Integrarea unei ecuații diferențiale

D.V. Ionescu
articol, lucrari, pdf

Abstract

 

Autori

Dumitru V. Ionescu
Institutul de Calcul

Cuvinte cheie

PDF

https://ictp.acad.ro/scm/journal/article/view/16/16/

Citați articolul în forma

D.V. Ionescu, Integrarea unei ecuații diferențiale (Romanian) Acad. R. P. Romîne. Fil. Cluj. Stud. Cerc. Mat. 8 1957 275–289.

Despre acest articol

Journal

Studii şi cercetări matematice

Publisher Name

Academia Republicii S.R.

DOI

https://ictp.acad.ro/scm/journal/article/view/16

Print ISSN

Not available yet.

Online ISSN

Not available yet.

Google Scholar Profile

Referințe

??

Lucrare in format HTML

scm,+1957-Ionescu

INTEGRAREA UNEI ECUATTII DIFERENTIALE

DED. V. IONESCU

În această lucrare ne vom ocupa cu integrarea ecuației diferențiale
(1) Δ n [ y ] = | y y ′ … y ( n ) y ′ y ′ ′ … y ( n + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y ( n ) y ( n + 1 ) … y ( 2 n ) | = 0 (1) Δ n [ y ] = y y ′ … y ( n ) y ′ y ′ ′ … y ( n + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y ( n ) y ( n + 1 ) … y ( 2 n ) = 0 {:(1)Delta_(n)[y]=|[y,y^('),dots,y^((n))],[y^('),y^(''),dots,y^((n+1))],[*,*,*,*],[y^((n)),y^((n+1)),dots,y^((2n))]|=0:}\Delta_{n}[y]=\left|\begin{array}{cccc} y & y^{\prime} & \ldots & y^{(n)} \tag{1}\\ y^{\prime} & y^{\prime \prime} & \ldots & y^{(n+1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ y^{(n)} & y^{(n+1)} & \ldots & y^{(2 n)} \end{array}\right|=0(1)Δn[y]=|yy′…y(n)y′y′′…y(n+1)⋅⋅⋅⋅y(n)y(n+1)…y(2n)|=0
Această problemă a fost pusă de prof. T. Popoviciu cu ocazia unui referat ținut la Institutul de calcul din Cluj relativ la o lucrare a lui H. Lö w ne r despre funcțiile monotone de matrici [1].
Vom integra de asemenea ecuația diferențială
(2) Δ n [ y ] = A e α x (2) Δ n [ y ] = A e α x {:(2)Delta_(n)[y]=Ae^(alpha x):}\begin{equation*} \Delta_{n}[y]=A e^{\alpha x} \tag{2} \end{equation*}(2)Δn[y]=Aeαx
unde A A AAA şi α α alpha\alphaα sînt constante.
Reamintim că
(3) Δ 1 [ y ] = 1 (3) Δ 1 [ y ] = 1 {:(3)Delta_(1)[y]=1:}\begin{equation*} \Delta_{1}[y]=1 \tag{3} \end{equation*}(3)Δ1[y]=1
este ecuația lănțişorului şi că ecuația
(4) Δ 2 [ y ] = 1 (4) Δ 2 [ y ] = 1 {:(4)Delta_(2)[y]=1:}\begin{equation*} \Delta_{2}[y]=1 \tag{4} \end{equation*}(4)Δ2[y]=1
a fost studiată de G. Darboux [2]. Indicații pentru integrarea ecuației diferențiale (2) au fost date de G. Darboux [3]. Noi nu vom urmări metoda dată de G. Darboux, ci vom da o metodă directă de integrare a ecuațiilor (1) şi (2), pe care o vom aplica apoi la cazurile particulare (3) și (4.)
  1. Fie y y yyy o integrală a ecuației diferențiale Δ n ( y ) Δ n ( y ) Delta_(n)(y)\Delta_{n}(y)Δn(y) continuă şi cu derivate succesive continue pînă la ordinul 2 n 2 n 2n2 n2n inclusiv într-un interval ( α , β α , β alpha,beta\alpha, \betaα,β ), care poate fi ( − ∞ , + ∞ ) ( − ∞ , + ∞ ) (-oo,+oo)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞). Ea poate anula identic coeficientul lui y ( 2 n ) y ( 2 n ) y^((2n))y^{(2 n)}y(2n) din ecuația Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0, adică pe Δ n − 1 [ y ] Δ n − 1 [ y ] Delta_(n-1)[y]\Delta_{n-1}[y]Δn−1[y], sau nu. Ne vom ocupa mai departe de primul caz şi vom considera acum cazul cînd Δ n − 1 [ y ] Δ n − 1 [ y ] Delta_(n-1)[y]\Delta_{n-1}[y]Δn−1[y] nu este identic nul în intervalul ( α , β ) ( α , β ) (alpha,beta)(\alpha, \beta)(α,β). Atunci pentru un punct x 0 x 0 x_(0)x_{0}x0 din acest interval, avem Δ n − 1 [ y ( x 0 ) ] ≠ 0 Δ n − 1 y x 0 ≠ 0 Delta_(n-1)[y(x_(0))]!=0\Delta_{n-1}\left[y\left(x_{0}\right)\right] \neq 0Δn−1[y(x0)]≠0 şi Δ n − 1 [ y ] Δ n − 1 [ y ] Delta_(n-1)[y]\Delta_{n-1}[y]Δn−1[y] fiind o funcţie continuă de x x xxx în intervalul ( α , β ) ( α , β ) (alpha,beta)(\alpha, \beta)(α,β), se poate determina.
    un interval ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b) inclus în intervalul ( α , β ) ( α , β ) (alpha,beta)(\alpha, \beta)(α,β) și care contine punctul x 0 x 0 x_(0)x_{0}x0, pentru care Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0Δn−1[y]≠0. Ne vom plasa prin urmare în intervalul ( a , b a , b a,ba, ba,b ) și vom determina integralele y y yyy ale ecuației diferentiale Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0, care sînt astfel încît Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0Δn−1[y]≠0. O dată ce aceste integrale vor fi determinate, vom arăta că intervalele ( α , β ) ( α , β ) (alpha,beta)(\alpha, \beta)(α,β) si ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b) se pot extinde la intervalul ( − ∞ , + ∞ ) ( − ∞ , + ∞ ) (-oo,+oo)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞).
Să determinăm pentru o astfel de integrală y y yyy, funcţiile λ 0 ( x ) , λ 1 ( x ) … , λ n − 1 ( x ) λ 0 ( x ) , λ 1 ( x ) … , λ n − 1 ( x ) lambda_(0)(x),lambda_(1)(x)dots,lambda_(n-1)(x)\lambda_{0}(x), \lambda_{1}(x) \ldots, \lambda_{n-1}(x)λ0(x),λ1(x)…,λn−1(x) prin ecuațiile liniare
(5) λ 0 ( x ) y + λ 1 ( x ) y ′ + … + λ n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + y ( n ) = 0 λ 0 ( x ) y ′ + λ 1 ( x ) y ′ ′ + … + λ n − 1 ( x ) y ( n ) + y ( n + 1 ) = 0 λ 0 ( x ) y ( n − 1 ) + λ 1 ( x ) y ( n ) + … + λ n − 1 ( x ) y ( 2 n − 2 ) + y ( 2 n − 1 ) = 0 (5) λ 0 ( x ) y + λ 1 ( x ) y ′ + … + λ n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + y ( n ) = 0 λ 0 ( x ) y ′ + λ 1 ( x ) y ′ ′ + … + λ n − 1 ( x ) y ( n ) + y ( n + 1 ) = 0 λ 0 ( x ) y ( n − 1 ) + λ 1 ( x ) y ( n ) + … + λ n − 1 ( x ) y ( 2 n − 2 ) + y ( 2 n − 1 ) = 0 {:(5){:[lambda_(0)(x)y+lambda_(1)(x)y^(')+dots+lambda_(n-1)(x)y^((n-1))+y^((n))=0],[lambda_(0)(x)y^(')+lambda_(1)(x)y^('')+dots+lambda_(n-1)(x)y^((n))+y^((n+1))=0],[lambda_(0)(x)y^((n-1))+lambda_(1)(x)y^((n))+dots+lambda_(n-1)(x)y^((2n-2))+y^((2n-1))=0]:}:}\begin{array}{lll} \lambda_{0}(x) y+\lambda_{1}(x) y^{\prime}+\ldots+\lambda_{n-1}(x) y^{(n-1)}+y^{(n)}=0 \\ \lambda_{0}(x) y^{\prime}+\lambda_{1}(x) y^{\prime \prime}+\ldots+\lambda_{n-1}(x) y^{(n)}+y^{(n+1)}=0 \tag{5}\\ \lambda_{0}(x) y^{(n-1)}+\lambda_{1}(x) y^{(n)}+\ldots+\lambda_{n-1}(x) y^{(2 n-2)}+y^{(2 n-1)}=0 \end{array}(5)λ0(x)y+λ1(x)y′+…+λn−1(x)y(n−1)+y(n)=0λ0(x)y′+λ1(x)y′′+…+λn−1(x)y(n)+y(n+1)=0λ0(x)y(n−1)+λ1(x)y(n)+…+λn−1(x)y(2n−2)+y(2n−1)=0
Aceasta este posibil deoarece determinantul sistemului este Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0Δn−1[y]≠0. Functiile λ 0 ( x ) , λ 1 ( x ) , … , λ n − 1 ( x ) λ 0 ( x ) , λ 1 ( x ) , … , λ n − 1 ( x ) lambda_(0)(x),lambda_(1)(x),dots,lambda_(n-1)(x)\lambda_{0}(x), \lambda_{1}(x), \ldots, \lambda_{n-1}(x)λ0(x),λ1(x),…,λn−1(x) sînt și derivabile. Din cauza ecuației diferențiale (1), putem adăuga la ecuațiile precedente și ecuația
( ′ ) λ 0 ( x ) y ( n ) + λ 1 ( x ) y ( n + 1 ) + … + λ n − 1 ( x ) y ( 2 n − 1 ) + y ( 2 n ) = 0 ( ′ ) λ 0 ( x ) y ( n ) + λ 1 ( x ) y ( n + 1 ) + … + λ n − 1 ( x ) y ( 2 n − 1 ) + y ( 2 n ) = 0 {:('")"lambda_(0)(x)y^((n))+lambda_(1)(x)y^((n+1))+dots+lambda_(n-1)(x)y^((2n-1))+y^((2n))=0:}\begin{equation*} \lambda_{0}(x) y^{(n)}+\lambda_{1}(x) y^{(n+1)}+\ldots+\lambda_{n-1}(x) y^{(2 n-1)}+y^{(2 n)}=0 \tag{$\prime$} \end{equation*}(′)λ0(x)y(n)+λ1(x)y(n+1)+…+λn−1(x)y(2n−1)+y(2n)=0
Derivînd pe rînd fiecare ecuaţie (5) şi ţinînd seama de ecuatia următoare, ultima fiind ( 5 ′ 5 ′ 5^(')5^{\prime}5′ ), se deduc ecuatiile
λ 0 ′ ( x ) y + λ 1 ′ ( x ) y ′ + … + λ n − 1 ′ ( x ) y ( n − 1 ) = 0 λ 0 ′ ( x ) y ′ + λ 1 ′ ( x ) y ′ ′ + … + λ n − 1 ′ ( x ) y ( n ) = 0 λ 0 ′ ( x ) y ( n − 1 ) + λ 1 ′ ( x ) y ( n ) + … + λ n − 1 ′ ( x ) y ( 2 n − 2 ) = 0 λ 0 ′ ( x ) y + λ 1 ′ ( x ) y ′ + … + λ n − 1 ′ ( x ) y ( n − 1 ) = 0 λ 0 ′ ( x ) y ′ + λ 1 ′ ( x ) y ′ ′ + … + λ n − 1 ′ ( x ) y ( n ) = 0 λ 0 ′ ( x ) y ( n − 1 ) + λ 1 ′ ( x ) y ( n ) + … + λ n − 1 ′ ( x ) y ( 2 n − 2 ) = 0 {:[lambda_(0)^(')(x)y+lambda_(1)^(')(x)y^(')+dots+lambda_(n-1)^(')(x)y^((n-1))=0],[lambda_(0)^(')(x)y^(')+lambda_(1)^(')(x)y^('')+dots+lambda_(n-1)^(')(x)y^((n))=0],[lambda_(0)^(')(x)y^((n-1))+lambda_(1)^(')(x)y^((n))+dots+lambda_(n-1)^(')(x)y^((2n-2))=0]:}\begin{aligned} & \lambda_{0}^{\prime}(x) y+\lambda_{1}^{\prime}(x) y^{\prime}+\ldots+\lambda_{n-1}^{\prime}(x) y^{(n-1)}=0 \\ & \lambda_{0}^{\prime}(x) y^{\prime}+\lambda_{1}^{\prime}(x) y^{\prime \prime}+\ldots+\lambda_{n-1}^{\prime}(x) y^{(n)}=0 \\ & \lambda_{0}^{\prime}(x) y^{(n-1)}+\lambda_{1}^{\prime}(x) y^{(n)}+\ldots+\lambda_{n-1}^{\prime}(x) y^{(2 n-2)}=0 \end{aligned}λ0′(x)y+λ1′(x)y′+…+λn−1′(x)y(n−1)=0λ0′(x)y′+λ1′(x)y′′+…+λn−1′(x)y(n)=0λ0′(x)y(n−1)+λ1′(x)y(n)+…+λn−1′(x)y(2n−2)=0
liniare şi omogene în λ 0 ′ ( x ) , λ 1 ′ ( x ) , … , λ n − 1 ′ ( x ) λ 0 ′ ( x ) , λ 1 ′ ( x ) , … , λ n − 1 ′ ( x ) lambda_(0)^(')(x),lambda_(1)^(')(x),dots,lambda_(n-1)^(')(x)\lambda_{0}^{\prime}(x), \lambda_{1}^{\prime}(x), \ldots, \lambda_{n-1}^{\prime}(x)λ0′(x),λ1′(x),…,λn−1′(x) cu determinantul Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0Δn−1[y]≠0. Rezultă că
λ 0 ′ ( x ) = 0 , λ 1 ′ ( x ) = 0 , … , λ n − 1 ′ ( x ) = 0 λ 0 ′ ( x ) = 0 , λ 1 ′ ( x ) = 0 , … , λ n − 1 ′ ( x ) = 0 lambda_(0)^(')(x)=0,quadlambda_(1)^(')(x)=0,dots,quadlambda_(n-1)^(')(x)=0\lambda_{0}^{\prime}(x)=0, \quad \lambda_{1}^{\prime}(x)=0, \ldots, \quad \lambda_{n-1}^{\prime}(x)=0λ0′(x)=0,λ1′(x)=0,…,λn−1′(x)=0
adică
λ 0 ( x ) = A n , λ 1 ( x ) = A n − 1 , … , λ n − 1 ( x ) = A 1 λ 0 ( x ) = A n , λ 1 ( x ) = A n − 1 , … , λ n − 1 ( x ) = A 1 lambda_(0)(x)=A_(n),quadlambda_(1)(x)=A_(n-1),dots,quadlambda_(n-1)(x)=A_(1)\lambda_{0}(x)=A_{n}, \quad \lambda_{1}(x)=A_{n-1}, \ldots, \quad \lambda_{n-1}(x)=A_{1}λ0(x)=An,λ1(x)=An−1,…,λn−1(x)=A1
A 1 , A 2 , … , A n A 1 , A 2 , … , A n A_(1),A_(2),dots,A_(n)A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}A1,A2,…,An fiind constante ataşate funcției y ( x ) y ( x ) y(x)y(x)y(x); făcînd în sistemul de ecuații (5) x = x 0 x = x 0 x=x_(0)x=x_{0}x=x0, observăm că A 1 , A 2 , … , A n A 1 , A 2 , … , A n A_(1),A_(2),dots,A_(n)A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}A1,A2,…,An, sînt date de ecuațiile
A n y 0 + A n − 1 y 0 ′ + … + A 1 y 0 ( n − 1 ) + y 0 ( n ) = 0 A n y 0 ′ + A n − 1 y 0 ′ ′ + … + A 1 y 0 ( n ) + y 0 ( n + 1 ) = 0 (6) A n y 0 ( n − 1 ) + A n − 1 y 0 ( n ) + … + A 1 y 0 ( 2 n − 2 ) + y 0 ( 2 n − 1 ) = 0 A n y 0 + A n − 1 y 0 ′ + … + A 1 y 0 ( n − 1 ) + y 0 ( n ) = 0 A n y 0 ′ + A n − 1 y 0 ′ ′ + … + A 1 y 0 ( n ) + y 0 ( n + 1 ) = 0 (6) A n y 0 ( n − 1 ) + A n − 1 y 0 ( n ) + … + A 1 y 0 ( 2 n − 2 ) + y 0 ( 2 n − 1 ) = 0 {:[A_(n)y_(0)+A_(n-1)y_(0)^(')+dots+A_(1)y_(0)^((n-1))+y_(0)^((n))=0],[A_(n)y_(0)^(')+A_(n-1)y_(0)^('')+dots+A_(1)y_(0)^((n))+y_(0)^((n+1))=0],[(6)A_(n)y_(0)^((n-1))+A_(n-1)y_(0)^((n))+dots+A_(1)y_(0)^((2n-2))+y_(0)^((2n-1))=0]:}\begin{align*} & A_{n} y_{0}+A_{n-1} y_{0}^{\prime}+\ldots+A_{1} y_{0}^{(n-1)}+y_{0}^{(n)}=0 \\ & A_{n} y_{0}^{\prime}+A_{n-1} y_{0}^{\prime \prime}+\ldots+A_{1} y_{0}^{(n)}+y_{0}^{(n+1)}=0 \\ & A_{n} y_{0}^{(n-1)}+A_{n-1} y_{0}^{(n)}+\ldots+A_{1} y_{0}^{(2 n-2)}+y_{0}^{(2 n-1)}=0 \tag{6} \end{align*}Any0+An−1y0′+…+A1y0(n−1)+y0(n)=0Any0′+An−1y0′′+…+A1y0(n)+y0(n+1)=0(6)Any0(n−1)+An−1y0(n)+…+A1y0(2n−2)+y0(2n−1)=0
unde
(7) y ( k ) ( x 0 ) = y 0 ( k ) ( k = 0 , 1 , 2 , … , 2 n − 1 ) (7) y ( k ) x 0 = y 0 ( k ) ( k = 0 , 1 , 2 , … , 2 n − 1 ) {:(7)y^((k))(x_(0))=y_(0)^((k))quad(k=0","1","2","dots","2n-1):}\begin{equation*} y^{(k)}\left(x_{0}\right)=y_{0}^{(k)} \quad(k=0,1,2, \ldots, 2 n-1) \tag{7} \end{equation*}(7)y(k)(x0)=y0(k)(k=0,1,2,…,2n−1)
sînt conditiile lui Cauchy.
Rezultă că orice integrală a ecuatiei diferentiale (1) pentru care Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0Δn−1[y]≠0, este integrala ecuatiei diferentiale
(8) y ( n ) + A 1 y ( n − 1 ) + … + A n y = 0 (8) y ( n ) + A 1 y ( n − 1 ) + … + A n y = 0 {:(8)y^((n))+A_(1)y^((n-1))+dots+A_(n)y=0:}\begin{equation*} y^{(n)}+A_{1} y^{(n-1)}+\ldots+A_{n} y=0 \tag{8} \end{equation*}(8)y(n)+A1y(n−1)+…+Any=0
cu coeficienți constanți A 1 , A 2 , … , A n A 1 , A 2 , … , A n A_(1),A_(2),dots,A_(n)A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}A1,A2,…,An determinați prin sistemul de ecuatii liniare (6) de conditiile lui Cauchy.
Invers, orice integrală a ecuatiei cu coeticienți constanți (8), pentru care Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0Δn−1[y]≠0, este integrală a ecuatiei diferentiale (1), ceea ce se dovedeşte imediat.
2. Ecuația caracteristică a ecuației diferențiale (8) se obține eliminînd pe A 1 , A 2 , … , A n A 1 , A 2 , … , A n A_(1),A_(2),dots,A_(n)A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}A1,A2,…,An, între ecuaţiile (6) şi ecuaţia
(9) r n + A 1 r n − 1 + … + A n = 0 (9) r n + A 1 r n − 1 + … + A n = 0 {:(9)r^(n)+A_(1)r^(n-1)+dots+A_(n)=0:}\begin{equation*} r^{n}+A_{1} r^{n-1}+\ldots+A_{n}=0 \tag{9} \end{equation*}(9)rn+A1rn−1+…+An=0
