left|a_{k,m-k}\right|\right)^{\prime}$
et ce maximum est atteint par toute fonction de la forme (76) où tous les $\gamma_{i},c_{i}$ sont nuls sauf ceux pour lesquels $\left|a_{i}\right|=\mathrm{M}_{k}$ resp. $\left|a_{k,i}\right|=\mathrm{M}_{k}$ et les ${}_{\gamma_{i}},c_{i}$ non nuls satisfaisant bien entendu, à (77).
24. L’égalité $M_{0}=M_{1}$ a certainement lieu si la suite des coefficients de $\mathrm{A}(f)$ ,

\tau_{1},\tau_{2},\ldots,\tau_{m},

(79)

has a single sign variation ¹⁸ ). In this case, in fact, $\mathrm{M}_{0}$ is reached by a function that is 1-times monotonic (non-decreasing). More precisely we have the

Theorem 19. So that we have $\mathrm{M}_{0}=\mathrm{M}_{1}$ it is necessary and sufficient that the sequence (79) presents a single variation of sign.

We have already noticed that the condition is sufficient. Let us show that it is also necessary. Let

\mathrm{M}_{1}=\left|a_{1,r}\right|=\left|\tau_{r+1}+\tau_{r+2}+\ldots+\tau_{m}\right|=\left|\tau_{1}+\tau_{2}+\ldots+\tau_{r}\right|.

Of $M_{0}=M_{1}$ we deduce
$\sum_{i=1}^{r}\left|\tau_{i}\right|+\sum_{i=r+1}^{m}\left|\tau_{i}\right|=\left|\tau_{1}+\tau_{2}+\ldots+\tau_{r}\right|+\left|\tau_{r+1}+\tau_{r+2}+\ldots+\tau_{m}\right|$
which requires that $\tau_{1},\tau_{2},\ldots,\tau_{r}$ on the one hand and $\tau_{r+1},\tau_{r+2},\ldots,\tau_{m}$ on the other hand are of the same sign. The theorem is therefore demonstrated.

Let us now examine the possibility of equality $\mathrm{M}_{k}=\mathrm{M}_{k+1},k>0$ .

⁰⁰footnotetext: 18. Cette suite présente au moins une variation de signe, en vertu de (71). Nous supposons, bien entendu, que les

\tau_{i}

ne sont pas tous nuls. Le cas contraire ne présente aucun intérêt puisqu’alors

\mathrm{A}(f)

est nul identiquement.

Let's first consider the numbers

\begin{gathered}\mathrm{M}_{k}^{\prime}=\max\left(\left|a_{k,1}\right|,\left|a_{k,2}\right|,\ldots,\left|\dot{a}_{k,m-k}\right|\right)\\ k=1,2,\ldots,m-1\end{gathered}

We have

\begin{gathered}a_{k+1,i}=\frac{\sum_{j=i+1}^{m-k}\left(x_{j+k}-x_{j}\right)\left(x_{m}-x_{j+1}\right)\left(x_{m}-x_{j+2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{j+k-1}\right)a_{k,j}}{\left(x_{m}-x_{i+1}\right)\left(x_{m}-x_{i+2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i+k}\right)}\\ i=1,2,\ldots,m-k-1,\quad k=1,2,\ldots,m-2\end{gathered}

And

\begin{gathered}\sum_{j=i+1}^{m-k}\left(x_{j+k}-x_{j}\right)\left(x_{m}-x_{j+1}\right)\left(x_{m}-x_{j+2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{j+k-1}\right)=\\ =\left(x_{m}-x_{i+1}\right)\left(x_{m}-x_{i+2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i+k}\right)\end{gathered}

so
Lemma 12. The number $\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1,\mathrm{i}}$ is a (generalized) arithmetic mean of the numbers $\mathrm{a}_{\mathrm{k},\mathrm{i}+1},\mathrm{a}_{\mathrm{k},\mathrm{i}+2},\ldots,\mathrm{a}_{\mathrm{k},\mathrm{m}-\mathrm{k}}$

It follows that

\left|a_{k+1,i}\right|\leqq\max\left(\left|a_{k,i+1}\right|,\left|a_{k,i+2}\right|,\ldots,\left|a_{k,m-k}\right|\right)

equality being possible and actually taking place only if

a_{k,i+1}=a_{k,i+2}=\ldots=a_{k,m-k}

Let us also note that we have

a_{k,m-k}=\tau_{m}

regardless of $k$ . We can then state
Lemma 13. If $\mathrm{M}_{k}^{\prime}=\mathrm{M}_{k+1}^{\prime}$ we also have $\mathrm{M}_{k}^{\prime}=\mathrm{M}_{k+1}^{\prime}=\ldots=\mathrm{M}_{m-1}^{\prime}$ .
First of all from Lemma 12 it follows that
(80)

M_{1}^{\prime}\geqq M_{2}^{\prime}\geqq\ldots\geqq M_{m-1}^{\prime}

I say that equality $M_{k}^{\prime}=M_{k+1}^{\prime}$ lively $M^{\prime}=\left|\tau_{m}\right|$ . Indeed, let's assume the opposite. Then there is a clue $r$ such as $M_{1}^{\prime}=\left|a_{k,r}\right|>\left|\tau_{m}\right|$ . Lemma 12 then shows us that

\left|\left|a_{k+1,i}\right|<\left|a_{k,r}\right|,\quad i=1,2,\ldots,m-k-1,\right.

SO $\mathrm{M}_{k}^{\prime}>\mathrm{M}_{k+1}^{\prime}$ , which is impossible. So we have $\mathbf{M}_{k}^{\prime}=\left|\tau_{m}\right|=\mathbf{M}_{m-1}^{\prime}$ , which proves Lemma 13.

We can now prove
Theorem 20. In the case of functional (2), verifying condition (71), the sequence $\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{\mathrm{m}-1}$ is either decreasing or there is an index $\mathrm{k},1\leqq\mathrm{k}\leqq\mathrm{m}-2$ such that we have

M_{1}>M_{2}>\ldots>M_{k-1}>M_{k}=M_{k+1}=\ldots=M_{m-1}.

