Asupra unei teoreme a lui W.A. Markov,

Cu ocazia generalizării celebrei inegalități a lui A. A. Markov, W. A. Markov a dat [2], ca o lemă ajutătoare, următoarea teoremă :

Dacă rădăcinile a două polinoame de gradul $n$, cu toate rădăcinile reale, se separă, atunci și rădăcinile derivatelor lor se separă.

In a doua parte a lucrării vom da o demonstrație a acestei teoreme, puțin diferită de aceea lui W. A. Markov însuși precum și de aceea a lui P. Monte1 [3], dată acum vreo 30 de ani.

Demonstrația pe care o dăm se bazează pe continuitatea și pe monotonia rădăcinilor derivatei unui polinom cu toate rădăcinile reale, în raport cu rădăcinile polinomului. In prima parte a acestei lucrări vom analiza puțin această proprietate de monotonie.

In fine, în partea a treia a lucrării vom da o nouă teoremă asupra polinoamelor cu toate rădăcinile reale, analoagă cu aceea citată a lui $W$. A. Markov.

In cele ce urmează vom considera numai polinoame de o variabilă cu toate rădăcinile reale iar prin gradul unui polinom vom înțelege gradul său efectiv, chiar dacă aceste lucruri nu sînt specificate în mod explicit. Deoarece ne interesează numai rădăcinile polinoamelor, două polinoame care diferă numai printr-o constantă multiplicativă pot fi considerate egale. Accentul la polinoame însemnează derivare.

1. 1.

   Dacă un polinom are toate rădăcinile sale reale, și derivata sa are toate rădăcinile reale. Există o importantă proprietate, bine cunoscută, de separare a rădăcinilor derivatei de către rădăcinile polinomului. Vom ține mai jos seamă de această proprietate.

   Report issue for preceding element

Rădăcinile unui polinom cu cel mai înalt coeficient egal cu 1 (deci un polinom de forma $x^{n}+$ polinom de gradu1 $<n$ ) sînt funcții continue în raport cu coeficienții polinomului, iar coeficienții sînt funcții continue (polinoame) în raport cu rădăcinile polinomului. Dacă ținem seamă de relațiile dintre rădăcinile și coeficienții unui polinom, deducem continuitatea rădăcinilor derivatei în raport cu rădăcinile polinomului.
2. Proprietatea de monotonie a rădăcinilor derivatei în raport cu rădăcinile polinomului se poate enunța sub forma următoare:

Rădăcinile derivatei sînt funcții nedescrescătoare de rădăcinile polinomului.

Această proprietate este bine cunoscută și a fost mult folosită de Laguerre în cercetările sale asupra polinoamelor cu toate rădăcinile reale.

Pentru a clarifica proprietatea de monotonie de mai sus, întroducem relaţia $P_{\rightarrow}^{\mathrm{c}}Q$ între două polinoame care are loc dacă și numai dacă :
$1^{0}$. Polinoamele $P,Q$ sînt de acelaşi grad $n\geqq 1$.
$2^{0}$. Rădăcinile respective

ale acestor polinoame verifică inegalitățile

Această relație este (reflexivă şi) transitivă.
Este inutil de considerat cazul $n=0$ cînd relația precedentă nu are nici un sens (deoarece nu există rădăcini). Dacă $n=1$, în definiție, este suficient să menținem numai inegalitatea (2) și se vede uşor că, în acest caz, cel puţin una din relațiile $P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q,Q\xrightarrow{\mathrm{c}}P$ are loc totdeauna. Pentru orice $n>1$ se pot construi polinoame $P,Q$ pentru care nici una dintre relatiile $P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q,Q\xrightarrow{\mathrm{c}}P$ nu este adevărată.

Proprietatea de monotonie a rădăcinilor derivatei în raport cu acelea ale polinomului se exprimă atunci prin

Teorema 1. Dacă $P,Q$ sînt două polinoame de gradul $n>1$, din $P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q$ rezultă $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{c}}Q^{\prime}$.

Introducem de asemenea relaţia $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$ între două polinoame, care are loc dacă și numai dacă :
$1^{0}$. Polinoamele $P,Q$ au acelaşi grad $n\geqq 1$ și ambele au toate rădăcinile simple.
$2^{0}$. Rădăcinile respective

ale acestor polinoame verifică inegalitățile

Această relație, care este transitivă, este un caz particular al relației precedente şi anume cînd peste tot în (1) şi (2) semnul $\leqq$ este înlocuit cu $<$. Cele două relații sînt legate și prin o proprietate de transitivitate mixtă, analoagă cu transitivitatea mixtă a relațiilor de inegalitate $<\leq$ și $\leqq$. Dacă $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}R,R\xrightarrow{\mathrm{c}}Q$ și dacă $Q$ are toate rădăcinile simple, avem $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$. Din $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}R,R\xrightarrow{\mathrm{c}}S,S\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$ rezultă $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$.

Avem următoarea:
Dacă rădăcinile lui $P,Q$ sînt funcții continue de un parametru $\lambda$ pe un interval care conține pe $\lambda_{0}$ și dacă avem $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$ pentru $\lambda\neq\lambda_{0}$, vom avea $P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q$, dar nu în general $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$, pentru $\lambda=\lambda_{0}$. Această observație este valabilă şi pentru perechile de relaţii $\xrightarrow{s},\xrightarrow{ss};\xrightarrow{m},\xrightarrow{mm};\xrightarrow{mc},\xrightarrow{mcmc}$, care vor fi considerate mai jos.

Avem următoarea:
Teorema 2. Dacă $P,Q$ sînt două polinoame de gradul $n>1,\operatorname{din}P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$ rezultă $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q^{\prime}$.
3. Vom arăta că teorema 1 rezultă din teorema 2 .

