Abstract
Autori
T. Popoviciu
Institutul de Calcul
Cuvinte cheie
Citați articolul în forma
T. Popoviciu, Despre precizia calculului numeric în interpolarea prin polinomul lui Newton cu noduri echidistante, Studii şi cerc. ştiinţifice, Cluj, Seria I – Şt. Matematice, Fizice, Chimice şi Tehnice, 6 (1955) nos. 3-4, pp. 27-35 (in Romanian)
Despre acest articol
Journal
Studii şi cercetări stiintifice Cluj
Publisher Name
DOI
Not available yet.
Print ISSN
Not available yet.
Online ISSN
Not available yet.
Google Scholar Profile
Referințe
??
Lucrare in format HTML
DE
Comunicare prezentală în şedinţa din 30 iunie 1955
- Pentru a calcula o valoare aproximativă a funcției f(x)f(x), reală și de variabila reală xx, pe punctul x_(0)x_{0}, cînd se cunose valorile f(x_(i)),i=1,2,dots,n+1f\left(x_{i}\right), i=1,2, \ldots, n+1, ale acestei funcți pe n+1n+1 puncte (distincte) date x_(i),i=1,2,dots,n+1x_{i}, i=1,2, \ldots, n+1, se poate folosi formula de interpolare
{:(1)f(x_(0))=L(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x_(0))",":}\begin{equation*}
f\left(x_{0}\right)=L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x_{0}\right), \tag{1}
\end{equation*}
unde L(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x_(0))L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x_{0}\right) este polinomul lui Lagrange de gradul nn şi care ia valorile f(x_(i))f\left(x_{i}\right) pe punctele sau nodurile de interpolare x_(i)x_{i}.
Vom presupunevĕ nodurile nu sînt neapărat echidistante și ne yom ocupa de calculul membrului al doilea al formulei (1) cu ajutorul formulci lui Newton, {:L(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f∣x_(0))=sum_(i=0)^(n)(x_(0)-x_(1))(x_(0)-x_(2))dots(x_(0)-x_(i))D_(1)^(j))\left.L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f \mid x_{0}\right)=\sum_{i=0}^{n}\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right) \ldots\left(x_{0}-x_{i}\right) D_{1}^{j}\right), unde coeficienții D_(i)^(i),i=0,1,dots,nD_{i}^{i}, i=0,1, \ldots, n, se obțin din tabloul nr. 1 al diferențelor divizate în care avem, în general,
{:[D_(i)^(j)=D_(i)^(j)[f]=[x_(i),x_(i+1),dots,x_(i+j);f]],[(3)D_(i)^(0)=f_(i)=f(x_(i))]:}\begin{gather*}
D_{i}^{j}=D_{i}^{j}[f]=\left[x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{i+j} ; f\right] \\
D_{i}^{0}=f_{i}=f\left(x_{i}\right) \tag{3}
\end{gather*}
folosind notațile obişuite pentru diferențele divizate ale funcției f(x)f(x).
Formarea tabloului nr. 1 al diferențelor divizate se face calculînd succesiv coloanele cu ajutorul formulei de recurență
Formarea tabloului nr. 1 al diferențelor divizate se face calculînd succesiv coloanele cu ajutorul formulei de recurență
{:[(4)D_(i)^(j)[f]=(D_(i+1)^(i-1)[f]-D_(i)^(j-1)[f])/(x_(i+j)-x_(i))quadquadquad(D_(i)^(0)[f]=f_(i))],[i=1","2","dots","n+1-j","quad j=1","2","dots","n]:}\begin{align*}
D_{i}^{j}[f] & =\frac{D_{i+1}^{i-1}[f]-D_{i}^{j-1}[f]}{x_{i+j}-x_{i}} \quad \quad \quad\left(D_{i}^{0}[f]=f_{i}\right) \tag{4}\\
i & =1,2, \ldots, n+1-j, \quad j=1,2, \ldots, n
\end{align*}
Se vede că acest calcul necesită împărțiri (cu diferențe de noduri) din care cauză, în general, diferențele divizate nu se pot calcula, de exemplu, sub forma practică de fracții zecimale limitate, decît cu o anumită aproximație, chiar
dacă nodurile și valorile luncţiei pe aceste noduri sîut date sub această formă. Dacă însă elementele tabloului nr. I se calculează aproximativ, erorile comise se tränspun asupra polinomului de interpolare. In cele ce-urmează ne propunem să examinăm efectul acestor erori asupra calculului electiv al formulei (2). Pentru simplificare, vom presupune că nodurile şi punctul x_(0)x_{0}, unde se interpolează nu sînt afectate de erori.
