Sur la délimitation du reste dans les formules d’approximation linéaires de l’analyse

Tiberiu Popoviciu
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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On the bounds of the remainder in the linear approximation formulas of analysis

Auteur(s)

T. Popoviciu
Institutul de Calcul

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1960 c -Popoviciu- Symposium – Sur la delimitation du reste dans les formules d’approximation lineaires de l’analyse

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur la délimitation du reste dans les formules d’approximation linéaires de l’analyse, 1960 Symposium on the numerical treatment of ordinary differential equations, integral and integro-differential equations «Centre international provisoire de Calcul» (Rome, 1960) pp. 441-446 Birkhäuser, Basel (in French) [MR0128598]

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[1] Bernstein, S.N.: Hark. Matem. ob-va, s.2;t. 13, 1-2 (1912)
[2] Birkhoff, G.D.: Trans. Amer. Math. Soc., 7, 107-130 (1906)
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[4] Markoff, A. A.: Differenzenzechnung, 1896
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[10] ” : Cucrarile Ses. Gen. Stuntifice a Acad. R. P.R., 1950, p.183-185.
[11] ” : Mathematica, 1 (24), 95-142 (1960)
[12] Radon, J.: Monatshefte f.Math.u.Phys., 42, 389~396 (1935)[13] Ramez, E. Ya.: Zbirnik Praci Institutu Matem. Akad. Nauk. URSR, 3, 21-62 (1939)
[14] Sard, A.: Duke Math. J. 15, 333-345 (1948)
[15] Wigert, S.: Arkiv f. Mat. Astr. och Fysik, Bd. 22B, n. 9, 1-4 (1932).

Paper (preprint) in HTML form

1960 c -Popoviciu- Symposium - Sur la delimitation du reste dans les formules d_approximation lineai
Tiré à part du
Symposium, Centre International Provisoire de Calcul, 1960
Birkhäuser Verlag Basel

SUR LA DÉLIMITATION DU RESTE DANS LES FORMULES D' APPROXIMATION LINÉAIRES DE L' ANALYSE

by Tiberiu Popoviciu

Université de Cluj

Cluj : (Rumania)