Într-adevăr fie $P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q$, (1) rădăcinile polinoamelor $P,Q,n>1$ şi

respectiv rădăcinile polinoamelor $P^{\prime},Q^{\prime}$.
Să considerăm polinoamele $P_{8},Q_{8}$ de gradul $n$, avînd respectiv rădăcinile $x_{i}+i\varepsilon,\quad i=1,2,\ldots,n,y_{i}+(i+1)\varepsilon,i=1,2,\ldots,n$, unde $\varepsilon$ este un număr pozitiv. Polinoamele $P_{8},Q_{8}$ au toate rădăcinile simple și avem $P_{\varepsilon}\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q_{\varepsilon}$. Dacă

sînt respectiv rădăcinile polinoamelor $P_{\mathrm{s}}^{\prime},Q_{\mathrm{s}}^{\prime}$, avem

Dacă presupunem că teorema 2 este adevărată, rezultă că $P_{\varepsilon}^{\prime}\xrightarrow{cc}Q_{\varepsilon}^{\prime}$ şi din (4) deducem, făcînd $\varepsilon\rightarrow 0$, că avem $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{c}}Q^{\prime}$.

Cu aceasta s-a demonstrat că teorema 1 rezultă din teorema 2.
4. Rămîne să demonstrăm teorema 2 .

Fie $P,Q$ două polinoame de gradu1l $n>1$ astfel ca să avem $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$ și fie (1’) respectiv rădăcinile acestor polinoame. Fie $P_{i}$ un polinom de gradul
$n$ avînd ca rădăcini pe $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-i},y_{n-i+1},y_{n-i+2},\ldots,y_{n}$, pentru $i=1,2,\ldots,n$. Polinomul $P_{0}$ este egal cu $P$ iar $P_{n}$ este egal cu $Q$. Polinoamele $P_{i}$ au toate rădăcinile simple, avem însă, în general, numai $P_{i}\xrightarrow{\mathrm{c}}P_{i+1}$, $i=0,1,2,\ldots,n-1$. Dar, dacă putem demonstra că avem

atunci, pe baza transitivității, rezultă că $P^{\prime}\xrightarrow{\text{ cc }}Q^{\prime}$ şi teorema 2 este demonstrată.

Rămîne dar să demonstrăm relațiile (5). Aceste relații rezultă din
Lem’A 1. Rădăcinile derivatei unui polinom cu toate rădăcinile reale și simple sînt funcții crescătoare in raport cu fiecare dintre rădăcinile polinomului.

Fie $g$ un polinom de gradul $n(\geqq 1)$ cu toate rădăcinile $\alpha_{1}<\alpha_{2}<<\ldots:<\alpha_{n}$ reale și simple. Prin enunțul lemei 1 înțelegem că fiecare dintre rădăcinile derivatei polinomului $f_{\alpha}=(x-\alpha)g$ este o funcție crescătoare de $\alpha$. Aceste rădăcini $\beta_{1}<\beta_{2}<\ldots<\beta_{n}$ sînt funcții continue de $\alpha$ şi rămîn distincte. Vom demonstra întîi că ele sînt funcții strict monotone de $\alpha$. Intr-adevăr, dacă, de exemplu, $\beta_{k}$ nu ar fi o funcție strict monotonă de $\alpha$, am putea găsi două valori diferite $\alpha^{\prime},\alpha^{\prime\prime}$ ale lui $\alpha$ pentru care polinoamele

să aibă o rădăcină comună $\beta_{k}$. Acest lucru este însă imposibil deoarece orice rădăcină comună polinoamelor (6) ar trebui să fie o rădăcină comună a polinoamelor $g,g^{\prime}$, ceea ce contrazice faptul că $g$ are numai rădăcini simple. Cu aceasta strict monotonia rădăcinilor $\beta_{i}$ este demonstrată. Rămîne numai să precizăm sensul acestei monotonii. Dacă ținem seamă de faptul că rădăcinile derivatei sînt separate de acelea ale polinomului și dacă observăm că

deducem imediat că sensul monotoniei este cel crescător pentru fiecare dintre rădăcinile $\beta_{i}$.

Cu aceasta lema 1 este demonstrată.
Se pot da și alte demonstrații lemei 1. Se pot da demonstrații bazate pe niște considerații analoage cu cele făcute în partea II și partea III a acestei lucrări. Nu ne vom ocupa de asemenea demonstrații.

Observare. Dacă $\alpha_{1}^{\prime}<\alpha_{2}^{\prime}<\ldots<\alpha_{n-1}^{\prime}$ sînt rădăcinile polinomului $g^{\prime}$, rădăcinile $\beta_{i},i=1,2,\ldots,n$ variază respectiv în intervalele $\left(-\infty,\alpha_{1}\right]$, $\left[\alpha_{i-1},\alpha_{i}^{\prime}\right],i=2,3,\ldots,n-1,\left[\alpha_{n-1}^{\prime},\infty\right)$, dacă $n>2$. Dacă $n=1$, rădăcina $\beta_{1}$ variază de la $-\infty$ la $\infty$, iar dacă $n=2$ rădăcinile $\beta_{1},\beta_{2}$ variază respectiv în intervalele $\left(-\infty,\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2}\right],\left[\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2},\infty\right)$.

1. 5.

   Ne vom ocupa acum de demonstrarea semnalată a teoremei lui W. A. Markov.

   Report issue for preceding element

Introducem relația $P\xrightarrow{s}Q$ între două polinoame, care are loc dacă şi numai dacă:
$1^{\circ}$. Polinoamele $P,Q$ au aceleaşi grad $n\geqq 1$.
$2^{\circ}$. Rădăcinile respective (1) ale acestor polinoame verifică inegalitătile

Dacă $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ s}}Q$ sau $Q\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ s}}P$, putem spune că rădăcinile polinoamelor $P,Q$ se separă.

In general din $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ s}}Q$ rezultă $P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q$, iar pentru $n=1$, relaţiile $P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q$, $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ s}}Q$ sînt echivalente.

Pe baza unei observații precedente, pentru orice $n>1$ putem găsi polinoamele $P,Q$ de gradul $n$ astfel ca nici una dintre relatiile $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ s}}Q,Q\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ s}}P$ să nu fie verificată.

