ASUPRA UNEI PROBLEME DE PARTITIE A NUMERELOR

de
TIBERIU POPOVICIU
(Cluj)

1.

Să considerăm ecuația
(1)

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots+a_{m}x_{m}=n

unde $a_{1},a_{2},\ldots,a$ sunt $n$ numere naturale date. Presupunând că $n$ este un număr întreg nenegativ, vom nota cu $\mathrm{N}\left(n;a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)$ numărul solufiilor în numere întregi nenegative $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ ale ecuatiei (1). Pentru $n$ întreg negaliv definim simbolul $\mathrm{N}\left(n;a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)$ ca fiind egal cu de $(-1)^{m-}$ ori numărul solutiilor în numere intregi negative $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ ale ecuației (1). $\mathrm{N}\left(n;a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)$ depinde, în afară de $n$ , şi de coeficienţii $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ . Este clar că functia $\mathrm{N}\left(n;a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)$ este simetrică in $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ pentru fiecare valoare a lui $n$ .

Dacă $n$ este un număr întreg pozitiv, numărul solutiilor în numere întregi pozitive ale ecualiei (1) este egal, pe baza celor de mai sus, cu $\left.(-1)^{m-1}\mathrm{\penalty 10000\ N}\left(-n;a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right).{}^{1}\right)$

Când nu este nici o ambiguitate asupra coeficienţilor $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ ,

⁰

Insumările succesive fiind extinse la combinările $i_{1}$ câte $1,i_{1},i_{2}$ câte $2,\ldots,i_{1},i_{2},\ldots,i_{m-1}$ câte $m-1$ ale indicilor $1,2,\ldots,m$ , deducem

		$\displaystyle\mathrm{N}\left(-n;a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)=\Sigma\mathrm{N}\left(n;a_{i_{1}}\right)-\Sigma\mathrm{N}\left(n;a_{i_{1}},a_{2}\right)+\ldots+$
		$\displaystyle\quad+(-1)^{m-2}\Sigma\mathrm{\penalty 10000\ N}\left(n;a_{i_{1}},a_{i_{2}},\ldots,a_{l_{m-1}}\right)+(-1)^{m-1}\mathrm{\penalty 10000\ N}\left(n;a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)$

$\pi$ find un număr natural.
vom nota mai scuri cu $\mathrm{N}_{n}(n)$ , sau chiar cu $\mathrm{N}(n)$ , numărul

\mathrm{N}\left(n;a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)

Notația cu indicele $m$ va fi întrebuințată mai cu seamă atunci când intervin simultan, atât ecualia (1) cu coeficienții $a_{1},a_{2},\ldots,a^{m}$ cât şi ecuații analoage cu mai puțin de $m$ necunoscute, având ca coeficienti termenii dela începutul şirului $a_{1},a_{2},\ldots$ De ex. indicii $m$ şi $m-1$ deosebese cazurile respective când considerăm simultan ecuaļia (1) şi ecuatia $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots+a_{n-1}a_{n-1}=n$ . Vom întrebuinta prescurtări analoage şi pentru alte funcții de $n$ care depind şi de coeficienții ecuaļiei (1). Când va fi necesar vom specifica totdeauna, pentru mai multă claritate, la care din ecuațiile (1) se referă notatiile prescurtate intrebuințate.
2. - Pe baza cercetărilor lui Euler [1], studiul numărului N(n) se poate face folosind functiile generatoare

	$\displaystyle\mathrm{F}(\zeta)=\frac{1}{\left(1-\zeta^{a_{1}}\right)\left(1-\zeta^{a_{2}}\right)\cdots\left(1-\zeta^{a_{m}}\right)}=\sum_{n=0}^{\infty}\mathrm{N}(n)\zeta^{n}$		(2)
	$\displaystyle-\mathrm{F}(\zeta)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{N}(-n)\frac{1}{\zeta^{n}}$		(3)

care se obțin desvoltand funcția rațională $F(\zeta)$ odată după puterile crescătoare şi odată după puterile descrescătoare ale lui $\zeta$ .

Metoda lui Euler, bazată pe formula (2), a fost adâncită de diverşi cercetători şi în special de J. J. Sylvester [2a]. Această metodă foloseşte proprietătile functiei rationale $F(\zeta)$ si, în special, descompunerea sa în fracții simple, precum şi diverse proprietăti ale rădăcinilor de diferite ordine alc unilătii. Se poate însă studia numărul N(n) şi prin considerațiuni elementare de teoria numerelor, metodă care reuşeşte bine, cel puțin în cazurile nu prea complicate. Metoda aceasta a fost aplicată în special de K. Wei hrauch $[3a,3b]$ si, mai cu seamă în ce priveşte problemele de care ne ocupăm aici, de Th. Skolem [4]. Ambele metode au avantagiile lor proprii.
3. – In lucrarea de față ne propunem să examinăm următoarea problomă :

PROBLEMA I. Find dată ecuația (1), să se determine un polinom $\mathrm{P}(n)$ de $n$ astfel ca $\mathrm{N}(n)$ să fie egal cu întregul cel mai apropiat de $\mathrm{P}(n)$ , oricare ar fi $n$ .

Această problemă a fost studiată în cazurile particulare

		$\displaystyle m=3,a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=3$
		$\displaystyle m=3,a_{1},=1,a_{2}=3,a_{3}=5$

de către Sylvester [2a]. Th. Skolem [4] a studiat afară de acestea şi cazurile

		$\displaystyle m=3,a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=5$
		$\displaystyle m=4,a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=3,a_{4}=5$

In cele ce urmează vom rezolva complet problema pentru $m=2$ şi $m=3$ . Cazul $m=1$ este banal şi va fi reamintit de altfel în treacăt. Vom face consideratiuni şi asupra unor cazuri mai generale.

Problema I (ca şi de altfel problemele urmatoare II şi II’) permite, prin anumite solutii particulare simple ale ei, enuntarea unor proprietăti interesante asupra numărului solutiilor in numere intregi nenegative sau asupra numărului solutiilor in numere intregi pozitive ale ecuatiei (1).

Problema I nu este totdeauna posibilă. Cu alte cuvinte, dându-se $m$ şi coeficienții $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ , deci ecuația (1), nu există totdeauna un polinom $\mathrm{P}(n)$ astfel ca condilia cerută de problemă să fie îndeplinită. Pentru ca un polinom $\mathrm{P}(n)$ să verifice condiția cerută este necesar şi suficient să avem

\begin{gathered}-\frac{1}{2}<\mathrm{P}(n)-\mathrm{N}(n)<\frac{1}{2}\\ |\mathrm{P}(n)-\mathrm{N}(n)|<\frac{1}{2}\end{gathered}

oricare ar fi $n$ .
Dacă în acest caz cunoştem valoarea lui $\mathrm{P}(n)$ , putem totdeauna să deducem fără ambiguitate valoarea lui $\mathrm{N}(n)$ .
4. - Alte două probleme sunt în strânsă legătură cu problema I. Una din aceste probleme este următoarea :

PROBLEMA II. - Fiind dală ecualia (1) să se determine un polinom $\mathrm{Q}(n)$ de $n$ astfel ca $\mathrm{N}(n)$ să fie egal cu întregul cuprins în $\mathrm{Q}(n)$ oricase ar fi n.

Cu alte cuvinte să se determine un polinom $Q(n)$ astfel ca să avem

\mathrm{N}(n)=[Q(n)]

(6)

oricare ar fi $n$ .
Egalitatea (6) este echivalentă cu inegalitătile

0\leqq\mathrm{Q}(n)-\mathrm{N}(n)<1

(7)

oricare ar fi $n$ .
In formula (6) am notat ca de obicei cu [ $\alpha$ ] intregul cuprins în $\alpha$ , sau partea întreağa a lui $\alpha$ , sau cel mai mare întreg $\leqq\alpha$ . In loc de [ $\alpha$ ] putem considera întregul care cuprinde pe $\alpha$ , sau cel mai mic întreg $\geqq\alpha$ . Acest număr este egal cu $-[-\alpha]$ . Ne putem pune atunci problema :

PROBLEMA II’. - Fiind dată ecuatia (1), să se determine un polinom $\mathrm{S}(n)$ de $n$ aslfel ca $\mathrm{N}(n)$ să fie egal cu întregul care cuprinde pe $\mathrm{S}(n)$ , onicare ar fi $n$ .

Cu alte cuvinte să se determine un polinom $S(n)$ astfel ca sŭ avem (8)

\mathrm{N}(n)=-[-\mathrm{S}(n)]

oricare ar fi $n$ .

Egalitatea (8) este echivalentă cu inegalitățile
(9)

0\leqq\mathrm{\penalty 10000\ N}(n)-\mathrm{S}(n)<1,

oricare ar fi $n$ .
Dacă problema I are o soluţie $\mathrm{P}(n)$ şi problemele Il și II’ au o soluție căci e destul să luăm atunci $Q(n)=\mathrm{P}(n)+\frac{1}{2},\mathrm{\penalty 10000\ S}(n)=\mathrm{P}(n)-\frac{1}{2}$ pentru ca inegalitățile (7) și (9) să fie verificate, deoarece acest lucru rezultă în mod simplu din (4). Vom vedea mai jos că dacă una din problemele I, II, II’ are o soluție, și celelalte două au o soluție, precum şi care sunt legăturile dintre soluțiile acestor probleme.
5. - In fine să considerăm problema mai generală :

PROBLEMA III. - Fiind dată ecuația (1), să se determine un polinom $\mathrm{R}(n)$ de $n$ astfel ca diferenta $\mathrm{R}(n)-\mathbb{N}(n)$ să fie uniform mărginită.

Gu alte cuvinte să se determine un polinom R(n) astfel ca să avem (10)

|\mathrm{R}(n)-\mathrm{N}(n)|<\mathrm{K}

oricare ar fi $n$ , K fiind un număr independent de $n$ .
Din inegalitățile (5), (7), (9) se vede atunci că
Condiția (10) este necesară pentru ca problemele I, II, II’ să aibă - solutie.

Vom vedea mai jos cum se pot deduce soluțiile problemelor I, II, II’, când ele există, din polinomul $\mathrm{R}(n)$ .
6. - In cele ce urmează ne folosim de câteva proprietăți elementare ale polinoamelor. Unele din aceste propretăti rezultŭ în mod implicit din proprietatea importantă că un polinom dat este complet determinat de un număr finit de valori ale sale. Din faptul că variabila parcurge numai valorile intregi nu provine nici o dificultate şi nici o confuzie. Deasemenea ne folosim de următoarea :

LEMA 1. - Dacă diferența a două polinoame in $n$ este uniform mŭrginită, aceste polinoame diferă prin o constantă.

Proprietatea aceasta o putem accepta aici fără demonstratie.
Din lema 1 rezultă că două solutii oarecare ale uneia din problemele I, II, II’ sau III diferă totdeauna prin o constantă. Se mai poate vedea uşor că semisuma a două soluții este totdeauna o soluție. Dacă deci $\mathrm{P}(n)$ este o soluție a uneia din problemele I, II, II’ sau III, toate solutiile acestei probleme sunt cuprinse in formula $\mathrm{P}(n)+\lambda$ , unde $\lambda$ , santă apartinân unui anumit interval. In cazul problem este o consala apartinand unui axa iII intervalul de variație a lui $\lambda$ este, evident, toată axa reală. Proprietătile acestea vor fi precizate mai jos.
7. - - O observație se ridică, în mod firesc. Şi anume dacă nu cumva problemele I, II, II’, III devin mai generale dacă constrângem pe $n$ sŭ ia numai valori nenegative sau numai valori negative. Răspunsul este ne-
gativ, după cum rezultă din considerațiile care urmează. Este clar deasemenea că lema 1 subsistă şi dacă ne limităm numai la valorile nenegative sau numai la valorile negative ale lui $n$ .

§ 1.

8.

– In acest § ne vom ocupa de problema III. Din rezultatele cunoscute asupra ecuatiei (1) se poate deduce a pentru ca problema III să aibă o solutie este necesar şi suficient ca numerele $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ să fie două câte două prime între ele. Vom da totuşi demonstratia acestei proprietăli deoarece, pe de o parte, necesitatea condiției trebue să fie clar pusă în evidentă, pe de altă parte, demonstratia suficienței duce la un procedeu direct pentru calculul polinomului $\mathrm{R}(n)$ , procedeu care e bine să fie precizat.

Ne vom ocupa întâi de necesitatea condiției. Aici ne vom baza pe descompunerea in fractii simple a functiei rationale (2). In cazurile $m=2,3$ vom da mai jos şi demonstraţii directe.

Vom presupune $m>1$ , afară numai dacă nu se specifică contrarul.
9. - Toate rădăcinile numitorului funcției $F(\zeta)$ sunt rădăcini ale unității şi ordinul lor de multiplicitate este, pentru fiecare, cel mult $m$ . In particular, rădăcina 1 este de ordin $m$ de multiplicitate. Avem atunci descompunerea în fracții simple

F(\zeta)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{(i)}\frac{\Gamma(\varepsilon,i)}{\left(1-\varepsilon^{i}\zeta,i\right.}

(11)

unde însumarea $\sum_{0}$ se referă la toate rădăcinile diferite $\varepsilon$ , cel puțin de ordinul $i$ de multiplicitate, ale numitorului fractiei $\mathrm{F}(\zeta)$ . Constantele Y ( $\varepsilon;$ i) sunt toate diferite de zero, după cum rezultă din faptul că fracția (2) este ireductibilă şi din faptul că descompunerea în fractii simple a unei functii raționale este unică.

Din (2) şı (11) rezultă că

\mathrm{N}(n)=\sum_{i=1}^{m}\mathrm{C}_{i}(n)\binom{n+i-1}{i-1}

(12)

unde

C_{l}(n)=\sum_{(i)}\Gamma(\varepsilon;i)\varepsilon^{n},\quad i=1,2,\ldots,m

(13)

pentru orice $n$ nenegativ.
Pentru prescurtare vom pune

\delta=a_{1}a_{2}\ldots a_{m}

(14)

Avem atunci $\varepsilon^{n^{\prime}}=\varepsilon^{n^{\prime\prime}}$ dacă $n^{\prime}\equiv n^{\prime\prime}(\bmod\delta)$ pentru toate rădăcinile $\varepsilon$ . Din (13) deducem atunci $\mathrm{C}_{i}\left(n^{\prime}\right)=\mathrm{C}_{i}\left(n^{\prime\prime}\right)$ pentru $n^{\prime}\equiv n^{\prime\prime}(\bmod\delta)$ , $i=1,2,\ldots,m$ ,

Şirurile dublu infinite
$\left\{C_{i}(n)\right\}$

\begin{gathered}\ldots,C_{i}(-1),C_{i}(0),C_{i}(1),\ldots\\ i=1,2,\ldots,m\end{gathered}

sunt deci periodice cu perioada comună $\delta{}^{2}$ )
In particular numerele $C(n),n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots,i=1,2,\ldots,m$ iau numai un număr finit de valori distincte.
10. - Vom demonstra acum

LEMA 2. - Pentru ca problema III să aibă o solutie este necesar ca pentru fiecare $i=2,3,\ldots$ , m numerele $\mathrm{C}_{1}(n)$ să ia o singură valoare.

Să presupunem că problema III are o solutie dar că condiția lemei nu este satisfăculă. Fie atuncı $r$ cea mai mare valoare a lui $i$ pentru care numerele $\mathrm{C}_{i}(n)$ iau cel pulin două valori diferite. Avem alunci $2\leqq r\leqq m$ . Fie

C_{r}(x)\neq C_{r}(\xi).

(15)

Dacă $\mathrm{R}(n)$ este o soluție a problemei III, avem în particular

|\mathrm{R}(\alpha+ns)-\mathrm{N}(\alpha+ns)|<\mathrm{K}

pentru orice $n$ intreg.
Insă

\mathrm{N}(\alpha+ns)=\sum_{i=1}^{m}\mathrm{C}_{i}(\alpha)\binom{\alpha+ns+i-1}{i-1}

este un polinom in $n$ şi atunci, pe baza lemei 1 , avem

\mathrm{R}(\alpha+ns)=\mathrm{N}(\alpha+ns)+\lambda

oricare ar fi $n,\lambda$ fiind $o$ constantă.
Rezultă atunci că

\mathrm{R}(n)=\sum_{i=1}^{m}\mathrm{C}_{i}(z)\binom{n+i-1}{i-1}+\lambda

(16)

In mod analog deducem
$\lambda^{\prime}$ fiind o constantă.

\mathrm{R}(n)=\sum_{i=1}^{m}\mathrm{C}_{i}(\beta)\binom{n+i-1}{i-1}+\lambda^{\prime}

(17)

Din (16), (17) deducem

\sum_{i=1}^{m}\left[C_{i}(\alpha)-C_{l}(\beta)\right]\binom{n+i-1}{i-1}=\sum_{i=1}^{r}\left[C_{i}(\alpha)-C_{i}(\beta)\right]\binom{n+i-1}{i-1}=\lambda^{\prime}-\lambda

pentru orice $n$ .
² ) In loc de $\delta$ se poate lua c.m.m.m.c. al numerelor $a_{2},a_{2},\ldots,a_{m}$ .

Acest lucru este însă imposibil căci, pe baza lui (15), membrul intai este un polinom în $n$ de grad efectiv $r-1\geqq 1$ .
11. - Vom demonstra acum

LEMA 3. - Pentru ca problema III să aibă o solutie este necesar ca numilorul fractiei (2) să nu aibă nici o rădăcină multiplă diferită de 1.

Să presupunem contrarul. Există atunci cel pulin două rădăcini cel puțin duble şi avem

C_{2}(n)=\Gamma(i;2)+\sum_{\begin{subarray}{c}(i)\\ \varepsilon\neq 1\end{subarray}}\Gamma(\varepsilon;2)\varepsilon^{n}

pentru orice $n$ , dcoarece una dın rădăcinile e este egală cu 1.
Dar, dacă $\varepsilon\neq 1$ , avem $\sum_{n=0}^{\delta-1}\varepsilon^{n}=0$ , deci

\sum_{n=J}^{\delta-1}C_{2}(n)=\delta\Gamma(1;2)

Insă, pe baza lemei 2, numerele $G_{2}(n)$ sunt toate egale şi rezultă atunci $\mathrm{C}_{2}(n)=(1;2)$ nricare ar fi $n$ . Deducem de aici că

\sum_{\begin{subarray}{c}(j)\\ \varepsilon\neq 1\end{subarray}}\mathrm{\penalty 10000\ T}(\varepsilon;\swarrow)\varepsilon^{\prime}=0,\quad n=0,1,\ldots

ceea ce atrage după sine, pe baza unei propretăļi bine cunoscute a sistemelor de ecuatii liniare, că $\Gamma(\varepsilon;2)=0$ pentru toate rădăcinile $\varepsilon\neq 1$ . Acest lucru este însă, pe baza unei observaļii dela Nr. 9, imposibil. Cu aceasta lema 3 este demonstratuă.
12. - Necesitatea condiției urmărite este acum demonstrată deoarece faptul că numitorul fracției $F(\zeta)$ nu are nici o rădăcină multiplă diferită de 1 este echivalent eu faptul că coeficientii $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ sunt doi câle doi primi între ei.

