Asupra unor inegalităţi între medii

Tiberiu Popoviciu
Uncategorized

Abstract

 

Autori

T. Popoviciu,
Institutul de Calcul

Cuvinte cheie

PDF

On journal website: https://ictp.acad.ro/scm/journal/article/view/78/78

Citați articolul în forma

T. Popoviciu, Asupra unor inegalităţi între medii, Stud. Cerc. Mat. (Cluj), 11 (1960) 2, pp. 343-355 (in Romanian) [MR0148816, Zbl 0133.30502] Author’s remark: the paper has appeared in Russian in 1959a

Despre acest articol

Journal

Studii şi cercetări matematice

Publisher Name

Academia Republicii S.R.

DOI

https://ictp.acad.ro/scm/journal/article/view/78

Print ISSN

Not available yet.

Online ISSN

Not available yet.

[MR0148816, Zbl 0133.30502]

Nota: lucrarea este republicarea in limba romana a lucrarii T. Popoviciu, Some inequalities between means, Mathematica (Cluj), 1(24) (1959), pp. 81-93 (in Russian).

Google Scholar Profile

Referințe

??

Lucrare in format HTML

1959 a -Popoviciu- Mathematica - Câteva inegalități între medii (în limba rusă)
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate

Asupra unor inegalitati intre medii

TIBERIU POPOVICIU
Cluj
    • Fie dat un șir (finit sau infinit) de numere (1).
      o 1 , o 2 , … o 1 , o 2 , … a_(1),a_(2),punctea_{1}, a_{2}, \ldotso1,o2,…
      Presupunând că termenii secvenței (1) sunt nenegativi, fie O n. = o 1 + o 2 + … + o n. n. O n. = o 1 + o 2 + … + o n. n. A_(n) = (a_(1) + a_(2) + puncte + a_(n))/(n)A_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}}{n}On.=o1+o2+…+on.n.media aritmetică și G. n. = o 1 o 2 … o n. n. G. n. = o 1 o 2 … o n. n. G_(n) = rădăcină(n)(a_(1)a_(2)dotsa_(n))G_{n}=\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}G.n.=o1o2…on.n.media geometrică a primei n. n. n.n.n.membri o 1 , o 2 , … , o n. o 1 , o 2 , … , o n. a_(1), a_(2), puncte, a_(n)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}o1,o2,…,on.a acestei secvențe. L. Chakalov a demonstrat [1] următoarele două proprietăți:
      I. Secvența
      (2) n. ( O n. - G. n. ) , n. = 1 , 2 , … n. O n. - G. n. , n. = 1 , 2 , … n(A_(n)-G_(n)),quad n=1,2,puncten\left(A_{n}-G_{n}\right), \quad n=1,2, ...n.(On.-G.n.),n.=1,2,…
      este nedescrescătoare.
      II. Dacă secvența (1) este nedescrescătoare, atunci secvența
      (3) n. 2 n. - 1 ( O n. - G. n. ) , n. = 2 , 3 , … n. 2 n. - 1 O n. - G. n. , n. = 2 , 3 , … (n^(2))/(n-1)(A_(n)-G_(n)),quad n=2,3,puncte\frac{n^{2}}{n-1}\left(A_{n}-G_{n}\right), \quad n=2,3, \ldotsn.2n.-1(On.-G.n.),n.=2,3,…
      este, de asemenea, nedescrescătoare.
      Pentru a generaliza aceste proprietăți, am studiat monotonia secvențelor obținute din (2), (3), am înlocuit media geometrică G n G n G_(n)G_{n}G.n.prin „cvasi-aritmetică”, mai generală.
    • Pe tot parcursul presupunem că f = f ( x ) f = f ( x ) f=f(x)f=f(x)f.=f.(x)este o funcție de o variabilă reală x x xxxși continuă pe intervalul deschis I I IIEuDacă f f fff.funcție strict monotonă (crescătoare sau descrescătoare), atunci funcția sa inversă F = F ( x ) F = F ( x ) F=F(x)F=F(x)F=F(x)este, de asemenea, definită, continuă și strict monotonă în același sens ca f f fff.(adică crescând respectiv descrescând) pe intervalul deschis I ′ I ′ I^(')I^{\prime}Eu′În special, acesta este cazul dacă f f fff.nor-
dă o derivată care nu se anulează pe I I IIEuÎn acest caz F F FFFare și o derivată care nu se anulează pe întregul interval I ′ I ′ I^(')I^{\prime}Eu′și are același semn ca funcția derivată f f fff..
Dacă membrii secvenței (1) aparțin intervalului I I IIEu, și dacă f f fff.funcție strict monotonă, atunci media cvasi-aritmetică
(4) M n ( f ) = F ( f ( a 1 ) + f ( a 2 ) + … + f ( a n ) n ) (4) M n ( f ) = F f a 1 + f a 2 + … + f a n n {:(4)M_(n)(f)=F((f(a_(1))+f(a_(2))+dots+f(a_(n)))/(n)):}\begin{equation*} M_{n}(f)=F\left(\frac{f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+\ldots+f\left(a_{n}\right)}{n}\right) \tag{4} \end{equation*}(4)M.n.(f.)=F(f.(o1)+f.(o2)+…+f.(on.)n.)
primul n n nnn.membrii secvenței (1) sunt definiți pentru n = 1 , 2 , … n = 1 , 2 , … n=1,2,dotsn=1,2, \ldotsn.=1,2,…
Înainte de a continua, observăm că în unele cazuri putem continua definiția unei funcții prin continuitate f f fff.și medie M n ( f ) M n ( f ) M_(n)(f)M_{n}(f)M.n.(f.)la un capăt al intervalului I I IIEu, presupusă a fi finită. În acest caz, funcția f f fff.iar media (4) va avea o valoare foarte bine definită (fie proprie, fie improprie), chiar dacă unele sau toate numerele a a aaocoincidă cu un astfel de capăt. De exemplu, în cazul mediei geometrice, la care se reduce media (4) pentru funcție f = ln ⁡ x f = ln ⁡ x f=ln xf=\ln xf.=în⁡xputem lua M n ( f ) = - 0 M n ( f ) = - 0 M_(n)(f)=-0M_{n}(f)=-0M.n.(f.)=-0, dacă cel puțin unul dintre numere a 1 , a 2 , … , a n a 1 , a 2 , … , a n a_(1),a_(2),dots,a_(n)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}o1,o2,…,on.este egal cu 0. Mai jos nu ne vom opri asupra unor astfel de continuări, deoarece rezultatele legate de monotonia secvențelor de tipul considerat își păstrează, în general, forța și se obțin prin trecerea la limită. Astfel, de exemplu, este suficient să se demonstreze monotonia secvenței (2) în cazul pozitivității tuturor a i a i a_(i)a_{i}oeuși din aceasta concluzionăm că proprietatea rămâne adevărată chiar și în cazul în care numerele a a aaonon-negativ.
3. - Are un loc după
TEOREMA 1. - Dacă o funcție f f fff.strict monoton dacă termenul secvenței (1) aparține intervalului I și dacă secvența (1) este monotonă, atunci secvența
(5) M n ( f ) , n = 1 , 2 , … (5) M n ( f ) , n = 1 , 2 , … {:(5)M_(n)(f)","quad n=1","2","dots:}\begin{equation*} M_{n}(f), \quad n=1,2, \ldots \tag{5} \end{equation*}(5)M.n.(f.),n.=1,2,…
de asemenea, monotonă în același sens.
Dacă, în aceste condiții, membrii secvenței (1) nu sunt toți egali între mesaje, atunci secvența (5) este strict monotonă, începând de la un anumit index n ∗ n ∗ n^(**)n^{*}n.*).
Condițiile teoremei disting 4 alternative, deoarece funcția f f fff.poate fi crescătoare sau descrescătoare, iar secvența (1) poate fi nedescrescătoare sau crescătoare.
Să demonstrăm teorema sub ipoteza că f f fff.o funcție crescătoare și secvența (1) este nedescrescătoare. Fie, în general,
a 1 ≦ a 2 ≦ … ≦ a m - 1 ≦ a m ≦ a m + 1 ≦ … f ( a i ) ≦ f ( a n ) , i = 1 , 2 , … , n - 1 a 1 ≦ a 2 ≦ … ≦ a m - 1 ≦ a m ≦ a m + 1 ≦ … f a i ≦ f a n , i = 1 , 2 , … , n - 1 {:[a_(1) <= a_(2) <= dots <= a_(m-1) <= a_(m) <= a_(m+1) <= dots],[f(a_(i)) <= f(a_(n))","quad i=1","2","dots","n-1]:}\begin{aligned} & a_{1} \leqq a_{2} \leqq \ldots \leqq a_{m-1} \leqq a_{m} \leqq a_{m+1} \leqq \ldots \\ & f\left(a_{i}\right) \leqq f\left(a_{n}\right), \quad i=1,2, \ldots, n-1 \end{aligned}o1≦o2≦…≦om.-1≦om.≦om.+1≦…f.(oeu)≦f.(on.),eu=1,2,…,n.-1
(6)
(6)
(6)
*) Cu alte cuvinte, există un astfel de număr natural m m mmm., că secvența M n ( f ) , n = m , m + 1 M n ( f ) , n = m , m + 1 M_(n)(f),n=m,m+1M_{n}(f), n=m, m+1M.n.(f.),n.=m.,m.+1strict monotonă.
