Soluția unei probleme cu valori la limită pentru ecuația biarmonică

ictp
Uncategorized

Abstract

 

Autori

C. Kalik
Institutul de Calcul

Cuvinte cheie

PDF

Versiunea scanată.

Versiunea compilată din LaTeX.

Citați articolul în forma

C. Kalik, La solution d’un problème aux limites pour l’équation biharmonique.[Soluția unei probleme cu valori la limită pentru ecuația biarmonică] (Romanian) Acad. R. P. Romîne. Fil. Cluj. Stud. Cerc. Mat. 9 1958 135–148.

Despre acest articol

Journal

Studii şi cercetări matematice

Publisher Name

Academia Republicii S.R.

DOI

Not available yet.

Print ISSN

Not available yet.

Online ISSN

Not available yet.

Google Scholar Profile

Referințe

??

Lucrare in format HTML

scm,+1958_201-4_20Kalik

REZOLVAREA UNEI PROBLEME LA LIMITĂ PENTRU ECUAȚIA BIARMONICĂ

DECAROL KALIK

Comunicare prezentată in ședința de comunicări a Institutului de calcul al Academiei R.P.R., Filiala Cluj, din noiembrie 1958

  1. Începînd din anul 1948 a apărut o serie de lucrări ale lui G. Fichera, precum și ale altor matematicieni, în care se demonstrează completitatea unor mulțimi de funcții respectiv vectori, alese în așa fel încît cu ajutorul lor să putem construi soluția anumitor probleme la limită (vezi de exemplu lucrarea [1] sau [2]). Urmînd calea acestor lucrări, ne vom ocupa de rezolvarea unei probleme la limită legată de ecuația biarmonică.
Fie Ω Ω Omega\OmegaΩ un domeniu arbitrar, mărginit de curba Γ Γ Gamma\GammaΓ. Vom presupune că Γ Γ Gamma\GammaΓ poate fi împărțit într-un număr finit de porțiuni, în așa fel ca fiecare dintre acestea să se poată reprezenta în coordonate locale cu ajutorul unei funcții y = φ ( x ) y = φ ( x ) y=varphi(x)y=\varphi(x)y=φ(x), unde φ ( x ) φ ( x ) varphi(x)\varphi(x)φ(x) este continuă și derivata ei satisface condiției lui Lipschitz. De asemenea presupunem pozitivă raza de curbură ρ 0 ρ 0 rho_(0)\rho_{0}ρ0 a lui Γ Γ Gamma\GammaΓ. Studiem următoarea problemă la limită : să se determine funcția u ( x , y ) u ( x , y ) u(x,y)u(x, y)u(x,y) în domeniul Ω Ω Omega\OmegaΩ în așa fel ca ea să satisfacă condițiilor
(1) Δ 2 u ≡ ∂ 4 u ∂ x 4 + 2 ∂ 4 u ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 u ∂ y 4 = 0 în Ω (2) u = f 1 ( s ) pe Γ (2') − Δ u + 1 − σ ρ 0 ∂ u ∂ ν = f 2 ( s ) pe Γ (1) Δ 2 u ≡ ∂ 4 u ∂ x 4 + 2 ∂ 4 u ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 u ∂ y 4 = 0  în  Ω (2) u = f 1 ( s )  pe  Γ (2') − Δ u + 1 − σ ρ 0 ∂ u ∂ ν = f 2 ( s )  pe  Γ {:[(1)Delta^(2)u-=(del^(4)u)/(delx^(4))+2(del^(4)u)/(delx^(2)dely^(2))+(del^(4)u)/(dely^(4))=0" în "Omega],[(2)u=f_(1)(s)" pe "Gamma],[(2')-Delta u+(1-sigma)/(rho_(0))(del u)/(del nu)=f_(2)(s)" pe "Gamma]:}\begin{align*} \Delta^{2} u \equiv \frac{\partial^{4} u}{\partial x^{4}}+2 \frac{\partial^{4} u}{\partial x^{2} \partial y^{2}}+\frac{\partial^{4} u}{\partial y^{4}} & =0 \text { în } \Omega \tag{1}\\ u & =f_{1}(s) \text { pe } \Gamma \tag{2}\\ -\Delta u+\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \frac{\partial u}{\partial \nu} & =f_{2}(s) \text { pe } \Gamma \tag{2'} \end{align*}(1)Δ2u≡∂4u∂x4+2∂4u∂x2∂y2+∂4u∂y4=0 în Ω(2)u=f1(s) pe Γ(2')−Δu+1−σρ0∂u∂ν=f2(s) pe Γ
unde f 1 ( s ) f 1 ( s ) f_(1)(s)f_{1}(s)f1(s) și f 2 ( s ) f 2 ( s ) f_(2)(s)f_{2}(s)f2(s) sînt funcții date, de patrat integrabile pe Γ , 0 < σ < 1 Γ , 0 < σ < 1 Gamma,0 < sigma < 1\Gamma, 0<\sigma<1Γ,0<σ<1 fiind constanta lui Poisson, iar ν ν nu\nuν este normala interioară la Γ Γ Gamma\GammaΓ.
Vom rezuma pe scurt ideia urmată în rezolvarea acestei probleme. Să notăm cu { v i } v i {v_(i)}\left\{v_{i}\right\}{vi} un șir de funcții biarmonice. Pe baza formulei lui Green avem
∫ Γ ( ∂ Δ u ∂ ν v i − Δ u ∂ v i ∂ ν + ∂ u ∂ ν Δ v i − u ∂ Δ v i ∂ ν ) d σ = 0 , ( i = 1 , 2 , … ) ∫ Γ   ∂ Δ u ∂ ν v i − Δ u ∂ v i ∂ ν + ∂ u ∂ ν Δ v i − u ∂ Δ v i ∂ ν d σ = 0 , ( i = 1 , 2 , … ) int_(Gamma)((del Delta u)/(del nu)v_(i)-Delta u(delv_(i))/(del nu)+(del u)/(del nu)Deltav_(i)-u(del Deltav_(i))/(del nu))d sigma=0,quad(i=1,2,dots)\int_{\Gamma}\left(\frac{\partial \Delta u}{\partial \nu} v_{i}-\Delta u \frac{\partial v_{i}}{\partial \nu}+\frac{\partial u}{\partial \nu} \Delta v_{i}-u \frac{\partial \Delta v_{i}}{\partial \nu}\right) d \sigma=0, \quad(i=1,2, \ldots)∫Γ(∂Δu∂νvi−Δu∂vi∂ν+∂u∂νΔvi−u∂Δvi∂ν)dσ=0,(i=1,2,…)
de unde, ținînd seamă de (2) și (2'), obținem sistemul de ecuații integrale relativ la vectorul necunoscut [ ∂ u ∂ ν , − ∂ Δ u ∂ ν ] ∂ u ∂ ν , − ∂ Δ u ∂ ν [(del u)/(del nu),-(delDelta_(u))/(del nu)]\left[\frac{\partial u}{\partial \nu},-\frac{\partial \Delta_{u}}{\partial \nu}\right][∂u∂ν,−∂Δu∂ν] :
∫ Γ ˙ [ ∂ u ∂ ν ( − Δ v i + 1 − σ ρ ∂ v i ∂ ν ) − ∂ Δ u ∂ ν v i ] d σ = (3) = ∫ Γ ˙ ( f 2 ∂ v i ∂ ν − f 1 ∂ Δ v i ∂ ν ) d σ = C i , ( i = 1 , 2 , … ) ∫ Γ ˙   ∂ u ∂ ν − Δ v i + 1 − σ ρ ∂ v i ∂ ν − ∂ Δ u ∂ ν v i d σ = (3) = ∫ Γ ˙   f 2 ∂ v i ∂ ν − f 1 ∂ Δ v i ∂ ν d σ = C i , ( i = 1 , 2 , … ) {:[int_(Gamma^(˙))[(del u)/(del nu)(-Deltav_(i)+(1-sigma)/(rho)(delv_(i))/(del nu))-(del Delta u)/(del nu)v_(i)]d sigma=],[(3)=int_(Gamma^(˙))(f_(2)(delv_(i))/(del nu)-f_(1)(del Deltav_(i))/(del nu))d sigma=C_(i)","(i=1","2","dots)]:}\begin{align*} & \int_{\dot{\Gamma}}\left[\frac{\partial u}{\partial \nu}\left(-\Delta v_{i}+\frac{1-\sigma}{\rho} \frac{\partial v_{i}}{\partial \nu}\right)-\frac{\partial \Delta u}{\partial \nu} v_{i}\right] d \sigma= \\ = & \int_{\dot{\Gamma}}\left(f_{2} \frac{\partial v_{i}}{\partial \nu}-f_{1} \frac{\partial \Delta v_{i}}{\partial \nu}\right) d \sigma=C_{i},(i=1,2, \ldots) \tag{3} \end{align*}∫Γ˙[∂u∂ν(−Δvi+1−σρ∂vi∂ν)−∂Δu∂νvi]dσ=(3)=∫Γ˙(f2∂vi∂ν−f1∂Δvi∂ν)dσ=Ci,(i=1,2,…)
Acest sistem de ecuații integrale este numit sistem Riesz-Fischer. Construind în așa fel șirul de funcții biarmonice { v i } v i {v_(i)}\left\{v_{i}\right\}{vi} ca șirul de vectori
{ v i } = { − Δ v i + 1 − σ ρ 0 ∂ v i ∂ ν , v i } , ( i = 1 , 2 , … ) v i = − Δ v i + 1 − σ ρ 0 ∂ v i ∂ ν , v i , ( i = 1 , 2 , … ) {v_(i)}={-Deltav_(i)+(1-sigma)/(rho_(0))(delv_(i))/(del nu),v_(i)},(i=1,2,dots)\left\{v_{i}\right\}=\left\{-\Delta v_{i}+\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \frac{\partial v_{i}}{\partial \nu}, v_{i}\right\},(i=1,2, \ldots){vi}={−Δvi+1−σρ0∂vi∂ν,vi},(i=1,2,…)
să fie ortogonal și complet pe Γ Γ Gamma\GammaΓ în sensul lui Hilbert, din sistemul (3) obținem
∂ u ∂ ν = ∑ i = 1 ∞ C i ( − Δ v i + 1 − σ ρ 0 ∂ v i ∂ ν ) s i s i − ∂ Δ u ∂ ν = ∑ i = 1 ∞ C i v i 1 ) ∂ u ∂ ν = ∑ i = 1 ∞   C i − Δ v i + 1 − σ ρ 0 ∂ v i ∂ ν s i s i − ∂ Δ u ∂ ν = ∑ i = 1 ∞   C i v i 1 ) (del u)/(del nu)=sum_(i=1)^(oo)C_(i)(-Deltav_(i)+(1-sigma)/(rho_(0))(delv_(i))/(del nu))si^(si)-(del Delta u)/(del nu)=sum_(i=1)^(oo)C_(i)v_(i)^(1))\frac{\partial u}{\partial \nu}=\sum_{i=1}^{\infty} C_{i}\left(-\Delta v_{i}+\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \frac{\partial v_{i}}{\partial \nu}\right) \stackrel{s i}{s i}-\frac{\partial \Delta u}{\partial \nu}=\sum_{i=1}^{\infty} C_{i} v_{i}^{1)}∂u∂ν=∑i=1∞Ci(−Δvi+1−σρ0∂vi∂ν)sisi−∂Δu∂ν=∑i=1∞Civi1)
Aceste serii converg în medie patratică pe Γ Γ Gamma\GammaΓ. Considerînd și condițiile la limită (2) și (2'), cunoaștem pe Γ Γ Gamma\GammaΓ cele patru funcții u , ∂ u ∂ ν , Δ u u , ∂ u ∂ ν , Δ u u,(del u)/(del nu),Delta uu, \frac{\partial u}{\partial \nu}, \Delta uu,∂u∂ν,Δu și ∂ Δ u ∂ ν ∂ Δ u ∂ ν (delDelta_(u))/(del nu)\frac{\partial \Delta_{u}}{\partial \nu}∂Δu∂ν cu ajutorul cărora putem scrie soluția problemei la limită formulată, avînd în vedere formula bine cunoscută:
u ( P ) = 1 ε π ∫ Γ ( u ∂ Δ U ∂ ν − ∂ u ∂ ν Δ U + Δ u ∂ U ∂ ν − ∂ Δ u ∂ ν U ) d σ u ( P ) = 1 ε π ∫ Γ   u ∂ Δ U ∂ ν − ∂ u ∂ ν Δ U + Δ u ∂ U ∂ ν − ∂ Δ u ∂ ν U d σ u(P)=(1)/(epsi pi)int_(Gamma)(u(del Delta U)/(del nu)-(del u)/(del nu)Delta U+Delta u(del U)/(del nu)-(del Delta u)/(del nu)U)d sigmau(P)=\frac{1}{\varepsilon \pi} \int_{\Gamma}\left(u \frac{\partial \Delta U}{\partial \nu}-\frac{\partial u}{\partial \nu} \Delta U+\Delta u \frac{\partial U}{\partial \nu}-\frac{\partial \Delta u}{\partial \nu} U\right) d \sigmau(P)=1επ∫Γ(u∂ΔU∂ν−∂u∂νΔU+Δu∂U∂ν−∂Δu∂νU)dσ
unde U = r ln ⁡ r U = r ln ⁡ r U=r ln rU=r \ln rU=rln⁡r este soluția fundamentală a ecuației biarmonice.
Menționăm că această metodă, ideia căreia a fost elaborată de M. Picone, reprezintă un deosebit interes din punct de vedere practic, avînd avantaje față de majoritatea metodelor de rezolvare aproximativă a problemelor la limită. Anume, pentru calcularea soluțiilor aproximative avem de calculat valoarea integralelor pe frontieră Γ Γ Gamma\GammaΓ și nu pe Ω Ω Omega\OmegaΩ. În afară de aceasta, funcțiile v i v i v_(i)v_{i}vi, care intervin în calcule, sînt polinoame armonice şi biarmonice, respectiv combinațiile lor, ceea ce de asemenea ușurează calculul.
La punctul 5 al lucrării vom construi șirul { v i } v i {v_(i)}\left\{v_{i}\right\}{vi} în așa fel ca ele să satisfacă condițiilor de mai sus.
2. Păstrînd notațiile, precum și condițiile asupra lui Γ Γ Gamma\GammaΓ, din punctul precedent, vom formula două teoreme care sînt consecințe imediate ale rezultatelor lui G. Fichera [1].
Teorema 1. Dacă φ 1 ( Q ) ∈ L ( Γ ) s s i φ 2 ( Q ) ∈ L ( Γ ) 2 φ 1 ( Q ) ∈ L ( Γ ) s s i φ 2 ( Q ) ∈ L ( Γ ) 2 varphi_(1)(Q)in L(Gamma)ssivarphi_(2)(Q)in L(Gamma)^(2)\varphi_{1}(Q) \in L(\Gamma) s s i \varphi_{2}(Q) \in L(\Gamma)^{2}φ1(Q)∈L(Γ)ssiφ2(Q)∈L(Γ)2, atunci funcția
v ( P ) = ∫ Γ φ 1 ( Q ) U ( P , Q ) d σ + ∫ Γ φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( P , Q ) d σ v ( P ) = ∫ Γ   φ 1 ( Q ) U ( P , Q ) d σ + ∫ Γ   φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( P , Q ) d σ v(P)=int_(Gamma)varphi_(1)(Q)U(P,Q)d sigma+int_(Gamma)varphi_(2)(Q)ln r(P,Q)d sigmav(P)=\int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) U(P, Q) d \sigma+\int_{\Gamma} \varphi_{2}(Q) \ln r(P, Q) d \sigmav(P)=∫Γφ1(Q)U(P,Q)dσ+∫Γφ2(Q)ln⁡r(P,Q)dσ
există aproape pentru fiecare P ∈ Γ P ∈ Γ P in GammaP \in \GammaP∈Γ și este sumabilă pe Γ Γ Gamma\GammaΓ.
Aproape pentru fiecare M ∈ Γ M ∈ Γ M in GammaM \in \GammaM∈Γ avem
lim v ( P ) = ∫ Γ φ 1 ( Q ) U ( M , Q ) d σ + ∫ Γ φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( M , Q ) d σ lim v ( P ) = ∫ Γ   φ 1 ( Q ) U ( M , Q ) d σ + ∫ Γ   φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( M , Q ) d σ lim v(P)=int_(Gamma)varphi_(1)(Q)U(M,Q)d sigma+int_(Gamma)varphi_(2)(Q)ln r(M,Q)d sigma\lim v(P)=\int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) U(M, Q) d \sigma+\int_{\Gamma} \varphi_{2}(Q) \ln r(M, Q) d \sigmalimv(P)=∫Γφ1(Q)U(M,Q)dσ+∫Γφ2(Q)ln⁡r(M,Q)dσ
și
