Abstract
Autori
T. Popoviciu
Cuvinte cheie
please click here:
https://ictp.acad.ro/wp-content/uploads/2025/10/1941-a-Popoviciu-Pozitiva-Asupra-poligoanelor-regulate.pdf
Citați articolul în forma
T. Popoviciu, Asupra poligoanelor regulate, Pozitiva, 2 (1941), pp. 92-97 (in Romanian).
Despre acest articol
Journal
Publisher Name
DOI
Not available yet.
Print ISSN
Not available yet.
Online ISSN
Not available yet.
Google Scholar Profile
[MR0017921]
Lucrare in format HTML
Asupra poligoanelor regulate
- Sǎ considerăm un poligon regulat A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{0} \mathrm{~A}_{1} \ldots \mathrm{~A}_{n-1} de nn laturi într'un plan. Fie P un punct din plan și
{:[M_(1)(P)=( bar(PA_(0))+ bar(PA_(1))+cdots+PA_(n-1))/(n)","],[M_(2)(P)=sqrt(( bar(PA)_(0)^(2)+ bar(PA_(1))+cdots+PA_(n-1)^(2))/(n)).]:}\begin{gathered}
\mathrm{M}_{1}(\mathrm{P})=\frac{\overline{\mathrm{PA}_{0}}+\overline{\mathrm{PA}_{1}}+\cdots+\mathrm{PA}_{n-1}}{n}, \\
\mathrm{M}_{2}(\mathrm{P})=\sqrt{\frac{\overline{\mathrm{PA}}_{0}^{2}+\overline{\mathrm{P} A_{1}}+\cdots+\mathrm{PA}_{n-1}^{2}}{n}} .
\end{gathered}
M_(1)(P)M_{1}(P) este media aritmeticá iar M_(2)(P)M_{2}(P) media patratică a distanțelor lui P de vârfurile poligonului. Avem totdeauna inegalitatea
M_(1)(P) <= M_(?)(P)M_{1}(P) \leqq M_{?}(P)
şi egalitatea nu este posibilă decât dacă bar(PA)= bar(PA_(1))=dots= bar(PA_(n-1))\overline{\mathrm{PA}}=\overline{\mathrm{PA}_{1}}=\ldots=\overline{\mathrm{PA}_{n-1}} Acest lucru are efectiv loc dacă și numai dacă PP este centrul de greutate al poligonului. Cu alte cuvinte raportul
{:(1)E(P)=(M_(1)(P))/(M_(1)(P)):}\begin{equation*}
E(P)=\frac{M_{1}(P)}{M_{1}(P)} \tag{1}
\end{equation*}
are maximul egal cu 1 și acest maximum este atins dacă şi numai dacă P este centrul poligonului.
In cele ce urmează ne propunem să determinăm minimul raportului (1). E suficient să presupunem că centrul poligonului este originea și că vârfurile sunt reprezentate prin numerile complexe e^(i(2k pi)/(n)),k=0,1,dots n-1e^{i \frac{2 k \pi}{n}}, k=0,1, \ldots n-1. Punctul variabil PP va fi reprezentat prin numărul complex rhoe^(i theta),rho\rho e^{i \theta}, \rho fiind modulul iar theta\theta argumentul, rho >= 0,0 <= theta <= 2pi\rho \geqq 0,0 \leqq \theta \leqq 2 \pi. Avem átunci
{:[PA_(k)=sqrt(rho^(2)+1-2rho cos(theta-(2k pi)/(n)))","k=0","1","dots","n-1],[M_(3)(P)=sqrt(rho^(2)+1)]:}\begin{gathered}
\mathrm{PA}_{k}=\sqrt{\rho^{2}+1-2 \rho \cos \left(\theta-\frac{2 k \pi}{n}\right)}, k=0,1, \ldots, n-1 \\
\mathrm{M}_{3}(\mathrm{P})=\sqrt{\rho^{2}+1}
\end{gathered}
- Putem demonstra direct următoarea
Lemă. Raportul (1) are un minimum pozitiv atins pentru cel puţin un punct P din plan.
