Comunicare prezentată la ședința de comunicări a Institutului de calcul al Academiei R.P.R.,
Filiala Cluj, din 23 decembrie 1957

În această lucrare se dă răspuns unei probleme puse de prof. T. Popoviciu, anume aceea de a se cerceta legătura dintre proprietatea de interpolație a familiei de integrale a unei ecuații diferențiale liniare și proprietatea de convexitate ¹ ) față de această familie a funcțiilor ce fac pozitiv primul membru al ecuației diferențiale respective. Această problemă a fost pusă în scopul obținerii de condiții necesare și suficiente pentru ca problema bilocală (cu noduri simple) pentru ecuația diferențială considerată să admită soluție.

În cazul cînd proprietatea de convexitate amintită mai sus este concepută pentru noduri simple și distincte, problema a fost rezolvată într-un caz general de E. Moldovan [1].

În lucrarea de față se studiază problema enunțată, în cazul cînd proprietatea de convexitate este definită cu noduri confundate, în sensul aceleea care intervine în «teorema inegalităților diferențiale» a lui S. A. Ciaplîghin pentru ecuația diferențială liniară de ordinul 2, cu coeficienți variabili. Pentru ușurarea expunerii, introducem următoarele definiții și notații.

Definiția 1. Fie $F$ o familie de funcții $f(x)$, de o variabilă reală $x$, definite în intervalul ( $a,b$ ) și continue în acest interval. Spunem că o astfel de familie $F$, posedă proprietatea $I_{2}(a,b)$, adică este interpolatoare de ordinul 2 în intervalul deschis ( $a,b$ ), dacă oricare ar fi două noduri distincte $x_{1}$ și $x_{2}\operatorname{din}(a,b)$, și oricare ar fi valorile reale $y_{1}$ și $y_{2}$, există o funcție și una singură $f(x)$, aparținînd familiei $F$, care satisface condițiile $f\left(x_{1}\right)=y_{1}$ și $f\left(x_{2}\right)=y_{2}$.

Definiția 2. Spunem că o familie $F$ de funcții $f(x)$ definite și continue într-un interval $(a,b)$ posedă proprietatea $N_{2}(a,b)$ (elementele ei sînt între ele neoscilatoare de ordinul doi în intervalul ( $a,b$ )), dacă două funcții oarecare $f_{1}(x)$ și $f_{2}(x)$ distincte din $F$ nu pot lua valori egale în $(a,b)$ decît cel mult într-un singur punct din acel interval.

Definiția 3. Considerăm un operator diferențial liniar

unde $p(x)$ și $q(x)$ sînt funcții continue în $(a,b)$, - definit, pe mulțimea $C_{2}(a,b)$ a funcțiilor continue împreună cu derivatele lor de ordinul 1 și 2 în ( $a,b$ ). Fie $x_{0}$ un punct din intervalul ( $a,b$ ). Vom spune că operatorul $L(y)$ posedă proprietatea $T_{x_{0}}^{(2)}(a,b)$, dacă oricare ar fi funcția $y(x)$, aparținînd mulțimii $C_{2}(a,b)$ și satisfăcînd în intervalul $(a,b)$ inegalitatea $L(y)>0$ precum și condițiile $y\left(x_{0}\right)==y^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$, atunci acea funcție verifică în tot intervalul $(a,b)$ inegalitatea $y(x)\geq 0$, semnul egal avînd loc numai în punctul $x_{0}$.

Vom spune că operatorul diferențial $L(y)$ posedă proprietatea $T_{2}(a,b)$, dacă el posedă proprietatea $T_{x_{0}}^{(2)}(a,b)$, oricare ar fi $x_{0}\in(a,b)$.

Observație. Definițiile 1, 2, 3, de mai sus, se pot enunța și relativ la un interval închis $[a,b]$. În acest caz, proprietățile respective le vom nota precum urmează: $I_{2}[a,b],N_{2}[a,b],T_{x_{0}}^{(2)}[a,b]$, unde $x_{0}\in[a,b]$ și $T_{2}[a,b]$. În cele ce urmează, cînd se va vorbi de vreuna dintre aceste proprietăți, se va subînțelege întotdeauna că funcțiile $p(x)$ și $q(x)$, ce intervin în expresia operatorului $L(y)$, sînt continue în intervalul închis $[a,b]$.