  1. Dans beaucoup de formules d'approximation de l'analyse le reste; ou terme complémentaire, R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est une fonctionnelle linéaire (additive et homogène) définie sur un espace vectoriel S S SSS, formé par des fonctions f = f ( x ) f = f ( x ) f=f(x)f=f(x)f=f(x), définies et continues sur un intervalle I I III de l'axe réel. Les formules habituelles d'interpolation (polynomiale ou trigonométrique), de dérivation et d'intégration numériques, etc', ont un reste de cette forme.
Dans les applications il est important de pouvoir délimiter convenablement le reste R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f]. Pour cela on a cherché, tout au moins dans des cas particuliers bien déterminés, à mettre le reste sous diverses formes convenables. Par exemple sous la forme d'une intégrale définie ou d'une combinaison linéaire d'un nombre fini de valeurs des dérivées, d'ordres divers, de la fonction f f fff, etc.
Il existe un grand nombre de travaux sur la structure du reste R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f]. Je citerai seulement A. A. Markoff [4], G. D. Birkhoff [2]: G. Kowalewski [3], R.v. Mises [5], J. Radon [12], E. Ya. Remez [13]; A. Sard [14].
J ′ J ′ J^(')J^{\prime}J′ ai obtenu, à l'aide de la théorie des fonctions convexes d'ordre supérieur que j ′ j ′ j^(')j^{\prime}j′ ai ếtudiée autrefois [7,9], une nouvelle représentation du reste, qui est plus générale et met mieux en évidence sa structure [ 10 , 11 ] [ 10 , 11 ] [10,11][10,11][10,11].
Dans cette communication je ferai quelques remarques sur cette représentation.
Nous supposerons dans la suite que la fonction f f fff et la fonctionnelle R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] sont réelles et que S S SSS contient tous les polynomes.
2. Nous disons que R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est de la forme simple s'il existe un entier n ≥ − 1 n ≥ − 1 n >= -1n \geq-1n≥−1 tel que l'on ait
R [ f ] = K ⋅ [ ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 ; f ] ; f ∈ S R [ f ] = K ⋅ ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 ; f ; f ∈ S R[f]=K*[xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n+2);f];quad f in SR[f]=K \cdot\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n+2} ; f\right] ; \quad f \in SR[f]=K⋅[ξ1,ξ2,…,ξn+2;f];f∈S
où K = R [ x n + 1 ] K = R x n + 1 K=R[x^(n+1)]K=R\left[x^{n+1}\right]K=R[xn+1] est ≠ 0 ≠ 0 !=0\neq 0≠0, indépendant de la fonction f f fff et les ξ i ξ i xi_(i)\xi_{i}ξi, i = 1 , 2 , … , n + 2 i = 1 , 2 , … , n + 2 i=1,2,dots,n+2i=1,2, \ldots, n+2i=1,2,…,n+2 sont n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 points distincts de l'intervalle I I III (pouvant en général, dépendre de la fonction f f fff et même situés à 1 n 1 n 1^(n)1^{n}1n intérieur de I I III. si n ≧ 0 n ≧ 0 n >= 0n \geqq 0n≧0 ). La notation [ ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 ; f ] ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 ; f [xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n+2);f]\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n+2} ; f\right][ξ1,ξ2,…,ξn+2;f] désigne la différence divisée (d'ardré n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 ) de la fonction f f fff sur les noeuds ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n + 2 xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n+2)\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n+2}ξ1,ξ2,…,ξn+2.
Le nombre n n nnn est le degré d'exactitude du reste et jouit de la propriété (caractéristique) que R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est nul sur tout polynome de degré n n nnn, mais que l'on a R [ x n + 1 ] ≠ 0 R x n + 1 ≠ 0 R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0R[xn+1]≠0.
De la forme simple est, par exemple, le reste dans la formule de Taylor, dans la formule d'interpolation de Lagrange, dans la formule de quadrature de Gauss, etc.
Rappelons la propriété suivante:
I. La condition nécessaire et suffisante pour que R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f], supposé du degré d'exdctitude n n nnn, soit de la forme simple est que l'on ait R [ f ] ≠ 0 R [ f ] ≠ 0 R[f]!=0R[f] \neq 0R[f]≠0 pour tout f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S, convexe d'ordre n n nnn.
Dans ce cas il est, d'ailleurs, nécessaire que R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] garde son signe pour f f fff convexe d'ordre n n nnn. En remarquant que la fonction x n + 1 x n + 1 x^(n+1)x^{n+1}xn+1 est bien convexe d'ordre n n nnn, la condition précédente peut aussi s'écrire