Let's ask

M_{k}^{\prime\prime}=\max\left(\left|a_{1}\right|,\left|a_{2}\right|,\ldots,\left|a_{k-1}\right|\right),\quad k=2,3,\ldots,m-1.

We then have

M_{1}=M_{1}^{\prime},M_{k}=\max\left(M_{k}^{\prime},M_{k}^{\prime\prime}\right),k=2,3,\ldots,m-1

Now suppose that $M_{k}=M_{k+1}$ . It is enough to demonstrate that we then also have $M_{k+1}=M_{k+2}$ . If $M_{k+1}=M_{k+1}^{\prime\prime}$ the property is demonstrated since the maximum $\mathrm{M}_{k+1}$ is then reached by a polynomial which is also ( $k+2$ )-times monotonic. If $\mathrm{M}_{k+1}=\mathrm{M}_{k+1}^{\prime}$ , of $\mathrm{M}_{k}^{\prime\prime}\leqq\mathrm{M}_{k+1}^{\prime\prime}$ and of

\max\left(M_{k}^{\prime},M_{k}^{\prime\prime}\right)=\max\left(M_{k+1}^{\prime},M_{k+1}^{\prime\prime}\right).

it follows that $M_{k}^{\prime}=M_{k+1}^{\prime}$ , so also, according to Lemma 13, $\mathrm{M}_{k}^{\prime}=\mathrm{M}_{k+1}^{\prime}=\mathrm{M}_{k+2}^{\prime}$ .

Legality $\mathrm{M}_{k}=\mathrm{M}_{k+1}$ then results from

\mathrm{M}_{k+1}=\mathrm{M}_{k+1}^{\prime}\geqq\mathrm{M}_{k+2}=\max\left(\mathrm{M}_{k+2}^{\prime},\mathrm{M}_{k+2}^{\prime\prime}\right)\geqq\mathrm{M}_{k+2}^{\prime}

The maximum $M_{1}$ is always reached by a function of the form $f_{1,i}^{*}$ and the maximum $\mathrm{M}_{k},k>1$ , by a function of the form

\frac{f_{k,i}^{*}(x)}{\left(x_{m}-x_{i+1}\right)\left(x_{m}-x_{i+2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i+k-1}\right)}

or by a polynomial of the form

\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i}\right)}{\left(x_{m}-x_{1}\right)\left(x_{m}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i}\right)},i\leqq k-1

If $\mathrm{M}_{k}$ is reached by such a polynomial we necessarily have $\mathrm{M}_{k}=\mathrm{M}_{k+1}==\ldots=\mathrm{M}_{m-1}$ .
25. - Let's give an example. Let's take the points

x_{i}=i,\quad i=1,2,\ldots,m

and either

\mathrm{A}(t)=\frac{2}{m}\sum_{j=2}^{m}\sum_{i=1}^{j-1}(j-i)[f(j)-f(i)]=\sum_{i=1}^{m}(2i-m-1)f(l)

which is a functional of the form (18).
Here we are precisely in the case where, according to Theorem 19, we have
$\mathrm{M}_{0}=\mathrm{M}_{1}=\frac{m^{2}}{4}\mathrm{ou}=\frac{m^{2}-1}{4}$ (depending on whether $m$ is even or odd).

In this case we can easily calculate the numbers $a_{i},a_{k,i}$ . We find

a_{i}=\frac{im(m+1)}{(i+1)(i+2)},\quad a_{k,i}=\frac{(m-i)[(k-1)(m+1)+2i]}{k(k+1)}

and we deduce from this

		$\displaystyle\mathrm{M}_{2}^{\prime}=$
		$\displaystyle\mathrm{M}_{k}^{\prime}=\frac{(m-1)[(k-1)(m+1)+2]}{k(k+1)},\quad k=4,\ldots,m-1,$
		$\displaystyle\mathrm{M}_{k}^{\prime\prime}=\frac{m(m+1)}{6}\quad k=3,\ldots,m-1,$

So we have

M_{0}=M_{1}>M_{2}>M_{3}=M_{4}=\ldots=M_{m-1}=\frac{m(m+1)}{6}

This example also shows us that equality $\mathrm{M}_{0}=\mathrm{M}_{1}$ is quite possible without all the $\mathrm{M}_{k}$ are equal.
26. - Let us now consider functions $f(x)$ defined in an interval $[a,b]$ and take the linear functional (45), still satisfying (71).

The number can be easily calculated $\mathbf{M}_{\mathbf{0}}$ . Without insisting on the demonstration here, let us just say that we have

M=\frac{1}{2}\left(V+\Sigma\left|\tau_{i}\right|\right)

where V is the total variation of the function $\alpha(x)$ . But, in general, it is not certain that this maximum is reached by a function having only discontinuities of the first kind. For example, if A (f) is of the form

\mathrm{A}(f)=\int_{a}^{b}p(x)f(x)dx+2\tau_{l}f\left(x_{i}\right)

Or $p(x)$ is summable and bounded in $[a,b]$ the integral being taken in the Lebesgue sense, the maximum $M_{0}$ is reached by the function which is equal to 1 at every point where $p(x)$ is positive (negative) and in every way $x$ to which corresponds a coefficient $\tau_{i}$ positive (negative) and is equal to 0 at other points of $[a,b]$ . This function is measurable and bounded, therefore $p(x)f(x)$ is summable.

Sometimes we can immediately conclude that $M_{0}=M_{1}$ . This is the case, for example, if

A(f)=\int_{a}^{b}p(x)f(x)dx

Or $p(x)$ changes sign only once in $[a,b]$ . In this case, in fact, $\mathrm{M}_{0}$ is reached by a non-decreasing function.

Now let's see how we can determine the numbers $\mathrm{M}_{k},k>0$ ,

If $k=1$ , a non-decreasing function is either an elementary function of order 0, or the uniform limit of such functions. It is easy to see that, to calculate $\mathrm{M}_{k}$ , it is sufficient to consider only elementary functions of order 0, non-decreasing and such that $f(a)=0,f(b)=1$ . Such a function is of the form

f(x)=\sum_{i=1}^{m}c_{i}\wp_{1,\lambda_{i}}\left(x;i_{i}\right),\quad a\leqq\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{m}\leqq b

(81)

Or $c_{i}\geq 0,c_{1}+c_{2}+\ldots+c_{m}=1.\left(\rho_{1}=0\mathrm{si}\lambda_{1}=a\right.$ And $\left.\rho_{m}=1\mathrm{si}\lambda_{m}=b\right)$ .