Trebue observal că suficienta condiliei rezultă din cele ce preced. Dacă numorele $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ sunt două câle două prime între ele formula (12) se reduce la
(18)
şi se poate lua

\mathrm{N}(n)=\sum_{i=2}^{m}\mathrm{\penalty 10000\ T}(1;n)\binom{n+i-1}{i-1}+\mathrm{C}_{1}(n)

In definitiv avem deci

\mathrm{R}(n)=\sum_{i=2}^{m}\mathrm{\penalty 10000\ T}(1;i)\binom{n+i-1}{i-1}

TEOREMA 1. - Conditia necesară si suficientă ca problema III să aibă o solutie este ca numercle $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ să fie două câte două prime intre ele.

Un rationament analog cu cel dela Nr. 11 făcut asupra lui $\mathrm{C}_{2}(n)$ , aplicat aici lui $\mathrm{C}_{1}(n)$ , ne aratŭ că numerele $\mathrm{C}_{1}(n),n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$ nu pot fi toate egale între ele decât dacă 1 este singura rădăcină a numitorului fracției (2). Acest lucru este echivalent cu faptul că numerele $a_{1},a_{2},\ldots,a^{m}$ sunt toate egale cu 1.

In cele ce urmează vom da o demonstrație directă suficienței condiției.

§ 2.

13.
- —
  
  Deoarece vom folosi funcțiuni de variabila $n$ relativ la ecuații (1) cu $m$ şi $m-1$ necunoscute, vom întrebuința notațiile prescurtate în sensul explicat la Nr. 1. Astfel,

\mathrm{N}_{m}(n)=\mathrm{N}\left(n;a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right),\mathrm{N}_{m-1}(n)=\mathrm{N}\left(n;a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)

precum şi alte notații analoage care se înțeleg dela sine.
Vom demonstra întâi
LEMA 4. - Avem formula

\mathrm{N}_{m}\left(n+ka_{m}\right)-\mathrm{N}_{m}(n)=\sum_{i=1}^{k}\mathrm{\penalty 10000\ N}_{m-1}\left(n+ia_{m}\right)

(19)

oricare ar fi numărul natural $k$ , numărul întreg n şi numărul natural $m>1$ .

Demonstrația se face numărând soluțiile ecuației (1) într’un mod bine determinat. Vom distinge trei cazuri :
$1^{\circ}.0\geqq n$ . Atunci soluțiile în numere întregi nenegative ale ecuației

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots+a_{m}x_{m}=n+ka_{m}

(20)

sunt de două feluri. Unele se obțin din soluțiile în numere întregi nenegative ale ecuatiei

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots+a_{m}x_{m}=n,

(21)

adunând $k$ la $x_{m}$ . Celelalte sunt soluții în care $x_{m}<k$ . Formula (19) se obține dând lui $x_{m}$ în (20) succesiv valorile $0,1,2,\ldots,k-1$ .
$2^{\circ}$ . - $ka_{m}\leqq n<0$ . In acest caz există un număr natural $k^{\prime}\leqq k$ astfel ca

-k^{\prime}a_{m}\leqq n<-\left(k^{\prime}-1\right)a_{m}.

Soluțiile în numere întregi nenegative ale ecuației (20) se obțin dând lui $x_{m}$ succesiv valorile $0,1,\ldots,k-k^{\prime}$ şi rezultă că

\mathrm{N}_{m}\left(n+ka_{m}\right)=\sum_{i=k^{\prime}}^{k}\mathrm{\penalty 10000\ N}_{m-1}\left(n+ia_{m}\right).

(22)

Deasemenea, orice soluție în numere întregi negative a ecuației (21) se obține dând lui $x_{m}$ succesiv valorile $-1,-2,\ldots,-k^{\prime}+1$ şi rezultă că

(-1)^{m-1}\mathrm{\penalty 10000\ N}_{m}(n)=(-1)^{m-2}\sum_{i=1}^{k^{\prime}-1}\mathrm{\penalty 10000\ N}_{m-1}\left(n+ia_{m}\right)

-\mathrm{N}_{m}(n)=\sum_{t=1}^{k^{\prime}-1}\mathrm{\penalty 10000\ N}_{m-1}\left(n+ia_{m}\right)

(23)

Adunând membru cu membru egalitălile (22), (23) deducem formula (19).

Cazul $k^{\prime}=1\mathrm{nu}$ este exclus căci atunci avem evident $N_{m}(n)=0$ , $(m>1)$ .
$3^{\circ}.n<-ka_{m}$ . In acest caz orice solutie în numere întregi negative ale ecuației (21) sau se obtine din soluțiile în numere întregi negative ale ecuației (20) scăzând pe $k$ din $x_{m}$ sau esle o soluție în care $x_{m}\geqq-k$ . Dând în (21) lui $x_{m}$ succesiv valorile $-1,-2,\ldots,-k$ , deducem

(-1)^{m-1}\mathrm{\penalty 10000\ N}_{m}(n)-(-1)^{m-1}\mathrm{\penalty 10000\ N}_{m}\left(n+ka_{m}\right)=(-1)^{m-2}\sum_{i=1}^{k}\mathrm{\penalty 10000\ N}_{m-1}\left(n+ia_{m}\right)

care revine tot la formula (19).
Lema 4 este complet demonstrată.
Cazuri particulare importante ale formulei (19) sunt
(24)

\mathrm{N}_{m}\left(n+a_{m1}\right)-\mathrm{N}_{m}(n)=\mathrm{N}_{m-1}\left(n+a_{m}\right)

care se obtine luând $k=1$ şi

\mathrm{N}_{m}(n+\delta)-\mathrm{N}_{m}(n)=\sum_{i=1}^{\delta^{\prime}}\mathrm{N}_{m-1}\left(n+ia_{m}\right)

(25)

unde $\delta$ este definit de (14) și

\delta^{\prime}=a_{1}a_{2}\ldots a_{m-1},\quad\delta^{\prime}a_{m}=\delta

(26)

In cele ce urmează vom continua să întrebuințăm notațiile prescurtate (14) şi (26).
14. - Putem acum demonstra

LEMA 5. - Dacă numerele $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ sunt două câte două prime între ele avem, pentru orice $n$ întreg

\mathrm{N}_{n}(n)=\mathrm{R}_{n}(n)+\mathrm{G}_{n}(n),

(27)

unde $\mathrm{R}(n)=\mathrm{R}\left(n;a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)$ este un polinom de gradul $m-1$ in $n$ iar $\mathrm{G}_{m}(n)=\mathrm{G}\left(n;a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)$ formează un şir dublu infinit $\left\{\mathrm{G}_{m}(n)\right\}$ periodic de perioadă $\delta$ .

Demonstrația lemei se face prin inducție completă, bazându-ne pe formula (25).

Observăm întâi că, în condiļiile lemei, avem

\Sigma^{*}\mathrm{G}_{m}(n)=\sum_{n=j}^{\delta-1}\mathrm{G}_{m}(n)=\mathrm{H}_{m}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right),

(28)

unde $\Sigma^{*}$ se extinde la un sistem de $\delta$ valori ale lui $n$ formând un sistem complet de resturi (mod $\delta$ ). Suma (28) este independentă de $n$ .

Să prosupunem acum că proprietatea este adevărată în cazul ecuatiilor (1) cu $m-1$ necunoscute şi să arălăm că va fi adevărată şi în cazul ecua,(iilor (1) cu m necunoscute. Avem atunci

\mathrm{N}_{m-1}(n)=\mathrm{R}_{n-1}(n)+\mathrm{G}_{n-1}(n)

(29)

cei doi termeni din membrul al doilea îndeplinind condjijile lemei.

\mathrm{R}_{m}(n+\delta)-\mathrm{R}_{m}(n)=\sum_{i=1}^{\delta^{\prime}}\mathrm{R}_{n-1}\left(n+ia_{m}\right)+\mathrm{H}_{m-1}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)

2.

Tinând seamă de (25) şi (20) deducem

\mathrm{N}_{m}(n+\delta)-\mathrm{N}_{m}(n)=\mathrm{R}_{m}(n+\delta)-\mathrm{R}_{m}(n)

Punând alunci

\mathrm{G}_{m}(n)=\mathrm{N}_{m}(n)-\mathrm{R}_{m}(n)

(31)

proprielatea este demonstrată.
In fine, pentru $m=1$ lema este adevărată. Pentru a vedea acest lucru e destul să luăm $\mathrm{R}\left(n;a_{1}\right)=0$ şi vom avea atuncj $\mathrm{G}\left(n;a_{1}\right)=1$ sau 0 după cum $a_{1}$ divide pe $n$ sau nu divide pe $n$ .

In cursul demonstratiei faptul că numerele $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ sunt două câte două prime intre ele intervine prin aplicarea formulei (28). Si anume suma $\Sigma^{*}\mathrm{G}_{m-1}(n)$ se extinde aici la valorile $n+ia_{n},i=1,2,\ldots,\delta^{\prime}$ ale lui $n$ , valori care formenză un sistem complet de resluri (mod $\delta^{\prime}$ ) căci numerele $a_{m},a_{1}a_{2}\ldots a_{m-1}$ sunt prime între ele. De allfel faptul că numerele $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ sunt două câte douŭ prime între ele este echivalent cu faptul că numerele $a_{i},a_{1}a_{2}\ldots a_{i-1}$ sunt prime între ele, oricare ar fi $i=2,3,\ldots,m$ .

Cu aceasta suficiența condiției teoremei 1 este demonstratŭ.
15. - Să presupunem deci că numercle $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ sunt două câte două prime înlre ele. In formula (27) polinomul $\mathrm{R}_{m}^{2}(n)$ nu este determinat decât afară de o constantă aditivă oarecare. Consideraliile noastre din §§ următoare nu sunt influențate de această nedeterminare a termenilor $\mathrm{R}_{m}(n)$ şi $\mathrm{G}_{m}(n)$ , însă faptul că dispunem de această nedeterminare simplifică în anumite cazuri expunerea.

Pentru a aprecia structura lui $\mathrm{N}_{m}(n)$ şi mai ales pentru a calcula pe $\mathrm{R}_{m}(n)$ este util să fixăm convenabil constanta aditivă din acest termen Fentru accasta vom „normaliza" polinomul R ( $n$ ) prin condilia
(32) $\quad\mathrm{R}_{m}(0)=\mathrm{R}\left(0;a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)=0,\quad(m\geqq 1)$ .

Prin aceaslă condiļie polinomul $\mathrm{R}_{n}(n)$ , deci şi termenul periodic $\mathrm{G}_{m}(n)$ din formula (27) sunt complet determinaļi. Dacă $m>1$ , polinomul
$\mathrm{G}_{m}(n)$ este de forma ³ )

\mathrm{R}_{m}(n)=\frac{1}{\delta}\sum_{j=1}^{m-1}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{j}^{(n)}n^{\prime}

unde

\left.\mathrm{A}_{j}^{(m)}=\mathrm{A}_{j}^{(m)},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right),j=1,2,\ldots,m-1

sunt nişte coeficienți independenți de $n$ .
Vom demonstra acum
LEMA 6. - Dacă numerele $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ sunt două câte două prime intre ele, coeficientii polinomului $\mathrm{R}_{n}(n)$ , presupus normat prin conditia (32), precum si $\mathrm{C}_{m}(n)$ sunt functii simetrice de $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ pentru orice valoare a lui $n$ .

In ce priveşle coeficientii polinomului $\mathrm{R}_{m}(n)$ este evident destul să demonstrăm că $\mathrm{A}_{j}^{(m)},j=1,2,\ldots,m-1$ sunt simetrici. Demonstraļia lemei se bazează pe observaļia cŭ $\mathrm{N}_{n}(n)$ este simetric în raport cu $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ .

Din (27) deducem, pentru un $n$ dat,

\delta\mathrm{N}_{m}(n+i\delta)=\sum_{j=1}^{m-1}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{j}^{(n)}(n+i\delta)^{\gamma}+\delta\mathrm{G}_{m}(n),\quad i=0,1\ldots,m-1

(33)

Aceste relații formează un sistem de $m$ ecuații liniare cu $m$ necunoscute $\mathrm{A}_{1}^{(m)}A_{2}^{(m)},\ldots,\mathrm{A}_{m-1}^{(m)},\mathrm{G}_{m}(n)$ . Toți coeficienlii acestui sistem sunt functii simetrice de $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ si lema 6 rezultă prin rezolvarea sistemului. Esle de altfel uşor de văzut că determinantul sistemului este diferit de zero.

Referindu-ne la formula (28) vedem că, dacă avem (32), functia $\mathrm{H}_{n}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)$ este deasemenea o functie simetrică de $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ . Această proprietate rezultă, după cum vom vedea mai jos, şi direct din simetria coeficienților $\mathrm{A}_{j}^{(m)}$ .

Sistemul (33) permite să calculăm coeficienții polinomului $\mathrm{R}_{n}(n)$ în funcție de numerele $\mathrm{N}_{m}(n)$ . Inutil să scriem formulele corespunzătoare deoarece nu vor fi folosite aici. Vom calcula aceşti coeficienți cu ajutorul formulei (30). Inainte însă este necesar să stabilim câteva formule utilizate mai jos.

§ 3.

16.
- —
  
  Numerele lui Bernoulli sunt definite de relațiile de recurentă [5]

\mathrm{B}_{0}=1,\sum_{v=j}^{s}\binom{s}{v}\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}=\mathrm{B}_{s}s=2,3,\ldots

(34)

3.

Punerea în evidenţă a factorului $\frac{1}{\delta}=\frac{1}{a_{1}a_{2}\ldots a_{m}}$ simplifică expunerea, după cum vom vodea mai jos.

De aici deducem şi

\mathrm{B}_{0}=1,\frac{\mathrm{\penalty 10000\ B}_{j}}{j!}=-\sum_{v=0}^{j-1}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}}{v!(j+1-v)!},\quad j=1,2,\ldots

(35)

Aceste formule permit să calculăm succesiv numerele $\mathrm{B}_{y}$ . Obținem astfel

B_{0}=1,B_{1}=-\frac{1}{2},B_{2}=\frac{1}{6},B_{4}=-\frac{1}{30},B_{6}=\frac{1}{42},B_{8}=-\frac{1}{30},

Se ştie că toate numerele lui Bernoulli cu indici impari şi $>1$ sunt nuli, iar cei cu indici pari și $>0$ sunt alternativ pozitivi şi negativi. Mai precis

\mathrm{B}_{4v-2}>0,\quad\mathrm{\penalty 10000\ B}_{4v}<0,\quad v=1,2,\ldots

Calculând diferenţa

\sum_{v=0}^{s-1}\frac{B_{v}}{v|(s-v)|}-s\sum_{v=0}^{s}\frac{B_{v}}{v|(s+1-v)|},s\geqq 2

şi ținând seamă de (35) deducem

\frac{1}{(s+1)!}-\sum_{v=1}^{s}\frac{(v-1)B_{v}}{v!(s+1-v)!}=\frac{B_{s}}{s!},\quad s\geqq 2

(36)

Vom mai avea nevoe şi de evaluarea sumelor

\mathrm{I}_{s}=\sum_{v=1}^{s}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}}{v\mathrm{l}}\cdot\frac{\mathrm{\penalty 10000\ B}_{s-v}}{(s-v)!},\quad s=0,1,\ldots

şi anume vorn demonstra că

\mathrm{I}_{0}=1,\sum_{v=0}^{s}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}}{v!}\cdot\frac{\mathrm{B}_{s-v}}{(s-v)!}=-\frac{\mathrm{B}_{s-1}}{(s-1)!}-\frac{(s-1)\mathrm{B}_{s}}{s!},s=1,2,\ldots

(37)

Pentru aceasta observăm că, dacă ținem seamă de (35) şi dacă presupunem $s>0$ , deducem

	$\displaystyle l_{s}=\sum_{v=0}^{s}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}}{v!}\cdot\frac{\mathrm{B}_{s-v}}{(s-v)!}$	$\displaystyle=\frac{\mathrm{B}_{s}}{s!}-\sum_{v=0}^{s-1}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}}{v!}\left[\sum_{\mu=0}^{s-v-1}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ B}_{\mu}}{\mu!(s+1-v-\mu)!}\right]=$
		$\displaystyle=\frac{\mathrm{B}_{s}}{s!}-\sum_{j=1}^{s-1}\left[\sum_{v=0}^{j}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}}{v!}\cdot\frac{\mathrm{B}_{j-v}}{(j-v)!(s-j+1)!}\right]$

de unde

\mathrm{I}_{s}=\frac{\mathrm{B}_{s}}{s!}-\sum_{j=0}^{s-1}\frac{\mathrm{I}_{j}}{(s-j+1)!}\cdot s=1,2,\ldots

(38)

Formula (37) se demonstrează prin inducție completă. Este destul să presupunem $s>1$ , căci pentru $s=0,1$ formulele se verifică direct imediat. Presupunând că formula este adevărată pentru $I_{0},I_{1},\ldots,I_{c-1}$ trebue să arătăın că ea va fi adevărată şi pentru $l_{s}$ . Acest lucru rezultă din formula (38), observând că

\sum_{j=1}^{s-1}\frac{\mathrm{l}_{j}}{(s-j+1)!}=\frac{1}{(s+1)!}-\sum_{j=1}^{s-1}\frac{1}{(s-j+1)!}\left[\frac{\mathrm{B}_{j-1}}{(\jmath-1)!}+\frac{(-j1)\mathrm{B}_{j}}{j!}\right]

şi tinând seamă de formulele (35), (36).
17. - Să considerăm acum polinoamele în $t$

\Phi_{s}=\Phi_{s}(t)=\sum_{v=0}^{s}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}}{v!}t^{v},s=0,1,\ldots

Ne propunem să calculăm coeficientul lui $t^{s}$ in polinomul $\Phi_{s}^{s+1}$ , adică numărul coef $\boldsymbol{\Phi}_{s}^{s+1}$ , convenind a nota cu $\operatorname{coef}_{k}\Phi$ coeficientul lui $t^{k}$ în polinomul $\Phi$ de $t$ .

