APLICAREA FORMULELOR DE DERIVARE NUMERICĂ LA INTEGRAREA NUMERICĂ A ECUATTILOR DIFERENT, IALE

DE
D. V. IONESCU

Se consideră ecuația diferențială

y^{\prime}=f(x,y)

(1)

și fie $y(x)$ integrala ei care satisface la condiția inițială $y\left(x_{0}\right)=y_{0}$ . Presupunem că sînt îndeplinite condițiile care asigură existenţa și unicitatea integralei $y(x)$ în intervalul $\left[x_{0},x_{0}+a\right]$ .

În intervalul ( $x_{0},x_{0}+a$ ) luăm nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ astfel ca $x_{1}<x_{2}<x_{3}<\cdots<x_{n}$ şi presupunem că integrala $y(x)$ este cunoscută pe nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ . Problema integrării numerice a ecuației diferențiale (1) constă în a da formula practică de calcul a integralei $y(x)$ , într-un punct din intervalul ( $x_{0},x_{0}+a$ ], cu ajutorul valorilor lui $y(x)$ pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ şi de a studia restul formulei de integrare numerică.

Dacă funcția $f(x,y)$ are derivate parțiale în raport cu $x$ și $y$ pînă la ordinul $n$ , continue în domeniul $D$ în care sînt îndeplinite condițiile care asigură existența și unicitatea integralei $y(x)$ , atunci aplicînd formula lui Taylor vom avea

	$\displaystyle y(x)=y\left(x_{0}\right)+\frac{x-x_{0}}{1!}y^{\prime}\left(x_{0}\right)+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2!}y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)+\ldots$
	$\displaystyle\quad+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n!}y^{(n)}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{n}}{n!}y^{(n+1)}(s)ds$		(2)

Problema integrării numerice a ecuației diferențiale (1), aşa cum a fost pusă mai sus, se reduce prin formula (2) la problema derivării numerice a unei funcţii, care se formulează astfel : fiind dată funcția $f(x)$ continuă
în intervalul $\left[x_{0},x_{0}+a\right]$ şi avînd derivate continue în acest interval de toate ordinele, care vor interveni în calcule, să se dea formule practice pentru calculul derivatelor $f^{\prime}(x),f^{\prime\prime}(x),\ldots,f^{(n)}(x)$ în nodul $x_{0}$ , cu ajutorul valorilor lui $f(x)$ pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ și să se calculeze restul formulei de derivare numerică.

Lucrarea este împărțită în două capitole. În primul se tratează despre formule de derivare numerică, iar în al doilea se tratează despre aplicarea lor la integrarea numerică a ecuațiilor diferențiale de forma (1).

Capitolul I

FORMULE DE DERIVARE NUMERICĂ

§ 1. Formule de derivare numerică care provin din expresia unei diferențe divizate sub formă de integrală definită

1.

Într-o lucrare de ansamblu asupra formulelor de cuadratură, care se pot obține cu ajutorul formulei generalizate de integrare prin părți, aşa cum a făcut J. R a d o n [1], am dat o expresie a diferenţei divizate de ordinul $n$ pe noduri repetate sub formă de integrală [2], arătînd că

	$\displaystyle{[\underbrace{a,\ldots,a}_{\alpha\text{ ori }},\underbrace{x_{1},\ldots,x_{1}}_{k_{1}\text{ ori }},\ldots,x_{k_{p}\text{ ori }}^{x_{p},\ldots,x_{p}},\underbrace{b,\ldots,b}_{\beta\text{ ori }};f(x)]=}$
	$\displaystyle=\int_{a}^{b}\varphi(x)f^{\left(k_{1}+\ldots+k_{p}+\alpha+\beta-1\right)}(x)dz$		(3)

unde funcția $\varphi(x)$ este determinată de un anumit sistem de ecuații diferențiale care se integrează cu anumite condiţii la limită în $a,x_{1},\ldots x_{p}$ și $b$ . Rezolvînd ecuaţia (3) în raport $\mathrm{cu}f^{(\alpha-1)}(a)$ se obține o formulă de derivare numerică, din care se deduce $f^{(a-1)}(a)$ cu ajutorul valorilor funcţiei $f(x)$ și a derivatelor ei succesive, care intră în ecuaţia (3), pe nodurile $a,x_{1},\ldots,x_{p},b$ .

În acelaşi mod a procedat prof. T. Popoviciu [3] şi Ş. E. Mikeladze [4], pornind însă de la alte expresii ale diferenţei divizate din membrul întîi al formulei (3).

Vom rezuma rezultatul din lucrarea [2], în cazul unui singur nod multiplu, aducînd cîteva completări.
2. Fie $f(x)$ o funcţie de clasa $C^{n+p}$ , definită în intervalul $[a,b]^{1}$ ) în care luăm nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ astfel ca să avem $x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}$ . La intervalele $\left[x_{0},x_{1}\right],\left[x_{1},x_{2}\right],\ldots,\left[x_{n-1},x_{n}\right]$ ataşăm funcțiile $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\ldots\varphi_{n}(x)$ și constantele $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ și formăm ecuațiile diferențiale

\varphi_{1}^{(n+p-1)}(x)=\lambda_{1},\quad\varphi_{2}^{(n+p-1)}(x)=\lambda_{2},\ldots,\varphi_{n}^{(n+p-1)}(x)=\lambda_{n}

(4)

⁰⁰footnotetext: ¹ ) Adică funcția

f(x)

are în intervalul

[a,b]

derivate succesive pînă la ordinul

n+p

, ultima fiind continuă în acest interval.

care se integrează cu următoarele condiții la limită :

	$\displaystyle\varphi_{1}\left(x_{0}\right)=0,\quad\varphi_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right)=0,\ldots,\varphi_{1}^{(n-2)}\left(x_{0}\right)=0$
	$\displaystyle\varphi_{1}^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=(-1)^{p}\frac{\nu_{p}}{p!},\varphi_{1}^{(n)}\left(x_{0}\right)=(-1)^{p-1}\frac{\nu_{p-1}}{(p-1)!},\ldots,\varphi^{(n+p-2)}\left(x_{0}\right)=-\frac{\nu_{1}}{1!},$
	$\displaystyle\varphi_{2}\left(x_{1}\right)=\varphi\left(x_{1}\right),\varphi_{2}^{\prime}\left(x_{1}\right)=\varphi_{1}^{\prime}\left(x_{1}\right),\ldots,\varphi_{2}^{(n+p-2)}\left(x_{1}\right)=\varphi_{1}^{(n+p-2)}\left(x_{1}\right),$		(5)
	$\displaystyle\varphi_{n}\left(x_{n-1}\right)=\varphi_{n-1}\left(x_{n-1}\right),\varphi_{n}^{\prime}\left(x_{n-1}\right)=\varphi_{n-1}^{\prime}\left(x_{n-1}\right),\ldots,\varphi_{n}^{(n+p-2)}\left(x_{n-1}\right)=\varphi_{n-1}^{(n+p-2)}\left(x_{n-1}\right),$
	$\displaystyle\varphi_{n}\left(x_{n}\right)=0,\quad\varphi_{n}^{\prime}\left(x_{n}\right)=0,\ldots,\varphi_{n}^{(n+p-2)}\left(x_{n}\right)=0.$

Constantele $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ şi $\nu_{1},\nu_{2},\ldots,\nu_{p}$ se determină astfel ca integralele ecuațiilor diferențiale (4) să verifice ecuațiile la limită (5).

Este evident că fiecare integrală

\int_{x_{0}}^{x_{1}}\varphi_{1}^{(n+p)}(x)f(x)dx,\int_{x_{1}}^{x_{2}}\varphi_{2}^{(n+p)}(x)f(x)dx,\ldots,\int_{x_{n-1}}^{x_{n}}\varphi^{(n+p)}(x)f(x)dx

este nulă. Aplicînd la fiecare, formula generalizată de integrare prin părți și făcînd suma lor, se obține, ținînd seama de condițiile la limită (5), formula de derivare numerică

	$\displaystyle-\left[\lambda_{1}f\left(x_{0}\right)+\frac{v_{1}}{1!}f^{\prime}\left(x_{0}\right)+\frac{v_{2}}{2!}f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)+\ldots+\frac{v_{p}}{p!}f^{(p)}\left(x_{0}\right)\right]+$
	$\displaystyle+K_{1}f\left(x_{1}\right)+K_{2}f\left(x_{2}\right)+\ldots+K_{n}\left(x_{n}\right)=(-1)^{n+p-1}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+p)}(x)dx$		(6)

unde functia $\varphi(x)$ coincide pe rînd cu funcțiile $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\ldots,\varphi_{n}(x)$ în intervalele $\left[x_{0},x_{1}\right],\ldots,\left[x_{n-1},x_{n}\right]$ şi unde

\lambda_{1}-\lambda_{2}=K_{1},\quad\lambda_{2}-\lambda_{3}=K_{2},\ldots,\lambda_{n-1}-\lambda_{n}=K_{n-1},\lambda_{n}=K_{n}.

(7)

Functiile $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\ldots,\varphi_{n}(x)$ sînt date de formulele

	$\displaystyle\varphi_{n}(x)=K_{n}\frac{\left(x-x_{n}\right)^{n+p-2}}{(n+p-1)!}$
	$\displaystyle\varphi_{n-1}(x)=K_{n-1}\frac{\left(x-x_{n-1}\right)^{n+p-1}}{(n+p-1)!}+K_{n}\frac{\left(x-x_{n}\right)^{n+p-1}}{(n+p-1)!}$		(8)
	$\displaystyle\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots K_{n}\frac{\left(x-x_{n}\right)^{n+p-1}}{(n+p-1)!}.$

Cu formulele (8) sînt verificate ecuatiile diferentiale (4) şi conditiile la limită (5) din nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ . Scriind că și condiţiile la limită din nodul $x_{0}$ sînt satisfăcute, avem sistemul de ecuatii

\begin{array}[]{lll}K_{1}\left(x_{1}-x_{0}\right)&+K_{2}\left(x_{2}-x_{0}\right)&+\ldots+K_{n}\left(x_{n}-x_{0}\right)=v_{1}\\ K_{1}\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}&+K_{2}\left(x_{2}-x_{0}\right)^{2}&+\ldots+K_{n}\left(x_{n}-x_{0}\right)^{2}=v_{2}\\ \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot&+K_{2}\left(x_{2}-x_{0}\right)^{p}&+\ldots+K_{p}\left(x_{n}-x_{0}\right)^{p}=v_{p}\\ K_{1}\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p}&+K_{0}&\left(x_{0}\right)\\ K_{1}\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p+1}&+K_{2}\left(x_{2}-x_{0}\right)^{p+1}&+\ldots+K_{n}\left(x_{n}-x_{0}\right)^{p+1}=0\\ \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\\ K_{1}\left(x_{1}-x_{0}\right)^{n+p-1}+K_{2}\left(x_{2}-x_{0}\right)^{n+p-1}+\ldots+K_{n}\left(x_{n}-x_{0}\right)^{n+p-1}=0,\end{array}

care determină $K_{1},K_{2},\ldots,K_{n}$ şi $\nu_{1},\nu_{1},\ldots,\nu_{p}$ .

Ținînd seama de ecuațiile (7), ecuațiile (9) se mai scriu sub forma

	$\displaystyle-\lambda_{1}+K_{1}+\ldots+K_{n}=0$
	$\displaystyle-\lambda_{1}x_{0}-C_{1}^{1}\quad v_{1}\quad+K_{1}x_{1}\quad+\ldots+K_{n}x_{n}=0$		(10)
	$\displaystyle-\lambda_{1}x_{0}^{p}\quad-C_{p}^{1}\quad v_{1}x_{0}^{p-1}\quad-\ldots-C_{p}^{p}\quad v_{p}\quad+K_{1}x_{1}^{p}\quad+\ldots+K_{n}x_{n}^{p}=0$
	$\displaystyle-\lambda_{1}x_{0}^{n+p-1}-C_{n+p-1}^{1}\nu_{1}x_{0}^{n+p-2}-\ldots-C_{n+p-1}^{p}\nu_{p}x_{0}^{n-1}+K_{1}x_{1}^{n+p-1}+\ldots+K_{n}x_{n}^{n+p-1}=0\text{. }$

Ecuațiile (9) exprimă că membrul al doilea al formulei de derivare numerică (6) este nul cînd $f(x)$ este înlocuit cu

x-x_{0},\left(x-x_{0}\right)^{2},\ldots,\left(x-x_{0}\right)^{n+p-1}

iar ecuaţiile (10) exprimă că membrul al doilea al formulei de derivare numerică (6) este nul cînd $f(x)$ este înlocuit cu

1,x,x^{2},\ldots,x^{n+p-1}

Să considerăm matricea formată cu coeficienții sistemului (10), adică

\left\|\begin{array}[]{|llllllll||}1&0&&\ldots&0&1&\ldots&1\\ x_{0}&C_{1}^{1}&&\ldots&0&x_{1}&\ldots&x_{n}\\ \vdots&\vdots&&&\vdots&\vdots&&\\ x_{0}^{p}&C_{p}^{1}&x_{0}^{p-1}&\ldots&C_{p}^{p}&x_{1}^{p}&\ldots&x_{n}^{p}\\ \vdots&\vdots&&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{0}^{n+p-1}&C_{n+p-1}^{1}x_{0}^{n+p-2}&\ldots&C_{n+p-1}^{p}x_{0}^{n-1}&x_{1}^{n+p-1}&\ldots&x_{n}^{n+p-1}\end{array}\right\|

și să notăm cu $A_{i}$ determinantul care are aceleaşi linii şi aceleaşi coloane afară de coloana a $i$ -a. Toți acești determinanți sînt diferiți de zero și rezolvînd sistemul (10) în raport cu $-\lambda_{1},-v_{1},\ldots,-v_{p},K_{1},K_{2},\ldots,K_{n}$ se obține

	$\displaystyle\frac{-\lambda_{1}}{A_{1}}=\frac{-v_{1}}{-A_{2}}=\ldots=\frac{-v_{p}}{(-1)^{p}A_{p+1}}=$
	$\displaystyle=\frac{K_{1}}{(-1)^{p+1}A_{p+2}}=\ldots=\frac{K_{n}}{(-1)^{p+n}A_{p+n+1}}.$		(11)

Ţinînd seama că membrul întîi al formulei de derivare numerică (6) este o combinație liniară de numărătorii din formulele (11), deducem că formulele (11) se mai scriu sub forma

	$\displaystyle\frac{-\lambda_{1}}{A_{1}}=\frac{-\nu_{1}}{-A_{2}}=\ldots=\frac{-\nu_{p}}{(-1)^{p}A_{p+1}}=$
	$\displaystyle=\frac{K_{1}}{(-1)^{p+1}A_{p+2}}=\ldots=\frac{K_{n}}{(-1)^{p+n}A_{p+n+1}}=\frac{-\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+p)}(x)dx}{\Delta}$		(12)

unde

\Delta=\left\lvert\,\begin{array}[]{lllllll}1&0&\ldots&0&1&\ldots&1\\ x_{0}&C_{1}^{1}&\ldots&0&x_{1}&\ldots&x_{n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{0}^{p}&C_{p}^{1}&x_{0}^{p-1}&\ldots&C_{p}^{p}&x_{1}^{p}&\ldots\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&x_{n}^{p}\\ x_{0}^{n+p-1}&C_{n+p-1}^{1}x_{0}^{n+p-2}&\ldots&C_{n+p-1}^{p}x_{0}^{n-1}&x_{1}^{n+p-1}&\ldots&x_{n}^{n+p-1}\\ f\left(x_{0}\right)&&\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1!}&\ldots&\frac{f^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}&f\left(x_{1}\right)&\ldots\end{array}\right.

Determinantul $\Delta_{1}$ care se obţine din $\Delta$ înlocuind pe $f(x)$ cu $x^{n+p}$ , este diferit de zero, deoarece

\Delta_{1}=\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p}\left(x_{2}-x_{0}\right)^{p}\ldots\left(x_{n}-x_{0}\right)^{p}V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\right),

(14)

unde $V\left(x_{0},x_{1},\ldots x_{n}\right)$ este determinantul 1ui Vandermonde al numerelor $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ .

Egalînd rapoartele din (12) cu $-\frac{1}{\Delta_{1}}$ , deducem că formula de derivare
erică se mai scrie sub numerică se mai scrie sub forma

\frac{\Delta}{\Delta_{1}}=\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+p)}(x)dx

(15)

sau, sub forma

[\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{p+1\text{ ori }},\quad x_{1},\ldots,x_{n};\quad f(x)]=\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+p)}(x)dx

(16)

căci diferența divizată a funcției $f(x)$ din membrul întîi al formulei (16) este egală cu $\frac{\Delta}{\Delta_{1}}$ .
3. Calculul coeficientilor $\lambda_{1},\nu_{1},\ldots,\nu_{p},K_{1},\ldots,K_{n}$ din formula de derivare numerică (6). Din ecuația (12) deducem că avem

		$\displaystyle K_{1}=(-1)^{p}\frac{A_{p+2}}{\Delta_{1}}$
		$\displaystyle K_{2}=(-1)^{p+1}\frac{A_{p+3}}{\Delta_{1}}$
		$\displaystyle\ldots\ldots\ldots$
		$\displaystyle K_{n}=(-1)^{p+n-1}\frac{A_{n+p+1}}{\Delta_{1}}$

Fără greutate se arată că în general

\begin{gathered}A_{p+i+1}=\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p}\ldots\left(x_{i-1}-x_{0}\right)^{p}\left(x_{i+1}-x_{0}\right)^{p}\ldots\left(x_{n}-x_{0}\right)^{p}\times\\ \times V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n}\right)\end{gathered}

de unde rezultă că avem

	$\displaystyle K_{1}=(-1)^{p}\frac{1}{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p}}\cdot\frac{V\left(x_{0},x_{2},\ldots,n_{n}\right)}{V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\right)}$
	$\displaystyle K_{2}=(-1)^{p+1}\frac{1}{\left(x_{2}-x_{0}\right)^{p}}\cdot\frac{V\left(x_{0},x_{1},x_{3},\ldots,x_{n}\right)}{V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\right)}$		(17)
	$\displaystyle\cdot\cdots\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$
	$\displaystyle K_{n}=(-1)^{p+n-1}\frac{1}{\left(x_{n}-x\right)_{p}}\cdot\frac{V\left(x_{0},x_{1},\ldots x_{n-1}\right)}{V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\right)}$

Dacă se ține seama că în geheral avem

	$\displaystyle V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\right)=$	$\displaystyle\left(x_{i}-x_{0}\right)\left(x_{i}-x_{1}\right)\ldots\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{i}\right)\times$
		$\displaystyle\times V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n}\right)$

formulele (17) se reduc 1a

K_{1}=\frac{(-1)^{p}}{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p+1}\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{1}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{1}\right)}

	$\displaystyle K_{2}=\frac{(-1)^{p+1}}{\left(x_{2}-x_{0}\right)^{p+1}\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{2}\right)}$		(18)
	$\displaystyle K_{n}=\frac{(-1)^{p+n-1}}{\left(x_{n}-x_{0}\right)^{n+1}\left(x_{n}-x_{1}\right)\left(x_{n}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{n-1}\right)}$

Din aceste expresii se vede că toți numitorii fiind pozitivi, coeficientii $K_{1},K_{2},\ldots,K_{n}$ au semnele alternate, $K_{1}$ avînd semnul lui $(-1)^{p}$ .

