Asupra preciziei calculului numeric în interpolarea prin polinoame de două variabile

Tiberiu Popoviciu
Uncategorized

Abstract

 

Autori

T. Popoviciu

Institutul de Calcul

Cuvinte cheie

PDF

https://ictp.acad.ro/wp-content/uploads/2025/09/1960-g-Popoviciu-Stud.-Cerc.-Mat.-Cluj-Asupra-preciziei-calculului-numeric-in-interpolarea-prin-polinoame-de-doua-variabile.pdf

Citați articolul în forma

T. Popoviciu, Asupra preciziei calculului numeric în interpolarea prin polinoame de două variabile, Stud. Cerc. Mat. (Cluj), 11 (1960) fasc. anexă, pp. 159-165 (in Romanian).

Despre acest articol

Journal

Studii şi cercetări matematice

Publisher Name

Academia Republicii S.R.

DOI

https://ictp.acad.ro/scm/journal/article/view/93

Print ISSN

Not available yet.

Online ISSN

Not available yet.

Google Scholar Profile

Referințe

Lucrare in format HTML

1960 g -Popoviciu- Stud. Cerc. Mat. (Cluj) - Asupra preciziei calculului numeric in interpolarea pri

ASUPRA PRECIZIEI CALCULULUI NUMERIC ÎN INTERPOLAREA PRIN POLINOAME DE DOUÁ VARIABILE

DE

TIBERIU POPOVICIUMEMBRU CORESPONDENT AL ACADEMIEI R.P.R,

(Cluj)
Lucrare prezentată la Colocviul de teoria ecuatiilor cu derivate parfiale din 21 − 26 21 − 26 21-2621-2621−26 sept. 1959
  1. Să considerăm ( m ′ + 1 ) ( n + 1 ) m ′ + 1 ( n + 1 ) (m^(')+1)(n+1)\left(m^{\prime}+1\right)(n+1)(m′+1)(n+1) puncte ( x i , y j ) , i = 1 , 2 , … , m + 1 x i , y j , i = 1 , 2 , … , m + 1 (x_(i),y_(j)),i=1,2,dots,m+1\left(x_{i}, y_{j}\right), i=1,2, \ldots, m+1(xi,yj),i=1,2,…,m+1, j = 1 , 2 , … , n + 1 j = 1 , 2 , … , n + 1 j=1,2,dots,n+1j=1,2, \ldots, n+1j=1,2,…,n+1 în plan, formînd o rețea dreptunghiulară de noduri. Pentru fixarea notaţiilor vom presupune că x 1 < x 2 < … < x m + 1 x 1 < x 2 < … < x m + 1 x_(1) < x_(2) < dots < x_(m+1)x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m+1}x1<x2<…<xm+1, y 1 < y 2 < … < y n + 1 y 1 < y 2 < … < y n + 1 y_(1) < y_(2) < dots < y_(n+1)y_{1}<y_{2}<\ldots<y_{n+1}y1<y2<…<yn+1. Permutarea P ( r 1 , r 2 , … , r m + 1 ; s 1 , s 2 , … , s n + 1 ) P r 1 , r 2 , … , r m + 1 ; s 1 , s 2 , … , s n + 1 P(r_(1),r_(2),dots,r_(m+1);s_(1),s_(2),dots,s_(n+1))P\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{m+1} ; s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n+1}\right)P(r1,r2,…,rm+1;s1,s2,…,sn+1) a rețelei de noduri este definită de o permutare r 1 , r 2 , … , r m + 1 r 1 , r 2 , … , r m + 1 r_(1),r_(2),dots,r_(m+1)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{m+1}r1,r2,…,rm+1 a indicilor 1 , 2 , … , m + 1 1 , 2 , … , m + 1 1,2,dots,m+11,2, \ldots, m+11,2,…,m+1, de o permutare s 1 , s 2 , … , s n + 1 s 1 , s 2 , … , s n + 1 s_(1),s_(2),dots,s_(n+1)s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n+1}s1,s2,…,sn+1 a indicilor 1 , 2 , … … , n + 1 1 , 2 , … … , n + 1 1,2,dots dots,n+11,2, \ldots \ldots, n+11,2,……,n+1 şi de renumerotarea coordonatelor nodurilor rețelei astfel ca să avem x i ′ = x r i , i = 1 , 2 , … , m + 1 , y j ′ = y s j , j = 1 , 2 , … , n + 1 x i ′ = x r i , i = 1 , 2 , … , m + 1 , y j ′ = y s j , j = 1 , 2 , … , n + 1 x_(i)^(')=x_(r_(i)),i=1,2,dots,m+1,y_(j)^(')=y_(s_(j)),j=1,2,dots,n+1x_{i}^{\prime}=x_{r_{i}}, i=1,2, \ldots, m+1, y_{j}^{\prime}=y_{s_{j}}, j=1,2, \ldots, n+1xi′=xri,i=1,2,…,m+1,yj′=ysj,j=1,2,…,n+1.
Să introducem notațiile
(1) D v , μ i , j [ f ] = [ x v ′ , x v + 1 ′ , … , x v + i ′ y μ ′ , y μ + 1 ′ , … , y μ + j ′ ; f ] (1) D v , μ i , j [ f ] = x v ′ , x v + 1 ′ , … , x v + i ′ y μ ′ , y μ + 1 ′ , … , y μ + j ′ ; f {:(1)D_(v,mu)^(i,j)[f]=[[x_(v)^(')","x_(v+1)^(')","dots","x_(v+i)^(')],[y_(mu)^(')","y_(mu+1)^(')","dots","y_(mu+j)^(')];f]:}D_{v, \mu}^{i, j}[f]=\left[\begin{array}{l} x_{v}^{\prime}, x_{v+1}^{\prime}, \ldots, x_{v+i}^{\prime} \tag{1}\\ y_{\mu}^{\prime}, y_{\mu+1}^{\prime}, \ldots, y_{\mu+j}^{\prime} \end{array} ; f\right](1)Dv,μi,j[f]=[xv′,xv+1′,…,xv+i′yμ′,yμ+1′,…,yμ+j′;f]
pentru diferențele divizate pe punctele ( x v + α , y μ + β x v + α , y μ + β x_(v+alpha),y_(mu+beta)x_{v+\alpha}, y_{\mu+\beta}xv+α,yμ+β ), α = 0 , 1 , … , i α = 0 , 1 , … , i alpha=0,1,dots,i\alpha=0,1, \ldots, iα=0,1,…,i, β = 0 , 1 , … , j β = 0 , 1 , … , j beta=0,1,dots,j\beta=0,1, \ldots, jβ=0,1,…,j, relative la functia f ( x , y ) f ( x , y ) f(x,y)f(x, y)f(x,y).
D.d. ( = diferența divizată sau diferențele divizate)
