DIFERENȚE DIVIZATE ȘI DERIVATE

Tiberiu Popoviciu's father

1.
- •
  
  eu sunt $A[f]=A[f(x)]$ o funcțională liniară, deci aditivă și bonogenă, definită pe un spațiu vectorial $S$ de funcții $f=f(x)$ , numere reale, din variabile reale $x$ , definită și continuă pe un interval $i$ Vom desemna par a l'extreme gatche et par $b$ capătul din dreapta al intervalului I. În cele ce urmează vom presupune întotdeauna că elementele lui $S$ verificăm toate proprietățile de diferențiabilitate necesare pentru ca funcționalele liniare considerate să aibă sens. Vom presupune întotdeauna că $S$ conține toate polinoamele. Presupunem întotdeauna că $a<b$ .

Toate funcționalele liniare $A[f]$ într-o oarecare măsură $d$ exactitate bine determinată. Ce grad de exactitate are întregul număr $n\geq-1$ , sau numărul impropriu $n=\infty$ caracterizat prin proprietatea:
$1^{\circ}.n=-1$ și $A[1]\neq 0$ 2
. $A\left[x^{i}\right]=0,i=0,1,\ldots,n,A\left[x^{n+1}\right]\neq 0$ i $A[1]=0$ și dacă cel puțin unul dintre numere $A\left[x^{i}\right],t=0,1,\ldots$ este diferit de zero.
$3^{\circ}.n=\infty$ i $A\left[x^{i}\right]=0,i=0,1,\ldots$
În casă $1^{\circ}$ i $2^{\circ}$ Gradul de precizie este finit. Acest caz apare dacă și numai dacă $A[f]$ este diferit de zero pe cel puțin un polinom. În cazul $3^{\circ}$ , gradul de precizie este infinit și atunci $A[f]$ este nulă pe orice polinom.

Pentru o funcțională liniară $A[f]$ fie nul pe orice polinom de grad $n$ , este necesar și suficient ca gradul său de precizie să fie egal cu $n$ cel puțin (presupunem întotdeauna că $n<\infty$ Un polinom de grad $n$ la est de formular $\alpha_{0}x^{n}+\alpha_{1}x^{n-1}-\mid\ldots+\alpha_{n}$ , coeficienții $\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$ fiind: orice numere reale. Și au un coeficient mai mare $\alpha_{0}$ Orientul $\neq 0$ Se spune că polinomul are grad efectiv $n$ 9.
- Ne vom concentra, în special, pe funcționale liniare $A[f]$ care sunt egale cu o combinație liniară a valorilor, pe un număr finit de puncte, ale funcției $f$ și un număr finit de derivate ale sale de diferite ordine. O astfel de funcțională liniară este din formele
(1)

A[f]=\sum_{i=1}^{p}\sum_{i=0}^{k_{i-1}}a_{i,l}f^{(l)}\left(z_{i}\right)

ou, $p,k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}$ li se dau numere naturale, $z_{i},i=1,2,\ldots,p$ , $p$ puncte distincte ale intervalului $i$ i $a_{i,j},j=0,1,\ldots,k_{i}-1,i=1,2,\ldots$ , $p$ numere independente de funcție $f$ Punctele $z_{t}$ sunt nodurile și numerele $a_{i,j}$ sunt coeficienții funcționalei liniare (1).

În expresia (1) și relativ la nod $day}$ include valorile funcției și ale acesteia $k_{i}-1$ derivate prime, prin urmare din prima sa $k_{i}$ derivate dacă suntem de acord că funcția însăși este propria sa derivată de ordinul 0, în acest punct. Din acest motiv, suntem de acord că în $day}$ sunt confuzi $k_{i}$ noduri. Apoi $k_{i}$ este ordinul de multiplicitate al nodului $day}$ (este un nod simplu și $k_{i}=1$ , dublu și $k_{i}=2$ etc.). Putem spune, de asemenea, că $z_{j}$ este un nod de ordine $k_{i}$ de multiplicitate. În acest fel, numărul total de noduri, distincte sau nu (deci fiecare nod contează cu ordinul său de multiplicitate), este egal cu $m=k_{1}+k_{2}+\ldots+k$ Numerotează-le $m$ Orientul $\geqq p$ și este egal cu $p$ dacă și numai dacă toate nodurile sunt simple.

cadavru $m$ Nodurile, simple sau nu, pot fi desemnate prin $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ Printre aceste puncte, exact $k_{i}$ coincident cu $day}$ Pentru $i=1,2,\ldots,p$ În acest fel, am numerotat o anumită permutare a nodurilor. În principiu, permutarea și, prin urmare, numerotarea nodurilor este arbitrară. Cu toate acestea, există anumite sisteme de numerotare privilegiate, pe care le vom numi sisteme de numerotare normale. Într-un sistem de numerotare normal, pentru toate $i$ , THE $k_{i}$ noduri $x_{j}$ care coincid cu $day}$ sunt numerotate cu $k_{i}$ indici consecutivi. O numerotare normală este, de exemplu, $x_{k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{i-1}+v}==z_{i},v=1,2,\ldots,k_{j},i=1,2,\ldots,p\left(k_{0}=0\right)$ În special, și în continuare $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ este monotonă (nedescrescătoare sau necrescătoare), numerotarea este normală.
3. - Funcționala zero (identică) pe $S$ provine din formele (1), unde toți coeficienții $a_{i,j}$ sunt egale cu 0. Această funcțională liniară are un grad de precizie egal cu $\infty$

O funcție liniară de forma (1) determină pasul nostru pentru a completa sistemul de noduri $z_{1}$ cu multiplicitățile lor respective. În esență, putem adăuga orice număr finit de noduri fără a modifica funcționala liniară considerabilă. Este suficient să demonstrăm această proprietate pentru un singur nod. $x_{0}$ adăugate la cele anterioare. Deci putem adăuga la $A[f]$ fără a-și schimba valorile, termenul $0.f\left(x_{0}\right)$ i $x_{0}$ coincide cu noi auctur de noeuds $day}$ și termenul 0. $f^{\left(k_{i}\right)}\left(z_{i}\right)$ i $x_{0}=z_{i}$ .

Să luăm în considerare atunci o funcțională liniară (1) a cărei funcționalitate nu este egală cu zero. Putem presupune, fără a restricționa generalitatea, că
(2)

a_{i},k_{i-1}\neq 0,i=1,2,\ldots,p.

În acest caz, nodurile sunt reduse la cel mai mic număr al lor deoarece, pe de o parte, dacă condițiile (2) sunt adevărate, putem elimina un anumit număr de noduri fără a modifica funcționalitatea $A[f]$ În plus
, astfel de ștergeri de noduri nu sunt posibile dacă nu sunt îndeplinite toate condițiile (2). Este ușor de observat cum se poate obține numărul minim de noduri.

Luați în considerare polinoamele de grad $m$
(3)

l(x)=\prod_{v=1}^{m}\left(x-x_{v}\right).

Apoi*)

\begin{gathered}A\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]=a_{i,k_{i}-1}\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]_{x-x_{i}} ^{\left(k_{i}-1\right)}=a_{i,k_{i}-1}\left(k_{i}-1\right)!\prod_{v=1}^{p}\left(z_{i}-z_{v}\right)^{k_{v}}\\ i=1,2,\ldots,p\end{gathered}

care, conform ipotezei (2), sunt toate diferite de zero. Prin urmare, avem Lema
1. - Funcționala liniară (1), unde coeficienții $a_{i,j}$ nu sunt toate zero, are un grad de precizie (finit și) cel mult egal cu $m-2$ .

Rezultă că, dacă funcționala liniară (1) are un grad de precizie mai mare decât $m-2$ este identic zero.
4. - Dacă funcționala liniară (1) are un grad de exactitate egal cu $m-2$ , se reduce, în afară de un factor diferit de zero, independent de funcție $f$ , la diferența împărțită la ordin $m-1$ pe $m$ noduri $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ din funcție $f$ Această diferență împărțită va fi notată cu
(4)

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]

fără păr

Diferența împărțită este o funcțională liniară de forma (1) determinată complet de condițiile de anulare pe orice polinom de gradul $m-2$ și pentru a reduce la 1 peste polinom $x^{n-1}$ .

Diferențele divizate posedă diverse proprietăți și satisfac formule bine cunoscute. Vom reaminti principalele formule care vor fi utilizate ulterior.

Diferența împărțită este simetrică față de nodurile pe unele dintre care este definită. Rezultatul este că în notația (4) numerotarea nodurilor este indiferentă.

Avem relația de recurență
(5)

\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q+1};f\right]=\frac{\left[t_{2},t_{1}+\ldots,t_{Q+1};f\right]-\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q};f\right]}{t_{Q+1}-t_{1}}

⁰⁰text de subsol: *)

\sum_{v=1}^{p}i,\frac{p}{|i|}

înseamnă că în același timp le produc la valență și din indice este exclae.

care este relația dintre diferențele împărțite de ordinul 0 și diferențele împărțite de ordinul $a-1$ Formula (5) este valabilă numai cu condiția ca nodurile $t_{1},t_{0+1}$ , sunt distincte, presupunând, desigur, că diferențele divizate arătate în acestea au semnificație.

