Abstract
Autori
Tiberiu Popoviciu
Institutul de Calcul
Cuvinte cheie
?
Citați articolul în forma
T. Popoviciu, Asupra unor formule de medie, Rev. Anal. Numer. Teoria Aproximaţiei, 1 (1972), pp. 97-107
Despre acest articol
Journal
Rev. Anal. Numer. Teoria Aproximaţiei
Publisher Name
Institutul de Calcul
DOI
Print ISSN
Online ISSN
google scholar link
[1] Popoviciu, T., Notes sur les fonctions convexes d’ordre supérieur (IV). Disquisitiones Math. et Physicae, I, 163-171 (1940).
[2] – Notes sur les fonctions convexes d’ordre supérieur (V). Bulletin de l’Acad. Roumaine, XXII, 351-356 (1940).
[3] – Asupra unei generalizäri a formulei de intergrare numerică a lui Gauss. Studii şi Cerc. Ştiințifice, Iaşi, VI, 29-57 (1955).
[4] – Asupra restului in unele formule liniare de aproximare ale analisei. Studil şi Cerc. de Matematicä (Cluj) X, 337-389 (1959).
Paper (preprint) in HTML form
REVISTA DE ANALIZĂ NUMERICĂ ȘI TEORIA APROXIMAŢIEI Volumul 1, Fascicola 1, 1972, pp. 97-107
- Formula clasică a creşterilor finite
{:(1)f(x_(2))-f(x_(1))=(x_(2)-x_(1))f^(')(xi):}\begin{equation*}
f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=\left(x_{2}-x_{1}\right) f^{\prime}(\xi) \tag{1}
\end{equation*}
are loc dacă ff este o funcţie continuă pe intervalul mărginit şi închis [ x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2} ] (x_(1) < x_(2))\left(x_{1}<x_{2}\right), derivabilă pe intervalul deschis ( x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2} ) şi xi\xi este un punct convenabil al acestui din urmă interval. Punctul xi\xi depinde de funcţia ff dar singura indicaţie care se poate da asupra lui, în general, este că apartine intervalului ( x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2} ). De altfel, oricare ar fi c in(x_(1),x_(2))c \in\left(x_{1}, x_{2}\right), putem construi uşor o funcţie ff care îndeplineşte condițiile impuse mai sus pentru valabilitatea formulei (1) și pentru care cc este singura valoare posibilă a lui xi\xi. În cazul însă cînd funcţia ff aparține unei mulțimi particulare de funcții, pozitia punctului xi\xi se poate, în anumite cazuri, preciza mai mult prin existenţa unui astfel de punct într-o anumită submulțime particulară a lui ( x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2} ). În cele ce urmează vom examina asemenea probleme pentru formule de medie care generalizează formula (1) a creşterilor finite. 臨
2. Să considerăm o functională liniară (deci aditivă şi omogenă) reală R(f)R(f), definită pe o mulţime liniară SS formată din funcții reale și continue ff, definite pe un interval dat I\mathbf{I} (de lungime nenulă) a axei reale. Vom presupune totdeauna că SS conține toate polinoamele. Mulțimea SS poate să coincidă cu mulțimea tuturor funcțiilor continue f:IrarrRf: \mathbf{I} \rightarrow \mathbf{R}, dar poate să fie și mai restrînsă. În cele ce urmează, cînd va fi necesar, vom preciza multimea SS şi natura elementelor sale.
2. Să considerăm o functională liniară (deci aditivă şi omogenă) reală R(f)R(f), definită pe o mulţime liniară SS formată din funcții reale și continue ff, definite pe un interval dat I\mathbf{I} (de lungime nenulă) a axei reale. Vom presupune totdeauna că SS conține toate polinoamele. Mulțimea SS poate să coincidă cu mulțimea tuturor funcțiilor continue f:IrarrRf: \mathbf{I} \rightarrow \mathbf{R}, dar poate să fie și mai restrînsă. În cele ce urmează, cînd va fi necesar, vom preciza multimea SS şi natura elementelor sale.
Gradul de exactitate al lui R(f)R(f) este un întreg m >= -1m \geqq-1 astfel că R(f)R(f) se anulează pe orice polinom de gradul mm dar este diferit de zero pe cel
puțin un polinom de gradul m+1m+1. Gradul de exactitate poate să nu existe, dar dacă există el este bine determinat și este caracterizat de proprietatea următoare:
{:[R(1)=0" dacă "m=-1","],[R(1)=R(x)=dots=R(x^(m))=0","quad R(x^(m+1))≒0" dacă "m >= 0.]:}\begin{gathered} R(1)=0 \text { dacă } m=-1, \\ R(1)=R(x)=\ldots=R\left(x^{m}\right)=0, \quad R\left(x^{m+1}\right) \fallingdotseq 0 \text { dacă } m \geqq 0 . \end{gathered}ăă
{:[R(1)=0" dacă "m=-1","],[R(1)=R(x)=dots=R(x^(m))=0","quad R(x^(m+1))≒0" dacă "m >= 0.]:}\begin{gathered} R(1)=0 \text { dacă } m=-1, \\ R(1)=R(x)=\ldots=R\left(x^{m}\right)=0, \quad R\left(x^{m+1}\right) \fallingdotseq 0 \text { dacă } m \geqq 0 . \end{gathered}ăă
Cînd va fi necesar vom preciza încă natura funcționalei liniare R(f)R(f). Reamintim definiția simplicitătii funcţionalei liniare R(f)R(f) :
Functionala liniară R(f)R(f) se zice de forma simplă dacă există un număr intreg m >= -1m \geqq-1, independent de functia ff, astfel ca pentru orice f in Sf \in S să avem
{:(2)R(f)=K[xi_(1),xi_(2),dots,xi_(m+2);f]:}\begin{equation*}
R(f)=K\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{m+2} ; f\right] \tag{2}
\end{equation*}
unde KK este o constantă diferită de zero independentă de functia ff şi xi_(w)nu==1,2,dots,m+2\xi_{w} \nu= =1,2, \ldots, m+2 sînt m+2m+2 puncte distincte ale intervalului I\mathbf{I}, depinzînd hat(ingeneraldefunctia)f\hat{i n ~ g e n e r a l ~ d e ~ f u n c t i a ~} f.