2. Coloanele tabloului nr. 1. se calculează succesiv cu anumite aproximatii.
2. Coloanele tabloului nr. 1. se calculează succesiv cu anumite aproximatii.
Fie widetilde(f)_(i),i=1,2,dots n+1\widetilde{f}_{i}, i=1,2, \ldots n+1, nişte valori aproximative ale valorilor funcției pe noduri și c_(i)^((0)),i=1,2,dots,n+1c_{i}^{(0)}, i=1,2, \ldots, n+1, corectiile respective, deci f_(i)= widetilde(f)_(i)+c_(i)^((0))f_{i}=\widetilde{f}_{i}+c_{i}^{(0)}, i=1,2,dots,n+1i=1,2, \ldots, n+1. Fie apoi, în general, widetilde(D)_(i)^(j)= widetilde(D)_(i)^(i)[t],i=1,2,dots,n+1-j\widetilde{D}_{i}^{j}=\widetilde{D}_{i}^{i}[t], i=1,2, \ldots, n+1-j, valorile aproximative ale elementelor coloanei jj, calculate cu ajutorul elementelor deja calculate ale coloanei j-1j-1 şi c_(i)^((j)),i=1,2,dots,n+1-jc_{i}^{(j)}, i=1,2, \ldots, n+1-j, corecţiile respective. Vom ayea atunci
{:(5) widetilde(D)_(i)^(j)+c_(i)^((j))==( widetilde(D)_(i+1)^(j-1)- widetilde(D)_(i)^(j-1))/(x_(i+j)-x_(i))( widetilde(D)_(i)^(0)= widetilde(f)_(i)):}\begin{equation*}
\widetilde{D}_{i}^{j}+c_{i}^{(j)}==\frac{\widetilde{D}_{i+1}^{j-1}-\widetilde{D}_{i}^{j-1}}{x_{i+j}-x_{i}}\left(\widetilde{D}_{i}^{0}=\widetilde{f}_{i}\right) \tag{5}
\end{equation*}
i=1,2,dots,n+1-j,j=1,2,dots,n.quadi=1,2, \ldots, n+1-j, j=1,2, \ldots, n . \quad opnoil an
Tabloul m. 1 al diferentelog divizate se inlocuieste atunci eu tabloul mr. 2 a] valorilor aproximative calculate al diferentelor divizate.
Tabloul m. 1 al diferentelog divizate se inlocuieste atunci eu tabloul mr. 2 a] valorilor aproximative calculate al diferentelor divizate.
Tabloul m. 2
O valoare aproximativă tilde(L)\tilde{L} a expresiei (2) se obtine atunci cu ajutorul tabloului nr. 2 cu formula
{:(6) widetilde(L)=sum_(i=0)^(n)(x_(0)-x_(1))(x_(0)-x_(2))dots(x_(0)-x_(i)) widetilde(D)_(1)^(j):}\begin{equation*}
\widetilde{L}=\sum_{i=0}^{n}\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right) \ldots\left(x_{0}-x_{i}\right) \widetilde{D}_{1}^{j} \tag{6}
\end{equation*}
şi vom avea
{:(7)L(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);//∣x_(0))= widetilde(L)+lambda",":}\begin{equation*}
L\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; / \mid x_{0}\right)=\widetilde{L}+\lambda, \tag{7}
\end{equation*}
- fiiitd corecţia respectivă.
In vedcrea delimitării corectiei lambda\lambda, vom face cîteva observatii asupraformulei de recurență a diferentelor divizate și asupra delimitării diferențelor divizate, care vor interveni.
3. Find dat şirul de noduri (distincte)
3. Find dat şirul de noduri (distincte)
{:(8)x_(1)","x_(2)","dots","x_(n+1):}\begin{equation*}
x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} \tag{8}
\end{equation*}
orice șir de n+1n+1 numore
{:(9)f_(1)","f_(2)","dots","f_(n+1):}\begin{equation*}
f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n+1} \tag{9}
\end{equation*}
poate fi consideral ca find format de valorile f_(i)=f(x_(i)),i=1,2,dots,n+1f_{i}=f\left(x_{i}\right), i=1,2, \ldots, n+1, ale unei funcții f(a)f(a) definite pe punctele (8). Această observație simplă clarifică diferite notații, care vor urma.