Dacă toate nodurile unei diferențe divizate de ordinul a coincid cu același punct $it$ , această diferență împărțită este egală cu $\frac{1}{\rho^{!}}f^{(\phi)}(\phi)$ Prin urmare, avem formula
(b)

[\underbrace{t}_{\ell+1}t_{1}\ldots,t;f]=\frac{1}{e!}f^{(p)}(t).

Avem și formula pentru descompunere
(7) $\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q},t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q};f\right]=\left[t_{1},t_{2},\ldots,t _{Q};\frac{f(x)}{\left(x-t_{1}\right)\left(x-t_{2}\right)\ldots\left(x-t_{Q}\right)}\right]+$

-\left[i_{1},i_{2},\ldots,i_{0^{\prime}};\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)\ldots\left(x-i_{0}\right)}\right]

ceea ce este valid cu condiția ca niciunul dintre noduri $t_{1},t_{2},\ldots,t_{6}$ nu coincid cu unul dintre noduri $i_{1},i_{2},\ldots,i_{Q^{\prime}}$ .

Avem și formula de traducere
(8)

\begin{gathered}{\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q},t_{1},t_{2},\ldots,t_{Q};f(x)\left(x-t_{1}\right)\left(x-t_{2}\right)\ldots\left(x-t_{Q}\right)\right]=}\\ =\left[t_{1},t_{2},\ldots,t_{0};f\right]\end{gathered}

Formulele anterioare vă permit să găsiți coeficienții $c_{i,j}$ din diferența împărțită (1),

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=0}^{i_{t}-1}c_{i,j}f^{(h)}\left(z_{i}\right)

(9)

Dacă ne pozăm

h_{i}(x)=\frac{u(x)}{\left(x-z_{i}\right)^{k_{i}}}=\frac{l_{i}}{\mid v=1}\left(x-z_{v}\right)^{k_{v}},i=1,2,\ldots,p

ou $l(x)$ este polinomul (3), aplicând corespunzător, și de mai multe ori dacă este necesar, formulele (6), (7), 11011, deducem

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]=\sum_{i=1}^{p}\left[\underline{z}_{i,}z_{i},\ldots,z_{i};\frac{l}{h_{i}}\right]=}\\ =\sum_{i=1}^{p}\frac{1}{(h-1)!}-\left[\frac{f(x)}{h_{i}(x)}\right]_{x-z_{i}}^{(h,-1)}\end{gathered}

Am făcut

\begin{gathered}c_{i,j}=\frac{1}{\left(h_{i}-1\right)!}\cdot\left(k_{i}-1\right)\left[\frac{1}{l_{i}(n)}\right]_{z=s_{l}}^{\left(k_{i}-1-j\right)}\\ j=0,1,\ldots,h_{i}-1,i=1,2,\ldots,p.\end{gathered}

Noi avem, în special.

c_{t_{t},k-1}=\frac{1}{\left(h_{t}-1\right)1}\cdot\frac{1}{\frac{p}{|i|}\left(z-z_{v}\right)^{h_{v}}},\quad i=1,2,\ldots,p

Vedem că, în cazul diferenței împărțite (4), condițiile (2) sunt îndeplinite. Rezultatul este că, în cazul diferenței împărțite, notația (4) stabilește cu precizie sistemul de noduri cu numărul minim.
5. - Notăm cu $L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\mid x\right)$ , polinoamele termite Lagrange relative la funcție $f$ și pe noduri $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ Acesta este polinomul (unic) $L(x)$ prin grad $m-1$ cine verifică egalitatea

L^{(j)}\left(z_{i}\right)=f^{(j)}\left(z_{i}\right),\quad j=0,1,\ldots k_{i}\ldots 1,i=1,2,\ldots,p.

(10)

Avem*)
(11)

=\sum_{v=0}^{m-1}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{v}\right)\cdot\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{v+1};f\right].

Din (10) rezultă că
(12)

A[f]=A\left[L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\mid x\right)\right]

ct, ținând cont de prima formulă (11),

A[f]=\sum_{v=0}^{m-1}a_{v}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{v-1-1};f\right]

(13)

\text{ (14) }\quad a_{v}=A\left[\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right),\ldots\left(x-x_{v}\right)\right],\quad v=0,1,\ldots,m-1.

Dacă funcționala jineare considerată are un grad de precizie mai mic sau egal cu $n$ ( $0\leq n\leq m-2$ ) avem $a_{v}=0,v=0,1,\ldots,n$ și reciprocitate. Dacă are un grad de precizie egal cu $n(-1\leqq n\leqq m-2)$ avem, în plus, $a_{n-1}=A\left[x^{\prime\prime+1}\right]\neq 0$ și invers. Această proprietate poate fi enunțată sub forma

Același 2. - Pentru ca funcționala liniară (1) să aibă un grad de precizie cel puțin egal cu $n$ , este necesar și suficient ca în exprimarea sa în forma (13) Zon să aibă $a_{0}=a_{1}=\ldots=a_{n}=0$ Pentru ca gradul de exactitate

⁰⁰text de subsol: 4. i

v=0

, produsul

\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots(x-1v)

se înlocuiește cu 1. Această convenție se aplică și mai mult formulelor analoage

atitudinea este exact egală cu $n$ Este necesar și suficient ca, în plus, să existe $a_{n+1}\neq 0$ 6.
- Rezultatul anterior este valabil pentru orice numerotare a nodurilor.

Acum să presupunem că următoarele $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ (deci numerotarea respectivă) a nodurilor are proprietatea că dacă $i,j$ sunt indici $1,2,\ldots,m$ ,

j-i\geqq n+2\Rightarrow x_{i}\neq x_{j}.

(15)

Aplicarea formulelor (6) la diferențele împărțite $\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{4};f\right]$ , $v=n+2,n+3,\ldots,m-1$ (şi $m\geq n-3$ ), atunci când este necesar, chiar și de mai multe ori (dacă $m>n-3$ ), deducem formulele ( $m\geq n+3$ ),

	$\displaystyle A[f]=\sum_{v=0}^{m}a_{v}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{v+1};f\right]+$		(16)
	$\displaystyle\quad+\sum_{i=1}^{m-1}\mu_{i}\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right]$

unde coeficienții $a_{y}$ , dată de (14), și coeficienții $\mu_{i},i=1,2,\ldots m-n-1$ sunt independente de funcție $f$ .

Putem apoi enunța
Lema 3. - Pentru ca funcționala liniară (1) să aibă un grad de exactitate cel puțin egal cu $n\geq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)-2$ (făcut astfel încât să fie zero pe politomul tău de grad) $n\geqq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)-2$ ) $il$ fals și este suficient care sol dintre forme

A[f]=\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right]

(17)

oh, Doamne $\mu_{i},i=1,2,\ldots,m-n-1$ sonda coeficienților independenți de funcție $f$ .

Astfel încât, în aceleași condiții, gradul de exachiludie este egal cu $n$ În plus, este necesar și suficient să existe $\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}\neq 0$ .

Condiția este necesară. Într-adevăr, pe de o parte, sub ipotezele lemei, putem găsi o numerotare a nodurilor astfel încât condițiile (15) să fie verificate. O astfel de numerotare este, de exemplu, orice numerotare normală*). Pe de altă parte, atunci din formulele (16) rezultă din formulele (17).

⁰⁰text de subsol: *). Pot exista sisteme de numerotare, diferite de numerotarea normală, pentru care sunt verificate condițiile (15). Și, de exemplu, avem

p=3,k_{1}=3,h_{2}=h_{3}=2

(aşa

m=7

n=3

, permutările (

P

z_{1},z_{1},z_{2},z_{2},z_{1},z_{3},z_{3},\left(P^{\prime}\right):z_{1},z_{2},z_{1},z_{1},z_{2},z_{3},z_{3}

dați numerotări care verifică condițiile (15). Aceste două numerotări diferă prin faptul că formula (17) corespunde la

(P)

diferențele de meme-uri de aur sunt divizate decât permato

(P*):z_{1},z_{1},z_{1},z_{2},z_{2},z_{3},z_{3},qui

corespunde doar unei numerotări, adică formulelor (17) corespunzătoare (

P

) duce la diferențe divizate care nu sunt identice (datts lent ettsentile). Se pare că numerotarea corespunzătoare permutării (i) într-un anumit fel, védacibbe la o numerotare normală, deși nu este clară.

$I_{1}a$ Această condiție este suficientă. Într-adevăr, orice diferență împărțită la ordin $n+1$ este gradul de precizie $n$ , prin urmare se anulează pe orice polinom de gradul $n$ Prin urmare, același lucru este valabil și pentru orice combinație liniară a unor astfel de diferențe divizate.