Numărul mm este determinat complet şi este tocmai gradul de exactitate al lui R(f)R(f). Avem K=R(x^(m+1))K=R\left(x^{m+1}\right).
În formula (2) se notează cu [y_(1),y_(2),dots,y_(r);f]\left[y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{r} ; f\right] diferența divizată, de ordinul r-1r-1, a funcției ff pe punctele, sau nodurile (distincte sau 11 u11 u ) y_(1)y_{1}, y_(2),dots,y_(r)y_{2}, \ldots, y_{r}.
3. Teoria funcțiilor convexe de ordin superior permite să se găsească diferite criterii de simplicitate ale functionalei liniare R(f)R(f). Un astfel de criteriu se poate enunța sub forma următoare:
teorema 1. O conditie necesară și suficientă pentru ca functionala liniară R(f)R(f), de grad de exactitate mm, să fie de forma simplă este ca să avem R(f)!=0R(f) \neq 0 pentru orice functie f in Sf \in S convexă de ordinul mm.
3. Teoria funcțiilor convexe de ordin superior permite să se găsească diferite criterii de simplicitate ale functionalei liniare R(f)R(f). Un astfel de criteriu se poate enunța sub forma următoare:
teorema 1. O conditie necesară și suficientă pentru ca functionala liniară R(f)R(f), de grad de exactitate mm, să fie de forma simplă este ca să avem R(f)!=0R(f) \neq 0 pentru orice functie f in Sf \in S convexă de ordinul mm.
O funcție ff se zice convexă de ordimul mm pe I\mathbf{I} dacă toate diferențele sale divizate [x_(1),x_(2),dots,x_(m+2);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m+2} ; f\right], de ordinul m+1m+1, pe noduri distincte x_(1)x_{1}, x_(2),dots,x_(m+2)inIx_{2}, \ldots, x_{m+2} \in \mathbf{I}, sînt pozitive. Dacă toate aceste diferente divizate sint nenegative functia se zice neconcava de ordinu mm (pe 1 ). In fine, daca rențele divizate de ordinul m+1m+1 ale functiei ff sînt toate nez toate nepozitive, această funcţie se zice concavă respective ordinul mm (pe I). Trecînd de la functia ff la functia -f-f, proprietație functilor concave respectiv neconvexe de ordinul mm se deduc, în general, din proprietățile corespunzătoare ale functiilor convexe respectiv neconcave de ordinul mm. O funcţie convexă (concavă) de ordinul mm este un caz particular de funcţie neconcavă (neconvexă) de ordinul mm. Pentru ca o funcție să fie în acelaşi timp neconcavă și neconvexă de ordinul mm este necesar şi
suficient ca toate diferențele sale divizate de ordinul m+1m+1, pe noduri distincte, să fie egale cu zero. O astfel de functie se numeşte polinomiala de ordinul mm (pe I) şi se reduce 1a un polinom de gradul mm, mai exact la restrîngerea pe I\mathbf{I} a unui polinom de gradul mm.
suficient ca toate diferențele sale divizate de ordinul m+1m+1, pe noduri distincte, să fie egale cu zero. O astfel de functie se numeşte polinomiala de ordinul mm (pe I) şi se reduce 1a un polinom de gradul mm, mai exact la restrîngerea pe I\mathbf{I} a unui polinom de gradul mm.
Să trecem la o schiţare a demonstraţiei teoremei 1 .
Să arătăm întîi că condiția din enunţ este necesară. Să presupunem că functionala liniară R(f)R(f), de grad de exactitate mm, este de formă simpla. Fie f in Sf \in S o functie convexă de ordinul mm. Avem atunci formula (2). unde K!=0K \neq 0. Dar, diferenta divizată din membrul al doilea este pozitivă. Avem deci R(f)!=0R(f) \neq 0. deci R(f)!=0R(\mathrm{f}) \neq 0.
sacum că conditia din enunt este si suficientă. Să presupunem că R(f)R(f) este de grad de exactitate mm și este diferit de zero pentru f inSf \in \mathrm{~S} convex de ordinul mm. Functia
Să arătăm întîi că condiția din enunţ este necesară. Să presupunem că functionala liniară R(f)R(f), de grad de exactitate mm, este de formă simpla. Fie f in Sf \in S o functie convexă de ordinul mm. Avem atunci formula (2). unde K!=0K \neq 0. Dar, diferenta divizată din membrul al doilea este pozitivă. Avem deci R(f)!=0R(f) \neq 0. deci R(f)!=0R(\mathrm{f}) \neq 0.