Coeficienții $\lambda_{1},v_{1},\ldots,v_{p}$ sînt dați de prima ecuație (10) și de primele $p$ ecuații (9). T, Tinînd seamă de formulele (17), vom avea în general

	$\displaystyle v_{j}=\frac{(-1)^{p}}{V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\right)}[$	$\displaystyle\frac{1}{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p-j}}V\left(x_{0},x_{2},\ldots,x_{n}\right)-$
	$\displaystyle-$	$\displaystyle\frac{1}{\left(x_{2}-x_{0}\right)^{p-j}}V\left(x_{0},x_{1},x_{3},\ldots,x_{n}\right)+\ldots+$
		$\displaystyle\left.+(-1)^{n-1}\frac{1}{\left(x_{n}-x_{0}\right)^{p-j}}V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n-1}\right)\right]$

v_{j}=\frac{(-1)^{p+n-1}}{V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\right)}\left|\begin{array}[]{cccc}1&1&\cdots&1\\ x_{0}&x_{1}&\cdots&x_{n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{0}{}^{n-1}&x_{1}{}^{n-1}&\cdots&x_{n}^{n-1}\\ 0&\frac{1}{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p-j}}&\cdots&\frac{1}{\left(x_{n}-x_{0}\right)^{p-j}}\end{array}\right|

sau încă
$v_{j}=(-1)^{p+n-1}\frac{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{0}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{0}\right)}{V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\right)}\left|\begin{array}[]{ccc}1&\cdots&1\\ x_{1}-x_{0}&\cdots&x_{n}-x_{0}\\ \vdots&&\vdots\\ \frac{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{n-2}}{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p-j+1}}\cdots&\cdots&\left(x_{n}-x_{0}\right)^{n-2}\\ \left(x_{n}-x_{0}\right)^{p-j+1}\end{array}\right|$ , unde $j=0,1,\ldots,p\cdot\left(\lambda_{1}=v_{0}\right)$ .

Se știe că
$\left|\begin{array}[]{ccc}1&\ldots&1\\ y_{1}&\ldots&y_{n}\\ \vdots&&\vdots\\ y_{1}^{n-2}&&y_{n}^{n-2}\\ \frac{1}{y_{1}^{l}}&\ldots&\frac{1}{y_{n}^{l}}\end{array}\right|=(-1)^{n-1}\frac{V\left(y_{1}y_{2}\cdots y_{n}\right)}{\left(y_{1},y_{2},\cdots y_{n}\right)}Q_{-1}\left(\frac{1}{y_{1}},\frac{1}{y_{2}},\ldots,\frac{1}{y_{n}}\right)$ ,
unde $Q_{l-1}\left(\frac{1}{y_{1}},\frac{1}{y_{2}},\ldots,\frac{1}{y_{n}}\right)$ este un polinom omogen de gradul $l-1$ în $\frac{1}{y_{1}},\frac{1}{y_{2}},\ldots,\frac{1}{y_{n}}$ , cu coeficienții egali cu 1 .

Ținînd seama de aceasta, expresia definitivă a coeficienților $v_{j}$ este $v_{j}=\frac{(-1)^{p}}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{0}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{0}\right)}Q_{p-j}\left(\frac{1}{x_{1}-x_{0}},\frac{1}{x_{2}-x_{0}},\cdots,\frac{1}{x_{n}-x_{0}}\right)$ , unde $j=0,1,\ldots,n.\left(\lambda_{1}=v_{0}\right)$ .

Se constată că toți coeficienții $\nu_{j}$ au semnul lui $(-1)^{p}$ .
4. Altă formă a formulei de derivare numerică (6). Să considerăm funcția rațională

\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{p+1}\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}

pe care s-o descompunem în funcții raționale simple punînd în evidență reziduurile $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ relative la nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ . Vom avea
$\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{p+1}\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}=\frac{A_{1}}{x-x_{1}}+\frac{A_{2}}{x-x_{2}}+\ldots+\frac{A_{n}}{x-x_{n}}+\ldots$ ,
unde

		$\displaystyle A_{1}=\frac{(-1)^{n-1}}{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p+1}\left(x_{2}-x_{1}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{1}\right)}$
		$\displaystyle A_{2}=\frac{(-1)^{n-2}}{\left.\left(x_{2}-x_{0}\right)^{p+1}\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)\ldots x_{n}-x_{2}\right)}$
		$\displaystyle A_{n}=\frac{1}{\left(x_{n}-x_{0}\right)^{p+1}\left(x_{n}-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n-1}\right)}$

Ţinînd seamă de acestea, formulele (18) arată că avem

	$\displaystyle K_{1}=(-1)^{n+p-1}A_{1}$
	$\displaystyle K_{2}=(-1)^{n+p-1}A_{2}$		(21)
	$\displaystyle K_{n}=(-1)^{n+p-1}A_{n}$

Din prima ecuație (10) și din primele $p$ ecuații (9) se deduce că

\begin{gathered}\lambda_{1}f\left(x_{0}\right)+\frac{v_{1}}{1!}f^{\prime}\left(x_{0}\right)+\ldots+\frac{v_{p}}{p!}f^{(p)}\left(x_{0}\right)=\\ =\sum_{i=1}^{n}K_{i}\left[f\left(x_{0}\right)+\frac{x_{i}-x_{0}}{1!}f^{\prime}\left(x_{0}\right)+\ldots+\frac{\left(x_{i}-x_{0}\right)^{p}}{p!}f\left(x_{0}\right)\right]\end{gathered}

Formula de derivare numerică (6) se poate deci scrie sub forma

	$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}K_{i}\left\{f\left(x_{i}\right)-\left[f\left(x_{0}\right)+\frac{x_{i}-x_{0}}{1!}f^{\prime}\left(x_{0}\right)+\ldots+\frac{\left(x_{i}-x_{0}\right)^{p}}{p!}f^{(p)}\left(x_{0}\right)\right]\right\}=$
	$\displaystyle=(-1)^{n+p-1}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+p)}(x)dx$		(22)

în care figurează numai coeficienții $K_{i}$ , dați de formulele (18), atît în membrul întîi, cît și în membrul al doilea, din cauza formulelor (8).

Însă formulele (21) arată că coeficienții $K_{1},K_{2},\ldots,K_{n}$ sînt proporționali cu $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ , ceea ce înseamnă că formulele de derivare numerică (6) sau (22) se pot scrie şi sub forma

	$\displaystyle\sum_{i=1}^{i}A_{i}\left\{f\left(x_{i}\right)-\left[f\left(x_{0}\right)+\frac{x_{i}-x_{0}}{1!}f^{\prime}\left(x_{0}\right)+\ldots+\frac{\left(x_{i}-x_{0}\right)^{p}}{p!}f^{(p)}\left(x_{0}\right)\right]\right\}=$
	$\displaystyle=(-1)^{n+p-1}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+p)}(x)dx$		( $\prime$ )

În această formulă funcția $\varphi(x)$ coincide pe rînd cu funcţiile $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\ldots,\varphi_{n}(x)$ în intervalele $\left[x_{0},x_{1}\right],\left[x_{1},x_{2}\right],\ldots,\left[x_{n-1},x_{n}\right]$ unde, după formulele (8), avem
$\varphi_{1}(x)=A_{1}\frac{\left(x-x_{1}\right)^{n+p-1}}{(n+p-1)!}+A_{2}\frac{\left(x-x_{2}\right)^{n+p-1}}{(n+p-1)!}+\ldots+A_{n}\frac{\left(x-x_{n}\right)^{n+p-1}}{(n+p-1)!}$

\varphi_{2}(x)=\quad A_{2}\frac{\left(x-x_{2}\right)^{n+p-1}}{(n+p-1)!}+\ldots+A_{n}\frac{\left(x-x_{n}\right)^{n+p-1}}{(n+p-1)!}

(23)

$\varphi_{n}(x)=$

A_{n}\frac{\left(x-x_{n}\right)^{n+p-1}}{(n+p-1)!}

În formulele (22) si (22’) factorul pe care-1 înmulțeste $K_{i}$ este diferenţa dintre $f\left(x_{i}\right)$ și primii $p+1$ termeni din dezvoltarea lui $f(x)$ după puterile lui $x_{i}-x_{0}$ cu ajutorul formulei lui Taylor. Această observare dă un procedeu practic pentru scrierea formulelor de derivare numerică de forma (6).

Exemplu. Să presupunem $n=3$ și $x_{1}=x_{0}+h,x_{2}=x_{0}+2h$ , $x_{3}=x_{0}+3h$ iar $p=2$ . Pentru a găsi formula de derivare numerică corespunzătoare, se pornește de 1a descompunerea în funcții raționale simple

\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{3}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)}=\frac{A_{1}}{x-x_{1}}+\frac{A_{2}}{x-x_{2}}+\frac{A_{3}}{x-x_{3}}+\ldots

unde

A_{1}=\frac{1}{2h^{5}},A_{2}=-\frac{1}{8h^{5}},A_{3}=\frac{1}{54h^{5}}.

Formula de derivare numerică este deci

\begin{gathered}\left.\frac{1}{2h^{5}}\left[fx_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)-hf^{\prime}\left(x_{0}\right)-\frac{h^{2}}{2!}f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)\right]-\\ -\frac{1}{8h^{5}}\left[f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{0}\right)-2hf^{\prime}(x)-\frac{(2h)^{2}}{2!}f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)\right]+\\ +\frac{1}{54h^{5}}\left[f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{0}\right)-3hf^{\prime}\left(x_{0}\right)-\frac{(3h)^{2}}{2!}f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)\right]=\int_{x_{0}}^{x_{3}}\varphi(x)f^{(5)}(x)dx,\end{gathered}

adică

	$\displaystyle\frac{1}{216h^{5}}\left[108f\left(x_{1}\right)-27f\left(x_{2}\right)\right.$	$\displaystyle\left.+4f\left(x_{3}\right)-85f\left(x_{0}\right)-66hf^{\prime}\left(x_{0}\right)-18h^{2}f^{\prime\prime}(x)\right]=$
		$\displaystyle=\int_{x_{0}}^{x_{3}}\varphi(x)f^{(5)}(x)dx$		(24)

În această formulă avem

\begin{array}[]{rlrl}\varphi_{1}(x)=&\frac{1}{2h^{5}}\frac{\left(x-x_{1}\right)^{4}}{4!}-\frac{1}{8h^{5}}\frac{\left(x-x_{2}\right)^{4}}{4!}+\frac{1}{54h^{5}}\frac{\left(x-x_{3}\right)^{4}}{4!}\\ \varphi_{2}(x)=&-\frac{1}{8h^{5}}\frac{\left(x-x_{2}\right)^{4}}{4!}+\frac{1}{54h^{5}}\frac{\left(x-x_{3}\right)^{4}}{4!}\\ \varphi_{3}(x)=&&\frac{1}{54h^{5}}\frac{\left(x-x_{2}\right)^{4}}{4!}\end{array}

5.

Constantele $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ din ecuatiile diferentiale (4) sînt toate diferite de zero. Pentru a demonstra aceasta, să observăm că din formulele (7) şi (21) avem

	$\displaystyle\lambda_{1}=(-1)^{p+n-1}\left(A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{n}\right)$
	$\displaystyle\lambda_{2}=(-1)^{p+n-1}\left(A_{2}+A_{3}+\cdots+A_{n}\right)$		(25)
	$\displaystyle\lambda_{n}=(-1)^{p+n-1}A_{n}.$

Deci a demonstra că constantele $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ sunt diferite de zero, este tot una cu a demonstra că $A_{1},A_{2},\ldots A_{n}$ fiind reziduurile functiei rationale (20) relativ la polurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ , sumele $A_{j}+A_{j+1}+\ldots+A_{n}$ sînt diferite de zero.

Să considerăm polinomul

h_{k}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{p+1}\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{k-1}\right)\left(x-x_{k+1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{k}-x_{0}\right)^{p+1}\left(x_{k}-x_{1}\right)\ldots\left(x_{k}-x_{k-1}\right)\left(x_{k}-x_{k+1}\right)\ldots\left(x_{k}-x_{n}\right)},

care se anulează în nodul $x_{0}$ împreună cu primele $p$ derivate și în nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}$ și care ia valoarea 1 în nodul $x_{k}$ . Polinomul $h_{k}(x)$ , este un polinom de gradul $p+n$ al cărui prim termen este $A_{k}x^{p+n},A_{k}$ fiind reziduul polului $x_{k}$ al funcţiei raţionale (20).

Polinomul
$h(x)=h_{j}(x)+h_{j+1}(x)+\ldots+h_{n}(x)=\left(A_{j}+A_{j+1}+\ldots+A_{n}\right)x^{p+n}+\ldots$ are rădăcina $x_{0}$ multiplă de ordinul $p+1$ și avem
iar

h\left(x_{j}\right)=1,\quad h\left(x_{j+1}\right)=1,\ldots,h\left(x_{n}\right)=1

h\left(x_{1}\right)=0,\quad h\left(x_{2}\right)=0,\ldots,h\left(x_{j-1}\right)=0.

Aplicînd la polinomul $h(x)$ teorema lui Rolle 1a intervalele $\left[x_{0},x_{1}\right],\ldots,\left[x_{j-2},x_{j-1}\right]$ şi la intervalele $\left[x_{j},x_{j+1}\right],\ldots,\left[x_{n-1},x_{n}\right]$ , deducem că $h(x)$ are rădăcina $x_{0}$ multiplă de ordinul $p$ și alte $n-1$ rădăcini distincte la dreapta lui $x_{0}$ . Repetînd acest raționament la polinomul $h^{\prime}(x)$ , apoi la $h^{\prime\prime}(x),\ldots$ deducem că polinomul $h^{(p)}(x)$ are rădăcina $x_{0}$ şi alte $n-1$ rădăcini distincte 1a dreapta lui $x_{0}$ . Avem
$h^{(p)}(x)=(n+p)(n+p-1)\ldots(p+1)\left(A_{j}+A_{j+1}+\ldots+A_{n}\right)x^{n}+\ldots$
Dacă $A_{j}+A_{j+1}+\ldots+A_{n}=0$ , atunci $h(x)$ este un polinom de grad mai mic decît $n$ , care avînd $n$ rădăcini distincte este identic nul. Se deduce că $h^{(p-1)}(x)=0$ , deoarece $h^{(p-1)}\left(x_{0}\right)=0$ . În $\bmod$ analog se deduce că $h^{(p-2)}(x)=0\ldots$ şi aşa mai departe că $h^{\prime}(x)=0$ . Ar urma deci ca polinomul $h(x)$ să fie o constantă, ceea ce este imposibil căci $h\left(x_{0}\right)=0$ , pe cînd $h\left(x_{n}\right)=1$ .

Deci avem $A_{j}+A_{j+1}+\ldots+A_{n}\neq 0$ şi prin urmare toate constantele $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ sînt diferite de zero.

Putem preciza semnul sumei $A_{j}+A_{j+1}+\ldots+A_{n}$ . Pentru aceasta, observăm că în intervalul $\left[x_{j-1},x_{j}\right]$ polinomul $h(x)$ este pozitiv. Rezultă că $h(x)$ are un maxim în intervalul $\left[x_{j},x_{j+1}\right]$ , un minim în intervalul $\left[x_{j+1},x_{j+2}\right],\ldots$ şi că în ultimul interval $\left[x_{n-1},x_{n}\right],h(x)$ are un maxim sau un minim după cum $(-1)^{n-j}$ este -1 sau +1 .

Dacă $h(x)$ are un maxim în intervalul $\left[x_{n-1},x_{n}\right]$ , atunci $h(x)$ tinde către $-\infty$ cînd $x$ tinde către $+\infty$ ; deci $A_{j}+A_{j+1}+\ldots+A_{n}<0$ .

Dacă $h(x)$ are un minim în intervalul $\left[x_{n-1},x_{n}\right]$ , atunci $h(x)$ tinde către $+\infty$ cînd $x$ tinde către $+\infty$ , deci $A_{j}+A_{j+1}+\ldots+A_{n}>0$ .

Prin urmare suma $A_{j}+A_{j+1}+\ldots+A_{n}$ are semnul lui $(-1)^{n-j}$ şi putem adăuga după formulele (25) că $\lambda_{j}$ are semnul lui $(-1)^{p+j+1}$ .
6. Functia $\varphi(x)$ din formula de derivare numerică (6) sau (22) sau (22’) este pozitivă in intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ). Pentru $n=1$ , acest lucru este evident căci formula (6) se reduce în acest caz la formula lui Taylor cu restul scris sub forma lui Lagrange.

Să presupunem deci $n\geqslant 2$ . Funcţia $\varphi(x)$ satisface în nodurile $x_{0}$ şi $x_{n}$ la următoarele condiții

		$\displaystyle\varphi\left(x_{0}\right)=0,\quad\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)=0,\ldots,\varphi^{(n-2)}\left(x_{0}\right)=0$
		$\displaystyle\varphi\left(x_{n}\right)=0,\quad\varphi^{\prime}\left(x_{n}\right)=0,\ldots,\varphi^{(n+p-2)}\left(x_{n}\right)=0$

iar în intervalul $\left[x_{n-1},x_{n}\right]$ ea coincide cu

\varphi_{n}(x)=\lambda_{n}\frac{\left(x-x_{n}\right)^{n+p-1}}{(n+p-1)!}=(-1)^{n+p-1}\lambda_{n}\frac{\left(x_{n}-x\right)^{n+p-1}}{(n+p-1)!}

Însă s-a arătat la nr. 4 , că $\lambda_{n}$ are semnul lui $(-1)^{n+p+1}$ , de unde rezultă că $\varphi(x)=\varphi_{n}(x)$ este pozitivă în intervalul $\left[x_{n-1}x_{n}\right)$ .

Functia $\varphi(x)$ este continuă în intervalul $\left[x_{0},x_{n}\right]$ şi are derivate continue pînă la ordinul $n+p-2$ , derivata $\varphi^{(n+p-1)}(x)$ fiind discontinuă în nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}$ . Funcția $\varphi(x)$ anulîndu-se în nodurile $x_{0}$ și $x_{n}$ , conform teoremei lui Rolle, derivata ei $\varphi^{\prime}(x)$ are cel puțin un zero în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ). Să arătăm că ea nu poate avea decît un singur zero.

Intr-adevăr, dacă $\varphi^{\prime}(x)$ ar avea două zerouri în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ), aplicînd succesiv teorema lui Rolle ar rezulta ca $\varphi^{\prime\prime}(x),\ldots,\varphi^{(n-2)}(x)$ să aibă $3,\ldots,n-1$ zerouri în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ). Continuînd acelaşi rationament, ar urma ca $\varphi^{(n-1)}(x),\varphi^{(n)}(x),\ldots,\varphi^{(n+p-2)}(x)$ să aibă $n$ zerouri în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ). Să arătăm că aceasta este o imposibilitate.