Aceasta este posibil deoarece s-a presupus Δ n − 1 [ y ( x 0 ) ] ≠ 0 Δ n − 1 y x 0 ≠ 0 Delta_(n-1)[y(x_(0))]!=0\Delta_{n-1}\left[y\left(x_{0}\right)\right] \neq 0Δn−1[y(x0)]≠0. Ecuaţia caracteristică este deci
( ′ ) φ ( r ) = | 1 r r 2 … r n y 0 y 0 ′ y 0 ′ ′ … y 0 ( n ) y 0 ′ y 0 ′ ′ y 0 ′ ′ ′ … y 0 ( n + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y 0 ( n − 1 ) y 0 ( n ) y 0 ( n + 1 ) … y 0 ( 2 n − 1 ) | = 0 ( ′ ) φ ( r ) = 1 r r 2 … r n y 0 y 0 ′ y 0 ′ ′ … y 0 ( n ) y 0 ′ y 0 ′ ′ y 0 ′ ′ ′ … y 0 ( n + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y 0 ( n − 1 ) y 0 ( n ) y 0 ( n + 1 ) … y 0 ( 2 n − 1 ) = 0 {:('")"varphi(r)=|[1,r,r^(2),dots,r^(n)],[y_(0),y_(0)^('),y_(0)^(''),dots,y_(0)^((n))],[y_(0)^('),y_(0)^(''),y_(0)^('''),dots,y_(0)^((n+1))],[*,*,*,*,*],[*,*,*],[y_(0)^((n-1)),y_(0)^((n)),y_(0)^((n+1)),dots,y_(0)^((2n-1))]|=0:}\varphi(r)=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & r & r^{2} & \ldots & r^{n} \tag{$\prime$}\\ y_{0} & y_{0}^{\prime} & y_{0}^{\prime \prime} & \ldots & y_{0}^{(n)} \\ y_{0}^{\prime} & y_{0}^{\prime \prime} & y_{0}^{\prime \prime \prime} & \ldots & y_{0}^{(n+1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ y_{0}^{(n-1)} & y_{0}^{(n)} & y_{0}^{(n+1)} & \ldots & y_{0}^{(2 n-1)} \end{array}\right|=0(′)φ(r)=|1rr2…rny0y0′y0′′…y0(n)y0′y0′′y0′′′…y0(n+1)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅y0(n−1)y0(n)y0(n+1)…y0(2n−1)|=0
Să presupunem că condițiile inițiale (7) sînt astfel alese ca ecuatia caracteristică ( 9 ′ 9 ′ 9^(')9^{\prime}9′ ) så aibă toate rădăcinile r 1 , r 2 , … , r n r 1 , r 2 , … , r n r_(1),r_(2),dots,r_(n)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}r1,r2,…,rn distincte. In acest caz
(10) y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + … + C n e r n x (10) y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + … + C n e r n x {:(10)y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x):}\begin{equation*} y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x} \tag{10} \end{equation*}(10)y=C1er1x+C2er2x+…+Cnernx
este integrală a ecuației diferențiale (8) și va fi integrală a ecuației diferențiale (1), dacă arătăm că Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0Δn−1[y]≠0, ceea ce se întînıplă cînd
(11) C 1 C 2 … C n ≠ 0 (11) C 1 C 2 … C n ≠ 0 {:(11)C_(1)C_(2)dotsC_(n)!=0:}\begin{equation*} C_{1} C_{2} \ldots C_{n} \neq 0 \tag{11} \end{equation*}(11)C1C2…Cn≠0
Într-adevăr
Δ n − 1 [ y ] = | C 1 e r 1 x C 2 e r 2 x … C n e r n x C 1 r 1 e r 1 x C 2 r 2 e r 2 x … C n r n e r n x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ C 1 r 1 n − 1 e r 1 x C 2 r 2 n − 1 e r 2 x … C n r n n − 1 e r n x | ⋅ | 1 r 1 … r 1 n − 1 1 r 2 … r 2 n − 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 r n … r n n − 1 | Δ n − 1 [ y ] = C 1 e r 1 x C 2 e r 2 x … C n e r n x C 1 r 1 e r 1 x C 2 r 2 e r 2 x … C n r n e r n x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ C 1 r 1 n − 1 e r 1 x C 2 r 2 n − 1 e r 2 x … C n r n n − 1 e r n x ⋅ 1 r 1 … r 1 n − 1 1 r 2 … r 2 n − 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 r n … r n n − 1 Delta_(n-1)[y]=|[C_(1)e^(r_(1)x),C_(2)e^(r_(2)x),dots,C_(n)e^(r_(n)x)],[C_(1)r_(1)e^(r_(1)x),C_(2)r_(2)e^(r_(2)x),dots,C_(n)r_(n)e^(r_(n)x)],[*,*,*,*],[C_(1)r_(1)^(n-1)e^(r_(1)x),C_(2)r_(2)^(n-1)e^(r_(2)x),dots,C_(n)r_(n)^(n-1)e^(r_(n)x)]|*|[1,r_(1),dots,r_(1)^(n-1)],[1,r_(2),dots,r_(2)^(n-1)],[*,*,*,*],[1,r_(n),dots,r_(n)^(n-1)]|\Delta_{n-1}[y]=\left|\begin{array}{cccc} C_{1} e^{r_{1} x} & C_{2} e^{r_{2} x} & \ldots & C_{n} e^{r_{n} x} \\ C_{1} r_{1} e^{r_{1} x} & C_{2} r_{2} e^{r_{2} x} & \ldots & C_{n} r_{n} e^{r_{n} x} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ C_{1} r_{1}^{n-1} e^{r_{1} x} & C_{2} r_{2}^{n-1} e^{r_{2} x} & \ldots & C_{n} r_{n}^{n-1} e^{r_{n} x} \end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{cccc} 1 & r_{1} & \ldots & r_{1}^{n-1} \\ 1 & r_{2} & \ldots & r_{2}^{n-1} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 1 & r_{n} & \ldots & r_{n}^{n-1} \end{array}\right|Δn−1[y]=|C1er1xC2er2x…CnernxC1r1er1xC2r2er2x…Cnrnernx⋅⋅⋅⋅C1r1n−1er1xC2r2n−1er2x…Cnrnn−1ernx|⋅|1r1…r1n−11r2…r2n−1⋅⋅⋅⋅1rn…rnn−1|
adică
(12) Δ n − 1 [ y ] = C 1 C 2 … C n V 2 ( r 1 , r 2 , … , r n ) e ( r 1 + r 2 + … + r n ) x (12) Δ n − 1 [ y ] = C 1 C 2 … C n V 2 r 1 , r 2 , … , r n e r 1 + r 2 + … + r n x {:(12)Delta_(n-1)[y]=C_(1)C_(2)dotsC_(n)V^(2)(r_(1),r_(2),dots,r_(n))e^((r_(1)+r_(2)+dots+r_(n))x):}\begin{equation*} \Delta_{n-1}[y]=C_{1} C_{2} \ldots C_{n} V^{2}\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right) e^{\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}\right) x} \tag{12} \end{equation*}(12)Δn−1[y]=C1C2…CnV2(r1,r2,…,rn)e(r1+r2+…+rn)x
unde V ( r 1 , r 2 , … , r n ) V r 1 , r 2 , … , r n V(r_(1),r_(2),dots,r_(n))V\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\right)V(r1,r2,…,rn) este determinantul lui Vandermonde al numerelor distincte r 1 , r 2 , … , r n r 1 , r 2 , … , r n r_(1),r_(2),dots,r_(n)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}r1,r2,…,rn. Cînd condiția (11) este indeplinită, formula (10) este o integrală a ecuației diferențiale (1). Această integrală este definită în intervalul ( − ∞ , + ∞ ) ( − ∞ , + ∞ ) (-oo,+oo)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) şi condiţia Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0Δn−1[y]≠0 este valabilă în intervalul ( − ∞ , + ∞ ) ( − ∞ , + ∞ ) (-oo,+oo)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞).
Integrala care corespunde la condițiile lui Cauchy (7) se obține determinînd pe A 1 , A 2 , … , A n A 1 , A 2 , … , A n A_(1),A_(2),dots,A_(n)A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}A1,A2,…,An din ecuațiile (6) și apoi punînd
(13) C 1 e r 1 x 0 = C 1 ′ , C 1 e r 2 x 0 = C 2 ′ , … , C n e r n x 0 = C n ′ (13) C 1 e r 1 x 0 = C 1 ′ , C 1 e r 2 x 0 = C 2 ′ , … , C n e r n x 0 = C n ′ {:(13)C_(1)e^(r_(1)x_(0))=C_(1)^(')","quadC_(1)e^(r_(2)x_(0))=C_(2)^(')","dots","C_(n)e^(r_(n)x_(0))=C_(n)^('):}\begin{equation*} C_{1} e^{r_{1} x_{0}}=C_{1}^{\prime}, \quad C_{1} e^{r_{2} x_{0}}=C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n} e^{r_{n} x_{0}}=C_{n}^{\prime} \tag{13} \end{equation*}(13)C1er1x0=C1′,C1er2x0=C2′,…,Cnernx0=Cn′
rămîne să determinăm pe C 1 ′ , C 2 ′ , … , C n ′ C 1 ′ , C 2 ′ , … , C n ′ C_(1)^('),C_(2)^('),dots,C_(n)^(')C_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime}C1′,C2′,…,Cn′ din sistemul de ecuatii
C 1 ′ + C 2 ′ + … + C n ′ = y 0 (14) C 1 ′ v 1 + C 2 ′ v 2 + … + C n ′ v n = y 0 ′ C 1 ′ v 1 n − 1 + C 2 ′ v 2 n − 1 + … + C n ′ v n n − 1 = y 0 ( n − 1 ) C 1 ′ + C 2 ′ + … + C n ′ = y 0 (14) C 1 ′ v 1 + C 2 ′ v 2 + … + C n ′ v n = y 0 ′ C 1 ′ v 1 n − 1 + C 2 ′ v 2 n − 1 + … + C n ′ v n n − 1 = y 0 ( n − 1 ) {:[C_(1)^(')+C_(2)^(')+dots+C_(n)^(')=y_(0)],[(14)C_(1)^(')v_(1)+C_(2)^(')v_(2)+dots+C_(n)^(')v_(n)=y_(0)^(')],[C_(1)^(')v_(1)^(n-1)+C_(2)^(')v_(2)^(n-1)+dots+C_(n)^(')v_(n)^(n-1)=y_(0)^((n-1))]:}\begin{align*} & C_{1}^{\prime}+C_{2}^{\prime}+\ldots+C_{n}^{\prime}=y_{0} \\ & C_{1}^{\prime} v_{1}+C_{2}^{\prime} v_{2}+\ldots+C_{n}^{\prime} v_{n}=y_{0}^{\prime} \tag{14}\\ & C_{1}^{\prime} v_{1}^{n-1}+C_{2}^{\prime} v_{2}^{n-1}+\ldots+C_{n}^{\prime} v_{n}^{n-1}=y_{0}^{(n-1)} \end{align*}C1′+C2′+…+Cn′=y0(14)C1′v1+C2′v2+…+Cn′vn=y0′C1′v1n−1+C2′v2n−1+…+Cn′vnn−1=y0(n−1)
Observăm că nu se poate ca toate numerele C 1 ′ , … , C n ′ C 1 ′ , … , C n ′ C_(1)^('),dots,C_(n)^(')C_{1}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime}C1′,…,Cn′ să fie nule. Ar urma că y 0 = y 0 ′ = … = y 0 ( n − 1 ) = 0 y 0 = y 0 ′ = … = y 0 ( n − 1 ) = 0 y_(0)=y_(0)^(')=dots=y_(0)^((n-1))=0y_{0}=y_{0}^{\prime}=\ldots=y_{0}^{(n-1)}=0y0=y0′=…=y0(n−1)=0 și deci ca Δ n − 1 [ y ( x 0 ) ] = 0 Δ n − 1 y x 0 = 0 Delta_(n-1)[y(x_(0))]=0\Delta_{n-1}\left[y\left(x_{0}\right)\right]=0Δn−1[y(x0)]=0, ceea ce este contrar ipotezei. Să demonstrăm că nu se poate nici ca măcar unul dintre C 1 ′ , … , C n ′ C 1 ′ , … , C n ′ C_(1)^('),dots,C_(n)^(')C_{1}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime}C1′,…,Cn′ să fie nuli.
Într-adevăr, să presupunem că am avea C 1 ′ = 0 C 1 ′ = 0 C_(1)^(')=0C_{1}^{\prime}=0C1′=0. Atunci numerele r 2 , … , r n r 2 , … , r n r_(2),dots,r_(n)r_{2}, \ldots, r_{n}r2,…,rn fiind distincte, între ecuaţiile
C 2 ′ + C 3 ′ + … + C n ′ = y 0 C 2 ′ r 2 + C 3 ′ r 3 + … + C n ′ r n = y 0 ′ C 2 ′ r 2 n − 1 + C 3 ′ r 3 n − 1 + … + C n ′ r n n − 1 = y 0 ( n − 1 ) C 2 ′ + C 3 ′ + … + C n ′ = y 0 C 2 ′ r 2 + C 3 ′ r 3 + … + C n ′ r n = y 0 ′ C 2 ′ r 2 n − 1 + C 3 ′ r 3 n − 1 + … + C n ′ r n n − 1 = y 0 ( n − 1 ) {:[C_(2)^(')+C_(3)^(')+dots+C_(n)^(')=y_(0)],[C_(2)^(')r_(2)+C_(3)^(')r_(3)+dots+C_(n)^(')r_(n)=y_(0)^(')],[C_(2)^(')r_(2)^(n-1)+C_(3)^(')r_(3)^(n-1)+dots+C_(n)^(')r_(n)^(n-1)=y_(0)^((n-1))]:}\begin{aligned} & C_{2}^{\prime}+C_{3}^{\prime}+\ldots+C_{n}^{\prime}=y_{0} \\ & C_{2}^{\prime} r_{2}+C_{3}^{\prime} r_{3}+\ldots+C_{n}^{\prime} r_{n}=y_{0}^{\prime} \\ & C_{2}^{\prime} r_{2}^{n-1}+C_{3}^{\prime} r_{3}^{n-1}+\ldots+C_{n}^{\prime} r_{n}^{n-1}=y_{0}^{(n-1)} \end{aligned}C2′+C3′+…+Cn′=y0C2′r2+C3′r3+…+Cn′rn=y0′C2′r2n−1+C3′r3n−1+…+Cn′rnn−1=y0(n−1)
se poate elimina C 2 ′ , … , C n ′ C 2 ′ , … , C n ′ C_(2)^('),dots,C_(n)^(')C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime}C2′,…,Cn′. Se obţine o relaţie de forma
(15) y 0 ( n − 1 ) + p 1 y 0 ( n − 2 ) + p 2 y 0 ( n − 3 ) + … + p n − 1 y 0 = 0 (15) y 0 ( n − 1 ) + p 1 y 0 ( n − 2 ) + p 2 y 0 ( n − 3 ) + … + p n − 1 y 0 = 0 {:(15)y_(0)^((n-1))+p_(1)y_(0)^((n-2))+p_(2)y_(0)^((n-3))+dots+p_(n-1)y_(0)=0:}\begin{equation*} y_{0}^{(n-1)}+p_{1} y_{0}^{(n-2)}+p_{2} y_{0}^{(n-3)}+\ldots+p_{n-1} y_{0}=0 \tag{15} \end{equation*}(15)y0(n−1)+p1y0(n−2)+p2y0(n−3)+…+pn−1y0=0
unde
p 1 = − ( r 2 + r 3 + … + r n ) , p 2 = r 2 r 3 + … + r n − 1 r n , … p n − 1 = ( − 1 ) n − 1 r 2 r 3 … r n p 1 = − r 2 + r 3 + … + r n , p 2 = r 2 r 3 + … + r n − 1 r n , … p n − 1 = ( − 1 ) n − 1 r 2 r 3 … r n p_(1)=-(r_(2)+r_(3)+dots+r_(n)),quadp_(2)=r_(2)r_(3)+dots+r_(n-1)r_(n),dotsp_(n-1)=(-1)^(n-1)r_(2)r_(3)dotsr_(n)p_{1}=-\left(r_{2}+r_{3}+\ldots+r_{n}\right), \quad p_{2}=r_{2} r_{3}+\ldots+r_{n-1} r_{n}, \ldots p_{n-1}=(-1)^{n-1} r_{2} r_{3} \ldots r_{n}p1=−(r2+r3+…+rn),p2=r2r3+…+rn−1rn,…pn−1=(−1)n−1r2r3…rn
În ecuațiile (6) să înlocuim
A 1 = p 1 − r 1 , A 2 = p 2 − p 1 r 1 , A 3 = p 3 − p 2 r 1 , … , A n − 1 = p n − 1 − p n − 2 r 1 A n = − p n − 1 r 1 A 1 = p 1 − r 1 , A 2 = p 2 − p 1 r 1 , A 3 = p 3 − p 2 r 1 , … , A n − 1 = p n − 1 − p n − 2 r 1 A n = − p n − 1 r 1 A_(1)=p_(1)-r_(1),A_(2)=p_(2)-p_(1)r_(1),A_(3)=p_(3)-p_(2)r_(1),dots,A_(n-1)=p_(n-1)-p_(n-2)r_(1)A_(n)=-p_(n-1)r_(1)A_{1}=p_{1}-r_{1}, A_{2}=p_{2}-p_{1} r_{1}, A_{3}=p_{3}-p_{2} r_{1}, \ldots, A_{n-1}=p_{n-1}-p_{n-2} r_{1} A_{n}=-p_{n-1} r_{1}A1=p1−r1,A2=p2−p1r1,A3=p3−p2r1,…,An−1=pn−1−pn−2r1An=−pn−1r1.
Prima ecuație (6) se scrie
y 0 ( n ) + ( p 1 − r 1 ) y 0 ( n − 1 ) + ( p 2 − p 1 r 1 ) y 0 ( n − 2 ) + … + ( p n − 1 − p n − 2 r 1 ) y 0 ′ − p n − 1 r 1 y 0 = 0 y 0 ( n ) + p 1 − r 1 y 0 ( n − 1 ) + p 2 − p 1 r 1 y 0 ( n − 2 ) + … + p n − 1 − p n − 2 r 1 y 0 ′ − p n − 1 r 1 y 0 = 0 y_(0)^((n))+(p_(1)-r_(1))y_(0)^((n-1))+(p_(2)-p_(1)r_(1))y_(0)^((n-2))+dots+(p_(n-1)-p_(n-2)r_(1))y_(0)^(')-p_(n-1)r_(1)y_(0)=0y_{0}^{(n)}+\left(p_{1}-r_{1}\right) y_{0}^{(n-1)}+\left(p_{2}-p_{1} r_{1}\right) y_{0}^{(n-2)}+\ldots+\left(p_{n-1}-p_{n-2} r_{1}\right) y_{0}^{\prime}-p_{n-1} r_{1} y_{0}=0y0(n)+(p1−r1)y0(n−1)+(p2−p1r1)y0(n−2)+…+(pn−1−pn−2r1)y0′−pn−1r1y0=0
și t͡inînd seama de ecuația (15) coeficientul lui r 1 r 1 r_(1)r_{1}r1 este nul, şi ecuația se reduce la
( ′ ) y 0 ( n ) + p 1 y 0 ( n − 1 ) + p 2 y 0 ( n − 2 ) + … + p n − 1 y 0 ′ = 0 . ( ′ ) y 0 ( n ) + p 1 y 0 ( n − 1 ) + p 2 y 0 ( n − 2 ) + … + p n − 1 y 0 ′ = 0 . {:('")"y_(0)^((n))+p_(1)y_(0)^((n-1))+p_(2)y_(0)^((n-2))+dots+p_(n-1)y_(0)^(')=0.:}\begin{equation*} y_{0}^{(n)}+p_{1} y_{0}^{(n-1)}+p_{2} y_{0}^{(n-2)}+\ldots+p_{n-1} y_{0}^{\prime}=0 . \tag{$\prime$} \end{equation*}(′)y0(n)+p1y0(n−1)+p2y0(n−2)+…+pn−1y0′=0.
Mai departe, ţinînd seama de aceasta, a doua ecuație (6) se reduce la
( ′ ′ ) y 0 ( n + 1 ) + p 1 y 0 ( n ) + p 2 y 0 ( n − 1 ) + … + p n − 1 y 0 ′ ′ = 0 ( ′ ′ ) y 0 ( n + 1 ) + p 1 y 0 ( n ) + p 2 y 0 ( n − 1 ) + … + p n − 1 y 0 ′ ′ = 0 {:(('')")"y_(0)^((n+1))+p_(1)y_(0)^((n))+p_(2)y_(0)^((n-1))+dots+p_(n-1)y_(0)^('')=0:}\begin{equation*} y_{0}^{(n+1)}+p_{1} y_{0}^{(n)}+p_{2} y_{0}^{(n-1)}+\ldots+p_{n-1} y_{0}^{\prime \prime}=0 \tag{$\prime\prime$} \end{equation*}(′′)y0(n+1)+p1y0(n)+p2y0(n−1)+…+pn−1y0′′=0
şi aşa mai departe, pînă se obține penultima ecuație