Pentru aceasta să considerăm şí polinoamele

\mathrm{E}_{s}=\mathrm{E}_{s}(1)=\sum_{v=0}^{s}\frac{t^{v}}{v!},\quad s=0,1,

Dacă observăm eă $B_{1}=-\frac{1}{2}$ şi dacă tinem seamă de formulele (34) avem

\Phi_{s}\mathrm{E}_{s}\equiv l+\Phi_{s}\quad\left(\bmod t^{s+1}\right)

(39)

de unde
Dar

\Phi_{\mathrm{s}}^{s+1}\equiv-t\Phi_{s}^{s}+\Phi_{s}^{s+1}\mathrm{E}_{s}\quad\left(\bmod t^{s+1}\right)

si deducem

t\Phi_{s}^{s}\equiv t\Phi_{s-1}^{s}\quad\left(\bmod t^{s+1}\right)

(40)

\operatorname{coef}_{s}\Phi_{s}^{s+1}=-\operatorname{coef}_{s-1}\Phi_{s-1}^{s}+\operatorname{coef}_{s}\Phi_{s}^{s+1}E_{s}

Tinând seamă de formulele (37) deducem ( $\Phi_{s}^{\prime}$ este derivata lui $\Phi_{s}$ )

t\Phi_{s}^{\prime}\equiv\Phi_{s}\left(1-t-\Phi_{s}\right)\quad\left(\bmod t^{s+1}\right)

iar dacă ținem seamă şi de (35),
de unde

t\Phi_{s}^{\prime}-\Phi_{s}\equiv-\Phi_{s}^{2}E_{s}\quad\left(\bmod t^{s+1}\right)

i\Phi_{s}^{\prime}\Phi_{s}^{s-1}-\Phi_{s}^{s}\equiv-\Phi_{s}^{s+1}E_{s}\quad\left(\bmod\iota^{s+1}\right)

Avem prin urmare

\operatorname{coef}_{s}\left[t\Phi_{s}^{\prime}\Phi_{s}^{s-1}-\Phi_{s}^{s}\right]=-\operatorname{coef}_{s}\Phi_{s}^{s+1}\mathrm{E}_{s}

Dar membrul întâi este nul căci $s\Phi_{s}^{\prime}\Phi_{s}^{s-1}$ este derivata polinomului $\Phi_{s}^{s}$ . Deducem prin urmare din (40)

\operatorname{coef}_{s}\Phi_{s}^{s+1}=-\operatorname{coef}_{s\rightarrow 1}\Phi_{s-1}^{s}

De unde, în definitiv,

\operatorname{coef}_{s}\Phi_{s}^{s+1}=(-1)^{s},\quad s=0,1,\ldots

(41)

18.
- —
  
  Să notăm cu $\left[\gamma_{1},\gamma_{2},\ldots,\gamma_{j}\right]_{m}$ funcția simetrică $\Sigma a_{1}{}^{1}\cdot u_{2}^{\gamma_{2}}\ldots a_{j}^{\gamma_{j}}$ relativ la variabilele $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ . Avem deci

\left[\gamma_{1},\gamma_{2},\ldots,\gamma_{j}\right]_{m}=\sum a_{1}^{\gamma_{1}}a_{2}^{\gamma}\cdots\gamma_{j}

(42)

Aici exponenții $\gamma_{1},\gamma_{2},\ldots,\gamma_{j}$ sunt nişte numere naturale $(j\leqq m)$ și putem, pentru fixarea notațiilor, să presupunem totdeauna $\gamma_{1}\leqq\gamma_{2}\leqq\leqq\ldots\leqq\gamma_{j}$ .

In cazul când nu este nici o ambiguitate asupra variabilelor ule cŭror funcții simetrice vin în considerare, putem nota mai simplu cu $\left[\gamma_{1},\gamma_{2},\ldots,\gamma_{j}\right]$ functia $\left[\gamma_{1},\gamma_{2},\ldots,\gamma_{j}\right]_{m}$ , suprimând indicele $m$ .

Să considerăm funcția simetrică

	$\displaystyle\varphi_{s}^{(l+1)}\left(a_{1},c_{2},\ldots,a_{m}\right)=$		(43)
	$\displaystyle=\sum_{(s)}\left(\frac{B_{1}}{1!}\right)^{a_{1}}\left(\frac{B_{2}}{2!}\right)^{a_{2}}\ldots\left(\frac{B_{s}}{s!}\right)^{a_{s}}[1,\underbrace{1,\ldots,}_{\alpha_{1}}1,\underbrace{2,2,\ldots,}_{\alpha_{2}}2,\ldots,\underbrace{s,\ldots,s}_{\alpha_{s}}]_{m}$

unde însumarea $\sum_{(s)}$ se referă la toate soluțiile în numere întregi nenegative $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{s}$ ale ecuației $\alpha_{1}+2\alpha_{2}+\ldots+s\alpha_{s}=s$ . Avem evident si $\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{s}\leqq m$ . In particular

\varphi_{0}^{(m)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)=1

oricare ar fi $m$ .
De altfel în consideratiile noastre nu vor interveni decât functiile (43) în care $s<m$ .

Functia (43) este un polinom simetric şi omogen de gradul $s$ in $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ . Avem formula imediată

\psi_{s}^{(m)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)=\sum_{v=0}^{s}\frac{B_{v}}{vl}a_{m}^{v}\varphi_{s-v}^{(m-1)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)

(44)

Dacă nu este ambiguitate asupra variabilelor ale căror functii simetrice se consideră, putem nota mai scurt cu functia $\varphi_{s}^{(n)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)$ Putem atunci scrie

\varphi_{s}=\sum_{(s)}\left(\frac{B_{1}}{11}\right)^{\alpha_{1}}\left(\frac{B_{2}}{21}\right)^{\alpha_{2}}\ldots\left(\frac{B_{s}}{s1}\right)^{\alpha_{s}}[1,\underbrace{1,\ldots,1}_{\alpha_{1}}2\underbrace{2,2,\ldots,2}_{\alpha_{2}},\ldots,\underbrace{s,s,\ldots,s}_{\alpha_{s}}]

(45)

Deoarece $\mathbf{B}_{v}$ , este nul pentru $v$ impar şi $>1$ , în $\varphi_{s}$ nu figurează efectiv decât termenii în care $\alpha_{i}=0$ pentru $i$ impar şi $>1$ . Rezultă de aici că dacă $s$ este impar în $\varphi_{s}$ nu figurează efectiv decât termeni în care avem $\alpha_{1}>0$ .

Din structura funcțiilor (45) rezultă o regulă practică, dată de J. J. Sylvester $[2b]$ , pentru formarea funcțiilor $\varphi_{s}$ din functiile precedente $\varphi_{0},\varphi_{1},\ldots,\varphi_{s-1}$ . Pentru aceasta din $\varphi_{l}(0\leqq i\leqq s-1)$ luăm numai suma termenilor în care parantezele [] nu conțin decât numere $\geq s-i$ . Complectăm cu un $s-i$ fiecare din aceste paranteze și înmulțim rezultatul cu $\frac{\mathrm{B}_{s-i}}{(s-i)!}$ Obținem astfel o sumă $\varphi_{i}^{*}$ . In particular $\varphi_{0}^{*}=\frac{\mathrm{B}s}{s!}[s]$ . Avem atunci

\varphi_{s}=\sum_{i=0}^{s-1}\varphi_{i}^{*}.

Dacă acum $s$ este impar avem evident $\varphi_{i}^{*}=0$ dacă $i$ este par şı $<s-1$ . Avem însă şi $\varphi_{i}^{*}=0$ dacă $i$ este impar şi $<s-1$ căci atunci în $\varphi_{i}$ nu figurează nici un termen cu o paranteză [] în care toate numerele să fie $\geqq s-i$ . Dacă $s$ este impar avem deci

\varphi_{s}=\varphi_{s-1}^{*}.

Dacă $s$ este par avem evident $\varphi_{i}^{*}=0$ pentru $i$ impar şi $<s-1$ . Deasemenea avem $\varphi_{i}^{*}=0$ pentru $i$ par şi $<\frac{s}{2}$ căci atunci nu există în $\varphi_{i}$ nici o paranteză [] în care să avem numai numere $\geqq s-i$ . In cazul lui $s$ par avem deci

\varphi_{s}=\varphi_{0}^{*}+\sum_{i=\left[\frac{s-1}{4}\right]+1}^{\frac{s}{2}-1}\varphi_{2i}^{*}+\varphi_{s-1}^{*}.

Cu ajutorul acestor reguli putem construi succesiv funcțiile $\varphi_{s}$ . Dăm mai jos aceste funcții pentru $s\leqq 9$ .

	$\displaystyle\varphi_{0}=1,\quad\varphi_{1}=-\frac{1}{2}[1],\quad\varphi_{2}=\frac{1}{12}([2]+3[1]),$
	$\displaystyle\varphi_{3}=-\frac{1}{24}([2]+3[11]),$
	$\displaystyle\varphi_{4}=\frac{1}{6!}(-[4]+5[2]+5[12]+5[111]),$
	$\displaystyle\varphi_{5}=-\frac{1}{2.6!}(-[4]+5[22]+5[112]+5[1111]),$
	$\displaystyle\varphi_{6}=\frac{1}{12.7!}(2[6]-7[4]-1[14]+5[22]+05[122,]+$
	$\displaystyle+15[1112]+45[11111]),$

		$\displaystyle\varphi_{7}=-\frac{1}{3.8!}(2[6]-7[24]-1[114]+5[222]+$
		$\displaystyle+05[1122]+15[11112]+45[111111])$
		$\displaystyle\varphi_{8}=\frac{1}{10!}(-3[8]+7[4]+0[6]-5[24]+0[16]+$
		$\displaystyle+75[222]-05[124]-15[1114]+$
		$\displaystyle+25[1222]+575[11122]+$
		$\displaystyle+725[111112]+4175[1111111])$
		$\displaystyle\varphi_{9}=-\frac{1}{2.10!}(-3[8]+7[44]+0[26]-5[224]+$
		$\displaystyle+0[116]+75[2222]-05[1124]-$
		$\displaystyle+15[11114]+25[11222]+$
		$\displaystyle+575[111122]+725[1111112]+$
		$\displaystyle+4175[11111111]).$

Cu ajutorul formulei (42) toate parantezele [] se pot exprima cu ajutorul funcțiilor simetrice ale variabilelor de care depind functiile $\varphi_{s}$ Dacă facem $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{m}=1$ , avem
$[\underbrace{1,1,\ldots,}_{\alpha_{1}}1,\underbrace{2,\ldots,2}_{\alpha_{2}},\ldots,\underbrace{s,s,\ldots,s}_{\alpha_{s}}]_{m}=\frac{m!}{\alpha_{1}\left|\alpha_{2}\right|\ldots\alpha_{s}!\left(m_{1}-\alpha_{1}-\alpha_{2}-\ldots-\alpha_{s}\right)\mid}$ . si deducem

\psi_{s}^{(m)}(1,1,\ldots,1)=

$=\sum_{(s)}\left(\frac{B_{1}}{1!}\right)^{\alpha_{1}}\left(\frac{B_{2}}{2!}\right)^{\alpha_{2}}\ldots\left(\frac{B_{s}}{s!}\right)^{\alpha_{s}}\frac{m!}{\alpha_{1}!\alpha_{2}!\ldots\alpha_{s}!\left(m-\alpha_{1}-\alpha_{2}-\ldots-\alpha_{s}\right)!}=\operatorname{coef}_{s}\Phi_{s}^{m}$
Thinâud seamă de (41) avem deci
(46)

\varphi_{m-1}^{(m)}(1,1,\ldots,1)=(-1)^{m-1},m=1,2,\ldots

formulă care va fi utilizată mai jos.

\S 4.

19.
- —
  
  Să revenim la calculul coeficienților polinomului $\mathrm{R}_{m}(n)$ .

Prin o simplă identificare se poate stabili, pe baza formulelor (34), identitatea următoare ⁴ )
4). Avém

x^{j+1-v}-\left(x-a_{ln}\right)^{j+1-v}=\sum_{\mu=0}^{j-v}(-1)^{j-v-\mu}\binom{j+1-v}{\mu}x^{\mu}a_{m}^{j+1-v-\mu}

şi membrul al doilea al formulei se scrie

x^{j}=\sum_{v=0}^{j}(-1)^{v}\binom{j}{v}_{\mathrm{B}_{v}a_{m}^{v-1}}\frac{x^{j+1-v}-\left(x-a_{m}\right)^{i+1-v}}{j+1-v}

Dând lui $x$ succesiv valorile $n+ia_{m},i=1,2,\ldots,\delta^{\prime}$ şi adunând membru cu membru deducem

\sum_{i=1}^{\delta^{\prime}}\left(n+ia_{m}\right)^{j}=\sum_{v=0}^{j}(-1)^{v}\binom{j}{v}\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}a_{m}^{v-1}\frac{(n+\delta)^{i+1-v}-n^{j+1-v}}{j+1-v}

unde folosim prescurtarea (26).

		$\displaystyle\sum_{i=1}^{\delta^{\prime}}\mathrm{R}_{m-1}\left(n+ia_{m}\right)=\frac{1}{\delta}\sum_{j=1}^{m-2}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{i}^{(m-1)}\left[a_{m}\sum_{i=1}^{\delta^{\prime}}\left(n+ia_{m}\right)^{j}\right]=$
		$\displaystyle\left.=\frac{1}{\delta}\sum_{j=1}^{m-2}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{j}^{(m-1)}\left\lvert\,\sum_{v=0}^{j}(-1)^{\nu}\binom{j}{v}\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}a_{m}^{v}\frac{(n+\delta)^{j+1-v-n}-n^{j+1-v}}{j+1-v}\right.\right]=\sum_{v=1}^{m-2}(-1)^{\nu}\mathrm{B}_{v}v_{m}^{v}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{v}^{(m-1)}+$
		$\displaystyle\quad+\frac{1}{\delta}\sum_{j=2}^{m-1}\frac{1}{j!}\left[\sum_{v=0}^{m-1-j}(-1)^{\nu}\frac{\mathrm{B}_{v}}{\nu!}a_{m}^{v}(j+v-1)!\mathrm{A}_{j+v^{-1}-1}^{(m-1)}\right]\left[(n+\delta)^{j}-n^{j}\right].$

Avem apoi

\mathrm{R}_{m}(n+\delta)-\mathrm{R}_{m}(n)=\frac{1}{\delta}\sum_{j=1}^{m-1}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{j}^{(m)}\left[(n+\delta)^{i}-n^{j}\right]

Identificând în identitatea (27) coeficienții polinoamelor $(n-\dot{x})^{j}--n,j=1,2,\ldots,m-1$ , care formează un sistem liniar independent, avem

\mathrm{A}^{(m)}=\sum_{v=1}^{m-2}(-1)^{v}\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}a_{m}^{v}\mathrm{\penalty 10000\ A}_{v}^{(m-1)}+\mathrm{H}_{m-1}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right),

(47)

\mathrm{A}_{j}^{(m)}=\frac{1}{j!}\sum_{v=0}^{m-j}\frac{(-1)^{v}\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}}{v!}a_{m}^{v}(j+v-1)!\mathrm{A}_{j+v-1}^{(m-1)},\quad j=2,3,\ldots,m-1.

(48)

Dacă $m=2$ formula (30) se reduce la

\begin{gathered}\sum_{v=0}^{j}\frac{1}{j+1-v}(-1)^{v}\binom{j}{v}\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}a_{m}^{v-1}\left[\sum_{\mu=0}^{j-v}(-1)^{j-v-\mu}\binom{j+1-v}{\mu}x^{\mu}a_{m}^{j+1-v-\mu}\right]=\\ =\sum_{\mu=0}^{j}\frac{(-1)^{i-\mu}j!}{\mu!(j+1-\mu)!}x^{\mu}a_{m}^{j-\mu}\left[\sum_{v=0}^{j-\mu}\binom{j+1-\mu}{v}\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}\right]=x^{j}\end{gathered}

deoarece, pe baza formulei (34), suma $\sum_{v=0}^{j-\mu}\binom{j+1-\mu}{v}\mathrm{\penalty 10000\ B}_{v}$ este egală cu 1 respectiv cu 0 daca $\mu=j$ resp. $\mu<j$ .

\mathrm{R}_{2}\left(n+a_{1}a_{2}\right)-\mathrm{R}_{2}(n)=\mathrm{H}_{1}\left(a_{1}\right)

iar formulele (47), (48) se reduc la singura formulă

\mathrm{A}_{1}^{(2)}=\mathrm{H}_{1}\left(a_{1}\right)

(49)

Se poate vedea acum că simetria lui $H_{m-1}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)$ rezultă din aceea a coeficientilor $\mathrm{A}_{j}^{(m)}$ . Intr’adevăr din (47) se deduce

\mathrm{H}_{m-1}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)=\mathrm{A}_{1}^{(m)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1},0\right)

(

(50

)

20.
- —
  
  Rezultatul final al calcului coeficienţilor $\mathrm{A}_{j}^{(n)}$ şi a funcţiei $\mathrm{H}_{m-1}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)$ se enunţă astfel

TEOREMA 2. - Functiile $\mathrm{A}_{j}^{(m)},j=1,2,\ldots,m-1$ de $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ sunt polinoame simetrice si omogene dé gradele respective $m-1-j$ , $j=1,2,\ldots,m-1$ . Deasemenea $H_{\eta_{-1}}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)$ este un polinom simetric si omogen de gradul $m-2$ , Avem

	$\displaystyle\mathbb{A}_{j}^{(m)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)=\frac{(-1)^{m-1-1}}{9!}q_{m-1-1}^{(m)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)$		(51)
	$\displaystyle j=1,2,\ldots,m-1$
	$\displaystyle\mathrm{H}_{m-1}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)=(-1)^{m-2}q_{m-2}^{(m-1)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)$		(52)

Demonstratia se face prin inductie completă bazându-ne pe formulele de recurenţă (47), (48). Pentru aceasta observăm întâi că

\mathrm{H}_{m}(1,1,\ldots,1)=1,m=1,2,\ldots

(53)

Intr’adevăr, în acest caz, din (28) rezultă
(54)

\mathrm{G}_{m}(0)=\mathrm{H}_{m}(1,1,\ldots,1)

Insă $\mathrm{N}_{m}(0)=1,\mathrm{R}_{m}(0)=0$ şi din (27) rezultă deci că $\mathrm{G}_{m}(0)=1$ . Ţinand seamă de (54) deducem formula (53).

Din formula (49) deducem că $H_{1}\left(a_{1}\right)$ este independent de $a_{1}$ , căci trebue să fie o funcție simetrică de $a_{1}$ şi $a_{2}$ . $\mathrm{H}_{3}\left(a_{1}\right)$ se reduce deci la o constantă care, pe baza formulei (53), este egală cu 1. Avem

\mathrm{A}_{1}^{(2)}\left(a_{1},a_{2}\right)=1,\mathrm{H}_{1}\left(a_{1}\right)=1

Aceasta însemnează că formulele (51), (52) sunt verificate pentru $m=2$ .

Să presupunem că formulele sunt adevărate pentru $\mathrm{A}_{j}^{(n-i)},j=1,2$ , $\ldots,m-2(m>2)$ şi să arătăm că ele vor fi adevărate şi pentru Afs $j=1,2,\ldots,m-1,\mathrm{H}_{n-1}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)$ .

Prin ipoteză avem

\mathrm{A}_{j}^{(n-1)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)=\frac{(-1)^{m-2-j}}{j!}\psi_{m-2-j}^{(n-1)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)

Ținând seamă de formulele (44), (48) deducem imediat că formulele (51) sunt verificate pentru $j=2,3,\ldots,m-1$ . Rămâne să mai stabilim formula (51) pentru $j=1$ . Vom stabili această formulă deodată cu formula (52).
21. – Pentru aceasta ne vom folosi de urmărtoarea

LEMA 7. - Dacă functia $\chi\left(x_{1},\mathrm{x}_{2},\ldots,x_{n-1}\right)$ , depinzand numai de primele $m-1$ variabile $x_{1},x_{2},\ldots x_{n-1}$ , este o functie simetrică de toate cele $m$ variabile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ , atunci ea se reduce la o constantă.

