Abstract
Autori
Dumitru V. Ionescu
Institutul de Calcul
Cuvinte cheie
Citați articolul în forma
D.V. Ionescu, Integrarea unei ecuații diferențiale (Romanian) Acad. R. P. Romîne. Fil. Cluj. Stud. Cerc. Mat. 8 1957 275–289.
Despre acest articol
Journal
Studii şi cercetări matematice
Publisher Name
Academia Republicii S.R.
Print ISSN
Not available yet.
Online ISSN
Not available yet.
Google Scholar Profile
Referințe
??
Lucrare in format HTML
INTEGRAREA UNEI ECUATTII DIFERENTIALE
În această lucrare ne vom ocupa cu integrarea ecuației diferențiale
{:(1)Delta_(n)[y]=|[y,y^('),dots,y^((n))],[y^('),y^(''),dots,y^((n+1))],[*,*,*,*],[y^((n)),y^((n+1)),dots,y^((2n))]|=0:}\Delta_{n}[y]=\left|\begin{array}{cccc}
y & y^{\prime} & \ldots & y^{(n)} \tag{1}\\
y^{\prime} & y^{\prime \prime} & \ldots & y^{(n+1)} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
y^{(n)} & y^{(n+1)} & \ldots & y^{(2 n)}
\end{array}\right|=0
Această problemă a fost pusă de prof. T. Popoviciu cu ocazia unui referat ținut la Institutul de calcul din Cluj relativ la o lucrare a lui H. Lö w ne r despre funcțiile monotone de matrici [1].
Vom integra de asemenea ecuația diferențială
{:(2)Delta_(n)[y]=Ae^(alpha x):}\begin{equation*}
\Delta_{n}[y]=A e^{\alpha x} \tag{2}
\end{equation*}
unde AA şi alpha\alpha sînt constante.
Reamintim că
Reamintim că
{:(3)Delta_(1)[y]=1:}\begin{equation*}
\Delta_{1}[y]=1 \tag{3}
\end{equation*}
este ecuația lănțişorului şi că ecuația
{:(4)Delta_(2)[y]=1:}\begin{equation*}
\Delta_{2}[y]=1 \tag{4}
\end{equation*}
a fost studiată de G. Darboux [2]. Indicații pentru integrarea ecuației diferențiale (2) au fost date de G. Darboux [3]. Noi nu vom urmări metoda dată de G. Darboux, ci vom da o metodă directă de integrare a ecuațiilor (1) şi (2), pe care o vom aplica apoi la cazurile particulare (3) și (4.)
- Fie yy o integrală a ecuației diferențiale Delta_(n)(y)\Delta_{n}(y) continuă şi cu derivate succesive continue pînă la ordinul 2n2 n inclusiv într-un interval ( alpha,beta\alpha, \beta ), care poate fi (-oo,+oo)(-\infty,+\infty). Ea poate anula identic coeficientul lui y^((2n))y^{(2 n)} din ecuația Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0, adică pe Delta_(n-1)[y]\Delta_{n-1}[y], sau nu. Ne vom ocupa mai departe de primul caz şi vom considera acum cazul cînd Delta_(n-1)[y]\Delta_{n-1}[y] nu este identic nul în intervalul (alpha,beta)(\alpha, \beta). Atunci pentru un punct x_(0)x_{0} din acest interval, avem Delta_(n-1)[y(x_(0))]!=0\Delta_{n-1}\left[y\left(x_{0}\right)\right] \neq 0 şi Delta_(n-1)[y]\Delta_{n-1}[y] fiind o funcţie continuă de xx în intervalul (alpha,beta)(\alpha, \beta), se poate determina.
un interval (a,b)(a, b) inclus în intervalul (alpha,beta)(\alpha, \beta) și care contine punctul x_(0)x_{0}, pentru care Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0. Ne vom plasa prin urmare în intervalul ( a,ba, b ) și vom determina integralele yy ale ecuației diferentiale Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0, care sînt astfel încît Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0. O dată ce aceste integrale vor fi determinate, vom arăta că intervalele (alpha,beta)(\alpha, \beta) si (a,b)(a, b) se pot extinde la intervalul (-oo,+oo)(-\infty,+\infty).
Să determinăm pentru o astfel de integrală yy, funcţiile lambda_(0)(x),lambda_(1)(x)dots,lambda_(n-1)(x)\lambda_{0}(x), \lambda_{1}(x) \ldots, \lambda_{n-1}(x) prin ecuațiile liniare
{:(5){:[lambda_(0)(x)y+lambda_(1)(x)y^(')+dots+lambda_(n-1)(x)y^((n-1))+y^((n))=0],[lambda_(0)(x)y^(')+lambda_(1)(x)y^('')+dots+lambda_(n-1)(x)y^((n))+y^((n+1))=0],[lambda_(0)(x)y^((n-1))+lambda_(1)(x)y^((n))+dots+lambda_(n-1)(x)y^((2n-2))+y^((2n-1))=0]:}:}\begin{array}{lll}
\lambda_{0}(x) y+\lambda_{1}(x) y^{\prime}+\ldots+\lambda_{n-1}(x) y^{(n-1)}+y^{(n)}=0 \\
\lambda_{0}(x) y^{\prime}+\lambda_{1}(x) y^{\prime \prime}+\ldots+\lambda_{n-1}(x) y^{(n)}+y^{(n+1)}=0 \tag{5}\\
\lambda_{0}(x) y^{(n-1)}+\lambda_{1}(x) y^{(n)}+\ldots+\lambda_{n-1}(x) y^{(2 n-2)}+y^{(2 n-1)}=0
\end{array}
Aceasta este posibil deoarece determinantul sistemului este Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0. Functiile lambda_(0)(x),lambda_(1)(x),dots,lambda_(n-1)(x)\lambda_{0}(x), \lambda_{1}(x), \ldots, \lambda_{n-1}(x) sînt și derivabile. Din cauza ecuației diferențiale (1), putem adăuga la ecuațiile precedente și ecuația
{:('")"lambda_(0)(x)y^((n))+lambda_(1)(x)y^((n+1))+dots+lambda_(n-1)(x)y^((2n-1))+y^((2n))=0:}\begin{equation*}
\lambda_{0}(x) y^{(n)}+\lambda_{1}(x) y^{(n+1)}+\ldots+\lambda_{n-1}(x) y^{(2 n-1)}+y^{(2 n)}=0 \tag{$\prime$}
\end{equation*}
Derivînd pe rînd fiecare ecuaţie (5) şi ţinînd seama de ecuatia următoare, ultima fiind ( 5^(')5^{\prime} ), se deduc ecuatiile
{:[lambda_(0)^(')(x)y+lambda_(1)^(')(x)y^(')+dots+lambda_(n-1)^(')(x)y^((n-1))=0],[lambda_(0)^(')(x)y^(')+lambda_(1)^(')(x)y^('')+dots+lambda_(n-1)^(')(x)y^((n))=0],[lambda_(0)^(')(x)y^((n-1))+lambda_(1)^(')(x)y^((n))+dots+lambda_(n-1)^(')(x)y^((2n-2))=0]:}\begin{aligned}
& \lambda_{0}^{\prime}(x) y+\lambda_{1}^{\prime}(x) y^{\prime}+\ldots+\lambda_{n-1}^{\prime}(x) y^{(n-1)}=0 \\
& \lambda_{0}^{\prime}(x) y^{\prime}+\lambda_{1}^{\prime}(x) y^{\prime \prime}+\ldots+\lambda_{n-1}^{\prime}(x) y^{(n)}=0 \\
& \lambda_{0}^{\prime}(x) y^{(n-1)}+\lambda_{1}^{\prime}(x) y^{(n)}+\ldots+\lambda_{n-1}^{\prime}(x) y^{(2 n-2)}=0
\end{aligned}
liniare şi omogene în lambda_(0)^(')(x),lambda_(1)^(')(x),dots,lambda_(n-1)^(')(x)\lambda_{0}^{\prime}(x), \lambda_{1}^{\prime}(x), \ldots, \lambda_{n-1}^{\prime}(x) cu determinantul Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0. Rezultă că
lambda_(0)^(')(x)=0,quadlambda_(1)^(')(x)=0,dots,quadlambda_(n-1)^(')(x)=0\lambda_{0}^{\prime}(x)=0, \quad \lambda_{1}^{\prime}(x)=0, \ldots, \quad \lambda_{n-1}^{\prime}(x)=0
adică
lambda_(0)(x)=A_(n),quadlambda_(1)(x)=A_(n-1),dots,quadlambda_(n-1)(x)=A_(1)\lambda_{0}(x)=A_{n}, \quad \lambda_{1}(x)=A_{n-1}, \ldots, \quad \lambda_{n-1}(x)=A_{1}
A_(1),A_(2),dots,A_(n)A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} fiind constante ataşate funcției y(x)y(x); făcînd în sistemul de ecuații (5) x=x_(0)x=x_{0}, observăm că A_(1),A_(2),dots,A_(n)A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, sînt date de ecuațiile
{:[A_(n)y_(0)+A_(n-1)y_(0)^(')+dots+A_(1)y_(0)^((n-1))+y_(0)^((n))=0],[A_(n)y_(0)^(')+A_(n-1)y_(0)^('')+dots+A_(1)y_(0)^((n))+y_(0)^((n+1))=0],[(6)A_(n)y_(0)^((n-1))+A_(n-1)y_(0)^((n))+dots+A_(1)y_(0)^((2n-2))+y_(0)^((2n-1))=0]:}\begin{align*}
& A_{n} y_{0}+A_{n-1} y_{0}^{\prime}+\ldots+A_{1} y_{0}^{(n-1)}+y_{0}^{(n)}=0 \\
& A_{n} y_{0}^{\prime}+A_{n-1} y_{0}^{\prime \prime}+\ldots+A_{1} y_{0}^{(n)}+y_{0}^{(n+1)}=0 \\
& A_{n} y_{0}^{(n-1)}+A_{n-1} y_{0}^{(n)}+\ldots+A_{1} y_{0}^{(2 n-2)}+y_{0}^{(2 n-1)}=0 \tag{6}
\end{align*}
unde
{:(7)y^((k))(x_(0))=y_(0)^((k))quad(k=0","1","2","dots","2n-1):}\begin{equation*}
y^{(k)}\left(x_{0}\right)=y_{0}^{(k)} \quad(k=0,1,2, \ldots, 2 n-1) \tag{7}
\end{equation*}
sînt conditiile lui Cauchy.
Rezultă că orice integrală a ecuatiei diferentiale (1) pentru care Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0, este integrala ecuatiei diferentiale
Rezultă că orice integrală a ecuatiei diferentiale (1) pentru care Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0, este integrala ecuatiei diferentiale
{:(8)y^((n))+A_(1)y^((n-1))+dots+A_(n)y=0:}\begin{equation*}
y^{(n)}+A_{1} y^{(n-1)}+\ldots+A_{n} y=0 \tag{8}
\end{equation*}
cu coeficienți constanți A_(1),A_(2),dots,A_(n)A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} determinați prin sistemul de ecuatii liniare (6) de conditiile lui Cauchy.
Invers, orice integrală a ecuatiei cu coeticienți constanți (8), pentru care Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0, este integrală a ecuatiei diferentiale (1), ceea ce se dovedeşte imediat.