În această lucrare se stabilește întîi următoarea teoremă de echivalență.
Teorema 1. Fie o ecuație diferențială liniară de ordinul doi

avînd coeficientii $p(x),q(x),r(x)$ continui în intervalul deschis ( $a,b$ ). Fie $Y$ familia integralelor $y(x)$ a ecuației (1), în ( $a,b$ ). Condiţia necesară și suficientă ca familia $Y$ să posede proprietatea $I_{2}(a,b)$ sau $N_{2}(a,b)$, este ca operatorul diferential $L(y)$ să posede proprietatea $T_{2}(a,b)$.

Pentru demonstrarea acestei teoreme, vom enunța în prealabil cîteva proprietăți ajutătoare.

Asociem ecuației diferențiale (1), ecuația diferențială omogenă

să notăm cu $Y_{0}$ mulțimea integralelor particulare ale acestei ecuații. Au loc următoarele leme, a căror demonstrație este imediată.

Le m a $1.{}^{1}$ ) Condiția necesară și suficientă ca familia $Y$ a integralelor ecuației (1) să posede proprietatea $I_{2}(a,b)$ respectiv $I_{2}[a,b]$, este ca familia $Y_{0}$ a ecuației diferentiale omogene (2), să posede proprietatea $I_{2}(a,b)$, respectiv $I_{2}[a,b]$.

Lema 2. Condiția necesară și suficientă ca familia $Y_{0}$ să posede proprietatea $I_{2}(a,b)$, respectiv $I_{2}[a,b]$, este ca această familie să posede proprietatea $N_{2}(a,b)$, respectiv $N_{2}[a,b]$.

Lema 3. Condiția necesară și suficientă ca familia $Y_{0}$ să aibe proprietatea $I_{2}[a,b)$, respectiv $I_{2}[a,b]$ este ca ecuatia (2) să admită cel puțin o integrală pozitivă in ( $a,b$ ) respectiv in $[a,b]^{1}$ ).

Demonstrație. Condiția este necesară.
Stabilirea necesității condiției o facem întîi pentru cazul unui interval închis $[a,b]$. Presupunem deci că $Y_{0}$ are proprietatea $I_{2}[a,b]$. Fie $y(x)$ integrala ecuației (2), satisfăcînd condițiile $y(a)=y(b)=1$. Această integrală particulară nu se poate anula în intervalul $[a,b]$ : Intr-adevăr, presupunînd prin absurd că s-ar anula într-un punct din intervalul $[a,b]$, nici o rădăcină nu poate avea un ordin de multiplicitate mai mare ca 1 , căci în caz contrar ar rezulta că integrala considerată este identic nulă, ceea ce ar contrazice condițiile la limită pe care le verifică. Apoi din continuitatea acestei integrale, ar rezulta că numărul rădăcinilor ei (toate sînt simple), din $[a,b]$, este mai mare sau cel puțin egal cu 2 . De aici ar rezulta că $y(x)$ nu are proprietatea $I_{2}[a,b]$, ceea ce ar contrazice ipoteza.

Stabilirea necesității condiției exprimate de lemă, în cazul unui interval semiînchis $[a,b)$, se face astfel: Fie $y_{a}(x)$ o integrală particulară care satisface condițiile $y_{a}(a)=0$ și $y_{a}^{\prime}(a)>0$. Această integrală nu se poate anula în $(a,b)$. Intr-adevăr, dacă $y_{a}(x)$ s-ar anula într-un punct $\xi_{a}\in(a,b)$, atunci pentru un număr pozitiv $\varepsilon$ suficient de mic, integrala particulară $y_{a+\varepsilon}(x)$, care satisface condițiile $y_{a+\varepsilon}(a+\varepsilon)=0$ și $y_{a+\varepsilon}^{\prime}(a+\varepsilon)=y_{a}^{\prime}(a)$, s-ar mai anula într-un punct $\xi_{a+\varepsilon}$ vecin de punctul $\xi_{a}$, situat de asemenea în intervalul ( $a,b$ ) (cînd $\varepsilon$ este suficient de mic). În definitiv, ar rezulta că există o integrală particulară $y_{a+\varepsilon}(x)$, care se anulează în cel puțin două puncte (distincte) din ( $a,b$ ). Ar rezulta de aici că familia $Y_{0}$ nu are în $[a,b)$ proprietatea $N_{2}[a,b)$ și conform lemęi 2, că nu are nici proprietatea $I_{2}[a,b)$, contrar ipotezei.

