REZULTATE COMPARATIVE ASUPRA UNOR PROBLEME LA LIMITA POLILOCALE PENTRU ECUAȚII DIFERENTIALE LINIARE

de
OLEG ARAMĂ
Lucrare prezentată la Colocviul de teoria ecuatiilor cu derivate partiale,
organizat de Academia R.P.R.
şi de Soc. Știintelor Matematice şi Fizice
din R.P.R. intre 21-26 sept. 1959, Bucureşti

Fie dată o ecuație diferențială liniară şi omogenă

y^{(n)}+a_{1}(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(x)y^{\prime}+a_{n}(x)y=0

(1)

În memoriul [24], Ch. J. de la Vallée Poussin a stabilit următoarea teoremă :

Presupunînd că funcțiile $a_{i}(x),(i=1,2,\ldots,n)$ sînt continue într-un interval $[a,b]$ , fie $L_{i}=\max_{x\in[a,b]}\left|a_{i}(x)\right|$ şi fie $h_{0}$ rădăcina pozitivă a ecuației

L_{n}\frac{h^{n}}{n!}+L_{n-1}\frac{h^{n-1}}{(n-1)!}+\ldots+L_{1}\frac{h}{1}-1=0

Atunci oricum s-ar alege $n$ puncte $M_{i}\left(x_{i},y_{i}\right),(i=1,2,\ldots,n)$ din planul xOy, astfel încît $a\leqq x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n}\leqq b,x_{n}-x_{1}\leqq h_{0}$ , pentru alegerea lăcută, există o curbă integrală a ecuatiei (1) și una singură, care să treacă prin punctele $M_{i}\left(x_{i},y_{i}\right).^{1)}$

După cum se specifică în memoriul citat, această teoremă se extinde și la cazul cînd unele dintre nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ sînt confundate pe grupe, precum urmează:

Fie dat un sistem de $m$ numere $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ , satisfăcînd conditia $p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{m}=n$ : Dacă coeficienții ecuației diferențiale (1) sînt

⁰⁰footnotetext: ¹⁾ O alternativă a acestei teoreme a fost stabilită de S. Zaidman în [29].

funcții continue în intervalul $[a,b]$ , atunci oricum s-ar alege m noduri $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ din intervalul $[a,b]$ , astfel ca $x_{m}-x_{1}\leqq h_{0}$ şi oricum s-ar alege sistemele de numere reale $\left\{y_{1}^{(0)},\ldots,y_{1}^{\left(p_{1}-1\right)}\right\},\left\{y_{2}^{(0)},\ldots,y_{2}^{\left(p_{2}-1\right)}\right\},\ldots\ldots,\left\{y_{m}^{(0)},\ldots,y_{m}^{\left(p_{m}-1\right)}\right\}$ , pentru o astfel de alegere, ecuatia diferentială (1) admite o integrală și una singură $y(x)$ , satisfăcînd conditiile :

y\left(x_{k}\right)=y_{k},\quad y^{\prime}\left(x_{k}\right)=y_{k}^{(1)},\ldots,y^{\left(p_{k}-1\right)}\left(x_{k}\right)=y_{k}^{\left(p_{k}-1\right)},\quad(k=1,2,\ldots,m).

(2)

In cele ce urmează, vom nota cu $H_{p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}}$ marginea superioară a numerelor pozitive $h$ , satisfăcînd inegalitatea $h\leqq b-a$ și care au proprietatea că oricum s-ar alege $m$ noduri $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ din intervalul $[a,a+h]$ şi oricum s-ar alege sistemele de numere reale $\left\{y_{k}^{(0)},\ldots,y_{k}^{\left(p_{k}-1\right.}\right\}$ , $(k=1,2,\ldots,m)$ , pentru o astfel de alegere, să existe o integrală şi una singură a ecuației diferențiale (1), care să satisfacă condițiile (2). Teorema enunțata anterior arată că mulțimea acestor numere $h$ nu este vidă. Se constată cu uşurință că familia integralelor ecuației diferențiale (1) posedă proprietatea de interpolație (2) în intervalul semînchis $\left[a,a+H_{p_{1}},p_{2},\ldots,p_{m}\right)$ , și de asemenea că acest interval are un caracter maximal în $[a,b]$ .

În continuare să considerăm toate sistemele posibile de numere naturale $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ satisfăcînd condiția $p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}=n$ . Fiecărui astfel de sistem îi va corespunde pentru o aceeaşi ecuație diferențială, cîte un număr $H_{p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}}$ . In cadrul unei şedințe de lucru a Secției I-a a Institutului de calcul din Cluj, prof. T. Popoviciu a pus problema elaborării unui studiu comparativ al numerelor $H_{p_{1}},p_{2},\ldots,p_{m}$ pentru o aceeaşi ecuație diferențială. Această problemă a fost pusă în scopul obținerii de condiții necesare și suficiente, privind coeficienții ecuației diferențiale - condiții care să asigure existența și unicitatea soluției problemei la limită polilocale cu noduri simple, într-un interval dat.

În cadrul acestei probleme se situează cercetarea de faţă. Inainte de a trece la expunerea ei, tinem să amintim faptul că teoremele de existenţă și de unicitate a soluțiilor problemelor la limită polilocale la ecuații diferentiale lineare, au format obiectul multor lucrări, dintre care menționăm în bibliografia de la sfîrşit doar acelea care au o legătură mai strînsă cu cercetarea de faţă.

Vom presupune întîi că ecuația diferențială dată (1) are coeficienții $a_{i}(x),(i=1,2,\ldots,n)$ continui într-un interval deschis $(a,b)$ . Vom nota cu $Y_{n}$ mulțimea integralelor acestei ecuații în intervalul ( $a,b$ ). Incepem prin a da cîteva definiții, care vor interveni curent în expunerea ce va urma.

Definiția 1. Se spune că familia $Y_{n}$ posedă proprietatea $I_{n}(a,b)$ (adică este interpolatoare de ordinul $n$ pe noduri simple în intervalul ( $a,b$ )), dacă oricare ar fi n noduri distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ , situate in intervalul ( $a,b$ ), și oricare ar ti valorile reale $y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}$ , există o integrală și una singură $y(x)\in Y_{n}$ , care să satisfacă conditiile $y\left(x_{i}\right)=y_{i},(i=1,2,\ldots,n)$ .

Definiția 2. Fie dat un sistem de $m$ numere naturale $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ , satisfåcînd condiția $p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}=n$ . Spunem că familia $Y_{n}$ posedă proprietatea $I_{p_{1}},p_{2},\ldots,p_{m}(a,b)$ , dacă oricare ar fi m noduri distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ din intervalul $(a,b)$ și oricare ar $fi$ sistemele de numere reale

\left\{y_{1}^{(0)},y_{2}^{(1)},\ldots,y_{1}^{\left(p_{1}-1\right)}\right\},\left\{y_{2}^{(0)},y_{2}^{(1)},\ldots,y_{2}^{\left(p_{2}-1\right)}\right\},\ldots\ldots,\left\{y_{m}^{(0)},y_{m}^{(1)},\ldots,y_{m}^{\left(p_{m}-1\right)}\right\}

există o integrală și una singură $y(x)\in Y_{n}$ , care să satisfacă conditiile

y\left(x_{k}\right)=y_{k}^{(0)},y^{\prime}\left(x_{k}\right)=y_{k}^{(1)},\ldots,y^{\left(p_{k}+1\right)}\left(x_{k}\right)=y_{k}^{\left(p_{k}-2\right)}\quad(k=1,2,\ldots,m)

Definiția 3. Spunem că familia $Y_{n}$ posedă proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ , dacă acea familie posedă proprietățile $I_{p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}}(a,b)$ , oricare ar fi sistemul de numere naturale $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ , satisfåcînd condiția $p_{1}+p_{2}+\ldots++p_{m}=n$ .

Observație. In notaţiile adoptate, proprietăţile $I_{n}(a,b)$ și $I_{\underbrace{1,1,\ldots,1}_{n\text{ ori }}}^{I_{\text{cid. }}}(a,b)$ , coincid.

Vom stabili în cele ce urmează, următoarea teoremă:
teorema1. Dacă familia $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}(a,b)$ , atunci ea are şi proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ .

Pentru a uşura expunerea demonstrației acestei teoreme, vom enunţa în prealabil cîteva leme.
$\mathrm{L}_{1}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}$ 1. Fie date m numere naturale, $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ satisfăcînd egalitatea $p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}=n$ . Condiția necesară și suficientă ca familia $Y_{n}$ să aibă proprietatea $I_{p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}}(a,b)$ , este ca ecuatia diferentială (1) să nu admită nici o integrală neidentic nulă, care să aibă în intervalul ( $a,b$ ), m rădăcini distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ , avînd ordinele de multiplicitate ² ) mai mari sau cel putin egale respectiv cu numerele $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ .

Demonstratia acestei leme este imediată. Din această lemă rezultă, ca și cazuri particulare, 1emele 2 și 3 enunțate mai jos:

Le m a 2. Conditia necesară și suficientă ca familia $Y_{n}$ să aibă proprictatea $I_{n}(a,b)$ , este ca ecuatia diferențală (1) să nu admită nici o integrală neidentic nulă, care să se anuleze pentru n valori distincte din intervalul $(a,b)$ .

Le m a 3. Condiția necesară și suficientă ca familia $Y_{n}$ să aibă proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ , este ca ecuatia diferentială (1) să nu admită nici o integrală neidentic nulă, care să aibă n rădăcini în intervalul ( $a,b$ ), fiecare rădăcină fiind socotită de atîtea ori cît este ordinul ei de multiplicitate.

⁰⁰footnotetext: ² ) Prin ordin de multiplicitate al unei rădăcini

x_{0}

a unei funcții

y(x)

înțelegem ordinul strict de multiplicitate ; astfel,

x_{0}

este o rădăcină multiplă de ordinul

k

pentru funcția

y(x)

, dacă au loc relațiile

y\left(x_{0}\right)=y^{\prime}\left(x_{0}\right)=\ldots=y^{(k-1)}\left(x_{0}\right)=0,y^{(k)}\left(x_{0}\right)\neq 0

Le m a 4. Dacă familia $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}(a,b)$ , atunci orice integrală neidentic nulă $y(x)\in Y_{n}$ , care se anulează pentru $n-1$ valori distincte din intervalul ( $a,b$ ), are in acest interval toate rădăcinile simple (adică de ordinul 1).

Demonstratie. Proprietatea formulată în această lemă, este evidentă pentru $n=2$ . Vom considera deci $n\geqq 3$ . Presupunem că $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}(a,b)$ . Fie $y_{0}(x)$ o integrală neidentic nulă a ecuatiei (1), care are $n-1$ rădăcini distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}$ în intervalul ( $a,b$ ). Observăm de la început că integrala $y_{0}(x)$ nu poate avea alte rădăcini distincte în intervalul ( $a,b$ ), întrucît în caz contrar s-ar contrazice proprietatea $I_{n}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ . Vom arăta întîi că nici una dintre aceste rădăcini nu poate avea un ordin par de multiplicitate. Intr-adevăr, să presupunem prin

absurd că printre cele $n-1$ rădăcini ale integralei $y_{0}(x)$ , s-ar afla o rădăcină $x_{i}$ , avînd un ordin par de multiplicitate, adică

y_{0}\left(x_{i}\right)=y_{0}^{\prime}\left(x_{i}\right)=\ldots=y_{0}^{(2k-1)}\left(x_{i}\right)=0;y^{(2k)}\left(x_{i}\right)\neq 0,\quad(k\geqq 1).

Întrucît rădăcinile unei integrale oarecari, neidentic nule a ecuatiei (1) sînt puncte izolate, rezultă că va exista o vecinătate suficient de mică $\left(x_{i}-\delta,x_{i}+\delta\right)$ a punctului $x_{i}$ , în care funcţia $y_{0}(x)$ va păstra un semn constant, cu excepția punctului $x=x_{i}$ , în care ea se anulează. Pentru fixarea ideilor, să presupunem că $y_{0}(x)$ este pozitivă în intervalele $\left(x_{i}-\delta,x_{i}\right)$ şi $\left(x_{i},x_{i}+\delta\right)$ (fig. 1). Fie $\eta(x)$ o integrală a ecuatiei (1), care se anulează pentru toate rădăcinile integralei $y_{0}(x)$ eu exceptia punctului $x=x_{i}$ , în care ia valoarea 1 :

	$\displaystyle\eta\left(x_{1}\right)=\eta\left(x_{2}\right)=\ldots=\eta\left(x_{i-1}\right)=0$
	$\displaystyle\eta\left(x_{i}\right)=1$		(3)
	$\displaystyle\eta\left(x_{i+1}\right)=\eta\left(x_{i+2}\right)=\ldots=\eta\left(x_{n-1}\right)=0$

O astfel de integrală $\eta(x)$ , care să satisfacă conditiile (3), există, întrucît prin ipoteză familia $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}(a,b)$ . Fie apoi $\xi_{1}$ și $\xi_{2}$ două numere oarecari, satisfăcînd respectiv inegalitățile $x_{i}-\delta<\xi_{1}<x_{i}<<\xi_{2}<x_{i}+\delta$ . Evident că vor avea loc inegalitățile $y_{0}\left(\xi_{1}\right)>0$ şi $y_{0}\left(\xi_{2}\right)>0$ . Considerăm functia $\eta_{\lambda}(x)=\lambda\eta(x)$ , unde $\lambda_{\text{ouste }}^{*}$ un factor pozitiv, suficient de mic, ca sa aibă loc simultan inegalitățile

\eta_{\lambda}\left(\xi_{1}\right)<y_{0}\left(\xi_{1}\right);\quad\eta_{\lambda}\left(\xi_{2}\right)<y_{0}\left(\xi_{2}\right)

(4)

Cum $\eta\left(x_{i}^{n}\right)=1$ , rezultă că $\eta_{\lambda}\left(x_{i}\right)=\lambda>0$ , și cum $y_{0}\left(x_{i}\right)=0$ , rezultă inegalitatea $\eta_{\lambda}\left(x_{i}\right)>y_{0}\left(x_{i}\right)$ . Din această inegalitate, precum şi din (4), rezultă că în intervalul ( $x_{i}-\delta,x_{i}+\delta$ ) curbele de ecuații $y=y_{0}(x)\stackrel{{\scriptstyle s}}^{\mathrm{i}}$

Vom arăta acum mai mult, că toate rădăcinile din intervalul ( $a,b$ ) ale unei astfel de integrale $y_{0}(x)$ sînt simple (adică de ordinul 1 ). Intr-adevăr, să presupunem prin absurd că o integrală neidentic nulă $y_{0}(x)\in Y_{n}$ , care are $n-1$ rădăcini distincte în intervalul ( $a,b$ ), ar avea printre acestea cel puțin una de ordin mai mare sau cel puțin egal cu 3 . Fie $x_{i}$ o astfel de rădăcină. Deci

y_{0}\left(x_{i}\right)=y_{0}^{\prime}\left(x_{i}\right)=y_{0}^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)=0.

(5)

Fie de asemenea $\eta_{\varepsilon}(x)$ o integrală a ecuației (1), care verifică în punctul $x_{i}$ următoarele condiții ale lui Cauchy :

	$\displaystyle\eta_{\varepsilon}\left(x_{i}\right)=\eta_{\varepsilon}^{\prime}\left(x_{i}\right)=0$
	$\displaystyle\eta_{\varepsilon}^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)=\varepsilon,(\varepsilon>0)$
	$\displaystyle\eta_{\varepsilon}^{\prime\prime\prime}\left(x_{i}\right)=y_{0}^{\prime\prime\prime}\left(x_{i}\right)$
	$\displaystyle\cdots\cdots\cdots\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$		(6)
	$\displaystyle\eta_{\varepsilon}^{(n-1)}\left(x_{i}\right)=y_{0}^{(n-1)}\left(x_{i}\right)$

acestuia îi va corespunde un prag $E(\delta)$ , astfel încît pentru orice $\varepsilon$ satisfăcînd inegalitatea $0<\varepsilon<E(\delta)$ , să aibă loc relațiile

y_{0}(x)-\delta\leqq\eta_{\mathrm{e}}(x)\leqq y_{0}(x)+\delta,

(7)

oricare ar fi $x\in\left[a_{1},b_{1}\right]$ . Fie numerele $M_{i}$ definite precum urmează:

	$\displaystyle M_{i}=\max_{x\in\left[x_{i},x_{i+1}\right]}\left\|y_{0}(x)\right\|,(i=1,2,\ldots,n-2);M_{0}=\max_{x\in\left[a_{1},x_{1}\right]}\left\|y_{0}(x)\right\|;$
	$\displaystyle M_{n-1}=\max_{x\in\left[x_{n-1},b\right]}\left\|y_{0}(x)\right\|.\text{ Considerăm în (7) numărul }\delta\text{ astfel încît }$
	$\displaystyle 0<\delta<\min_{i=0,1,\ldots,n-1}\left\{M_{i}\right\}=M.$		(8)

Luînd acum $\varepsilon$ astfel încît să satisfacă inegalitatea $0<\varepsilon<E(M)$ şi tinînd seamă de inegalitățile (7), se constată pe figura 2, că în intervalul ( $a_{1},b_{1}$ ), curba de ecuatie $y=\eta_{\varepsilon}(x)$ , corespunzătoare numărului $\varepsilon$ ales, va traversa axa $Ox$ , cel puțin de $n-1$ ori, și deci integrala $\eta_{\mathrm{B}}(x)$ se va anula în intervalul ( $a_{1},b_{1}$ ), pentru cel puțin $n$ valori distincte. Dar după cum se constată din (6), oricare ar fi valoarea parametrului $\varepsilon$ , integrala $\eta_{\varepsilon}(x)$ are o rădăcină dublă, anume $x=x_{i}$ . Tot din (6) se vede că integrala $\eta_{\varepsilon}(x)$ nu poate fi identic nulă, întrucît s-a presupus că $\varepsilon>0$ . Aceste rezulitate contrazic însă un fapt stabilit anterior, anume că în ipoteza că $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}(a,b)$ , orice integrală neidentic nulă a ecuației (1), care se anulează în $n-1$ puncte distincte din ( $a,b$ ), are toate rădăcinile din acest interval impare. În concluzie, integrala $y_{0}(x)$ considerată anterior nu poate avea în intervalul ( $a,b$ ) nici o rădăcină de ordin mai mare sau cel puțin egal cu trei, și astfel lema este demonstrată.

Le ma 5. Dacă $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}(a,b)$ , atunci $Y_{n}$ are proprietățile $I_{p_{1}},p_{2},\ldots,p_{m}(a,b)$ , unde $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ sînt numere naturale oarecari, satisfăcînd conditiile $p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}=n$ şi $\max\left\{p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}\right\}=2$ .

Demonstratie. Să presupunem că $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}(a,b)$ . Observăm de la început că pentru demonstrarea acestei leme, putem presupune că
cel puțin două dintre numerele $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ sînt mai mari ca numărul 1 . Intr-adevăr, din ipoteza $\max\left\{p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}\right\}=2$ , ce intervine în enunțul lemei 5, rezultă că cel puțin unul dintre numerele $p_{i}$ este egal cu 2. Apoi, dacă numai unul dintre numerele $p_{i}$ ar fi mai mare ca 1 , am avea $m=n-1$ , și proprietatea corespunzătoare $I_{p_{1}},p_{2^{\prime}},\ldots,p_{m}(a,b)$ ar rezulta îndată din aplicarea succesivă a lemelor 1 și 4. Intr-adevăr, presupunînd prin absurd că $Y_{n}$ nu ar avea proprietatea respectivă $I_{p_{1}},p_{2},\ldots,p_{m}(a,b)$ , ar rezulta conform lemei 1 că ecuația diferențială (1) ar admite o integrală neidentic nulă, care să aibă în intervalul ( $a,b$ ), $n-1$ rădăcini distincte, una cel puțin dintre aceste rădăcini avînd un ordin de multiplicitate mai mare sau cel puțin egal cu 2. Această ciscumstanţă ar contrazice însă afirmația lemei 4.

Vom presupune deci pentru demonstrarea lemei 5, că cel puțin două dintre numerele $p_{i}$ sînt egale cu 2 , de unde, ţinînd seamă de condiția $p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}=n$ , rezultă inegalitatea $m<n-1$ .

Fie deci $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ , un sistem oarecare de $m$ numere naturale satisfăcînd condițiile :

	$\displaystyle m<n-1$
	$\displaystyle p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}=n$		(9)
	$\displaystyle\max\left\{p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}\right\}=2$

Acesi sistem de numere este arbitrar, dar o dată ales, îl presupunem fixat pentru cele ce urmează.

Cu aceste precizări, să presupunem contrar afirmației lemei 5 , că $Y_{n}$ nu ar avea proprietatea $I_{p_{1}},p_{2},\ldots,p_{m}(a,b)$ , unde $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ sînt numere naturale alese cu respectarea conditiilor (9). Atunci, conform lemei 1, rezultă că ecuația (1) va admite cel puțin o integrală neidentic nulă $y_{0}(x)$ , care să aibă în intervalul ( $a,b$ ), $m$ rădăcini distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ , avînd respectiv ordinele de multiplicitate $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}$ , satisfăcînd inegalităţile

\pi_{1}\geqq p_{1},\quad\pi_{2}\geqq p_{2},\ldots,\quad\pi_{m}\geqq p_{m}.

(10)

Să notăm cu $i_{1},i_{2},\ldots,i_{\alpha}$ indicii $i$ , pentru care $\pi_{i}$ reprezintă un număr par şi cu $j_{1},j_{2},\ldots,j_{\beta}$ indicii $j$ , pentru care $\pi_{j}$ este număr impar. Fără a restrînge generalitatea rationamentului, putem presupune că rădăcinile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ ale integralei $y_{0}(x)$ sînt consecutive și că satisfac inegalităţile

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}

(11)

Să considerăm dintre aceste rădăcini, acelea care corespund la indicii $j_{1},j_{2},\ldots,j_{\beta}$ , adică acelea care reprezintă rădăcini de ordin impar pentru integrala $y_{0}(x)$ . Aceste rădăcini sînt în număr de $\beta$ şi le vom nota respectiv $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ . Vom lua în intervalu1 ( $x_{m},b$ ) nişte noduri distincte $\xi_{1}<<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n-\beta-1}$ în număr de $n-\beta-1$ . Se constată, tinînd seama de prima relație din (9), că $n-\beta-1>0$ . Alegerea acestor noduri o facem astfel încît nici unul din ele să nu coincidă cu vreo rădăcină a funcției $y_{0}(x)$ , ce s-ar afla eventual în intervalul ( $x_{m},b$ ).

Fie acum $\eta(x)$ o integrală neidentic nulă a ecuației (1), care să verifice conditiile :

	$\displaystyle\eta\left(x_{j_{1}}\right)=\eta\left(x_{j_{2}}\right)=\ldots=\eta\left(x_{j_{\beta}}\right)=0$		(12)
	$\displaystyle\eta\left(\xi_{1}\right)=\eta\left(\xi_{2}\right)=\ldots=\eta\left(\xi_{n-\beta-1}\right)=0.$

Existența unei astfel de integrale $\eta(x)$ , neidentic nulă în intervalul ( $a,b$ ), rezultă din ipoteza că familia $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}(a,b)$ , tinînd seama de faptul că numărul condițiilor de anulare din (12) este $n-1$ . Vom arăta în cele ce urmează că în ipotezele adoptate, pentru valori pozitive suficient de mici ale parametrului $\varepsilon$ , cel puțin una dintre integralele $\varepsilon\eta(x)$ , sau - $\varepsilon\eta(x)$ , va lua în cel puțin $n$ puncte distincte din intervalul ( $a,b$ ), valori comune cu integrala $y_{0}(x)$ , fără să coincidă identic cu $y_{0}(x)$ , ceea ce va aduce - contrazicere a proprietății $I_{n}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ .

Într-adevăr, deoarece cele $n-1$ condiții din (12) se referă la $n-1$ noduri distincte din intervalul ( $a,b$ ) și deoarece prin ipoteză integrala $\eta(x)$ nu este identic nulă în ( $a,b$ ), rezultă conform proprietătii $I_{n}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ , că integrala $\eta(x)$ nu poate avea în intervalul ( $a,b$ ) alte rădăcini decît $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ și $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-\beta-1}$ . Apoi mai rezultă conform lemei 4 , că toate aceste rădăcini din intervalul $(a,b)$ ale integralei $\eta(x)$ sînt simple (de ordinul 1), și deci, dacă variabila $x$ crește în $\bmod$ continuu de la valoarea $a$ la valoare $b$ , atunci integrala $\eta(x)$ schimbă alternativ semnul în dreptul fiecărei valori din șirul:

x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}};\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-\beta-1}.

(13)

Thinînd seama de faptul că în intervalul $\left[x_{1},x_{m}\right]$ , toate rădăcinile impare ale integrale $y_{0}(x)$ sînt rădăcini impare şi pentru $\eta(x)$ - și invers rezultă că dacă variabila $x$ crește de la $x_{1}$ la $x_{m}$ , atunci pentru una din integralele $\eta(x)$ sau $-\eta(x)$ , sensul de schimbare al semnului ei în dreptul fiecărei dintre aceste rădăcini impare $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , va coincide cu sensul de schimbare al semnului integralei $y_{0}(x)$ . Să notăm cu $\bar{\eta}(x)$ aceea dintre integralele $\eta(x)$ și $-\eta(x)$ , pentru care se realizează acest deziderat, adică acea integrală, pentru care în vecinătăți suficient de mici ale numerelor $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , au loc egalităţile :

\operatorname{sgn}\{\bar{\eta}(x)\}=\operatorname{sgn}\left\{y_{0}(x)\right\},\left\{\begin{array}[]{l}x\in\left[x_{j_{1}}-\varepsilon_{1},x_{j_{1}}+\varepsilon_{1}\right],\text{ sau }\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ x\in\left[x_{j_{\beta}}-\varepsilon_{\beta},x_{j_{\beta}}+\varepsilon_{\beta}\right]\end{array}\right.

Aici intervalele $\left[x_{j_{1}}-\varepsilon_{1},x_{j_{1}}+\varepsilon_{1}\right],\ldots,\left[x_{j_{\beta}}-\varepsilon_{\beta},x_{j_{\beta}}+\varepsilon_{\beta}\right]$ sînt alese suficient de mici, astfel încît să fie cuprinse în intervalul ( $a,b$ ) şi să nu conțină alte rădăcini ale integralei $y_{0}(x)$ , decît respectiv $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ . Pentru integrala $\bar{\eta}(x)$ , relația (14) va avea loc și în vecinătăți suficient de mici ale numerelor $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ , cu excepția însă a mijloacelor acestor vecinătăţi, întrucît în aceste puncte integrala $y_{0}(x)$ se anulează, pe cînd $\bar{\eta}(x)$ nu se poate anula.

Să notăm cu ( $\Gamma$ ) curba de ecuatie $y=y_{0}(x)$ și cu ( $\Gamma_{\varepsilon}$ ) curba de ecuatie $y=\varepsilon\bar{\eta}(x)$ , unde $\varepsilon$ este un parametru pozitiv. Vom examina acum modul în care se situează curbele ( $\Gamma$ ) și ( $\Gamma_{\varepsilon}$ ) între ele, atunci cînd parametrul s este mic. Observăm întîi că aceste curbe nu pot să coincidă identic în intervalul $(a,b)$ , întrucît în nodurile suplimentare $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-\beta-1}$ (al căror număr este mai mare ca zero, după cum s-a specificat anterior), integrala $\bar{\eta}(x)$ se anulează, pe cînd $y_{0}(x)$ este diferită de zero.

Să considerăm din nou mulțimea formată din indicii $j_{1},j_{2},\ldots,j_{\beta}$ , pentru care $\pi_{j}$ este un număr impar. Această mulțime o vom împărți în două submulțimi precum urmează: vom nota cu $j_{k_{1}},j_{k_{2}},\ldots,j_{k_{\gamma}}$ , acei indici $j_{k}$ , pentru care $\pi_{j_{k}}=1$ , și cu $j_{l_{1}},j_{l_{2}},\ldots,j_{l_{8}}$ , indicii $j_{l}$ , pentru care $\pi_{f_{l}}\geqq 3$ .

Referitor 1a punctele $x_{j_{k_{1}}},x_{j_{k_{2}}},\ldots,x_{j_{k_{Y}}}$ constatăm că ele sînt (prin ipoteză) rădăcini simple pentru funcția $y_{0}(x)$ , adică

		$\displaystyle y_{0}\left(x_{j_{k_{1}}}\right)=y_{0}\left(x_{j_{k_{2}}}\right)=\ldots=y_{0}\left(x_{j_{k_{\gamma}}}\right)=0$
		$\displaystyle y_{0}^{\prime}\left(x_{j_{k_{1}}}\right)\neq 0,y_{0}^{\prime}\left(x_{j_{k_{3}}}\right)\neq 0,\ldots,y_{0}^{\prime}\left(x_{j_{k_{\gamma}}}\right)\neq 0.$

Dar după cum s-a arătat anterior, numerele $x_{j_{k_{1}}},x_{j_{k_{2}}},\ldots,x_{j_{k_{\gamma}}}$ reprezintă rădăcini simple și pentru integrala $\bar{\eta}(x)$ , şi deci și pentru $\varepsilon\bar{\eta}(x)$ , oricare ar fi valoarea parametrului $\varepsilon>0$ ;

		$\displaystyle\bar{\eta}\left(x_{j_{k_{1}}}\right)=\bar{\eta}\left(x_{j_{k_{2}}}\right)=\ldots=\bar{\eta}\left(x_{j_{k_{Y}}}\right)=0$
		$\displaystyle\bar{\eta}^{\prime}\left(x_{j_{k_{1}}}\right)\neq 0,\bar{\eta}^{\prime}\left(x_{j_{k_{2}}}\right)\neq 0,\ldots,\bar{\eta}^{\prime}\left(x_{j_{k_{Y}}}\right)\neq 0.$

T,inînd seamă de faptul că funcțiile $y_{0}^{\prime}(x)$ și $\bar{\eta}^{\prime}(x)$ nu se anulează pentru valorile $x_{f_{k_{1}}},x_{j_{k_{2}}},\ldots,x_{f_{k_{\gamma}}}$ , rezultă că dacă parametrul $\varepsilon$ ia valori pozitive, inferioare unui anumit prag, atunci vor avea loc relatiile

y_{0}^{\prime}\left(x_{j_{k_{1}}}\right)\neq\varepsilon\bar{\eta}^{\prime}\left(x_{j_{k_{1}}}\right),\ldots,y_{0}^{\prime}\left(x_{j_{k_{\gamma}}}\right)\neq\varepsilon\bar{\eta}^{\prime}\left(x_{j_{k_{\gamma}}}\right).

Rezultă de aici că pentru astfel de valori ale parametrului $\varepsilon$ , curbele $(\Gamma)$ și $\left(\Gamma_{\varepsilon}\right)$ se intersectează în punctele $x_{j_{k_{1}}}x_{j_{k_{1}}},\ldots,x_{j_{k_{\lambda}}}$ , traversîndu-se reciproc în aceste puncte.

Apoi, referitor la punctele $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{l_{\delta}}}$ , are loc următoarea proprietate: Dacă parametrul $\varepsilon$ ia valori pozitive, inferioare unui anumit prag, atunci în fiecare din veciniătățile suficient de mici, date:

\left(x_{j_{l_{1}}}-\varepsilon_{l_{1}},x_{j_{l_{1}}}+\varepsilon_{l_{1}}\right),\quad\left(x_{j_{l_{2}}}-\varepsilon_{l_{2}},x_{j_{l_{9}}}+\varepsilon_{l_{2}}\right),\ldots,\left(x_{j_{l_{\delta}}}-\varepsilon_{l_{\delta}},x_{j_{l_{\delta}}}+\varepsilon_{l_{\delta}}\right),

curbele $(\Gamma)$ și $\left(\Gamma_{\epsilon}\right)$ se vor intersecta cel puțin în cîte trei puncte distincte. Într-adevăr, numerele $x_{j_{l_{1}}},x_{j_{l_{2}}},\ldots,x_{j_{l_{\delta}}}$ reprezintă rădăcini simple pentru integrala $\bar{\eta}(x)$ (după cum s-a arătat anterior), și rădăcini multiple de ordin

impar mai mare sau cel puțin egal cu 3, pentru integrala $y_{0}(x)$ (aceasta prin ipoteză). Fie $x_{j_{l_{1}}}$ unul dintre aceste puncte. Să presupunem pentru fixarea ideilor că într-o vecinătate a acestui punct, funcția $y_{0}(x)$ este crescătoare (fig. 3). Fie apoi $\zeta_{1}$ şi $\zeta_{2}$ două numere, satisfăcînd inegalităţile:

x_{j_{l_{1}}}-\varepsilon_{l_{1}}<\zeta_{1}<x_{j_{l_{1}}}<\zeta_{2}<x_{j_{l_{1}}}+\varepsilon_{l_{1}}.

Intrucît au loc egalitățile (14), rezultă că există un prag $E_{1}$ , astfel încît pentru $\varepsilon<E_{1}$ să aibă loc inegalitățile :

	$\displaystyle y_{0}\left(\zeta_{1}\right)\leqq\varepsilon\bar{\eta}\left(\zeta_{1}\right)$
	$\displaystyle y_{0}\left(\zeta_{2}\right)\geqq\varepsilon\bar{\eta}\left(\zeta_{2}\right).$		(15)

Pe de altă parte, ținând seama de faptul că $x_{j_{l_{1}}}$ este o rădăcină comună a funcțiilor $y_{0}(x)$ și $\bar{\eta}(x)$ , rezultă că curbele $(\Gamma)$ și $(\Gamma_{\varepsilon})$ se intersectează în punctul $x_{j_{l_{1}}}$ , indiferent de valoarea parametrului $\varepsilon$ .

Apoi, dezvoltând funcțiile $y_{0}(x)$ și $\varepsilon\bar{\eta}(x)$ în serie Taylor în punctul $x_{j_{l_{1}}}$ și ținând seama de ordinele de multiplicitate ale rădăcinii $x_{j_{l_{1}}}$ în raport cu cele două funcții, se constată că, pentru orice $\varepsilon>0$ , există o subvecinătate suficient de mică a punctului $x_{j_{l_{1}}}$ astfel încât curba $(\Gamma)$ să se situeze dedesubtul curbei $(\Gamma_{\varepsilon})$ pentru valorile $x>x_{j_{l_{1}}}$ din această subvecinătate și deasupra curbei $(\Gamma_{\varepsilon})$ pentru $x<x_{j_{l_{1}}}$ (fig. 3).

De aici și din relația (15) se deduce că, pentru orice $\varepsilon$ satisfăcând inegalitățile $0<\varepsilon<E_{1}$ , curbele $(\Gamma)$ și $(\Gamma_{\varepsilon})$ se intersectează în intervalul

\left(x_{j_{l_{1}}}-\varepsilon_{l_{1}},\,x_{j_{l_{1}}}+\varepsilon_{l_{1}}\right)

în cel puțin trei puncte distincte, traversându-se reciproc în aceste puncte.

Concluzii analoage se formulează pentru fiecare din rădăcinile $x_{j_{1}}$ , $x_{j_{l3}},\ldots,x_{j_{l\delta}}$ .

În sfîrşit, se mai observă că în vecinătăți suficient de mici ale punctelor $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\delta}}$ , pentru valori pozitive suficient de mici ale parametrului $\varepsilon$ , curbele $(\Gamma)$ şi $\left(\Gamma_{\mathrm{g}}\right)$ se intersectează în cîte două puncte cel puțin, traver-sîndu-se reciproc în aceste puncte (fig. 4).

Obținem în definitiv următorul rezultat:

punctelor de intersectie ale curbelor ( $\Gamma$ ) și ( $\Gamma_{\varepsilon}$ ) va fi mai mare sau cel puțin egal cu $N=2\alpha+\gamma+3\delta$ . Trinînd seama de a $2-\mathrm{a}$ şi a 3 -a relaţie din (9), precum și de inegalitățile (10), deducem că

2\alpha+\gamma+3\delta\geqq p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}=n.

De aici rezultă că numărul $N$ al punctelor distincte de intersecție ale curbelor ( $\Gamma$ ) şi ( $\Gamma_{\varepsilon}$ ) din intervalul ( $a,b$ ), satisface inegalitatea $N\geqq n$ şi de aici că, pentru valori pozitive și suficient de mici ale parametrului $\varepsilon$ , integrala $\tilde{y}_{\epsilon}(x)=y_{0}(x)-\varepsilon\bar{\eta}(x)$ a ecuației (1), se anulează pentru $N\geqq n$ valori distincte din intervalul ( $a,b$ ). Dar $\widetilde{y}_{\epsilon}(x)$ nu poate fi identic nulă în intervalul ( $a,b$ ) întrucît în nodurile suplimentare $\xi_{1},\xi_{2},\ldots\ldots,\xi_{n-\beta-1}$ , al căror număr este mai mare ca zero, după cum rezultă din prima relație (9), integraia $\bar{\eta}(x)$ se anulează, pe cînd $y_{0}(x)$ este diferită de zero.

În concluzie, integrala particulară $\widetilde{y}_{\varepsilon}(x)$ a ecuației (1) nu este identic nulă și cînd $\varepsilon>0$ este suficient de mic, se anulează pentru $N\geqq n$ valori distincte din intervalul ( $a,b$ ). Conform lemei 2, acest rezultat contrazice proprietatea $I_{n}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ și de aici rezultă afirmaţia lemei 5 .

Le m a 6. Dacă $y_{0}(x)$ este o integrală neidentic nulă a ecuatiei (1), care în $m$ puncte distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ din ( $a,b$ ), satisface conditile

	$\displaystyle y\left(x_{1}\right)=y^{\prime}\left(x_{1}\right)=\ldots=y^{\left(p_{1}-1\right)}\left(x_{1}\right)=0$
	$\displaystyle y\left(x_{2}\right)=y^{\prime}\left(x_{2}\right)=\ldots=y^{\left(p_{2}-1\right)}\left(x_{2}\right)=0$		(16)
	$\displaystyle y\left(x_{m}\right)=y^{\prime}\left(x_{m}\right)=\ldots=y^{\left(p_{m}-1\right)}\left(x_{m}\right)=0,$

unde $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ sînt numere naturale, satisfăcînd condițiile:

	$\displaystyle p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}=n-1$		(17)
	$\displaystyle\max\left\{p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}\right\}=2,$

2 - Studii și cercetări de matematică
atunci, în ipoteza că familia $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}(a,b)$ , rezultă relațiile:

y^{\left(p_{1}\right)}\left(x_{1}\right)\neq 0,\quad y^{\left(p_{2}\right)}\left(x_{2}\right)\neq 0,\quad\ldots,y^{\left(p_{m}\right)}\left(x_{m}\right)\neq 0.

(18)

Demonstratie. Fie $y_{0}(x)$ o integrală neidentic nulă a ecuatiei diferențiale (1), care în punctele $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ satisface condițiile (16) și (17). Să notăm cu $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}$ , ordinele de multiplicitate ale rădăcinilor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ ale integralei $y_{0}(x)$ . Vom demonstra că în ipotezele lemei 6, au loc egalitățile : $\pi_{1}=p_{1},\pi_{2}=p_{2},\ldots,\pi_{m}=p_{m}$ . In acest scop, observăm de la început că integrala $y_{0}(x)$ considerată, nu poate avea în intervalul ( $a,b$ ) alte rădăcini decît $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ , întrucît în caz contrar s-ar contrazice afirmației lemei 5. Cu această precizare, vom arăta întîi că numerele $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}$ şi $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ sînt respectiv de aceeaşi paritate.

Considerăm functia $\tilde{y}_{\varepsilon}(x)=y_{0}(x)-\varepsilon\bar{\eta}(x)$ , unde $y_{0}(x)$ este integrala ce intervine în enuntul lemei 6 , iar $\bar{\eta}(x)$ este de asemenea o integrală a ecuației diferențiale (1), construită după procedeul indicat în demonstrația lemei 5, relativ la rădăcinile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ ale integralei $y_{0}(x).^{3}$ Intocmai ca acolo, se arată că dacă o rădăcină oarecare $x_{i}$ din gruparea $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ are ordinul de multiplicitate fată de $y_{0}(x)$ , par, atunci oricît de mică ar fi o vecinătate a acestei rădăcini $x_{i}$ , pentru valori pozitive suficient de mici ale parametrului $\varepsilon$ , integrala $\widetilde{y}_{\varepsilon}(x)$ va avea în vecinătatea considerată cel puțin două rădăcini distincte ; apoi, dacă $x_{j}$ este o rădăcină de ordin impar fatăă de $y_{0}(x)$ , atunci oricît de mică ar fi o vecinătate a acestei rădăcini pentru valori pozitive și suficient de mici ale parametrului $\varepsilon$ , integrala $\tilde{y}(x)$ va avea în aceea vecinătate o rădăcină sau cel puțin trei rădăcini distincte, după cum $\pi_{j}=1$ sau $\pi_{j}>1$ . De aici rezultă că dacă o rădăcină oarecare $x_{j}$ din intervalul ( $a,b$ ), a integralei $y_{0}(x)$ , are ordin impar de multiplicitate, atunci acest ordin este neapărat egal cu 1. In caz contrar, în vecinătatea acestei rădăcini $x_{j}$ , integrala $\widetilde{y}_{\varepsilon}(x)$ va avea trei rădăcini distincte, și ţinînd seama de relațiile (17), va rezulta că în intervalul ( $a,b$ ) integrala $\widetilde{y}_{\varepsilon}(x)$ are cel puțin $(n-1)+2=n+1$ rădăcini distincte (dacă parametrul $\varepsilon$ ia valori pozitive, suficient de mici). Aceasta ar contrazice proprietatea $I_{n}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ , dat fiind că integrala $\widetilde{y}_{\varepsilon}(x)$ nu este identic nulă în intervalul $(a,b).{}^{4}$ ) Rezultă în definitiv următoarea proprietate:

\left.\begin{array}[]{l}\text{ Dacă în conditiile lemei }6,\pi_{j}\text{ este impar, atunci }\pi_{j}=1,\\ \text{ şi deci }\pi_{j}=p_{j}\text{. }\end{array}\right\}

⁰⁰footnotetext: ³ ) Spre deosebire însă de cele expuse cu ocazia demonstrației lemei 5, inegalitatea

n-\beta

-1>0

rezultă în cazul de față precum urmează: Se constată întîi că în ipotezele lemei 6, nu poate avea loc inegalitatea

m\geqq n-1

, întrucît o astfel de inegalitate împreună cu relațiile (16) şi (17) ar contrazice afirmația lemei 4. Deci neapărat

m<n-1

. De aici, ținînd seamă de inegalitatea evidentă

\beta\leqq m

, rezultă inegalitatea

n-\beta-1>0

. Reamintim că numărul

n-\beta-1

reprezintă numărul nodurilor auxiliare

\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-\beta-1}

, care intervin prin formulele (12) în definiția integralei

\bar{\eta}(x)

.
⁴ ) Demonstrația proprietății că integrala

\tilde{y}_{\varepsilon}(x)

nu este identic nulă în intervalul (

a,b

), se face întocmai ca în cazul lemei 5 .

Fie acuma $x_{i}$ o rădăcină a integralei $y_{0}(x)$ , din intervalul ( $a,b$ ), avînd un ordin par de multiplicitate, $\pi_{i}$ . Vom demonstra întîi că are loc următoarea proprietate:

\left.\begin{array}[]{l}\text{ Dacă în conditiile lemei }6,\pi_{i}\text{ este par, atunci și numărul }\\ p_{i}\text{ este de aseme nea par. }\end{array}\right\}

Într-adevăr, presupunînd prin absurd că numărul $p_{i}$ este impar, atunci tinînd seamă de a doua egalitate din (17), ar rezulta că $p_{i}=1$ . Pe de altă parte, rădăcina $x_{i}$ avînd un ordin par de multiplicitate față de integrala $y_{0}(x)$ , rezultă că acestei rădăcini îi va corespunde pentru integrala $\widetilde{y}_{8}(x)$ două rădăcini distincte, situate în vecinătăți oricît de mici ale punctului $x_{i}$ , dacă bineînțeles parametrul ia valori pozitive suficient de mici. S-ar obține astfel rezultatul : Pentru valori pozitive și suficient de mici ale parametrului $\varepsilon$ , integrala $\tilde{y}_{\varepsilon}(x)$ are în intervalul $(a,b)$ cel puțin $(n-1)+1=n$ rădăcini distincte. Acest rezultat ar contrazice proprietatea $I_{n}(a,b)$ a familiei $y_{n}$ , dat fiind că integrala $\widetilde{y}_{\epsilon}(x)$ nu este identic nulă în intervalul $\left.(a,b).{}^{4}\right)$ Rezultă în definitiv proprietatea (20).

Vom arăta acum mai mult, anume că în ipotezele lemei 6, oricare ar fi rădăcina pară $x_{i}$ din intervalul ( $a,b$ ), a integralei $y_{0}(x)$ , pentru această rădăcină are loc egalitatea $\pi_{i}=p_{i}$ . Într-adevăr, este evidentă inegalitatea $\pi_{i}\geqq p_{i}$ . Să presupunem prin absurd că ar exista în intervalul ( $a,b$ ), cel puțin o rădăcină pară $x_{i_{0}}$ a integralei $y_{0}(x)$ , al cărei ordin $\pi_{i_{0}}$ satisface inegalitatea strictă $\pi_{i_{0}}>p_{i_{0}}$ . Vom arăta că o astfel de ipoteză conduce la o absurditate. Într-adevăr, observăm întîi că din inegalitatea $\pi_{i_{0}}>p_{i_{0}}$ , tinînd seamă de faptul că numerele $\pi_{i_{0}}$ și $p_{i_{0}}$ au aceeaşi paritate, rezultă relația

\pi_{i_{0}}\geqq p_{i_{0}}+2=4

(21)

$O$ astfel de relație pentru cazul cînd $n\leqq 4$ , este absurdă. În continuare presupunem că $n\geqq 5$ .

Vom împărți mulțimea rădăcinilor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ a integralei $y_{0}(x)$ , din intervalul ( $a,b$ ), în două submulțimi. In prima submulțime vom considera rădăcinile de ordin par, pe care le vom nota cu $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ , iar în a doua submulțime vom considera rădăcinile de ordin impar, și acestea le vom nota cu $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ . Evident că $\alpha+\beta=m$ . Vom distinge două cazuri:

Cazul 1: $\alpha=1,\quad\beta=m-1,(n\geqq 5)$ .
Presupunem că ecuația diferențială (1) are în intervalul ( $a,b$ ) o singură rădăcină de ordin par, $x_{i_{0}}$ , și că ordinul $\pi_{i_{0}}$ al acestei rădăcini satisface inegalitatea (21). Toate celelalte rădăcini din intervalul ( $a,b$ ), ale integralei $y_{0}(x)$ , fiind presupuse impare, ele vor fi neapărat simple, conform proprietății (19), stabilite anterior. Ținînd seamă de proprietatea (19), precum și de egalitățile (17), deducem că în cazul considerat, numărul acestor rădăcini este $\beta=n-3$ . In fiecare din ele, curba de ecuație $y=y_{0}(x)$ va traversa axa $Ox$ .