We deduce from this, as above,

\mathrm{M}_{1}=\max_{\begin{subarray}{c}\lambda,\varepsilon[a,b]\\ 0\leqq\varrho\leqq 1\end{subarray}}\left|\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(\stackrel{{\scriptstyle c}}_{1,h}(x;\rho)\right)\right|

Let's resume the function $\mathrm{F}(\lambda)=\mathrm{A}\left(\varphi_{1,\lambda}\right)$ from No. 16. So $\mathrm{A}\left(\varphi_{1,\lambda}(x;\rho)\right)$ is always between $F(\lambda)$ And $F(\lambda+0)$ . So we have

\mathrm{M}_{1}=\max_{\lambda,\varepsilon[a,b]}\left|\mathrm{A}\left(\varphi_{1,\lambda}\right)\right|

(82)

Consider the case $k>1$ . Any function $k$ -times monotone is, or an elementary function of order $k-1$ And $k$ -times monotone, or the uniform limit of such functions, possibly corrected by the function (43). We also see that, to calculate $\mathrm{M}_{k}$ , it is sufficient to consider only elementary functions of order $k+1,k$ -times monotonic, corrected by the function (43) and such that $f(a)=0,f(b)=1$ . Such a function is of the form

\sum_{l=1}^{k-1}\gamma_{i}(x-a)^{l}+\sum_{i=1}^{m}c_{i}\varphi_{k,\lambda_{i}}(x)+c^{*}\varphi_{1,b}(x)

(83)

Or $a<\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots<\lambda_{m}<b,\quad\gamma_{i}\geqq 0,c_{i}\geq 0,c^{*}\geq 0$ And

\sum_{i=1}^{k-1}\gamma_{i}(b-a)^{i}+\sum_{i=1}^{m}c_{i}\left(b-\lambda_{i}\right)^{k-1}+c^{*}=1

(84)

Let's ask again
$a_{i}=\frac{\mathrm{A}\left((x-a)^{i}\right)}{(b-a)^{i}},i=1,2,\ldots,a_{k,\lambda}=\frac{A\left(\varphi_{k,}\right)}{(b-\lambda)^{k-1}},k=1,2,\ldots$
(85)

\mathbf{M}_{k}^{\prime}=\max_{\lambda,\varepsilon(a,b)}\left|a_{k,\lambda}\right|,\mathbf{M}_{k}^{\prime\prime}=\max\left(\left|a_{1}\right|,\left|a_{2}\right|,\ldots,\left|a_{k-1}\right|\right)

We then have
(86)

\mathrm{M}_{k}=\max\left(\mathrm{M}_{k}^{\prime},\mathrm{M}_{k}^{\prime\prime},\mathrm{A}\left(\varphi_{1,b}\right)\right)

If the end $b$ of the interval $[a,b]$ is not a critical point of $\mathrm{A}(f)$ , we have $\mathrm{A}\left(\varphi_{1,b}\right)=0$ . In this case therefore
(87)

M_{k}=\max\left(M_{k}^{\prime},M_{k}^{\prime\prime}\right)

27.
- —
  
  The function $a_{1,}$ , of $\lambda$ is none other than $\mathrm{A}\left({}_{1,\lambda}\right)$ . We know that this function is bounded and has only discontinuities of the first kind at most. We have, moreover,

a_{1,\lambda}=\int_{\lambda}^{b}d\alpha(x)+\sum_{x_{i}\geqq\lambda}\tau_{i}

and it follows that

\left.\lim_{\lambda\rightarrow b}a_{1,\lambda}=\tau^{\prime\prime 19}\right)

where we designate by $\tau^{\prime\prime}$ a number equal to zero if $b$ is not a critical point of $\mathrm{A}(f)$ and equal to the coefficient $\tau_{i}$ corresponding to the critical point $b$ , otherwise.

Now let's take the function $a_{k,\lambda}$ of $\lambda$ For $k>1$ . We have

a_{k,\lambda}=\frac{1}{(b-\lambda)^{k-1}}\int_{\lambda}^{b}(x-\lambda)^{k-1}dx(x)+\sum_{x_{i}\geqq\lambda}\tau_{i}\left(\frac{x_{i}-\lambda}{b-\lambda}\right)^{k-1}

(88)

It is a continuous function of $\lambda$ in the meantime $[a,b)$ .
The integral part of (88) tends to zero for $\lambda\rightarrow b$ . It is enough, in fact, to write
$\int_{\lambda}^{b}(x-\lambda)^{k-1}dx(x)=(b-\lambda)^{k-1}\alpha(b)-(k-1)\int_{\lambda}^{b}(x-\lambda)^{k-2}\alpha(x)dx$ and apply the first formula of the average to the last integral. Taking into account the absolute convergence of the series $\sum\tau_{i}$ we also deduce that

\sum_{x_{i}\geqq\lambda}\tau_{i}\left(\frac{x_{i}-\lambda}{b-\lambda}\right)^{k-1}

(89)

tends to zero if $\lambda\rightarrow b$ .
It therefore follows that

\lim_{\lambda\rightarrow b}a_{k,\lambda}=\tau^{\prime\prime}

(90)

$\tau^{\prime\prime}$ having the meaning of the highest. This formula is therefore true for $k=1,2$ , .

⁰⁰footnotetext: 19. Les fonctions n’étant définies que dans l’intervalle

[a,b],\lambda\rightarrow b

signife
-0 .

Let us also demonstrate the

Lemma 14. If $\mathrm{k}\rightarrow\infty$ , the function $\mathrm{a}_{\mathrm{k},\lambda}$ of $\lambda$ tends uniformly towards the constant $\tau^{\prime\prime}$ in the meantime $[\mathrm{a},\mathrm{b})$

To prove this lemma, let us first show that the integral part of (88) tends uniformly to zero for $k\rightarrow\infty$ .