(2) R [ x n + 1 ] R [ f ] > 0 (2) R x n + 1 R [ f ] > 0 {:(2)R[x^(n+1)]R[f] > 0:}\begin{equation*} R\left[x^{n+1}\right] R[f]>0 \tag{2} \end{equation*}(2)R[xn+1]R[f]>0
La condition (2), pour tout f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S convexe d'ordre n n nnn, est donc nécessaire et suffisante pour que R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] soit de la forme simple (1). Remarquons que pour cola estaussi nécessaire (mais non pas suffisant) que l ′ l ′ l^(')l^{\prime}l′ on ait R [ x n + 1 ] ≠ 0 R x n + 1 ≠ 0 R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0R[xn+1]≠0 et
(3) R [ x n + 1 ] R [ f ] ≧ 0 (3) R x n + 1 R [ f ] ≧ 0 {:(3)R[x^(n+1)]R[f] >= 0:}\begin{equation*} R\left[x^{n+1}\right] R[f] \geqq 0 \tag{3} \end{equation*}(3)R[xn+1]R[f]≧0
pour toute fonction f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S, non-concave d'ordre n n nnn.
Rappelons que la fonction f f fff est dite convexe resp, nonconcave d'ordre n n nnn sur I I III si la différence divisée d'ordre n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 sur n + 2 n + 2 n+2n+2n+2 points distincts quelconques de I I III reste constamment positive resp. non-négative.
3. Si R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est de la forme simple, on peut le délimiter par la formule
(4) | R [ f ] | ≦ | R [ x n + 1 ] | M (4) | R [ f ] | ≦ R x n + 1 M {:(4)|R[f]| <= |R[x^(n+1)]|M:}\begin{equation*} |R[f]| \leqq\left|R\left[x^{n+1}\right]\right| M \tag{4} \end{equation*}(4)|R[f]|≦|R[xn+1]|M
ou
(5) M = sup x i ∈ I | [ x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f ] | (5) M = sup x i ∈ I   x 1 , x 2 , … , x n + 2 ; f {:(5)M=s u p_(x_(i)in I)|[x_(1),x_(2),dots,x_(n+2);f]|:}\begin{equation*} M=\sup _{x_{i} \in I}\left|\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2} ; f\right]\right| \tag{5} \end{equation*}(5)M=supxi∈I|[x1,x2,…,xn+2;f]|
D'ailleurs, si f f fff a une dérivée d'ordre n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 (bornée) sur I I III, le nombre (5) est donné par l'égalité
M = 1 ( n + 1 ) ! sup x ∈ I | f ( n + 1 ) ( x ) | . M = 1 ( n + 1 ) ! sup x ∈ I   f ( n + 1 ) ( x ) . M=(1)/((n+1)!)s u p_(x in I)|f^((n+1))(x)|.M=\frac{1}{(n+1)!} \sup _{x \in I}\left|f^{(n+1)}(x)\right| .M=1(n+1)!supx∈I|f(n+1)(x)|.
La délimitation (4) est valable dans un cas plus général que dans celui de la simplicité de R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f]. Nous avons lapropriéé suivante:
II. La délimitation (4) est valable si R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est de degré l'exactitude n et si l'inégalite (3) est vérifiée pour toute fonction f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S, non-concave d'ordre n n nnn.
4. Pour pouvoir affirmer que le reste R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est de la forne simple, il suffit de connaitredescritères permettant d'affirmer que (sous l'hypothèse R [ x n + 1 ] ≠ 0 R x n + 1 ≠ 0 R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0R[xn+1]≠0 ) l'inégalité (2) est vépifiée pour tout f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S convexe d'ordre n n nnn.
Ici nous allons faire connaître uncritère permettant d' affirmer que (sous l'hypothèse R [ x n + 1 ] ≠ 0 R x n + 1 ≠ 0 R[x^(n+1)]!=0R\left[x^{n+1}\right] \neq 0R[xn+1]≠0 ) l'inégalité (3) est vérifiée pour toute fonction f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S, non-concave d'ordre n n nnn, donc in critère permettant d'appliquer la propriété II. Ce critére est basé sur les remarquables propriétés de convergence et de la conservation des caractères de convexité de la fonction f f fff, par les polynomes correspondant de S.N. Bernstein [1,8,15].
Supposons que I ≡ [ 0 , 1 ] I ≡ [ 0 , 1 ] I-=[0,1]I \equiv[0,1]I≡[0,1] et que les éléments de S S SSS aient une dérivée d'ordre j ( ≧ 0 ) j ( ≧ 0 ) j( >= 0)j(\geqq 0)j(≧0) continue sur [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] ( 1 a dérivée d'ordre 0 est la fonction elle même). Considérons alors la fonctionnelle linéaire R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f], de degré d'exactitude n n nnn et qui est bornée par rapport à la norme
(6) ‖ f ‖ = ∑ i = 0 j sup x ∈ [ 0 , 1 ] | f ( i ) ( x ) | (6) ‖ f ‖ = ∑ i = 0 j   sup x ∈ [ 0 , 1 ]   f ( i ) ( x ) {:(6)||f||=sum_(i=0)^(j)s u p_(x in[0,1])|f^((i))(x)|:}\begin{equation*} \|f\|=\sum_{i=0}^{j} \sup _{x \in[0,1]}\left|f^{(i)}(x)\right| \tag{6} \end{equation*}(6)‖f‖=∑i=0jsupx∈[0,1]|f(i)(x)|