( ′ ′ ′ ) y 0 ( 2 n − 2 ) + p 1 y 0 ( 2 n − 3 ) + p 2 y 1 ( 2 n − 4 ) + … + p n − 1 y 1 ( n − 1 ) = 0 ( ′ ′ ′ ) y 0 ( 2 n − 2 ) + p 1 y 0 ( 2 n − 3 ) + p 2 y 1 ( 2 n − 4 ) + … + p n − 1 y 1 ( n − 1 ) = 0 {:((''')")"y_(0)^((2n-2))+p_(1)y_(0)^((2n-3))+p_(2)y_(1)^((2n-4))+dots+p_(n-1)y_(1)^((n-1))=0:}\begin{equation*} y_{0}^{(2 n-2)}+p_{1} y_{0}^{(2 n-3)}+p_{2} y_{1}^{(2 n-4)}+\ldots+p_{n-1} y_{1}^{(n-1)}=0 \tag{$\prime\prime\prime$} \end{equation*}(′′′)y0(2n−2)+p1y0(2n−3)+p2y1(2n−4)+…+pn−1y1(n−1)=0
Dar în acest caz determinantul
Δ n − 1 [ y ( x 0 ) ] = | y 0 y 0 ′ … y 0 ( n − 1 ) y 0 ′ y 0 ′ ′ … y 0 ( n ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y 0 ( n − 1 ) y 0 ( n ) … y 0 ( 2 n − 2 ) | Δ n − 1 y x 0 = y 0 y 0 ′ … y 0 ( n − 1 ) y 0 ′ y 0 ′ ′ … y 0 ( n ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y 0 ( n − 1 ) y 0 ( n ) … y 0 ( 2 n − 2 ) Delta_(n-1)[y(x_(0))]=|[y_(0),y_(0)^('),dots,y_(0)^((n-1))],[y_(0)^('),y_(0)^(''),dots,y_(0)^((n))],[*,*,*,*],[y_(0)^((n-1)),y_(0)^((n)),dots,y_(0)^((2n-2))]|\Delta_{n-1}\left[y\left(x_{0}\right)\right]=\left|\begin{array}{llll} y_{0} & y_{0}^{\prime} & \ldots & y_{0}^{(n-1)} \\ y_{0}^{\prime} & y_{0}^{\prime \prime} & \ldots & y_{0}^{(n)} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ y_{0}^{(n-1)} & y_{0}^{(n)} & \ldots & y_{0}^{(2 n-2)} \end{array}\right|Δn−1[y(x0)]=|y0y0′…y0(n−1)y0′y0′′…y0(n)⋅⋅⋅⋅y0(n−1)y0(n)…y0(2n−2)|
este nul deoarece între elementele liniilor există o aceeași combinație lineară exprimată prin formulele (15), ( 15 ′ ) , ( 15 ′ ′ ) , ( 15 ′ ′ ′ ) 15 ′ , 15 ′ ′ , 15 ′ ′ ′ (15^(')),(15^('')),(15^('''))\left(15^{\prime}\right),\left(15^{\prime \prime}\right),\left(15^{\prime \prime \prime}\right)(15′),(15′′),(15′′′). Aceasta însă contrazice ipoteza că
Δ n − 1 [ y ( x ) ] ≠ 0 . Δ n − 1 [ y ( x ) ] ≠ 0 . Delta_(n-1)[y(x)]!=0.\Delta_{n-1}[y(x)] \neq 0 .Δn−1[y(x)]≠0.
Deci sub singura condiție că ecuația caracteristică ( 9 ′ 9 ′ 9^(')9^{\prime}9′ ) să aibă rădăcinile distincte, formula (10) în care C 1 C 2 … C n ≠ 0 C 1 C 2 … C n ≠ 0 C_(1)C_(2)dotsC_(n)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{n} \neq 0C1C2…Cn≠0 este integrală a ecuației diferențiale (1).
Observare. Determinarea constantelor C 1 , C 2 , … , C n ; r 1 , r 2 , … , r n C 1 , C 2 , … , C n ; r 1 , r 2 , … , r n C_(1),C_(2),dots,C_(n);r_(1),r_(2),dots,r_(n)C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n} ; r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}C1,C2,…,Cn;r1,r2,…,rn din formula (10), astfel ca y ( x ) y ( x ) y(x)y(x)y(x) să verifice condițiile lui Cauchy (7), se face punînd
C 1 e r 1 x 0 = C 1 ′ , C 2 e r 2 x 0 = C 2 ′ , … , C n e r n x 0 = C n ′ C 1 e r 1 x 0 = C 1 ′ , C 2 e r 2 x 0 = C 2 ′ , … , C n e r n x 0 = C n ′ C_(1)e^(r_(1)x_(0))=C_(1)^('),quadC_(2)e^(r_(2)x_(0))=C_(2)^('),dots,C_(n)e^(r_(n)x_(0))=C_(n)^(')C_{1} e^{r_{1} x_{0}}=C_{1}^{\prime}, \quad C_{2} e^{r_{2} x_{0}}=C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n} e^{r_{n} x_{0}}=C_{n}^{\prime}C1er1x0=C1′,C2er2x0=C2′,…,Cnernx0=Cn′
şi rezolvînd sistemul de ecuații
C 1 ′ + C 2 ′ + … + C n ′ = y 0 (16) C 1 ′ r 1 + C 2 ′ r 2 + … + C n ′ r n = y 0 ′ C 1 ′ r 1 2 n − 1 + C 2 ′ r 2 2 n − 2 + … + C n ′ r n 2 n − 1 = y 0 ( 2 n − 1 ) C 1 ′ + C 2 ′ + … + C n ′ = y 0 (16) C 1 ′ r 1 + C 2 ′ r 2 + … + C n ′ r n = y 0 ′ C 1 ′ r 1 2 n − 1 + C 2 ′ r 2 2 n − 2 + … + C n ′ r n 2 n − 1 = y 0 ( 2 n − 1 ) {:[C_(1)^(')+C_(2)^(')+dots+C_(n)^(')=y_(0)],[(16)C_(1)^(')r_(1)+C_(2)^(')r_(2)+dots+C_(n)^(')r_(n)=y_(0)^(')],[C_(1)^(')r_(1)^(2n-1)+C_(2)^(')r_(2)^(2n-2)+dots+C_(n)^(')r_(n)^(2n-1)=y_(0)^((2n-1))]:}\begin{align*} & C_{1}^{\prime}+C_{2}^{\prime}+\ldots+C_{n}^{\prime}=y_{0} \\ & C_{1}^{\prime} r_{1}+C_{2}^{\prime} r_{2}+\ldots+C_{n}^{\prime} r_{n}=y_{0}^{\prime} \tag{16}\\ & C_{1}^{\prime} r_{1}^{2 n-1}+C_{2}^{\prime} r_{2}^{2 n-2}+\ldots+C_{n}^{\prime} r_{n}^{2 n-1}=y_{0}^{(2 n-1)} \end{align*}C1′+C2′+…+Cn′=y0(16)C1′r1+C2′r2+…+Cn′rn=y0′C1′r12n−1+C2′r22n−2+…+Cn′rn2n−1=y0(2n−1)
în raport cu C 1 ′ , C 2 ′ , … , C n ′ cu C 1 ′ , C 2 ′ , … , C n ′ cuC_(1)^('),C_(2)^('),dots,C_(n)^(')\mathrm{cu} C_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime}cuC1′,C2′,…,Cn′ şi r 1 , r 2 , … , r n r 1 , r 2 , … , r n r_(1),r_(2),dots,r_(n)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}r1,r2,…,rn.
Eliminarea lui C 1 ′ , C 2 ′ , … , C n ′ C 1 ′ , C 2 ′ , … , C n ′ C_(1)^('),C_(2)^('),dots,C_(n)^(')C_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime}C1′,C2′,…,Cn′ între aceste ecuații duce la ecuațiile (6), unde
A 1 = − Σ r 1 , A 2 = Σ r 1 r 2 … , A n = ( − 1 ) n r 1 r 2 … r n A 1 = − Σ r 1 , A 2 = Σ r 1 r 2 … , A n = ( − 1 ) n r 1 r 2 … r n A_(1)=-Sigmar_(1),A_(2)=Sigmar_(1)r_(2)dots,A_(n)=(-1)^(n)r_(1)r_(2)dotsr_(n)A_{1}=-\Sigma r_{1}, A_{2}=\Sigma r_{1} r_{2} \ldots, A_{n}=(-1)^{n} r_{1} r_{2} \ldots r_{n}A1=−Σr1,A2=Σr1r2…,An=(−1)nr1r2…rn
Ecuația care determină pe r 1 , r 2 , … , r n r 1 , r 2 , … , r n r_(1),r_(2),dots,r_(n)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}r1,r2,…,rn este ecuația (9').
Exemplu. Fiind dată funcția
Y ( x ) = ∫ α β p ( s ) e s x d s Y ( x ) = ∫ α β   p ( s ) e s x d s Y(x)=int_(alpha)^(beta)p(s)e^(sx)dsY(x)=\int_{\alpha}^{\beta} p(s) e^{s x} d sY(x)=∫αβp(s)esxds
unde p ( s ) p ( s ) p(s)p(s)p(s) este o funcție pozitivă în intervalul ( α , β α , β alpha,beta\alpha, \betaα,β ), putîndu-se anula în α α alpha\alphaα și β β beta\betaβ, se poate determina o integrală a ecuatiei diferentiale (1) care să satisfacă la conditiile lui Cauchy.
y ( x 0 ) = Y ( x 0 ) , y ′ ( x 0 ) = Y ′ ( x 0 ) , … , y ( 2 n − 1 ) ( x 0 ) = Y ( 2 n − 1 ) ( x 0 ) y x 0 = Y x 0 , y ′ x 0 = Y ′ x 0 , … , y ( 2 n − 1 ) x 0 = Y ( 2 n − 1 ) x 0 y(x_(0))=Y(x_(0)),y^(')(x_(0))=Y^(')(x_(0)),dots,y^((2n-1))(x_(0))=Y^((2n-1))(x_(0))y\left(x_{0}\right)=Y\left(x_{0}\right), y^{\prime}\left(x_{0}\right)=Y^{\prime}\left(x_{0}\right), \ldots, y^{(2 n-1)}\left(x_{0}\right)=Y^{(2 n-1)}\left(x_{0}\right)y(x0)=Y(x0),y′(x0)=Y′(x0),…,y(2n−1)(x0)=Y(2n−1)(x0)
Într-adevăr, sistemul de ecuații (16) corespunzător acestui caz este
C 1 ′ + C 2 ′ + … + C n ′ = ∫ α β p ( s ) e s x 0 d s C 1 ′ r 1 + C 2 ′ r 2 + … + C n ′ r n = ∫ α β s p ( s ) e s x 0 d s C 1 ′ r 1 2 n − 1 + C 2 ′ r 2 2 n − 1 + … + C n ′ r n 2 n − 1 = ∫ α β s 2 n − 1 p ( s ) e s x 0 d s C 1 ′ + C 2 ′ + … + C n ′ = ∫ α β   p ( s ) e s x 0 d s C 1 ′ r 1 + C 2 ′ r 2 + … + C n ′ r n = ∫ α β   s p ( s ) e s x 0 d s C 1 ′ r 1 2 n − 1 + C 2 ′ r 2 2 n − 1 + … + C n ′ r n 2 n − 1 = ∫ α β   s 2 n − 1 p ( s ) e s x 0 d s {:[C_(1)^(')+C_(2)^(')+dots+C_(n)^(')=int_(alpha)^(beta)p(s)e^(sx_(0))ds],[C_(1)^(')r_(1)+C_(2)^(')r_(2)+dots+C_(n)^(')r_(n)=int_(alpha)^(beta)sp(s)e^(sx_(0))ds],[C_(1)^(')r_(1)^(2n-1)+C_(2)^(')r_(2)^(2n-1)+dots+C_(n)^(')r_(n)^(2n-1)=int_(alpha)^(beta)s^(2n-1)p(s)e^(sx_(0))ds]:}\begin{aligned} & C_{1}^{\prime}+C_{2}^{\prime}+\ldots+C_{n}^{\prime}=\int_{\alpha}^{\beta} p(s) e^{s x_{0}} d s \\ & C_{1}^{\prime} r_{1}+C_{2}^{\prime} r_{2}+\ldots+C_{n}^{\prime} r_{n}=\int_{\alpha}^{\beta} s p(s) e^{s x_{0}} d s \\ & C_{1}^{\prime} r_{1}^{2 n-1}+C_{2}^{\prime} r_{2}^{2 n-1}+\ldots+C_{n}^{\prime} r_{n}^{2 n-1}=\int_{\alpha}^{\beta} s^{2 n-1} p(s) e^{s x_{0}} d s \end{aligned}C1′+C2′+…+Cn′=∫αβp(s)esx0dsC1′r1+C2′r2+…+Cn′rn=∫αβsp(s)esx0dsC1′r12n−1+C2′r22n−1+…+Cn′rn2n−1=∫αβs2n−1p(s)esx0ds
Acest sistem este clasic ; el se întîlneşte în teoria formulelor de cuadratură. Se demonstrează [5] că numerele r 1 , r 2 , … , r n r 1 , r 2 , … , r n r_(1),r_(2),dots,r_(n)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}r1,r2,…,rn sînt toate reale, distincte și cuprinse între α α alpha\alphaα şi β β beta\betaβ, iar numerele C 1 ′ , C 2 ′ , … , C n ′ C 1 ′ , C 2 ′ , … , C n ′ C_(1)^('),C_(2)^('),dots,C_(n)^(')C_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{n}^{\prime}C1′,C2′,…,Cn′, adică C 1 , C 2 , … , C n C 1 , C 2 , … , C n C_(1),C_(2),dots,C_(n)C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}C1,C2,…,Cn sînt toate pozitive.
3. Integralele ecuatiei diferențiale (1) depind de condițiile inițiale (7). Ele pot fi astfel ca ecuația caracteristică ( 9 ′ 9 ′ 9^(')9^{\prime}9′ ) a ecuației diferențiala (8) să aibă toate rădăcinile distincte, și acest caz a fost studiat la punctul precedent. Se poate însă ca condițile inițiale (9) să fie astfel încît ecuația caracteristică ( 9 ′ 9 ′ 9^(')9^{\prime}9′ ) să aibă rădăcini multiple.
Să presupunem că conditiile initiale (7) sînt astfel încît ecuatia caracteristică ( 9 ′ 9 ′ 9^(')9^{\prime}9′ ) are rădăcina r 1 r 1 r_(1)r_{1}r1 multiplă de ordinul p 1 , r 2 p 1 , r 2 p_(1),r_(2)p_{1}, r_{2}p1,r2, multiplă de ordinul p 2 , … , r k p 2 , … , r k p_(2),dots,r_(k)p_{2}, \ldots, r_{k}p2,…,rk multiplă de ordinul p k p k p_(k)p_{k}pk unde
p 1 + p 2 + … + p k = n . p 1 + p 2 + … + p k = n . p_(1)+p_(2)+dots+p_(k)=n.p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{k}=n .p1+p2+…+pk=n.
In acest caz ecuația diferentială (8) are integrala
y = ( C 1 ( p 1 − 1 ) ! x p 1 − 1 + C 11 ( p 1 − 2 ) ! x p 1 − 2 + … + C 1 , p 1 − 1 ) e r 1 x (17) + ( C 2 ( p 2 − 1 ) ! x p 2 − 2 + C 21 ( p 2 − 2 ) ! x p 2 − 2 + … + C 2 , p 2 − 1 ) e r 2 x + ( C k ( p k − 1 ) ! x p k − 1 + C k 1 ( p k − 2 ) ! x p k − 2 + … + C k , p k − 1 ) e r k x y = C 1 p 1 − 1 ! x p 1 − 1 + C 11 p 1 − 2 ! x p 1 − 2 + … + C 1 , p 1 − 1 e r 1 x (17) + C 2 p 2 − 1 ! x p 2 − 2 + C 21 p 2 − 2 ! x p 2 − 2 + … + C 2 , p 2 − 1 e r 2 x + C k p k − 1 ! x p k − 1 + C k 1 p k − 2 ! x p k − 2 + … + C k , p k − 1 e r k x {:[y=((C_(1))/((p_(1)-1)!)x^(p_(1)-1)+(C_(11))/((p_(1)-2)!)x^(p_(1)-2)+dots+C_(1,p_(1)-1))e^(r_(1)x)],[(17)+((C_(2))/((p_(2)-1)!)x^(p_(2)-2)+(C_(21))/((p_(2)-2)!)x^(p_(2)-2)+dots+C_(2,p_(2)-1))e^(r_(2)x)],[+((C_(k))/((p_(k)-1)!)x^(p_(k)-1)+(C_(k1))/((p_(k)-2)!)x^(p_(k)-2)+dots+C_(k,p_(k)-1))e^(r_(k)x)]:}\begin{align*} y & =\left(\frac{C_{1}}{\left(p_{1}-1\right)!} x^{p_{1}-1}+\frac{C_{11}}{\left(p_{1}-2\right)!} x^{p_{1}-2}+\ldots+C_{1, p_{1}-1}\right) e^{r_{1} x} \\ & +\left(\frac{C_{2}}{\left(p_{2}-1\right)!} x^{p_{2}-2}+\frac{C_{21}}{\left(p_{2}-2\right)!} x^{p_{2}-2}+\ldots+C_{2, p_{2}-1}\right) e^{r_{2} x} \tag{17}\\ & +\left(\frac{C_{k}}{\left(p_{k}-1\right)!} x^{p_{k}-1}+\frac{C_{k 1}}{\left(p_{k}-2\right)!} x^{p_{k}-2}+\ldots+C_{k, p_{k}-1}\right) e^{r_{k} x} \end{align*}y=(C1(p1−1)!xp1−1+C11(p1−2)!xp1−2+…+C1,p1−1)er1x(17)+(C2(p2−1)!xp2−2+C21(p2−2)!xp2−2+…+C2,p2−1)er2x+(Ck(pk−1)!xpk−1+Ck1(pk−2)!xpk−2+…+Ck,pk−1)erkx
şi avem
Δ n − 1 [ y ] = ( − 1 ) k C 1 p 1 C 2 p 2 … C k p k V 2 ( r 1 , … , r 1 ⏟ p 1 ori r 2 , … , r 2 ⏟ p 2 ori , , r k , … , r k ⏟ p k ori ) e ( p 1 r 1 + … + p k r k x Δ n − 1 [ y ] = ( − 1 ) k C 1 p 1 C 2 p 2 … C k p k V 2 ( r 1 , … , r 1 ⏟ p 1  ori  r 2 , … , r 2 ⏟ p 2  ori  , , r k , … , r k ⏟ p k  ori  ) e p 1 r 1 + … + p k r k x Delta_(n-1)[y]=(-1)^(k)C_(1)^(p_(1))C_(2)^(p_(2))dotsC_(k)^(p_(k))V^(2)(ubrace(r_(1),dots,r_(1))_(p_(1)" ori ")ubrace(r_(2),dots,r_(2))_(p_(2)" ori "),quad,ubrace(r_(k),dots,r_(k))_(p_(k)" ori "))e^((p_(1)r_(1)+dots+p_(k)r_(k)x:})\Delta_{n-1}[y]=(-1)^{k} C_{1}^{p_{1}} C_{2}^{p_{2}} \ldots C_{k}^{p_{k}} V^{2}(\underbrace{r_{1}, \ldots, r_{1}}_{p_{1} \text { ori }} \underbrace{r_{2}, \ldots, r_{2}}_{p_{2} \text { ori }}, \quad, \underbrace{r_{k}, \ldots, r_{k}}_{p_{k} \text { ori }}) e^{\left(p_{1} r_{1}+\ldots+p_{k} r_{k} x\right.}Δn−1[y]=(−1)kC1p1C2p2…CkpkV2(r1,…,r1⏟p1 ori r2,…,r2⏟p2 ori ,,rk,…,rk⏟pk ori )e(p1r1+…+pkrkx
unde determinantul V ( r 1 , … , r 1 ; r 2 , … , r 2 ⏟ p 1 ori , … , r k , … , r k ⏟ p k ori ) V ( r 1 , … , r 1 ; r 2 , … , r 2 ⏟ p 1  ori  , … , r k , … , r k ⏟ p k  ori  ) V(r_(1),dots,r_(1);ubrace(r_(2),dots,r_(2))_(p_(1)" ori "),dots,ubrace(r^(k),dots,r_(k))_(p_(k)" ori "))\mathrm{V}(r_{1}, \ldots, r_{1} ; \underbrace{r_{2}, \ldots, r_{2}}_{p_{1} \text { ori }}, \ldots, \underbrace{r^{k}, \ldots, r_{k}}_{p_{k} \text { ori }})V(r1,…,r1;r2,…,r2⏟p1 ori ,…,rk,…,rk⏟pk ori ) are prima coloană formată din 1 , r 1 , … , r 1 n − 1 1 , r 1 , … , r 1 n − 1 1,r_(1),dots,r_(1)^(n-1)1, r_{1}, \ldots, r_{1}^{n-1}1,r1,…,r1n−1, a doua din derivatele acestor elemente în raport cu r 1 r 1 r_(1)r_{1}r1 împărtite cu 1!, a treia cu derivatele de ordinul al doilea împărtite cu 2 ! , … , a k 2 ! , … , a k 2!,dots,ak2!, \ldots, a k2!,…,ak-a din derivatele de ordinul k k kkk-1 a elementelor coloanei întîia împărtite cu ( k − 1 k − 1 k-1k-1k−1 )!. Următoarele k 2 k 2 k_(2)k_{2}k2 coloane se formează în a elaşi mod, înlocuind pe r 1 r 1 r_(1)r_{1}r1 cu r 2 … r 2 … r_(2)dotsr_{2} \ldotsr2…, şi aşa mai departe.
Rezultă că dacă C 1 C 2 … C k ≠ 0 , y C 1 C 2 … C k ≠ 0 , y C_(1)C_(2)dotsC_(k)!=0,yC_{1} C_{2} \ldots C_{k} \neq 0, yC1C2…Ck≠0,y este integrală a ecuatiei diferentiale (1). Și această integrală este definită în intervalul ( − ∞ , + ∞ − ∞ , + ∞ -oo,+oo-\infty,+\infty−∞,+∞ ), iar condiţia Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0Δn−1[y]≠0 este valabilă de asemenea în intervalul ( − ∞ , + ∞ − ∞ , + ∞ -oo,+oo-\infty,+\infty−∞,+∞ ).