Intâi este clar că funcția $\chi\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-}\right)$ este simetrică in raport cu cele $m-1$ variabile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m=1}$ . Deducem apoi, din celelalte condiții de simetrie

\chi\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m-1}\right)=\chi\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m-2},x_{m}\right)

și făcând aici $x_{m}=a$ ,

\chi\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m-1}\right)=\chi\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m-2},a\right),

(55)

$a$ fiind una din valorile pe care le pot lua variabilele $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ .
Formula (55) ne arată că funcția $\chi$ nu depinde decât de primele $m-2$ variabile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{..,-2}$ . Repetând raționamentul se găseşte că funcția $\chi$ se reduce la o consiantă ⁵ ). Avem deci
(56)

\chi\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}\right)=\chi(a,a,\ldots,a).

Revenind la problema noastră observăm că, pe baza formulei (44), avem
$\sum_{v=1}^{m-2}(-1)^{v}B_{v}a_{m}^{v}A_{v}^{(n-1)}=(-1)^{m-2}\left[\psi_{m-2}^{(m)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)-\psi_{m-2}^{(n-1)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)\right]$
Formula (47) ne dă deci

		$\displaystyle\mathrm{A}_{1}^{(m)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)-(-1)^{m-2}q_{m-2}^{(n)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)=$
		$\displaystyle\quad=\mathrm{H}_{m-1}\left(a_{1},a_{2},\ldots,\iota_{m-1}\right)-(-1)^{m-2}\psi_{m-2}^{(n-1)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}\right)$

Aici membrul al doilea depinde numai de variabilele $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m-1}$ . iar membrul întâi este o funcţie simetrică de $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ . Aplicând lema 7 vedem că ambii membri se reduc la o aceeaşi constantă. Insă, pe baza formulelor (46), (53), această constantă este egală cu 0 . Rezultă că formula (51) pentru $j=1$ precum şi formula (52) sunt adevărate.
3). Astfel : Din (55) se deduce successiv

		$\displaystyle\chi\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m-2},a\right)=\chi\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m-3},a,a\right)$
		$\displaystyle\chi\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m-3},a,a\right)=\chi\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m-4},a,a,a\right)$
		$\displaystyle\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.$
		$\displaystyle\chi\left(x_{1},a,a,\ldots,a\right)=\chi(a,a,\ldots,a)$

do aude formula (56).

Cu aceasta teorema 2 este complet demonstrată.
22. - Formulele (51) permit să calculăm explicit polinomul $R_{m}(n)$ . Avem

\mathrm{R}_{m}(n)=\frac{(-1)^{m-1}}{\delta}\sum_{j=1}^{n-1}\frac{(-1)}{j!}\varphi_{m-1-j}n^{j}

(57)

unde este clar care sunt variabilele de care depind functiile $\varphi_{m-1-j}.\mathrm{Cu}$ ajutorul tabloului de valori date la Nr .18 se pot forma explicit polinoamele $\mathrm{R}(n)$ pentru $m=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11$ .

§ 5.

23.

–. Fie ecuația (1), la care se vor referi notatiile prescurtate. Vom presupune că numerele $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ sunt două câte două prime între ele. Să reluăm formula (2T) şi să punem
$\mathrm{M}^{\prime}=\mathrm{M}^{\prime}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)=\sup_{(n)}\mathrm{G}(n),\mathrm{M}^{\prime\prime}=\mathrm{M}^{\prime\prime}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)=\inf_{(n)}(n)$ sup şi inf referindu-se la toate valorile întregi ale lui $n$ . Pe baza periodicități şirului $\{\mathrm{G}(n)\}$ avem atunci
$M^{\prime}=\max\mathrm{G}(n)=\max\quad\mathrm{G}(n),M^{\prime\prime}=\min\mathrm{G}(n)=\min\mathrm{G}(n)$
max şi min referindu-se la un sistem de $\delta$ valori ale lui $n$ formând un sistem complet de resturi ( $\bmod\delta$ ).

Avem
LEMA 8. - Avem inegalitatea
(58)

M^{\prime}-M^{\prime\prime}\geqq 0

unde egalitatea are loc dacă si numai dacă $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{m}=1$ .
Inegalitatea (58) este o consecinţă a definiției maximului şi minimului. Rămâne să demonstrăm proprietatea relativă la egalitate.

Condjļia este evident suficientă, căci dacă ea e îndeplinită, avem $\delta=1$ şi toate numerele $\mathrm{G}(n),n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$ sunt egale.

Condiția este necesară. Intr’adevăr, din (18) rezultă şi

\mathrm{G}(n)=\sum_{i=2}^{m}\mathrm{l}^{4}(1;i)+\mathrm{C}_{1}(n)

Din $M^{\prime}=M^{\prime\prime}$ rezultă că numerele $\mathrm{G}(n)$ , deci numerele $\mathrm{C}_{1}(n),n=0,\pm 1$ . $\pm 2,\ldots$ sunt toate egale. Pe baza unei observații făcute la Nr. 12, acest lucru însă nu este posibil decât dacă $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{m}=1$ .

Lema 8 este complet demonstrată.

24. - Putem acum demonstra

TEOREMA 3. - Condiția necesară si suficientă ca problemele I, II, II’ să aibă o solutie este ca să avem
(59)

M^{\prime}-M^{\prime\prime}<1

Să demonstrăm teorema pentru problema I.
Condiția este necesară. Intr’adevăr, fie $\mathrm{P}(n)$ o soluție a problemei. Atunci

\mathrm{P}(n)=\mathrm{R}(n)+\lambda

(60)

$\lambda$ fiind 0 constantă.
Din (4) şi din (27) deducem

\mathrm{G}(n)<\lambda+\frac{1}{2},-\mathrm{G}(n)<-\lambda+\frac{1}{2}

oricare ar fi $n$ .
Insă există valori $n_{1},n_{2}$ ale lui $n$ astiel ca $M^{\prime}=G\left(n_{1}\right)M^{\prime\prime}=G\left(n_{2}\right)$ . Avem deci

\mathrm{M}^{\prime}<\lambda+\frac{1}{2},-\mathrm{M}^{\prime\prime}<-\lambda+\frac{1}{2}

Adunând membru cu membru aceste inegalităti găsim condiția (59). Condiția este suficientă. Intr’adevăr dacă inegalitatea (59) e verificată, putem găsi un număr $\lambda$ astfel ca
(61)

M^{\prime}-\frac{1}{2}<\lambda<M^{\prime\prime}+\frac{1}{2}

Se verifică atunci imedial că polinomul (60) verifică inegalitatea (4). La fel se demonstrează teorema pentru problemele II, II’.
Dacă avem (59), toate soluțiile problemei I sunt cuprinse în formula
(60) unde constanta $\lambda$ verifică inegalitățile (61). Deasemenea dacă avem
(59) toate solutiile problemei II sunt cuprinse în formula

\text{ (62) }\quad Q(n)=\mathrm{R}(n)+\lambda_{1}

unde constanta $\lambda_{1}$ verifică inegalitățile

M^{\prime}\leqq\lambda_{1}<M^{\prime\prime}+1

(63)

şi toate soluțiile problemei II’ sunt cuprinse în formula

\mathrm{S}(n)=\mathrm{R}(n)+\lambda_{n}

(64)

unde constanta $\lambda_{2}$ verifică inegalitățile

M^{\prime}-1<\lambda_{2}\leqq M^{\prime\prime}

(65)

25.

– Orice număr $\lambda$ care verifică inegalitățile (61) este de forma

\theta\left(M^{\prime}-\frac{1}{2}\right)+(1-\theta)\left(M^{\prime\prime}+\frac{1}{2}\right)=M^{\prime\prime}+\frac{1}{2}-\theta\left(1-M^{\prime}+M^{\prime\prime}\right)

sau de forma

(1-\theta)\left(M^{\prime}-\frac{1}{2}\right)+\theta\left(M^{\prime\prime}+\frac{1}{2}\right)=M^{\prime}-\frac{1}{2}+\theta\left(1-M^{\prime}+M^{n}\right)

unde $\theta$ este un număr pozitiv subunitar oarecare.
Rezultă că forma generală a solutiiilor problemei I este (polinomul $\mathrm{R}(n)$ fiind presupus normat prin condiția (32)),

\mathrm{P}(n)=\mathrm{R}(n)+\mathrm{M}^{\prime\prime}+\frac{1}{2}-\theta\left(1-\mathrm{M}^{\prime}+\mathrm{M}^{\prime\prime}\right);\quad(0<\theta<1)

(66)

\mathrm{P}(n)=\mathrm{R}(n)+\mathrm{M}^{\prime}-\frac{1}{2}+\theta\left(1-\mathrm{M}^{\prime}+\mathrm{M}^{\prime\prime}\right)\quad(0<\theta<1)

(

\gamma

)

La fel se vede că forma generală a soluțiilor problemei II este

Q(n)=R(n)+M^{\prime\prime}+1-\theta_{1}\left(1-M^{\prime}+M^{\prime\prime}\right),\quad\left(0<\theta_{1}\leqq 1\right)

(67)

sau
( $67^{\prime}$ )

\mathrm{Q}(n)=\mathrm{R}(n)+\mathrm{M}^{\prime}+\theta_{2}\left(1-\mathrm{M}^{\prime}+\mathrm{M}^{\prime\prime}\right),\quad\left(0\leqq\theta_{2}<1\right)

iar forma generală a soluțiilor problemei II’ este

S(n)=R(n)+M^{\prime}-1+\theta_{1}\left(1-M^{\prime}+M^{\prime\prime}\right),\quad\left(0<\theta_{1}\leqq 1\right)

(68)

sau
(68’)

S(n)=R(n)+M^{\prime\prime}-\theta_{2}\left(1-M^{\prime}+M^{\prime\prime}\right),\quad\left(0\leqq\theta_{2}<1\right)

Se vede că problemele II şi II’ au soluțiile excepționale

\mathrm{Q}(n)=\mathrm{R}(n)+\mathrm{M}^{\prime},\quad\mathrm{S}(n)=\mathrm{R}(n)+\mathrm{M}^{\prime\prime}

Afară de aceste soluții excepționale, celelalte soluții ale problemelor I, II, II’ se corespund două câte două astfel încât

\mathrm{Q}(n)-\mathrm{P}(n)=\frac{1}{2},\mathrm{P}(n)-\mathrm{S}(n)=\frac{1}{2}\cdot\mathrm{Q}(n)-\mathrm{S}(n)=1

(69)

Cu aceasta legătura dintre solutiile celor trei probleme este complet clarificată.
26. -Teorema 3 permite să găsim ușor criterii de imposibilitate a problemelor I, II II’.

Astfel, de exemplu, avem
LEMA 9. - Dacă există două valori $n^{\prime},n^{\prime\prime}$ ale lui $n$ astfel ca

\left|\mathrm{G}\left(n^{\prime}\right)-\mathrm{G}\left(n^{\prime\prime}\right)\right|\geqq 1,

problemele I ,II, II’ nu au soluții.
Demonstratia este imediaťă căci în condițiile lemei avem

1\leqq\left|\mathrm{G}\left(n^{\prime}\right)-\mathrm{G}\left(n^{\prime\prime}\right)\right|\leqq\mathrm{M}^{\prime}-\mathrm{M}^{\prime\prime}

şi e destul să aplicăm teorema 3.

Vom da mai multe aplicații ale acestei leme. Deocamdată vom face aici o primă aplicație. Presupunând că polinomul $\mathrm{R}(n)$ este normat prin condiția (30), avem totdeauna $\mathrm{N}(0)=1,\mathrm{R}(0)=0$ , deci $\mathrm{G}(0)=1$ . Dacă numerele $a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}$ sunt toate $>1$ avem evident şi $\mathrm{N}(1)=0$ , deci $\mathrm{G}(1)=-\mathbb{R}(1)$ . Prin urmare $\mathrm{G}(0)-\mathrm{G}(1)=1+\mathrm{R}(1)$ . Rezultă că dacă $\mathrm{R}(1)\geq 0$ problemele I, II, II’ nu au soluție.

Insă $\mathrm{R}(1)$ este egal cu suma coeficientilor polinomului $\mathrm{R}(n)$ şi, pe baza formulei (57) şi ale formulelor dela Nr. 18, aceşti coeficienţi sunt sigur toți pozitivi pentru $m=1,2,3,4,5$ . Avem deci

TEOREMA 4. – Dacă $m=1,2,3,4$ sau 5 şi dacă numerele $a_{1},a_{2}$ , . . , $a_{m}$ sunt toate $>1$ , problemele I, II, II nu au solutii.

Proprietatea aceasta este probabil adevărată şi pentru $m>5$ . Demonstrația precedentă nu mai este însă valabilă deoarece coeficientul

\mathrm{A}_{m-5}^{(m)}=\frac{1}{(m-1)!}q_{4}^{(n)}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{m}\right)

poate să ia şi valori negativé).

§ 6.

27.
- —
  
  Să considerăm ecuația

cx=n,

(70)

$c$ fiind un număr natural. Suntem deci în cazul $m=1$ şi avem atunci $\mathrm{N}(n;c)=1$ sau 0 după cum $n$ se divide sau nu se divide cu $c$ . Pentru a exprima numărul $N(n;c)$ sub o formă convenabilă vom nota în general cu $\left(\left.\frac{n}{q}\right\rvert\,p\right)$ soluția, cuprinsă între 0 şi $p-1$ , a congruenței

qx\equiv n\quad(\bmod p)

—

Noi vom presupune totdeauna că $p$ şi $q$ sunt prime între ele. Atunci numărul $\left(\left.\frac{n}{q}\right\rvert\,p\right)$ este în mod unic şi bine determinat.

In particular $(n\mid p)$ este egal cu restul nenegativ minim al lui $n(\bmod p)$ . Avem evident

\left(\left.\frac{n^{\prime}}{q}\right\rvert\,p\right)=\left(\left.\frac{n^{\prime\prime}}{q}\right\rvert\,p\right),\quad\text{ dacă }n^{\prime}\equiv n^{\prime\prime}(\bmod p)

(71)

Avem atunci
lema 10. - Numărul N( $n;c$ ) este dat de formula

\mathrm{N}(n;c)=\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\left\{\left(\left.\frac{n-u}{u}\right\rvert\,c\right)-\left(\left.\frac{n}{u}\right\rvert\,c\right)\right\}

(72)

oricare ar fi numărul întreg u prim cu c.

⁰⁰footnotetext:

{}^{\text{9 }}

Aceasta nu înseamă că pentru anumite valori particulare ale coeficientilor a/ rationamentul să nu rămână valabile.

Intr-adevăr, din

\left(\left.\frac{n-u}{u}\right\rvert\,c\right)u\equiv n-u(\bmod c),\quad\left(\left.\frac{n}{u}\right\rvert\,c\right)u\equiv n\quad(\bmod c),

în condiţiile lemei, rezultă imediat

\left(\left.\frac{n-u}{u}\right\rvert\,c\right)-\left(\left.\frac{n}{u}\right\rvert\,c\right)=-1\text{ sau }c-1.

Al doilea caz are loc dacă şi numai dacă sau $c=1$ sau $c>1$ şi $\left(\left.\frac{n}{u}\right\rvert\,c\right)=0$ , deci numai dacă $n$ se divide cu $c$ .

Lema rezultă imediat.
Rezultatele stabilite până acum se aplică ecuației (70) și problemele I, II, II’ se pot complet rezolva in acest caz. Rezultatele sunt bunale şi este inutil să fie detailate. Avem $\mathrm{N}(n;1)=1$ , oricare ar fi $n$ ,
28. - Să considerăm acum ecuația
(73)

bx+cy=n

unde $b,c$ sunt două numere naturale prime intre ele. Suntem aici in cazul $m=2$ . Notațiile prescurtate se vor referi la ecuația (73).

Vom demonstra următoarea
LEMA 11. - Dacă b, c sunt prime intre ele, avem

\mathrm{N}(n)=\frac{n}{bc}-\frac{1}{b}\left(\left.\frac{n}{c}\right\rvert\,b\right)-\frac{1}{c}\left(\left.\frac{n}{b}\right\rvert\,c\right)+1

(74)

oricare ar fi numărul întreg $n$ .
Cu alte cuvinte avem

\mathrm{R}(n)=\frac{n}{bc},\mathrm{G}(n)=-\frac{1}{b}\left(\left.\frac{n}{c}\right\rvert\,b\right)-\frac{1}{c}\left(\left.\frac{n}{b}\right\rvert\,c\right)+1.

Prima formulă a mai fost găsită şi pe altă cale.
Pe baza formulelor (24), (72), avem

\mathrm{N}(n+b)-\mathrm{N}(n)=\mathrm{N}(n+b;c)=\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\left\{\left(\left.\frac{n}{b}\right\rvert\,c\right)-\left(\left.\frac{n+b}{b}\right\rvert\,c\right)\right\}

Dacă în această formulă înlocuim succesiv pe $n$ cu $n+b,n+2b,\ldots$ apoi cu $n-b,n-2b,\ldots$ deducem, adunând membru cu membru,

\mathrm{N}(n+\alpha b)-\mathrm{N}(n)=\frac{\alpha}{c}+\frac{1}{c}\left\{\left(\left.\frac{n}{b}\right\rvert\,c\right)-\left(\left.\frac{n+\alpha h}{b}\right\rvert\,c\right)\right\}

(75)

oricare ar fi numerele intregi $n$ şi $\alpha$ .
Pe baza formulei (71), deducem din (75),

\mathrm{N}(n+\alpha b+\beta c)-\mathrm{N}(n+\beta c)=\mathrm{N}(n+\alpha b)-\mathrm{N}(n)

oricare ar fi numerele întregi $n,\alpha,\beta$ . Fäcând $n=0$ deducem de aici
(76) $N(\alpha b+\beta c)=[N(\alpha b)-N(0)]+[N(\beta c)-N(0)]+N(0)$ ,

Dar din (75) deducem, făcând $n=0$ ,

\mathrm{N}(\alpha,b)-\mathrm{N}(0)=\frac{\alpha}{c}-\frac{1}{c}(x\mid c)

(77)

In mod analog avem

\mathrm{N}(\beta c)-\mathrm{N}(0)=\frac{\beta}{b}-\frac{1}{b}(\beta\mid b)

(78)

Fie acum $n$ un număr întreg oarecare şi să determinăm numerele intregi $\alpha,\beta$ astfel ca să avem

n=\alpha b+\beta c

Atunci din $n\equiv\alpha b(\bmod c),n\equiv\beta c(\bmod b)$ rezultă că $(\alpha,c)==\left(\left.\frac{n}{b}\right\rvert\,c\right),(\beta\mid b)=\left(\left.\frac{n}{c}\right\rvert\,b\right)$ .

Ținând seamă de $\mathrm{N}(0)=1$ și de formulele (76), (77), (78), deducem formula (74).