2. Ecuația caracteristică a ecuației diferențiale (8) se obține eliminînd pe A_(1),A_(2),dots,A_(n)A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, între ecuaţiile (6) şi ecuaţia
2. Ecuația caracteristică a ecuației diferențiale (8) se obține eliminînd pe A_(1),A_(2),dots,A_(n)A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, între ecuaţiile (6) şi ecuaţia
{:(9)r^(n)+A_(1)r^(n-1)+dots+A_(n)=0:}\begin{equation*}
r^{n}+A_{1} r^{n-1}+\ldots+A_{n}=0 \tag{9}
\end{equation*}
Aceasta este posibil deoarece s-a presupus Delta_(n-1)[y(x_(0))]!=0\Delta_{n-1}\left[y\left(x_{0}\right)\right] \neq 0. Ecuaţia caracteristică este deci
{:('")"varphi(r)=|[1,r,r^(2),dots,r^(n)],[y_(0),y_(0)^('),y_(0)^(''),dots,y_(0)^((n))],[y_(0)^('),y_(0)^(''),y_(0)^('''),dots,y_(0)^((n+1))],[*,*,*,*,*],[*,*,*],[y_(0)^((n-1)),y_(0)^((n)),y_(0)^((n+1)),dots,y_(0)^((2n-1))]|=0:}\varphi(r)=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & r & r^{2} & \ldots & r^{n} \tag{$\prime$}\\
y_{0} & y_{0}^{\prime} & y_{0}^{\prime \prime} & \ldots & y_{0}^{(n)} \\
y_{0}^{\prime} & y_{0}^{\prime \prime} & y_{0}^{\prime \prime \prime} & \ldots & y_{0}^{(n+1)} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot \\
y_{0}^{(n-1)} & y_{0}^{(n)} & y_{0}^{(n+1)} & \ldots & y_{0}^{(2 n-1)}
\end{array}\right|=0
Să presupunem că condițiile inițiale (7) sînt astfel alese ca ecuatia caracteristică ( 9^(')9^{\prime} ) så aibă toate rădăcinile r_(1),r_(2),dots,r_(n)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n} distincte. In acest caz
{:(10)y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x):}\begin{equation*}
y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x} \tag{10}
\end{equation*}
este integrală a ecuației diferențiale (8) și va fi integrală a ecuației diferențiale (1), dacă arătăm că Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0, ceea ce se întînıplă cînd
{:(11)C_(1)C_(2)dotsC_(n)!=0:}\begin{equation*}
C_{1} C_{2} \ldots C_{n} \neq 0 \tag{11}
\end{equation*}
Într-adevăr
Delta_(n-1)[y]=|[C_(1)e^(r_(1)x),C_(2)e^(r_(2)x),dots,C_(n)e^(r_(n)x)],[C_(1)r_(1)e^(r_(1)x),C_(2)r_(2)e^(r_(2)x),dots,C_(n)r_(n)e^(r_(n)x)],[*,*,*,*],[C_(1)r_(1)^(n-1)e^(r_(1)x),C_(2)r_(2)^(n-1)e^(r_(2)x),dots,C_(n)r_(n)^(n-1)e^(r_(n)x)]|*|[1,r_(1),dots,r_(1)^(n-1)],[1,r_(2),dots,r_(2)^(n-1)],[*,*,*,*],[1,r_(n),dots,r_(n)^(n-1)]|\Delta_{n-1}[y]=\left|\begin{array}{cccc}
C_{1} e^{r_{1} x} & C_{2} e^{r_{2} x} & \ldots & C_{n} e^{r_{n} x} \\
C_{1} r_{1} e^{r_{1} x} & C_{2} r_{2} e^{r_{2} x} & \ldots & C_{n} r_{n} e^{r_{n} x} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
C_{1} r_{1}^{n-1} e^{r_{1} x} & C_{2} r_{2}^{n-1} e^{r_{2} x} & \ldots & C_{n} r_{n}^{n-1} e^{r_{n} x}
\end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{cccc}
1 & r_{1} & \ldots & r_{1}^{n-1} \\
1 & r_{2} & \ldots & r_{2}^{n-1} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
1 & r_{n} & \ldots & r_{n}^{n-1}
\end{array}\right|
adică
{:(12)Delta_(n-1)[y]=C_(1)C_(2)dotsC_(n)V^(2)(r_(1),r_(2),dots,r_(n))e^((r_(1)+r_(2)+dots+r_(n))x):}\begin{equation*}
\Delta_{n-1}[y]=C_{1} C_{2} \ldots C_{n} V^{2}\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right) e^{\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}\right) x} \tag{12}
\end{equation*}
unde V(r_(1),r_(2),dots,r_(n))V\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right) este determinantul lui Vandermonde al numerelor distincte r_(1),r_(2),dots,r_(n)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}. Cînd condiția (11) este indeplinită, formula (10) este o integrală a ecuației diferențiale (1). Această integrală este definită în intervalul (-oo,+oo)(-\infty,+\infty) şi condiţia Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0 este valabilă în intervalul (-oo,+oo)(-\infty,+\infty).
Integrala care corespunde la condițiile lui Cauchy (7) se obține determinînd pe A_(1),A_(2),dots,A_(n)A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} din ecuațiile (6) și apoi punînd
{:(13)C_(1)e^(r_(1)x_(0))=C_(1)^(')","quadC_(1)e^(r_(2)x_(0))=C_(2)^(')","dots","C_(n)e^(r_(n)x_(0))=C_(n)^('):}\begin{equation*}
C_{1} e^{r_{1} x_{0}}=C_{1}^{\prime}, \quad C_{1} e^{r_{2} x_{0}}=C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n} e^{r_{n} x_{0}}=C_{n}^{\prime} \tag{13}
\end{equation*}
rămîne să determinăm pe C_(1)^('),C_(2)^('),dots,C_(n)^(')C_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime} din sistemul de ecuatii
{:[C_(1)^(')+C_(2)^(')+dots+C_(n)^(')=y_(0)],[(14)C_(1)^(')v_(1)+C_(2)^(')v_(2)+dots+C_(n)^(')v_(n)=y_(0)^(')],[C_(1)^(')v_(1)^(n-1)+C_(2)^(')v_(2)^(n-1)+dots+C_(n)^(')v_(n)^(n-1)=y_(0)^((n-1))]:}\begin{align*}
& C_{1}^{\prime}+C_{2}^{\prime}+\ldots+C_{n}^{\prime}=y_{0} \\
& C_{1}^{\prime} v_{1}+C_{2}^{\prime} v_{2}+\ldots+C_{n}^{\prime} v_{n}=y_{0}^{\prime} \tag{14}\\
& C_{1}^{\prime} v_{1}^{n-1}+C_{2}^{\prime} v_{2}^{n-1}+\ldots+C_{n}^{\prime} v_{n}^{n-1}=y_{0}^{(n-1)}
\end{align*}
Observăm că nu se poate ca toate numerele C_(1)^('),dots,C_(n)^(')C_{1}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime} să fie nule. Ar urma că y_(0)=y_(0)^(')=dots=y_(0)^((n-1))=0y_{0}=y_{0}^{\prime}=\ldots=y_{0}^{(n-1)}=0 și deci ca Delta_(n-1)[y(x_(0))]=0\Delta_{n-1}\left[y\left(x_{0}\right)\right]=0, ceea ce este contrar ipotezei. Să demonstrăm că nu se poate nici ca măcar unul dintre C_(1)^('),dots,C_(n)^(')C_{1}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime} să fie nuli.
Într-adevăr, să presupunem că am avea C_(1)^(')=0C_{1}^{\prime}=0. Atunci numerele r_(2),dots,r_(n)r_{2}, \ldots, r_{n} fiind distincte, între ecuaţiile
{:[C_(2)^(')+C_(3)^(')+dots+C_(n)^(')=y_(0)],[C_(2)^(')r_(2)+C_(3)^(')r_(3)+dots+C_(n)^(')r_(n)=y_(0)^(')],[C_(2)^(')r_(2)^(n-1)+C_(3)^(')r_(3)^(n-1)+dots+C_(n)^(')r_(n)^(n-1)=y_(0)^((n-1))]:}\begin{aligned}
& C_{2}^{\prime}+C_{3}^{\prime}+\ldots+C_{n}^{\prime}=y_{0} \\
& C_{2}^{\prime} r_{2}+C_{3}^{\prime} r_{3}+\ldots+C_{n}^{\prime} r_{n}=y_{0}^{\prime} \\
& C_{2}^{\prime} r_{2}^{n-1}+C_{3}^{\prime} r_{3}^{n-1}+\ldots+C_{n}^{\prime} r_{n}^{n-1}=y_{0}^{(n-1)}
\end{aligned}
se poate elimina C_(2)^('),dots,C_(n)^(')C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime}. Se obţine o relaţie de forma
{:(15)y_(0)^((n-1))+p_(1)y_(0)^((n-2))+p_(2)y_(0)^((n-3))+dots+p_(n-1)y_(0)=0:}\begin{equation*}
y_{0}^{(n-1)}+p_{1} y_{0}^{(n-2)}+p_{2} y_{0}^{(n-3)}+\ldots+p_{n-1} y_{0}=0 \tag{15}
\end{equation*}
unde
p_(1)=-(r_(2)+r_(3)+dots+r_(n)),quadp_(2)=r_(2)r_(3)+dots+r_(n-1)r_(n),dotsp_(n-1)=(-1)^(n-1)r_(2)r_(3)dotsr_(n)p_{1}=-\left(r_{2}+r_{3}+\ldots+r_{n}\right), \quad p_{2}=r_{2} r_{3}+\ldots+r_{n-1} r_{n}, \ldots p_{n-1}=(-1)^{n-1} r_{2} r_{3} \ldots r_{n}
În ecuațiile (6) să înlocuim
A_(1)=p_(1)-r_(1),A_(2)=p_(2)-p_(1)r_(1),A_(3)=p_(3)-p_(2)r_(1),dots,A_(n-1)=p_(n-1)-p_(n-2)r_(1)A_(n)=-p_(n-1)r_(1)A_{1}=p_{1}-r_{1}, A_{2}=p_{2}-p_{1} r_{1}, A_{3}=p_{3}-p_{2} r_{1}, \ldots, A_{n-1}=p_{n-1}-p_{n-2} r_{1} A_{n}=-p_{n-1} r_{1}.