Let us always denote by V the total variation of the function $\alpha(x)$ In $[a,b]$ and by $\mathrm{V}_{k}$ its total variation in the interval $\left[b-\frac{1}{\sqrt{k}},b\right]\left(k>\frac{1}{(b-a)^{2}}\right)$ . The function $\alpha(x)$ being continuous and with bounded variation in $[a,b]$ we have

\lim_{k\rightarrow\infty}V_{k}=0.

We can write

\left.\int_{b-\frac{1}{\sqrt{k}}}^{b}(x-\lambda)^{k-1}d\alpha(x)\right\rvert\,\leqq(b-\lambda)^{k-\mathrm{I}}\mathrm{\penalty 10000\ V}_{k}

and, if $\lambda<b-\frac{1}{\sqrt{k}}$ ,

\left|\int_{\lambda}^{b-\frac{1}{\sqrt{k}}}(x-\lambda)^{k-1}d\alpha(x)\right|\leqq\left(b-\frac{1}{\sqrt{k}}-\lambda\right)^{k-1}\mathrm{\penalty 10000\ V}

according to the formula for the mean of a Stieltjes integral.
We deduce

\left|\frac{1}{(b-\lambda)^{k-1}}\int_{\lambda}^{b}(x-\lambda)^{k-1}d\alpha(x)\right|\leqq\mathrm{V}_{k}+\left(1-\frac{1}{\sqrt{k}(b-\lambda)}\right)^{k-1}\mathrm{\penalty 10000\ V}

But,

\left(1-\frac{1}{\sqrt{k}(b-\lambda)}\right)^{k-1}=\left[\left(1-\frac{1}{\sqrt{k}(b-\lambda)}\right)^{1/\bar{k}(b-i)\cdot}\right]^{\frac{k-1}{\sqrt{k}(b-\lambda)}}<\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{k-1}{\sqrt{k}(b-a)}}

and we see that the second member is independent of $\lambda$ and tends towards zero for $k\rightarrow\infty$ .

On the other hand the absolute convergence of the series $\Sigma\tau_{i}$ immediately shows us that (89) tends uniformly to zero for $k\rightarrow\infty$ .

Lemma 14 is therefore proven.

Let's also consider numbers $a_{i}$ . We have $a_{i}=a_{i+1,a}$ . Lemma 14 therefore applies and we have
(91)

\lim_{i\rightarrow\infty}a_{i}=\tau^{\prime\prime}

28.
- —
  
  Now we can study numbers $\mathrm{M}_{k}$ Note that

\mathrm{A}\left(\rho_{k+1,\lambda}\right)=k\int_{\lambda}^{b}\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(\rho_{k,t}\right)dt

which can also be written

a_{k+1,\lambda}=\frac{\int_{\lambda}^{b}(b-t)^{k-1}a_{k,t}dt}{\int_{\lambda}^{b}(b-t)^{k-1}dt},k=1,2,\ldots

(92)

so
Lemma 15. - The function $\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}$ , $\lambda$ of $\lambda$ is an arithmetic mean of the function $\mathrm{a}_{k,\lambda}$ , of $\lambda$ in the meantime $(\lambda,b)$ .

This is the analogue of Lemma 12.
It follows that the sequence

M_{1}^{\prime},M_{2}^{\prime},\ldots,M_{k}^{\prime},\ldots

(93)

is non-increasing. By Lemma 14, we have

\lim_{k\rightarrow\infty}M_{k}^{\prime}=\left|\tau^{\prime\prime}\right|

(94)

so we also have $M_{k}^{\prime}\geq\left|\tau^{\prime\prime}\right|$
We have $\mathrm{A}\left(\tau_{1,b}\right)=\tau^{\prime\prime}$ . We can therefore always substitute formula (87) for formula (86).

We obviously assume that $\mathrm{A}(f)$ is not identically ⁷ zero. It is easy to see then, by applying a reasoning analogous to that which we used for the demonstration of lemma 11, that all the numbers (93) are non-zero, therefore positive.

If we assume $M_{k}^{\prime}>\left|\tau^{\prime\prime}\right|$ , according to Lemma 15, we must also have $\mathrm{M}_{k}^{\prime}>\mathrm{M}_{k+1}^{\prime}$ . It follows that if $\mathrm{M}_{k}^{\prime}=\mathrm{M}_{k+1}^{\prime}$ we necessarily have $M_{k}^{\prime}=\left|\tau^{\prime\prime}\right|$ , SO $M_{k}^{\prime}=M_{k+1}^{\prime}=M_{k+2}^{\prime}=\ldots=\left|\tau^{\prime\prime}\right|$

If $b$ is not a critical point of $\mathrm{A}(f)$ this latter case does not arise since then $\tau^{\prime\prime}=0$ .

We thus obtain the analogue of Lemma 13,
Lemma 16. - The sequence (93) is either decreasing or there exists an index k such that

M_{1}^{\prime}>M_{2}^{\prime}>\ldots>M_{k-1}^{\prime}>M_{k}^{\prime}=M_{k+1}^{\prime}=M_{k+2}^{\prime}=\ldots\ldots

If the end b of the interval $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ is not a critical point of $A(\mathrm{f})$ , we are still in the first case.

Let us also examine the following

M_{2}^{\prime\prime},M_{3}^{\prime\prime},\ldots,M_{k}^{\prime\prime},\ldots

This sequence is obviously bounded and non-decreasing. By Lemma 14, we have

\lim_{k\rightarrow\infty}M^{\prime\prime}\geq\left|\tau^{\prime\prime}\right|

(95)

Besides, $\mathrm{A}(f)$ being assumed not identically zero, the $\mathrm{M}_{k}^{\prime\prime}$ are not all zero.

Now consider the non-increasing sequence

\mathrm{M}_{1},\mathrm{M}_{2},\ldots,\mathrm{M}_{k},\ldots

(96)

A demonstration identical to that used for the theorem $\mathbf{20}$ , shows us that if $\mathrm{M}_{k}=\mathrm{M}_{k+1}$ we also have $\mathrm{M}_{k}=\mathrm{M}_{k+1}=\mathrm{M}_{k+2}=\ldots$ If the point $b$ is not a critical point, formula (94) shows us that there necessarily exists an index $k$ such as $M_{k}=M_{k+1}$ .