de aici deducem
(7) f ( a 1 ) + f ( a 2 ) + … + f ( a n - 1 ) n - 1 ≦ f ( a 1 ) + f ( a 2 ) + … + f ( a n ) n (7) f a 1 + f a 2 + … + f a n - 1 n - 1 ≦ f a 1 + f a 2 + … + f a n n {:(7)(f(a_(1))+f(a_(2))+dots+f(a_(n-1)))/(n-1) <= (f(a_(1))+f(a_(2))+dots+f(a_(n)))/(n):}\begin{equation*} \frac{f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+\ldots+f\left(a_{n-1}\right)}{n-1} \leqq \frac{f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+\ldots+f\left(a_{n}\right)}{n} \tag{7} \end{equation*}(7)f.(o1)+f.(o2)+…+f.(on.-1)n.-1≦f.(o1)+f.(o2)+…+f.(on.)n.
prin urmare și
M n - 1 ( f ) ≦ M n ( f ) M n - 1 ( f ) ≦ M n ( f ) M_(n-1)(f) <= M_(n)(f)M_{n-1}(f) \leqq M_{n}(f)M.n.-1(f.)≦M.n.(f.)
Dacă n ≥ m n ≥ m n >= mn \geq mn.≥m., atunci egalitatea este imposibilă pentru orice valoare f f fff.în formulele (6) și, prin urmare, acest lucru nu este posibil nici în formula (7), nici în formula (8).
Astfel, teorema este demonstrată în alternativa luată în considerare. Teorema este demonstrată similar și în celelalte trei alternative.
4. - Mai jos, vom avea nevoie de câteva proprietăți bine cunoscute ale funcțiilor convexe obișnuite (de ordinul întâi) sau ale funcțiilor convexe de ordinul doi.
Funcţie φ = φ ( x ) φ = φ ( x ) varphi=varphi(x)\varphi=\varphi(x)f.=f.(x), definită pe intervalul I I IIEu, se numește neconcavă, respectiv neconvexă de același ordin, dacă diferența sa împărțită ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1)(n.+1)a -a ordine pe orice puncte (diferite) de I I IIEurămâne nenegativ, respectiv nepozitiv, tot timpul. Dacă notăm cu [ x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; φ ] x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; φ [x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);varphi]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; \varphi\right][x1,x2,…,xn.+2;f.]diferență împărțită ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1)(n.+1)funcție de ordinul -a φ φ varphi\varphif.în puncte sau noduri (diverse) x 1 , x 2 , … , x n + 2 x 1 , x 2 , … , x n + 2 x_(1),x_(2),dots,x_(n+2)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2}x1,x2,…,xn.+2, apoi neconcavitate, respectiv neconvexitate n n nnn.funcție de ordinul -a φ φ varphi\varphif.pe interval I I IIEucaracterizat prin inegalitate
(9) [ x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; φ ] ≧ 0 , correspondingly ≦ 0  (9)  x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; φ ≧ 0 ,  correspondingly  ≦ 0 " (9) "quad[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);varphi] >= 0,quad" resp. " <= 0\text { (9) } \quad\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; \varphi\right] \geqq 0, \quad \text { resp } \leqq 0 (9) [x1,x2,…,xn.+2;f.]≧0, în mod corespunzător ≦0
la orice noduri (diferite) x 1 , x 2 , … , x n + 2 ∈ I x 1 , x 2 , … , x n + 2 ∈ I x_(1),x_(2),dots,x_(n+2)in Ix_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} \in Ix1,x2,…,xn.+2∈EuÎn particular ,
dacă semnul egal din (9) nu apare niciodată, atunci funcția φ φ varphi\varphif.se numește convex, respectiv concav n n nnn.a doua comandă pe I I IIEu.
Dacă n = 0 n = 0 n=0n=0n.=0atunci avem o funcție nedescrescătoare sau necrescătoare și, în special, o funcție crescătoare, respectiv descrescătoare. Astfel, funcțiile de ordin zero sunt funcții monotone.
Pentru ca aceasta să fie continuă pe intervalul I I IIEufuncţie φ φ varphi\varphif.a fost neconcav, respectiv neconvex n n nnn.De ordinul al -lea, este necesar și suficient ca inegalitatea (9) să fie valabilă doar la nodurile echidistante. Mai precis, formula
(10)
Unde
[ x , x + h , … , x + n + 1 - h ; φ ] = 1 ( n + 1 ) ! h n + 1 Δ h n + 1 φ ( x ) , [ x , x + h , … , x + n + 1 ¯ h ; φ ] = 1 ( n + 1 ) ! h n + 1 Δ h n + 1 φ ( x ) , [x,x+h,dots,x+ bar(n+1)h;varphi]=(1)/((n+1)!h^(n+1))Delta_(h)^(n+1)varphi(x),[x, x+h, \ldots, x+\overline{n+1} h ; \varphi]=\frac{1}{(n+1)!h^{n+1}} \Delta_{h}^{n+1} \varphi(x),[x,x+h,…,x+n.+1-h;f.]=1(n.+1)!hn.+1D.hn.+1f.(x),
Δ h n + 1 φ ( x ) = ∑ i = 0 n + 1 ( - ) n + 1 - i ( n + 1 i ) φ ( x + i h ) , Δ h n + 1 φ ( x ) = ∑ i = 0 n + 1   ( - ) n + 1 - i ( n + 1 i ) φ ( x + i h ) , Delta_(h)^(n+1)varphi(x)=sum_(i=0)^(n+1)(-)^(n+1-i)((n+1)/(i))varphi(x+ih),\Delta_{h}^{n+1} \varphi(x)=\sum_{i=0}^{n+1}(-)^{n+1-i}\binom{n+1}{i} \varphi(x+ih),D.hn.+1f.(x)=Σeu=0n.+1(-)n.+1-eu(n.+1eu)f.(x+euh),
arată că, pentru a continua I I IIEufuncţie φ φ varphi\varphif.a fost convex, neconcav, neconvex, respectiv concav n n nnn.a doua comandă pe I I IIEueste necesar și suficient să avem
Δ h n + 1 φ ( x ) > 0 , ≧ 0 , ≦ 0 , correspondingly < 0 Δ h n + 1 φ ( x ) > 0 , ≧ 0 , ≦ 0 ,  correspondingly  < 0 Delta_(h)^(n+1)varphi(x) > 0, >= 0, <= 0, quad" resp. " < 0\Delta_{h}^{n+1} \varphi(x)>0, \geqq 0, \leqq 0, \quad \text { соотв }<0D.hn.+1f.(x)>0,≧0,≦0, în mod corespunzător <0
sub orice x , x + n + 1 ― h ∈ I , h > 0 ∗ ) x , x + n + 1 ¯ h ∈ I , h > 0 ∗ {:x,x+ bar(n+1)h in I,h > 0^(**))\left.x, x+\overline{n+1} h \in I, h>0^{*}\right)x,x+n.+1-h∈Eu,h>0*).
*) Dacă este impar n n nnn.stare h > 0 h > 0 h > 0h>0h>0poate fi înlocuit cu o condiționalitate h ≠ 0 h ≠ 0 h!=0h \neq 0h≠0.
Orice dată pe l l lllfuncție de comandă n > 0 n > 0 n > 0n>0n.>0este continuu pornit I ∗ I ∗ I^(**)I^{*}Eu*). Orice dată I I IIEufuncție de comandă n > 1 n > 1 n > 1n>1n.>1admite o derivată continuă pe I I IIEuDacă funcția φ φ varphi\varphif.ordine convexă, neconcavă, neconvexă, respectiv concavă n ≧ 1 n ≧ 1 n >= 1n \geqq 1n.≧1, atunci derivata sa φ ′ φ ′ varphi^(')\varphi^{\prime}f.′cu condiția să existe, să fie convex, neconcav, neconvex, respectiv concav de ordin n − 1 n − 1 n-1n-1n.-1Inegalitate p ( n + 1 ) ≧ 0 p ( n + 1 ) ≧ 0 p^((n+1)) >= 0p^{(n+1)} \geqq 0p.(n.+1)≧0resp. ≦ 0 ≦ 0 <= 0\leqq 0≦0pentru oricine x ϵ I x ϵ I x epsilon Ix \epsilon IxϵEunecesar și suficient pentru neconcavitate, respectiv neconvexitate de ordin n n nnn.funcţie φ φ varphi\varphif.pe I I IIEuInegalitate φ ( n + 1 ) > 0 φ ( n + 1 ) > 0 varphi^((n+1)) > 0\varphi^{(n+1)}>0f.(n.+1)>0resp. < 0 < 0 < 0<0<0, pentru oricine x ∈ I x ∈ I x in Ix \in Ix∈Eu, este suficient pentru convexitatea respectiv concavitatea funcției φ φ varphi\varphif.pe I I IIEu5.
- Să revenim la proprietatea lui L. Chakalov. O generalizare a șirului (2) este șirul
(11) n ( A n − M n ( f ) ) , n = 1 , 2 , … (11) n A n − M n ( f ) , n = 1 , 2 , … {:(11)n(A_(n)-M_(n)(f))","quad n=1","2","dots:}\begin{equation*} n\left(A_{n}-M_{n}(f)\right), \quad n=1,2, \ldots \tag{11} \end{equation*}(11)n.(On.-M.n.(f.)),n.=1,2,…
Atunci următoarea TEOREMĂ 2 este valabilă.
- Dacă funcția f f fff.strict monotonă, atunci pentru ca șirul (11) să fie nedescrescător, respectiv necrescător pentru orice șir (1) ai cărui membri aparțin lui I, este necesar și suficient ca funcția să fie neconcavă, respectiv neconvexă de ordinul 1 F F FFFinversă funcției f f fff..
Pentru concizie, o vom nota prin