lim ∂ v ( P ) ∂ v M = ± π φ 2 ( M ) + ∫ Γ φ 1 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ v M d σ + ∫ Γ φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M d σ 3 ) lim ∂ v ( P ) ∂ v M = ± π φ 2 ( M ) + ∫ Γ   φ 1 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ v M d σ + ∫ Γ   φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M d σ 3 {: lim(del v(P))/(delv_(M))=+-pivarphi_(2)(M)+int_(Gamma)varphi_(1)(Q)(del U(M,Q))/(delv_(M))d sigma+int_(Gamma)varphi_(2)(Q)(del ln r(M,Q))/(delv_(M))dsigma^(3))\left.\lim \frac{\partial v(P)}{\partial v_{M}}= \pm \pi \varphi_{2}(M)+\int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) \frac{\partial U(M, Q)}{\partial v_{M}} d \sigma+\int_{\Gamma} \varphi_{2}(Q) \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial v_{M}} d \sigma^{3}\right)lim∂v(P)∂vM=±πφ2(M)+∫Γφ1(Q)∂U(M,Q)∂vMdσ+∫Γφ2(Q)∂ln⁡r(M,Q)∂vMdσ3)
cînd P → M P → M P rarr MP \rightarrow MP→M pe normala la Γ Γ Gamma\GammaΓ in punctul M M MMM, iar limitele sînt functii sumabile pe Γ Γ Gamma\GammaΓ.
Teorema 2. Dacă φ 1 ( Q ) ∈ L ( Γ ) φ 1 ( Q ) ∈ L ( Γ ) varphi_(1)(Q)in L(Gamma)\varphi_{1}(Q) \in L(\Gamma)φ1(Q)∈L(Γ) și φ 2 ( Q ) ∈ L ( Γ ) φ 2 ( Q ) ∈ L ( Γ ) varphi_(2)(Q)in L(Gamma)\varphi_{2}(Q) \in L(\Gamma)φ2(Q)∈L(Γ), atunci funcția
w ( P ) = ∫ Γ φ 1 ( Q ) ∂ U ( P , Q ) ∂ ν Q d σ + ∫ Γ φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( P , Q ) ∂ ν Q d σ w ( P ) = ∫ Γ   φ 1 ( Q ) ∂ U ( P , Q ) ∂ ν Q d σ + ∫ Γ   φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( P , Q ) ∂ ν Q d σ w(P)=int_(Gamma)varphi_(1)(Q)(del U(P,Q))/(delnu_(Q))d sigma+int_(Gamma)varphi_(2)(Q)(del ln r(P,Q))/(delnu_(Q))d sigmaw(P)=\int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) \frac{\partial U(P, Q)}{\partial \nu_{Q}} d \sigma+\int_{\Gamma} \varphi_{2}(Q) \frac{\partial \ln r(P, Q)}{\partial \nu_{Q}} d \sigmaw(P)=∫Γφ1(Q)∂U(P,Q)∂νQdσ+∫Γφ2(Q)∂ln⁡r(P,Q)∂νQdσ
există aproape pentru fiecare P ∈ Γ P ∈ Γ P in GammaP \in \GammaP∈Γ și este sumabilă pe Γ Γ Gamma\GammaΓ.
Aproape pentru fiecare M ∈ Γ M ∈ Γ M in GammaM \in \GammaM∈Γ avem
lim w ( P ) = ∓ π φ 2 ( M ) + ∫ Γ ˙ φ 1 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ ν Q d σ + ∫ Γ ˙ φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν Q d σ 4 ) lim w ( P ) = ∓ π φ 2 ( M ) + ∫ Γ ˙   φ 1 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ ν Q d σ + ∫ Γ ˙   φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν Q d σ 4 {: lim w(P)=∓pivarphi_(2)(M)+int_(Gamma^(˙))varphi_(1)(Q)(del U(M,Q))/(delnu_(Q))d sigma+int_(Gamma^(˙))varphi_(2)(Q)(del ln r(M,Q))/(delnu_(Q))dsigma^(4))\left.\lim w(P)=\mp \pi \varphi_{2}(M)+\int_{\dot{\Gamma}} \varphi_{1}(Q) \frac{\partial U(M, Q)}{\partial \nu_{Q}} d \sigma+\int_{\dot{\Gamma}} \varphi_{2}(Q) \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial \nu_{Q}} d \sigma^{4}\right)limw(P)=∓πφ2(M)+∫Γ˙φ1(Q)∂U(M,Q)∂νQdσ+∫Γ˙φ2(Q)∂ln⁡r(M,Q)∂νQdσ4)
cînd P → M P → M P rarr MP \rightarrow MP→M pe normala la Γ Γ Gamma\GammaΓ în punctul M M MMM și funcția la limită este sumabilă pe Γ Γ Gamma\GammaΓ.
Observăm că limitele din aceste două teoreme există dacă punctul M M MMM este punct Lebesgue al funcțiilor φ 1 ( Q ) φ 1 ( Q ) varphi_(1)(Q)\varphi_{1}(Q)φ1(Q) și φ 2 ( Q ) φ 2 ( Q ) varphi_(2)(Q)\varphi_{2}(Q)φ2(Q).
3. Introducem mulțimea functiilor { u } { u } {u}\{u\}{u} definite pe domeniul Ω Ω Omega\OmegaΩ în felul următor: - funcție u u uuu aparține mulțimii { u } { u } {u}\{u\}{u}, dacă există două funcții φ 1 ( Q ) ∈ L 2 ( Γ ) φ 1 ( Q ) ∈ L 2 ( Γ ) varphi_(1)(Q)inL_(2)(Gamma)\varphi_{1}(Q) \in L_{2}(\Gamma)φ1(Q)∈L2(Γ) și φ 2 ( Q ) ∈ L 2 ( Γ ) φ 2 ( Q ) ∈ L 2 ( Γ ) varphi_(2)(Q)inL_(2)(Gamma)\varphi_{2}(Q) \in L_{2}(\Gamma)φ2(Q)∈L2(Γ) în așa fel ca
u ( P ) = ∫ Γ φ 1 ( Q ) U ( P , Q ) d σ + ∫ Γ φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( P , Q ) d σ u ( P ) = ∫ Γ   φ 1 ( Q ) U ( P , Q ) d σ + ∫ Γ   φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( P , Q ) d σ u(P)=int_(Gamma)varphi_(1)(Q)U(P,Q)d sigma+int_(Gamma)varphi_(2)(Q)ln r(P,Q)d sigmau(P)=\int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) U(P, Q) d \sigma+\int_{\Gamma} \varphi_{2}(Q) \ln r(P, Q) d \sigmau(P)=∫Γφ1(Q)U(P,Q)dσ+∫Γφ2(Q)ln⁡r(P,Q)dσ
Mulțimea este caracterizată prin
Teorema 3. Dacă u ∈ { u } u ∈ { u } u in{u}u \in\{u\}u∈{u}, atunci
a) aproape pentru fiecare M ∈ Γ M ∈ Γ M in GammaM \in \GammaM∈Γ au loc egalitățile
lim u ( P ) = μ 1 ( M ) lim ∂ u ( P ) ∂ ν M = δ 1 ( M ) lim Δ ϑ ( P ) = μ 2 ( M ) lim ∂ Δ ϑ ( P ) ∂ ν M = δ 2 ( M ) lim u ( P ) = μ 1 ( M ) lim ∂ u ( P ) ∂ ν M = δ 1 ( M ) lim Δ ϑ ( P ) = μ 2 ( M ) lim ∂ Δ ϑ ( P ) ∂ ν M = δ 2 ( M ) {:[ lim u(P)=mu_(1)(M)],[ lim(del u(P))/(delnu_(M))=delta_(1)(M)],[ limDelta_(vartheta)(P)=mu_(2)(M)],[ lim(delDelta_(vartheta)(P))/(delnu_(M))=delta_(2)(M)]:}\begin{aligned} & \lim u(P)=\mu_{1}(M) \\ & \lim \frac{\partial u(P)}{\partial \nu_{M}}=\delta_{1}(M) \\ & \lim \Delta_{\vartheta}(P)=\mu_{2}(M) \\ & \lim \frac{\partial \Delta_{\vartheta}(P)}{\partial \nu_{M}}=\delta_{2}(M) \end{aligned}limu(P)=μ1(M)lim∂u(P)∂νM=δ1(M)limΔϑ(P)=μ2(M)lim∂Δϑ(P)∂νM=δ2(M)
b) pentru fiecare P ∈ Ω P ∈ Ω P in OmegaP \in \OmegaP∈Ω avem
8 π u ( P ) = ∫ Γ [ μ 1 ( Q ) ∂ Δ U ( P , Q ) ∂ ν Q − δ 1 ( Q ) Δ U ( P , Q ) + μ ˙ 2 ( Q ) ∂ U ( P , Q ) ∂ ν Q − (4) − δ 2 ( Q ) U ( P , Q ) ] d σ 8 π u ( P ) = ∫ Γ   μ 1 ( Q ) ∂ Δ U ( P , Q ) ∂ ν Q − δ 1 ( Q ) Δ U ( P , Q ) + μ ˙ 2 ( Q ) ∂ U ( P , Q ) ∂ ν Q − (4) − δ 2 ( Q ) U ( P , Q ) d σ {:[8pi u(P)=int_(Gamma)[mu_(1)(Q)(del Delta U(P,Q))/(delnu_(Q))-delta_(1)(Q)Delta U(P,Q)+mu^(˙)_(2)(Q)(del U(P,Q))/(delnu_(Q))-:}],[(4){:-delta_(2)(Q)U(P,Q)]d sigma]:}\begin{gather*} 8 \pi u(P)=\int_{\Gamma}\left[\mu_{1}(Q) \frac{\partial \Delta U(P, Q)}{\partial \nu_{Q}}-\delta_{1}(Q) \Delta U(P, Q)+\dot{\mu}_{2}(Q) \frac{\partial U(P, Q)}{\partial \nu_{Q}}-\right. \\ \left.-\delta_{2}(Q) U(P, Q)\right] d \sigma \tag{4} \end{gather*}8πu(P)=∫Γ[μ1(Q)∂ΔU(P,Q)∂νQ−δ1(Q)ΔU(P,Q)+μ˙2(Q)∂U(P,Q)∂νQ−(4)−δ2(Q)U(P,Q)]dσ
c) pentru fiecare P ′ ∈ C Ω ( C Ω = P ′ ∈ C Ω ( C Ω = P^(')in C Omega(C Omega=P^{\prime} \in C \Omega(C \Omega=P′∈CΩ(CΩ= mulțimea complementară a lui Ω Ω Omega\OmegaΩ relativă la planul întreg) avem
(5) 0 = ∫ Γ [ μ 1 ( Q ) ∂ Δ U ( P ′ , Q ) ∂ ν Q − δ 1 ( Q ) Δ U ( P ′ , Q ) + μ 2 ( Q ) ∂ U ( P ′ , Q ) ∂ ν Q − − δ 2 ( Q ) U ( P ′ , Q ) ] d σ (5) 0 = ∫ Γ   μ 1 ( Q ) ∂ Δ U P ′ , Q ∂ ν Q − δ 1 ( Q ) Δ U P ′ , Q + μ 2 ( Q ) ∂ U P ′ , Q ∂ ν Q − − δ 2 ( Q ) U P ′ , Q d σ {:[(5)0=int_(Gamma)[mu_(1)(Q)(del Delta U(P^('),Q))/(delnu_(Q))-delta_(1)(Q)Delta U(P^('),Q)+mu_(2)(Q)(del U(P^('),Q))/(delnu_(Q))-:}],[{:-delta_(2)(Q)U(P^('),Q)]d sigma]:}\begin{gather*} 0=\int_{\Gamma}\left[\mu_{1}(Q) \frac{\partial \Delta U\left(P^{\prime}, Q\right)}{\partial \nu_{Q}}-\delta_{1}(Q) \Delta U\left(P^{\prime}, Q\right)+\mu_{2}(Q) \frac{\partial U\left(P^{\prime}, Q\right)}{\partial \nu_{Q}}-\right. \tag{5}\\ \left.-\delta_{2}(Q) U\left(P^{\prime}, Q\right)\right] d \sigma \end{gather*}(5)0=∫Γ[μ1(Q)∂ΔU(P′,Q)∂νQ−δ1(Q)ΔU(P′,Q)+μ2(Q)∂U(P′,Q)∂νQ−−δ2(Q)U(P′,Q)]dσ
Invers, dacă μ 1 , δ 1 , μ 2 , δ 2 ∈ L 2 ( Γ ) μ 1 , δ 1 , μ 2 , δ 2 ∈ L 2 ( Γ ) mu_(1),delta_(1),mu_(2),delta_(2)inL_(2)(Gamma)\mu_{1}, \delta_{1}, \mu_{2}, \delta_{2} \in L_{2}(\Gamma)μ1,δ1,μ2,δ2∈L2(Γ) și dacă aceste functii satisfac condiția c c ccc, atunci funcția u ( P ) u ( P ) u(P)u(P)u(P) din formula (4) aparține mulțimii { u } { u } {u}\{u\}{u}.
Demonstratie. Fie u ∈ { u } u ∈ { u } u in{u}u \in\{u\}u∈{u}. Pe baza teoremelor 1 și 2 avem
μ 1 ( M ) = ∫ Γ φ 1 ( Q ) U ( M , Q ) d σ + ∫ Γ φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( M , Q ) d σ δ 1 ( M ) = π φ 2 ( M ) + ∫ Γ φ 1 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ ν M d σ + ∫ Γ φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν Q d σ μ 2 ( M ) = 4 ∫ Γ φ 1 ( Q ) ln ⁡ r ( M , Q ) d σ + 3 ∫ Γ φ 1 ( Q ) d σ δ 2 ( M ) = 4 π φ 1 ( M ) + 4 ∫ Γ φ 1 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν Q d σ μ 1 ( M ) = ∫ Γ   φ 1 ( Q ) U ( M , Q ) d σ + ∫ Γ   φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( M , Q ) d σ δ 1 ( M ) = π φ 2 ( M ) + ∫ Γ   φ 1 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ ν M d σ + ∫ Γ   φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν Q d σ μ 2 ( M ) = 4 ∫ Γ   φ 1 ( Q ) ln ⁡ r ( M , Q ) d σ + 3 ∫ Γ   φ 1 ( Q ) d σ δ 2 ( M ) = 4 π φ 1 ( M ) + 4 ∫ Γ   φ 1 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν Q d σ {:[mu_(1)(M)=int_(Gamma)varphi_(1)(Q)U(M","Q)d sigma+int_(Gamma)varphi_(2)(Q)ln r(M","Q)d sigma],[delta_(1)(M)=pivarphi_(2)(M)+int_(Gamma)varphi_(1)(Q)(del U(M,Q))/(delnu_(M))d sigma+int_(Gamma)varphi_(2)(Q)(del ln r(M,Q))/(delnu_(Q))d sigma],[mu_(2)(M)=4int_(Gamma)varphi_(1)(Q)ln r(M","Q)d sigma+3int_(Gamma)varphi_(1)(Q)d sigma],[delta_(2)(M)=4pivarphi_(1)(M)+4int_(Gamma)varphi_(1)(Q)(del ln r(M,Q))/(delnu_(Q))d sigma]:}\begin{aligned} & \mu_{1}(M)=\int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) U(M, Q) d \sigma+\int_{\Gamma} \varphi_{2}(Q) \ln r(M, Q) d \sigma \\ & \delta_{1}(M)=\pi \varphi_{2}(M)+\int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) \frac{\partial U(M, Q)}{\partial \nu_{M}} d \sigma+\int_{\Gamma} \varphi_{2}(Q) \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial \nu_{Q}} d \sigma \\ & \mu_{2}(M)=4 \int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) \ln r(M, Q) d \sigma+3 \int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) d \sigma \\ & \delta_{2}(M)=4 \pi \varphi_{1}(M)+4 \int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial \nu_{Q}} d \sigma \end{aligned}μ1(M)=∫Γφ1(Q)U(M,Q)dσ+∫Γφ2(Q)ln⁡r(M,Q)dσδ1(M)=πφ2(M)+∫Γφ1(Q)∂U(M,Q)∂νMdσ+∫Γφ2(Q)∂ln⁡r(M,Q)∂νQdσμ2(M)=4∫Γφ1(Q)ln⁡r(M,Q)dσ+3∫Γφ1(Q)dσδ2(M)=4πφ1(M)+4∫Γφ1(Q)∂ln⁡r(M,Q)∂νQdσ
Se observă că aceste funcții sînt de patrat integrabile. Înlocuind aceste expresii în partea a doua a egalității (4), pe care o notăm cu I I III, obținem