(2) D v , μ i , j [ f ] , v = 1 , 2 , … , m + 1 − i , μ = 1 , 2 , … , n + 1 − j , i = 0 , 1 , … , m , j = 0 , 1 , … , n (2) D v , μ i , j [ f ] , v = 1 , 2 , … , m + 1 − i , μ = 1 , 2 , … , n + 1 − j , i = 0 , 1 , … , m , j = 0 , 1 , … , n {:(2){:[D_(v,mu)^(i,j)[f]","v=1","2","dots",",m+1-i","quad mu=1","2","dots","n+1-j","],[i=0",",quad1","dots","m","j=0","1","dots","n]:}:}\begin{array}{cl} D_{v, \mu}^{i, j}[f], v=1,2, \ldots, & m+1-i, \quad \mu=1,2, \ldots, n+1-j, \\ i=0, & \quad 1, \ldots, m, j=0,1, \ldots, n \tag{2} \end{array}(2)Dv,μi,j[f],v=1,2,…,m+1−i,μ=1,2,…,n+1−j,i=0,1,…,m,j=0,1,…,n
constituie tabloul d.d. corespunzător permutării
P ( r 1 , r 2 , … , r m + 1 ; s 1 , s 2 , … , s n + 1 ) P r 1 , r 2 , … , r m + 1 ; s 1 , s 2 , … , s n + 1 P(r_(1),r_(2),dots,r_(m+1);s_(1),s_(2),dots,s_(n+1))P\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{m+1} ; s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n+1}\right)P(r1,r2,…,rm+1;s1,s2,…,sn+1)
a rețelei de noduri.
Sistemul de ( m + 1 ) ( n + 1 ) ( m + 1 ) ( n + 1 ) (m+1)(n+1)(m+1)(n+1)(m+1)(n+1) d.d.
(3) D 1 , 1 i , j [ f ] , i = 0 , 1 , … , m , j = 0 , 1 , … , n (3) D 1 , 1 i , j [ f ] , i = 0 , 1 , … , m , j = 0 , 1 , … , n {:(3)D_(1,1)^(i,j)[f]","quad i=0","1","dots","m","j=0","1","dots","n:}\begin{equation*} D_{1,1}^{i, j}[f], \quad i=0,1, \ldots, m, j=0,1, \ldots, n \tag{3} \end{equation*}(3)D1,1i,j[f],i=0,1,…,m,j=0,1,…,n
formează un sistem înlănțuit de d.d.
Dacă fiecare termen al unui sistem înlănțuit de d.d. aparține unui aceluiaşi tablou de d.d., vom zice că sistemul inlănțuit considerat aparține acestui tablou de d.d. In particular, sistemul inlănțuit (3) aparține tabloului (2). Bineînţeles, însă, sistemul înlănțuit (3) aparține în acelaşi timp şi altor tablouri de d.d.
În particular tabloul (2) corespunzător permutării inițiale P ( 1 , 2 , … … , m + 1 ; 1 , 2 , … , n + 1 P ( 1 , 2 , … … , m + 1 ; 1 , 2 , … , n + 1 P(1,2,dots dots,m+1;1,2,dots,n+1P(1,2, \ldots \ldots, m+1 ; 1,2, \ldots, n+1P(1,2,……,m+1;1,2,…,n+1 ) a reţelei de noduri, se va numi tabloul normal de d.d. și orice sistem înlănțuit de d.d. aparținînd acestui tablou se va numi un sistem înlănțuit normal de d.d. În cazul permutării inițiale avem
r i = i , s j = j , D ν , ν i ν ] = [ x ν , x ν + 1 , … , x ν + i y μ , y μ + 1 , … , ] r i = i , s j = j , D ν , ν i ν = x ν ,      x ν + 1 , … ,      x ν + i y μ ,      y μ + 1 ,      … , {:r_(i)=i,s_(j)=j,D_(nu,nu)^(i)_(nu)]=[[x_(nu)",",x_(nu+1)","dots",",x_(nu+i)],[y_(mu)",",y_(mu+1)",",dots","]]\left.r_{i}=i, s_{j}=j, D_{\nu, \nu}^{i}{ }_{\nu}\right]=\left[\begin{array}{lll} x_{\nu}, & x_{\nu+1}, \ldots, & x_{\nu+i} \\ y_{\mu}, & y_{\mu+1}, & \ldots, \end{array}\right]ri=i,sj=j,Dν,νiν]=[xν,xν+1,…,xν+iyμ,yμ+1,…,]
pentru toate valorile posibile ale lui i , j , v , μ i , j , v , μ i,j,v,mui, j, v, \mui,j,v,μ.
2. Permutării P ( r 1 , r 2 , … , r m + 1 ; s 1 , s 2 , … , s n + 1 ) P r 1 , r 2 , … , r m + 1 ; s 1 , s 2 , … , s n + 1 P(r_(1),r_(2),dots,r_(m+1);s_(1),s_(2),dots,s_(n+1))P\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{m+1} ; s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n+1}\right)P(r1,r2,…,rm+1;s1,s2,…,sn+1) a reţelei de noduri, corespunde polinomul de interpolare de două variabile, care sub forma ei generală este [2],
(4) L ( x , y ) = ∑ i = 0 m ∑ j = 0 n i ( x − x r 1 ) ( x − x r 9 ) … ( x − x r i ) ( y − y s 1 ) × × ( y − y s 2 ) … ( y − y s j ) D 1 , 1 i , j [ f ] (4) L ( x , y ) = ∑ i = 0 m   ∑ j = 0 n i   x − x r 1 x − x r 9 … x − x r i y − y s 1 × × y − y s 2 … y − y s j D 1 , 1 i , j [ f ] {:[(4)L(x","y)=sum_(i=0)^(m)sum_(j=0)^(n_(i))(x-x_(r_(1)))(x-x_(r_(9)))dots(x-x_(r_(i)))(y-y_(s_(1)))xx],[xx(y-y_(s_(2)))dots(y-y_(sj))D_(1,1)^(i,j)[f]]:}\begin{gather*} L(x, y)=\sum_{i=0}^{m} \sum_{j=0}^{n_{i}}\left(x-x_{r_{1}}\right)\left(x-x_{r_{9}}\right) \ldots\left(x-x_{r_{i}}\right)\left(y-y_{s_{1}}\right) \times \tag{4}\\ \times\left(y-y_{s_{2}}\right) \ldots\left(y-y_{s j}\right) D_{1,1}^{i, j}[f] \end{gather*}(4)L(x,y)=∑i=0m∑j=0ni(x−xr1)(x−xr9)…(x−xri)(y−ys1)××(y−ys2)…(y−ysj)D1,1i,j[f]
