Abstract
Autori
Dumitru V. Ionescu
Institutul de Calcul
Cuvinte cheie
Citați articolul în forma
D.V. Ionescu, Forma canonică a unui determinant și aplicațiile sale. (Romanian) Stud. Cerc. Mat. (Cluj), 10 1959 33–44.
Despre acest articol
Journal
Studii şi cercetări matematice
Publisher Name
Academia Republicii S.R.
Print ISSN
Not available yet.
Online ISSN
Not available yet.
Google Scholar Profile
Referințe
??
Lucrare in format HTML
FORMA CANONICĂ A UNUI DETERMINANT ȘI APLICAȚIILE EI
DE
Se știe că o matrice oarecare cu elemente dintr-un corp dat, se poate aduce la o formă canonică prin transformări elementare repetate în mod convenabil. Transformările elementare sînt următoarele :
T_(1) : se schimbă o linie cu altă linie ;
T_(2) : se înmulțesc elementele unei linii cu un factor și se adună la elementele unei alte linii.
T_(1) : se schimbă o linie cu altă linie ;
T_(2) : se înmulțesc elementele unei linii cu un factor și se adună la elementele unei alte linii.
Schimbînd în definițiile precedente cuvîntul "linie" cu cuvîntul ,,coloană", se obțin transformările T_(1)^('),T_(2)^(').
În particular, dacă matricea este patrată
A=||{:[a_(11),a_(12),dots,a_(1n)],[a_(21),a_(22),dots,a_(2n)],[*,*,dots,*],[a_(n1),a_(n2),dots,a_(nn)]:}||
forma ei canonică este
A^(**)=||[[a_(1),,,,],[,a_(2),,,],[,,ddots,,],[,,,a_(j),],[,,,0,],[0,,,ddots,],[,,,,0]]
cu toate elementele, în afară de diagonală, egale cu zero.
Vom numi forma canonică a determinantului D=|A|, determinantul D^(**)=|A^(**)|.
Vom numi forma canonică a determinantului D=|A|, determinantul D^(**)=|A^(**)|.
În general avem D=D^(**) sau D=-D^(**), de unde rezultă :
1^(@). Dacă D!=0, atunci forma canonică a lui D este
1^(@). Dacă D!=0, atunci forma canonică a lui D este
3 - Studii şi cercetări de matematică
D^(**)=|{:[a_(1),,,0],[,a_(2),,],[,,ddots,],[,0,,a_(n)]:}|
cu toate elementele diagonalei diferite de zero, și reciproc.
2^(@). Dacă D=0, atunci forma canonică a lui D este
2^(@). Dacă D=0, atunci forma canonică a lui D este
D^(**)=||[[a_(1),,,,,0],[,a_(2),,,,0],[,,ddots,,,],[,,,a_(j),,],[0,,,,0,],[,,,,,0]]
cu cel puțin un element al diagonalei egal cu zero, și reciproc.
În această lucrare vom face aplicații ale formei canonice a unui determinant. Deși am făcut mai multe, ne vom mărgini numai la două și anume :
1^(@). demonstrarea formulei bine cunoscute care leagă determinantul reciproc de un ordin dat al determinantului D, de determinantul D;
2^(@). demonstrarea identităt,ii bine cunoscute a lui Sylvester.
Demonstrațiile ce le vom face se vor baza pe următoarea idee:
Să presurunem că avem de calculat un determinant Delta care corespunde la un determinant D oarecare. Dacă se poate pune în evidență un invariant f(D,Delta) pentru orice transformare elementară T_(1),T_(2),T_(1)^('),T_(2)^('), atunci vom avea
În această lucrare vom face aplicații ale formei canonice a unui determinant. Deși am făcut mai multe, ne vom mărgini numai la două și anume :
1^(@). demonstrarea formulei bine cunoscute care leagă determinantul reciproc de un ordin dat al determinantului D, de determinantul D;
2^(@). demonstrarea identităt,ii bine cunoscute a lui Sylvester.