I = ∫ Γ ~ φ 1 ( Q ) d σ ∫ Γ [ U ( M , Q ) ∂ Δ U ( P , M ) ∂ v M − ∂ U ( M , Q ) ∂ v M Δ U ( P , M ) + + 4 ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ U ( P , M ) ∂ v M − 4 ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M U ( P , M ) ] d σ + + ∫ Γ ˙ φ 2 ( Q ) d σ ∫ Γ [ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ Δ U ( P , M ) ∂ v M − ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M Δ U ( P , M ) ] d σ + + 3 ∫ Γ ∂ ∂ U ( P , M ) ∂ v M d σ ∫ Γ φ 1 ( Q ) d σ − 4 π ∫ Γ φ 1 ( Q ) U ( P , Q ) d σ − π ∫ Γ ˙ φ 2 ( Q ) Δ U ( P , Q ) d σ I = ∫ Γ ~   φ 1 ( Q ) d σ ∫ Γ   U ( M , Q ) ∂ Δ U ( P , M ) ∂ v M − ∂ U ( M , Q ) ∂ v M Δ U ( P , M ) + + 4 ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ U ( P , M ) ∂ v M − 4 ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M U ( P , M ) d σ + + ∫ Γ ˙   φ 2 ( Q ) d σ ∫ Γ   ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ Δ U ( P , M ) ∂ v M − ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M Δ U ( P , M ) d σ + + 3 ∫ Γ ∂   ∂ U ( P , M ) ∂ v M d σ ∫ Γ   φ 1 ( Q ) d σ − 4 π ∫ Γ   φ 1 ( Q ) U ( P , Q ) d σ − π ∫ Γ ˙   φ 2 ( Q ) Δ U ( P , Q ) d σ {:[I=int_( tilde(Gamma))varphi_(1)(Q)d sigmaint_(Gamma)[U(M,Q)(del Delta U(P,M))/(delv_(M))-(del U(M,Q))/(delv_(M))Delta U(P,M)+:}],[{:+4ln r(M,Q)(del U(P,M))/(delv_(M))-4(del ln r(M,Q))/(delv_(M))U(P,M)]d sigma+],[+int_(Gamma^(˙))varphi_(2)(Q)d sigmaint_(Gamma)[ln r(M,Q)(del Delta U(P,M))/(delv_(M))-(del ln r(M,Q))/(delv_(M))Delta U(P,M)]d sigma+],[+3int_(Gamma)^(del)(del U(P,M))/(delv_(M))d sigmaint_(Gamma)varphi_(1)(Q)d sigma-4piint_(Gamma)varphi_(1)(Q)U(P","Q)d sigma-piint_(Gamma^(˙))varphi_(2)(Q)Delta U(P","Q)d sigma]:}\begin{gathered} I=\int_{\tilde{\Gamma}} \varphi_{1}(Q) d \sigma \int_{\Gamma}\left[U(M, Q) \frac{\partial \Delta U(P, M)}{\partial v_{M}}-\frac{\partial U(M, Q)}{\partial v_{M}} \Delta U(P, M)+\right. \\ \left.+4 \ln r(M, Q) \frac{\partial U(P, M)}{\partial v_{M}}-4 \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial v_{M}} U(P, M)\right] d \sigma+ \\ +\int_{\dot{\Gamma}} \varphi_{2}(Q) d \sigma \int_{\Gamma}\left[\ln r(M, Q) \frac{\partial \Delta U(P, M)}{\partial v_{M}}-\frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial v_{M}} \Delta U(P, M)\right] d \sigma+ \\ +3 \int_{\Gamma}^{\partial} \frac{\partial U(P, M)}{\partial v_{M}} d \sigma \int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) d \sigma-4 \pi \int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) U(P, Q) d \sigma-\pi \int_{\dot{\Gamma}} \varphi_{2}(Q) \Delta U(P, Q) d \sigma \end{gathered}I=∫Γ~φ1(Q)dσ∫Γ[U(M,Q)∂ΔU(P,M)∂vM−∂U(M,Q)∂vMΔU(P,M)++4ln⁡r(M,Q)∂U(P,M)∂vM−4∂ln⁡r(M,Q)∂vMU(P,M)]dσ++∫Γ˙φ2(Q)dσ∫Γ[ln⁡r(M,Q)∂ΔU(P,M)∂vM−∂ln⁡r(M,Q)∂vMΔU(P,M)]dσ++3∫Γ∂∂U(P,M)∂vMdσ∫Γφ1(Q)dσ−4π∫Γφ1(Q)U(P,Q)dσ−π∫Γ˙φ2(Q)ΔU(P,Q)dσ
Pe de altă parte, fie Q ′ Q ′ Q^(')Q^{\prime}Q′ un punct pe normala exterioară la Γ Γ Gamma\GammaΓ în punctul Q Q QQQ. U ( P , Q ′ ) U P , Q ′ U(P,Q^('))U\left(P, Q^{\prime}\right)U(P,Q′) este o funcție biarmonică regulară cînd P P PPP aparține lui Ω Ω Omega\OmegaΩ, deci
8 π U ( P , Q ′ ) = ∫ Γ ˙ [ U ( M , Q ′ ) ∂ Δ U ( P , M ) ∂ v M − ∂ U ( M , Q ′ ) ∂ v M Δ U ( P , M ) + + Δ U ( M , Q ′ ) ∂ U ( P , M ) ∂ v M − ∂ Δ U ( M , Q ′ ) ∂ v M U ( P , M ) ] d σ 8 π U P , Q ′ = ∫ Γ ˙   U M , Q ′ ∂ Δ U ( P , M ) ∂ v M − ∂ U M , Q ′ ∂ v M Δ U ( P , M ) + + Δ U M , Q ′ ∂ U ( P , M ) ∂ v M − ∂ Δ U M , Q ′ ∂ v M U ( P , M ) d σ {:[8pi U(P,Q^('))=int_(Gamma^(˙))[U(M,Q^('))(del Delta U(P,M))/(delv_(M))-(del U(M,Q^(')))/(delv_(M))Delta U(P,M)+:}],[{: quad+Delta U(M,Q^('))(del U(P,M))/(delv_(M))-(del Delta U(M,Q^(')))/(delv_(M))U(P,M)]d sigma]:}\begin{aligned} & 8 \pi U\left(P, Q^{\prime}\right)=\int_{\dot{\Gamma}}\left[U\left(M, Q^{\prime}\right) \frac{\partial \Delta U(P, M)}{\partial v_{M}}-\frac{\partial U\left(M, Q^{\prime}\right)}{\partial v_{M}} \Delta U(P, M)+\right. \\ & \left.\quad+\Delta U\left(M, Q^{\prime}\right) \frac{\partial U(P, M)}{\partial v_{M}}-\frac{\partial \Delta U\left(M, Q^{\prime}\right)}{\partial v_{M}} U(P, M)\right] d \sigma \end{aligned}8πU(P,Q′)=∫Γ˙[U(M,Q′)∂ΔU(P,M)∂vM−∂U(M,Q′)∂vMΔU(P,M)++ΔU(M,Q′)∂U(P,M)∂vM−∂ΔU(M,Q′)∂vMU(P,M)]dσ
Trecînd la limită cînd Q ′ → Q Q ′ → Q Q^(')rarr QQ^{\prime} \rightarrow QQ′→Q, obținem
∫ Γ [ U ( M , Q ) ∂ Δ U ( P , M ) ∂ ν M − ∂ U ( M , Q ′ ) ∂ ν M Δ U ( P , M ) + 4 ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ U ( P , M ) ∂ ν M − − 4 ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν M U ( P , M ) ] d σ = 12 π U ( P , Q ) − 3 ∫ Γ ∂ U ( P , M ) ∂ ν M d σ ∫ Γ   U ( M , Q ) ∂ Δ U ( P , M ) ∂ ν M − ∂ U M , Q ′ ∂ ν M Δ U ( P , M ) + 4 ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ U ( P , M ) ∂ ν M − − 4 ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν M U ( P , M ) d σ = 12 π U ( P , Q ) − 3 ∫ Γ   ∂ U ( P , M ) ∂ ν M d σ {:[int_(Gamma)[U(M,Q)(del Delta U(P,M))/(delnu_(M))-(del U(M,Q^(')))/(delnu_(M))Delta U(P,M)+4ln r(M,Q)(del U(P,M))/(delnu_(M))-:}],[{:-4(del ln r(M,Q))/(delnu_(M))U(P,M)]d sigma=12 pi U(P","Q)-3int_(Gamma)(del U(P,M))/(delnu_(M))d sigma]:}\begin{gathered} \int_{\Gamma}\left[U(M, Q) \frac{\partial \Delta U(P, M)}{\partial \nu_{M}}-\frac{\partial U\left(M, Q^{\prime}\right)}{\partial \nu_{M}} \Delta U(P, M)+4 \ln r(M, Q) \frac{\partial U(P, M)}{\partial \nu_{M}}-\right. \\ \left.-4 \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial \nu_{M}} U(P, M)\right] d \sigma=12 \pi U(P, Q)-3 \int_{\Gamma} \frac{\partial U(P, M)}{\partial \nu_{M}} d \sigma \end{gathered}∫Γ[U(M,Q)∂ΔU(P,M)∂νM−∂U(M,Q′)∂νMΔU(P,M)+4ln⁡r(M,Q)∂U(P,M)∂νM−−4∂ln⁡r(M,Q)∂νMU(P,M)]dσ=12πU(P,Q)−3∫Γ∂U(P,M)∂νMdσ
În mod analog avem
∫ Γ [ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ Δ U ( P , M ) ∂ ν M − ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν M Δ U ( P , M ) ] d σ = 8 π ln ⁡ r ( P , Q ) + π Δ U ( P , Q ) . ∫ Γ   ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ Δ U ( P , M ) ∂ ν M − ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν M Δ U ( P , M ) d σ = 8 π ln ⁡ r ( P , Q ) + π Δ U ( P , Q ) . int_(Gamma)[ln r(M,Q)(del Delta U(P,M))/(delnu_(M))-(del ln r(M,Q))/(delnu_(M))Delta U(P,M)]d sigma=8pi ln r(P,Q)+pi Delta U(P,Q).\int_{\Gamma}\left[\ln r(M, Q) \frac{\partial \Delta U(P, M)}{\partial \nu_{M}}-\frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial \nu_{M}} \Delta U(P, M)\right] d \sigma=8 \pi \ln r(P, Q)+\pi \Delta U(P, Q) .∫Γ[ln⁡r(M,Q)∂ΔU(P,M)∂νM−∂ln⁡r(M,Q)∂νMΔU(P,M)]dσ=8πln⁡r(P,Q)+πΔU(P,Q).
Introducem aceste rezultate în expresia lui I I III, de unde
I = 8 π u ( P ) I = 8 π u ( P ) I=8pi u(P)I=8 \pi u(P)I=8πu(P)
ceea ce înseamnă că condiția (4) este satisfăcută. La fel se verifică și egalitatea (5); punctul Q ′ Q ′ Q^(')Q^{\prime}Q′, care intervine aici în calculele ajutătoare, trebuie să fie pe normala interioară la Γ Γ Gamma\GammaΓ în punctul Q Q QQQ.
Trecem la demonstrația afirmației inverse. Fie μ 1 , δ 1 , μ 2 s ̧ i δ ∈ L 2 ( Γ ) μ 1 , δ 1 , μ 2 s ̧ i δ ∈ L 2 ( Γ ) mu_(1),delta_(1),mu_(2)şi delta inL_(2)(Gamma)\mu_{1}, \delta_{1}, \mu_{2} s ̧ i \delta \in L_{2}(\Gamma)μ1,δ1,μ2şiδ∈L2(Γ). Considerăm sistemul de ecuații integrale de tip Fredholm :
(6) 1 4 π δ 2 ( M ) = φ 1 ( M ) + λ π ∫ Γ φ 1 ( Q ) δ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν M d σ 1 π δ 1 ( M ) = φ 2 ( M ) + λ π ∫ Γ φ 1 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ ν M d σ + λ π ∫ Γ ρ φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν M d σ } (6) 1 4 π δ 2 ( M ) = φ 1 ( M ) + λ π ∫ Γ   φ 1 ( Q ) δ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν M d σ 1 π δ 1 ( M ) = φ 2 ( M ) + λ π ∫ Γ   φ 1 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ ν M d σ + λ π ∫ Γ ρ   φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν M d σ {:(6){:[(1)/(4pi)delta_(2)(M)=varphi_(1)(M)+(lambda )/(pi)int_(Gamma)varphi_(1)(Q)(delta ln r(M,Q))/(delnu_(M))d sigma],[(1)/(pi)delta_(1)(M)=varphi_(2)(M)+(lambda )/(pi)int_(Gamma)varphi_(1)(Q)(del U(M,Q))/(delnu_(M))d sigma+(lambda )/(pi)int_(Gamma)^(rho)varphi_(2)(Q)(del ln r(M,Q))/(delnu_(M))d sigma]}:}\left.\begin{array}{l} \frac{1}{4 \pi} \delta_{2}(M)=\varphi_{1}(M)+\frac{\lambda}{\pi} \int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) \frac{\delta \ln r(M, Q)}{\partial \nu_{M}} d \sigma \tag{6}\\ \frac{1}{\pi} \delta_{1}(M)=\varphi_{2}(M)+\frac{\lambda}{\pi} \int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) \frac{\partial U(M, Q)}{\partial \nu_{M}} d \sigma+\frac{\lambda}{\pi} \int_{\Gamma}^{\rho} \varphi_{2}(Q) \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial \nu_{M}} d \sigma \end{array}\right\}(6)14πδ2(M)=φ1(M)+λπ∫Γφ1(Q)δln⁡r(M,Q)∂νMdσ1πδ1(M)=φ2(M)+λπ∫Γφ1(Q)∂U(M,Q)∂νMdσ+λπ∫Γρφ2(Q)∂ln⁡r(M,Q)∂νMdσ}
Vom arăta că acest sistem are o soluție [ φ 1 , φ 2 ] φ 1 , φ 2 [varphi_(1),varphi_(2)]\left[\varphi_{1}, \varphi_{2}\right][φ1,φ2], și cu ajutorul ei funcția u ( P ) u ( P ) u(P)u(P)u(P) poate fi reprezentată cu formula (3).
Paralel cu (6) să considerăm sistemul omogen
( ′ ) φ 1 ( M ) = − λ π ∫ Γ φ 1 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M d σ φ 2 ( M ) = − λ π ∫ Γ φ 1 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ v M d σ − λ π ∫ Γ φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M d σ } ( ′ ) φ 1 ( M ) = − λ π ∫ Γ   φ 1 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M d σ φ 2 ( M ) = − λ π ∫ Γ   φ 1 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ v M d σ − λ π ∫ Γ   φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M d σ {:('")"{:[varphi_(1)(M)=-(lambda )/(pi)int_(Gamma)varphi_(1)(Q)(del ln r(M,Q))/(delv_(M))d sigma],[varphi_(2)(M)=-(lambda )/(pi)int_(Gamma)varphi_(1)(Q)(del U(M,Q))/(delv_(M))d sigma-(lambda )/(pi)int_(Gamma)varphi_(2)(Q)(del ln r(M,Q))/(delv_(M))d sigma]}:}\left.\begin{array}{l} \varphi_{1}(M)=-\frac{\lambda}{\pi} \int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial v_{M}} d \sigma \tag{$\prime$}\\ \varphi_{2}(M)=-\frac{\lambda}{\pi} \int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) \frac{\partial U(M, Q)}{\partial v_{M}} d \sigma-\frac{\lambda}{\pi} \int_{\Gamma} \varphi_{2}(Q) \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial v_{M}} d \sigma \end{array}\right\}(′)φ1(M)=−λπ∫Γφ1(Q)∂ln⁡r(M,Q)∂vMdσφ2(M)=−λπ∫Γφ1(Q)∂U(M,Q)∂vMdσ−λπ∫Γφ2(Q)∂ln⁡r(M,Q)∂vMdσ}
Pentru λ = 1 λ = 1 lambda=1\lambda=1λ=1 sistemul (6') are ca vector propriu numai pe [ 0 , φ 0 ] , φ 0 ( M ) 0 , φ 0 , φ 0 ( M ) [0,varphi_(0)],varphi_(0)(M)\left[0, \varphi_{0}\right], \varphi_{0}(M)[0,φ0],φ0(M) find unica funcție proprie a primei ecuații din sistemul (6') pentru λ = 1 λ = 1 lambda=1\lambda=1λ=1. Despre această ultimă afirmație ne putem convinge în felul următor: observăm că
lim ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M = − curbura în M 2 lim ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M = −  curbura în  M 2 lim(del ln r(M,Q))/(delv_(M))=-(" curbura în "M)/(2)\lim \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial v_{M}}=-\frac{\text { curbura în } M}{2}lim∂ln⁡r(M,Q)∂vM=− curbura în M2
cînd Q → M Q → M Q rarr MQ \rightarrow MQ→M, ceea ce înseamnă că δ ln ⁡ r ( M , Q ) δ ν M δ ln ⁡ r ( M , Q ) δ ν M (delta ln r(M,Q))/(deltanu_(M))\frac{\delta \ln r(M, Q)}{\delta \nu_{M}}δln⁡r(M,Q)δνM este continuă pe Γ Γ Gamma\GammaΓ, deci orice funcție proprie a ecuației satisface condiția lui Lipschitz [3].
Să presupunem acum că prima ecuație a sistemului (6') are două funcții proprii liniar independente g 1 ( M ) g 1 ( M ) g_(1)(M)g_{1}(M)g1(M) și g 2 ( M ) g 2 ( M ) g_(2)(M)g_{2}(M)g2(M). Fie