unde 0 ≦ n i ≦ n , i = 0 , 1 , … , m 0 ≦ n i ≦ n , i = 0 , 1 , … , m 0 <= n_(i) <= n,i=0,1,dots,m0 \leqq n_{i} \leqq n, i=0,1, \ldots, m0≦ni≦n,i=0,1,…,m iar pentru i = 0 i = 0 i=0i=0i=0 respectiv j = 0 j = 0 j=0j=0j=0 produsul ( x − x r 1 ) ( x − x r 2 ) … ( x − x r i ) x − x r 1 x − x r 2 … x − x r i (x-x_(r_(1)))(x-x_(r_(2)))dots(x-x_(r_(i)))\left(x-x_{r_{1}}\right)\left(x-x_{r_{2}}\right) \ldots\left(x-x_{r_{i}}\right)(x−xr1)(x−xr2)…(x−xri) respectiv ( y − y s 1 ) ( y − y s 2 ) … × × ( y − y s j ) y − y s 1 y − y s 2 … × × y − y s j (y-y_(s_(1)))(y-y_(s_(2)))dots xx xx(y-y_(sj))\left(y-y_{s_{1}}\right)\left(y-y_{s_{2}}\right) \ldots \times \times\left(y-y_{s j}\right)(y−ys1)(y−ys2)…××(y−ysj) este înlocuit cu 1.
Pe un punct de interpolare dat ( x , y ) ( x , y ) (x,y)(x, y)(x,y), determinarea unei valori aproximative pentru f ( x , y ) f ( x , y ) f(x,y)f(x, y)f(x,y) cu ajutorul polinomului (4), necesită calculul valorii numerice a acestui polinom. Acest calcul se face prin executarea, exact sau aproximativ, a unei anumite succesiuni de operatii elementare : adunări, scăderi, înmulțiri şi impărţiri. Deoarece operațiile se execută in general aproximativ, va rezulta o eroare de calcul care depinde de precizia cu care s-au executat calculele precum şi, bineînțeles, de ordinea efectuării acestor calcule, adică de programul pe baza căruia ele au fost executate. Nu vom lua în considerare erorile de care sînt eventual afectate datele problemei, deci coordonatele nodurilor și valorile funcţiei f ( x , y ) f ( x , y ) f(x,y)f(x, y)f(x,y) pe aceste noduri.
3. Pentru a calcula valoarea numerică a polinomului (4), poate fi utilă şi o modificare a expresiei lui, punînd
X 0 = 1 , X i = x − x r i k i , Y 0 = 1 , Y j = y − y s j l j , X 0 = 1 , X i = x − x r i k i , Y 0 = 1 , Y j = y − y s j l j , X_(0)=1,X_(i)=(x-x_(r_(i)))/(k_(i)),Y_(0)=1,Y_(j)=(y-y_(s_(j)))/(l_(j)),X_{0}=1, X_{i}=\frac{x-x_{r_{i}}}{k_{i}}, Y_{0}=1, Y_{j}=\frac{y-y_{s_{j}}}{l_{j}},X0=1,Xi=x−xriki,Y0=1,Yj=y−ysjlj,
E i , j = k 0 k 1 … k i l 0 l 1 … l j D 1 , 1 i 1 , j [ f ] , i = 0 , 1 , … , m , j = 0 , 1 , … , n E i , j = k 0 k 1 … k i l 0 l 1 … l j D 1 , 1 i 1 , j [ f ] , i = 0 , 1 , … , m , j = 0 , 1 , … , n E_(i,j)=k_(0)k_(1)dotsk_(i)l_(0)l_(1)dotsl_(j)D_(1,1)^(i_(1),j)[f],i=0,1,dots,m,j=0,1,dots,nE_{i, j}=k_{0} k_{1} \ldots k_{i} l_{0} l_{1} \ldots l_{j} D_{1,1}^{i_{1}, j}[f], i=0,1, \ldots, m, j=0,1, \ldots, nEi,j=k0k1…kil0l1…ljD1,1i1,j[f],i=0,1,…,m,j=0,1,…,n, unde k 0 ( = 1 ) , k 1 , k 2 , … , k m , l 0 ( = 1 ) , l 1 , l 2 , … , l n k 0 ( = 1 ) , k 1 , k 2 , … , k m , l 0 ( = 1 ) , l 1 , l 2 , … , l n k_(0)(=1),k_(1),k_(2),dots,k_(m),l_(0)(=1),l_(1),l_(2),dots,l_(n)k_{0}(=1), k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{m}, l_{0}(=1), l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{n}k0(=1),k1,k2,…,km,l0(=1),l1,l2,…,ln sînt niște numere date, diferite de 0 . Avem atunci
L ( x , y ) = ∑ i = 0 m ∑ j = 0 n i X 0 X 1 … X i Y 0 Y 1 … , Y j E i , j L ( x , y ) = ∑ i = 0 m   ∑ j = 0 n i   X 0 X 1 … X i Y 0 Y 1 … , Y j E i , j L(x,y)=sum_(i=0)^(m)sum_(j=0)^(n_(i))X_(0)X_(1)dotsX_(i)Y_(0)Y_(1)dots,Y_(j)E_(i,j)L(x, y)=\sum_{i=0}^{m} \sum_{j=0}^{n_{i}} X_{0} X_{1} \ldots X_{i} Y_{0} Y_{1} \ldots, Y_{j} E_{i, j}L(x,y)=∑i=0m∑j=0niX0X1…XiY0Y1…,YjEi,j
care se calculează, de obicei, efectuînd suma
(5) ∑ i = 0 m X 0 X 1 … X i A i , (5) ∑ i = 0 m   X 0 X 1 … X i A i , {:(5)sum_(i=0)^(m)X_(0)X_(1)dotsX_(i)A_(i)",":}\begin{equation*} \sum_{i=0}^{m} X_{0} X_{1} \ldots X_{i} A_{i}, \tag{5} \end{equation*}(5)∑i=0mX0X1…XiAi,
în prealabil fiind calculate sumele
(6) A i = ∑ j = 0 n i Y 0 ⋅ Y 1 … Y j E i , j i = 0 , 1 , … , m . (6) A i = ∑ j = 0 n i   Y 0 ⋅ Y 1 … Y j E i , j i = 0 , 1 , … , m . {:(6)A_(i)=sum_(j=0)^(n_(i))Y_(0)*Y_(1)dotsY_(j)E_(i,j)i=0","1","dots","m.:}\begin{equation*} A_{i}=\sum_{j=0}^{n_{i}} Y_{0} \cdot Y_{1} \ldots Y_{j} E_{i, j} i=0,1, \ldots, m . \tag{6} \end{equation*}(6)Ai=∑j=0niY0⋅Y1…YjEi,ji=0,1,…,m.
Fiecare dintre sumele (5), (6) este de forma
(7) c 0 C 0 + c 0 c 1 C 1 + … + c 0 c 1 … c α C α . (7) c 0 C 0 + c 0 c 1 C 1 + … + c 0 c 1 … c α C α . {:(7)c_(0)C_(0)+c_(0)c_(1)C_(1)+dots+c_(0)c_(1)dotsc_(alpha)C_(alpha).:}\begin{equation*} c_{0} C_{0}+c_{0} c_{1} C_{1}+\ldots+c_{0} c_{1} \ldots c_{\alpha} C_{\alpha} . \tag{7} \end{equation*}(7)c0C0+c0c1C1+…+c0c1…cαCα.
Să presupunem că adunările şi scăderile nu comportă erori (ele se efectuează exact sau, în orice caz, cu niște erori care se neglijează). Atunci dacă se calculează suma (7) pe baza schemei