Demonstrațiile ce le vom face se vor baza pe următoarea idee:
Să presurunem că avem de calculat un determinant Delta care corespunde la un determinant D oarecare. Dacă se poate pune în evidență un invariant f(D,Delta) pentru orice transformare elementară T_(1),T_(2),T_(1)^('),T_(2)^('), atunci vom avea
f(D,Delta)=f(D^(**),Delta^(**))
unde Delta^(**) este determinantul care corespunde la forma canonică D^(**) a determinantului D. Dacă determinantul Delta^(**) se calculează direct și ușor din D^(**), atunci formula precedentă ne va da pe Delta.
§ 1. Determinantul reciproe de ordinul j al unui determinant
Fie
{:(1)D=|{:[a_(11),a_(12),dots,a_(1n)],[a_(21),a_(22),dots,a_(2n)],[*,*,dots,*],[a_(n1),a_(n2),dots,a_(nn)]:}|:}
un determinant oarecare și să considerăm minorii lui de ordinul j.
{:(2)a({:[i_(1)",",i_(2)",",dots","],[k_(1)",",k_(2)",",dots","],[k_(j)]:}):}
formaţi cu elementele determinantului D, comune liniilor de rang i_(1),i_(2),dots dots,i_(j) şi coloanelor de rang k_(1),k_(2),dots,k_(j). Grupările ( i_(1),i_(2),dots,i_(j) ), (k_(1),k_(2),dots,k_(j)) se fac cu j indici dintre indicii 1,2,dots,n. Numărul tuturor
minorilor de forma (2) este ((n)/(j))^(2). Vom aranja aceşti minori într-un determinant Delta_(j) cu ((n)/(j)) linii și ((n)/(j)) coloane în modul următor. Aranjăm toate grupările de j indici (alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(j)) luați dintre indicii 1,2,dots,n într-un şir S, astfel ca (alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(j)),(alpha_(1)^('),alpha_(2)^('),dots,alpha_(j)^(')) fiind doi termeni consecutivi ai şirului, să avem alpha_(h) <= alpha_(h)^(') pentru h=1,2,dots,j.
minorilor de forma (2) este ((n)/(j))^(2). Vom aranja aceşti minori într-un determinant Delta_(j) cu ((n)/(j)) linii și ((n)/(j)) coloane în modul următor. Aranjăm toate grupările de j indici (alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(j)) luați dintre indicii 1,2,dots,n într-un şir S, astfel ca (alpha_(1),alpha_(2),dots,alpha_(j)),(alpha_(1)^('),alpha_(2)^('),dots,alpha_(j)^(')) fiind doi termeni consecutivi ai şirului, să avem alpha_(h) <= alpha_(h)^(') pentru h=1,2,dots,j.
Vom forma determinantul Delta_(j), făcînd ca grupările ( i_(1),i_(2),dots,i_(j) ) și (k_(1),k_(2),dots,k_(j)) să parcurgă toți termenii şirului S.
Se notează
{:(3)Delta_(j)=|a({:[i_(1)",",i_(2)",",dots","],[k_(1)",",k_(2)",",dots","],[k_(j),]:})|:}
determinantul reciproc de ordinul j, al lui D. Acești determinanți au fost considerați pentru prima dată de Cauchy. S-a demonstrat că
{:(4)Delta_(j)=D^(((n-1)/(j-1))):}
Vom da demonstrația acestei formule utilizînd forma canonică a determinantului D.
Purtîndu-ne atenția asupra primelor două linii ale determinantului D, vom scrie determinantul Delta_(j) sub forma
Delta_(j)={:[ dots dots dots dots dots dots],[a((1,2,i_(3),dots,i_(j))/(k_(1),k_(2),k_(3),dots,k_(j)))],[ dots dots dots dots dots dots dots],[a((1,i_(2),i_(3),dots,i_(j))/(k_(1),k_(2),k_(3),dots,k_(j)))],[ dots dots dots dots dots dots","],[a((2,i_(2),i_(3),dots,)/(k_(1),k_(2),k_(3),dots,k_(j)))],[ dots dots dots dots dots dots dots],[a({:[i_(1)","i_(2)","i_(3)","dots","],[k_(1)","k_(2)","k_(3)","dots","k_(j)],[dots dots dots dots dots dots","dots]:})]:}
în care s -au pus în evidenţă elementele coloanei ( k_(1),k_(2),dots,k_(j) ).