V ( P ) = ∫ Γ ˙ [ C 1 ⋅ g 1 ( Q ) + C 2 g 2 ( Q ) ] ln ⁡ r ( P , Q ) d σ V ( P ) = ∫ Γ ˙   C 1 ⋅ g 1 ( Q ) + C 2 g 2 ( Q ) ln ⁡ r ( P , Q ) d σ V(P)=int_(Gamma^(˙))[C_(1)*g_(1)(Q)+C_(2)g_(2)(Q)]ln r(P,Q)d sigmaV(P)=\int_{\dot{\Gamma}}\left[C_{1} \cdot g_{1}(Q)+C_{2} g_{2}(Q)\right] \ln r(P, Q) d \sigmaV(P)=∫Γ˙[C1⋅g1(Q)+C2g2(Q)]ln⁡r(P,Q)dσ
Dat fiindcă lim ∂ V ( P ) ∂ ν M = 0 lim ∂ V ( P ) ∂ ν M = 0 lim(del V(P))/(delnu_(M))=0\lim \frac{\partial V(P)}{\partial \nu_{M}}=0lim∂V(P)∂νM=0, avem V ( P ) ≡ C V ( P ) ≡ C V(P)-=CV(P) \equiv CV(P)≡C pe Ω + Γ Ω + Γ Omega+Gamma\Omega+\GammaΩ+Γ. Alegem constantele C 1 C 1 C_(1)C_{1}C1 și C 2 C 2 C_(2)C_{2}C2 în așa fel ca să avem V ( P ) ≡ 0 V ( P ) ≡ 0 V(P)-=0V(P) \equiv 0V(P)≡0. Dar
∬ C ( grad V ) 2 d τ = ∫ Γ V ∂ V ∂ ν d σ = 0 ∬ C   ( grad V ) 2 d τ = ∫ Γ   V ∂ V ∂ ν d σ = 0 ∬_(C)(grad V)^(2)d tau=int_(Gamma)V(del V)/(del nu)d sigma=0\iint_{C}(\operatorname{grad} V)^{2} d \tau=\int_{\Gamma} V \frac{\partial V}{\partial \nu} d \sigma=0∬C(gradV)2dτ=∫ΓV∂V∂νdσ=0
deci V ( P ) ≡ 0 V ( P ) ≡ 0 V(P)-=0V(P) \equiv 0V(P)≡0 în tot planul. Și în sfîrșit fie P ∈ Ω P ∈ Ω P in OmegaP \in \OmegaP∈Ω și P ′ ∈ C Ω P ′ ∈ C Ω P^(')in C OmegaP^{\prime} \in C \OmegaP′∈CΩ atunci
lim [ ∂ V ( F ) ∂ v M − ∂ V ( P ′ ) ∂ v M ] = 2 π [ C 1 g 1 ( M ) + C 2 g 2 ( M ) ] = 0 , lim ∂ V ( F ) ∂ v M − ∂ V P ′ ∂ v M = 2 π C 1 g 1 ( M ) + C 2 g 2 ( M ) = 0 , lim[(del V(F))/(delv_(M))-(del V(P^(')))/(delv_(M))]=2pi[C_(1)g_(1)(M)+C_(2)g_(2)(M)]=0,\lim \left[\frac{\partial V(F)}{\partial v_{M}}-\frac{\partial V\left(P^{\prime}\right)}{\partial v_{M}}\right]=2 \pi\left[C_{1} g_{1}(M)+C_{2} g_{2}(M)\right]=0,lim[∂V(F)∂vM−∂V(P′)∂vM]=2π[C1g1(M)+C2g2(M)]=0,
ceea ce este în contradicție cu ipoteza că funcțiile g 1 ( M ) g 1 ( M ) g_(1)(M)g_{1}(M)g1(M) și g 2 ( M ) g 2 ( M ) g_(2)(M)g_{2}(M)g2(M) sînt liniar independente. Trecem acum la verificarea primei afirmații. Fie [ ψ 1 , ψ 2 ] ψ 1 , ψ 2 [psi_(1),psi_(2)]\left[\psi_{1}, \psi_{2}\right][ψ1,ψ2] un vector propriu oarecare al sistemului (6') cînd λ = 1 λ = 1 lambda=1\lambda=1λ=1. Este ușor de văzut că ψ 1 ≡ 0 ψ 1 ≡ 0 psi_(1)-=0\psi_{1} \equiv 0ψ1≡0 și ψ 2 = c φ 0 ψ 2 = c φ 0 psi_(2)=cvarphi_(0)\psi_{2}=c \varphi_{0}ψ2=cφ0. In-tr-adevăr, pe baza celor de mai sus ψ 1 = c φ 0 ψ 1 = c φ 0 psi_(1)=cvarphi_(0)\psi_{1}=c \varphi_{0}ψ1=cφ0 și atunci
φ 2 ( M ) = − c π ∫ Γ φ 0 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ v M d σ − 1 π ∫ Γ φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M d σ φ 2 ( M ) = − c π ∫ Γ   φ 0 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ v M d σ − 1 π ∫ Γ   φ 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ v M d σ varphi_(2)(M)=-(c)/( pi)int_(Gamma)varphi_(0)(Q)(del U(M,Q))/(delv_(M))d sigma-(1)/(pi)int_(Gamma)varphi_(2)(Q)(del ln r(M,Q))/(delv_(M))d sigma\varphi_{2}(M)=-\frac{c}{\pi} \int_{\Gamma} \varphi_{0}(Q) \frac{\partial U(M, Q)}{\partial v_{M}} d \sigma-\frac{1}{\pi} \int_{\Gamma} \varphi_{2}(Q) \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial v_{M}} d \sigmaφ2(M)=−cπ∫Γφ0(Q)∂U(M,Q)∂vMdσ−1π∫Γφ2(Q)∂ln⁡r(M,Q)∂vMdσ
Această ecuație are soluție numai dacă termenul liber este ortogonal pe funcția proprie unică a ecuației omogene conjugate, care în cazul de față este constanta. Deci trebuie să se îndeplinească egalitatea
c. K π ∫ Γ d σ ∫ Γ φ 0 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ ν M d σ = 0  c.  K π ∫ Γ   d σ ∫ Γ   φ 0 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ ν M d σ = 0 (" c. "K)/(pi)int_(Gamma)d sigmaint_(Gamma)varphi_(0)(Q)(del U(M,Q))/(delnu_(M))d sigma=0\frac{\text { c. } K}{\pi} \int_{\Gamma} d \sigma \int_{\Gamma} \varphi_{0}(Q) \frac{\partial U(M, Q)}{\partial \nu_{M}} d \sigma=0 c. Kπ∫Γdσ∫Γφ0(Q)∂U(M,Q)∂νMdσ=0
sau
− c . K π ∬ C . d τ ∫ Γ φ 0 ( Q ) Δ U ( P , Q ) d σ = 0 − c . K π ∬ C .   d τ ∫ Γ   φ 0 ( Q ) Δ U ( P , Q ) d σ = 0 -(c.K)/(pi)∬_(C.)d tauint_(Gamma)varphi_(0)(Q)Delta U(P,Q)d sigma=0-\frac{c . K}{\pi} \iint_{C .} d \tau \int_{\Gamma} \varphi_{0}(Q) \Delta U(P, Q) d \sigma=0−c.Kπ∬C.dτ∫Γφ0(Q)ΔU(P,Q)dσ=0
De aici urmează c = 0 c = 0 c=0c=0c=0, findcă ∫ Γ φ 0 ( Q ) Δ U ( P , Q ) d σ ≡ ∫ Γ   φ 0 ( Q ) Δ U ( P , Q ) d σ ≡ int_(Gamma)varphi_(0)(Q)Delta U(P,Q)d sigma-=\int_{\Gamma} \varphi_{0}(Q) \Delta U(P, Q) d \sigma \equiv∫Γφ0(Q)ΔU(P,Q)dσ≡ constantă ≠ 0 ≠ 0 !=0\neq 0≠0. Ca urmare ψ 1 ≡ 0 ψ 1 ≡ 0 psi_(1)-=0\psi_{1} \equiv 0ψ1≡0 și ψ 2 = c φ 0 ψ 2 = c φ 0 psi_(2)=cvarphi_(0)\psi_{2}=c \varphi_{0}ψ2=cφ0. Pe baza teoremelor lui Fredholm putem afirma că sistemul conjugat al lui (6') are de asemenea un singur vector propriu, cînd λ = 1 λ = 1 lambda=1\lambda=1λ=1. Imediat se observă că [ 1 , 0 ] [ 1 , 0 ] [1,0][1,0][1,0] este acest vector. Deci condiția necesară și suficientă pentru ca sistemul (6) să aibă soluție este ca
∫ Γ δ 2 ( Q ) d σ = 0 ∫ Γ   δ 2 ( Q ) d σ = 0 int_(Gamma)delta_(2)(Q)d sigma=0\int_{\Gamma} \delta_{2}(Q) d \sigma=0∫Γδ2(Q)dσ=0
iar soluția generală este
φ 1 ( M ) = φ 1 ∗ ( M ) ; φ 2 ( M ) = φ 2 ∗ ( M ) + c φ v ( M ) φ 1 ( M ) = φ 1 ∗ ( M ) ; φ 2 ( M ) = φ 2 ∗ ( M ) + c φ v ( M ) varphi_(1)(M)=varphi_(1)^(**)(M);varphi_(2)(M)=varphi_(2)^(**)(M)+cvarphi_(v)(M)\varphi_{1}(M)=\varphi_{1}^{*}(M) ; \varphi_{2}(M)=\varphi_{2}^{*}(M)+c \varphi_{v}(M)φ1(M)=φ1∗(M);φ2(M)=φ2∗(M)+cφv(M)
unde [ φ 1 ∗ , φ 2 ∗ ] φ 1 ∗ , φ 2 ∗ [varphi_(1)^(**),varphi_(2)^(**)]\left[\varphi_{1}^{*}, \varphi_{2}^{*}\right][φ1∗,φ2∗] reprezintă o soluție particulară a sistemului (6). Vom arăta că
u ( P ) = ∫ Γ φ 1 ( Q ) U ( P , Q ) d σ + ∫ Γ φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( P , Q ) d σ u ( P ) = ∫ Γ   φ 1 ( Q ) U ( P , Q ) d σ + ∫ Γ   φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( P , Q ) d σ u(P)=int_(Gamma)varphi_(1)(Q)U(P,Q)d sigma+int_(Gamma)varphi_(2)(Q)ln r(P,Q)d sigmau(P)=\int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) U(P, Q) d \sigma+\int_{\Gamma} \varphi_{2}(Q) \ln r(P, Q) d \sigmau(P)=∫Γφ1(Q)U(P,Q)dσ+∫Γφ2(Q)ln⁡r(P,Q)dσ
Într-adevăr, fie P 0 P 0 P_(0)P_{0}P0 un punct arbitrar din domeniul Ω Ω Omega\OmegaΩ. Definim constanta c c ccc din condiția
u ( P 0 ) = ∫ Γ φ 1 ( Q ) U ( P 0 , Q ) d σ + ∫ Γ φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( P 0 , Q ) d σ u P 0 = ∫ Γ   φ 1 ( Q ) U P 0 , Q d σ + ∫ Γ   φ 2 ( Q ) ln ⁡ r P 0 , Q d σ u(P_(0))=int_(Gamma)varphi_(1)(Q)U(P_(0),Q)d sigma+int_(Gamma)varphi_(2)(Q)ln r(P_(0),Q)d sigmau\left(P_{0}\right)=\int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) U\left(P_{0}, Q\right) d \sigma+\int_{\Gamma} \varphi_{2}(Q) \ln r\left(P_{0}, Q\right) d \sigmau(P0)=∫Γφ1(Q)U(P0,Q)dσ+∫Γφ2(Q)ln⁡r(P0,Q)dσ
Notăm
v ( P ) = u ( P ) − ∫ Γ φ 1 ( Q ) U ( P , Q ) d σ − ∫ Γ φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( P , Q ) d σ v ( P ) = u ( P ) − ∫ Γ   φ 1 ( Q ) U ( P , Q ) d σ − ∫ Γ   φ 2 ( Q ) ln ⁡ r ( P , Q ) d σ v(P)=u(P)-int_(Gamma)varphi_(1)(Q)U(P,Q)d sigma-int_(Gamma)varphi_(2)(Q)ln r(P,Q)d sigmav(P)=u(P)-\int_{\Gamma} \varphi_{1}(Q) U(P, Q) d \sigma-\int_{\Gamma} \varphi_{2}(Q) \ln r(P, Q) d \sigmav(P)=u(P)−∫Γφ1(Q)U(P,Q)dσ−∫Γφ2(Q)ln⁡r(P,Q)dσ
Este evident că v ( P ) ∈ { u } v ( P ) ∈ { u } v(P)in{u}v(P) \in\{u\}v(P)∈{u} și lim ∂ v ( P ) ∂ v M = lim ∂ Δ v ( P ) ∂ v M = 0 . lim ∂ v ( P ) ∂ v M = lim ∂ Δ v ( P ) ∂ v M = 0 . lim(del v(P))/(delv_(M))=lim(del Delta v(P))/(delv_(M))=0.quad\lim \frac{\partial v(P)}{\partial v_{M}}=\lim \frac{\partial \Delta v(P)}{\partial v_{M}}=0 . \quadlim∂v(P)∂vM=lim∂Δv(P)∂vM=0. Notăm lim v ( P ) == v 1 ( M ) v ( P ) == v 1 ( M ) v(P)==v_(1)(M)v(P)= =v_{1}(M)v(P)==v1(M) și lim Δ v 2 ( P ) = v 2 ( M ) lim Δ v 2 ( P ) = v 2 ( M ) lim Deltav_(2)(P)=v_(2)(M)\lim \Delta v_{2}(P)=v_{2}(M)limΔv2(P)=v2(M). Folosind egalitatea (5) avem
∫ Γ [ ν 1 ( Q ) ∂ Δ U ( P ′ , Q ) ∂ ν Q + ν 2 ( Q ) ∂ U ( P ′ , Q ) ∂ ν Q ] d σ = 0 ∫ Γ   ν 1 ( Q ) ∂ Δ U P ′ , Q ∂ ν Q + ν 2 ( Q ) ∂ U P ′ , Q ∂ ν Q d σ = 0 int_(Gamma)[nu_(1)(Q)(del Delta U(P^('),Q))/(delnu_(Q))+nu_(2)(Q)(del U(P^('),Q))/(delnu_(Q))]d sigma=0\int_{\Gamma}\left[\nu_{1}(Q) \frac{\partial \Delta U\left(P^{\prime}, Q\right)}{\partial \nu_{Q}}+\nu_{2}(Q) \frac{\partial U\left(P^{\prime}, Q\right)}{\partial \nu_{Q}}\right] d \sigma=0∫Γ[ν1(Q)∂ΔU(P′,Q)∂νQ+ν2(Q)∂U(P′,Q)∂νQ]dσ=0
Dar aplicînd operatorul Δ Δ Delta\DeltaΔ la această egalitate obținem
∫ Γ ν 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( P ′ , Q ) ∂ ν Q d σ = 0 ∫ Γ   ν 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r P ′ , Q ∂ ν Q d σ = 0 int_(Gamma)nu_(2)(Q)(del ln r(P^('),Q))/(delnu_(Q))d sigma=0\int_{\Gamma} \nu_{2}(Q) \frac{\partial \ln r\left(P^{\prime}, Q\right)}{\partial \nu_{Q}} d \sigma=0∫Γν2(Q)∂ln⁡r(P′,Q)∂νQdσ=0
Trecînd la limită cînd P ′ → M P ′ → M P^(')rarr MP^{\prime} \rightarrow MP′→M pe normala in punctul M M MMM avem
respectiv
4 π ν 1 ( M ) = − 4 ∫ Γ ν 1 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν Q d σ − ∫ Γ ν 2 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ ν Q d σ 4 π ν 1 ( M ) = − 4 ∫ Γ   ν 1 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν Q d σ − ∫ Γ   ν 2 ( Q ) ∂ U ( M , Q ) ∂ ν Q d σ 4pinu_(1)(M)=-4int_(Gamma)nu_(1)(Q)(del ln r(M,Q))/(delnu_(Q))d sigma-int_(Gamma)nu_(2)(Q)(del U(M,Q))/(delnu_(Q))d sigma4 \pi \nu_{1}(M)=-4 \int_{\Gamma} \nu_{1}(Q) \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial \nu_{Q}} d \sigma-\int_{\Gamma} \nu_{2}(Q) \frac{\partial U(M, Q)}{\partial \nu_{Q}} d \sigma4πν1(M)=−4∫Γν1(Q)∂ln⁡r(M,Q)∂νQdσ−∫Γν2(Q)∂U(M,Q)∂νQdσ
π ν 2 ( M ) = − ∫ Γ ν 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν Q d σ π ν 2 ( M ) = − ∫ Γ   ν 2 ( Q ) ∂ ln ⁡ r ( M , Q ) ∂ ν Q d σ pinu_(2)(M)=-int_(Gamma)nu_(2)(Q)(del ln r(M,Q))/(delnu_(Q))d sigma\pi \nu_{2}(M)=-\int_{\Gamma} \nu_{2}(Q) \frac{\partial \ln r(M, Q)}{\partial \nu_{Q}} d \sigmaπν2(M)=−∫Γν2(Q)∂ln⁡r(M,Q)∂νQdσ
Făcînd abstracție de un factor constant acest sistem coincide cu sistemul conjugat al lui (6). Deci singura soluție este [ c , 0 ] [ c , 0 ] [c,0][c, 0][c,0]. Aplicînd formula (4) găsim
v ( P ) = c 8 π ∫ Γ ∂ Δ U ( P , Q ) ∂ v Q d σ = c 2 π ∫ Γ ∂ ln ⁡ r ( P , Q ) ∂ v Q d σ = c , ( P ∈ Ω ) 5 ) v ( P ) = c 8 π ∫ Γ   ∂ Δ U ( P , Q ) ∂ v Q d σ = c 2 π ∫ Γ   ∂ ln ⁡ r ( P , Q ) ∂ v Q d σ = c , ( P ∈ Ω ) 5 {:v(P)=(c)/(8pi)int_(Gamma)(del Delta U(P,Q))/(delv_(Q))d sigma=(c)/(2pi)int_(Gamma)(del ln r(P,Q))/(delv_(Q))d sigma=c,(P in Omega)^(5))\left.v(P)=\frac{c}{8 \pi} \int_{\Gamma} \frac{\partial \Delta U(P, Q)}{\partial v_{Q}} d \sigma=\frac{c}{2 \pi} \int_{\Gamma} \frac{\partial \ln r(P, Q)}{\partial v_{Q}} d \sigma=c,(P \in \Omega)^{5}\right)v(P)=c8π∫Γ∂ΔU(P,Q)∂vQdσ=c2π∫Γ∂ln⁡r(P,Q)∂vQdσ=c,(P∈Ω)5)
Dar v ( P 0 ) = 0 v P 0 = 0 v(P_(0))=0v\left(P_{0}\right)=0v(P0)=0 deci v ( P ) ≡ 0 v ( P ) ≡ 0 v(P)-=0v(P) \equiv 0v(P)≡0, ceea ce demonstrează afirmația noastră.