Teorema lui W. A. Markov se poate enunța sub forma următoare:
Teorema 3. Dacă $P,Q$ sînt două polinoame de gradul $n>1$, din $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ s}}Q$ rezultă $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{s}}Q^{\prime}$.

Dacă $n=2$, teorema 3 rezultă din teorema 1. Intr-adevăr, din $P\xrightarrow{s}Q$ rezultă $P\xrightarrow{\mathrm{c}}Q$ din care, pe baza teoremei 1 , rezultă $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{c}}Q^{\prime}$. Această relaţie este însă (pentru $n=2$ ) echivalentă cu $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{s}}Q^{\prime}$ și proprietatea este demonstrată.

Introducem de asemenea relația $P\xrightarrow{\text{ ss }}Q$ între două polinoame, care are loc dacă și numai dacă :
$1^{\circ}$. Polinoamele $P,Q$ au acelaşi grad $\geqslant 1$ și ambele au toate rădăcinile lor simple.
$2^{\circ}$. Rădăcinile respective ( $1^{\prime}$ ) ale acestor polinoame verifică inegalităţile

Din $P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$ rezultă $P\xrightarrow[\rightarrow]{\mathrm{cc}}Q$, iar pentru $n=1$ aceste relații sînt echivalente.
Avem următorul caz particular al teoremei lui W. A. Markov :
Teorema 4. Dacă $P,Q$ sînt două polinoame de gradul $n>1$, din $P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$, rezultă $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q^{\prime}$.

Ca mai sus se demonstrază că pentru $n=2$, teorema 4 rezultă din teorema 2.
6. Este suficient să demonstrăm teorema 4 , căci atunci teorema 3 rezultă. Pentru a arăta acest lucru procedăm la fel ca la nr. 3, unde am arătat că teorema 1 rezultă din teorema 2 .

Dacă avem $P^{\mathrm{s}}Q$ și dacă considerăm acum polinoamele $P_{\varepsilon},Q_{\varepsilon}$ avînd respectiv ca rădăcini pe $x_{i}+(2i-1)\varepsilon,i=1,2,\ldots,n,y_{i}+2i\varepsilon,i=1,2,\ldots,n$, unde $\varepsilon$ este un număr pozitiv, avem $P_{\varepsilon}\xrightarrow{ss}Q_{\varepsilon}$. Dacă presupunem că teorema 4 este adevărată, de aici rezultă că $P_{\varepsilon}^{\prime}\mathrm{ss}Q_{\varepsilon}^{\prime}$. Dacă facem $\varepsilon\rightarrow 0$, rădăcinile lui $P_{\varepsilon}^{\prime},Q_{\varepsilon}^{\prime}$ tind respectiv către rădăcinile lui $P^{\prime},Q^{\prime}$ şi deducem $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{s}}Q^{\prime}$. Teorema 3 este demonstrată.
7. Teorema 4 se demonstrează bazîndu-ne pe teorema 2, pe lema 1 şi pe continuitatea rădăcinilor derivatei.

Dacă $P\xrightarrow{\text{ ss }}Q$, rezultă $P\xrightarrow{\mathrm{cc}}Q$, deci $P^{\prime\text{ cc }}Q^{\prime}$. Pentru a arăta că avem chiar $P^{\prime}\xrightarrow{\text{ ss }}Q^{\prime}$, este suficient să demonstrăm că derivatele polinoamelor $P,Q$ (care au toate rădăcinile simple) nu pot avea nici o rădăcină comună. Intradevăr, este uşor de văzut că, în acest caz, relația $P^{\prime}\xrightarrow{\text{ ss }}Q^{\prime}$ se menține cînd rădăcinile lui $P$ cresc către rădăcinile respective ale lui $Q$.

Dar, dacă $\left(1^{\prime}\right)$ sînt rădăcinile polinoamelor $P,Q$ de gradul $n$, relaţia $P\xrightarrow{ss}Q$ este echivalentă cu egalitatea

unde $a$ este o constantă diferită de zero, $\operatorname{iar}a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ sînt $n$ constante diferite de zero și de același semn. De altfel, produsul $aa_{i}$ este de semn contrar cu cel mai înalt coeficient al lui $P$, deci cu semnul lui $P$ pentru $x$ foarte mare.

Prin derivare din (8) deducem

De aici se vede că dacă $P^{\prime},Q^{\prime}$ ar avea o rădăcină comună, aceasta ar trebui să anuleze și polinomul $\frac{D}{P}$, ceea ce este imposibil, deoarece, prin ipoteză, $P$ are toate rădăcinile sale simple.
8. Relatiile $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ s}}Q,P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$ se pot extinde și la cazul cînd polinomul $P$ este de gradul $n$ iar polinomul $Q$ de gradul $n-1$. Dacă $n>1$ şi

sînt respectiv rădăcinile lui $P$ și ale lui $Q$, relaţia $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ s}}Q$ are loc dacă şi numai dacă

Se poate încă spune că atunci rădăcinile lui $P$ și $Q$ se separă.
Relația $P\xrightarrow{ss}Q$ are loc dacă și numai dacă, în plus, rădăcinile lui $P$ şi $Q$ sînt toate simple iar în loc de inegalităţile (11) avem

Avem atunci:
Consecința 1. Dacă $P$ este un polinom de gradul $n$ iar $Q$ un polinom de gradul $n-1,n>1$, din $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ s}}Q$ rezultă $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{s}}Q^{\prime}$.