Observăm întîi că nici un zero al lui $\varphi^{(n+p-2)}(x)$ nu se găsește în intervalu1 $\left[x_{n-1},x_{n}\right)$ . De asemenea observăm că într-un interval. $\left(x_{k-1},x_{k}\right]$ , unde $k=1,2,\ldots,n-1,\varphi^{(n+p-2)}(x)$ nu poate să aibă două zerouri, căci aplicînd teorema lui Rolle ar urma ca $\varphi^{(n+p-1)}(x)$ să se anuleze într-un
punct din intervalul ( $x_{k-1},x_{k}$ ), ceea ce este imposibil căci în acest interval avem $\varphi^{(n+p-1)}(x)=\varphi_{k}^{(n+p-1)}(x)=\lambda_{k}\neq 0$ . Deci în intervalul ( $x_{0},x_{n-1}$ ) derivata $\varphi^{(n+p-2)}(x)$ nu poate să aibă decît cel mult $n-1$ zerouri, pe cînd mai sus s-a arătat că în acelaşi interval $\varphi^{(n+p-2)}(x)$ are $n$ zerouri.

Deci ipoteza că $\varphi^{\prime}(x)$ ar avea două zerouri în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ) ducînd la o contradictie, deducem că $\varphi^{\prime}(x)$ are un singur zero în intervalul ( $x_{0},x_{n-1}$ ). Functia $\varphi(x)$ fiind pozitivă în intervalul ( $x_{n-1},x_{n}$ ) și derivata ei $\varphi^{\prime}(x)$ avînd un singur zero în intervalul ( $x_{0},x_{n-1}$ ), este pozitivă în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ).

Graficul funcției $\varphi(x)$ este dat în fig. 1.

7.

Restul in formula de derivare numerică (6), (22) sau (22’). Membrul al doilea al formulei de derivare numerică este

R=(-1)^{n+p+1}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+p)}(x)dx

(26)

și se numeşte restul formulei.
Deoarece s-a demonstrat că $\varphi(x)$ este o funcție pozitivă în intervalul $\left(x_{0},x_{n}\right)$ , restul se mai poate scrie sub forma

R=(-1)^{n+p+1}f^{(n+p)}(\xi)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)dx

unde $\xi\in\left(x_{0},x_{n}\right)$ . Integrala din membrul al doilea se calculează cu ajutorul formulei de derivare numerică (6), înlocuind pe $f(x)$ cu polinomul

f(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{p}\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}{(n+p)!}

Formula (6) ne dă

(-1)^{n+p+1}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)dx=-\frac{v_{p}}{p!}f^{(p)}\left(x_{0}\right)

Avem

\frac{f^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}=(-1)^{n}\frac{\left(x_{1}-x_{0}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{0}\right)}{(n+p)!}

iar formula (19) dă

Rezultă că

v_{p}=\frac{(-1)^{p}}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\cdots\left(x_{n}-x_{0}\right)}

\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)dx=\frac{1}{(n+p)!}

și prin urmare restul $R$ dat de formula (26) se mai scrie sub forma

R=(-1)^{n+p+1}\frac{f^{(n+p)}(\xi)}{(n+p)!}

(

\prime

)

unde $\xi\in\left(x_{0},x_{n}\right)$ .
Dacă formula de derivare numerică (6) este scrisă sub forma (16) și notăm cu $R_{1}$ membrul al doilea al acestei formule, atunci avem conform calculelor de mai sus

R_{1}=f\frac{(n+p)}{(n+p)!}

și regăsim aici o teoremă bine cunoscută asupra diferenței divizate din membrul întîi al formulei (16).

Dacă notăm cu $M_{n+p}$ o margine superioară a lui $\left|f^{(n+p)}(x)\right|$ în intervalul $[a,b]$ , atunci din formula $\left(26^{\prime}\right)$ deducem următoarea evaluare a lui $|R|$

|R|\leqslant\frac{M_{n+p}}{(n+p)!}

(27)

§ 2. Generalizarea formule lor lui A. A. Markov și punerea restului acestor formule sub formă de integrală definită

8.

Fie $f(x)$ o funcție de clasă $C^{n+1}$ în intervalul $[a,b]$ şi $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ noduri din acest interval, astfel ca $x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}$ . Dacă nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ sînt în progresie aritmetică cu relația $h$ , formulele lui Markov [4],

h^{p}f^{(p)}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=p}^{n}A_{i}\Delta^{i}f\left(x_{0}\right)

(28)

dau derivata $f^{(p)}\left(x_{0}\right)$ cu ajutorul valorilor lui $f(x)$ pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ , unde $p=1,2,\ldots,n$ .

În acest paragraf vom stabili formule de tipul formulelor lui Markov, fără însă să presupunem că nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ sînt in progresie aritmetică și vom studia restul acestor formule pe care-1 vom pune sub formă de integrală definită.
9. Presupunem deci nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ oricum în intervalul $[a,b]$ şi ordonate astfel ca $x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}$ . La intervalele $\left[x_{0},x_{1}\right]$ , $\left[x_{1},x_{2}\right],\ldots,\left[x_{n-1},x_{n}\right]$ ataşăm funcţiile $\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\ldots,\varphi_{n}(x)$ şi constantele $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ și apoi considerăm ecuațiile diferențiale

\varphi_{1}^{(n)}(x)=\lambda_{1},\varphi_{2}^{(n)}(x)=\lambda_{2},\ldots,\varphi_{n}^{(n)}(x)=\lambda^{n}

(29)

pe care le integrăm cu condițiile la limită

	$\displaystyle\varphi_{1}\left(x_{0}\right)=0,\quad\varphi_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right)=0,\ldots,\varphi_{1}^{(n-p-1)}\left(x_{0}\right)=0$
	$\displaystyle\varphi_{1}^{(n-p)}\left(x_{0}\right)=(-1)^{p}\frac{\mu}{p!},\quad\varphi_{1}^{(n-p+1)}\left(x_{0}\right)=0,\ldots,\varphi_{1}^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=0$		(30)
	$\displaystyle\varphi_{2}\left(x_{1}\right)=\varphi_{1}\left(x_{1}\right),\quad\varphi_{2}^{\prime}\left(x_{1}\right)=\varphi_{1}^{\prime}\left(x_{1}\right),\ldots,\varphi_{2}^{(n-1)}\left(x_{1}\right)=\varphi_{1}^{(n-1)}\left(x_{1}\right)$
	$\displaystyle\varphi_{n}\left(x_{n-1)}\right)=\varphi_{n-1}\left(x_{n-1}\right),\quad\varphi_{n}^{\prime}\left(x_{n-1}\right)=\varphi_{n-1}^{\prime}\left(x_{n-1}\right),\ldots$
	$\displaystyle\quad\varphi_{n}^{(n-1)}\left(x_{n-1}\right)=\varphi_{n-1}^{(n-1)}\left(x_{n-1}\right)$
	$\displaystyle\varphi_{n}\left(x_{n}\right)=0,\quad\varphi_{n}^{\prime}\left(x_{n}\right)=0,\ldots,\varphi_{n}^{(n-1)}\left(x_{n}\right)=0$

Constantele $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ şi $\mu$ din ecuațiile diferențiale (29) și din condițiile la limită (30) se determină astfel ca functiile $\varphi_{1}(x),\ldots,\varphi_{n}(x)$ să verifice atît ecuațiile diferențiale cît și condițiile la limită.

Fiecare integrală

\int_{x_{0}}^{x_{1}}\varphi_{1}^{(n+1)}(x)f(x)dx,\int_{x_{1}}^{x_{2}}\varphi_{2}^{(n+1)}(x)f(x)dx,\ldots,\int_{x_{n-1}}^{x_{n}}\varphi_{n}^{(n+1)}(x)f(x)dx

este nulă. Aplicînd la fiecare formula generalizată de integrare prin părți și făcînd suma lor, obținem formula de derivare numerică

	$\displaystyle-\mu\frac{f^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}-\lambda_{1}f\left(x_{0}\right)+K_{1}f\left(x_{1}\right)+\ldots+K_{n}f\left(x_{n}\right)=$
	$\displaystyle=(-1)^{n}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+1)}(x)dx$		(31)

unde

K_{1}=\lambda_{1}-\lambda_{2},\quad K_{2}=\lambda_{2}-\lambda_{3},\ldots,K_{n-1}=\lambda_{n-1}-\lambda_{n},K_{n}=\lambda_{n}.

(32)

În stabilirea formulei (31) s-a presupus că $1\leqslant p\leqslant n$ .
Pentru a arăta că formula (31) are sens, trebuie să determinăm functiile $\varphi_{1}(x),\ldots,\varphi_{n}(x)$ care verifică ecuațiile diferențiale (29) și condiţiile la limită (30).

Ecuațiile diferențiale (29) și condiţiile la limită din nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ ne dau

	$\displaystyle\varphi_{n}(x)=K_{n}\frac{\left(x-x_{n}\right)^{n}}{n!}$
	$\displaystyle\varphi_{n-1}(x)=K_{n-1}\frac{\left(x-x_{n-1}\right)^{n}}{n!}+K_{n}\frac{\left(x-x_{n}\right)^{n}}{n!}$		(33)
	$\displaystyle\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots K_{n}\frac{\left(x-x_{n}\right)^{n}}{n!}.$

Scriind că și condițiile la limită din punctul $x_{0}$ sînt satisfăcute, avem sistemul de ecuații liniare și omogene

	$\displaystyle K_{1}\left(x_{1}-x_{0}\right)+K_{2}\left(x_{2}-x_{0}\right)+\ldots+K_{n}\left(x_{n}-x_{0}\right)=0$
	$\displaystyle K_{1}\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p-1}+K_{2}\left(x_{2}-x_{0}\right)^{p-1}+\cdots+K_{n}\left(x_{n}-x_{0}\right)^{p-1}=0$
	$\displaystyle K_{1}\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p}+K_{2}\left(x_{2}-x_{0}\right)^{p}+\ldots+K_{n}\left(x_{n}-x_{0}\right)^{p}=\mu$		(34)
	$\displaystyle K_{1}\left(x_{1}-x_{0}\right)^{p+1}+K_{2}\left(x_{2}-x_{0}\right)^{p+1}+\ldots+K_{n}\left(x_{n}-x_{0}\right)^{p+1}=0$
	$\displaystyle K_{1}\left(x_{1}-x_{0}\right)^{n}+K_{2}\left(x_{2}-x_{0}\right)^{n}+\ldots+K_{n}\left(x_{n}-x_{0}\right)^{n}=0,$

care determină pe $K_{1},K_{2},\ldots,K_{n}$ , sau sistemul

	$\displaystyle-\lambda_{1}+K_{1}+\ldots+K_{n}=0$
	$\displaystyle-\lambda_{1}x_{0}^{p}-C_{p}^{p}\mu+K_{1}x_{1}^{p}+\ldots+K_{n}x_{n}^{p}=0$
	$\displaystyle-\lambda_{1}x_{0}^{p+1}-C_{p+1}^{p}\mu x_{0}+K_{1}x_{1}^{p+1}+\cdots+K_{n}x_{n}^{p+1}=0$		(35)
	$\displaystyle-\lambda_{1}x_{0}^{n}-C_{n}^{p}\mu x_{0}^{n-p}+K_{1}x_{1}^{n}+\ldots+K_{n}x_{n}^{n}=0,$

care determină pe $K_{1},K_{2},\ldots K_{n},\lambda$ și $\mu$ .
Considerăm matricea

\begin{array}[]{||ccccc||}1&0&1&\ldots&1\\ x_{0}&0&x_{1}&\ldots&x_{n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{0}^{p}&C_{p}^{p}&x_{1}^{p}&\ldots&x_{n}^{p}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{0}^{n}&C_{n}^{p}x_{0}^{n-p}&x_{1}^{n}&\ldots&x_{n}^{n}\end{array}\|

și notăm cu $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n+2}$ determinanții care au aceleaşi linii și coloane afară de $1-\mathrm{a}$ , a $2-\mathrm{a},\ldots$ , a $(n+2)$ -a. Toți aceşti determinanți sînt diferiţi de zero, și rezolvînd sistemul (35) în $-\lambda_{1},-\mu,K_{1},\ldots,K_{n}$ vom avea

\frac{-\lambda_{1}}{A_{1}}=\frac{-\mu}{-A_{2}}=\frac{K_{1}}{A_{3}}=\ldots=\frac{(-1)^{n+1}}{A_{n+2}}

(36)

Membrul întîi al formulei de derivare numerică fiind o combinaţie liniară de numărătorii din formulele (36), aceste formule se mai scriu sub forma

\frac{-\lambda_{1}}{A_{1}}=\frac{-\mu}{-A_{2}}=\frac{K_{1}}{A_{3}}=\ldots=\frac{K_{n}}{(-1)^{n+1}A_{n+2}}=\frac{-\int_{x_{0}}\varphi(x)f^{(n+1)}(x)dx}{\Delta},

(37)

unde

\Delta=\left|\begin{array}[]{ccccc}1&0&1&\ldots&1\\ x_{0}&0&x_{1}&\ldots&x_{n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{0}^{p}&C_{p}^{p}&x_{1}^{p}&\ldots&x_{n}^{p}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{0}^{n}&C_{n}^{p}x_{0}^{n-p}&x_{1}^{n}&\ldots&x_{n}^{n}\\ f\left(x_{0}\right)&\frac{f^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}&f\left(x_{1}\right)&\ldots&f\left(x_{n}\right)\end{array}\right|.

Să demonstrăm că determinantul $\Delta_{1}$ care se obține din $\Delta$ inlocuind pe $f(x)\penalty 10000\ cux^{n+1}$ este diferit de zero. Pentru aceasta, considerăm determinantul lui Vandermonde

\left|\begin{array}[]{lllll}1&1&1&\ldots&1\\ x_{0}&x&x_{1}&\ldots&x_{n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{0}^{p}&x^{p}&x_{1}^{p}&\ldots&x_{n}^{p}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ x_{0}^{n+1}&x^{n+1}&x_{1}^{n+1}&\ldots&x_{n}^{n+1}\end{array}\right|=(-1)^{n}\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)\times

unde $V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\right)$ este determinantul lui Vandermonde al numerelor distincte $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ . Derivînd ambii membrii în raport cu $x$ de $p$ ori, împărțind cu $p$ ! şi făcînd apoi $x=x_{0}$ , obținem valoarea determinantului $\Delta_{1}$ . Să notăm

h(x)=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right).

Vom avea

\frac{h^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}=\Sigma\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{0}-x_{n-p+1}\right)

Notînd în general

\mu_{k}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)=\sum\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{0}\right)\ldots\left(x_{k}-x_{0}\right)>0

(39)

vom avea

\frac{h^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}=(-1)^{n-p+1}\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)

Rezultă că

\Delta_{1}=(-1)^{p-1}V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\right)\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\neq 0

(40)

Egalînd rapoartele (37) cu $-\frac{1}{\Delta_{1}}$ , deducem că formula de derivare numerică (31) se mai poate scrie sub forma

\frac{\Delta}{\Delta_{1}}=\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+1)}(x)dx

(41)

unde $\Delta$ este determinantul (38), iar $\Delta_{1}$ se obtine din $\Delta$ inlocuind pe $f(x)$ cu $x^{n+1}$ .
10. Calculul coeficientilor $\lambda_{1},\mu,K_{1},K_{2},\ldots,K_{n}$ . Din formulele

\frac{-\lambda_{1}}{A_{1}}=\frac{-\mu}{-A_{2}}=\frac{K_{1}}{A_{3}}=\ldots=\frac{K_{n}}{(-1)^{n+1}A_{n+2}}=-\frac{1}{\Delta_{1}}

se deduce că

\lambda_{1}=\frac{A_{1}}{\Delta_{1}},\mu=-\frac{A_{2}}{\Delta_{1}},K_{1}=-\frac{A_{3}}{\Delta_{1}},\ldots,K_{n}=(-1)^{n}\frac{A_{n+2}}{\Delta_{1}}

Însă

		$\displaystyle A_{1}=(-1)^{p}V\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)$
		$\displaystyle A_{2}=V\left(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\right)$
		$\displaystyle A_{3}=(-1)^{p-1}V\left(x_{0},x_{2}x_{3},\ldots,x_{n}\right)\mu_{n-p}\left(x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)$
		$\displaystyle A_{4}=(-1)^{p-1}V\left(x_{0},x_{1},x_{3},\ldots,x_{n}\right)\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},x_{3}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)$
		$\displaystyle\left.\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot x_{n-1}\right)\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n-1}\right)$
		$\displaystyle A_{n+2}=(-1)^{p-1}V\left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}\right.$

Ţinînd seama de formula (40) se deduce că

\mu=\frac{(-1)^{p}}{\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)}

(42)

iar

	$\displaystyle\lambda_{1}=-\frac{V\left(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}\right)}{V\left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)}\cdot\frac{\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)}{\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)}$
	$\displaystyle K_{1}=-\frac{V\left(x_{0},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}\right)}{V\left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)}\cdot\frac{\mu_{n-p}\left(x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)}{\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)}$		(43)
	$\displaystyle\left.\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot x_{n}\right)$
	$\displaystyle K_{n}=(-1)^{n}\frac{V\left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}\right)}{V\left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)}\cdot\frac{\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n-1}-x_{0}\right)}{\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)}$

Însă

		$\displaystyle\frac{V\left(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}\right)}{V\left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)}=\frac{1}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{0}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{0}\right)}$
		$\displaystyle\frac{V\left(x_{0},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}\right)}{V\left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)}=\frac{-1}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{1}\right)}$
		$\displaystyle\frac{V\left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}\right)}{V\left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)}=\frac{(-1)^{n}}{\left(x_{0}-x_{n}\right)\left(x_{1}-x_{n}\right)\ldots\left(x_{n-1}-x_{n}\right)}$

iar dacă se consideră funcția rațională

\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}=\frac{B_{0}}{x-x_{0}}+\frac{B_{1}}{x-x_{1}}+\ldots+\frac{B_{n}}{x-x_{n}}

(44)

dezvoltată în funcții raționale simple, avem

		$\displaystyle B_{0}=\frac{(-1)^{n}}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{0}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{0}\right)}$
		$\displaystyle B_{1}=\frac{(-1)^{n}}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{1}\right)}$
		$\displaystyle B_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\left(x_{0}-x_{n}\right)\left(x_{1}-x_{n}\right)\ldots\left(x_{n-1}-x_{n}\right)}$

Revenind la formulele (43), vom avea

	$\displaystyle-\lambda_{1}=(-1)^{n}B_{0}\frac{\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)}{\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)}$
	$\displaystyle K_{1}=(-1)^{n}B_{1}\frac{\mu_{n-p}\left(x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)}{\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)}$		(45)
	$\displaystyle\left.\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot x_{n-1}-x_{0}\right)$
	$\displaystyle K_{n}=(-1)^{n}B_{u}\frac{\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}\right.}{\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)}$

Deoarece semnul lui $B_{i}$ este semnul lui $(-1)^{n+i}$ , din formulele (45) deducem că $-\lambda_{1}>0,K_{1}<0,K_{2}>0,\ldots,(-1)^{n}K_{n}>0$ , adică $-\lambda_{1},K_{1},\ldots,K_{n}$ au semnele alternate, $-\lambda_{1}$ fiind pozitiv.

Din formulele (45) deducem că formula de derivare numerică (31) se mai scrie sub forma

$\displaystyle(-1)^{n+p+1}\frac{f^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}$	$\displaystyle+B_{0}\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)f\left(x_{0}\right)$
	$\displaystyle+B_{1}\mu_{n-p}\left(x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)f\left(x_{1}\right)$
	$\displaystyle+\cdots\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$	(46)
	$\displaystyle+B_{n}\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n-1}-x_{0}\right)f\left(x_{n}\right)$
	$\displaystyle=\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+1)}(x)dx$

Avem prin urmare o regulă practică pentru a se scrie formula de derivare numerică (46). Se calculează reziduurile $B_{0},B_{1},\ldots,B_{n}$ din formula (44), apoi se calculează sumele $\mu_{n-p}$ şi $\mu_{n-p+1}$ și în fine se scrie formula (46).