(8) c 0 ( C 0 + c 1 ( C 1 + … + c α − 1 ( C α − 1 + c α C α ) … ) ) , (8) c 0 C 0 + c 1 C 1 + … + c α − 1 C α − 1 + c α C α … , {:(8)c_(0)(C_(0)+c_(1)(C_(1)+dots+c_(alpha-1)(C_(alpha-1)+c_(alpha)C_(alpha))dots))",":}\begin{equation*} c_{0}\left(C_{0}+c_{1}\left(C_{1}+\ldots+c_{\alpha-1}\left(C_{\alpha-1}+c_{\alpha} C_{\alpha}\right) \ldots\right)\right), \tag{8} \end{equation*}(8)c0(C0+c1(C1+…+cα−1(Cα−1+cαCα)…)),
aşa cum se procedează de obicei, croarea provine numai din efectuarea celor α + 1 α + 1 alpha+1\alpha+1α+1 inmulțiri successive cu c α , c α − 1 , … , c 0 cu c α , c α − 1 , … , c 0 cuc_(alpha),c_(alpha-1),dots,c_(0)\mathrm{cu} c_{\alpha}, c_{\alpha-1}, \ldots, c_{0}cucα,cα−1,…,c0 respectiv. Este uşor de văzut că dacă aceste inmulțiri se efectuează cu o eroare absolută, cel mult egală cu ε ε epsi\varepsilonε, rezultatul aproximativ obținut va avea o eroare absolută ≦ ε ( 1 + ∑ i = 0 α − 1 | c 0 c 1 … c i | ) , ( = ε ≦ ε 1 + ∑ i = 0 α − 1   c 0 c 1 … c i , ( = ε <= epsi(1+sum_(i=0)^(alpha-1)|c_(0)c_(1)dotsc_(i)|),(=epsi\leqq \varepsilon\left(1+\sum_{i=0}^{\alpha-1}\left|c_{0} c_{1} \ldots c_{i}\right|\right),(=\varepsilon≦ε(1+∑i=0α−1|c0c1…ci|),(=ε dacă α = 0 ) α = 0 ) alpha=0)\alpha=0)α=0). In cazurile pe care le vom considera efectiv, înmulțirea prin c 0 c 0 c_(0)c_{0}c0 nu comportă erori (vom avea totdeauna c 0 = 1 c 0 = 1 c_(0)=1c_{0}=1c0=1 ). In acest caz eroarea absolută a rezultatului este ≦ ε ∑ i = 0 α − 1 | c 0 c 1 … c i | , ( 0 ≦ ε ∑ i = 0 α − 1   c 0 c 1 … c i , ( 0 <= epsisum_(i=0)^(alpha-1)|c_(0)c_(1)dotsc_(i)|,(0\leqq \varepsilon \sum_{i=0}^{\alpha-1}\left|c_{0} c_{1} \ldots c_{i}\right|,(0≦ε∑i=0α−1|c0c1…ci|,(0 dacă α = 0 ) α = 0 ) alpha=0)\alpha=0)α=0).
Să aplicăm această schemă de calcul sumelor (5), (6). Suma (6) este de forma (7), unde punem
α = n i , c v = Y v , C v = E i , v , v = 0 , 1 , … , n i . α = n i , c v = Y v , C v = E i , v , v = 0 , 1 , … , n i . alpha=n_(i),quadc_(v)=Y_(v),quadC_(v)=E_(i,v),quad v=0,1,dots,n_(i).\alpha=n_{i}, \quad c_{v}=Y_{v}, \quad C_{v}=E_{i, v}, \quad v=0,1, \ldots, n_{i} .α=ni,cv=Yv,Cv=Ei,v,v=0,1,…,ni.
Dacă dẹci efectuăm calculele pe baza schemei (8), înmulțirile fiind executate cu o eroare absolută ≦ ε ≦ ε <= epsi\leqq \varepsilon≦ε, rezultatul obținut A ~ i A ~ i widetilde(A)_(i)\widetilde{A}_{i}A~i este cu o eroare absolută ≦ ε ∑ j = 0 i − − 1 | Y 0 Y 1 … Y j | , ( = 0 ≦ ε ∑ j = 0 i − − 1   Y 0 Y 1 … Y j , = 0 <= epsisum_(j=0)^(i^(-)-1)|Y_(0)Y_(1)dotsY_(j)|,(=0:}\leqq \varepsilon \sum_{j=0}^{i^{-}-1}\left|Y_{0} Y_{1} \ldots Y_{j}\right|,\left(=0\right.≦ε∑j=0i−−1|Y0Y1…Yj|,(=0, dacă n i = 0 ) n i = 0 {:n_(i)=0)\left.n_{i}=0\right)ni=0). Rezultă că aproximarea sumei (б),
(9) ∑ i = 0 m X 0 X 1 … X i A ~ i (9) ∑ i = 0 m   X 0 X 1 … X i A ~ i {:(9)sum_(i=0)^(m)X_(0)X_(1)dotsX_(i) widetilde(A)_(i):}\begin{equation*} \sum_{i=0}^{m} X_{0} X_{1} \ldots X_{i} \widetilde{A}_{i} \tag{9} \end{equation*}(9)∑i=0mX0X1…XiA~i
are o eroare absolută ≦ ε ∑ i = 0 m | X 0 X 1 … X i | ( ∑ j = 0 n i − 1 | Y 0 Y 1 … Y j | ) ≦ ε ∑ i = 0 m   X 0 X 1 … X i ∑ j = 0 n i − 1   Y 0 Y 1 … Y j <= epsisum_(i=0)^(m)|X_(0)X_(1)dotsX_(i)|(sum_(j=0)^(n_(i)-1)|Y_(0)Y_(1)dotsY_(j)|)\leqq \varepsilon \sum_{i=0}^{m}\left|X_{0} X_{1} \ldots X_{i}\right|\left(\sum_{j=0}^{n_{i}-1}\left|Y_{0} Y_{1} \ldots Y_{j}\right|\right)≦ε∑i=0m|X0X1…Xi|(∑j=0ni−1|Y0Y1…Yj|).
Suma (9) este de asemenea de forma
α = m , c v = X v , C v = A ~ v , v = 0 , 1 , … , m . α = m , c v = X v , C v = A ~ v , v = 0 , 1 , … , m . alpha=m,quadc_(v)=X_(v),quadC_(v)= widetilde(A)_(v),quad v=0,1,dots,m.\alpha=m, \quad c_{v}=X_{v}, \quad C_{v}=\widetilde{A}_{v}, \quad v=0,1, \ldots, m .α=m,cv=Xv,Cv=A~v,v=0,1,…,m.
Dacă deci şi aici efectuăm calculele pe baza schemei (8), înmulțirile fiind executate cu o eroare absolută ≦ ε ≦ ε <= epsi\leqq \varepsilon≦ε, valoarea aproximativă obtinută pentiu (9) va avea o eroare absolută cel mult egală cu
ε ∑ i = 0 m − 1 | X 0 X 1 … X i | ( = 0 , dacă m = 0 ) ε ∑ i = 0 m − 1   X 0 X 1 … X i ( = 0 ,  dacă  m = 0 ) epsisum_(i=0)^(m-1)|X_(0)X_(1)dotsX_(i)|(=0," dacă "m=0)\varepsilon \sum_{i=0}^{m-1}\left|X_{0} X_{1} \ldots X_{i}\right|(=0, \text { dacă } m=0)ε∑i=0m−1|X0X1…Xi|(=0, dacă m=0)
În definitiv deci, făcînd calculele pe baza schemei indicate, obți nem pentru L ( x , y ) L ( x , y ) L(x,y)L(x, y)L(x,y) o valoare aproximativă cu o eroare absolută ≦ ε M ≦ ε M <= epsi M\leqq \varepsilon M≦εM, unde