În primele linii ale determinantului Delta_(j)s-au pus în evidență liniile cu minorii de ordinul j ai determinantului D care conțin prımele două linii ; (i_(3),i_(4),dots,i_(j)) fiind o grupare oarecare cu j-2 indici luați dintre indicii 3,4,dots,n, numărul acestor linii este ((n-2)/(j-2)).
În primele linii ale determinantului Delta_(j)s-au pus în evidență liniile cu minorii de ordinul j ai determinantului D care conțin prımele două linii ; (i_(3),i_(4),dots,i_(j)) fiind o grupare oarecare cu j-2 indici luați dintre indicii 3,4,dots,n, numărul acestor linii este ((n-2)/(j-2)).
In liniile următoare s-au pus în evidenţă minorii din determinantul D, cu j linii dintre care prima este linia 1-a și apoi linia a 2-a din determinantul D;(i_(2),dots,i_(j)) este o grupare cu j-1 indici luaţi dintre
indicii (3,4,dots,n), numărul acestor linii epsilon ste ((n-2)/(j-1)). In fine, în liniile următoare ( i_(1),i_(2)dots,i_(j) ) este o grupare cu j indici luați dintre indicii 3,4,dots,n. Numărul acestor linii este ((n-2)/(j)). Se verifică uşor că numărul tuturor liniilor este
indicii (3,4,dots,n), numărul acestor linii epsilon ste ((n-2)/(j-1)). In fine, în liniile următoare ( i_(1),i_(2)dots,i_(j) ) este o grupare cu j indici luați dintre indicii 3,4,dots,n. Numărul acestor linii este ((n-2)/(j)). Se verifică uşor că numărul tuturor liniilor este
((n-2)/(j-2))+((n-2)/(j-1))+((n-2)/(j-1))+((n-2)/(j))=((n)/(j)).
Dacă în determinantul D se schimbă linia întîia cu a doua, se obține determinantul
bar(D)=|{:[a_(21),a_(22),dots,a_(2n)],[a_(11),a_(12),dots,a_(1n)],[dots,dots,dots,dots],[a_(n1),a_(n2),dots,a_(nn)]:}|=-D
și determinantul reciproc de ordinul j corespunzător lui bar(D) este
Ținînd seama că
a({:[2",",1","i_(3)",",dots",",i_(j)],[k_(1)",",k_(2)",",k_(3)",",dots","],[k_(j)]:})=-a({:[1","],[k_(1)","],[k_(2)","],[k_(3)","]:},dots,i_(j),dots,k_(j))
şi permutînd linia marcată prin a((1,i_(2),dots,i_(j))/(k_(1),k_(2),dots,k_(j))) cu linia marcată prin a({:[2",",i_(2)",",dots","],[k_(1)",",k_(2),dots","]:}), bar(Delta)_(j) schimbînd semnul la fiecare permutare, deducem că
bar(Delta)_(j)=(-1)^(((n-1)/(j-1)))Delta_(j)
deoarece bar(Delta_(j)) schimbă semnu1 de ((n-2)/(j-1)) ori, se poate scoate -1 factor pe primele n-2 linii şi
((n-2)/(j-2))+((n-2)/(j-1))=((n-1)/(j-1))
Se arată în mod analog că dacă în determinantul D se schimbă două linii oarecare sau două coloane oarecare, avem formulele
{:(5) bar(D)=-D","quad bar(Delta)_(j)=(-1)^(((n-1)/(j-1)))Delta_(j):}
urde s-a notat cu bar(D) ce devine D prin schimbarea făcută și apoi prin bar(Delta), determinartul reciproc de ordinul j al lui bar(D).