Fie kk un număr intreg nenegativ < n<n și să considerăm, pentru j=0,1,dots dots,n-kj=0,1, \ldots \ldots, n-k, şirul
{:(10)D_(1)^(j,k)[f]","D_(2)^(j,k)[f]","dots","D_(n+1-k-j)^(j,k)[f]:}\begin{equation*}
D_{1}^{j, k}[f], D_{2}^{j, k}[f], \ldots, D_{n+1-k-j}^{j, k}[f] \tag{10}
\end{equation*}
format eu ajutorul formulei de recurență
{:[D_(i)^(i,h)[f]=(D_(i+1)^(i-1,h)[f]-D_(i)^(j-1,h)[f])/(x_(i+j+h)-x_(i))","],[(11)i=1","2","dots","n+1-k-i]:}\begin{gather*}
D_{i}^{i, h}[f]=\frac{D_{i+1}^{i-1, h}[f]-D_{i}^{j-1, h}[f]}{x_{i+j+h}-x_{i}}, \\
i=1,2, \ldots, n+1-k-i \tag{11}
\end{gather*}
unde D_(i)^(0,k)[f]=f_(i),i=1,2,dots,n+1-kD_{i}^{0, k}[f]=f_{i}, i=1,2, \ldots, n+1-k. Astel, pentru j=0j=0 şirul (10) se reduce la şirul format din primii n+1-kn+1-k termeni ai şirului (9).
Este clar că termenii şirului (10) se exprimă liniar şi omogen în raport cu primii n+1-kn+1-k termeni ai șirului (9) și, în general, termenii şirului (10), pentru un jj dat, se exprimă liniar şi omogen cụ termenii şirului (10) pentru valoarea imediat inferioară a lui jj.
Pentru k=0k=0, avem D_(i)^(i,0)[f]=D_(i)^(i),i=1,2,dots,n+1-jD_{i}^{i, 0}[f]=D_{i}^{i}, i=1,2, \ldots, n+1-j, formulele (11) se reduc la formulele (4), iar şirul (10) se reduce la givul elementelor coloanci de ordinul jj din tabloul nr. 1 al diferențelor divizate ale suncției f(x)f(x) pe nodurile (8).
Formula (11) care face legătura între şirurile (10) pentru valorile succesive ale lui jj, se mai poate scrie
{:(12)D_(i)^(j,k)[f]=D_(i)^( hat(1),k+j-1)[D^(j-1,k)[f]]:}\begin{equation*}
D_{i}^{j, k}[f]=D_{i}^{\hat{1}, k+j-1}\left[D^{j-1, k}[f]\right] \tag{12}
\end{equation*}
Mai general, avem formula
{:(13)D_(i)^(j,k)[//]=D_(i)^(r,k+j-r)[D^(j-r,k)[//]]",":}\begin{equation*}
D_{i}^{j, k}[/]=D_{i}^{r, k+j-r}\left[D^{j-r, k}[/]\right], \tag{13}
\end{equation*}
unde rr este un număr întreg; 0 <= r <= j0 \leqslant r \leqslant j.
9 - c. 1540
Într-adevăr, se observă că pentru r=0r=0 și r=jr=j, formula (13) este evidentă, iar pentru r=1r=1 ea se reduce la (12). Pentru a demonstra deci formula (13) este destul a arăta că, dacă ea este adevărată pentru r=s(s < j)r=s(s<j), ea va fi adevărată și pentru r=s+1r=s+1. Acest lucru se arată astfel. Prin ipoteză avem:
D_(i)^(j-1,k)[f]=D_(i)^(s,k+j-s-1)[D^(j-s-1,k)[f]],D_{i}^{j-1, k}[f]=D_{i}^{s, k+j-s-1}\left[D^{j-s-1, k}[f]\right],
de unde, dacă ținem seama de formula (12), deducem
D_(i)^(j,k)[f]=D_(i)^(1,k+j-1)[D^(s,k-j-s-1)[D^(j-s-1,k)[f]]=[L_(i)^(s+1,k+j-s-1)[D^(j-s-1,k)[f]].:}D_{i}^{j, k}[f]=D_{i}^{1, k+j-1}\left[D^{s, k-j-s-1}\left[D^{j-s-1, k}[f]\right]=\left[L_{i}^{s+1, k+j-s-1}\left[D^{j-s-1, k}[f]\right] .\right.\right.
De aici rezultă imediat că formula (13) este adevărată pentru r=s+1r=s+1.
Simbolic, proprietatea exprimată de formula (13) se poate serie
Simbolic, proprietatea exprimată de formula (13) se poate serie
D^(alpha+beta,k)=D^(alpha,beta+k)D^(beta,h).D^{\alpha+\beta, k}=D^{\alpha, \beta+k} D^{\beta, h} .