M = ∑ i = 0 m | X 0 X 1 … X i | ( ∑ j = 0 n i − 1 | Y 0 Y 1 … Y j | ) + ∑ i = 0 m − 1 | X 0 X 1 … X i | M = ∑ i = 0 m   X 0 X 1 … X i ∑ j = 0 n i − 1   Y 0 Y 1 … Y j + ∑ i = 0 m − 1   X 0 X 1 … X i M=sum_(i=0)^(m)|X_(0)X_(1)dotsX_(i)|(sum_(j=0)^(n_(i)-1)|Y_(0)Y_(1)dotsY_(j)|)+sum_(i=0)^(m-1)|X_(0)X_(1)dotsX_(i)|M=\sum_{i=0}^{m}\left|X_{0} X_{1} \ldots X_{i}\right|\left(\sum_{j=0}^{n_{i}-1}\left|Y_{0} Y_{1} \ldots Y_{j}\right|\right)+\sum_{i=0}^{m-1}\left|X_{0} X_{1} \ldots X_{i}\right|M=∑i=0m|X0X1…Xi|(∑j=0ni−1|Y0Y1…Yj|)+∑i=0m−1|X0X1…Xi|.
4. Ne putem pune problema de a găsi, pentru punetul de interpolare dat ( x , y ) ( x , y ) (x,y)(x, y)(x,y), acea permutare P ( r 1 , r 2 , … , r m + 1 ; s 1 , s 2 , … , s n + 1 ) P r 1 , r 2 , … , r m + 1 ; s 1 , s 2 , … , s n + 1 P(r_(1),r_(2),dots,r_(m+1);s_(1),s_(2),dots,s_(n+1))P\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{m+1} ; s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n+1}\right)P(r1,r2,…,rm+1;s1,s2,…,sn+1) a retelei de noduri pentru care numarul dat de formula (10) este cel mai mic posibil. Dacă aceasta condiție este indeplinită vom considera că polinomul (4) este cel mai avantajos pentru calculele numerice (facute pe baza schemei indicate).
Atît sumele
(11) B ı = ∑ j = 0 n i − 1 | Y 0 Y 1 … Y j | , i = 0 , 1 , … m (11) B ı = ∑ j = 0 n i − 1   Y 0 Y 1 … Y j , i = 0 , 1 , … m {:(11)B_(ı)=sum_(j=0)^(n_(i)-1)|Y_(0)Y_(1)dotsY_(j)|","quad i=0","1","dots m:}\begin{equation*} B_{\imath}=\sum_{j=0}^{n_{i}-1}\left|Y_{0} Y_{1} \ldots Y_{j}\right|, \quad i=0,1, \ldots m \tag{11} \end{equation*}(11)Bı=∑j=0ni−1|Y0Y1…Yj|,i=0,1,…m
cît şi suma (10) sînt de forma
(12) S 0 + s ν 1 S 1 + s ν 1 s ν 2 S 2 + … + s ν 1 s ν 2 … s ν α S α , (12) S 0 + s ν 1 S 1 + s ν 1 s ν 2 S 2 + … + s ν 1 s ν 2 … s ν α S α , {:(12)S_(0)+s_(nu_(1))S_(1)+s_(nu_(1))s_(nu_(2))S_(2)+dots+s_(nu_(1))s_(nu_(2))dotss_(nu_(alpha))S_(alpha)",":}\begin{equation*} S_{0}+s_{\nu_{1}} S_{1}+s_{\nu_{1}} s_{\nu_{2}} S_{2}+\ldots+s_{\nu_{1}} s_{\nu_{2}} \ldots s_{\nu_{\alpha}} S_{\alpha}, \tag{12} \end{equation*}(12)S0+sν1S1+sν1sν2S2+…+sν1sν2…sναSα,
unde S 0 , S 1 , … , S α S 0 , S 1 , … , S α S_(0),S_(1),dots,S_(alpha)S_{0}, S_{1}, \ldots, S_{\alpha}S0,S1,…,Sα sînt numere pozitive, iar S v 1 , S v 2 , … , S v α S v 1 , S v 2 , … , S v α S_(v_(1)),S_(v_(2)),dots,S_(v_(alpha))S_{v_{1}}, S_{v_{2}}, \ldots, S_{v_{\alpha}}Sv1,Sv2,…,Svα este o permutare a unui șir s 1 , s 2 , … , s α s 1 , s 2 , … , s α s_(1),s_(2),dots,s_(alpha)s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{\alpha}s1,s2,…,sα de numere pozitive.
Şirul (11) este de forma (12), unde
α = n i − 1 , s j = | y − y j | , v j = s j , S j = 1 | l 0 l 1 ⋯ l i | j = 1 , 2 , … , n i − 1 , S 0 = 1 α = n i − 1 , s j = y − y j , v j = s j , S j = 1 l 0 l 1 ⋯ l i j = 1 , 2 , … , n i − 1 , S 0 = 1 {:[alpha=n_(i)-1","s_(j)=|y-y_(j)|","v_(j)=s_(j)","S_(j)=(1)/(|l_(0)l_(1)cdotsl_(i)|)],[j=1","2","dots","n_(i)-1","quadS_(0)=1]:}\begin{gathered} \alpha=n_{i}-1, s_{j}=\left|y-y_{j}\right|, v_{j}=s_{j}, S_{j}=\frac{1}{\left|l_{0} l_{1} \cdots l_{i}\right|} \\ j=1,2, \ldots, n_{i}-1, \quad S_{0}=1 \end{gathered}α=ni−1,sj=|y−yj|,vj=sj,Sj=1|l0l1⋯li|j=1,2,…,ni−1,S0=1
iar suma (10) este de forma (12), unde
α = m , s i = | x − x i | , v i = r i , S i = 1 | k 0 k 1 … k i | ( 1 + ∑ i = 0 π i − 1 | Y 0 Y 1 … Y j | ) , α = m , s i = x − x i , v i = r i , S i = 1 k 0 k 1 … k i 1 + ∑ i = 0 π i − 1   Y 0 Y 1 … Y j , alpha=m,s_(i)=|x-x_(i)|,quadv_(i)=r_(i),quadS_(i)=(1)/(|k_(0)k_(1)dotsk_(i)|)(1+sum_(i=0)^(pi_(i)-1)|Y_(0)Y_(1)dotsY_(j)|),\alpha=m, s_{i}=\left|x-x_{i}\right|, \quad v_{i}=r_{i}, \quad S_{i}=\frac{1}{\left|k_{0} k_{1} \ldots k_{i}\right|}\left(1+\sum_{i=0}^{\pi_{i}-1}\left|\mathbf{Y}_{0} \mathbf{Y}_{1} \ldots \mathbf{Y}_{j}\right|\right),α=m,si=|x−xi|,vi=ri,Si=1|k0k1…ki|(1+∑i=0πi−1|Y0Y1…Yj|),
i = 0 , 1 , … , m − 1 , S m = 1 | k 0 k 1 … k m | ( ∑ j = 0 n m − 1 | Y 0 Y 1 … Y j | ) , ν m = r m i = 0 , 1 , … , m − 1 , S m = 1 k 0 k 1 … k m ∑ j = 0 n m − 1   Y 0 Y 1 … Y j , ν m = r m i=0,1,dots,m-1,S_(m)=(1)/(|k_(0)k_(1)dotsk_(m)|)(sum_(j=0)^(n_(m)-1)|Y_(0)Y_(1)dotsY_(j)|),nu_(m)=r_(m)i=0,1, \ldots, m-1, S_{m}=\frac{1}{\left|k_{0} k_{1} \ldots k_{m}\right|}\left(\sum_{j=0}^{n_{m}-1}\left|Y_{0} Y_{1} \ldots Y_{j}\right|\right), \nu_{m}=r_{m}i=0,1,…,m−1,Sm=1|k0k1…km|(∑j=0nm−1|Y0Y1…Yj|),νm=rm.