Conditia este suficientă. Fie $y_{1}(x)$ o integrală particulară a ecuației (2), astfel încît $y_{1}(x)>0$ în intervalul $[a,b]$. Vom arăta că familia $Y_{0}$ are proprietatea $N_{2}[a,b]$, de unde în virtutea lemei 2 va rezulta că $Y_{0}$ are proprietatea $I_{2}[a,b]$. Presupunem prin absurd că ar exista o integrală particulară $y_{2}(x)\neq 0$ care s-ar anula în două puncte distincte $x_{1}$ și $x_{2}$ din $[a,b]$. Să considerăm integrala $\lambda y_{2}(x)$, unde $\lambda$ este o constantă. Fie $\lambda_{0}$ valoarea constantei $\lambda$, pentru care curbele reprezentative ale integralelor $y_{1}(x)$ și $\lambda_{0}y_{2}(x)$ sînt tangente într-un punct $\xi\in\left(x_{1},x_{2}\right)$. Funcția $y(x)=y_{1}(x)-\lambda_{0}y_{2}(x)$ va fi o integrală a ecuației (2), care în punctul $\xi$ satisface condițiile $y(\xi)=y^{\prime}(\xi)=0$. De aici ar rezulta că $y_{1}(x)-\lambda_{0}y_{2}(x)\equiv 0$, adică $y_{1}(x)\equiv\lambda_{0}y_{2}(x)$, de unde ar rezulta că $y_{1}(x)$ se anulează în $x_{1}$ și în $x_{2}$, contrar ipotezei.

Demonstrația suficienței condiției în cazul unui interval deschis $(a,b)$ se face la fel.

Le m a 4. Dacă familia $Y$ a integralelor ecuatiei (1) posedă proprietatea $I_{2}(a,b)$, respectiv $I_{2}[a,b]$, atunci operatorul diferential $L(y)$ corespunzător posedă proprietatea $T_{2}(a,b)$ respectiv $T_{2}[a,b]$.

Demonstratia acestei leme o vom da pentru cazul unui interval deschis $(a,b)$, ea făcîndu-se la fel în cazul unui interval închis $[a,b]$. Presupunem deci că familia $Y$ a integralelor ecuației diferențiale (1) posedă proprietatea $I_{2}(a,b)$. Conform lemei 1

rezultă că și familia $Y_{0}$ a integralelor ecuației (2) posedă proprietatea $I_{2}(a,b)$. Să demonstrăm că în aceste condiții operatorul diferențial $L(y)$ are proprietatea $T_{2}(a,b)$. În acest scop să presupunem prin absurd că ar exista o funcție $\nu(x)\in C_{2}(a,b)$

care satisface condițiile

unde $x_{0}$ este un punct din intervalul ( $a,b$ ) și că această funcție $v(x)$ ar avea în intervalul ( $a,b$ ) în afara rădăcinii $x_{0}$ și o altă rădăcină $x_{1}$ diferită de $x_{0}$. Presupunem pentru fixarea ideilor că $x_{0}<x_{1}$. Din (3) rezultă că $v^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)>0$ și întrucît $v\left(x_{0}\right)=v^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$, rezultă că în vecinătatea punctului $x_{0}$, curba de ecuație $z=v(x)$ se situează deasupra axei $Ox$. Astfel putem presupune că rădăcina $x_{1}$ este consecutiva la dreapta rădăcinii $x_{0}$. Fie acum $a_{1}$ şi $b_{1}$ două numere reale satisfăcînd inegalitățile $a<a_{1}<x_{0}<x_{1}<b_{1}<b$. Întrucît prin ipoteză $Y_{0}$ are proprietatea $I_{2}(a,b)$ rezultă îndată că ea va avea și proprietatea $I_{2}\left[a_{1},b_{1}\right]$. Conform lemei 3, ecuația $L(y)=0$ va admite cel puțin o integrală $\eta(x)$ pozitivă în $\left[a_{1},b_{1}\right]$. Efectuînd schimbarea de funcție

ecuația (2) se transformă în ecuația diferențială

definită în intervalul $\left[a_{1},b_{1}\right]$, iar funcției $v(x)$ îi va corespunde prin transformarea (4), funcția $w(x)$ care va satisface condițiile:

Din faptul că $x_{0}$ și $x_{1}$ sînt rădăcini consecutive pentru funcția $v(x)$, rezultă din (4) că $x_{0}$ și $x_{1}$ sînt rădăcini consecutive și pentru funcția $w(x)$. Apoi din (3’) rezultă că $w^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)>0$ și întrucît $w\left(x_{0}\right)=w^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$, rezultă că în vecinătatea punctului $x_{0}$ curba de ecuație $z=w(x)$ se situează deasupra axei $Ox$ (fig. 1). Fie $\xi$ abscisa unui punct de maxim al funcției $z=w(x)$ în intervalul ( $x_{0},x_{1}$ ). Din figura 1 se constată că în punctul $\xi$ au loc relațiile $w^{\prime}(\xi)=0,w^{\prime\prime}(\xi)\leqq 0$, de unde rezultă că în punctul $\xi$ are loc inegalitatea $\left.L^{\star}(w)\right|_{x=\xi}\leqq 0$. Această inegalitate contrazice inegalitatea corespunzătoare din (3’). S-a ajuns astfel la o contradicție. Rezultă în definitiv că funcția $v(x)$, ce satisface condițiile (3), nu poate să aibe în intervalul ( $a,b$ ) o altă rădăcină în afară de $x_{0}$. De aici rezultă ținînd seamă de (3), că în intervalul ( $a,b$ ) are loc inegalitatea $v(x)\geqq 0$, semnul egal avînd loc numai în punctul $x_{0}$, q.e.d.

Lema 5. Dacă operatorul diferential $L(y)$ posedă proprietatea $T_{2}(a,b)$ atunci acest operator $L(y)$ posedă proprietatea $T_{2}\left[a_{1},b_{1}\right]$, oricare ar fi subintervalul inchis $\left[a_{1},b_{1}\right]$ conținut în intervalul ( $a,b$ ).

Demonstratie. Fie $\left[a_{1},b_{1}\right]$ un interval oarecare conținut în $(a,b)$ și fie $u(x)$ o funcție definită în intervalul $\left[a_{1},b_{1}\right]$, care satisface inegalitatea $L(u)>0$ în $\left[a_{1},b_{1}\right]$,
precum și conditiile $u\left(x_{0}\right)=u^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$, unde $x_{0}$ este un punct din intervalul $\left[a_{1},b_{1}\right]$. Să arătăm că în aceste ipoteze are loc inegalitatea $u(x)\geqq 0,x\in\left[a_{1},b_{1}\right]$, semnul egal avînd loc numai în punctul $x_{0}$.

Într-adevăr este ușor de arătat că putem prelungi funcția $u(x)$ în întreg intervalul ( $a,b$ ), astfel încît să se păstreze inegalitatea $L(u)>0$ în tot acest interval ( $a,b$ ) și de asemenea să se păstreze proprietatea de continuitate a derivatei de ordinul 2 a funcției $u(x)$ în $(a,b)$ adică funcția obținută prin prelungirea funcției inițiale $u(x)$, să aparțină clasei $C_{2}(a,b)$.

Pentru aceasta, considerăm intervalul $\left[b_{1},b\right)$ și considerăm referitor la acest interval, integrala $\beta(x)$ a ecuației diferențiale
cu condițiile la limită

Funcția $\beta(x)$ astfel definită, mai are proprietatea că $\beta^{\prime\prime}\left(b_{1}\right)=u^{\prime\prime}\left(b_{1}\right)$, ceea ce se deduce din ecuația diferențială ce definește pe $\beta(x)$. Această funcție $\beta(x)$, prin felul cum a fost construită, verifică în intervalul $\left[b_{1}b\right)$ inegalitatea diferențială $L[\beta(x)]>0$.

În mod analog, considerăm în intervalul $\left(a,a_{1}\right]$ integrala $\alpha(x)$ a ecuației diferențiale

cu condițiile la limită

Această soluție $\alpha(x)$ evident că va mai satisface condiția $\alpha^{\prime\prime}\left(a_{1}\right)=u^{\prime\prime}\left(a_{1}\right)$ și $L[\alpha(x)]>0$, cînd $x\in\left(a,a_{1}\right]$.