Exemplu. Să presupunem că $n=4$ și $p=2$ , iar nodurile $x_{0},x_{1},x_{2}$ , $x_{3},x_{4}$ sînt în progresie aritmetică cu rația $h$ . Avem

		$\displaystyle\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)\left(x-x_{4}\right)}=$
		$\displaystyle=\frac{B_{0}}{x-x_{0}}+\frac{B_{1}}{x-x_{1}}+\frac{B_{2}}{x-x_{2}}+\frac{B_{3}}{x-x_{3}}+\frac{B_{4}}{x-x_{4}}$

unde

B_{0}=\frac{1}{24h^{4}},\quad B_{1}=-\frac{1}{6h^{4}},\quad B_{2}=\frac{1}{4h^{4}},\quad B_{3}=-\frac{1}{6h^{4}},\quad B_{4}=\frac{1}{24h^{4}}

Pe de altă parte din șirul

x_{1}-x_{0}=h,\quad x_{2}-x_{0}=2h,\quad x_{3}-x_{0}=3h,\quad x_{4}-x_{0}=4h

deducem că

\mu_{3}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0},x_{4}-x_{0}\right)=50h^{3}

iar

		$\displaystyle\mu_{2}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0},x_{4}-x_{0}\right)=5h^{2}$
		$\displaystyle\mu_{2}\left(x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0},x_{4}-x_{0}\right)=6h^{2}$
		$\displaystyle\mu_{2}\left(x_{1}-x_{0},x_{3}-x_{0},x_{4}-x_{0}\right)=9h^{2}$
		$\displaystyle\mu_{2}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},x_{4}-x_{0}\right)=4h^{2}$
		$\displaystyle\mu_{2}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0}\right)=1h^{2}$

Aplicînd formula (46), vom avea următoarea formulă de derivare numerică

	$\displaystyle\frac{f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)}{2}=\frac{1}{24h^{2}}\left[35f\left(x_{0}\right)-104f\left(x_{1}\right)+114f\left(x_{2}\right)-56f\left(x_{3}\right)+11f\left(x_{4}\right)\right]$
	$\displaystyle-50h^{3}\int_{x_{0}}^{x_{4}}\varphi(x)f^{(5)}(x)dx$		(47)

11.

O nouă tormă a formulei de derivare numerică (31) sau (46). Din definiția diferențelor divizate ale funcției $f(x)$ pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ , rezultă că putem scrie
$f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{0}\right)+\left(x_{1}-x_{0}\right)\left[x_{0},x_{1};f(x)\right]$
$f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{0}\right)+\left(x_{2}-x_{0}\right)\left[x_{0},x_{1};f(x)\right]+\left(x_{2}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)\left[x_{0},x_{1},x_{2};f(x)\right]$

	$\displaystyle f\left(x_{n}\right)=$	$\displaystyle f\left(x_{0}\right)+\left(x_{n}-x_{0}\right)\left[x_{0},x_{1};f(x)\right]+\left(x_{n}-x_{0}\right)\left(x_{n}-x_{1}\right)\left[x_{0},x_{1},x_{2};f(x)\right]+$
		$\displaystyle+\ldots+\left(x_{n}-x_{0}\right)\left(x_{n}-x_{1}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{n-1}\right)\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};f(x)\right]$

Înlocuind în formula (46) pe $f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),\ldots,f\left(x_{n}\right)$ cu ajutorul diferent, divizate, această formulă ia următoarea formă

	$\displaystyle(-1)^{n+p+1}\frac{f^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}+D_{0}f\left(x_{0}\right)+D_{1}\left[x_{0},x_{1};f(x)\right]+\ldots+$
$\displaystyle+$	$\displaystyle D_{p}\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{p};f(x)\right]+\ldots+D_{n}\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};f(x)\right]=$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+1)}(x)dx$	(48)

Coeficienții $D_{0},D_{1},\ldots,D_{n}$ se determină în modul următor: înlocutind pe $f(x)$ cu $1,x,\ldots x^{p-1}$ se constată că $D_{0},D_{1},\ldots,D_{p-1}$ sînt nuli. Apoi pentru a determina pe $D_{p+i}$ , unde $i=0,1,\ldots,n-p$ , înlocuim pe $f(x)\mathrm{cu}$

f_{p+i}(x)=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{p+i-1}\right)

Toate diferentele divizate din formula (48) sînt atunci nule, afară de diferența divizată $\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{p+i};f_{p+i}(x)\right]$ care este egală cu 1 . Se deduce că

D_{p+i}=(-1)^{n+p}\frac{f_{p+i}^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}

Însă

\frac{f_{p+i}^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}=(-1)^{i}\mu_{i}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{p+i-1}-x_{0}\right)

și prin urmare vom avea

D_{p+i}=(-1)^{n+p+i}\mu_{i}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{p+i-1}-x_{0}\right)

adică

		$\displaystyle D_{p}=(-1)^{n+p}$
		$\displaystyle D_{p+1}=(-1)^{n+p+1}\mu_{1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{p}-x_{0}\right)$
		$\displaystyle D_{p+2}=(-1)^{n+p+2}\mu_{2}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{p+1}-x_{0}\right)$
		$\displaystyle D_{n}=(-1)^{n+n}\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n-1}-x_{0}\right).$

Formula de derivare numerică (46) poate fi scrisă deci sub forma

	$\displaystyle\frac{f^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}$	$\displaystyle=\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{p};f(x)\right]-\mu_{1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{p}-x_{0}\right)\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{p+1};f(x)\right]$
		$\displaystyle+\mu_{2}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{p+1}-x_{0}\right)\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{p+2};f(x)\right]-\ldots+$
		$\displaystyle+(-1)^{n-p}\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n-1}-x_{0}\right)\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};f(x)\right]$
		$\displaystyle+(-1)^{n-p+1}\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+1)}(x)dx$

unde în membrul al doilea s-au pus în evidență diferențele divizate ale functiei $f(x)$ pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ .

In particular, cînd nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ sînt în progresie aritmetică cu raţia $h$ , avem

\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{q};f(x)\right]=\frac{\Delta^{q}f(x)}{q!h^{q}}

iar

\mu_{i}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{p+i-1}-x_{0}\right)=h^{i}\sum 1.2\ldots i

unde suma din membrul al doilea este extinsă la toate produsele de $i$ factori luați dintre numerele $1,2,\ldots,p+i-1$ . Dacă notăm această sumă cu $\theta_{i}(1,2,\ldots,p+i-1)$ , vom putea scrie

\mu_{i}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{p+i-1}-x_{0}\right)=h^{i}\theta_{i}(1,2,\ldots,p+i-1)

și formula de derivare numerică devine

	$\displaystyle\frac{h^{p}f^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}=\frac{\Delta^{(p)}f\left(x_{0}\right)}{p!}-\theta_{1}(1,2,\ldots,p)\frac{\Delta^{p+1}f\left(x_{0}\right)}{(p+1)!}+$
	$\displaystyle+\theta_{2}(1,2,\ldots,p+1)\frac{\Delta^{p+2}f\left(x_{0}\right)}{(p+2)!}-\ldots+(-1)^{n-p}\theta_{n-p}(1,2,\ldots,n-1)\frac{\Delta^{n}f\left(x_{0}\right)}{n!}+$
	$\displaystyle+(-1)^{n-p+1}\theta_{n-p+1}(1,2,\ldots,n)h^{n+1}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+1)}(x)dx$		(50)

Această formulă este cunoscută sub numele de formula lui Markov: ea exprimă derivata de ordinul $p$ a funcției $f(x)$ în nodul $x_{0}$ , cu ajutorul diferentelor succesive ale functiei $f(x)$ în nodul $x_{0}$ , pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ , începînd cu diferența de ordinul $p$ și terminînd cu diferența de ordinul $n$ . Stabilind formula lui Markov, am pus in evidență și restul ei scris sub formă de integrală definită.

Formula de derivare numerică (31) sau (46) sau (49) apare astfel ca o generalizare a formulei lui Markov, în sensul că în formula (49) nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ nu mai sînt în progresie aritmetică.

Ne rămîne să studiem restul formulelor de derivare numerică (49) și (50).
12. $O$ proprietate importantă a coeficientilor $K_{i}$ . Să demonstrăm că sumele $K_{j}+K_{j+1}+\ldots+K_{n}$ , unde $j=1,2,\ldots,n$ sînt diferite de zero.

Pentru aceasta, să considerăm polinoamele

h_{k}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{k-1}\right)\left(x-x_{k+1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{k}-x_{0}\right)\left(x_{k}-x_{1}\right)\ldots\left(x_{k}-x_{k-1}\right)\left(x_{k}-x_{k+1}\right)\ldots\left(x_{k}-x_{n}\right)}

pentru $k=j,j+1,\ldots,n$ , şi suma lor

h(x)=h_{j}(x)+h_{j+1}(x)+\ldots+h_{n}(x)

6 - Studii şi cercetări de matematică

Polinomul $h(x)$ este de gradul $n$ și coeficientul lui $x^{n}$ are semnul lui $(-1)^{n-j}$ . (nr. 4). Avem

\begin{array}[]{ll}h\left(x_{0}\right)=0,&h\left(x_{1}\right)=0,\ldots,h\left(x_{j-1}\right)=0\\ h\left(x_{j}\right)=1,&h\left(x_{j+1}\right)+1,\ldots,h\left(x_{n}\right)=0\end{array}

Inlocuind în formula de derivare numerică (31) pe $f(x)$ cu $h(x)$ , vom avea

K_{j}+K_{j+1}+\ldots+K_{n}=\frac{h^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}\mu

S-a văzut (nr. 4) că $h^{\prime}(x)$ are $n-1$ rădăcini distincte în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ). Aplicînd teorema lui Rolle, se deduce că $h^{\prime\prime}(x)$ are $n-2$ rădăcini distincte în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ), … și că $h^{(p)}(x)$ are $n-p$ rădăcini distincte în intervalul $x_{0},x_{n}$ ). Insă $h^{(p)}(x)$ este un polinom de gradul $n-p$ şi prin urmare $h^{(p)}\left(x_{0}\right)\neq 0$ , ceea ce dovedeşte că suma $K_{j}+K_{j+1}+\ldots+K_{n}$ este diferită de zero. Putem preciza și semnul acestei sume. Pentru aceasta, observăm că semnul lui $h^{(p)}\left(x_{0}\right)$ este semnul lui $h^{(p)}(x)$ cînd $x\rightarrow-\infty$ , adică semnul lui $(-1)^{n-j}\cdot(-1)^{n-p}=(-1)^{p+j}$ . Pe de altă parte, din formula (42), semnul lui $\mu$ este semnul lui $(-1)^{p}$ . Deci semnul sumei $K_{j}+K_{j+1}++\ldots+K_{n}$ este semnul lui $(-1)^{i}$ .

Concluzie. Constantele $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ din ecuatiile diferentiale (29) sînt diferite de zero. Intr-adevăr, din formulele (32) rezultă că

		$\displaystyle\lambda_{1}=K_{1}+K_{2}+\ldots+K_{n}$
		$\displaystyle\cdot\cdots\cdot\cdots\cdot$
		$\displaystyle\lambda_{j}=K_{j}+K_{j+1}+\ldots+K_{n}$
		$\displaystyle\cdot\cdots\cdot\cdot$
		$\displaystyle\lambda_{n}=K_{n}$

și ţinînd seama de proprietatea de mai sus a coeficienţilor $K_{1},K_{2},\ldots,K_{n}$ deducem că $\lambda_{j}$ este diferit de zero și are semnul lui $(-1)^{j}$ .
13. Functia $\varphi(x)$ din formula de derivare numerică (31) este pozitivă în ( $x_{0},x_{n}$ ). Să observăm întîi că functia $\varphi_{n}(x)$ este pozitivă în intervalul $\left[x_{n-1},x_{n}\right)$ . Intr-adevăr, după formulele (33) avem

\varphi_{n}(x)=K_{n}\frac{\left(x-x_{n}\right)^{n}}{n!}=(-1)^{n}K_{n}\frac{\left(x_{n}-x\right)^{n}}{n!}

Insă s-a arătat la nr. 12 că $(-1)^{n}K_{n}>0$ , de unde rezultă că funcția $\varphi_{n}(x)$ este pozitivă în intervalul $\left[x_{n-1},x_{n}\right)$ ,

Funcția $\varphi(x)$ este continuă și are derivate continue pînă la ordinul $n-1$ în intervalul $\left[x_{0},x_{n}\right]$ . In plus $\varphi^{(n)}(x)$ este o funcţie continuă in fiecare interval partial $\left(x_{i-1},x_{i}\right)$ şi avem $\varphi_{i}^{(n)}(x)=\lambda_{i}\neq 0$ .

Conditiile 1a limită în nodurile $x_{0}$ și $x_{n}$ sînt diferite după cum $p=1$ , $1<p<n-1,p=n-1,p=n$ .
$1^{\circ}.p=1$ . Condițiile la limită sînt

	$\displaystyle\varphi\left(x_{0}\right)=0,\quad\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)=0,\ldots,\varphi^{(n-2)}\left(x_{0}\right)=0,\quad\varphi^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=-\mu\neq 0$
	$\displaystyle\varphi\left(x_{n}\right)=0,\quad\varphi^{\prime}\left(x_{n}\right)=0,\ldots,\varphi^{(n-2)}\left(x_{n}\right)=0,\quad\varphi^{(n-1)}\left(x_{n}\right)=0.$		(51)

$2^{\circ}.1<p<n-1$ . Condițiile la limită sînt

	$\displaystyle\varphi\left(x_{0}\right)=0,\quad\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)=0,\ldots,\varphi^{(n-p-1)}\left(x_{0}\right)=0,\varphi^{(n-p)}\left(x_{0}\right)=(-1)^{p}\frac{\mu}{p!}\neq 0$
	$\displaystyle\varphi^{(n-p+1)}\left(x_{0}\right)=0,\ldots,\varphi^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=0$		(52)

$\varphi\left(x_{n}\right)=0,\quad\varphi^{\prime}\left(x_{n}\right)=0,\ldots,\varphi^{(n-1)}\left(x_{n}\right)=0$ .
$3^{\circ}\cdot p=n-1$ . Condițiile 1a limită sînt

	$\displaystyle\varphi\left(x_{0}\right)=0,\quad\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)=(-1)^{n-1}\frac{\mu}{(n-1)!}\neq 0,\quad\varphi^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)=0,\ldots,\varphi^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=0$
	$\displaystyle\varphi\left(x_{n}\right)=0,\quad\varphi^{\prime}\left(x_{n}\right)=0,\ldots,\varphi^{(n-1)}\left(x_{n}\right)=0$		(53)

	$\displaystyle\varphi\left(x_{0}\right)=(-1)^{n}\frac{\mu}{n!}\neq 0,\quad\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)=0,\ldots,\varphi^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=0$
	$\displaystyle\varphi\left(x_{n}\right)=0,\quad\varphi^{\prime}\left(x_{n}\right)=0,\ldots,\varphi^{(n-1)}\left(x_{n}\right)=0$		(54)

În primele trei cazuri $\varphi(x)$ anulîndu-se în $x_{0}$ și $x_{n}$ , după teorema lui Rolle, $\varphi^{\prime}(x)$ are cel puțin un zero în intervalu1 ( $x_{0},x_{n}$ ). Să dovedim că $\varphi^{\prime}(x)nu$ poate să aibă decît un zero în intervalul ( $x_{0},x_{n-1}$ ).

Să presupunem că derivata $\varphi^{\prime}(x)$ ar avea două zerouri cuprinse între $x_{0}$ şi $x_{n-1}$ şi să dovedim că aceasta este imposibil.

Aplicînd succesiv teorema lui Rolle, se arată din conditiile la limită (51), (52) și (53) că $\varphi^{(n-1)}(x)$ are $n$ zerouri în intervalul $\left(x_{0},x_{n-1}\right)$ in cazul $p=1$ , sau $n-1$ zerouri în intervalul ( $x_{0},x_{n-1}$ ) cînd $1<p\leqslant n-1$ . Într-un interval parțial ( $x_{i-1},x_{i}$ ] nu se pot găsi două zerouri ale lui $\varphi^{(n-1)}(x)$ . căci dacă aceasta s-ar întîmpla, aplicînd teorema lui Rolle ar urma ca $\varphi^{(n)}(x)$ să se anuleze în intervalul ( $x_{i-1},x_{i}$ ) ceea ce este imposibil căci în acest interval $\varphi^{(n)}(x)=\varphi_{i}^{(n)}(x)=\lambda_{i}\neq 0$ .

Dacă $p=1$ , cele $n$ zerouri ale lui $\varphi^{(n-1)}(x)$ din intervalu1 ( $x_{0},x_{n-1}$ ) nu se pot repartiza decît cîte unul în intervalele $\left(x_{0},x_{1}\right],\left(x_{1},x_{2}\right],\ldots$ , $\left(x_{n-2},x_{n-1}\right)$ şi aceasta este imposibil căci avem numai $n-1$ intervale. S-a ajuns astfel la o contradictie.

Dacă $1<p\leqslant n-1$ , nici un zero al lui $\varphi^{(n-1)}(x)$ nu se găseşte în intervalul ( $x_{0},x_{1}$ ], căci dacă s-ar găsi un zero, avînd $\varphi^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=0$ , putem aplica teorema lui Rolle și ar urma ca $\varphi^{(n)}(x)$ să se anuleze în intervalul
( $x_{0},x_{1}$ ), ceea ce este imposibil deoarece $\lambda_{1}\neq 0$ . Cele $n-1$ zerouri ale lui $\varphi^{(n-1)}(x)$ se găsesc deci în intervalul ( $x_{1},x_{n-1}$ ). Însă s-a văzut mai sus că în fiecare din cele $n-2$ intervale ( $x_{1},x_{2}$ ] , … $\left(\alpha_{n-2},x_{n-1}\right)$ nu se găseşte decît un singur zero al lui $\varphi^{(n-1)}(x)$ . Deci din nou s-a ajuns la o contradicție.

Rezultă că în cazul $p<n,\varphi^{\prime}(x)$ nu are decît un singur zero în intervalul ( $x_{0},x_{n-1}$ ) şi funcția $\varphi(x)$ fiind pozitivă în intervalul [ $x_{n-1},x_{n}$ ), este pozitivă în tot intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ).

Să examinăm și cazul $p=n$ . Observăm că $\varphi\left(x_{0}\right)=(-1)^{n}\frac{\mu}{n!}>0$ . Funcţia $\varphi^{\prime}(x)$ se anulează în $x_{0}$ şi $x_{n}$ , aşa cum arată formulele (54). Aplicînd teorema lui Rolle rezultă că $\varphi^{\prime\prime}(x)$ are cel puțin un zero în intervalul $\left(x_{0},x_{n}\right)$ . Să demonstrăm că $\varphi^{\prime\prime}(x)$ nu are decît un singur zero în intervalul $\left(x_{0},x_{n}\right)$ .

Dacă $\varphi^{\prime\prime}(x)$ ar avea două zerouri în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ), tinînd seama de condițiile la limită (54) şi aplicînd succesiv teorema lui Rolle ar urma ca $\varphi^{(n-1)}(x)$ să aibă $n-1$ zerouri în intervalul ( $x_{0},x_{n-1}$ ), ceea ce este imposibil după cum rezultă din raționamentele făcute mai sus.