(12) B n = f ( a 1 ) + f ( a 2 ) + … + f ( a n ) n = f ( M n ( f ) ) , n = 1 , 2 , … (12) B n = f a 1 + f a 2 + … + f a n n = f M n ( f ) , n = 1 , 2 , … {:(12)B_(n)=(f(a_(1))+f(a_(2))+dots+f(a_(n)))/(n)=f(M_(n)(f))","quad n=1","2","dots:}\begin{equation*} B_{n}=\frac{f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+\ldots+f\left(a_{n}\right)}{n}=f\left(M_{n}(f)\right), \quad n=1,2, \ldots \tag{12} \end{equation*}(12)B.n.=f.(o1)+f.(o2)+…+f.(on.)n.=f.(M.n.(f.)),n.=1,2,…
media aritmetică a primilor termeni ai secvenței
(13) f ( a 1 ) , f ( a 2 ) , … (13) f a 1 , f a 2 , … {:(13)f(a_(1))","f(a_(2))","dots:}\begin{equation*} f\left(a_{1}\right), f\left(a_{2}\right), \ldots \tag{13} \end{equation*}(13)f.(o1),f.(o2),…
și prin D ( a 1 , a 2 , … , a n ) = n ( A n − M n ( f ) ) − ( n − 1 ) ( A n − 1 − M n − 1 ( f ) ) D a 1 , a 2 , … , a n = n A n − M n ( f ) − ( n − 1 ) A n − 1 − M n − 1 ( f ) D(a_(1),a_(2),dots,a_(n))=n(A_(n)-M_(n)(f))-(n-1)(A_(n-1)-M_(n-1)(f))D\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=n\left(A_{n}-M_{n}(f)\right)-(n-1)\left(A_{n-1}-M_{n-1}(f)\right)D.(o1,o2,…,on.)=n.(On.-M.n.(f.))-(n.-1)(On.-1-M.n.-1(f.))diferența dintre doi termeni consecutivi ai secvenței (11). Avem
D ( a 1 , a 2 , … , a u ) = a n − n F ( B n ) + ( n − 1 ) F ( B n − 1 ) = = F ( f ( a n ) ) − n F ( B n ) + ( n − 1 ) F ( B n − 1 ) D a 1 , a 2 , … , a u = a n − n F B n + ( n − 1 ) F B n − 1 = = F f a n − n F B n + ( n − 1 ) F B n − 1 {:[D(a_(1),a_(2),dots,a_(u))=a_(n)-nF(B_(n))+(n-1)F(B_(n-1))=],[=F(f(a_(n)))-nF(B_(n))+(n-1)F(B_(n-1))]:}\begin{gathered} D\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{u}\right)=a_{n}-n F\left(B_{n}\right)+(n-1) F\left(B_{n-1}\right)= \\ =F\left(f\left(a_{n}\right)\right)-n F\left(B_{n}\right)+(n-1) F\left(B_{n-1}\right) \end{gathered}D.(o1,o2,…,oîn)=on.-n.F(B.n.)+(n.-1)F(B.n.-1)==F(f.(on.))-n.F(B.n.)+(n.-1)F(B.n.-1)
Din formulă
f ( a n ) − B n = n − 1 n ( f ( a n ) − B n − 1 ) f a n − B n = n − 1 n f a n − B n − 1 f(a_(n))-B_(n)=(n-1)/(n)(f(a_(n))-B_(n-1))f\left(a_{n}\right)-B_{n}=\frac{n-1}{n}\left(f\left(a_{n}\right)-B_{n-1}\right)f.(on.)-B.n.=n.-1n.(f.(on.)-B.n.-1)
deducem că numerele B n − 1 , B n , f ( a n ) B n − 1 , B n , f a n B_(n-1),B_(n),f(a_(n))B_{n-1}, B_{n}, f\left(a_{n}\right)B.n.-1,B.n.,f.(on.)sunt diferite sau toate egale între ele, în funcție de dacă sunt egale sau nu f ( a n ) = B n − 1 f a n = B n − 1 f(a_(n))=B_(n-1)f\left(a_{n}\right)=B_{n-1}f.(on.)=B.n.-1sau nu. Prin urmare,
D ( a 1 , a 2 , … , a n ) = n − 1 n ( f ( a n ) − B n − 1 ) 2 | B n − 1 , B n , f ( a n ) ; F | , D a 1 , a 2 , … , a n = n − 1 n f a n − B n − 1 2 B n − 1 , B n , f a n ; F , D(a_(1),a_(2),dots,a_(n))=(n-1)/(n)(f(a_(n))-B_(n-1))^(2)|B_(n-1),B_(n),f(a_(n));F|,D\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=\frac{n-1}{n}\left(f\left(a_{n}\right)-B_{n-1}\right)^{2}\left|B_{n-1}, B_{n}, f\left(a_{n}\right) ; F\right|,D.(o1,o2,…,on.)=n.-1n.(f.(on.)-B.n.-1)2|B.n.-1,B.n.,f.(on.);F|,
unde partea dreaptă a egalității este înlocuită cu 0 dacă f ( a n ) = B n − 1 f a n = B n − 1 f(a_(n))=B_(n-1)f\left(a_{n}\right)=B_{n-1}f.(on.)=B.n.-1, din care rezultă suficiența condiției teoremei.
Dacă x , x + 2 h ∈ I x , x + 2 h ∈ I x,x+2h in Ix, x+2 h \in Ix,x+2h∈Eu, și dacă luăm a 1 = F ( x ) , a 2 = F ( x + 2 h ) a 1 = F ( x ) , a 2 = F ( x + 2 h ) a_(1)=F(x),a_(2)=F(x+2h)a_{1}=F(x), a_{2}=F(x+2 h)o1=F(x),o2=F(x+2h)atunci avem D ( a 1 , a 2 ) = Δ h 2 F ( x ) D a 1 , a 2 = Δ h 2 F ( x ) D(a_(1),a_(2))=Delta_(h)^(2)F(x)D\left(a_{1}, a_{2}\right)=\Delta_{h}^{2} F(x)D.(o1,o2)=D.h2F(x)Din aceasta rezultă imediat că condiția teoremei este necesară. Teorema 2 este demonstrată.
6. - Pentru a generaliza proprietatea lui L. Chakalov, în loc de șirul (3), luăm șirul
(14) n 2 n − 1 ( A n − M n ( f ) ) , n = 2 , 3 , … (14) n 2 n − 1 A n − M n ( f ) , n = 2 , 3 , … {:(14)(n^(2))/(n-1)(A_(n)-M_(n)(f))","quad n=2","3","dots:}\begin{equation*} \frac{n^{2}}{n-1}\left(A_{n}-M_{n}(f)\right), \quad n=2,3, \ldots \tag{14} \end{equation*}(14)n.2n.-1(On.-M.n.(f.)),n.=2,3,…
Următoarea TEOREMĂ 3 este valabilă
. - Funcția F F FFFstrict monoton pe I ′ I ′ I^(')I^{\prime}Eu′, atunci pentru ca șirul (14) să fie nedescrescător pentru orice șir nedescrescător (1) ai cărui termeni aparțin lui I, este suficient ca funcția inversă F să fie:
a) neconcavă de ordin 1 u 1 u 1u1 u1în
b) neconcave, respectiv neconvexe de ordinul 2, în funcție de dacă f f fff.creșterea sau descreșterea funcției.
Pentru demonstrație vom folosi metoda dată de L. Chakalov pentru secvența (3).
Să presupunem mai întâi că F F FFF, prin urmare și f f fff., are o valoare arbitrară nenul pe I ′ I ′ I^(')I^{\prime}Eu′, respectiv pe I I IIEu.
Să notăm cu ( n > 2 n > 2 n > 2n>2n.>2)
E ( a 1 , a 2 , … , a n ) = n 2 n − 1 [ A n − M n ( f ) ] − ( n − 1 ) 2 n − 2 [ A n − 1 − M n − 1 ( f ) ] E a 1 , a 2 , … , a n = n 2 n − 1 A n − M n ( f ) − ( n − 1 ) 2 n − 2 A n − 1 − M n − 1 ( f ) E(a_(1),a_(2),dots,a_(n))=(n^(2))/(n-1)[A_(n)-M_(n)(f)]-((n-1)^(2))/(n-2)[A_(n-1)-M_(n-1)(f)]E\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=\frac{n^{2}}{n-1}\left[A_{n}-M_{n}(f)\right]-\frac{(n-1)^{2}}{n-2}\left[A_{n-1}-M_{n-1}(f)\right]ŞI(o1,o2,…,on.)=n.2n.-1[On.-M.n.(f.)]-(n.-1)2n.-2[On.-1-M.n.-1(f.)]
diferența dintre doi termeni consecutivi ai secvenței (14).
Pentru toată lumea k = 0 , 1 , … , n − 1 k = 0 , 1 , … , n − 1 k=0,1,dots,n-1k=0,1, \ldots, n-1k=0,1,…,n.-1funcţie E k = E k ( x ) E k = E k ( x ) E_(k)=E_(k)(x)E_{k}=E_{k}(x)ŞIk=ŞIk(x), rezultat din E ( a 1 , a 2 , … , a n ) E a 1 , a 2 , … , a n E(a_(1),a_(2),dots,a_(n))E\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)ŞI(o1,o2,…,on.)crezând în acesta din urmă a k + 1 = a k + 2 = … = a n = x a k + 1 = a k + 2 = … = a n = x a_(k+1)=a_(k+2)=dots=a_(n)=xa_{k+1}=a_{k+2}=\ldots=a_{n}=xok+1=ok+2=…=on.=xcontinuă și diferențiabilă pe I I IIEu.
Mai jos este suficient să presupunem a 1 ≦ a 2 ≦ … ≦ a n a 1 ≦ a 2 ≦ … ≦ a n a_(1) <= a_(2) <= dots <= a_(n)a_{1} \leqq a_{2} \leqq \ldots \leqq a_{n}o1≦o2≦…≦on.Să
luăm în considerare media (12), în care se presupune a k + 1 = a k + 2 = … == a n = x a k + 1 = a k + 2 = … == a n = x a_(k+1)=a_(k+2)=dots==a_(n)=xa_{k+1}=a_{k+2}=\ldots= =a_{n}=xok+1=ok+2=…==on.=xPentru că f ′ ( x ) F ′ ( f ( x ) ) = 1 f ′ ( x ) F ′ ( f ( x ) ) = 1 f^(')(x)F^(')(f(x))=1f^{\prime}(x) F^{\prime}(f(x))=1f.′(x)F′(f.(x))=1un calcul simplu dă derivata funcției E k ( x ) E k ( x ) E_(k)(x)E_{k}(x)ŞIk(x)în formă
E k ′ = f ′ ( x ) { n ( n − k ) n [ F ′ ( f ( x ) ) − F ′ ( B n ) ] − − ( n − 1 ) ( n − k − 1 ) n − 2 [ F ′ ( f ( x ) ) − F ′ ( B n − 1 ) ] } E k ′ = f ′ ( x ) n ( n − k ) n F ′ ( f ( x ) ) − F ′ B n − − ( n − 1 ) ( n − k − 1 ) n − 2 F ′ ( f ( x ) ) − F ′ B n − 1 {:[E_(k)^(')=f^(')(x){(n(n-k))/(n)[F^(')(f(x))-F^(')(B_(n))]-:}],[{:-((n-1)(n-k-1))/(n-2)[F^(')(f(x))-F^(')(B_(n-1))]}]:}\begin{aligned} E_{k}^{\prime} & =f^{\prime}(x)\left\{\frac{n(n-k)}{n}\left[F^{\prime}(f(x))-F^{\prime}\left(B_{n}\right)\right]-\right. \\ & \left.-\frac{(n-1)(n-k-1)}{n-2}\left[F^{\prime}(f(x))-F^{\prime}\left(B_{n-1}\right)\right]\right\} \end{aligned}ŞIk′=f.′(x){n.(n.-k)n.[F′(f.(x))-F′(B.n.)]--(n.-1)(n.-k-1)n.-2[F′(f.(x))-F′(B.n.-1)]}