Lema 1. Dacă u ∈ { u } u ∈ { u } u in{u}u \in\{u\}u∈{u} atunci
∫ Γ δ 2 ( Q ) d σ = 0 ∫ Γ   δ 2 ( Q ) d σ = 0 int_(Gamma)delta_(2)(Q)d sigma=0\int_{\Gamma} \delta_{2}(Q) d \sigma=0∫Γδ2(Q)dσ=0
Demonstrație. Aplicăm operatorul Δ Δ Delta\DeltaΔ egalității (5):
∫ Γ [ μ 2 ( Q ) ∂ Δ U ( P ′ , Q ) ∂ ν Q − δ 2 ( Q ) Δ U ( P ′ , Q ) ] d σ = 0 ∫ Γ   μ 2 ( Q ) ∂ Δ U P ′ , Q ∂ ν Q − δ 2 ( Q ) Δ U P ′ , Q d σ = 0 int_(Gamma)[mu_(2)(Q)(del Delta U(P^('),Q))/(delnu_(Q))-delta_(2)(Q)Delta U(P^('),Q)]d sigma=0\int_{\Gamma}\left[\mu_{2}(Q) \frac{\partial \Delta U\left(P^{\prime}, Q\right)}{\partial \nu_{Q}}-\delta_{2}(Q) \Delta U\left(P^{\prime}, Q\right)\right] d \sigma=0∫Γ[μ2(Q)∂ΔU(P′,Q)∂νQ−δ2(Q)ΔU(P′,Q)]dσ=0
Integrăm pe un cerc arbitrar C R C R C_(R)C_{R}CR de rază R R RRR, care conține domeniul Ω Ω Omega\OmegaΩ în interiorul său
∫ Γ μ 2 ( Q ) d σ ∫ C R ∂ Δ U ( P ′ , Q ) ∂ ν Q d σ − ∫ Γ ~ δ 2 ( Q ) d σ ∫ C R Δ U ( P ′ , Q ) d σ = 0 Dar ∫ C R Δ U ( P ′ , Q ) d σ = ∫ C R [ 4 ln ⁡ r ( P ′ , Q ) + 3 ] d σ ≡ constantă pe Γ , findcă ∫ Γ   μ 2 ( Q ) d σ ∫ C R   ∂ Δ U P ′ , Q ∂ ν Q d σ − ∫ Γ ~   δ 2 ( Q ) d σ ∫ C R   Δ U P ′ , Q d σ = 0 Dar ∫ C R   Δ U P ′ , Q d σ = ∫ C R   4 ln ⁡ r P ′ , Q + 3 d σ ≡  constantă pe  Γ ,  findcă  {:[int_(Gamma)mu_(2)(Q)d sigmaint_(C_(R))(del Delta U(P^('),Q))/(delnu_(Q))d sigma-int_( tilde(Gamma))delta_(2)(Q)d sigmaint_(C_(R))Delta U(P^('),Q)d sigma=0],[Darint_(C_(R))Delta U(P^('),Q)d sigma=int_(C_(R))[4ln r(P^('),Q)+3]d sigma-=" constantă pe "Gamma","" findcă "]:}\begin{gathered} \int_{\Gamma} \mu_{2}(Q) d \sigma \int_{C_{R}} \frac{\partial \Delta U\left(P^{\prime}, Q\right)}{\partial \nu_{Q}} d \sigma-\int_{\tilde{\Gamma}} \delta_{2}(Q) d \sigma \int_{C_{R}} \Delta U\left(P^{\prime}, Q\right) d \sigma=0 \\ \operatorname{Dar} \int_{C_{R}} \Delta U\left(P^{\prime}, Q\right) d \sigma=\int_{C_{R}}\left[4 \ln r\left(P^{\prime}, Q\right)+3\right] d \sigma \equiv \text { constantă pe } \Gamma, \text { findcă } \end{gathered}∫Γμ2(Q)dσ∫CR∂ΔU(P′,Q)∂νQdσ−∫Γ~δ2(Q)dσ∫CRΔU(P′,Q)dσ=0Dar∫CRΔU(P′,Q)dσ=∫CR[4ln⁡r(P′,Q)+3]dσ≡ constantă pe Γ, findcă 
∫ C R ln ⁡ r ( P ′ , Q ) d σ ≡ c ∫ C R   ln ⁡ r P ′ , Q d σ ≡ c int_(C_(R))ln r(P^('),Q)d sigma-=c\int_{C_{R}} \ln r\left(P^{\prime}, Q\right) d \sigma \equiv c∫CRln⁡r(P′,Q)dσ≡c în interiorul cercului. De aici urmează și ∫ C R ∂ Δ U ( P ′ , Q ) ∂ ν Q d σ = 0 ∫ C R   ∂ Δ U P ′ , Q ∂ ν Q d σ = 0 int_(C_(R))(del Delta U(P^('),Q))/(delnu_(Q))d sigma=0\int_{C_{R}} \frac{\partial \Delta U\left(P^{\prime}, Q\right)}{\partial \nu_{Q}} d \sigma=0∫CR∂ΔU(P′,Q)∂νQdσ=0 prin urmare ∫ Γ δ 2 ( Q ) d σ = 0 ∫ Γ   δ 2 ( Q ) d σ = 0 int_(Gamma)delta_(2)(Q)d sigma=0\int_{\Gamma} \delta_{2}(Q) d \sigma=0∫Γδ2(Q)dσ=0.
4. Vom demonstra unicitatea soluției problemei la limită propuse la punctul 2, relativ la elementele mulțimii { u } { u } {u}\{u\}{u}.
Introducem funcționala
(7) F ( u ) = ∫ Γ ˙ ( μ 1 δ 2 − μ 2 δ 1 ) d σ + ( 1 − σ ) ∫ Γ δ 1 2 d σ (7) F ( u ) = ∫ Γ ˙   μ 1 δ 2 − μ 2 δ 1 d σ + ( 1 − σ ) ∫ Γ   δ 1 2 d σ {:(7)F(u)=int_(Gamma^(˙))(mu_(1)delta_(2)-mu_(2)delta_(1))d sigma+(1-sigma)int_(Gamma)delta_(1)^(2)d sigma:}\begin{equation*} F(u)=\int_{\dot{\Gamma}}\left(\mu_{1} \delta_{2}-\mu_{2} \delta_{1}\right) d \sigma+(1-\sigma) \int_{\Gamma} \delta_{1}^{2} d \sigma \tag{7} \end{equation*}(7)F(u)=∫Γ˙(μ1δ2−μ2δ1)dσ+(1−σ)∫Γδ12dσ
definită pe elementele mulțimii { u } . F ( u ) { u } . F ( u ) {u}.F(u)\{u\} . F(u){u}.F(u) este o funcțională pozitivă, ceea ce este evident dacă în prealabil observăm că
∫ Γ ( μ 1 δ 2 − μ 2 δ 1 ) d σ = ∬ Ω ( Δ u ) 2 d σ ∫ Γ   μ 1 δ 2 − μ 2 δ 1 d σ = ∬ Ω   ( Δ u ) 2 d σ int_(Gamma)(mu_(1)delta_(2)-mu_(2)delta_(1))d sigma=∬_(Omega)(Delta u)^(2)d sigma\int_{\Gamma}\left(\mu_{1} \delta_{2}-\mu_{2} \delta_{1}\right) d \sigma=\iint_{\Omega}(\Delta u)^{2} d \sigma∫Γ(μ1δ2−μ2δ1)dσ=∬Ω(Δu)2dσ
Dar această ultimă egalitate se poate verifica înlocuind în membrul întîi expresiile funcțiilor μ 1 , δ 1 , μ 2 , δ 2 μ 1 , δ 1 , μ 2 , δ 2 mu_(1),delta_(1),mu_(2),delta_(2)\mu_{1}, \delta_{1}, \mu_{2}, \delta_{2}μ1,δ1,μ2,δ2 și efectuînd calcule simple urmînd calea demonstrației teoremei 3.
Teorema 4. Dacă u ∈ { u } s s i u ∈ { u } s s i u in{u}ssiu \in\{u\} s s iu∈{u}ssi
u = 0 ре Γ − Δ u + 1 − σ ρ 0 ∂ u ∂ ν = 0 ре Γ u = 0  ре  Γ − Δ u + 1 − σ ρ 0 ∂ u ∂ ν = 0  ре  Γ {:[u=0" ре "Gamma],[-Delta u+(1-sigma)/(rho_(0))(del u)/(del nu)=0" ре "Gamma]:}\begin{aligned} u & =0 \text { ре } \Gamma \\ -\Delta u+\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \frac{\partial u}{\partial \nu} & =0 \text { ре } \Gamma \end{aligned}u=0 ре Γ−Δu+1−σρ0∂u∂ν=0 ре Γ
atunci u ≡ 0 u ≡ 0 u-=0u \equiv 0u≡0 in Ω Ω Omega\OmegaΩ.
Demonstratie. Evident F ( u ) = 0 F ( u ) = 0 F(u)=0F(u)=0F(u)=0, de unde urmează
∬ Ω ( Δ u ) 2 d τ = 0 şi ∫ Γ ˙ ( ∂ u ∂ ν ) 2 d σ = 0 ∬ Ω   ( Δ u ) 2 d τ = 0  şi  ∫ Γ ˙   ∂ u ∂ ν 2 d σ = 0 ∬_(Omega)(Delta u)^(2)d tau=0" şi "int_(Gamma^(˙))((del u)/(del nu))^(2)d sigma=0\iint_{\Omega}(\Delta u)^{2} d \tau=0 \text { şi } \int_{\dot{\Gamma}}\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}\right)^{2} d \sigma=0∬Ω(Δu)2dτ=0 şi ∫Γ˙(∂u∂ν)2dσ=0
Deci Δ u = 0 Δ u = 0 Delta u=0\Delta u=0Δu=0 în Ω Ω Omega\OmegaΩ și ∂ u ∂ v = 0 ∂ u ∂ v = 0 (del u)/(del v)=0\frac{\partial u}{\partial v}=0∂u∂v=0 pe Γ Γ Gamma\GammaΓ. Aceasta înseamnă că u u uuu este soluția problemei lui Neumann cu condiția ∂ u ∂ ν = 0 ∂ u ∂ ν = 0 (del u)/(del nu)=0\frac{\partial u}{\partial \nu}=0∂u∂ν=0 pe frontieră ; deci u ≡ c u ≡ c u-=cu \equiv cu≡c în Ω Ω Omega\OmegaΩ, și fiindcă condiția teoremei impune ca u = 0 u = 0 u=0u=0u=0 pe Γ Γ Gamma\GammaΓ, urmează u ≡ 0 u ≡ 0 u-=0u \equiv 0u≡0.
5. Fie P ( ρ , φ ) P ( ρ , φ ) P(rho,varphi)P(\rho, \varphi)P(ρ,φ) și Q ( ρ ′ , φ ′ ) Q ρ ′ , φ ′ Q(rho^('),varphi^('))Q\left(\rho^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)Q(ρ′,φ′) două puncte în plan. Este bine cunoscută formula
ln ⁡ r ( P , Q ) = ln ⁡ ρ ′ − ∑ n = 1 ∞ 1 n κ n ρ ′ n cos ⁡ n ( φ − φ ′ ) ln ⁡ r ( P , Q ) = ln ⁡ ρ ′ − ∑ n = 1 ∞   1 n κ n ρ ′ n cos ⁡ n φ − φ ′ ln r(P,Q)=ln rho^(')-sum_(n=1)^(oo)(1)/(n)(kappa^(n))/(rho^('n))cos n(varphi-varphi^('))\ln r(P, Q)=\ln \rho^{\prime}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \frac{\kappa^{n}}{\rho^{\prime n}} \cos n\left(\varphi-\varphi^{\prime}\right)ln⁡r(P,Q)=ln⁡ρ′−∑n=1∞1nκnρ′ncos⁡n(φ−φ′)
Cu ajutorul ei obținem
r 2 ln ⁡ r = ln ⁡ ρ ′ ( ρ 2 + ρ ′ 2 − 2 ρ ρ ′ cos ⁡ γ ) + ρ 2 − ρ ρ ′ cos ⁡ γ − ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) ρ n + 2 ρ ′ n cos ⁡ n γ + + ∑ n = 2 ∞ 1 n ( n − 1 ) ρ n ρ ′ n − 2 cos ⁡ n γ r 2 ln ⁡ r = ln ⁡ ρ ′ ρ 2 + ρ ′ 2 − 2 ρ ρ ′ cos ⁡ γ + ρ 2 − ρ ρ ′ cos ⁡ γ − ∑ n = 1 ∞   1 n ( n + 1 ) ρ n + 2 ρ ′ n cos ⁡ n γ + + ∑ n = 2 ∞   1 n ( n − 1 ) ρ n ρ ′ n − 2 cos ⁡ n γ {:[r^(2)ln r=ln rho^(')(rho^(2)+rho^('2)-2rhorho^(')cos gamma)+rho^(2)-rhorho^(')cos gamma-sum_(n=1)^(oo)(1)/(n(n+1))(rho^(n+2))/(rho^('n))cos n gamma+],[+sum_(n=2)^(oo)(1)/(n(n-1))(rho^(n))/(rho^('n-2))cos n gamma]:}\begin{gathered} r^{2} \ln r=\ln \rho^{\prime}\left(\rho^{2}+\rho^{\prime 2}-2 \rho \rho^{\prime} \cos \gamma\right)+\rho^{2}-\rho \rho^{\prime} \cos \gamma-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \frac{\rho^{n+2}}{\rho^{\prime n}} \cos n \gamma+ \\ +\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)} \frac{\rho^{n}}{\rho^{\prime n-2}} \cos n \gamma \end{gathered}r2ln⁡r=ln⁡ρ′(ρ2+ρ′2−2ρρ′cos⁡γ)+ρ2−ρρ′cos⁡γ−∑n=1∞1n(n+1)ρn+2ρ′ncos⁡nγ++∑n=2∞1n(n−1)ρnρ′n−2cos⁡nγ
unde γ = φ − φ ′ γ = φ − φ ′ gamma=varphi-varphi^(')\gamma=\varphi-\varphi^{\prime}γ=φ−φ′. Dacă introducem următoarele notații
α 1 = − ρ { cos ⁡ φ sin ⁡ φ ; α n = 1 n ( n − 1 ) ρ n { cos ⁡ n φ sin ⁡ n φ ( n = 2 , 3 , … ) , β 0 = ρ ∘ ; β n = − 1 n ( n + 1 ) ρ n + 2 { cos ⁡ n φ sin ⁡ n φ ( n = 1 , 2 , … ) , γ n = ρ ′ − n { cos ⁡ n φ ′ sin ⁡ n φ ′ ( n = 0 , 1 , … ) , δ n = ρ ′ n − 2 { cos ⁡ n φ ′ sin ⁡ n φ ′ ( n = 1 , 2 , … ) α 1 = − ρ cos ⁡ φ sin ⁡ φ ; α n = 1 n ( n − 1 ) ρ n cos ⁡ n φ sin ⁡ n φ ( n = 2 , 3 , … ) , β 0 = ρ ∘ ; β n = − 1 n ( n + 1 ) ρ n + 2 cos ⁡ n φ sin ⁡ n φ ( n = 1 , 2 , … ) , γ n = ρ ′ − n cos ⁡ n φ ′ sin ⁡ n φ ′ ( n = 0 , 1 , … ) , δ n = ρ ′ n − 2 cos ⁡ n φ ′ sin ⁡ n φ ′ ( n = 1 , 2 , … ) {:[alpha_(1)=-rho{[cos varphi],[sin varphi];quadalpha_(n)=(1)/(n(n-1))rho^(n){[cos n varphi],[sin n varphi]quad(n=2,3,dots),:}],[beta_(0)=rho^(@);quadbeta_(n)=-(1)/(n(n+1))rho^(n+2){[cos n varphi],[sin n varphi]quad(n=1,2,dots),:}],[gamma_(n)=rho^('-n){[cos nvarphi^(')],[sin nvarphi^(')]quad(n=0,1,dots),:}],[delta_(n)=rho^('n-2){[cos nvarphi^(')],[sin nvarphi^(')]quad(n=1,2,dots):}]:}\begin{gathered} \alpha_{1}=-\rho\left\{\begin{array}{l} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{array} ; \quad \alpha_{n}=\frac{1}{n(n-1)} \rho^{n}\left\{\begin{array}{l} \cos n \varphi \\ \sin n \varphi \end{array} \quad(n=2,3, \ldots),\right.\right. \\ \beta_{0}=\rho^{\circ} ; \quad \beta_{n}=-\frac{1}{n(n+1)} \rho^{n+2}\left\{\begin{array}{l} \cos n \varphi \\ \sin n \varphi \end{array} \quad(n=1,2, \ldots),\right. \\ \gamma_{n}=\rho^{\prime-n}\left\{\begin{array}{l} \cos n \varphi^{\prime} \\ \sin n \varphi^{\prime} \end{array} \quad(n=0,1, \ldots),\right. \\ \delta_{n}=\rho^{\prime n-2}\left\{\begin{array}{l} \cos n \varphi^{\prime} \\ \sin n \varphi^{\prime} \end{array} \quad(n=1,2, \ldots)\right. \end{gathered}α1=−ρ{cos⁡φsin⁡φ;αn=1n(n−1)ρn{cos⁡nφsin⁡nφ(n=2,3,…),β0=ρ∘;βn=−1n(n+1)ρn+2{cos⁡nφsin⁡nφ(n=1,2,…),γn=ρ′−n{cos⁡nφ′sin⁡nφ′(n=0,1,…),δn=ρ′n−2{cos⁡nφ′sin⁡nφ′(n=1,2,…)
Cu ajutorul lor putem scrie
iar
r 2 ln ⁡ r = β 0 ln ⁡ ρ ′ + ρ ′ − ln ⁡ ρ + 2 α 1 δ 1 ln ⁡ ρ ′ + ∑ n = 0 ∞ β n γ n + ∑ n = 1 ∞ α n δ n r 2 ln ⁡ r = β 0 ln ⁡ ρ ′ + ρ ′ − ln ⁡ ρ + 2 α 1 δ 1 ln ⁡ ρ ′ + ∑ n = 0 ∞   β n γ n + ∑ n = 1 ∞   α n δ n r^(2)ln r=beta_(0)ln rho^(')+rho^(')-ln rho+2alpha_(1)delta_(1)ln rho^(')+sum_(n=0)^(oo)beta_(n)gamma_(n)+sum_(n=1)^(oo)alpha_(n)delta_(n)r^{2} \ln r=\beta_{0} \ln \rho^{\prime}+\rho^{\prime}-\ln \rho+2 \alpha_{1} \delta_{1} \ln \rho^{\prime}+\sum_{n=0}^{\infty} \beta_{n} \gamma_{n}+\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} \delta_{n}r2ln⁡r=β0ln⁡ρ′+ρ′−ln⁡ρ+2α1δ1ln⁡ρ′+∑n=0∞βnγn+∑n=1∞αnδn
Pentru a ușura calculele ce urmează, introducem notări prescurtate
P ( u ) = μ 1 ( Q ) − δ 1 ( Q ) + μ 2 ( Q ) − δ 2 ( Q ) ; G ( v ) = ∂ Δ v ∂ v Q + Δ v + ∂ v ∂ v + v P ( u ) = μ 1 ( Q ) − δ 1 ( Q ) + μ 2 ( Q ) − δ 2 ( Q ) ; G ( v ) = ∂ Δ v ∂ v Q + Δ v + ∂ v ∂ v + v P(u)=mu_(1)(Q)-delta_(1)(Q)+mu_(2)(Q)-delta_(2)(Q);G(v)=(del Delta v)/(delv_(Q))+Delta v+(del v)/(del v)+vP(u)=\mu_{1}(Q)-\delta_{1}(Q)+\mu_{2}(Q)-\delta_{2}(Q) ; G(v)=\frac{\partial \Delta v}{\partial v_{Q}}+\Delta v+\frac{\partial v}{\partial v}+vP(u)=μ1(Q)−δ1(Q)+μ2(Q)−δ2(Q);G(v)=∂Δv∂vQ+Δv+∂v∂v+v
