astfel de rădăcini distincte sau nu.
Se poate pune problema de a determina numărul $N$$N$NN$N$ al numerelor distincte dintre aceste $\frac{n(n+1)}{2}$$\frac{n(n+1)}{2}$(n(n+1))/(2)\frac{n(n+1)}{2}$\frac{n(n+1)}{2}$ numere astfel obținute şi care reprezintă rădăcinile considerate. Numărul N este numărul rădăcinilor distincte ale polinomului $\mathrm{P}(x){\mathrm{P}}^{\prime }(x)\dots {\mathrm{P}}^{(n-1)}(x)$$\mathrm{P}(x){\mathrm{P}}^{\prime }(x)\dots {\mathrm{P}}^{(n-1)}(x)$P(x)P^(')(x)dotsP^((n-1))(x)\mathrm{P}(x) \mathrm{P}^{\prime}(x) \ldots \mathrm{P}^{(n-1)}(x)$\mathrm{P}(x){\mathrm{P}}^{\prime }(x)\dots {\mathrm{P}}^{(n-1)}(x)$ obținut făcând produsul polinomului dat şi al derivatelor sale succesive.

Putem evident presupune $n>1$$n>1$n > 1n>1$n>1$.
Este clar că dacă $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ are toate rădăcinile confundate avem $\mathrm{N}=1$$\mathrm{N}=1$N=1\mathrm{N}=1$\mathrm{N}=1$.
In cazul contrar avem $N>1$$N>1$N > 1N>1$N>1$ şi se pune întrebarea cum se poate preciza această inegalitate în acest caz?

In ipoteza că rădăcinile lui $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ sunt toate reale, vom demonstra că:
I. Dacă $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ are cel putin două rădăcini distincte avem $\mathrm{N}\ge n+1$$\mathrm{N}\ge n+1$N >= n+1\mathrm{N} \geq n+1$\mathrm{N}\ge n+1$.

Proprietatea aceasta este foarte probabil adevărată şi în cazul când se ridică restrictia realitătii rădăcinilor, deci pentru un polinom oarecare de o variabilă complexă.

Proprietatea I nu depinde de o transformare liniară a variabilei $x$$x$xx$x$, deci va fi adevărată dacă rădăcinile polinomului sunt situate pe o dreaptă din planul complex. Deasemenea proprietatea nu depinde, evident, de un factor constant $(\ne 0)$$(\ne 0)$(!=0)(\neq 0)$(\ne 0)$ al lui $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$. Rezultă că în demonstratiile care urmează se poate totdeauna presupune că primul coeficient al polinomului (al lui $x^n$$x^n$x^(n)x^{n}$x^n$ ) este egal cu 1 şi că dacă $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ are cel putin două rădăcini distincte, una ourecare dintre aceste rădăcini este egală, de ex., cu 0 , şi una oarecare cu 1 .
2. Demonstrația proprictălii I în cazul rădăcinilor reale se bazează pe câteva proprictăti care sunt consecințe ale teoremei lui Rolle.

Dacă un polinom are toate rădăcinile sale reale, derivata sa are deasemenea toate rădăcinile reale. Fie $\overrightarrow{a_o},b_o$$\overrightarrow{a_o},b_o$vec(a_(o)),b_(o)\overrightarrow{a_{o}}, b_{o}$\overrightarrow{a_o},b_o$ rădăcinile extreme, adică cea mai mică şi cea mai mare rădăcină, a lui $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ şi $a_1,b_1$$a_1,b_1$a_(1),b_(1)a_{1}, b_{1}$a_1,b_1$ rădăcinile extreme analoage ale derivatei ${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$P^(')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x)${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$. Dacă $a_o$$a_o$a_(o)a_{o}$a_o$ resp. $b_o$$b_o$b_(o)b_{o}$b_o$ este o rădăcină cel putin dublă a lui $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$, avem $a_1=a_0$$a_1=a_0$a_(1)=a_(0)a_{1}=a_{0}$a_1=a_0$ resp. $b_1=b_0$$b_1=b_0$b_(1)=b_(0)b_{1}=b_{0}$b_1=b_0$. Dacă $a_0$$a_0$a_(0)a_{0}$a_0$ resp. $b_0$$b_0$b_(0)b_{0}$b_0$ esle rădăcină simplă, avem $a_o<a_1$$a_o<a_1$a_(o) < a_(1)a_{o}<a_{1}$a_o<a_1$ resp. $b_1<b_o$$b_1<b_o$b_(1) < b_(o)b_{1}<b_{o}$b_1<b_o$. In fine $a_1$$a_1$a_(1)a_{1}$a_1$ resp. $b_1$$b_1$b_(1)b_{1}$b_1$ este rădăcină simplă a derivatei dacă şi numai dacă $a_0$$a_0$a_(0)a_{0}$a_0$ resp. $b_0$$b_0$b_(0)b_{0}$b_0$ este rădăcină simplă sau dublă a polinomului.