Lema 11 este deci demonstrată.
29. - In cazul ecuației (73) putem uşor calcula numerele $\mathrm{M}^{\prime},\mathrm{M}^{\prime\prime}$ . Avem

\mathrm{M}^{\prime}=1,\mathrm{M}^{\prime\prime}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-1

maximul fiind atins când $n\equiv 0(\bmod bc)$ , iar minimul cand $n\equiv-b-c(\bmod bc)$ .

Se verifică imedial că pentru ca inegalitatea (59) sŭ fie satisfăcută este necesar şi suficient ca cel puțin unul din numerele $b,c$ să fie egal cu $1.{}^{7}$ )

Fie deci $b=1$ . Avem atunci $\mathrm{R}(n)=\frac{n}{c}$ şi $\mathrm{M}^{\prime}-\mathrm{M}^{\prime\prime}=\frac{c-1}{c}<1$ aşa că rezultatele § precedent permit să enunțăm

TEOREMA 5. - Numărul $N(n)$ relativ la ecuatia $x+cy=n$ este egal oricare ar fi numărul întreg n, cu :
I. Intregul cel mai apropiat de numărul $\frac{2n+c+2\theta}{2c},(0<\theta<1)$ .
II. Intregul cuprins în numărul $\frac{n+c+\theta_{2}}{c},\left(0\leqq\theta_{2}<1\right)$ .

II’. Intregul care cuprinde numärul $\frac{n+\theta_{1}}{c},\left(0<\theta_{1}\leqq 1\right)$ .

⁰⁰footnotetext: 7. Inegalitatea (59) révine la

1<\frac{1}{b}+\frac{1}{c}

care úu poate fi satisfăcută pentru

b,o\geqq 2

Un enunţ particular simplu este următorul :
Numărul $\mathrm{N}(n)$ relativ la ecuatia $x+cy=n$ este egal cu intregul care cuprinde numărul $\frac{2n+1}{2c}$ , oricare ar fi numărul întreg n.
30. - In cazul $m=2$ putem uşor demonstra direct necesitatea coundiției teoremei 1. Să presupunem că în ecuația (73) $b$ şi $c$ sunt două numere naturale oarecari. Fie $d$ c.m.m.d.c. al acestor numere. Atunci $b=db_{1},c=dc_{1}$ , unde $b_{1},c_{1}$ sunt două numere naturale prime între ele. Dacă presupunem $d>1$ avem

\mathrm{N}(dn+1)=0,\mathrm{\penalty 10000\ N}(dn)=\mathrm{N}\left(n;b_{1},c_{1}\right)

(79)

oricare ar fi numărul întreg $n$ .
Prima egalitate rezultă din faptul că $bx+cy$ se divide cu $d$ oricare ar fi numerele intregi $x,y$ , iar $dn+1$ este prim cu $d$ . A doua egalitate (79) rezultă din faptul că orice solutie a ecuației $bx+cy=d\left(b_{1}x+c_{1}y\right)==dn$ este o solutie a ecuației $b_{1}x+c_{1}y=n$ şi reciproc.

Să presupunem acum că problema III ar avea o soluție R(n).
Prima formulă (79) ne arată atunci că

\mathrm{R}(dn+1)=\lambda

(80)

$\lambda$ fiind o constantă şi oricare ar fi $n$ .
A doua formulă (79), împreună cu (74), ne arată că
$\lambda^{\prime}$ fiind o constantă, oricare ar fi $n$ .
Insă din (80) rezultă că $\mathrm{R}(n)=\lambda$ iar din (81) rezultă că $\mathrm{R}(n)==\frac{n}{db_{1}c_{1}}+\lambda^{\prime}$ , oricare ar fi $n$ . Ar trebui să avem

\lambda=\frac{n}{db_{1}c_{1}}+\lambda^{\prime}

oricare ar fi $n$ , ceeace este vizibil imposibil. Proprietatea este deci demonstrată.

§7.

31.
- —
  
  Să considerăm acum cazul $m=3$ şi fie deci ecuatia
  (82)

ax+by+cz=n

$a,b,c$ , fiind trei numere naturale două câte două prime între ele. Notatiile prescurtate se vor referi acum la această ecuație.

Pentru a exprima numărul $N(n)$ vom introduce următoarea funcție

(n;q\mid p)=\frac{1}{p^{2}}\sum_{i=0}^{n-1}i(n-qi\mid p)

(83)

unde $p,q$ sunt două numere naturale prime între ele.

Este uşor de văzut că avem
(84) $\left(n^{\prime};q^{\prime}|p\rangle=\left(n^{\prime\prime};q^{\prime\prime}\mid p\right)\right.$ , dacă $n^{\prime}\equiv n^{\prime\prime},q^{\prime}\equiv q^{\prime\prime}(\bmod p)$

Avem şı formula

(n+1;q\mid p)-(n;q\mid p)=\frac{p-1}{2p}-\frac{1}{n}\left(\left.\frac{n+1}{q}\right\rvert\,p\right)

(85)

a cărei demonstrație se face observând că membrul întâi este egal cu

\frac{1}{p^{2}}\sum_{i=0}^{p-1}i[(n+1-qi\mid p)-(n-qi\mid p)]

si cá avem

(n+1-qi\mid p)-(n-qi\mid p)=\begin{cases}1,&\text{ dacă }qi\neq n+1\quad(\bmod p)\\ -p+1,&\text{ dacă }qi\equiv n+1\quad(\bmod p)\end{cases}

deoarece numerele $n-qi,i=0,1,\ldots,p-1$ formează un sistem complet de resturi ( $\bmod p$ ).

Formula (83) se mai poate scrie

(n;q\mid p)=\frac{1}{x^{2}}\sum_{i=0}^{n-1}i\left(nq^{\prime}-iq^{\prime}\mid p\right)

unde $q^{\prime}=\left(\left.\frac{1}{q}\right\rvert\,p\right)$ . Acest lucru rezultă din faptul că dacă $n-qj\equiv i(\bmod p)$ vom avea si $j\equiv nq^{\prime}-iq^{\prime}(\bmod p)$ .

Rezultă că avem
(86) $\quad(n;q\mid p)=\left(n_{1};q^{\prime}\mid p\right)$ , dacă $qq^{\prime}\equiv 1,n_{1}\equiv nq^{\prime}\quad(\bmod p)$ .

In fine mai observăm că

(n;q;1)=0

oricare ar fi $n$ si $q$ .
32. - Vom demonstra acum

LEMA 12, - Dacă $a,b,c$ sunt două câte doŭč prime între ele, numărul $\mathrm{N}(n)$ , corespunzător ecuației (82), este dat de formula
(88)
unde
(89)
(90)

\begin{gathered}\mathrm{R}(n)=\frac{n(n+a+b+c)}{2abc}\\ \mathrm{G}(n)=\left(nc^{\prime};c^{\prime}b\mid a\right)-\left(0;c^{\prime}b\mid a\right)+\left(na^{\prime};a^{\prime}c\mid b\right)-\left(0;a^{\prime}c\mid b\right)+\\ +\left(nb^{\prime};b^{\prime}a\mid c\right)-\left(0;b^{\prime}a\mid c\right)+1\\ \left.a^{\prime}=\left(\left.\frac{1}{a}\right\rvert\,b\right),b^{\prime}=\left(\left.\frac{1}{b}\right\rvert\,c\right),c^{\prime}=\left(\left.\frac{1}{c}\right\rvert\,a\right)^{8}\right)\end{gathered}

⁰⁰footnotetext: 8. Nu respective.

Pentru demonstratie vom pune şi

a^{\prime\prime}=\left(\left.\frac{1}{a}\right\rvert\,c\right)\cdot b^{\prime\prime}=\left(\left.\frac{1}{b}\right\rvert\,a\right),c^{\prime\prime}=\left(\left.\frac{1}{c}\right\rvert\,b\right)

Pe baza formuletor (24), (74), avem
$\mathrm{N}(n+c)-\mathrm{N}(n)=\mathrm{N}(n+c;a,b)=\frac{n+c}{ab}-\frac{1}{a}\left(\frac{n+c}{b}\left\lvert\,a\left(-\frac{1}{b}\left(\left.\frac{n+c}{a}\right\rvert\,b\right)+1\right.\right.\right.$
Insă

\left(\left.\frac{n+c}{b}\right\rvert\,a\right)=\left(\left.\frac{c^{\prime}n+1}{c^{\prime}b}\right\rvert\,a\right),\left(\left.\frac{n+c}{a}\right\rvert\,b\right)=\left(\left.\frac{c^{\prime\prime}n+1}{c^{\prime\prime}a}\right\rvert\,b\right)

şi ţinând seamă de formula (85) deducem atunci

\mathrm{N}(n+c)-\mathrm{N}(n)=\frac{2n+2c+a+b}{2ab}+\left(c^{\prime\prime}n+1;c^{\prime}b\mid a\right)-\left(c^{\prime}n;c^{\prime}b\mid a\right)

Dacă în această egalitate înlocuim pe $n$ succesiv cu $n,n+c.n+2c$ ; $\ldots$ şi apoi succesiv cu $n-c,n-2c,\ldots$ , dacă observăm că $i$ fiind um număr întreg oarecare,

c^{\prime}(n+ic)\equiv c^{\prime}n+i(\bmod a),c^{\prime\prime}(n+ic)\equiv c^{\prime\prime}n+i(\bmod b)

şi în fine dacă adunăm membru cu membru egalitățile astfel obținute, deducem

\begin{gathered}\mathrm{N}(n+\mu c)-\mathrm{N}(n)=\mu\frac{2n+\mu c+a+b+c}{2ab}+\left(c^{\prime}n+\mu;c^{\prime}b\mid a\right)-\\ -\left(c^{\prime}n;c^{\prime}b\mid a\right)+\left(c^{\prime\prime}n+\mu;c^{\prime\prime}a\mid b\right)-\left(c^{\prime\prime}n;c^{\prime\prime}a\mid b\right)\end{gathered}

oricare ar fi numerele întregi $n$ şi $\mu$ .
Punând $\mu=\alpha b$ , unde $\alpha$ este un număr întreg şi ținând seamă de (84), deducem

\mathrm{N}(n+\alpha bc)-\mathrm{N}(n)=\alpha\frac{2n+\alpha bc+a+b+e}{2a}+\left(c^{\prime}n+ab;c^{\prime}b\mid a\right)-

(91)

oricare ar fi numerele $n$ şi $\alpha$ .
Dacă în această formulă înlocuim pe $n$ cu $n+\beta ac$ şi tinem seamă iarăşi de (84), deducem
(92) $\mathrm{N}(n+\alpha bc+\beta ca)-\mathrm{N}(n+\alpha bc)-\mathrm{N}(n+\beta ca)+\mathrm{N}(n)=\alpha\beta c$ , oricare ar fi numerele întregi $n,\alpha.\beta$ .

Făcând aici $n=0$ , obtinem
(93) $\mathrm{N}(\alpha bc+\beta ca)-\mathrm{N}(\alpha bc)-\mathrm{N}(\beta ca)+\mathrm{N}(0)=\alpha\beta c$ şi în mod analog deduoem
(93’) $\left\{\begin{array}[]{l}\mathrm{N}(\beta ca+\gamma ab)-\mathrm{N}(\beta ca)-\mathrm{N}(\gamma ab)+\mathrm{N}(0)=\beta\gamma a,\\ \mathrm{\penalty 10000\ N}(\gamma ab+\alpha bc)-\mathrm{N}(\gamma ab)-\mathrm{N}(\alpha bc)+\mathrm{N}(0)=\gamma\alpha b,\end{array}\right.$
oricare ar li numerele intregi $\alpha,\beta,\gamma$ .

Membrul întâi al formulei (92) fiind independent de $n$ deducem, egalând valorile acestei expresii pentru $n=0$ şi $n=\gamma ab$ ,
(94) $\mathrm{N}(\alpha bc+\beta ca+\gamma ab)=[\mathrm{N}(\beta ca+\gamma ab)-\mathrm{N}(\beta ca)-\mathrm{N}(\gamma ab)+\mathrm{N}(0)]+$

\begin{gathered}+[\mathrm{N}(\gamma ab+\alpha bc)-\mathrm{N}(\gamma ab)-\mathrm{N}(\alpha bc)+\mathrm{N}(0)]+\\ +[\mathrm{N}(\alpha bc+\beta ca)-\mathrm{N}(\alpha bc)-\mathrm{N}(\beta ca)+\mathrm{N}(0)]+\\ +[\mathrm{N}(\alpha bc)-\mathrm{N}(0)]+[\mathrm{N}(\beta ca)-\mathrm{N}(0)]+[\mathrm{N}(\gamma ab)-\mathrm{N}(0)]+\mathrm{N}(0).\end{gathered}

Din (91), făcând $n=0$ , deducem
(95) $\mathrm{N}(\alpha bc)-\mathrm{N}(0)=\alpha\frac{\alpha bc+a+b+c}{2a}+\left(\alpha b;c^{\prime}b\mid a\right)-\left(0;c^{\prime}b\mid a\right)$
şi la fel obținem
$\left(95^{\prime}\right)\left\{\begin{array}[]{l}\mathrm{N}(\beta ca)-\mathrm{N}(0)=\beta\frac{\beta ca+a+b+c}{2b}+\left(\beta c;a^{\prime}c\mid b\right)-\left(0;a^{\prime}c\mid b\right),\\ \mathrm{N}(\gamma ab)-\mathrm{N}(0)=\gamma\frac{\gamma ab+a+b+c}{2c}+\left(\gamma a;b^{\prime}a\mid c\right)-\left(0;b^{\prime}a\mid c\right).\end{array}\right.$
Ținând seamă de formulele $(93),\left(93^{\prime}\right),(95),\left(95^{\prime}\right)$ şi observând că $\mathrm{N}(0)=1$ , formula (94) devine
$\mathrm{N}(\alpha bc+\beta ca+\gamma ab)=\frac{(\alpha bc+\beta ca+\gamma ab)^{2}+(a+b+c)(\alpha bc+\beta ca+\gamma ab)}{2abc}+$
$+\left(\alpha b;c^{\prime}b\mid a\right)-\left(0;c^{\prime}b\mid a\right)+\left(c;a^{\prime}c\mid b\right)-\left(0;a^{\prime}c\mid b\right)+$
$\left(\gamma a;b^{\prime}a\mid c\right)-\left(0;b^{\prime}a\mid c\right)+1$
Insă $n$ fiind un număr întreg, iar numerele $bc,ca,ab$ , fiind prime între ele, putem totdeauna găsi numerele întregi $\alpha,\beta,\gamma$ astfel ca

\alpha bc+\beta ca+\gamma ab=n.

Avem atunci

\alpha b\equiv nc^{\prime}(\bmod a),\beta c\equiv na^{\prime}(\bmod b),\gamma a\equiv nb^{\prime}(\bmod c)

şi se vede imediat că lema 12 rezultă.
Dacă $a=1$ , avem şi $a^{\prime}=a^{\prime\prime}=1$ . Dacă mai observăm că pe baza for-mulei (86) avem

\left(nb^{\prime};b^{\prime}a\mid c\right)=\left(na^{\prime\prime};a^{\prime\prime}b\mid c\right)

deducem

\mathbf{R}(n;1,b,c)=\frac{n(n+b+c+1)}{2bc}

$\mathrm{G}(n;1,b,c)=(n;c\mid b)-(0;c\mid b)+(n;b\mid c)-(0;b\mid c)+1$
In fine pentru $a=b=1$ vom avea

		$\displaystyle\mathrm{R}(n;1,c)=\frac{n(n+c+2)}{2c}$
		$\displaystyle\mathrm{G}(n;1,c)=(n;1\mid c)-(0;1\mid c)+1$

33.
- —
  
  Inainte de a merge mai departe vom stabili următoarea proprietate a sumelor (83) :

LEMA 13. - Avem formula

(-n-1-q;q\mid p)=(n;q\mid p)

oricare ar fi numărul întreg n.
Pentru a demonstra lema să punem

\mathrm{T}_{n}=(n;q\mid p)-(-n-1-q;q\mid p).

Pe baza formulei (85) avem atunci

\mathrm{T}_{n+1}-\mathrm{T}_{n}=\frac{p-1}{p}-\frac{1}{p}\left[\left(\left.\frac{n+1}{q}\right\rvert\,p\right)+\left(\left.\frac{-n-1-q}{q}\right\rvert\,p\right)\right]

Insă din

\left(\left.\frac{n+1}{q}\right\rvert\,p\right)q\equiv n+1,\left(\left.\frac{-n-1-q}{q}\right\rvert\,p\right)q\equiv-n-1-q(\bmod p)

deducem

\left(\left.\frac{n+1}{q}\right\rvert\,p\right)+\left(\left.\frac{-n-1-q}{q}\right\rvert\,p\right)\equiv-1(\bmod p)

de unde

\left(\left.\frac{n+1}{q}\right\rvert\,p\right)+\left(\left.\frac{-n-1-q}{q}\right\rvert\,p\right)=p-1.

Avem prin urmare $\mathrm{T}_{n+1}=\mathrm{T}_{n}$ oricare ar fi $n$ şi rezultă de aici că (96)

\mathrm{T}_{n}=\mathrm{T}_{0}

Vom arăta acum că
(97)

\mathrm{T}_{0}=0

Pentru aceasta avem, ținând seamă de (85),

\begin{gathered}\mathrm{T}_{0}=(0;q\mid p)-(-1-q;q\mid p)=(0;q\mid p)-(-q;q\mid p)+[(-q;q\mid p)-\\ -(-1-q;q\mid p)]=(0;q\mid p)-(-q;q\mid p)+\frac{p-1}{2p}-\frac{1}{p}\left(\left.\frac{-q}{q}\right\rvert\,p\right)=\\ \quad=(0;q\mid p)-(-q;q\mid p)-\frac{p-1}{2p}\end{gathered}

	$\displaystyle(0;q\mid p)-(-q;q\mid p)$	$\displaystyle=\frac{1}{p^{2}}\sum_{i=0}^{p-1}i(-qi\mid p)-\frac{1}{p^{2}}\sum_{i=0}^{p-1}i(-q(i+1)\mid p)=$
		$\displaystyle=\frac{1}{p^{2}}\sum_{i=u}^{p-1}(-qi\mid p)=\frac{p-1}{2p}$

căci $-qi,i=0,1,\ldots,p-1$ formează un sistem complect de resturi $(\bmod p)$ .

Formula (97) rezultă, iar din (96) rezultă atunci că $\mathrm{T}_{n}=0$ , oricare ar fi $n$ şi lema 13 este demonstrată.
34. - Să revenim la problema noastră. Vom demonstra următoarea

TEOREMA 6. - Functia G(n), periodică si de perioadă abc, este simetrică fată de centrul de simetrie - $\frac{a+b+c^{9}}{2}$ ).

Bineînțeles că funcția $\mathrm{G}(n)$ are, din cauza periodicitătii, o infinitate de centre de simetrie.

