Abstract
Autori
Cuvinte cheie
https://ictp.acad.ro/wp-content/uploads/2022/09/1932-b-Popoviciu-Bull.-Math.-Soc.-Roum.-Sci.-Asupra-polinoamelor-cari-formeaza-un-sir-Appell-II.pdf
https://www.jstor.org/stable/43769713
Citați articolul în forma
T. Popoviciu, Asupra polinoamelor cari formează un şir Appell (II), Bull. Mathematique de la Soc. Roumaine des Sciences, 33/34 (1932), pp. 22-27 (in Romanian) (nota a doua – second note).
Despre acest articol
Journal
Bull. Mathematique de la Soc. Roumaine des Sciences
Publisher Name
DOI
https://www.jstor.org/stable/43769713
Print ISSN
Not available yet.
Online ISSN
Not available yet.
Google Scholar Profile
Referințe
Lucrarea in format html
ASUPRA POLINOAMELOR CARI FORMEAZĂ UN ȘIR APPELL ^(1){ }^{1} ) de TIB. POPOVICIU
- In primul nostru articol publicat sub acest tiflu am căutat şiru= rile de polinoame in x :
(1)
cari verifică condiţiile
P_(0)=1,P_(1),dotsP_(n,dots)P_{0}=1, P_{1}, \ldots P_{n, \ldots}
{:(2)A_(n)P_(n)+B_(n)P_(n-1)+C_(n)P_(n-2)=0:}\begin{equation*}
A_{n} P_{n}+B_{n} P_{n-1}+C_{n} P_{n-2}=0 \tag{2}
\end{equation*}
A_(n),B_(n),C_(n)\boldsymbol{A}_{n}, \boldsymbol{B}_{n}, \boldsymbol{C}_{n} find polinoame in x de grade 0,1,20,1,2 respectiv.
In particular am studiat cazul când A_(n)!=0A_{n} \neq 0 pentru orice nn și cazul A_(n)=0\boldsymbol{A}_{n}=0 pentru orice nn. Ne propunem acum a studia cazul al treilea semnalat în articolul sus=citat, când unii din A_(n)\boldsymbol{A}_{n} sunt nuli. Observăm că e suficient, a presupune totdeauna C_(n)!=0C_{n} \neq 0, căci dacă am avea o con= ditic de forma C_(n)-=0\boldsymbol{C}_{n} \equiv 0, avem un caz particular al conditiei A_(n)=0\boldsymbol{A}_{n}=0. Se poate întâmpla ca relația (3) să nu fie unică; convenim a spune că A_(n)!=0\boldsymbol{A}_{n} \neq 0 când nu există nici o relație (3) unde A_(n)=0A_{n}=0. Am văzut la No. 3 al articolului precedent când aşa ceva este posibil.
In particular am studiat cazul când A_(n)!=0A_{n} \neq 0 pentru orice nn și cazul A_(n)=0\boldsymbol{A}_{n}=0 pentru orice nn. Ne propunem acum a studia cazul al treilea semnalat în articolul sus=citat, când unii din A_(n)\boldsymbol{A}_{n} sunt nuli. Observăm că e suficient, a presupune totdeauna C_(n)!=0C_{n} \neq 0, căci dacă am avea o con= ditic de forma C_(n)-=0\boldsymbol{C}_{n} \equiv 0, avem un caz particular al conditiei A_(n)=0\boldsymbol{A}_{n}=0. Se poate întâmpla ca relația (3) să nu fie unică; convenim a spune că A_(n)!=0\boldsymbol{A}_{n} \neq 0 când nu există nici o relație (3) unde A_(n)=0A_{n}=0. Am văzut la No. 3 al articolului precedent când aşa ceva este posibil.
Vom întrebuinta notatiile din articolul precedent, la care cetitorul este rugat a se referi.