P ( u ) . G ( v ) = μ 1 ∂ Δ v ∂ v Q − δ 1 Δ v + μ 2 ∂ v ∂ v Q + δ 2 v P ( u ) . G ( v ) = μ 1 ∂ Δ v ∂ v Q − δ 1 Δ v + μ 2 ∂ v ∂ v Q + δ 2 v P(u).G(v)=mu_(1)(del Delta v)/(delv_(Q))-delta_(1)Delta v+mu_(2)(del v)/(delv_(Q))+delta_(2)vP(u) . G(v)=\mu_{1} \frac{\partial \Delta v}{\partial v_{Q}}-\delta_{1} \Delta v+\mu_{2} \frac{\partial v}{\partial v_{Q}}+\delta_{2} vP(u).G(v)=μ1∂Δv∂vQ−δ1Δv+μ2∂v∂vQ+δ2v
Înlocuind în formula (5) U = r ∙ ln ⁡ r U = r ∙ ln ⁡ r U=r^(∙)ln rU=r^{\bullet} \ln rU=r∙ln⁡r prin șirul ei de mai sus și folosind notațiile prescurtate, egalitatea (5) se poate scrie
ln ⁡ ρ ′ ∫ Γ ˙ P ( u ) ⋅ G ( β 0 ) d σ + 2 δ 1 ln ⁡ ρ ′ ∫ Γ ˙ P ( u ) G ( α 1 ) d σ + ∑ n = o ∞ γ n ∫ Γ ˙ P ( u ) ⋅ G ( β n ) d σ + (8) + ∑ n = 1 ∞ δ n ∫ Γ P ( u ) G ( α n ) d σ = 0 ln ⁡ ρ ′ ∫ Γ ˙   P ( u ) ⋅ G β 0 d σ + 2 δ 1 ln ⁡ ρ ′ ∫ Γ ˙   P ( u ) G α 1 d σ + ∑ n = o ∞   γ n ∫ Γ ˙   P ( u ) ⋅ G β n d σ + (8) + ∑ n = 1 ∞   δ n ∫ Γ   P ( u ) G α n d σ = 0 {:[ln rho^(')int_(Gamma^(˙))P(u)*G(beta_(0))d sigma+2delta_(1)ln rho^(')int_(Gamma^(˙))P(u)G(alpha_(1))d sigma+sum_(n=o)^(oo)gamma_(n)int_(Gamma^(˙))P(u)*G(beta_(n))d sigma+],[(8)+sum_(n=1)^(oo)delta_(n)int_(Gamma)P(u)G(alpha_(n))d sigma=0]:}\begin{align*} \ln \rho^{\prime} \int_{\dot{\Gamma}} P(u) \cdot G\left(\beta_{0}\right) d \sigma & +2 \delta_{1} \ln \rho^{\prime} \int_{\dot{\Gamma}} P(u) G\left(\alpha_{1}\right) d \sigma+\sum_{n=o}^{\infty} \gamma_{n} \int_{\dot{\Gamma}} P(u) \cdot G\left(\beta_{n}\right) d \sigma+ \\ & +\sum_{n=1}^{\infty} \delta_{n} \int_{\Gamma} P(u) G\left(\alpha_{n}\right) d \sigma=0 \tag{8} \end{align*}ln⁡ρ′∫Γ˙P(u)⋅G(β0)dσ+2δ1ln⁡ρ′∫Γ˙P(u)G(α1)dσ+∑n=o∞γn∫Γ˙P(u)⋅G(βn)dσ+(8)+∑n=1∞δn∫ΓP(u)G(αn)dσ=0
care este valabilă pentru fiecare punct exterior față de un cerc care conține în interiorul său pe Ω Ω Omega\OmegaΩ. Fie C R C R C_(R)C_{R}CR un asemenea cerc fixat. Dat fiindcă pe C R C R C_(R)C_{R}CR șirul de funcții 1 , sin ⁡ φ ′ , cos ⁡ φ ′ , sin ⁡ 2 φ ′ , cos ⁡ 2 φ ′ , … 1 , sin ⁡ φ ′ , cos ⁡ φ ′ , sin ⁡ 2 φ ′ , cos ⁡ 2 φ ′ , … 1,sin varphi^('),cos varphi^('),sin 2varphi^('),cos 2varphi^('),dots1, \sin \varphi^{\prime}, \cos \varphi^{\prime}, \sin 2 \varphi^{\prime}, \cos 2 \varphi^{\prime}, \ldots1,sin⁡φ′,cos⁡φ′,sin⁡2φ′,cos⁡2φ′,… este complet, din egalitatea (8) urmează
∫ Γ ˙ P ( u ) G ( β 0 ) d σ + ln ⁡ R ∫ Γ ˙ P ( u ) G ( β 0 ) d σ = 0 2 R ln ⁡ R ∫ Γ ˙ P ( u ) G ( α 1 ) d σ + ∫ Γ ˙ P ( u ) G ( β 1 ) d σ + R ∫ Γ ˙ P ( u ) G ( α 1 ) d σ = 0 ∫ Γ P ( u ) G ( β n ) d σ + R 2 ∫ Γ ˙ P ( u ) G ( α n ) d σ = 0 ( n = 2 , 3 , … ) ∫ Γ ˙   P ( u ) G β 0 d σ + ln ⁡ R ∫ Γ ˙   P ( u ) G β 0 d σ = 0 2 R ln ⁡ R ∫ Γ ˙   P ( u ) G α 1 d σ + ∫ Γ ˙   P ( u ) G β 1 d σ + R ∫ Γ ˙   P ( u ) G α 1 d σ = 0 ∫ Γ   P ( u ) G β n d σ + R 2 ∫ Γ ˙   P ( u ) G α n d σ = 0 ( n = 2 , 3 , … ) {:[int_(Gamma^(˙))P(u)G(beta_(0))d sigma+ln Rint_(Gamma^(˙))P(u)G(beta_(0))d sigma=0],[2R ln Rint_(Gamma^(˙))P(u)G(alpha_(1))d sigma+int_(Gamma^(˙))P(u)G(beta_(1))d sigma+Rint_(Gamma^(˙))P(u)G(alpha_(1))d sigma=0],[int_(Gamma)P(u)G(beta_(n))d sigma+R^(2)int_(Gamma^(˙))P(u)G(alpha_(n))d sigma=0quad(n=2","3","dots)]:}\begin{gathered} \int_{\dot{\Gamma}} P(u) G\left(\beta_{0}\right) d \sigma+\ln R \int_{\dot{\Gamma}} P(u) G\left(\beta_{0}\right) d \sigma=0 \\ 2 R \ln R \int_{\dot{\Gamma}} P(u) G\left(\alpha_{1}\right) d \sigma+\int_{\dot{\Gamma}} P(u) G\left(\beta_{1}\right) d \sigma+R \int_{\dot{\Gamma}} P(u) G\left(\alpha_{1}\right) d \sigma=0 \\ \int_{\Gamma} P(u) G\left(\beta_{n}\right) d \sigma+R^{2} \int_{\dot{\Gamma}} P(u) G\left(\alpha_{n}\right) d \sigma=0 \quad(n=2,3, \ldots) \end{gathered}∫Γ˙P(u)G(β0)dσ+ln⁡R∫Γ˙P(u)G(β0)dσ=02Rln⁡R∫Γ˙P(u)G(α1)dσ+∫Γ˙P(u)G(β1)dσ+R∫Γ˙P(u)G(α1)dσ=0∫ΓP(u)G(βn)dσ+R2∫Γ˙P(u)G(αn)dσ=0(n=2,3,…)
Dar acest sistem este valabil și pentru orice R 1 > R R 1 > R R_(1) > RR_{1}>RR1>R, de unde rezultă
∫ Γ ˙ P ( u ) G ( α n ) d σ = 0 , ( n = 1 , 2 , … ) ∫ Γ P ( u ) G ( β n ) d σ = 0 , ( n = 0 , 1 , … ) ∫ Γ ˙   P ( u ) G α n d σ = 0 , ( n = 1 , 2 , … ) ∫ Γ   P ( u ) G β n d σ = 0 , ( n = 0 , 1 , … ) {:[int_(Gamma^(˙))P(u)G(alpha_(n))d sigma=0","quad(n=1","2","dots)],[int_(Gamma)P(u)G(beta_(n))d sigma=0","quad(n=0","1","dots)]:}\begin{aligned} & \int_{\dot{\Gamma}} P(u) G\left(\alpha_{n}\right) d \sigma=0, \quad(n=1,2, \ldots) \\ & \int_{\Gamma} P(u) G\left(\beta_{n}\right) d \sigma=0, \quad(n=0,1, \ldots) \end{aligned}∫Γ˙P(u)G(αn)dσ=0,(n=1,2,…)∫ΓP(u)G(βn)dσ=0,(n=0,1,…)
sau notînd cu { v n } v n {v_(n)}\left\{v_{n}\right\}{vn} șirul { α n } ∪ { f n } α n ∪ f n {alpha_(n)}uu{f_(n)}\left\{\alpha_{n}\right\} \cup\left\{f_{n}\right\}{αn}∪{fn} :
(9) ∫ Γ P ( u ) G ( v n ) d σ = 0 , ( n = 1 , 2 , … ) (9) ∫ Γ   P ( u ) G v n d σ = 0 , ( n = 1 , 2 , … ) {:(9)int_(Gamma)P(u)G(v_(n))d sigma=0","quad(n=1","2","dots):}\begin{equation*} \int_{\Gamma} P(u) G\left(v_{n}\right) d \sigma=0, \quad(n=1,2, \ldots) \tag{9} \end{equation*}(9)∫ΓP(u)G(vn)dσ=0,(n=1,2,…)
Din cele de mai sus rezultă că sistemul (9) reprezintă condiția necesară pentru ca u ∈ { u } u ∈ { u } u in{u}u \in\{u\}u∈{u}. Relația (9) reprezintă totodată și condiția suficientă. Într-adevăr, fie μ 1 , δ 1 , μ 2 , δ 2 ∈ L 2 ( Γ ) μ 1 , δ 1 , μ 2 , δ 2 ∈ L 2 ( Γ ) mu_(1),delta_(1),mu_(2),delta_(2)inL_(2)(Gamma)\mu_{1}, \delta_{1}, \mu_{2}, \delta_{2} \in L_{2}(\Gamma)μ1,δ1,μ2,δ2∈L2(Γ); funcția
w ( P ′ ) = ∫ Γ ˙ [ μ 1 ( Q ) ∂ Δ U ( P ′ , Q ) ∂ ν Q − δ 1 ( Q ) Δ U ( P ′ , Q ) + μ 2 ( Q ) ∂ U ( P ′ , Q ) ∂ ν Q − − δ 2 ( Q ) U ( P ′ , Q ) ] d σ w P ′ = ∫ Γ ˙   μ 1 ( Q ) ∂ Δ U P ′ , Q ∂ ν Q − δ 1 ( Q ) Δ U P ′ , Q + μ 2 ( Q ) ∂ U P ′ , Q ∂ ν Q − − δ 2 ( Q ) U P ′ , Q d σ {:[w(P^('))=int_(Gamma^(˙))[mu_(1)(Q)(del Delta U(P^('),Q))/(delnu_(Q)):}-delta_(1)(Q)DeltaU(P^('),Q)+mu_(2)(Q)(del U(P^('),Q))/(delnu_(Q))-],[{:-delta_(2)(Q)U(P^('),Q)]d sigma]:}\begin{aligned} w\left(P^{\prime}\right)=\int_{\dot{\Gamma}}\left[\mu_{1}(Q) \frac{\partial \Delta U\left(P^{\prime}, Q\right)}{\partial \nu_{Q}}\right. & -\delta_{1}(Q) \Delta \mathrm{U}\left(P^{\prime}, Q\right)+\mu_{2}(Q) \frac{\partial U\left(P^{\prime}, Q\right)}{\partial \nu_{Q}}- \\ & \left.-\delta_{2}(Q) U\left(P^{\prime}, Q\right)\right] d \sigma \end{aligned}w(P′)=∫Γ˙[μ1(Q)∂ΔU(P′,Q)∂νQ−δ1(Q)ΔU(P′,Q)+μ2(Q)∂U(P′,Q)∂νQ−−δ2(Q)U(P′,Q)]dσ
este biarmonică în C Ω C Ω C OmegaC \OmegaCΩ. Însă din (9) urmează w ( P ′ ) ≡ 0 w P ′ ≡ 0 w(P^('))-=0w\left(P^{\prime}\right) \equiv 0w(P′)≡0 în exteriorul cercului C R C R C_(R)C_{R}CR ceeace înseamnă că w ( P ′ ) ≡ 0 w P ′ ≡ 0 w(P^('))-=0w\left(P^{\prime}\right) \equiv 0w(P′)≡0 și în C Ω C Ω C OmegaC \OmegaCΩ.
Rezultatul final este formulat în teorema următoare:
Teorema 5. Şirul de vectori { ψ i } = | v i − Δ v i + 1 − σ ρ ∂ v i ∂ ν | ψ i = v i − Δ v i + 1 − σ ρ ∂ v i ∂ ν {psi_(i)}=|v_(i)-Deltav_(i)+(1-sigma)/(rho)(delv_(i))/(del nu)|\left\{\psi_{i}\right\}=\left|v_{i}-\Delta v_{i}+\frac{1-\sigma}{\rho} \frac{\partial v_{i}}{\partial \nu}\right|{ψi}=|vi−Δvi+1−σρ∂vi∂ν| este complet în sensul lui Hilbert pe Γ Γ Gamma\GammaΓ.
Demonstratie. Fie φ φ varphi\varphiφ un vector ortogonal pe toate elementele șirului { ψ i } ψ i {psi_(i)}\left\{\psi_{i}\right\}{ψi}. Componentele vectorului φ φ varphi\varphiφ le vom nota în felul următor: φ = [ − δ 2 , δ 1 ] φ = − δ 2 , δ 1 varphi=[-delta_(2),delta_(1)]\varphi=\left[-\delta_{2}, \delta_{1}\right]φ=[−δ2,δ1]. Condiția de ortogonalitate este
∫ Γ [ − δ 2 v i − δ 1 Δ v i + I − σ ρ 0 δ 1 ∂ v i ∂ ν ] d σ = 0 , ( i = 1 , 2 , … ) ∫ Γ   − δ 2 v i − δ 1 Δ v i + I − σ ρ 0 δ 1 ∂ v i ∂ ν d σ = 0 , ( i = 1 , 2 , … ) int_(Gamma)[-delta_(2)v_(i)-delta_(1)Deltav_(i)+(I-sigma)/(rho_(0))delta_(1)(delv_(i))/(del nu)]d sigma=0,quad(i=1,2,dots)\int_{\Gamma}\left[-\delta_{2} v_{i}-\delta_{1} \Delta v_{i}+\frac{I-\sigma}{\rho_{0}} \delta_{1} \frac{\partial v_{i}}{\partial \nu}\right] d \sigma=0, \quad(i=1,2, \ldots)∫Γ[−δ2vi−δ1Δvi+I−σρ0δ1∂vi∂ν]dσ=0,(i=1,2,…)
Dacă considerăm μ 1 ≡ 0 μ 1 ≡ 0 mu_(1)-=0\mu_{1} \equiv 0μ1≡0 și μ 2 = 1 − σ ρ 0 δ 1 μ 2 = 1 − σ ρ 0 δ 1 mu_(2)=(1-sigma)/(rho_(0))delta_(1)\mu_{2}=\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \delta_{1}μ2=1−σρ0δ1, atunci egalitățile precedente coincid cu (9), deci
u ( P ) = 1 8 π ∫ T ˙ [ 1 − σ ρ 0 δ 1 ( Q ) ∂ U ( P , Q ) ∂ v Q − δ 1 ( Q ) Δ U ( P , Q ) − δ 2 U ( P , Q ) ] d σ ∈ { u } u ( P ) = 1 8 π ∫ T ˙   1 − σ ρ 0 δ 1 ( Q ) ∂ U ( P , Q ) ∂ v Q − δ 1 ( Q ) Δ U ( P , Q ) − δ 2 U ( P , Q ) d σ ∈ { u } u(P)=(1)/(8pi)int_(T^(˙))[(1-sigma)/(rho_(0))delta_(1)(Q)(del U(P,Q))/(delv_(Q))-delta_(1)(Q)Delta U(P,Q)-delta_(2)U(P,Q)]d sigma in{u}u(P)=\frac{1}{8 \pi} \int_{\dot{T}}\left[\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \delta_{1}(Q) \frac{\partial U(P, Q)}{\partial v_{Q}}-\delta_{1}(Q) \Delta U(P, Q)-\delta_{2} U(P, Q)\right] d \sigma \in\{u\}u(P)=18π∫T˙[1−σρ0δ1(Q)∂U(P,Q)∂vQ−δ1(Q)ΔU(P,Q)−δ2U(P,Q)]dσ∈{u}
Avem
lim u ( P ) = 0 , lim Δ u ( P ) = 1 − σ ρ 0 δ 1 ( M ) , lim ∂ u ( P ) ∂ v M = δ 1 ( M ) lim u ( P ) = 0 , lim Δ u ( P ) = 1 − σ ρ 0 δ 1 ( M ) , lim ∂ u ( P ) ∂ v M = δ 1 ( M ) lim u(P)=0,quad lim Delta u(P)=(1-sigma)/(rho_(0))delta_(1)(M),quad lim(del u(P))/(delv_(M))=delta_(1)(M)\lim u(P)=0, \quad \lim \Delta u(P)=\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \delta_{1}(M), \quad \lim \frac{\partial u(P)}{\partial v_{M}}=\delta_{1}(M)limu(P)=0,limΔu(P)=1−σρ0δ1(M),lim∂u(P)∂vM=δ1(M)
și lim ∂ Δ u ( P ) ∂ v M = δ 2 ( M ) lim ∂ Δ u ( P ) ∂ v M = δ 2 ( M ) lim(del Delta u(P))/(delv_(M))=delta_(2)(M)\lim \frac{\partial \Delta u(P)}{\partial v_{M}}=\delta_{2}(M)lim∂Δu(P)∂vM=δ2(M), toate considerate cînd P → M ∈ Γ P → M ∈ Γ P rarr M in GammaP \rightarrow M \in \GammaP→M∈Γ pe normală.
Observînd că
și
lim [ − Δ u + 1 − σ ρ 0 ∂ u ∂ v M ] = − 1 − σ f 0 δ 1 + 1 − σ ρ 0 δ 1 = 0 lim − Δ u + 1 − σ ρ 0 ∂ u ∂ v M = − 1 − σ f 0 δ 1 + 1 − σ ρ 0 δ 1 = 0 lim[-Delta u+(1-sigma)/(rho_(0))(del u)/(delv_(M))]=-(1-sigma)/(f_(0))delta_(1)+(1-sigma)/(rho_(0))delta_(1)=0\lim \left[-\Delta u+\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \frac{\partial u}{\partial v_{M}}\right]=-\frac{1-\sigma}{f_{0}} \delta_{1}+\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \delta_{1}=0lim[−Δu+1−σρ0∂u∂vM]=−1−σf0δ1+1−σρ0δ1=0
lim u = 0 lim u = 0 lim u=0\lim u=0limu=0
pe baza teoremei de unicitate urmează u ≡ 0 u ≡ 0 u-=0u \equiv 0u≡0, deci ∂ u ∂ v M = δ 1 = 0 ∂ u ∂ v M = δ 1 = 0 (del u)/(delv_(M))=delta_(1)=0\frac{\partial u}{\partial v_{M}}=\delta_{1}=0∂u∂vM=δ1=0 și ∂ Δ u ∂ ν = δ 2 = 0 ∂ Δ u ∂ ν = δ 2 = 0 (del Delta u)/(del nu)=delta_(2)=0\frac{\partial \Delta u}{\partial \nu}=\delta_{2}=0∂Δu∂ν=δ2=0 pe Γ Γ Gamma\GammaΓ ceea ce înseamnă φ ≡ 0 φ ≡ 0 varphi-=0\varphi \equiv 0φ≡0.
Institutul de calcul al Academiei R.P.R., Filiala Cluj

РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Обозначим через Ω Ω Omega\OmegaΩ плсскую область, ограниченную замкнутсй кривой Г. Предполагаем, что радиус кривизны ρ 0 ρ 0 rho_(0)\rho_{0}ρ0 кривой Γ Γ Gamma\GammaΓ является положительной функцией и что Γ Γ Gamma\GammaΓ является достаточно гладкой.
В данной работе доказывается, что последовательность вектор-функций
{ v i , − Δ v i + 1 − σ ρ 0 ∂ v i ∂ v } v i , − Δ v i + 1 − σ ρ 0 ∂ v i ∂ v {v_(i),-Deltav_(i)+(1-sigma)/(rho_(0))(delv_(i))/(del v)}\left\{v_{i},-\Delta v_{i}+\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \frac{\partial v_{i}}{\partial v}\right\}{vi,−Δvi+1−σρ0∂vi∂v}
является полной в среднем по кривой Г. Здесь
{ v n } = { α n } U { β n } v n = α n U β n {v_(n)}={alpha_(n)}U{beta_(n)}\left\{v_{n}\right\}=\left\{\alpha_{n}\right\} U\left\{\beta_{n}\right\}{vn}={αn}U{βn}
и
α 1 = − ρ { cos ⁡ φ sin ⁡ φ ; α n = 1 n ( n − 1 ) ρ n { cos ⁡ n φ sin ⁡ n φ ( n = 2 , 3 , … ) ; γ n = ρ ′ − n { cos ⁡ n φ ′ sin ⁡ n φ ′ ( n = 0 , 1 , … ) α 1 = − ρ cos ⁡ φ sin ⁡ φ ; α n = 1 n ( n − 1 ) ρ n cos ⁡ n φ sin ⁡ n φ ( n = 2 , 3 , … ) ; γ n = ρ ′ − n cos ⁡ n φ ′ sin ⁡ n φ ′ ( n = 0 , 1 , … ) alpha_(1)=-rho{[cos varphi],[sin varphi];alpha_(n)=(1)/(n(n-1))rho^(n){[cos n varphi],[sin n varphi](n=2,3,dots);gamma_(n)=rho^(')-n{[cos nvarphi^(')],[sin nvarphi^(')](n=0,1,dots):}\alpha_{1}=-\rho\left\{\begin{array}{l}\cos \varphi \\ \sin \varphi\end{array} ; \alpha_{n}=\frac{1}{n(n-1)} \rho^{n}\left\{\begin{array}{l}\cos n \varphi \\ \sin n \varphi\end{array}(n=2,3, \ldots) ; \gamma_{n}=\rho^{\prime}-n\left\{\begin{array}{l}\cos n \varphi^{\prime} \\ \sin n \varphi^{\prime}\end{array}(n=0,1, \ldots)\right.\right.\right.α1=−ρ{cos⁡φsin⁡φ;αn=1n(n−1)ρn{cos⁡nφsin⁡nφ(n=2,3,…);γn=ρ′−n{cos⁡nφ′sin⁡nφ′(n=0,1,…)
β 0 = ρ 2 ; β n = − 1 n ( n + 1 ) ρ n + 2 { cos ⁡ n φ sin ⁡ n φ ( n = 1 , 2 , … ) ; δ n = ρ ′ n − 2 { cos ⁡ n φ ′ sin ⁡ n φ ′ ( n = 1 , 2 , … ) β 0 = ρ 2 ; β n = − 1 n ( n + 1 ) ρ n + 2 cos ⁡ n φ sin ⁡ n φ ( n = 1 , 2 , … ) ; δ n = ρ ′ n − 2 cos ⁡ n φ ′ sin ⁡ n φ ′ ( n = 1 , 2 , … ) beta_(0)=rho^(2);beta_(n)=-(1)/(n(n+1))rho^(n+2){[cos n varphi],[sin n varphi](n=1,2,dots);delta_(n)=rho^('n-2){[cos nvarphi^(')],[sin nvarphi^(')](n=1,2,dots):}\beta_{0}=\rho^{2} ; \beta_{n}=-\frac{1}{n(n+1)} \rho^{n+2}\left\{\begin{array}{l}\cos n \varphi \\ \sin n \varphi\end{array}(n=1,2, \ldots) ; \delta_{n}=\rho^{\prime n-2}\left\{\begin{array}{l}\cos n \varphi^{\prime} \\ \sin n \varphi^{\prime}\end{array}(n=1,2, \ldots)\right.\right.β0=ρ2;βn=−1n(n+1)ρn+2{cos⁡nφsin⁡nφ(n=1,2,…);δn=ρ′n−2{cos⁡nφ′sin⁡nφ′(n=1,2,…),
где ρ ρ rho\rhoρ и φ φ varphi\varphiφ обозначают полярные координаты, центр которых помещается внутри области Ω , σ Ω , σ Omega,sigma\Omega, \sigmaΩ,σ - постоянная величина Пуассона и ν обозначает внутреннюю нормаль. При доказательстве приведенного утверждения были использованы некоторые идеи работ [1] и [2].
Полная последовательность векторов
{ v i , − Δ v i + 1 − σ ρ 0 ∂ v i ∂ v } v i , − Δ v i + 1 − σ ρ 0 ∂ v i ∂ v {v_(i),-Deltav_(i)+(1-sigma)/(rho_(0))(delv_(i))/(del v)}\left\{v_{i},-\Delta v_{i}+\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \frac{\partial v_{i}}{\partial v}\right\}{vi,−Δvi+1−σρ0∂vi∂v}
служит для решения следующей задачи: в области Ω Ω Omega\OmegaΩ ищется такая функция u ( x , y ) u ( x , y ) u(x,y)u(x, y)u(x,y), для которой
Δ 2 u ≡ ∂ 4 u ∂ x 4 + 2 ∂ 4 u ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 u ∂ y 4 = 0 в Ω u = f 1 Δ 2 u ≡ ∂ 4 u ∂ x 4 + 2 ∂ 4 u ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 u ∂ y 4 = 0  в  Ω u = f 1 {:[Delta^(2)u-=(del^(4)u)/(delx^(4))+2(del^(4)u)/(delx^(2)dely^(2))+(del^(4)u)/(dely^(4))=0" в "Omega],[u=f_(1)]:}\begin{gathered} \Delta^{2} u \equiv \frac{\partial^{4} u}{\partial x^{4}}+2 \frac{\partial^{4} u}{\partial x^{2} \partial y^{2}}+\frac{\partial^{4} u}{\partial y^{4}}=0 \text { в } \Omega \\ u=f_{1} \end{gathered}Δ2u≡∂4u∂x4+2∂4u∂x2∂y2+∂4u∂y4=0 в Ωu=f1
и
− Δ u + 1 − σ ρ 0 ∂ u ∂ v = f 2 − Δ u + 1 − σ ρ 0 ∂ u ∂ v = f 2 -Delta u+(1-sigma)/(rho_(0))(del u)/(del v)=f_(2)-\Delta u+\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \frac{\partial u}{\partial v}=f_{2}−Δu+1−σρ0∂u∂v=f2
на Γ Γ Gamma\GammaΓ, где f 1 f 1 f_(1)f_{1}f1 и f 2 f 2 f_(2)f_{2}f2 - данные квадратично суммируемые функции на Γ Γ Gamma\GammaΓ.