Posons

π k , l = ( − 1 ) n + 1 n ! ∫ x 1 ( t − x ) n t k ( 1 − t ) l d t π k , l = ( − 1 ) n + 1 n ! ∫ x 1   ( t − x ) n t k ( 1 − t ) l d t pi_(k,l)=((-1)^(n+1))/(n!)int_(x)^(1)(t-x)^(n)t^(k)(1-t)^(l)dt\pi_{k, l}=\frac{(-1)^{n+1}}{n!} \int_{x}^{1}(t-x)^{n} t^{k}(1-t)^{l} d tπk,l=(−1)n+1n!∫x1(t−x)ntk(1−t)ldt
Sous les hypothèses précédentes, nous avons la propriété suivante:
III. Pour que l'inégalite (3) soit vérifiée pour toute fonction f ∈ S f ∈ S f in Sf \in Sf∈S non-concave d'ordre n n nnn il (faut et il) suffit que l'on ait
R [ x n + 1 ] R [ π k , l ] ≧ 0 R x n + 1 R π k , l ≧ 0 R[x^(n+1)]R[pi_(k,l)] >= 0R\left[x^{n+1}\right] R\left[\pi_{k, l}\right] \geqq 0R[xn+1]R[πk,l]≧0
quels que soient les entiers non-négatifs k k kkk et l l lll.
La démonstration résulte du fait que si
B m = ∑ i = 0 m ( m i ) f ( i m ) x i ( 1 − x ) m − i B m = ∑ i = 0 m   ( m i ) f i m x i ( 1 − x ) m − i B_(m)=sum_(i=0)^(m)((m)/(i))f((i)/(m))x^(i)(1-x)^(m-i)B_{m}=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i} f\left(\frac{i}{m}\right) x^{i}(1-x)^{m-i}Bm=∑i=0m(mi)f(im)xi(1−x)m−i
( m ≧ n + 1 ) ( m ≧ n + 1 ) (m >= n+1)(m \geqq n+1)(m≧n+1)
sont les polynomes de S.N. Bernstein, nous avons, sous les hypothèses précédentes,
R [ B m ] = ( m − 1 ) ! ( n + 1 ) ! m n ( m − n − 1 ) ! ∑ i = 0 m − n − 1 ( m − n − 1 i ) [ i m , i + 1 m , … , i + n + 1 m ; f ] R [ π i , m − n − 1 − i ] R B m = ( m − 1 ) ! ( n + 1 ) ! m n ( m − n − 1 ) ! ∑ i = 0 m − n − 1   ( m − n − 1 i ) i m , i + 1 m , … , i + n + 1 m ; f R π i , m − n − 1 − i R[B_(m)]=((m-1)!(n+1)!)/(m^(n)(m-n-1)!)sum_(i=0)^(m-n-1)((m-n-1)/(i))[(i)/(m),(i+1)/(m),dots,(i+n+1)/(m);f]R[pi_(i,m-n-1-i)]R\left[B_{m}\right]=\frac{(m-1)!(n+1)!}{m^{n}(m-n-1)!} \sum_{i=0}^{m-n-1}\binom{m-n-1}{i}\left[\frac{i}{m}, \frac{i+1}{m}, \ldots, \frac{i+n+1}{m} ; f\right] R\left[\pi_{i, m-n-1-i}\right]R[Bm]=(m−1)!(n+1)!mn(m−n−1)!∑i=0m−n−1(m−n−1i)[im,i+1m,…,i+n+1m;f]R[πi,m−n−1−i]
et
lim m → ∞ R [ x n + 1 ] R [ B m ] = R [ x n + 1 ] R [ f ] lim m → ∞   R x n + 1 R B m = R x n + 1 R [ f ] lim_(m rarr oo)R[x^(n+1)]R[B_(m)]=R[x^(n+1)]R[f]\lim _{m \rightarrow \infty} R\left[x^{n+1}\right] R\left[B_{m}\right]=R\left[x^{n+1}\right] R[f]limm→∞R[xn+1]R[Bm]=R[xn+1]R[f]
et où f f fff est une fonction non-concave d'ordre n n nnn appartenant à S S SSS.
5. Pour donner une application, soit R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] le reste dans la formule de quadrature numérique-de N. Obrechkoff [6].