Fie $\varepsilon$ un număr pozitiv și fie $\mu_{\varepsilon}(x)$ integrala ecuației diferențiale (1), care satisface în punctul $x_{i_{6}}$ următoarele condiții ale lui Cauchy :

	$\displaystyle\mu_{\varepsilon}\left(x_{i_{0}}\right)=y_{0}\left(x_{i_{0}}\right)=0,\quad\mu_{\varepsilon}^{\prime}\left(x_{i_{0}}\right)=y_{0}^{\prime}\left(x_{i_{0}}\right)=0,\quad\mu_{\varepsilon}^{\prime\prime}\left(x_{i_{0}}\right)=y_{0}^{\prime\prime}\left(x_{i_{0}}\right)=0$
	$\displaystyle\mu_{\varepsilon}^{\prime\prime\prime}\left(x_{i_{0}}\right)=\varepsilon,$		(22)
	$\displaystyle\mu_{\varepsilon}^{(\mathrm{IV})}\left(x_{i_{0}}\right)=y_{0}^{(\mathrm{IV})}\left(x_{i_{0}}\right),\ldots,\mu_{\varepsilon}^{(n-1)}\left(x_{i_{0}}\right)=y_{0}^{(n-1)}\left(x_{i_{0}}\right).$

Din aceste formule se vede că integrala $\mu_{\mathrm{e}}(x)$ satisface în punctul $x_{i_{0}}$ aceleaşi condiții ale lui Cauchy, ca și $y_{0}(x)$ , cu excepția derivatei de ordinul 3 , care în acest punct ia valoareă $\varepsilon$ .

Dacă parametrul $\varepsilon$ ia valori pozitive suficient de mici, atunci conditiile lui Cauchy, pe care le satisface integrala $\mu_{\varepsilon}(x)$ , sînt apropiate de condițiile lui Cauchy pe care le satisface integrala $y_{0}(x)$ , şi dacă $\varepsilon$ tinde către zero, atunci functia $\mu_{\varepsilon}(x)$ va tinde uniform către $y_{0}(x)$ , în orice subinterval închis $\left[a_{1},b_{1}\right]$ conținut în ( $a,b$ ).

Intrucît curba de ecuație $y=y_{0}(x)$ traversează axa $Ox$ în fiecare din punctele $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , rezultă că oricît de mici s-ar alege niște vecinătăți ale acestor puncte, există pentru ele un prag $E$ , astfel încît oricare ar fi numărul pozitiv $\varepsilon<E$ , curba integrală corespunzătoare $y=\mu_{\varepsilon}(x)$ să traverseze axa $Ox$ în fiecare din vecinătățile alese, în cîte un punct. Vom nota abscisele acestor puncte de traversare respectiv cu $\bar{x}_{j_{1}},\bar{x}_{j_{2}},\ldots,\bar{x}_{j_{\beta}}$ . În afară de aceste rădăcini, integrala $\mu_{\varepsilon}(x)$ mai admite rădăcina $x_{i_{0}}$ , cu ordinul de multiplicitate 3, ceea ce se constată din formulele (22). Rezultă în definitiv că integrala $\mu_{\mathrm{e}}(x)$ are în intervalul ( $a,b$ ), rădăcina triplă $x_{i_{0}}$ , și în plus alte $\beta$ rădăcini distincte $\bar{x}_{j_{1}},\bar{x}_{j_{2}},\ldots,\bar{x}_{j_{\beta}}$ , diferite de $x_{i_{0}}$ și avînd ordine impare de multiplicitate. Pentru aceste $\beta+1$ rădăcini, ale integralei $\mu_{\varepsilon}(x)$ , sînt satisfăcute condițiile (16) şi (17) dacă se alege $\bar{p}_{i_{0}}=2$ și $\bar{p}_{j_{1}}=\bar{p}_{j_{2}}==\ldots=\bar{p}_{j_{\beta}}=1$ , şi dacă se ține seamă că în cazul 1 considerat, $\beta=n-3$ . Se mai constată că integrala $\mu_{\varepsilon}(x)$ nu poate să aibă în intervalul ( $a,b$ ) alte rădăcini distincte, decît $\bar{x}_{j_{1}},\bar{x}_{j_{2}},\ldots,\bar{x}_{j_{\beta}}$ și $x_{i_{0}}$ . Intr-adevăr, In caz contrar, numărul total al rădăcinilor distincte pe care le-ar avea în intervalul ( $a,b$ ) integrala neidentic nulă $\mu_{\varepsilon}(x)$ , ar fi mai mare sau cel puțin egal cu $n-1$ , și conform lemei 4 ar rezulta că toate rădăcinile ei sînt simple. Aceasta ar contrazice faptul că rădăcina $x_{i_{0}}$ a integralei $\mu_{\varepsilon}(x)$ , este triplă. În aceste condiții, este valabilă pentru integrala $\mu_{\varepsilon}(x)$ proprietatea (19), care afirmă că toate rădăcinile de ordin impar ale unei astfel de integrale neidentic nule, trebuie să fie simple. Această proprietate este însă în contradictie cu existența pentru integrala $\mu_{\varepsilon}(x)$ a rădăcinii triple $x_{i_{0}}$ . Rezultă în definitiv că rădăcina $x_{i_{0}}$ , a integralei $y_{0}(x)$ , nu poate să aibă ordinul de multiplicitate mai mare ca 2 , şi de aici că $\pi_{i}=p_{i},q.e.d$ .

Cazul 2: $\alpha\geqq 2,(n\geqq 5)$ .

În acest caz, ținînd seamă de egalitățile (17), precum și de proprietățile (19) şi (20), rezultă că $\beta\leqq n-5$ . Fie acum numărul $\nu=(n-1)-\beta-2$ . Ținînd seamă că $\beta\leqq n-5$ , rezultă inegalitatea $\nu\geqq 2$ . Vom presupune că
rădăcinile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ sînt scrise în ordine crescătoare; $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ . Alegem în intervalul ( $x_{m},b$ ), $\nu$ noduri distincte $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{\nu}$ . Intrucît integrala $y_{0}(x)$ nu are în intervalul ( $a,b$ ) alte rădăcini decît $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ (fapt stabilit anterior), rezultă că nici unul din nodurile alese $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{v}$ nu poate reprezenta vreo rădăcină a integralei $y_{0}(x)$ .

Fie $\mu(x)$ o integrală neidentic nulă a ecuației (1), care satisface condițiile :

	$\displaystyle\mu\left(x_{i_{0}}\right)=\mu\left(x_{i_{0}}\right)=0$
	$\displaystyle\mu\left(x_{j_{1}}\right)=\mu\left(x_{j_{2}}\right)=\ldots=\mu\left(x_{j_{\beta}}\right)==0$		(23)
	$\displaystyle\mu\left(\xi_{1}\right)=\mu\left(\xi_{2}\right)=\ldots=\mu\left(\xi_{\nu}\right)=0.$

Numărul acestor condiții de anulare fiind $2+\beta+\nu=n-1$ , rezultă în baza lemei 5 existența unei astfel de integrale neidentic nule, satisfăcînd conditiile (23). Această integrală nu poate să aibă în intervaluul ( $a,b$ ) alte rădăcini distincte decît $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}},\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{v}$ , şi $x_{i_{0}}$ . Intr-adevăr, în caz contrar numărul total al rădăcinilor distincte pe care le-ar avea în acest interval integrala neidentic nulă $\mu(x)$ , ar fi mai mare sau cel puțin egal cu $n-1$ , și conform lemei 4 ar rezulta că toate rădăcinile ei sînt simple. Aceasta ar contrazice primul șir de egalități din (23). Pe de altă parte, observăm că condițiile (23), pe care le satisface integrala neidentic nulă $\mu(x)$ , au forma condițiilor (16) și (17) pe care le satisface integrala $y_{0}(x)$ . In aceste circumstanţe sînt valabile pentru integrala $\mu(x)$ proprietătile (19) și (20), în baza cărora toate rădăcinile integralei $\mu(x)$ , cu excepția rădăcinii $x_{i_{0}}$ , sînt simple, iar rădăcina $x_{i_{0}}$ are un ordin par de multiplicitate. Astfel ajungem la constatarea că integrala $\mu(x)$ satisface condiții analoage conditiilor pe care le satisfăcea integrala $y_{0}(x)$ în cazul 1 tratat anterior. In baza rezultatelor obținute cu ocazia tratării cazului 1 , se poate afirma că rădăcina pară $x_{i_{0}}$ , a integralei $\mu(x)$ , trebuie să aibă neapărat ordinul 2 :

\mu\left(x_{i_{0}}\right)=\mu^{\prime}\left(x_{i_{0}}\right)=0,\quad\mu^{\prime\prime}\left(x_{i_{0}}\right)\neq 0.

(24)

Din cele de mai sus rezultă că curba integrală de ecuație $y=\mu(x)$ traversează axa $Ox$ în fiecare din rădăcinile $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}},\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{v}$ , și se situează de aceeași parte a axei $Ox$ într-o vecinătate suficient de mică a rădăcinii $x_{i_{0}}$ .

Pe de altă parte, referindu-ne la integrala $y_{0}(x)$ , tot în baza proprietăţii (19) putem afirma că rădăcinile impare $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ trebuie să fie neapărat simple pentru $y_{0}(x)$ . Celelaïte rădăcini $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ , au ordine pare de multiplicitate și printre aceste rădăcini se află și rădăcina $x_{i_{0}}$ , care are ordinul $\pi_{i_{0}}$ satisfăcînd inegalitatea (21). De aici rezultă că și curba integrală de ecuație $y=y_{0}(x)$ , traversează axa $Ox$ în fiecare din rădăcinile $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ și se situează de aceeași parte a axei $Ox$ în vecinătatea fiecărei din rădăcinile $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ . T, Tinînd seamă de aceste proprietăți stabilite pentru integralele $\mu(x)$ şi $y_{0}(x)$ , precum și de faptul că toate rădăcinile $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{v}$ ale integralei $\mu(x)$ sînt situate în afara intervalului $\left[x_{1},x_{m}\right]$ , rezultă ca dacă variabila $x$ crește de la valoarea $a$
la valoarea $b$ , atunci cel puțin pentru una ’din integralele $\mu(x)$ sau - $\mu(x)$ , sensul de schimbare al semnului ei, în dreptul fiecăreia dîn rădăcinile $y_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , va coincide cu sensul de schimbare al semnului integralei $y_{0}(x)$ în dreptul fiecărei dintre aceste rădăcini. Să notăm cu $\bar{\mu}(x)$ acea dintre integralele $\mu(x)$ și $-\mu(x)$ pentru care se realizează acest deziderat, adică pentru care - în vecinătăți suficient de mici ale numerelor $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}-$ au loc egalitățile:

\operatorname{sgn}\{\bar{\mu}(x)\}=\operatorname{sgn}\left\{y_{0}(x)\right\},\quad\left\{\begin{array}[]{l}x\in\left[x_{j_{1}}-\varepsilon_{1},x_{j_{1}}+\varepsilon_{1}\right],\text{ sau }\\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots..\\ x\in\left[x_{j_{\beta}}-\varepsilon_{\beta},x_{j_{\beta}}+\varepsilon_{\beta}\right]\end{array}\right.

Ținînd seamă de faptul stabilit anterior, că integrala $\bar{\mu}(x)$ nu are în intervalul ( $a,b$ ) alte rădăcini distincte decît $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}},\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{v}$ (de ordinul 1), precum și rădăcina pară $x_{i_{0}}$ , rezultă că egalitatea (25) va avea loc și în vecinătăți suficient de mici ale rădăcinilor pare $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ ale integralei $y_{0}(x)$ , cu excepția eventual a centrelor acestor vecinătăti. Să notăm cu ( $\Gamma$ ) curba de ecuație $y=y_{0}(x)$ și cu ( $\Gamma_{\varepsilon}$ ) curba de ecuație $y=\varepsilon\bar{\mu}(x)$ , unde $\varepsilon$ este un parametru luînd valori pozitive.

Se constată ușor că există un prag $E_{1}$ , astfel încît dacă $\varepsilon<E_{1}$ atunci în fiecare din punctele $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , curbele $(\Gamma)$ şi ( $\Gamma_{\varepsilon}$ ) să se intersecteze, traversîndu-se reciproc. (Această afirmație rezultă din faptul că numerele $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ sînt rădăcini simple pentru fiecare din integralele $y_{0}(x)$ şi $\bar{\mu}(x))$ .

Apoi, alegîndu-se niște vecinătăți suficient de mici ale rădăcinilor pare $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ , cu excepția rădăcinii $x_{i_{u}}$ , există pentru ele un prag $E_{2}$ astfel încît oricare ar fi $\varepsilon$ satisfăcînd inegalitătile $0<\varepsilon<E_{2}$ , curbele ( $\Gamma$ ) și ( $\Gamma_{i}$ ) să se intersecteze în fiecare din vecinătățile considerate, în cîte două puncte distincte, traversîndu-se reciproc în aceste puncte.

Referitor la punctul $x_{i_{0}}$ , t,inînd seamă de relațiile (24) şi (21), constal tăm următoarele : Curba de ecuatie $y=\bar{\mu}(x)$ are în $x_{i_{0}}$ un contact de ordinu1 cu axa $Ox$ ,

\bar{\mu}\left(x_{i_{0}}\right)=\mu^{\prime}\left(x_{i_{0}}\right)=0,\quad\bar{\mu}^{\prime\prime}\left(x_{i_{0}}\right)\neq 0,

(

\prime

)

pe cînd curba de ecuatie $y=y_{0}(x)$ are în $x_{i_{0}}$ un contact de un ordin impar $\geqq 3$ cu axa $Ox$ .

	$\displaystyle y_{0}\left(x_{i_{0}}\right)=y_{0}^{\prime}\left(x_{i_{0}}\right)=y_{0}^{\prime\prime}\left(x_{i_{0}}\right)=y_{0}^{\prime\prime\prime}\left(x_{i_{0}}\right)=\ldots=y_{0}^{\left(\pi i_{0}-1\right)}\left(x_{i_{0}}\right)=0$
	$\displaystyle y_{0}^{\left(\pi i_{i_{0}}\right)}\left(x_{i_{0}}\right)\neq 0$		(26)

Fie un interval închis $\left[x_{i_{0}}-\varepsilon_{i_{0}},x_{i_{0}}+\varepsilon_{i_{0}}\right]$ , ales suficient de mic încît să fie conținut în ( $a,b$ ) și să nu conțină nici o altă rădăcina a integralei $y_{0}(x)$ , sau a integralei $\bar{\mu}(x)$ . Prin felul în care a fost aleasă integrala $\bar{\mu}(x)$ dintre integralele $\bar{\mu}(x)$ și - $\mu(x)$ , rezultă că dacă vecinătatea $\left[x_{i_{0}}-\varepsilon_{i_{0}},x_{i_{0}}+\varepsilon_{i_{0}}\right]$ a punctului $x_{i_{0}}$ este suficient de mică, atunci carbele de ecuații $y=y_{0}(x)$ și $y=\bar{\mu}(x)$ se vor situa de aceeași parte a axei $Ox$ , adică va avea loc egalitatea

\operatorname{sgn}\left\{y_{0}(x)\right\}=\operatorname{sgn}\{\bar{\mu}(x)\},\quad x\in\left[x_{i_{0}}-\varepsilon_{i_{0}},x_{i_{0}}+\varepsilon_{i_{0}}\right].

(

\prime

)

Să presupunem pentru fixarea ideilor, că $\bar{\mu}^{\prime\prime}\left(x_{i_{0}}\right)>0$ . De aici, în baza relațiilor $\left(24^{\prime}\right)$ și $\left(25^{\prime}\right)$ rezultă că $\operatorname{sgn}\left\{y_{0}(x)\right\}=\operatorname{sgn}\{\bar{\mu}(x)\}=1$ , cînd $x\in\left[x_{i_{0}}-\varepsilon_{i_{0}},x_{i_{0}}\right)$ şi cînd $x\in\left(x_{i_{0}},x_{i_{0}}+\varepsilon_{i_{0}}\right]$ (fig. 5). Vom demonstra în cele ce urmează că există un prag $E_{3}$ , astfel încît dacă $\varepsilon$ satisface inegalitățile $0<\varepsilon<E_{3}$ , atunci în vecinătatea $\left[x_{i_{0}}-\varepsilon_{i_{0}},x_{i_{0}}+\varepsilon_{i_{0}}\right]$ curbele de ecuații $y==y_{0}(x)$ şi $y=\varepsilon\bar{\mu}(x)$ , în afară de punctul $x_{i_{0}}$ în care ele prezintă un contact de ordinul 1 , se mai intersectează în încă două puncte distincte, traver-sîndu-se reciproc în acestea din urmă. Intradevăr, fie $\bar{\xi}_{1}$ și $\bar{\xi}_{2}$ numere reale, satisfăcînd inegalitățile:

x_{i_{0}}-\varepsilon_{i_{0}}<\bar{\xi}_{1}<x_{i_{0}}<\bar{\xi}_{2}<x_{i_{0}}+\varepsilon_{i_{0}}.

Fie $\bar{\varepsilon}$ un număr pozitiv suficient de mic, astfel încît să fie satisfăcute inegalitățile (fig. 6) :

	$\displaystyle\bar{\varepsilon}\bar{\mu}\left(\overline{\xi_{1}}\right)<y_{0}\left(\bar{\xi}_{1}\right)$
	$\displaystyle\bar{\varepsilon}\bar{\mu}\left(\overline{\xi_{2}}\right)<y_{0}\left(\overline{\xi_{2}}\right)$		(27)

Dezvoltînd functiile $y_{0}(x)$ și $\varepsilon\bar{\mu}(x)$ după formula lui Taylor în punctul $x_{i_{0}}$ și tinînd seamă de relațiile (24’), (26), (25’) precum și de faptul că $\pi_{i_{0}}>2$ , se constată că oricare ar fi $\varepsilon$ pozitiv, într-o subvecinătate suficient de mică a punctului $x_{i_{0}}$ , curba $y=y_{0}(x)$ se va situa dedesubtul curbei $y=\varepsilon\bar{\mu}(x)$ (fig. 6). T, Tinînd seamă de această constatare, precum și de inegalitățile (27), rezultă că pentru orice $\varepsilon$ pozitiv, satisfăcînd inegalitatea $\varepsilon<\bar{\varepsilon}=E_{3}$ , curbele de ecuații $y=y_{0}(x)$ și $y=\varepsilon\bar{\mu}(x)$ se vor tăia în două puncte distincte din $\left(\bar{\xi}_{1},\bar{\xi}_{2}\right)$ , traversîndu-se reciproc în aceste puncte și prezentînd totodată în punctul $x_{i_{0}}$ un contact de ordinul 1 (fig. 6). In concluzie, tinînd seama de cele arătate anterior, rezultă că dacă $\varepsilon$ satisface inegalitatea

0<\varepsilon<\min\left\{E_{1},E_{2},E_{3}\right\},

atunci integrala $\tilde{y}_{\varepsilon}(x)=y_{0}(x)-\varepsilon\bar{\mu}(x)$ va avea în intervalul ( $a,b$ ) rădăcini, care provin precum urmează :

Fiecărei rădăcini $x_{i}$ de ordin par, a integralei $y_{0}(x)$ , cu excepția rădăcinii $x_{i_{0}}$ , $\hat{i}$ i vor corespunde pentru integrala $\widetilde{y}_{e}(x)$ cîte două rădăcini distincte $\bar{x}_{i}$ şi $\bar{x}_{i}$ .

Rădăcinii $x_{i_{0}}$ , multiplă de ordin par $\geqq 4$ a integralei $y_{0}(x)$ , îi va corespunde pentru integrala $\tilde{y_{\mathrm{s}}}(x)$ o rădăcină dublă $x_{i_{0}}$ și alte două rădăcini simple $\bar{x}_{i_{0}},\bar{x}_{i_{0}}$ .

În sfîrşit, rădăcinile $x_{j}$ de ordin impar (simple) ale integralei $y_{0}(x)$ sînt rădăcini simple și pentru $\tilde{y}_{\varepsilon}(x)$ .

Rezultă în definitiv că integrala $\widetilde{y_{\epsilon}}(x)$ va avea în intervalul $(a,b)$ o rădăcină de ordinul 2 şi alte $2(\alpha-1)+2+\beta=2\alpha+\beta$ rădăcini simple. Dar întrucît $2\alpha+\beta=n-1$ , ceea ce se deduce din (16) și (17), ținînd seamă de proprietățile (19) și (20) rezultă, că $\tilde{y}_{6}(x)$ are în intervalul ( $a,b$ ) cel puțin $(n-1)+1=n$ rădăcini distincte (dintre care una este dublă). Atunci, întrucît prin ipoteză familia $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}(a,b)$ , rezultă în baza lemei 2 că $\tilde{y}_{\varepsilon}(x)\equiv 0$ în intervalul $(a,b)$ . Această identitate contrazice însă faptul că $\tilde{y}_{\varepsilon}(x)=y_{0}(x)-\varepsilon\bar{\mu}(x)$ nu se anulează în nodurile suplimentare $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{v}$ , al căror număr $\nu$ , după cum s-a arătat anterior, satisface inegalitatea $\nu\geqq 2$ .

Rezultă în definitiv că inegalitatea (21) nu poate avea loc și conform proprietății (20), trebuie să aibă loc egalitatea $\pi_{i_{0}}=p_{i_{0}}$ , q. e. d.

Vom trece acum la demonstrarea efectivă a teoremei 1 .

Demonstratia teoremei 1.

Pentru simplificarea expunerii, dăm întîi următoarele definiții :
Definiția 4. Spunem că familia $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}^{(k)}(a,b)$ (unde $k$ este un număr natural satisfăcînd inegalitatea $k\leqq n$ ), dacă acea familie $Y_{n}$ are proprietătile $I_{p_{1}},p_{2},\ldots,p_{m}(a,b)$ referitoare la toate sistemele de numere naturale $m,p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ , care satisfac conditiile:

	$\displaystyle p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}=n$
	$\displaystyle\max\left(p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}\right)=k.$		(28)

Definiția 5. Spunem că familia $Y_{n}$ posedă proprietatea $P_{n}^{(k)}(a,b)$ (unde $k$ este un număr natural satisfăcînd inegalitatea $k\leqq n-1$ ), dacă oricare ar fi integrala neidentic nulă a ecuatiei, care în m puncte distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ din $(a,b)$ satisface conditiile:

	$\displaystyle y\left(x_{1}\right)=y^{\prime}\left(x_{1}\right)=\ldots=y^{\left(p_{1}-1\right)}\left(x_{1}\right)=0$
	$\displaystyle y\left(x_{2}\right)=y^{\prime}\left(x_{2}\right)=\ldots=y^{\left(p_{2}-1\right)}\left(x_{2}\right)=0$		(29)
	$\displaystyle y\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$
	$\displaystyle y\left(x_{m}\right)=y^{\prime}\left(x_{m}\right)=\ldots=y^{\left(p_{m}-1\right)}\left(x_{m}\right)=0$

unde $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ sînt numere naturale oarecari, satisfåcind conditiile

	$\displaystyle p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}=n-1$
	$\displaystyle\max\left\{p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}\right\}=k$		(30)

atunci din realizarea conditiilor (29) şi (30) să rezulte

y^{\left(p_{1}\right)}\left(x_{1}\right)\neq 0,\quad y^{\left(r_{2}\right)}\left(x_{2}\right)\neq 0,\ldots,y^{\left(p_{m}\right)}\left(x_{m}\right)\neq 0.

