1. 1.

   Să luăm în considerare două funcții reale$f(x), g(x)$, definită și R-integrabilă pe intervalul finit și închis$[a,b](a<b)$Dacă desemnăm prin$\bar{f}$o medie a valorilor de$f(x)$, prin urmare un număr astfel încât

   Raportează o problemă pentru elementul precedent

avem prima formulă pentru medie

care este valabil dacă$g(x)$nu își schimbă semnul (este constant$\geq 0$sau în mod constant$\leqq 0$pe$[a,b]$) Și$f(x)$este arbitrară.

Se poate demonstra că, sub ipoteza continuității sale, invarianța semnului lui$g(x)$este, de asemenea, necesară pentru validitatea formulei (1), pentru$f(x)$orice.

Într-adevăr, să presupunem că$g(x)$fie continuu și că își schimbă semnul$[a,b]$Fără a limita generalitatea, putem presupune că

(pentru că altfel e suficient să iei$-g(x)$în loc de$g(x)$) și există atunci un punct$x_{0}\in(a,b)$ca$g(x_{0})<0$Ca urmare a
continuității$g(x)$, dacă$0$este destul de mic pe care îl avem$a<x_{0}-\varepsilon<x_{0}<x_{0}+\varepsilon<b$Şi$g(x)$este negativă pe intervalul ($x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon$).

Acum vom construi o funcție$f^{*}(x)$oricine ar fi:
$1^{\circ}$Continuă, pozitivă și cel mult egală cu$1\numeoperator{pe}\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)$.
$2^{\circ}$Niciunul pornit$\left[a,x_{0}-\varepsilon\right]$și mai departe$\left[x_{0}+\varepsilon,b\right]$Funcția
​$f^{*}(x)$Orientul$R$-integrabil pe$[a,b]$și avem$0\leqq\bar{f}^{*}\leqq 1$De
exemplu, putem lua
(3)

Dacă încercăm să aplicăm formula (1), luând pentru$f(x)$funcția$f^{*}(x)$, avem, ținând cont de (2),

Aceasta ne arată că egalitatea (1) este imposibilă.
Prin urmare, putem enunța următoarea proprietate:
I. Pentru ca prima formulă a valorii medii (1) să fie adevărată pentru orice funcție continuă$g(x)$și pentru orice funcție$R$-integrabil$f(x)$Este necesar și suficient ca$g(x)$nu schimbă autentificarea$[a,b]$2.
Formula integrală (1) corespunde formulei pentru medie „în termeni finiți”

unde continuările$\(a_{i}\right), \(b_{i}\right)$sunt reale și

Ne referim la$\left(c_{i}\right)$continuarea la$n.$termeni$c_{1}, c_{2}, ..., c_{n}, (n>1)$Formula
mediei (4) este adevărată pentru orice secvență$\left(a_{i}\right)$dacă termenii de la 1a urmează$\left(b_{i}\right)$sunt de același semn (toate$\geqq 0$sau toate$\leq 0$).

Este încă ușor de observat că invarianța semnului lui$\overline{b_{i}}$este necesar ca formula mediei (4) să fie adevărată pentru orice secvență$\left(a_{i}\right)$Într-adevăr, să presupunem că$bi}$nu toate au același semn. Putem presupune, fără a restricționa generalitatea, că$\sum_{i=1}^{n}b_{i}\geq 0$(pentru că altfel raționăm la fel și despre restul)$-bi}$)). Există apoi un indice$k$ca$b_{k}<0$Dacă luăm apoi$a_{k}=1, a_{i}=0$, Pentru$i\neq k$, Avem$0\leqq\bar{a}\leqq 1$Şi$\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=b_{k}<0,\bar{a}\sum_{l=1}^{n}b_{i}\geq 0$și egalitatea (4) este imposibilă.

Prin urmare, putem enunța următoarea proprietate:
I'. Pentru ca formula mediei (4) să fie adevărată pentru fiecare secvență$\left(a_{i}\right)$, este necesar și suficient ca termenii șirului ($bi}$) au același semn.