- În cele ce urmcază vom avea nevoie de o delimitare convenabilă a zermenilor şirului (9).
Diferența divizată D_(1)^(n)=[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]D_{1}^{n}=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right] se delimiteacă uşor, ținînd seama de formula bine cunoscută
[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]=sum_(i+1)^(n+1)(f_(i))/(l^(')(x_(i)))\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]=\sum_{i+1}^{n+1} \frac{f_{i}}{l^{\prime}\left(x_{i}\right)}
unde _(i){ }_{i}
{:[l(x)=(x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(n+1))." Avem "],[|D_(1)^(n)| <= N(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))M","]:}\begin{array}{r}
l(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n+1}\right) . \text { Avem } \\
\left|D_{1}^{n}\right| \leqq N\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right) M,
\end{array}
unde
{:(14)N_(i)(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))=sum_(i=1)^(n+1)(1)/(|l^(')(x_(i))|):}\begin{equation*}
N_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)=\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{\left|l^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|} \tag{14}
\end{equation*}
şi M=max_(i=1,2,dots,n+1)(|f_(i)|)M=\max _{i=1,2, \ldots, n+1}\left(\left|f_{i}\right|\right).
O delimitare analogă a lui D_(1)^(n-k,k)[f]D_{1}^{n-k, k}[f] se poate scrie
O delimitare analogă a lui D_(1)^(n-k,k)[f]D_{1}^{n-k, k}[f] se poate scrie
{:(15)|D_(1)^(n-k,k)[f]| <= N_(k)(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))M",":}\begin{equation*}
\left|D_{1}^{n-k, k}[f]\right| \leqq N_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right) M, \tag{15}
\end{equation*}
unde, de altfel, MM se poate înlocui cu max_(i=1,2,dots,n+1-k)(|//i|)\max _{i=1,2, \ldots, n+1-k}(|/ i|).
In formula (15) avem
In formula (15) avem
N_(k)(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))=s u p_({:[|f_(i)| <= 1],[i=1","2","dots","n+1-k]:})|D_(1)^(n-k,k)[f]|" indice fic "DN_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)=\sup _{\substack{\left|f_{i}\right| \leqq 1 \\ i=1,2, \ldots, n+1-k}}\left|D_{1}^{n-k, k}[f]\right| \text { indice fic } D
şi deci
N_(k)(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))=eta_(1)^(n-k,k)[f]N_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)=\eta_{1}^{n-k, k}[f]
cu condiția să alegem toate numerele f_(i),i=1,2,dots,n+1-kf_{i}, i=1,2, \ldots, n+1-k egale cu 1 sau -1 , în mod convenabil.
Avem
N_(0)(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))=N(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))N_{0}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)=N\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)
membrul al doilea fiind dat de (1/4). Pentru k > 0k>0, expresia lui N_(k)(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))N_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right) este însă mai complicată.
În formarea lui L_(1)^(n-k,k)[f]L_{1}^{n-k, k}[f] intervin efectiv numai nodurile x_(i)x_{i} pentru i=1,2,dots,n-k,k+2,k+3,dots,n+1i=1,2, \ldots, n-k, k+2, k+3, \ldots, n+1. Dacă deci 2k <= n-12 k \leqq n-1, vor
interveni toate nodurile. Dacă însă 2k > n-12 k>n-1 nu vor interveni decît primele n-kn-k și ultimele n-kn-k noduri (8). Deducem de aici următoarea formulă:
N_(k)(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))=N_(n-k-1)(x_(1),x_(2),dots,x_(n-k),x_(k+2),x_(k+3),dots,x_(n+1))N_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)=N_{n-k-1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-k}, x_{k+2}, x_{k+3}, \ldots, x_{n+1}\right) dacă 2k > n-12 k>n-1. Este suficient să presupunem k < nk<n, deoarece avem evident