Formula (18) se poate demonstra direct, însă calculele sînt complicate.
Se știe însă că integralele unei ecuații diferențiale cu coeficienți constanți care corespund la o rădăcină multiplă se pot obține din integralele care corespund la rădăcini distincte, printr-o trecere la limită. Vom folosi această trecere la limită pentru a demonstra formula (8).
Să presupunem că tratăm cazul cînd rădăcina r 1 r 1 r_(1)r_{1}r1 este dublă, celelalte rădăcini fiind distincte.
Punînd r 2 = r 1 + h r 2 = r 1 + h r_(2)=r_(1)+hr_{2}=r_{1}+hr2=r1+h, pentru h ≠ 0 h ≠ 0 h!=0h \neq 0h≠0, ecuația diferențială (8) are integrala
(19) y = C 1 e ( r 1 + h ) x − e r 1 x h + C 2 e r 1 x + C 3 e r 3 x + … + C n e r n x (19) y = C 1 e r 1 + h x − e r 1 x h + C 2 e r 1 x + C 3 e r 3 x + … + C n e r n x {:(19)y=C_(1)(e^((r_(1)+h)x)-e^(r_(1)x))/(h)+C_(2)e^(r_(1)x)+C_(3)e^(r_(3)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x):}\begin{equation*} y=C_{1} \frac{e^{\left(r_{1}+h\right) x}-e^{r_{1} x}}{h}+C_{2} e^{r_{1} x}+C_{3} e^{r_{3} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x} \tag{19} \end{equation*}(19)y=C1e(r1+h)x−er1xh+C2er1x+C3er3x+…+Cnernx
pe care o putem scrie sub forma
(20) y = C 1 ′ e r 1 x + C 2 ′ e ( r 1 + h ] x + C 3 e r 3 x + … + C n e r n x (20) y = C 1 ′ e r 1 x + C 2 ′ e r 1 + h x + C 3 e r 3 x + … + C n e r n x {:(20)y=C_(1)^(')e^(r_(1)x)+C_(2)^(')e^((r_(1)+h]x)+C_(3)e^(r_(3)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x):}\begin{equation*} y=C_{1}^{\prime} e^{r_{1} x}+C_{2}^{\prime} e^{\left(r_{1}+h\right] x}+C_{3} e^{r_{3} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x} \tag{20} \end{equation*}(20)y=C1′er1x+C2′e(r1+h]x+C3er3x+…+Cnernx
unde
(21) C 1 ′ = C 2 − C 1 h , C 2 ′ = C 1 h (21) C 1 ′ = C 2 − C 1 h , C 2 ′ = C 1 h {:(21)C_(1)^(')=C_(2)-(C_(1))/(h)","quadC_(2)^(')=(C_(1))/(h):}\begin{equation*} C_{1}^{\prime}=C_{2}-\frac{C_{1}}{h}, \quad C_{2}^{\prime}=\frac{C_{1}}{h} \tag{21} \end{equation*}(21)C1′=C2−C1h,C2′=C1h
Cînd h → 0 h → 0 h rarr0h \rightarrow 0h→0, funcția y y yyy are limita
(22) y 1 = ( C 1 x + C 2 ) e r 1 x + C 3 e r 3 x + … + C n e r n x (22) y 1 = C 1 x + C 2 e r 1 x + C 3 e r 3 x + … + C n e r n x {:(22)y_(1)=(C_(1)x+C_(2))e^(r_(1)x)+C_(3)e^(r_(3)x)+dots+C_(n)er_(n)x:}\begin{equation*} y_{1}=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r_{1} x}+C_{3} e^{r_{3} x}+\ldots+C_{n} e r_{n} x \tag{22} \end{equation*}(22)y1=(C1x+C2)er1x+C3er3x+…+Cnernx
și y 1 y 1 y_(1)y_{1}y1 este integrala ecuației diferențiale (8). Se demonstrează ușor că derivata de un ordin oarecare p p ppp al funcției y y yyy, tinde către derivata de același ordin al funcției y 1 y 1 y_(1)y_{1}y1 cînd h → 0 h → 0 h rarr0h \rightarrow 0h→0, de unde rezultă că
(23) lim h → 0 Δ n → 1 [ y ] = Δ n − 1 [ y 1 ] . (23) lim h → 0   Δ n → 1 [ y ] = Δ n − 1 y 1 . {:(23)lim_(h rarr0)Delta_(n rarr1)[y]=Delta_(n-1)[y_(1)].:}\begin{equation*} \lim _{h \rightarrow 0} \Delta_{n \rightarrow 1}[y]=\Delta_{n-1}\left[y_{1}\right] . \tag{23} \end{equation*}(23)limh→0Δn→1[y]=Δn−1[y1].
Însă aplicînd formula (12) avem
Δ n − 1 [ y ] = C 1 ′ C 2 ′ C 3 … C n V 2 ( r 1 , r 1 + h , r 3 , … , r n ) e ( 2 r 1 + h + r 3 + … + r n ) x Δ n − 1 [ y ] = C 1 ′ C 2 ′ C 3 … C n V 2 r 1 , r 1 + h , r 3 , … , r n e 2 r 1 + h + r 3 + … + r n x Delta_(n-1)[y]=C_(1)^(')C_(2)^(')C_(3)dotsC_(n)V^(2)(r_(1),r_(1)+h,r_(3),dots,r_(n))e^((2r_(1)+h+r_(3)+dots+r_(n))x)\Delta_{n-1}[y]=C_{1}^{\prime} C_{2}^{\prime} C_{3} \ldots C_{n} V^{2}\left(r_{1}, r_{1}+h, r_{3}, \ldots, r_{n}\right) e^{\left(2 r_{1}+h+r_{3}+\ldots+r_{n}\right) x}Δn−1[y]=C1′C2′C3…CnV2(r1,r1+h,r3,…,rn)e(2r1+h+r3+…+rn)x
Înlocuind pe C 1 ′ , C 2 ′ cu C 1 ′ , C 2 ′ cu C_(1)^('),C_(2)^(')cuC_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime} \mathrm{cu}C1′,C2′cu formulele (21), vom avea
Δ n − 1 [ y ] = C 1 ( C 2 h − C 1 ) C 3 … C n [ V ( r 1 , r 1 + h , r 3 , … , r n ) h ] 2 e ( 2 r 1 + h + r 3 + … + r n ) x Δ n − 1 [ y ] = C 1 C 2 h − C 1 C 3 … C n V r 1 , r 1 + h , r 3 , … , r n h 2 e 2 r 1 + h + r 3 + … + r n x Delta_(n-1)[y]=C_(1)(C_(2)h-C_(1))C_(3)dotsC_(n)[(V(r_(1),r_(1)+h,r_(3),dots,r_(n)))/(h)]^(2)e^((2r_(1)+h+r_(3)+dots+r_(n))x)\Delta_{n-1}[y]=C_{1}\left(C_{2} h-C_{1}\right) C_{3} \ldots C_{n}\left[\frac{V\left(r_{1}, r_{1}+h, r_{3}, \ldots, r_{n}\right)}{h}\right]^{2} e^{\left(2 r_{1}+h+r_{3}+\ldots+r_{n}\right) x}Δn−1[y]=C1(C2h−C1)C3…Cn[V(r1,r1+h,r3,…,rn)h]2e(2r1+h+r3+…+rn)x
Cînd facem pe h → 0 h → 0 h rarr0h \rightarrow 0h→0, obținem
lim h → 0 Δ n − 1 [ y ] = − C 1 2 C 3 … C n V 2 ( r 1 , r 1 , r 3 , … , r n ) e ( 2 r 1 + r 3 + … + r n ) x lim h → 0   Δ n − 1 [ y ] = − C 1 2 C 3 … C n V 2 r 1 , r 1 , r 3 , … , r n e 2 r 1 + r 3 + … + r n x lim_(h rarr0)Delta_(n-1)[y]=-C_(1)^(2)C_(3)dotsC_(n)V^(2)(r_(1),r_(1),r_(3),dots,r_(n))e^((2r_(1)+r_(3)+dots+r_(n))x)\lim _{h \rightarrow 0} \Delta_{n-1}[y]=-C_{1}^{2} C_{3} \ldots C_{n} V^{2}\left(r_{1}, r_{1}, r_{3}, \ldots, r_{n}\right) e^{\left(2 r_{1}+r_{3}+\ldots+r_{n}\right) x}limh→0Δn−1[y]=−C12C3…CnV2(r1,r1,r3,…,rn)e(2r1+r3+…+rn)x
deoarece
lim h → 0 1 h | 1 1 1 … 1 r 1 r 1 + h r 3 … r n r 1 2 ( r 1 + h ) 2 r 3 2 … r n 2 r 1 3 ( r 1 + h ) 3 r 3 3 … r n 3 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ r 1 n − 1 ( r 1 + h ) n − 1 r 3 n − 1 … r n n − 1 | = V ( r 1 , r 2 , r 3 … , r n ) . lim h → 0   1 h 1 1 1 … 1 r 1 r 1 + h r 3 … r n r 1 2 r 1 + h 2 r 3 2 … r n 2 r 1 3 r 1 + h 3 r 3 3 … r n 3 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ r 1 n − 1 r 1 + h n − 1 r 3 n − 1 … r n n − 1 = V r 1 , r 2 , r 3 … , r n . lim_(h rarr0)(1)/(h)|[1,1,1,dots,1],[r_(1),r_(1)+h,r_(3),dots,r_(n)],[r_(1)^(2),(r_(1)+h)^(2),r_(3)^(2),dots,r_(n)^(2)],[r_(1)^(3),(r_(1)+h)^(3),r_(3)^(3),dots,r_(n)^(3)],[cdots,cdots,cdots,cdots,cdots],[r_(1)^(n-1),(r_(1)+h)^(n-1),r_(3)^(n-1),dots,r_(n)^(n-1)]|=V(r_(1),r_(2),r_(3)dots,r_(n)).\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ r_{1} & r_{1}+h & r_{3} & \ldots & r_{n} \\ r_{1}^{2} & \left(r_{1}+h\right)^{2} & r_{3}^{2} & \ldots & r_{n}^{2} \\ r_{1}^{3} & \left(r_{1}+h\right)^{3} & r_{3}^{3} & \ldots & r_{n}^{3} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ r_{1}^{n-1} & \left(r_{1}+h\right)^{n-1} & r_{3}^{n-1} & \ldots & r_{n}^{n-1} \end{array}\right|=V\left(r_{1}, r_{2}, r_{3} \ldots, r_{n}\right) .limh→01h|111…1r1r1+hr3…rnr12(r1+h)2r32…rn2r13(r1+h)3r33…rn3⋯⋯⋯⋯⋯r1n−1(r1+h)n−1r3n−1…rnn−1|=V(r1,r2,r3…,rn).
Ținînd seama de formula (23), deducem astfel că
(24) Δ n − 1 [ y 1 ] = − C 1 2 C 3 … C n V 2 ( r 1 , r 1 , r 3 , … , r n ) e ( 2 r 1 + r 3 + … + r n ) x (24) Δ n − 1 y 1 = − C 1 2 C 3 … C n V 2 r 1 , r 1 , r 3 , … , r n e 2 r 1 + r 3 + … + r n x {:(24)Delta_(n-1)[y_(1)]=-C_(1)^(2)C_(3)dotsC_(n)V^(2)(r_(1),r_(1),r_(3),dots,r_(n))e^((2r_(1)+r_(3)+dots+r_(n))x):}\begin{equation*} \Delta_{n-1}\left[y_{1}\right]=-C_{1}^{2} C_{3} \ldots C_{n} V^{2}\left(r_{1}, r_{1}, r_{3}, \ldots, r_{n}\right) e^{\left(2 r_{1}+r_{3}+\ldots+r_{n}\right) x} \tag{24} \end{equation*}(24)Δn−1[y1]=−C12C3…CnV2(r1,r1,r3,…,rn)e(2r1+r3+…+rn)x
Să presupunem acum că tratăm cazul cînd rădăcina r 1 r 1 r_(1)r_{1}r1 este triplă, celelalte fiind distincte.
În integrala (22) a ecuației diferențiale (8), să punem r 3 = r 1 + h r 3 = r 1 + h r_(3)=r_(1)+hr_{3}=r_{1}+hr3=r1+h şi să scriem această integrală sub forma
y = C 1 e ( r 1 + h ) x − e r 1 x − h x e r 1 x h 2 + C 2 e ( r 1 + h ) x − e r 1 x h + C 3 e r 1 x + C 4 e r 4 x + … + C n e r n x y = C 1 e r 1 + h x − e r 1 x − h x e r 1 x h 2 + C 2 e r 1 + h x − e r 1 x h + C 3 e r 1 x + C 4 e r 4 x + … + C n e r n x y=C_(1)(e^((r_(1)+h)x)-e^(r_(1)x)-hxe^(r_(1)x))/(h^(2))+C_(2)(e^((r_(1)+h)x)-e^(r_(1)x))/(h)+C_(3)e^(r_(1)x)+C_(4)e^(r_(4)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x)y=C_{1} \frac{e^{\left(r_{1}+h\right) x}-e^{r_{1} x}-h x e^{r_{1} x}}{h^{2}}+C_{2} \frac{e^{\left(r_{1}+h\right) x}-e^{r_{1} x}}{h}+C_{3} e^{r_{1} x}+C_{4} e^{r_{4} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x}y=C1e(r1+h)x−er1x−hxer1xh2+C2e(r1+h)x−er1xh+C3er1x+C4er4x+…+Cnernx
sau
y = ( C 1 ′ x + C 2 ′ ) r 1 x + C 3 ′ e ( r 1 + h ) x + C 4 e r 4 x + … + C n e r n x y = C 1 ′ x + C 2 ′ r 1 x + C 3 ′ e r 1 + h x + C 4 e r 4 x + … + C n e r n x y=(C_(1)^(')x+C_(2)^('))^(r_(1)x)+C_(3)^(')e^((r_(1)+h)x)+C_(4)e^(r_(4)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x)y=\left(C_{1}^{\prime} x+C_{2}^{\prime}\right)^{r_{1} x}+C_{3}^{\prime} e^{\left(r_{1}+h\right) x}+C_{4} e^{r_{4} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x}y=(C1′x+C2′)r1x+C3′e(r1+h)x+C4er4x+…+Cnernx
unde
(25) C 1 ′ = − C 1 h , C 2 ′ = − C 1 h 2 − C 2 h + C 3 , C 3 ′ = C 1 h 2 + C 2 h (25) C 1 ′ = − C 1 h , C 2 ′ = − C 1 h 2 − C 2 h + C 3 , C 3 ′ = C 1 h 2 + C 2 h {:(25)C_(1)^(')=-(C_(1))/(h)","quadC_(2)^(')=-(C_(1))/(h^(2))-(C_(2))/(h)+C_(3)","quadC_(3)^(')=(C_(1))/(h^(2))+(C_(2))/(h):}\begin{equation*} C_{1}^{\prime}=-\frac{C_{1}}{h}, \quad C_{2}^{\prime}=-\frac{C_{1}}{h^{2}}-\frac{C_{2}}{h}+C_{3}, \quad C_{3}^{\prime}=\frac{C_{1}}{h^{2}}+\frac{C_{2}}{h} \tag{25} \end{equation*}(25)C1′=−C1h,C2′=−C1h2−C2h+C3,C3′=C1h2+C2h
Cînd h → 0 , y h → 0 , y h rarr0,yh \rightarrow 0, yh→0,y tinde către integrala
(26) y 2 = ( C 1 x 2 2 ! + C 2 x 1 ! + C 3 ) e r 1 x + C 4 e r 4 x + … + C n e r n x (26) y 2 = C 1 x 2 2 ! + C 2 x 1 ! + C 3 e r 1 x + C 4 e r 4 x + … + C n e r n x {:(26)y_(2)=(C_(1)(x^(2))/(2!)+C_(2)(x)/(1!)+C_(3))e^(r_(1)x)+C_(4)e^(r_(4)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x):}\begin{equation*} y_{2}=\left(C_{1} \frac{x^{2}}{2!}+C_{2} \frac{x}{1!}+C_{3}\right) e^{r_{1} x}+C_{4} e^{r_{4} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x} \tag{26} \end{equation*}(26)y2=(C1x22!+C2x1!+C3)er1x+C4er4x+…+Cnernx
a ecuației diferențiale (8) și se demonstrează că
(27) lim h → 0 Δ n − 1 [ y ] = Δ n − 1 [ y 2 ] . (27) lim h → 0   Δ n − 1 [ y ] = Δ n − 1 y 2 . {:(27)lim_(h rarr0)Delta_(n-1)[y]=Delta_(n-1)[y_(2)].:}\begin{equation*} \lim _{h \rightarrow 0} \Delta_{n-1}[y]=\Delta_{n-1}\left[y_{2}\right] . \tag{27} \end{equation*}(27)limh→0Δn−1[y]=Δn−1[y2].
Pe de altă parte, ţinînd seama de ecuația (24) şi de formulele (25), putem scrie
Δ n − 1 [ y ] = − C 1 2 ( C 1 + h C 2 ) C 4 … C n [ [ V ( r 1 , r 1 , r 1 + h , r 4 , … , r n ) ] h 2 e ( 3 r 1 + h + r 4 + … + r n ) x Δ n − 1 [ y ] = − C 1 2 C 1 + h C 2 C 4 … C n V r 1 , r 1 , r 1 + h , r 4 , … , r n h 2 e 3 r 1 + h + r 4 + … + r n x Delta_(n-1)[y]=-C_(1)^(2)(C_(1)+hC_(2))C_(4)dotsC_(n)[([V(r_(1),r_(1),r_(1)+h,r_(4),dots,r_(n))])/(h^(2))e^((3r_(1)+h+r_(4)+dots+r_(n))x):}\Delta_{n-1}[y]=-C_{1}^{2}\left(C_{1}+h C_{2}\right) C_{4} \ldots C_{n}\left[\frac{\left[V\left(r_{1}, r_{1}, r_{1}+h, r_{4}, \ldots, r_{n}\right)\right]}{h^{2}} e^{\left(3 r_{1}+h+r_{4}+\ldots+r_{n}\right) x}\right.Δn−1[y]=−C12(C1+hC2)C4…Cn[[V(r1,r1,r1+h,r4,…,rn)]h2e(3r1+h+r4+…+rn)x
Ţinînd seama că
lim h → 0 1 h 2 | 1 0 1 1 … 1 r 1 1 r 1 + h r 4 … r n r 1 2 C 2 1 r 1 ( r 1 + h ) 2 r 4 2 … r n 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ r 1 n − 1 C n − 1 1 r 1 n − 2 ( r 1 + h ) n − 1 r 4 n − 1 … r n n − 1 | = V ( r 1 , r 1 , r 1 , r 4 , … , r n ) lim h → 0   1 h 2 1 0 1 1 … 1 r 1 1 r 1 + h r 4 … r n r 1 2 C 2 1 r 1 r 1 + h 2 r 4 2 … r n 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ r 1 n − 1 C n − 1 1 r 1 n − 2 r 1 + h n − 1 r 4 n − 1 … r n n − 1 = V r 1 , r 1 , r 1 , r 4 , … , r n lim_(h rarr0)(1)/(h^(2))|[1,0,1,1,dots,1],[r_(1),1,r_(1)+h,r_(4),dotsr_(n)],[r_(1)^(2),C_(2)^(1)r_(1),(r_(1)+h)^(2),r_(4)^(2),dotsr_(n)^(2)],[cdots,cdots,cdots,cdots,cdots,cdots],[r_(1)^(n-1),C_(n-1)^(1)r_(1)^(n-2),(r_(1)+h)^(n-1),r_(4)^(n-1),dotsr_(n)^(n-1)]|=V(r_(1),r_(1),r_(1),r_(4),dots,r_(n))\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^{2}}\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ r_{1} & 1 & r_{1}+h & r_{4} & \ldots r_{n} \\ r_{1}^{2} & C_{2}^{1} r_{1} & \left(r_{1}+h\right)^{2} & r_{4}^{2} & \ldots r_{n}^{2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ r_{1}^{n-1} & C_{n-1}^{1} r_{1}^{n-2} & \left(r_{1}+h\right)^{n-1} & r_{4}^{n-1} & \ldots r_{n}^{n-1} \end{array}\right|=V\left(r_{1}, r_{1}, r_{1}, r_{4}, \ldots, r_{n}\right)limh→01h2|1011…1r11r1+hr4…rnr12C21r1(r1+h)2r42…rn2⋯⋯⋯⋯⋯⋯r1n−1Cn−11r1n−2(r1+h)n−1r4n−1…rnn−1|=V(r1,r1,r1,r4,…,rn)
și trecînd la limită în formula precedentă, deducem că
lim h → 0 Δ n → 1 [ y ] = − C 1 3 C 4 … C n V 2 ( r 1 , r 1 , r 1 r 4 , … , r n ) e ( 3 r 1 + r 4 + … + r n ) x lim h → 0   Δ n → 1 [ y ] = − C 1 3 C 4 … C n V 2 r 1 , r 1 , r 1 r 4 , … , r n e 3 r 1 + r 4 + … + r n x lim_(h rarr0)Delta_(n rarr1)[y]=-C_(1)^(3)C_(4)dotsC_(n)V^(2)(r_(1),r_(1),r_(1)r_(4),dots,r_(n))e^((3r_(1)+r_(4)+dots+r_(n))x)\lim _{h \rightarrow 0} \Delta_{n \rightarrow 1}[y]=-\mathrm{C}_{1}^{3} C_{4} \ldots C_{n} V^{2}\left(r_{1}, r_{1}, r_{1} r_{4}, \ldots, r_{n}\right) e^{\left(3 r_{1}+r_{4}+\ldots+r_{n}\right) x}limh→0Δn→1[y]=−C13C4…CnV2(r1,r1,r1r4,…,rn)e(3r1+r4+…+rn)x