Suficiența ultimei condiții a lemei rezultă din formulele $A\left[x^{n-1}\right]=\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}$ .
$\mathrm{I}_{\mathrm{r}}\mathrm{a}$ stare $n\geqq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)-2$ Lema este esențială. Dacă această condiție nu este îndeplinită, este posibil să nu existe o relație din formele (17). Acest lucru rezultă ușor din faptul că, dacă nodurile unei funcționale liniare de forma (17) sunt reduse la numărul lor minim, printre aceste noduri nu există niciunul care să aibă un ordin de multiplicitate. $>n+2$ Apropo, și $n<\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)-2$ , nu există o numerotare care să verifice proprietatea (5).

II.

7.
- •
  
  Vom reaminti conceptul de funcționale liniare din forme simple. Funcționale liniare $A[f]$ , definită în spațiu $S$ se spune din forme simple că există un număr întreg $n\geqq-1$ ca, pentru proști $f_{\epsilon}S$ , am spus noi

A[f]=K.\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};f\right]

(18)

ou $K$ este un coeficient diferit de 0 și independent de funcție $f$ și ei $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2}$ Dragoste $n+2$ puncte distincte ale intervalului $I$ și $n\geqq 0$ chiar și din intervalul respectiv $I$ și care, în general, poate depinde de funcția $f$ Faptul că, pentru $n\geq 0$ , punctele $\xi_{i}$ poate fi ales în intervalul $I$ rezultă din proprietățile mediei diferențelor împărțite [6]. În acest caz, gradul de precizie al $A[f]$ este în mod necesar egal cu $n$ Rezultă că, dacă o funcțională liniară este de formă simplă, ea este de această formă pentru o singură valoare a $n$ Există o proprietate importantă care caracterizează trăsăturile funcționale ale formelor simple [4] și care poate fi enunțată sub forma:

Lema 4. - Pentru funcționala liniară $A[f]$ fie din forme simple, este necesar și suficient să existe un număr întreg $n\geqq-1$ cum se spune $A[f]\neq 0$ pentru orice $f_{\in}S$ , ordine convexă $n$ .

Proprietatea formelor simple este, prin urmare, foarte intim legată de noțiunea de funcții convexe de ordin superior.

O funcție definită pe $I$ se numește ordine convexă $n$ și toate diferențele sale împărțite după ordine $n+1$ gri $n+2$ noduri distincte (aparținând $I$ ) sunt pozitive. Se spune că funcția este neconcavă de ordin $n$ (surprinde) $I$ ) și toate diferențele sale împărțite după ordine $n+1$ în puncte distincte (sau nu) sunt nenegative. O funcție convexă de ordin $n$ este o funcție de ordine neconcavă $n$ special.

Le numerotez. $n$ din lema 4 este cel care apare în formula corespunzătoare (18). Coeficientul $K$ din această formulă este egală cu $A\left[x^{13+1}\right]$ sau la
$A[f]$ ou $f$ este un polinom de orice grad $n+1$ cu coeficientul plus haut egal cu 1.

Dacă funcționala liniară $A[f]$ provine din forme simple și funcția $f$ are o derivată de ordin $n+1$ (Pentru) $n\geqq 0$ ) în interiorul intervalului $I$ , avem

A[f]=\frac{K}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi),

(19)

ou $K$ este un coeficient independent de funcție $f$ (egală și cu cea care apare în formula (18)) și $\xi$ un punct de $I$ și $n\geq 0$ , chiar și din interior $I$ , și care depinde, în general, de funcția $f$ .

Ne aflăm într-un caz clasic binecunoscut dacă $A[f]$ Ei continuă să danseze după formulele lui Taylor. Formula (19) este atunci forma clasică a restului dat de Lagrange.
B. - Vom reaminti câteva proprietăți ale funcțiilor convexe de ordin superior. Orice funcție convexă de ordin $n>0$ gri $I$ este continuă în interiorul $I$ și da $n>1$ are un derivat de conținut al ordinii $n-1$ în interiorul $I$ Și la derivată $f^{(n+1)}(x)$ , prin ordin $n+1$ , există, cu condiția $f^{(n+1)}(x)\geq 0$ gri $I$ este necesar și suficient pentru ca funcția să nu fie concavă de ordine $n$ gri $I$ Această condiție este necesară doar și condiția $f^{(n+1)}(x)>0$ gri $I$ este suficient doar pentru funcția $f$ să fie convexă în ordine $n$ gri $I$ i $f^{(n+1)}(x)\geq 0$ gri $I$ și dacă nu există un sunet de interval diferit de zero $I$ pe care $f^{(n+1)}(x)$ nici o problemă, $f$ este convexă în ordinea $n$ pe I. În special avem

Lema 5. - Pentru un polinom $f$ grad efectiv $>n$ sol convex de ordin $n$ gri $I$ , este necesar și suficient ca unul $f^{(n+1)}(x)\geq 0$ gri $I$ .

Condiția este suficientă deoarece derivata de ordin $n+1$ unui polinom de grad efectiv $>n$ nu este identic zero, prin urmare poate fi zero doar peste un număr finit ( $\geq 0$ ) de puncte. Această derivată nu poate fi identică zero pe niciun subinterval de lungime pozitivă. Un polinom de grad efectiv $n$ este un polinom de grad $n$ care nu se reduce (pe un interval de lungime pozitivă) la un polinom de grad $n-1$ .

Convexitatea de ordinul -1 este echivalentă cu pozitivitatea, iar neconcavitatea de ordinul -1 cu nenegativitatea funcției. Convexitatea de ordinul 0 este echivalentă cu creșterea, iar neconcavitatea de ordinul 0 cu nedescreșterea funcției.
9. - O funcție convexă de ordinul $n$ se bucură de proprietatea că orice diferență împărțită prin ordine $n-1$ a acestei funcții pe $n-1-2$ noduri care nu sunt toate coincidente, este pozitiv, cu condiția, desigur, ca această diferență divizată să existe*)

Se consideră o funcție liniară din formele (17). Având în vedere lema 4, rezultă că dacă toți coeficienții $\mu_{i},i=1,2,\ldots$ , $m-n-1$ Dragoste $\geq 0$ , sau toate sunt $\leq 0$ și dacă există cel puțin unul

⁰⁰text de subsol: *)

\mathrm{J}_{4}

existența unui sem de nr ₁ , prin urmare în sensul că funcția adversă eficientă minus derivatele care apar în expresia (1) a diferenței împărțite considerate.

coeficient $\mu_{i}$ diferit de zero pentru care nodurile $x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1}$ a diferenței împărțite corespunzătoare nu sunt toate confundate, atunci funcționala liniară (17) este de gradul de precizie $n$ și are forma simplă.

Condiția ca coeficienții $\mu_{i}$ Faptul că are același semn nu este, în general, necesar pentru ca funcționala liniară (17) să aibă gradul de precizie $n$ și să fie de formă simplă.

Să presupunem acum că $x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{m}$ și că ordinele de multiplicitate ale nodurilor distincte sunt $\leqq n$ -t 2. Conform unor rezultate deja obținute [5], rezultă că si $n=-1,0$ sau 1, condiția ca toți coeficienții $\mu_{i}$ din funcțiile liniare au același semn și există cel puțin una $i$ pentru care $\mu_{i}\neq 0$ și nodurile $x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1}$ că nu sunt toate confundate, este necesar și suficient pentru ca funcționala liniară considerabilă să aibă gradul de precizie $n$ și din forme simple. Desigur, pentru $n=-1$ , ultima condiție, prin urmare, este ca $x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1}$ a nu se confunda cu a nu poseda. Vom repeta aici demonstrația pe care am dat-o, de altfel, cu anumite modificări neesențiale, în lucrarea noastră citată [ $\tilde{b}$ ].

Din cele de mai sus, este suficient să se demonstreze că, dacă funcționala liniară (17) are gradul de exactitate $n$ (Pentru) $n=-1,0$ sau 1) și este din forme simple, niciunul dintre coeficienți $\mu_{i}$ nu poate fi diferența dintre zero și de semn opus cu numărul $A\left[x^{n+1}\right]=\sum_{i=1}^{m-n-1}\mu_{i}$ (ceea ce este în mod necesar $\neq 0$ ). Presupunând $\sum_{i=1}^{m-i}\mu_{i}\neq 0$ Prin urmare, proprietatea este echivalentă cu faptul că inegalitățile $\left(\sum_{v=1}^{m-1}\mu_{v}\right)\mu_{i}\geq 0,i=1,2,\ldots,n-n-1$ sunt verificate. Pentru demonstrație luăm în considerare faptul că dacă $f$ este o funcție de ordine neconcavă $n$ , este necesar ca $A[f]$ nu își schimbă semnul (că este constant $\geq 0$ sau în mod constant $\leqq 0$ Mai precis, că, sub ipoteza $\sum_{i=1}^{m-1}\mu_{i}\neq 0$ , am spus noi $\left(\sum_{\nu=1}^{m-1}\mu_{\nu}\right)A[f]\geq 0$ , pentru orice funcție $f$ ordine non-concavă $n$ 10.
– Pentru demonstrație vom distinge trei cazuri, în funcție de valorile $-1,0,1$ de $n$ .

