Abstract
Autori
Cuvinte cheie
1950 a -Popoviciu- Lucr. Ses. Gen. St. Acad. RPR – Asupra demonstratiei teoremei lui Weierstrass cu ajutorul polinoamelor de interpolare
https://ictp.acad.ro/wp-content/uploads/2025/10/1950-a-Popoviciu-Lucr.-Ses.-Gen.-St.-Acad.-RPR-Asupra-demonstratiei-teoremei-lui-Weierstrass-cu-ajutorul-polinoamelor-de-interpolare.pdf
Citați articolul în forma
T. Popoviciu, Asupra demonstraţiei teoremei lui Weierstrass cu ajutorul polinoamelor de interpolare, Lucrările ses. generale a Acad. R.P.R., pp. 1664-1667 (in Romanian).
Despre acest articol
Journal
Publisher Name
DOI
Not available yet.
Print ISSN
Not available yet.
Online ISSN
Not available yet.
Google Scholar Profile
republished in English, in 1998: T. Popoviciu, On the proof of Weierstrass’ theorem using interpolation polynomials, East J. Approximations, 4 (1998) no. 1, pp. 107-110 (translated by D. Kacsó)
Referințe
?
Lucrare in format HTML
ASUPRA DEMONSTRATIEI TFOREMEI LUI WEIERSTRASS CU AJUTORUL POLINOAMELOR DE INTERPOLARE
I. Fie [a,b][a, b] un interval finit și închis, care, după caz, poate fi considerat redus la [0,I][0, \mathrm{I}] sau [-I,I][-\mathrm{I}, \mathrm{I}], fapt care nu restrânge generalitatea chestiunilor tratate.
Să considerăm un tablou triunghitular de noduri în [a,b][a, b]
{:(I)x_(n)","o","x_(n,1)","dots","x_(n,n)","quad n=1","2","3","dots:}\begin{equation*}
x_{n}, o, x_{n, 1}, \ldots, x_{n, n}, \quad n=1,2,3, \ldots \tag{I}
\end{equation*}
și ur tablou triunghiular de polinoame in xx,
{:(2)P_(n,0)","quadP_(n,1)","dots","P_(n,n)","quad n=1","2","3","dots(P_(n,m)=P_(n,m)(x)):}\begin{equation*}
P_{n, 0}, \quad P_{n, 1}, \ldots, P_{n, n}, \quad n=1,2,3, \ldots\left(P_{n, m}=P_{n, m}(x)\right) \tag{2}
\end{equation*}
Unei funcţii f(x)f(x) uniforme în [a,b][a, b] se ataşează șitul de polinosme de interpolare (într'un sens mai general)
Q_(n)[f;x]=sum_(i=0)^(n)P_(n,t)(x)f(x_(n,t)),quad n=1,2,3,dotsQ_{n}[f ; x]=\sum_{i=0}^{n} P_{n, t}(x) f\left(x_{n, t}\right), \quad n=1,2,3, \ldots
Problema determinării tablourilor (1) și (2) astfel ca
lim_(n rarr oo)Q_(n)[f;x]=f(x)\lim _{n \rightarrow \infty} Q_{n}[f ; x]=f(x)
uniform în [a,b][a, b] pentru orice funcție f(x)f(x) continuă în [a,b][a, b], pusă de E\mathbb{E}. Bore1 [I], a fost elegant rezolvată de S. Bernstein [2] prin polinoamele (scrise pentru intervalul [0,I][0, I] ).
B_(n)[f;x]=sum_(i=0)^(n)f((i)/(n))((n)/(i))x^(i)(1-x)^(n-l)B_{n}[f ; x]=\sum_{i=0}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\left(\frac{n}{i}\right) x^{i}(1-x)^{n-l}
- Dacă în particular avem
a) P_(n,t)(x) >= 0,i=0,1,dots,n;n=1,2,3,dots;x in[a,b]P_{n, t}(x) \geqq 0, i=0,1, \ldots, n ; n=1,2,3, \ldots ; x \in[a, b]
- sum_(i=0)^(n_(i))P_(n,i)(x)=1,quad n=1,2,3,dots\sum_{i=0}^{n_{i}} P_{n, i}(x)=1, \quad n=1,2,3, \ldots
diferența Q_(n)[f;x]-f(x)Q_{n}[f ; x]-f(x) se delimitează imediat prin formula
|Q_(n)[f;x]-f(x)| <= 2omega(A_(n))\left|Q_{n}[f ; x]-f(x)\right| \leqq 2 \omega\left(A_{n}\right)
unde
A_(n)=s u p_([a,b])sum_(i=0)^(r)|x_(n,i)-x|P_(n,i)(x)A_{n}=\sup _{[a, b]} \sum_{i=0}^{r}\left|x_{n, i}-x\right| P_{n, i}(x)
și omega(delta)\omega(\delta) este modulul de oscilație al funcției f(x)f(x).