In determinantul D, să adunăm la clementele liniei 1-a, elementele iniei a 2- a înmulțite cu lambda, adică să considerăm determinantul
bar(bar(D))=|{:[a_(11)+lambdaa_(21),a_(12)+lambdaa_(22),dots,a_(1n)+lambdaa_(2n)],[a_(21),a_(22),dots,a_(2n)],[a_(n1),a_(n2),dots,.],[.,dots,a_(nn)]:}|
Determinantul reciproc de ordinul j al lui bar(bar(D)) este
Cînd 1 d elementele unei linii oarecare a lui D, se adună elementele altei linii înmulțite cu un număr oarecare, sau la elementele unei coloane oarecare se adună elementele unei alte coloane înmulțite cu un număr oarecare, avem formulele
{:(6) bar(bar(D))=D","quad bar(bar(Delta))_(j)=Delta_(j):}
unde s-a notat cu bar(bar(D)) ce devine D prin transformarea făcută şi apoi prin bar(bar(Delta)), determinantul reciproc de ordinul j al lui bar(bar(D)).
Fie D^(**) determinantul canonic al lui D şi Delta_(j)^(**) determinantul reciproc de ordinul j al lui D^(**).
Deoarece determinantul D^(**) se obţine din D prin transformările T_(1), T_(2),T_(1)^('),T_(2)^(') convenabil repetate şi avem formulele (4), (5), determinantul Delta_(j)^(**) va fi egal cu Delta_(j) sau va diferi de Delta_(j) prin semn.
Dacă D=0, în forma canonică D^(**) va exista cel puțin un zero pe diagonala principală, iar Delta_(j^(⃛))^(j)𝒿 va avea de asemenea cel puțin un element zero pe diagonala principală, adică vom avea Delta_(j)^(**)=0. Se deduce prin urmare că dacă D=0, atunci vom avea și Delta_(j)=0.
Dacă D!=0, forma lui canonică este
D^(**)=|{:[a_(1),,0],[,a_(2),],[0,ddots,],[0,,a_(n)]:}|=a_(1)a_(2)dotsa_(n)
Determinantul Delta_(3)^(j^(⃛)), corespunzător 1ui D^(**), este
{:(7)Delta_(j)^(**)=|{:[a_(1)a_(2)dotsa_(j),,,],[a_(1)a_(3)dotsa_(j+1),,],[,ddots,,0],[0,ddots,],[,,ddots,a_(n-j+1)a_(n-j+2)dotsa_(n)]:}|=(a_(1)a_(2)dotsa_(n))^(((n-1)/(j-1)))=(D^(**))^(((n-1)/(j-1))):}
Formulele (5) şi (6) arată că
( bar(Delta)_(j))/((( bar(D)))^(((n-1)/(j-1))))=(Delta_(j))/(D^(((n-1)/(j-1))))quad;quad( bar(bar(Delta))_(j))/(( bar(bar(D)))^(((n-1)/(j-1))))=(Delta_(j))/(D^(((n-1)/(j-1))))
şi prin urmare cîtul (Delta_(j))/(D^(((n-1)/(j-1)))) este invariant pentru transformările T_(1),T_(2), T_(1)^('),T_(2)^('). Deci vom avea
{:(8)(Delta_(j))/(D^(((n-1)/(j-1))))=(Delta_(j)^(**))/((D^(**))^(((n-1)/(j-1)))):}
Însă formula (7) arată că membrul al doilea al formulei (8) este 1, de unde rezultă formula (4), care este valabilă şi pentru D=0, după cum s-a arătat mai sus.