E(P)\mathrm{E}(\mathrm{P}) este o functie continuă in tot planul și nu se anulează niciodată. Pe baza observațiilor de mai sus, dacă P_(1)P_{1} este un punct diferit de origine, avem
deci
E(P)\mathrm{E}(\mathrm{P}) este o functie continuă in tot planul și nu se anulează niciodată. Pe baza observațiilor de mai sus, dacă P_(1)P_{1} este un punct diferit de origine, avem
deci
0 < E(P_(1))=0 < 10<E\left(P_{1}\right)=0<1
(010) quad minE(P) <= a < 1\quad \min \mathrm{E}(\mathrm{P}) \leqq a<1.
Dar bar(PA_(k)) >= |rho-1|,M_(2)(P) <= rho+1\operatorname{Dar} \overline{\mathrm{PA}_{k}} \geqq|\rho-1|, \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P}) \leqq \rho+1, deci
Dar bar(PA_(k)) >= |rho-1|,M_(2)(P) <= rho+1\operatorname{Dar} \overline{\mathrm{PA}_{k}} \geqq|\rho-1|, \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P}) \leqq \rho+1, deci
E(P) >= (|p-1|)/(p+1)\mathrm{E}(\mathrm{P}) \geqq \frac{|p-1|}{p+1}
Dacă luăm rho > (1+alpha)/(1-alpha)\rho>\frac{1+\alpha}{1-\alpha}, avem
E(P) > alpha.E(P)>\alpha .
Rezultă că minimul lui E(P)E(P) în tot planul este acelaş cuc u minimul lui E(P)\mathrm{E}(\mathrm{P}) în cercul cu centrul în origine și de rază (1+alpha)/(1-alpha)\frac{1+\alpha}{1-\alpha}. Acest din urmă cerc este un domeniu închis și mărginit deci, după o teoremă a lui Weierstruss, minimul lui E(P)\mathrm{E}(\mathrm{P}) este atins. Acest minimum nu poate fi nul căci E(P)\mathrm{E}(\mathrm{P}) nu se anuleazá, deci
min E(P) > 0.\min E(P)>0 .
Putem observa de altfel că, din cauza simetriei, minimul esfe atins în cel puțin nn puncte formând un poligon regulat cu centrul în origine.
3. Să trecem acum la determinarea efectivă a minimului.
3. Să trecem acum la determinarea efectivă a minimului.
Să presupunem că P se mişcă peo o semi-dreaptă ce pleacă din origine, cu alte cuvinte că theta\theta este fix și rho\rho variază dela 0 la +oo+\infty. Să punem
t=(2p)/(p^(2)+1)t=\frac{2 p}{p^{2}+1}
Dacă rho\rho variază dela 0 la +oo+\infty, tt creşte întâi dela 0 până la maximul său 1 pe care-l atinge pentru rho=1\rho=1, pentru ca apoi să descrească tinzând către 0 . Avem
{:(2)E(P)=(1)/(n)sum_(k=1)^(n-1)sqrt(1-t cos(theta-(2k pi)/(n))):}\begin{equation*}
\mathrm{E}(\mathrm{P})=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{1-t \cos \left(\theta-\frac{2 k \pi}{n}\right)} \tag{2}
\end{equation*}
E (P) este atunci o funcție continuă de tt în intervalul închis [0,1][0,1] și este indefinit derivabilă în intervalul semiînchis [0,1)[0,1). Avem
(d^(2)E(P))/(dt^(2))=-(1)/(4n)sum_(k=0)^(n-1)(cos^(2)(theta-(2k pi)/(n)))/([sqrt(1-t cos(theta-(2k pi)/(n)))]^(3))\frac{d^{2} \mathrm{E}(\mathrm{P})}{d t^{2}}=-\frac{1}{4 n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\cos ^{2}\left(\theta-\frac{2 k \pi}{n}\right)}{\left[\sqrt{1-t \cos \left(\theta-\frac{2 k \pi}{n}\right)}\right]^{3}}
deci
(d^(2)E(P))/(dt^(2)) < 0,quad" in intervalul "[0,1)\frac{d^{2} \mathrm{E}(\mathrm{P})}{d t^{2}}<0, \quad \text { in intervalul }[0,1)
Se ştie atunci că E(P)\mathrm{E}(\mathrm{P}) este o funcţie concavă de tt în intervalul închis [0,1][0,1]. Această funcție nu se reduce la o constantă, deci minimul ei nu poate fi atins decât pentru extremitățile intervalului, adică pentru t=0t=0 sau t=1t=1. Pentru t=0t=0 avem E(P)=1\mathrm{E}(\mathrm{P})=1 deci minimul nu este atins decât pentru t=1t=1 si atunci avem p=1p=1.