2. Să presupunem
2. Să presupunem
A_(n+1)=0A_{n+1}=0
Rezultă imediat că putem lua
A_(n+2)=A_(n+3)=dots=A_(n)=dots=1A_{n+2}=A_{n+3}=\ldots=A_{n}=\ldots=1
fără a pierde din generalitatea problemei, căci dacă A_(m)=0\boldsymbol{A}_{m}=0 sau îl putem
^(1){ }^{1} ) Nota a doua. functie ____\_\_\_\_
Formulele de recurentă stabilite la No. 4 al articolului precedent ne dau,
^(1){ }^{1} ) Nota a doua. functie ____\_\_\_\_
Formulele de recurentă stabilite la No. 4 al articolului precedent ne dau,
lambda_(2)=(lambda_(m))/(m-1-lambda_(m)(m-2))\lambda_{2}=\frac{\lambda_{m}}{m-1-\lambda_{m}(m-2)}
oricare at fi m >= 2m \geq 2. Rezultă imediaf egalitatea functie de lambda_(n+2),mu_(n+2),nu_(n+2),beta_(n+2)\lambda_{n+2}, \mu_{n+2}, \nu_{n+2}, \beta_{n+2}, care se reduct
1+lambda_(n+2)+a_(n+2)=01+\lambda_{n+2}+a_{n+2}=0
ezultă imediat egalitatea
(lambda_(n+2))/(n+1-nlambda_(n+2))=(lambda_(m))/(m-1-(m-2)lambda_(n))\frac{\lambda_{n+2}}{n+1-n \lambda_{n+2}}=\frac{\lambda_{m}}{m-1-(m-2) \lambda_{n}}
din care
{:(4)lambda_(m)=((m-1)lambda_(n+2))/(n+1+(m-n-2)lambda_(n+2)):}\begin{equation*}
\lambda_{m}=\frac{(m-1) \lambda_{n+2}}{n+1+(m-n-2) \lambda_{n+2}} \tag{4}
\end{equation*}
din
(lambda_(m))/( hat(lambda)_(n+2))=(mu_(m))/(mu_(n)+2)=(v_(m))/(v_(n+2))\frac{\lambda_{m}}{\hat{\lambda}_{n+2}}=\frac{\mu_{m}}{\mu_{n}+2}=\frac{v_{m}}{v_{n+2}}
deducem
{:(5)mu_(m)=((m-1)mu_(n+2))/(n+1+(m-n-2)lambda_(n+2))","v_(m)=((m-1)v_(epsilon+2))/(n+1+(m-n-2)lambda_(n+2)):}\begin{equation*}
\mu_{m}=\frac{(m-1) \mu_{n+2}}{n+1+(m-n-2) \lambda_{n+2}}, v_{m}=\frac{(m-1) v_{\epsilon+2}}{n+1+(m-n-2) \lambda_{n+2}} \tag{5}
\end{equation*}
(6)
a_(m)=-(n+1+(2m-n-3)lambda_(n)+2)/(n+1+(m-n-2)lambda_(n)+2)a_{m}=-\frac{n+1+(2 m-n-3) \lambda_{n}+2}{n+1+(m-n-2) \lambda_{n}+2}
Avem apoi relația de recurență: beta_(m)[(n+1)+(m-n-2)lambda_(n+2)]-beta_(m-1)|n+1+(m-n-3)lambda_(n+2)|+mu_(n+2)=0\beta_{m}\left[(n+1)+(m-n-2) \lambda_{n+2}\right]-\beta_{m-1}\left|n+1+(m-n-3) \lambda_{n+2}\right|+\mu_{n+2}=0 de unde
{:(7)beta_(m)=((n+1)beta_(n+2)-(m-n-2)mu_(n+2))/(n+1+(m-n-2)lambda_(n+2)):}\begin{equation*}
\beta_{m}=\frac{(n+1) \beta_{n+2}-(m-n-2) \mu_{n+2}}{n+1+(m-n-2) \lambda_{n+2}} \tag{7}
\end{equation*}
Pentru a resolva complet problema rănâne să se determine lambda_(m),mu_(m)\lambda_{m}, \mu_{m}, v_(m),p_(m),alpha_(m)v_{m}, p_{m}, \alpha_{m} pentru m <= n+2m \leq n+2.
Am văzut însă că
P_(n)=(x+a)^(k)(x+b)^(n-k)P_{n}=(\mathrm{x}+a)^{k}(\mathrm{x}+b)^{n-k}
Putem scrie pentru simplificare
P_(n)=r^(n-k)(x+b_(1))^(k)P_{n}=\mathrm{r}^{n-k}\left(\mathrm{x}+b_{1}\right)^{k}
şi rezultatul general se va obține substituind lui x,b_(1),pcx+b,a-bx, b_{1}, \mathrm{pc} x+b, a-b res= pectiv. Nu se pierde astfel nimic din generalitate, căci
(d)/(d(x+b))=(d)/(dx)\frac{d}{d(x+b)}=\frac{d}{d x}
caracterul polinoamelor se mentine deci prin această simplificare
3. Fie k=0k=0, deci
3. Fie k=0k=0, deci
P_(n)=x^(n)P_{n}=\mathrm{x}^{n}
polinoamele P_(i,)i < n\boldsymbol{P}_{i,} \boldsymbol{i}<\boldsymbol{n}, sunt determinate, constantele lambda_(m),mu_(m),nu_(m),alpha_(m),beta_(m)cu=\lambda_{m}, \mu_{m}, \nu_{m}, \alpha_{m}, \beta_{m} \mathrm{cu}= noscute pentru m <= n+1m \leq n+1.