Fie acum $u^{*}(x)$ funcția definită precum urmează:

Această funcție admite derivate pînă la ordinul doi inclusiv, continue în intervalul $(a,b)$ și satisface în acest interval inegalitatea $L\left(u^{*}\right)>0$. Întrucît prin ipoteză funcția $u(x)$ satisface condițiile $u\left(x_{0}\right)=u^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$, unde $x_{0}\in\left[a_{1},b_{1}\right]$, rezultă că și funcția $u^{*}(x)$ va satisface aceste condiții. Conform proprietății $T_{2}(a,b)$ a operatorului diferențial $L(y)$, urmează că $u^{*}(x)\geqq 0$ în intervalul ( $a,b$ ), semnul egal avînd loc numai în punctul $x_{0}$. De aici rezultă lema enunțată.

În cele ce urmează vom stabili încă o proprietate ajutătoare.
Lema 6. Dacă operatorul diferential $L(y)$ are proprietatea $T_{2}(a,b)$, atunci orice functie $u(x)$, apartinind clasei $C_{2}(a,b)$ și care satisface in intervalul $(a,b)$ inegalitatea diferentială $L(u)>0$, nu poate să se anuleze în ( $a,b$ ) în mai mult de două puncte distincte.

Demonstratie. Presupunem că operatorul diferențial $L(y)$ se bucură de proprietatea $T_{2}(a,b)$. Să arătăm că în această ipoteză, orice funcție $u(x)$ aparținînd

clasei $C_{2}(a,b)$ și satisfăcînd în acest interval inegalitatea diferențială $L(u)>0$ nu poate avea în ( $a,b$ ) mai mult de două rădăcini distincte. Să presupunem prin absurd contrariu, că există o funcție $u(x)$ aparținînd clasei $C_{2}(a,b)$, care satisface în intervalul $(a,b)$ inegalitatea diferențială $L(u)>0$ și care are cel puțin 3 rădăcini distincte $x_{1},x_{2},x_{3}$ (pe care le presupunem consecutive și scrise în ordinea crescătoare) ¹ ). Intrucît operatorul diferențial $L(y)$ posedă prin ipoteză proprietatea $T_{2}(a,b)$, rezultă că nici una dintre rădăcinile $x_{1},x_{2},x_{3}$ nu poate fi multiplă și deci curba reprezentativă a funcției $u(x)$ traversează axa $Ox$ în fiecare din punctele $x_{1},x_{2},x_{3}$ (fig. 2). Se pot prezenta următoarele două cazuri, după cum $u^{\prime}\left(x_{1}\right)>0$ sau $u^{\prime}\left(x_{1}\right)<0$ (cazul $u^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$ nu poate avea loc, după cum s-a arătat anterior).

Cazul 1. $u^{\prime}\left(x_{1}\right)>0$, (fig. 2). Fie $\xi_{0}$ un punct oarecare din ( $a,x_{1}$ ), astfel ca să nu existe nici o rădăcină a funcției $u(x)$ în intervalul $\left[\xi_{0},x_{1}\right)$. Fie $\eta(x)$ integrala ecuației diferențiale $L(y)=1$, cu condițiile la limită

Conform proprietății $T_{2}(a,b)$ a operatorului diferențial $L(y)$, rezultă că $\eta(x)>0$ în intervalul $\left(\xi_{0},b\right)$. Să efectuăm în expresia operatorului diferențial $L$, schimbarea de funcție $y(x)=\eta(x)z(x)$. Obținem

Funcția $u(x)$ se va transforma într-o funcție $v(x)=\frac{u(x)}{\eta(x)}$, care va avea aceleași rădăcini ca și $u(x)$ în $\left(\xi_{0},b\right)$ și în plus va satisface condiția $\lim_{x\rightarrow\xi_{0}\div 0}v(x)=-\infty$. De asemenea, funcția $v(x)$ satisface în intervalul $\left(\xi_{0},b\right)$ inegalitatea $L^{*}(v)>0$.

Se constată ușor că și operatorul diferențial $L^{*}(z)$ are proprietatea $T_{2}\left(\xi_{0},b\right)$, întrucît operatorul $L(y)$ are această proprietate după cum rezultă din lema 5 , ținînd seamă de ipotezele făcute.

Cu aceste rezultate obținute referitor la operatorul $L^{\star}(z)$, să arătăm că inegalitatea $L^{\star}(v)>0$ în $\left(\xi_{0},b\right)$ este în contradicție cu forma pe care o are curba reprezentativă a funcției $v(x)$ (fig. 3).