Proprietatea I poate fi, în plus, dedusă din proprietatea I' luând limita, ținând cont de definiția integralei R. Fără a intra în detalii suplimentare, să spunem că proprietățile II, III și IV, care urmează, rezultă în același mod, respectiv, din proprietățile$\mathrm{II}^{\prime},\mathrm{III}^{\prime},\mathrm{IV}^{\prime}$3.
C. BONFERRONI a demonstrat [1] că prima formulă pentru medie (1) este adevărată pentru orice funcție monotonă$f(x)$dacă$g(x)$este R-integrabilă și dacă integrala sa$G(x) = ∫∫∫xg(t)dt$rămâne între$\boldsymbol{0}$Şi$G(b)$Pentru$x\in[a,b]$Ultima proprietate înseamnă că avem$0 ≤ G(x) ≤ G(b)$Pentru$x\in[a,b]$resp.$G(b) ≤ G(x) ≤ 0$Pentru$x\in[a,b]$în funcție de$0\leqq G(b)$resp.$G(b) ≤ 0$.

Se poate demonstra în continuare că condiția impusă$g(x)$este necesar. Pentru aceasta, să luăm funcția

Sau$a\leqq\lambda\leqq b$(Avem$f(x)=1$pe$[a,b]$când$\lambda=b$Această funcție este monotonă (și, prin urmare, a fortiori, R-integrabilă) și avem$0\leq\bar{f}\leq 1$Formula (1) ne dă apoi$G(λ) = ∫f G(b)$Pentru$λ în [a, b]$, ceea ce demonstrează apartenența.

Prin urmare, putem enunța următoarea proprietate:
II. Pentru ca prima formulă pentru medie (1) să fie adevărată pentru orice funcție monotonă$f(x)$Este necesar și suficient ca integrala$G(x) = ∫∫∫xg(t)dt$, a funcției$R$-integrabil$g(x)$, rămâne între 0 și$G(b)$Pentru$x\in[a,b]$
4. C. Bonferroni obține suficiența condiției proprietății II printr-o trecere la limita proprietății corespunzătoare relativ la formula (4).

Dacă luăm în considerare sume parțiale$s_{i} = b_{1} + b_{2} + \ldots + b_{i}$,$i = 1, 2, ..., n$a continuării$\left(b_{i}\right)$, formula mediei (4) este verificată pentru orice secvență monotonă$\left(a_{i}\right)$dacă termenii secvenței$\left(s_{i}\right)$rămân (în sensul cel mai larg) între 0 și$s_{n}$.

Demonstrația lui C. Bonferroni este următoarea. Rețineți că dacă$s_{i},i=1,2,...,n$sunt între 0 și$s_{n},s_{n} - s_{i},i=1,2,...,n$sunt, de asemenea, între 0 și$s_{n}$Am o monotonie a secvenței ($a_{i}$) ne arată,
pe de o parte, că$\bar{a}$este între$a_{1}$Şi$an}$și, pe de altă parte, că folosind formula de transformare a lui Abel, avem

Formula pentru medie (4) urmează imediat.
Necesitatea condiției rezultă din luarea secvenței monotone$\left(a_{i}\right)$, Sau$a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{i}=1, a_{i+1}=a_{i+2}=\ldots=a_{n}=0$.

Putem enunța următoarea proprietate
II'. Pentru ca formula mediei (4) să fie adevărată pentru orice secvență monotonă$\left(a_{i}\right)$este necesar și suficient ca termenii secvenței$\left(s_{i}\right)$secvențe parțiale ale secvenței$\left(b_{i}\right)$rămân între 0 și$s_{n}$5.
Să luăm acum în considerare a doua formulă pentru medie,
unde

Această formulă este valabilă pentru orice funcție$f(x)$R-integrabil dacă funcția$g(x)$este monoton pe$[a,b]$.