Proprietatea rezultă din teorema 3 printr-o trecere la limită. Pentru a arăta acest lucru, fie (10) rădăcinile lui $P$ și $Q$, care verifică relația $P\xrightarrow{s}Q$. Să considerăm polinomul $R=\left(x-y_{n}\right)Q$ de gradul $n$. Dacă $x_{n}\leqq y_{n}$, avem $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ s}}R$, de unde, pe baza teoremei 3 , deducem $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{s}}R^{\prime}$. Dacă facem $y_{n}\rightarrow\infty$, una din rădăcinile lui $R^{\prime}$ (cea mai mare) tinde la $\infty$ iar celelalte către rădăcinile respective ale lui $Q^{\prime}$. Ținînd seamă de continuitatea rădăcinilor derivatei în raport cu rădăcinile polinomului, se vede că făcînd $y_{n}\rightarrow\infty$, din $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{s}}R^{\prime}$ rezultă $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{s}}Q^{\prime}$.

Avem de asemenea:
Consecreța 2. Dacă $P$ este un polinom de gradul $n$ iar $Q$ un polinom de gradul $n-1,n>1$, din $P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$ rezultă $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q^{\prime}$ :

Această proprietate se deduce din teorema 4 ca şi consecința 1 din teorema 3. Formăm ca mai sus polinomul $R$. Dacă $P\xrightarrow{\text{ ss }}Q$ și $x_{n}<y_{n}$, avem $P^{\text{ss }}R$ şi deci, pe baza teoremei $4,P^{\prime\text{ ss }}R^{\prime}$. De aici, dacă facem $y_{n}\rightarrow\infty$, rezultă $P^{\prime}\xrightarrow{s}Q^{\prime}$, și pentru a arăta că avem chiar $P^{\prime}\xrightarrow{ss}Q^{\prime}$ este suficient să demonstrăm că dacă $P^{\mathrm{ss}}Q$, polinoamele $P^{\prime},Q^{\prime}$ nu pot avea nici o rădăcină comună.

Dacă $P\xrightarrow{\mathrm{ss}}Q$ avem formula (8), unde $a=0$ iar $a_{i},i=1,2,\ldots,n$. sînt $n$ constante diferite de zero şi de acelaşi semn. Formula (9) ne arată că $P^{\prime},Q^{\prime}$ nu pot avea nici o rădăcină comună.

Consecința 2 este demonstrată.
9. Ca o aplicație să considerăm un şir de polinoame ortogonale

Se ştie că rădăcinile lui $\Pi_{n}$ sînt toate reale şi simple și că rădăcinile lui $\Pi_{n-1}$ sînt separate, în sens strict, de către rădăcinile lui $\Pi_{n}$. Cu alte cuvinte pentru $n>1$, avem $\Pi_{n}\xrightarrow{ss}\Pi_{n-1}$. Din consecința 2 rezultă deci și :

Consecința 3. Dacă $\Pi_{n-1},\Pi_{n}$ sînt doi termeni consecutivi ai unui şir de polinoame ortogonale $(n>1)$, avem $\Pi_{n}^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{ss}}\Pi_{n-1}^{\prime}$.

1. 10.

   Ne vom ocupa acum de o teoremă analoagă cu a lui W. A. Markov.

   Report issue for preceding element

Introducem relația $P\xrightarrow{m}Q$ între două polinoame, care are loc dacă şi numai dacă :
$1^{\circ}$. Polinoamele $P,Q$ au acelaşi grad $n\geqq 1$.
$2^{\circ}$. Rădăcinile (1) ale acestor polinoame verifică inegalitățile

precum şi egalitatea

Dacă $n=1$ păstrăm din definiție numai egalitatea (13).
Dacă $n=1$ relația $P^{\mathrm{m}}\rightarrow Q$ însemnează că $P,Q$ au aceeași rădăcină, deci că - conform sensului adoptat la începutul acestei lucrări - ele sînt egale. Este clar că pentru orice $n\geqq 1$ putem găsi două polinoame $P,Q$ de gradul $n$, astfel ca nici una dintre relațiile $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q,Q\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}P$ să nu fie verificată.

După G. H. Hardy, J. E. Litt1ewood și G. Pó 1 y a [1] relația $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q$ este echivalentă cu faptul că rădăcinile lui $Q$ se deduc din acelea ale lui $P$ printr-un aşa-numit procedeu de „mediere". Aceasta însemnează că există o matrice ( $a_{ij}$ ), cu $n$ linii și $n$ coloane, cu elementele nenegative, cu suma elementelor pe fiecare linie și pe fiecare coloană egală cu 1 ,

și astfel ca să avem

În cele ce urmează nu ne vom folosi direct de această proprietate.
Relaţia considerată este (reflexivă și) transitivă şi avem următoarea teoremă, analoagă cu aceea a lui W. A. Markov :

Teorema 5. Dacă $P,Q$ sînt două polinoame de gradul $n>1$, din $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q$ rezultă $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{m}}Q^{\prime}$.

Introducem de asemenea relația $P\xrightarrow{mm}Q$ între două polinoame, care are loc dacă și numai dacă:
$1^{\circ}$. Polinoamele $P,Q$ sînt de acelaşi grad $n\geq 1$ și ambele au toate rădăcinile lor simple.
$2^{\circ}$. Rădăcinile respective $\left(1^{\prime}\right)$ ale acestor polinoame verifică inegalităţile
$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i}<y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{i},i=1,2,\ldots,n-1\quad\left(12^{\prime}\right)$ precum şi egalitatea (13).

Pentru $n=1$ păstrăm ca definiție numai egalitatea (13) și atunci relația $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q$ este echivalentă cu $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q$.

Relația $\xrightarrow{\mathrm{mm}}$ este transitivă. Avem și aici niște proprietăți de transitivitate mixtă între cele două relații considerate. Dacă $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}R,R\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q$ și dacă $Q$ are toate rădăcinile sale simple, avem $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q.\operatorname{Din}P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}R,R\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}S,S\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q$ rezultă $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q$.

In fine, avem următorul caz particular al teoremei 5 :
Teorema 6. Dacă $P,Q$ sînt două polinoame de gradul $n>1$, din $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}1\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q$ rezultă $P^{\prime}\xrightarrow{\mathrm{mm}}Q^{\prime}$.