Să presupunem că $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ nu are toate rădăcinile confundate şi fie, în general, $a_i$$a_i$a_(i)a_{i}$a_i$ cea mai mică iar $b_i$$b_i$b_(i)b_{i}$b_i$ cea mai mare rădăcină a derivatei ${\mathrm{P}}^{(1)}(x)$${\mathrm{P}}^{(1)}(x)$P^((1))(x)\mathrm{P}^{(1)}(x)${\mathrm{P}}^{(1)}(x)$ de ordinul $i,i=0,1\dots ,n-1$$i,i=0,1\dots ,n-1$i,i=0,1dots,n-1i, i=0,1 \ldots, n-1$i,i=0,1\dots ,n-1$. Avem evident $a_{n-1}=b_{n-1}$$a_{n-1}=b_{n-1}$a_(n-1)=b_(n-1)a_{n-1}=b_{n-1}$a_{n-1}=b_{n-1}$, însă $a_{n-2}<<b_{n-2}$$a_{n-2}<<b_{n-2}$a_(n-2)<<b_(n-2)a_{n-2}< <b_{n-2}$a_{n-2}<<b_{n-2}$. Această din urmă inegalitate rezultă din faptul că dacă derivata unui polinom cu toate rădăcinile reale are o rădăcină de ordinul $i>1$$i>1$i > 1i>1$i>1$ de multiplicitate, polinomul are neaparat această rădăcină de un ordin $i+1$$i+1$i+1i+1$i+1$ de multiplicitate. In ipoteza realității tuturor rădăcinilor egalitatea $a_{n-2}=b_{n-2}$$a_{n-2}=b_{n-2}$a_(n-2)=b_(n-2)a_{n-2}=b_{n-2}$a_{n-2}=b_{n-2}$ nu este deci compatibilă cu ipoteza că rădăcinile polinomului nu sunt toate egale.
3. Să notăm acum cu E numărul numerelor distincte dintre numerele

Din cele de mai sus rezultă că, dacă $a_o$$a_o$a_(o)a_{o}$a_o$ este o rădăcină de ordınul $l$$l$ll$l$ de multiplicitate iar $b_o$$b_o$b_(o)b_{o}$b_o$ o rădăcină de ordinul $k$$k$kk$k$ de multiplicitate a polinomului $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$, avem

De aici rezultă că

Insă

Dar din (3) rezultă că $E\geqq n+1$$E\geqq n+1$E >= n+1E \geqq n+1$E\geqq n+1$, deci $N\geqq n+1$$N\geqq n+1$N >= n+1N \geqq n+1$N\geqq n+1$ şi proprietatea $I$$I$II$I$ este demonstrată.
4. Ne propunem acum să determinăm toate polinoamele $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ (cu toate rădăcinile reale) de gradul $n$$n$nn$n$ pentru care avem $\mathrm{N}=n+1$$\mathrm{N}=n+1$N=n+1\mathrm{N}=n+1$\mathrm{N}=n+1$.

Din (2), (3), (4) rezultă că acest lucru nu poate avea loc decât daeă $l+k=n$$l+k=n$l+k=nl+k=n$l+k=n$, deci numai dacă polinomul are exact două rădăcini distincte, prin urmare, afară de un factor constant ( $\ne 0$$\ne 0$!=0\neq 0$\ne 0$ ) și afară de o transformare liniară a variabilei, numai pentru polinoamele de forma

In acest caz avem $\mathrm{E}=n+1$$\mathrm{E}=n+1$E=n+1\mathrm{E}=n+1$\mathrm{E}=n+1$ şi pentru ca să avem $N=n+1$$N=n+1$N=n+1N=n+1$N=n+1$ este necesar şi suficient ca toate rădăcinile unei derivate oarecare ${\mathrm{P}}^{(i)}(x)$${\mathrm{P}}^{(i)}(x)$P^((i))(x)\mathrm{P}^{(i)}(x)${\mathrm{P}}^{(i)}(x)$ sà nu fie diferite de rădăcinile (1) şi aceasta pentru $i=1,2,\dots ,n-3$$i=1,2,\dots ,n-3$i=1,2,dots,n-3i=1,2, \ldots, n-3$i=1,2,\dots ,n-3$.