Teorema se exprimă prin egalitatea

\mathrm{Q}(-a-b-c+1-k)=\mathrm{Q}(k-1),

oricare ar fi numărul întreg $k$ , sau prin alte egalități analoage.
Pe baza formulei (90) este destul să demonstrăm proprietatea pentru fiecare din functiile
(98)

\left(nc^{\prime};c^{\prime}b\mid a\right),\quad\left(na^{\prime};a^{\prime}c\mid b\right),\quad\left(nb^{\prime};b^{\prime}a\mid c\right).

Pentru prima din aceste functii proprietatea revine la egalitatea

\left(c^{\prime}(k-1);c^{\prime}b\mid a\right)=\left(-c^{\prime}(k-1)-1-c^{\prime}b;c^{\prime}b\mid a\right)

care este adevărată pe baza lemei 13. La fel se demonstrează proprietatea pentru celelalte două funcții (98).

Teorema 6 este deci demonslrată.
35. Rezultatele precedente se pot încă preciza.

Dacă o funcție este periodică de perioadă $\delta$ şi dacă are un centru de simetrie $n_{0}$ , orice punct congruent cu $n_{0}\left(\bmod\frac{\delta}{2}\right)$ este un centru de simetrie.

Rezultă din teorema 6 că pentru funcția $\mathrm{G}(\hat{\imath})$ punctul $y=\frac{abc-a-b-c}{2}$ este un centru de simetrie. Numerele $a,b,c$ fiind două câte două prime între ele, cel mult unul din ele este par astfel că numărul $v$ este totdeauna întreg.

Rezultă aşa dar că avem

\mathrm{G}(v+k)=\mathrm{G}(v-k)

oricare ar fi numărul întreg $k$ .
Formula (89) ne dă însă

\mathrm{R}(\nu+k)-\mathrm{R}(\nu-k)=k.

⁰⁰footnotetext: ⁹⁾ funcția

f(x)

este simetrică faţă de centrul de simetrie vo dacă revem, pentru orice

x

f\left(x_{0}+x\right)=f\left(x_{0}-x\right)

Avem deci
(99)

\mathrm{N}(v+k)-\mathrm{N}(v-k)=k.

oricare ar fi numărul întreg $k$ .
Dacă $n$ este negativ şi $>-a-b-c$ avem $\mathrm{N}(n)=0$ , după cum rezultă din definiția numărului $N(n)$ . Din (99) rezultă deci

\mathrm{N}(2v+i)=v+i,\quad i=1,2,\ldots,a+b+c-1.

Tinând seamă de formulele (88) şi (89) şi đăcând calculele găsim

\mathrm{G}(2\nu+i)=\frac{i(a+b+c-i)}{2abc},i=1,2,\ldots,a+b+c-1.

(100)

Şirul

\mathrm{G}(0),\mathrm{G}(1),\ldots,\mathrm{G}(abc-1)

care formează o perioadă a şirului $\{G(n)\}$ se desparte deci în două secțiuni

\mathrm{G}(0),\cdot\mathrm{G}(1),\ldots,\mathrm{G}(2v),

(101)

\mathrm{G}(2v+1),\mathrm{G}(2v+2),\ldots,\mathrm{G}(abc-1)

(102)

fiecare fiind simetric în sensul că termenii egal depărtați de extremi sunt egali. Mai mult încă formula (100) ne arată că şirul (102) este constituit de valorile unui polinom de gradul al doilea (are diferența a treia nulă).

In cazul particular $2v<0$ , care are loc dacă şi numai dacă cel puţin două din numerele $a,b,c$ sunt egale cu $1^{10}$ ), şirul (101) dispare şi rămâne numai şirul simetric (102). In acest caz de altfel $y=-1$ .
36. - Pentru a încheia acest § vom da o demonstratie directă necesității condiției din teorema 1 în cazul particular $m=3$ .

Vom presupune acum că în ecuația (82) $a,b,c$ sunt trei numere naturale oarecare.

Se ştie că numerele $a,b,c$ , se pot totdeauna scrie sub forma [6]

a=db_{1}c_{1}a_{2},\quad b=dc_{1}a_{1}b_{2},\quad c=da_{1}b_{1}c_{2},

unde $d,a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}$ sunt 7 numere naturale astfel că :
$1^{\circ}a_{1},b_{1},c_{1}$ sunt două câte două prime între ele,
$2^{\circ}a_{2},b_{2},c_{2}$ sunt două câte două prime între ele,
intre ele perechile $a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};c_{1},c_{2}$ sunt grupe de două numere prime
Num
unt respectul $d$ este c.m.m.d.c. al numerelor $a,b,c$ iar $dc_{1},da_{1},db_{1}$
iv c.m.m.d.e. al grupelor de câte două numere $a,b;b,c;c,a$ .
¹⁰⁾ Inegalitatea $2\nu<0$ revine la (*) $1<\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$ . Dacă cel putin douč dia numerele $a,b,c$ sunt $>1$ avem, fixând coñvenabil notatiile, $a\geqq 1,b\geqq 2,c\geqq 3$ , de unde $\frac{1}{ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{6}}\leqslant 1$ , care contrazice inegalitatoa (%).

Condiția necesară şi suficientă ca numerele $a,b,c$ să fie două câte două prime între ele este ca să avem $d=a_{1}=b_{1}=c_{1}=1$ .

Să presupunem că aceaslă condiție nu este îndeplinită dar că ar
exista o soluție $\mathrm{R}(n)$ a problemei III. Distingem atunci două cazuri : $1^{\circ}.d>1$ . In acest caz, ca la Nr. 30 , se vede că

\mathrm{N}\left(da_{1}b_{1}c_{1}n+1\right)=0

(103)

—

oricare ar fi $n$ .

Avem însă şi
(104)

\mathrm{N}\left(da_{1}b_{1}c_{1}n\right)=\mathrm{N}\left(n;a_{2},b_{2},c_{2}\right).

Intr’adevăr, orice soluție a ecuației

ax+by+cz=d\left(b_{1}c_{1}a_{2}x+c_{1}a_{1}b_{2}y+a_{1}b_{1}c_{2}z\right)=da_{1}b_{1}c_{1}n

este o soluție a ecuației

b_{1}c_{1}a_{2}x+c_{1}a_{1}b_{2}y+a_{1}b_{1}c_{2}z=a_{1}b_{1}c_{1}n

(105)

şi reciproc. Avern deci
(106)

\mathrm{N}\left(da_{1}b_{1}c_{1}n\right)=\mathrm{N}\left(a_{1}b_{1}c_{1}n;b_{1}c_{1}a_{2},c_{1}a_{1}b_{2},a_{1}b_{1}c_{2}\right).

Dar dacă avem (105), numerele întregi $x,y,z$ sunt respectiv divizibile cu $a_{1},b_{1},c_{1}$ , pe baza proprietătilor semnalate ale numerelor $a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}$ . Rezultă că soluțiile ecuației

b_{1}c_{1}a_{2}x+c_{1}a_{1}b_{2}y+a_{1}b_{1}c_{2}z=a_{1}b_{1}c_{1}\left(a_{2}x^{\prime}+b_{2}y^{\prime}+c_{2}z^{\prime}\right)=a_{1}b_{1}c_{1}n

corespund biunivoe cu soluțiile ecuației $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=n$ . Avem prin armare
(107)

\mathrm{N}\left(a_{1}b_{1}c_{1}n;b_{1}c_{1}a_{2},c_{1}a_{1}b_{2},a_{1}b_{1}c_{2}\right)=\mathrm{N}\left(n;a_{2},b_{2},c_{2}\right)

Formula (104) rezultă din (106) şi (107).
Din formulele (103) şi (104) deducem respectiv

	$\displaystyle\mathrm{R}\left(da_{1}b_{1}c_{1}n+1\right)=\lambda$		(108)
	$\displaystyle\mathrm{R}\left(da_{1}b_{1}c_{1}n\right)=\frac{n\left(n+a_{2}+b_{2}+c_{2}\right)}{2a_{2}b_{2}c_{2}}+\lambda^{\prime}$		(109)

oricare ar fi $n$ , iar $\lambda,\lambda^{\prime}$ fiind constante.
Dar din (108) rezultă $\mathrm{R}(n)=\lambda$ iar din (109) rezuthă $\mathrm{R}(n)==\frac{dn\left(n+aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\right)}{2abc}+\lambda^{\prime}$ . Ar trebui deci să avem

\lambda=\frac{an\left(n+aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\right)}{2abc}+\lambda^{\prime}

oricare ar fi a ceea ce este vizibil imposibil.
20. $d=1$ . In acest caz cel puțin unui dintre mumercle $a_{1},b_{1},c_{1}$
este $>1$ . Fie, pentru fixarea notatiilor, $c_{1}>1$ . Pentru simplificarea discutiei putem presupune $n$ pozitiv.

Un rationament analog cu cel de mai sus ne arată că

\mathrm{N}\left(a_{1}b_{1}c_{1}n-1,a_{1}b_{1}c_{2}\right)=\mathrm{N}\left(nc_{1}+c_{2};c_{1}a_{2},c_{1}b_{2},c_{2}\right)

Insă dacă avem

c_{1}a_{2}x+c_{1}b_{2}y+c_{2}z=c_{1}n+c_{2}

trebue ca $z-1$ să se dividă cù $c_{1}$ , căci $c_{1},c_{2}$ sunt prime între ele.
Să presupunem că

z=1+c_{1}t

(110)

atunci

a_{2}x+b_{2}y+c_{2}t=n

Deoarece $c_{1}>1$ , din (110) se vede că numerele $z,t$ sunt totdeauna ambele pozitive sau nule. Rezultă printr’un raționament simplu că

\mathrm{N}\left(nc_{1}+c_{2};c_{1}a_{2},c_{1}b_{2},c_{2}\right)=\mathrm{N}\left(n;a_{2},b_{2},c_{2}\right)

In definitiv deci
(111)

\mathrm{N}\left(a_{1}b_{1}c_{1}n+a_{1}b_{1}c_{2}\right)=\mathrm{N}\left(n;a_{2},b_{2},c_{2}\right)

Din formulele (104) ( $d=1$ ) şi (111) deduoem

		$\displaystyle\mathrm{R}\left(a_{1}b_{1}c_{1}n+a_{1}b_{1}c_{2}\right)=\frac{n\left(n+a_{2}+b_{2}+c_{2}\right)}{2a_{2}b_{2}c_{2}}+\lambda$
		$\displaystyle\mathrm{R}\left(a_{1}b_{1}c_{1}n\right)=\frac{n\left(n+a_{2}+b_{2}+c_{2}\right)}{2a_{2}b_{3}c_{2}}+\lambda^{\prime}$

deci

		$\displaystyle\mathrm{R}(n)=\frac{(n-c)\left(n-c+aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\right)}{2abc}+\lambda$
		$\displaystyle\mathrm{R}(n)=\frac{n\left(n+aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\right)}{2abc}+\lambda^{\prime}$

prin urmare

\frac{n\left(n+aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\right)}{2abc}+\lambda^{\prime}=\frac{(n-c)\left(n-c+aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\right)}{2abc}+\lambda

oricare ar fi $n$ iar $\lambda;\lambda^{\prime}$ fiind nişte constante. Este uşor de văzut că aceş ? lucru este imposibil.

Cu aceasta proprietatea urmărită este complet demonstrată.

§ 8.

37.
- —
  
  Ne vom ocupa acum de rezolvarea problemeior I, II, II’ in cazul $m=3$ . Am văzut că este suficient să presupunem că unul din cocficienți este egal cu 1. Fie deci ecuația
  (112)

x+by+cz=n

unde, sum am văzut, putem presupune numerele $b,c$ prime între ele. Peníru fixarea notatiilor vom presupune $b\leq c$ . Atunci avem sau $b=c=1$ sau $t<c$ . Notatiile prescurtate se vor referi acum la ecuatia (112) _a
38. - Să presupunem întâi că $b=1$ . Pe baza celor stabilite mai sus avem atunci

M^{\prime}=\max_{i=0,1,\ldots,c-}

Calculul lui M’ şi M” se face uşor observând că G (n) pentru valorile considerate ale lui $n$ este un polinom de gradul al doilea şi că un polinom de gradul al doilea este o functie convexă sau concavă simetrică în raport cu punctul său de extremum relativ ca centru de simetrie. Un astfel de calcul va fi repetat de mai multe ori in cele ce urmează.

Făcând calculele găsim

		$\displaystyle\mathbf{M}^{\prime}=$
		$\displaystyle\mathbf{M}^{\prime\prime}=\frac{c+1}{2c}$

deci

M^{\prime}-M^{\prime\prime}=\begin{cases}\frac{c}{8},&\text{ pentru }c\text{ par }\\ \frac{c^{2}-1}{8c},&\text{ pentru }c\text{ impar }\end{cases}

Se vede că problemele I, II, II’ au soluții dacă şi numai dacă $c=1,2,3,4,5,6,7$ .

Rezultatul final va fi enuntat mai jos.
39. - Să presupunem acum că $b>1$ . Avem atunci neapărat $b<c$ si $\nu\geqq 0$ .

Dacă punem

$\mathrm{M}_{1}^{\prime}=\max_{i=0,1,\ldots,v}\{\mathrm{G}(i)\}$ ,	$\mathrm{M}_{1}^{\prime\prime}=$	$\min_{i=0,1,\ldots,v}\{\mathrm{G}(i)\}$
$\mathrm{M}_{2}^{\prime}=\max_{i=1,2,\ldots,b+c}\{\mathrm{G}(2v+i)\}$	$\mathrm{M}_{2}^{\prime\prime}=\min_{i=1,2,\ldots,b+c}\{\mathrm{G}(2v+i)\}$

vom avea
(113)

M^{\prime}=\max\left\{M_{1}^{\prime}\cdot M_{2}^{\prime}\right\},\quad M^{\prime\prime}=\min\left\{M_{1}^{\prime\prime},M_{2}^{\prime\prime}\right\}

Am obținut astfel nişte formule care vor servi la calculul efectival extremelor $\mathrm{M}^{\prime},\mathrm{M}^{\prime\prime}$ .

Numerele $M_{2}^{\prime},M_{2}^{\prime\prime}$ se calculează ca la Nr. 38, folosind formula (100), ìn care punem $a=1$ .

Un calcul simplu ne dă

M_{2}^{\prime}=\begin{cases}\frac{(b+c+1)^{2}}{8bc},&\text{ dacă }b,c\text{ sunt de paritate diferită, }\\ \frac{(b+c)(b+c+2)}{8bc},&\text{ dacă }b,c\text{ sunt ambele impare }\\ M_{2}^{\prime\prime}=\frac{b+c}{2bc}&\end{cases}

Calculul numerelor $M_{1}^{\prime},M_{1}^{\prime\prime}$ se poate simplifica pe baza următoarei LEMA 14. - Dacă $0\leqq n<bc$ , avem $0\leqq\mathrm{\penalty 10000\ N}(n;b,c)\leqq 1$ .
Prima inegalitate este evidentă. Este destul să demonstrăm deci a doua inegalitate. Această inegalitate însemnează că ecuația $bx+cy=n$ , pentru $0\leqq n<bc$ are cel mult o soluție în numere întregi nenegative. Să presupunem contrarul şi fie atunci $x,y;x^{\prime},y^{\prime}$ două soluții ale acestei ecuaţii. Avem $bx+cy=bx^{\prime}+cy^{\prime}<bc$ de unde

\begin{array}[]{ll}0\leqq x,x^{\prime}<c,&0\leqq y,y^{\prime}<b\\ x\equiv x^{\prime}(\bmod c),&y\equiv y^{\prime}\quad(\bmod b)\end{array}

care atrage după sine $x=x^{\prime},y=y^{\prime}$ .
Lema 14 este deci demonstrată.
Dacă acum ținem seamă de :
$1^{\circ}$ . Inegalitatea $v<bc-1$ ,
$2^{\circ}$ . Lema 14,
$3^{\circ}$ . Formula
(115)

\mathrm{N}(n+1)-\mathrm{N}(n)=\mathrm{N}(n+1;b,c)

4.

Faptul că polinomul $\mathrm{R}(n)=\frac{n(n+b+c+1)}{2bc}$ este crescător pentru $n\geqq 0$ ,
găsim imediat
(116) $\mathrm{M}_{1}^{\prime}=\max_{o\leqq bx+cy\leqq\nu}\{\mathrm{G}(bx+cy)\},\mathrm{M}_{1}^{\prime\prime}=\min_{o\leqq bx+cy-1\leqq\nu}\{\mathrm{G}(bx+cy-1)\}$ unde $x,y$ parcurg toate valorile întregi nenegative posibile.

In aplicatii. $\mathrm{G}(n)$ se calculează din formula $\mathrm{G}(n)=\mathrm{N}(n)-\mathrm{R}(n)$ , evaluând direct pe $\mathrm{N}(n)$ . Vom face mai jos astfel de aplicații.
40. - Fie $s$ câtul şi $r$ restul împărțirii lui $c$ prin $b$ . Deci $c=sb+r$ , $0<s,0<r<b$ iar $r$ este prim cu $b$ .

Dacă $0\leqq n<c$ , ecuația (112) nu poate să fie satisfăcută decât pentru $z=0$ , iar necunoscuta $y$ ia atunci valorile $\left.0,1,\ldots,\frac{n}{b}\right\rfloor$ . Rezullă - deci că

N(n;=N(n:1,b),\operatorname{dac}a0\leqq n<c.

Insă
(117)
oricare ar fi $n$ .

\mathrm{N}(n;1,b)=\left[\frac{n}{v}\right]+1

Avem prin urmare

\mathrm{N}(n)=\left\lceil\frac{n}{b}\right\rceil+1,\text{ dacă }0\leqq n<c

(118)

Din această formulă rezultă că $\mathrm{N}((s-1)b)=\mathrm{N}(sb-1)=s$ şi un calcul elementar ne arată că

\begin{gathered}\mathrm{M}^{\prime}-\mathrm{M}^{\prime\prime}\geqq\mathrm{G}((s-1)b)-\mathrm{G}(sb-1)=\mathrm{R}(sb-1)-\mathrm{R}((s-1)\mathrm{b})=\\ =-\frac{3sb(b-1)+r(b-1)}{2b(sb+r)}\end{gathered}

Problemele I, II, II’ nu vor avea nici o soluţie dacă acest raport, este $\geq 1.0$ condiție necesară pentru ca aceste probleme să aibă o soluţie este deci ca acest raport să fie $<1$ , condiție care se poate scrie sub forma. s $b(b-3)-r(b+1)<0$ sau

\frac{sb(b-3)}{b+1}<r

(119))

Pentru a găsi o altă delimitare să luăm $n=(s+1)b$ . In acest caz ecuația (112) nu poate să fie satisfăcută decât dacă $z=0$ sau 1. Rezultă, tinând seamă de (117), că

\mathrm{N}((s+1)b)=\mathrm{N}((s+1)b;1,b)+\mathrm{N}(b-r;1,b)=s+3

Avem atunci

\mathrm{M}^{\prime}\geqq\mathrm{G}((s+1)b)=s+3-\frac{(s+1)b[2(s+1)b+r+1]}{2b(sb+r)}

Pe de altă parte, pe baza formulelor (113) şi (114), avem

Rezultă că

\mathrm{M}^{\prime\prime}\leqq\mathrm{M}_{2}^{\prime\prime}=\frac{(s+1)b+r}{2b(sb+r)}

M^{\prime}-M^{\prime\prime}\geq\frac{2b[(s-1)b-s+1]+r[(s+5)b-1]}{2b(sb+r)}

de unde, procedând ca mai sus, se deduce o a doua condiție necesară pentru posibilitatea problemelor I, II, II’, condiție care se scrie

-2b(b+s+1)+r[(s+3)b-1]<0

r<\frac{2b(b+s+1)}{(s+3)b-1}

(120)

Din incralitate (119), (120) ; inênd scamă de valorile posabitt ate
lui $b,r$ şi $s$ se deduc valorile lui $b,c$ care satisfac ambele aceste inegalități. Numai în aceste cazuri problemele I, II, II’ pot avea soluții.