Prima ecuație (6) se scrie
y_(0)^((n))+(p_(1)-r_(1))y_(0)^((n-1))+(p_(2)-p_(1)r_(1))y_(0)^((n-2))+dots+(p_(n-1)-p_(n-2)r_(1))y_(0)^(')-p_(n-1)r_(1)y_(0)=0y_{0}^{(n)}+\left(p_{1}-r_{1}\right) y_{0}^{(n-1)}+\left(p_{2}-p_{1} r_{1}\right) y_{0}^{(n-2)}+\ldots+\left(p_{n-1}-p_{n-2} r_{1}\right) y_{0}^{\prime}-p_{n-1} r_{1} y_{0}=0
și t͡inînd seama de ecuația (15) coeficientul lui r_(1)r_{1} este nul, şi ecuația se reduce la
p_(1)=-(r_(2)+r_(3)+dots+r_(n)),quadp_(2)=r_(2)r_(3)+dots+r_(n-1)r_(n),dotsp_(n-1)=(-1)^(n-1)r_(2)r_(3)dotsr_(n)p_{1}=-\left(r_{2}+r_{3}+\ldots+r_{n}\right), \quad p_{2}=r_{2} r_{3}+\ldots+r_{n-1} r_{n}, \ldots p_{n-1}=(-1)^{n-1} r_{2} r_{3} \ldots r_{n}
În ecuațiile (6) să înlocuim
A_(1)=p_(1)-r_(1),A_(2)=p_(2)-p_(1)r_(1),A_(3)=p_(3)-p_(2)r_(1),dots,A_(n-1)=p_(n-1)-p_(n-2)r_(1)A_(n)=-p_(n-1)r_(1)A_{1}=p_{1}-r_{1}, A_{2}=p_{2}-p_{1} r_{1}, A_{3}=p_{3}-p_{2} r_{1}, \ldots, A_{n-1}=p_{n-1}-p_{n-2} r_{1} A_{n}=-p_{n-1} r_{1}.
Prima ecuație (6) se scrie
y_(0)^((n))+(p_(1)-r_(1))y_(0)^((n-1))+(p_(2)-p_(1)r_(1))y_(0)^((n-2))+dots+(p_(n-1)-p_(n-2)r_(1))y_(0)^(')-p_(n-1)r_(1)y_(0)=0y_{0}^{(n)}+\left(p_{1}-r_{1}\right) y_{0}^{(n-1)}+\left(p_{2}-p_{1} r_{1}\right) y_{0}^{(n-2)}+\ldots+\left(p_{n-1}-p_{n-2} r_{1}\right) y_{0}^{\prime}-p_{n-1} r_{1} y_{0}=0
și t͡inînd seama de ecuația (15) coeficientul lui r_(1)r_{1} este nul, şi ecuația se reduce la
{:('")"y_(0)^((n))+p_(1)y_(0)^((n-1))+p_(2)y_(0)^((n-2))+dots+p_(n-1)y_(0)^(')=0.:}\begin{equation*}
y_{0}^{(n)}+p_{1} y_{0}^{(n-1)}+p_{2} y_{0}^{(n-2)}+\ldots+p_{n-1} y_{0}^{\prime}=0 . \tag{$\prime$}
\end{equation*}
Mai departe, ţinînd seama de aceasta, a doua ecuație (6) se reduce la
{:(('')")"y_(0)^((n+1))+p_(1)y_(0)^((n))+p_(2)y_(0)^((n-1))+dots+p_(n-1)y_(0)^('')=0:}\begin{equation*}
y_{0}^{(n+1)}+p_{1} y_{0}^{(n)}+p_{2} y_{0}^{(n-1)}+\ldots+p_{n-1} y_{0}^{\prime \prime}=0 \tag{$\prime\prime$}
\end{equation*}
şi aşa mai departe, pînă se obține penultima ecuație
{:((''')")"y_(0)^((2n-2))+p_(1)y_(0)^((2n-3))+p_(2)y_(1)^((2n-4))+dots+p_(n-1)y_(1)^((n-1))=0:}\begin{equation*}
y_{0}^{(2 n-2)}+p_{1} y_{0}^{(2 n-3)}+p_{2} y_{1}^{(2 n-4)}+\ldots+p_{n-1} y_{1}^{(n-1)}=0 \tag{$\prime\prime\prime$}
\end{equation*}
Dar în acest caz determinantul
Delta_(n-1)[y(x_(0))]=|[y_(0),y_(0)^('),dots,y_(0)^((n-1))],[y_(0)^('),y_(0)^(''),dots,y_(0)^((n))],[*,*,*,*],[y_(0)^((n-1)),y_(0)^((n)),dots,y_(0)^((2n-2))]|\Delta_{n-1}\left[y\left(x_{0}\right)\right]=\left|\begin{array}{llll}
y_{0} & y_{0}^{\prime} & \ldots & y_{0}^{(n-1)} \\
y_{0}^{\prime} & y_{0}^{\prime \prime} & \ldots & y_{0}^{(n)} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
y_{0}^{(n-1)} & y_{0}^{(n)} & \ldots & y_{0}^{(2 n-2)}
\end{array}\right|
este nul deoarece între elementele liniilor există o aceeași combinație lineară exprimată prin formulele (15), (15^(')),(15^('')),(15^('''))\left(15^{\prime}\right),\left(15^{\prime \prime}\right),\left(15^{\prime \prime \prime}\right). Aceasta însă contrazice ipoteza că
Delta_(n-1)[y(x)]!=0.\Delta_{n-1}[y(x)] \neq 0 .
Deci sub singura condiție că ecuația caracteristică ( 9^(')9^{\prime} ) să aibă rădăcinile distincte, formula (10) în care C_(1)C_(2)dotsC_(n)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{n} \neq 0 este integrală a ecuației diferențiale (1).
Observare. Determinarea constantelor C_(1),C_(2),dots,C_(n);r_(1),r_(2),dots,r_(n)C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n} ; r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n} din formula (10), astfel ca y(x)y(x) să verifice condițiile lui Cauchy (7), se face punînd
C_(1)e^(r_(1)x_(0))=C_(1)^('),quadC_(2)e^(r_(2)x_(0))=C_(2)^('),dots,C_(n)e^(r_(n)x_(0))=C_(n)^(')C_{1} e^{r_{1} x_{0}}=C_{1}^{\prime}, \quad C_{2} e^{r_{2} x_{0}}=C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n} e^{r_{n} x_{0}}=C_{n}^{\prime}
şi rezolvînd sistemul de ecuații
{:[C_(1)^(')+C_(2)^(')+dots+C_(n)^(')=y_(0)],[(16)C_(1)^(')r_(1)+C_(2)^(')r_(2)+dots+C_(n)^(')r_(n)=y_(0)^(')],[C_(1)^(')r_(1)^(2n-1)+C_(2)^(')r_(2)^(2n-2)+dots+C_(n)^(')r_(n)^(2n-1)=y_(0)^((2n-1))]:}\begin{align*}
& C_{1}^{\prime}+C_{2}^{\prime}+\ldots+C_{n}^{\prime}=y_{0} \\
& C_{1}^{\prime} r_{1}+C_{2}^{\prime} r_{2}+\ldots+C_{n}^{\prime} r_{n}=y_{0}^{\prime} \tag{16}\\
& C_{1}^{\prime} r_{1}^{2 n-1}+C_{2}^{\prime} r_{2}^{2 n-2}+\ldots+C_{n}^{\prime} r_{n}^{2 n-1}=y_{0}^{(2 n-1)}
\end{align*}
în raport cuC_(1)^('),C_(2)^('),dots,C_(n)^(')\mathrm{cu} C_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime} şi r_(1),r_(2),dots,r_(n)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}.
Eliminarea lui C_(1)^('),C_(2)^('),dots,C_(n)^(')C_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime} între aceste ecuații duce la ecuațiile (6), unde
Eliminarea lui C_(1)^('),C_(2)^('),dots,C_(n)^(')C_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime} între aceste ecuații duce la ecuațiile (6), unde
A_(1)=-Sigmar_(1),A_(2)=Sigmar_(1)r_(2)dots,A_(n)=(-1)^(n)r_(1)r_(2)dotsr_(n)A_{1}=-\Sigma r_{1}, A_{2}=\Sigma r_{1} r_{2} \ldots, A_{n}=(-1)^{n} r_{1} r_{2} \ldots r_{n}
Ecuația care determină pe r_(1),r_(2),dots,r_(n)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n} este ecuația (9').
Exemplu. Fiind dată funcția
Exemplu. Fiind dată funcția
Y(x)=int_(alpha)^(beta)p(s)e^(sx)dsY(x)=\int_{\alpha}^{\beta} p(s) e^{s x} d s
unde p(s)p(s) este o funcție pozitivă în intervalul ( alpha,beta\alpha, \beta ), putîndu-se anula în alpha\alpha și beta\beta, se poate determina o integrală a ecuatiei diferentiale (1) care să satisfacă la conditiile lui Cauchy.
y(x_(0))=Y(x_(0)),y^(')(x_(0))=Y^(')(x_(0)),dots,y^((2n-1))(x_(0))=Y^((2n-1))(x_(0))y\left(x_{0}\right)=Y\left(x_{0}\right), y^{\prime}\left(x_{0}\right)=Y^{\prime}\left(x_{0}\right), \ldots, y^{(2 n-1)}\left(x_{0}\right)=Y^{(2 n-1)}\left(x_{0}\right)
Într-adevăr, sistemul de ecuații (16) corespunzător acestui caz este
{:[C_(1)^(')+C_(2)^(')+dots+C_(n)^(')=int_(alpha)^(beta)p(s)e^(sx_(0))ds],[C_(1)^(')r_(1)+C_(2)^(')r_(2)+dots+C_(n)^(')r_(n)=int_(alpha)^(beta)sp(s)e^(sx_(0))ds],[C_(1)^(')r_(1)^(2n-1)+C_(2)^(')r_(2)^(2n-1)+dots+C_(n)^(')r_(n)^(2n-1)=int_(alpha)^(beta)s^(2n-1)p(s)e^(sx_(0))ds]:}\begin{aligned}
& C_{1}^{\prime}+C_{2}^{\prime}+\ldots+C_{n}^{\prime}=\int_{\alpha}^{\beta} p(s) e^{s x_{0}} d s \\
& C_{1}^{\prime} r_{1}+C_{2}^{\prime} r_{2}+\ldots+C_{n}^{\prime} r_{n}=\int_{\alpha}^{\beta} s p(s) e^{s x_{0}} d s \\
& C_{1}^{\prime} r_{1}^{2 n-1}+C_{2}^{\prime} r_{2}^{2 n-1}+\ldots+C_{n}^{\prime} r_{n}^{2 n-1}=\int_{\alpha}^{\beta} s^{2 n-1} p(s) e^{s x_{0}} d s
\end{aligned}
Acest sistem este clasic ; el se întîlneşte în teoria formulelor de cuadratură. Se demonstrează [5] că numerele r_(1),r_(2),dots,r_(n)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n} sînt toate reale, distincte și cuprinse între alpha\alpha şi beta\beta, iar numerele C_(1)^('),C_(2)^('),dots,C_(n)^(')C_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime}, adică C_(1),C_(2),dots,C_(n)C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n} sînt toate pozitive.
3. Integralele ecuatiei diferențiale (1) depind de condițiile inițiale (7). Ele pot fi astfel ca ecuația caracteristică ( 9^(')9^{\prime} ) a ecuației diferențiala (8) să aibă toate rădăcinile distincte, și acest caz a fost studiat la punctul precedent. Se poate însă ca condițile inițiale (9) să fie astfel încît ecuația caracteristică ( 9^(')9^{\prime} ) să aibă rădăcini multiple.