(31)

Pentru a demonstra teorema 1, vom arăta din aproape în aproape că în ipotezele acestei teoreme, familia $Y_{n}$ are proprietătile

	$\displaystyle\left\{I_{n}^{(1)}(a,b),\quad P_{n}^{(1)}(a,b)\right\},\quad\left\{I_{n}^{(2)}(a,b),\quad P_{n}^{(2)}(a,b)\right\},\ldots,\left\{I_{n}^{(k)}(a,b),\quad P_{n}^{(k)}(a,b)\right\}$
	$\displaystyle\ldots\ldots,\quad\left\{I_{n}^{(n-1)}(a,b),\quad P_{n}^{(n-1)}(a,b)\right\},I_{n}^{(n)}(a,b).$		(32)

In acest scop, utilizăm principiul inducției relativ la indicele superior $k$ . În primul rînd observăm că pentru familia $Y_{n}$ , proprietățile $\left\{I_{n}^{(1)}(a,b)\right.$ , $\left.P_{n}^{(1)}(a,b)\right\},\left\{I_{n}^{(2)}(a,b),P_{n}^{(2)}(a,b)\right\}$ , care corespunde valorilor $k=1$ şi $k=2$ , sînt adevărate în baza afirmațiilor lemelor 4, 5 și 6. Presupunem acum că pentru familia $Y_{n}$ au loc proprietățile :

\left\{I_{n}^{(1)}(a,b),P_{n}^{(1)}(a,b)\right\},\left\{I_{n}^{(2)}(a,b),P_{n}^{(2)}(a,b)\right\},\ldots,\left\{I_{n}^{(k-1)}(a,b),P_{n}^{(k-1)}(a,b)\right\}

(33)

care corespund respectiv valorilor $1,2,\ldots,k-1$ ale indicelui superior. Să demonstrăm că în această ipoteză, familia $Y_{n}$ are și proprietăţile $I_{n}^{(k)}(a,b)$ și $P_{n}^{(k)}(a,b)$ . Vom presupune, în cele ce urmează, $k>2$ . Incepem prin a stabili următoarea lemă :

Le ma 7. Dacă familia $Y_{n}$ are toate proprietățile indicate în (33), atunci acea familie are și proprietatea $I_{n}^{(k)}(a,b)$ .

Demonstratie. Pentru stabilirea proprietăttii $I_{n}^{(k)}(a,b)$ , vom folosi procedeul de demonstrație indicat cu ocazia stabilirii lemei 5 .

Să presupunem prin absurd că în ipotezele lemei 7, familia $Y_{n}$ nu ar avea proprietatea $I_{n}^{(k)}(a,b)$ . Atunci, conform lemei 1, ar rezulta că ecuația diferențială (1) admite cel puțin o integrală neidentic nulă $y_{0}(x)$ , care să aibă în intervalul ( $a,b$ ), $m$ rădăcini distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ , avînd ordine de multiplicitate $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}$ , astfel încît

\pi_{1}\geqq p_{1},\quad\pi_{2}\geqq p_{2},\ldots,\pi_{m}\geqq p_{m},

(34)

unde $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ reprezintă numere naturale, satisfăcînd condițiile (28).

Observăm de la început că pentru demonstrarea proprietății $I_{n}^{(k)}(a,b)$ , putem presupune că cel puțin două dintre numerele $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ sînt egale cu numărul $k$ . Intr-adevăr, din ipoteza $\max\left\{p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}\right\}=k$ , ce intervine în definirea proprietății $I_{n}^{(k)}(a,b)$ , rezultă că cel puțin unul din numerele $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ este egal cu $k$ . Apoi dacă numai unul din numerele $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ ar fi egal cu $k$ , iar toate celelalte ar fi mai mici decît $k$ , atunci existenţa unei integrale $y_{0}(x)$ neidetic nule, satisfăcînd condițiile (29), este în contradicție cu proprietatea $P_{n}^{(k-1)}(a,b)$ , presupusă de asemenea adevărată prin ipoteză. În concluzie, pentru demonstrarea proprietății $I_{n}^{(k)}(a,b)$ , putem deci presupune că cel puțin două dintre numerele $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ sînt egale cu $k$ .

Vom asocia numerelor $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ respectiv numerele $p_{1}^{*},p_{2}^{*},\ldots p_{m}^{*}$ precum urmează :

p_{i}^{*}=\begin{cases}p_{i},&\text{ dacă }\pi_{i}\text{ şi }p_{i}\text{ sînt de aceeaşi paritate }\\ p_{i}+1,&\text{ dacă }\pi_{i}\text{ şi }p_{i}\text{ nu sînt de aceeaşi paritate }\\ &(i=1,2,\ldots,m)\end{cases}

Considerăm mai departe şirul de numere $p_{1}^{**},p_{2}^{**},\ldots,p_{m}^{**}$ , precum urmează :

p_{i}^{**}=\left\{\begin{array}[]{ll}p_{i}^{*}-2,&\text{ dacă }p_{i}^{*}>1\\ p_{i}^{*},&\text{ dacă }p_{i}^{*}=1\end{array}\quad(i=1,2,\ldots,m)\right.

Evident că şirurile de numere $\left\{\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}\right\},\quad\left\{p_{1}^{*},p_{2}^{*},\ldots,p_{m}^{*}\right\}$ , $\left\{p_{1}^{**},p_{2}^{**},\ldots,p_{m}^{**}\right\}$ sînt astfel, încît termenii lor de acelaşi rang au aceeaşi paritate, în ultimul șir putînd să figreze și numărul zero.

Intrucît, prin ipoteză, cel puțin două dintre numerele $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ sînt egale cu $k$ , şi întrucît tot prin ipoteză $k>2$ , rezultă, tinînd seamă de (35) și (36) că cel puțin pentru doi indici $i$ are loc inegalitatea strictă $p_{i}^{**}<p_{i}$ . De aici, tinînd seamă de inegalitațile $p_{i}^{**}\leqq p_{i}(i=1,2,\ldots,m)$ , care rezultă tot din (35) și (36), și apoi de prima relație din (28), rezultă inegalitatea :

\sum_{i=1}^{m}p_{i}^{**}\leqq n-2

(37)

Vom împărţi mulţimea numerelor $p_{1}^{**},p_{2}^{**},\ldots,p_{m}^{**}$ în două submultimi precum urmează : vom nota cu $i_{1},i_{2},\ldots,i_{a}$ acei indici $i$ pentru care $p_{i}^{**}$ ia valoarea zero, și cu $j_{1},j_{2},\ldots,j_{\beta}$ , indicii $j$ pentru care $p_{j}^{**}$ ia valori mai mari ca zero (dacă bineînțeles există astfel de indici).

Să notăm cu $\nu$ , suma acestor numere $p_{j}^{**}$ . Ţinînd seamă de (37), rezultă în mod evident inegalitatea

v=p_{j_{1}}^{**}+p_{j_{2}}^{**}+\ldots+p_{j_{\beta}}^{**}\leqq n-2

(

\prime

)

Fără a restrînge generalitatea demonstratiei, putem presupune că rădăcinile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ ale integralei $y_{0}(x)$ , sînt consecutive și satisfac inegalităţile $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ (aceasta întrucît numărul natural $m$ poate fi oarecare).

Vom alege în intervalul ( $x_{m},b$ ), $n-v-1$ noduri distincte $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-\nu-1}$ , astfel încît nici unul dintre aceste noduri să nu coincidă cu vreo rădăcină a integralei $y_{0}(x)$ , ce s-ar afla eventual în intervalul ( $x_{m},b$ ). Ținînd seamă de ( $37^{\prime}$ ), se constată că numărul $n-v-1$ care reprezintă numărul nodurilor suplimentare $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-\nu-1}$ , este mai mare sau cel puțin egal cu 1, astfel că mulțimea acestor noduri nu este vidă.

Să considerăm acum rădăcinile $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , corespunzătoare numerelor $p_{j_{1}}^{**},p_{j_{2}}^{**},\ldots,p_{j_{\beta}}^{**}$ puse în evidenţă anterior, şi fie $\eta(x)$ o integrală neidentic nulă a ecuației (1), care verifică condițiile:

	$\displaystyle\eta\left(x_{j_{1}}\right)=\eta^{\prime}\left(x_{j_{1}}\right)=\ldots\ldots=\eta^{\left(p_{j_{1}-1}^{**}\right)}\left(x_{j_{1}}\right)=0$		(38)
	$\displaystyle\eta\left(x_{j_{2}}\right)=\eta^{\prime}\left(x_{j_{2}}\right)=\ldots\ldots=\eta^{\left(p_{j_{2}-1}^{**}\right)}\left(x_{j_{2}}\right)=0$
	$\displaystyle\cdots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\left(p_{j_{\beta}^{}-1}^{*}\left(x_{j_{\beta}}\right)=0\right.$
	$\displaystyle\eta\left(x_{j_{\beta}}\right)=\eta^{\prime}\left(x_{j_{\beta}}\right)=\ldots\ldots\ldots\left(\xi_{n-\nu-1}\right)=0$
	$\displaystyle\eta\left(\xi_{1}\right)=\eta\left(\xi_{2}\right)=\ldots\ldots\ldots$

v conditii

în număr de $n-1$ . Existența unei astfel de integrale neidentic nule, rezultă din ipoteza că $Y_{n}$ are toate proprietățile $I_{n}^{(1)}(a,b),I_{n}^{(2)}(a,b),\ldots,I_{n}^{(k-1)}(a,b)$ ce figurează în (33) și din faptul că ordinele de multiplicitate $p_{j_{1}}^{**},p_{j_{2}}^{**},\ldots,p_{j_{\beta}}^{**}$ care intervin în condiţiile (38), satisfac inegalitatea

\max\left\{p_{j_{1}}^{**},p_{j_{2}}^{**},\ldots,p_{j_{m}}^{**}\right\}\leqq k-1

(39)

care rezultă din (35), (36) și (28).
Intrucît prin ipoteză sînt adevărate proprietățile $P_{n}^{(1)}(a,b)$ , $P_{n}^{(2)}(a,b),\ldots,P_{n}^{(k-1)}(a,b)$ , din relația (39) rezultă că integrala $\eta(x)$ , presupusă neidentic nulă, satisface relațiile:

	$\displaystyle\eta^{\left(p_{j_{1}}^{}\right)}\left(x_{j_{1}}\right)\neq 0,\quad\eta^{\left(p_{j_{2}}^{}\right)}\left(x_{j_{2}}\right)\neq 0,\ldots,\eta^{\left(p_{j_{\beta}}^{**}\right)}\left(x_{j_{\beta}}\right)\neq 0$		(40)
	$\displaystyle\eta^{\prime}\left(\xi_{1}\right)\neq 0,\quad\eta^{\prime}\left(\xi_{2}\right)\neq 0,\ldots,\eta^{\prime}\left(\xi_{n-\nu-1}\right)\neq 0$

Mai rezultă că singurele rădăcini distincte din $(a,b)$ ale integralei $\eta(x)$ sînt numere $\left.x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}};\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-\nu-1\cdot}{}^{5}\right)$ Thinînd seamă de această ultimă constatare, apoi de relațiile (38), considerate împreună cu (40), precum și de constatarea făcută anterior că numerele $p_{1}^{**},p_{2}^{**},\ldots,p_{m}^{**}$

⁰⁰footnotetext: ⁵ ) Această afirmație rezultă și din ipoteza că familia

Y_{n}

are proprietățile

I_{n}^{(1)}(a,b),\ldots,I_{n}^{(k-1)}(a,b)

sînt respectiv de aceeaşi paritate cu numerele $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}$ , rezultă că cel putin una dintre integralele $\eta(x)$ sau $-\eta(x)$ , va avea același semn ca și $y_{0}(x)$ , în vecinătăți suficient de mici ale punctelor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ , eventual cu exceptia mijloacelor acestor vecinătăți. Vom nota cu $\bar{\eta}(x)$ acea dintre integralele $\eta(x)$ și $-\eta(x)$ , care satisface la acest deziderat.

In continuare, vom nota cu $(\Gamma)$ curba de ecuatie $y=y_{0}(x)$ si cu $\left(\Gamma_{\varepsilon}\right)$ curba de ecuatie $y=\varepsilon\bar{\eta}(x)$ , unde $\varepsilon$ este un parametru. Ne propunem să examinăm felul în care se situează între ele curbele ( $\Gamma$ ) și ( $\Gamma_{\varepsilon}$ ), atunci cînd $\varepsilon$ tinde către zero prin valori pozitive.

Observăm de la început că oricare ar fi $\varepsilon>0$ , curbele integrale ( $\Gamma$ ) și ( $\Gamma_{\varepsilon}$ ) nu pot să coincidă identic în intervalul ( $a,b$ ), întrucît în nodurile suplimentare $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-v-1}$ (al căror număr este mai mare sau egal cu 1 , după cum s-a arătat anterior) integrala $\bar{\eta}(x)$ se anulează, pe cînd $y_{0}(x)$ ia valori diferite de zero.

Referindu-ne întîi la numerele $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ , constatăm că ele reprezintă pentru funcția $y_{0}(x)$ rădăcini de ordin par. Această afirmație se justifică îndată, t,inînd seamă ca $p_{i_{1}}^{**}=p_{i_{2}}^{**}=\ldots=p_{i_{\alpha}}^{**}=0$ , precum și de (35) şi (36). Din contră, funcția $\bar{\eta}(x)$ nu se anulează în nici unul din punctele $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ . Prin felul cum a fost aleasă integrala $\bar{\eta}(x)$ dintre integralele $\eta(x)$ și - $\eta(x)$ , rezultă că în vecinătăți suficient de mici ale punctelor $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ , cu excepţia însă a mijloacelor acestor vecinătăți, are loc relația

\operatorname{sgn}\{\bar{\eta}(x)\}=\operatorname{sgn}\left\{y_{0}(x)\right\}.

Din aceste constatări rezultă că dacă parametrul $\varepsilon$ este pozitiv și inferior unui anumit prag, atunci în fiecare din vecinătățile respective ale numerelor $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ , curbele $(\Gamma)$ şi $\left(\Gamma_{\varepsilon}\right)$ se vor intersecta în cîte două puncte distincte. Vom nota abscisele acestor puncte de intersectie, respectiv cu $\bar{x}_{i_{1}},\bar{x}_{i_{1}},\bar{x}_{i_{2}},\overline{\bar{x}}_{i_{2}},\ldots,\bar{x}_{i_{\alpha}},\overline{\bar{x}}_{i_{\alpha}}$ .

Apoi, referindu-ne la rădăcinile $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , le vom împărți în două submulţimi precum urmează. Vom nota cu $x_{j_{k_{1}}},x_{j_{k_{2}}},\ldots,x_{j_{k_{\gamma}}}$ acele rădăcini $x_{j}$ , pentru care numărul $\pi_{j}$ corespunzător este egal cu 1 , și cu $x_{j_{l_{1}}},x_{j_{l_{2}}},\ldots,x_{j_{l_{\delta}}}$ acelea, pentru care numărul $\pi_{j}$ corespunzător este mai mare ca 1 .

Observăm, ținînd seamă de (35) și (36), că au loc egalitățile:

	$\displaystyle\pi_{j_{k_{1}}}=p_{j_{k_{1}}}=p_{t_{k_{1}}}^{}=p_{j_{k_{1}}}^{*}=1$
	$\displaystyle\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$		(41)
	$\displaystyle\pi_{j_{k_{\gamma}}}=p_{j_{k_{\gamma}}}=p_{j_{k_{\gamma}}}^{}=p_{j_{k_{\gamma}}}^{*}=1$

De aici şi din (40), rezultă că numerele $x_{j_{k_{1}}},x_{j_{k_{2}}},\ldots,x_{j_{k_{\gamma}}}$ reprezintă pentru $y_{0}(x)$ și $\bar{\eta}(x)$ rădăcini simple, și deci că $y_{0}^{\prime}(x)$ și $\bar{\eta}^{\prime}(x)$ iau valori diferite de zero pentru fiecare din ele. Rezultă de aici că dacă parametrul $\varepsilon>0$ este inferior unui anumit prag, atunci curbele ( $\Gamma$ ) și ( $\Gamma_{\varepsilon}$ ) se vor intersecta în punctele $x_{j_{k_{1}}},x_{j_{k_{2}}},\ldots,x_{j_{k_{\delta}}}$ traversîndu-se reciproc în aceste puncte.

In sfîrşit, referindu-ne la rădăcinile rămase $x_{j_{l_{1}}},x_{j_{l_{2}}},\ldots,x_{j_{l_{\delta}}}$ , observăm, t,inînd seamă de (35) și (36), că pentru ele au loc relațiile:

0<p_{j_{1}}^{**}\leqq\pi_{j_{l_{1}}}-2;\quad 0<p_{j_{l_{2}}}^{**}\leqq\pi_{j_{j_{2}}}-2;\ldots,0<p_{j_{l_{\delta}}}^{**}\leqq\pi_{j_{l_{\delta}}}-2.

care ne arată (ţinînd seamă de (38)), că fiecare din numerele $x_{j_{l_{1}}},x_{j_{l_{2}}},\ldots,x_{j_{l_{\delta}}}$ reprezintă rădăcină atît pentru funcția $\bar{\eta}(x)$ cît și pentru $y_{0}(x)$ - și că ordinul uneia oarecare dintre aceste rădăcini, referitor 1a funcția $\bar{\eta}(x)$ , este mai mic cu cel puțin două unități decît ordinul aceleiași rădăcini relativ la funcția $y_{0}(x)$ . Pe de altă parte, după cum s-a specificat anterior, numerele $p_{j_{1}l_{1}}^{**},p_{j_{2}}^{**},\ldots,p_{j_{l_{\delta}}}^{**}$ sînt respectiv de aceeași paritate cu numerele $\pi_{j_{l_{1}}},\pi_{j_{l_{2}}},\ldots,\pi_{j_{l_{\delta}}}$ . Din aceste constatări, rezultă următoarele :
$1^{\circ}$ . Oricare ar fi valoarea parametrului $\varepsilon$ , functiile $y_{0}(x)$ şi $\varepsilon\bar{\eta}(x)$ iau valori egale în punctele $x_{j_{l_{1}}},x_{j_{l_{2}}},\ldots,x_{j_{l_{\delta}}}$ , coincidența avînd loc respectiv pînă la derivatele lor de ordin

\begin{gathered}p_{j_{1}}^{**}-1,p_{j_{2}}^{**}-1,\ldots\\ \ldots,p_{j_{l}}^{**}-1\end{gathered}

Deci curbele $(\Gamma)$ şi $\left(\Gamma_{\varepsilon}\right)$ vor prezenta în aceste puncte, contacte de tangenţă respectiv de ordine $p_{j_{1}}^{**}-1,p_{j_{2}}^{**}-1,\ldots,p_{j_{l_{\delta}}}^{**}-1$ .
$2^{\circ}$ . Dacă parametrul $\varepsilon>0$ este suficient de mic, atunci functiile $y_{0}(x)$ şi $\varepsilon\bar{\eta}(x)$ vor mai lua valori egale în încă $2\delta$ puncte, situate cîte două în vecinătăţi suficient de mici ale numerelor $x_{j_{1}},x_{j_{l_{2}}},\ldots,x_{j_{l_{\delta}}}$ . Vom nota abscisele acestor puncte de intersectie, respectiv cu $\bar{x}_{j_{l_{1}}},\bar{x}_{j_{l_{1}}},\bar{x}_{j_{l_{2}}},\overline{\bar{x}}_{j_{l_{2}}},\ldots,\bar{x}_{j_{\delta}},\overline{\bar{x}}_{j_{\delta}}$ (fig. 7 sau 8). Această afirmație se bazează pe următoarea lemă:

Le m a 8. Dacă două functii $f(x)$ și $g(x)$ definite intr-un interval $(a,b)$ , au următoarele proprietăți :
$1^{\circ}$ . admit in $(a,b)$ derivate continue de ordinul $p$ respectiv $p+2k$ , unde $k\geqq 1$ ,
$2^{\circ}$ . posedå in intervalul ( $a,b$ ) o rădăcină comună $x_{0}$ , care pentru $f(x)$ este multiplă de ordinul $p$ , iar pentru $g(x)$ este multiplă de ordinul $p+2k$ ,
$3^{\circ}.\operatorname{sgn}\left\{f^{(p)}\left(x_{0}\right)\right\}=\operatorname{sgn}\left\{g^{(p+2k)}\left(x_{0}\right)\right\}\neq 0$ .
In aceste conditii, fiind dată o vecinătate ( $x_{0}-\delta,x_{0}+\delta$ ), continută in intervalul ( $a,b$ ), pentru această vecinătate există un prag $E>0$ , astfel incît dacă parametrul e satisface inegalitătile $0<\varepsilon<E$ , atunci functiile $\varepsilon/(x)$ și $g(x)$ iau valori comune în cel putin 3 puncte distincte din vecinătatea $\left(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta\right)$ considerată. Unul dintre aceste puncte este $x_{0}$ , în care curbele corespunzătoare prezintă între ele un contact de tangentă de ordinul $p-1$ , iar în celelalte două puncte de intersectie curbele se traversează reciproc.

Demonstratia acestei leme se face cu uşurință, dezvoltînd funcțiile $\varepsilon f(x)$ și $g(x)$ cu formula lui Taylor în punctul $x_{0}$ .

Revenind la demonstrația lemei 7, să considerăm funcția $\widetilde{y}_{\mathbf{e}}(x)=y_{0}(x)-$ - $\varepsilon\bar{\eta}(x)$ , care reprezintă evident o integrală a ecuației diferențiale (1) şi care nu este identic nulă în intervalul ( $a,b$ ), întrucît - după cum s-a arătat anterior - funcțiile $y_{0}(x)$ şi $\varepsilon\bar{\eta}(x)$ nu pot să coincidă identic în intervalul $(a,b)$ , oricare ar fi valoarea pe care o ia parametrul $\varepsilon$ . T, Tinînd seamă de constatările anterioare, privitoare la comportarea curbelor $(\Gamma)$ și ( $\Gamma_{\varepsilon}$ ) între ele, ajungem în baza lemei 8 la următoarea concluzie. Dacă parametrul $\varepsilon$ ia valori pozitive, inferioare unui anumit prag $E$ , atunci integrala $\widetilde{y}_{\varepsilon}(x)$ se anulează pentru următoarele valori distincte ⁶ ) din intervalul $(a,b)$ :

	$\displaystyle\bar{x}_{i_{1}},\overline{\bar{x}}_{i_{1}},\bar{x}_{i_{2}},\overline{\bar{x}}_{i_{2}},\ldots\ldots,\bar{x}_{i_{a}},\bar{x}_{i_{\alpha}}$
	$\displaystyle x_{j_{k_{1}}},x_{j_{k_{2}}},\ldots,x_{j_{k_{\gamma}}}$		(42)
	$\displaystyle\bar{x}_{j_{l_{1}}},\bar{x}_{j_{l_{1}}},\bar{x}_{j_{l_{2}}},\bar{x}_{j_{l_{2}}},\ldots,\bar{x}_{j_{l_{\delta}}},\bar{x}_{j_{l_{\delta}}}$
	$\displaystyle x_{j_{l_{1}}},x_{j_{l_{2}}},\ldots,x_{l_{l_{\delta}}}$

Rădăcinile care ază în ultimul șir din (42), au relativ la funcția $\tilde{y}_{\varepsilon}(x)$ , respectiv ordinele $p_{j_{l_{1}}}^{**},p_{j_{l_{2}}}^{**},\ldots,p_{j_{l_{\delta}}}^{**}$ . T, inînd seamă de (39), rezultă că aceste ordine sînt cel mult egale cu numărul $k-1$ .