Formule
f ( x ) − B n = k n [ f ( x ) − B k ] , f ( x ) − B n − 1 = k n − 1 [ f ( x ) − B k ] f ( x ) − B n = k n f ( x ) − B k , f ( x ) − B n − 1 = k n − 1 f ( x ) − B k f(x)-B_(n)=(k)/(n)[f(x)-B_(k)],f(x)-B_(n-1)=(k)/(n-1)[f(x)-B_(k)]f(x)-B_{n}=\frac{k}{n}\left[f(x)-B_{k}\right], f(x)-B_{n-1}=\frac{k}{n-1}\left[f(x)-B_{k}\right]f.(x)-B.n.=kn.[f.(x)-B.k],f.(x)-B.n.-1=kn.-1[f.(x)-B.k]
arată că atunci când κ κ kappa\kappakpuncte ≧ 1 ≧ 1 >= 1\geqq 1≧1Şi x > a k , f ( x ) , B n , B n − 1 x > a k , f ( x ) , B n , B n − 1 x > a_(k),f(x),B_(n),B_(n-1)x>a_{k}, f(x), B_{n}, B_{n-1}x>ok,f.(x),B.n.,B.n.-1din I ′ I ′ I^(')I^{\prime}Eu′sunt diferite deoarece f ( x ) > B k f ( x ) > B k f(x) > B_(k)f(x)>B_{k}f.(x)>B.kresp. f ( x ) < B k f ( x ) < B k f(x) < B_(k)f(x)<B_{k}f.(x)<B.kîn funcție de dacă
f f fff.creștere sau descreștere. Un calcul simplu, pe care nu îl vom reproduce aici, dă
E k ′ = k f ′ ( x ) [ f ( x ) − B k ] n ( n − 1 ) ( n − 2 ) { n ( k − 1 ) [ f ( x ) , B n ; F ′ ] + (15) + k ( n − k − 1 ) [ f ( x ) − B k ] [ f ( x ) , B n , B n − 1 ; F ′ ] } E k ′ = k f ′ ( x ) f ( x ) − B k n ( n − 1 ) ( n − 2 ) n ( k − 1 ) f ( x ) , B n ; F ′ + (15) + k ( n − k − 1 ) f ( x ) − B k f ( x ) , B n , B n − 1 ; F ′ {:[E_(k)^(')=(kf^(')(x)[f(x)-B_(k)])/(n(n-1)(n-2)){n(k-1)[f(x),B_(n);F^(')]+:}],[(15){:+k(n-k-1)[f(x)-B_(k)][f(x),B_(n),B_(n-1);F^(')]}]:}\begin{align*} & E_{k}^{\prime}=\frac{k f^{\prime}(x)\left[f(x)-B_{k}\right]}{n(n-1)(n-2)}\left\{n(k-1)\left[f(x), B_{n} ; F^{\prime}\right]+\right. \\ & \left.+k(n-k-1)\left[f(x)-B_{k}\right]\left[f(x), B_{n}, B_{n-1} ; F^{\prime}\right]\right\} \tag{15} \end{align*}ŞIk′=kf.′(x)[f.(x)-B.k]n.(n.-1)(n.-2){n.(k-1)[f.(x),B.n.;F′]+(15)+k(n.-k-1)[f.(x)-B.k][f.(x),B.n.,B.n.-1;F′]}
Dar f ′ ( x ) , f ( x ) − B k f ′ ( x ) , f ( x ) − B k f^(')(x),f(x)-B_(k)f^{\prime}(x), f(x)-B_{k}f.′(x),f.(x)-B.kpozitiv, respectiv negativ, în funcție de dacă este f f fff., prin urmare F F FFF, crescând sau descrescând. Formula (15) arată că dacă F F FFFsatisface condițiile a) și b) ale Teoremei 3, atunci avem E k ′ ≧ 0 E k ′ ≧ 0 E_(k)^(') >= 0E_{k}^{\prime} \geqq 0ŞIk′≧0Pentru x > a k x > a k x > a_(k)x>a_{k}x>okŞi k = 1 , 2 , … , n − 1 k = 1 , 2 , … , n − 1 k=1,2,dots,n-1k=1,2, \ldots, n-1k=1,2,…,n.-1, Rezultă că funcțiile E k , k = 1 , 2 , … , n − 1 E k , k = 1 , 2 , … , n − 1 E_(k),k=1,2,dots,n-1E_{k}, k=1,2, \ldots, n-1ŞIk,k=1,2,…,n.-1nedescrescător pentru x ≧ a k x ≧ a k x >= a_(k)x \geqq a_{k}x≧okDin aceasta concluzionăm
E ( a 1 , a 2 , … , a n ) ≧ E ( a 1 , a 2 , … , a n − 2 , a n − 1 , a n − 1 ) ≧ E a 1 , a 2 , … , a n ≧ E a 1 , a 2 , … , a n − 2 , a n − 1 , a n − 1 ≧ E(a_(1),a_(2),dots,a_(n)) >= E(a_(1),a_(2),dots,a_(n-2),a_(n-1),a_(n-1)) >=E\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) \geqq E\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-2}, a_{n-1}, a_{n-1}\right) \geqqŞI(o1,o2,…,on.)≧ŞI(o1,o2,…,on.-2,on.-1,on.-1)≧
≧ E ( a 1 , a 2 , … , a n − 3 , a n − 2 , a n − 2 , a n − 2 ) ≧ … ≧ E ( a 1 , a 1 , … , a 1 ) = E 0 ( a 1 ) ≧ E a 1 , a 2 , … , a n − 3 , a n − 2 , a n − 2 , a n − 2 ≧ … ≧ E a 1 , a 1 , … , a 1 = E 0 a 1 >= E(a_(1),a_(2),dots,a_(n-3),a_(n-2),a_(n-2),a_(n-2)) >= dots >= E(a_(1),a_(1),dots,a_(1))=E_(0)(a_(1))\geqq E\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-2}, a_{n-2}\right) \geqq \ldots \geqq E\left(a_{1}, a_{1}, \ldots, a_{1}\right)=E_{0}\left(a_{1}\right)≧ŞI(o1,o2,…,on.-3,on.-2,on.-2,on.-2)≧…≧ŞI(o1,o1,…,o1)=ŞI0(o1)
Dar E 0 = 0 E 0 = 0 E_(0)=0E_{0}=0ŞI0=0, orice ar fi x x xxx, prin urmare, E ( a 1 , a 2 , … , a n ) ≧ , 0 E a 1 , a 2 , … , a n ≧ , 0 E(a_(1),a_(2),dots,a_(n)) >= ,0E\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) \geqq, 0ŞI(o1,o2,…,on.)≧,0, ceea ce trebuia dovedit.
Este ușor de văzut că dacă F F FFFMai mult, șirul convex (1) de ordinul 2 și nedescrescător are toți termenii egali între ei, sau dacă F F FFFconvexă de ordinul 1 și secvența (1) nedescrescătoare are cel puțin trei termeni numeric distincti, atunci secvența (14) este crescătoare, începând de la un anumit indice n n nnn..
Acum putem elimina restricția făcută la începutul demonstrației. Funcția F F FFF, fiind de ordinul 2, este continuă pe I ′ I ′ I^(')I^{\prime}Eu′Pentru certitudine, să presupunem că F F FFFfuncție crescătoare. Atunci funcția F ε = F + ε x F ε = F + ε x F_(epsi)=F+epsi xF_{\varepsilon}=F+\varepsilon xFe=F+excrescând și satisface condițiile a), b) ale teoremei Gris în orice ε > 0 ε > 0 epsi > 0\varepsilon>0e>0În plus, funcția derivată F ε F ε F_(epsi)F_{\varepsilon}Fenu dispare pe I ′ I ′ I^(')I^{\prime}Eu′Prin urmare, putem aplica teorema funcției F ε F ε F_(epsi)F_{\varepsilon}FeDar când ε → 0 ε → 0 epsi rarr0\varepsilon \rightarrow 0e→0, funcție F ε F ε F_(epsi)F_{\varepsilon}Fetinde uniform să F F FFFpe orice interval finit și închis. Dacă f ε f ε f_(epsi)f_{\varepsilon}f.eexistă o funcție inversă funcției F ε F ε F_(epsi)F_{\varepsilon}Fe, Apoi f ε f ε f_(epsi)f_{\varepsilon}f.etinde uniform să f f fff.pe același interval. Din aceasta rezultă direct că M n ( f ε ) M n f ε M_(n)(f_(epsi))M_{n}\left(f_{\varepsilon}\right)M.n.(f.e)se străduiește pentru M n ( f ) M n ( f ) M_(n)(f)M_{n}(f)M.n.(f.)la ε → 0 ε → 0 epsi rarr0\varepsilon \rightarrow 0e→0Raționamentul este similar dacă F F FFFfuncție descrescătoare, dar sub presupunerea că ε < 0 ε < 0 epsi < 0\varepsilon<0e<0Astfel, Teorema 3 poate fi obținută prin trecerea la limită din cazul special deja demonstrat.
7. - Din secvențele (1) și (14) putem solicita fie nedescrescătoare, fie necrescătoare, prin urmare, satisfacerea uneia dintre cele 4 alternative pe care le vom nota cu m 1 , m 2 , m 3 m 1 , m 2 , m 3 m_(1),m_(2),m_(3)m_{1}, m_{2}, m_{3}m.1,m.2,m.3Şi m 4 m 4 m_(4)m_{4}m.4și pe care le prezentăm în tabel.
secvență (1)
nedescrescător ne-crescător
nedescrescător m 1 m 1 m_(1)m_{1}m.1 m 3 m 3 m_(3)m_{3}m.3
secvență (14) ne-crescător m 2 m 2 m_(2)m_{2}m.2 m 4 m 4 m_(4)m_{4}m.4
последовательность (1) неубывающая невозрастиющаа неубывающая m_(1) m_(3) последовательность (14) невозрастающая m_(2) m_(4)| | | последовательность (1) | | | :--- | :--- | :--- | :--- | | | | неубывающая | невозрастиющаа | | | неубывающая | $m_{1}$ | $m_{3}$ | | последовательность (14) | невозрастающая | $m_{2}$ | $m_{4}$ |
Teorema 3 se referă la alternativa m 1 m 1 m_(1)m_{1}m.1O teoremă similară poate fi demonstrată pentru fiecare dintre celelalte alternative. În cazul alternativei m 2 m 2 m_(2)m_{2}m.2condițiile a) și b) pe care funcția le satisface F F FFF, se înlocuiesc cu următoarele condiții:
a') F F FFFneconvexă de ordinul 1.
b') F F FFFneconcavă, respectiv neconvexă de ordinul 2, în funcție de faptul dacă este o funcție crescătoare sau descrescătoare.