sacum că conditia din enunt este si suficientă. Să presupunem că R(f)R(f) este de grad de exactitate mm și este diferit de zero pentru f inSf \in \mathrm{~S} convex de ordinul mm. Functia
{:(3)varphi=R(x^(m+1))f-R(f)x^(m+1):}\begin{equation*}
\varphi=R\left(x^{m+1}\right) f-R(f) x^{m+1} \tag{3}
\end{equation*}
aparține lui SS și un calcul simplu ne arată că avem R(varphi)=0R(\varphi)=0. Rezultă că varphi\varphi nu este convex de ordinul mm. Dacă finem seamă de faptul că și - varphi\varphi aparține lui SS și că avem R(-varphi)=-R(varphi)=0R(-\varphi)=-R(\varphi)=0, rezultă că varphi\varphi nu este nici concav de ordinul mm. Există atunci m+2m+2 puncte distincte xi_(nu)inI,nu=1,2,dots\xi_{\nu} \in \mathbf{I}, \nu=1,2, \ldots, m+2m+2 astfel ca să avem
[xi_(1),xi_(2),dots,xi_(m+2);varphi]=0\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{m+2} ; \varphi\right]=0
Ținînd seamă de liniaritatea diferenței divizate se deduce dormula (2), unde K=R(x^(m+1))=0K=R\left(x^{m+1}\right)=0.
Cu aceasta teorema 1 este demonstrată.
Dacă R(f)R(f) este de gradul de exactitate mm şi este de forma simplă, avem
Dacă R(f)R(f) este de gradul de exactitate mm şi este de forma simplă, avem
{:(4)R(x^(m+1))R(f) > 0:}\begin{equation*}
R\left(x^{m+1}\right) R(f)>0 \tag{4}
\end{equation*}
pentru orice funcţie f in Sf \in S convexă de ordinul mm. Intr-adevăr, x^(m+1)x^{m+1} este o funcţie convexă de ordinul mm, deci dacă ff este convex de ordinul mm produsul R(x^(m+1))R(f)R\left(x^{m+1}\right) R(f) este diferit de zero. Să presupunem că R(x^(m+1))R(f) < 0R\left(x^{m+1}\right) R(f)<0. Atunci functia R(x^(m+1))varphi=[R(x^(m+1))]^(2)f-R(x^(m+1))R(f)x^(m+1)R\left(x^{m+1}\right) \varphi=\left[R\left(x^{m+1}\right)\right]^{2} f-R\left(x^{m+1}\right) R(f) x^{m+1} este (ca sumă a două funcţii convexe) o funcţie convexă de ordinul mm. Insă R(R(x^(m+1))varphi)==R(x_(m+1))R(varphi)=0R\left(R\left(x^{m+1}\right) \varphi\right)= =R\left(x_{m+1}\right) R(\varphi)=0, ceea ce, pe baza teoremei 1 , este imposibil. Cu aceasta inegalitatea (4) este demonstrată.
In aceleaşi condiţiuni dacă ff este o funcţie neconcavă de ordinul mm avem
{:(5)R(x^(m+1))quad R(f) >= 0:}\begin{equation*}
R\left(x^{m+1}\right) \quad R(f) \geqq 0 \tag{5}
\end{equation*}
Intr-adevăr, pentru orice epsi > 0\varepsilon>0, functia f+epsix^(m+1)f+\varepsilon x^{m+1} este convexă de ordinul mm şi avem deci R(x^(m+1))R(f+epsix^(m+1))=R(x^(m+1))R(f)+epsi[R(x^(m+1))]^(2) > 0R\left(x^{m+1}\right) R\left(f+\varepsilon x^{m+1}\right)=R\left(x^{m+1}\right) R(f)+\varepsilon\left[R\left(x^{m+1}\right)\right]^{2}>0, de unde, făcînd pe epsi\varepsilon să tindă către 0 , se deduce inegalitatea (5).
Pentru proprietățile functiilor convexe de ordin superior, pentru noțiunea de simplicitate a unei functionale liniare et pentru diverse alte proprietăti utilizate in această lucrare se pot consulta lucrarile mele anterioare. De exemplu, lucrarea mea din „Studii și Cercetări", Cluj [4].
Dacă m >= 0m \geq 0 se poate chiar afirma că punctele xi,v=1,2,dots,m+2\xi, v=1,2, \ldots, m+2 din formula (2) sînt în interiorul intervalului I\mathbf{I},
Dacă m >= 0m \geqq 0, dacă R(f)R(f) este de gradul de exactitate mm de formă simplă și dacă ff are o derivată f^((m+1))f^{(m+1)} de ordinul m+1m+1 pe interiorul lui I\mathbf{I}, avem
(6)
(6)
R(f)=R(x^(m+1))(f^((m+1))(xi))/((m+1)!)R(f)=R\left(x^{m+1}\right) \frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}
unde xi\xi este în interiorul lui I\mathbf{I}.
Formulele (2) și (6) permit, în cazul simplicitătii, să delimităm funcţionala R(f)R(f) dacă se cunosc delimitări ale diferenţei divizate de ordinul m+1m+1 a funcţiei ff, sau ale derivatei sale de ordinul m+1m+1, presupusă existentă.
4. Să presupunem că funcționala liniară R(f)R(f) este definită pe mulțimea SS a functiilor continue pe I și avînd o derivata f^((m+1))f^{(m+1)} de ordinul m+1m+1 pe interiorul us. Presupunem ca m >= 0m \geqq 0 și că R(f)R(f) este de gradul de exactitate funct dat în interiorul lui I\mathbf{I}, funcţionala
Formulele (2) și (6) permit, în cazul simplicitătii, să delimităm funcţionala R(f)R(f) dacă se cunosc delimitări ale diferenţei divizate de ordinul m+1m+1 a funcţiei ff, sau ale derivatei sale de ordinul m+1m+1, presupusă existentă.