Cazul 1. $n=-1$ Putem presupune. $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ iar funcționala liniară (17) se reduce la $A[f]=\sum_{i=1}^{nt}\mu_{t}f\left(x_{i}\right)$ i $0<\varepsilon<<\min_{1=1,2,\ldots,m-1}\left(x_{i+1}-x_{i}\right)$ , funcția continuă

f_{i}(x)=\frac{1}{2\varepsilon}\left(\left|x-x_{i}+\varepsilon\right|+\left|x-x_{i}-\varepsilon\right|-2\left|x-x_{i}\right|\right)

este mon-negativ, se reduce la 1 din $x_{1}$ și 0 pe celelalte noduri. Prin urmare, avem $A\left[f_{i}\right]=\mu_{i},i=1,2,\ldots,m$ Rezultă că $\left(\sum_{v=1}^{m}\mu_{v}\right)\mu_{i}\geq 0,i==1,2,\ldots,m$ , ceea ce demonstrează proprietatea.

Cazul 2. $n=0$ Putem stipula, fără a restricționa generalitatea, că toate stările de spirit sunt duble. Să presupunem, așadar, că $m$ fie chiar și $x_{2i-1}=x_{2t},i=1,2,\ldots,\frac{1}{2},x_{1}<x_{9}<\ldots<x_{ij-1}$ Funcțiile liniare (17) se reduc la $A[f]=\sum_{f=1}^{n-1}\mu_{f}\left[x_{i},x_{i+1};f\right]$ Primul caz, în care apar unele victorii și toate nodurile sunt simple, este inclus în cazul precedent ca un caz special. Și, de exemplu, un nod dublu $x_{2i-1}=x_{2i}$ , avem un nod simplu care coincide cu acest punct, trebuie doar să luăm $\mu_{2-1}=0$ dansul formulei anterioare. Apoi derivata funcției $f$ în acest punct dispare în exprimarea $A[f]$ .

Trebuie acum să distingem între două cazuri, în funcție de paritatea indicelui $i$ coeficientul $\mu_{1}$ .
$1^{\circ}$ Eu sunt $i$ pereche. Apoi nodurile $x_{i},x_{i+1}$ sunt distincte $\left(x_{i}<x_{i+1}\right)$ și funcția continuă

f_{i}(x)=\frac{1}{2}\left(x_{i+1}-x_{i}+\left|3x-2x_{i}-x_{i+1}\right|-\left|3x-x_{i}-2x_{i+1}\right|\right)

i=2,4,\ldots,m-2

nu descrește și ne oferă $A\left[f_{l}\right]=\mu_{l}$ Am făcut.

	$\displaystyle\left(\sum_{v=1}^{m-1}\mu_{v}\right)\mu_{i}\geqq 0$		(20)
	$\displaystyle\text{ pour }i=2,4,\ldots,m-2.$

$2^{\circ}$ Eu sunt $i$ ciudat. Apoi $x_{i-1}<x_{i}=x_{i+1}<x_{i+2}$ i $0<\varepsilon<<\min\left(x_{i}-x_{i-1},x_{i+2}-x_{i+1}\right)$ , funcția continuă

\begin{gathered}f_{i}(x)=\frac{1}{2}\left(2\varepsilon+\left|x-x_{i}+\varepsilon\right|-\left|x-x_{i}-\varepsilon\right|\right)\\ i=1,3,\ldots,m-1\end{gathered}

nu este descrescător și avem $A\left[f_{i}\right]=\varepsilon\left(\frac{\mu_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}+\frac{\mu_{i+1}}{x_{i+2}-x_{i+1}}\right)+\mu_{i}$ i $\mu_{i}\neq 0$ , pentru $\varepsilon$ suficient de mic, $A\left[f_{i}\right]$ este, de asemenea $\neq 0$ și de același semn cu $\mu_{i}$ Deducem că inegalitatea (20) este valabilă și pentru $i=1$ . $3,\ldots,m-1$ .

Prin urmare, inegalitatea (20) este adevărată pentru $i=1,2,\ldots,m-1$ și proprietatea este demonstrată.

Cazul 3. $n=1$ Putem presupune, fără a restricționa generalitatea, că toate nodurile sunt triple. Vin $m$ un multiplu de 3 și sînt $x_{3i-2}=x_{3i-1}=x_{3i},i=1,2,\ldots,\frac{m}{3},x_{1}<x_{4}<x_{7}<\ldots<x_{m-2}$ Funcționala liniară (17) se reduce la $A[f]=\sum_{i=1}^{m-2}\mu_{i}\left[x_{i},x_{i+1},x_{i+2};f\right]$ Cazul în care unele sau toate nodurile sunt duble sau simple este inclus în cazul precedent ca un caz special. Și, de exemplu, în loc de nodul triplu $x_{3i-2}=x_{3i-1}=x_{3i}$ avem un nod dublu care coincide cu acest punct, luați pur și simplu $\mu_{3i-2}=0$ dansează la formula anterioară. Apoi
derivata a doua a funcției $f$ în acest punct dispare în exprimarea $A\lceil f$ Dacă în loc de un nod dublu avem un nod simplu în acest moment, luăm pur și simplu $\mu_{3i-2}=0$ i $\mu_{3i-1},\mu_{3i-3}$ în felul în care am spus $\left(x_{3i+1}-x_{3}\right)\mu_{3i-3}=\left(x_{3i-2}-x_{3i-3}\right)\mu_{3i-1}$ , astfel încât în exprimarea $A[f]$ dispariția anssi prima derivată din $f$ asupra acestui punct.

Și aici vom distinge între două cazuri, în funcție de valorile indicelui. $i$ de $\mu_{i}$ comparativ cu divizorul 3.
$1^{\circ}$ Luați în considerare perechea de coeficienți $\mu_{i},\mu_{i+1}$ ou $i+1$ este un multiplu de 3. Avem $x_{i+1}<x_{i+2}$ și funcția continuă

\begin{gathered}f_{i}(x)=\left(x_{i+2}-x_{i+1}\right)\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}\\ i=2,5,8,\ldots,m-4\end{gathered}

ou $x_{i+1}<\lambda<x_{i+2}$ este neconcavă de ordinul 1 și avem

A\left[f_{i}\right]=\frac{\mu_{i}\left(x_{i+2}-\lambda\right)+\mu_{i+1}\left(\lambda-x_{i+1}\right)}{x_{i+2}-x_{i+1}}

Vedem că dacă $\mu_{i}\neq 0$ i $\lambda$ este suficient de aproape de $x_{i+1},A\left[f_{i}\right]$ Orientul $\neq 0$ și în același timp semnează că $\mu_{1}$ și da $\mu_{i+1}\neq 0$ i $\lambda$ este suficient de aproape de $x_{i+2},A\left[f_{i}\right]$ Orientul $\neq 0$ și are același semn ca $\mu_{i+1}$ Rezultă că

\left(\sum_{v=1}^{m-2}\mu_{v}\right)\mu_{v}\geqq 0

(21)

Pentru $i=2,3,5,6,8,9,\ldots,m-4,m-3$ .
$2^{\circ}$ Să presupunem acum că $i$ fie congruent cu 1 modulo 3. Atunci $x_{i}==x_{i+1}=x_{i+2}$ i $0<\varepsilon<\min\left(x_{i}-x_{i-1},x_{i+3}-x_{i+2}\right)$ , funcția continuă

\begin{gathered}f_{i}(x)=\frac{1}{2}\left[4\varepsilon\left(x-x_{i}\right)+\left(x-x_{i}+\varepsilon\right)\left|x-x_{i}+\varepsilon\right|-\right.\\ \left.-\left(x-x_{i}-\varepsilon\right)\cdot\left|x-x_{i}-\varepsilon\right|\right]\\ i=1,1,7,\ldots,m-2\end{gathered}

este neconcavă de ordinul 1 și avem

A\left[f_{i}\right]=\varepsilon^{2}\left[\frac{\mu_{i-2}-\mu_{i-1}}{\left(x_{i}-x_{i-1}\right)^{2}}+\frac{\mu_{i+2}-\mu_{i+1}}{\left(x_{i+3}-x_{i+2}\right)^{2}}\right]+2\varepsilon\left[\frac{\mu_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}+\frac{\mu_{i+1}}{x_{i+1}-x_{i+2}}\right]+\mu_{i}.

i $\mu_{i}\neq 0$ , pentru suficient de mici, $A\left[f_{i}\right]$ Orientul $\neq 0$ și este de același semn cu $\mu_{i}$ Rezultă că inegalitatea (21.) este adevărată și pentru $i=1,4,7$ , $\ldots,m-2$ Prin urmare, inegalitatea (21) este adevărată pentru $i=1,2,\ldots,m-2$ și proprietatea este demonstrată.
11. - Proprietatea demonstrată pentru $n=-1,0$ și 1 nu mai este adevărat pentru $n>1$ Pentru a descifra această proprietate, este suficient să demonstrăm că dacă $n>1,x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+4}$ și da $\mu^{\prime},\mu^{\prime\prime}$ sunt două numere pozitive suficient de mari ( $\mu^{\prime}+\mu^{\prime\prime}>1$ ), la funcții liniare
(22) $\mu^{\prime}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]-\left[x_{2},x_{3},\ldots,x_{n+3};f\right]+\mu^{\prime\prime}\left[x_{3},x_{1},\ldots,x_{n+4};f\right]$
este (de gradul de precizie) $n$ și) din forme simple. Într-adevăr, să introducem între noduri $x_{i}$ Din nou $n+3$ noduri, formând astfel secvența de noduri $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{2n+7},x_{2i-1}=x_{i},i=1,2,\ldots,n+4$ . Des formulaes de moyenne des différences divisees [3] il resultet que