Avem acum următoarea

LemA. Suma (12) îşi atinge cea mai mică valoare a sa dacă sirul s v 1 , s v 2 , … , s v α s v 1 , s v 2 , … , s v α s_(v_(1)),s_(v_(2)),dots,s_(v_(alpha))s_{v_{1}}, s_{v_{2}}, \ldots, s_{v_{\alpha}}sv1,sv2,…,svα este nedescrescător (cu alte cuvinte pentru o permutare nedescrescătoare a şirului s 1 , s 2 , … , s α s 1 , s 2 , … , s α s_(1),s_(2),dots,s_(alpha)s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{\alpha}s1,s2,…,sα ).
Demonstratia este mediată. Se vede uşor că minimul este atins numai pentru permutările nedescrescătoare ale şirului s 1 , s 2 , … , s α s 1 , s 2 , … , s α s_(1),s_(2),dots,s_(alpha)s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{\alpha}s1,s2,…,sα. Din lema precedentă rezulta atunci următoarea
IEOREMA. Dacă permutarea P ( r 1 , r 2 , … , r m + 1 ; s 1 , s 2 , … , s n + 1 ) P r 1 , r 2 , … , r m + 1 ; s 1 , s 2 , … , s n + 1 P(r_(1),r_(2),dots,r_(m+1);s_(1),s_(2),dots,s_(n+1))P\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{m+1} ; s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n+1}\right)P(r1,r2,…,rm+1;s1,s2,…,sn+1) este astfel înoît șirurile
| x − x r 1 | , | x − x r 2 | , … , | x − x r m | ; | y − y ε 1 | , | y − y s 2 | , … , | y − y s n − 1 | x − x r 1 , x − x r 2 , … , x − x r m ; y − y ε 1 , y − y s 2 , … , y − y s n − 1 |x-x_(r_(1))|,|x-x_(r_(2))|,dots,|x-x_(r_(m))|;|y-y_(epsi_(1))|,|y-y_(s_(2))|,dots,|y-y_(s_(n-1))|\left|x-x_{r_{1}}\right|,\left|x-x_{r_{2}}\right|, \ldots,\left|x-x_{r_{m}}\right| ;\left|y-y_{\varepsilon_{1}}\right|,\left|y-y_{s_{2}}\right|, \ldots,\left|y-y_{s_{n-1}}\right||x−xr1|,|x−xr2|,…,|x−xrm|;|y−yε1|,|y−ys2|,…,|y−ysn−1|
să fie nedescrescătoare, numărul M îşi atinge cea mai mică valoare a sa.
5. Rezultă din cele ce preced că dacă şirurile
(13) | x − x r 1 | , | x − x r 2 | , … , | x − x r m + 1 | ; | y − y s 1 | | y − y s 2 | , … , | y − y s n + 1 | (13) x − x r 1 , x − x r 2 , … , x − x r m + 1 ; y − y s 1 y − y s 2 , … , y − y s n + 1 {:[(13)|x-x_(r_(1))|","|x-x_(r_(2))|","dots","|x-x_(r_(m+1))|;|y-y_(s_(1))|],[|y-y_(s_(2))|","dots","|y-y_(s_(n+1))|]:}\begin{gather*} \left|x-x_{r_{1}}\right|,\left|x-x_{r_{2}}\right|, \ldots,\left|x-x_{r_{m+1}}\right| ;\left|y-y_{s_{1}}\right| \tag{13}\\ \left|y-y_{s_{2}}\right|, \ldots,\left|y-y_{s_{n+1}}\right| \end{gather*}(13)|x−xr1|,|x−xr2|,…,|x−xrm+1|;|y−ys1||y−ys2|,…,|y−ysn+1|
int nedescrescătoare, polinomul (4) este cel mai avantajos pentru calculul unei valori aproximative a lui f ( x , y ) f ( x , y ) f(x,y)f(x, y)f(x,y). In acest caz, pe baza unui rezultat anterior [1], permutarea r 1 , r 2 , … , r m + 1 r 1 , r 2 , … , r m + 1 r_(1),r_(2),dots,r_(m+1)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{m+1}r1,r2,…,rm+1 trebuie să fie consecutivă permutării 1 , 2 , … , m + 1 1 , 2 , … , m + 1 1,2,dots,m+11,2, \ldots, m+11,2,…,m+1 iar permutarea s 1 , s 2 , … , s n + 1 s 1 , s 2 , … , s n + 1 s_(1),s_(2),dots,s_(n+1)s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n+1}s1,s2,…,sn+1 consecutivà permutări 1 , 2 , … , n + 1 1 , 2 , … , n + 1 1,2,dots,n+11,2, \ldots, n+11,2,…,n+1. Aceasta înseamnă că pentru orice t t ttt, ( t = 1 , 2 , … , m + 1 ( t = 1 , 2 , … , m + 1 (t=1,2,dots,m+1(t=1,2, \ldots, m+1(t=1,2,…,m+1, respectiv t = 1 , 2 , … , n + 1 ) t = 1 , 2 , … , n + 1 ) t=1,2,dots,n+1)t=1,2, \ldots, n+1)t=1,2,…,n+1), sirurile r 1 , r 2 , … , r t r 1 , r 2 , … , r t r_(1),r_(2),dots,r_(t)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{t}r1,r2,…,rt şi s 1 , s 2 , … , s t s 1 , s 2 , … , s t s_(1),s_(2),dots,s_(t)s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{t}s1,s2,…,st sint formate din cite t t ttt numere naturale consecutive (intr-o anumită ordine).