To find the number M* it is sufficient to consider only polynomials in $x-a$ with non-negative coefficients, possibly corrected by function (43) and taking the value 0 in $a$ and the value 1 in $b,11$ as a result

M^{*}=\lim_{k\rightarrow\infty}M_{k}^{\prime\prime}

(97)

and, taking into account (94) and (95),

\mathrm{M}^{*}=\lim_{k\rightarrow\infty}\mathrm{M}_{k}

which finally specifies formula (74).

Finally, therefore, we can state the following analogue of Theorem 20,

Theorem 21. In the case of a functional $A$ (f) of the form (45), verifying the condition (71), the sequence (96) is either increasing, or there exists an index k such that we have

\mathrm{M}_{1}>\mathrm{M}_{2}>\ldots>\mathrm{M}_{k-1}>\mathrm{M}_{k}=\mathrm{M}_{k+1}=\mathrm{M}_{k+2}=\ldots\ldots

If the end b of the interval $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ is not a critical point of $A$ (f) we are still in the latter case.

The number M* is always equal to the limit of the sequence (96).
From the previous analysis it results that the maximum $M_{1}$ is reached by a function of the form $f_{1,\lambda}$ . The maximum $\mathrm{M}_{k}$ is always reached by a function of the form $\mathrm{C}_{\varphi_{k},\lambda}$ , or by a polynomial $\mathrm{C}(x-a)^{i}$ with $i\leqq k-1$ . If $\mathrm{M}_{k}$ is reached by $\mathrm{C}.(x-a)^{i}$ we are sure that $\mathrm{M}_{k}=\mathrm{M}_{k+1}=\ldots=\mathrm{M}^{*}.\mathrm{C}$ is here everywhere a suitable constant.
29. - Let us examine some examples,

Let us first consider

\mathrm{A}(f)=\int_{0}^{1}f(x)dx-f(0)

In this case $M_{0}=M_{1}=1$ . THE $a_{i},a_{k,\lambda}$ are easily calculated.
We have

a_{i}=\frac{1}{i+1},\quad a_{k,\lambda}=\frac{1-\lambda}{k}

and it results that

M_{2}=\frac{1}{2},\quad M_{0}=M_{1}>M_{2}=M_{3}=\ldots,\quad M^{*}=\frac{1}{2}

Let us also consider the functional

A(f)=\int_{0}^{1}f(x)dx-f(1)

The right end of the interval is, in this case, a critical point. We still have $M_{0}=M_{1}=1$ . We find

\mathrm{M}_{0}=\mathrm{M}_{1}=\mathrm{M}_{2}=\ldots\ldots,\quad\mathrm{M}^{*}=1

It is enough, moreover, to note that, in this case, $M_{1}$ is reached by the function? $1,b(x)$ which is also completely monotonous.

Let us also consider the functional

A(f)=\int_{-1}^{+1}xf(x)dx

It is a functional of the form (60). $x$ is precisely the Legendre polynomial of degree 1. In this case we still have $M_{0}=M_{1}=\frac{1}{2}$ And

a_{i}=\frac{2i}{(i+1)(i+2)},\quad a_{k,\lambda}=\frac{(1-\lambda)(\lambda+k)}{k(k+1)}

		$\displaystyle\mathrm{M}_{2}^{\prime}=\frac{3}{8},\quad\mathrm{M}_{k}^{\prime}=\frac{2(k-1)}{k(k+1)},\quad k=4,\ldots$
		$\displaystyle\mathrm{M}_{k}^{\prime\prime}=\frac{1}{3},\quad k=3,\ldots$

So we have $\mathrm{M}_{2}=\frac{3}{8},\quad\mathrm{M}_{3}=\frac{1}{3}$ And

M_{0}=M_{1}>M_{2}>M_{3}=M_{4}=\ldots,,\quad M^{*}=\frac{1}{3}

If we take the functional

\mathrm{A}(f)=\int_{-1}^{+1}\mathrm{X}_{n+1}(x)f(x)dx

Or $\mathrm{X}_{n+1}(x)$ is the Legendre polynomial of degree $n+1$ , the calculation of numbers $\mathrm{M}_{k}$ , is more complicated. However, it is still easy to obtain the number M *. We have, in fact,

a_{i}=\frac{2i(i-1)\ldots(i-n)}{(i+1)(i+2)\ldots(i+n+2)}

the maximum of which is obtained for $i=n^{2}+3n+1$ . So we have

\mathrm{M}^{*}=\frac{2\left[\left(n^{2}+3n+1\right)!\right]^{2}}{[n(n+2)]![(n+1)(n+3)]!}

In this case $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}=0$ , so surely,

\mathrm{M}_{1}>\mathrm{M}_{2}>\ldots>\mathrm{M}_{n+1}

This observation is also valid for any functional A (f) which verifies the relations

\mathrm{A}\left(x^{t}\right)=0,i=0,1,\ldots,n

and for which the right end of the interval $[a,b]$ , is not a critical point. Indeed, an equality $\mathrm{M}_{k}=\mathrm{M}_{k+1},k\leqq n$ would lead to $0<M^{*}\leqq M_{k}=M_{k}^{\prime}=M_{k+1}^{\prime}=\ldots$ , which is in contradiction with (94) ( $\tau^{\prime\prime}=0$ ).

§ 6. - On some limitations of a bilinear functional.

30.
- —
  
  We can also propose to look for analogous limitations for a bilinear functional $\mathrm{A}(f,g)$ . We will limit ourselves here to giving some indications on this problem in the particular case of the functional

\mathrm{A}(f,g)=\mathrm{B}(fg)-\sum_{r=0}^{n}\mathrm{\penalty 10000\ B}\left(\mathrm{P}_{r}.f\right)\mathrm{B}\left(\mathrm{P}_{r}.g\right),

which we have considered in Nos. 5 and 20. We will therefore assume that $\mathrm{B}(f)$ is a non-negative linear functional such that $\delta_{n+1}>0$ and that $\mathrm{P}_{r}$ are the corresponding orthogonal and normal polynomials (16).