Minimul expresiei (1) nu poate fi deci atlns decât pe ceroul circumscris poligonului. Fie deci rho=1\rho=1 și să variem per. theta\theta. Ev destul să considerăm, din cauza simetriei, cazul 0 <= theta <= (2pi)/(n)0 \leqq \theta \leqq \frac{2 \pi}{n}. Avem atunci
(3)
(3)
E(P)=(sqrt2)/(n)sum_(k=0)^(n-1)|sin((theta)/(2)-(k pi)/(n))|=\mathrm{E}(\mathrm{P})=\frac{\sqrt{2}}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\left|\sin \left(\frac{\theta}{2}-\frac{k \pi}{n}\right)\right|=
(sqrt2)/(n)[sin((theta)/(2))+sum_(k=1)^(n)sin((k pi)/(n)-(theta)/(2))]\frac{\sqrt{2}}{n}\left[\sin \frac{\theta}{2}+\sum_{k=1}^{n} \sin \left(\frac{k \pi}{n}-\frac{\theta}{2}\right)\right]
Avem însă
sum_(k=1)^(n-1)sin((k pi)/(n))=cotg((pi)/(2n)),quadsum_(k=1)^(n-1)cos((k pi)/(n))=0\sum_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k \pi}{n}=\operatorname{cotg} \frac{\pi}{2 n}, \quad \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{k \pi}{n}=0
deci
E(P)=(sqrt2)/(n)-[sin((theta)/(2))+cotg((pi)/(2n))cos((theta)/(2))]\mathrm{E}(\mathrm{P})=\frac{\sqrt{2}}{n}-\left[\sin \frac{\theta}{2}+\operatorname{cotg} \frac{\pi}{2 n} \cos \frac{\theta}{2}\right]
şi
min E(P)=(sqrt2)/(n)cotg((pi)/(2n))\min E(P)=\frac{\sqrt{2}}{n} \operatorname{cotg} \frac{\pi}{2 n}
care este atins numai pentru theta=0\theta=0 și theta=(2)/(n)\theta=\frac{2}{n}.
Putem aşa dar enunta proprietatea următoare
Teorema 1. Dacă A_(i)A_(I)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{\mathrm{i}} \mathrm{A}_{\mathrm{I}} \ldots \mathrm{A}_{n-1} este un poligon regulat de n laturi şi P un punct din planul poligonului, avem
M_(1)(P) >= (V^(')2)/(n)cotg((pi)/(2n)M_(2))(P)\mathrm{M}_{1}(\mathrm{P}) \geqq \frac{\mathrm{V}^{\prime} 2}{n} \operatorname{cotg} \frac{\pi}{2 n} \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P})
sau
{: bar(PA)_(0)+ bar(PA)_(1)+dots+ bar(PA)_(n-1))^(2) >= 2cotg^(2)(pi)/(2n) bar(PA)_(0)^(2)+ bar(PA)_(1)^(2)+dots+ bar(PA)_(n-1))\left.\left.\overline{\mathrm{PA}}_{0}+\overline{\mathrm{PA}}_{1}+\ldots+\overline{\mathrm{PA}}_{n-1}\right)^{2} \geqq 2 \operatorname{cotg}^{2} \frac{\pi}{2 n} \overline{\mathrm{PA}}_{0}{ }^{2}+\overline{\mathrm{PA}}_{1}{ }^{2}+\ldots+\overline{\mathrm{PA}}_{n-1}\right)
egalitatea nefiind adevărată decât dacă P coincide cu unul din vârfurile poligonului.