interveni toate nodurile. Dacă însă 2k > n-12 k>n-1 nu vor interveni decît primele n-kn-k și ultimele n-kn-k noduri (8). Deducem de aici următoarea formulă:
N_(k)(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))=N_(n-k-1)(x_(1),x_(2),dots,x_(n-k),x_(k+2),x_(k+3),dots,x_(n+1))N_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)=N_{n-k-1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-k}, x_{k+2}, x_{k+3}, \ldots, x_{n+1}\right) dacă 2k > n-12 k>n-1. Este suficient să presupunem k < nk<n, deoarece avem evident
{:(17)N_(n)(x_(1),x_(2),dots,x_(n-1))=1:}\begin{equation*}
N_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}\right)=1 \tag{17}
\end{equation*}
-5. In particular, să presupunem că
{:(18)x_(1) < x_(2) < dots < x_(n+1):}\begin{equation*}
x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1} \tag{18}
\end{equation*}
Formula de recurență ( 1 i. , no arată că dacă termenii çirului ( 9 ) sînt alternativ pozitivi și negativi, şirurile (10) se bucură de aceeaşi proprietate. Avem atuuci, pe de o parte,
|D_(i)^(i,k)[f]|=(1)/(x_(i+j+k)-x_(i))[|D_(i+1)^(i-1,k)[f]|+|D_(i)^(i-1,k)[f]|]\left|D_{i}^{i, k}[f]\right|=\frac{1}{x_{i+j+k}-x_{i}}\left[\left|D_{i+1}^{i-1, k}[f]\right|+\left|D_{i}^{i-1, k}[f]\right|\right]
Deoarece, pe de altă parte, avem totdeauna
|D_(i)^(j,k)[f]| <= (1)/(|x_(i+j+k)-x_(i)|)[|D_(L)^(l-k,k)[f]|+|D_(i)^(j-1,k)[f]|]\left|D_{i}^{j, k}[f]\right| \leq \frac{1}{\left|x_{i+j+k}-x_{i}\right|}\left[\left|D_{L}^{l-k, k}[f]\right|+\left|D_{i}^{j-1, k}[f]\right|\right]
rezultă că, în cazul (18), numărul N_(k)(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))N_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right) este dat de formula
{:(19)N_(k)(x_(1),x_(2),dots,x_(n+1))=alpha_(1)^(n-k,k):}\begin{equation*}
N_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)=\alpha_{1}^{n-k, k} \tag{19}
\end{equation*}
unde numerele alpha_(i)^(j,iℏ)\alpha_{i}^{j, i \hbar} se pot calcula cu ajutorul formulelor de recurenţă
{:[(20)alpha_(i)^(j,k)=(alpha_(i+1)^(j-1,k)+alpha_(i)^(j-1,k))/(x_(i+j+k)-x_(i))","quad(alpha_(i)^(0,k)=1)],[i=1","2","dots","n+1-k-j","j=1","2","dots","n+1-k]:}\begin{gather*}
\alpha_{i}^{j, k}=\frac{\alpha_{i+1}^{j-1, k}+\alpha_{i}^{j-1, k}}{x_{i+j+k}-x_{i}}, \quad\left(\alpha_{i}^{0, k}=1\right) \tag{20}\\
i=1,2, \ldots, n+1-k-j, j=1,2, \ldots, n+1-k
\end{gather*}
Formula de recurenţă (20) ne mai arată că, în cazul (18), avem
{:(21)N_(k)(x_(1),x_(2),dots,x_(i+k+1))=(N_(k)(x_(1),x_(2),dots,x_(j+k))+N_(k)(x_(2),x_(3),dots,x_(j+k+1)))/(x_(j+k+1)-x_(1)):}\begin{equation*}
N_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i+k+1}\right)=\frac{N_{k}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{j+k}\right)+N_{k}\left(x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{j+k+1}\right)}{x_{j+k+1}-x_{1}} \tag{21}
\end{equation*}
Astfel, Lolosind formulele (16), (17), (21) deducem, in particular,
{:[N_(0)(x_(1),x_(2))=(2)/(x_(2)-x_(1))],[N_(0)(x_(1),x_(2),x_(3))=(2)/((x_(2)-x_(1))(x_(3)-x_(2)))","N_(1)(x_(1),x_(2),x_(3))=(2)/(x_(3)-x_(1))],[N_(0)(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4))=(2(x_(4)+x_(2)-x_(1)-x_(3)))/((x_(2)-x_(1))(x_(3)-x_(2))(x_(4)-x_(3))(x_(4)-x_(1)))],[N_(1)(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4))=(2(x_(4)+x_(3)-x_(1)-x_(2)))/((x_(3)-x_(1))(x_(4)-x_(2))(x_(4)-x_(1)))","N_(2)(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4))=(2)/(x_(4)-x_(1))]:}\begin{gathered}
N_{0}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\frac{2}{x_{2}-x_{1}} \\
N_{0}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\frac{2}{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)}, N_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\frac{2}{x_{3}-x_{1}} \\