4. Să presupunem că funcționala liniară R(f)R(f) este definită pe mulțimea SS a functiilor continue pe I și avînd o derivata f^((m+1))f^{(m+1)} de ordinul m+1m+1 pe interiorul us. Presupunem ca m >= 0m \geqq 0 și că R(f)R(f) este de gradul de exactitate funct dat în interiorul lui I\mathbf{I}, funcţionala
{:(7)R(f)-R(x^(m+1))(f^((m+1))(xi))/((m+1)!):}\begin{equation*}
R(f)-R\left(x^{m+1}\right) \frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!} \tag{7}
\end{equation*}
este liniară și se anulează pe orice polinom de gradul m+1m+1. Punînd f==x^(m+2)f= =x^{m+2} şi ţinînd seama de (6), se vede că există o valoare bine determinată ^(c){ }^{c} (din interic for se anulează pe orice polinom de graul m+2m+2. Numărul cc este dat de ecuaţia
(8)
(8)
R(x^(m+2))-(m+2)R(x^(m+1))c=0R\left(x^{m+2}\right)-(m+2) R\left(x^{m+1}\right) c=0
Avem următoarea
I e m a 1. Pe lîngă ipotezele precedente, funcționala liniară
(9)
I e m a 1. Pe lîngă ipotezele precedente, funcționala liniară
(9)
R_(1)(f)=R(f)-R(x^(m+1))(f^((m+1))(c))/((m+1)!)R_{1}(f)=R(f)-R\left(x^{m+1}\right) \frac{f^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}
este definită pe SS şi este de grad de exactitate m+2m+2.
Este destul să arătăm că R_(1)(x^(m+3))R_{1}\left(x^{m+3}\right) nu este egal cu 0 .
Este destul să arătăm că R_(1)(x^(m+3))R_{1}\left(x^{m+3}\right) nu este egal cu 0 .
Ținind seamă de (8), avem
(10) R(x^(m+1))R_(1)(x^(m+3))=(1)/(2(m+2))[2(m+2)R(x^(m+1))R(x^(m+3))-(m+3)R^(2)(x^(m+2))]R\left(x^{m+1}\right) R_{1}\left(x^{m+3}\right)=\frac{1}{2(m+2)}\left[2(m+2) R\left(x^{m+1}\right) R\left(x^{m+3}\right)-(m+3) R^{2}\left(x^{m+2}\right)\right].
(10) R(x^(m+1))R_(1)(x^(m+3))=(1)/(2(m+2))[2(m+2)R(x^(m+1))R(x^(m+3))-(m+3)R^(2)(x^(m+2))]R\left(x^{m+1}\right) R_{1}\left(x^{m+3}\right)=\frac{1}{2(m+2)}\left[2(m+2) R\left(x^{m+1}\right) R\left(x^{m+3}\right)-(m+3) R^{2}\left(x^{m+2}\right)\right].
Dacă punem
{:(11)P(x)=x^(m+3)+(m+3)zx^(m+2)+((m+2)(m+3))/(2)z^(2)x^(m+1):}\begin{equation*}
P(x)=x^{m+3}+(m+3) z x^{m+2}+\frac{(m+2)(m+3)}{2} z^{2} x^{m+1} \tag{11}
\end{equation*}
unde zz este un parametru independent de xx, avem
P^((m+1))(x)=((m+3)!)/(2)(x+z)^(2).P^{(m+1)}(x)=\frac{(m+3)!}{2}(x+z)^{2} .
Avem deci P^((m+1))(x) > 0P^{(m+1)}(x)>0 pentru x!=-zx \neq-z. Rezultă că polinomul (11) este convex de ordinul mm (peste tot). Pe baza inegalităţii (4), avem
{:[R(x^(m+1))R(P)=],[=R(x^(m+1))[R(x^(m+3))+(m+3)R(x^(m+2))z+((m+2)(m+3))/(2)R(x^(m+1))z^(2)] > 0]:}\begin{gathered}
R\left(x^{m+1}\right) R(P)= \\
=R\left(x^{m+1}\right)\left[R\left(x^{m+3}\right)+(m+3) R\left(x^{m+2}\right) z+\frac{(m+2)(m+3)}{2} R\left(x^{m+1}\right) z^{2}\right]>0
\end{gathered}
oricare ar fi zz. Rezultă că discriminantul acestui trinom de gradul al doilea în zz este negativ, deci că avem
(m+3)[(m+3)R^(2)(x^(m+2))-2(m+2)R(x^(m+1))R(x^(m+3))] < 0(m+3)\left[(m+3) R^{2}\left(x^{m+2}\right)-2(m+2) R\left(x^{m+1}\right) R\left(x^{m+3}\right)\right]<0
şi egalitatea (10) ne arată că
{:(12)R(x^(m+1))R_(1)(x^(m+3)) > 0:}\begin{equation*}
R\left(x^{m+1}\right) R_{1}\left(x^{m+3}\right)>0 \tag{12}
\end{equation*}
Lema 1 rezultă de aici.
Vom vedea mai jos că funcţionala liniară (9) este de forma simplă.
5. Vom presupune acum că intervalul I se reduce la intervalul mărginit și închis [a,b](a < b)[a, b](a<b) şi că elementele ff ale lui SS au o derivată continuă de ordinul m+1m+1 pe [a,b][a, b].