Dacă $n\geqq 2,k=1$$n\geqq 2,k=1$n >= 2,k=1n \geqq 2, k=1$n\geqq 2,k=1$ nu exislă astfel de rădăcini şi deci avem atunci $N=n+1$$N=n+1$N=n+1N=n+1$N=n+1$. In felul acesta cazurile $n=2,3$$n=2,3$n=2,3n=2,3$n=2,3$ sunt epuizate.

Dacă $n\geqq 4,2\leqq k\leqq \frac{n}{2},\mathrm{P}(n-3)(x)$$n\geqq 4,2\leqq k\leqq \frac{n}{2},\mathrm{P}(n-3)(x)$n >= 4,2 <= k <= (n)/(2),P(n-3)(x)n \geqq 4,2 \leqq k \leqq \frac{n}{2}, \mathrm{P}(n-3)(x)$n\geqq 4,2\leqq k\leqq \frac{n}{2},\mathrm{P}(n-3)(x)$ are rădăcinile distincte şi rădăcina diferită de $a_{n-3}$$a_{n-3}$a_(n-3)a_{n-3}$a_{n-3}$ şi $b_{n-3}$$b_{n-3}$b_(n-3)b_{n-3}$b_{n-3}$ a acestui polinom nu poate să coincidă decêt cu $a_{n-1}$$a_{n-1}$a_(n-1)a_{n-1}$a_{n-1}$. Pentru ca să avem $N=n+1$$N=n+1$N=n+1N=n+1$N=n+1$ este deci necesar ca polinoamele ${\mathrm{P}}^{(n-3)}(x),{\mathrm{P}}^{(n-1)}(x)$${\mathrm{P}}^{(n-3)}(x),{\mathrm{P}}^{(n-1)}(x)$P^((n-3))(x),P^((n-1))(x)\mathrm{P}^{(n-3)}(x), \mathrm{P}^{(n-1)}(x)${\mathrm{P}}^{(n-3)}(x),{\mathrm{P}}^{(n-1)}(x)$ să aibă o rădăcină comună. Dar $a_{n-1}=b_{n-1}=\frac{k}{n}$$a_{n-1}=b_{n-1}=\frac{k}{n}$a_(n-1)=b_(n-1)=(k)/(n)a_{n-1}=b_{n-1}=\frac{k}{n}$a_{n-1}=b_{n-1}=\frac{k}{n}$, adică este necesar să avem

Dar

Rezultă de aci că dacă $n\geqq 4,2\leqq k<\frac{n}{2}$$n\geqq 4,2\leqq k<\frac{n}{2}$n >= 4,2 <= k < (n)/(2)n \geqq 4,2 \leqq k<\frac{n}{2}$n\geqq 4,2\leqq k<\frac{n}{2}$ avem cu siguranță $\mathrm{N}>n+1$$\mathrm{N}>n+1$N > n+1\mathrm{N}>n+1$\mathrm{N}>n+1$.
Rămâne să examinăm cazul $n=2k$$n=2k$n=2kn=2 k$n=2k$. Dacă $k=2$$k=2$k=2k=2$k=2$, pe baza celor do mai sus se vede că avem $\mathrm{N}=n+1$$\mathrm{N}=n+1$N=n+1\mathrm{N}=n+1$\mathrm{N}=n+1$. Dacă $k>2$$k>2$k > 2k>2$k>2$, rădăcinile lui ${\mathrm{P}}^{(n-4)}(x)$${\mathrm{P}}^{(n-4)}(x)$P^((n-4))(x)\mathrm{P}^{(n-4)}(x)${\mathrm{P}}^{(n-4)}(x)$ sunt toate distincte si simetric aşezate faţă rle $a_{-1}$$a_{-1}$a_(-1)a_{-1}$a_{-1}$. De aici rezultă imediat că niciuna dintre rădăcinile distincte de rădăcinile extreme ale lui ${\mathrm{P}}^{(n-4)}(x)$${\mathrm{P}}^{(n-4)}(x)$P^((n-4))(x)\mathrm{P}^{(n-4)}(x)${\mathrm{P}}^{(n-4)}(x)$ nu coincide cu $a_{n-1}$$a_{n-1}$a_(n-1)a_{n-1}$a_{n-1}$ şi că pentru a avea $\mathrm{N}=n+1$$\mathrm{N}=n+1$N=n+1\mathrm{N}=n+1$\mathrm{N}=n+1$ este necesar ca aceste rădăcini să coincidă cu $a_{n-2},b_{n-2}$$a_{n-2},b_{n-2}$a_(n-2),b_(n-2)a_{n-2}, b_{n-2}$a_{n-2},b_{n-2}$ respectiv, deci ca ${\mathrm{P}}^{(n-4)}(x)$${\mathrm{P}}^{(n-4)}(x)$P^((n-4))(x)\mathrm{P}^{(n-4)}(x)${\mathrm{P}}^{(n-4)}(x)$ să fie divizibil cu ${\mathrm{P}}^{(n-2)}(x)$${\mathrm{P}}^{(n-2)}(x)$P^((n-2))(x)\mathrm{P}^{(n-2)}(x)${\mathrm{P}}^{(n-2)}(x)$. Pentru simplificare putem lua acum