Să punem
P_(n+1)=x^(n+1)+c,P_(n+2)=x^(n+2)+(n+2)cx+c_(1)P_{n+1}=\mathrm{x}^{n+1}+c, P_{n+2}=\mathrm{x}^{n+2}+(n+2) c \mathrm{x}+c_{1}
c. c_(1)\boldsymbol{c}_{1} fiind două constante. Se vede că pentru a avea un caz interesant, nereductibil la cele studiate până acum, trebue să presupunem c!=0c \neq 0.
Aven atunci
{:[(n+2)cx+c_(1)+cB_(n+2)=0],[x^(2)+xB_(n+2)+C+2=0]:}\begin{gathered}
(n+2) c \mathrm{x}+c_{1}+c B_{n+2}=0 \\
\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x} B_{n+2}+C+2=0
\end{gathered}
şi se scoate imediat
{:[alpha_(n+2)=-(n+2),lambda_(n+2)=n+1],[beta_(n+2)=-(c_(1))/(c)=sigma,mu_(n+2)=-sigma],[v_(n+2)=0]:}\begin{array}{ll}
\alpha_{n+2}=-(n+2) & \lambda_{n+2}=n+1 \\
\beta_{n+2}=-\frac{c_{1}}{c}=\sigma & \mu_{n+2}=-\sigma \\
v_{n+2}=0
\end{array}
Formulele (4), (5), (6), (7) ne dau acum pclambda_(m),mu_(m),nu_(m),alpha_(m),beta_(m)\mathrm{pc} \lambda_{m}, \mu_{m}, \nu_{m}, \alpha_{m}, \beta_{m} şi toate relatiile (3) sunt determinate.
Putem scric în cazul din faţă
P_(m)=x^(m)+Q_(m-n-1)\boldsymbol{P}_{m}=\mathbf{x}^{m}+Q_{m-n-1}
unde şirul de polinoame
{:(8)Q_(0)=c","Q_(1)","Q_(2)","dotsQ_(s)dots:}\begin{equation*}
Q_{0}=c, Q_{1}, Q_{2}, \ldots Q_{s} \ldots \tag{8}
\end{equation*}
verifică relatiile
{:[(9)(dQ_(m-n-1))/(dx)=mQ_(m-n-2)],[Q_(m-n-1)+B_(m)Q_(m-n-2)+C_(m)Q_(m-n-3)=0]:}\begin{gather*}
\frac{d Q_{m-n-1}}{d \mathrm{x}}=m Q_{m-n-2} \tag{9}\\
Q_{m-n-1}+B_{m} Q_{m-n-2}+C_{m} Q_{m-n-3}=0
\end{gather*}
Deci şirul de polinoame :
{:(10)R_(0)=c","R_(1)","dotsR_(s)","dots:}\begin{equation*}
R_{0}=c, R_{1}, \ldots R_{s}, \ldots \tag{10}
\end{equation*}
unde
Q_(s)=((n+s+1)/(s))R_(s)Q_{s}=\binom{n+s+1}{s} R_{s}
este un şir APPELL verificând condiţia:
(11) quad((n+s+1)/(s))R_(s)+((n+s)/(s-1))B_(n+s+1)R_(s-1)((n+s-1)/(s-2))\quad\binom{n+s+1}{s} R_{s}+\binom{n+s}{s-1} B_{n+s+1} R_{s-1}\binom{n+s-1}{s-2}
(11) quad((n+s+1)/(s))R_(s)+((n+s)/(s-1))B_(n+s+1)R_(s-1)((n+s-1)/(s-2))\quad\binom{n+s+1}{s} R_{s}+\binom{n+s}{s-1} B_{n+s+1} R_{s-1}\binom{n+s-1}{s-2}
C_(n+s+1)R_(s-2)=0\boldsymbol{C}_{n+s+1} \boldsymbol{R}_{s-2}=0
Si polinoamele R_(s)\boldsymbol{R}_{s} intră in cazul studiat in a ficolul precedent sub No. 4.