Vom vedea mai jos că funcţionala liniară (9) este de forma simplă.
5. Vom presupune acum că intervalul I se reduce la intervalul mărginit și închis [a,b](a < b)[a, b](a<b) şi că elementele ff ale lui SS au o derivată continuă de ordinul m+1m+1 pe [a,b][a, b].
Continuăm să presupunem că m >= 0m \geqq 0.
Fie atunci R(f)R(f) o funcţională liniară definită pe SS, de grad de exactitate mm şi de formă simplă. Să considerăm funcţionala liniată (9), numărul cc fiind determinat de ecuatia (8). Avem atunci a < c < ba<c<b.
Fie atunci R(f)R(f) o funcţională liniară definită pe SS, de grad de exactitate mm şi de formă simplă. Să considerăm funcţionala liniată (9), numărul cc fiind determinat de ecuatia (8). Avem atunci a < c < ba<c<b.
Avem următoarea
Le m a 2. Pe lîngă ipotezele precedente, dacă există un întreg k,0 <= k≤≦m+1k, 0 \leq k \leq \leqq m+1 astfel ca funcționala liniară R(f)R(f) să fie mărginită faṭ̆ de norma
{:(13)sum_(y=0)^(k)max_(x in[a,b])|f^((y))(x)|",":}\begin{equation*}
\sum_{y=0}^{k} \max _{x \in[a, b]}\left|f^{(y)}(x)\right|, \tag{13}
\end{equation*}
atunci avem
{:(14)R(x^(m+1))R_(1)(f) >= 0:}\begin{equation*}
R\left(x^{m+1}\right) R_{1}(f) \geqq 0 \tag{14}
\end{equation*}
pentru orice functie f in Sf \in S neconcavă de ordinul m+2m+2.
Fie functiile
Fie functiile
varphi_(m+3,lambda)=((x-lambda+|x-lambda|)/(2))^(m+2),\varphi_{m+3, \lambda}=\left(\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}\right)^{m+2},
unde lambda\lambda este un parametru independent de xx și cuprins între aa, şi bb.
- Funcția varphi_(m+3,lambda)\varphi_{m+3, \lambda} aparține lui SS şi este neconcavă de ordinul m+2m+2 pentru orice lambda\lambda. Avem
varphi_(m+3,lambda)^((m+1))=(m+2)!((x-lambda+|x-lambda|)/(2))=(m+2)!varphi_(2,lambda)\varphi_{m+3, \lambda}^{(m+1)}=(m+2)!\left(\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}\right)=(m+2)!\varphi_{2, \lambda}
Vom demonstra că inegalitatea (14) este verificată pentru această funcfie, deci dacă punem f=varphi_(m+3,lambda)f=\varphi_{m+3, \lambda}. Într-adevăr
R_(1)(varphi_(m+3,lambda))=R(varphi_(m+3,lambda))-(m+2)R(x^(m+1))varphi_(2,lambda)(c)R_{1}\left(\varphi_{m+3, \lambda}\right)=R\left(\varphi_{m+3, \lambda}\right)-(m+2) R\left(x^{m+1}\right) \varphi_{2, \lambda}(c)
și dacă ținem seamă de (8), avem
R_(1)(varphi_(m+3),lambda)={[R(varphi_(m+3,lambda)-x^(m+2)+(m+2)lambdax^(m+1))" dacă "lambda <= c","],[R(varphi_(m+3),lambda)" dacă "lambda >= c.]:}R_{1}\left(\varphi_{m+3}, \lambda\right)=\left\{\begin{array}{l}
R\left(\varphi_{m+3, \lambda}-x^{m+2}+(m+2) \lambda x^{m+1}\right) \text { dacă } \lambda \leqq c, \\
R\left(\varphi_{m+3}, \lambda\right) \text { dacă } \lambda \geqq c .
\end{array}\right.ăă
Dar functiile
varphi_(m-1-3,lambda),quadvarphi_(m+3,lambda)-x^(m+2)+(m+2)lambdax^(m+1)\varphi_{m-1-3, \lambda}, \quad \varphi_{m+3, \lambda}-x^{m+2}+(m+2) \lambda x^{m+1}
sînt neconcave de ordinul mm deoarece derivatele lor de ordinul m+1m+1 sînt respectiv
(m+2)!((x-lambda+|x-lambda|)/(2)),quad(m+2)!((|x-lambda|-x+lambda)/(2))(m+2)!\left(\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}\right), \quad(m+2)!\left(\frac{|x-\lambda|-x+\lambda}{2}\right)
şi sînt ambele >= 0\geqq 0.
Avem deci R(x^(m+1))R_(1)(varphi_(m+3),lambda) >= 0R\left(x^{m+1}\right) R_{1}\left(\varphi_{m+3}, \lambda\right) \geqq 0, și, ţinînd seamă de (12),R_(1)(x^(m+3))R_(1)(varphi_(m+3),lambda) >= 0(12), R_{1}\left(x^{m+3}\right) R_{1}\left(\varphi_{m+3}, \lambda\right) \geqq 0 pentru orice lambda\lambda cuprins intre aa si bb.
Din teorema 15 a lucrării noastre citate [4] rezultă că funcţionala liniară R_(1)(f)R_{1}(f) este de forma simplă, deci inegalitatea (14) este adevărată pentru orice funcție f in Sf \in S neconcavă de ordinul m+2m+2 (si chiar fără egalitate posibilă dacă ff este convex de ordinul m+2m+2 ).
Lema 2 este demonstrată.