Într-adevăr, fie $x_{0}$ un punct din intervalul ( $x_{2},x_{3}$ ), în care funcția $v(x)$ își atinge valoarea minimă din acel interval. Fie $\lambda=-v\left(x_{0}\right)$. Evident că $\lambda>0$, întrucît

în intervalul ( $x_{2},x_{3}$ ) funcția $u(x)$ deci și $v(x)$ ia valori negative, ceea ce rezultă din ipotezele făcute. Să efectuăm asupra curbei reprezentative ( $v$ ) a funcției $v(x)$ o translație în direcția pozitivă a axei $Oy$, de parametru $\lambda$. Curba ( $v$ ) va lua poziția ( $v^{*}$ ) indicată în figura 3 cu linie punctată. Această nouă curbă va fi tangentă la axa $Ox$ în punctul $x_{0}$ și va traversa axa $Ox$ într-un punct situat în intervalul $\left(\xi_{0},x_{1}\right)$. Ecuația acestei curbe ( $\left.v^{\star}\right)$ va fi $y=\nu^{*}(x)=\nu(x)+\lambda$.
Dar după cum s-a arătat anterior, are loc în intervalul ( $\xi_{0},b$ ) inegalitatea

De aici rezultă că și funcția $v^{*}(x)$ satisface o inegalitate de același fel în intervalul $\left(\xi_{0},b\right)$. Într-adevăr, ținînd seama că $\lambda$ este o constantă pozitivă, precum și de inegalitatea precedentă, obținem

Funcția $v^{\star}(x)$ mai verifică condițiile $v^{\star}\left(x_{0}\right)=0,\left(\frac{dv^{\star}}{dx}\right)_{x=x_{0}}=0$. Întrucît operatorul diferențial $L^{\star}(z)$ posedă proprietatea $T_{2}\left(\xi_{0},b\right)$, rezultă că funcția $v^{\star}(x)$ trebuie să satisfacă inegalitatea $v^{\star}(x)\geqq 0$ în intervalul $\left(\xi_{0},b\right)$, ceea ce contrazice faptul că curba ( $v^{\star}$ ) traversează axa $Ox$ în intervalul ( $\xi_{0},x_{1}$ ). Contradicția provine din ipoteza absurdă că funcția $u(x)$, satisfăcînd în intervalul $(a,b)$ inegalitatea $L(u)>0$, ar avea în acest interval mai mult de două rădăcini distincte (în ipoteza specifică cazului 1).

Cazul 2. $u^{\prime}\left(x_{1}\right)<0$. În acest caz, punctul $\xi_{0}$ se alege astfel încît să fie situat în intervalul ( $x_{3},b$ ) și să nu coincidă cu vreo altă rădăcină a funcției $u(x)$. Se procedează mai departe întocmai ca în cazul 1. Ajungem astfel la următorul rezultat:

Dacă operatorul diferențial $L(y)$ posedă proprietatea $T_{2}(a,b)$, atunci orice funcție $u(x)$ aparținînd clasei $C_{2}(a,b)$ și satisfăcînd în intervalul $(a,b)$ inegalitatea diferențială $L(u)>0$ nu poate avea în intervalul ( $a,b$ ) mai mult de două rădăcini distincte, ceea ce înseamnă că nu poate lua valori egale cu valorile vreunei funcții din familia $Y_{0}$ în mai mult de două puncte distincte din ( $a,b$ ).

Le ma 6’. Dacă coeflcienții ecuației diferențiale (2) sînt continui în intervalul închis $[a,b]$ și dacă operatorul diferențial $L(y)$ ce intervine în membrul stîng al ecuatiei (2) are proprietatea $T_{2}[a,b]$, atunci orice funcție $u(x)$ apartinind clasei $C_{2}[a,b]$ și satisfăcînd în intervalul $[a,b]$ inegalitatea diferențială $L(u)>0$, nu poate avea în intervalul $[a,b]$ mai mult de două rădăcini distincte.