și conform formulei (27), vom avea
Δ n − 1 [ y 2 ] = − C 1 3 C 4 … C n V 2 ( r 1 , r 1 , r 1 , r 4 , … , r n ) e ( 3 r 1 + r 4 + … + r n ) x Δ n − 1 y 2 = − C 1 3 C 4 … C n V 2 r 1 , r 1 , r 1 , r 4 , … , r n e 3 r 1 + r 4 + … + r n x Delta_(n-1)[y_(2)]=-C_(1)^(3)C_(4)dotsC_(n)V^(2)(r_(1),r_(1),r_(1),r_(4),dots,r_(n))e^((3r_(1)+r_(4)+dots+r_(n))x)\Delta_{n-1}\left[y_{2}\right]=-C_{1}^{3} C_{4} \ldots C_{n} V^{2}\left(r_{1}, r_{1}, r_{1}, r_{4}, \ldots, r_{n}\right) e^{\left(3 r_{1}+r_{4}+\ldots+r_{n}\right) x}Δn−1[y2]=−C13C4…CnV2(r1,r1,r1,r4,…,rn)e(3r1+r4+…+rn)x
Cu aceasta socotim că am dat suficiente lămuriri pentru a se putea termina demonstrarea formulei (18).
4. In rezumat, s-a pus în evidență integrala (10) a ecuației diferențiale (1) în care C 1 C 2 … C n ≠ 0 C 1 C 2 … C n ≠ 0 C_(1)C_(2)dotsC_(n)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{n} \neq 0C1C2…Cn≠0, precum şi integralele de forma (17), în care r 1 , r 2 , … , r k r 1 , r 2 , … , r k r_(1),r_(2),dots,r_(k)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{k}r1,r2,…,rk sînt numere distincte, k k kkk fiind 1 , sau 2 , … 2 , … 2,dots2, \ldots2,…, sau n − 1 n − 1 n-1n-1n−1, polinoamele care înmultesc pe e r 1 x , e r 2 x , … , e r k x e r 1 x , e r 2 x , … , e r k x e^(r_(1)x),e^(r_(2)x),dots,e^(r_(k)x)e^{r_{1} x}, e^{r_{2} x}, \ldots, e^{r_{k} x}er1x,er2x,…,erkx fiind de grade efective p 1 − 1 , p 2 − 1 , … , p k − 1 p 1 − 1 , p 2 − 1 , … , p k − 1 p_(1)-1,p_(2)-1,dots,p_(k-1)p_{1}-1, p_{2}-1, \ldots, p_{k-1}p1−1,p2−1,…,pk−1, unde p 1 + p 2 + … + p k = n p 1 + p 2 + … + p k = n p_(1)+p_(2)+dots+p_(k)=np_{1}+p_{2}+\ldots+p_{k}=np1+p2+…+pk=n, adică C 1 C 2 … C k ≠ 0 C 1 C 2 … C k ≠ 0 C_(1)C_(2)dotsC_(k)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{k} \neq 0C1C2…Ck≠0. Pentru toate aceste integrale Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0Δn−1[y]≠0.
Să demonstrăm acum că orice integrală a ecuatiei Δ q [ y ] = 0 Δ q [ y ] = 0 Delta_(q)[y]=0\Delta_{q}[y]=0Δq[y]=0 pentru care Δ q − 1 [ y ] ≠ 0 Δ q − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(q-1)[y]!=0\Delta_{q-1}[y] \neq 0Δq−1[y]≠0, unde q < n q < n q < nq<nq<n, este integrală a ecuatiei diferentiale Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0.
Fie
Δ q [ y ] = | y y ′ … y ( q − 1 ) y ( q ) y ′ y ′ ′ … y ( q ) y ( q + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y ( q ) y ( q + 1 ) … y ( 2 q − 1 ) y ( q ) | = 0 Δ q [ y ] = y y ′ … y ( q − 1 ) y ( q ) y ′ y ′ ′ … y ( q ) y ( q + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y ( q ) y ( q + 1 ) … y ( 2 q − 1 ) y ( q ) = 0 Delta_(q)[y]=|[y,y^('),dots,y^((q-1)),y^((q))],[y^('),y^(''),dots,y^((q)),y^((q+1))],[*,*,*,*,*],[y^((q)),y^((q+1)),dots,y^((2q-1)),y^((q))]|=0\Delta_{q}[y]=\left|\begin{array}{ccccc} y & y^{\prime} & \ldots & y^{(q-1)} & y^{(q)} \\ y^{\prime} & y^{\prime \prime} & \ldots & y^{(q)} & y^{(q+1)} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ y^{(q)} & y^{(q+1)} & \ldots & y^{(2 q-1)} & y^{(q)} \end{array}\right|=0Δq[y]=|yy′…y(q−1)y(q)y′y′′…y(q)y(q+1)⋅⋅⋅⋅⋅y(q)y(q+1)…y(2q−1)y(q)|=0
ecuația diferențială și y y yyy o integrală a ei pentru care Δ q − 1 [ y ] ≠ 0 Δ q − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(q-1)[y]!=0\Delta_{q-1}[y] \neq 0Δq−1[y]≠0. Se demonstrează ca la nr. 1, că între elementele coloanelor determinantului Δ q [ y ] Δ q [ y ] Delta_(q)[y]\Delta_{q}[y]Δq[y] există o aceeași relație lineară cu coeficienți constanți, adică
B q y + B q − 1 y ′ + … + B 1 y ( q − 1 ) + y ( q ) = 0 (28) B q y ′ + B q − 1 y ′ ′ + … + B 1 y ( q ) + y ( q + 1 ) = 0 B q y ( q ) + B q − 1 y ( q + 1 ) + … + B 1 y ( 2 q − 1 ) + y ( 2 q ) = 0 . B q y + B q − 1 y ′ + … + B 1 y ( q − 1 ) + y ( q ) = 0 (28) B q y ′ + B q − 1 y ′ ′ + … + B 1 y ( q ) + y ( q + 1 ) = 0 B q y ( q ) + B q − 1 y ( q + 1 ) + … + B 1 y ( 2 q − 1 ) + y ( 2 q ) = 0 . {:[B_(q)y+B_(q-1)y^(')+dots+B_(1)y^((q-1))+y^((q))=0],[(28)B_(q)y^(')+B_(q-1)y^('')+dots+B_(1)y^((q))+y^((q+1))=0],[B_(q)y^((q))+B_(q-1)y^((q+1))+dots+B_(1)y^((2q-1))+y^((2q))=0.]:}\begin{align*} & B_{q} y+B_{q-1} y^{\prime}+\ldots+B_{1} y^{(q-1)}+y^{(q)}=0 \\ & B_{q} y^{\prime}+B_{q-1} y^{\prime \prime}+\ldots+B_{1} y^{(q)}+y^{(q+1)}=0 \tag{28}\\ & B_{q} y^{(q)}+B_{q-1} y^{(q+1)}+\ldots+B_{1} y^{(2 q-1)}+y^{(2 q)}=0 . \end{align*}Bqy+Bq−1y′+…+B1y(q−1)+y(q)=0(28)Bqy′+Bq−1y′′+…+B1y(q)+y(q+1)=0Bqy(q)+Bq−1y(q+1)+…+B1y(2q−1)+y(2q)=0.
Dar coeficienții B 1 , B 2 , … , B q B 1 , B 2 , … , B q B_(1),B_(2),dots,B_(q)B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{q}B1,B2,…,Bq fiind constanți, putem deriva succesiv ultima ecuație şi vom obține
( ′ ) B q y ( q + 1 ) + B q − 1 y ( q + 2 ) + … + B 1 y ( 2 q ) + y ( 2 q + 1 ) = 0 B q y ( n ) + B q − 1 y ( n + 1 ) + … + B 1 y ( n + q − 1 ) + y ( n + q ) = 0 ( ′ ) B q y ( q + 1 ) + B q − 1 y ( q + 2 ) + … + B 1 y ( 2 q ) + y ( 2 q + 1 ) = 0 B q y ( n ) + B q − 1 y ( n + 1 ) + … + B 1 y ( n + q − 1 ) + y ( n + q ) = 0 {:[('")"B_(q)y^((q+1))+B_(q-1)y^((q+2))+dots+B_(1)y^((2q))+y^((2q+1))=0],[B_(q)y^((n))+B_(q-1)y^((n+1))+dots+B_(1)y^((n+q-1))+y^((n+q))=0]:}\begin{align*} & B_{q} y^{(q+1)}+B_{q-1} y^{(q+2)}+\ldots+B_{1} y^{(2 q)}+y^{(2 q+1)}=0 \tag{$\prime$}\\ & B_{q} y^{(n)}+B_{q-1} y^{(n+1)}+\ldots+B_{1} y^{(n+q-1)}+y^{(n+q)}=0 \end{align*}(′)Bqy(q+1)+Bq−1y(q+2)+…+B1y(2q)+y(2q+1)=0Bqy(n)+Bq−1y(n+1)+…+B1y(n+q−1)+y(n+q)=0
Deducem astfel că
Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0
deoarece între elementele primelor q + 1 q + 1 q+1q+1q+1 coloane ale lui există o aceeași relație lineară, după cum arată formulele (28) și (28').
5. Concluzie. Fie y o integrală a ecuației Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0. Dacă ea nu verifică ecuația Δ n − 1 [ y ] = 0 Δ n − 1 [ y ] = 0 Delta_(n-1)[y]=0\Delta_{n-1}[y]=0Δn−1[y]=0, are forma (10), unde C 1 C 2 … C n ≠ 0 C 1 C 2 … C n ≠ 0 C_(1)C_(2)dotsC_(n)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{n} \neq 0C1C2…Cn≠0, sau forma (17), unde k = 1 k = 1 k=1k=1k=1, sau 2 , … 2 , … 2,dots2, \ldots2,…, sau n − 1 n − 1 n-1n-1n−1, iar p 1 , p 2 , p 3 , … , p k p 1 , p 2 , p 3 , … , p k p_(1),p_(2),p_(3),dots,p_(k)p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{k}p1,p2,p3,…,pk sînt numere întregi pozitive sau nule astfel ca p 1 + p 2 + … + p k = n p 1 + p 2 + … + p k = n p_(1)+p_(2)+dots+p_(k)=np_{1}+p_{2}+\ldots+p_{k}=np1+p2+…+pk=n, iar C 1 C 2 … C k ≠ 0 C 1 C 2 … C k ≠ 0 C_(1)C_(2)dotsC_(k)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{k} \neq 0C1C2…Ck≠0.
Dacă însă integrala y y yyy a ecuației Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0 verifică ecuația Δ n − 1 [ y ] = 0 Δ n − 1 [ y ] = 0 Delta_(n-1)[y]=0\Delta_{n-1}[y]=0Δn−1[y]=0 dar nu verifică ecuația Δ n − 2 [ y = 0 Δ n − 2 [ y = 0 Delta_(n-2)[y=0\Delta_{n-2}[y=0Δn−2[y=0, ea are tot una din formele arătate la alineatul precedent, însă n n nnn se schimbă în n − 1 n − 1 n-1n-1n−1.
În general, dacă integrala y y yyy a ecuației Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0 verifică ecuațiile
Δ n − 1 [ y ] = 0 , Δ n − 2 [ y ] = 0 , … , Δ n − j [ y ] = 0 Δ n − 1 [ y ] = 0 , Δ n − 2 [ y ] = 0 , … , Δ n − j [ y ] = 0 Delta_(n-1)[y]=0,quadDelta_(n-2)[y]=0,dots,Delta_(n-j)[y]=0\Delta_{n-1}[y]=0, \quad \Delta_{n-2}[y]=0, \ldots, \Delta_{n-j}[y]=0Δn−1[y]=0,Δn−2[y]=0,…,Δn−j[y]=0
dar
Δ n → j − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n → j − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n rarr j-1)[y]!=0\Delta_{n \rightarrow j-1}[y] \neq 0Δn→j−1[y]≠0
atunci ea are una din formele arătate la alineatul 1 , cu condiția să se schimbe n n nnn în n − j n − j n-jn-jn−j.
Exemplu. Să considerăm ecuația diferențială
Δ 3 [ y ] = 0 . Δ 3 [ y ] = 0 . Delta_(3)[y]=0.\Delta_{3}[y]=0 .Δ3[y]=0.
1 ∘ 1 ∘ 1^(@)1^{\circ}1∘. Dacă o integrală a ei y y yyy este astfel încît Δ 2 [ y ] ≠ 0 Δ 2 [ y ] ≠ 0 Delta_(2)[y]!=0\Delta_{2}[y] \neq 0Δ2[y]≠0, atunci ea are una din următoarele forme
y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + C 3 e r 2 x y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + C 3 e r 2 x y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+C_(3)e^(r_(2)x)y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+C_{3} e^{r_{2} x}y=C1er1x+C2er2x+C3er2x
unde γ 1 , γ 2 , γ 3 γ 1 , γ 2 , γ 3 gamma_(1),gamma_(2),gamma_(3)\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}γ1,γ2,γ3 sînt numere distincte şi C 1 C 2 C 3 ≠ 0 C 1 C 2 C 3 ≠ 0 C_(1)C_(2)C_(3)!=0C_{1} C_{2} C_{3} \neq 0C1C2C3≠0, sau
y = ( C 1 x + C 2 ) e r 1 x + C 3 e r 3 x y = C 1 x + C 2 e r 1 x + C 3 e r 3 x y=(C_(1)x+C_(2))e^(r_(1)x)+C_(3)e^(r_(3)x)y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r_{1} x}+C_{3} e^{r_{3} x}y=(C1x+C2)er1x+C3er3x
unde γ 1 , γ 3 γ 1 , γ 3 gamma_(1),gamma_(3)\gamma_{1}, \gamma_{3}γ1,γ3 sînt numere distincte şi C 1 C 2 ≠ 0 C 1 C 2 ≠ 0 C_(1)C_(2)!=0C_{1} C_{2} \neq 0C1C2≠0 sau
y = ( C 1 x 2 2 ! + C 2 x 1 ! + C 3 ) e r 1 x y = C 1 x 2 2 ! + C 2 x 1 ! + C 3 e r 1 x y=(C_(1)(x^(2))/(2!)+C_(2)(x)/(1!)+C_(3))e^(r_(1)x)y=\left(C_{1} \frac{x^{2}}{2!}+C_{2} \frac{x}{1!}+C_{3}\right) e^{r_{1} x}y=(C1x22!+C2x1!+C3)er1x
unde C 1 ≠ 0 C 1 ≠ 0 C_(1)!=0C_{1} \neq 0C1≠0.
2 ∘ 2 ∘ 2^(@)2^{\circ}2∘. Dacă integrala y y yyy a ecuației diferențiale Δ 3 [ y ] = 0 Δ 3 [ y ] = 0 Delta_(3)[y]=0\Delta_{3}[y]=0Δ3[y]=0 verifică ecuația Δ 2 [ y ] = 0 Δ 2 [ y ] = 0 Delta_(2)[y]=0\Delta_{2}[y]=0Δ2[y]=0, dar Δ 1 [ y ] ≠ 0 Δ 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(1)[y]!=0\Delta_{1}[y] \neq 0Δ1[y]≠0, atunci ea are una din următoarele forme
y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}y=C1er1x+C2er2x
unde r 1 r 1 r_(1)r_{1}r1 şi r 2 r 2 r_(2)r_{2}r2 sînt numere distincte şi C 1 C 2 ≠ 0 C 1 C 2 ≠ 0 C_(1)C_(2)!=0C_{1} C_{2} \neq 0C1C2≠0, sau
y = ( C 1 x + C 2 ) e r 1 x y = C 1 x + C 2 e r 1 x y=(C_(1)x+C_(2))e^(r_(1)x)y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r_{1} x}y=(C1x+C2)er1x
unde C 1 ≠ 0 C 1 ≠ 0 C_(1)!=0C_{1} \neq 0C1≠0.
3 ∘ 3 ∘ 3^(@)3^{\circ}3∘. Dacă integrala y y yyy a ecuației Δ 3 [ y ] = 0 Δ 3 [ y ] = 0 Delta_(3)[y]=0\Delta_{3}[y]=0Δ3[y]=0 verifică ecuațiile Δ 2 [ y ] = 0 Δ 2 [ y ] = 0 Delta_(2)[y]=0\Delta_{2}[y]=0Δ2[y]=0, Δ 1 [ y ] = 0 Δ 1 [ y ] = 0 Delta_(1)[y]=0\Delta_{1}[y]=0Δ1[y]=0, dar Δ 0 [ y ] = y ≠ 0 Δ 0 [ y ] = y ≠ 0 Delta_(0)[y]=y!=0\Delta_{0}[y]=y \neq 0Δ0[y]=y≠0, atunci ea are forma
y = C 1 e r 1 x y = C 1 e r 1 x y=C_(1)e^(r_(1)x)y=C_{1} e^{r_{1} x}y=C1er1x
unde C 1 ≠ 0 C 1 ≠ 0 C_(1)!=0C_{1} \neq 0C1≠0.
4 ∘ 4 ∘ 4^(@)4^{\circ}4∘. Dacă, în fine, integrala y y yyy a ecuației diferențiale Δ 3 [ y ] = 0 Δ 3 [ y ] = 0 Delta_(3)[y]=0\Delta_{3}[y]=0Δ3[y]=0 verifică ecuațiile Δ 2 [ y ] = 0 , Δ 1 [ y ] = 0 , Δ 0 [ y ] = 0 Δ 2 [ y ] = 0 , Δ 1 [ y ] = 0 , Δ 0 [ y ] = 0 Delta_(2)[y]=0,Delta_(1)[y]=0,Delta_(0)[y]=0\Delta_{2}[y]=0, \Delta_{1}[y]=0, \Delta_{0}[y]=0Δ2[y]=0,Δ1[y]=0,Δ0[y]=0, ea este evident identic nulă.
6. Să trecem 1a integrarea ecuației diferențiale
(29) Δ n [ y ] = A e α x (29) Δ n [ y ] = A e α x {:(29)Delta_(n)[y]=Ae^(alpha x):}\begin{equation*} \Delta_{n}[y]=A e^{\alpha x} \tag{29} \end{equation*}(29)Δn[y]=Aeαx
unde A A AAA şi α α alpha\alphaα sînt constante şi A ≠ 0 A ≠ 0 A!=0A \neq 0A≠0.
Pentru aceasta, ne vom servi de identitatea
(30) | Δ n [ y ] Δ n ′ [ y ] Δ n ′ [ y ] Δ n ′ ′ [ y ] | = Δ n − 1 [ y ] Δ n + 1 [ y ] (30) Δ n [ y ] Δ n ′ [ y ] Δ n ′ [ y ] Δ n ′ ′ [ y ] = Δ n − 1 [ y ] Δ n + 1 [ y ] {:(30)|[Delta_(n)[y],Delta_(n)^(')[y]],[Delta_(n)^(')[y],Delta_(n)^('')[y]]|=Delta_(n-1)[y]Delta_(n+1)[y]:}\left|\begin{array}{ll} \Delta_{n}[y] & \Delta_{n}^{\prime}[y] \tag{30}\\ \Delta_{n}^{\prime}[y] & \Delta_{n}^{\prime \prime}[y] \end{array}\right|=\Delta_{n-1}[y] \Delta_{n+1}[y](30)|Δn[y]Δn′[y]Δn′[y]Δn′′[y]|=Δn−1[y]Δn+1[y]
care se demonstrează în modul următor.
Să scriem determinantul Δ n + 1 [ y ] Δ n + 1 [ y ] Delta_(n+1)[y]\Delta_{n+1}[y]Δn+1[y] sub forma
D = | a 11 … a 1 n a 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ a n 1 … a n n a n , n + 1 a n + 1 , 1 … a n + 1 , n a n + 1 , n + 1 | D = a 11 … a 1 n a 1 , n + 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ a n 1 … a n n a n , n + 1 a n + 1 , 1 … a n + 1 , n a n + 1 , n + 1 D=|[a_(11),dots,a_(1n),a_(1,n+1)],[vdots,,vdots,vdots],[vdots,dots,vdots,vdots],[a_(n1),dots,a_(nn),a_(n,n+1)],[a_(n+1,1),dots,a_(n+1,n),a_(n+1,n+1)]|D=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & \ldots & a_{1 n} & a_{1, n+1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n n} & a_{n, n+1} \\ a_{n+1,1} & \ldots & a_{n+1, n} & a_{n+1, n+1} \end{array}\right|D=|a11…a1na1,n+1⋮⋮⋮⋮…⋮⋮an1…annan,n+1an+1,1…an+1,nan+1,n+1|
şi să observăm că avem