3. Integralele ecuatiei diferențiale (1) depind de condițiile inițiale (7). Ele pot fi astfel ca ecuația caracteristică ( 9^(')9^{\prime} ) a ecuației diferențiala (8) să aibă toate rădăcinile distincte, și acest caz a fost studiat la punctul precedent. Se poate însă ca condițile inițiale (9) să fie astfel încît ecuația caracteristică ( 9^(')9^{\prime} ) să aibă rădăcini multiple.
Să presupunem că conditiile initiale (7) sînt astfel încît ecuatia caracteristică ( 9^(')9^{\prime} ) are rădăcina r_(1)r_{1} multiplă de ordinul p_(1),r_(2)p_{1}, r_{2}, multiplă de ordinul p_(2),dots,r_(k)p_{2}, \ldots, r_{k} multiplă de ordinul p_(k)p_{k} unde
p_(1)+p_(2)+dots+p_(k)=n.p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{k}=n .
In acest caz ecuația diferentială (8) are integrala
{:[y=((C_(1))/((p_(1)-1)!)x^(p_(1)-1)+(C_(11))/((p_(1)-2)!)x^(p_(1)-2)+dots+C_(1,p_(1)-1))e^(r_(1)x)],[(17)+((C_(2))/((p_(2)-1)!)x^(p_(2)-2)+(C_(21))/((p_(2)-2)!)x^(p_(2)-2)+dots+C_(2,p_(2)-1))e^(r_(2)x)],[+((C_(k))/((p_(k)-1)!)x^(p_(k)-1)+(C_(k1))/((p_(k)-2)!)x^(p_(k)-2)+dots+C_(k,p_(k)-1))e^(r_(k)x)]:}\begin{align*}
y & =\left(\frac{C_{1}}{\left(p_{1}-1\right)!} x^{p_{1}-1}+\frac{C_{11}}{\left(p_{1}-2\right)!} x^{p_{1}-2}+\ldots+C_{1, p_{1}-1}\right) e^{r_{1} x} \\
& +\left(\frac{C_{2}}{\left(p_{2}-1\right)!} x^{p_{2}-2}+\frac{C_{21}}{\left(p_{2}-2\right)!} x^{p_{2}-2}+\ldots+C_{2, p_{2}-1}\right) e^{r_{2} x} \tag{17}\\
& +\left(\frac{C_{k}}{\left(p_{k}-1\right)!} x^{p_{k}-1}+\frac{C_{k 1}}{\left(p_{k}-2\right)!} x^{p_{k}-2}+\ldots+C_{k, p_{k}-1}\right) e^{r_{k} x}
\end{align*}
şi avem
Delta_(n-1)[y]=(-1)^(k)C_(1)^(p_(1))C_(2)^(p_(2))dotsC_(k)^(p_(k))V^(2)(ubrace(r_(1),dots,r_(1))_(p_(1)" ori ")ubrace(r_(2),dots,r_(2))_(p_(2)" ori "),quad,ubrace(r_(k),dots,r_(k))_(p_(k)" ori "))e^((p_(1)r_(1)+dots+p_(k)r_(k)x:})\Delta_{n-1}[y]=(-1)^{k} C_{1}^{p_{1}} C_{2}^{p_{2}} \ldots C_{k}^{p_{k}} V^{2}(\underbrace{r_{1}, \ldots, r_{1}}_{p_{1} \text { ori }} \underbrace{r_{2}, \ldots, r_{2}}_{p_{2} \text { ori }}, \quad, \underbrace{r_{k}, \ldots, r_{k}}_{p_{k} \text { ori }}) e^{\left(p_{1} r_{1}+\ldots+p_{k} r_{k} x\right.}
unde determinantul V(r_(1),dots,r_(1);ubrace(r_(2),dots,r_(2))_(p_(1)" ori "),dots,ubrace(r^(k),dots,r_(k))_(p_(k)" ori "))\mathrm{V}(r_{1}, \ldots, r_{1} ; \underbrace{r_{2}, \ldots, r_{2}}_{p_{1} \text { ori }}, \ldots, \underbrace{r^{k}, \ldots, r_{k}}_{p_{k} \text { ori }}) are prima coloană formată din 1,r_(1),dots,r_(1)^(n-1)1, r_{1}, \ldots, r_{1}^{n-1}, a doua din derivatele acestor elemente în raport cu r_(1)r_{1} împărtite cu 1!, a treia cu derivatele de ordinul al doilea împărtite cu 2!,dots,ak2!, \ldots, a k-a din derivatele de ordinul kk-1 a elementelor coloanei întîia împărtite cu ( k-1k-1 )!. Următoarele k_(2)k_{2} coloane se formează în a elaşi mod, înlocuind pe r_(1)r_{1} cu r_(2)dotsr_{2} \ldots, şi aşa mai departe.
Rezultă că dacă C_(1)C_(2)dotsC_(k)!=0,yC_{1} C_{2} \ldots C_{k} \neq 0, y este integrală a ecuatiei diferentiale (1). Și această integrală este definită în intervalul ( -oo,+oo-\infty,+\infty ), iar condiţia Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0 este valabilă de asemenea în intervalul ( -oo,+oo-\infty,+\infty ).
Formula (18) se poate demonstra direct, însă calculele sînt complicate.
Se știe însă că integralele unei ecuații diferențiale cu coeficienți constanți care corespund la o rădăcină multiplă se pot obține din integralele care corespund la rădăcini distincte, printr-o trecere la limită. Vom folosi această trecere la limită pentru a demonstra formula (8).
Se știe însă că integralele unei ecuații diferențiale cu coeficienți constanți care corespund la o rădăcină multiplă se pot obține din integralele care corespund la rădăcini distincte, printr-o trecere la limită. Vom folosi această trecere la limită pentru a demonstra formula (8).
Să presupunem că tratăm cazul cînd rădăcina r_(1)r_{1} este dublă, celelalte rădăcini fiind distincte.
Punînd r_(2)=r_(1)+hr_{2}=r_{1}+h, pentru h!=0h \neq 0, ecuația diferențială (8) are integrala
{:(19)y=C_(1)(e^((r_(1)+h)x)-e^(r_(1)x))/(h)+C_(2)e^(r_(1)x)+C_(3)e^(r_(3)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x):}\begin{equation*}
y=C_{1} \frac{e^{\left(r_{1}+h\right) x}-e^{r_{1} x}}{h}+C_{2} e^{r_{1} x}+C_{3} e^{r_{3} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x} \tag{19}
\end{equation*}
pe care o putem scrie sub forma
{:(20)y=C_(1)^(')e^(r_(1)x)+C_(2)^(')e^((r_(1)+h]x)+C_(3)e^(r_(3)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x):}\begin{equation*}
y=C_{1}^{\prime} e^{r_{1} x}+C_{2}^{\prime} e^{\left(r_{1}+h\right] x}+C_{3} e^{r_{3} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x} \tag{20}
\end{equation*}
unde
{:(21)C_(1)^(')=C_(2)-(C_(1))/(h)","quadC_(2)^(')=(C_(1))/(h):}\begin{equation*}
C_{1}^{\prime}=C_{2}-\frac{C_{1}}{h}, \quad C_{2}^{\prime}=\frac{C_{1}}{h} \tag{21}
\end{equation*}
Cînd h rarr0h \rightarrow 0, funcția yy are limita
{:(22)y_(1)=(C_(1)x+C_(2))e^(r_(1)x)+C_(3)e^(r_(3)x)+dots+C_(n)er_(n)x:}\begin{equation*}
y_{1}=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r_{1} x}+C_{3} e^{r_{3} x}+\ldots+C_{n} e r_{n} x \tag{22}
\end{equation*}
și y_(1)y_{1} este integrala ecuației diferențiale (8). Se demonstrează ușor că derivata de un ordin oarecare pp al funcției yy, tinde către derivata de același ordin al funcției y_(1)y_{1} cînd h rarr0h \rightarrow 0, de unde rezultă că
{:(23)lim_(h rarr0)Delta_(n rarr1)[y]=Delta_(n-1)[y_(1)].:}\begin{equation*}
\lim _{h \rightarrow 0} \Delta_{n \rightarrow 1}[y]=\Delta_{n-1}\left[y_{1}\right] . \tag{23}
\end{equation*}
Însă aplicînd formula (12) avem
Delta_(n-1)[y]=C_(1)^(')C_(2)^(')C_(3)dotsC_(n)V^(2)(r_(1),r_(1)+h,r_(3),dots,r_(n))e^((2r_(1)+h+r_(3)+dots+r_(n))x)\Delta_{n-1}[y]=C_{1}^{\prime} C_{2}^{\prime} C_{3} \ldots C_{n} V^{2}\left(r_{1}, r_{1}+h, r_{3}, \ldots, r_{n}\right) e^{\left(2 r_{1}+h+r_{3}+\ldots+r_{n}\right) x}
Înlocuind pe C_(1)^('),C_(2)^(')cuC_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime} \mathrm{cu} formulele (21), vom avea
Delta_(n-1)[y]=C_(1)(C_(2)h-C_(1))C_(3)dotsC_(n)[(V(r_(1),r_(1)+h,r_(3),dots,r_(n)))/(h)]^(2)e^((2r_(1)+h+r_(3)+dots+r_(n))x)\Delta_{n-1}[y]=C_{1}\left(C_{2} h-C_{1}\right) C_{3} \ldots C_{n}\left[\frac{V\left(r_{1}, r_{1}+h, r_{3}, \ldots, r_{n}\right)}{h}\right]^{2} e^{\left(2 r_{1}+h+r_{3}+\ldots+r_{n}\right) x}
Cînd facem pe h rarr0h \rightarrow 0, obținem
lim_(h rarr0)Delta_(n-1)[y]=-C_(1)^(2)C_(3)dotsC_(n)V^(2)(r_(1),r_(1),r_(3),dots,r_(n))e^((2r_(1)+r_(3)+dots+r_(n))x)\lim _{h \rightarrow 0} \Delta_{n-1}[y]=-C_{1}^{2} C_{3} \ldots C_{n} V^{2}\left(r_{1}, r_{1}, r_{3}, \ldots, r_{n}\right) e^{\left(2 r_{1}+r_{3}+\ldots+r_{n}\right) x}
deoarece
lim_(h rarr0)(1)/(h)|[1,1,1,dots,1],[r_(1),r_(1)+h,r_(3),dots,r_(n)],[r_(1)^(2),(r_(1)+h)^(2),r_(3)^(2),dots,r_(n)^(2)],[r_(1)^(3),(r_(1)+h)^(3),r_(3)^(3),dots,r_(n)^(3)],[cdots,cdots,cdots,cdots,cdots],[r_(1)^(n-1),(r_(1)+h)^(n-1),r_(3)^(n-1),dots,r_(n)^(n-1)]|=V(r_(1),r_(2),r_(3)dots,r_(n)).\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
r_{1} & r_{1}+h & r_{3} & \ldots & r_{n} \\
r_{1}^{2} & \left(r_{1}+h\right)^{2} & r_{3}^{2} & \ldots & r_{n}^{2} \\
r_{1}^{3} & \left(r_{1}+h\right)^{3} & r_{3}^{3} & \ldots & r_{n}^{3} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
r_{1}^{n-1} & \left(r_{1}+h\right)^{n-1} & r_{3}^{n-1} & \ldots & r_{n}^{n-1}
\end{array}\right|=V\left(r_{1}, r_{2}, r_{3} \ldots, r_{n}\right) .