4. Unele din rezultatele precedente se pot generaliza uşor. Sǎ considerăm, în loc de media aritmetică M_(1)(P)\mathrm{M}_{1}(\mathrm{P}), media de putere rr a distanțelor lui P la vârfurile poligonului, adică
Putem aşa dar enunta proprietatea următoare
Teorema 1. Dacă A_(i)A_(I)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{\mathrm{i}} \mathrm{A}_{\mathrm{I}} \ldots \mathrm{A}_{n-1} este un poligon regulat de n laturi şi P un punct din planul poligonului, avem
M_(1)(P) >= (V^(')2)/(n)cotg((pi)/(2n)M_(2))(P)\mathrm{M}_{1}(\mathrm{P}) \geqq \frac{\mathrm{V}^{\prime} 2}{n} \operatorname{cotg} \frac{\pi}{2 n} \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P})
sau
{: bar(PA)_(0)+ bar(PA)_(1)+dots+ bar(PA)_(n-1))^(2) >= 2cotg^(2)(pi)/(2n) bar(PA)_(0)^(2)+ bar(PA)_(1)^(2)+dots+ bar(PA)_(n-1))\left.\left.\overline{\mathrm{PA}}_{0}+\overline{\mathrm{PA}}_{1}+\ldots+\overline{\mathrm{PA}}_{n-1}\right)^{2} \geqq 2 \operatorname{cotg}^{2} \frac{\pi}{2 n} \overline{\mathrm{PA}}_{0}{ }^{2}+\overline{\mathrm{PA}}_{1}{ }^{2}+\ldots+\overline{\mathrm{PA}}_{n-1}\right)
egalitatea nefiind adevărată decât dacă P coincide cu unul din vârfurile poligonului.
4. Unele din rezultatele precedente se pot generaliza uşor. Sǎ considerăm, în loc de media aritmetică M_(1)(P)\mathrm{M}_{1}(\mathrm{P}), media de putere rr a distanțelor lui P la vârfurile poligonului, adică
M_(r)(P)=[( bar(PA_(0))^(r)+PA_(1)r+dots+ bar(PA)_(n-)r)/(n)](1)/(r).\mathrm{M}_{r}(\mathrm{P})=\left[\frac{{\overline{\mathrm{PA}_{0}}}^{r}+\mathrm{PA}_{1} r+\ldots+\overline{\mathrm{PA}}_{n-} r}{n}\right] \frac{1}{r} .