Δ n [ y ] = ∂ D ∂ a n + 1 , n + 1 , Δ n ′ [ y ] = − ∂ D ∂ a n , n + 1 = − ∂ D ∂ a r + 1 , n , Δ n ′ ′ [ y ] = ∂ D ∂ a n , n . Δ n [ y ] = ∂ D ∂ a n + 1 , n + 1 , Δ n ′ [ y ] = − ∂ D ∂ a n , n + 1 = − ∂ D ∂ a r + 1 , n , Δ n ′ ′ [ y ] = ∂ D ∂ a n , n . Delta_(n)[y]=(del D)/(dela_(n+1,n+1)),quadDelta_(n)^(')[y]=-(del D)/(dela_(n,n+1))=-(del D)/(dela_(r+1,n)),quadDelta_(n)^('')[y]=(del D)/(dela_(n,n)).\Delta_{n}[y]=\frac{\partial D}{\partial a_{n+1, n+1}}, \quad \Delta_{n}^{\prime}[y]=-\frac{\partial D}{\partial a_{n, n+1}}=-\frac{\partial D}{\partial a_{r+1, n}}, \quad \Delta_{n}^{\prime \prime}[y]=\frac{\partial D}{\partial a_{n, n}} .Δn[y]=∂D∂an+1,n+1,Δn′[y]=−∂D∂an,n+1=−∂D∂ar+1,n,Δn′′[y]=∂D∂an,n.
Se știe că avem identitatea [4]
| ∂ D ∂ a n , n ∂ D ∂ a n , n + 1 ∂ D ∂ a n + 1 , n ∂ D ∂ a n + 1 , n + 1 | = D 2 D 1 ∂ D ∂ a n , n ∂ D ∂ a n , n + 1 ∂ D ∂ a n + 1 , n ∂ D ∂ a n + 1 , n + 1 = D 2 D 1 |[(del D)/(dela_(n,n)),(del D)/(dela_(n,n+1))],[(del D)/(dela_(n+1,n)),(del D)/(dela_(n+1,n+1))]|=D_(2)D_(1)\left|\begin{array}{cc} \frac{\partial D}{\partial a_{n, n}} & \frac{\partial D}{\partial a_{n, n+1}} \\ \frac{\partial D}{\partial a_{n+1, n}} & \frac{\partial D}{\partial a_{n+1, n+1}} \end{array}\right|=D_{2} D_{1}|∂D∂an,n∂D∂an,n+1∂D∂an+1,n∂D∂an+1,n+1|=D2D1
unde D 2 D 2 D_(2)D_{2}D2 este determinantul obținut din D D DDD prin suprimarea ultimelor două linii și coloane. Această identitate conduce la identitatea (30).
Fie y y yyy o integrală a ecuației diferențiale (29). Este evident că u = A e a x u = A e a x u=Ae^(ax)u=A e^{a x}u=Aeax fiind o integrală a ecuației diferențiale Δ 1 [ u ] = 0 Δ 1 [ u ] = 0 Delta_(1)[u]=0\Delta_{1}[u]=0Δ1[u]=0, vom avea aplicînd identitatea (30)
Δ n − 1 [ y ] Δ n + 1 [ y ] = 0 . Δ n − 1 [ y ] Δ n + 1 [ y ] = 0 . Delta_(n-1)[y]Delta_(n+1)[y]=0.\Delta_{n-1}[y] \Delta_{n+1}[y]=0 .Δn−1[y]Δn+1[y]=0.
Dar nu se poate ca y y yyy să verifice ecuația Δ n − 1 [ y ] = 0 Δ n − 1 [ y ] = 0 Delta_(n-1)[y]=0\Delta_{n-1}[y]=0Δn−1[y]=0, fiindcă am avea și Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0, ceea ce este imposibil căci A ≠ 0 A ≠ 0 A_(!=0)A_{\neq 0}A≠0. Deci orice integrală a ecuației diferențiale (29) este integrală a ecuației diferențiale
(31) Δ n + 1 [ y ] = 0 (31) Δ n + 1 [ y ] = 0 {:(31)Delta_(n+1)[y]=0:}\begin{equation*} \Delta_{n+1}[y]=0 \tag{31} \end{equation*}(31)Δn+1[y]=0
și prin urmare integralele ecuației diferențiale (29) trebuie căutate printre integralele ecuației diferențiale (31).
Să considerăm întîi integrala ecuației diferențiale (31)
y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + … + C n e r n x + C n + 1 e r n + 1 x y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + … + C n e r n x + C n + 1 e r n + 1 x y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x)+C_(n+1)e^(r_(n+1)x)y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x}+C_{n+1} e^{r_{n+1} x}y=C1er1x+C2er2x+…+Cnernx+Cn+1ern+1x
pentru care Δ n [ y ] ≠ 0 Δ n [ y ] ≠ 0 Delta_(n)[y]!=0\Delta_{n}[y] \neq 0Δn[y]≠0, adică r 1 , r 2 , … , r n , r n + 1 r 1 , r 2 , … , r n , r n + 1 r_(1),r_(2),dots,r_(n),r_(n+1)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}, r_{n+1}r1,r2,…,rn,rn+1 sînt numere distincte iar C 1 C 2 … C n C n + 1 ≠ 0 C 1 C 2 … C n C n + 1 ≠ 0 C_(1)C_(2)dotsC_(n)C_(n+1)!=0C_{1} C_{2} \ldots C_{n} C_{n+1} \neq 0C1C2…CnCn+1≠0. Conform formulei (12), avem
Δ n [ y ] = C 1 C 2 … C n − C n + 1 V 2 ( r 1 , r 2 , … , r n , r n + 1 ) e ( r 1 + r 2 + … + r n + r n + 1 ) x Δ n [ y ] = C 1 C 2 … C n − C n + 1 V 2 r 1 , r 2 , … , r n , r n + 1 e r 1 + r 2 + … + r n + r n + 1 x Delta_(n)[y]=C_(1)C_(2)dotsC_(n)^(-)C_(n+1)V^(2)(r_(1),r_(2),dots,r_(n),r_(n+1))e^((r_(1)+r_(2)+dots+r_(n)+r_(n+1))x)\Delta_{n}[y]=C_{1} C_{2} \ldots C_{n}^{-} C_{n+1} V^{2}\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}, r_{n+1}\right) e^{\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}+r_{n+1}\right) x}Δn[y]=C1C2…Cn−Cn+1V2(r1,r2,…,rn,rn+1)e(r1+r2+…+rn+rn+1)x
Pentru ca ecuația (29) să fie satisfăcută, vom alege
r 1 + r 2 + … + r n + r n + 1 = α C 1 C 2 … C n C n + 1 V 2 ( r 1 , r 2 , … , r n , r n + 1 ) = A r 1 + r 2 + … + r n + r n + 1 = α C 1 C 2 … C n C n + 1 V 2 r 1 , r 2 , … , r n , r n + 1 = A {:[r_(1)+r_(2)+dots+r_(n)+r_(n+1)=alpha],[C_(1)C_(2)dotsC_(n)C_(n+1)V^(2)(r_(1),r_(2),dots,r_(n),r_(n+1))=A]:}\begin{aligned} & r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}+r_{n+1}=\alpha \\ & C_{1} C_{2} \ldots C_{n} C_{n+1} V^{2}\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}, r_{n+1}\right)=A \end{aligned}r1+r2+…+rn+rn+1=αC1C2…CnCn+1V2(r1,r2,…,rn,rn+1)=A
Prima ecuație determină pe r n + 1 r n + 1 r_(n+1)r_{n+1}rn+1, adică
r n + 1 = α − ( r 1 + r 2 + … + r n ) r n + 1 = α − r 1 + r 2 + … + r n r_(n+1)=alpha-(r_(1)+r_(2)+dots+r_(n))r_{n+1}=\alpha-\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}\right)rn+1=α−(r1+r2+…+rn)
şi vom alege pe r 1 , r 2 , … , r n r 1 , r 2 , … , r n r_(1),r_(2),dots,r_(n)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}r1,r2,…,rn astfel ca r 1 , r 2 , … , r n , r n + 1 r 1 , r 2 , … , r n , r n + 1 r_(1),r_(2),dots,r_(n),r_(n+1)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}, r_{n+1}r1,r2,…,rn,rn+1 să fie numere distincte. Atunci a doua ecuație determină pe C n + 1 C n + 1 C_(n+1)C_{n+1}Cn+1 și vom avea
C n + 1 = A C 1 C 2 … C n V 2 [ r 1 , r 2 … r n , α − ( r 1 + r 2 + … + r n ) ] C n + 1 = A C 1 C 2 … C n V 2 r 1 , r 2 … r n , α − r 1 + r 2 + … + r n C_(n+1)=(A)/(C_(1)C_(2)dotsC_(n)V^(2)[r_(1),r_(2)dotsr_(n),alpha-(r_(1)+r_(2)+dots+r_(n))])C_{n+1}=\frac{A}{C_{1} C_{2} \ldots C_{n} V^{2}\left[r_{1}, r_{2} \ldots r_{n}, \alpha-\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}\right)\right]}Cn+1=AC1C2…CnV2[r1,r2…rn,α−(r1+r2+…+rn)]
Integrala ecuației (29) se prezintă sub forma
y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + … + C n e r n x + A e [ α − ( r 1 + r 2 + … + r n ) ] x C 1 C 2 … C n V 2 [ r 1 , r 2 , … , r n , α − ( r 1 + r 2 + … + r n ) ] y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + … + C n e r n x + A e α − r 1 + r 2 + … + r n x C 1 C 2 … C n V 2 r 1 , r 2 , … , r n , α − r 1 + r 2 + … + r n y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+dots+C_(n)e^(r_(n)x)+(Ae^([alpha-(r_(1)+r_(2)+dots+r_(n))]x))/(C_(1)C_(2)dotsC_(n)V^(2)[r_(1),r_(2),dots,r_(n),alpha-(r_(1)+r_(2)+dots+r_(n))])y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+\ldots+C_{n} e^{r_{n} x}+\frac{A e^{\left[\alpha-\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}\right)\right] x}}{C_{1} C_{2} \ldots C_{n} V^{2}\left[r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}, \alpha-\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n}\right)\right]}y=C1er1x+C2er2x+…+Cnernx+Ae[α−(r1+r2+…+rn)]xC1C2…CnV2[r1,r2,…,rn,α−(r1+r2+…+rn)]
Să considerăm însă și integralele ecuației diferențiale (31) de forma (17), adică
y = [ C 1 ( p 1 − 1 ) ! x p 1 − 1 + C 1 , 1 ( p 1 − 2 ) ! x p 1 − 2 + … + C 1 , p 1 − 1 ] e r 2 x + ⋯ ⋯ + ⋯ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + [ C k − 1 ( p k − 1 − 1 ) ! x p k − 1 − 1 + C k − 1 , 1 ( p k − 1 − 2 ) ! x p k − 1 − 2 + … + C k − 1 , p k − 1 − 1 ] e r k − 1 x (33) + [ C k ( p k − 1 ) ! x p k − 1 + C k − 1 , 1 ( p k − 2 ) ! x p k − 2 + … + C k , p k − 1 ] e r k x y = C 1 p 1 − 1 ! x p 1 − 1 + C 1 , 1 p 1 − 2 ! x p 1 − 2 + … + C 1 , p 1 − 1 e r 2 x + ⋯ ⋯ + ⋯ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + C k − 1 p k − 1 − 1 ! x p k − 1 − 1 + C k − 1 , 1 p k − 1 − 2 ! x p k − 1 − 2 + … + C k − 1 , p k − 1 − 1 e r k − 1 x (33) + C k p k − 1 ! x p k − 1 + C k − 1 , 1 p k − 2 ! x p k − 2 + … + C k , p k − 1 e r k x {:[y=[(C_(1))/((p_(1)-1)!)x^(p_(1)-1)+(C_(1,1))/((p_(1)-2)!)x^(p_(1)-2)+dots+C_(1,p_(1)-1)]e^(r_(2)x)],[+cdots cdots+cdots***********],[+[(C_(k-1))/((p_(k-1)-1)!)x^(p_(k-1)-1)+(C_(k-1,1))/((p_(k-1)-2)!)x^(p_(k-1)-2)+dots+C_(k-1,p_(k-1)-1)]e^(r_(k-1)x)],[(33)+[(C_(k))/((p_(k)-1)!)x^(p_(k)-1)+(C_(k-1,1))/((p_(k)-2)!)x^(p_(k)-2)+dots+C_(k,p_(k)-1)]e^(r_(k)x)]:}\begin{align*} y & =\left[\frac{C_{1}}{\left(p_{1}-1\right)!} x^{p_{1}-1}+\frac{C_{1,1}}{\left(p_{1}-2\right)!} x^{p_{1}-2}+\ldots+C_{1, p_{1}-1}\right] e^{r_{2} x} \\ & +\cdots \cdots+\cdots \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\ & +\left[\frac{C_{k-1}}{\left(p_{k-1}-1\right)!} x^{p_{k-1}-1}+\frac{C_{k-1,1}}{\left(p_{k-1}-2\right)!} x^{p_{k-1}-2}+\ldots+C_{k-1, p_{k-1}-1}\right] e^{r_{k-1} x} \\ & +\left[\frac{C_{k}}{\left(p_{k}-1\right)!} x^{p_{k}-1}+\frac{C_{k-1,1}}{\left(p_{k}-2\right)!} x^{p_{k}-2}+\ldots+C_{k, p_{k}-1}\right] e^{r_{k} x} \tag{33} \end{align*}y=[C1(p1−1)!xp1−1+C1,1(p1−2)!xp1−2+…+C1,p1−1]er2x+⋯⋯+⋯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+[Ck−1(pk−1−1)!xpk−1−1+Ck−1,1(pk−1−2)!xpk−1−2+…+Ck−1,pk−1−1]erk−1x(33)+[Ck(pk−1)!xpk−1+Ck−1,1(pk−2)!xpk−2+…+Ck,pk−1]erkx
unde
(34) p 1 + p 2 + … + p k = n + 1 (34) p 1 + p 2 + … + p k = n + 1 {:(34)p_(1)+p_(2)+dots+p_(k)=n+1:}\begin{equation*} p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{k}=n+1 \tag{34} \end{equation*}(34)p1+p2+…+pk=n+1
iar r 1 , r 2 , … , r k r 1 , r 2 , … , r k r_(1),r_(2),dots,r_(k)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{k}r1,r2,…,rk sînt distincte. Conform formulei (18), avem
Δ n [ y ] = ( − 1 ) k C 1 p 1 C 2 p 2 … C k − 1 p k − 1 C k p k V 2 ( r 1 , … , r 1 ⏟ p 1 ori , … , r k , … , r k ⏟ p 1 ori ) e ( p 1 r 1 + … + p k r Λ ) x Δ n [ y ] = ( − 1 ) k C 1 p 1 C 2 p 2 … C k − 1 p k − 1 C k p k V 2 ( r 1 , … , r 1 ⏟ p 1  ori  , … , r k , … , r k ⏟ p 1  ori  ) e p 1 r 1 + … + p k r Λ x Delta_(n)[y]=(-1)^(k)C_(1)^(p_(1))C_(2)^(p_(2))dotsC_(k-1)^(p_(k-1))C_(k)^(p_(k))V^(2)(ubrace(r_(1),dots,r_(1))_(p_(1)" ori "),dots,ubrace(r_(k),dots,r_(k))_(p_(1)" ori "))e^((p_(1)r_(1)+dots+p_(k)r_(Lambda))x)\Delta_{n}[y]=(-1)^{k} C_{1}^{p_{1}} C_{2}^{p_{2}} \ldots C_{k-1}^{p_{k-1}} C_{k}^{p_{k}} V^{2}(\underbrace{r_{1}, \ldots, r_{1}}_{p_{1} \text { ori }}, \ldots, \underbrace{r_{k}, \ldots, r_{k}}_{p_{1} \text { ori }}) e^{\left(p_{1} r_{1}+\ldots+p_{k} r_{\Lambda}\right) x}Δn[y]=(−1)kC1p1C2p2…Ck−1pk−1CkpkV2(r1,…,r1⏟p1 ori ,…,rk,…,rk⏟p1 ori )e(p1r1+…+pkrΛ)x
Pentru ca membrul al doilea să se reducă la A e α x A e α x Ae^(alpha x)A e^{\alpha x}Aeαx, vom alege
p 1 r 1 + … + p k − 1 r k − 1 + p k r k = α ( − 1 ) k C 1 p 1 C 2 p 2 … C k p k V 2 ( r 1 , … , r 1 ⏟ p 1 ori , … , r k , … , r k ⏟ p k ori ) = A p 1 r 1 + … + p k − 1 r k − 1 + p k r k = α ( − 1 ) k C 1 p 1 C 2 p 2 … C k p k V 2 ( r 1 , … , r 1 ⏟ p 1  ori  , … , r k , … , r k ⏟ p k  ori  ) = A {:[p_(1)r_(1)+dots+p_(k-1)r_(k-1)+p_(k)r_(k)=alpha],[(-1)^(k)C_(1)^(p_(1))C_(2)^(p_(2))dotsC_(k)^(p_(k))V^(2)(ubrace(r_(1),dots,r_(1))_(p_(1)" ori ")","dots","ubrace(r_(k),dots,r_(k))_(p_(k)" ori "))=A]:}\begin{gathered} p_{1} r_{1}+\ldots+p_{k-1} r_{k-1}+p_{k} r_{k}=\alpha \\ (-1)^{k} C_{1}^{p_{1}} C_{2}^{p_{2}} \ldots C_{k}^{p_{k}} V^{2}(\underbrace{r_{1}, \ldots, r_{1}}_{p_{1} \text { ori }}, \ldots, \underbrace{r_{k}, \ldots, r_{k}}_{p_{k} \text { ori }})=A \end{gathered}p1r1+…+pk−1rk−1+pkrk=α(−1)kC1p1C2p2…CkpkV2(r1,…,r1⏟p1 ori ,…,rk,…,rk⏟pk ori )=A
unde numerele p 1 , p 2 , … , p k − 1 , p k p 1 , p 2 , … , p k − 1 , p k p_(1),p_(2),dots,p_(k-1),p_(k)p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k-1}, p_{k}p1,p2,…,pk−1,pk sînt fixate astfel ca să avem relația (34) şi ca p k ≠ 0 p k ≠ 0 p_(k)!=0p_{k} \neq 0pk≠0.
Atunci vom lua
(35) r k = α − ( p 1 r 1 + … + p k − 1 r k − 1 ) p k (35) r k = α − p 1 r 1 + … + p k − 1 r k − 1 p k {:(35)r_(k)=(alpha-(p_(1)r_(1)+dots+p_(k-1)r_(k-1)))/(p_(k)):}\begin{equation*} r_{k}=\frac{\alpha-\left(p_{1} r_{1}+\ldots+p_{k-1} r_{k-1}\right)}{p_{k}} \tag{35} \end{equation*}(35)rk=α−(p1r1+…+pk−1rk−1)pk
numerele r 1 , r 2 , … , r k − 1 r 1 , r 2 , … , r k − 1 r_(1),r_(2),dots,r_(k-1)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{k-1}r1,r2,…,rk−1 fiind astfel alese ca toate numerele r 1 , r 2 , … , r k r 1 , r 2 , … , r k r_(1),r_(2),dots,r_(k)r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{k}r1,r2,…,rk să fie distincte.
Mai departe vom lua
C k = A ( − 1 ) k C 1 p 1 C 2 p 2 … C k − 1 p k − 1 V 2 ( r 1 , … , r 1 ⏟ p 1 ori , … , r p k , … , r k r k ) p k C k = A ( − 1 ) k C 1 p 1 C 2 p 2 … C k − 1 p k − 1 V 2 ( r 1 , … , r 1 ⏟ p 1  ori  , … , r p k , … , r k r k ) p k C_(k)=root(p_(k))((A)/((-1)^(k)C_(1)^(p_(1))C_(2)^(p_(2))dotsC_(k-1)^(p_(k-1))V^(2)(ubrace(r_(1),dots,r_(1))_(p_(1)" ori "),dots,r_(p_(k),dots,r_(k))^(r_(k)))))C_{k}=\sqrt[p_{k}]{\frac{A}{(-1)^{k} C_{1}^{p_{1}} C_{2}^{p_{2}} \ldots C_{k-1}^{p_{k-1}} V^{2}(\underbrace{r_{1}, \ldots, r_{1}}_{p_{1} \text { ori }}, \ldots, r_{p_{k}, \ldots, r_{k}}^{r_{k}})}}Ck=A(−1)kC1p1C2p2…Ck−1pk−1V2(r1,…,r1⏟p1 ori ,…,rpk,…,rkrk)pk
și atunci ecuația diferențială (29) mai are integralele date de formula (33), unde r k r k r_(k)r_{k}rk şi C k C k C_(k)C_{k}Ck sînt date de formulele (35) și (36).