N_{0}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\frac{2\left(x_{4}+x_{2}-x_{1}-x_{3}\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)\left(x_{4}-x_{3}\right)\left(x_{4}-x_{1}\right)} \\
N_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\frac{2\left(x_{4}+x_{3}-x_{1}-x_{2}\right)}{\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(x_{4}-x_{2}\right)\left(x_{4}-x_{1}\right)}, N_{2}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\frac{2}{x_{4}-x_{1}}
\end{gathered}
N_(0)(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5))=N_{0}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)=
{:[=(2[(x_(2)-x_(1))(x_(3)-x_(2))+(x_(5)-x_(4))(x_(4)-x_(3))+(x_(2)-x_(1))(x_(5)-x_(4))])/((x_(2)-x_(1))(x_(3)-x_(2))(x_(4)-x_(3))(x_(5)-x_(4))(x_(4)-x_(1))(x_(5)-x_(2)))],[=(N_(1)(x_(1):x_(2),x_(3),x_(4),x_(5))=)/(2[(x_(4)-x_(1))(x_(5)-x_(2))(x_(5)-x_(1))+(x_(3)-x_(1))(x_(4)-x_(3))(x_(4)-x_(4))+(x_(5)-x_(2))(x_(3)-x_(2))(x_(5)-x_(3))])],[(x_(2)-x_(1))(x_(4)-x_(2))(x_(5)-x_(3))(x_(4)-x_(1))(x_(5)-x_(2))(x_(5)-x_(1))],[N_(2)(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5))=(2(x_(5)+x_(4)-x_(1)-x_(2)))/((x_(4)-x_(1))(x_(5)-x_(2))(x_(5)-x_(1)))],[N_(3)(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5))=(2)/(x_(5)-x_(1))]:}\begin{gathered}
=\frac{2\left[\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)+\left(x_{5}-x_{4}\right)\left(x_{4}-x_{3}\right)+\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{5}-x_{4}\right)\right]}{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)\left(x_{4}-x_{3}\right)\left(x_{5}-x_{4}\right)\left(x_{4}-x_{1}\right)\left(x_{5}-x_{2}\right)} \\
=\frac{N_{1}\left(x_{1}: x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)=}{2\left[\left(x_{4}-x_{1}\right)\left(x_{5}-x_{2}\right)\left(x_{5}-x_{1}\right)+\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(x_{4}-x_{3}\right)\left(x_{4}-x_{4}\right)+\left(x_{5}-x_{2}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)\left(x_{5}-x_{3}\right)\right]} \\
\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{4}-x_{2}\right)\left(x_{5}-x_{3}\right)\left(x_{4}-x_{1}\right)\left(x_{5}-x_{2}\right)\left(x_{5}-x_{1}\right) \\
N_{2}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)=\frac{2\left(x_{5}+x_{4}-x_{1}-x_{2}\right)}{\left(x_{4}-x_{1}\right)\left(x_{5}-x_{2}\right)\left(x_{5}-x_{1}\right)} \\
N_{3}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)=\frac{2}{x_{5}-x_{1}}
\end{gathered}
Se vede acum uşor cum se pot. delimita termenii șirului (10) eu ajutorul rezultatelor prevedente. Avem
|D_(i)^(j,k)[f]| <= N_(k)(x_(i),x_(i+1),dots,x_(i+j+k))M\left|D_{i}^{j, k}[f]\right| \leqq N_{k}\left(x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{i+j+k}\right) M
unde M=max_(r=i,i+1,dots,i+j)(|f_(r)|)M=\max _{r=i, i+1, \ldots, i+j}\left(\left|f_{r}\right|\right)
6. Să revenim la delimitarea corceției lambda\lambda din formula (7). Formula (5) se mai poate scrie
ques
6. Să revenim la delimitarea corceției lambda\lambda din formula (7). Formula (5) se mai poate scrie
ques
D_(i)^(1,j-1)[ widetilde(D)^(j-1)]= widetilde(D)_(i)^(j)+c_(i)^((j))D_{i}^{1, j-1}\left[\widetilde{D}^{j-1}\right]=\widetilde{D}_{i}^{j}+c_{i}^{(j)}
din care deducem şi
D_(i)^(1,j-r-1)[ widetilde(D)^(j-r-1)]= widetilde(D)_(i)^(j-r)+c_(i)^((j-r)),0 <= r <= j-1D_{i}^{1, j-r-1}\left[\widetilde{D}^{j-r-1}\right]=\widetilde{D}_{i}^{j-r}+c_{i}^{(j-r)}, 0 \leqq r \leqq j-1
De aici rezultă că
{:[D_(i)^(r,j-r)[D^(j,j-r-1)[ widetilde(D)^(j-r-1)]]=D_(i)^(r,j-r)[ widetilde(D)^(j-r)+c^((j-r))]=],[D_(i)^(r,j-r)[ widetilde(D)^(j-r)]+D_(i)^(r,j-r)[c^((j-r))].]:}\begin{gathered}
D_{i}^{r, j-r}\left[D^{j, j-r-1}\left[\widetilde{D}^{j-r-1}\right]\right]=D_{i}^{r, j-r}\left[\widetilde{D}^{j-r}+c^{(j-r)}\right]= \\
D_{i}^{r, j-r}\left[\widetilde{D}^{j-r}\right]+D_{i}^{r, j-r}\left[c^{(j-r)}\right] .