Dacă 0 < r < 20<r<2 avem încă M_(r)(P) <= M_(2)(P)\mathrm{M}_{r}(\mathrm{P}) \leqq \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P}) iar dacă r > 2r>2 avem M_(r)(P) >= M_(2)(P)\mathrm{M}_{r}(\mathrm{P}) \geqq \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P}), egalitatea neputând avea loc, in ambele cazuri, decât dacă PP este centrul poligonului. Fie
E_(r)(P)=(M_(r)(P))/(M_(i)(P))\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})=\frac{\mathrm{M}_{r}(\mathrm{P})}{\mathrm{M}_{i}(\mathrm{P})}
Dacă 0 < r < 2,E_(r)(P)0<r<2, \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P}) are un minimum atins, iar dacă r > 2r>2 un maximum atins. In cazul de faţă expresia (2) devine
şı
şı
E_(r)^(r)(P)=(1)/(n)sum_(k=0)^(n-1)[1-t cos(0-(2k pi)/(n))]^((r)/(2))\mathrm{E}_{r}^{r}(\mathrm{P})=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\left[1-t \cos \left(0-\frac{2 k \pi}{n}\right)\right]^{\frac{r}{2}}
(d^(2)E_(r)^(r)(P))/(dt^(2))=(r(r-2))/(4)sum_(k=0)^(n-1)cos^(2)(theta-(2k pi)/(n))[1-t cos(theta-(2k pi)/(n))]^((r)/(2)-2)\frac{d^{2} \mathrm{E}_{r}^{r}(\mathrm{P})}{d t^{2}}=\frac{r(r-2)}{4} \sum_{k=0}^{n-1} \cos ^{2}\left(\theta-\frac{2 k \pi}{n}\right)\left[1-t \cos \left(\theta-\frac{2 k \pi}{n}\right)\right]^{\frac{r}{2}-2}
care este < 0<0 resp. > 0>0 după cum 0 < r < 20<r<2 resp. r > 2r>2. Se deduce ca mai sus că minimul resp. maximul lui E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P}) nu poate fi atins decât pe cercul circumscris poligonului
care este < 0<0 resp. > 0>0 după cum 0 < r < 20<r<2 resp. r > 2r>2. Se deduce ca mai sus că minimul resp. maximul lui E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P}) nu poate fi atins decât pe cercul circumscris poligonului
Expresia (3) devine acum
E_(r)^(r)(P)=((sqrt2)^(r))/(n)[sin^(r)((theta)/(2))+sum_(k=1)^(n-1)sin^(r)((k pi)/(n)-(theta)/(2))]\mathrm{E}_{r}^{r}(\mathrm{P})=\frac{(\sqrt{2})^{r}}{n}\left[\sin ^{r} \frac{\theta}{2}+\sum_{k=1}^{n-1} \sin ^{r}\left(\frac{k \pi}{n}-\frac{\theta}{2}\right)\right]
Această expresie este o funcţie continuă de theta\theta în intervalul [0,(2pi)/(n)]\left[0, \frac{2 \pi}{n}\right]. Avem, in intervalul deschis (0,(2pi)/(n))\left(0, \frac{2 \pi}{n}\right)
(d^(2)E_(r)^(r)(P))/(dt^(2))=-(r(sqrt2)^(rn-1))/(4n)sum_(k=0)^(1)|sin^(r-2)((k pi)/(n)-(theta)/(2))|[1-rcos^(2)((k pi)/(n)-(theta)/(2)]:}\frac{d^{2} \mathrm{E}_{r}^{r}(\mathrm{P})}{d t^{2}}=-\frac{r(\sqrt{2})^{r n-1}}{4 n} \sum_{k=0}^{1}\left|\sin ^{r-2}\left(\frac{k \pi}{n}-\frac{\theta}{2}\right)\right|\left[1-r \cos ^{2}\left(\frac{k \pi}{n}-\frac{\theta}{2}\right]\right.
și se vede că această derivată este totdeauna negativă dacă r <= 1r \leqq 1. Se poate dar enunța următoarea generalizare a teoremei 1.
(d^(2)E_(r)^(r)(P))/(dt^(2))=-(r(sqrt2)^(rn-1))/(4n)sum_(k=0)^(1)|sin^(r-2)((k pi)/(n)-(theta)/(2))|[1-rcos^(2)((k pi)/(n)-(theta)/(2)]:}\frac{d^{2} \mathrm{E}_{r}^{r}(\mathrm{P})}{d t^{2}}=-\frac{r(\sqrt{2})^{r n-1}}{4 n} \sum_{k=0}^{1}\left|\sin ^{r-2}\left(\frac{k \pi}{n}-\frac{\theta}{2}\right)\right|\left[1-r \cos ^{2}\left(\frac{k \pi}{n}-\frac{\theta}{2}\right]\right.