Avem alunci

De unde, făcând calculele, se verde că ${\mathrm{P}}^{(n-4)}(x)$${\mathrm{P}}^{(n-4)}(x)$P^((n-4))(x)\mathrm{P}^{(n-4)}(x)${\mathrm{P}}^{(n-4)}(x)$ se va divide cu ${\mathrm{P}}^{(n-2)}(x)$${\mathrm{P}}^{(n-2)}(x)$P^((n-2))(x)\mathrm{P}^{(n-2)}(x)${\mathrm{P}}^{(n-2)}(x)$ numai dacă $k=3$$k=3$k=3k=3$k=3$.

Dacă deci $n=2k,k>3$$n=2k,k>3$n=2k,k > 3n=2 k, k>3$n=2k,k>3$, avem ou siguranță $N>n+1$$N>n+1$N > n+1N>n+1$N>n+1$.
Pentru $n=6,k=3$$n=6,k=3$n=6,k=3n=6, k=3$n=6,k=3$, se verifică direct că $\mathbb{N}:=n+1$$\mathbb{N}:=n+1$N:=n+1\mathbb{N}:=n+1$\mathbb{N}:=n+1$.
In definitiv deci avem următoarea proprietate
II. - Dacă polinomul $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ de gradul $n$$n$nn$n$ (cu toate rădăcinile reale) are cel puțin două rădăcini distincte, egalitatea $\mathrm{N}=n+1$$\mathrm{N}=n+1$N=n+1\mathrm{N}=n+1$\mathrm{N}=n+1$ are loc dacă şi numai dacă acesl polinom ane o rădăcină multiplă de ordinul $n-1$$n-1$n-1n-1$n-1$ de multiplicitate, precum si încă numai in următoarele două cazuri:
$1^0$$1^0$1^(0)1^{0}$1^0$. Dacă $n=4$$n=4$n=4n=4$n=4$ si polinomul are două nădăcini duble.
20. Dacă $n=6$$n=6$n=6n=6$n=6$ si polinomul are două rădăcini triple.
5. -- In ce priveşte exactitatea proprietălii I în cazul când nu se face restrictia realitătii rădăcinilor, ea se poate stabili uşor pentru câteva dintre primele valori ale lui $n$$n$nn$n$.
10. Pentru $n=2$$n=2$n=2n=2$n=2$, proprietatea este deja demonstrată.
20. Dacă $n=3$$n=3$n=3n=3$n=3$ şi dacă rădăcinile lui $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ sunt distincte, derivata ${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$P^(')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x)${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$ va avea rădăcinile distincte sau nu, dar ambele diferite de ale lui $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$. Avem deci, în acest caz $\mathrm{N}\ge 4$$\mathrm{N}\ge 4$N >= 4\mathrm{N} \geq 4$\mathrm{N}\ge 4$. Dacă $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ nu are toate rădăcinile distincte, prin o transformare liniară revenim le cazul rădăcinilor reale.
$3^{\circ }$$3^{\circ }$3^(@)3^{\circ}$3^{\circ }$. Dacă $n=4$$n=4$n=4n=4$n=4$ şi dacă rădăcinile lui $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ sunt distincte, se vede, ca mai sus, că avem $\mathrm{N}\ge 5$$\mathrm{N}\ge 5$N >= 5\mathrm{N} \geq 5$\mathrm{N}\ge 5$. Dacă $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ are trei rădăcini distincte, rămâne să examinăm cazul când nu putem prin o transformare liniară reveni la cazul rădăcinilor toate reale. Dacă atunci rădăcinile lui ${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$P^(')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x)${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$ sunt distincte, două dintre ele sunt diferite de rădăcinile lui $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$, avem deci $N\geqq 5$$N\geqq 5$N >= 5N \geqq 5$N\geqq 5$. Dacă în fine $P^{\prime }(x)$$P^{\prime }(x)$P^(')(x)P^{\prime}(x)$P^{\prime }(x)$ nu are rădăcinile distincte, atunci una (simplă) coincide cu rădăcina dublă a lui $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$, iar cealaltă distinctă de aceasta este o rădăcină dublă diferită de rădăcinile lui $P(x)$$P(x)$P(x)P(x)$P(x)$. Prin o transformare liniară se poate face ca ${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$P^(')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x)${\mathrm{P}}^{\prime }(x)$ să aibă toate rădăcinile reale şi atunci ${\mathrm{P}}^{\prime }(x){\mathrm{P}}^{\prime \prime }(x){\mathrm{P}}^{\prime \prime \prime }(x)$${\mathrm{P}}^{\prime }(x){\mathrm{P}}^{\prime \prime }(x){\mathrm{P}}^{\prime \prime \prime }(x)$P^(')(x)P^('')(x)P^(''')(x)\mathrm{P}^{\prime}(x) \mathrm{P}^{\prime \prime}(x) \mathrm{P}^{\prime \prime \prime}(x)${\mathrm{P}}^{\prime }(x){\mathrm{P}}^{\prime \prime }(x){\mathrm{P}}^{\prime \prime \prime }(x)$ are cel putin 4 rădăcini reale distincte, iar $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ cel puțin o rădăcină nereală. Avem deci tot $\mathrm{N}\geqq 5$$\mathrm{N}\geqq 5$N >= 5\mathrm{N} \geqq 5$\mathrm{N}\geqq 5$. Dacă în fine $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ are numai două rădăcini distincte, prin o transformare liniară putem face ca toate rădăcinile să devină reale.