\end{gathered}
Dar, pe baza formulei (13),
D_(i)^(r,j-r)[D^(1,j-r-1)[ widetilde(D)^(j-r-1)]]=D_(i)^(r+1,j-r-1)[ widetilde(D)^(j-r-1)]D_{i}^{r, j-r}\left[D^{1, j-r-1}\left[\widetilde{D}^{j-r-1}\right]\right]=D_{i}^{r+1, j-r-1}\left[\widetilde{D}^{j-r-1}\right]
şi avem, prin urmare,
D_(i)^(r+1:j-r-1)[ widetilde(D)^(j-r-1)]=D_(i)^(r,j-r)[ widetilde(D)^(j-r)]+D_(i)^(r,j-r)[c^((j-r))],r=0,1,dots,j-1.D_{i}^{r+1: j-r-1}\left[\widetilde{D}^{j-r-1}\right]=D_{i}^{r, j-r}\left[\widetilde{D}^{j-r}\right]+D_{i}^{r, j-r}\left[c^{(j-r)}\right], r=0,1, \ldots, j-1 .
Adunînd rnembru cu membru aceste egalități, avem
D_(i)^(j,0)[ widetilde(D)^(0)]=D_(i)^(0,j)[ widetilde(D)^(j)]+sum_(r=0)^(i-1)D_(i)^(r,j-r)[c^((j-k))].D_{i}^{j, 0}\left[\widetilde{D}^{0}\right]=D_{i}^{0, j}\left[\widetilde{D}^{j}\right]+\sum_{r=0}^{i-1} D_{i}^{r, j-r}\left[c^{(j-k)}\right] .
İnsă avem şi
D_(i)^(j,0)[ widetilde(D)^(0)]=D_(i)^(j,0)[f]-D_(i)^(j,0)[c^((0))]=D_(i)^(j)[f]-D_(i)^(j,0)[c^((0))],D_(i)^(0,j)[ widetilde(D)^(j)]= widetilde(D)_(i)^(i)D_{i}^{j, 0}\left[\widetilde{D}^{0}\right]=D_{i}^{j, 0}[f]-D_{i}^{j, 0}\left[c^{(0)}\right]=D_{i}^{j}[f]-D_{i}^{j, 0}\left[c^{(0)}\right], D_{i}^{0, j}\left[\widetilde{D}^{j}\right]=\widetilde{D}_{i}^{i}
aşa că deducem formula
D_(i)^(j)[f]=D_(i)^(j)= widetilde(D)_(i)^(j)+sum_(r=0)^(j)D_(i)^(r,i-r)[c^((j-r))]D_{i}^{j}[f]=D_{i}^{j}=\widetilde{D}_{i}^{j}+\sum_{r=0}^{j} D_{i}^{r, i-r}\left[c^{(j-r)}\right]
Tyinînd seama de această formulă, din (6), (7) deducem
{:(22)lambda=sum_(i=0)^(n)(x_(0)-x_(1))(x_(0)-x_(2))dots(x_(0)-x_(i))[sum_(r=0)^(i)D_(1)^(r,i-r)[c^((i-r))]]:}\begin{equation*}
\lambda=\sum_{i=0}^{n}\left(x_{0}-x_{1}\right)\left(x_{0}-x_{2}\right) \ldots\left(x_{0}-x_{i}\right)\left[\sum_{r=0}^{i} D_{1}^{r, i-r}\left[c^{(i-r)}\right]\right] \tag{22}
\end{equation*}
În particular, dacă toate corectuile ci si rămin, în valoare absolută, cel mult egale cu epsi\varepsilon, pe baza formulei (15) avem
şi putem scric
unde
şi putem scric
unde
{:(23)V(x)=sum_(i=-0)^(n)|(x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(i))|[sum_(r=0)^(i)N_(i-r)(x_(1),x_(2),dots,x_(i+1))].:}\begin{equation*}
V(x)=\sum_{i=-0}^{n}\left|\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{i}\right)\right|\left[\sum_{r=0}^{i} N_{i-r}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i+1}\right)\right] . \tag{23}
\end{equation*}
Cînd valorile functici sînt exacte, deci cînd c_(i)^((j))=0,i=1,2,dots,n+1c_{i}^{(j)}=0, i=1,2, \ldots, n+1, se poate lua chiar
{:(25)V(x)=sum_(i=1)^(n)|(x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(i))|[sum_(r=0)^(i-1)N_(i-r)(x_(1),x_(2),dots,x_(i+1))]:}\begin{equation*}
V(x)=\sum_{i=1}^{n}\left|\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{i}\right)\right|\left[\sum_{r=0}^{i-1} N_{i-r}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i+1}\right)\right] \tag{25}