și se vede că această derivată este totdeauna negativă dacă r <= 1r \leqq 1. Se poate dar enunța următoarea generalizare a teoremei 1.
Teorema 2. Dacă A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)A_{0} A_{1} \ldots A_{n-1} este un poligon regulat de nn laturi, rr un număr pozitiv <= 1\leqq 1 si PP un punct din planul poligonului, avem
M_(r)(P) >= (sqrt2)/(sqrtn)[sum_(k=1)^(n-1)sin^(r)((k pi)/(n))] bar(r)M_(2)(P)\mathrm{M}_{r}(\mathrm{P}) \geqq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}}\left[\sum_{k=1}^{n-1} \sin ^{r} \frac{k \pi}{\mathrm{n}}\right] \bar{r} \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P})
egalitatea nefiind adevărată decât dacă PP coincide cu unul din vârfurile poligonului.
5. Dară r > 1r>1 problema e mai complicată. Vom examina aici numai cazul când rr este un număr intreg pozitiv şi par, r=2mr=2 m. Totul revine atunci la evaluarea sumei
5. Dară r > 1r>1 problema e mai complicată. Vom examina aici numai cazul când rr este un număr intreg pozitiv şi par, r=2mr=2 m. Totul revine atunci la evaluarea sumei
S_(m)=sum_(k=0)^(n-1)sin^(2m)[(k pi)/(n)-(theta)/(2)]\mathrm{S}_{m}=\sum_{k=0}^{n-1} \sin ^{2 m}\left[\frac{k \pi}{n}-\frac{\theta}{2}\right]
Să ne reamintim formula
sin^(2m)alpha=(1)/(2^(2m))((2m)/(m))+2sum_(s=1)^(m)((-1)^(s)_(m)_(m+s)^(2m)))/(2^(2m))cos 2s alpha\sin ^{2 m} \alpha=\frac{1}{2^{2 m}}\binom{2 m}{m}+2 \sum_{s=1}^{m} \frac{\left.(-1)^{s}{ }_{m}{ }_{m+s}^{2 m}\right)}{2^{2 m}} \cos 2 s \alpha
Avem însă
sum_(k=0)^(n-1)cos 2s[(k pi)/(n)-(theta)/(2)]={[0","," dacă ",s≢0](modn):}\sum_{k=0}^{n-1} \cos 2 s\left[\frac{k \pi}{n}-\frac{\theta}{2}\right]=\left\{\begin{array}{lll}0, & \text { dacă } & s \not \equiv 0\end{array}(\bmod \mathrm{n})\right.ă
deci
sum_(k=0)^(n-1)cos 2s[(k pi)/(n)-(theta)/(2)]={[0","," dacă ",s≢0](modn):}\sum_{k=0}^{n-1} \cos 2 s\left[\frac{k \pi}{n}-\frac{\theta}{2}\right]=\left\{\begin{array}{lll}0, & \text { dacă } & s \not \equiv 0\end{array}(\bmod \mathrm{n})\right.ă
deci
S_(m)=(n)/(2^(2m))((2(m))/((m)))+2nsum_(j=1)^(((m)/(n)))((-1)^(jn)((2m)/(m+jn)))/(2^(2m))cos jn theta\mathrm{S}_{m}=\frac{\mathrm{n}}{2^{2 m}}\binom{2 \mathrm{~m}}{\mathrm{~m}}+2 n \sum_{j=1}^{\left(\frac{m}{n}\right)} \frac{(-1)^{j n}\binom{2 m}{m+j n}}{2^{2 m}} \cos j n \theta
[ lambda\lambda ] însemnând cel mai mare întreg <= lambda\leqq \lambda.