În alternative m 3 m 3 m_(3)m_{3}m.3Şi m 4 m 4 m_(4)m_{4}m.4Semnul derivatelor (15) este studiat x < a k x < a k x < a_(k)x<a_{k}x<ok, unde acum presupunem a 1 ≧ a 2 ≧ … ≧ a n a 1 ≧ a 2 ≧ … ≧ a n a_(1) >= a_(2) >= dots >= a_(n)a_{1} \geqq a_{2} \geqq \ldots \geqq a_{n}o1≧o2≧…≧on.În aceste cazuri f ′ ( x ) , f ( x ) ⋯ B k f ′ ( x ) , f ( x ) ⋯ B k f^(')(x),f(x)cdotsB_(k)f^{\prime}(x), f(x) \cdots B_{k}f.′(x),f.(x)⋯B.kau semne diferite pentru x < a k x < a k x < a_(k)x<a_{k}x<okPrin urmare, condițiile a) și b), pe care le satisface funcția, trebuie înlocuite cu condițiile a) și b') pentru alternativa m 3 m 3 m_(3)m_{3}m.3și condițiile a') și b) ale alternativei m 4 m 4 m_(4)m_{4}m.48.
- Se pune întrebarea dacă condițiile a) și b) ale Teoremei 3 sunt necesare și pentru natura nedescrescătoare a secvenței (14), atunci când secvența (1) este nedescrescătoare. Pentru ca secvența (14) să fie nedescrescătoare, este necesar, în special, să existe
2 E ( a 1 , a 2 , a 3 ) = 3 a 3 − a 1 − a 2 − 9 F ( f ( a 1 ) + f ( a 2 ) + f ( a 3 ) 3 ) + 8 F ( f ( a 1 ) + f ( a 2 ) 2 ) ≧ 0 2 E a 1 , a 2 , a 3 = 3 a 3 − a 1 − a 2 − 9 F f a 1 + f a 2 + f a 3 3 + 8 F f a 1 + f a 2 2 ≧ 0 2E(a_(1),a_(2),a_(3))=3a_(3)-a_(1)-a_(2)-9F((f(a_(1))+f(a_(2))+f(a_(3)))/(3))+8F((f(a_(1))+f(a_(2)))/(2)) >= 02 E\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=3 a_{3}-a_{1}-a_{2}-9 F\left(\frac{f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+f\left(a_{3}\right)}{3}\right)+8 F\left(\frac{f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)}{2}\right) \geqq 02ŞI(o1,o2,o3)=3o3-o1-o2-9F(f.(o1)+f.(o2)+f.(o3)3)+8F(f.(o1)+f.(o2)2)≧0
Deducem din aceasta că, în condițiile Teoremei 3, funcția F F FFFtrebuie să satisfacă inegalitatea
3 F ( x 3 ) − F ( x 1 ) − F ( x 2 ) − 9 F ( x 1 + x 2 + x 3 3 ) + 8 F ( x 1 + x 2 2 ) ≧ 0 3 F x 3 − F x 1 − F x 2 − 9 F x 1 + x 2 + x 3 3 + 8 F x 1 + x 2 2 ≧ 0 3F(x_(3))-F(x_(1))-F(x_(2))-9F((x_(1)+x_(2)+x_(3))/(3))+8F((x_(1)+x_(2))/(2)) >= 03 F\left(x_{3}\right)-F\left(x_{1}\right)-F\left(x_{2}\right)-9 F\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\right)+8 F\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) \geqq 03F(x3)-F(x1)-F(x2)-9F(x1+x2+x33)+8F(x1+x22)≧0
pentru orice x 1 ≦ x 2 ≦ x 3 x 1 ≦ x 2 ≦ x 3 x_(1) <= x_(2) <= x_(3)x_{1} \leqq x_{2} \leqq x_{3}x1≦x2≦x3, Dacă f f fff.crescând și pentru orice x 1 ≧ x 2 ≧ x 3 x 1 ≧ x 2 ≧ x 3 x_(1) >= x_(2) >= x_(3)x_{1} \geqq x_{2} \geqq x_{3}x1≧x2≧x3, da { { {\{{descrescând.
Dacă f f fff.creșterea, punând pe primul loc x 1 = x 2 = x , x 3 = x + 3 h x 1 = x 2 = x , x 3 = x + 3 h x_(1)=x_(2)=x,x_(3)=x+3hx_{1}=x_{2}=x, x_{3}=x+3 hx1=x2=x,x3=x+3hși apoi x 1 = x , x 2 = x 3 = x + 6 h x 1 = x , x 2 = x 3 = x + 6 h x_(1)=x,x_(2)=x_(3)=x+6hx_{1}=x, x_{2}=x_{3}=x+6 hx1=x,x2=x3=x+6hdeducem că funcția F F FFFtrebuie să satisfacă inegalitățile.
(16) [ x , x + h , x + 3 h ; F ] ≧ 0 (17) [ x , x + 3 h , x + 4 h , x + 6 h ; F ] ≧ 0 (16) [ x , x + h , x + 3 h ; F ] ≧ 0 (17) [ x , x + 3 h , x + 4 h , x + 6 h ; F ] ≧ 0 {:[(16)[x","x+h","x+3h;F] >= 0],[(17)[x","x+3h","x+4h","x+6h;F] >= 0]:}\begin{gather*} {[x, x+h, x+3 h ; F] \geqq 0} \tag{16}\\ {[x, x+3 h, x+4 h, x+6 h ; F] \geqq 0} \tag{17} \end{gather*}(16)[x,x+h,x+3h;F]≧0(17)[x,x+3h,x+4h,x+6h;F]≧0
pentru orice x , h x , h x,hx, hx,hastfel încât h > 0 h > 0 h > 0h>0h>0Şi x , x + 3 h ∈ I ′ x , x + 3 h ∈ I ′ x,x+3h inI^(')x, x+3 h \in I^{\prime}x,x+3h∈Eu′, respectiv. x , x + 6 h ∈ I ′ x , x + 6 h ∈ I ′ x,x+6h inI^(')x, x+6 h \in I^{\prime}x,x+6h∈Eu′Acest rezultat se obține din faptul că, pe baza formulei (10), părțile stângi ale inegalităților (16), (17) pot fi înlocuite cu
F ( x + 3 h ) − 3 F ( x + h ) + 2 F ( x ) 2 F ( x + 6 h ) − 9 F ( x + 4 h ) + 8 F ( x + 3 h ) − F ( x ) F ( x + 3 h ) − 3 F ( x + h ) + 2 F ( x ) 2 F ( x + 6 h ) − 9 F ( x + 4 h ) + 8 F ( x + 3 h ) − F ( x ) {:[F(x+3h)-3F(x+h)+2F(x)],[2F(x+6h)-9F(x+4h)+8F(x+3h)-F(x)]:}\begin{gathered} F(x+3 h)-3 F(x+h)+2 F(x) \\ 2 F(x+6 h)-9 F(x+4 h)+8 F(x+3 h)-F(x) \end{gathered}F(x+3h)-3F(x+h)+2F(x)2F(x+6h)-9F(x+4h)+8F(x+3h)-F(x)
În același fel, dacă f f fff.descrescător, presupunând mai întâi x 1 = x 2 x 1 = x 2 x_(1)=x_(2)x_{1}=x_{2}x1=x2și apoi x 2 = x 3 x 2 = x 3 x_(2)=x_(3)x_{2}=x_{3}x2=x3, deducem că funcția F F FFFtrebuie să satisfacă inegalitățile
(18) [ x , x + 2 h x + 3 h ; F ] ≧ 0 (19) [ x , x + 2 h , x + 3 h , x + 6 h ; F ] ≦ 0 (18) [ x , x + 2 h x + 3 h ; F ] ≧ 0 (19) [ x , x + 2 h , x + 3 h , x + 6 h ; F ] ≦ 0 {:[(18)[x","x+2hx+3h;F] >= 0],[(19)[x","x+2h","x+3h","x+6h;F] <= 0]:}\begin{gather*} {[x, x+2 h x+3 h ; F] \geqq 0} \tag{18}\\ {[x, x+2 h, x+3 h, x+6 h ; F] \leqq 0} \tag{19} \end{gather*}(18)[x,x+2hx+3h;F]≧0(19)[x,x+2h,x+3h,x+6h;F]≦0
în aceleași condiții față de x x xxxŞi h h hhh9.
- Are loc
LEMA 1. - Dacă c este continuu pe f f fff., atunci o condiție necesară și suficientă pentru convexitatea, neconcavitatea, neconvexitatea, respectiv concavitatea de ordinul 1 a unei funcții o pe I constă în îndeplinirea inegalităților
[ x , x + h , x + 3 h ; φ ] > 0 , ≧ 0 , ≦ 0 , соотв < 0 [ x , x + h , x + 3 h ; φ ] > 0 , ≧ 0 , ≦ 0 ,  соотв  < 0 [x,x+h,x+3h;varphi] > 0, >= 0, <= 0," соотв " < 0[x, x+h, x+3 h ; \varphi]>0, \geqq 0, \leqq 0, \text { соотв }<0[x,x+h,x+3h;f.]>0,≧0,≦0, în mod corespunzător <0
sub orice x , x + 3 h ∈ I , h > 0 x , x + 3 h ∈ I , h > 0 x,x+3h in I,h > 0x, x+3 h \in I, h>0x,x+3h∈Eu,h>0Evident ,
condiția este necesară. Să demonstrăm suficiența ei. Rețineți că convexitatea, respectiv concavitatea, sunt cazuri speciale de neconcavitate, respectiv neconvexitate (cu același sens, că prin schimbarea semnului funcției φ φ varphi\varphif.(luând funcția - φ φ varphi\varphif.în loc de o funcție φ φ varphi\varphif.) sensul convexității sale este înlocuit: convexitate prin concavitate și, în general, neconcav prin neconvexitate. În plus, dacă funcția φ φ varphi\varphif.are ordinul 1 și [ x 1 , x 2 , x 3 ; φ ] = 0 x 1 , x 2 , x 3 ; φ = 0 [x_(1),x_(2),x_(3);varphi]=0\left[x_{1}, x_{2}, x_{3} ; \varphi\right]=0[x1,x2,x3;f.]=0pentru aceste puncte x 1 < x 2 < x 3 x 1 < x 2 < x 3 x_(1) < x_(2) < x_(3)x_{1}<x_{2}<x_{3}x1<x2<x3atunci avem [ x 1 ′ , x 2 ′ , x 3 ′ ; φ ] = 0 x 1 ′ , x 2 ′ , x 3 ′ ; φ = 0 [x_(1)^('),x_(2)^('),x_(3)^(');varphi]=0\left[x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, x_{3}^{\prime} ; \varphi\right]=0[x1′,x2′,x3′;f.]=0în orice puncte diferite x 1 ′ , x 2 ′ , x 3 ′ ∈ [ x 1 , x 3 ] x 1 ′ , x 2 ′ , x 3 ′ ∈ x 1 , x 3 x_(1)^('),x_(2)^('),x_(3)^(')in[x_(1),x_(3)]x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, x_{3}^{\prime} \in\left[x_{1}, x_{3}\right]x1′,x2′,x3′∈[x1,x3]Prin urmare, este suficient să demonstrăm că, dacă
(20) [ x , x + h , x + 3 h ; φ ] ≧ 0 , x , x + 3 h ∈ I , h > 0 (20) [ x , x + h , x + 3 h ; φ ] ≧ 0 , x , x + 3 h ∈ I , h > 0 {:(20)[x","x+h","x+3h;varphi] >= 0","quad x","x+3h in I","h > 0:}\begin{equation*} [x, x+h, x+3 h ; \varphi] \geqq 0, \quad x, x+3 h \in I, h>0 \tag{20} \end{equation*}(20)[x,x+h,x+3h;f.]≧0,x,x+3h∈Eu,h>0