Să presupunem că$g(x)$are o derivată continuă$g^{\prime}(x)$pe$[a,b]$Putem demonstra apoi că monotonia lui$g(x)$este necesar pentru ca formula (5) să aibă loc$f(x)$orice. Într-adevăr, dacă$g^{\prime}(x)$este o funcție continuă și dacă stabilim$F(x) = ∫_{a}^{x}f(t)dt$, Avem

iar formula (5) devine

deci revenim la prima formulă pentru medie$(F(\xi) = \bar{F})$În cazul nostru ,
monotonia$g(x)$pe$[a,b]$este echivalent cu faptul că derivata$g^{\prime}(x)$nu schimbă autentificarea$[a,b]$Necesitatea condiției pe care o avem în minte rezultă ca la nr. 1. Este necesar doar să luăm funcția$g^{\prime}(x)$în loc de$g(x)$și pentru$F(x)$o funcție$f^{*}(x)$
Potrivit. Deoarece prin construcție$F(x)$este o parte integrantă, pentru a îndeplini condițiile$1^{\circ},2^{\circ}$de la nr. 1, este suficient, de exemplu, să luăm pentru$F(x)$Funcția 1a

Mai mult, aceasta echivalează cu a lua pentru$f(x)$funcția

Putem enunța următoarea proprietate:
III. Pentru ca formula mediei (5) să fie adevărată pentru fiecare funcție$g(x)$având o derivată continuă pe$[a,b]$și pentru orice funcție$f(x)R$-integrabil pe$[a,b]$Este necesar și suficient ca$g(x)$fie monoton pe$[a,b]$6.
Formula (5) corespunde, de asemenea, unei formule pentru medie „în termeni finiți”,
unde$\vec{r}$este o valoare medie a$n-1$primii termeni ai șirului ($r_{i}$) secvențe parțiale$r_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{i},\quad i=1,2,\ldots,n$a continuării ($a_{i}$), DECI

Formula pentru medie (6) este valabilă pentru orice secvență$\left(a_{i}\right)$dacă următoarele$\left(b_{i}\right)$este monotonă. Demonstrația este simplă, deoarece dacă observăm că

Revenim la prima formulă pentru medie.
Necesitatea monotonității secvenței ($b_{i}$), astfel încât (6) rămâne valabilă pentru orice secvență ($a_{i}$), rezultate imediate prin luarea$a_{i}=1,a_{i+1}=-1$Şi$a_{k}=0$, Pentru$k\neq i,i+1$, succesiv pentru$i=1,2,\ldots,n-1$.

Prin urmare, putem enunța următoarea proprietate:
III'. Pentru ca formula mediei (6) să fie adevărată pentru orice secvență:$\left(a_{i}\right)$Este necesar și suficient ca următoarele$\left(b_{i}\right)$să fie monotonă.
7. C. Bonferroni, în lucrarea sa citată [1], a demonstrat, de asemenea, că formula mediei (5) este valabilă pentru orice funcție$f(x)$inclusiv completul$F(x)=\int f(t)dt$este monoton dacă$g(x)$rămâne inclus (în sensul cel mai larg): între$g(a)$Şi$g(b)$Pentru$x\in[a,b]$.

Presupunând$g(x)$Dacă acest lucru continuă, condiția enunțată este, de asemenea, necesară. Într-adevăr, să presupunem că$g(x)$fie continuăm și hai să luăm pentru$f(x)$funcția (3), unde$x_{0}$este un punct de$(a,b)$Şi$\varepsilon$un număr pozitiv suficient de mic. Presupunând că formula mediei (5) este verificată, avem una dintre egalitățile
$\frac{1}{2\varepsilon}\int_{x_{\sigma}\varepsilon}^{x_{0}+\varepsilon}g(x)dx=\left\{\begin{array}[]{l}g(b),\text{ pour }\xi\leqq x_{0}-\varepsilon,\\ \frac{\left(\xi-x_{0}+\varepsilon\right)g(a)+\left(x_{0}+\varepsilon-\xi\right)g(b)}{2\varepsilon},\text{ pour }\xi\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right),\\ g(a),\text{ pour }\xi\geq x_{0}+\xi,\end{array}\right.$
Prin urmare, putem vedea că pentru$\varepsilon$pozitiv și destul de mic,
(7)