		$\displaystyle{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]=\sum_{i=1}^{n+2}\alpha_{i}\left[x_{i},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{i+n+1};f\right]}$
		$\displaystyle{\left[x_{2},x_{2},\ldots,x_{n+3};f\right]=\sum_{i=3}^{n+4}\beta_{i}\left[x_{i}^{\prime},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{i+n+1}^{\prime};f\right]}$

\left[x_{3},x_{4},\ldots,x_{n+4};f\right]=\sum_{i=5}^{n+6}\gamma_{i}\left[x_{i}^{\prime},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{i+n+1}^{\prime};f\right]

egg $\alpha_{i},\beta_{i},\gamma_{i}$ there are positive coefficients, independent of the function $f$ (and $\sum_{i=1}^{n+2}\alpha_{i}=\sum_{i=3}^{n+4}\beta_{i}=\sum_{i=5}^{n+6}\gamma_{i}=1$ ). La fonctionnelle lineare (22) peut donc s'écrire sous la forme

\sum_{i=1}^{n+6}\left(\mu^{\prime}\alpha_{i}+\mu^{\prime\prime}\gamma_{i}-\beta_{i}\right)\left[x_{i}^{\prime},x_{i+1}^{\prime},\ldots,x_{i+n+1}^{\prime};f\right]

egg $\alpha_{n+3}=\alpha_{n+4}=\alpha_{n+5}=\alpha_{n+6}=\beta_{1}=\beta_{2}=\beta_{n+5}=\beta_{n+6}=\gamma_{1}=\gamma_{2}=\gamma_{3}==\gamma_{4}=0$ . The property results from the fact that there is no index $i$ for which the coefficients $\alpha_{i},\gamma_{i}$ soient nuls à la fois (on voit facilement que ceci n'est plus vrai pour $n=0$ egg $=1$ ).

Enfin rappelons que pour qu'une fonctionnelle linear de la forme (1) ait un degré d'exactitude $n$ et pour qu'elle soit from simple forms, il faut que les ordres de multiplicity $k_{1},k_{2},\ldots,k_{0}$ des noeuds, supposés réduits à leur nombre minimum, soient tous $\leqq n+2[5]$ .

III.

12.
- •
  
  Nous allons nous occuper du reste de certaines formulaes drapproximation pour la fonctionnelle lineare $A[f]$ . Ces formules peuvent être considerés conme des généralisations de la formulae d'interpolation de Lagrange, qui a comme cas particulier la formulae de Taylor.

I am $A[f]$ une fonctionnelle lineare defined sur l'espace $S$ (voir ur. 1). Nous considerons une suite finie ou infinie de points
(23)

y_{0},y_{1},\ldots

distinguished on non. We consider a section
(24)

y_{0},y_{1},\ldots,y_{s}

de cette suite et le polynome de Lagrange-Hermite $L\left(y_{0},y_{1},\ldots,y_{s};f\mid x\right)$ sur ces points et relative à la fonction $f$ . For everything $x\in I$ what polynomial is a linear function from the forms (1). Plus exactement, ce polynome pent être mis sous la forme (1), où les $a_{i,j}$ are polynomials independent of the function $f$ , le nombre total des noeuds, distincts ou non, étant égal à $s+1^{*}$ ).

Nous avons alors la formulas d'approximation

A[f]=A\left[L\left(y_{0},y_{1},\ldots,y_{s};f\mid x\right)\right]+R_{s}[f]

(25)

egg $R_{s}[f]$ est le reste de cette formulas.
In formulas (11) nous donne
*) Il existe des valeurs de $x$ (in nombre fini), pour les que le nowbre minimum des noeuds est plus petit que $s+1$ .
where

	$\displaystyle A[f]$	$\displaystyle=\sum_{v=0}^{s}c_{v}\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{v};f\right]+R_{s}[f]$		(26)
	$\displaystyle c_{v}$	$\displaystyle=A\left[\prod_{i=0}^{v-1}\left(x-y_{i}\right)\right],v=0,1,\ldots,s$		(27)

Formula (25) is completely characterized by the fact that it is from form (26), with a remainder $R_{s}[f]$ fonctionnelle linéaire de degré d'exactitude au moins égal à s. En effet, pour tout polynome $f$ by degree $s$ , the polynomials $L\left(y_{0},y_{1},\ldots,y_{s};f\mid x\right)$ reduces to $f$ , therefore $R_{s}[f]$ is null. So the coefficients $c_{v}$ , donnés par la formulas (26) sont bien déterminés et, pour $v$ given, $c_{v}$ is independent of $s$ .

Nous supposons, bien entendu, que les conditions d'existence, données au ur. 1, soient verificieres pour la fonctionnelle lineare $R_{s}[f]$ . Ainsi, les points (24), ou bien les points (23) sils interviennent tous, appartienten à l’intervale $I$ . The divided differences $\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{v};f\right],v=0$ , $1,\ldots,s$ , existing have explained meaning have no. 4, etc.

It is clear that if the rest $R_{s}[f]$ is defined, tous les restes précédents $R_{0}[f],R_{1}[f],\ldots,R_{s-1}[f]$ sont également des fonctionnelles linéaires defined sur $S$ .

Dans ce qui suit nous allons étudier quelques cas où le reste $R_{s}[f]$ from approximation formulas (25) is from simple forms.
13. - Consider a linear function $A[f]$ from forms (1). Unless avis contraire, nous nous occuperons exclusively de fonctionnelles linéaires de cette forme. They have it left $R_{s}[f]$ from formulas (25) est alors de la même forme. Les ordres de multiplicity des noeuds peuvent être pris tous $\leqq\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p},s+1\right)$ , so if $s+2\Longrightarrow\max\left(k_{1},k_{2},\ldots,k_{p}\right)$ on peut appliquer le lemme 3 et la fonctionnelle linear $R_{s}[f]$ est une combinaison lineare de différences divisees d'ordre $s+1$ To put $R_{s}[f]$ effectively sous a forme (17), il suffit d'abord to realize a convenient numétotage des noeuds de manière que la condition (15) correspondente soit verified.

Pour aller plus loin nous allons distingter les cas où la suite (24) et la suite des noeuds $z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}$ of the linear functional $A[f]$ ont on nondes termes commons. Dans a suite nous examinerons senlement les cas où la coincidence a lietu aup plus avec un seuldes nocuds $z_{i}$ . I am $z_{1}$ what a mess, dont l'ordre de multiplicity est $k_{1}$ and suppose that $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ soit un numérotage normal des noeuds de $A[f]$ , where $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{h_{1}}=z_{1}$ . Then (and $p>1$ ) aucun terme de la suite (24) does not coincide pas avec l'un des points $x_{k_{1}+1},x_{k_{1}+2},\ldots,x_{in}$ .

I am $k\left(0\leqq k\leqq k_{1}\right)$ the smallest among the number $k_{1}$ et le nombre des terms de la suite (24) égaux à $z_{1}$ Equality $k=0$ signifie qu'aucun des termes de la suite (24) ne coincident avec un neud $z_{i}$ i $k>0$ , parmi les points (24) il y en a au moins $k$ which coincide with $z_{1}$ Let's designate by $s^{r}$ le plus petit index tel que la suite $y_{0},y_{1},\ldots,y_{s^{\prime}-1}$ (having $s^{\prime}$ terms) contains at least $k$ equal terms to $z_{1}$ We have $s^{\prime}\equiv k$ and yes $k=0$ we can take $s^{\prime}=0$ .

Les noeuds de la fonctionalle linéeare $R_{s}[f]$ peuvent être écrits dans 1a suite*) $y_{s},y_{s-1},\ldots,y_{0},x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{m}$ Their number is equal to $s+1+m-k$ et le numerotage correspondent à cette suite check condition (15) (avec $n=s$ ) and $s\geq s^{\prime}+m-k-1(\geq m-1)$ It follows that if $m\leqq k$ the linear function $R_{s}[f]$ is null identical**). Mais l'inégalité $m\leq k$ a lieu si et seulement si tous les noeuds $x_{i}$ sont confondus avec le meme point $z_{1}$ et la sutte (24) contient aut moins $m$ equal terms to $z_{1}$ .