§ 2. Identitatea lui Sylvester
Să considerăm determinanții
{:(9)D=|{:[a_(11),a_(12),dots,a_(1n)],[a_(21),a_(22),dots,a_(2n)],[*,*,dots,],[a_(n1),a_(n2),dots,a_(nn)]:}|","quad B=|{:[b_(11),b_(12),dots,b_(1m)],[b_(21),b_(22),dots,b_(2m)],[*,*,dots,*],[b_(m1),b_(m2),dots,b_(mm)]:}|:}
şi elementele
{:(10)C_(ik)=|{:[,,,{:[q_(1k)],[.],[.],[D]:}],[p_(i1),dots,p_(in),b_(ik)]:}|:}
unde i,k=1,2,dots,m. Vrem să calculăm determinantul
{:(11)C=|{:[c_(11),c_(12),dots,c_(1m)],[c_(21),c_(22),dots,c_(2m)],[*,*,*,*],[c_(m1),c_(m2),*,*],[*,c_(mm)]:}|:}
şi să demonstrăm identitatea lui Sylvester.
{:(12)C=D^(m-1)|{:[a_(11),dots,a_(1n),q_(11),dots,q_(1m)],[*,,*,*,,*],[*,,*,*,,*],[*,,*,*,,*],[a_(n1),dots,a_(nn),q_(n1),dots,q_(nm)],[p_(11),dots,p_(1n),b_(11),dots,b_(1m)],[*,,*,*,,*],[*,,*,*,,*],[p_(m_(1)),dots,p_(mn),b_(m_(1)),dots,b_(mm)]:}|:}
Vom da o demonstrație bazată pe reducerea unui determinant la forma lui canonică.
Fie bar(D) determinantul obținut din D schimbînd două linii între ele, și bar(C) determinantul format cu elementele bar(c_(ik)) obținute făcînd în determinantul c_(ik) aceleași schimbări de linii ca și în determinantul D. Avem
{:(13) bar(D)=-D","quad bar(c_(ik))=-c_(ik)","quad bar(C)=(-1)^(m)C:}
și aceste formule sînt valabile şi dacă în determinantul D se schimbă două coloane între ele.
Fie bar(bar(D)) determinantul obținut din D, adăugînd la elementele unei linii elementele altei linii înmulțite cu factorul lambda. Notăm cu bar(bar(C)) determinantul format cu elementele bar(c_(ik)) obținute făcînd în determinantul c_(ik) aceeaşi transformare ca și în determinantul D. Vom avea
{:(14) bar(bar(D))=D","quad bar(bar(c_(ik)))=c_(ik)","quad bar(bar(C))=C:}
aceste formule fiind valabile și dacă în determinantul D se adună la elementele unei coloane, elementele altei coloane înmulțite cu un factor mu.
Fie D^(**) forma canonică a determinantului D, adică
şi
şi
{:[D^(**)=|{:[a_(1),,,,0],[,a_(2),,,,0],[,,ddots,,,],[,,,a_(j),,],[0,,,,ddots,],[,,,,,0]:}|],[c_(ik)^(**)=|{:[,,,,|{:[q_(1k)^(**)],[vdots],[]:}],[,D^(**),,],[,,,,q_(nk)^(**)],[p_(11)^(**),dots,.,p_(in)^(**),b_(ik)]:}|]:}
ur de p_(ij^(¨))^(**) şi q_(k^(¨))^(**) sînt elementele deduse din elementele p_(i1),dots,p_(in) şi q_(1k),dots,q_(k,k) rin transformările care aduc pe D la forma lui canonică D^(**). Avem
C^(**)=|{:[c_(i1)^(**),cdots,c_(1,n)^(**)],[*,,*],[*,,*],[*,,*],[c_(m1)^(**),cdots,c_(mm)^(**)]:}|
Dacă j <= n-2, atunci se vede imediat - dezvoltînd determinantul c_(c_(k))^(**) după elementele penultimei coloane - că c_(i_(k)^(**))^(**)=0, şi prin urmare C^(**)=0.