Pentru $n=2$ teoremele 5 , 6 rezultă imediat deoarece rădăcina derivatei unui polinom de gradul al doilea este egală cu semi-suma rădăcinilor polinomului. In acest caz teoremele 5, 6 rezultă din egalitatea (13).
11. Există două cazuri în care demonstrația teoremei 5 nu prezintă nici o dificultate. Aceste cazuri au loc dacă unul dintre polinoamele $P,Q$ are toate rădăcinile confundate.

Întîi vom face cîteva observații. Dacă

sînt rădăcinile polinomului $P$, avem și

Dacă (1) sînt rădăcinile polinoamelor $P,Q$ și dacă $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q$, avem $x_{1}\leqq y_{1},y_{n}\leqq x_{n}$ și deci

Dacă $n>1$ şi $P\xrightarrow{mm}Q$, avem inegalitățile mai precise,

Să demonstrăm acum teorema 5 în cele două cazuri particulare semnalate.

Cazul 1. Polinomul $P$ are toate rădăcinile sale confundate. Din $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q$ și (16) rezultă atunci că și $Q$ are toate rădăcinile sale confundate și anume cu unica rădăcină distinctă a lui $P$. In acest caz $P^{\prime},Q^{\prime}$ au de asemenea rădăcinile lor confundate cu unica rădăcină distinctă a lui $P$ și teorema 5 rezultă.

Cazul 2. Polinomul $Q$ are toate rădăcinile sale confundate. Fie (3) rădăcinile polinoamelor $P^{\prime},Q^{\prime}$ și să ținem seamă de inegalitățile (15) corespunzătoare acestor rădăcini. Atunci, dacă $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q$, avem

de unde rezultă imediat că $P^{\prime}\xrightarrow{m}Q^{\prime}$ și teorema 5 este demonstrată.
12. Pentru a merge mai departe ne vom folosi de niște operații la care vom supune rădăcinile unui polinom. Aceste operații, pe care le vom numi de dilatare și de contractare a două rădăcini, au fost folosite în cartea citată a lui G. H. Hardy, J. E. Littlewood și G. Pólya.

O dilatare a două $x^{\prime}\leqq x^{\prime\prime}$ dintre rădăcinile unui polinom constă în înlocuirea acestor rădăcini prin $x^{\prime}-\rho,x^{\prime\prime}+\rho$ respectiv, unde $\rho>0$ și lăsînd celelalte rădăcini ale polinomului neschimbate.

O contractare a două $x^{\prime}<x^{\prime\prime}$ dintre rădăcinile unui polinom constă în înlocuirea acestor rădăcini prin $x^{\prime}+\rho$, $x^{\prime\prime}-\rho$ respectiv, unde $\rho>0$ și lăsînd celelalte rădăcini ale polinomului neschimbate.

Numărul $\rho$ se poate numi coeficientul de dilatare, respectiv de contractare, corespunzător perechii de rădăcini considerate.

În ceea ce urmează, numai dacă nu se specifică în mod expres contraru1, vom considera numai dilatări și contractări care nu deranjază ordinea rădăcinilor polinomului. Aceasta însemnează că coeficientul $\rho$ este supus la restricția, în primul caz, ca intervalele [ $x^{\prime}-\rho,x^{\prime}$ ), ( $x^{\prime\prime},x^{\prime\prime}+\rho$ ], iar, în al doilea caz, ca intervalele ( $x^{\prime},x^{\prime}+\rho$ ], [ $x^{\prime\prime}-\rho,x^{\prime\prime}$ ) să nu conțină nici o rădăcină a polinomului inițial sau a polinomului transformat. Dacă (14) sînt rădăcinile polinomului inițial și $n>1$, cu restricția de mai sus, operația de dilatare este aplicabilă rădăcinilor $x_{r},x_{s},r<s$ numai în următoarele cazuri :

Operația de contractare, cu restricția de mai sus, este aplicabilă rădăcinilor $x_{r},x_{s},r<s$ numai în următoarele cazuri :

Operațiile de dilatare și de contractare fiind astfel precizate, se vede că o astfel de operație este perfect caracterizată de perechea de rădăcini căreia i se aplică și de coeficientul $\rho$ respectiv. In particular, dacă putem aplica o operație de dilatare sau de contractare de coeficient $\rho$, putem aplica, acelorasi rădăcini, o dilatare respectiv o contractare de orice

De aici rezultă că dacă supunem doură din rădăcinile volle value value polinomuc sînt functii continue de coencientul $\rho$. 1 ot astrel sint şi sumele $x_{1}+x_{2}+\ldots++x_{i},i=1,2,\ldots,n$. Aceste sume se transformă în $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i}-\rho$ respectiv în $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i}+\rho$, pentru $i=r,r+1,\ldots,s-1$, după cum este vorba despre o dilatare respectiv o contractare de coeficient $\rho$ a rădăcinilor $x_{r},x_{s},r<s$. Sumele $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i}$ pentru celelate valori ale lui $i$ rămîn neschimbate. Să se rețină faptul că prin o dilatare sau o contractare a două rădăcini suma rădăcinilor nu se schimbă.

Dacă $P^{*}$ este un polinom care se deduce din polinomul $P$ prin aplicarea unei dilatări sau contractări de coeficient $\rho$, rădăcinile lui $P^{*}$ tind, pentru $\rho\rightarrow 0$, către rădăcinile corespunzătoare ale lui $P$. In acelaşi timp rădăcinile lui $P^{*\prime}$, care sînt de asemenea funcții continue de $\rho$, tind către rădăcinile corespunzătoare ale lui $P^{\prime}$.

Este important să extindem aceste proprietăți la limită la cazul cînd $P^{*}$ se deduce din $P$ prin aplicarea succesivă a unui număr finit de dilatări sau de contractări relative la diferite perechi de rădăcini ale polinomului. Această extindere trebuie făcută cu oarecare precauțiune deoarece aplicarea succesivă a mai multor operații depinde de ordinea lor. Cu alte cuvinte, operatiile de dilatare și de contractare nu sînt comutative, cînd ele se aplică la perechi de rădăcini diferite.