Făcând această discutie care nu prezintă nici o dificultate, găsim că problemele I, II, II’ pot avea soluții numai în următoarele 9 cazuri :

Vom discuta mai departe aceste 9 cazuri. Această discuție se bazează pe determinarea efectivă a numerelor $\mathrm{M}^{\prime},\mathrm{M}^{\prime\prime}$ .
41. 1. - Cazul I. Avem $v=s-1,s$ fiind un număr natural. Pe bazæ formulelor (116) avem
(121)

M_{1}^{\prime}=\max_{i=0,1,\ldots,\left[\frac{s-1}{2}\right]}\{G(2i)\},M_{1}^{\prime\prime}=\min_{i=1,2,\ldots,\left[\frac{s}{2}\right]}\{G(2i-1)\}

Ținând seamă de (118) găsim
$\mathrm{G}(2i)=i+1-\frac{2(i+s+2)}{2s+1}=\frac{i(s-1-i)+2s+1}{2s+1},i=0,1,\ldots,\left[\frac{s-1}{2}\right]$
$\left.\mathrm{G}(2i-1)=i-\frac{(2i-1)(2i+2s+3)}{4(2s+1)}=\frac{4i(s-i)+2s+3}{4(2s+1)},i=1,2,\ldots,\frac{s}{2}\right\rfloor$ .
Un calcul direct ne dă atunci

		$\displaystyle\mathbf{M}_{1}^{\prime}=\left\{\begin{array}[]{l}\frac{s^{2}+6s+5}{4(2s+1)},\quad\text{ pentru }s\text{ impar }\\ \frac{s^{2}+6s+4}{4(2s+1)},\end{array}\text{ pentru }s\right.\text{ par, }$
		$\displaystyle\mathbf{M}_{1}^{\prime\prime}=\frac{6s-1}{4(2s+1)}.$

Pe baza formulelor (114) avem

M_{2}^{\prime}=\frac{(s+2)^{2}}{4(2s+1)},\quad M_{2}^{\prime\prime}=\frac{2s+3}{4(2s+1)}

$M^{\prime\prime}=M_{2}^{\prime\prime}$ .
Se vede uşor că $M_{1}^{\prime}>M_{2}^{\prime},\quad M_{1}^{\prime\prime}\geq M_{2}^{\prime\prime}$ . Rezultă deci $M^{\prime}=M_{1}^{\prime\prime}$ ,
Este de observat că acest rezultat rămâne valabil şi pentru $s=1$ deşi în acest caz a doua formulă (121) nu există. Dacă însă $s=1$ , avem $M^{\prime}=M_{1}^{\prime\prime}=G(0)=1$ .

In definitiv

M^{\prime}-M^{\prime\prime}=\left\{\begin{array}[]{l}\frac{s^{2}+4s+2}{4(2s+1)},\text{ dacă }s\text{ este impar, }\\ \frac{s^{2}+4s+1}{4(2s+1)},\text{ dacă }s\text{ este par. }\end{array}\right.

Se verifică imediat că problemele I, II, II’ au soluții dacă şi numai dacă $s=1,2,3,4$ .
41. 2. - Cazul II. Avem $v=3s-1$ . Procedànd ca mai sus avem
$\mathrm{M}_{1}^{\prime}=\max_{i=0,1,\ldots,s-1}\{\mathrm{G}(3i)\},\quad\mathrm{M}_{1}^{\prime\prime}=\min_{i=1,2,\ldots,s}\{\mathrm{G}(3i-1)\}$ unde
$\mathrm{G}(3i)=i+1-\frac{i(3i+3s+5)}{2(3s+1)}=\frac{3i(s-1-i)+2(3s+1)}{2(3s+1)},i=0,1,\ldots,s-1$ , $\mathrm{G}(3i-1)=i-\frac{(3i-1)(3i+3s+4)}{6(3s+1)}=\frac{3i(3s-1-3i)+3s+4}{6(3s+1)},i=1,2,\ldots,s$ , de unde

		$\displaystyle\mathbf{M}_{1}^{\prime}=$
		$\displaystyle\mathbf{M}_{1}^{\prime\prime}=\frac{2}{3(3s+1)}$

Avem deasemenea

		$\displaystyle\mathbf{M}_{2}^{\prime}=$
		$\displaystyle\mathbf{M}_{2}^{\prime\prime}=\frac{3s+4}{6(3s+1)}$

Se vede uşor că $M_{1}^{\prime}>M_{2}^{\prime},M_{2}^{\prime\prime}>M_{1}^{\prime\prime}$ aşa că $M^{\prime}=M_{1}^{\prime},M^{\prime\prime}=M_{1}^{\prime\prime}$ şi deducem

M^{\prime}-M^{\prime\prime}=\begin{cases}\frac{9s^{2}+54s+17}{24(3s+1)},&\text{ dacă }s\text{ este impar }\\ \frac{9s^{2}+54s+8}{24(3s+1)},&\text{ dacă }s\text{ este par }\end{cases}

Problemele I, II, II’ au soluții dacă şi numai dacă $s=1,2$ .
41. 3. - Cazul III. Avem $v=3s$ şi procedând ca la cazul II,
$\mathbf{M}_{\mathbf{1}}^{\prime}=\max\quad\{\mathrm{G}(3i)\},\mathbf{M}_{\mathbf{1}}^{\prime\prime}=\min\quad\{\mathrm{G}(3i-1)\}$
ande
$\square(3i)=i+1-\frac{3i(i+s+2)}{2(3s+2)}=\frac{i(3s-2-3i)+2(3s+2)}{2(3s+2)},\quad i=0,1,\ldots,s$ , $G(3i-1)=i-\frac{(3i-1)(3i+3s+5)}{6(3s+2)}=\frac{9i(s-i)+3s+5}{6(3s+2)},\quad i=1,2,\ldots,s_{n}$

Deducem de aici

		$\displaystyle\mathbf{M}_{1}^{\prime}=\left\{\begin{array}[]{l}\frac{3s^{2}+20s+16}{8(3s+2)},\quad\text{ dacă }s\text{ este par },\\ \frac{3s^{2}+20s+17}{8(3s+2)},\quad\text{ dacă }s\text{ este impar, }\end{array}\right.$
		$\displaystyle\mathbf{M}_{1}^{\prime\prime}=\frac{3s+5}{6(3s+2)}.$

Avem deasemenea

		$\displaystyle\mathbf{M}_{2}=\left\{\begin{array}[]{l}\frac{3(s+2)^{2}}{8(3s+2)},\quad\text{ dică }s\text{ este par, }\\ \frac{(3s+5)(3s+7)}{24(3s+2)},\quad\text{ dacă }s\text{ este impar, }\end{array}\right.$
		$\displaystyle\mathbf{M}_{2}=\frac{3s+5}{6(3s+2)}$

Se vede că $M_{1}^{\prime}>M_{2}^{\prime},\quad M_{1}^{\prime\prime}=M_{2}^{\prime\prime}$ , deci $M^{\prime}=M_{1}^{\prime},M^{\prime\prime}=M_{1}$ şi debucern
$\mathbf{M}^{\prime}-\mathbf{M}^{\prime\prime}=\begin{cases}\frac{9s^{2}+48s+28}{24(3s+2)},&\text{ dacă }s\text{ este par, }\\ \frac{9s^{2}+48s+31}{24(3s+2)}&\text{ dacă }s\text{ este impar, }\end{cases}$
Problemele I, II, II’ au soluții dacă şi numai dacă $s=1,2,3$ .
41. 4.-Cazurile IV-IX. Aceste 6 cazuri le putem trata împreună.. Calculând pe $\mathrm{M}_{1}^{\prime}\mathrm{M}_{1}^{\prime\prime}$ găsim următoarele valori

Pentru a arăta cum se obtine acest tablou va fi suficient să execulăm calculele intr’unul din cazuri. Vom alege pentru aceasta cazul IX. Avem atunci $v=41$ şi $\mathrm{R}(n)=\frac{n(n+22)}{208}$ . Pentru calcularea numerelor $M_{1}^{\prime},M_{1}^{\prime\prime}$ folosim formulele (116). Numerele întregi nenegative de forma $8x+13y$ care verifică inegalitățile $0\leqq 8x+13y\leqq 41$ sunt

0,8,13,16,21,24,26,29,32,34,37,39,40.

Pe baza lemei 14 şi a formulei (115), valorile lui $N(n)$ pentru aceste valori succesive ale lui $n$ sunt numerele naturale consecutive dela 1 până la 13 inclusiv. Pe baza formulei $\mathrm{G}(n)=\mathrm{N}(n)-\mathrm{R}(n)$ obtinem valorile lui $G(n)$ pentru valorile lui $n$ care intervin în determinarea lui $M_{1}^{\prime}$ . Obtinem astfel următorul

Table 1: Tabloul 3.

$n$	0	8	13	16	21	24	26	29	32	34	37	39	40
$\mathrm{\penalty 10000\ N}(n)$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
$\left.\mathrm{R}^{\prime}n\right)$	0	$\frac{15}{13}$	$\frac{35}{16}$	$\frac{38}{13}$	$\frac{903}{208}$	$\frac{69}{13}$	6	$\frac{1479}{208}$	$\frac{108}{13}$	$\frac{119}{13}$	$\frac{2183}{208}$	$\frac{183}{16}$	$\frac{155}{13}$
$\mathrm{G}(n)$	1	$\frac{11}{13}$	$\frac{13}{16}$	$\frac{14}{13}$	$\frac{137}{208}$	$\frac{9}{13}$	1	$\frac{185}{208}$	$\frac{9}{13}$	$\frac{11}{13}$	$\frac{105}{208}$	$\frac{9}{16}$	$\frac{14}{13}$

Rezultă de aici că $\mathrm{M}_{1}=\frac{14}{13}$ .
Pentru a determina pe $\mathrm{M}_{1}^{\prime\prime}$ observăm că numerele întregi nenegative de forma $8x+13y-1$ care verifică inegalitătile $0\leqq 8x+13y-1\leqq 41$ sunt

7,12,15,20,23,25,28,31,33,36,38,39,41.

Pentru aceleaşi motive ca mai sus, valorile lui $N(n)$ pentru acestevalori succesive ale lui $n$ sunt numerele naturale consecutive dela 1 până la 13 inclusiv. Obtinem astfel

Table 2: Tabloul 4.

$n$	7	12	15	20	23	25	28	31	33	36	38	39	41
$\mathrm{N}(\mathrm{n})$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
$\mathrm{R}(n)$	203	51	555	105	1035	1175	175	1643	1815	261	285	183	2583
$\mathrm{R}(n)$	208	26	208	26	208	20”	26	208	208	26	26	16	208
$\mathrm{G}(n)$	$\frac{5}{208}$	$\frac{1}{26}$	$\frac{69}{288}$	$-\frac{1}{26}$	$\frac{5}{208}$	$\frac{73}{208}$	$\frac{7}{26}$	$\frac{21}{208}$	$\frac{57}{208}$	$-\frac{1}{26}$	$\frac{1}{26}$	$\frac{9}{16}$	$\frac{121}{208}$

Rezultă de aici că $\mathbf{M}_{1}^{\prime\prime}=-\frac{1}{26}$ .
Revenind la tabloul 1, vedem că în cazurile IV, V, VIII, IX avem. $M_{1}^{\prime}-M_{1}^{\prime\prime}>1$ şi deci cu atât mai mult $M^{\prime}-M^{\prime\prime}>1$ . In aceste cazuri problemele I, II, II’ nu au nici o solutie.

Rămân încă de examinat mai departe cazurile VI, VII. Formulele (114) ne dau

Table 3: Tabloul 5.

Cazul	$M_{2}^{\prime}$	$M_{2}^{\prime\prime}$
VI	$\frac{3}{5}$	$\frac{6}{35}$
VII	$\frac{49}{80}$	$\frac{13}{80}$

Rezultă, comparând cu tabloul 1, că
în cazul VI : $M^{\prime}=1,M^{\prime\prime}=\frac{1}{35},\quad M^{\prime}-M^{\prime\prime}=\frac{34}{35}<1$ ,
î cazul VII : $\mathrm{M}^{\prime}=1,\mathrm{M}^{\prime\prime}=\frac{1}{10},\quad\mathrm{M}^{\prime}-\mathrm{M}^{\prime\prime}=\frac{9}{10}<1$ .
In aceste cazuri problemele I, II, II’ au deci soluții.
In definitiv avem deci :
TEOREMA 7. -In cazul $m=3$ problemele I, II, II’ au solutii în şi numai în următoarele 18 cazuri, numerotate dela $1^{\circ}$ la $18^{\circ}$ .

Table 4: Tabloul 6.

Cazul	$1^{\circ}$	$2^{\circ}$	$3^{\circ}$	$4^{\circ}$	$5^{\circ}$	$6^{\circ}$	$7^{\circ}$	$8^{\circ}$	$9^{\circ}$
$b$ şi $c$	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	2,3	2,5

Cazul	$10^{\circ}$	$11^{\circ}$	$12^{\circ}$	$13^{\circ}$	$14^{\circ}$	$15^{\circ}$	$16^{\circ}$	$17^{\circ}$	$18^{\circ}$
$b$ şi $c$	2,7	2,9	3,4	3,7	3,5	3,8	3,11	5,7	5,8

In toate cazurile unul cel puțin din coeficientii ecuatiei (1) este egal cu 1, iar ceilalți doi coeficienti b si c sunt dați în tabloul 6 alăturat.
42. - Vom da şi soluțiile problemelor I, II, II’în cele 18 cazuri $1^{\circ}-18^{\circ}$ puse în evidență.

In tabloul următor figurează valorile lui $M^{\prime},M^{\prime\prime},M^{\prime}-M^{\prime\prime}$ şi ale polinomului $\mathrm{R}(n)$ sub forma $\frac{n(n+b+c+1)}{2bc}$ . Polinoamele $\mathrm{P}(n),\mathrm{Q}(n),\mathrm{S}(n)$ se pot obține sub forma $R(n)+\frac{\lambda}{2bc}$ iar in tablou este dat intervalul de variatie a lui $\lambda$ pentru cele trei polinoame.

Table 5: Tabloul 7.

Cazul	$\mathrm{M}^{\prime}$	$M^{\prime\prime}$	$M^{\prime}-M^{\prime\prime}$	R (n)	interv. de var. al lui $\lambda$ pentru
Cazul	$\mathrm{M}^{\prime}$	$M^{\prime\prime}$	$M^{\prime}-M^{\prime\prime}$	R (n)	$\mathrm{P}(n)$	Q(n)	S (n)
$1^{\circ}$	1	1	0	$\frac{n(n+3)}{2}$	$(1,3)$	[2,4)	$(0,2]$
$2^{\circ}$	1	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{n(n+4)}{4}$	$(2,5)$	$[4,7)$	(0,3]
$3^{\circ}$	1	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{n(n+5)}{6}$	$(3,7)$	$[6,10)$	$(0,4]$
$4^{\circ}$	$\frac{9}{8}$	$\frac{5}{8}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{"(n+6)}{\gamma}$	$(5,9)$	$[9,13)$	$(1,5]$
$5^{\circ}$	$\frac{6}{5}$	$\frac{3}{0}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{n(n+7)}{10}$	$(7,11)$	$[12,16)$	(2,6]
$6^{\circ}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{7}{12}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{n(n+8)}{12}$	$(10,13)$	[16,19 ;	$(4,7]$
$7^{\circ}$	$\frac{10}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{6}{7}$	$\frac{n(n+9)}{1+}$	$(13,15)$	$[20,22)$	(6,8]
$8^{\circ}$	1	$\frac{5}{12}$	$\frac{7}{12}$	$\frac{n(n+6)}{12}$	$(6,11)$	$[12,17)$	$(0,5]$
$9^{\circ}$	1	$\frac{7}{20}$	$\frac{13}{20}$	$\frac{n(n+3)}{20}$	$(10,17)$	$[20,27)$	(0,7]
$10^{\circ}$	$\frac{8}{1}$	$\frac{9}{28}$	$\frac{25}{28}$	$\frac{n(n+10)}{28}$	$(18,23)$	$[32,37)$	$(4,9]$
$11^{\circ}$	$\frac{10}{9}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{29}{36}$	$\frac{n(n+12)}{36}$	$(22,29)$	$[40,47)$	(4,11]
$12^{\circ}$	1	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{6}$	$\frac{n(n+8)}{24}$	$(12,16)$	$[24,28)$	(0,4]
$13^{\circ}$	1	$\frac{4}{21}$	$\frac{19}{21}$	$\frac{n(n+11)}{42}$	$(21,25)$	[42,46	(0,4
$14^{\circ}$	1	4 10	$\frac{11}{10}$	$\frac{n(n+9}{30}$	$(15,23)$	$[30,38)$	(0,8

Cazul	$M^{\prime}$	M"	$\mathrm{M}^{\prime}-\mathrm{M}^{\prime\prime}$	R (n)	interv. . e var. al lui $\lambda$ pentru
Cazul	$M^{\prime}$	M"	$\mathrm{M}^{\prime}-\mathrm{M}^{\prime\prime}$	R (n)	$\mathrm{P}(n)$	Q(n)	S (n)
$15^{\circ}$	$\frac{17}{16}$	$\frac{11}{4\times}$	$\frac{5}{6}$	$\frac{n(n+12)}{48}$	(27,35)	$[51,59)$	(3,11]
$16^{\circ}$	$\frac{13}{11}$	$\frac{7}{33}$	$\frac{32}{33}$	$\frac{n(n+15)}{66}$	$(45,47)$	[(8,80)	(12,14]
$17^{\circ}$	1	$\frac{1}{35}$	$\frac{34}{35}$	$\frac{n(n+13)}{70}$	$(35,37)$	$[70,72)$	(0,2]
$18^{\circ}$	1	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{10}$	$\frac{n(n+14)}{80}$	$(40,48)$	$[80,88)$	$(0,8]$

Pe baza formelor (69) intervalul relativ la polinomul $Q(n)$ se deduce din intervalul relativ la polinomul $\mathrm{P}(n)$ prin o translație egală cu $bc$ iar intervalul relativ la polinomul S(n) prin o translație egală cu - bc. Intervalul relativ la $Q(n)$ este inchis la stânga, iar cel relativ la $S(n)$ este inchis la dreapta, extremitățile respective corespunzând soluțiilor exceptionale definite la Nr. 25.