Derivata $\varphi^{\prime\prime}(x)$ avînd un singur zero în intervalul ( $x_{0},x_{n-1}$ ), rezultă că derivata $\varphi^{\prime}(x)$ nu se anulează în intervalul ( $x_{0},x_{n-1}$ ), căci dacă s-ar anula, ținînd seama că $\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)=0,\varphi^{\prime}\left(x_{n}\right)=0$ , ar urma că $\varphi^{\prime\prime}(x)$ să se anuleze cel puțin în două puncte din intervalul ( $x_{0},x_{n-1}$ ), ceea ce este imposibil. Deci funcția $\varphi^{\prime}(x)$ nu se anulează în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ) și fiind negativă în intervalul $\left[x_{n-1},x_{n}\right)$ , este negativă în tot intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ). Rezultă că funcţia $\varphi(x)$ este descrescătoare în intervalul $\left[x_{0},x_{n}\right]$ ; fiind pozitivă în $x_{0}$ și nulă în $x_{n}$ , ea este pozitivă în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ).

Graficul functiei $\varphi(x)$ în intervalul $\left[x_{0},x_{n}\right]$ este redat în fig. 2.

14.

Restul în formula de derivare numerică (46). Să notăm cu $R$ , restul în formula de derivare numerică (46), adică

R=\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+1)}(x)dx

Pentru că s-a demonstrat că funcția $\varphi(x)$ este pozitivă în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ), putem aplica formula mediei, şi vom avea
unde $\xi\in\left(x_{0},x_{n}\right)$ .

R=\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)f^{(n+1)}(\xi)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)dx

Integrala din membrul al doilea se calculează cu ajutorul formulei de derivare numerică (46), înlocuind pe $f(x)$ cu

g(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}{(n+1)!}.

Vom avea

(-1)^{n+p+1}\frac{g^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}=\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)dx

Însă

\frac{g^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}=\frac{(-1)^{n-p+1}}{(n+1)!}\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right),

de unde rezultă că

\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)dx=\frac{1}{(n+1)!}

(55)

Prin urmare restul $R$ din formula de derivare numerică (46) se mai scrie sub forma

R=\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!},

(56)

unde $\xi\in\left(x_{0},x_{n}\right)$ .
De asemenea, restul $R_{1}$ din formula de derivare numerică (49) se mai scrie sub forma

R_{1}=(-1)^{n-p+1}\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!},

(57)

unde $\xi\in\left(x_{0},x_{n}\right)$ .
Din formulele (56), (57) rezultă o evaluare a restului $R$ sau $R_{1}$ . Avem

|R|=\left|R_{1}\right|\leqslant\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\frac{M_{n+1}}{(n+1)!}.

In cazul formulei lui Markov (50), restul

R_{2}=(-1)^{n-p+1}\theta_{n-p+1}(1,2,\ldots,n)h^{n+1}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+1)}(x)dx

se mai poate scrie sub forma

R_{2}=(-1)^{n-p+1}\theta_{n-p+1}(1,2,\ldots,n)h^{n+1}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}

(58)

unde $\xi\in\left(x_{0},x_{n}\right)$ .

Capitolul II

INTEGRAREA NUMERICĂ A ECUATTILOR DIFERENT, IALE

§ 1. Formule de integrare numerică rezultînd din aplicarea formulelor de derivare numerică (6)

15.

Inainte de a trece la stabilirea formulelor de integrare numerică să considerăm formula lui Taylor

	$\displaystyle y(x)=$	$\displaystyle y\left(x_{0}\right)+\frac{x-x_{0}}{1!}y^{\prime}\left(x_{0}\right)+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2!}y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)+\ldots+$
		$\displaystyle+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{p}}{p!}y^{(p)}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{p}}{p!}y^{(p+1)}(s)ds$		(59)

şi să vedem ce devine ea, cînd se înlocuiesc $y^{\prime}\left(x_{0}\right),y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right),\ldots,y^{(p)}\left(x_{0}\right)$ , din tormulele de derivare numerică (6).

În formula de derivare numerică

\begin{gathered}-\left[\lambda_{1}f\left(x_{0}\right)+\frac{\nu_{1}}{1!}f^{\prime}\left(x_{0}\right)+\ldots+\frac{\nu_{p}}{p!}f^{(p)}\left(x_{0}\right)\right]\\ +K_{1}f\left(x_{1}\right)+K_{2}f\left(x_{2}\right)+\ldots+K_{n}f\left(x_{n}\right)=(-1)^{n+p-1}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\varphi(x)f^{(n+p)}(x)dx\end{gathered}

în care reamintim că $v_{p}\neq 0$ , deoarece avem

v_{p}=\frac{(-1)^{p}}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{0}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{0}\right)}

să înlocuim pe $f(x)$ cu $y(x)$ , iar funcția $\varphi(x)$ s-o notăm cu $\Phi_{p}(x)$ , pentru a pune în evidență indicele $p$ care este ordinul cel mai înalt al derivatelor din formula (6). Mai reamintim că

\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{p}(x)dx=\frac{1}{(n+p)!}

(60)

Înlocuind în formula (6), $p$ cu $1,2,3,\ldots$ şi rezolvînd aceste ecuaţii în raport cu $y^{\prime}\left(x_{0}\right),y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right),\ldots,y^{(p)}\left(x_{0}\right)$ , vom obt,ine formule de forma

	$\displaystyle y^{\prime}\left(x_{0}\right)=B_{10}y\left(x_{0}\right)+B_{11}y\left(x_{1}\right)+\ldots+B_{1n}y\left(x_{n}\right)+$
	$\displaystyle+C_{11}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{1}(x)y^{(n+1)}(x)dx$
	$\displaystyle y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)=B_{20}y\left(x_{0}\right)^{x_{n}}+B_{21}y\left(x_{1}\right)+\ldots+B_{2n}y\left(x_{n}\right)+$
	$\displaystyle+C_{21}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{1}(x)y^{(n+1)}(x)dx+C_{22}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{2}(x)y^{(n+2)}(x)dx$		(61)
	$\displaystyle y^{(p)}\left(x_{0}\right)=B_{p0}y\left(x_{0}\right)+B_{p1}y\left(x_{1}\right)+\ldots+B_{pn}y\left(x_{n}\right)+$
	$\displaystyle+C_{p1}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{1}(x)y^{(n+1)}(x)dx+\ldots+C_{pp}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{p}(x)y^{(n+p)}(x)dx$

unde $B_{ik}$ şi $C_{jl}$ sînt numere bine determinate, iar

C_{11}\neq 0,\quad C_{22}\neq 0,\ldots,C_{pp}\neq 0

(62)

Dacă înlocuim în formula lui Taylor (59) pe $y^{\prime}\left(x_{0}\right),y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right),\ldots,y^{(p)}\left(x_{0}\right)$ cu membrii ai doilea ai formulelor (61), obtinem formule de forma

	$\displaystyle y\left(x_{0}\right)=B_{0}(x)y\left(x_{0}\right)+B_{1}(x)y\left(x_{1}\right)+\ldots+B_{n}(x)y\left(x_{n}\right)+$		(63)
	$\displaystyle+C_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{1}(x)y^{(n+1)}(x)dx+C_{2}(x)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{2}(x)y^{(n+2)}(x)dx+\ldots+$
	$\displaystyle+\ldots+C_{p}(x)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{p}(x)y^{(n+p)}(x)dx+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{p}}{p!}y^{(p+1)}(s)ds$

Rămîne să determinăm polionoamele $B_{0}(x),B_{1}(x),\ldots,B_{n}(x)$ şi $C_{1}(x)$ , $C_{2}(x),\ldots,C_{p}(x)$ .

Determinarea polinoamelor $B_{0}(x),B_{1}(x),\ldots,B_{n}(x)$ . Vom deosebi două cazuri, după cum $p<n$ sau $p\geqslant n$ .
$1^{\circ}$ . Cazul $p<n$ . Pentru a determina pe $B_{0}(x)$ , înlocuim în formula (63) pe $y(x)$ cu

Vom obține

y_{0}(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right).

\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{0}-x_{n}\right)B_{0}(x)=y_{0}(x)-\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{p}}{p!}y_{0}^{(p+1)}(s)ds

Diferenţa din membrul al doilea este dată de formula lui Taylor (59), în care inlocuim pe $y(x)$ cu $y_{0}(x)$ . Avem

\frac{y_{0}^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}=(-1)^{n-k}\mu_{n-k}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right),

de unde rezultă că vom avea

	$\displaystyle B_{0}(x)=\frac{1}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{2}-x_{0}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{0}\right)}\left\{\mu_{n}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)-\right.$
	$\displaystyle-\mu_{n-1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+$
	$\displaystyle\left.\left.+\ldots\ldots,\ldots,\ldots,\ldots,x_{n}\right)\left(x-x_{0}\right)^{p}\right\}.$

Pentru a determina polinomul $B_{i}(x)$ , înlocuim în formula (63) pe $y(x)\mathrm{cu}$

y_{i}(x)=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{i-1}\right)\left(x-x_{i+1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)

şi obţinem

\begin{gathered}\left(x_{i}-x_{0}\right)\left(x_{i}-x_{1}\right)\ldots\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(x_{i}-x_{i+1}\right)\ldots\left(x_{i}-x_{n}\right)B_{i}(x)=\\ =y_{i}(x)-\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{p}}{p!}y_{i}^{(p+1)}(s)ds\end{gathered}

Membrul al doilea se calculează tot cu formula lui Taylor (59), în care înlocuim pe $y(x)$ cu $y_{i}(x)$ . Avem $y_{i}\left(x_{0}\right)=0$ , iar

\frac{y^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}=(-1)^{n-k}\mu_{n-k}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{i-1}-x_{0},x_{i+1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right).

Rezultă că polinomul $B_{i}(x)$ este

		$\displaystyle B_{i}(x)=\frac{(-1)^{n-1}}{\left(x_{i}-x_{0}\right)\left(x_{i}-x_{1}\right)\ldots\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(x_{i}-x_{i+1}\right)\ldots\left(x_{i}-x_{n}\right)}$
		$\displaystyle\left\{\mu_{n-1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{i-1}-x_{0},x_{i+1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)-\right.$
		$\displaystyle-\mu_{n-2}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{i-1}-x_{0},x_{i+1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}+(5)$
		$\displaystyle+\ldots.\ldots.\ldots......$
		$\displaystyle\left.+(-1)^{p-1}\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{i-1}-x_{0},x_{i+1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{p}\right\}.$

Dacă notăm cu $A_{0},A_{1},\ldots,A_{n}$ reziduurile funcţiei raţionale

\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}=\frac{A_{0}}{x-x_{0}}+\frac{A_{1}}{x-x_{1}}+\ldots+\frac{A_{n}}{x-x_{n}}

relativ la polii $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ , formulele (64) şi (65) se mai scriu sub forma

$\displaystyle B_{0}(x)=(-1)^{n}A_{0}$	$\displaystyle\left\{\left(\mu_{n}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\right.\right.$
	$\displaystyle-\mu_{n-1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+$
	$\displaystyle+\ldots,\ldots x_{n}$
	$\displaystyle\left.+(-1)^{p}\mu_{n-p}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{p}\right\}$	(66)

	$\displaystyle B_{i}(x)$	$\displaystyle=(-1)^{n-1}A_{i}\left\{\mu_{n-1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{i-1}-x_{0},x_{i+1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\right.$
		$\displaystyle-\mu_{n-2}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{i-1}-x_{0},x_{i+1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}$
		$\displaystyle\left.\left.+\ldots,\ldots,x_{i},\ldots,x_{n},\ldots,x_{i+1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{p}\right\},$

unde $i=1,2,\ldots,n$ .
$2^{\circ}$ . Cazul $p\geqslant n$ . Procedînd ca mai sus, se obţine

$\displaystyle B_{0}(x)$	$\displaystyle=\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{0}-x_{n}\right)}$
$\displaystyle B_{1}(x)$	$\displaystyle=\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{1}-x_{n}\right)}$	(67)
$\displaystyle\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\left(x-x_{n-1}\right)$	$\displaystyle\ldots=\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x_{n}-x_{n-1}\right)}{\left(x_{n}-x_{0}\right)\left(x_{n}-x_{0}\right)\ldots(x)\ldots(x)}$

de unde rezultă că

B_{0}(x)y\left(x_{0}\right)+B_{1}(x)y\left(x_{1}\right)+\ldots+B_{n}(x)y\left(x_{n}\right)=L\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};y(x)\right],

(

\prime

)

membrul al doilea fiind polinomul lui Lagrange relativ la nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ .

Determinarea polinoamelor $C_{1}(x),C_{2}(x),\ldots,C_{p}(x)$ . Ca mai sus, deosebim două cazuri, după cum $p<n$ sau $p\geqslant n$ .
$1^{\circ}$ . Cazul $p<n$ . Pentru a determina polinomul $C_{k}(x)$ înlocuim în formula (63) pe $y(x)$ cu polinomul

y_{k}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{k}\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}{(n+k)!}

unde $k=1,2,3,\ldots,p$ .

Funcţia $y_{k}(x)$ anulîndu-se pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ şi avînd $y_{k}^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ , $y_{k}^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)=0,\ldots,y^{(k-1)}\left(x_{0}\right)=0$ , din formulele (61) deducem că $\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{1}(x)y_{k}^{(n+1)}(x)dx=0,\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{2}(x)y_{k}^{(n+2)}(x)dx=0,\ldots,\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{k-1}(x)y_{k}^{(n+k-1)}(x)dx=0$ , pe cînd

\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{k}(x)y_{k}^{(n+k)}(x)dx=\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{k}(x)dx=\frac{1}{(n+k)!}

Atunci, formula (63) ne dă

\frac{C_{k}(x)}{(n+k)!}=y_{k}(x)-\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{p}}{p!}y_{k}^{(p+1)}(s)ds

Membrul al doilea se calculează cu ajutorul formulei lni Taylor (59), în care înlocuim pe $y(x)$ cu $y_{k}(x)$ .

Avem

y_{k}\left(x_{0}\right)=0,\quad y_{k}^{\prime}\left(x_{0}\right)=0,\ldots,y_{k}^{(k-1)}\left(x_{0}\right)=0

şi

\frac{y^{(k+l)}\left(x_{0}\right)}{(k+l)!}=\frac{(-1)^{n-l}}{(n+k)!}\mu_{n-l}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)

Vom avea în definitiv

$\displaystyle C_{k}(x)=($	$\displaystyle-1)^{n}\left(x-x_{0}\right)^{k}\left\{\mu_{n}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)-\right.$
	$\displaystyle\quad-\mu_{n-1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+$
	$\displaystyle+\cdots\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$
	$\displaystyle\left.+(-1)^{p-k}\mu_{n-p+k}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{p-k}\right\}.$	(68)

$2^{\circ}$ . Cazul $p\geqslant n$ . In acest caz avînd $n>1$ , şi $n+1\leqslant p+1<n+p$ , formula (63) se scrie

	$\displaystyle y(x)=B_{0}(x)y\left(x_{0}\right)+B_{1}(x)y\left(x_{1}\right)+\ldots+B_{n}(x)y\left(x_{n}\right)+$
	$\displaystyle+C_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{1}(x)y^{(n+1)}(x)dx+\ldots+C_{p-n}(x)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{p-n}(x)y^{(p)}(x)dx+$
	$\displaystyle+C_{p-n+1}(x)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{p-n+1}(x)y^{(p+1)}(x)dx+\ldots+C_{p}(x)\int_{x_{0}}^{x}\Phi_{p}(x)y^{(n+p)}(x)dx+$
	$\displaystyle+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{p}}{p!}y^{(p+1)}(s)ds$		( $\prime$ )

Este evident că dacă $p=n$ , termenii scrişi pe linia a doua a formulei (63’) lipsesc. Inlocuind în formula (63’) pe $y(x)$ cu

y_{h}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{h}\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}{(n+h)!}

unde $h=1,2,\ldots,p-n$ , şi procedînd ca mai sus, se găseşte că

C_{h}(x)=\left(x-x_{0}\right)^{h}\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)

(69)

Pentru a determina polinomul $C_{p-n+l}(x)$ , unde $l=1,2,\ldots,n$ , înlocuim în formula ( $63^{\prime}$ ) pe $y(x)\mathrm{cu}$

y_{p-n+l}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right)^{p-n+l}\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)}{(p+l)!}

Procedînd ca mai sus, vom avea

\frac{C_{p-n+l}(x)}{(p+l)!}=y_{p-n+l}(x)-\int_{x_{0}}^{x_{n}}\frac{(x-s)^{p}}{p!}y_{p-n+l}^{(p+1)}(s)ds

Membrul al doilea se calculează cu formula lui Taylor (59), în care înlocuim pe $y(x)$ cu $y_{p-n+l}(x)$ . Se găsește

	$\displaystyle\frac{C_{p-n+l}(x)}{(p+l)!}=\frac{y_{p-n+l}^{(p-n+l)}\left(x_{0}\right)}{(p-n+l)!}(x$	$\displaystyle\left.-x_{0}\right)^{p-n+l}+\frac{y_{p-n+l}^{(p-n+l+1)}\left(x_{0}\right)}{(p-n+l+1)!}\left(x-x_{0}\right)^{p-n+l+1}+\ldots+$
		$\displaystyle+\frac{y_{p-n+l}^{(p)}}{p!}\left(x-x_{0}\right)^{p}$

Se arată că, în general, avem

\frac{y_{p-n+l}^{(j)}\left(x_{0}\right)}{j!}=\frac{(-1)^{p-j+l}}{(p+l)!}\mu_{p-j+l}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)

Deducem astfe1 că

	$\displaystyle C_{p-n+l}(x)$	$\displaystyle=(-1)^{n}\left(x-x_{0}\right)^{p-n+l}\left\{\mu_{n}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)-\right.$
		$\displaystyle-\mu_{n-1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+$
		$\displaystyle+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$
		$\displaystyle\left.+(-1)^{n-l}\mu_{l}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n-l}\right\}$

sau schimbînd pe $p-n+l$ în $h$ , vom avea

$\displaystyle C_{h}(x)=$	$\displaystyle(-1)^{n}(x-x)^{h}\left\{\mu_{n}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)-\right.$
	$\displaystyle-\mu_{n-1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+$
	$\displaystyle+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+$
	$\displaystyle\left.+(-1)^{p-h}\mu_{n-p+h}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{p-h}\right\}$	(70)
$\displaystyle\text{ pentru }h$	$\displaystyle=p-n+1,p-n+2,\ldots,p.$

Exemple. $1^{\circ}$ . Să presupunem $n=4,p=2$ și nodurile $x_{0},x_{1},x_{2}$ , $x_{3},x_{4}$ în progresie aritmetică cu rația $h$ .