Exemple.

1 ∘ 1 ∘ 1^(@)1^{\circ}1∘. Ecuatia lăntişorului. Aceasta este
Δ [ y ] = | y y ′ y ′ y ′ ′ | = 1 Δ [ y ] = y y ′ y ′ y ′ ′ = 1 Delta[y]=|[y,y^(')],[y^('),y^('')]|=1\Delta[y]=\left|\begin{array}{ll} y & y^{\prime} \\ y^{\prime} & y^{\prime \prime} \end{array}\right|=1Δ[y]=|yy′y′y′′|=1
Integrala ei se găsește printre integralele ecuației diferențiale
Δ 2 [ y ] = 0 Δ 2 [ y ] = 0 Delta_(2)[y]=0\Delta_{2}[y]=0Δ2[y]=0
Această ecuaţie are integrale de forma
(37) y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x (37) y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x {:(37)y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x):}\begin{equation*} y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x} \tag{37} \end{equation*}(37)y=C1er1x+C2er2x
şi
(38) y = ( C 1 x + C 2 ) e r 1 x (38) y = C 1 x + C 2 e r 1 x {:(38)y=(C_(1)x+C_(2))e^(r_(1)x):}\begin{equation*} y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r_{1} x} \tag{38} \end{equation*}(38)y=(C1x+C2)er1x
Pentru aceste integrale avem
Δ 1 [ y ] = C 1 C 2 ( r 1 − r 2 ) 2 e ( r 1 + r 2 ) x Δ 1 [ y ] = − C 1 2 e 2 r 1 x . Δ 1 [ y ] = C 1 C 2 r 1 − r 2 2 e r 1 + r 2 x Δ 1 [ y ] = − C 1 2 e 2 r 1 x . {:[Delta_(1)[y]=C_(1)C_(2)(r_(1)-r_(2))^(2)e^((r_(1)+r_(2))x)],[Delta_(1)[y]=-C_(1)^(2)e^(2r_(1)x).]:}\begin{aligned} & \Delta_{1}[y]=C_{1} C_{2}\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2} e^{\left(r_{1}+r_{2}\right) x} \\ & \Delta_{1}[y]=-C_{1}^{2} e^{2 r_{1} x} . \end{aligned}Δ1[y]=C1C2(r1−r2)2e(r1+r2)xΔ1[y]=−C12e2r1x.
Pentru integralele de forma (37), ca să avem Δ 1 [ y ] = 1 Δ 1 [ y ] = 1 Delta_(1)[y]=1\Delta_{1}[y]=1Δ1[y]=1 vom alege
r 1 + r 2 = 0 , r 1 − r 2 = 1 C 1 C 2 r 1 + r 2 = 0 , r 1 − r 2 = 1 C 1 C 2 r_(1)+r_(2)=0,quadr_(1)-r_(2)=(1)/(sqrt(C_(1)C_(2)))r_{1}+r_{2}=0, \quad r_{1}-r_{2}=\frac{1}{\sqrt{C_{1} C_{2}}}r1+r2=0,r1−r2=1C1C2
care ne conduce la
( ′ ) y = C 1 e x 2 C 1 C 2 + C 2 e − x 2 C 1 C 2 ( ′ ) y = C 1 e x 2 C 1 C 2 + C 2 e − x 2 C 1 C 2 {:('")"y=C_(1)e^((x)/(2sqrt(C_(1)C_(2))))+C_(2)e^(-(x)/(2sqrt(C_(1)C_(2)))):}\begin{equation*} y=C_{1} e^{\frac{x}{2 \sqrt{C_{1} C_{2}}}}+C_{2} e^{-\frac{x}{2 \sqrt{C_{1} C_{2}}}} \tag{$\prime$} \end{equation*}(′)y=C1ex2C1C2+C2e−x2C1C2
Pentru integralele de forma (38), ca să avem Δ 1 [ y ] = 1 Δ 1 [ y ] = 1 Delta_(1)[y]=1\Delta_{1}[y]=1Δ1[y]=1 vom alege r 1 = 0 , C 1 = i r 1 = 0 , C 1 = i r_(1)=0,C_(1)=ir_{1}=0, \mathrm{C}_{1}=ir1=0,C1=i, ceea ce ne conduce la
(38') y = i x + C 2 (38') y = i x + C 2 {:(38')y=ix+C_(2):}\begin{equation*} y=i x+C_{2} \tag{38'} \end{equation*}(38')y=ix+C2
Integralele ecuației diferențiale a lănțişorului sînt ( 37 ′ ) 37 ′ (37^('))\left(37^{\prime}\right)(37′) şi ( 38 ′ ) 38 ′ (38^('))\left(38^{\prime}\right)(38′).
2 ∘ 2 ∘ 2^(@)2^{\circ}2∘. Ecuatia lui Darboux. Este ecuația
Δ 2 [ y ] = | y y ′ y ′ ′ y ′ y ′ ′ y ′ ′ ′ y ′ ′ y ′ ′ ′ y ′ v | = 1 Δ 2 [ y ] = y y ′ y ′ ′ y ′ y ′ ′ y ′ ′ ′ y ′ ′ y ′ ′ ′ y ′ v = 1 Delta_(2)[y]=|[y,y^('),y^('')],[y^('),y^(''),y^(''')],[y^(''),y^('''),y^('v)]|=1\Delta_{2}[y]=\left|\begin{array}{ccc} y & y^{\prime} & y^{\prime \prime} \\ y^{\prime} & y^{\prime \prime} & y^{\prime \prime \prime} \\ y^{\prime \prime} & y^{\prime \prime \prime} & y^{\prime v} \end{array}\right|=1Δ2[y]=|yy′y′′y′y′′y′′′y′′y′′′y′v|=1
Integralele ei se găsesc printre integralele ecuației
care sînt de forma
Δ 3 [ y ] = 0 Δ 3 [ y ] = 0 Delta_(3)[y]=0\Delta_{3}[y]=0Δ3[y]=0
(39) y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + C 3 e r 3 x (40) y = ( C 1 x + C 2 ) e r 1 x + C 3 e r 3 x (41) y = ( C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3 ) e r 1 x (39) y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + C 3 e r 3 x (40) y = C 1 x + C 2 e r 1 x + C 3 e r 3 x (41) y = C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3 e r 1 x {:[(39)y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+C_(3)e^(r_(3)x)],[(40)y=(C_(1)x+C_(2))e^(r_(1)x)+C_(3)e^(r_(3)x)],[(41)y=(C_(1)(x^(2))/(2)+C_(2)x+C_(3))e^(r_(1)x)]:}\begin{align*} & y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+C_{3} e^{r_{3} x} \tag{39}\\ & y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r_{1} x}+C_{3} e^{r_{3} x} \tag{40}\\ & y=\left(C_{1} \frac{x^{2}}{2}+C_{2} x+C_{3}\right) e^{r_{1} x} \tag{41} \end{align*}(39)y=C1er1x+C2er2x+C3er3x(40)y=(C1x+C2)er1x+C3er3x(41)y=(C1x22+C2x+C3)er1x
Pentru aceste tipuri de integrale, avem
Δ 2 [ y ] = C 1 C 2 C 3 V 2 ( r 1 , r 2 , r 3 ) e ( r 1 + r 2 + r 3 ) x Δ 2 [ y ] = − C 1 2 C 3 V 2 ( r 1 , r 1 , r 3 ) e ( 2 r 1 + r 3 ) x Δ 2 [ y ] = − C 1 3 e 3 r 1 x Δ 2 [ y ] = C 1 C 2 C 3 V 2 r 1 , r 2 , r 3 e r 1 + r 2 + r 3 x Δ 2 [ y ] = − C 1 2 C 3 V 2 r 1 , r 1 , r 3 e 2 r 1 + r 3 x Δ 2 [ y ] = − C 1 3 e 3 r 1 x {:[Delta_(2)[y]=C_(1)C_(2)C_(3)V^(2)(r_(1),r_(2),r_(3))e^((r_(1)+r_(2)+r_(3))x)],[Delta_(2)[y]=-C_(1)^(2)C_(3)V^(2)(r_(1),r_(1),r_(3))e^((2r_(1)+r_(3))x)],[Delta_(2)[y]=-C_(1)^(3)e^(3r_(1)x)]:}\begin{aligned} & \Delta_{2}[y]=C_{1} C_{2} C_{3} V^{2}\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right) e^{\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}\right) x} \\ & \Delta_{2}[y]=-C_{1}^{2} C_{3} V^{2}\left(r_{1}, r_{1}, r_{3}\right) e^{\left(2 r_{1}+r_{3}\right) x} \\ & \Delta_{2}[y]=-C_{1}^{3} e^{3 r_{1} x} \end{aligned}Δ2[y]=C1C2C3V2(r1,r2,r3)e(r1+r2+r3)xΔ2[y]=−C12C3V2(r1,r1,r3)e(2r1+r3)xΔ2[y]=−C13e3r1x
Pentru ca Δ 2 [ y ] Δ 2 [ y ] Delta_(2)[y]\Delta_{2}[y]Δ2[y] să fie egal cu 1, vom alege în primul caz
r 3 = − ( r 1 + r 2 ) , C 3 = 1 C 1 C 2 V 2 [ r 1 , r 2 , − ( r 1 + r 2 ) ] r 3 = − r 1 + r 2 , C 3 = 1 C 1 C 2 V 2 r 1 , r 2 , − r 1 + r 2 r_(3)=-(r_(1)+r_(2)),C_(3)=(1)/(C_(1)C_(2)V^(2)[r_(1),r_(2),-(r_(1)+r_(2))])r_{3}=-\left(r_{1}+r_{2}\right), C_{3}=\frac{1}{C_{1} C_{2} V^{2}\left[r_{1}, r_{2},-\left(r_{1}+r_{2}\right)\right]}r3=−(r1+r2),C3=1C1C2V2[r1,r2,−(r1+r2)]
în al doilea caz
r 3 = − 2 r 1 , C 3 = − 1 C 1 2 V 2 ( r 1 , r 1 , − 2 r 1 ) r 3 = − 2 r 1 , C 3 = − 1 C 1 2 V 2 r 1 , r 1 , − 2 r 1 r_(3)=-2r_(1),quadC_(3)=-(1)/(C_(1)^(2)V^(2)(r_(1),r_(1),-2r_(1)))r_{3}=-2 r_{1}, \quad C_{3}=-\frac{1}{C_{1}^{2} V^{2}\left(r_{1}, r_{1},-2 r_{1}\right)}r3=−2r1,C3=−1C12V2(r1,r1,−2r1)
iar în al treilea caz
r 1 = 0 C 1 = − 1 r 1 = 0 C 1 = − 1 r_(1)=0quadC_(1)=-1r_{1}=0 \quad C_{1}=-1r1=0C1=−1
Aceasta ne conduce la următoarele integrale ale ecuației lui Darboux:
(39) y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + e − ( r 1 + r 2 ) x C 1 C 2 ( r 2 − r 1 ) 2 ( 2 r 1 + r 2 ) 2 ( r 1 + 2 r 2 ) 2 ( ′ ) y = ( C 1 x + C 2 ) e r 1 x − e − 2 r 1 x 81 C 1 2 r 1 4 (41́) y = − x 2 2 + C 2 x + C 3 (39) y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x + e − r 1 + r 2 x C 1 C 2 r 2 − r 1 2 2 r 1 + r 2 2 r 1 + 2 r 2 2 ( ′ ) y = C 1 x + C 2 e r 1 x − e − 2 r 1 x 81 C 1 2 r 1 4 (41́) y = − x 2 2 + C 2 x + C 3 {:[(39)y=C_(1)e^(r_(1)x)+C_(2)e^(r_(2)x)+(e^(-(r_(1)+r_(2))x))/(C_(1)C_(2)(r_(2)-r_(1))^(2)(2r_(1)+r_(2))^(2)(r_(1)+2r_(2))^(2))],[('")"y=(C_(1)x+C_(2))e^(r_(1)x)-(e^(-2r_(1)x))/(81C_(1)^(2)r_(1)^(4))],[(41́)y=-(x^(2))/(2)+C_(2)x+C_(3)]:}\begin{align*} & y=C_{1} e^{r_{1} x}+C_{2} e^{r_{2} x}+\frac{e^{-\left(r_{1}+r_{2}\right) x}}{C_{1} C_{2}\left(r_{2}-r_{1}\right)^{2}\left(2 r_{1}+r_{2}\right)^{2}\left(r_{1}+2 r_{2}\right)^{2}} \tag{39}\\ & y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{r_{1} x}-\frac{e^{-2 r_{1} x}}{81 C_{1}^{2} r_{1}^{4}} \tag{$\prime$}\\ & y=-\frac{x^{2}}{2}+C_{2} x+C_{3} \tag{41́} \end{align*}(39)y=C1er1x+C2er2x+e−(r1+r2)xC1C2(r2−r1)2(2r1+r2)2(r1+2r2)2(′)y=(C1x+C2)er1x−e−2r1x81C12r14(41́)y=−x22+C2x+C3