Ținînd seama de formula (23), deducem astfel că
{:(24)Delta_(n-1)[y_(1)]=-C_(1)^(2)C_(3)dotsC_(n)V^(2)(r_(1),r_(1),r_(3),dots,r_(n))e^((2r_(1)+r_(3)+dots+r_(n))x):}\begin{equation*}
\Delta_{n-1}\left[y_{1}\right]=-C_{1}^{2} C_{3} \ldots C_{n} V^{2}\left(r_{1}, r_{1}, r_{3}, \ldots, r_{n}\right) e^{\left(2 r_{1}+r_{3}+\ldots+r_{n}\right) x} \tag{24}
\end{equation*}
Să presupunem acum că tratăm cazul cînd rădăcina r_(1)r_{1} este triplă, celelalte fiind distincte.
În integrala (22) a ecuației diferențiale (8), să punem r_(3)=r_(1)+hr_{3}=r_{1}+h şi să scriem această integrală sub forma
y=C_(1)(e^((r_(1)+h)x)-e^(r_(1)x)-hxe^(r_(1)x))/(h^(2))+C_(2)(e^((r_(1)+h)x)-e^(r_(1)x))/(h)+C_(3)e^(r_(1)x)+C_(4)e^(r_(4)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x)y=C_{1} \frac{e^{\left(r_{1}+h\right) x}-e^{r_{1} x}-h x e^{r_{1} x}}{h^{2}}+C_{2} \frac{e^{\left(r_{1}+h\right) x}-e^{r_{1} x}}{h}+C_{3} e^{r_{1} x}+C_{4} e^{r_{4} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x}
sau
y=C_(1)(e^((r_(1)+h)x)-e^(r_(1)x)-hxe^(r_(1)x))/(h^(2))+C_(2)(e^((r_(1)+h)x)-e^(r_(1)x))/(h)+C_(3)e^(r_(1)x)+C_(4)e^(r_(4)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x)y=C_{1} \frac{e^{\left(r_{1}+h\right) x}-e^{r_{1} x}-h x e^{r_{1} x}}{h^{2}}+C_{2} \frac{e^{\left(r_{1}+h\right) x}-e^{r_{1} x}}{h}+C_{3} e^{r_{1} x}+C_{4} e^{r_{4} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x}
sau
y=(C_(1)^(')x+C_(2)^('))^(r_(1)x)+C_(3)^(')e^((r_(1)+h)x)+C_(4)e^(r_(4)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x)y=\left(C_{1}^{\prime} x+C_{2}^{\prime}\right)^{r_{1} x}+C_{3}^{\prime} e^{\left(r_{1}+h\right) x}+C_{4} e^{r_{4} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x}
unde
{:(25)C_(1)^(')=-(C_(1))/(h)","quadC_(2)^(')=-(C_(1))/(h^(2))-(C_(2))/(h)+C_(3)","quadC_(3)^(')=(C_(1))/(h^(2))+(C_(2))/(h):}\begin{equation*}
C_{1}^{\prime}=-\frac{C_{1}}{h}, \quad C_{2}^{\prime}=-\frac{C_{1}}{h^{2}}-\frac{C_{2}}{h}+C_{3}, \quad C_{3}^{\prime}=\frac{C_{1}}{h^{2}}+\frac{C_{2}}{h} \tag{25}
\end{equation*}
Cînd h rarr0,yh \rightarrow 0, y tinde către integrala
{:(26)y_(2)=(C_(1)(x^(2))/(2!)+C_(2)(x)/(1!)+C_(3))e^(r_(1)x)+C_(4)e^(r_(4)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x):}\begin{equation*}
y_{2}=\left(C_{1} \frac{x^{2}}{2!}+C_{2} \frac{x}{1!}+C_{3}\right) e^{r_{1} x}+C_{4} e^{r_{4} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x} \tag{26}
\end{equation*}
a ecuației diferențiale (8) și se demonstrează că
{:(27)lim_(h rarr0)Delta_(n-1)[y]=Delta_(n-1)[y_(2)].:}\begin{equation*}
\lim _{h \rightarrow 0} \Delta_{n-1}[y]=\Delta_{n-1}\left[y_{2}\right] . \tag{27}
\end{equation*}
Pe de altă parte, ţinînd seama de ecuația (24) şi de formulele (25), putem scrie
Delta_(n-1)[y]=-C_(1)^(2)(C_(1)+hC_(2))C_(4)dotsC_(n)[([V(r_(1),r_(1),r_(1)+h,r_(4),dots,r_(n))])/(h^(2))e^((3r_(1)+h+r_(4)+dots+r_(n))x):}\Delta_{n-1}[y]=-C_{1}^{2}\left(C_{1}+h C_{2}\right) C_{4} \ldots C_{n}\left[\frac{\left[V\left(r_{1}, r_{1}, r_{1}+h, r_{4}, \ldots, r_{n}\right)\right]}{h^{2}} e^{\left(3 r_{1}+h+r_{4}+\ldots+r_{n}\right) x}\right.
Ţinînd seama că
lim_(h rarr0)(1)/(h^(2))|[1,0,1,1,dots,1],[r_(1),1,r_(1)+h,r_(4),dotsr_(n)],[r_(1)^(2),C_(2)^(1)r_(1),(r_(1)+h)^(2),r_(4)^(2),dotsr_(n)^(2)],[cdots,cdots,cdots,cdots,cdots,cdots],[r_(1)^(n-1),C_(n-1)^(1)r_(1)^(n-2),(r_(1)+h)^(n-1),r_(4)^(n-1),dotsr_(n)^(n-1)]|=V(r_(1),r_(1),r_(1),r_(4),dots,r_(n))\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^{2}}\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
r_{1} & 1 & r_{1}+h & r_{4} & \ldots r_{n} \\
r_{1}^{2} & C_{2}^{1} r_{1} & \left(r_{1}+h\right)^{2} & r_{4}^{2} & \ldots r_{n}^{2} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
r_{1}^{n-1} & C_{n-1}^{1} r_{1}^{n-2} & \left(r_{1}+h\right)^{n-1} & r_{4}^{n-1} & \ldots r_{n}^{n-1}
\end{array}\right|=V\left(r_{1}, r_{1}, r_{1}, r_{4}, \ldots, r_{n}\right)
și trecînd la limită în formula precedentă, deducem că
lim_(h rarr0)Delta_(n rarr1)[y]=-C_(1)^(3)C_(4)dotsC_(n)V^(2)(r_(1),r_(1),r_(1)r_(4),dots,r_(n))e^((3r_(1)+r_(4)+dots+r_(n))x)\lim _{h \rightarrow 0} \Delta_{n \rightarrow 1}[y]=-\mathrm{C}_{1}^{3} C_{4} \ldots C_{n} V^{2}\left(r_{1}, r_{1}, r_{1} r_{4}, \ldots, r_{n}\right) e^{\left(3 r_{1}+r_{4}+\ldots+r_{n}\right) x}
și conform formulei (27), vom avea
Delta_(n-1)[y_(2)]=-C_(1)^(3)C_(4)dotsC_(n)V^(2)(r_(1),r_(1),r_(1),r_(4),dots,r_(n))e^((3r_(1)+r_(4)+dots+r_(n))x)\Delta_{n-1}\left[y_{2}\right]=-C_{1}^{3} C_{4} \ldots C_{n} V^{2}\left(r_{1}, r_{1}, r_{1}, r_{4}, \ldots, r_{n}\right) e^{\left(3 r_{1}+r_{4}+\ldots+r_{n}\right) x}
Cu aceasta socotim că am dat suficiente lămuriri pentru a se putea termina demonstrarea formulei (18).
4. In rezumat, s-a pus în evidență integrala (10) a ecuației diferențiale (1) în care C_(1)C_(2)dotsC_(n)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{n} \neq 0, precum şi integralele de forma (17), în care r_(1),r_(2),dots,r_(k)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{k} sînt numere distincte, kk fiind 1 , sau 2,dots2, \ldots, sau n-1n-1, polinoamele care înmultesc pe e^(r_(1)x),e^(r_(2)x),dots,e^(r_(k)x)e^{r_{1} x}, e^{r_{2} x}, \ldots, e^{r_{k} x} fiind de grade efective p_(1)-1,p_(2)-1,dots,p_(k-1)p_{1}-1, p_{2}-1, \ldots, p_{k-1}, unde p_(1)+p_(2)+dots+p_(k)=np_{1}+p_{2}+\ldots+p_{k}=n, adică C_(1)C_(2)dotsC_(k)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{k} \neq 0. Pentru toate aceste integrale Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0.
4. In rezumat, s-a pus în evidență integrala (10) a ecuației diferențiale (1) în care C_(1)C_(2)dotsC_(n)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{n} \neq 0, precum şi integralele de forma (17), în care r_(1),r_(2),dots,r_(k)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{k} sînt numere distincte, kk fiind 1 , sau 2,dots2, \ldots, sau n-1n-1, polinoamele care înmultesc pe e^(r_(1)x),e^(r_(2)x),dots,e^(r_(k)x)e^{r_{1} x}, e^{r_{2} x}, \ldots, e^{r_{k} x} fiind de grade efective p_(1)-1,p_(2)-1,dots,p_(k-1)p_{1}-1, p_{2}-1, \ldots, p_{k-1}, unde p_(1)+p_(2)+dots+p_(k)=np_{1}+p_{2}+\ldots+p_{k}=n, adică C_(1)C_(2)dotsC_(k)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{k} \neq 0. Pentru toate aceste integrale Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0.
Să demonstrăm acum că orice integrală a ecuatiei Delta_(q)[y]=0\Delta_{q}[y]=0 pentru care Delta_(q-1)[y]!=0\Delta_{q-1}[y] \neq 0, unde q < nq<n, este integrală a ecuatiei diferentiale Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0.
Fie
Delta_(q)[y]=|[y,y^('),dots,y^((q-1)),y^((q))],[y^('),y^(''),dots,y^((q)),y^((q+1))],[*,*,*,*,*],[y^((q)),y^((q+1)),dots,y^((2q-1)),y^((q))]|=0\Delta_{q}[y]=\left|\begin{array}{ccccc}
y & y^{\prime} & \ldots & y^{(q-1)} & y^{(q)} \\
y^{\prime} & y^{\prime \prime} & \ldots & y^{(q)} & y^{(q+1)} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
y^{(q)} & y^{(q+1)} & \ldots & y^{(2 q-1)} & y^{(q)}
\end{array}\right|=0
ecuația diferențială și yy o integrală a ei pentru care Delta_(q-1)[y]!=0\Delta_{q-1}[y] \neq 0. Se demonstrează ca la nr. 1, că între elementele coloanelor determinantului Delta_(q)[y]\Delta_{q}[y] există o aceeași relație lineară cu coeficienți constanți, adică
{:[B_(q)y+B_(q-1)y^(')+dots+B_(1)y^((q-1))+y^((q))=0],[(28)B_(q)y^(')+B_(q-1)y^('')+dots+B_(1)y^((q))+y^((q+1))=0],[B_(q)y^((q))+B_(q-1)y^((q+1))+dots+B_(1)y^((2q-1))+y^((2q))=0.]:}\begin{align*}
& B_{q} y+B_{q-1} y^{\prime}+\ldots+B_{1} y^{(q-1)}+y^{(q)}=0 \\
& B_{q} y^{\prime}+B_{q-1} y^{\prime \prime}+\ldots+B_{1} y^{(q)}+y^{(q+1)}=0 \tag{28}\\
& B_{q} y^{(q)}+B_{q-1} y^{(q+1)}+\ldots+B_{1} y^{(2 q-1)}+y^{(2 q)}=0 .