Note that this functional is symmetric in $f$ And $g$ and that $\mathrm{A}(f,f)\geqq 0$ , whatever the function $f$ . It is easy to deduce Schwarz's inequality from this

|\mathrm{A}(f,g)|\leqq\sqrt{\mathrm{A}(f,f)\mathrm{A}(g,g)}

(98)

We just need to deal with the quadratic functional $\mathrm{A}(f,f)$ . We have

\mathrm{A}(1,f)=\mathrm{A}(f,1)=0

identically with respect to the function $f$ , SO $\mathrm{A}(f+c,f+c)=\mathrm{A}(f,f)$ if $c$ is a constant. We then see that there exists a constant N such that
(99)

\mathrm{A}(f,f)<\mathrm{N}.\Omega

$\Omega$ always being the oscillation of the function $f$ (where defined).

The number N has a minimum, i.e. $\mathrm{N}_{0}$ , which is determined by the maximum condition
(100)

\mathrm{N}_{0}=\max\mathrm{A}(f,f)

relating to all functions $f$ (admitted) whose values are between 0 and 1. Similarly, let $\mathrm{N}_{k}$ the minimum of N when $f$ stay $k$ -times monotonous and $\mathrm{N}^{*}$ the minimum of N when $f$ remains completely monotonous. The numbers $\mathrm{N}_{k},\mathrm{\penalty 10000\ N}^{*}$ are obtained by maximum conditions such as (100), exactly as for numbers $\mathrm{M}_{k},\mathrm{M}^{*}$ from No. 22.

The numbers $\mathrm{N}_{k},\mathrm{\penalty 10000\ N}^{*}$ being determined, we deduce from (98) limitations

|\mathrm{A}(f,g)|\leqq\mathrm{N}.\Omega_{f}\Omega_{g},

Or $\Omega_{f},\Omega_{g}$ are the oscillations of $f,g$ And $\mathrm{N}=\mathrm{N}_{0},\mathrm{\penalty 10000\ N}=\mathrm{N}_{k}$ resp. $\mathrm{N}=\mathrm{N}^{*}$ depending on what is imposed on these functions $f,g$ the reported monotony conditions.

An upper limit can easily be found for $\mathrm{N}_{0}$ . We obviously have

\mathrm{A}(f,f)\leqq\mathrm{B}(1)\cdot\max|f|^{2}

If $f$ remainder between 0 and 1, we can write $\left|f-\frac{1}{2}\right|\leqq\frac{1}{2}$
SO

\mathrm{A}(f,f)=\mathrm{A}\left(f-\frac{1}{2},f-\frac{1}{2}\right)\leqq\frac{\mathrm{B}(1)}{4}

We therefore necessarily have

\mathrm{N}_{0}\leqq\frac{\mathrm{\penalty 10000\ B}(1)}{4}

(101)

But, it should be noted that equality may not hold even in very simple cases. This is the case, for example, if

\mathrm{B}(f)=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\ldots+f\left(x_{m}\right)

$m$ being odd. This fact arises only if we are in the case of functions defined on a finite set (1). On the contrary, the equality in (101) generally holds if the values of the functions
actually occur in an infinity of points. This is the case, for example, if

\mathrm{B}(f)=\int_{a}^{b}f(x)dx

as we will see at the end of this work (we will take $a=-1$ , $b=1$ , which does not restrict generality).

We can, in any case, state
Theorem 22. If $\mathrm{B}(\mathrm{f})$ is a non-negative linear functional such that $\delta_{n+1}>0$ and if $\mathrm{P}_{0},\mathrm{P}_{1},\ldots,\mathrm{P}_{n}$ are the orthogonal (and normal) polynomials of degree $0,1,\ldots\mathrm{n}$ , corresponding to this functional, we have

\mathrm{B}(fg)--\sum_{r=0}^{n}\mathrm{\penalty 10000\ B}\left(\mathrm{P}_{r}.f\right)\mathrm{B}\left(\mathrm{P}_{r}.g\right)\left\lvert\,\leqq\frac{\mathrm{B}(1)}{4}\Omega_{f}.\Omega_{g}\right.,

$\Omega_{f},\Omega_{g}$ being the oscillations of the functions $\mathrm{f},\mathrm{g}$ .
Of course, the functions $f,g$ are defined on, the points (1) or in the interval $[a,b]$ depending on the case.
31. - Let us try to determine the numbers $\mathrm{N}_{k}$ in the case where the functions are defined on the $m$ points (1).

Let us first take the case $k=1$ . We also see that it is sufficient to consider functions of the form (75) with

c_{i}\geqq 0,c_{1}+c_{2}+\ldots+c_{m-1}=1

SO $\mathrm{A}(f,f)$ becomes a quadratic form in $c_{1},c_{2},\ldots,c_{m-1}$ ,

\mathrm{A}(f,f)=\sum_{i,j=1}^{m-1}c_{i}c_{j}\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(f_{1,i}^{*},f_{1,j}^{*}\right)

This quadratic form is non-negative and we therefore see, taking into account (98), that

\mathrm{N}_{1}=\max_{t=1,2,\ldots,m-1}\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(f_{1,i}^{*},f_{1,i}^{*}\right).

In the case $k>1$ , an absolutely identical reasoning shows us that

\mathrm{N}_{k}=\max\left(\mathrm{N}_{k}^{\prime},\mathrm{N}_{k}^{\prime\prime}\right)

	$\displaystyle\mathrm{N}_{k}^{\prime}$	$\displaystyle=\max_{i=1,2,\ldots,m-k}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(f_{k,i}^{},f_{k,i}^{}\right)}{\left[\left(x_{m}-x_{i+1}\right)\left(x_{m}-x_{i+2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i+k-1}\right)\right]^{2}}$
	$\displaystyle\mathrm{\penalty 10000\ N}_{k}^{\prime\prime}$	$\displaystyle=\max_{i=1,2,\ldots,k-1}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i}\right),\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i}\right)\right)}{\left[\left(x_{m}-x_{1}\right)\left(x_{m}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i}\right)\right]^{2}}$

Note that

f_{k+1,i}^{*}=\sum_{j=i+1}^{m-k}\left(x_{j+k}-x_{j}\right)f_{k,j}^{*}

We deduce from this

\mathrm{A}\left(f_{k+1,i}^{*},f_{k+1,i}^{*}\right)=\sum_{j_{1},j_{2}=t+1}^{m-k}\left(x_{j_{1}+k}-x_{j_{1}}\right)\left(x_{j_{2}+k}-x_{j_{2}}\right)\mathrm{A}\left(f_{k,j_{1}}^{*},f_{k,j_{2}}^{*}\right)

and, by virtue of (98),

\frac{\sqrt{\mathrm{A}\left(f_{k+1,i}^{*},f_{k+1,i}^{*}\right)}}{\left(x_{m}-x_{i+1}\right)\left(x_{m}-x_{i+2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i+k}\right)}\leqq