Pentru $n=2,3,4$$n=2,3,4$n=2,3,4n=2,3,4$n=2,3,4$ proprietatea I este deci adevărată în general.
Sectia de Matematică
a Filialei Cluj a Academiei R.P. R.

В әтой работе доказывается, что если полином $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ степений имеет все реальные корни, результат $\mathrm{P}(x){\mathrm{P}}^{\prime }(x){\mathrm{P}}^{\prime \prime }(x)\dots {\mathrm{P}}^{(n-1)}$$\mathrm{P}(x){\mathrm{P}}^{\prime }(x){\mathrm{P}}^{\prime \prime }(x)\dots {\mathrm{P}}^{(n-1)}$P(x)P^(')(x)P^('')(x)dotsP^((n-1))\mathrm{P}(x) \mathrm{P}^{\prime}(x) \mathrm{P}^{\prime \prime}(x) \ldots \mathrm{P}^{(n-1)}$\mathrm{P}(x){\mathrm{P}}^{\prime }(x){\mathrm{P}}^{\prime \prime }(x)\dots {\mathrm{P}}^{(n-1)}$ имеет 1 или самое меньшее $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ различные корни. Определяются и все полиномы $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ для которых предел $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ достигнут.

par

Dans ce travail l'auteur montre que si le polynôme $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ de degré $n$$n$nn$n$ a toutes les racines réelles, le produit $\mathrm{P}(x)P^{\prime }(x){\mathrm{P}}^{\prime \prime }(x)\dots \mathrm{P}(n-1)$$\mathrm{P}(x)P^{\prime }(x){\mathrm{P}}^{\prime \prime }(x)\dots \mathrm{P}(n-1)$P(x)P^(')(x)P^('')(x)dotsP(n-1)\mathrm{P}(x) P^{\prime}(x) \mathrm{P}^{\prime \prime}(x) \ldots \mathrm{P}(n-1)$\mathrm{P}(x)P^{\prime }(x){\mathrm{P}}^{\prime \prime }(x)\dots \mathrm{P}(n-1)$ a 1 ou au moins $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ racines distinctes. On détermine également tous les polynômes $\mathrm{P}(x)$$\mathrm{P}(x)$P(x)\mathrm{P}(x)$\mathrm{P}(x)$ pour lesquels la limite $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ Hest pris atteinte.