- LA SOLUTION D'UN PROBLÈME AUX LIMITES POUR L'ÉQUATION BIHARMONIQUE

RÉSUMÉ

Soit Ω Ω Omega\OmegaΩ un domaine borné par la courbe Γ Γ Gamma\GammaΓ. On suppose que la courbe Γ Γ Gamma\GammaΓ admet le rayon de courbure ρ 0 ρ 0 rho_(0)\rho_{0}ρ0 positif et, en outre, que cette courbe est suffisamment lisse.
Dans ce travail, on démontre que la succession des vecteurs
{ v i , − Δ v i + 1 − σ ρ 0 ∂ v i ∂ v } v i , − Δ v i + 1 − σ ρ 0 ∂ v i ∂ v {v_(i),-Deltav_(i)+(1-sigma)/(rho_(0))(delv_(i))/(del v)}\left\{v_{i},-\Delta v_{i}+\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \frac{\partial v_{i}}{\partial v}\right\}{vi,−Δvi+1−σρ0∂vi∂v}
est complète au sens de Hilbert sur Γ Γ Gamma\GammaΓ, où
{ v n } = { α n } ∪ { β n } et α 1 = − ρ { cos ⁡ φ sin ⁡ φ ; α n = 1 n ( n − 1 ) ρ n { cos ⁡ n φ sin ⁡ n φ ( n = 2 , 3 , … ) ; γ n = ρ ′ − n { cos ⁡ n φ ′ sin ⁡ n φ ′ ( n = 0 , 1 , … ) , β β 0 = ρ 2 ; ρ n = − 1 n ( n + 1 ) ρ n + 2 { cos ⁡ n φ sin ⁡ n φ ( n = 1 , 2 , … ) ; δ n = ρ ′ n − 2 { cos ⁡ n φ ′ sin ⁡ n φ ′ ( n = 1 , 2 , … ) , v n = α n ∪ β n  et  α 1 = − ρ cos ⁡ φ sin ⁡ φ ; α n = 1 n ( n − 1 ) ρ n cos ⁡ n φ sin ⁡ n φ ( n = 2 , 3 , … ) ; γ n = ρ ′ − n cos ⁡ n φ ′ sin ⁡ n φ ′ ( n = 0 , 1 , … ) , β β 0 = ρ 2 ; ρ n = − 1 n ( n + 1 ) ρ n + 2 cos ⁡ n φ sin ⁡ n φ ( n = 1 , 2 , … ) ; δ n = ρ ′ n − 2 cos ⁡ n φ ′ sin ⁡ n φ ′ ( n = 1 , 2 , … ) , {:[{v_(n)}={alpha_(n)}uu{beta_(n)}" et "],[alpha_(1)=-rho{[cos varphi],[sin varphi];alpha_(n)=(1)/(n(n-1))rho^(n){[cos n varphi],[sin n varphi](n=2,3,dots);gamma_(n)=rho^(')-n{[cos nvarphi^(')],[sin nvarphi^(')](n=0,1,dots),:}]:}beta_(beta_(0)=rho^(2);quadrho_(n)=-(1)/(n(n+1))rho^(n+2){[cos n varphi],[sin n varphi](n=1,2,dots);delta_(n)=rho^('n-2){[cos nvarphi^(')],[sin nvarphi^(')](n=1,2,dots),:})\begin{gathered} \left\{v_{n}\right\}=\left\{\alpha_{n}\right\} \cup\left\{\beta_{n}\right\} \text { et } \\ \alpha_{1}=-\rho\left\{\begin{array}{l} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{array} ; \alpha_{n}=\frac{1}{n(n-1)} \rho^{n}\left\{\begin{array}{l} \cos n \varphi \\ \sin n \varphi \end{array}(n=2,3, \ldots) ; \gamma_{n}=\rho^{\prime}-n\left\{\begin{array}{l} \cos n \varphi^{\prime} \\ \sin n \varphi^{\prime} \end{array}(n=0,1, \ldots),\right.\right.\right. \end{gathered} \beta_{\beta_{0}=\rho^{2} ; \quad \rho_{n}=-\frac{1}{n(n+1)} \rho^{n+2}\left\{\begin{array}{l} \cos n \varphi \\ \sin n \varphi \end{array}(n=1,2, \ldots) ; \delta_{n}=\rho^{\prime n-2}\left\{\begin{array}{l} \cos n \varphi^{\prime} \\ \sin n \varphi^{\prime} \end{array}(n=1,2, \ldots),\right.\right.}{vn}={αn}∪{βn} et α1=−ρ{cos⁡φsin⁡φ;αn=1n(n−1)ρn{cos⁡nφsin⁡nφ(n=2,3,…);γn=ρ′−n{cos⁡nφ′sin⁡nφ′(n=0,1,…),ββ0=ρ2;ρn=−1n(n+1)ρn+2{cos⁡nφsin⁡nφ(n=1,2,…);δn=ρ′n−2{cos⁡nφ′sin⁡nφ′(n=1,2,…),
où ρ ρ rho\rhoρ et φ φ varphi\varphiφ sont les coordonnées polaires dont le centre est situé à l'intérieur du domaine Ω ; σ Ω ; σ Omega;sigma\Omega ; \sigmaΩ;σ est la valeur constante de Poisson; ν ν nu\nuν désigne la normale intérieure par rapport à Γ Γ Gamma\GammaΓ. Pour démontrer cette affirmation, l'auteur se base sur quelques idées des travaux [1] et [2].
La succession complète des vecteurs { v i , − Δ v i + 1 − σ ρ 0 ∂ v i ∂ v } v i , − Δ v i + 1 − σ ρ 0 ∂ v i ∂ v {v_(i),-Deltav_(i)+(1-sigma)/(rho_(0))(delv_(i))/(del v)}\left\{v_{i},-\Delta v_{i}+\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \frac{\partial v_{i}}{\partial v}\right\}{vi,−Δvi+1−σρ0∂vi∂v} sert à résoudre le problème suivant: dans le domaine Ω Ω Omega\OmegaΩ on cherche la fonction u ( x , y ) u ( x , y ) u(x,y)u(x, y)u(x,y) pour laquelle
Δ 2 u = ∂ 4 u ∂ x 4 + 2 ∂ 4 u ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 u ∂ y 4 = 0 dans Ω , u = f 1 et − Δ u + 1 − σ ρ 0 ∂ u ∂ ν = f 2 sur Γ , Δ 2 u = ∂ 4 u ∂ x 4 + 2 ∂ 4 u ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 u ∂ y 4 = 0  dans  Ω , u = f 1  et  − Δ u + 1 − σ ρ 0 ∂ u ∂ ν = f 2  sur  Γ , {:[Delta^(2)u=(del^(4)u)/(delx^(4))+2(del^(4)u)/(delx^(2)dely^(2))+(del^(4)u)/(dely^(4))=0," dans "Omega","],[u=f_(1)" et "-Delta u+(1-sigma)/(rho_(0))(del u)/(del nu)=f_(2)," sur "Gamma","]:}\begin{array}{ll} \Delta^{2} u=\frac{\partial^{4} u}{\partial x^{4}}+2 \frac{\partial^{4} u}{\partial x^{2} \partial y^{2}}+\frac{\partial^{4} u}{\partial y^{4}}=0 & \text { dans } \Omega, \\ u=f_{1} \text { et }-\Delta u+\frac{1-\sigma}{\rho_{0}} \frac{\partial u}{\partial \nu}=f_{2} & \text { sur } \Gamma, \end{array}Δ2u=∂4u∂x4+2∂4u∂x2∂y2+∂4u∂y4=0 dans Ω,u=f1 et −Δu+1−σρ0∂u∂ν=f2 sur Γ,
où f 1 f 1 f_(1)f_{1}f1 et f 2 f 2 f_(2)f_{2}f2 sont deux fonctions données sur Γ Γ Gamma\GammaΓ, sommables en carrés.

BIBLIOGRAFIE

  1. G. Fichera, Teoremi di completezza sulla frontiera di un dominio per taluni sistemi di funzioni. Ann. Mat. pura e appl., 27, 1-28 (1948).
  2. Teoremi di completezza connessi all' integrazione dell'equazione Δ 4 u = f Δ 4 u = f Delta_(4)u=f\Delta_{4} u=fΔ4u=f. Giornale Mat. Battaglini, 77, 184-199 (1947-1948).
  3. Н. М. ГУНТЕР, Теория потенциала и ее применение κ κ kappa\kappaκ основным задачам математической физики. Москва, 58-59 (1953).
1958

Related Posts