(102)

$\leqq\frac{\sum_{j=i+1}^{m-k}\left(x_{j+k}-x_{j}\right)\left(x_{m}-x_{j+1}\right)\left(x_{m}-x_{j+2}\right)\cdot\cdot\left(x_{m}-x_{j+k-1}\right)\frac{\sqrt{\mathrm{A}\left(f_{k,j}^{*},f_{k,j}^{*}\right)}}{\left(x_{m}-x_{j+1}\right)\left(x_{m}-x_{j+2}\right)\cdot\left(x_{m}-x_{j+k-1}\right)}}{\left(x_{m}-x_{i+1}\right)\left(x_{m}-x_{i+2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i+k}\right).}$

This is the formula analogous to the formula for the average of No. 24. We see that the sequence

\mathrm{N}_{1}^{\prime},\mathrm{N}_{2}^{\prime},\ldots,\mathrm{N}_{m-1}^{\prime}

is non-increasing. We still have

\frac{\mathrm{A}\left(f_{k,m-k}^{*},f_{k,m-k}^{*}\right)}{\left[\left(x_{m}-x_{m-k+1}\right)\left(x_{m}-x_{m-k+2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{m-1}\right)\right]^{2}}=\mathrm{A}\left(f_{1,m-1}^{*},f_{1,m-1}^{*}\right)

which is therefore independent of $k$ . We deduce, as for Lemma 13, that if $\mathrm{N}_{k}^{\prime}=\mathrm{N}_{k+1}^{4}$ we also have $\mathrm{N}_{k}^{\prime}=\mathrm{N}_{k+1}^{\prime}=\mathrm{N}_{k+2}^{\prime}=\ldots=\mathrm{N}_{m-1}^{\prime}$ .

On the other hand the continuation

N_{2}^{\prime\prime},N_{3}^{\prime\prime},\ldots,N_{m-1}^{\prime\prime}

is obviously non-decreasing.
Finally we obtain the following analogue of Theorem 20.
Theorem 23. - The continuation

\mathrm{N}_{1},\mathrm{\penalty 10000\ N}_{2},\ldots,\mathrm{\penalty 10000\ N}_{m-1}

is either decreasing, or there exists an index k such that

\mathrm{N}_{1}>\mathrm{N}_{2}>\ldots>\mathrm{N}_{k-1}>\mathrm{N}_{k}=\mathrm{N}_{k+1}=\ldots=\mathrm{N}_{m-1}

The proof is the same as for Theorem 20.
IJ is clear that if $\mathrm{N}_{k}$ is reached by a polynomial of the form

\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i}\right)}{\left(x_{m}-x_{1}\right)\left(x_{m}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{m}-x_{i}\right)}

we necessarily have $\mathrm{N}_{k}=\mathrm{N}_{k+1}=\ldots=\mathrm{N}_{m-1}$ ,
32. - Now suppose that the functions are defined in the interval $[a,b]$ .

We then see that

\mathrm{N}_{1}=\max_{\lambda\in[a,b]}\mathrm{A}\left(\varphi_{1,\lambda},\varphi_{1,\lambda}\right)

\begin{gathered}\mathrm{N}_{k}^{\prime}=\max_{\lambda\in(a,b)}\frac{\mathrm{A}\left(\varphi_{k,\lambda},\varphi_{k,\lambda}\right)}{(b-\lambda)^{2k-2}},\quad k=1,2,\ldots\\ \mathrm{\penalty 10000\ N}_{k}^{\prime\prime}=\max_{i=1,2,\ldots,k-1}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ A}\left((x-a)^{i},(x--a)^{i}\right)}{(b-a)^{2i}},\quad k=2,3\\ \mathrm{\penalty 10000\ N}_{k}=\max\left(\mathrm{N}_{k}^{\prime},\mathrm{N}_{k}^{\prime\prime}\right),\quad k=2,3,\ldots\end{gathered}

We have, in this case

\mathrm{A}\left(\varphi_{k+1,\lambda},\varphi_{k+1,\lambda}\right)=k^{2}\int_{\lambda}^{b}\int_{\lambda}^{b}\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(\varphi_{k,t},\varphi_{k,u}\right)dtdu

which is an easy formula to verify.

We can then write, taking into account (98),

\frac{V\overline{\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(\varphi_{k+1,\lambda},\varphi_{k+1,\lambda}\right)}}{(b-\lambda)^{k}}\leqq\frac{\int_{\lambda}^{b}(b-t)^{k^{k}-1}\frac{V\overline{\mathrm{\penalty 10000\ A}\left(\varphi_{k,t}\right)}}{(b-t)^{k-1}}dt}{\int_{\lambda}^{b}(b-t)^{k-1}dt}

which is the corresponding formula (102) and is the analogue of (92).
In this case, again the sequence

\mathrm{N}_{1}^{\prime},\mathrm{N}_{2}^{\prime},\ldots,\mathrm{N}_{k}^{\prime},\ldots

(103)

is non-increasing and if $\mathrm{N}_{k}^{\prime}=\mathrm{N}_{k+1}^{\prime}$ we necessarily have

\mathbf{N}_{k}^{\prime}=\mathbf{N}_{k+1}^{\prime}=\mathbf{N}_{k+2}^{\prime}=\ldots\ldots

The sequel

\mathrm{N}_{2}^{\prime\prime},\mathrm{N}_{3}^{\prime\prime},\ldots,\mathrm{N}_{k}^{\prime\prime},\ldots

is non-decreasing.
Note that

\mathrm{A}(f,f)=\mathrm{B}\left(f^{2}\right)-\sum_{r=0}^{n}\left[\mathrm{\penalty 10000\ B}\left(\mathrm{P}_{r}.f\right)\right]^{2}

and then Lemma 15 can be applied to the linear functionals B (P $rf$ ) of $f$ and to B ( $f^{2}$ ) of $f^{2}$ . We deduce that the sequence (103) tends towards a limit for $k\rightarrow\infty$ ,