Dacă A_(n)rarr0A_{n} \rightarrow 0, pentru n rarr oon \rightarrow \infty, problema lui E. B o re 1 este rezolvată. Acest lucru are loc în particular în cazul polinoamelor lui S. Bernstein, cum am arătat altă dată [3].
Dacă A_(n)rarr0A_{n} \rightarrow 0, pentru n rarr oon \rightarrow \infty, problema lui E. B o re 1 este rezolvată. Acest lucru are loc în particular în cazul polinoamelor lui S. Bernstein, cum am arătat altă dată [3].
Pentru demonstrarea teoremei lui Weierstrass, pe lângă condiţiile alpha\alpha ), beta\beta ), este suficient să avem
(A_(n) <= )B_(n)=sqrt(s u p_([a,b])sum_(i=0)^(n)(x_(n,i)-x)^(2)P_(n,i)(x))rarr0," pentru "n rarr oo\left(A_{n} \leqq\right) B_{n}=\sqrt{\sup _{[a, b]} \sum_{i=0}^{n}\left(x_{n, i}-x\right)^{2} P_{n, i}(x)} \rightarrow 0, \text { pentru } n \rightarrow \infty
Acest lucru este realizat în cazul polinoamelor lui S. Bernstein, căci atunci B_(n)=(I)/(2sqrtn)B_{n}=\frac{I}{2 \sqrt{n}}
3. Teorema lui Weierstrass se mai poate demonstra și cu ajutorul polinoamelor introduse de I_(1)I_{1}. Fejé rr [4] și care derivă din polinoamele. de interpolare ale lui Hermite.
3. Teorema lui Weierstrass se mai poate demonstra și cu ajutorul polinoamelor introduse de I_(1)I_{1}. Fejé rr [4] și care derivă din polinoamele. de interpolare ale lui Hermite.
Dacă
l_(n)(x)=c(x-x_(n,0))(x-x_(n,t))dots(x-x_(n,n)),l_{n}(x)=c\left(x-x_{n, 0}\right)\left(x-x_{n, t}\right) \ldots\left(x-x_{n, n}\right),
unde cc este o constantă convenabilă.
Să considerăm polinomtul lui Hermite
Să considerăm polinomtul lui Hermite
{:(3)sum_(i=0)^(n)h_(n,t)(x)f_(n,i)+sum_(i=0)^(n)k_(n,t)(x)f_(n,t)^('):}\begin{equation*}
\sum_{i=0}^{n} h_{n, t}(x) f_{n, i}+\sum_{i=0}^{n} k_{n, t}(x) f_{n, t}^{\prime} \tag{3}
\end{equation*}
de gradul 2n+12 n+1, care se reduce la f_(n,t)f_{n, t} pentru x=x_(n,t)x=x_{n, t} și a cărei derivată: se reduce la f_(n,i)^(')f_{n, i}^{\prime} pentru x=x_(n,i),i=0,1,dots,nx=x_{n, i}, i=0,1, \ldots, n.
Atunci condiția beta\beta ) se realizează prin sum_(i=0)^(n)h_(n,i)(x)=1\sum_{i=0}^{n} h_{n, i}(x)=1.