Dans le cas contraire, doic si out bien $p>1$ or well $p=1,k<k_{1}$ (in both cases we have $m>k$ ), we have the formula

R_{s}[f]=\sum_{i=k+1}^{m}\mu_{i}^{(s)}\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+1+k-i},x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{i};f\right]

(28)

where the coefficients $\mu_{i}^{(i)}$ they are independent of function $f$ .
Nous pouvons calculer le coefficient $\mu_{\mu}^{(s)}$ in the following manner. Either $x_{m}=z_{\mu}$ . Alors, compte tenant de la formulas (1), le coefficient de $f^{\left(k_{\mu}-1\right)}\left(z_{\mu}\right)$ dans le premier membre de (28) est égal à $a_{\mu,k_{\mu}-1}$ et le même coefficient dans le second member est ègal à $\mu_{n}^{(s)}$ multiplied by

\begin{gathered}\frac{1}{\left(k_{\mu}-1\right)!}\cdot\frac{1}{P^{\prime}\left(z_{\mu}\right)\prod_{v=k+1}^{m-k_{\mu}}\left(z_{\mu}-x_{v}\right)}\text{, si }p>1(\text{ alors }\mu\neq 1)\\ \frac{1}{\left(k_{1}-1\right)!}\cdot\frac{k!}{P^{(k)\left(z_{1}\right)}},\text{ si }p=1,k<k_{1},\end{gathered}

out $P(x)=\prod_{v=0}^{3+1+k-m}\left(x-y_{v}\right)$
It follows that

\mu_{n}^{(s)}=\left\{\begin{array}[]{l}\left(k_{\mu}-1\right)!P\left(z_{\mu}\right)_{v=k+1}^{m-k}\prod_{\mu}\left(z_{\mu}-x_{\nu}\right)a_{\mu,k_{\mu}-1}\text{ si }p>1.\\ \frac{\left(h_{1}-1\right)!}{k!}P^{(k)}\left(z_{1}\right)a_{1,k_{1}-1}\text{ si }p=1,k<k_{1}.\end{array}\right.

En supposani donc que la condition (2) soit verifiée, nous avons $\mu_{n}^{(s)}\neq 0$ .
The result is that the previous hypotheses are verified and the coefficients are verified $\mu_{i}^{(s)},i=k+1,k+2,\ldots,m$ sont tous du meme signe, le reste $R_{s}[f]$ est de degré d'exactitude s et est from simple forms. Le coefficient $K$ from the corresponding formulas (18) est égal à $R_{s}\left[x^{s+1}\right]=A\left[\prod_{v=0}^{s}\left(x-y_{v}\right)\right]$ .

⁰⁰footnotetext: *) Ce sont pas tuéccesairement les noeuds réduits à leur monubre minimum.
*) Ira propriété pent ne pas subsister si

s<s^{\prime}+m-k-1

Dans la suite nous supposerous toujours, sauf avis contraire, que pour la fonctionnelle lineare $A[f]$ condition (2) is verified.
14. - On obtains an interesting case particulier en prenant pour $A[f]$ la différence divisee (4). Pour énoncer la propriété respective, nous allons poser $a^{\prime}=\min\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}\right),b^{\prime}=\max\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{p}\right)$ So $\left[a^{\prime},b^{\prime}\right]\subseteq I$ est le plus petit intervalle fermé qui contient les noends de la fonctionnelle $A[f]$ . We then have the

THSORHME 1. - And soms les hypothèses et les notations prédédentes: $1^{\circ}$ les points (24) sond on bien lows $\leq a^{\prime}$ , or lows $\geq b^{\prime},2^{\circ}$ . nows avons $p>1$ egg beater $p=1$ of $k<k_{1},3^{\circ}$ .s $=k,s\geq m-1$ , the rest $R_{s}[f]$ from approximation formulas
(29)

\begin{gathered}{\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]=}\\ =\sum_{y=1}^{s}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};\prod_{i=1}^{v-1}\left(x-y_{i}\right)\right]\cdot\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{v};f\right]+R_{s}[f]\end{gathered}

a le degré d'exactilude s ob ost from simple forms.
Pour la demonstration il suffira de verifier que les coefficients $\left[t_{i}^{(*)}\right.$ from the corresponding formulas (28) sont tous du méme signe. Nous allons calculator ces coefficients.

Nons allons calculer, en général, les coefficients $\mu_{4}^{(s)}$ from formula (28) for $A[f]$ from forms (1), en supposant que les conditions $2^{\circ}$ i $3^{\circ}$ du théorème 1 soient verificês. Pour faire le calcul remarquons que nous avons*)

A\left[/(x)\left(x-z_{1}\right)^{k}\right]=\sum_{i=k+1}^{m}\mu_{i}^{(5)}\left[x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{i};\frac{f(x)}{s+1+k-i}\left(x-y_{v}\right)\right]

(30)

i $k<k_{1}$ cette formulae results, en appliquant les formulaes (7), (8), par l'identification des parties des expressions de $R_{5}[f]$ derived from (26) and (28) and which contain seulement the terms corresponding to the nodes ${z_{i}}$ i $h=k_{j}$ the formulas result from the same manner, identifying the terms that come from the noends $z_{z},z_{a},\ldots,z_{p}$ .

Frenons naintenant comme fonction $f$ the polynomials
$\left(x_{i}-y_{s+1+k-i}\right)\prod_{v=k}^{s+k-i}\left(x-y_{v}\right)\prod_{v=k+1}^{i-1}\left(x-x_{v}\right)$ , where $\prod_{v=k+1}^{i-1}\left(x-x_{v}\right)$ pour $i=\ldots+k$ i $\prod_{v=k}^{s+k-m}\left(x-y_{r}\right)$ pours $=m-1$ sont replaced by 1. Then the second member of (30) is reduced to $\mu_{i}^{[s]}$ and we get

	$\displaystyle k^{(s)}=\left(x_{i}-y_{s+1+k-i}\right)A\left[\prod_{v=1}^{i-1}\left(x-x_{v}\right)\prod_{v=k}^{s+k-i}\left(x-y_{v}\right)\right]$		(31)
	$\displaystyle i=k+1,k+2,\ldots,m.$

*) Yes $h=0,A\left[f(x)\left(x-z_{1}\right)^{h}\right]$ it comes down to $d[f]$ .

En revenant au théorème 1, nous avons dans ce cas $A[f]==\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]$ et en tenant compte from formulas (8),

	$\displaystyle\mu_{i}^{(s)}=\left(x_{i}-y_{s+1+k-i}\right)\cdot\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{m};\prod_{v=k}^{s+k-i}\left(x-y_{v}\right)\right],$		(32)
	$\displaystyle i=k+1,k+2,\ldots,m.$

But the polynomial $\prod_{v=k}^{s+k-i}\left(x-y_{v}\right)$ has a derivative of order $m--i$ negative on the interval $\left(a^{\prime},b^{\prime}\right)$ and the points (24) are to the right of $b^{\prime}$ i $s-n+1$ is odd Dans les autres cas, compatibles avec les hypothèses du thèorème 1 , cette derivée est positive sur ( $a^{\prime},b^{\prime}$ ). The result is that the coefficients $\mu^{(s)}$ they are positive and the points (24) are ou bien à gauche de $a^{\prime}$ or to the right of $b^{\prime}$ i $s-m+1$ est odd et ils sont négatives si les points ( 24 ) sont à droite de $b^{\prime}$ i $s-m+1$ is even. It is supposed $a^{\prime}<b^{\prime}$ When $a^{\prime}=b^{\prime}$ we are in the case $p=1,k<k_{1}$ et on voit facilement que la propriété est encore vraie.

Theorem 1 is therefore proven.
Dans le cas du théorème 1, dans les formules (27) nous avons $c_{0}=c_{1}==\ldots=c_{m-2}=0$ , yes and $s<m-1$ , we have $R_{s}[f]=\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{m};f\right]$ .

Theorem 1 generalizes certain properties of H. D. Kloostermann [1]. On obtainen ces properties pour

		$\displaystyle x_{i}=x+(i-1)h,i=1,2,\ldots,m(h\neq 0),y_{i}=x,i=0,1,\ldots,s$
		$\displaystyle x_{i}=x,i=1,2,\ldots,m,y_{i}=x+ih,i=0,1,\ldots,s(h\neq 0)$

respectively et si, de plus, nous supposons que la fonction $f$ admits une dérivée continuous d'ordre $s+1$ à l'intérieur du plus petit intervalle contenant les points $x_{i},y_{i}$ .
15. - Reprenons la formulae (28) et tenons compte des conditions sous lesquences cette formulae a été established. We can then find a simple relationship between the coefficients $\mu_{i}^{(s)},\mu_{i}^{(s+1)}$ We have

\begin{gathered}R_{s}[f]-c_{s+1}\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+1};f\right]=R_{s+1}[f]=\\ =\prod_{i=k+1}^{m}\frac{\mu_{i}^{(s+1)}}{x_{i}-y_{s+2+k-i}}\left\{\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+1+k-i},x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{i};f\right]-\right.\\ \left.-\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+2+k-i},x_{k+1},x_{k+2},\ldots,x_{i-1};f\right]\right\}\end{gathered}

où la seconde différence divisée se réduit à $\left[y_{0},y_{1},\ldots,y_{s+t};f\right]$ pour $i=k+1$ . In formulas of one meaning, puisque sous les hypothès signalées, $x_{i}\neq y_{s+2+k-i},i=k+1,k+2,\ldots,m$ .