atunci funcția φ φ varphi\varphif.neconcav de ordinul 1.
Dacă x 1 < x 2 < … < x m + 2 , ( m ≧ 1 ) x 1 < x 2 < … < x m + 2 , ( m ≧ 1 ) x_(1) < x_(2) < dots < x_(m+2),(m >= 1)x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m+2},(m \geqq 1)x1<x2<…<xm.+2,(m.≧1), avem următoarea formulă pentru medie
(21) ⌊ x 1 , x m + 1 , x m + 2 ; φ ⌋ = ∑ i = 1 m Υ i [ x i , x i + 1 , x i + 2 ; φ ] (21) x 1 , x m + 1 , x m + 2 ; φ = ∑ i = 1 m   Υ i x i , x i + 1 , x i + 2 ; φ {:(21)|__x_(1),x_(m+1),x_(m+2);varphi __|=sum_(i=1)^(m)Υ_(i)[x_(i),x_(i+1),x_(i+2);varphi]:}\begin{equation*} \left\lfloor x_{1}, x_{m+1}, x_{m+2} ; \varphi\right\rfloor=\sum_{i=1}^{m} \Upsilon_{i}\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; \varphi\right] \tag{21} \end{equation*}(21)⌊x1,xm.+1,xm.+2;f.⌋=Σeu=1m.ŞIeu[xeu,xeu+1,xeu+2;f.]
unde sunt coeficienții γ i , i = 1 , 2 , … , m γ i , i = 1 , 2 , … , m gamma_(i),i=1,2,dots,m\gamma_{i}, i=1,2, \ldots, mc.eu,eu=1,2,…,m.nu depind de funcție φ φ varphi\varphif.Şi*).
(22) ∑ i = 1 m r i , = 1 , r i > 0 , i = 1 , 2 … , m (22) ∑ i = 1 m   r i , = 1 , r i > 0 , i = 1 , 2 … , m {:(22)sum_(i=1)^(m)r_(i)","=1","r_(i) > 0","quad i=1","2dots","m:}\begin{equation*} \sum_{i=1}^{m} r_{i},=1, r_{i}>0, \quad i=1,2 \ldots, m \tag{22} \end{equation*}(22)Σeu=1m.reu,=1,reu>0,eu=1,2…,m.
Dacă, în special, luăm x , x + 2 h ∈ I , h > 0 x , x + 2 h ∈ I , h > 0 x,x+2h in I,h > 0x, x+2 h \in I, h>0x,x+2h∈Eu,h>0Şi
x i = x + 2 ( 2 i − 1 − 1 ) h 2 m + 1 − 1 , i = 1 , 2 , … , m + 2 x i = x + 2 2 i − 1 − 1 h 2 m + 1 − 1 , i = 1 , 2 , … , m + 2 x_(i)=x+(2(2^(i-1)-1)h)/(2^(m+1)-1),i=1,2,dots,m+2x_{i}=x+\frac{2\left(2^{i-1}-1\right) h}{2^{m+1}-1}, i=1,2, \ldots, m+2xeu=x+2(2eu-1-1)h2m.+1-1,eu=1,2,…,m.+2
atunci avem
x i + 1 = x i + 2 i h 2 m + 1 − 1 , x i + 2 = x i + 3 ⋅ 2 i h 2 m + 1 − 1 , i = 1 , 2 , … , m x i + 1 = x i + 2 i h 2 m + 1 − 1 , x i + 2 = x i + 3 ⋅ 2 i h 2 m + 1 − 1 , i = 1 , 2 , … , m x_(i+1)=x_(i)+(2^(i)h)/(2^(m+1)-1),x_(i+2)=x_(i)+(3*2^(i)h)/(2^(m+1)-1),quad i=1,2,dots,mx_{i+1}=x_{i}+\frac{2^{i} h}{2^{m+1}-1}, x_{i+2}=x_{i}+\frac{3 \cdot 2^{i} h}{2^{m+1}-1}, \quad i=1,2, \ldots, mxeu+1=xeu+2euh2m.+1-1,xeu+2=xeu+3⋅2euh2m.+1-1,eu=1,2,…,m.
și, luând în considerare (20), (21), (22), deducem
[ x , x + 2 ( 2 m − 1 ) h 2 m + 1 − 1 , x + 2 h ; φ ] ≧ 0 x , x + 2 2 m − 1 h 2 m + 1 − 1 , x + 2 h ; φ ≧ 0 [x,x+(2(2^(m)-1)h)/(2^(m+1)-1),x+2h;varphi] >= 0\left[x, x+\frac{2\left(2^{m}-1\right) h}{2^{m+1}-1}, x+2 h ; \varphi\right] \geqq 0[x,x+2(2m.-1)h2m.+1-1,x+2h;f.]≧0
*) Totuși
γ i = ( x i + 1 − x 1 ) ( x i + 2 − r i ) ( x m + 1 − x 1 ) ( x m + 2 − x 1 ) , i = 1 , 2 , … , m γ i = x i + 1 − x 1 x i + 2 − r i x m + 1 − x 1 x m + 2 − x 1 , i = 1 , 2 , … , m gamma_(i)=((x_(i+1)-x_(1))(x_(i+2)-r_(i)))/((x_(m+1)-x_(1))(x_(m+2)-x_(1))),i=1,2,dots,m\gamma_{i}=\frac{\left(x_{i+1}-x_{1}\right)\left(x_{i+2}-r_{i}\right)}{\left(x_{m+1}-x_{1}\right)\left(x_{m+2}-x_{1}\right)}, i=1,2, \ldots, mc.eu=(xeu+1-x1)(xeu+2-reu)(xm.+1-x1)(xm.+2-x1),eu=1,2,…,m.
Luând în considerare continuitatea funcției φ φ varphi\varphif., putem merge la limită la m → ∞ m → ∞ m rarr oom \rightarrow \inftym.→∞și obțineți [ x , x + h , x + 2 h ; φ ] ≧ 0 [ x , x + h , x + 2 h ; φ ] ≧ 0 [x,x+h,x+2h;varphi] >= 0[x, x+h, x+2 h ; \varphi] \geqq 0[x,x+h,x+2h;f.]≧0Prin urmare, Δ h 2 φ ( x ) ≧ 0 Δ h 2 φ ( x ) ≧ 0 Delta_(h)^(2)varphi(x) >= 0\Delta_{h}^{2} \varphi(x) \geqq 0D.h2f.(x)≧0Pentru x , x + 2 h ϵ I x , x + 2 h ϵ I x,x+2h epsilon Ix, x+2 h \epsilon Ix,x+2hϵEu, din care, pe baza celor spuse la nr. 4, rezultă neconcavitatea de ordinul 1 a funcției φ φ varphi\varphif.Astfel, Lema 1 este demonstrată.
Acum putem deduce
Corolarul 1. - Condiția a) impusă funcției F F FFFDin Teorema 3, este necesar ca șirul (1.4) să fie nedescrescător pentru orice șir (1) nedescrescător.
Dacă f f fff.funcție crescătoare, atunci proprietatea necesară rezultă din inegalitatea (16) și Lema I aplicată funcției F F FFFDacă f f fff.necrescătoare, atunci funcția F ( x ) , F ( − x ) F ( x ) , F ( − x ) F(x),F(-x)F(x), F(-x)F(x),F(-x)sunt simultan neconcave sau neconvexe de ordinul 1, în plus, dacă funcția F ( x ) F ( x ) F(x)F(x)F(x)satisface inegalitatea (18), funcția ts F ( − x ) F ( − x ) F(-x)F(-x)F(-x)satisface inegalitatea (16). Corolarul 1 se obține și în acest caz din Lema 1. Se poate continua fie prin repetarea întregului argument pentru h < 0 h < 0 h < 0h<0h<0în loc de h > 0 h > 0 h > 0h>0h>0prin preno nici o, tivo stabilind direct o lemă similară pentru diferențe divizate de forma
[ x , x + 2 h , x + 3 h ; φ ] с h > 0 . [ x , x + 2 h , x + 3 h ; φ ]  с  h > 0 . [x,x+2h,x+3h;varphi]" с "h > 0.[x, x+2 h, x+3 h ; \varphi] \text { с } h>0 .[x,x+2h,x+3h;f.] Cu h>0.
Se demonstrează în mod similar că condițiile a), a') din teoremele corespunzătoare referitoare la alternative m 2 , m 3 m 2 , m 3 m_(2),m_(3)m_{2}, m_{3}m.2,m.3Şi m 4 m 4 m_(4)m_{4}m.4, acestea sunt necesare.
11. - Vom demonstra doar pentru un caz special că și condiția b) din Teorema 3 este necesară. Im
Corolarul 2. - Condiția b), prescrisă pentru funcție F F FFFîn Teorema 3, unde F F FFFare o derivată continuă de ordinul trei pe I ′ I ′ I^(')I^{\prime}Eu′, este necesară pentru secvența nedescrescătoare (14) pentru orice secvență nedescrescătoare (1).
Presupunem că f este o funcție crescătoare. Vom demonstra că derivata F ′ ′ ′ F ′ ′ ′ F^(''')F^{\prime \prime \prime}F′′′, presupunând că există și este continuă pe I ′ I ′ I^(')I^{\prime}Eu′, este nenegativă pe I ′ I ′ I^(')I^{\prime}Eu′Să presupunem contrariul. Atunci există un subinterval [ α , β ] [ α , β ] [alpha,beta][\alpha, \beta][o,b]interval I ′ I ′ I^(')I^{\prime}Eu′, Cu α < β α < β alpha < beta\alpha<\betao<bastfel încât să avem pe ea F ′ ′ ′ < 0 F ′ ′ ′ < 0 F^(''') < 0F^{\prime \prime \prime}<0F′′′<0Dar atunci funcția F F FFFconcav de ordinul 2 pe [ α , β ] [ α , β ] [alpha,beta][\alpha, \beta][o,b], prin urmare, dacă x x xxx, x + 6 h ∈ [ α , β ] , h > 0 x + 6 h ∈ [ α , β ] , h > 0 x+6h in[alpha,beta],h > 0x+6 h \in[\alpha, \beta], h>0x+6h∈[o,b],h>0, avem [ x , x + 3 h , x + 4 h , x + 6 h ; F ] < 0 [ x , x + 3 h , x + 4 h , x + 6 h ; F ] < 0 [x,x+3h,x+4h,x+6h;F] < 0[x, x+3 h, x+4 h, x+6 h ; F]<0[x,x+3h,x+4h,x+6h;F]<0ceea ce contrazice inegalitatea (17). Deci, F ′ ′ ′ ≥ 0 F ′ ′ ′ ≥ 0 F^(''') >= 0F^{\prime \prime \prime} \geq 0F′′′≥0Pentru x ∈ I ′ x ∈ I ′ x inI^(')x \in I^{\prime}x∈Eu′Se concluzionează că F F FFFneconcav de ordinul 2 pe I ′ I ′ I^(')I^{\prime}Eu′, prin urmare, Corolarul 2 este demonstrat.
În același mod, bazându-ne pe inegalitatea (19), se poate demonstra Corolarul 2, când f f fff.funcție descrescătoare.
Se demonstrează în mod similar că condițiile b), b') ale teoremelor corespunzătoare alternativelor m 2 , m 3 m 2 , m 3 m_(2),m_(3)m_{2}, m_{3}m.2,m.3Şi m 4 m 4 m_(4)m_{4}m.4sunt, de asemenea, necesare sub ipoteza că F F FFFare un ordin trei continuu.