Soluțiile excepționale ale problemelor II, II’ sunt date în următorul tablou.

Table 6: Tabloul 8.

Cazul

In Q(n)

ener

S (n)

1^{\circ}

(n+1)(n+2)

(n+1)(n+2)

2^{\circ}

(n+2)^{2}

(n+1)(n+3)

3^{\circ}

\frac{(n+2)(n+3)}{6}

(n+1)(n+4)

4^{\circ}

\frac{(n+3)^{2}}{8}

(n+1)(n+5)

5^{\circ}

(n+3)(n+4)

(n+1)(n+6)

6^{\circ}

\frac{(n+4)^{2}}{12}

(n+1)(n+7)

7^{\circ}

\frac{(n+4)(n+5)}{14}

(n+1)(n+8)

8^{\circ}

\frac{n^{2}+6n+12}{12}

(n+1)(n+5)

9^{\circ}

n^{2}+8n+20

(n+1)(n+7)

43.
- —
  
  Soluții particulare interesante sunt acelea în care de ex. polinomul $\mathrm{P}(n),\mathrm{Q}(n)$ sau $\mathrm{S}(n)$ se descompune în produsul a doi factori liniari cu coeficienți raționali. Din tabloul 7 se deduce că există o infinitate de astfel de polinoame $\mathrm{P}(n)$ și o infinitate de astfel de polinoame $\mathrm{S}(n)$ în toate cele 18 cazuri. Există o infinitate de astfel de polinoame Q (n) in cazurile $1^{\circ},3^{\circ},5^{\circ},7^{\circ}$ , există unul sigur (care este evident solutia exceptională) în cazurile $2^{\circ},4^{\circ},6^{\circ}$ şi nu există nici unul in celelate 11 cazuri.

Pentru demonstrarea acestor afirmații este destul în prealabil să observăm că polinomul $n(n+b+c+1)+\lambda$ se poate descompune în doi factori de gradul întâi cu coeficienți raționali numai dacă
$(b+c+1)^{2}-4\lambda\geqq 0$ .
Constatăm acum, pe de o parte, că avem o infinitate, unul singur sau nici un polinom $\mathrm{P}(n),\mathrm{Q}(n)$ sau $\mathrm{S}(n)$ de forma căutată după cum intervalul de variație a lui $\lambda$ corespunzător are cu intervalul
$\left(-\infty,\frac{(b+c+1)^{2}}{4}\right]o$ infinitate, unul singur sau nici un punct comun. Pe de altă parte valorile lui $\frac{(b+c+1)^{2}}{4}$ pentru cele 18 cazuri sunt succesiv egale cu $\frac{9}{4},4,\frac{25}{4},9,\frac{49}{4},16,\frac{81}{4},9,16,25,36,16,\frac{121}{4},\frac{81}{4},36,\frac{225}{4}$ , $\frac{169}{4},49$ .
44. - Pentru a pune în evidență câteva din aceste soluții vom examina trei forme particulare.
I. Să căutăm polinomul $\mathrm{P}(n),\mathrm{Q}(n)$ sau $\mathrm{S}(n)$ în care diferența rădăcinilor este un număr întreg. Polinomul căutat este atunci de forma $\frac{(n+u)(n+u+v)}{2bc}$ , unde $u$ este un număr rațional, iar $v$ un număr întreg care se poate presupune nenegativ.

Rezultă de aici că trebue să avem
de unde

2u+v=b+c+1,\quad u(u+v)=\lambda

(b+c+1)^{2}-v^{2}=4\lambda

Vedem imediat că avem un număr finit de soluții, $\lambda$ trebuind să apar ₇ ţină intervalului dat în tabloul 7.

Făcând toate calculele găsim soluțiile cuprinse in următorul tablou.

Table 7: Tabloul 9.

Cazul

P (n)

Q (n)

S (n)

1^{\circ}

\begin{aligned} &\frac{(2n+3)^{2}}{8},\frac{(n+1)(n+2)}{2},\\ &\frac{(2n+1)(2n+5)}{8}\end{aligned}

\begin{aligned} &\frac{(2n+3)^{2}}{8},\\ &\frac{(n+1)(n+2)}{2}-\end{aligned}

\begin{aligned} &\frac{(n+1)(n+2)}{2}\\ &\frac{(2n+1)(2n+5)}{8}\end{aligned}

2^{\circ}

\begin{aligned} &\frac{\left(n+2^{2}\right)}{4},\frac{(2n+3)(2n+5)}{10},\\ &\frac{(n+1)(n+3)}{4}\end{aligned}

\frac{(n+2)^{2}}{4}

\begin{aligned} &\frac{(n+1)(n+3)}{4}\\ &\frac{(2n+1)(2n+7)}{16}\end{aligned}

3^{\circ}

\begin{aligned} &\frac{(2n+5)^{2}}{24},\frac{(n+2)(n+3)}{6},\\ &\frac{(2n+3)(2n+7)}{24},\frac{(n+1)(n+4)}{6}\end{aligned}

\begin{aligned} &\frac{(2n+5)^{2}}{24},\\ &\frac{(n+2)(n+3)}{6}\end{aligned}

\begin{aligned} &\frac{(n+1)(n+4)}{6},\\ &\frac{(2n+1)(2n+9)}{24}\end{aligned}

4^{\circ}

\begin{aligned} &\frac{(2n+5)(2n+7)}{32},\frac{(n+2)(n+4)}{8},\\ &\frac{(2n+3)(2n+9)}{32}\end{aligned}

\frac{(n+3)^{2}}{8}

\begin{aligned} &\frac{(n+1)(n+5)}{8},\\ &2n+1)(2n+11)\end{aligned}

5^{\circ}

\begin{gathered}\frac{(n+2)(n+5)}{10},\\ \frac{(2n+3)(2n+11)}{40}\end{gathered}

\begin{aligned} &\frac{(2n+7)^{2}}{40},\\ &\frac{(n+3)(n+4)}{10}\end{aligned}

\frac{(n+1)(n+6)}{10}

(2n+1)(2n+13)

6^{\circ}

\frac{(n+2)(n+6)}{12}

\frac{(n+4)^{2}}{12}

\frac{(n+1)(n+7)}{12}

7^{\circ}

\frac{(n+2)(n+7)}{14}

\begin{aligned} &\frac{(2n+9)^{2}}{56}\\ &\frac{(n+4)(n+5)}{14}\end{aligned}

\frac{(n+1)(n+8)}{14}

8^{\circ}

\begin{aligned} &\frac{(n+3)^{2}}{12},\frac{(2n+5)(2n+7)}{48}\\ &\frac{(n+2)(n+4)}{12},\frac{(2n+3)(2n+9)}{48}\end{aligned}

\begin{aligned} &\frac{(n+1)(n+5)}{12}\\ &\frac{(2n+1)(2n+11)}{48}\end{aligned}

9^{\circ}

\begin{aligned} &\frac{(n+4)^{2}}{20},\frac{(2n+7)(2n+9)}{80},\\ &\frac{(n+3)(n+5)}{20},\frac{(2n+5)(2n+11)}{80},\\ &\frac{(n+2)(n+6)}{20}-\end{aligned}

\begin{aligned} &\frac{(n+1)(n+7)}{20}\\ &\frac{(2n+1)(2n+15)}{80}\end{aligned}

Table 8: Tabloul 9 (continuar’)

Cazul	P (n)	Q(n)	S (n)
$10^{\circ}$	$\begin{aligned} &\frac{(2n+7)(2n+13)}{112},\frac{(n+3)(n+7)}{28},\\ &\frac{(2n+5)(2n+15)}{112}\end{aligned}$	-	$\begin{aligned} &\frac{(n+1)(n+9)}{28}\\ &\frac{(2n+1)(2n+19)}{112}\end{aligned}$
$11^{\circ}$	$\begin{aligned} &\frac{(n+3)(n+9)}{36},\\ &\frac{(2n+5)(2n+19)}{144}\end{aligned}$	-	$\begin{gathered}\frac{(n+1)(n+11)}{36},\\ \frac{(2n+1)(2n+23)}{144}\end{gathered}$
$12^{\circ}$	$\begin{aligned} &\frac{(2n+7)(2n+9)}{96},\frac{(n+3)(n+5)}{24}\\ &\frac{(2n+5)(2n+11)}{96}\end{aligned}$	-	$\frac{(2n+1)(2n+15)}{96}$
$13^{\circ}$	$\frac{(n+3)(n+8)}{42},\frac{(2n+5)(2n+17)}{168}$	-	-
$14^{\circ}$	$\begin{aligned} &\frac{(2n+9)^{2}}{120},\frac{(n+4)(n+5)}{30},\\ &\frac{(2n+7)(2n+11)}{120},\frac{(n+3)(n+6)}{30},\\ &\frac{(2n+5)(2n+13)}{120}\end{aligned}$	-	$\begin{aligned} &\frac{(n+1)(n+8)}{30},\\ &\frac{(2n+1)(2n+17)}{120}\end{aligned}$
$15^{\circ}$	$\begin{aligned} &\frac{(2n+9)(2n+15)}{192},\frac{(n+4)(n+8)}{4\gamma}\\ &\frac{(2n+7)(2n+17)}{192}\end{aligned}$	-	$\begin{aligned} &\frac{(n+1)(n+11)}{48}\\ &\frac{(2n+1)(2n+23)}{192}\end{aligned}$
$16^{\circ}$	-	-	$\frac{(n+1)(n+14)}{66}$
$17^{\circ}$	$\frac{(n+4)(n+9)}{70}$	-	-
$18^{\circ}$	$\begin{aligned} &\frac{(2n+11)(2n+17)}{320},\frac{(n+5)(n+9)}{80},\\ &\frac{(2n+9)(2n+19)}{320}\end{aligned}$	-	$\frac{(2n+1)(2n+27)}{32v}$

Acest tablou contine in particular toate solutiile in care polinoamele $\mathrm{P}(n),\mathrm{Q}(n),\mathrm{S}(n)$ sunt patrate perfecte.
II. Să căutăm soluțiile in care polinomul $\mathrm{P}(n),\mathrm{Q}(n)$ sau $\mathrm{S}(n)$ este, afară de un factor (evident) rational, un produs de două numere întregi consecutive, oricare ar fi $n$ .

Polinomul căutat este atunci de forma $(un+v)(un+v+1)$ , unde $u$ este un număr natural, $v$ un număr întreg şi $w$ un număr rațional. Prin identificare se găseşte

\frac{u^{2}}{w}=\frac{1}{2bc},\quad\frac{u(2v+1)}{w}=\frac{b+c+1}{2bc},\quad\frac{v(v+1)}{w}=\frac{\lambda}{2bc}.

De aici rezultă $w=2bcu^{2}$ , deci $w$ este un număr natural. Mai avem

u(b+c+1)=2v+1,\quad\lambda=\frac{(b+c+1)^{2}u^{2}-1}{4u^{2}}

(122)

Din prima din aceste formule rezultă că $u$ şi $b+c+1$ trebue să fie numere impare. Rezultă atunci că $v$ este un număr natural. Mai rezultă că nu putem avea soluții decât în cazurile $1^{\circ},3^{\circ},5^{\circ},7^{\circ},13^{\circ},14^{\circ},16^{\circ},17^{\circ}$ .

Intervalul de variatie al membrului al doilea al formulei a doua (122) este

\left(\frac{(b+c)(b+c+2)}{4},\frac{(b+c+1)^{2}}{4}\right).

(123)

Vom avea atâtea soluți câte valori ale membrului al doilea al formulei a doua (112) cad în intervalul de variație a lui $\lambda$ pentru polinomul respectiv $\mathrm{P}(n),Q(n),\mathrm{S}(n)$ .
III. Să căutăm deasemenea soluțiile în care polinomul $\mathrm{P}(n),\mathrm{Q}(n)$ sau $\mathrm{S}(n)$ este, afară de un factor (evident) raţional, produsul a două numere întregi consecutive de acceaşi paritate.

Polinomul căutat este atunci de forma $(un+v)(un+v+2)$ unde $u$ este un număr natural, $v$ un număr întreg şi $w$ un număr rațional. Avem acum

\frac{u^{2}}{w}=\frac{1}{2bc},\frac{2u(v+1)}{w}=\frac{b+c+1}{2bc},\quad\frac{v(v+2)}{w}=\frac{\lambda}{2bc}

şi se deduce iarăşi $w=2bcu^{2}$ precum şi

u(b+c+1)=2(v+1),\lambda=\frac{(b+c+1)^{2}u^{2}-4}{4u^{2}}

(124)

Se vede iarăşi că $v$ este un număr natural. Trebue insă să distingem două cazuri. Dacă $b+c+1$ este impar, deci în cazurile $1^{\circ},3^{\circ},5^{\circ},7^{\circ},13^{\circ}$ , $14^{\circ},16^{\circ},17^{\circ},u$ trebue să fie par ( $\geq 2$ ) şi intervalul de variatie a membrului al doilea al celei de a doua formule (124) este tot (123). Dacă insă $b+c+1$ este par, deci in celelalte 10 cazuri, $u$ poate să fie un număr
matural oarecare iar intervalul de variație a membrului al doilea al celei de a doua formule (124) este
(125)

\left(\frac{(b+c-1)(b+c+3)}{4},\quad\frac{(b+c+1)^{2}}{4}\right)

Soluțiile efective se determină ca şi în cazul II.
Pentru a găsi soluțiile în cazurile II. III formăn întâi tabloul intervalelor (123), (125).

Table 9: Tabloul 10.

Cazul	$1^{\circ}$	$2^{\circ}$	$3^{\circ}$	$4^{\circ}$	$5^{\circ}$	$6^{\circ}$
intervalul (123)	$\left[2,\frac{9}{4}\right)$		$\left(6,\frac{25}{4}\right)$		$\left.\mid 12,\frac{49}{4}\right)$
intervalul (125)		$[3,4)$		$[8,9)$		$[15,16)$

Cazul	$7^{\circ}$	$8^{\circ}$	$9^{\circ}$	$10^{\circ}$	$11^{\circ}$	$12^{\circ}$
intervalul (123)	$\left[\angle 0,\frac{81}{4}\right)$
intervalul (125)		$[8,9)$	$[15,16)$	$[24,25)$	$[35,36)$	$[15,16)$

Cazul	$13^{\circ}$	$14^{\circ}$	$15^{\circ}$	$16^{\circ}$	$11^{\circ}$	$18^{\circ}$
intervalul (123)	$\left(30,\frac{121}{4}\right)$	$\left.20,\frac{81}{4}\right)$		$\left.56,\frac{225}{4}\right)$	$\left.42,\frac{169}{4}\right)$
intervalul (125)			$[35,3)$			$[48,49)$

Din examinarea acestui tablou şi ţinând seamă de intervalul de variație a lui $\lambda$ dat în tabloul 7 , rezultă că în cazul II există o infinitate de polinoame $\mathrm{P}(n)$ de acest fel în cazurile $1^{\circ},3^{\circ}$ şi $14^{\circ}$ o infinitate de polinoame $Q(n)$ de acest fel în cazurile $1^{\circ},3^{\circ},5^{\circ},7^{\circ}$ şi un singur polinom $\mathrm{S}(n)$ de acesl fel în cazul $1^{\circ}$ .

In cazul III există o infinitate de polinoame $\mathrm{P}(n)$ de acest fel în cazurile $1^{\circ},2^{\circ},3^{\circ},4^{\circ},8^{\circ},9^{\circ},12^{\circ},14^{\circ},0$ infinitate de polinoame $Q(n)$ de acest fel in cazurile $1^{\circ},3^{\circ},5^{\circ},7^{\circ}$ şi un singur polinom $S(n)$ de aces ! fel în cazurile $1^{\circ},2^{\circ}$ . Nu toate aceste soluți sunt însă diferite de cele găsite in cazul II. Şi anume cele în care $u$ şi $v$ sunt ambele pare se reduc evident,
prin simplificare cu 4, la solutii găsite în cazul II. Reciproc, amplisicantos) cu 4 , din orice soluție a cazului II se deduce o soluție a cazului III.

Solutiile distincte în cazurile II, III sunt cuprinse în tabloul următor

Table 10: Tabloul 11.

Cazul	P(n)	Q (n)	S (n)
$1^{\circ}$	$\frac{(2n+5)^{2}t^{2}-1}{8t^{2}}$	$\frac{(2n+3)^{2}t^{2}-1}{8t^{2}}$	$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
$2^{\circ}$	$\frac{(n+2)^{2}t^{2}-1}{4t^{2}}$	-	$\frac{(n+1)(n+3)}{4}$
$3^{\circ}$	$\frac{(2n+5)^{2}t^{2}-1}{24t^{2}}$	$\frac{(2n+5)^{2}t^{2}-1}{24t^{2}}$	-
$4^{\circ}$	$\frac{(n+3)^{2}t^{2}-1}{8t^{2}}$	-	-
$5^{\circ}$	-	$\frac{(2n+7)^{2}t^{2}-1}{40t^{2}}$	-
$7^{\circ}$	-	$\frac{(2n+9)^{2}t^{2}-1}{56t^{2}}$	-
$8^{\circ}$	$\frac{(n+3)^{2}t^{2}-1}{12t^{2}}$	-	-
$9^{\circ}$	$\frac{(n+4)^{2}t^{2}-1}{20t^{2}}$	-	-
$12^{\circ}$	$\frac{(n+4)^{2}t^{2}-1}{24t^{2}}$	-	-
$14^{\circ}$	$\frac{(2n+9)^{2}t^{2}-1}{120t^{2}}$	-	-

unde $t$ este un număr natural oarecare.
Se pot enunța diverse proprietăți particulare asupra cărora este inutil să insistăm.

Facultatea de Matematică şi Fizică a Universitătii „V. Babes" din Chuj

BIBLIOGRAFIE

1.

Euler L., Introduotio in Analysin infinitorum sau Opera Omnia, S. 1, T. 8.

Sylvester J. J., Outlines of seven leotures on the partitions of numbers. Proc. Londor Math. Soc., 28, 33-96 (1897).
2b. Sylvester J. ², discovery in the partition of mumbers , Quarterly J. of Math., 3a W. Wrol

Coefficienten, Zeitsch anzahl aer Losungen dophantischer Gleichungen bei theilerfremder Coefficienten, Zeîtsch, für Math. u Ph., 20, 97–111(1875).

3b. Weihrauch K., Über die Ausdrücke $\Sigma$ fn (m) und die Umgestaltungen der Formel für Lösungszahlen, … ibid., 20, 111-117 (1875)
4. Skolem Th., Nota 14 la cartea Lehrbuch der Combinatorik de Dr. E. Netto, ed. II. 1927.
5. Gelfond A. O., Iscislevie konecinîh ramostei, Moskva-Leningrad, 1952.
6. Dedekind R., Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Téiler. Werke, II, 103-147, (1931).

Asupra unei probleme de partiție a numerelor

Abstract

Autori

Cuvinte cheie

PDF

Citați articolul în forma

Despre acest articol

Journal

Publisher Name

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Referințe

Lucrare in format HTML