Dacă în formula lui Taylor

y(x)=y\left(x_{0}\right)+\frac{x-x_{0}}{1!}y^{\prime}\left(x_{0}\right)+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2!}y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{2}}{2!}y^{\prime\prime\prime}(s)ds

se înlocuiesc derivatele $y^{\prime}\left(x_{0}\right),y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)$ din formulele de derivare numerică, se obţine

	$\displaystyle y(x)=B_{0}(x)y\left(x_{0}\right)+B_{1}(x)y\left(x_{1}\right)+B_{2}(x)y\left(x_{2}\right)+B_{3}(x)y\left(x_{3}\right)+B_{4}(x)y\left(x_{4}\right)+$
	$\displaystyle+C_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x_{4}}\Phi_{1}(x)y^{(5)}(x)dx+C_{2}(x)\int_{x_{0}}^{x_{4}}\Phi_{2}(x)y^{(6)}(x)dx+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{2}}{2!}y^{\prime\prime\prime}(s)ds$		(71)

Pentru a scrie polinoamele $B_{0}(x),\ldots,B_{4}(x)$ , vom aplica formulele (66). Facem descompunerea în funcții raţionale simple

\begin{gathered}\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)\left(x-x_{4}\right)}{1}=\frac{A_{0}}{x-x_{0}}+\frac{A_{1}}{x-x_{1}}+\\ +\frac{A_{2}}{x-x_{2}}+\frac{A_{3}}{x-x_{3}}+\frac{A_{4}}{x-x_{4}}\end{gathered}

şi avem

A_{0}=\frac{1}{24h^{4}},\quad A_{1}=\frac{-1}{6h^{4}},\quad A_{2}=\frac{1}{4h^{4}},\quad A_{3}=\frac{-1}{6h^{4}},\quad A_{4}=\frac{1}{24h^{4}}

Rezultă atunci că

	$\displaystyle B_{0}(x)=$	$\displaystyle\frac{1}{24h^{4}}\{$
		$\displaystyle\quad-\mu_{4}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0},x_{4}-x_{0}\right)-$
		$\displaystyle\quad+\mu_{2}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},x_{4}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+$
	$\displaystyle B_{1}(x)=\frac{1}{6h^{4}}$	$\displaystyle\left\{\mu_{3}\left(x_{2}-x_{0},x_{4}-x_{4}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}\right\}$
		$\displaystyle\quad-\mu_{2}\left(x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)-$
		$\displaystyle\left.\left.x_{4}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}\right\}$

adică

		$\displaystyle B_{0}(x)=\frac{1}{24h^{2}}\left[24h^{2}-50h\left(x-x_{0}\right)+35\left(x-x_{0}\right)^{2}\right]$
		$\displaystyle B_{1}(x)=\frac{1}{6h^{2}}\left[24h\left(x-x_{0}\right)-26\left(x-x_{0}\right)^{2}\right]$

	$\displaystyle B_{2}(x)=\frac{-1}{4h^{2}}\left[12h\left(x-x_{0}\right)-19\left(x-x_{0}\right)^{2}\right]$		(72)
	$\displaystyle B_{3}(x)=\frac{1}{6h^{2}}\left[8h\left(x-x_{0}\right)-14\left(x-x_{0}\right)^{2}\right]$
	$\displaystyle B_{4}(x)=\frac{-1}{24h^{2}}\left[6h\left(x-x_{0}\right)-11\left(x-x_{0}\right)^{2}\right]$

Aplicînd formulele (68), vom avea

		$\displaystyle C_{1}(x)=\left(x-x_{0}\right)\left[\mu_{4}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0},x_{4}-x_{0}\right)-\right.$
		$\displaystyle\left.-\mu_{3}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0},x_{4}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\right]$
		$\displaystyle C_{2}(x)=\left(x-x_{0}\right)^{2}\mu_{4}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},x_{3}-x_{0},x_{4}-x_{0}\right),$

adică

	$\displaystyle C_{1}(x)=\left(x-x_{0}\right)\left[24h^{4}-50h^{3}\left(x-x_{0}\right)\right]$		(73)
	$\displaystyle C_{2}(x)=24h^{4}\left(x-x_{0}\right)^{2}$

$2^{\circ}$ . Să presupunem $n=2,p=2$ , şi nodurile $x_{0},x_{1},x_{0}$ în progresie aritmetică cu rația $h$ . Dacă în formula lui Taylor

y(x)=y\left(x_{0}\right)+\frac{x-x_{0}}{1!}y^{\prime}\left(x_{0}\right)+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2!}y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{2}}{2!}y^{\prime\prime\prime}(s)ds

se înlocuiesc derivatele $y^{\prime}\left(x_{0}\right),y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)$ din formulele de derivare numerică, se obţine

	$\displaystyle y(x)=B_{0}(x)y\left(x_{0}\right)+B_{1}(x)y\left(x_{1}\right)+B_{2}(x)y\left(x_{2}\right)+$
	$\displaystyle+C_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x_{2}}\Phi_{1}(x)y^{\prime\prime\prime}(x)dx+C_{2}(x)\int_{x_{0}}^{x_{2}}\Phi_{2}(x)y^{(4)}(x)dx+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{2}}{2!}y^{\prime\prime\prime}(s)ds$		(74)

Aplicînd formulele (67) avem

	$\displaystyle B_{0}(x)=\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}{2h^{2}}=\frac{2h^{2}-3h\left(x-x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2h^{2}}$
	$\displaystyle B_{1}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{2}\right)}{-h^{2}}=\frac{4h\left(x-x_{0}\right)-2\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2h^{2}}$		(75)
	$\displaystyle B_{2}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)}{2h^{2}}=-\frac{h\left(x-x_{0}\right)-\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2h^{2}}$

De asemenea, aplicînd formulele (70) avem

		$\displaystyle C_{1}(x)=\left(x-x_{0}\right)\left[\mu_{2}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0}\right)-\mu_{1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\right]$
		$\displaystyle C_{2}(x)=\left(x-x_{0}\right)^{2}\left(\mu_{2}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0}\right)\right.$

adică

	$\displaystyle C_{1}(x)=\left(x-x_{0}\right)\left[2h^{2}-3h\left(x-x_{0}\right)\right]$
	$\displaystyle C_{2}(x)=2h^{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}$		(76)

$3^{\circ}$ . Să presupunem $n=2$ şi $p=3$ , iar nodurile $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}$ în progresie aritmetică cu raţia $h$ . Dacă în formula lui Taylor

\begin{gathered}y(x)=y\left(x_{0}\right)+\frac{x-x_{0}}{1!}y^{\prime}\left(x_{0}\right)+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2!}y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{3}}{3!}y^{\prime\prime\prime}\left(x_{0}\right)+\\ +\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{3}}{3!}y^{(4)}(s)ds\end{gathered}

se înlocuiesc derivatele $y^{\prime}\left(x_{0}\right),y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right),y^{\prime\prime\prime}\left(x_{0}\right)$ din formulele de derivare numerică, se obține

	$\displaystyle y(x)=B_{0}(x)y\left(x_{0}\right)+B_{1}(x)y\left(x_{1}\right)+B_{2}(x)y\left(x_{2}\right)+$
	$\displaystyle+C_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x_{2}}\Phi_{1}(x)y^{\prime\prime\prime}(x)dx+C_{2}(x)\int_{x_{0}}^{x_{2}}\Phi_{2}(x)y^{(4)}(x)dx+C_{3}(x)\int_{x_{0}}^{x_{2}}\Phi_{3}(x)y^{(5)}(x)dx+$
	$\displaystyle+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{3}}{3!}y^{(4)}(s)ds$		(77)

Aplicînd formulele (67), observăm că polinoamele $B_{0}(x),B_{1}(x),B_{2}(x)$ sînt date de formulele (75). De asemenea, aplicînd formulele (69) şi (70) avem

	$\displaystyle C_{1}(x)=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$
	$\displaystyle C_{2}(x)=\left(x-x_{0}\right)^{2}\left[2h^{2}-3h\left(x-x_{1}\right)\right]$		(78)
	$\displaystyle C_{3}(x)=2h^{2}\left(x-x_{0}\right)^{3}$

16.

Restul în formula de interpolare a lui Lagrange. S-a văzut la nr. precedent că în cazul $p\geqslant n$ , polinoamele $B_{0}(x),B_{1}(x),\ldots B_{n}(x)$ din formula (63) sînt date de formulele (67) şi deci suma

B_{0}(x)y\left(x_{0}\right)+B_{1}(x)y\left(x_{1}\right)+\ldots+B_{n}(x)y\left(x_{n}\right)

este egală cu polinomul lui Lagrange $L\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};y(x)\right]$ al functiei $y(x)$ pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ . Acest lucru nu se întîmplă cînd $p<n$ .

Formula (63) se scrie deci, cînd $p\geqslant n$ , sub forma

y=L\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};y(x)\right]+R(x).

(79)

Am obținut astfel formula de interpolare a lui Lagrange, împreună cu restul ei dat de formula

	$\displaystyle R(x)=$	$\displaystyle C_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{0}(x)y^{(n+1)}(x)dx+C_{2}(x)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{2}(x)y^{(n+2)}(x)dx+\ldots+$
		$\displaystyle+C_{p}(x)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{p}(x)y^{(n+p)}(x)dx+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{p}}{p!}y^{(p+2)}(s)ds$		(80)

Această expresie a restului este legată de formulele de derivare numerică studiate în § 1 , din capitolul I, folosite pentru a trece de la formula lui Taylor la formula (63).

Reamintim că o altă expresie a restului $R(x)$ în formula de interpolare a lui Lagrange, a fost dată de G. Kowa $1\mathrm{ewski}\mathrm{[5]}$ .

Vom vedea mai departe o altă expresie a restului în formula de interpolare a lui Lagrange în care figurează numai derivata $y^{(n+1)}(x)$ și care este egată de formulele de derivare numerică studiate în cap. I, § 2.

Dacă notăm cul $M_{n+1},M_{n+2},\ldots,M_{n+p}$ margini superioare ale valorilor absolute ale derivatelor $y^{(n+1)}(x),y^{(n+2)}(x),\ldots,y^{(n+p)}(x)$ în intervalul $[a,b]$ în care sînt luate nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ şi $x$ , din formula (80), deducem următoarea evaluare a lui $|R(x)|$ ,

	$\displaystyle\|R(x)\|\leqslant\left\|C_{1}(x)\right\|\frac{M_{n+1}}{(n+1)!}$	$\displaystyle+\left\|C_{2}(x)\right\|\frac{M_{n+2}}{(n+2)!}+\ldots+\left\|C_{p}(x)\right\|\frac{M_{n+p}}{(n+p)!}+$
		$\displaystyle+\left(x-x_{0}\right)^{p+1}\frac{M_{p+1}}{(p+1)!}$		(81)

la care s-a ajuns tinînd seama că funct,iile $\Phi_{1}(x),\ldots,\Phi_{p}(x)$ sînt pozitive în intervalul $\left(x_{0},x_{n}\right)$ și utilizînd formulele (60).
17. Integrarea numerică a ecuațiilor diferentiale. Să considerăm ecuaţia diferențială

y^{\prime}(x)=f(x,y)

(82)

și să presupunem că funcția $f(x,y)$ îndeplinește în dreptunghiul $D$ definit de inegalitătale

\left|x-x_{0}\right|<\alpha,\quad\left|y-y_{0}\right|<\beta

conditiile care asigură existența și unicitatea integralei $y(x)$ care satisface la condiția inițială $y\left(x_{0}\right)=y_{0}$ , în intervalul $\left[x_{0},x_{0}+a\right]$ .

Dacă functia $f(x,y)$ are derivate parțiale succesive în raport cu $x$ și cu $y$ , continue pînă la ordinul $p$ în dreptunghiul $D$ , atunci din ecuatia diferentială (82) deducem prin derivări succesive

	$\displaystyle y^{\prime\prime}(x)=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}f=f_{1}(x,y)$
	$\displaystyle y^{\prime\prime\prime}(x)=\frac{\partial f_{1}}{\partial x}+\frac{\partial f_{1}}{\partial y}f=f_{2}(x,y)$		(83)
	$\displaystyle\cdots\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$
	$\displaystyle y^{(p)}(x)=\frac{\partial f_{p-2}}{\partial x}+\frac{\partial f_{p-2}}{\partial y}f=f_{p-1}(x,y)$
	$\displaystyle y^{(p+1)}(x)=\frac{\partial f_{p-1}}{\partial x}+\frac{\partial f_{p-1}}{\partial y}f=f_{p}(x,y).$

Formula lui Taylor (59) în care înlocuim pe $y^{\prime}\left(x_{0}\right),y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right),\ldots,y^{(p)}\left(x_{0}\right)$ cu $f\left(x_{0},y_{0}\right),f_{1}\left(x_{0},y_{0}\right),\ldots,f_{p-1}\left(x_{0},y_{0}\right)$ iar pe $y^{(p+1)}(x)$ cu $f_{p}[x,y(x)]$ , ne dă formula de integrare numerică

	$\displaystyle y(x)=y_{0}+\frac{x-x_{0}}{1!}f\left(x_{0},y_{0}\right)+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2!}f_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)+\ldots+$
	$\displaystyle+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{p}}{p!}f_{p-1}\left(x_{0},y_{0}\right)+R$		(84)

în care restul este

R=\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{p}}{p!}f_{p}[s,y(s)]ds

(85)

Notînd cu $F_{p}$ o margine superioară a funcției $\left|f_{p}(x,y)\right|$ în dreptunghiul $D$ , avem pentru $|R|$ următoarea evaluare

|R|\leqslant F_{p}\frac{\left(x-x_{0}\right)^{p+1}}{(p+1)!}

(86)

Însă calculul lui $y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right),\ldots,y^{(p)}\left(x_{0}\right)$ este socotit în practică prea complicat și se preferă alte formule de integrare numerică, de exemplu formule de tip Adams.

Obținem formule de integrare numerică dacă folosim formulele de derivare numerică din cap. I, § 1, care ne-au condus la formula (63) care tine locul formulei lui Taylor (59).

Pentru a preciza, să presupunem că integrala $y(x)$ a fost calculată pe nodurile $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$ și că este prin urmare cunoscută pe aceste noduri. Pentru a putea aplica formula (63), vom presupune că functia $f(x,y)$ are derivate partiale succesive în raport cu $x$ și cu $y$ , continue pînă la ordinul
$n+p-1$ în dreptunghiul $D$ . Atunci putem considera şirul de formule (83) pînă la $y^{(n+p)}(x)=f_{n+p-1}(x,y)$ , funcțiile $f_{1}(x,y),\ldots,f_{n+p-1}(x,y)$ fiind toate continue în dreptunghiul $D$ .

Să aplicăm formula (63), în care vom înlocui pe $y^{(p+1)}(x),y^{(n+1)}(x)$ , $\ldots,y^{(n+p)}(x)$ cu $f_{p}(x,y),f_{n}(x,y),\ldots f_{n+p-1}(x,y)$ . Obținem formula de integrare numerică a ecuatiei diferentiale

y(x)=B_{0}(x)y\left(x_{0}\right)+B_{1}(x)y\left(x_{1}\right)+\ldots+B_{n}(x)y\left(x_{n}\right)+R_{1}(x)

(87)

în care $B_{0}(x),B_{1}(x),\ldots,B_{n}(x)$ sînt polinoame în $x$ de gradul $p$ bine determinate, care depind numai de poziția nodurilor şi care sînt date de formulele (64) și (65) dacă $p<n$ , sau de formulele (67) dacă $p\geqslant n$ .

Restul $R_{1}(x)$ al formulei de integrare numerică (87) este

	$\displaystyle R_{1}(x)=C_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{1}(x)f_{n}[x,y(x)]dx+\ldots+C_{p}(x)\int_{x_{0}}^{x_{n}}\Phi_{p}(x)f_{n+p-1}[x,y(x)]dx+$
	$\displaystyle+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{p}}{p!}f_{p}[s,y(s)]ds$		(88)

În această formulă $C_{1}(x),C_{2}(x),\ldots,C_{p}(x)$ sînt polinoame de gradul $p$ în $x$ , bine determinate, care depind numai de poziţia nodurilor și care sînt date de formulele (68) dacă $p<n$ , sau de formulele (69) și (70) dacă $p\geqslant n$ . Functiile $\Phi_{1}(x),\Phi_{2}(x),\ldots,\Phi_{p}(x)$ sînt bine determinate din capitolul I, § 1, de la formulele de derivare numerică; ele depind tot de poziția nodurilor și pentru ele avem formulele (60). În expresia restului, numai functiile $f_{n}(x,y),\ldots,f_{n+p-1}(x,y),f_{p}(x,y)$ depind de ecuația diferențială (82).

T,inînd seama de proprietatea funcților $\Phi_{1}(x),\ldots,\Phi_{p}(x)$ de a fi pozitive în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ), (nr. 5), putem da o nouă expresie pentru restul $R_{1}(x)$ .

	$\displaystyle R_{1}(x)=C_{1}(x)\frac{f_{n}\left[\xi_{1},y\left(\xi_{1}\right)\right]}{(n+1)!}+C_{2}(x)\frac{f_{n+1}\left[\xi_{2},y\left(\xi_{2}\right)\right]}{(n+2)!}\cdots+$
	$\displaystyle\cdots+C_{p}(x)\frac{f_{n+p-1}\left[\xi_{p},y\left(\xi_{p}\right)\right]}{(n+p)!}+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{p+1}}{(p+1)!}f_{p}\left[\xi_{,}y(\xi)\right]$		(89)

unde $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{p}$ sînt anumite puncte din intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ) iar $\xi$ din intervalul ( $x_{0},x$ ).

Din formula (89) deducem și următoarea evaluare a lui $\left|R_{1}(x)\right|$ , în punctul $x$

	$\displaystyle\left\|R_{1}(x)\right\|\leqslant$	$\displaystyle\left\|C_{1}(x)\right\|\frac{F_{n}}{(n+1)!}+\left\|C_{2}(x)\right\|\frac{F_{n+1}}{(n+2)!}+\ldots+$
		$\displaystyle+\left\|C_{p}(x)\right\|\frac{F_{n+p-1}}{(n+p)!}+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{p+1}}{(p+1)!}F_{p}$		(90)

în care s-a notat în general cu $F_{k}$ o margine superioară a lui $\left|f_{k}(x,y)\right|$ în dreptunghiul $D$ .

7 - Studii şi cercetări de matematică

Am determinat restul formulei de integrare numerică (87), scris sub forma (88), punînd în evidență modul cum el depinde de funcția $f(x,y)$ și de derivatele ei parțiale succesive în raport cu $x$ și $y$ , pînă la ordinul $n+p-1$ , acest mod fiind legat de formulele de derivare numerică din cap. I, § 1, pe care le-am aplicat ca să obținem formula (63).

Cu aceasta am rezolvat pentru cazul considerat de noi, problema determinării restului formulei de integrare numerică (87), cu ajutorul funcției $f(x,y)$ și al derivatelor ei succesive în raport cu $x$ și $y$ .

Vom vedea în paragraful următor o altă formulă de integrare numerică de tipul (87), în care restul are o altă expresie legată de formulele de derivare numerică, studiate în § 2 din cap. I.

Cînd $p\geqslant n$ , formula de integrare numerică (87) se scrie sub forma

y(x)=L\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};y(x)\right]+R_{1}(x),

(91)

unde $L\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};y(x)\right]$ este polinomul de interpolare al lui Lagrange al integralei $y(x)$ , care este cunoscută pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots x_{n}$ .

Este evident că ne putem aștepta să obținem o formulă de integrare numerică a ecuației diferențiale (82), luînd ca valoare aproximativă a lui $y(x)$ în punctul $x$ , valoarea polinomului lui $\mathrm{L}_{\text{agrange }}L\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};y(x)\right]$ . Este însă important că am stabilit restul $R_{1}(x)$ al acestei formule de integrare numerică scris sub forma (88) sau (89) şi pentru care am dat evaluarea (90) a valorii lui absolute. Restul $R_{1}(x)$ depinde de alegerea formulelor de derivare numerică și el corespunde formulelor tratate în cap. I, § 1.