12. - Folosind notațiile introduse, să considerăm, în loc de secvența (11), succesiunea
(23) n [ f ( a 1 ) + f ( a 2 ) + … + f ( a n ) n − f ( A n ) ] , n = 1 , 2 , … (23) n f a 1 + f a 2 + … + f a n n − f A n , n = 1 , 2 , … {:(23)n[(f(a_(1))+f(a_(2))+dots+f(a_(n)))/(n)-f(A_(n))]","quad n=1","2","dots:}\begin{equation*} n\left[\frac{f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+\ldots+f\left(a_{n}\right)}{n}-f\left(A_{n}\right)\right], \quad n=1,2, \ldots \tag{23} \end{equation*}(23)n.[f.(o1)+f.(o2)+…+f.(on.)n.-f.(On.)],n.=1,2,…
Această secvență se reduce la (11) dacă secvența (1) este înlocuită cu secvența (13) și dacă funcțiile sunt interschimbate f f fff.Şi F F FFFPrin urmare, din Teorema 2 rezultă o proprietate similară referitoare la secvența (23). Cu toate acestea, este valabilă o proprietate ceva mai generală, deoarece secvența (23) este mai simplă într-un anumit sens decât secvența (11), care nu conține funcția inversă a f f fff.Se poate prevedea că nicio monotonie a funcției nu va fi prezentă f f fff.nu are nicio influență obligatorie.
Următoarea TEOREMĂ 4 este valabilă
. - Pentru ca șirul (23) să fie nedescrescător, respectiv necrescător pentru orice șir (1) ai cărui termeni aparțin intervalului 1, este necesar și suficient ca funcțiile f să fie neconcave, respectiv neconvexe de ordinul 1.
Ca și în cazul Teoremei 2, demonstrația va fi imediată dacă observăm că diferența dintre doi termeni consecutivi (între n n nnn.-ym și ( n − 1 n − 1 n-1n-1n.-1)-a) din secvența (23) este egală cu
f ( a n ) − n f ( A n ) + ( n − 1 ) f ( A n − 1 ) = n − 1 n ( a n − A n − 1 ) 2 [ A n − 1 , A n , a n ; f ] f a n − n f A n + ( n − 1 ) f A n − 1 = n − 1 n a n − A n − 1 2 A n − 1 , A n , a n ; f f(a_(n))-nf(A_(n))+(n-1)f(A_(n-1))=(n-1)/(n)(a_(n)-A_(n-1))^(2)[A_(n-1),A_(n),a_(n);f]f\left(a_{n}\right)-n f\left(A_{n}\right)+(n-1) f\left(A_{n-1}\right)=\frac{n-1}{n}\left(a_{n}-A_{n-1}\right)^{2}\left[A_{n-1}, A_{n}, a_{n} ; f\right]f.(on.)-n.f.(On.)+(n.-1)f.(On.-1)=n.-1n.(on.-On.-1)2[On.-1,On.,on.;f.]
Dacă a n ≠ A n − 1 a n ≠ A n − 1 a_(n)!=A_(n-1)a_{n} \neq A_{n-1}on.≠On.-1și este egal cu 0 dacă a n = A n − 1 a n = A n − 1 a_(n)=A_(n-1)a_{n}=A_{n-1}on.=On.-113.
- În loc de secvența (14), considerăm acum secvența
(24) n 2 n − 1 [ j ( a 1 ) + f ( a 2 ) + … + f ( a n ) n − f ( A n ) ] , n = 2 , 3 , … (24) n 2 n − 1 j a 1 + f a 2 + … + f a n n − f A n , n = 2 , 3 , … {:(24)(n^(2))/(n-1)[(j(a_(1))+f(a_(2))+dots+f(a_(n)))/(n)-f(A_(n))]","n=2","3","dots:}\begin{equation*} \frac{n^{2}}{n-1}\left[\frac{j\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+\ldots+f\left(a_{n}\right)}{n}-f\left(A_{n}\right)\right], n=2,3, \ldots \tag{24} \end{equation*}(24)n.2n.-1[j(o1)+f.(o2)+…+f.(on.)n.-f.(On.)],n.=2,3,…
care este redusă la (14) folosind aceleași transformări care au redus secvența (23) la (11).
Există o proprietate similară cu cea conținută în Teorema 3. Și anume,
TEOREMA 5 - Pentru ca secvența (24) să fie nedescrescătoare pentru orice secvență (1) nedescrescătoare ai cărei termeni aparțin intervalului I, este suficient ca funcția f să fie
a) neconcavă de ordinul 1 și
c) neconcavă de ordinul 2.
Demonstrația este aceeași ca în Teorema 3. Prin urmare, este suficient să se indice doar ideea sa.
Să notăm cu Φ ( a 1 , a 2 , … , a n ) Φ a 1 , a 2 , … , a n Phi(a_(1),a_(2),dots,a_(n))\Phi\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)F(o1,o2,…,on.)diferența dintre doi termeni consecutivi (între ( n − 1 n − 1 n-1n-1n.-1)-lea și ( n − 2 n − 2 n-2n-2n.-2)-lea, n > 2 n > 2 n > 2n>2n.>2) secvența (24). Fie Φ k = Φ k ( x ) Φ k = Φ k ( x ) Phi_(k)=Phi_(k)(x)\Phi_{k}=\Phi_{k}(x)Fk=Fk(x)funcție de x x xxx, care este plouchasya kz Φ ( a 1 , a 2 , … , a n ) Φ a 1 , a 2 , … , a n Phi(a_(1),a_(2),dots,a_(n))\Phi\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)F(o1,o2,…,on.)substituţie a k + 1 = a k + 2 = … = a n = x a k + 1 = a k + 2 = … = a n = x a_(k+1)=a_(k+2)=dots=a_(n)=xa_{k+1}=a_{k+2}=\ldots=a_{n}=xok+1=ok+2=…=on.=xÎn final, pentru a demonstra acest lucru, să presupunem că a 1 ≦ a 2 ≦ … ≦ a n a 1 ≦ a 2 ≦ … ≦ a n a_(1) <= a_(2) <= dots <= a_(n)a_{1} \leqq a_{2} \leqq \ldots \leqq a_{n}o1≦o2≦…≦on..
Funcţie f f fff., care are ordinul 2, are o derivată continuă pe I I IIEuRezultă că funcțiile Φ k Φ k Phi_(k)\Phi_{k}Fksunt continue și au o derivată continuă pe I I IIEu.
Dacă k ≧ 1 , a k < x ∈ I k ≧ 1 , a k < x ∈ I k >= 1,a_(k) < x in Ik \geqq 1, a_{k}<x \in Ik≧1,ok<x∈Eu, apoi punctele x , A n , A n − 1 x , A n , A n − 1 x,A_(n),A_(n-1)x, A_{n}, A_{n-1}x,On.,On.-1din I I IIEuderivatele funcției sunt diferite în cazul ϕ k ϕ k phi_(k)\phi_{k}ϕkîn formă
ϕ k ′ = k ( x − A k ) n ( n − 1 ) ( n − 2 ) { n ( k − 1 ) [ x , A n ; f ′ ] + k ( n − k − 1 ) ( x − A k ) [ x , A n , A n − 1 ; f ′ ] } ; ϕ k ′ = k x − A k n ( n − 1 ) ( n − 2 ) n ( k − 1 ) x , A n ; f ′ + k ( n − k − 1 ) x − A k x , A n , A n − 1 ; f ′ ; phi_(k)^(')=(k(x-A_(k)))/(n(n-1)(n-2)){n(k-1)[x,A_(n);f^(')]+k(n-k-1)(x-A_(k))[x,A_(n),A_(n-1);f^(')]};\phi_{k}^{\prime}=\frac{k\left(x-A_{k}\right)}{n(n-1)(n-2)}\left\{n(k-1)\left[x, A_{n} ; f^{\prime}\right]+k(n-k-1)\left(x-A_{k}\right)\left[x, A_{n}, A_{n-1} ; f^{\prime}\right]\right\} ;ϕk′=k(x-Ok)n.(n.-1)(n.-2){n.(k-1)[x,On.;f.′]+k(n.-k-1)(x-Ok)[x,On.,On.-1;f.′]};
rezultă că aceste derivate sunt nenegative atunci când x > a k x > a k x > a_(k)x>a_{k}x>okLa fel ca Teorema 3, nr. 6, Teorema 5 se obține din formulele corespunzătoare.
Este ușor de observat aici că, dacă funcția f f fff.în plus, este, de asemenea, convexă de ordinul 2 și șirul nedescrescător (1) nu are toți termenii egali între ei, sau dacă funcția ∫ ∫ int\int∫este convexă de ordinul 1 și șirul nedescrescător (1) are cel puțin trei termeni numeric distincti, atunci șirul (24) va fi crescător, pornind de la un anumit indice n n nnn.14.
- Aici, ca și la nr. 7, există patru alternative. m 1 , m 2 m 1 , m 2 m_(1),m_(2)m_{1}, m_{2}m.1,m.2, m 3 m 4 m 3 m 4 m_(3)m_(4)m_{3} m_{4}m.3m.4trebuie doar să înlocuim secvența (14) cu secvența (24). Teorema 5 corespunde alternativei m 1 m 1 m_(1)m_{1}m.1Într-o teoremă similară, corespunzătoare alternativei m 2 m 2 m_(2)m_{2}m.2, condițiile a), c), pe care funcția le satisface f f fff.în Teorema 5, se înlocuiesc cu următoarele condiții:
a ′ ) a ′ {:a^('))\left.\mathrm{a}^{\prime}\right)o′)f este neconvexă de ordinul 1,
c') f f fff.este neconvexă de ordinul 2.
În teoreme similare corespunzătoare alternativelor m 3 m 3 m_(3)m_{3}m.3Şi m 4 m 4 m_(4)m_{4}m.4, condițiile a), c) ale Teoremei 5 se înlocuiesc cu a), b, ') și respectiv a'), c).
În final, ca și în cazul nr. 10, se demonstrează că condiția a) a Teoremei 5 este necesară pentru natura nedescrescătoare a secvenței (24) pentru orice secvență (1) nedescrescătoare. Ca și în cazul nr. 11, se demonstrează că, pentru același rezultat, condiția c) este necesară dacă f f fff.funcție diferențiabilă continuu de trei ori pe I I IIEu.