6. Putem acum demonstra următoarea
teorema 2. Dacă următoarele ipoteze sînt verificate:
6. Putem acum demonstra următoarea
teorema 2. Dacă următoarele ipoteze sînt verificate:
- mm este un întreg nenegativ.
- SS este multimea functiilor ff avind o derivată continuă de ordinul m+1m+1 pe intervalul mărginit şi închis [a,b],(a < b)[a, b],(a<b).
- R(f)R(f) este o funcțională liniară definită pe SS, de grad de exactitate m, de forma simplă și mărginită faţă de norma (13) pentru un anumit întreg kk astfel ca 0 <= k <= m+10 \leqq k \leqq m+1.
- cc este punctul determinat de ecuatia (8) (Avem atunci a < c < ba<c<b ).
- Functia ff verifică una din următoarele 4 proprietăți:
A. este neconcavă de ordinul m+1m+1 și neconcavă de ordinul m+2m+2,
B. este neconvexă de ordinul m+1m+1 și neconcavă de ordinul m+2m+2,
C. este neconcavă de ordinul m+1m+1 şi neconvexă de ordinul m+2m+2.
D. este neconvexă de ordinul m+1m+1 și neconvexă de ordinul m+2m+2, atunci formula mediei (6) este verificată, în cazurile A si D, de cel puțin un punct xi\xi al intervalului [c,b][c, b] si hat(in)\hat{i n} cazurile B si C , de cel putin un punct xi\xi al intervalului [a,c][a, c].
Este suficient să facem demonstraţia în cazul A. În acest caz funcția
{:(15)g(x)=R(x^(˙)_(+-4)^(m+1))[R(f)-R(x^(m+1))(f^(m+1)(x))/((m+1)!)]:}\begin{equation*}
g(x)=R\left(\dot{x}_{ \pm 4}^{m+1}\right)\left[R(f)-R\left(x^{m+1}\right) \frac{f^{m+1}(x)}{(m+1)!}\right] \tag{15}
\end{equation*}
este necrescătoare pe [a,b][a, b] şi se anulează pe cel puțin un punct din interiorul intervalului [a,b][a, b]. Avem deci g(a) >= 0,g(b) <= 0g(a) \geqq 0, g(b) \leq 0, iar din lema 2 rezultă că avem si g(c) >= 0g(c) \geq 0. Proprietatea din enuntul teoremei rezultă. Putem observa că punctele xi\xi care verifică (6) formează un interval şi proprietatea obtinută însemnează că acest interval are cel puțin un punct comun cù [c b]. Dacă, în particular, functia ff este convexă de ordinul m+1m+1, punctul xi\xi, din formula (6) este unic si apartine intervalului [c,b][c, b].
de altfel cazurile D, C se deduc respectiv din cazurile A, B trecînd de la funcția ff la funcția -f.
7. Ca o primă aplicație avem Gauss,
de altfel cazurile D, C se deduc respectiv din cazurile A, B trecînd de la funcția ff la funcția -f.
7. Ca o primă aplicație avem Gauss,
Consecinta 1. Dacă R(f)R(f) este restul formulei de cuadratură de tip
{:(16)int_(a)^(b)f(x)dV(x)=sum_(v=1)^(n)lambda_(v)f(x_(v))+R(f):}\begin{equation*}
\int_{a}^{b} f(x) d V(x)=\sum_{v=1}^{n} \lambda_{v} f\left(x_{v}\right)+R(f) \tag{16}
\end{equation*}
unde n este un număr natural, VV o functie nedescrescătoare, avînd cel puțin n+1n+1 puncte de creştere şi ff o funcțe care admite o derivată continuă de ordinul 2n2 n pe intervalul mărginit și închis [ a,ba, b ], formula de medie
R(f)=R(x^(2n))(f^((2n))(xi))/((2n)!)R(f)=R\left(x^{2 n}\right) \frac{f^{(2 n)}(\xi)}{(2 n)!}
este verificată, în cazurile A, D ale teoremei 2, pentru cel putin un punct din intervalul [c,b][c, b] si in cazurile B,C\mathrm{B}, \mathrm{C} ale teoremei 2 , pentru cel putin un punct xi\xi al intervalului [a,c][a, c].
Aici s-a pus m=2n-1m=2 n-1 și cc este dat de ecuația (8) corespunzătoare.
În formula (16), x_(v),v=1,2,dots,nx_{v}, v=1,2, \ldots, n sînt rădăcinile (distincte şi situate în interiorul intervalului [a,b][a, b] ) ale polinomului ortogonal de gradul nn relativ la distribuția dV(x)d V(x). Numerile lambda_(v),v=1,2,dots,n\lambda_{v}, v=1,2, \ldots, n sînt coeficienții (toți > 0)>0) lui Cristoffel corespunzători.
În formula (16), x_(v),v=1,2,dots,nx_{v}, v=1,2, \ldots, n sînt rădăcinile (distincte şi situate în interiorul intervalului [a,b][a, b] ) ale polinomului ortogonal de gradul nn relativ la distribuția dV(x)d V(x). Numerile lambda_(v),v=1,2,dots,n\lambda_{v}, v=1,2, \ldots, n sînt coeficienții (toți > 0)>0) lui Cristoffel corespunzători.
Se poate generaliza această proprietate pentru formule de tip Gauss mai generale, înlocuind membrul întîi al formulei (16) cu o functională iniara şi nenegativa convenabila. Printre acestea sint și acelea studiate de noi într-o lucrare anterioară [3].