En comparant avec la formulae (28), nous déduisons,

	$\displaystyle\mu_{i}^{(s+1)}=\left(x_{i}-y_{s+2+k-i}\right)\left(\mu_{i}^{(s)}+\mu_{i+1}^{(s)}+\cdots+\mu_{m}^{(s)}\right)$		(33)
	$\displaystyle i=k+1,k+2,\ldots,m.$

Ces formules permettent d'énoncer le

THEOREM 2. - Sous les hypothèses sous lesquences on a établi la formulas (28) he also: $1^{\circ}$ Let's see the points (24) $\leqq a^{\prime}$ how are you all? $\geq b^{\prime}2^{\circ}$ there is a value $s_{0}$ de s pow laquelle tous les coefficients $\mu_{-}^{(s)}$ are the main sign.
the rest $R_{s}[f]$ from formulae d'approximation (25) est du degré d'exactitude $s$ et est from simple forms pour $s\geq s_{0}$ .

En effet, sous les conditions du théorène, on voit que si les coefficients $\mu_{i}^{(s)}$ sont tous du même signe, les coefficients $\mu_{i}^{(s+1)}$ sont également tous du mème signe.
16. - On peut se demander s'ils existent toujours, pour une fonctionnelle lineare $A[f]$ , from forms (1) e.g., des valeurs de $s$ for which the rest $R_{s}[f]$ soit de la forme simple, on bien si ce reste soit de la forme simple pour un s assez grand? Nous donnerons un exemple pour montrer que la réponse est negative.

I am $A[f]=f(0)+f^{\prime}(0)$ and let's take the points $y_{v}=(v+1)(v+2)$ , $v=0,1,\ldots$ In this case we have ( $s\geq 0$ ),

\begin{gathered}R_{s}[f]=(-1)^{s}s!(s+1)!\left\{\left[0,0,y_{0},y_{1},\ldots,y_{s-1};f\right]-\right.\\ \left.-(s+2)\left[0,y_{0},y_{1},\ldots,y_{s};f\right]\right\}\end{gathered}

Accounting for previous results, $R_{s}[f]$ , qui est du degree d'exactitude $s$ , n'est pas de la forme simple pour aucune valeur de $s\geq 3$ .
17. - The previous example makes the following property present a certain interest,

THEOREM 3. - Sous les hypothèses sous lesquences a dée double la formulas (28) et si tous les points (23) sont confondus en un même point n'appertenant pas à lintervalle owver ( $a^{\prime},b^{\prime}$ ),
I leave them $R_{s}[f]$ est du degré d'exactitude s et est de la forme simple pour $s$ large enough.

In this case we have $k=0$ (and the points (24) are outside of $\left[a^{\prime},b^{\prime}\right]$ ) egg $h=h_{1}$ (and les points (24) coincident tous avec $a^{\prime}$ or all with $b^{\prime}$ ). Il suffira de donner la demonstration dans le cas $k=0$ .

So be it. $k=0$ . The formulas (33) become ( $s\geq m-1$ )

\mu_{i}^{(s+1)}=\left(x_{i}-y_{0}\right)\left(\mu_{i}^{(s)}+\mu_{i+1}^{(s)}+\ldots+\mu_{m}^{(s)}\right),i=1,2,\ldots,n

(31)

Nous allons maintenant choisir les notations de manière que la suite $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n2}$ soit non-décroissante resp. non-croissante suivant que $y_{0}<a^{\prime}$ respectively. $y_{0}>b^{\prime}$ . So the numbers $x_{i}-y_{0}$ they are different from zero, du même sign et la suite $\left|x_{1}-y_{0}\right|,\left|x_{2}-y_{0}\right|\ldots\ldots\left|x_{m}-y_{0}\right|$ , de leurs valeurs absolute est non-décroissante.

From (34) we deduce

\mu_{i}^{(s)}=\sum_{i=i}^{mt}M_{i,j}^{(\xi)}\mu_{j}^{(m-1)},i=1,2,\ldots,m.

(35)

where the triangular matrix $\left(M_{i,j}^{(s)}\right)$ is at $(s-n-1)^{\text{ème }}$ puissance de la matrix triangulaire
u) $\left(\begin{array}[]{ccc}x_{1}-y_{0}&x_{1}-y_{0}&\ldots\\ 0&x_{1}-y_{0}&\ldots\\ 0&\ldots&\ldots\\ 0&0&\ldots\end{array}\right.$

Let's designate by $W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)$ the symmetrical function $\sum z_{1}^{a_{1}}z_{2}^{a_{2}}\ldots z_{t^{\prime}}^{a_{r}}$ , la somme étant étendue aux solutions en entiets non-négatifs de l'équation en $\alpha_{i},\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{r}=i\quad\left(W_{0}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)=1\right)$ , We have

	$\displaystyle\Delta I_{i,j}^{(o)}-\left(x_{i}-y_{0}\right)W_{s-m}\left(x_{i}-y_{0},x_{i+1}-y_{0},\ldots,x_{j}-y_{0}\right),$		(36)
	$\displaystyle j=i,i+1,\ldots,mi=1,2,\ldots,m.$

18.
- •
  
  Avant d'aller plus loin nous allons establiar un lemme qui présente un interêtre, regardless of the application que nons lui donnons ici,

Lemme 6. – Si tes nombres non-néganifs $z_{1},z_{2},\ldots,z_{r-1}(r>1)$ sond compris dans l'iniervalle $\left[0,z_{r}\right]$ , we are not talking about inequality

\frac{F_{1}\left(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\ldots,\varepsilon_{r}\right)}{(r-1+i)}\geq\frac{W_{i}\left(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\ldots,z_{r-1}\right)}{(r-2+i)}

(37)

l'gählé dani waie and he senlement and ou bien $i=0$ , or $i>0$ dows les wombres $z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}$ sound equal.

La propriété est innádiate pour $i=0$ and for $i>0$ i $z_{1}=z_{2}==\ldots=r_{r-1}=0$ .

Let's suppose that $z_{1},z_{2},\ldots,z_{r-1}$ ne soient pas tous nuls. Alors on a nécessairement $z_{r}>0$ We have

\begin{gathered}W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)=\left[z_{1},z_{2},\ldots,z_{r};x^{r-1+i}\right]\\ W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r-1}\right)=\left[z_{1},z_{2},\ldots,z_{r-1};x^{r-2+i}\right]=\\ =\left[z_{1},z_{2},\ldots,z_{r};x^{r-2+i}\left(t-z_{r}\right)\right]\end{gathered}

of oil
$(r-1+i)\left[\frac{w_{i}\left(r_{1},r_{2},\ldots,r_{r}\right)}{\left(r-\frac{1}{1}+i\right)}-\frac{w_{i}\left(r_{1},r_{2},\ldots,r_{r-1}\right)}{\left(r-\frac{2}{i}+i\right)}\right]=W_{i}\left(r_{1},\hat{w}_{2},\ldots,r_{r}\right)-$
$-\frac{y-1+i}{y-1}W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{1-1}\right)-\frac{1}{y-1}\left[z_{1},z_{2},\ldots,z_{r};x^{r-2+i}\left((r-1-1)z_{r}\cdots i,1\right)\right]$ But
the derivative $(r-1)^{\text{bine }}$ of the polynomial $x^{r-2+i}\left[(r-\cdots 1-\mid-i)z_{r}-ix\right]$ is equal $\frac{(v-1-1)!}{(i-1)!}x^{-1}\left(z_{r}-x\right)$ , qui cst positive sur lindervalle $\left(0,z_{r}\right)$ . The result is that the poíynome considered is convexe d'ordre $\psi-2$ . I'inégalité (37) follows immediately.

Le cas de l'égalité est facile à étudier.
$\mathrm{J}_{\mathrm{e}}$ e lenume a est donc demonstrated.
Je nombre ( $r-1+i$ ) est precisely le nombre des termes de la fonction symetrique $\left.W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)^{1}\right)$

i $0<z_{1}\leqq z_{2}\leqq\ldots\leqq z_{r}$ qui est le cas qui nous interesse tout particulierement dans la demonstration du théorem 3, nous powvons déduiré concore une inégalité remarquable. Dans ce cas nots avons
$(v-1)W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{v}\right)-(v-1-1)W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{v}-1\right)\geq 0,v-2,3,,,v_{.}$ .
Si nous ajoutons membre à membre ces inégalités, nous déduisons $(r>1)$ ,

\frac{W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{i}\right)}{\sum_{v=1}^{T}W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{v}\right)}\geq\frac{i-1}{r-1}

(38)

19.
- •
  
  Revenons à la dénonstration du théorème 3. Compte tenant de (36) et de (38), nous déduisons

\frac{M_{i,m}^{(s)}}{\sum_{j=i}^{m-1}M_{i,j}^{(s)}}\geq\frac{s-m-1}{m-i}\geq\frac{s-m+1}{m-1},i=1,2,\ldots,m-1