Cind şirurile (13) sînt nedescrescătoare, si in acest caz polinomul (4) este avantajos pentru calcule in sensul aratat mai sus, sistemul inlanţuit de d.d. corespunzător este un sistem inlăntuit normal. Este deci suficient sa folosim tabloul normal de d.d., pentru a putea construi toate polinoamele (4) avantajoase, după diferitele pozitii ale punctului de interpolare.
Putem, ca și în cazul unei singure variabile [1], să studiem diferit cazuri particulare. Dacă punctul de interpolare este în vecinătatea unui din nodurile extreme ( x 1 , y 1 ) , ( x 1 , y n + 1 ) , ( x n + 1 , y 1 ) , ( x n + 1 , y n + 1 ) x 1 , y 1 , x 1 , y n + 1 , x n + 1 , y 1 , x n + 1 , y n + 1 (x_(1),y_(1)),(x_(1),y_(n+1)),(x_(n+1),y_(1)),(x_(n+1),y_(n+1))\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{1}, y_{n+1}\right),\left(x_{n+1}, y_{1}\right),\left(x_{n+1}, y_{n+1}\right)(x1,y1),(x1,yn+1),(xn+1,y1),(xn+1,yn+1), găsim c cele mai avantajoase polinoamele ordonate după diferențele ascendent si descendente in raport cu x , y x , y x,yx, yx,y, deci acelea pentru care sistemul inlăn tuit (3) corespunde permutărilor P ( 1 , 2 , … , m + 1 ; 1 , 2 , … , n + 1 P ( 1 , 2 , … , m + 1 ; n + 1 , n , … , 1 ) , P ( m + 1 , m , … , 1 ; 1 , 2 , … , n + 1 P ( m + 1 , m , … , 1 ; n + 1 , n , … , 1 ) P ( 1 , 2 , … , m + 1 ; 1 , 2 , … , n + 1 P ( 1 , 2 , … , m + 1 ; n + 1 , n , … , 1 ) , P ( m + 1 , m , … , 1 ; 1 , 2 , … , n + 1 P ( m + 1 , m , … , 1 ; n + 1 , n , … , 1 ) P(1,2,dots,m+1;1,2,dots,n+1P(1,2,dots,m+1;n+1,n,dots,1),P(m+1,m,dots,1;1,2,dots,n+1P(m+1,m,dots,1;n+1,n,dots,1)P(1,2, \ldots, m+1 ; 1,2, \ldots, n+1 P(1,2, \ldots, m+1 ; n+1, n, \ldots, 1), P(m+1, m, \ldots, 1 ; 1,2, \ldots, n+1 P(m+1, m, \ldots, 1 ; n+1, n, \ldots, 1)P(1,2,…,m+1;1,2,…,n+1P(1,2,…,m+1;n+1,n,…,1),P(m+1,m,…,1;1,2,…,n+1P(m+1,m,…,1;n+1,n,…,1). Dacă punctele x 4 x 4 x_(4)x_{4}x4 si y j y j y_(j)y_{j}yj sîn respectiv echidistante, deci dacă x i = x 1 + ( i − 1 ) h , i = 1 , 2 x i = x 1 + ( i − 1 ) h , i = 1 , 2 x_(i)=x_(1)+(i-1)h,i=1,2x_{i}=x_{1}+(i-1) h, i=1,2xi=x1+(i−1)h,i=1,2, … , m + 1 , y j = y 1 + ( j − 1 ) h ′ , j = 1 , 2 , … , n + 1 , ( h , h ′ > 0 ) … , m + 1 , y j = y 1 + ( j − 1 ) h ′ , j = 1 , 2 , … , n + 1 , h , h ′ > 0 dots,m+1,y_(j)=y_(1)+(j-1)h^('),j=1,2,dots,n+1,(h,h^(') > 0)\ldots, m+1, y_{j}=y_{1}+(j-1) h^{\prime}, j=1,2, \ldots, n+1,\left(h, h^{\prime}>0\right)…,m+1,yj=y1+(j−1)h′,j=1,2,…,n+1,(h,h′>0) şi dac punctul de interpolare este in vecinatatea centrului reţelei de nodu diferențele centrale în raport cu x x xxx și y y yyy.
În încheiere observăm că, în loc de tabloul normal de d.d., puten folosi tabloul format cu numerele k 0 k 1 … k j l 0 l 1 … l j D v , μ i , j [ f ] k 0 k 1 … k j l 0 l 1 … l j D v , μ i , j [ f ] k_(0)k_(1)dotsk_(j)l_(0)l_(1)dotsl_(j)D_(v,mu)^(i,j)[f]k_{0} k_{1} \ldots k_{j} l_{0} l_{1} \ldots l_{j} D_{\mathrm{v}, \mu}^{i, j}[f]k0k1…kjl0l1…ljDv,μi,j[f], d.d fiind referitoare la permutarea inițială a rețelei de noduri. Dacă luăn k i = i h , l j = j h ′ k i = i h , l j = j h ′ k_(i)=ih,l_(j)=jh^(')k_{i}=i h, l_{j}=j h^{\prime}ki=ih,lj=jh′, pentru orice i , j ≥ 1 i , j ≥ 1 i,j >= 1i, j \geq 1i,j≥1, numerele considerate se redu la diferențele Δ h , h ′ i , j f ( x , y ) Δ h , h ′ i , j f ( x , y ) Delta_(h,h^('))^(i,j)f(x,y)\Delta_{h, h^{\prime}}^{i, j} f(x, y)Δh,h′i,jf(x,y) ale functiei f ( x , y ) f ( x , y ) f(x,y)f(x, y)f(x,y). Tabloul normal de d.d se poate atunci înlocui cu tabloul diferențelor, a cărui tormare este deo sebit de simplă deoarece nu necesită decit scăderi succesive.
In sfirşit, considerațiile precedente se pot extinde la cazul a ma mult de două variabile independente.