Avem apoi
Avem apoi
sum_(i=0)^(n)h_(n,t)(x)(x-x_(n,t))^(2)=2sum_(i=0)^(n)k_(n,t)(x)(x-x_(n,t))=2l_(n)^(2)(x)sum_(i=0)^(n)(1)/([l_(n)^(')(x_(n),t)]^(2))\sum_{i=0}^{n} h_{n, t}(x)\left(x-x_{n, t}\right)^{2}=2 \sum_{i=0}^{n} k_{n, t}(x)\left(x-x_{n, t}\right)=2 l_{n}^{2}(x) \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{\left[l_{n}^{\prime}\left(x_{n}, t\right)\right]^{2}}
Conditia alpha\alpha ) este realizată dacă luăm h_(n,i)(x)=P_(n,i)(x)h_{n, i}(x)=P_{n, i}(x) după cum a arătat. L. Fejér, în cazul particular pentru polinomul lui Ceb âşev (scris pentru intervalul [-I,I][-\mathbf{I}, \mathbf{I}] ),
l_(n)(x)=T_(n+1)(x)=cos(n+1)arc cos xl_{n}(x)=T_{n+1}(x)=\cos (n+1) \operatorname{arc} \cos x
In acest caz
sum_(i=0)^(n)(I)/([l_(n)^(')(x_(n),i)]^(2))=sum_(i=0)^(n)(I)/([T_(n+1)^(')(x_(n,i))]^(2))=(I)/((n+I)^(2))sum_(i=0)^(n)(I-x_(n,i)^(2))=(I)/(2(n+I))\sum_{i=0}^{n} \frac{\mathrm{I}}{\left[l_{n}^{\prime}\left(x_{n}, i\right)\right]^{2}}=\sum_{i=0}^{n} \frac{\mathrm{I}}{\left[T_{n+1}^{\prime}\left(x_{n, i}\right)\right]^{2}}=\frac{\mathrm{I}}{(n+\mathrm{I})^{2}} \sum_{i=0}^{n}\left(\mathrm{I}-x_{n, i}^{2}\right)=\frac{\mathrm{I}}{2(n+\mathrm{I})}
Rezultă cǎ în acest caz
B_(n)=(1)/(sqrt(n+1))B_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}
Așa dar, pentru polinoamele lui L. Fejér,
F_(n)[t;x]=sum_(i=0)^(n)h_(n,i)(x)f(x_(n,i))F_{n}[t ; x]=\sum_{i=0}^{n} h_{n, i}(x) f\left(x_{n, i}\right)
unde h_(n,t)(x)h_{n, t}(x) sunt polinoamele fundamentale de prima specie corespunzătoare polinoamelor lui Hermite (3) și nodurilor lui Cebâşev x_(n,i)x_{n, i}, verifică inegalitatea
|F_(n)[f;x]-f(x)| <= 2omega((I)/(sqrt(n+I))),quad x in[-I,I]\left|F_{n}[f ; x]-f(x)\right| \leqq 2 \omega\left(\frac{\mathrm{I}}{\sqrt{n+\mathrm{I}}}\right), \quad x \in[-\mathrm{I}, \mathrm{I}]
Rezultă de aici că aproximația dată de polinoamele lui L. F e j é r, este cel puțin de acelaşi ordin cu aproximatia dată de polinoamele lui S. Bexnstein.
Observațiile de mai sus sugerează diverse noi probleme asupra polinoamelor de interpolare, pe care le vom trata într'o lucrare mai detaliată.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Делаются несколько замечаний касательно полиномов приближенности формы sum_(i=0)^(n)P_(n,i)(x)f(x_(n),i)\sum_{i=0}^{n} P_{n, i}(x) f\left(x_{n}, i\right), обобщающих полиномы С. Н. Бернштейна (2). Наряду с условиями alpha\alpha ), beta\beta ) можно легко ограничить условие при помощи модуля колебаний функции f(x)f(x). Показывается что полиномы Л. Фейера (4) приводят к теореме Вейерштрасса с приближенностью, достигающей приближенности многочленов С. Н. Бернштейна.
RÉSUMÉ
Quelques remarques sur les polynômes d'approximation de la forme sum_(sum)^(n)P_(n,i)(x)f(x_(n),i)\sum_{\sum}^{n} P_{n, i}(x) f\left(x_{n}, i\right), généralisant les polynômes de S. Bernstein [2]. Sous les conditions alpha\alpha ), beta\beta ) on peut facilement délimiter l'erreur à l'aide du module d'oscillation de la fonction f(x)f(x). Comme application on montre que les polynômes de L. Fejér [4] conduisent au théorème de Weierstrass, avec une approximation qui atteint celle des polynômes de S. Bernstein.
BIBLIOGRAFIE
- E. Borel, Lecons sur les fonctions de variables réelles. 1905.
- S. Bernstein, Demonstrafia teoremei lui Weierstrass bazată pe calculul probabilităților. Comunicările Soc. Matem. din Harcov, 2, 13, 1-2, 1912.
- T. Popovieiu, Sur l'approximation des fonctions, convexes d'ordre supérieur. Mathematica, 10, 49-54, 1934.
- L. Fejér, Über Weierstrassche Approximation besonders durch Hermitesche Interpolation. Math. Ann., 102, 707-725, 1930.