\end{align*}
Dar coeficienții B_(1),B_(2),dots,B_(q)B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{q} fiind constanți, putem deriva succesiv ultima ecuație şi vom obține
{:[('")"B_(q)y^((q+1))+B_(q-1)y^((q+2))+dots+B_(1)y^((2q))+y^((2q+1))=0],[B_(q)y^((n))+B_(q-1)y^((n+1))+dots+B_(1)y^((n+q-1))+y^((n+q))=0]:}\begin{align*}
& B_{q} y^{(q+1)}+B_{q-1} y^{(q+2)}+\ldots+B_{1} y^{(2 q)}+y^{(2 q+1)}=0 \tag{$\prime$}\\
& B_{q} y^{(n)}+B_{q-1} y^{(n+1)}+\ldots+B_{1} y^{(n+q-1)}+y^{(n+q)}=0
\end{align*}
Deducem astfel că
Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0
deoarece între elementele primelor q+1q+1 coloane ale lui există o aceeași relație lineară, după cum arată formulele (28) și (28').
5. Concluzie. Fie y o integrală a ecuației Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0. Dacă ea nu verifică ecuația Delta_(n-1)[y]=0\Delta_{n-1}[y]=0, are forma (10), unde C_(1)C_(2)dotsC_(n)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{n} \neq 0, sau forma (17), unde k=1k=1, sau 2,dots2, \ldots, sau n-1n-1, iar p_(1),p_(2),p_(3),dots,p_(k)p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{k} sînt numere întregi pozitive sau nule astfel ca p_(1)+p_(2)+dots+p_(k)=np_{1}+p_{2}+\ldots+p_{k}=n, iar C_(1)C_(2)dotsC_(k)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{k} \neq 0.
5. Concluzie. Fie y o integrală a ecuației Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0. Dacă ea nu verifică ecuația Delta_(n-1)[y]=0\Delta_{n-1}[y]=0, are forma (10), unde C_(1)C_(2)dotsC_(n)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{n} \neq 0, sau forma (17), unde k=1k=1, sau 2,dots2, \ldots, sau n-1n-1, iar p_(1),p_(2),p_(3),dots,p_(k)p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{k} sînt numere întregi pozitive sau nule astfel ca p_(1)+p_(2)+dots+p_(k)=np_{1}+p_{2}+\ldots+p_{k}=n, iar C_(1)C_(2)dotsC_(k)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{k} \neq 0.
Dacă însă integrala yy a ecuației Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0 verifică ecuația Delta_(n-1)[y]=0\Delta_{n-1}[y]=0 dar nu verifică ecuația Delta_(n-2)[y=0\Delta_{n-2}[y=0, ea are tot una din formele arătate la alineatul precedent, însă nn se schimbă în n-1n-1.
În general, dacă integrala yy a ecuației Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0 verifică ecuațiile
Delta_(n-1)[y]=0,quadDelta_(n-2)[y]=0,dots,Delta_(n-j)[y]=0\Delta_{n-1}[y]=0, \quad \Delta_{n-2}[y]=0, \ldots, \Delta_{n-j}[y]=0
dar
Delta_(n rarr j-1)[y]!=0\Delta_{n \rightarrow j-1}[y] \neq 0
atunci ea are una din formele arătate la alineatul 1 , cu condiția să se schimbe nn în n-jn-j.
Exemplu. Să considerăm ecuația diferențială
Delta_(3)[y]=0.\Delta_{3}[y]=0 .
1^(@)1^{\circ}. Dacă o integrală a ei yy este astfel încît Delta_(2)[y]!=0\Delta_{2}[y] \neq 0, atunci ea are una din următoarele forme
y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+C_(3)e^(r_(2)x)y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+C_{3} e^{r_{2} x}
unde gamma_(1),gamma_(2),gamma_(3)\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3} sînt numere distincte şi C_(1)C_(2)C_(3)!=0C_{1} C_{2} C_{3} \neq 0, sau
y=(C_(1)x+C_(2))e^(r_(1)x)+C_(3)e^(r_(3)x)y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r_{1} x}+C_{3} e^{r_{3} x}
unde gamma_(1),gamma_(3)\gamma_{1}, \gamma_{3} sînt numere distincte şi C_(1)C_(2)!=0C_{1} C_{2} \neq 0 sau
y=(C_(1)(x^(2))/(2!)+C_(2)(x)/(1!)+C_(3))e^(r_(1)x)y=\left(C_{1} \frac{x^{2}}{2!}+C_{2} \frac{x}{1!}+C_{3}\right) e^{r_{1} x}
unde C_(1)!=0C_{1} \neq 0.
2^(@)2^{\circ}. Dacă integrala yy a ecuației diferențiale Delta_(3)[y]=0\Delta_{3}[y]=0 verifică ecuația Delta_(2)[y]=0\Delta_{2}[y]=0, dar Delta_(1)[y]!=0\Delta_{1}[y] \neq 0, atunci ea are una din următoarele forme
2^(@)2^{\circ}. Dacă integrala yy a ecuației diferențiale Delta_(3)[y]=0\Delta_{3}[y]=0 verifică ecuația Delta_(2)[y]=0\Delta_{2}[y]=0, dar Delta_(1)[y]!=0\Delta_{1}[y] \neq 0, atunci ea are una din următoarele forme
y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}
unde r_(1)r_{1} şi r_(2)r_{2} sînt numere distincte şi C_(1)C_(2)!=0C_{1} C_{2} \neq 0, sau
y=(C_(1)x+C_(2))e^(r_(1)x)y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r_{1} x}
unde C_(1)!=0C_{1} \neq 0.
3^(@)3^{\circ}. Dacă integrala yy a ecuației Delta_(3)[y]=0\Delta_{3}[y]=0 verifică ecuațiile Delta_(2)[y]=0\Delta_{2}[y]=0, Delta_(1)[y]=0\Delta_{1}[y]=0, dar Delta_(0)[y]=y!=0\Delta_{0}[y]=y \neq 0, atunci ea are forma
3^(@)3^{\circ}. Dacă integrala yy a ecuației Delta_(3)[y]=0\Delta_{3}[y]=0 verifică ecuațiile Delta_(2)[y]=0\Delta_{2}[y]=0, Delta_(1)[y]=0\Delta_{1}[y]=0, dar Delta_(0)[y]=y!=0\Delta_{0}[y]=y \neq 0, atunci ea are forma
y=C_(1)e^(r_(1)x)y=C_{1} e^{r_{1} x}
unde C_(1)!=0C_{1} \neq 0.
4^(@)4^{\circ}. Dacă, în fine, integrala yy a ecuației diferențiale Delta_(3)[y]=0\Delta_{3}[y]=0 verifică ecuațiile Delta_(2)[y]=0,Delta_(1)[y]=0,Delta_(0)[y]=0\Delta_{2}[y]=0, \Delta_{1}[y]=0, \Delta_{0}[y]=0, ea este evident identic nulă.
6. Să trecem 1a integrarea ecuației diferențiale
4^(@)4^{\circ}. Dacă, în fine, integrala yy a ecuației diferențiale Delta_(3)[y]=0\Delta_{3}[y]=0 verifică ecuațiile Delta_(2)[y]=0,Delta_(1)[y]=0,Delta_(0)[y]=0\Delta_{2}[y]=0, \Delta_{1}[y]=0, \Delta_{0}[y]=0, ea este evident identic nulă.
6. Să trecem 1a integrarea ecuației diferențiale
{:(29)Delta_(n)[y]=Ae^(alpha x):}\begin{equation*}
\Delta_{n}[y]=A e^{\alpha x} \tag{29}
\end{equation*}
unde AA şi alpha\alpha sînt constante şi A!=0A \neq 0.
Pentru aceasta, ne vom servi de identitatea
Pentru aceasta, ne vom servi de identitatea
{:(30)|[Delta_(n)[y],Delta_(n)^(')[y]],[Delta_(n)^(')[y],Delta_(n)^('')[y]]|=Delta_(n-1)[y]Delta_(n+1)[y]:}\left|\begin{array}{ll}
\Delta_{n}[y] & \Delta_{n}^{\prime}[y] \tag{30}\\
\Delta_{n}^{\prime}[y] & \Delta_{n}^{\prime \prime}[y]
\end{array}\right|=\Delta_{n-1}[y] \Delta_{n+1}[y]
care se demonstrează în modul următor.
Să scriem determinantul Delta_(n+1)[y]\Delta_{n+1}[y] sub forma
Să scriem determinantul Delta_(n+1)[y]\Delta_{n+1}[y] sub forma
D=|[a_(11),dots,a_(1n),a_(1,n+1)],[vdots,,vdots,vdots],[vdots,dots,vdots,vdots],[a_(n1),dots,a_(nn),a_(n,n+1)],[a_(n+1,1),dots,a_(n+1,n),a_(n+1,n+1)]|D=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & \ldots & a_{1 n} & a_{1, n+1} \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
\vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\
a_{n 1} & \ldots & a_{n n} & a_{n, n+1} \\
a_{n+1,1} & \ldots & a_{n+1, n} & a_{n+1, n+1}
\end{array}\right|
şi să observăm că avem
Delta_(n)[y]=(del D)/(dela_(n+1,n+1)),quadDelta_(n)^(')[y]=-(del D)/(dela_(n,n+1))=-(del D)/(dela_(r+1,n)),quadDelta_(n)^('')[y]=(del D)/(dela_(n,n)).\Delta_{n}[y]=\frac{\partial D}{\partial a_{n+1, n+1}}, \quad \Delta_{n}^{\prime}[y]=-\frac{\partial D}{\partial a_{n, n+1}}=-\frac{\partial D}{\partial a_{r+1, n}}, \quad \Delta_{n}^{\prime \prime}[y]=\frac{\partial D}{\partial a_{n, n}} .
Se știe că avem identitatea [4]
|[(del D)/(dela_(n,n)),(del D)/(dela_(n,n+1))],[(del D)/(dela_(n+1,n)),(del D)/(dela_(n+1,n+1))]|=D_(2)D_(1)\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial D}{\partial a_{n, n}} & \frac{\partial D}{\partial a_{n, n+1}} \\
\frac{\partial D}{\partial a_{n+1, n}} & \frac{\partial D}{\partial a_{n+1, n+1}}
\end{array}\right|=D_{2} D_{1}
unde D_(2)D_{2} este determinantul obținut din DD prin suprimarea ultimelor două linii și coloane. Această identitate conduce la identitatea (30).
Fie yy o integrală a ecuației diferențiale (29). Este evident că u=Ae^(ax)u=A e^{a x} fiind o integrală a ecuației diferențiale Delta_(1)[u]=0\Delta_{1}[u]=0, vom avea aplicînd identitatea (30)
Delta_(n-1)[y]Delta_(n+1)[y]=0.\Delta_{n-1}[y] \Delta_{n+1}[y]=0 .