\lim_{k\rightarrow\infty}N_{k}^{\prime}=\tau

which is necessarily zero if the end $b$ is not a critical point of B(f). We also have

\lim_{k\rightarrow\infty}\mathrm{\penalty 10000\ N}_{k}^{\prime\prime}\geqq\tau

Continuing the reasoning as in No. 28, we deduce
Theorem 24. - In the case of an interval [ $\mathrm{a},\mathrm{b}]$ , the sequel (104)

\mathrm{N}_{1},\mathrm{\penalty 10000\ N}_{2},\ldots,\mathrm{\penalty 10000\ N}_{k},\ldots

is either decreasing, or there exists an index k such that we have

\mathrm{N}_{1}>\mathrm{N}_{2}>\ldots>\mathrm{N}_{k-1}>\mathrm{N}_{k}=\mathrm{N}_{k+1}=\ldots\ldots

If the right end of the interval $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ is not a critical point of $B(\mathrm{f})$ , we are still in the second case.

Finally, the number $N^{*}$ is always equal to the limit of the sequence (104). The numbers $\mathrm{N}_{k},\mathrm{\penalty 10000\ N}^{*}$ are reached by simple elementary functions as in the case of Theorem 21. It is clear that if $\mathrm{N}_{k}$ is reached by a polynomial of the form $\frac{(x-a)^{i}}{(b-a)^{i}}$ , we necessarily have $\mathrm{N}_{k}=\mathrm{N}_{k+1}=\ldots=\mathrm{N}^{*}$ .
33. - To give an example, let us take the bilinear functional

\begin{gathered}\mathrm{A}(f,g)=\int_{-1}^{+1}f(x)g(x)dx-\\ -\sum_{r=0}^{n}\frac{2r+1}{2}\left[\int_{-1}^{+1}\mathrm{X}_{r}(x)f(x)dx\right]\left[\int_{-1}^{+1}\mathrm{X}_{r}(x)g(x)dx\right]\end{gathered}

Or $\mathrm{X}_{r}(x)$ are the Legendre polynomials.
In the case $n=0$ We have

\begin{gathered}\mathrm{A}\left((x+1)^{i},(x+1)^{i}\right)=\frac{2^{2i+1}i^{2}}{(i+1)^{2}(2i+1)}\\ \mathrm{A}\left(\eta_{k,\lambda},\varphi_{k,\lambda}\right)=(1-\lambda)^{2k-1}\left[\frac{1}{2k-1}-\frac{1-\lambda}{2k^{2}}\right]\end{gathered}

We deduce from this $\mathrm{N}_{1}=\frac{1}{2}$ , And

\begin{gathered}\mathrm{N}_{2}^{\prime}=\frac{2}{9},\mathrm{\penalty 10000\ N}_{3}^{\prime}=\frac{9}{50},\mathrm{\penalty 10000\ N}_{k}^{\prime}=\frac{2(k-1)^{2}}{k^{2}(2k-1)},k=4,5,\ldots\\ \mathrm{\penalty 10000\ N}_{k}^{\prime\prime}=\frac{8}{45},k=2,3,\ldots\end{gathered}

We deduce that

\mathrm{N}_{2}=\frac{2}{9},\mathrm{\penalty 10000\ N}_{3}=\frac{9}{50},\mathrm{\penalty 10000\ N}_{4}=\mathrm{N}_{5}=\ldots=\mathrm{N}^{*}=\frac{8}{45}

This result is due to Messrs. G. Gruss and E. Landau ²⁰ ).
²⁰ ) Gerhard Gruss "Uber das Maximum des absoluten Betrages von

\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx-\frac{1}{(b-a)^{2}}\int_{a}^{b}f(x)dx\int_{a}^{b}g(x)dx

Math. Zeitschrift, 39, 215-226 (1934). Edmund Landau „Uber mehrfach monotone Folgen" Prace mat.-fiz., 44, 337-351 (1937).

If $n>0$ the exact determination of numbers $N_{k}$ is a more complicated calculation. If $n=1$ we can easily obtain $N_{1}=\frac{1}{6}$

The number N* can be determined because

\frac{1}{2^{2i}}\mathrm{\penalty 10000\ A}\left((x+1)^{i},(x+1)^{i}\right)=\frac{2i^{2}(i-1)^{2}\ldots(i-n)^{2}}{(i+1)^{2}(i+2)^{2},\ldots(i+n+1)^{2}(2i+1)}

and you just have to look for the natural number $i$ such that this expression becomes maximum. The value of this maximum is the value of $\mathrm{N}^{*}$ .

Finally, we will show that in this case we have equality in formula (101), so that $\mathrm{N}_{0}=\frac{1}{2}$ .

For this let us construct the function

f(x)=\left\{\begin{array}[]{l}0,x\in\left[x_{2i},x_{2i+1}\right),\\ 1,x\in\left[x_{2i+1},x_{2i+2}\right),\end{array}\quad i=0,1,\ldots\right.

Or $-1=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n+1}<x_{n+2}=1$ . It is enough to show that we can determine the points $x_{i},i=1,2,\ldots,n+1$ , so that

\int_{-1}^{+1}f^{2}(x)dx=\int_{-1}^{+1}f(x)dx=1,\int_{-1}^{+1}\mathrm{X}_{r}(x)f(x)dx=0

(105)

System (105) is verified if

\begin{gathered}x_{1}^{s}-x_{2}^{s}+\ldots+(-1)^{n}x_{n+1}^{s}=\frac{(-1)^{s}+(-1)^{n}}{2}\\ s=1,2,\ldots,n+1\end{gathered}

and according to a result of A. Korkine and G. Zolotareff ²¹ ) this actually takes place if the $x_{i}$ are the zeros of the trigonometric polynomial

\frac{\sin\{(n+2)\arccos x\}}{\sqrt{1-x^{2}}}

²¹ ) A. Korkine and G. Zolotareff "On a certain minimum" New Annales de Math, (2) 12, 337-355 (1873).

Bucuresti, September 15, 1942

Notes on the convex functions of higher order (IX)

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