Se constată apoi că numărul total al condițiilor de anulare a integralei $\tilde{y}_{k}(x)$ , corespunzătoare rădăcinilor din (42), este mai mare sau cel puțin egal cu suma :

N=2\alpha+\gamma+2\delta+p_{j_{l_{1}}}^{**}+p_{j_{l_{2}}}^{**}+\ldots+p_{j_{l_{\delta}}}^{**}

(43)

⁰⁰footnotetext: ⁶ ) Valorile scrise in primul şi al treilea şir depind de

\varepsilon

Vom arăta că această sumă este mai mare sau cel puțin egală cu n. Într-adevăr, ţinînd seamă de faptul că numerele $p_{i_{1}}^{**},p_{i_{2}}^{**},\ldots,p_{i_{\alpha}}^{**}$ sînt toate egale cu zero (prin ipoteză), rezultă din (36) că numerele $p_{i_{1}}^{*},p_{i_{2}}^{*},\ldots,p_{i_{\alpha}}^{*}$ sînt toate egale cu 2, și apoi din (35) - că numerele $p_{i_{1}},p_{i_{2}},\ldots,p_{i_{\alpha}}$ sînt mai mici sau cel mult egale cu 2. Din această ultimă afirmație rezultă inegalitatea

2\alpha\geqq p_{i_{1}}+p_{i_{2}}+\ldots+p_{i_{\alpha}}.

(44)

În continuare, din (41) rezultă egalitatea:

\gamma=p_{j_{k_{1}}}+p_{j_{k_{2}}}+\ldots+p_{j_{k_{\gamma}}}

(45)

și în sfîrşit, din (36) rezultă inegalităţile:

p_{j_{l_{1}}}^{**}\geqq p_{j_{l_{1}}}^{*}-2,\quad p_{j_{l_{2}}}^{**}\geqq p_{j_{l_{2}}}^{*}-2,\ldots,p_{j_{l_{\delta}}}^{**}\geqq p_{j_{l_{\delta}}}^{*}-2.

(46)

Adunînd membru cu membru inegalitățile (46), obținem :

2\delta+p_{j_{l_{1}}}^{**}+p_{j_{l_{2}}}^{**}+\ldots+p_{j_{l_{\delta}}}^{**}\geqq p_{j_{l_{1}}}^{*}+p_{j_{l_{2}}}^{*}+\ldots+p_{j_{l_{\delta}}}^{*}

(47)

Apoi, tinînd seamă de inegalitățile $p_{i}^{*}\geqq p_{i}(i=1,2,\ldots,m)$ , care rezultă din (35), se deduce din (47) inegalitatea:

2\delta+p_{j_{1}}^{**}+p_{j_{1}}^{**}+\ldots+p_{j_{l}}^{**}\geqq p_{j_{l_{1}}}+p_{j_{l_{2}}}+\ldots+p_{j_{l_{\delta}}}.

(48)

Adunînd membru cu membru inegalitățile (44), (45), (48) obținem inegalitatea:

	$\displaystyle N\geqq\left(p_{i_{1}}+p_{i_{2}}+\cdots+p_{i_{\alpha}}\right)+\left(p_{j_{k_{1}}}+p_{j_{k_{2}}}+\ldots+p_{j_{k_{\gamma}}}\right)+$
	$\displaystyle+\left(p_{j_{l_{1}}}+p_{j_{l_{2}}}+\ldots+p_{j_{l_{\delta}}}\right).$		(49)

Cum însă printre indicii $i_{1},i_{2},\ldots,i_{\alpha};j_{k_{1}},j_{k_{2}},\ldots,j_{k_{\gamma}};j_{l_{1}},j_{l_{2}},\ldots,j_{l_{\delta}}$ , figurează fiecare din indicii $1,2,\ldots,m$ , o dată și numai o dată, rezultă că expresia din membrul doi al inegalității (49) reprezintă suma numerelor $p_{i}$ corespunzătoare tuturor rădăcinilor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ considerate, ale integralei $y_{0}(x)$ .

Astfel inegalitatea (49) se transcrie:

N\geqq p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}.

(

\prime

)

Conform însă primei relații din (28), rezultă că suma din membrul drept al inegalității ( $49^{\prime}$ ) este egală cu numărul $n$ , astfel că inegalitatea (49) devine $N\equiv n$ , sau, t,inînd seamă de (43):

N=2\alpha+\gamma+2\delta+p_{j_{l_{1}}}^{**}+p_{j_{l_{2}}}^{**}+\ldots+p_{j_{\delta}}^{**}\geqq n.

(50)

In definitiv se obține următorul rezultat:
Integrala neidentic nulă $\widetilde{y}(x)$ a ecuației diferențiale (1), se anulează în intervalul ( $a,b$ ), cel puțin pentru valorile indicate în tabloul (42) - toate
aceste valori fiind distincte. Rădăcinile $x_{j_{l_{1}}},x_{j_{l_{2}}},\ldots,x_{j_{l_{\delta}}}$ care figurează în ultimul șir din (42), au relativ la integrala $\widetilde{y}_{\mathrm{e}}(x)$ , ordinele de multiplicitate, respectiv $p_{j_{l_{1}}}^{**},p_{j_{l_{2}}}^{**},\ldots,p_{j_{l_{\delta}}}^{**}$ , satisfăcînd inegalitatea

\max\left\{p_{j_{l_{1}}}^{**},p_{j_{l_{2}}}^{**},\ldots,p_{j_{l_{\delta}}}^{**}\right\}\leqq k-1

care rezultă din (39). Celelalte rădăcini ale integralei $\widetilde{y}_{\varepsilon}(x)$ , care figurează în tabloul (42), au ordine mai mari sau cel puțin egale cu 1. Are loc de asemenea inegalitatea (50).

Ținînd seamă de lema 1, aceste rezultate obținute cu privire la integrala $\tilde{y}_{e}(x)$ sînt în contradictie cu ipoteza că familia $Y_{n}$ posedă proprietățile $I_{n}^{(1)}(a,b),I_{n}^{(2)}(a,b),\ldots,I_{n}^{(k-1)}(a,b)$ .

Rezultă în definitiv că dacă familia $Y_{n}$ are proprietăţile (33), atunci $Y_{n}$ are şi proprietatea $I_{n}^{(k)}(a,b)$ .

În continuare, vom demonstra următoarea lemă:
Le m a 9. Dacă familia $Y_{n}$ are toate proprietățile indicate în (33), atunci acea familie are şi proprietatea $P_{n}^{(k)}(a,b)$ .

Demonstratie. Fie $y_{0}(x)$ o integrală neidentic nulă în $(a,b)$ , a ecuației diferentiale (1), care în $m$ puncte distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ din intervalul ( $a,b$ ), satisface condițiile (29) și (30). Să notăm cu $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}$ ordinele de multiplicitate ale rădăcinilor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ ale integralei $y_{0}(x)$ . Vrem să demonstrăm că în ipoteza că $Y_{n}$ are proprietățile (33), au loc relațiile (31), adică egalitățile

\pi_{1}=p_{1},\pi_{2}=p_{2},\ldots,\pi_{m}=p_{m}

Observăm de la început că integrala $y_{0}(x)$ considerată, nu poate avea în intervalul ( $a,b$ ) alte rădăcini, în afară de $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ , întrucît în caz contrar s-ar contrazice afirmația lemei 7. Vom presupune în cele ce urmează că $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ .

Cu aceste precizări, vom demonstra întîi că :

\left.\begin{array}[]{l}\text{ In ipotezele adoptate, numerele }\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}\quad\text{ şi }\\ p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}\text{ sînt respectiv de aceeaşi paritate. }\end{array}\right\}

In acest scop, considerăm integrala $\widetilde{y}_{\varepsilon}(x)=y_{0}(x)-\varepsilon\bar{\eta}(x)$ , unde $y_{0}(x)$ este integrala aleasă anterior, iar $\bar{\eta}(x)$ este tot o integrală a ecuatiei diferentiale (1), construită relativ la rădăcinile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ ale integralei $y_{0}(x)$ , după procedeul utilizat anterior în demonstrat,ia lemei 7. Vom tine totuși seamă de următoarele deosebiri referitoare la integrala $y_{0}(x)$ , care au loc în cazul prezentei leme.

Întîi, este de remarcat că în locul primei egalități din (28), se consideră în cazul de faţă egalitatea $p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}=n-1$ , după cum se
indică în (30). Apoi, din a doua relație (30) rezultă că cel puțin unul din numerele $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ este egal cu numărul $k$ . Aici, spre deosebire de cazul lemei 7, vom lua în considerație și cazul cînd numai unul din numerele $p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}$ este egal cu numărul $k$ , toate celelalte fiind mai mici decît $k$ .

Intrucît prin ipoteză avem $k>2$ , rezultă, ținînd seamă de (35) și (36), că cel puțin pentru unul din indicii $i$ , are loc inegalitatea strictă $p_{i}^{**}<p_{i}$ . De aici, t,tinînd seama de inegalitățile $p_{i}^{**}\leqq p_{i},(i=1,2,\ldots,m)$ , care rezultă tot din (35) și (36), și apoi de prima relație din (30), deducem inegalitatea $\sum_{i=1}^{m}p_{i}^{**}\leqq n-2$ , din care rezultă în $\bmod$ evident inegalitatea:

v=p_{j_{1}}^{**}+p_{j_{2}}^{**}+\ldots+p_{j_{\beta}}^{**}\leqq n-2

(52)

Această inegalitate este analoagă inegalității ( $37^{\prime}$ ), stabilită cu ocazia demonstrării lemei 7. Intocmai ca acolo, se aleg după voie $n-v-1$ noduri distincte $\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n-v-1}$ din intervalul ( $x_{m},b$ ). Tinînd seamă de (52), numărul acestor noduri suplimentare satisface inegalitatea $n-v-1\geqq 1$ . Pentru cele ce vor urma, este util să relevăm faptul că integrala $y_{0}(x)$ , nu se poate anula pentru nici una din valorile $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-\nu-1}$ alese, întrucît - după cum s-a arătat anterior - această integrală nu are în intervalul ( $a,b$ ) alte rădăcini în afară de $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ .

În continuare, vom considera o integrală neidentic nulă $\eta(x)$ , care să satisfacă condițiile (38) referitoare la rădăcinile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ ale integralei $y_{0}(x)$ , și referitoare la nodurile $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-\nu-1}$ alese. Ca și în cazul lemei 7 , se arată că în ipotezele adoptate, cel puțin una din integralele $\eta(x)$ sau $-\eta(x)$ va avea acelaşi semn ca și $y_{0}(x)$ în vecinătăți suficient de mici ale punctelor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ , eventual cu except,ia mijloacelor acestor vecinătăți. Notînd cu $\bar{\eta}(x)$ pe aceea care satisface acest deziderat, vom considera $\tilde{y}_{\varepsilon}(x)=y_{0}(x)-\varepsilon\bar{\eta}(x)$ . Se constatată de asemenea că oricare ar fi valoarea parametrului $\varepsilon$ , funcțiile $y_{0}(x)$ și $\varepsilon\bar{\eta}(x)$ nu pot fi egale identic în intervalul ( $a,b$ ), și deci integrala $\widetilde{y}_{\varepsilon}(x)$ nu poate fi identic nulă în acest interval. Tot ca și în demonstrația lemei 7, se arată că dacă parametrul $\varepsilon$ este pozitiv și inferior unui anumit prag, atunci integrala $\tilde{y}_{e}(x)$ se va anula în nişte puncte distincte din intervalul ( $a,b$ ), indicate în tabloul (42). Rădăcinile care figurează în ultimul șir din (42), au relativ la integrala $\tilde{y}_{\mathrm{e}}(x)$ , ordinele de multiplicitate $p_{j_{1}}^{**},p_{j_{1}}^{**},\ldots,p_{j_{1}}^{**}$ . După cum rezultă din (39), aceste ordine satisfac relaţia

\max\left\{p_{j_{l_{1}}}^{**},p_{j_{l_{2}}}^{**},\ldots,p_{j_{l_{\delta}}}^{**}\right\}\leqq k-1

(53)

Se constată că numărul condițiilor de anulare a integralei $\widetilde{y}_{8}(x)$ , corespunzătoare rădăcinilor scrise în tablou1 (42), este cel puțin egal cu suma

N=2\alpha+\gamma+2\delta+p_{j_{1}}^{**}+p_{j_{1}}^{**}+\ldots+p_{j_{l}}^{**}

(54)

3 - Studii și cercetări de matematică

Se arată, la fel ca în demonstrația lemei 7, că au loc inegalitățile (44), (45), (46), (47), (48), (49), precum și inegalitatea

N\equiv p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}

(55)

care este analoagă inegalității ( $49^{\prime}$ ). Din acestă ultimă inegalitate, ținînd seamă de prima relație din ( 30 ), obținem inegalitatea

N\geqq n-1

(56)

Trecem acum la demonstrarea efectivă a proprietății (51). Presupunem prin absurd contrariu, că printre rădăcinile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ ale integralei $y_{0}^{\prime}(x)$ , ar exista cel puțin o rădăcină $x_{\tau}$ pentru care numerele $p_{\tau}$ și $\pi_{\tau}$ corespunzătoare ar fi de parității diferite.

Ținînd seamă de relația de definiție (35), rezultă că

p_{\mathrm{r}}^{*}=p_{\mathrm{r}}+1

(57)

şi întrucît $p_{\tau}\geqq 1$ , rezuîtă din (57) că $p_{\tau}^{*}\geqq 2$ , şi apoi din (36) că

p_{\tau}^{**}=p_{\tau}^{*}-2=p_{\tau}-1

(58)

Se pot prezenta următoarele două cazuri, după cum $p_{\tau}^{**}=0$ sau $p_{\tau}^{**}>0$ .
Cazul 1: $p_{\mathrm{r}}^{**}=0$ . În acast caz, din (58) se deduce egalitatea

p_{\tau}=1

(59)

Pe de altă parte, întrucît am presupus că $p_{\tau}^{**}=0$ , rezultă că indicele $\tau$ reprezintă unul din indicii $i_{1},i_{2},\ldots,i_{a}$ . Apoi t,inînd seamă de faptul că numerele $p_{i_{1}}^{**},p_{i_{2}}^{**},\ldots,p_{i_{\alpha}}^{**}$ sînt toate egale cu zero, rezultă din (36) că numerele $p_{i_{1}}^{*},p_{i_{2}}^{*},\ldots,p_{i_{\alpha}}$ sînt toate egale cu 2 , și din (35) - că numerele $p_{i_{1}},p_{i_{2}},\ldots$ …, $p_{i_{\alpha}}$ sînt mai mici sau cel puțin egale cu 2 . De aici, ținînd seamă și de egalitatea (59), rezultă inegalitatea strictă

2\alpha>p_{i_{1}}+p_{i_{2}}+\ldots+p_{i_{a}}

(60)

analoagă inegalității (44), cu deosebirea că în locul semnului $\geqq$ , figurează în cazul de faţă semnul inegalității stricte.

Urmînd raționamentul care ne-a condus de la egalitatea (43) la inegalitatea (49’), ajungem la concluzia că în cazul de față, datorită inegalității stricte (60), în relația (49’) va figura semnul inegalității stricte, în locul semnului $\geqq$ . Astfel se va obține în definitiv inegalitatea strictă $N>p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}$ , din care, t,inînd seama de prima relaţie din (30), va rezulta inegalitatea

N>n-1

(61)

care ne arată că numărul condíțiilor de anulare pe care le satisface integrala neidentic nulă $\tilde{y}_{\varepsilon}(x)$ , referitor la rădăcinile indicate în tabloul (42), este mai mare sau cel puțin egal cu $n$ . În același timp însă, are loc și relația
(53). Conform lemei 1, această situație este în contradicţie cu proprietăt,ile $I_{n}^{(1)}(a,b),I_{n}^{(2)}(a,b),\ldots,I_{n}^{(k-1)}(a,b)$ ale familiei $Y_{n}$ , presupuse adevărate prin ipoteză.

Cazul 2: $p_{r}^{**}\geqq 1$ . In acest caz, din (58) deducem că $p_{r}\geqq 2$ şi de aici, a fortiori, inegalitatea $\pi_{\tau}\geqq 2$ . Conform precizărilor anterioare, rezultă că indicele $\tau$ reprezintă unul din indicii $j_{l_{1}},j_{l_{2}},\ldots,j_{l_{8}}$ . Apoi, în altă ordine de idei, tinînd seamă de egalitatea (57), precum și de inegalitățile $p_{i}^{*}\geqq p_{i}(i=1,2,\ldots,m)$ , care rezultă din (35), deducem prin adunare membru cu membru a inegalităților (46), următoarea inegalitate strictă:

2\delta+p_{j_{l_{1}}}^{**}+p_{j_{l_{2}}}^{**}+\ldots+p_{j_{l_{\delta}}}^{**}>p_{j_{l_{1}}}+p_{j_{l_{2}}}+\ldots+p_{j_{l_{\delta}}}

(62)

analoagă cu inegalitatea (48).
Urmînd rationamentul care ne-a condus de la egalitatea (43) la inegalitatea (49’), ajungem la concluzia că datorită inegalității stricte (62), va avea loc în locul inegalității (49’), inegalitatea strictă $N>p_{1}+p_{2}++\ldots+p_{m}$ , şi în baza primei relații din (30)-inegalitatea strictă $N>n-1$ . Această inegalitate ne arată că numărul condițiilor de anulare pe care le satisface integrala neindentic nulă $\tilde{y}_{e}(x)$ , referitor la rădăcinile indicate în tabloul (42), este cel puțin egal cu $n$ . Însă în acelaşi timp, are loc şi relația (53). Această circumstanță este în contradicție cu proprietățile $I_{n}^{(1)}(a,b)$ , $I_{n}^{(2)}(a,b),\ldots,I_{n}^{(k-1)}(a,b)$ ale familiei $Y_{n}$ , presupuse adevărate prin ipoteză.

În concluzie, întrucît cele două cazuri epuizează toate cazurile posibile relative la $p_{\tau}^{**}$ , rezultă din examinarea lor proprietatea (51), q.e.d.

În continuare, considerăm o integrală neidentic nulă $y_{0}(x)$ , a ecuației (1), care în $m$ puncte distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ din intervalul ( $a,b$ ), satisface condițiile (29) și (30). Notăm respectiv cu $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}$ ordinele de multiplicitate ale rădăcinilor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ ale integralei $y_{0}(x)$ . Vom demonstra următoarea proprietate:

Dacă familia $Y_{n}$ are proprietățile (33), atunci în ipoteza că inte- ) grala $y_{0}(x)$ satisface conditiile (29) și (30), rezultă că această integrală satisface relațiile (31).

Pentru à demonstra această proprietate, să presupunem prin absurd că $y_{0}(x)$ nu ar satisface relațiile (31). Atunci, cel puțin pentru una din rădăcinile $x_{i}(i=1,2,\ldots,m)$ , va avea loc inegalitatea strictă $\pi_{i}>p_{i}$ . Pentru fixarea ideilor, vom presupune că această rădăcină corespunde indicelui 1, adică

\pi_{1}>p_{1}

(68)

În aceste ipoteze, observăm de la început că dacă $p_{1}<k$ , atunci, tinînd seamă de (68), vom putea considera referitor la rădăcina $x_{1}$ , în locul numărului $p_{1}$ , numărul $p_{1}+1$ (care este mai mic sau cel mult egal cu $k$ ),
și prin această înlocuire, suma ce figurează în prima relație din (30) va fi egală cu $n$ . Astfel, conform lemei 1, s-ar contrazice proprietatea $I_{n}^{(k)}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ , proprietate asigurată de lema 7.

Rezultă în definitiv inegalitatea $p_{1}\geqq k$ , şi cum prin ipoteză are loc a doua relaţie din (30), rezultă egalitatea

p_{1}=k.

(69)

Ținînd seamă de relațiile (68) și (69), rezultă inegalitatea strictă $\pi_{1}>k$ și apoi, t,inînd seamă de proprietatea (51) stabilită anterior, va rezulta inegalitatea

\pi_{1}\geqq k+2.

(70)

In ceea ce priveşte numărul $k$ , observăm că neapărat trebuie să aibă loc inegalitatea

k\leqq n-3,

(71)

întrucît, în caz contrar, adică în cazul $k>n-3$ , ar rezulta din (70) că $\pi_{1}>n-1$ și deci că $x_{1}$ este o rădăcină multiplă de ordin cel puțin egal cu $n$ pentru integrala $y_{0}(x)$ . Acest rezultat ar fi însă incompatibil cu ipoteza că $y_{0}(x)$ nu este identic nulă în intervalul ( $a,b$ ).

Referitor la ordinele $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}$ , vom distinge următoarele două cazuri.

\text{ Cazul }1:\pi_{1}\geqq k+2;\quad\pi_{2}=\pi_{3}=\ldots=\pi_{m}=1,\quad(2<k\leqq n-3).

In acest caz, în fiecare din punctele $x_{2},x_{3},\ldots,x_{m}$ curba de ecuatie $y=y_{0}(x)$ va traversa axa $Ox$ , întrucît funcția $y_{0}(x)$ îşi schimbă semnul în aceste puncte. Fie $\varepsilon$ un număr real nenul și fie $\mu_{\varepsilon}(x)$ integrala ecuației (1), care satisface în punctul $x_{1}$ următoarele condiții ale lui Cauchy :

	$\displaystyle\mu_{\varepsilon}\left(x_{1}\right)=y_{0}\left(x_{1}\right)=0;\quad\mu_{\varepsilon}\left(x_{1}\right)=y_{0}^{\prime}\left(x_{1}\right)=0;\ldots$
	$\displaystyle\ldots,\mu_{\varepsilon}^{(k)}\left(x_{1}\right)=y_{0}^{(k)}\left(x_{1}\right)=0;\quad\mu_{\varepsilon}^{(k+1)}\left(x_{1}\right)=\varepsilon;$		(72)
	$\displaystyle\mu_{\varepsilon}^{(k+2)}\left(x_{1}\right)=y_{0}^{(k+2)}\left(x_{1}\right);\ldots,\quad\mu_{\varepsilon}^{(n-1)}\left(x_{1}\right)=y_{0}^{(n-1)}\left(x_{1}\right).$

Spus în cuvinte, integrala $\mu_{\varepsilon}(x)$ satisface în punctul $x_{1}$ aceleași condiții ale lui Cauchy ca și $y_{0}(x)$ , cu excepția derivatei de ordinul $k+1$ , care ia valoarea $\varepsilon\neq 0$ în cazul functiei $\mu_{\varepsilon}(x)$ , pe cînd în cazul integralei $y_{0}(x)$ această derivată ia valoarea zero.

Dacă parametrul $\varepsilon$ este mic în valoare absolută, atunci conditiile lui Cauchy pe care le satisface integrala $\mu_{\varepsilon}(x)$ sînt apropiate de condițiile 1ui Cauchy, pe care le satisface $y_{0}(x)$ , și dacă $\varepsilon$ tinde către zero atunci $\mu_{\varepsilon}(x)$ va tinde uniform către $y_{0}(x)$ în orice interval închis $\left[a_{1},b_{1}\right]$ , conținut în ( $a,b$ ).