Proprietăți similare sunt păstrate în cazul alternativelor m 2 , m 3 , m 4 m 2 , m 3 , m 4 m_(2),m_(3),m_(4)m_{2}, m_{3}, m_{4}m.2,m.3,m.415.
- Proprietățile I și II ale lui L. Chakalov sunt derivate din teoremele 2 și 3 la f = ln ⁡ x f = ln ⁡ x f=ln xf=\ln xf.=în⁡xÎn acest caz, funcția f f fff.este la x > 0 x > 0 x > 0x>0x>0crescătoare, concavă de ordinul 1 și convexă de ordinul 2. Funcția inversă F = e x F = e x F=e^(x)F=e^{x}F=şixcrescătoare, convexă de ordinul 1 și convexă de ordinul c. Putem acum aplica Teoremele 4 și 5, observând că pentru aceasta din urmă ne aflăm în alternativa m 4 m 4 m_(4)m_{4}m.4Trecând inițial de la logaritmi la numere, obținem astfel următoarele două proprietăți:
III. - Secvență ( A n G n ) n , n = 1 , 2 , … A n G n n , n = 1 , 2 , … ((A_(n))/(G_(n)))^(n),n=1,2,dots\left(\frac{A_{n}}{G_{n}}\right)^{n}, n=1,2, \ldots(On.G.n.)n.,n.=1,2,…- nedescrescător.
IV. - Secvență ( A n G n ) n a n − 1 , n = 2 , 3 , … A n G n n a n − 1 , n = 2 , 3 , … ((A_(n))/(G_(n)))^((n^(a))/(n-1)),n=2,3,dots\left(\frac{A_{n}}{G_{n}}\right)^{\frac{n^{a}}{n-1}}, n=2,3, \ldots(On.G.n.)n.on.-1,n.=2,3,…- nedescrescător pentru orice secvență nedescrescătoare (1).
Aici am folosit notația kz nr. 1 pentru media aritmetică și media geometrică, presupunând că toți membrii secvenței (1) sunt pozitivi.
Să luăm un alt caz, și anume f = 1 x f = 1 x f=(1)/(x)f=\frac{1}{x}f.=1xla x > 0 x > 0 x > 0x>0x>0Avem atunci F = 1 x F = 1 x F=(1)/(x)F=\frac{1}{x}F=1xMedia cvasi-aritmetică M n ( f ) M n ( f ) M_(n)(f)M_{n}(f)M.n.(f.)apoi se reduce la media armonică H n = n 1 a 1 + 1 a 2 + … + 1 a n H n = n 1 a 1 + 1 a 2 + … + 1 a n H_(n)=(n)/((1)/(a_(1))+(1)/(a_(2))+dots+(1)/(a_(n)))H_{n}=\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}}Hn.=n.1o1+1o2+…+1on.primul n n nnn.membrii secvenței (1), presupuși a fi pozitivi.
Ambele funcții f , F f , F f,Ff, Ff.,Fsunt descrescătoare, convexe de ordinul 1 și concave de ordinul 2. Acum putem aplica teoremele 2 , 3 , 4 2 , 3 , 4 2,3,42,3,42,3,4și 5, observând că pentru Teorema 3 suntem în alternativa m 1 m 1 m_(1)m_{1}m.1, și pentru Teorema 5 - în alternativă m 3 m 3 m_(3)m_{3}m.3Astfel, derivăm proprietățile:
V. - Secvențe
n ( A n − H n ) , n = 1 , 2 , … ; n ( 1 H n − 1 A n ) , n = 1 , 2 , … n A n − H n , n = 1 , 2 , … ; n 1 H n − 1 A n , n = 1 , 2 , … n(A_(n)-H_(n)),n=1,2,dots;n((1)/(H_(n))-(1)/(A_(n))),n=1,2,dotsn\left(A_{n}-H_{n}\right), n=1,2, \ldots ; n\left(\frac{1}{H_{n}}-\frac{1}{A_{n}}\right), n=1,2, \ldotsn.(On.-Hn.),n.=1,2,…;n.(1Hn.-1On.),n.=1,2,…
sunt nedescrescătoare.
VI. - Secvențe
n 2 n − 1 ( A n − H n ) , n = 2 , 3 , … ; n 2 n − 1 ( 1 H n − 1 A n ) , n = 2 , 3 , … n 2 n − 1 A n − H n , n = 2 , 3 , … ; n 2 n − 1 1 H n − 1 A n , n = 2 , 3 , … (n^(2))/(n-1)(A_(n)-H_(n)),n=2,3,dots;(n^(2))/(n-1)((1)/(H_(n))-(1)/(A_(n))),n=2,3,dots\frac{n^{2}}{n-1}\left(A_{n}-H_{n}\right), n=2,3, \ldots ; \frac{n^{2}}{n-1}\left(\frac{1}{H_{n}}-\frac{1}{A_{n}}\right), n=2,3, \ldotsn.2n.-1(On.-Hn.),n.=2,3,…;n.2n.-1(1Hn.-1On.),n.=2,3,…
sunt nedescrescătoare, prima pentru orice secvență nedescrescătoare (1).
În final, să luăm în considerare încă un caz special: f = x 2 f = x 2 f=x^(2)f=x^{2}f.=x2, la x > 0 x > 0 x > 0x>0x>0Avem atunci F = x F = x F=sqrtxF=\sqrt{x}F=xși medie M n ( f ) M n ( f ) M_(n)(f)M_{n}(f)M.n.(f.)este redusă la o medie pătratică P n = a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 n P n = a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 n P_(n)=sqrt((a_(1)^(2)+a_(2)^(2)+dots+a_(n)^(2))/(n))P_{n}=\sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}}{n}}P.n.=o12+o22+…+on.2n.primul n n nnn.numerele secvenței (1).
Iată funcția f f fff.crescătoare, convexă de ordinul 1 și în același timp neconcavă și neconvexă pe rândul 2, și funcția F F FFF- crescător, concav de ordinul 1 și convex de ordinul 2.
Putem aplica teoremele 2 și 3; în ultimul caz suntem în varianta alternativă m 4 m 4 m_(4)m_{4}m.4Obținem astfel proprietățile:
VII. - Secvență n ( A n − P n ) , n = 1 , 2 , … n A n − P n , n = 1 , 2 , … n(A_(n)-P_(n)),n=1,2,dotsn\left(A_{n}-P_{n}\right), n=1,2, \ldotsn.(On.-P.n.),n.=1,2,…este necrescătoare.
VIII. - Secvență n 2 n − 1 ( A n − P n ) , n = 1 , 2 , … n 2 n − 1 A n − P n , n = 1 , 2 , … (n^(2))/(n-1)(A_(n)-P_(n)),n=1,2,dots\frac{n^{2}}{n-1}\left(A_{n}-P_{n}\right), n=1,2, \ldotsn.2n.-1(On.-P.n.),n.=1,2,…este necrescătoare pentru orice secvență necrescătoare (1).
Putem aplica și teoremele 4 și 5, observând că în ultimul caz ne aflăm în alternative m 1 m 1 m_(1)m_{1}m.1Şi m 3 m 3 m_(3)m_{3}m.3Obținem apoi proprietățile:
IX. - Secvență n ( P n 2 − A n 2 ) , n = 1 , 2 , … n P n 2 − A n 2 , n = 1 , 2 , … n(P_(n)^(2)-A_(n)^(2)),n=1,2,dotsn\left(P_{n}^{2}-A_{n}^{2}\right), n=1,2, \ldotsn.(P.n.2-On.2),n.=1,2,…este nedescrescătoare.
X. - Secvența n 2 n − 1 ( P n 2 − A n 2 ) , n = 2 , 3 , … n 2 n − 1 P n 2 − A n 2 , n = 2 , 3 , … (n^(2))/(n-1)(P_(n)^(2)-A_(n)^(2)),n=2,3,dots\frac{n^{2}}{n-1}\left(P_{n}^{2}-A_{n}^{2}\right), n=2,3, \ldotsn.2n.-1(P.n.2-On.2),n.=2,3,…este nedescrescător pentru nicio secvență monotonă (1).
În proprietățile VII-X, putem presupune că termenii secvenței (1) sunt nenegativi.
Proprietățile IX și X pot fi obținute direct și foarte simplu dacă observăm că
n ( P n 2 − A n 2 ) − ( n − 1 ) ( P n − 1 2 − A n − 1 2 ) = n − 1 n ( a n − A n − 1 ) 2 n 2 n − 1 ( P n 2 − A n 2 ) − ( n − 1 ) 2 n − 2 ( P n − 1 2 − A n − 1 2 ) = = 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) ∑ i ≠ j 1 , 2 , … , n − 1 ( a i − a n ) ( a j − a n ) ( n > 2 ) n P n 2 − A n 2 − ( n − 1 ) P n − 1 2 − A n − 1 2 = n − 1 n a n − A n − 1 2 n 2 n − 1 P n 2 − A n 2 − ( n − 1 ) 2 n − 2 P n − 1 2 − A n − 1 2 = = 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) ∑ i ≠ j 1 , 2 , … , n − 1   a i − a n a j − a n ( n > 2 ) {:[n(P_(n)^(2)-A_(n)^(2))-(n-1)(P_(n-1)^(2)-A_(n-1)^(2))=(n-1)/(n)(a_(n)-A_(n-1))^(2)],[quad(n^(2))/(n-1)(P_(n)^(2)-A_(n)^(2))-((n-1)^(2))/(n-2)(P_(n-1)^(2)-A_(n-1)^(2))=],[=(2)/((n-1)(n-2))sum_(i!=j)^(1,2,dots,n-1)(a_(i)-a_(n))(a_(j)-a_(n))quad(n > 2)]:}\begin{gathered} n\left(P_{n}^{2}-A_{n}^{2}\right)-(n-1)\left(P_{n-1}^{2}-A_{n-1}^{2}\right)=\frac{n-1}{n}\left(a_{n}-A_{n-1}\right)^{2} \\ \quad \frac{n^{2}}{n-1}\left(P_{n}^{2}-A_{n}^{2}\right)-\frac{(n-1)^{2}}{n-2}\left(P_{n-1}^{2}-A_{n-1}^{2}\right)= \\ =\frac{2}{(n-1)(n-2)} \sum_{i \neq j}^{1,2, \ldots, n-1}\left(a_{i}-a_{n}\right)\left(a_{j}-a_{n}\right) \quad(n>2) \end{gathered}n.(P.n.2-On.2)-(n.-1)(P.n.-12-On.-12)=n.-1n.(on.-On.-1)2n.2n.-1(P.n.2-On.2)-(n.-1)2n.-2(P.n.-12-On.-12)==2(n.-1)(n.-2)Σeu≠j1,2,…,n.-1(oeu-on.)(oj-on.)(n.>2)

LITERATURĂ

    • L. Tchakaloff, „Despre unele inegalități dintre media aritmetică și media geometrică”, Anuarul Universității din Sofia, XLII, 39-42 (1946).
Primit de editori la 5 decembrie 1958.
  1. *) Vom comprima asta I I IIEu- interval deschis.
1960

Related Posts