Dar avem
Dar avem
{:[B_(n+s+1)=-(n+2s)/(s)xx+(sigma(n+s))/(s(n+1))],[C_(n+s+1)=(n+s)/(s)x^(2)-(sigma(n+s))/(s(n+1))xx]:}\begin{gathered}
B_{n+s+1}=-\frac{n+2 s}{s} \times+\frac{\sigma(n+s)}{s(n+1)} \\
C_{n+s+1}=\frac{n+s}{s} x^{2}-\frac{\sigma(n+s)}{s(n+1)} \times
\end{gathered}
{:[(12)(n+s+1)R_(s)+[-(n+2s)xx+(sigma(n+s))/(n+1)]],[R_(s-1)+(s-1)(x^(2)-(sigma)/(n+1)xx)R_(s-2)=0]:}\begin{align*}
& (n+s+1) R_{s}+\left[-(n+2 s) \times+\frac{\sigma(n+s)}{n+1}\right] \tag{12}\\
& R_{s-1}+(s-1)\left(\mathrm{x}^{2}-\frac{\sigma}{n+1} \times\right) R_{s-2}=0
\end{align*}
întrăm deci in cazul general luând:
lambda=(1)/(n+3),mu=-(sigma)/((n+1)(n+3)),nu=0,beta=(sigma(n+2))/((n+1)(n+3))\lambda=\frac{1}{n+3}, \mu=-\frac{\sigma}{(n+1)(n+3)}, \nu=0, \beta=\frac{\sigma(n+2)}{(n+1)(n+3)}
Se obţine apoi
uuu_(s=0)^(oo)(7^(s))/(s!)R_(s)=c*e^(alpha x)quad G.(n+1,n+2,-(sigma)/(n+1)z)\bigcup_{s=0}^{\infty} \frac{\boldsymbol{7}^{s}}{\boldsymbol{s}!} \boldsymbol{R}_{s}=\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{e}^{\alpha x} \quad G .\left(n+1, n+2,-\frac{\sigma}{n+1} \mathrm{z}\right)
căci R_(0)=c\boldsymbol{R}_{0}=\boldsymbol{c},
sum_(s=0)^(oo)(z^(n+s+1))/((n+s+1)!)Q_(s)=(z^(n+1))/((n+1)!)sum_(0)^(oo)(z^(s))/(s!)R_(s)\sum_{s=0}^{\infty} \frac{z^{n+s+1}}{(n+s+1)!} Q_{s}=\frac{z^{n+1}}{(n+1)!} \sum_{0}^{\infty} \frac{z^{s}}{s!} R_{s}
şi deci funtia generatoare este
sum_(m=0)^(oo)(z^(m))/(m!)P_(m)=e^(2x)[1+c(z^(n+1))/((n+1)!)G(n+1,n+2,-(sigma)/(n+1)z)]\sum_{m=0}^{\infty} \frac{\mathbf{z}^{m}}{m!} \boldsymbol{P}_{m}=e^{2 x}\left[1+c \frac{\mathbf{z}^{n+1}}{(n+1)!} G\left(n+1, n+2,-\frac{\sigma}{n+1} z\right)\right]
Se poate dar spune pentru cazul general
P_(n)=(x+b)^(n)P_{n}=(\mathrm{x}+b)^{n}
că polinoamele sunt generate de functia
e^(ℓ(x+b))[1+c(z^(n+1))/((n+1)!)G(n+1,n+2,theta z)]e^{\ell(x+b)}\left[1+c \frac{z^{n+1}}{(n+1)!} G(n+1, n+2, \theta z)\right]
b,c,db, c, d find constante arbitrare.
Rezultatul precedent a fost obtinut in ipoteza sigma!=0\sigma \neq 0.
Dacă sigma=0\sigma=0 procedeul pe care l'am aplicat in lucrarea precedentă nu are sens, dar e uşor de văzut că formula rămâne aplicabilă. Se obține funce tia generatoare
Rezultatul precedent a fost obtinut in ipoteza sigma!=0\sigma \neq 0.