О ТОЧНОСТИ ЧИСЛОВОГО РАСЧЕТА ПРИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ МНОГОЧЛЕНАМИ ОТ ДВУХ IIEPEMEHHЫX

PEBIOME

Вычисление значения интерполяционного многочлена (4) при заданных x , y x , y x,yx, yx,y проводится путем вычислений суммы (5), где числа A i A i A_(i)A_{i}Ai даны соотношением (6). Здесь числа X i , Y j , E i , j X i , Y j , E i , j X_(i),Y_(j),E_(i,j)X_{i}, Y_{j}, E_{i, j}Xi,Yj,Ei,j даны в работе и связаны с функцией f ( x , y ) f ( x , y ) f(x,y)f(x, y)f(x,y) через разделенные разности ( 3 ), соответствующие перестановке ( x r i , y s j x r i , y s j x_(r_(i)),y_(s_(j))x_{r_{i}}, y_{s_{j}}xri,ysj ) узлов интерполяции. Суммы (5), (6) имеют вид (7). Вычисление такой суммы проводится при помощи ехемы (8), где только умножения на c α , c α − 1 , … , c 0 c α , c α − 1 , … , c 0 c_(alpha),c_(alpha-1),dots,c_(0)c_{\alpha}, c_{\alpha-1}, \ldots, c_{0}cα,cα−1,…,c0 сопряжены с ошибками, меньшими числа є по абсолютний величине. Тогда наиболее выгодные для вычислений многочлены (4) - это те, для ноторых последовательности (13) являются неубывающими. Тєким образом, мы приходим к теоретическому обоснованию практичесного использования наиболее известных интерполяционных формул, как например, формулы Ньютона, Стирлинга, Бесселя и т.д.

L'TISRECISION DREAS

résume

Le calcul de la valeur du polynôme d'interpolation (4), dans le cas de x , y x , y x,yx, yx,y donnés, se fait en calculant la somme (5) où les nombres A i A i A_(i)A_{i}Ai sont donnes par la relation (6). Les nombres X i , Y j , E i . ; X i , Y j , E i . ; X_(i),Y_(j),E_(i.;)X_{i}, Y_{j}, E_{i . ;}Xi,Yj,Ei.; sont donnés liff le texte et sont liés à la fonction f ( x , y ) f ( x , y ) f(x,y)f(x, y)f(x,y) par l'intermédiaire des cœuds d'intervisees (3) correspondant a une permutation ( x r i , y s i x r i , y s i x_(r_(i)),y_(s_(i))x_{r_{i}}, y_{s_{i}}xri,ysi ) des 1'une telle sommon. Les sommes (5), (6) sont de la forme (7). Le calcul plications par c se tait au moyen du schéma (8) ou seules tés multivaleur absolue au nombre 2 2 ^(2){ }^{2}2 dans ce cas les polynômes (4) les uvantageux pour les calculs sont ceux pour lesquels les suites (13) decrossantes. On arrive ainsi à justifier théoriquement l'emploi celle la pratique des formules d'interpolation bien connues, telles que celles de Newton, Stirling, Bessel, etc.

BIBLIOGRAFIE

  1. Popovicus T., Consideratii teoretice asupra utilizării practice a unor formule de interpolare. Bul. stiint. Acad. R.P.R., Sectiunca de știinte matematice si fizice, III,
441 − 449 ( 1951 ) 441 − 449 ( 1951 ) 441-449(1951)441-449(1951)441−449(1951)
  1. STEFFENSEN J. F., Interpolation. New York, 1950.
Primit la 3.XII.1959
1960

Related Posts