Dacă însă j=n-1, dar m > 1, atunci dezvoltînd determinantul sik după elementele penultimei coloane, obținem
și deci
și deci
c_(ik)^(**)=-a_(1)a_(2)dotsa_(n-1)p_(in)^(**)q_(nk)^(**)
C^(**)=(-a_(1)a_(2)dotsa_(n-1))^(m)|{:[p_(1n)^(**)q_(n1)^(**),p_(1n)^(**)q_(n2)^(**),dots,p_(1n)^(**)q_(nm)^(**)],[p_(2n)^(**)q_(n1)^(**),p_(2n)^(**)q_(n2)^(**),dots,p_(n2)^(**)q_(nm)^(**)],[*,*,dots,*],[p_(mn)^(**)q_(n1)^(**),p_(mn)^(**)q_(n2)^(**),dots,p_(mn)^(**)q_(nm)^(**)]:}|=0.
Deci am demonstrat că dacă D=0, avem de asemenea C^(**)=0, cu condiția ca în cazul cînd j=n-1 să avem m > 1. Din formulele (13) și (14) se deduce că determinantul C^(**) este egal cu C sau diferă de C prin semn. Rezultă că dacă avem D=0, avem de asemenea C=0 (cazul cînd j=n-1 iar m=1, se rezervă pentru mai tîrziu).
Să presupunem D!=0, şi fie D^(**) forma lui canonică
D^(**)=|{:[a_(1),,,0],[,a_(2),,],[,,ddots,],[0,,a_(n)]:}|;
elementele c_(ik)^(**) corespunzătoare sînt
c_(ik)^(**)=|{:[a_(1),,,0],[,a_(2),,],[,,,vdots],[,,ddots,],[0,,,a_(n)^(**)],[q_(ki)^(**),p_(ki)^(**),dots,q_(in)^(**)],[q_(kik)^(**)]:}|
Dezvoltînd acest determinant dură elementele ultimei lui coloane, şi purînd pe a_(1)a_(2)dotsa_(n)=D^(**) în factor, avem
c_(ik)^(**)=D^(**)(b_(ik)-(p_(i1)^(**)q_(1k)^(**))/(a_(1))-(p_(i2)^(**))/(a_(2))(q_(2k)^(**))/(a_(2)^(**))-dots-(p_(in)^(**))/(a_(n))q_(nk)^(**))=D^(**)b_(ik)^(').
Determinantul C^(**) se poate scrie sub forma
C^(**)=(D^(**))^(m)|{:[1,0,dots,0,(q_(11)^(**))/(a_(1)),(q_(12)^(**))/(a_(1)),dots,(q_(1m)^(**))/(a_(1))],[0,1,dots,0,(q_(21)^(**))/(a_(2)),(q_(22)^(**))/(a_(2)),dots,(q_(2m)^(**))/(a_(2))],[.,.,dots,.,.,.,.,dots],[0,0,dots,1,(q_(n1)^(**))/(a_(n)),(q_(n2)^(**))/(a_(n)),dots,(q_(nm)^(**))/(a_(n))],[0,0,dots,0,0,b_(11)^('),b_(12)^('),dots],[0,0,dots,0,b_(21)^('),b_(22)^('),dots,b_(1m)^(')],[.,.,dots,.,.,b_(2m)^('),.,.]:}
Înmulțind elementele liniilor 1 - a, a 2 -a, dots, a n-a cu p_(11)^(**),p_(12)^(**),dots,p_(1n)^(**) și adunînd la elementele liniei a (n+1)-a, acestea devin
p_(11)^(**),p_(12)^(**),dots,p_(1n)^(**),b_(11),b_(12),dots,b_(1m).