Exemple. $1^{\circ}$ . Să presupunem $n=4,p=2$ și că nodurile $x_{0},x_{1},x_{2}$ , $x_{3},x_{4}$ sînt în progresie aritmetică cu rația $h$ . Aplicînd formulele (71), deducem formula de integrare numerică a ecuației diferențiale (82)

	$\displaystyle y(x)=B_{0}(x)y\left(x_{0}\right)$	$\displaystyle+B_{1}(x)y\left(x_{1}\right)+B_{2}(x)y\left(x_{2}\right)+B_{3}(x)y\left(x_{3}\right)+$
		$\displaystyle+B_{4}(x)y\left(x_{4}\right)+R_{1}(x)$		(92)

în care polinoamele $B_{0}(x),B_{1}(x),B_{2}(x),B_{3}(x),B_{4}(x)$ sînt date de formulele (72), restul $R_{1}(x)$ este

	$\displaystyle R_{1}(x)=C_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x_{4}}\Phi_{1}(x)f_{4}[x,y(x)]dx+C_{2}(x)\int_{x_{0}}^{x_{4}}\Phi_{2}(x)f_{5}[x,y(x)]dx+$
	$\displaystyle+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{2}}{2!}f_{2}[s,y(s)]ds$		(93)

în care polinoamele $C_{1}(x),C_{2}(x)$ sînt date de formulele (73).
Avem următoarea evaluare pentru $\left|R_{1}(x)\right|$

\left|R_{1}(x)\leqslant\left|C_{1}(x)\right|\frac{F_{4}}{5!}+\left|C_{2}(x)\right|\frac{F_{5}}{6!}+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{3}}{3!}F_{2}.\right.

(94)

Pentru a se vedea importanţa coeficienților lui $F_{2},F_{3},F_{4}$ din evaluarea (94) a lui $\left|R_{1}(x)\right|$ , dăm un tablou relativ la $x-x_{0}=\frac{h}{2},\frac{3h}{2},\frac{5h}{2},\frac{7h}{2},\frac{9h}{2},5h$ .

$x-x_{0}$	Evaluarea lui $\left\|R_{1}(x)\right\|$
$\frac{h}{2}$	$\frac{h^{3}}{48}F_{2}+\frac{h^{5}}{240}F_{4}+\frac{h^{6}}{120}F_{5}$
$\frac{3h}{2}$	$\frac{27h^{3}}{48}F_{2}+\frac{153h^{5}}{240}F_{4}+\frac{9h^{6}}{120}F_{5}$
$\frac{5h}{2}$	$\frac{125h^{3}}{48}F_{2}+\frac{505h^{5}}{240}F_{4}+\frac{25h^{6}}{120}F_{5}$
$\frac{7h}{2}$	$\frac{343h^{3}}{48}F_{2}+\frac{1057h^{5}}{240}F_{4}+\frac{49h^{6}}{120}F_{5}$
$\frac{9h}{2}$	$\frac{729h^{3}}{48}F_{2}+\frac{1809h^{5}}{240}F_{4}+\frac{81h^{6}}{120}F_{5}$
$5h$	$\frac{125h^{3}}{6}+\frac{113h^{5}}{12}F_{4}+\frac{5h^{6}}{6}F_{5}$

Pentru $h=0,1$ tabloul precedent devine

$x-x_{0}$	Evaluarea lui $\left\|R_{1}(x)\right\|$
0,05	$0,000021F_{2}+0,000000042F_{4}+0,00000000084F_{5}$
0,15		$0,000563F_{2}+0,0000064$	$F_{4}+0,000000075$	$F_{5}$
0,25	0,00265	$F_{2}+0,000022$	$F_{4}+0,00000021$	$F_{5}$
0,35	0,00715	$F_{2}+0,0000441$	$F_{4}+0,00000041$	$F_{5}$
0,45	0,0152	$F_{2}+0,0000754$	$F_{4}+0,000000675$	$F_{5}$
0,50	0,021	$F_{2}+0,000095$	$F_{4}+0,00000084$	$F_{5}$

$2^{\circ}$ . Să presupunem $n=2,p=2$ şi că nodurile $x_{0},x_{1},x_{2}$ sînt în progresie aritmetică cu rația $h$ . Din formula (74) deducem următoarea formulă de integrare numerică a ecuației difereuțiale (82)

y(x)=B_{0}(x)y\left(x_{0}\right)+B_{1}(x)y\left(x_{1}\right)+B_{2}(x)y\left(x_{2}\right)+R_{1}(x),

(95)

în care polinoamele $B_{0}(x),B_{1}(x),B_{2}(x)$ sînt date de formulele (75), iar restul $R_{1}(x)$ este dat de formula

	$\displaystyle R_{1}(x)=C_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x_{2}}\Phi_{1}(x)f_{2}[x,y(x)]dx+C_{2}(x)\int_{x_{0}}^{x_{2}}\Phi_{2}(x)f_{3}[x,y(n)]dx+$
	$\displaystyle+\int_{x_{0}}^{x_{2}}\frac{(x-s)^{2}}{2!}f_{2}[s,y(s)]ds$		(96)

în care polinoamele $C_{1}(x),C_{2}(x)$ sînt date de formulele (76).
Avem următoarea evaluare a lui $\left|R_{1}(x)\right|$ :

\left|R_{1}(x)\right|\leqslant\left|C_{1}(x)\right|\frac{F_{2}}{3!}+\left|C_{2}(x)\right|\frac{F_{3}}{4!}+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{3}}{3!}F_{2}

(97)

Dăm evaluările lui $\left|R_{1}(x)\right|$ pentru $x-x_{0}=\frac{h}{2},\frac{3h}{2},\frac{5h}{2}$ , 3h în tabloul următor

$x-x_{0}$	Evaluarea lui $\left\|R_{1}(x)\right\|$	Evaluarea lui $\left\|R_{1}(x)\right\|$ pentru $h=0,1$
$\frac{h}{2}$	$\frac{13h^{3}}{48}F_{2}+\frac{h^{4}}{2}F_{3}$	$0,000271F_{2}+0,00005F_{3}$
$\frac{3h}{2}$	$\frac{207h^{3}}{48}F_{2}+\frac{9h^{4}}{2}F_{3}$	$0,00432\quad F_{2}+0,00045\quad F_{3}$
$\frac{5h}{2}$	$\frac{785h^{3}}{48}F_{2}+\frac{25h^{4}}{2}F_{3}$	$0,0164\quad F_{2}+0,00125F_{3}$
$3h$	$\frac{51h^{3}}{2}F_{2}+18h^{4}F_{3}$	$0,0255\quad F_{2}+0,0018\quad F_{3}$

$3^{\circ}$ Să presupunem $n=2$ şi $p=3$ , iar nodurile $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}$ în progresie aritmetică cu rația h. Din formala (77) se deduce următoarea formulă de integrare numerică a ecuației diferențiale (82)

y(x)=B_{0}(x)y\left(x_{0}\right)+B_{1}(x)y\left(x_{1}\right)+B_{2}(x)y\left(x_{2}\right)+R_{1}(x)

(98)

unde polinoamele $B_{0}(x),B_{1}(x),B_{2}(x)$ sînt date de formulele (75), iar restul $R_{1}(x)$ este

	$\displaystyle R_{1}(x)$	$\displaystyle=C_{1}(x)\int_{x_{0}}^{x_{3}}\Phi_{1}(x)f_{2}[x,y(x)]dx+C_{2}(x)\int_{x_{0}}^{x_{2}}\Phi_{2}(x)f_{3}[x,y(x)]dx+$
		$\displaystyle+C_{3}(x)\int_{x_{0}}^{x_{2}}\Phi_{3}(x)f_{4}[x,y(x)]dx+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{3}}{3!}f_{3}[s,y(s)]ds$		(99)

în care polinoamele $C_{1}(x),C_{2}(x),C_{3}(x)$ sînt date de formulele (78).
Avem următoarea evaluare pentru $\left|R_{1}(x)\right|$ :

\left|R_{1}(x)\right|\leqslant\left|C_{1}(x)\right|\frac{F_{2}}{3!}+\left|C_{2}(x)\right|\frac{F_{3}}{4!}+\left|C_{3}(x)\right|\frac{F_{4}}{5!}+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{4}}{4!}F_{3}

(100)

următor.

Dăm evaluările lui $\left|R_{1}(x)\right|$ pentru $x-x_{0}=\frac{h}{2},\frac{3h}{2},\frac{5h}{2},3h$ în tabloul

$x-x_{0}$	Evaluarea lui $\left\|R_{1}(x)\right\|$	Evaluarea lui $\left\|R_{1}(x)\right\|$ pentru $h=0,1$
$\frac{h}{2}$	$\frac{h^{3}}{16}F_{2}+\frac{49h^{4}}{384}F_{3}+\frac{h^{5}}{4}F_{4}$	$0,000063F_{2}+0,0000128F_{3}+0,0000025F_{4}$
$\frac{3h}{2}$	$\frac{h^{3}}{16}F_{1}+\frac{2241h^{4}}{384}F_{3}+\frac{27h^{5}}{4}F_{4}$	$0,000063F_{2}+0,000584\quad F_{3}+0,0000675F_{4}$
$\frac{5h}{2}$	$\frac{5h^{3}}{16}F_{2}+\frac{13825h^{4}}{384}F_{3}+\frac{125h^{5}}{4}F_{4}$	$0,000313F_{2}+0,0036003F_{3}+0,0003125F_{4}$
3h	$h^{3}F_{2}+\frac{531h^{4}}{8}F_{3}+54h^{5}F_{4}$	$0,001\quad F_{2}+0,0066375F_{3}+0,00054\quad F_{4}$

§ 2. Formule de integrare numerică rezultind din aplicarea formulelor de derivare numerică (31)

18.

Restul în formula de interpolare a lui Lagrange. Să reluăm formula de derivare numerică (31) pe care o scriem sub forma

	$\displaystyle\frac{f^{(p)}\left(x_{0}\right)}{p!}=-\frac{\lambda_{1}}{\mu}f\left(x_{0}\right)+\frac{K_{1}}{\mu}f\left(x_{1}\right)+\ldots+\frac{K_{n}}{\mu}f\left(x_{n}\right)+$
	$\displaystyle\quad+(-1)^{n-p+1}\mu_{n-p+1}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\psi_{p}(x)f^{(n+1)}(x)dx$		(101)

unde

\mu=\frac{(-1)^{p}}{\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)}

și unde s-a scris mai scurt

\mu_{n-p+1}=\mu_{n-p+1}\left(x_{1}-x_{0},\ldots,x_{n}-x_{0}\right)

iar în membrul al doilea s-a scris $\psi_{p}(x)$ în locul lui $\varphi(x)$ , pentru a tine seamă de ordinul $p$ de derivare din membrul întîi.

S-a arătat că funcţia $\psi_{p}(x)$ este pozitivă în intervalul ( $x_{0},x_{n}$ ) şi că avem

\int_{x_{0}}^{x_{n}}\psi_{p}(x)dx=\frac{1}{(n+1)!}

(102)

În formula (101) să înlocuim pe $f(x)$ cu $y(x)$ și să facem $p=1,2,\ldots,n$ . Vom obține următoarele formule:

	$\displaystyle\frac{y^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1!}=K_{10}y\left(x_{0}\right)+K_{11}y\left(x_{1}\right)+\ldots+K_{1n}y\left(x_{n}\right)+(-1)^{n}\mu_{n}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\psi_{1}(s)y^{(n+1)}(s)ds$
	$\displaystyle\frac{y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)}{2!}=K_{20}y\left(x_{0}\right)+K_{20}y\left(x_{1}\right)+\ldots+K_{2n}y\left(x_{n}\right)+(-1)^{n-1}\mu_{n-1}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\psi_{2}(s)y^{(n+1)}(s)ds$
	$\displaystyle\frac{y^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}=K_{n0}y\left(x_{0}\right)+K_{n1}y\left(x_{1}\right)+\ldots+K_{nn}y\left(x_{n}\right)+(-1)\mu_{1}\int_{x_{0}}^{x_{n}}\psi_{n}(s)y^{(n+1)}(s)ds$		(103)

Aceste formule fiind precizate, să considerăm formula lui Taylor

y(x)=y\left(x_{0}\right)+\frac{x-x_{0}}{1!}y^{\prime}\left(x_{0}\right)+\ldots+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n!}y^{(n)}\left(x_{0}\right)+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{n}}{n!}y^{(n+1)}(s)ds

și să înlocuim pe $y^{\prime}\left(x_{0}\right),y^{\prime\prime}\left(x_{0}\right),\ldots,y^{(\prime\prime)}\left(x_{0}\right)$ din formulele de derivare numerică (103). Vom obține o formulă de forma

y(x)=B_{0}(x)y\left(x_{0}\right)+B_{1}(x)y\left(x_{1}\right)+\ldots+B_{n}(x)y\left(x_{n}\right)+R(x)

(105)

unde

R(x)=-\int_{x_{0}}^{x_{n}}\psi(x,s)y^{(n+1)}(s)ds+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{n}}{n!}y^{(n+1)}(s)ds

(106)

în care s-a notat

	$\displaystyle\psi(x,s)=\mu_{1}\psi_{n}(s)\left(x-x_{0}\right)^{n}-\mu_{2}\psi_{n-1}(s)\left(x-x_{0}\right)^{n-1}+\ldots$
	$\displaystyle+(-1)^{n-1}\mu_{n}\psi_{1}(s)\left(x-x_{0}\right)$		(107)

Se arată ușor că suma primilor $n+1$ termeni din formula (105) este polinomul de interpolare al lui Lagrange, pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ , ceea ce înseamnă că formula (105) se mai poate scrie sub forma

y(x)=L\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};y(x)\right]+R(x)

(

\prime

)

care este formula de interpolare a lui Lagrange, cu restul ei scris sub forma (106).

Dacă notăm cu $M_{n+1}$ o margine superioară a lui $\left|y^{(n+1)}(x)\right|$ în intervalul $[a,b]$ în care s-au luat nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ şi $x$ , din formulele (106), (107) deducem următoarea evaluare a lui $|R(x)|$

|R(x)|\leqslant\frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\left[\left(x-x_{0}\right)^{n+1}+\mu_{1}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\ldots+\mu_{n}\left(x-x_{0}\right)\right]

sau, t,inînd seama de $\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{n}$ , aceasta se mai scrie sub forma

|R(x)|\leqslant\left(x-x_{0}\right)\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(x_{1}-x_{0}\right)\right]\ldots\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(x_{n}-x_{0}\right)\right]\frac{M_{n+1}}{\left(n_{3}+1\right)!}

(108)

Dacă nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ sînt în progresie aritmetică cu rația $h$ , atunci $\left|R\left(x_{0}+\lambda h\right)\right|$ este de ordinul lui $h^{n+1}$ . Aceasta rezultă din formula (108). Vom avea

\left|R\left(x_{0}+\lambda h\right)\right|\leqslant\frac{\lambda(\lambda+1)\ldots(\lambda+n)}{(n+1)!}M_{n+1}h^{n+1}

(109)

Ca să se vadă cît de mare este coeficientul lui $M_{n+1}$ , dăm un tablou în cazu1 $n=5$ , pentru $\lambda=\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\frac{7}{2},\frac{9}{2},\frac{11}{2},6$ pentru un $h$ oarecare şi pentru $h=0,1$ .

$\lambda$	Evaluarea lui $\left\|R\left(x_{0}+\lambda h\right)\right\|$	Evaluarea lui $\left\|R\left(x_{0}+\lambda h\right)\right\|$ pentru $h=0,1$
$\frac{1}{2}$	$\frac{231}{1024}h^{6}M_{6}$	$0,00000023M_{6}$
$\frac{3}{2}$	$\frac{3003}{1024}h^{6}M_{6}$	$0,00000294M_{6}$
$\frac{5}{2}$	$\frac{15015}{1024}h^{6}M_{6}$	$0,00001467M_{6}$
$\frac{7}{2}$	$\frac{51051}{1024}h^{6}M_{6}$	$0,00004986M_{6}$
$\frac{9}{2}$	$\frac{138567}{1024}h^{6}M_{6}$	$0,00013532M_{6}$
$\frac{11}{2}$	$\frac{323323}{1024}h^{6}M_{6}$	$0,00031575M_{6}$
6	$462\quad h^{6}M_{6}$	$0,00046200M_{6}$

19.

Formulă de integrare numerică a ecuatiilor diferentiale. Să considerăm ecuația diferențială

y^{\prime}=f(x,y)

(110)

și să presupunem că funcția $f(x,y)$ este continuă împreună cu derivatele ei parțiale în raport cu $x$ și $y$ , pînă la ordinul $n$ , în dreptunghiul $D$ . În acest caz derivînd succesiv pe $y(x)$ , în raport cu $x$ , vom obține ca la nr. 16 :

	$\displaystyle y^{\prime\prime}(x)=f_{1}(x,y)$
	$\displaystyle y^{\prime\prime\prime}(x)=f_{2}(x,y)$		(111)
	$\displaystyle y^{(n+1)}(x)=f_{n}(x,y)$

funct,iile $f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),\ldots,f_{n}(x,y)$ fiind continue în dreptunghiul $D$ .
Fie $y(x)$ integrala ecuatiei diferentiale (110) care satisface la conditia inițială $y\left(x_{0}\right)=y_{0}$ şi pe care o presupunem cunoscută pe nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ . Atunci, aplicînd acestei integrale formula de interpolare a lui Lagrange (105’), obținem

y(x)=L\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};y(x)\right]+R_{2}(x),

(112)

în care restul $R_{2}(x)$ se obține din formula (106) înlocuind pe $y^{(n+1)}(x)\mathrm{cu}f_{n}[x,y(x)]$ din formulele (111). Pentru $R_{2}(x)$ avem prin urmare următoarea expresie

R_{2}(x)=-\int_{x_{0}}^{x_{n}}\psi(x,s)f_{n}[s,y(s)]ds+\int_{x_{0}}^{x}\frac{(x-s)^{n}}{n!}f_{n}[s,y(s)]ds

(113)

în care funcția $\psi(x,s)$ este dată de formula (107).
Putem da și următoarea expresie pentru $R_{2}(x)$ , t,inînd seamă de proprietățile funcțiilor $\psi_{1}(s),\ldots,\psi_{n}(s)$

	$\displaystyle R_{2}(x)=\frac{1}{(n+1)!}$	$\displaystyle\left\{f_{n}\left[\xi_{0},y\left(\xi_{0}\right)\right]\left(x-x_{0}\right)^{n+1}-\mu_{1}f_{n}\left[\xi_{1},y\left(\xi_{1}\right)\right]\left(x-x_{0}\right)^{n}+\right.$
		$\displaystyle\left.+\ldots+(-1)^{n}\mu_{n}f_{n}\left[\xi_{n},y\left(\xi_{n}\right)\right]\left(x-x_{0}\right)\right\}$		(113)

unde $\xi_{0}\in\left(x_{0},x\right)$ iar $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n}\in\left(x_{0},x_{n}\right)$ .
Din formula (113’) se deduce următoarea evaluare pentru $\left|R_{2}(x)\right|$

\left|R_{2}(x)\right|\leqslant\frac{\left(x-x_{0}\right)\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(x_{1}-x_{0}\right)\right]\ldots\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(x_{n}-x_{0}\right)\right]}{(n+1)!}F_{n}

(114)

unde $F_{n}$ este o margine superioară a lui $\mid f_{n}(x,y)$ în dreptunghiul $D$ .
Am obținut astfel formula de integrare numerică a ecuatiei diferențiale (110) sub forma (112), în care $y(x)$ se exprimă aproximativ cu polinomul de interpolare al lui Lagrange, relativ la nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ ,
ceea ce este un rezultat la care ne-am fi putut aştepta, însă important în formula (112) este că am determinat şi restul ei pus sub formă (113) sau (113’) și pentru care valoarea lui absolută are evaluarea (114).