BIBLIOGRAFIE

  1. H. Löwner, Über monotone Matrixfunctionen. Math. Zeit., 38 (1934) 177-216.
  2. G. Darboux, Sur une équation différentielle du quatriòme ordre. C. R. de l'Ac. des Sci. de Paris, t. CXLI, p. 415-417.
    • Sur une équation différentielle du quatrième ordre, C. R. de l'Ac. des Sci. de Paris, t. CXLI, p. 483-484.
  4. A. G. Kuros, Curs de algebră superioară. Ed. tehnică, Buc., 1955, p. 133.
  5. Th. J. Stieltjes, Quelques recherches sur la théorie des quadratures dites mécaniques. Ann. de 1'Ecole Normale Supérieure, 1884, p. 409-426.
  6. D. V. Ionescu, Cuadraturi numerice. Ed. tehnică, Buc., 1957, p. 262.

Ингегрирование одного дифференциального уравнения

(Краткое содержание)
В этой работе интегрируется дифференциальное уравнение, (1) Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0 и дифференциальное уравнение (2) Δ n [ y ] = A e α x Δ n [ y ] = A e α x Delta_(n)[y]=Ae^(alpha x)\Delta_{n}[y]=A e^{\alpha x}Δn[y]=Aeαx, где А и α α alpha\alphaα константы. Уравнение Δ 1 [ y ] = 1 Δ 1 [ y ] = 1 Delta_(1)[y]=1\Delta_{1}[y]=1Δ1[y]=1 явяляется дифференциальным уравнением цепной линии, а уравнение Δ 2 [ y ] = 1 Δ 2 [ y ] = 1 Delta_(2)[y]=1\Delta_{2}[y]=1Δ2[y]=1 была изучена Г. Дарбу [ 1 , 2 ] [ 1 , 2 ] [1,2][1,2][1,2].
Интегралы уравнения Δ n F [ y ] = A Δ n F [ y ] = A Delta_(n)^(F)[y]=A\Delta_{n}^{F}[y]=AΔnF[y]=A, для которых Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0Δn−1[y]≠0, даны формулами (10) и (17) и они верны во всем интервале ( − ∞ , + ∞ − ∞ , + ∞ -oo,+oo-\infty,+\infty−∞,+∞ ).
Для этих интегралов имеем формулы (12) и (18), которые верны в интервале ( − ∞ , + ∞ ) ( − ∞ , + ∞ ) (-oo,+oo)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞).
Доказывается, что любой итеграл уравнения Δ q [ y ] = 0 Δ q [ y ] = 0 Delta_(q)[y]=0\Delta_{q}[y]=0Δq[y]=0 с Δ q − 1 [ y ] ≠ 0 Δ q − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(q-1)[y]!=0\Delta_{q-1}[y] \neq 0Δq−1[y]≠0, где q < n q < n q < nq<nq<n, является также интегралом Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0.
С помощью этих результатов, получаются все интегралы дифференциального уравнения Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0.
В качестве применения, интегрируется дифференциальное уравнение (2), предварительно доказывая тождество (30), которое сводит отыскание интегралов уравнения (2) к интегрированию уравнения Δ n + 1 [ y ] = 0 Δ n + 1 [ y ] = 0 Delta_(n+1)[y]=0\Delta_{n+1}[y]=0Δn+1[y]=0. Результаты даны формулами (32) и (33), где Υ k Υ k Υ_(k)\Upsilon_{k}Υk и C k C k C_(k)C_{k}Ck даны формулами (35) и (36).
Интегралы дифференциального уравнения Дарбу (4) даны посредством формул (39'), (40'), (41').

L'intégration d'une équation différentielle

(Résumé)
Dans ce mémoire on intègre l'équation différentielle(1), Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0 et l'équation différentielle (2) Δ n [ y ] = A ϵ α r Δ n [ y ] = A ϵ α r Delta_(n)[y]=Aepsilon^(alpha r)\Delta_{n}[y]=A \epsilon^{\alpha r}Δn[y]=Aϵαr, où A A AAA et α α alpha\alphaα sont des constantes. L'équation Δ 1 [ y ] = 1 Δ 1 [ y ] = 1 Delta_(1)[y]=1\Delta_{1}[y]=1Δ1[y]=1 est l'équation différentielle de la chaînette et l'équation Δ 2 [ y ] = 1 Δ 2 [ y ] = 1 Delta_(2)[y]=1\Delta_{2}[y]=1Δ2[y]=1 a été étudiée par G. Darboux [ 1 , 2 ] [ 1 , 2 ] [1,2][1,2][1,2].
Les intégrales de l'équation Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0 pour lesquelles Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Δ n − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(n-1)[y]!=0\Delta_{n-1}[y] \neq 0Δn−1[y]≠0 sont données par les formules (10) et (17) valables dans l'intervalle ( − ∞ − ∞ -oo-\infty−∞, + ∞ ) + ∞ ) +oo)+\infty)+∞). Pour ces intégrales on a les formules (12) et (18), valables dans 1'intervalle ( − ∞ , + ∞ − ∞ , + ∞ -oo,+oo-\infty,+\infty−∞,+∞ ).
On démontre aussi que toute intégrale de l'équation Δ q [ y ] = 0 Δ q [ y ] = 0 Delta_(q)[y]=0\Delta_{q}[y]=0Δq[y]=0, avec Δ q − 1 [ y ] ≠ 0 Δ q − 1 [ y ] ≠ 0 Delta_(q-1)[y]!=0\Delta_{q-1}[y] \neq 0Δq−1[y]≠0, où q < n q < n q < nq<nq<n, est également intégrale de l'équation Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0.
A l'aide de ces résultats on obtient toutes les intégrales de l'équation différentielle Δ n [ y ] = 0 Δ n [ y ] = 0 Delta_(n)[y]=0\Delta_{n}[y]=0Δn[y]=0.
Comme application on intègre l'équation différentielle (2), en démontrant au préalable l'identité (30) qui amène la recherche des intégrales de l'équation (2) à l'intégration de l'équation Δ n + 1 [ y ] = 0 Δ n + 1 [ y ] = 0 Delta_(n+1)[y]=0\Delta_{n+1}[y]=0Δn+1[y]=0. Les résultats sont donnés par les formules (32) et (33) où Υ k Υ k Υ_(k)\Upsilon_{k}Υk et C k C k C_(k)C_{k}Ck sont données par les formules (35) et (36).
Les intégrales de l'équation différentielle (4) de Darboux sont données par les formules ( 39 ′ ) , ( 40 ′ ) , ( 41 ′ ) 39 ′ , 40 ′ , 41 ′ (39^(')),(40^(')),(41^('))\left(39^{\prime}\right),\left(40^{\prime}\right),\left(41^{\prime}\right)(39′),(40′),(41′).
1957

Related Posts