Făcînd operatii analoage pentru liniile de rang n+2,n+3,dots,n+m obtinem
C^(**)=(D^(**))^(m)|{:[1,0,dots,0,(q_(11)^(**))/(a_(1)),(q_(12)^(**))/(a_(1)),dots,(q_(1m)^(**))/(a_(1))],[0,1,dots,0,(q_(21)^(**))/(a_(2)),(q_(22)^(**))/(a_(2)),dots,(q_(2m)^(**))/(a_(2))],[.,.,dots,.,.,.,.,dots],[0,0,dots,1,(q_(n1)^(**))/(a_(n)),(q_(n2)^(**))/(a_(n)),dots,.],[p_(11)^(**),p_(12)^(**),dots,p_(1n)^(**),b_(11),b_(12),dots,dots],[p_(21)^(**),p_(22)^(**),dots,p_(2n)^(**),b_(21)^(**),b_(22),dots,b_(1m)],[.,.,dots,.,.,.,dots,b_(2m)],[p_(m1)^(**),p_(m2)^(**),dots,p_(mn)^(**),b_(m1),b_(m2),dots,b_(mm)]:}|
sau
{:(15)C^(**)=(D^(**))^(m-1)|{:[a_(1),0,dots,0,q_(11)^(**),q_(12)^(**),dots,q_(1m)^(**)],[0,a_(2),dots,0,q_(21)^(**),q_(22)^(**),dots,q_(2m)^(**)],[.,.,dots,.,.,.,dots,.],[0,0,dots,a,q_(n1)^(**),q_(n2)^(**),dots,q_(nm)^(**)],[p_(11)^(**),p_(12)^(**),dots,p_(1n)^(**),b_(11),b_(12),dots,b_(1m)],[p_(21)^(**),p_(22)^(**),dots,p_(2n)^(**),b_(21),b_(22),dots,b_(2m)],[.,.,dots,.,.,.,dots,.],[p_(m1)^(**),p_(m2)^(**),dots,p_(mn)^(**),b_(m1),b_(m2),dots,b_(mm)]:}|:}
Din formulele (13) și (14) se deduce că
(( bar(C)))/((( bar(D)))^(m))=(C)/(D^(m))quad"şi"quad( bar(bar(C)))/(( bar(bar(D)))^(m))=(C)/(D^(m))ş
adică (C)/(D^(m)) este un invariant pentru transformările T_(1),T_(2),T_(1)^('),T_(2)^('). Vom avea atunci
(C)/(D^(m))=(C^(**))/((D^(**))^(m))
și ţinînd seama de formula (15), deducem că
{:(16)(C)/(D^(m))=(Delta^(**))/(D^(**)):}
unde Delta^(**) este determinantul din membrul al doilea al formulei (15).
Să considerăm acum determinantul
Delta=|{:[a_(11),a_(12),dots,a_(1n),q_(11),q_(12),dots,q_(1m)],[a_(21),a_(22),dots,a_(2n),q_(21),q_(22),dots,q_(2m)],[.,.,dots,.,.,.,dots,.],[a_(n1),a_(n2),dots,a_(nn),q_(n1),q_(n2),dots,q_(nm)],[p_(11),p_(12),dots,p_(1n),b_(11),b_(12),dots,b_(1m)],[p_(21),p_(22),dots,p_(2n),b_(21),b_(22),dots,b_(2m)],[.,.,dots,.,.,.,dots,.],[p_(m1),p_(m2),dots,p_(mn),b_(m1),b_(m2),dots,b_(mm)]:}|
Fie bar(D) determinantul care se obţine schimbînd în D două linii sau două coloane între ele. Notăm cu bar(Delta) determinantul care se obține făcînd aceeaşi transformare ca și în D pe linii sau pe coloane. Vom avea
bar(D)=-D,quad bar(Delta)=-Delta
Fie acum bar(bar(D)) determinantul care se obține adunînd la elementele unei linii a lui D, elementele altei linii înmulțite cu un factor lambda, sau care se obtine adunînd la elementele unei coloane a lui D, elementele altei coloane înmulțite cu un factor mu. Notăm cu bar(bar(Delta)) determinantul care se obține din Delta făcînd aceeaşi transformare ca și în D, pe linii sau pe coloane. Vom avea
bar(D)=D,quad bar(bar(Delta))=Delta
Din aceste formule rezultă că
(( bar(Delta)))/(( bar(D)))=(Delta )/(D),quad(( bar(Delta)))/(( bar(D)))=(Delta )/(D)
adică (Delta )/(D) este un invariant pentru transformările T_(1),T_(2),T_(1)^('),T_(2)^(').