Exemplu. Fie $n=3$ și $x_{1}=0,x_{2}=x_{3}=2$. Prin urmare prima rădăcină este egală cu 0 iar a doua și a treia cu 2 . Dacă aplicăm întîi rădăcinilor $x_{1}$, $x_{3}$ (primei și celei de a treia) o dilatare de coeficient 3 , rădăcinile devin -3 , 2, 5. Aplicînd apoi o contractare de coeficient 1 rădăcinilor $x_{2},x_{3}$ (celei de a doua și celei de a treia), obținem rădăcinile $-3,3,4$. Ordinea operațiilor nu se poate interverti deoarece operația de contractare nu se poate aplica rădăcinilor $x_{2}=2,x_{3}=2$, dacă ținem seamă de restricția de a nu deranja ordinea rădăcinilor.

Rămînînd tot la acest exemplu, să presupunem că întîi aplicăm rădăcinilor $x_{2},x_{3}$ (a doua și a treia) o contractare de coeficient 1. Rădăcinile devin atunci $0,1,3$. Aplicăm apoi rădăcinilor 0,1 (prima și a doua) o dilatare de coeficient 3 și găsim rădăcinile $-3,3,4$. Trebuie însă să observăm că de fiecare dată am deranjat ordinea rădăcinilor.

Pe acest exemplu se vede precizarea pe care o aduce restrictia de a nu deranja ordinea rădăcinilor. Se mai vede de asemenea felul cum trebuie urmărite rădăcinile polinomului cînd aplicăm succesiv mai multe dilatări și contractări de două rădăcini.

Nu vom examina mai amănunțit această problemă de permutabilitate deoarece proprietatea 1a limită de mai sus se va aplica în cele ce urmează, numai la anumite cazuri particulare care vor fi precizate la timpul lor.
13. Vom demonstra acum că teorema 5 rezultă din teorema 6 .

Dacă polinomul $P^{*}$ se deduce din $P$ prin aplicarea unei operații de dilatare a două rădăcini, rezultă, din cele de mai sus, că avem $P^{*}\xrightarrow{m}P$. Această relație este adevărată și dacă $P^{*}$ se deduce din $P$ prin aplicarea succesivă a unui număr oarecare de dilatări.

Fie (14) rădăcinile polinomului $P$ și fie $n>1$. Să notăm cu $P_{\varrho}$ un polinom cu rădăcinile

unde $\rho$ este un număr pozitiv. Polinomul $P_{\varrho}$ se deduce din $P$ aplicînd succesiv operația de dilatare de coeficient $(n-i)\rho$ rădăcinilor $x_{i},x_{n}$, pentru $i=1,2,\ldots,n-1$ (în această ordine). Avem $P_{\varrho}\xrightarrow{1n}P$. Să se observe că $P_{\varrho}$ are toate rădăcinile sale simple care, pentru $\rho\rightarrow 0$, tind către rădăcinile corespunzătoare ale lui $P$. In același timp rădăcinile lui $P_{\varrho}^{\prime}$ tind către rădăcinile corespunzătoare ale 1ui $P^{\prime}$.

Fie $P,Q$ două polinoame de gradul $n>1$, (1) rădăcinile acestor polinoame și să presupunem că avem $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q$. Fie

rădăcinile polinoamelor $P_{2\varrho},Q_{\varrho}$, unde $\rho$ este un număr pozitiv şi care se obţin din $P,Q$ aşa cum $P_{\varrho}$ s-a obținut mai sus din $P$. Avem atunci

Avem deci $P_{2\varrho}\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q_{\varrho}$. Presupunînd că teorema 6 este adevărată, rezultă de aici că $P_{2\varrho}^{\prime}\xrightarrow{mm}Q_{\varrho}^{\prime}$. Dar, dacă $\rho\rightarrow 0$, rădăcinile lui $P_{2\varrho}^{\prime},Q_{\varrho}^{\prime}$ tind către rădăcinile lui $P^{\prime},Q^{\prime}$ respectiv. Făcînd deci $\rho\rightarrow 0$, deducem $P^{\prime}\rightarrow Q^{\prime}$.

Am demonstrat deci că teorema 5 rezultă din teorema 6 .

Observare. Relația $P^{*}\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}P$ este adevărată dacă $P^{*}$ se deduce din $P$ prin o dilatare a două rădăcini, fără restricția păstrării ordinei rădăcinilor. Acest lucru se vede ușor observînd că dacă aplicăm o dilatare la două rădăcini $x^{\prime}\leqq x^{\prime\prime}$ și dacă presupunem că coeficientul $\rho$ al acestei dilatări crește, putem înlocui pe $x^{\prime}-\rho$ sau pe $x^{\prime\prime}+\rho$ cu o rădăcină pe care o traversează. Dacă convenim a zice că o dilatare a rădăcinilor $x^{\prime}\leqq x^{\prime\prime}nu$ deranjează $\hat{\imath}n\bmod\operatorname{larg}$ ordinea rădăcinilor dacă intervalele ( $x^{\prime}-\rho,x^{\prime}$ ), ( $x^{\prime\prime},x^{\prime\prime}+\rho$ ) nu conțin nici o rădăcină a polinomului, atunci proprietatea precedentă rezultă din faptul că orice dilatare, fără restricția păstrării ordinei rădăcinilor, se poate obține prin aplicarea succesivă a unui număr finit de dilatări care nu deranjează în mod larg ordinea rădăcinilor.

Se vede de asemenea că relația $P^{*}\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}P$ este adevărată cînd $P^{*}$ se deduce din $P$ prin aplicarea succesivă a unui număr oarecare (finit sau nu) de dilatări cu sau fără restricția păstrării ordinei rădăcinilor.
14. Vom deduce teorema 6 din o serie de leme pregătitoare.