In special dacă m < nm<n, avem
In special dacă m < nm<n, avem
S_(m)=(n)/(2^(2m))((2(m))/((m)))S_{m}=\frac{n}{2^{2 m}}\binom{2 \mathrm{~m}}{\mathrm{~m}}
și se poate enunţa următoarea
Teorema 3. Dacă meste un număr întreg ( > 1>1 ) şi A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)A_{0} A_{1} \ldots A_{n-1} un poligon regulat de n >= mn \geq m laturi iar PP un punct îr planul poligonului, avem
M_(2m)(P) <= (1)/(sqrt2)((2m)/(m))^((1)/(2m))M_(2)(P)\mathrm{M}_{2 m}(\mathrm{P}) \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}\binom{2 m}{m}^{\frac{1}{2 m}} \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P})
egalitatea nefiind adevărată decât dacă PP este pe cercul circumseris poligonului.
Dacă avem m > nm>n, se vede pe structura lui S_(m)S_{m} că maximul este atins pentru theta=0\theta=0 si theta=(2pi)/(n)\theta=\frac{2 \pi}{n} dacă nn este par şi pentru theta=(pi )/(n)\theta=\frac{\pi}{n} dacă nn este impar, deci
Teorema 4. Dacà A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)A_{0} A_{1} \ldots A_{n-1} este un poligon regulat de n( >= 3)n(\geqq 3) laturi şi mm un număr întreg si pozitiv >in, oricare ar fi punctul PP din planul poligonului avem
(M_(2m)(P))/(M_(2)(P)) <= (1)/(sqrt2)[((2m)/(m))+2sum_(j=1)^([(m)/(n)])((2m)/(m+jn))]^((1)/(2m))\frac{\mathrm{M}_{2 m}(\mathrm{P})}{\mathrm{M}_{2}(\mathrm{P})} \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\binom{2 m}{m}+2 \sum_{j=1}^{\left[\frac{m}{n}\right]}\binom{2 m}{m+j n}\right]^{\frac{1}{2 m}}
egalitatea nefiind adevarată decât dacă
1^(0)n1^{0} n fiind par, PP coincide cu unul din vârfurile poligonului.
2^(0)n2^{0} n fiind impar, PP coincide cu mijlocul unui arc de cerc circumscris limitat de două vârfuri consecutive ale poligonului.
6. Pentru a încheia atrag atentia cetitorilor asupra faptului că mai multe din rezultatele precedente ar fi interesante de complectat. In primul rând ar trebui văzut, în cazul special examinat de noi, ce se întâmplă dacă rr este un nnmăr pozitiv oarecare mai mare ca 1. Ar trebui pe urmă examinat cazul când în loc de un poligon regulat se ia un poligon oarecare. Se poate ușor vedea că în general (pentru un poligon oarecare) raportul
1^(0)n1^{0} n fiind par, PP coincide cu unul din vârfurile poligonului.
2^(0)n2^{0} n fiind impar, PP coincide cu mijlocul unui arc de cerc circumscris limitat de două vârfuri consecutive ale poligonului.
6. Pentru a încheia atrag atentia cetitorilor asupra faptului că mai multe din rezultatele precedente ar fi interesante de complectat. In primul rând ar trebui văzut, în cazul special examinat de noi, ce se întâmplă dacă rr este un nnmăr pozitiv oarecare mai mare ca 1. Ar trebui pe urmă examinat cazul când în loc de un poligon regulat se ia un poligon oarecare. Se poate ușor vedea că în general (pentru un poligon oarecare) raportul
(M_(p)(P))/(M_(q)(P))\frac{\mathrm{M}_{p}(\mathrm{P})}{\mathrm{M}_{q}(\mathrm{P})}
unde 0 < p < q0<p<q, are un minimum atins. Acest minimum depinde de poligonul considerat și are un maximum când acest poligon variază. Este foarte probabil că acest „maximum minimorum " este atins, în particular, pentru un poligon regulat.
Bucureşti, 29 Noembrie 1941.