Dacă nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ sînt în progresie aritmetică cu rația $h$ , atunci $\left|R_{2}\left(x_{0}+\lambda h\right)\right|$ este de ordinul lui $h^{n+1}$ . Aceasta rezultă din formula (114) şi avem

\left|R_{2}\left(x_{0}+\lambda h\right)\right|\leqslant\frac{\lambda(\lambda+1)\ldots(\lambda+n)}{(n+1)!}F_{n}h^{n+1}.

(115)

Tabloul de la nr. precedent dă în cazul $n=5$ , valorile coeficientilor lui $F_{n}$ pentru $h$ oarecare şi pentru $h=0,1$ .
20. Formula de integrare numerică a lui Adams și restul ci. Vom da acum o formulă de integrare numerică de tip Adams sub forma cea mai generală a ecuației diferențiale (110), cu ipotezele făcute la nr. 18, schimbînd însă pe $n$ în $n+1$ și utilizînd rezultatele obținute de noi relativ la restul din formula de integrare numerică (112), în care integrala $y(x)$ este înlocuită aproximativ cu polinomul de interpolare $L\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};y(x)\right.$ relativ la nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ . Vom nota mai scurt acest polinom cu $L_{n}(x)$ şi vom scrie

y(x)=L_{n}(x)+R_{2}(x)

(116)

unde $R_{2}(x)$ este restul dat de formula (113).
Vom aplica, pentru aceasta, procedeul simplu pentru obtinerea formulei propriu-zise de integrare numerică a lui A d a m s (vezi [6]).

Fie $x_{n+1}$ un nou nod la dreapta lui $x_{n}$ și $y(x)$ integrala ecuatiei (110) care este cunoscută pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots x_{n}$ . Inlocuind în ecuația diferențială (110) pe $y$ cu $L_{n}(x)+R_{2}(x)$ , vom avea

y^{\prime}=g(x)+h(x)

(117)

unde s-a notat

g(x)=f\left[x,L_{n}(x)\right],h(x)=f\left[x,L_{n}(x)+R_{2}(x)\right]-f\left[x,L_{n}(x)\right].

(118)

Vom presupune pentru un moment că curba $y=L_{n}(x)$ este situată în dreptunghiul $D$ și vom reveni apoi la cazul cînd curba $y=L_{n}(x)$ iese din dreptunghiul $D$ .

Integrînd ambii membri ai formulei (117) între $x_{n}$ și $x_{n+1}$ , vom deduce că

y\left(x_{n+1}\right)=y\left(x_{n}\right)+\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}g(x)dx+\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}h(x)dx

(119)

Funcția $g(x)$ fiind cunoscută pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ , la prima integrală din formula (119) vom aplica o formulă de cuadratură cu noduri exterioare $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ şi nodul $x_{n}$ [7].

Se arată că avem

	$\displaystyle\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}g(x)dx=B_{0}\left[x_{n};g\right]$	$\displaystyle+B_{1}\left[x_{n-1},x_{n};g\right]+\ldots+B_{n}\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};g\right]$
		$\displaystyle+(-1)^{n+1}B_{n+1}\frac{g^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$		(120)

unde $\xi\in\left(x_{0},x_{n+1}\right)$ , iar

B_{0}=\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}dx,\quad B_{k}=\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}\left(x-x_{n}\right)\left(x-x_{n-1}\right)\ldots\left(x-x_{n-k+1}\right)dx

(121)

pentru $k=1,2,\ldots,n+1$ .
Dacă nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ sînt în progresie aritmetică cu raţia $h$ , atunci formula (120) devine

	$\displaystyle\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}g(x)dx=h\left[g\left(x_{n}\right)+J_{1}\Delta g\left(x_{n-1}\right)+J_{2}\Delta^{2}g\left(x_{n-2}\right)+\ldots\right.$
	$\displaystyle\left.+J_{n}\Delta^{n}g\left(x_{0}\right)\right]+(-1)^{n+1}J_{n+1}h^{n+2}g^{(n+1)}(\xi),$		(122)

unde

J_{k}=\frac{1}{k!}\int_{0}^{1}u(u+1)\cdots(u+k-1)du

(123)

Formula (119) devine formula generalizată a lui Adams cu nodurile oricum $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$

	$\displaystyle y\left(x_{n+1}\right)=$	$\displaystyle y\left(x_{n}\right)+B_{0}\left[x_{n};f\left[x,L_{n}(x)\right]\right]+B_{1}\left[x_{n-1}x_{n};f\left[x,L_{n}(x)\right]\right]$
		$\displaystyle+\ldots+B_{n}\left[x_{0},x_{1},\ldots,x_{n};f\left[x,L_{n}(x)\right]\right]+R_{3}$		(124)

unde restul $R_{3}$ este dat de formula

R_{3}=(-1)^{n+1}B_{n+1}\frac{g^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}+\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}h(x)dx

(125)

în care $g(x)$ şi $h(x)$ sînt dați de formulele (118).
Putem da o evaluare a lui $\left|R_{3}\right|$ . Din formula (125) deducem că

\left|R_{3}\right|\leqslant B_{n+1}\frac{\left|g^{(n+1)}(\xi)\right|}{(n+1)!}+\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}|h(x)|dx

(126)

Însă

h(x)=\int_{L_{n}(x)}^{L_{n}(x)+R_{2}(x)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dy

și deci

|h(x)|\leqslant K\left|R_{2}(x)\right|

unde $K$ este o margine superioară a lui $\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|$ în dreptunghiul $D$ . Vom avea deci

\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}|h(x)|dx\leqslant K\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}\left|R_{2}(x)\right|dx

Ţinînd seamă de formula (114), deducem că

\begin{gathered}\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}|h(x)|dx\leqslant\frac{KF_{n}}{(n+1)!}\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}\left(x-x_{0}\right)\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(x_{1}-x_{0}\right)\right]\ldots\\ {\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(x_{n}-x_{0}\right)\right]dx}\end{gathered}

Notînd cu $\bar{F}_{n}$ o margine superioară a lui $\left|g^{(n+1)}(x)\right|$ în intervalul $\left[x_{0},x_{0}+a\right]$ , vom deduce atunci din formula (126) că

\left|R_{3}\right|\leqslant\frac{H_{n}}{(n+1)!}

(127)

unde s-a notat
$H_{n}=\bar{F}_{n}B_{n+1}+KF_{n}\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}\left(x-x_{0}\right)\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(x_{1}-x_{0}\right)\right]\ldots\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)\right]dx$ .
Astfel am determinat o evaluare a lui $\left|R_{3}\right|$ în formula generalizată a lui Adams cu noduri oricum $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ .

Cazul cînd nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ sînt în progresie aritmetică cu ratia $h$ . În acest caz, formula de integrare numerică (124) se înlocuieşte, ținînd seama de formula (122), cu

	$\displaystyle y\left(x_{n+1}\right)=1\left(x_{n}\right)+h\left[g\left(x_{n}\right)+J_{1}\Delta g\left(x_{n-1}+J_{2}\Delta^{2}g\left(x_{n-2}\right)+\ldots\right.\right.$
	$\displaystyle\left.+J_{n}\Delta^{n}g\left(x_{0}\right)\right]+R_{4}$		(129)

unde

R_{4}=(-1)^{n+1}J_{n+1}h^{n+2}g^{(n+1)}(\xi)+\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}h(x)dx

Procedînd ca mai sus, vom avea pentru $\left|R_{4}\right|$

\left|R_{4}\right|\leqslant J_{n+1}\bar{F}_{n}h^{n+2}+K\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}\left|R_{2}(x)\right|dx

\begin{gathered}\left|R_{4}\right|\leqslant J_{n+1}\bar{F}_{n}h^{n+2}+\\ +\frac{KF_{n}}{(n+1)!}\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}\left(x-x_{0}\right)\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(x_{1}-x_{0}\right)\right]\ldots\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(x_{n}-x_{0}\right)\right]dx\end{gathered}

Dacă în integrala din membrul al doilea se face schimbarea

x=x_{0}+nh+hu,

avem

\begin{gathered}\int_{x_{n}}^{x_{n+1}}\left(x-x_{0}\right)\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(x_{1}-x_{0}\right)\right]\ldots\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(x_{n}-x_{0}\right)\right]dx=\\ =h^{n+2}\int_{0}^{1}(u+n)(u+n+1)\ldots(u+2n)du\end{gathered}

astfel că vom avea în definitiv

\left|R_{4}\right|\leqslant\bar{H}_{n}h^{n+2},

(130)

unde s-a notat

\bar{H}_{n}=J_{n+1}\bar{F}_{n}+\frac{KF_{n}}{(n+1)!}\int_{0}^{1}(u+n)(u+n+1)\ldots(u+2n)du

(131)

Astfel s-a dovedit că restul in formula lui Adams cu nodurile in progresie aritmetică $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n},x_{n+1}$ , cu ratia $h$ , este de ordinul lui $h^{n+2}$

Este foarte important de comparat acest rezultat cu restul $R_{2}\left(x_{n+1}\right)$ cînd integrala $y(x)$ a ecuației diferențiale se înlocuiește cu polinomul lui Lagrange relativ la nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ , care conform formulei (115) este de ordinul lui $h^{n+2}$ .

Din această comparație rezultă că dacă se aplică formula de integrare numerică (112), luîndu-se ca valoare aproximativă a integralei $y(x)$ polinomul lui Lagrange relativ la nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ , restul în nodul $x_{n+1}$ este de ordinul lui $h^{n+1}$ , pe cînd dacă se aplică formula de integrare numerică a lui Adams (129), restul este de ordinul lui $h^{n+2}$ .

În cazul $n=5$ , care corespunde formulei de integrare numerică propriu-zise a lui Adams, restul în nodul $x_{6}$ este de ordinul lui $h^{6}$ în formula
de integrare numerică (112), pe cînd în formula lui Adams este de ordinul lui $h^{7}$ .

Amintim că W. To11mien [8] a stabilit că restul în formula de integrare numerică a lui Adams, este de ordinul lui $h^{7}$ . Ceeace am arătat noi mai sus constituie o generalizare a acestui rezultat pentru un număr oarecare de noduri în progresie aritmetică.

Într-o altă lucrare vom arăta cum se pot construi formule de integrare numerică de tip Adams în general, pentru care restul în cazul nodurilor $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ în progresie aritmetică, este de ordinul lui $h^{n+q}$ , unde $q>2$ .
21. Cazul cînd curba $y=L_{n}(x)$ iese din dreptunghiul $D$ . În acest caz, vom prelungi functia $f(x,y)$ deasupra și dedesubtul laturilor dreptunghiului $D$ , paralele cu axa $Ox$ , în modul următor, aşa cum a procedat $O$ . Aramă [9].

Se consideră funcția

	$\displaystyle F^{\prime}(x,y)=\varphi_{n}(x)\frac{\left(y-\beta+y_{0}\right)^{n}}{n!}+\varphi_{n-1}(x)\frac{\left(y-\beta+y_{0}\right)^{n-1}}{(n-1)!}+$
	$\displaystyle+\ldots+\varphi_{0}(x)$		(132)

definită pentru $\left|x-x_{0}\right|\leqslant\alpha$ şi $y-y_{0}\geqslant\beta$ . Determinăm funcţiile $\varphi_{0}(x)$ , $\varphi_{1}(x),\ldots,\varphi_{n}(x)$ astfel ca

\left.\frac{\partial^{k}F^{\prime}}{\partial y^{k}}\right|_{y=y_{0}+\beta}=\left.\frac{\partial^{k}f}{\partial y^{k}}\right|_{y=y_{0}+\beta}

pentru $k=0,1,\ldots,n$ . Va fi suficient să luăm

\varphi_{k}(x)=\left.\frac{\partial^{k}f}{\partial y^{k}}\right|_{y=y_{0}+\beta}\quad(k=0,1,\ldots,n).

Din formulele (133) deducem că vom avea de asemenea

\left.\frac{\partial^{j}F^{\prime}}{\partial x^{i-k}\partial y^{k}}\right|_{y=y_{0}+s}=\left.\frac{\partial^{j}f}{\partial x^{j-k}\partial y^{k}}\right|_{y=y_{0}+\beta}

(134)

pentru $j=k+1,k+2,..n$ şi $k=0,1,2,\ldots,n-1$ .
De asemenea se poate considera funct,ia
$F^{\prime\prime}(x,y)=\psi_{n}(x)\frac{\left(y+\beta-y_{0}\right)^{n}}{n!}+\psi_{n-1}(x)\frac{\left(y+\beta-y_{0}\right)^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots+\psi_{0}(x)$ , unde

\psi_{k}(x)=\left.\frac{\partial^{k}f}{\partial y^{k}}\right|_{y=y_{0}-\beta}\quad(k=0,1,\ldots,n).

Se arată că avem

\left.\frac{\partial^{j}F^{\prime\prime}}{\partial x^{j-k}\partial y^{k}}\right|_{y=y_{0}-\beta}=\left.\frac{\partial^{i}f}{\partial x^{j-k}\partial y^{k}}\right|_{y=y_{0}-\beta}

pentru $j=k,k+1,\ldots,n$ şi $k=0,1,\ldots,n$ .

Fie $y=L_{n}(x)$ polinomul lui Iagrange al integralei $y(x)$ a ecuatiei diferentiale $y^{\prime}=f(x,y)$ , care ia valorile $y_{0},y_{1},\ldots,y_{n}$ pe nodurile $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}$ . Dacă curba $y=L_{n}(x)$ iese din dreptunghiul $D$ , notăm cu $\beta^{\prime}$ o margine superioară a lui $L_{n}(x)$ şi cu $\beta^{\prime\prime}$ o margine inferioară lui $L_{n}(x)$ în intervalul $\left[x_{0},x_{0}+a\right]$ . Notăm cu $\beta^{*}$ cel mai mare dintre numerele $\beta^{\prime}-y_{0},y_{0}-\beta^{\prime\prime}$ . In dreptunghiul $D^{*}$ definit de

\left|x-x_{0}\right|\leqslant\alpha,\quad\left|y-y_{0}\right|\leqslant\beta^{*}

considerăm funcția

f^{*}(x,y)=\begin{cases}F^{\prime}(x,y)&\text{ dacă }y\geqslant\beta-y_{0}\\ f(x,y)&\text{ dacă }\left|y-y_{0}\right|\leqslant\beta\\ F^{\prime\prime}(x,y)&\text{ dacă }y\leqslant y_{0}-\beta\end{cases}

care este continuă, împreună cu derivatele ei parţiale în raport cu $x$ și $y$ pînă la ordinul $n$ .

Să considerăm ecuația diferențială

Y^{\prime}=f^{*}(x,Y)

(136)

cu condiția inițială $Y\left(x_{0}\right)=y_{0}$ . Ținînd seama de definiția funcției $f^{*}(x,y)$ , dată de formula (135), și de ecuația diferențială (110) cu aceiaşi condiție inițială $y\left(x_{0}\right)=y_{0}$ , se deduce că în intervalu1 $\left[x_{0},x_{0}+a\right]$ , pe care s-a dovedit că există integrale $y(x)$ , avem $Y(x)=y(x)$ .

Pentru ecuația diferențială (136), curba $y=L_{n}(x)$ , care coincide cu curba $y=L_{n}(x)$ relativă la ecuația (110); nu iese din dreptunghiul $D^{*}$ . Deci tot ce s-a spus la nr. 19 rămîne valabil cu condiția ca să se înlocuiască dreptunghiul $D$ cu $D^{*}$ și funcția $f(x,y)$ cu funcția $f^{*}(x,y)$ . In special formulele (128), (131) rămîn valabile, înlocuind însă pe $F_{n}$ şi $K$ cu valorile corespunzătoare relative la dreptunghiul $D^{*}$ .

\begin{gathered}\text{ Universilatea Babeş - Bolyai, Cluj }\\ \text{ Catedra de ecuații diferentiale }\end{gathered}

BIBLIOGRAFIE

1.

J. Radon, Restausdrücke bei Interpolations und Quadratur Formeln durch bestimmte Integralen, Monatshefte für Math. und Phys. 42, 389, (1935).
2.

D. V. Ionescu, Cuadraturi numerice, Cap. III, §5. Edit. Tehn. Bucureşti 1957.
3.

T. Popoviciu, Asupra restului în unele tormule de derivare numerică, Studii și Cerc. Matem. (Bucureşti), III, 1-2, 53-122 (1952).
4.

G. Kowalewski, Remarque sur l’intérpolation newtonienne, C. R. de l’Acad. des Sci. Paris, 227, 21-23 (1948).
5.

G. Sansone, Equazioni differenziali nel campo reale, Parte seconda, Bologna, 1949.
6.

D. V. Ionescu, Formule de cuadratură cu noduri exterioare, Studii și Cerc. de Mat. (Cluj), IX, 45-135 (1958).
7.

W. Tollmien, Uber die Fehlerabschätzung bei Adamschen Verfahren zur Integration gewöhnlicher Differential Gleichungen, Zeitschr. für ang. Math. und Mech., 18, 83-90 (1938).
8.

O. Aramă, Asupra restului unor formule de integrare numerică de tip Runge - Kutta a ecuatiilor diferentiale, Studii și Cerc. de Mat. (Cluj), (sub tipar) (1960).

	$\displaystyle\left\|R_{1}(x)\right\|\leqslant$	$\displaystyle\left\|C_{1}(x)\right\|\frac{F_{n}}{(n+1)!}+\left\|C_{2}(x)\right\|\frac{F_{n+1}}{(n+2)!}+\ldots+$
		$\displaystyle+\left\|C_{p}(x)\right\|\frac{F_{n+p-1}}{(n+p)!}+\frac{\left(x-x_{0}\right)^{p+1}}{(p+1)!}F_{p}$		(90)

Aplicarea formulelor de derivare numerică la integrarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale

Abstract

Autori

Cuvinte cheie

PDF

Citați articolul în forma

Despre acest articol

Journal

Publisher Name

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Referințe

Referinte

Lucrare in format HTML

APLICAREA FORMULELOR DE DERIVARE NUMERICĂ LA INTEGRAREA NUMERICĂ A ECUATTILOR DIFERENT, IALE

Capitolul I

FORMULE DE DERIVARE NUMERICĂ

§ 1. Formule de derivare numerică care provin din expresia unei diferențe divizate sub formă de integrală definită

§ 2. Generalizarea formule lor lui A. A. Markov și punerea restului acestor formule sub formă de integrală definită

Capitolul II

INTEGRAREA NUMERICĂ A ECUATTILOR DIFERENT, IALE

§ 1. Formule de integrare numerică rezultînd din aplicarea formulelor de derivare numerică (6)

§ 2. Formule de integrare numerică rezultind din aplicarea formulelor de derivare numerică (31)

BIBLIOGRAFIE

Related Posts