Dacă polinomul $P^{*}$ se deduce din $P$ prin aplicarea unei contractări a două rădăcini, avem $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}P^{*}$. Această relație rămîne adevărată şi dacă $P^{*}$ se deduce din $P$ prin aplicarea succesivă a unui număr finit de contractări. Dacă polinomul $P$ are toate rădăcinile simple, și $P^{*}$ are toate rădăcinile simple.

Lema 2. Fiind dat un polinom $P$ de gradul $n>1$ şi un număr pozitiv e oarecare, se poate găsi un polinom de gradul $n$ astfel încît:
$1^{\circ}$. Acest polinom să se deducă din $P$ prin aplicarea succesivă a unui număr finit de contractări a doucă rădăcini consecutive,
$2^{\circ}$. Rădăcinile acestui polinom să fie toate cuprinse într-un interval de lungime $<\varepsilon$.

Bineînțeles că dacă toate rădăcinile lui $P$ sînt confundate, nu avem nimic de demonstrat. Aici ne interesează însă cazul contrar şi anume în special cazul cînd $P$ are toate rădăcinile sale distincte. In enunţ s-a subliniat că este vorba numai de contractări aplicate la perechi de rădăcini consecutive. Dacă deci (14) sînt rădăcinile polinomului, numai la perechi de forma $x_{i},x_{i+1}$.

Vom demonstra lema prin inducție completă.
Pentru $n=2$ proprietatea este adevărată, căci dacă $x_{1}<x_{2}$ sînt rădăcinile polinomului $P$, este suficient să aplicăm acestor rădăcini o contractare de coeficient $\rho$ care verifică inegalitățile $\max\left(0,\frac{x_{2}-x_{1}-\varepsilon}{2}\right)<\rho<\frac{x_{2}-x_{1}}{2}$.

Să presupunem acum că $n>2$ și că proprietatea este adevărată pentru polinoamele de gradu1 $n-1$. Să demonstrăm că ea este adevărată și pentru polinoamele de gradul $n$.

Vom arăta întîi că dacă $P$ este un polinom de gradul $n$ cu rădăcinile (14) $\left(x_{1}<x_{n}\right)$, prin aplicarea succesivă a unui număr finit de contractări de rădăcini consecutive putem deduce un polinom ale cărui rădăcini să fie toate cuprinse într-un interval de lungime $<\frac{x_{n}-x_{1}}{2}+\frac{\varepsilon}{4}$. Pentru aceasta
observăm că, prin ipoteză, aplicînd un număr finit de contractări de rădăcini consecutive, putem deduce din $P$ un polinom $P_{1}$ cu rădăcinile $x_{1}^{\prime}<x_{2}^{\prime}<\ldots<<x_{n}^{\prime}$ astfel ca $x_{1}^{\prime}=x_{1},x_{n}-x_{2}^{\prime}<\frac{\varepsilon}{4}$. Contractările sînt aplicate numai perechilor de rădăcini $x_{i},x_{i+1}$, unde $i>1$. Aplicăm apoi polinomului $P_{1}$ o contractare a rădăcinilor $x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime}$ de coeficient $\rho$, unde max $\left(0,\frac{x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}}{2}-\frac{\varepsilon}{8}\right)<<\rho<\frac{x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}}{2}$. Rădăcinile polinomului astfel obținut sînt atunci cuprinse într-un interval de lungime $<x_{n}^{\prime}-\left(x_{1}^{\prime}+\rho\right)<x_{n}^{\prime}-x_{1}^{\prime}-\frac{x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}}{2}+\frac{\varepsilon}{8}==\frac{x_{n}^{\prime}-x_{1}^{\prime}}{2}+\frac{x_{n}^{\prime}-x_{2}^{\prime}}{2}+\frac{\varepsilon}{8}<\frac{x_{n}-x_{1}}{2}+\frac{\varepsilon}{4}$, adică tocmai ceea ce trebuia arătat.

Rezultă de aici că dacă un polinom de gradul $n$ are toate rădăcinile sale cuprinse într-un interval de lungime $<l$, prin aplicarea unui număr finit de contractări a două rădăcini consecutive se poate deduce un polinom ale cărui rădăcini să fie curinse într-un interval de lungime $<\frac{l}{2}+\frac{\varepsilon}{4}$. Repetînd acest procedeu se vede că pentru orice număr natural $k$ se poate deduce, prin aplicarea unui număr finit de contractări de două rădăcini consecutive, un polinom de gradul $n$ ale cărui rădăcini sînt toate cuprinse într-un interval de lungime mai mică decît

Este destul să alegem numărul $k$ astfel ca $\frac{l}{2^{k}}<\frac{\varepsilon}{2}$ și lema este demonstrată.
Observare. O observație analoagă cu aceea făcută la nr. 13, se poate face și aici. Relația $P_{\rightarrow}^{\mathrm{m}}P^{*}$ este adevărată şi dacă $P^{*}$ se deduce din $P$ prin o contractare a două rădăcini $x^{\prime}<x^{\prime\prime}$, fără restricția păstrării ordinei rădăcinilor ci numai cu condiția ca coeficientul $\rho$ să fie $<x^{\prime\prime}-x^{\prime}$. Demonstrația se face în mod analog, înlocuind pe $x^{\prime}+\rho$ sau $x^{\prime\prime}-\rho$ cu o rădăcină pe care o traversează, și în particular schimbînd între ele aceste rădăcini cînd ele se traversează, în timp ce $\rho$ creşte. Şi aici se poate zice că o contractare a rădăcinilor $x^{\prime}<x^{\prime\prime}$ nu deranjează în mod larg ordinea rădăcinilor dacă intervalele $\left(x^{\prime},x^{\prime}+\rho\right),\left(x^{\prime\prime}-\rho,x^{\prime\prime}\right)$ nu conțin nici o rădăcină a polinomului trasformat și cînd $0<\rho<x^{\prime\prime}-x^{\prime}$. Atunci proprietatea precedentă rezultă din faptul că orice contractare de două rădăcini, supusă numai la restricția $0<\rho<x^{\prime\prime}-x^{\prime}$, se poate obține prin aplicarea succesivă a unui număr finit de contractări care nu deranjează în mod larg ordinea răd ăcinilor.