8. Ca o altă aplicaţie a teoremei 2 , avem următoarea
8. Ca o altă aplicaţie a teoremei 2 , avem următoarea
Consecinta 2. Dacă funcția ff este continuă şi are o derivată de ordinul m+1m+1 continuă pe un interval care contine cele m+2m+2 puncte date x_(v),nu=1,2,dots,m+2,nux_{v}, \nu=1,2, \ldots, m+2, n u toate confundate si unde m >= 0m \geq 0, atunci formula de medie a lui Cauchy,
[x_(1),x_(2),dots,x_(m+2);f]=(f_(m+1)(xi))/((m+1)!)\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m+2} ; f\right]=\frac{f_{m+1}(\xi)}{(m+1)!}
este verificată, în cazurile A,D\mathrm{A}, \mathrm{D} ale teoremei 2 , pentru cel puțin un punct xi >= (1)/(m+2)sum_(v=1)^(m+2)x_(v)\xi \geqq \frac{1}{m+2} \sum_{v=1}^{m+2} x_{v}, şi în cazurile B, C ale teoremei 2, pentru cel putin un punct xi <= (1)/(m+2)sum_(v=1)^(m+2)x_(v)\xi \leqq \frac{1}{m+2} \sum_{v=1}^{m+2} x_{v}.
Diferenta divizată [x_(1),x_(2),dots,x_(m+2);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m+2} ; f\right] unde nodurile x_(v),v=1,2,dotsx_{v}, v=1,2, \ldots, m+2m+2 sînt distincte sau nun u, este definită ca de obicei.
Se vede că funcţionala liniară R(f)=[x_(1),x_(2),dots,x_(m+2);f]R(f)=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m+2} ; f\right] verifică toate ipotezele din teorema 2 (cu condiția ca punctele x_(y)x_{\mathrm{y}}, să nu fie toate confundate), [a,b][a, b] fiind un interval care contine toate nodurile x_(v),v==1,2,dots,m+2x_{v}, v= =1,2, \ldots, m+2. In acest caz punctul cc este tocmai media aritmetică (1)/(m+2)sum_(v=1)^(m+2)x_(v)\frac{1}{m+2} \sum_{v=1}^{m+2} x_{v} a nodurilor.
Pentru m=0m=0 se obține proprietățile corespunzătoare relative 1a formula creşterilor finite (1). Este inutil să enunţăm aici aceste proprietăţi.
9. Proprietatea exprimată de consecinta 2 se poate demonstra și direct în felul următor. Pentru fixarea ideiilor să presupunem cǎ sîntem în cazul A, deci că funcția ff este neconcavă de ordinul m+1m+1 și neconcavă de ordinul m+2m+2. Raționînd aşa cum s-a făcut asupra funcției (15) pentru demonstrarea teoremei 2 și utilizînd cîteva formule bine cunoscute asupra difererențelor divizate, avem întîi, presupunînd x_(1) <= x_(2) <= dots <= x_(m+2)x_{1} \leqq x_{2} \leqq \ldots \leqq x_{m+2},
9. Proprietatea exprimată de consecinta 2 se poate demonstra și direct în felul următor. Pentru fixarea ideiilor să presupunem cǎ sîntem în cazul A, deci că funcția ff este neconcavă de ordinul m+1m+1 și neconcavă de ordinul m+2m+2. Raționînd aşa cum s-a făcut asupra funcției (15) pentru demonstrarea teoremei 2 și utilizînd cîteva formule bine cunoscute asupra difererențelor divizate, avem întîi, presupunînd x_(1) <= x_(2) <= dots <= x_(m+2)x_{1} \leqq x_{2} \leqq \ldots \leqq x_{m+2},
{:[[x_(1),x_(2),dots,x_(m+2);f]-(f^((m+1))(x_(1)))/((m+1)!)=],[=sum_(v=2)^(m+2)[ubrace([x_(1),x_(1),dots,x_(1),x_(2),x_(3),dots,x_(v);f](x_(v)-x_(1)) >= 0,ubrace)_(m+4-v)],[[x_(1),x_(2),dots,x_(m+2);f]-(f^((m+1))(x_(m+2)))/((m+1)!)=],[=-sum_(v=1)^(m+1)[x_(v)","x_(v+1)","dots","x_(m+1)","ubrace(x_(m+2),x_(m+2),dots,x_(m+2)ubrace)_(v+1);f](x_(m+2)-x_(v)) <= 0.]:}\begin{gathered}
{\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m+2} ; f\right]-\frac{f^{(m+1)}\left(x_{1}\right)}{(m+1)!}=} \\
=\sum_{v=2}^{m+2}[\underbrace{\left[x_{1}, x_{1}, \ldots, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{v} ; f\right]\left(x_{v}-x_{1}\right) \geqq 0,}_{m+4-v} \\
{\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m+2} ; f\right]-\frac{f^{(m+1)}\left(x_{m+2}\right)}{(m+1)!}=} \\
=-\sum_{v=1}^{m+1}[x_{v}, x_{v+1}, \ldots, x_{m+1}, \underbrace{x_{m+2}, x_{m+2}, \ldots, x_{m+2}}_{v+1} ; f]\left(x_{m+2}-x_{v}\right) \leqq 0 .
\end{gathered}
Aici termenii în care figurează în membrul al doilea diferențe divizate luate pe noduri toate confundate, se suprimă.