Intrucît curba de ecuatie $y=y(x)$ traversează axa $Ox$ în punctele $x_{2},x_{3},\ldots,x_{m}$ , rezultă că oricît de mici s-ar alege niște vecinătăţi ale acestor rădăcini, va exista pentru ele un prag $E$ , astfel încît oricare ar fi numărul $\varepsilon$
satisfăcînd inegalitățile $0<\varepsilon<E$ , curba integrală $y=\mu_{\varepsilon}(x)$ corespunzătoare numărului $\varepsilon$ astfel ales, să traverseze axa $Ox$ în fiecare din vecinătățile alese în cîte un punct. Vom nota abscisele acestor puncte de intersectie cu $\bar{x}_{2},\bar{x}_{3},\ldots,\bar{x}_{m}$ . In plus, după cum se constată din relatiile (72), integrala $\mu_{\varepsilon}(x)$ mai admite rădăcina $x_{1}$ , cu ordinul de multiplicitate $k+1$ . Rezultă deci că integrala $\mu_{\varepsilon}(x)$ are în intervalul ( $a,b$ ) rădăcina $\bar{x}_{1}=x_{1}$ multiplă de ordinul $k+1$ și alte $m-1$ rădăcini distincte $\bar{x}_{2},\bar{x}_{3},\ldots,\bar{x}_{m}$ , diferite de $x_{1}$ şi avînd ordine impare de multiplicitate. Pentru aceste $m$ rădăcini $\bar{x}_{1},\bar{x}_{2},\ldots,\bar{x}_{m}$ ale integralei $\mu_{\varepsilon}(x)$ , sînt satisfăcute condițiile (29) şi (30), relativ la integrala $\mu_{\varepsilon}(x)$ cu numerele $\bar{p}_{1}=k,\bar{p}_{2}=\bar{p}_{3}=\ldots=\bar{p}_{m}=1$ , aceasta întrucît au loc egalitățile $\bar{p}_{1}=p_{1},\bar{p}_{2}=p_{2},\ldots,\bar{p}_{m}=p_{m}$ , care rezultă din (69), precum şi din ipoteza $\pi_{2}=\pi_{3}=\ldots=\pi_{m}=1$ , specifică cazului considerat. Insă ordinul de multiplicitate al rădăcinii $x_{1}$ relativ la integrala $\mu_{\varepsilon}(x)$ este prin ipoteză $\bar{\pi}_{1}=k+1$ , după cum arată egalitatea (72). Rezultă deci că pentru rădăcina $x_{1}$ a integralei $\mu_{\varepsilon}(x)$ , numerele $\bar{p}_{1}=k$ și $\pi_{1}=k+1$ sînt de parități diferite. Acest rezultat contrazice însă proprietatea (51) stabilită anterior. Contradicția provine din ipoteza falsă (68). Prin înlăturarea ei, rezultă afirmația (67), q.e.d.

Cazul $2:\pi_{1}\geqq k+2;\quad\max\left\{\pi_{2},\pi_{3},\ldots,\pi_{m}\right\}\geqq 2;(2<k<n-2)$ .
Întocmai ca mai sus, vom presupune prin absurd că cel puțin pentru una din rădăcinile $x_{i},(i=1,2,\ldots,m)$ , are loc inegalitatea $\pi_{i}>p_{i}$ . Pentru fixarea ideilor, vom presupune că această rădăcină este $x_{1}$ , adică are loc inegalitatea (68).

Vom asocia numerelor $p_{2},p_{3},\ldots,p_{m}$ (cu excepția lui $p_{1}=k$ ), respectiv numerele $p_{2}^{**},p_{3}^{**},\ldots,p_{m}^{**}$ definite de relațiile (35) şi (36). Din aceste relații și din proprietatea (51) stabilită anterior, rezultă :

p_{i}^{**}=\left\{\begin{array}[]{ll}p_{i}-2,&\text{ dacă }p_{i}>1\\ p_{i},&\text{ dacă }p_{i}=1\end{array}\quad(i=2,3,\ldots,m).\right.

Să arătăm că în ipotezele adoptate, cel puțin pentru unul din indicii $i=2,3,\ldots,m$ are loc egalitatea $p_{i}^{**}=p_{i}-2$ . Intr-adevăr, t,inînd seamă de (73), va fi suficient să arătăm că cel puțin unul dintre numerele $p_{2},p_{3},\ldots,p_{m}$ este mai mare ca numărul 1 , adică

\max\left\{p_{2},p_{3},\ldots,p_{m}\right\}\geqq 2.

(

\prime

)

Să presupunem prin absurd că $p_{2}=p_{3}=\ldots=p_{m}=1$ . De aici, conform proprietății $I_{n}^{(k)}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ (proprietate stabilită de lema 7), rezultă neapărat egalităt, $\pi_{2}=\pi_{3}=\ldots=\pi_{m}=1$ , care contrazic ipoteza $\max\left\{\pi_{2},\pi_{3},\ldots,\pi_{m}\right\}\geqq 2$ , specifică cazuluí considerat. Rezultă deci că cel puțin pentru unul dintre indicii $i=2,3,\ldots,m$ are loc egalitatea $p_{i}^{**}=p_{i}-2$ . De aici şi din (73) rezultă inegalitatea

\nu=p_{1}+\sum_{i=2}^{m}p_{i}^{**}\leqq p_{1}+\left(\sum_{i=2}^{m}p_{i}\right)-2.

(74)

Tinînd seamă de egalitatea $p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{m}=n-1$ din (30), rezultă din (74) inegalitatea

v=p_{1}+\sum_{i=2}^{m}p_{i}^{**}\leqq n-3.

(75)

Presupunînd că rădăcinile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ ale integralei $y_{0}(x)$ considerate, satisfac inegalităţile

x_{1}<x_{2}<\ldots\ldots<x_{m}

(76)

vom alege în intervalul ( $x_{m},b$ ), $n-v-1$ noduri distincte

\xi_{1},\xi_{2},\ldots\ldots,\xi_{n-v-1}.

(77.)

Trinînd seamă de (75), rezultă inegalitatea $n-v-1\geqq 2$ , care ne arată că mulţimea nodurilor suplimentare (77) nu este vidă.

Fie acum $\eta(x)$ o integrală neidentic nulă a ecuației (1), care să satisfacă următoarele condiții :

	$\displaystyle\eta\left(x_{1}\right)=\eta^{\prime}\left(x_{1}\right)=\ldots\ldots=\eta^{(k-1)}\left(x_{1}\right)=0$
	$\displaystyle\eta\left(x_{2}\right)=\ldots\ldots=\eta^{\left(p_{2}^{**}-1\right)}\left(x_{2}\right)=0$
	$\displaystyle\eta\left(x_{3}\right)=\ldots\ldots=\eta^{\left(p_{3}^{**}-1\right)}\left(x_{3}\right)=0$		(78)
	$\displaystyle\eta\left(x_{m}\right)=\ldots\ldots=\eta^{\left(p_{m}^{**}-1\right)}\left(x_{m}\right)=0$
	$\displaystyle\eta\left(\xi_{1}\right)=\eta\left(\xi_{2}\right)=\ldots\ldots=\eta\left(\xi_{n-\nu-1}\right)=0.$

Dintre aceste conditii, acelea care corespund numerelor $x_{i}$ pentru care $p_{i}^{**}=0$ , nu au sens și în consecință vom face abstracție de ele. Ținînd seamă de (69) și (74), se constată că numărul condițiilor de anulare din (78) este egal cu

k+\left(\sum_{i=2}^{m}p_{i}^{**}\right)+n-v-1=v+(n-v-1)=n-1.

(79)

Mai observăm că cel mai înalt ordin de derivare care intervine în (78) este egal cu numărul $k-1$ , ceea ce rezultă din (73) și din a doua relație din (30). Conform proprietății $I_{n}^{(k)}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ (stabilită în lema 7), rezultă existența unei astfel de integrale neidentic nule $\eta(x)$ , care să satisfacă condițiile (78).

Vom împărţi mulțimea rădăcinilor $x_{2},x_{3},\ldots,x_{m}$ în două categorii, precum urmează: Notăm cu $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ acele rădăcini $x_{i}$ , pentru care numărul $p_{i}$ corespunzător satisface egalitatea $p_{i}=1^{7}$ ), și cu $x_{j_{1}},x_{j_{2}}$ , $\ldots,x_{j_{\beta}}$ acele rădăcini $x_{j}$ , pentru care numărul corespunzător $p_{j}$ satisface

⁰⁰footnotetext: ⁷ ) Mulțimea acestor rădăcini ar putea să fie vidă.

inegalitatea, $p_{j}>1$ . Evident că $\alpha+\beta=m-1$ , întrucît nu s-a luat în seamă rădăcina $x_{1}$ . Ținînd seamă de formulele (73), obținem egalitățile

	$\displaystyle p_{i_{1}}^{}=p_{i_{1}}=1;\quad p_{i_{2}}^{}=p_{i_{2}}=1;\ldots;\quad p_{i_{a}}^{**}=p_{i_{a}}=1$
	$\displaystyle p_{j_{1}}^{}=p_{j_{1}}-2;\quad p_{j_{2}}^{}=p_{j_{2}}-2;\ldots;\quad p_{j_{\beta}}^{**}=p_{j_{\beta}}-2.$		(80)

Din aceste egalități, ținînd seamă de a doua relație din (30), rezultă relatia

\max\left\{p_{i_{1}}^{**},p_{i_{2}}^{**},\ldots,p_{i_{\alpha}}^{**};\quad p_{j_{1}}^{**},p_{j_{2}}^{**},\ldots,p_{j_{\beta}}^{**}\right\}\leqq k-2.

(81)

Vom arăta acuma că au loc relațiile :

	$\displaystyle\eta^{\left(p_{i_{1}}^{}\right)}\left(x_{i_{1}}\right)\neq 0,\quad\eta^{\left(p_{i_{2}}^{}\right)}\left(x_{i_{2}}\right)\neq 0,\ldots,\eta^{\left(p_{i_{\alpha}}^{**}\right)}\left(x_{i_{\alpha}}\right)\neq 0$		(82)
	$\displaystyle\eta^{\left(p_{j_{1}}^{}\right)}\left(x_{j_{1}}\right)\neq 0,\quad\eta^{\left(p_{j_{2}}^{}\right)}\left(x_{j_{2}}\right)\neq 0,\ldots,\eta^{\left(p_{j_{\beta}}^{*}\right)}\left(x_{j_{\beta}}\right)\neq 0.$

Într-adevăr, neîndeplinirea unei relații oarecare din (82) ar contrazice proprietatea $I_{n}^{(k)}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ (adevărată în baza lemei 7), deoarece numărul condițiilor de anulare din (78), pe care le verifică integrala neidentic nulă $\eta(x)$ , este egal cu $n-1$ , și deoarece are loc relația (81). Ţinînd seamă de (80), relațiile (82) se transcriu:

	$\displaystyle\eta^{\prime}\left(x_{i_{1}}\right)\neq 0,\quad\eta^{\prime}\left(x_{i_{2}}\right)\neq 0,\ldots,\quad\eta^{\prime}\left(x_{i_{\alpha}}\right)\neq 0$
	$\displaystyle\eta^{\left(p_{j_{1}}-2\right)}\left(x_{j_{1}}\right)\neq 0,\quad\eta^{\left(p_{j_{2}}-2\right)}\left(x_{j_{2}}\right)\neq 0,\ldots,\eta^{\left(p_{j_{\beta}}-2\right)}\left(x_{j_{\beta}}\right)\neq 0.$		(83)

Aceste relații împreună cu egalitățile (78) ne arată că, referitor la integrala $\eta(x)$ , rădăcinile $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ sînt simple, iar $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ au respectiv ordinele $p_{j_{1}}-2,p_{j_{2}}-2,\ldots,p_{j_{\beta}}-2.{}^{8)}$

Referindu-ne 1a integrala $y_{0}(x)$ și t,inînd seamă de egalitățile $p_{i_{1}}=p_{i_{2}}=\ldots=p_{j_{\alpha}}=1$ , deducem pentru aceleași motive ca mai sus, relațiile:

y_{0}^{\prime}\left(x_{i_{1}}\right)\neq 0,\quad y_{0}^{\prime}\left(x_{i_{2}}\right)\neq 0,\ldots,y_{0}^{\prime}\left(x_{i_{\alpha}}\right)\neq 0,

care ne arată că rădăcinile $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ sînt simple relativ și la integrala $y_{0}(x)$ .

Apoi, în baza proprietății (51) stabilită anterior, rezultă că ordinele de multiplicitate $\pi_{j_{1}},\pi_{j_{2}},\ldots,\pi_{j_{\beta}}$ ale rădăcinilor $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ relativ la integrala $y_{0}(x)$ , sînt de aceeaşi paritate cu numerele $p_{j_{1}},p_{j_{2}},\ldots,p_{j_{\beta}}$ și ținînd seama de relațiile (78), (80) şi (83), rezultă că ele sînt de aceeași paritate cu ordinele aceloraşi rădăcini $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , relativ la integrala $\eta(x)$ .

Tot în baza proprietății (51), se constată că ordinul de multiplicitate al rădăcinii $x_{1}$ , referitor la integrala $y_{0}(x)$ , este de aceeaşi paritate cu numă-

⁰⁰footnotetext: ⁸ ) Numerele

x_{j}

pentru care

p_{j}^{**}=0

nu sînt rădăcini pentru

\eta(x)

rul $p_{1}$ , care în baza egalității (69) este egal cu $k$ . De asemenea, ordinul de multiplicitate al aceleiaşi rădăcini $x_{1}$ , referitor la integrala $\eta(x)$ este de aceeași paritate cu numărul $p$ corespunzător, care, după cum ne arată primul șir de egalități din (78), este egal cu $k$ . În concluzie, rezultă că ordinele de multiplicitate ale rădăcinii $x_{1}$ , relativ la cele două integrale $y_{0}(x)$ și $\eta(x)$ , sînt de aceeaşi paritate între ele.

Am obținut în definitiv următorul rezultat:
Ordinele de multiplicitate ale rădăcinilor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ , relativ 1a integrala $\eta(x)$ , sînt respectiv de aceeaşi paritate cu ordinele aceloraşi rădăcini, relativ la integrala $y_{0}(x)$ .

În altă ordine de idei, constatăm că integrala neidentic nulă $y_{0}(x)$ nu poate avea în intervalul ( $a,b$ ) alte rădăcini decît $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ , întrucît în caz contrar, t,inînd seamă de relațiile (29) și (30), s-ar contrazice proprietatea $I_{n}^{k(}a,b$ ) a familiei $Y_{n}$ , proprietate adevărată în baza lemei 7. Pentru aceleaşi motive, integrala neidentic nulă $\eta(x)$ nu poate avea în intervalul $(a,b)$ alte rădăcini decît $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m},\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-\nu-1}$ .

Din toate aceste concluzii, ținînd seamă încă de faptul că toate rădăcinile $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-\nu-1}$ ale integralei $\eta(x)$ sînt situate în afara intervalului $\left[x_{1},x_{m}\right]$ , rezultă că dacă se consideră integralele $\eta(x)$ și - $\eta(x)$ , atunci una dintre ele va păstra în vecinătăți suficient de mici ale rădăcinilor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ același semn ca și integrala $y_{0}(x)$ (cu excepția, eventual, a mijloacelor acestor vecinătăți). Integrala care satisface acest deziderat o vom nota $\bar{\eta}(x)$ . Deci $\bar{\eta}(x)$ este neidentic nulă, satisface condițiile (78) şi în plus egalitatea

\operatorname{sgn}\{\bar{\eta}(x)\}=\operatorname{sgn}\left\{y_{0}(x)\right\}

valabilă în vecinătăți suficient de mici ale punctelor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ , cu exceptia eventual a mijloacelor acestor vecinătăți.

Considerăm acuma curba integrală $(\Gamma)$ de ecuație $y_{0}(x)$ , și curba integrală ( $\Gamma_{e}$ ) de ecuatie $y=\varepsilon\bar{\eta}(x)$ , unde $\varepsilon$ este un parametru, luînd valori pozitive. Vom examina în continuare felul în care se situează între ele curbele $(\Gamma)$ şi $\left(\Gamma_{\varepsilon}\right)$ , atunci cînd $\varepsilon\rightarrow 0^{+}$ .

Referindu-ne întîi la numerele $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ şi ținînd seamă de faptul stabilit anterior, că aceste numere sînt rădăcini simple atît pentru $\bar{\eta}(x)$ cît şi pentru $y_{0}(x)$ , rezultă că dacă parametrul $\varepsilon$ ia valori pozitive, inferioare unui anumit prag $E_{1}$ , atunci curbele $(\Gamma)$ şi $\left(\Gamma_{e}\right)$ se vor traversa în punctele $x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots,x_{i_{\alpha}}$ (fără să fie tangente între ele în aceste puncte).

În continuare, referindu-ne la rădăcinile $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , și ținînd seamă de relațiile (29), (78) și (83), ajungem la următoarele concluzii :
$1^{\circ}$ . In punctele $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , curbele $(\Gamma)$ şi $\left(\Gamma_{\varepsilon}\right)$ prezintă contacte de tangență, respectiv de ordine $p_{j_{1}}-3,p_{j_{2}}-3,\ldots,p_{j_{\beta}}-3$ , adică functiile $y_{0}(x)$ și $\bar{\eta}(x)$ coincid în aceste puncte, respectiv pînă la derivatele lor de ordinul $p_{j_{1}}-3,p_{j_{2}}-3,\ldots,p_{j_{\beta}}-3$ , inclusiv. ⁹ )

⁰⁰footnotetext: ⁹ ) Prin ipoteză numerele

p_{j_{1}},p_{j_{2}},\ldots,p_{j_{\beta}}

sînt mai mari sau cel puțin egale cu 2. În cazul cînd vreunul dintre aceste numere, de exemplu

p_{j_{1}}

, este egal cu 2 , rezultatul de mai sus trebuie interpretat astfel: Curba

(\Gamma)

are în punctul corespunzător

x_{j_{1}}

un contact de ordin

$2^{\circ}$ .Dacă parametrul $\varepsilon$ este suficient de mic, atunci, ținând seama de faptul că ordinele de multiplicitate $\pi_{j_{1}},\pi_{j_{2}},\ldots,\pi_{j_{\beta}}$ ale rădăcinilor $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , relativ la integrala $y_{0}(x)$ , sunt de aceeași paritate cu ordinele $p_{j_{1}}-2,p_{j_{2}}-2,\ldots,p_{j_{\beta}}-2$ ale acelorași rădăcini relativ la integrala $\bar{\eta}(x)$ și, de asemenea, ținând seama de inegalitățile stricte

\pi_{j_{1}}>p_{j_{1}}-2,\quad\pi_{j_{2}}>p_{j_{2}}-2,\ \ldots,\ \pi_{j_{\beta}}>p_{j_{\beta}}-2,

rezultă, în baza Lemei 8, că, dacă parametrul $\varepsilon$ este pozitiv și inferior unui anumit prag $E_{2}$ , atunci, în vecinătăți date, suficient de mici, ale punctelor $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , curbele $(\Gamma)$ și $(\Gamma_{\varepsilon})$ se mai intersectează în punctele

\bar{x}_{j_{1}},\ \overline{\bar{x}}_{j_{1}},\ \bar{x}_{j_{2}},\ \overline{\bar{x}}_{j_{2}},\ \ldots,\ \bar{x}_{j_{\beta}},\ \overline{\bar{x}}_{j_{\beta}},

distincte între ele și diferite de $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\ldots,x_{j_{\beta}}$ , traversându-se reciproc în aceste puncte.

În sfîrşit, referindu-ne la rădăcina $x_{1}$ , din (68), (69) şi (78) deducem că oricare ar fi valoarea pe care o ia parametrul $\varepsilon$ , curbele $(\Gamma)$ şi $\left(\Gamma_{\varepsilon}\right)$ vor prezenta în acest punct un contact de ordin cel puțin egal cu $k-1$ .

În concluzie, t,inînd seamă de cele constate mai sus, ajungem la următorul rezultat:

Dacă parametrul $\varepsilon>0$ este suficient de mic, atunci integrala $\tilde{y}_{e}(x)==y_{0}(x)-\varepsilon\bar{\eta}(x)$ a ecuației diferentiale (1), va admite în intervalul ( $a,b$ ), în afară de rădăcina $x_{1}$ , multiplă de ordin $\geqq k$ , şi următoarele rădăcini distincte:

	$\displaystyle x_{i_{1}},\quad x_{i_{2}},\ldots\ldots,x_{i_{\alpha}}$
	$\displaystyle x_{j_{1}}\quad x_{j_{2}},\ldots\ldots,x_{j_{\beta}}$		(84)
	$\displaystyle\bar{x}_{j_{1}},\quad\overline{\bar{x}}_{j_{1}},\quad\bar{x}_{j_{2}}\overline{\bar{x}}_{j_{2}},\ldots\ldots,\bar{x}_{j_{\beta}},\overline{\bar{x}}_{j_{\beta}}$

avînd ordine de multiplicitate respectiv mai mari sau cel puțin egale cu numerele

	$\displaystyle 1,1,\ldots\ldots,1$
	$\displaystyle p_{j_{1}}-2,p_{j_{2}}-2,\ldots\ldots,p_{j_{\beta}}-2$		(85)
	$\displaystyle 1,1,1,1,\ldots\ldots,1,1$

Suma numerelor care figurează în (85) este egală cu

s=\alpha+p_{j_{1}}+p_{j_{2}}+\ldots+p_{j_{\beta}}

și ținînd seamă de primele relații din (80), apoi de prima relaţie din (30) precum și de egalitatea (69), rezultă pentru suma $s$ egalitatea

	$\displaystyle s=\left(p_{i_{1}}+p_{i_{2}}+\cdots+p_{i_{\alpha}}\right)+\left(p_{j_{1}}+p_{j_{2}}+\ldots+p_{j_{\beta}}\right)=$		(86)
	$\displaystyle=n-1-p_{1}=n-1-k$

Referindu-ne la rădăcina $x_{1}$ a integralei $\bar{\eta}(x)$ şi ținînd seamă de condițiile (78) pe care le satisface această integrală, distingem următoarele două subcazuri după cum $\bar{\eta}^{(k)}(x)$ se anulează sau nu pentru valoarea $x=x_{1}$ .

⁰⁰footnotetext:

\pi_{j_{1}}-1

cu axa

Ox

, unde

\pi_{j_{1}}

este un număr par mai mare sau cel puțin egal cu 2 , iar curba

\left(\Gamma_{\varepsilon}^{1}\right)

nu se intersectează cu axa

Ox

în vecinătatea acestui punct

x_{j_{1}}

, situîndu-se față de această axă de partea în care se situează curba (

\Gamma

Subcazul 1: $\bar{\eta}\left(x_{1}\right)=\bar{\eta}^{\prime}\left(x_{1}\right)=\ldots=\bar{\eta}^{(k-1)}\left(x_{1}\right)=0;\bar{\eta}^{(k)}\left(x_{1}\right)\neq 0$ .
În acest subcaz, dacă se ține seama de inegalitatea $\pi_{1}\geq k+2$ din (70), precum și de ipoteza specifică cazului considerat, se constată că curbele $(\Gamma)$ și $(\Gamma_{\varepsilon})$ prezintă în punctul $x_{1}$ un contact de tangență de ordinul $k-1$ , adică coincidența funcțiilor $y_{0}(x)$ și $\bar{\eta}(x)$ în punctul $x=x_{1}$ se realizează până la derivatele lor de ordinul $k-1$ , inclusiv.

Apoi, ținând seama de faptul stabilit anterior că numerele $\pi_{1}$ (cu $\pi_{1}\geq k+2$ ) și $k$ , care reprezintă ordinele de multiplicitate ale rădăcinii $x_{1}$ relativ la integralele $y_{0}(x)$ și $\bar{\eta}(x)$ , sunt de aceeași paritate, se deduce, în baza Lemei 8, că, dacă parametrul $\varepsilon$ ia valori pozitive inferioare unui anumit prag $E_{2}$ , atunci, în vecinătatea punctului $x_{1}$ , curbele $(\Gamma)$ și $(\Gamma_{\varepsilon})$ se vor intersecta în încă două puncte distincte $\bar{x}_{1}$ și $\overline{\bar{x}}_{1}$ din intervalul $(a,b)$ , diferite de $x_{1}$ și de punctele din (84).

Ținând seama de acestea, rezultă în definitiv că, dacă parametrul $\varepsilon$ ia valori pozitive și suficient de mici, atunci integrala

\widetilde{y}_{\varepsilon}(x)=y_{0}(x)-\varepsilon\bar{\eta}(x)

satisface, în raport cu punctele $x_{1},\bar{x}_{1},\overline{\bar{x}}_{1}$ și cu punctele din (84), un număr de $s+k+2$ condiții de anulare, adică, ținând seama și de relația (86), un număr de

(n-1-k)+k+2=n+1

condiții de anulare.