Se vede de asemenea că relația $P^{\mathrm{m}}P^{*}$ este adevărată cînd $P^{*}$ se deduce din $P$ prin aplicarea succesivă a unui număr oarecare (finit sau nu) de contractări cu păstrarea ordinei rădăcinilor sau numai cu restricția impusă sus coeficientului de contractare.
15. Din lema precedentă deducem:

Lema 3. Dacă $P,Q$ sînt două polinoame de gradul $n>2$ și dacă $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q$, putem găsi un polinom $R$ de gradul $n$, care se deduce din $P$ prin aplicarea succesivă a unui număr finit de contractări de două rădăcini consecutive, astfel ca să avem $R\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q$, fără ca relația $R\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q$ să fie verificată.

Fie (1’) rădăcinile lui $P,Q$ și $z_{1}<z_{2}<\ldots<z_{n}$ rădăcinile lui $R$. Avem $P^{\mathrm{m}}R$ și, pe baza condiţiei la care este supus $R$, avem inegalitățile

în cel puțin una din aceste relații egalitatea fiind adevărată. Bineînțeles este verificată și egalitatea

Pentru a demonstra lema, să luăm un număr pozitiv $\varepsilon$ astfel ca

Putem găsi, pe baza lemei 2 , un şir finit de polinoame de gradul $n$,
astfel încît:

$1^{\circ}$. Fiecare termen $P_{i}$ se deduce din termenul precedent $P_{i-1}$ printr-o contractare a două rădăcini consecutive.
$2^{\circ}$. Primul termen $P_{0}$ este egal cu $P$ iar ultimul $P_{k}$ are toate rădăcinile sale cuprinse într-un interval de lungime $<\varepsilon$.

Prin ipoteză $P_{0}\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q$. Există deci un cel mai mare indice $r$ astfel ca $P_{r}\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q$. Nu putem avea $r=k$, căci atunci inegalitatea (18) ar fi în contradicție cu inegalitățile ( $16^{\prime}$ ). Avem deci $r<k$. Prin urmare $r+1\leqq k$ și polinomul $P_{r+1}nu$ verifică relația $P_{r+1}\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q$.

Fie $\rho_{1}$ coeficientul contractării prin care $P_{r+1}$ se deduce din $P_{r}$. Fie $P^{*}$ un polinom care se deduce din $P_{r}$ aplicînd aceleiaşi perechi de rădăcini (consecutive) o contractare de coeficient $\rho\leqq\rho_{1}$. Cìnd $\rho\rightarrow 0$ rădăcinile lui $P^{*}$ tind către rădăcinile corespunzătoare ale lui $P_{r}$, iar cînd $\rho\rightarrow\rho_{1}$ ele tind către rădăcinile corespunzătoare ale lui $P_{r+1}$. Pe baza continuității în raport cu $\rho$ a rădăcinilor, există un număr pozitiv $\rho\leqq\rho_{1}$ astfel ca să avem $P^{*}\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q$ dar ca relația $P^{*}\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q$ să nu fie verificată. Luînd polinomul $R$ egal cu polinomul $P^{*}$ corespunzător acestui $\rho$, lema 3 este demonstrată.

Lema 4. Dacă $P,Q$ sînt două polinoame de gradul $n>1$ şi dacă $P\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q$, putem găsi un șir finit de polinoame de gradul $n$,

astfel că :
$1^{\circ}$. Fiecare termen $P_{i}$ se deduce din termenul precedent $P_{i-1}$ printr-o contractare a două rădăcini consecutive.
$2^{\circ}$. Primul termen $P_{0}$ este egal cu $P$, iar ultimul termen $P_{k}$ este egal cu $Q$.

Demonstrația o facem prin inducție completă.
Pentru $n=2$ este destul să luăm $k=1$, deci $P_{0}=P,P_{1}=Q$ și lema este demonstrată.

Fie $n>2$ și să presupunem că proprietatea este adevărată pentru polinoamele de gradul $2,3,\ldots,n-1$. Să demonstrăm că ea va fi adevărată și pentru polinoamele de gradul $n$.

Să considerăm deci două polinoame $P,Q$ de gradul $n$ și să presupunem că $P\xrightarrow{mm}Q$. Pe baza lemei 3 , putem construi un şir finit

de polinoame de gradul $n$ în care $P_{0}$ este egal cu $P$ iar termenii verifică condiția $1^{\circ}$ din lema 4 . In plus ultimul termen $R$, determinat de lema 3 , verifică relaţia $R\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ m}}Q$ dar nu verifică relația $R\xrightarrow{\mathrm{\penalty 10000\ mm}}Q$. Vom continua să notăm cu $z_{1}<z_{2}<\ldots<z_{n}$ rǎdăcinile lui $R$.

Dacă $R$ este egal cu $Q$, şirul (20) verifică toate condiţiile impuse şirului (19) şi lema 4 este demonstrată.

In cazul contrar, deci dacă $R$ nu este egal cu $Q$, numai $j$ (unde $1\leqq j<<n-1$ ) dintre relațiile (17) se reduc la egalități. Fie $i_{1},i_{2},\ldots,i_{j}$ valorile lui $i$ pentru care în (17) avem egalitate, pentru celelalte valori ale lui $i$ fiind valabilă inegalitatea strictă. Putem presupune $0=i_{0}<i_{1}<i_{2}<\ldots$
.. $<i_{j}<i_{j+1}=n$. Să considerăm acum perechile de indici consecutivi $i_{s},i_{s+1}$. Aceste perechi sînt de două categorii :
$1^{\circ}$. Dacă $i_{s+1}-i_{s}=1$, atunci ele sînt de prima categorie și avem $z_{i_{s+1}}=y_{i_{s+1}}$.
$2^{\circ}$. Dacă $i_{s+1}-i_{s}>1$, perechile sînt de a doua categorie. In acest caz avem