Dar nu se poate ca yy să verifice ecuația Delta_(n-1)[y]=0\Delta_{n-1}[y]=0, fiindcă am avea și Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0, ceea ce este imposibil căci A_(!=0)A_{\neq 0}. Deci orice integrală a ecuației diferențiale (29) este integrală a ecuației diferențiale
{:(31)Delta_(n+1)[y]=0:}\begin{equation*}
\Delta_{n+1}[y]=0 \tag{31}
\end{equation*}
și prin urmare integralele ecuației diferențiale (29) trebuie căutate printre integralele ecuației diferențiale (31).
Să considerăm întîi integrala ecuației diferențiale (31)
y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x)+C_(n+1)e^(r_(n+1)x)y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x}+C_{n+1} e^{r_{n+1} x}
pentru care Delta_(n)[y]!=0\Delta_{n}[y] \neq 0, adică r_(1),r_(2),dots,r_(n),r_(n+1)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}, r_{n+1} sînt numere distincte iar C_(1)C_(2)dotsC_(n)C_(n+1)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{n} C_{n+1} \neq 0. Conform formulei (12), avem
Delta_(n)[y]=C_(1)C_(2)dotsC_(n)^(-)C_(n+1)V^(2)(r_(1),r_(2),dots,r_(n),r_(n+1))e^((r_(1)+r_(2)+dots+r_(n)+r_(n+1))x)\Delta_{n}[y]=C_{1} C_{2} \ldots C_{n}^{-} C_{n+1} V^{2}\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}, r_{n+1}\right) e^{\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}+r_{n+1}\right) x}
Pentru ca ecuația (29) să fie satisfăcută, vom alege
{:[r_(1)+r_(2)+dots+r_(n)+r_(n+1)=alpha],[C_(1)C_(2)dotsC_(n)C_(n+1)V^(2)(r_(1),r_(2),dots,r_(n),r_(n+1))=A]:}\begin{aligned}
& r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}+r_{n+1}=\alpha \\
& C_{1} C_{2} \ldots C_{n} C_{n+1} V^{2}\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}, r_{n+1}\right)=A
\end{aligned}
Prima ecuație determină pe r_(n+1)r_{n+1}, adică
r_(n+1)=alpha-(r_(1)+r_(2)+dots+r_(n))r_{n+1}=\alpha-\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}\right)
şi vom alege pe r_(1),r_(2),dots,r_(n)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n} astfel ca r_(1),r_(2),dots,r_(n),r_(n+1)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}, r_{n+1} să fie numere distincte. Atunci a doua ecuație determină pe C_(n+1)C_{n+1} și vom avea
C_(n+1)=(A)/(C_(1)C_(2)dotsC_(n)V^(2)[r_(1),r_(2)dotsr_(n),alpha-(r_(1)+r_(2)+dots+r_(n))])C_{n+1}=\frac{A}{C_{1} C_{2} \ldots C_{n} V^{2}\left[r_{1}, r_{2} \ldots r_{n}, \alpha-\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}\right)\right]}
Integrala ecuației (29) se prezintă sub forma
y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x)+(Ae^([alpha-(r_(1)+r_(2)+dots+r_(n))]x))/(C_(1)C_(2)dotsC_(n)V^(2)[r_(1),r_(2),dots,r_(n),alpha-(r_(1)+r_(2)+dots+r_(n))])y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x}+\frac{A e^{\left[\alpha-\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}\right)\right] x}}{C_{1} C_{2} \ldots C_{n} V^{2}\left[r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}, \alpha-\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}\right)\right]}
y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x)+(Ae^([alpha-(r_(1)+r_(2)+dots+r_(n))]x))/(C_(1)C_(2)dotsC_(n)V^(2)[r_(1),r_(2),dots,r_(n),alpha-(r_(1)+r_(2)+dots+r_(n))])y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x}+\frac{A e^{\left[\alpha-\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}\right)\right] x}}{C_{1} C_{2} \ldots C_{n} V^{2}\left[r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}, \alpha-\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}\right)\right]}
Să considerăm însă și integralele ecuației diferențiale (31) de forma (17), adică
{:[y=[(C_(1))/((p_(1)-1)!)x^(p_(1)-1)+(C_(1,1))/((p_(1)-2)!)x^(p_(1)-2)+dots+C_(1,p_(1)-1)]e^(r_(2)x)],[+cdots cdots+cdots***********],[+[(C_(k-1))/((p_(k-1)-1)!)x^(p_(k-1)-1)+(C_(k-1,1))/((p_(k-1)-2)!)x^(p_(k-1)-2)+dots+C_(k-1,p_(k-1)-1)]e^(r_(k-1)x)],[(33)+[(C_(k))/((p_(k)-1)!)x^(p_(k)-1)+(C_(k-1,1))/((p_(k)-2)!)x^(p_(k)-2)+dots+C_(k,p_(k)-1)]e^(r_(k)x)]:}\begin{align*}
y & =\left[\frac{C_{1}}{\left(p_{1}-1\right)!} x^{p_{1}-1}+\frac{C_{1,1}}{\left(p_{1}-2\right)!} x^{p_{1}-2}+\ldots+C_{1, p_{1}-1}\right] e^{r_{2} x} \\
& +\cdots \cdots+\cdots \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
& +\left[\frac{C_{k-1}}{\left(p_{k-1}-1\right)!} x^{p_{k-1}-1}+\frac{C_{k-1,1}}{\left(p_{k-1}-2\right)!} x^{p_{k-1}-2}+\ldots+C_{k-1, p_{k-1}-1}\right] e^{r_{k-1} x} \\
& +\left[\frac{C_{k}}{\left(p_{k}-1\right)!} x^{p_{k}-1}+\frac{C_{k-1,1}}{\left(p_{k}-2\right)!} x^{p_{k}-2}+\ldots+C_{k, p_{k}-1}\right] e^{r_{k} x} \tag{33}
\end{align*}
unde
{:(34)p_(1)+p_(2)+dots+p_(k)=n+1:}\begin{equation*}
p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{k}=n+1 \tag{34}
\end{equation*}
iar r_(1),r_(2),dots,r_(k)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{k} sînt distincte. Conform formulei (18), avem
Delta_(n)[y]=(-1)^(k)C_(1)^(p_(1))C_(2)^(p_(2))dotsC_(k-1)^(p_(k-1))C_(k)^(p_(k))V^(2)(ubrace(r_(1),dots,r_(1))_(p_(1)" ori "),dots,ubrace(r_(k),dots,r_(k))_(p_(1)" ori "))e^((p_(1)r_(1)+dots+p_(k)r_(Lambda))x)\Delta_{n}[y]=(-1)^{k} C_{1}^{p_{1}} C_{2}^{p_{2}} \ldots C_{k-1}^{p_{k-1}} C_{k}^{p_{k}} V^{2}(\underbrace{r_{1}, \ldots, r_{1}}_{p_{1} \text { ori }}, \ldots, \underbrace{r_{k}, \ldots, r_{k}}_{p_{1} \text { ori }}) e^{\left(p_{1} r_{1}+\ldots+p_{k} r_{\Lambda}\right) x}
Pentru ca membrul al doilea să se reducă la Ae^(alpha x)A e^{\alpha x}, vom alege
{:[p_(1)r_(1)+dots+p_(k-1)r_(k-1)+p_(k)r_(k)=alpha],[(-1)^(k)C_(1)^(p_(1))C_(2)^(p_(2))dotsC_(k)^(p_(k))V^(2)(ubrace(r_(1),dots,r_(1))_(p_(1)" ori ")","dots","ubrace(r_(k),dots,r_(k))_(p_(k)" ori "))=A]:}\begin{gathered}
p_{1} r_{1}+\ldots+p_{k-1} r_{k-1}+p_{k} r_{k}=\alpha \\
(-1)^{k} C_{1}^{p_{1}} C_{2}^{p_{2}} \ldots C_{k}^{p_{k}} V^{2}(\underbrace{r_{1}, \ldots, r_{1}}_{p_{1} \text { ori }}, \ldots, \underbrace{r_{k}, \ldots, r_{k}}_{p_{k} \text { ori }})=A
\end{gathered}
unde numerele p_(1),p_(2),dots,p_(k-1),p_(k)p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k-1}, p_{k} sînt fixate astfel ca să avem relația (34) şi ca p_(k)!=0p_{k} \neq 0.
Atunci vom lua
{:(35)r_(k)=(alpha-(p_(1)r_(1)+dots+p_(k-1)r_(k-1)))/(p_(k)):}\begin{equation*}
r_{k}=\frac{\alpha-\left(p_{1} r_{1}+\ldots+p_{k-1} r_{k-1}\right)}{p_{k}} \tag{35}
\end{equation*}
numerele r_(1),r_(2),dots,r_(k-1)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{k-1} fiind astfel alese ca toate numerele r_(1),r_(2),dots,r_(k)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{k} să fie distincte.
Mai departe vom lua
C_(k)=root(p_(k))((A)/((-1)^(k)C_(1)^(p_(1))C_(2)^(p_(2))dotsC_(k-1)^(p_(k-1))V^(2)(ubrace(r_(1),dots,r_(1))_(p_(1)" ori "),dots,r_(p_(k),dots,r_(k))^(r_(k)))))C_{k}=\sqrt[p_{k}]{\frac{A}{(-1)^{k} C_{1}^{p_{1}} C_{2}^{p_{2}} \ldots C_{k-1}^{p_{k-1}} V^{2}(\underbrace{r_{1}, \ldots, r_{1}}_{p_{1} \text { ori }}, \ldots, r_{p_{k}, \ldots, r_{k}}^{r_{k}})}}
și atunci ecuația diferențială (29) mai are integralele date de formula (33), unde r_(k)r_{k} şi C_(k)C_{k} sînt date de formulele (35) și (36).
Exemple.
1^(@)1^{\circ}. Ecuatia lăntişorului. Aceasta este
Delta[y]=|[y,y^(')],[y^('),y^('')]|=1\Delta[y]=\left|\begin{array}{ll}
y & y^{\prime} \\
y^{\prime} & y^{\prime \prime}
\end{array}\right|=1
Integrala ei se găsește printre integralele ecuației diferențiale
Delta_(2)[y]=0\Delta_{2}[y]=0
Această ecuaţie are integrale de forma
{:(37)y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x):}\begin{equation*}
y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x} \tag{37}
\end{equation*}
şi
{:(38)y=(C_(1)x+C_(2))e^(r_(1)x):}\begin{equation*}
y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r_{1} x} \tag{38}
\end{equation*}
Pentru aceste integrale avem
{:[Delta_(1)[y]=C_(1)C_(2)(r_(1)-r_(2))^(2)e^((r_(1)+r_(2))x)],[Delta_(1)[y]=-C_(1)^(2)e^(2r_(1)x).]:}\begin{aligned}
& \Delta_{1}[y]=C_{1} C_{2}\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2} e^{\left(r_{1}+r_{2}\right) x} \\
& \Delta_{1}[y]=-C_{1}^{2} e^{2 r_{1} x} .