∫ 0 1 f ( x ) d x = 2 3 f ( 0 ) + 1 5 f ′ ( 0 ) + 1 30 f ′ ′ ( 0 ) + 1 360 f ′ ′ ′ ( 0 ) + ∫ 0 1   f ( x ) d x = 2 3 f ( 0 ) + 1 5 f ′ ( 0 ) + 1 30 f ′ ′ ( 0 ) + 1 360 f ′ ′ ′ ( 0 ) + int_(0)^(1)f(x)dx=(2)/(3)f(0)+(1)/(5)f^(')(0)+(1)/(30)f^('')(0)+(1)/(360)f^(''')(0)+\int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{2}{3} f(0)+\frac{1}{5} f^{\prime}(0)+\frac{1}{30} f^{\prime \prime}(0)+\frac{1}{360} f^{\prime \prime \prime}(0)+∫01f(x)dx=23f(0)+15f′(0)+130f′′(0)+1360f′′′(0)+
+ 1 3 f ( 1 ) − 1 30 f ′ ( 1 ) + R [ f ] + 1 3 f ( 1 ) − 1 30 f ′ ( 1 ) + R [ f ] +(1)/(3)f(1)-(1)/(30)f^(')(1)+R[f]+\frac{1}{3} f(1)-\frac{1}{30} f^{\prime}(1)+R[f]+13f(1)−130f′(1)+R[f]
où f f fff a une dérivée d'ordre 3 continue sur [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1].
Dans ce cas R [ f ] R [ f ] R[f]R[f]R[f] est de degre d'exactitude 5 et est borné par rapport à la norme (6) pour. j = 3 j = 3 j=3j=3j=3 。
Un calcul simple nous donne dans oe.cas
R [ x 6 ] = 1 105 > 0 , R [ π k , l ] = 1 6 ! ∫ 0 1 t k + 2 ( 1 − t ) l + 4 d t > 0 R x 6 = 1 105 > 0 , R π k , l = 1 6 ! ∫ 0 1   t k + 2 ( 1 − t ) l + 4 d t > 0 R[x^(6)]=(1)/(105) > 0,quad R[pi_(k,l)]=(1)/(6!)int_(0)^(1)t^(k+2)(1-t)^(l+4)dt > 0R\left[x^{6}\right]=\frac{1}{105}>0, \quad R\left[\pi_{k, l}\right]=\frac{1}{6!} \int_{0}^{1} t^{k+2}(1-t)^{l+4} d t>0R[x6]=1105>0,R[πk,l]=16!∫01tk+2(1−t)l+4dt>0
La délimitation (4) est donc bien applicable at nous avons
| R [ f ] | ≦ 1 105 sup x i ∈ [ 0 , 1 ] | [ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 8 ; x 7 ; f ] | | R [ f ] | ≦ 1 105 sup x i ∈ [ 0 , 1 ]   x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 8 ; x 7 ; f |R[f]| <= (1)/(105)s u p_(x_(i)in[0,1])|[x_(1),x_(2),x_(3),x_(4),x_(5),x_(8);x_(7);f]||R[f]| \leqq \frac{1}{105} \sup _{x_{i} \in[0,1]}\left|\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{8} ; x_{7} ; f\right]\right||R[f]|≦1105supxi∈[0,1]|[x1,x2,x3,x4,x5,x8;x7;f]|
Si la dérivée d'ordre f ( 6 ) f ( 6 ) f^((6))f^{(6)}f(6) existe sur [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] nous avons
| R [ f ] | ≦ 1 105 ⋅ 1 6 ! sup x ∈ [ 0 , 1 ] | f ( 6 ) ( x ) | | R [ f ] | ≦ 1 105 ⋅ 1 6 ! sup x ∈ [ 0 , 1 ]   f ( 6 ) ( x ) |R[f]| <= (1)/(105)*(1)/(6!)s u p_(x in[0,1])|f^((6))(x)||R[f]| \leqq \frac{1}{105} \cdot \frac{1}{6!} \sup _{x \in[0,1]}\left|f^{(6)}(x)\right||R[f]|≦1105⋅16!supx∈[0,1]|f(6)(x)|

BIBLIOGRAPHIE

[1] Bernstein, S.N.: Hark. Matem. ob-wa, s.2,t. 13, 1-2 (1912)
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1960

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