(39)

et de 1a formulas (36) nous obtenous

\begin{gathered}\mu_{i}^{(s)}=\left\{\begin{array}[]{c}M_{i,m}^{(s)}\\ \sum_{j=1}^{m-1}M_{i,j}^{(s)}-1,-1,-\frac{\sum_{j=i}^{n-1}\mu_{j}^{(m-1)}M_{i,j}^{(s)}}{\sum_{j=1}^{n-1}M_{i,j}^{(s)}}\end{array}\right\}\sum_{j=i}^{m-1}M_{i,j}^{(s)}\\ i=1,2,\ldots,mi-1.\end{gathered}

Nous remarquons maintenant que : $1^{\circ}$ the sums $\sum_{j=i}^{m-1}M_{i,j}^{(j)},i=1,2,\ldots$ …. $m$ - 1 are different from zero and of the same sign, $2^{\circ}$ the quotient $\sum_{j=1}^{m-1}\mu_{j}^{(m-1)}M_{i,j}^{(s)}/\sum_{j=1}^{m-1}M_{i,j}^{(s)}$ est nne moyenne arithmetic ponderée des nombres $\mu_{i}^{(m-1)},\mu_{i+1}^{(m-1)},\ldots,\mu_{n-1}^{(m-1)}$ . Ces nombres resten compris entre deux nombres fixedes, indépendant de $s\left(\right.$ enter ${}_{i=1,2,\ldots,m-1}^{\mu_{i}^{(m-1)}}$ i $\left.\max_{i=1,2,\ldots,m-1}^{\mu_{i}^{(m-1)}}\right)$ ,
*) L'inégalité (07) peut aussi s'éctire sons la forme d'une fnégalité entre deux valeurs noyemes.

\sqrt[i]{\frac{W_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{r}\right)}{(r-1+i)}}\geq\sqrt[i]{\frac{F_{i}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{1}-1\right)}{(r-2+i)}}

$3^{\circ}\mu_{m}^{(m-1)}$ is different from zero, sous les hypothèses du théorème 3 (voir no. 13). From (39) it results donc que, pour

s>(m-1)\left(1+\max_{i-1,2\ldots\ldots m-1}\left|\frac{\mu_{i}^{(m-1)}}{\mu_{m}^{(m-1)}}\right|\right),

all the numbers $\mu^{(s)},i=1,2,\ldots,m$ sont différents de zéro et du même signe (their sign is that of $\left[\operatorname{sg}\left(x_{\mathrm{i}}-y_{0}\right)\right]^{s-m}\cdot\operatorname{sg}\mu_{m}^{(m-1)}$ ).

Le théorème 3 est ainsi démantée pour $k=0$ . Pour $k=k_{1}$ (dance in what house) $p>1$ ), the demonstration se fait d'une façon tout à fait anaiogue, en nous basant sur les formules ( 33 ) pour $k=k_{1}$ .

Le théorème 3 is therefore proven.
20. - Pont domer nut examples prenous la fonctionnelle lineare

		$\displaystyle A[f]=f(0)-f(0)-0,8\left[f^{\prime}(0)-\mid f^{\prime}(0)\right]$
		$\displaystyle\quad-1,2\left[f^{\prime}(1)-\mid-f^{\prime}(5)\right]-2,2\times f^{\prime}(3)$

qui est le reste from Hardy's quadrature formulas [2]

\int_{0}^{6}f(x)dx=0,28[f(0)+f(6)]+1,62[f(1)+f(5)]+2,2\times f(3)+R^{*}[f]

applied to the function $f^{\prime}(x)\left(R^{*}\left[f^{\prime}\right]=A[f]\right)$ .
$A[f]$ est du degré d'exactitude 6, mais n'est pas de la simple forms [7]. And nous considerons le développement Taylorien

A[f]=\sum_{v=1}^{s}A\left[x^{v}\right]\frac{f^{(v)}(0)}{v\mid}+R_{s}[f]

en vertu du théorème 3, they remain $R_{s}[f]$ est clu degré d'exactitude s et est de la forme simple pour s assez grand.

We have in this case $p=5,k_{1}=k_{2}=k_{3}=k_{1}=k_{0}=2,m=10$ , $h=s^{\prime}=2,x_{1}=x_{2}=0,x_{3}=x_{4}=1,x_{5}=x_{6}=3,x_{7}=x_{8}=5,x_{9}=x_{10}==6,y_{0}=y_{1}=\ldots=0$ . Nous pouvons appliquer les formulas (31) et nous trouvons

\begin{array}[]{ll}\mu_{3}^{(s)}=A\left[x^{s}\right],&\mu_{7}^{(s)}=5A\left[x^{s-4}(x-1)^{2}(x-3)^{2}\right]\\ \mu_{4}^{(s)}=A\left[x^{s)}(x-1)\right],&\mu_{8}^{(s)}=5A\left[x^{s-5}(x-1)^{2}(x-3)^{2}(x-5)\right]\\ \mu_{5}^{(s)}=3A\left[x^{s-2}(x-1)^{2}\right],&\mu_{9}^{(s)}=6A\left[x^{s-6}(x-1)^{2}(x-3)^{2}(x-5)^{2}\right]\\ \mu_{6}^{(s)}=3A\left[x^{s-3}(x-1)^{2}(x-3)\right],&\mu_{10}^{(s)}=6A\left[x^{s-7}(x-1)^{2}(x-3)^{2}(x-5)^{2}(x-6)\right]\end{array}

A l'aide de ces formulas on peut calculer les coefficients $\mu_{i}^{(9)}$ , doing $s=9$ , en tenant compte du fait que $A[f]$ a le degree d'exactitude 6 et en calculant les nombres

A\left[x^{7}\right]=64,8\quad A\left[x^{8}\right]=1555,2\quad A\left[x^{9}\right]=19828,8

Pour calculator les coefficients $\mu_{i}^{(s)}$ pour $s>9$ , on applique les formules de réccurence (33) qui deviennent ici

		$\displaystyle\mu_{3}^{(s+1)}=\mu_{3}^{(s)}+\mu_{4}^{(s)}+\mu_{5}^{(s)}+\mu_{6}^{(s)}+\mu_{7}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}$
		$\displaystyle\mu_{4}^{(s+1)}=\mu_{4}^{(s)}+\mu_{5}^{(s)}+\mu_{6}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}$
		$\displaystyle\mu_{5}^{(s+1)}=3\left(\mu_{5}^{(s)}+\mu_{6}^{(s)}+\mu_{7}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right)$
		$\displaystyle\mu_{6}^{(s)}=3\left(\mu_{6}^{(s)}+\mu_{7}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right)$
		$\displaystyle\mu_{7}^{(s+1)}=5\left(\mu_{7}^{(s)}+\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right)$
		$\displaystyle\mu_{8}^{(s+1)}=5\left(\mu_{8}^{(s)}+\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right)$
		$\displaystyle\mu_{9}^{(s+1)}=6\left(\mu_{9}^{(s)}+\mu_{10}^{(s)}\right),\quad\mu_{10}^{(s+1)}=6\mu_{10}^{(s)}$
		$\displaystyle\quad s=9,0,\ldots$

Il suffit de faire les calculus jusqu'à la valeur 13 de $s$ et nous trouvons les valeurs des coefficients $\mu_{i}^{(i)}$ included in the table

$i\backslash 8$	9	10	11	12	13
3	19828.8	174960	1108792.8	3888777.6	-19594484.2
4	18273.6	155131.2	933832.8	2779984.8	-23483260.8
5	50349.6	4111572.8	2336104.8	5538456	-78789736.8
6	37519.2	259524	1104386.4	-1469858.4	-95405104.8
7	44064	244944	543024	-7971696	-151659216
8	18144	24624	-681696	-10686816	-111800736
9	988.8	-79315.2	-965770.2	-8734003.2	-70439987.2
10	-13608	-81648	-489888	-2939328	-17635988

On voit que le reste est de la forme simple pour $s\geq 13$ .

BIBLIOGRAPHY:

[1] Kloostermann, HD Derivatives and finite differences. Duke Math, Journal, 17, 109-186 (1950).
[3] Popovieiu, T., Introduction to the theory of divided differences, Bull. Math, from Soc. Roumaine des sc., 42, 65-78 (1940).
[4] - Formed above the rest where are the approximation formulas of the analyzer. Lacr. session Gen, stiittifice, Acad. RPR, 183-185, 1950.
[5] - On restudui an whele forwale deriouse numericala. Studies and Circle. Mat., III, 53-122 (1952).
[6] - Folylonos figguényes hözépérpéklélétéröl. Magic. Tud. Akad., II öst. közlem., IV, 353-356 (1954).
[7] - Sw le reste dans cerlaines formales lindaires d'approximation de l'anadyse. Mathematica, 1 (24), 95-142 (1959).
Received 1e 28. XI. 1959.

Diferenţe divizate şi derivate

Abstract

Autori

Cuvinte cheie

PDF

Citați articolul în forma

Despre acest articol

Journal

Publisher Name

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Referinte

Lucrare in format HTML

DIFERENȚE DIVIZATE ȘI DERIVATE

II.

III.

BIBLIOGRAPHY:

Related Posts