Întrucât însă $\widetilde{y}_{\varepsilon}(x)$ nu poate fi identic nulă în intervalul $(a,b)$ , oricare ar fi $\varepsilon\neq 0$ (ceea ce rezultă din faptul că $y_{0}(\xi_{1})\neq 0$ și $\bar{\eta}(\xi_{1})=0$ ), ar rezulta din cele de mai sus că familia $Y_{n}$ nu ar avea proprietatea $I_{n}^{(k)}(a,b)$ . Acest rezultat contrazice afirmația Lemei 7.

Ajungem astfel la concluzia că, în ipotezele Lemei 9, subcazul 1 nu poate avea loc. Subcazul 2: $\bar{\eta}\left(x_{1}\right)=\bar{\eta}^{\prime}\left(x_{1}\right)=\ldots=\bar{\eta}^{(k-1)}\left(x_{1}\right)=\bar{\eta}^{(k)}\left(x_{1}\right)=0$ .
Vom arăta întîi că în acest subcaz, în ipoteza că familia $Y_{n}$ are toate proprietăţile (33), are loc și egalitatea $\bar{\eta}^{(k+1)}\left(x_{1}\right)=0$ , adică ordinul de multiplicitate al rădăcinii $x_{1}$ , relativ la integrala $\bar{\eta}(x)$ , este mai mare sau cel puțin egal cu $k+2$ . Într-adevăr, observăm întîi că condițiile de anulare (78), pe care le satisface integrala neidentic nulă $\bar{\eta}(x)$ , au forma conditiilor (29), (30), pe care le verifică $y_{0}(x)$ , în sensul că numărul total al conditiilor scrise în (78) este egal cu $n-1$ (după cum ne arată egalitatea (79)), și că numărul condițiilor de anulare din (78) în cazul unui nod oarecare dintre nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m},\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-\nu-1}$ , nu depăşeşte numărul $k$ .

Să notăm cu $p\left(x_{1};\bar{\eta}\right)$ numărul $p$ din (78), referitor la integrala $\bar{\eta}(x)$ și referitor la rădăcina $x_{1}$ , şi cu $\pi\left(x_{1};\bar{\eta}\right)$ ordinul aceleiaşi rădăcini $x_{1}$ referitor la integrala $\bar{\eta}(x)$ . După cum ne arată prima relație din (78), avem $p\left(x_{1},\bar{\eta}\right)=k$ , iar din ipoteza specifică cazului considerat avem $\pi\left(x_{1},\bar{\eta}\right)\geqq\geqq k+1$ . Reținem relațiile :

p\left(x_{1},\bar{\eta}\right)=k,\quad\pi\left(x_{1},\bar{\eta}\right)\geqq k+1.

Conform proprietătai (51), pe care o enunțăm referitor la integrala $\bar{\eta}(x)$ , numerele $p\left(x_{1};\bar{\eta}\right)$ şi $\pi\left(x_{1};\bar{\eta}\right)$ trebuie să fie de aceeaşi paritate. De aici, ţinînd seamă de relațiile precedente, rezultă

\pi\left(x_{1};\bar{\eta}\right)\geqq k+2,

(87)

și astfel afirmaţia făcută anterior este demonstrată.

În continuare, referindu-ne la celelalte rădăcini ale integralei $\bar{\eta}(x)$ , care figurează în (78), observăm că are loc inegalitatea strictă

	$\displaystyle\max\left\{p\left(x_{2};\bar{\eta}\right),\right.$	$\displaystyle\left.p\left(x_{3};\bar{\eta}\right),\ldots,p\left(x_{m};\bar{\eta}\right);p\left(\xi_{1};\bar{\eta}\right),\ldots,p\left(\xi_{n-\nu-1},\bar{\eta}\right)\right\}<$
	$\displaystyle<$	$\displaystyle\max\left\{p\left(x_{2};y_{0}\right),p\left(x_{3};y_{0}\right),\ldots,p\left(x_{m};y_{0}\right)\right\}$		(88)

unde $p\left(x_{i};\bar{\eta}\right),\quad(i=2,3,\ldots,m)$ si $p\left(\xi_{j};\bar{\eta}\right),\quad(j=1,2,\ldots,n-v-1)$ , reprezintă respectiv numerele $p$ din (78), referitor la rădăcinile $x_{i}$ şi $\xi_{j}$ ale integralei $\bar{\eta}(x)$ , iar $p\left(x_{i};y_{0}\right),(i=2,3,\ldots,m)$ reprezintă numerele $p$ din (29), referitor la rădăcinile $x_{i}$ ale integralei $y_{0}(x)$ .

Inegalitatea (88) se deduce ţinînd seamă de relațiile (78), (29), (80), precum și de proprietatea (73’).

Considerăm acum în locul integralei $y_{0}(x)$ , integrala neidentic nulă $\bar{\eta}(x)$ . Ţinînd seama de relațiile (78), (79) și (87), se pot prezenta pentru $\bar{\eta}(x)$ , unul din cele două cazuri mentionate anterior pentru integrala $y_{0}(x)$ . După cum s-a demonstrat anterior, condițiile specifice cazului 1 sînt în contradicție cu ipoteza că familia $Y_{n}$ are proprietățile indicate în (33). Rezultă deci că integrala $\bar{\eta}(x)$ trebuie să satisfacă condițiile cazului 2, și în acelaşi timp pentru ea va avea loc inegalitatea strictă (88), care joacă un rol de reductiune. Repetînd raționamentul utilizat în cazul 2, relativ însă la integrala $\bar{\eta}(x)$ , vom fi conduși la considerarea unei integrale $\bar{\eta}_{1}(x)$ , neidentic nulă în intervalul ( $a,b$ ), satisfăcînd condiții analoage condițiilor (78), (79), (87), (88). Se constată le fel ca mai sus, că $\bar{\eta}_{1}(x)$ trebuie să satisfacă condițiile cazului 2 . În continuare, plecînd de la integrala $\bar{\eta}_{1}(x)$ se obține în acelaşi $\bmod$ o integrală $\bar{\eta}_{2}(x)$ , neidentic nulă în intervalul $(a,b)$ , satisfăcînd și ea condiții analoage condițiilor (78), (79), (87), (88). Astfel, ținînd seamă de faptul că de fiecare dată are loc inegalitatea strictă (88), care joacă un rol de reducțiune, se va ajunge în cele din urmă la o integrală $\bar{\eta}_{N}(x)$ , neidentic nulă în intervalul ( $a,b$ ) și care va satisface condițiile cazului 1 considerat anterior. După cum însă s-a demonstrat anterior, ipotezele specifice acestui caz sînt în contradicție cu proprietățile din (33). Se ajunge în definitiv la o contradicție, care provine din ipoteza absurdă (68). Astfel proprietatea $P_{n}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ este stabilită.

Revenind 1a demonstrația teoremei 1, din afirmaţiile lemelor 7 şi 9 rezultă că dacă familia $Y_{n}$ are toate proprietățile indicate în (33), atunci acea familie are și proprietățile $I_{n}^{(k)}(a,b)$ și $P_{n}^{(k)}(a,b)$ . Conform principiului inducției, rezultă afirmația teoremei 1 .

În continuare, vom presupune că ecuația diferențială (1) are coeficienții continui în intervalu1 semîînchis $[a,b)$ , și deci că familia $Y_{n}$ a integralelor acestei ecuații este formată din funcții definite în intervalul $[a,b)$ . Definitiile $1,2,3$ date anterior relativ la un interval deschis $(a,b)$ , se extind și la cazul unui interval semînchis $[a,b)$ . Vom nota respectiv cu
$I_{n}[a,b),I_{p_{1},p_{2},\ldots,p_{m}}[a,b),I_{n}^{*}[a,b)$ proprietățile familiei $Y_{n}$ , puse în evidență de aceste definiții. Se observă cu ușurință că lemele $1,2,3$ stabilite cu ocazia teoremei 1 , în cazul unui interval deschis ( $a,b$ ), se extind și la cazul unui interval semiînchis $[a,b)$ . Vom stabili acum următoarea teoremă :
teorema 2. Dacă ecuatia diferentială (1) are coeficientii continui în intervalul semînchis $[a,b)$ , și dacă familia $Y_{n}$ a integralelor acestei ecuatii are proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ , atunci familia $Y_{n}$ are şi proprietatea $I_{n}^{*}[a,b)$ .

Pentru a demonstra această teoremă, vom stabili în prealabil următoarea 1emă:

Lema 10. Presupunem că ecuatia diferentială (1) are coeficientii continui în intervalul deschis ( $a,b$ ) și că familia $Y_{n}$ a integralelor acestei ecuatii are proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ . Fie $n-1$ numere $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n-1}$ , alese în mod arbitrar din intervalul $(a,b)$ si fie $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots,h_{n-1}(x)$ integrale neidentic nule ale ecuatiei diferentiale (1), satisfåcînd condițiile ¹⁰ ):

	$\displaystyle h_{1}\left(x_{1}\right)=h_{1}\left(x_{2}\right)=\ldots\ldots\ldots\ldots..=h_{1}\left(x_{n-1}\right)=0$
	$\displaystyle h_{2}\left(x_{1}\right)=h_{2}\left(x_{2}\right)=\ldots=h_{2}\left(x_{n-2}\right)=0,\quad h_{2}\left(x_{n-1}\right)=1$
	$\displaystyle h_{n-1}\left(x_{1}\right)=0,h_{n-1}\left(x_{2}\right)=1.$		(89)

In aceste ipoteze au loc relatiile

h_{1}(x)\neq 0,\quad w\left(h_{1},h_{2}\right)\neq 0,\ldots,w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{n-1}\right)\neq 0

(90)

valabile în intervalele $\left(a,x_{1}\right)$ şi $\left(x_{n-1},b\right)$ . Aici $w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{i}\right)$ reprezintă wronskianul functiilor $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots,h_{i}(x)$ .

Demonstrația pe care o dăm mai jos este întrucîtva analoagă cu demonstraţia teoremei IV stabilită de G. P ó1y a în lucrarea [23] ¹¹⁾. Astfe1, întrucît prin ipoteză integrala neidentic nulă $h_{1}(x)$ se anulează pentru $n-1$ valori distincte $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}$ din intervalul ( $a,b$ ), rezultă că această integrală nu se poate anula pentru nici o altă valoare din acest interval, întrucît în caz contrar s-ar contrazice proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ (conform lemei 1). Astfel prima relattie din (90) este stabilită. În continuare, adoptăm notaţiile $h_{1}(x)=w_{1}$ şi $w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{k}\right)=w_{k},\quad(k=2,3,\ldots,n-1)$ .

Utilizînd metoda inducției, să presupunem că în ambele intervale $\left(a,x_{1}\right)$ și $\left(x_{n-1},b\right)$ au loc relațiile

w_{1}\neq 0,\quad w_{2}\neq 0,\ldots,w_{k}\neq 0

(91)

⁰⁰footnotetext: ¹⁰ ) Existența unor astfel de integrale neidentic nule este asigurată de proprietatea

I_{n}^{*}(a,b)

.
¹¹ ) În enunţul teoremei IV din lucrarea [23] a lui G. Póly a se presupune că familia

Y_{n}

are proprietatea

I_{n}^{*}[a,b)

, adică este interpolatoare de ordinul

n

în intervalul semiînchis

[a,b)

, iar nodurile

x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}

, care intervin în condițile (89), se consideră toate confundate în punctul

x=a

. In aceste ipoteze se arată valabilitatea relațiilor (90) în intervalul deschis

(a,b)

. A se vedea TEORE,MA A, enunţată în cele ce urmează.

numărul $k$ satisfăcînd inegalitatea $1\leqq k<n-1$ . În aceste ipoteze vom demonstra că are loc şi relația $w_{k+1}\neq 0$ în intervalele $\left(a,x_{1}\right)$ și $\left(x_{n-1},b\right)$ . În acest scop, considerăm combinația liniară

h(x)=C_{1}h_{1}(x)+C_{2}h_{2}(x)+\ldots+C_{k}h_{k}(x)+h_{k+1}(x),

(92)

unde $C_{1},C_{2},\ldots,C_{k}$ reprezintă constante arbitrare pentru moment. Observăm de la început că oricare ar fi valorile pe care le iau aceste constante, funcția corespunzătoare $h(x)$ se anulează în punctele $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-k-1}$ , aceasta întrucît fiecare dintre functiile $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots,h_{k}(x),h_{k+1}(x)$ , care intervin în expresia funcției $h(x)$ , se anulează în aceste puncte. Fie acum $x_{0}$ un punct arbitrar din intervalul deschis $\left(a,x_{1}\right)$ , sau din intervalul $\left(x_{n-1},b\right)$ . Determinăm constantele $C_{1},C_{2},\ldots,C_{k}$ din (92) astfel încît $h(x)$ să se anuleze de $k$ ori în punctul $x_{0}$ , adică să admită valoarea $x_{0}$ ca rădăcină multiplă de ordin $\geqq k$ . O astfel de determinare este posibilă, și aceasta într-un singur mod, întrucît determinantul celor $k$ ecuatii care se formează prin scrierea acestor condiții, este $w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{k}\right)\neq 0$ . Acest determinant este diferit de zero conform ipotezei (91). Fie $\bar{C}_{1},\bar{C}_{2},\ldots,\bar{C}_{k}$ valorile astfel determinate ale constantelor $C_{1},C_{2},\ldots,C_{k}$ , şi fie $\bar{h}(x)$ funcția corespunzătoare, obținută cu ajutorul formulei (92). Această funcție va avea deci ca rădăcini numerele $x_{0},x_{1},\ldots,x_{n-k-1}$ , rădăcina $x_{0}$ avînd ordinul de multiplicitate mai mare sau cel puțin egal cu $k$ . Rezultă de aici că $\bar{h}(x)$ se anulează în total de $(n-k-1)+k=n-1$ ori în intervalul ( $a,b$ ). Mai observăm"că integrala $\bar{h}(x)$ nu este identic nulă în intervalul $(a,b)$ , întrucît $\bar{h}\left(x_{n-k}\right)=h_{k+1}\left(x_{n-k}\right)=1$ .

Intrucît prin ipoteză, familia $Y_{n}$ a integralelor ecuației diferențiale (1) are proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ , rezultă conform lemei 3 că rădăcinile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-k}$ ale integralei $\bar{h}(x)$ sînt simple, iar rădăcina $x_{0}$ nu poate avea un ordin de multiplicitate mai mare decît $k$ .

Folosim acuma următoarea identitate stabilită de G. P ó1y a în [23] :

w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{k},y\right)\equiv\frac{w_{k}^{2}}{w_{k-1}}\cdot\frac{d}{dx}\frac{w_{k-1}^{2}}{w_{k-2}w_{k}}\cdots\frac{d}{dx}\frac{w_{2}^{2}}{w_{1}w_{3}}\cdot\frac{d}{dx}\frac{w_{1}^{2}}{w_{0}w_{2}}\cdot\frac{d}{dx}\frac{y}{w_{1}}

(93)

valabilă în orice interval al axei $Ox$ , în care fuctiile $w_{1}=h_{1}(x),w_{2}==w\left(h_{1},h_{2}\right),\ldots,w_{k}=w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{k}\right)$ nu se anulează, și pentru orice functie $y(x)$ avînd derivate continue pînă la ordinul $k$ inclusiv în acel interval. In formula (93) s-a notat $w_{0}\equiv 1$ .

Presupunem acum că funcțiile $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots,h_{k}(x)$ care intervin în (93), sînt cele considerate în enunțul prezentei leme, adică cele care satisfac conditiile (89). In cazul acestor funcții, ținînd seamă de ipoteza (91), rezultă că identitatea (93) este valabilă în intervalele deschise ( $a,x_{1}$ ) și $\left(x_{n-1},b\right)$ , oricare ar fi functia $y(x)$ , avînd derivate continue pînă la ordinul $k$ inclusiv. În particular, înlocuind în (93) pe $y(x)$ cu funcţia $\bar{h}(x)$ , obținem identitatea

w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{k},\bar{h}\right)=\frac{w_{k}^{2}}{w_{k-1}}\cdot\frac{d}{dx}\frac{w_{k-1}^{2}}{w_{k-2}w_{k}}\cdots\frac{d}{dx}\frac{w_{2}^{2}}{w_{1}w_{3}}\cdot\frac{d}{dx}\frac{w_{1}^{2}}{w_{0}w_{2}}\cdot\frac{d}{dx}\frac{\bar{h}}{w_{1}}

(94)

Ținînd seamă de relația (92) care defineşte funcția $h(x)$ , se observă că

w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{k},\bar{h}\right)=w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{k},h_{k+1}\right)\equiv w_{k+1}.

(95)

Pe de altă parte, ţinînd seamă de faptul stabilit anterior, că ordinul de multiplicitate al rădăcinii $x_{0}$ relativ la funcția $\bar{h}(x)$ nu poate fi mai mare decît $k$ , și ținînd seamă și de relațiile (91), presupuse valabile în ambele intervale $\left(a,x_{1}\right)$ și $\left(x_{n-1},b\right)$ , se obține prin aplicarea succesivă a teoremei lui Rolle că membrul al doilea al identității (94) nu se anulează în punctul $x_{0}$ . De aici, ținînd seamă de identitatea (95), rezultă că funcția $\varpi_{k+1}$ nu se anulează în punctul $x_{0}$ . Cum însă $x_{0}$ a fost ales arbitrar în intervalul $\left(a,x_{1}\right)$ sau ( $x_{n-1},b$ ), rezultă relația $w_{k+1}\neq 0$ , valabilă în fiecare din aceste intervale, q.e.d.

În baza principiului inducției, rezultă lema 10 .
Observație. Presupunînd că ecuația diferențială (1) are coeficienții $a_{i}(x),\quad(i=1,2,\ldots,n)$ , continui în intervalul semiînchis $[a,b)$ şi alegînd nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}$ care intervin în condițiile (89), astfel încît ele să coincidă toate în punctul $x=a$ , raționamentul de mai sus conduce la următoarea teoremă, stabilită de G. P ó1y a în lucrarea [23]:
teorema a. ¹² ) Presupunem că ecuatia diferentială (1) are coeficientii $a_{i}(x),(i=1,2,\ldots,n)$ , continui în intervalul semînchis $[a,b)$ . Fie $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots,h_{n-1}(x)$ un sistem de integrale ale ecuatiei (1) satisfåcînd în punctul $x=a$ conditiile :

	$\displaystyle h_{1}(a)=h_{1}^{\prime}(a)=\ldots\ldots\ldots=h_{1}^{(n-2)}(a)=0,\quad h_{1}^{(n-1)}(a)=1$
	$\displaystyle h_{2}(a)=h_{2}^{\prime}(a)=\ldots=h_{2}^{(n-3)}(a)=0,\quad h_{2}^{(n-2)}(a)=1$
	……………………………………..		(96)
	$\displaystyle h_{n-2}(a)=h_{n-2}(a)=0,\quad h_{n-2}^{n}(a)=1$
	$\displaystyle h_{n-1}(a)=0,\quad h_{n-1}^{\prime}(a)=1.$

Atunci, în ipoteza că familia $Y_{n}$ a integralelor ecuației (1) are proprietatea $I_{n}^{*}[a,b)$ , rezultă că integralele $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots,h_{n-1}(x)$ considerate mai sus, satistac in inlervalul ( $a,b$ ) relatiile:

h_{1}(x)\neq 0,w\left(h_{1},h_{2}\right)\neq 0,\ldots,w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{n-1}\right)\neq 0

(97)

Demonstrația teoremei 2 o vom face prin inducție relativ la numărul natural $n$ care reprezintă ordinul ecuației diferențiale. Pentru $n=1$ , proprietatea exprimată de teorema 2 este evidentă. Vom presupune că această proprietate este adevărată pentru numărul natural $n-1$ și vom demonstra valabilitatea ei pentru numărul $n$ . În acest scop, vom presupune că familia $Y_{n}$ a integralelor ecuatiei diferentiale (1) are proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ . (Această ipoteză intervine în enunțul teoremei 2). Din această ipoteză, în baza lemei 3, rezultă că ecuația diferențială (1) nu admite nici o integrală neidentic nulă, care să aibă $n$ rădăcini (distincte sau nu) în intervalul deschis ( $a,b$ ). Pentru a demonstra afirmația teoremei 2, va fi suficient (tot în baza lemei 3)

⁰⁰footnotetext: ¹² ) În lucrarea [23], această teoremă poartă numărul de ordine IV.

să arătăm că ecuația diferențială (1) nu admite nici o integrală neidentic nulă, care să aibă $n$ rădăcini (distincte sau nu) în intervalul semiînchis $[a,b)$ . Să presupunem prin absurd că ar exista o integrală neidentic nulă $y_{0}(x)\in Y_{n}$ , care să aibă $n$ rădăcini în intervalul $[a,b)$ . Atunci, neapărat una din rădăcinile integralei $y_{0}(x)$ trebuie să coincidă cu extremitatea $x=a$ a intervalului $[a,b)$ , întrucît în caz contrar, dacă toate cele $n$ rădăcini ar fi interioare intervalului ( $a,b$ ), atunci conform lemei 1 s -ar contrazice proprietatea $I_{n}(a,b)$ presupusă adevărată prin ipoteză. În cele ce urmează vom nota cu $\xi_{1}=a,\xi_{2},\ldots,\xi_{m}$ rădăcinile distincte din $[a,b)$ ale integralei $y_{0}(x)$ considerate, și cu $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}$ ordinele lor de multiplicitate. Evident că $\pi_{1}+\pi_{2}+\ldots+\pi_{m}\geqq n$ . Vom presupune că au loc inegalităţile $\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{m}$ .

Fie acuma $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n-1}$ valori luate arbitrar din intervalul $\left(\xi_{m},b\right)$ . Considerăm $n-1$ integrale $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots,h_{n-1}(x)$ satisfăcînd condițiile ( 89 ), în care însă $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}$ reprezintă nodurile alese anterior, din intervalul $\left(\xi_{m},b\right)$ . Astfel de integrale există, întrucît prin ipoteză s-a presupus că familia $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ . Conform lemei 10, rezultă că în intervalul ( $a,x_{1}$ ) au loc relațiile :

	$\displaystyle h_{1}(x)\neq 0,\quad w\left(h_{1}h_{2}\right)\neq 0,\ldots,w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{n-1}\right)\neq 0$		(98)
	$\displaystyle\text{ pentru }x\in\left(a,x_{1}\right).$

În plus, integrala $h_{1}(x)$ anulîndu-se în $n-1$ puncte, $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}$ din intervalul $(a,b)$ , rezultă că ea nu se mai poate anula în intervalul $(a,b)$ , întrucît în caz contrar s-ar contrazice proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ (conform lemei 1). Mai mult chiar, integrala $h_{1}(x)$ nu poate să se anuleze nici în punctul $x=a$ . Într-adevăr, presupunînd prin absurd că $h_{1}(a)=0$ , să considerăm integrala $y_{e}(x)$ a ecuației diferențiale (1), care satisface condiţiile

y_{\varepsilon}(a+\varepsilon)=h_{1}(a),\quad y_{\varepsilon}^{\prime}(a+\varepsilon)=h_{1}^{\prime}(a),\ldots,y_{\varepsilon}^{(n-1)}(a+\varepsilon)=h_{1}^{(n-1)}(a),

unde $\varepsilon$ reprezintă un parametru care satisface inegalitățile

0<\varepsilon<\xi_{m}-a.

Dacă parametrul $\varepsilon$ tinde către zero prin valori pozitive, atunci integrala $y_{\varepsilon}(x)$ tinde uniform către $h_{1}(x)$ pe orice interval închis $[a,b_{1}]$ , conținut în intervalul $[a,b)$ .