Dacă sigma=0\sigma=0 procedeul pe care l'am aplicat in lucrarea precedentă nu are sens, dar e uşor de văzut că formula rămâne aplicabilă. Se obține funce tia generatoare
e^(z(x+b))[1+c(z^(n+1))/((n+1)!)]e^{z(x+b)}\left[1+c \frac{z^{n+1}}{(n+1)!}\right]
- Să trecem la cazul k=1k=1, carc se tratează în acelaş mod.
P_(n)=x^(n-19)(x+b_(1))P_{n}=\mathrm{x}^{n-19}\left(\mathrm{x}+b_{1}\right)
P_(n+1)=x^(n)(x+(n+1)/(n)b_(1))+c,P_(n+2)=x^(n+1)(x+(n+2)/(n)b_(1))+(n+2)cx+c_(1)P_{n+1}=\mathrm{x}^{n}\left(\mathrm{x}+\frac{n+1}{n} b_{1}\right)+c, P_{n+2}=\mathrm{x}^{n+1}\left(\mathrm{x}+\frac{n+2}{n} b_{1}\right)+(n+2) c \mathrm{x}+c_{1} şi c!=0\boldsymbol{c} \neq 0.
Se găseşte că
{:[alpha_(n+2)=-(n+2)],[beta_(n+2)=-(c_(1))/(c)=-nb_(1)]:}\begin{aligned}
& \alpha_{n+2}=-(n+2) \\
& \beta_{n+2}=-\frac{c_{1}}{c}=-n b_{1}
\end{aligned}
Putem scrie şi aci
P_(m)=x^(m-1)(x+(m)/(n)b_(1))+Q_(m-n-1)\boldsymbol{P}_{m}=\mathrm{x}^{m-1}\left(\mathrm{x}+\frac{m}{n} b_{1}\right)+Q_{m-n-1}
și polinoamele Q_(s)Q_{s} verifică relatia (9). Se deduc polinoamele R\boldsymbol{R}, cu relatia (11), care se scrie
{:[(n+s+1)R_(s)+[-(n+2s)xx+(1-n-s)b_(1)]],[R_(s-1)+(s-1)(x^(2)+b_(x))R_(s-2)=0]:}\begin{gathered}
(n+s+1) R_{s}+\left[-(n+2 s) \times+(1-n-s) b_{1}\right] \\
R_{s-1}+(s-1)\left(\mathrm{x}^{2}+b_{x}\right) R_{s-2}=0
\end{gathered}
şi se poate lua
lambda=(1)/(n+3),mu=(b_(1))/(n+3),nu=0,beta=-(n+1)/(n+3)b_(1)\lambda=\frac{1}{n+3}, \mu=\frac{b_{1}}{n+3}, \nu=0, \beta=-\frac{n+1}{n+3} b_{1}
şi functia generatoare este :
sum_(0)^(oo)(z^(s))/(s!)R_(s)=c*e^(2x)G(n,n+2,b_(1)z)\sum_{0}^{\infty} \frac{\mathbf{z}^{s}}{\boldsymbol{s}!} \boldsymbol{R}_{s}=\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{e}^{2 x} \boldsymbol{G}\left(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{n}+2, b_{1} \mathbf{z}\right)
Se are pentru cazul general imediat :
sum_(0)^(oo)(z^(m))/(m!)P_(m)=e^(z(x+b))[1+(2)/(n)(a-b)z+cG(n,n+2(a-b)z)]\sum_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{z}^{m}}{m!} P_{m}=e^{z(\mathrm{x}+b)}\left[1+\frac{2}{n}(a-b) \mathrm{z}+c G(n, n+2(a-b) \mathrm{z})\right]
- Cazul k > 1k>1, adică
P_(n)=x^(n-k)(x+b_(1))^(k)P_{n}=\mathrm{x}^{n-k}\left(\mathrm{x}+b_{1}\right)^{k}
n-k >= k,quad k > 1,n-k \geq k, \quad k>1,
Se poate ataşa cazului general luând
lambda=-(1)/(n-1)\lambda=-\frac{1}{n-1}
după cum am văzut în articolul trecut.