Rezultă că
Rezultă că
{:(17)(Delta )/(D)=(Delta^(**))/(D^(**)):}
unde D^(**) este forma canonică a lui D, iar Delta^(**) este determinantul din membrul al doilea al formulei (15).
Formulele (16) și (17) ne arată atunci că
(C)/(D^(m))=(Delta )/(D)
de unde rezultă că
C=D^(m-1)Delta
şi cu aceasta, identitatea (12) a lui Sylvester este demonstrată.
Cazul j=n-1,m=1 este banal, determinantul C se reduce 1a un singur element c_(11). Formula (12) a lui Sylvester este în acest caz o identitate banală, factorul D^(m-1) din membrul al doilea care apare ca 0^(@) trebuind să fie socotit egal cu 1 .
Cazul j=n-1,m=1 este banal, determinantul C se reduce 1a un singur element c_(11). Formula (12) a lui Sylvester este în acest caz o identitate banală, factorul D^(m-1) din membrul al doilea care apare ca 0^(@) trebuind să fie socotit egal cu 1 .
КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ОДНОГО ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
(Краткое содержание)
Известно, что элементарными преобразованиями T_(1),T_(2) и T_(1)^('),T_(2)^('), произведенными над строками и столбцами, матрица A=||a_(i)^(k)||_(1)^(n) сводится к канонической форме A^(**). Назовем канонической формой определителя D=|A| определитель D^(**)=|A^(**)|.
В настоящей работе даны применения канонической формы определителя, причем доказывается формула (4) для взаимного определителя Delta (порядка j ) определителя D. Доказывается также тождество (12) Сильвестера.
Доказательства опираются на следующую идею:
Пусть требуется вычислить определитель Delta, соответствующий некоторуму определителю D. Если найден инвариант f(D,Delta) преобразований T_(1),T_(2),T_(1)^('),T_(2)^('), тогда из равенства
Пусть требуется вычислить определитель Delta, соответствующий некоторуму определителю D. Если найден инвариант f(D,Delta) преобразований T_(1),T_(2),T_(1)^('),T_(2)^('), тогда из равенства
f(D,Delta)=f(D^(**),Delta^(**))
выводится Delta, так как Delta^(**) можно легко вычислить.
LA FORME CANONIQUE D'UN DÉTERMINANT FIT SES APPLICATIONS
(Résumé)
On sait que par des transformations élémentaires T_(1),T_(2) et T_(1)^('),T_(2)^('), effectuées sur les lignes et les colonnes d'une matrice A=||a_(ik)||_(1)^(n), on ramène celle-ci à la forme canonique A^(**). On appelle forme canonique du déterminant D=|A|, le déterminant D^(**)=|A^(**)|.
(Résumé)
On sait que par des transformations élémentaires T_(1),T_(2) et T_(1)^('),T_(2)^('), effectuées sur les lignes et les colonnes d'une matrice A=||a_(ik)||_(1)^(n), on ramène celle-ci à la forme canonique A^(**). On appelle forme canonique du déterminant D=|A|, le déterminant D^(**)=|A^(**)|.
Dans ce travail, on fait des applications de la forme canonique d'un déterminant, en démontrant la formule (4) pour le déterminant réciproque Delta, d'ordre j, d'un déterminant D, et en démontrant l'identité (12) de Sylvester.
Les démonstrations données sont basées sur l'idée suivante :
Supposons que nous ayons à calculer un déterminant Delta qui correspond à un déterminant D quelconque. Si l'on peut mettre en évidence un invariant f(D,Delta) pour les transformations T_(1),T_(2),T^(')_(1),T^(')_(2), alors de l'égalité
Supposons que nous ayons à calculer un déterminant Delta qui correspond à un déterminant D quelconque. Si l'on peut mettre en évidence un invariant f(D,Delta) pour les transformations T_(1),T_(2),T^(')_(1),T^(')_(2), alors de l'égalité
f(D,Delta)=f(D^(**),Delta^(**))
on peut tirer Delta, en calculant facilement Delta^(**).