De aici, ținând seama de faptul că rădăcinile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-1}$ ale integralei $h_{1}(x)$ sunt simple (ceea ce rezultă din afirmația Lemei 4), rezultă că, pentru $\varepsilon>0$ suficient de mic, integrala $y_{\varepsilon}(x)$ corespunzătoare va avea $n-1$ rădăcini distincte

\bar{x}_{1},\bar{x}_{2},\ldots,\bar{x}_{n-1},

situate în intervalul $(\xi_{m},b)$ și se va mai anula în punctul $x=a+\varepsilon$ , aparținând intervalului $(a,\xi_{m})$ .

S-ar obține astfel o integrală neidentic nulă $y_{\varepsilon}(x)$ a ecuației diferențiale (1), care se anulează în cel puțin $n$ puncte din intervalul $(a,b)$ . Această situație contrazice însă proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ .

În concluzie, are loc inegalitatea

h_{1}(a)\neq 0.

În continuare, să efectuăm asupra ecuației diferențiale (1) schimbarea de funcție

y(x)=h_{1}(x)z

(99)

Se obține atunci din (1) ecuația diferențială

\bar{L}_{n}(z)=h_{1}(x)\left[z^{(n)}+\bar{a}(x)z^{(n-1)}+\ldots+\bar{a}_{n-1}(x)z^{\prime}\right]=0

avînd coeficienții $\bar{a}_{1}(x),\ldots,\bar{a}_{n-1}(x)$ continui în intervalul [ $a,x_{1}$ ), în care funcția $h_{1}(x)$ nu se anulează. Să notăm

z^{\prime}=u.

(100)

T,inînd seamă de faptul că $h_{1}(x)$ este diferit de zero în intervalul [ $a,x_{1}$ ), ecuația precedentă se reduce în acest interval 1a ecuația

\bar{L}_{n-1}(u)=u^{(n-1)}+\bar{a}_{1}(x)u^{(n-2)}+\ldots+\bar{a}_{n-1}(x)u=0,

(101)

avînd coeficienții continui în intervalul $\left[a,x_{1}\right)$ .
Integralei $y_{0}(x)$ a ecuatiei diferentiale (1), îi va corespunde integrala $u_{0}(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{y_{0}(x)}{h_{1}(x)}\right)$ a ecuației (101). Intrucît prin ipoteză funcția $y_{0}(x)$ se anulează cel puțin de $n$ ori în intervalul $\left[a,x_{1}\right)$ , anume în punctele $\xi_{1}=a,\xi_{2},\ldots,\xi_{m}$ , cu ordine de multiplicitate respectiv $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}$ , satisfăcînd evident inegalitatea $\pi_{1}+\pi_{2}+\ldots+\pi_{m}\geqq n$ , rezultă că integrala $u_{0}(x)$ a ecuatiei (101) se va anula cel puțin de $n-1$ ori în intervalul $\left[a,x_{1}\right)$ . Pe de altă parte, din faptul că integrala $y_{0}(x)$ nu este identic nulă în ( $a,b$ ), rezultă că și $u_{0}(x)$ nu este identic nulă în intervalul $\left[a,x_{1}\right)$ . Într-adevăr, presupunînd contrariul, adică $u_{0}(x)\equiv 0$ în intervalul $\left[a,x_{1}\right)$ , ar rezulta, t,inînd seamă de schimbările de variabilă (99) și (100), că are loc identitatea $y_{0}(x)\equiv Ch_{1}(x)$ în intervalul $\left[a,x_{1}\right)$ și deci în întreg intervalul $[a,b)$ . In această identitate, $C$ reprezintă o constantă. Întrucît $y_{0}(x)$ este prin ipoteză neidentic nulă în intervalul ( $a,b$ ), ar rezultă din identitatea $y_{0}(x)\equiv Ch_{1}(x)$ că $C\neq 0$ . Totodată ar mai rezulta că integrala $b_{1}(x)$ se anulează în intervalul [ $a,x_{1}$ ) pentru toate valorile din acest interval, pentru care se anulează și $y_{0}(x)$ . Dar funcția $y_{0}(x)$ se anulează de $n$ ori în intervalul $\left[a,x_{1}\right)$ în punctele $\xi_{1}=a,\xi_{2},\ldots,\xi_{m}$ cu ordinele de multiplicitate respectiv $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{m}\left(\pi_{1}+\pi_{2}+\ldots+\pi_{m}\geqq n\right)$ . Intrucît însă integrala $y_{0}(x)$ ’nu este identic nulă în intervalul ( $a,b$ ), rezultă că numărul $m$ al acestor puncte satisface inegalitatea $m\geqq 2$ şi deci că funcția $y_{0}(x)$ se anulează cel puțin într-un punct interior intervalului ( $a,x_{1}$ ). Pe de altă parte, după cum rezultă din (89), integrala $h_{1}(x)$ se mai anulează de $n-1$ ori în intervalul $\left[x_{1},b\right)$ . S-ar ajunge în definitiv la concluzia că integrala neidentic nulă $h_{1}(x)$ a ecuației (1) se anulează cel puțin de $n$ ori în intervalul deschis ( $a,b$ ), ceea ce ar contrazice proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ a familiei $Y_{n}$ , proprietate presupusă adevărată prin ipoteză.

Obținem în definitiv următorul rezultat: Integrala $u_{0}(x)$ a ecuatie (101) nu este identic nulă în intervalul [ $a,x_{1}$ ) și se anulează cel puţin de $n-1$ ori în acest interval.

În continuare, întegralelor $h_{2}(x),\ldots,h_{n-1}(x)$ ale ecuatiei (1) le vor corespunde respectiv integralele $u_{2}(x),\ldots,u_{n-1}(x)$ ale ecuatiei (101), avînd expresiile :

u_{i}(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{h_{i}(x)}{h_{1}(x)}\right),\quad i=2,\ldots,n-1

(102)

Aceste integrale sînt definite în intervalul $\left[a,x_{1}\right)$ , în care $h_{1}(x)$ nu se anulează. Folosind identitatea

w\left[\left(\frac{h_{2}}{h_{1}}\right)^{\prime},\left(\frac{h_{3}}{h_{1}}\right)^{\prime},\ldots,\left(\frac{h_{i}}{h_{1}}\right)^{\prime}\right]=\frac{1}{h_{1}^{i}}w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{i}\right).

stabilită de G. P ó1y a în [23], și ținînd seamă de formulele (102), se constată că integralele $u_{2}(x),\ldots,u_{n-1}(x)$ ale ecuatiei (101) satisfac în intervalul ( $a,x_{1}$ ) următoarele condiții analoage condițiilor (98) :

	$\displaystyle u_{2}(x)\neq 0,\quad w\left(u_{2},u_{3}\right)\neq 0,\ldots,w\left(u_{2},u_{3},\ldots,u_{n-1}\right)\neq 0$		(103)
	$\displaystyle\text{ pentru }x\in\left(a,x_{1}\right).$

Astfel ajungem la concluzia că ecuația diferențială (101) are coeficienții continui în intervalul semiînchis $\left[a,x_{1}\right)$ și satisface condițiile (103) în intervalul deschis $\left(a,x_{1}\right)$ . Conform teoremei I din lucrarea [23] a lui G. Pó1ya (a se vedea teorema $B$ enunțată mai jos), rezultă că familia $U_{n-1}$ a integralelor ecuatiei diferentiale (101) va avea proprietatea $I_{n-1}^{*}\left(a,x_{1}\right)$ . Apoi, tinînd seamă de ipoteza făcută inițial, anume că proprietatea exprimată de teorema 2 din lucrarea de faţă este adevărată pentru numărul natural $n-1^{13}$ ), rezultă că familia $U_{n-1}$ a integralelor ecuației diferențiale (101) are și proprietatea $I_{n-1}^{*}\left[a,x_{1}\right)$ . Această concluzie este însă incompatibilă cu existența integralei $u_{0}(x)$ a aceleiași ecuații (101), care după cum s-a arătat anterior nu este identic nulă în intervalul [ $a,x_{1}$ ) și totodată se anulează în acest interval de $n-1$ ori. Această contradictie provine din ipoteza absurdă că în condițiile teoremei 2, ecuația diferențială (1) ar admite în intervalul $[a,b)$ o integrală neidentic nulă $y_{0}(x)$ , care să se anuleze de $n$ ori în acest interval. Rezultă deci că în ipotezele teoremei 2 din lucrarea de față, ecuaţia diferențială (1) nu admite nici o integrală $y_{0}(x)$ de acest fel, și deci că familia $Y_{n}$ are proprietatea $I_{n}^{*}[a,b)$ , q. e. d.

Inainte de a formula consecințe ale rezultatelor obținute mai sus, vom enunța întîi următoarea teoremă care de asemenea este dată de G. P ó1 y a în lucrarea [23]:
teorema B. ¹⁴⁾ Dacă ecuatia diferentială (1) are coeficientii continui in intervalul deschis $(a,b)$ , și dacă ea admite $n-1$ integrale $h_{1}(x)$ , $h_{2}(x),\ldots,h_{n-1}(x)$ , satisfåcînd în acest înterval relatiiile :

h_{1}(x)\neq 0,\quad w\left(h_{1},h_{2}\right)\neq 0,\ldots,w\left(h_{1},h_{2},\ldots,h_{n-1}\right)\neq 0

atunci familia $Y_{n}$ a integralelor ecuatiei diferentiale(1) are proprietatea $I_{n}^{*}(a,b)$ .

CONSECINTE

Din teoremele A şi B ale lui G. P ó 1 y a, ţinînd seamă şi de teorema 2 demonstrată mai sus, rezultă:

⁰⁰footnotetext: ¹³ ) Această ipoteză a fost făcută cu ocazia aplicării principiului inducţiei.
¹⁴ ) Această teoremă are numărul de ordine II în lucrarea [23] citată.

teorema 3. In ipoteza că ecuatia diferentială (1) are coeficientii continui în intervalul semînchis [ $a,b$ ), condiția necesară și suficientă ca tamilia $Y_{n}$ a integralelor ecuatiei (1) să aibă proprietatea $I_{n}^{*}[a,b)$ , este ca pentru orice sistem de $n-1$ integrale $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots,h_{n-1}(x)$ a ecuatiei diferențiale (1), satisfăcînd conditiile (96), să aibă loc relațiile (97), în intervalul deschis $(a,b)$ .

Observaţie. Presupunem că ecuatia diferentială (1) are coeficientii continui într-un interval semînchis [ $a,b$ ) și că admite un sistem particular de $n-1$ integrale $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots,h_{n-1}(x)$ , satisfåcînd relatiile (97) in intervalul ( $a,b$ ). In aceste ipoteze, orice sistem de $n-1$ integrale satisfăcînd conditiile (96), va veritica de asemenea relațiile (97) în intervalul ( $a,b$ ).

Această proprietate rezultă îndată din teoremele A şi B ale íui G. Pó1y a și din teorema 2 a lucrării de față.

În continuare, ținînd seama de teorema 1 stabilită în lucrarea de față, precum și de teorema 3 enunțată mai sus, obținem:
teorema 4. In ipoteza că ecuatia diferentială (1) are coeficientii continui în intervalul semînchis [ $a,b$ ), condiția necesară și suficientă ca familia $Y_{n}$ a integralelor acestei ecuatii să aibă proprietatea $I_{n}[a,b)$ , este ca pentru orice sistem de $n-1$ integrale $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots,h_{n-1}(x)$ a ecuatiei diferentiale (1), satisfăcînd condițiile (96), să aibă loc relațiile (97) în intervalul deschis ( $a,b$ ).

APLICATII

Determinarea intervalului maximal $[a,b)$ , cu extremitatea stîngă dată, $\hat{in}$ care familia $Y_{n}$ a integralelor ecuatiei diferentiale (1) are proprietatea $I_{n}[a,b)$ și deci proprietatea $I_{n}^{*}[a,b)$ .

Această problemă se leagă de numeroase lucrări privind probleme la limită polilocale la ecuații diferentiale lineare. Dintre acestea cităm lucrătile $[1-3,8,11,13,14,19,20,23,27]$ .

În lucrarea de faţă se dă o rezolvare a acestei probleme, legată de rezultatele obținute în paragrafele anterioare.

Presupunem că se dă o ecuație diferențială (1), avînd coeficienții $a_{i}(x)$ continui în intervalul ( $-\infty,+\infty$ ). Fie $x=a$ un număr real oarecare dat. Ne propunem să determinăm intervalul semînchis $[a,b)$ , de lungime maximă, în care familia $Y_{n}$ a integralelor ecuatiei diferențiale (1) are proprietatea $I_{n}[a,b)$ (deci și proprietatea $I_{n}^{*}[a,b)$ ). In acest scop, ținînd seamă de teorema 4 precum și de observația făcută cu ocazia teoremei 3, putem proceda astfel:

Vom considera întîi un sistem particular oarecare de $n-1$ integrale $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots,h_{n-1}(x)$ ale ecuației diferentiale (1), satisfåcînd conditiile
(96), și apoi vom determina intervalul deschis maxim ( $a,b$ ) în care să aibă loc relatiile (97), pentru sistemul de integrale ales. Intervalul semînchis $[a,b)$ va fi intervalul căutat.

Exemplu:

Fie ecuația diferențială lineară și omogenă cu coeficienți constanți, de ordinul 3

a_{0}y^{\prime\prime\prime}+a_{1}y^{\prime\prime}+a_{2}y^{\prime}+a_{3}y=0

(104)

Presupunem că polinomul caracteristic asociat acestei ecuatii are o rădăcină reală $r$ și două rădăcini complexe $\alpha+i\beta$ . Ne propunem să determinăm intervale de lungime maximă, de forma $[a,b)$ , în care familia $Y_{3}$ a integralelor acestei ecuații diferențiale are proprietatea respectivă $I_{3}[a,b)$ (deci și proprietatea $I_{3}^{*}[a,b)$ ).

După cum s-a arătat în lucrarea [2], lungimea acestor intervale maximale de interpolaţie nu depinde de numărul a care reprezintă extremitatea din stînga a intervalului (aceasta, întrucît o astfel de ecuație diferențială rămîne neschimbată dacă se efectuează asupra variabilei independente o translație oarecare). Notînd cu $l$ lungimea căutată și luînd $a=0$ , problema revine la aflarea intervalului maxim de forma $[0,l)$ în care familia $Y_{3}$ are proprietatea $I_{3}[0,l)$ .

Tot în lucrarea [2] s-a arătat că folosind o schimbare de variabile de forma

x=\beta^{-1}t,\quad y=e^{\frac{a}{\beta}t}z(t)

ecuația diferențială dată se transformă într-o altă ecuație diferențială cu coeficienți constanți reali, al cărei polinom caracteristic să aibă că rădăcini complexe numerele $+i$ și $-i$ . Notînd cu $l^{*}$ lungimea intervalului maxim de forma $\left[0,l^{*}\right)$ în care mulțimea integralelor ecuației transformate are proprietatea $I_{3}\left[0,l^{*}\right)$ , se constată cu uşurinţă că are loc egalitatea $l=|\beta|^{-1}l^{*}$ . Astfel, fără a restrînge generalitatea problemei, se poate presupune că cele două rădăcini complexe ale polinomului caracteristic asociat ecuatiei date (104), sînt $+i$ și $-i$ . Vom nota tot cu $r$ , rădăcina reală a polinomului caracteristic asociat acestei ecuații. Mai observăm că putem presupune această rădăcină nenegativă, situație ce se poate întodeauna realiza, efectuînd schimbarea de variabilă independentă $x=-\xi$ .

Astfe1, vom presupune în cele ce urmează că rădăcinile polinomului caracteristic asociat ecuatiei diferențiale (104) sînt $r\geqq 0,+i$ şi $-i$ . In această ipoteză, integrala generală a ecuației (104) se va scrie

y(x)=C_{1}e^{rx}+C_{2}\sin x+C_{3}\cos x

(105)

Pentru aflarea numărului $l$ corespunzător, vom utiliza metoda de lucru prezentată anterior.

Determinăm întîi două integrale $h_{1}(x)$ și $h_{2}(x)$ ale ecuaţiei diferenţiale date, care să satisfacă condițiile:

	$\displaystyle h_{1}(0)=h_{1}^{\prime}(0)=0,\quad h_{1}^{\prime\prime}(0)=1$
	$\displaystyle h_{1}(0)=0,\quad h_{2}^{\prime}(0)=1,\quad h_{2}^{\prime\prime}(0)=0$		(106)

Se găsește că

		$\displaystyle h_{1}(x)=\frac{1}{1+r^{2}}\left(e^{rx}-r\sin x-\cos x\right)$
		$\displaystyle h_{2}(x)=\sin x$

Apoi, calculăm :

		$\displaystyle w_{1}(x)=h_{1}(x)=\frac{1}{1+r^{2}}\left(e^{rx}-r\sin x-\cos x\right)$
		$\displaystyle w_{2}(x)=\frac{1}{1+r^{2}}\left[e^{rx}(\cos x-r\sin x)-1\right]$

Va trebui să aflăm intervalul deschis maximal ( $0,l$ ) în care să aibă loc relatiil $w_{1}(x)\neq 0$ și $w_{2}(x)\neq 0$ . Lungimea $l$ a acestui interval este dată de formula $l=\min\left\{p_{1},p_{2}\right\}$ , unde $p_{1}$ și $p_{2}$ reprezintă cele mai mici rădăcini pozitive ale ecuațiilor $w_{1}(x)=0$ , respectiv $w_{2}(x)=0$ . Distingem următoarele două cazuri, după cum $r>0$ sau $r=0$ .

Cazul 1: $r>0$ .

Pentru a studia în acest caz comportarea funcţiei $w_{1}(x)$ în intervalul $(0,\infty)$ , calculăm.

\frac{d}{dx}w_{1}(x)=\frac{1}{1+r^{2}}\left(re^{rx}-r\cos x+\sin x\right)

Se observă direct că în cazul considerat are loc în intervalul ( $0,\pi$ ), inegalitatea $\frac{d}{dx}w_{1}(x)>0$ . Deci în acest interval, funcţia $w_{1}(x)$ este, crescătoare şi cum $w_{1}(0)=0$ , rezultă că $w_{1}(x)$ ia valori pozitive în intervalul ( $0,\pi$ ).

Pe de altă parte, observăm că dacă $x\geqq\pi$ , atunci au loc inegalităţile :

\left(1+r^{2}\right)w_{1}(x)=e^{rx}-r\sin x-\cos x>e^{r\pi}-r-1>0.

De aici rezultă că în intervalul [ $\pi,\infty$ ), funcția $w_{1}(x)$ nu se anulează, rămînînd mereu pozitivă. In definitiv, obținem rezultatul că în cazul considerat, funcția $w_{1}(x)$ nu are rădăcini pozitive.

În ceea ce priveşte comportarea funcţiei $w_{2}(x)$ , se obţine îndată că $\frac{d}{dx}w_{2}(x)=-e^{rx}\sin x$ , de unde se deduce că funcţia $w_{2}(x)$ este descres-
cătoare în intervalul ( $0,\pi$ ) și crescătoare în intervalul ( $\pi,2\pi$ ). Obținem următorul tablou de variatie:

$x$	0	$\pi$	$2\pi$
$\frac{d}{dx}w_{2}(x)$	$0---0$	+++++0
$w_{2}(x)$	$0\quad\searrow$	$\min\quad\nearrow\frac{1}{1+r^{2}}\left(e^{2\pi r}-1\right)$

Din acest tablou, se vede că dacă $r>0$ , atunci cea mai mică rădăcină pozitivă a funcţiei $w_{2}(x)$ este situată în intervalul ( $\pi,2\pi$ ).

În concluzie, în cazul $r>0$ considerat, avem $l=\rho_{2}$ .
Cazul 2: $r=0$ . In acest caz avem

w_{1}(x)=1-\cos x,\quad w_{2}(x)=\cos x-1,

şi se vede că $l=\rho_{1}=\rho_{2}=2\pi$ .
În definitiv, regăsim următorul rezultat stabilit pe altă cale în lucrarea [2]:

Dacă polinomul caracteristic asociat ecuatiei diferentiale (104) are o rădăcină reală $r\geqq 0$ , precum și două rădăcini complexe +i şi - $i$ , atunci numărul $l$ corespunzător ecuatiei diferentiale considerate este egal cu rădăcina din intervalul ( $\pi,2\pi$ ] a ecuatiei

\left(1+r^{2}\right)w_{2}(x)=e^{rx}(\cos x-r\sin x)-1=0

Institutul de calcul, Academia R.P.R. - Filiala Cluj.

BIBLIOGRAFIE:

1.

O. Ar a mă, Problema bilocală şi teorema inegalităților diferentiale cu noduri confundate, a lui S. A. Ciaplighin, pentru ecuatii diferentiale liniare de ordinul doi. Studii și Cerc. de Mat. (Cluj), IX, 7-38 (1958).
2.

O. Aramă, D. Ripianu, Asupra problemei polilocale pentru ecuatii diferentiale liniare cu coeficienți constanți (I). Studii şi Cerc. de Mat. (Cluj), VIII, 37-74 (1957).
3 - Asupra problemei polilocale pentru ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanţi (II). Studii şi Cerc. de Mat. (Cluj), VIII, 211-265 (1957).
3.
- •
  
  Asupra problemei polilocale cu noduri confundate pentru ecuatii diferentiale liniare cu coeficienți constanți. Studia Universitatum V. Babeş et Bolyai, III, 3 ser. I, 95-116 (1958).
4.

P. R. Beesack, Non-oscillation and disconjugacy in the complex domain. (doct. dis. Washington Univ., 1955). Dissert. Abstrs., 1955, 15, nr. 5, 837.
5.
- •
  
  Non-oscillation and disconjugacy in the complex domain. Trans. Amer. Math. Soc., 81, nr. 1, 211-242 (1956).
6.

M. Biernacki, Sur un problème d’interpolation relatif aux équations differentielles linéaires. Ann. de la Soc. Polon. de Math., XX, 169-214 (1947).
7.

S. Cinquini, Problemi di valori al contorno per equazioni differenziali di ordine $n$ . Ann. della R. Sc. Norm. Sup. un di Pisa, (2), 9, 61-77 (1940).
- •
  
  On the comparison theoreme of Kneser-Hille. Math. Scand., 5, 2,255-260 (1957).
8.

S. Z a i d m a n, Evaluări ale distanței între zerourile soluțiilor ecuatiilor diferentiale. Revista Univ. C. I. Parhon şi a Politehn. Bucureşti, nr. 6-7 (1955).

Rezultate comparative asupra unor probleme la limită polilocale pentru ecuaţii diferenţiale liniare

Abstract

Autori

Cuvinte cheie

PDF

Citați articolul în forma

Despre acest articol

Journal

Publisher Name

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Google Scholar Profile

Referinte

Lucrare in format HTML

REZULTATE COMPARATIVE ASUPRA UNOR PROBLEME LA LIMITA POLILOCALE PENTRU ECUAȚII DIFERENTIALE LINIARE

Cazul 2: $\alpha\geqq 2,(n\geqq 5)$ .

Demonstratia teoremei 1.

CONSECINTE

APLICATII

Exemplu:

Cazul 1: $r>0$ .

BIBLIOGRAFIE:

Related Posts

Rezultate comparative asupra unor probleme la limită polilocale pentru ecuaţii diferenţiale liniare

Abstract

Autori

Cuvinte cheie

PDF

Citați articolul în forma

Despre acest articol

Journal

Publisher Name

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Google Scholar Profile

Referinte

Lucrare in format HTML

REZULTATE COMPARATIVE ASUPRA UNOR PROBLEME LA LIMITA POLILOCALE PENTRU ECUAȚII DIFERENTIALE LINIARE

Cazul 2: α≧2,(n≧5)\alpha\geqq 2,(n\geqq 5).

Demonstratia teoremei 1.

CONSECINTE

APLICATII

Exemplu:

Cazul 1: r>0r>0.

BIBLIOGRAFIE:

Related Posts

Cazul 2: $\alpha\geqq 2,(n\geqq 5)$ .

Cazul 1: $r>0$ .