Am găsit :
Am găsit :
lambda=-(1)/(n-1),alpha=-(n-2)/(n-1),mu=-(b_(1))/(n-1),nu=0,beta=-((k-1)b_(1))/(n-1)\lambda=-\frac{1}{n-1}, \alpha=-\frac{n-2}{n-1}, \mu=-\frac{b_{1}}{n-1}, \nu=0, \beta=-\frac{(k-1) b_{1}}{n-1}
Ecuatia care dă funcția generatoare se scrie:
punem
punem
zF^('')-[zb_(1)+n]F^(')+kb_(1)F=0z F^{\prime \prime}-\left[z b_{1}+n\right] F^{\prime}+k b_{1} F=0
tF^('')_(t^(2))-[t+n]F^(')_(1)+kF=0t F^{\prime \prime}{ }_{t^{2}}-[t+n] F^{\prime}{ }_{1}+k F=0
Toate integralele acestei ecuaţii sunt holomorfe în jurul originei. Intr'a= devăr avem un polinom
sum_(i=0)^(k)(k(k-1)dots^(k)-i+1))/(i!n(n-1)dots(n-i+1))t^(i)=P_(1)(t)\sum_{i=0}^{k} \frac{\left.k(k-1) \ldots{ }^{k}-i+1\right)}{i!n(n-1) \ldots(n-i+1)} t^{i}=P_{1}(t)
care satisface ecuaţia. Punând
F=e^(lambda)varphiF=e^{\lambda} \varphi
avem
tvarphi^('')-(n-t)varphi^(')-(n-k)varphi=0t \varphi^{\prime \prime}-(n-t) \varphi^{\prime}-(n-k) \varphi=0
sau schimbând pe tt în - tt :
tvarphi^('')-(n+t)varphi^(')+(n-k)varphi=0t \varphi^{\prime \prime}-(n+t) \varphi^{\prime}+(n-k) \varphi=0
Avem deci soluția distinctă de precedenta:
e^(t)sum_(i=0)^(n-k)(-1)^(i)((n-k)(n-k-1)dots(n-k-i+1))/(i!n(n-1)dots(n-i+1))i^(i)=e^(t)P_(2)(t)e^{t} \sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{i} \frac{(n-k)(n-k-1) \ldots(n-k-i+1)}{i!n(n-1) \ldots(n-i+1)} i^{i}=e^{t} P_{2}(t)
Se are deci
e^(t)sum_(i=0)^(n-k)(-1)^(i)((n-k)(n-k-1)dots(n-k-i+1))/(i!n(n-1)dots(n-i+1))i^(i)=e^(t)P_(2)(t)e^{t} \sum_{i=0}^{n-k}(-1)^{i} \frac{(n-k)(n-k-1) \ldots(n-k-i+1)}{i!n(n-1) \ldots(n-i+1)} i^{i}=e^{t} P_{2}(t)
Se are deci
sum_(n=0)^(oo)(z^(n))/(n!)P_(n)=e^(iota x)[cP_(1)(b_(1)z)+c_(1)e^(z)b_(1)P_(2)(b_(2)z)]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathrm{z}^{n}}{n!} P_{n}=e^{\iota x}\left[c P_{1}\left(b_{1} \mathrm{z}\right)+c_{1} e^{z} b_{1} P_{2}\left(b_{2} \mathrm{z}\right)\right]
constantele c,c_(1)\boldsymbol{c}, \boldsymbol{c}_{1} fiind legate prin relatia
c+c_(1)=1c+c_{1}=1
In general vom avea polinoamele
sum_(n=0)^(oo)(z^(n))/(n!)P_(n)=e^(2[x+b])[cP_(1)[(a-b)z]+c_(1)e^([a-b]z)P_(2)[(a-b)z)]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathbf{z}^{n}}{n!} P_{n}=e^{2[x+b]}\left[c P_{1}[(a-b) \mathbf{z}]+c_{1} e^{[a-b] z} P_{2}[(a-b) \mathbf{z})\right]
6. Dacă un B_(n)B_{n} e nul identic trebue să avem
sum_(n=0)^(oo)(z^(n))/(n!)P_(n)=e^(2[x+b])[cP_(1)[(a-b)z]+c_(1)e^([a-b]z)P_(2)[(a-b)z)]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathbf{z}^{n}}{n!} P_{n}=e^{2[x+b]}\left[c P_{1}[(a-b) \mathbf{z}]+c_{1} e^{[a-b] z} P_{2}[(a-b) \mathbf{z})\right]
6. Dacă un B_(n)B_{n} e nul identic trebue să avem
lambda=-(1)/(2n-3)\lambda=-\frac{1}{2 n-3}
şi suntem în cazul precedent. Acesta deci nu prezintă un caz distinct de cele studiate.
Paris, 8.XI. 1928.