\end{aligned}
Pentru integralele de forma (37), ca să avem Delta_(1)[y]=1\Delta_{1}[y]=1 vom alege
r_(1)+r_(2)=0,quadr_(1)-r_(2)=(1)/(sqrt(C_(1)C_(2)))r_{1}+r_{2}=0, \quad r_{1}-r_{2}=\frac{1}{\sqrt{C_{1} C_{2}}}
care ne conduce la
{:('")"y=C_(1)e^((x)/(2sqrt(C_(1)C_(2))))+C_(2)e^(-(x)/(2sqrt(C_(1)C_(2)))):}\begin{equation*}
y=C_{1} e^{\frac{x}{2 \sqrt{C_{1} C_{2}}}}+C_{2} e^{-\frac{x}{2 \sqrt{C_{1} C_{2}}}} \tag{$\prime$}
\end{equation*}
Pentru integralele de forma (38), ca să avem Delta_(1)[y]=1\Delta_{1}[y]=1 vom alege r_(1)=0,C_(1)=ir_{1}=0, \mathrm{C}_{1}=i, ceea ce ne conduce la
{:(38')y=ix+C_(2):}\begin{equation*}
y=i x+C_{2} \tag{38'}
\end{equation*}
Integralele ecuației diferențiale a lănțişorului sînt (37^('))\left(37^{\prime}\right) şi (38^('))\left(38^{\prime}\right).
2^(@)2^{\circ}. Ecuatia lui Darboux. Este ecuația
2^(@)2^{\circ}. Ecuatia lui Darboux. Este ecuația
Delta_(2)[y]=|[y,y^('),y^('')],[y^('),y^(''),y^(''')],[y^(''),y^('''),y^('v)]|=1\Delta_{2}[y]=\left|\begin{array}{ccc}
y & y^{\prime} & y^{\prime \prime} \\
y^{\prime} & y^{\prime \prime} & y^{\prime \prime \prime} \\
y^{\prime \prime} & y^{\prime \prime \prime} & y^{\prime v}
\end{array}\right|=1
Integralele ei se găsesc printre integralele ecuației
care sînt de forma
care sînt de forma
Delta_(3)[y]=0\Delta_{3}[y]=0
{:[(39)y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+C_(3)e^(r_(3)x)],[(40)y=(C_(1)x+C_(2))e^(r_(1)x)+C_(3)e^(r_(3)x)],[(41)y=(C_(1)(x^(2))/(2)+C_(2)x+C_(3))e^(r_(1)x)]:}\begin{align*}
& y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+C_{3} e^{r_{3} x} \tag{39}\\
& y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r_{1} x}+C_{3} e^{r_{3} x} \tag{40}\\
& y=\left(C_{1} \frac{x^{2}}{2}+C_{2} x+C_{3}\right) e^{r_{1} x} \tag{41}
\end{align*}
Pentru aceste tipuri de integrale, avem
{:[Delta_(2)[y]=C_(1)C_(2)C_(3)V^(2)(r_(1),r_(2),r_(3))e^((r_(1)+r_(2)+r_(3))x)],[Delta_(2)[y]=-C_(1)^(2)C_(3)V^(2)(r_(1),r_(1),r_(3))e^((2r_(1)+r_(3))x)],[Delta_(2)[y]=-C_(1)^(3)e^(3r_(1)x)]:}\begin{aligned}
& \Delta_{2}[y]=C_{1} C_{2} C_{3} V^{2}\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right) e^{\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right) x} \\
& \Delta_{2}[y]=-C_{1}^{2} C_{3} V^{2}\left(r_{1}, r_{1}, r_{3}\right) e^{\left(2 r_{1}+r_{3}\right) x} \\
& \Delta_{2}[y]=-C_{1}^{3} e^{3 r_{1} x}
\end{aligned}
Pentru ca Delta_(2)[y]\Delta_{2}[y] să fie egal cu 1, vom alege în primul caz
r_(3)=-(r_(1)+r_(2)),C_(3)=(1)/(C_(1)C_(2)V^(2)[r_(1),r_(2),-(r_(1)+r_(2))])r_{3}=-\left(r_{1}+r_{2}\right), C_{3}=\frac{1}{C_{1} C_{2} V^{2}\left[r_{1}, r_{2},-\left(r_{1}+r_{2}\right)\right]}
în al doilea caz
r_(3)=-2r_(1),quadC_(3)=-(1)/(C_(1)^(2)V^(2)(r_(1),r_(1),-2r_(1)))r_{3}=-2 r_{1}, \quad C_{3}=-\frac{1}{C_{1}^{2} V^{2}\left(r_{1}, r_{1},-2 r_{1}\right)}
iar în al treilea caz
r_(1)=0quadC_(1)=-1r_{1}=0 \quad C_{1}=-1
Aceasta ne conduce la următoarele integrale ale ecuației lui Darboux:
{:[(39)y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+(e^(-(r_(1)+r_(2))x))/(C_(1)C_(2)(r_(2)-r_(1))^(2)(2r_(1)+r_(2))^(2)(r_(1)+2r_(2))^(2))],[('")"y=(C_(1)x+C_(2))e^(r_(1)x)-(e^(-2r_(1)x))/(81C_(1)^(2)r_(1)^(4))],[(41́)y=-(x^(2))/(2)+C_(2)x+C_(3)]:}\begin{align*}
& y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+\frac{e^{-\left(r_{1}+r_{2}\right) x}}{C_{1} C_{2}\left(r_{2}-r_{1}\right)^{2}\left(2 r_{1}+r_{2}\right)^{2}\left(r_{1}+2 r_{2}\right)^{2}} \tag{39}\\
& y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r_{1} x}-\frac{e^{-2 r_{1} x}}{81 C_{1}^{2} r_{1}^{4}} \tag{$\prime$}\\
& y=-\frac{x^{2}}{2}+C_{2} x+C_{3} \tag{41́}
\end{align*}
BIBLIOGRAFIE
- H. Löwner, Über monotone Matrixfunctionen. Math. Zeit., 38 (1934) 177-216.
- G. Darboux, Sur une équation différentielle du quatriòme ordre. C. R. de l'Ac. des Sci. de Paris, t. CXLI, p. 415-417.
-
- Sur une équation différentielle du quatrième ordre, C. R. de l'Ac. des Sci. de Paris, t. CXLI, p. 483-484.
- A. G. Kuros, Curs de algebră superioară. Ed. tehnică, Buc., 1955, p. 133.
- Th. J. Stieltjes, Quelques recherches sur la théorie des quadratures dites mécaniques. Ann. de 1'Ecole Normale Supérieure, 1884, p. 409-426.
- D. V. Ionescu, Cuadraturi numerice. Ed. tehnică, Buc., 1957, p. 262.
Ингегрирование одного дифференциального уравнения
(Краткое содержание)
В этой работе интегрируется дифференциальное уравнение, (1) Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0 и дифференциальное уравнение (2) Delta_(n)[y]=Ae^(alpha x)\Delta_{n}[y]=A e^{\alpha x}, где А и alpha\alpha константы. Уравнение Delta_(1)[y]=1\Delta_{1}[y]=1 явяляется дифференциальным уравнением цепной линии, а уравнение Delta_(2)[y]=1\Delta_{2}[y]=1 была изучена Г. Дарбу [1,2][1,2].
В этой работе интегрируется дифференциальное уравнение, (1) Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0 и дифференциальное уравнение (2) Delta_(n)[y]=Ae^(alpha x)\Delta_{n}[y]=A e^{\alpha x}, где А и alpha\alpha константы. Уравнение Delta_(1)[y]=1\Delta_{1}[y]=1 явяляется дифференциальным уравнением цепной линии, а уравнение Delta_(2)[y]=1\Delta_{2}[y]=1 была изучена Г. Дарбу [1,2][1,2].
Интегралы уравнения Delta_(n)^(F)[y]=A\Delta_{n}^{F}[y]=A, для которых Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0, даны формулами (10) и (17) и они верны во всем интервале ( -oo,+oo-\infty,+\infty ).
Для этих интегралов имеем формулы (12) и (18), которые верны в интервале (-oo,+oo)(-\infty,+\infty).
Доказывается, что любой итеграл уравнения Delta_(q)[y]=0\Delta_{q}[y]=0 с Delta_(q-1)[y]!=0\Delta_{q-1}[y] \neq 0, где q < nq<n, является также интегралом Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0.
С помощью этих результатов, получаются все интегралы дифференциального уравнения Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0.
В качестве применения, интегрируется дифференциальное уравнение (2), предварительно доказывая тождество (30), которое сводит отыскание интегралов уравнения (2) к интегрированию уравнения Delta_(n+1)[y]=0\Delta_{n+1}[y]=0. Результаты даны формулами (32) и (33), где Υ_(k)\Upsilon_{k} и C_(k)C_{k} даны формулами (35) и (36).
Интегралы дифференциального уравнения Дарбу (4) даны посредством формул (39'), (40'), (41').
L'intégration d'une équation différentielle
(Résumé)
Dans ce mémoire on intègre l'équation différentielle(1), Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0 et l'équation différentielle (2) Delta_(n)[y]=Aepsilon^(alpha r)\Delta_{n}[y]=A \epsilon^{\alpha r}, où AA et alpha\alpha sont des constantes. L'équation Delta_(1)[y]=1\Delta_{1}[y]=1 est l'équation différentielle de la chaînette et l'équation Delta_(2)[y]=1\Delta_{2}[y]=1 a été étudiée par G. Darboux [1,2][1,2].
Dans ce mémoire on intègre l'équation différentielle(1), Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0 et l'équation différentielle (2) Delta_(n)[y]=Aepsilon^(alpha r)\Delta_{n}[y]=A \epsilon^{\alpha r}, où AA et alpha\alpha sont des constantes. L'équation Delta_(1)[y]=1\Delta_{1}[y]=1 est l'équation différentielle de la chaînette et l'équation Delta_(2)[y]=1\Delta_{2}[y]=1 a été étudiée par G. Darboux [1,2][1,2].
Les intégrales de l'équation Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0 pour lesquelles Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0 sont données par les formules (10) et (17) valables dans l'intervalle ( -oo-\infty, +oo)+\infty). Pour ces intégrales on a les formules (12) et (18), valables dans 1'intervalle ( -oo,+oo-\infty,+\infty ).
On démontre aussi que toute intégrale de l'équation Delta_(q)[y]=0\Delta_{q}[y]=0, avec Delta_(q-1)[y]!=0\Delta_{q-1}[y] \neq 0, où q < nq<n, est également intégrale de l'équation Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0.
A l'aide de ces résultats on obtient toutes les intégrales de l'équation différentielle Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0.
Comme application on intègre l'équation différentielle (2), en démontrant au préalable l'identité (30) qui amène la recherche des intégrales de l'équation (2) à l'intégration de l'équation Delta_(n+1)[y]=0\Delta_{n+1}[y]=0. Les résultats sont donnés par les formules (32) et (33) où Υ_(k)\Upsilon_{k} et C_(k)C_{k} sont données par les formules (35) et (36).
Les intégrales de l'équation différentielle (4) de Darboux sont données par les formules (39^(')),(40^(')),(41^('))\left(39^{\prime}\right),\left(40^{\prime}\right),\left(41^{\prime}\right).