Dacă acum funcţia ff este neconcavă de ordinul m+2m+2, avem
[x_(1),x_(2),dots,x_(m+2);f] >= (1)/((m+1)!)f^((m+1))((x_(1)+x_(2)+dots+x_(m+3))/(m+2)),\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m+2} ; f\right] \geqq \frac{1}{(m+1)!} f^{(m+1)}\left(\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{m+3}}{m+2}\right),
aşa cum am demonstrat într-o altă lucrare [2].
Consecinfa 2 rezultă acum imediat.
10. Proprietatea exprimată de consecința 1 rezultă din aceea exprimată de consecinta 2. Intr-adevăr, din nişte formule pe care le-am stabilit altă dată [1], rezultă că restul R(f)R(f) al formulei lui Gauss (16) diferă numai prin-tr-un factor constant pozitiv de diferenta divizată de ordinul 2n2 n a funcției ff cu nodurile în rădăcinile polinoamelor ortogonale de gradul nn și n+1n+1.
Consecinfa 2 rezultă acum imediat.
10. Proprietatea exprimată de consecința 1 rezultă din aceea exprimată de consecinta 2. Intr-adevăr, din nişte formule pe care le-am stabilit altă dată [1], rezultă că restul R(f)R(f) al formulei lui Gauss (16) diferă numai prin-tr-un factor constant pozitiv de diferenta divizată de ordinul 2n2 n a funcției ff cu nodurile în rădăcinile polinoamelor ortogonale de gradul nn și n+1n+1.
In unele cazuri se poate proceda şi altfel. Fie, în particular, V=xV=x. Atunci x_(v),v=1,2,dots,nx_{v}, v=1,2, \ldots, n sînt tădăcinile polinomului
P_(n)=prod_(nu=1)^(n)(x-x_(nu))P_{n}=\prod_{\nu=1}^{n}\left(x-x_{\nu}\right)
al lui Legendre de gradul nn (cu cel mai înalt coeficient egal cu 1) relativ la intervalul [a,b][a, b]. Atunci dacă FF este o primitivă a funcţiei ff, avem
R(f)=F(b)-F(a)-sum_(v=1)^(n)lambda_(v)F^(')(x_(v))=R^(**)(F)R(f)=F(b)-F(a)-\sum_{v=1}^{n} \lambda_{v} F^{\prime}\left(x_{v}\right)=R^{*}(F)
Deoarece R(f)R(f) este o functională liniară de grad de exactitate 2n-12 n-1, R^(**)(F)R^{*}(F) este o functională liniară de grad de exactitate 2n2 n, deci nut diferă decît prin un factor constant (pozitiv) de diferenta divizată a functiei FF pe nodurile a,b,x_(v),v=1,2,dots,na, b, x_{\mathrm{v}}, v=1,2, \ldots, n ultimele nn fiind luate fiecare de doua ori. Se vede uşor că
R(f)=R^(**)(F)=(b-a)P_(n)^(2)(b)[a,b,x_(1),x_(1),x_(2),x_(2),dots,x_(n),x_(n);F]R(f)=R^{*}(F)=(b-a) P_{n}^{2}(b)\left[a, b, x_{1}, x_{1}, x_{2}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x_{n} ; F\right]
Proprietatea cerută rezultă.
SUR CERTAINES FORMULES DE LA MOYENNE
resumé
R(f)R(f) est une fonctionnelle linéaire définie sur l'ensemble des fonctions ff ayant une dérivée continue d'ordre m+1(m >= 0)m+1(m \geq 0) sur l'intervalle borné et fermé [a,b](a < b)[a, b](a<b). Si R(f)R(f) est de degré d'exactitude mm, de la forme simple et est bornée par rapport à une norme de la forme (13), alors la formule de la moyenne (6) est vérifiée pour au moins un point xi\xi de [c,b][c, b] respectivement de [a,c][a, c], où cc est le point de (a,b)(a, b) donné par (8) et suivant que 1a fonction ff vérifie en même temps, dans un ordre déterminé par le théorème 2 , des propriétés de non-concavité et de non-convexité d'ordre m+1m+1 et d'ordre m+2m+2.
BIBLIOGRAFIE
[1] Popoviciu, T., Notes sur les fonctions convexes d'ordre supérieur (IV). Disquisitiones Math. et Physicae, I, 163-171 (1940).
[2] - Notes sur les fonctions convexes d'ordre supérieur (V). Bulletin de l'Acad. Rou-
[3] maine, XX1, 351-356 (1940). de intergrave numerică a lui Gauss. Studii şi [3] Cerc. Ştiințifice Iasi, VI, 29-5729-57 (1955).
[4] - Asupra restului in unele formule liniare de aproximare ale analizei. Studii și Cerc. de Matematică (Cluj) X, 337-389 (1959).
BIBLIOGRAFIE
[1] Popoviciu, T., Notes sur les fonctions convexes d'ordre supérieur (IV). Disquisitiones Math. et Physicae, I, 163-171 (1940).
[2] - Notes sur les fonctions convexes d'ordre supérieur (V). Bulletin de l'Acad. Rou-
[3] maine, XX1, 351-356 (1940). de intergrave numerică a lui Gauss. Studii şi [3] Cerc. Ştiințifice Iasi, VI, 29-5729-57 (1955).
[4] - Asupra restului in unele formule liniare de aproximare ale analizei. Studii și Cerc. de Matematică (Cluj) X, 337-389 (1959).
Primit la 2. XII. 1971.
- Aceasta lucrare este o versiune puțin modificată a unei lucrări apărute în limba franceză în Spisy prirodov. fak.Univ. J. E. Purkyne v. Brne, 5, 147-156 (1969).