\end{equation*}
- Vom incheia aceste consideratii cu un exemplu numerie. Fie functia f(x)f(x) pe nodurile x_(1)=14,x_(2)=17,x_(3)=31,x_(4)=35x_{1}=14, x_{2}=17, x_{3}=31, x_{4}=35, data cu valorile ci exacte:
{:[x,1//4,17,31,35],[f(x).,68","7,64","0,44","0,39","1.]:}.\begin{array}{c|cccc}
x & 1 / 4 & 17 & 31 & 35 \\
\hline f(x) . & 68,7 & 64,0 & 44,0 & 39,1 .
\end{array} .
Avem aici n=3n=3 şi sîntem în cazul (18) prin alegerea convenabilă a notațiilor.
Formulele precedente ne dau, in acest caz,
N_(1)(x_(1),x_(2))=1N_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)=1
N_(2)(x_(1),x_(2),x_(3))+N_(1)(x_(1),x_(2),x_(3))=1+(2)/(x_(3)-x_(2))=1+(2)/(17) < 1,12N_{2}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)+N_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1+\frac{2}{x_{3}-x_{2}}=1+\frac{2}{17}<1,12
N_(3)(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4))+N_(2)(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4))+N_(1)(x_(1),x_(2),x_(3),x_(4))=N_{3}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)+N_{2}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)+N_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=
=1+(2)/(x_(4)-x_(1))+(2(x_(4)+x_(3)-x_(1)-x_(2)))/((x_(3)-x_(1))(x_(4)-x_(2))(x_(4)-x_(1)))=1+(2)/(21)+(5)/(459) < 1,11.=1+\frac{2}{x_{4}-x_{1}}+\frac{2\left(x_{4}+x_{3}-x_{1}-x_{2}\right)}{\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(x_{4}-x_{2}\right)\left(x_{4}-x_{1}\right)}=1+\frac{2}{21}+\frac{5}{459}<1,11 .
Avem prin urmare, interpolind în punctul x_(0)=27x_{0}=27,
V(x_(0)) < 13+13 xx10 xx1,12+13 xx10 xx4xx1,11 < 736.V\left(x_{0}\right)<13+13 \times 10 \times 1,12+13 \times 10 \times 4 \times 1,11<736 .
Dacă în vederea formării tabloului nr. 2, calculăm diferențele divizate prescurtat la kk zecimale, vom avea
|lambda| < (736)/(2*10^(k))=(368)/(10^(k))|\lambda|<\frac{736}{2 \cdot 10^{k}}=\frac{368}{10^{k}}
Pentru a putea obţine cel puțin o zecimală exactă în valoarca polinomului (2), trebuie să avem cel puțin 368*10^(-k) < 0,01368 \cdot 10^{-k}<0,01, deci cel puțin k=5k=5.
Luînd k=5k=5, cu datele din tabloul nr. 2 se obțin datele din tabloul nr. 3.
Tabloul nr. 3
Avem atunce
widetilde(L)=68,7-13 xx1,5667+130 xx0,00812-520 xx0,00015=49,31089\widetilde{L}=68,7-13 \times 1,5667+130 \times 0,00812-520 \times 0,00015=49,31089
si |lambda| < 0,00368|\lambda|<0,00368,
deci
deci
49,37021 < L(14,17,31,35;quad|quad|27) < 49,31457.49,37021<L(14,17,31,35 ; \quad|\quad| 27)<49,31457 .
A la fin on donne une application numérique.
- *) Pentru i=0i=0 termenul corespunzător al sunci se reduce la L_(i)^(0)L_{i}^{0}. O convenție analogā se aplică și formulelor (6), (22), (24).