Demonstrația acestei leme se face la fel ca în cazul lemei 6, cu singura deosebire că peste tot trebuie considerat în locul intervalului deschis ( $a,b$ ), intervalul

închis $[a,b]$ și că în afară de cazurile 1 și 2 în care se presupune că rădăcinile $x_{1}$, $x_{2},x_{3}$ ale funcției $u(x)$, ce satisface în $[a,b]$ inegalitatea $L(u)>0$, sînt interioare acestui interval, - ar mai trebui considerate cazurile cînd una sau eventual două dintre rădăcinile $x_{1},x_{2},x_{3}$ ale acestei funcții $u(x)$ ar coincide respectiv cu capetele intervalului $[a,b]$. Fie de exemplu cazul cînd $x_{1}=a,x_{3}=b,a<x_{2}<b$ (fig. 4). Putem reduce acest caz la unul din cazurile 1 sau 2 astfel: Prelungim funcția $u(x)$ în afara intervalului $[a,b]$ cu polinoame de gradul 2, care să coincidă cu $u(x)$ în capetele $a$, respectiv $b$, coincidența avînd loc pînă la derivatele de ordinul 2. Obținem astfel o funcție $\bar{u}(x)$, definită pe toată axa și admițînd derivate de ordinul 2 inclusiv, continue pe toată axa $Ox$ și în plus, $\bar{u}(x)$ coincide cu $u(x)$ în intervalul $[a,b]$.

Efectuăm asupra curbei de ecuație $y=\bar{u}(x)$ - contracție infinitezimală în spre mediatoarea segmentului $[a,b]$ (fig. 4), astfel încît să se mențină inegalitatea strictă $L(\bar{u})>0$ în $[a,b]$. Putem considera de exemplu transformarea

unde $\lambda$ este un număr real ce satisface inegalitățile $0<\lambda<1$ și suficient de aproape de unitate. Ecuația curbei transformate va fi

Această curbă va avea forma indicată prin linie punctată în figura 4 și va tăia axa $Ox$ în trei puncte distincte $x_{1},x_{2},x_{3}$, toate interioare intervalului $[a,b]$. Dacă parametrul $\lambda$ se alege suficient de aproape de unitate (și mai mic ca 1), atunci pentru motive de continuitate a coeficienților ecuației diferențiale, se va menține inegalitatea $L\left(\bar{u}^{*}\right)>0$ în intervalul $[a,b]$. Astfel am redus acest caz singular la cazul 1 din lema 6.

Pentrú ușurința exprimării în cele ce urmează, vom da următoarea :
Definiția 4. Fie dat un operator diferențial liniar de ordinul doi

coeficienții $p(x)$ și $q(x)$ fiind funcții continue intr-un interval $(a,b)$. Vom spune că operatorul $L(y)$ posedă proprietatea $P_{2}(a,b)$ dacă oricare ar fin numerele reale $x_{0},y_{0}^{\prime},y_{0}^{\prime\prime}$, astfel ca

și dacă oricît de mic ar fi numărul $\varepsilon$ satisfăcînd inegalitățile $0<\varepsilon\leqq b-x_{0}$, atunci pentru sistemul de numere $x_{0},y_{0}^{\prime},y_{0}^{\prime\prime},\varepsilon$, există cel puțin un număr $\lambda\in\left(x_{0},x_{0}+\varepsilon\right)$
și cel puțin o funcție $r_{\lambda}(x)$, continuă în $(a,b)$, satisfăcînd în intervalul închis $\left[x_{0},\lambda\right]$ inegalitatea

astfel încît pentru această funcție $r_{\lambda}(x)$, ecuația diferențială

să admită în intervalul $(a,b)$ o integrală particulară $y_{\lambda}(x)$ care să satisfacă condițiile

unde $x_{0},y_{0}^{\prime},y_{0}^{\prime\prime}$ sînt numerele alese conform condițiilor (7) și (8).
Le m a 7. Dacă coeficienții $p(x)$ și $q(x)$ ai operatorului diferențial $L(y)$ din (6) sînt continui in intervalul ( $a,b$ ), atunci operatorul $L(y)$ are proprietatea $P_{2}(a,b)$.

Demonstratie. Înainte de a trece la demonstrația propriu-zisă a acestei leme, vom face cîteva observații preliminare, pe care le vom folosi în demonstrație.

Observația 1. Pentru a arăta că operatorul $L(y)$ are proprietatea $P_{2}(a,b)$ este suficient să arătăm că acel operator are proprietatea $P_{2}\left(a_{1},b_{1}\right)$ oricare ar fi subintervalul ( $a_{1},b_{1}$ ) astfel ca $a<a_{1}<b_{1}<b$. Reducînd demonstrația lemei 7 la cazul unui subinterval $\left(a_{1},b_{1}\right)$, avem avantajul de a putea dispune de proprietatea de continuitate a coeficienților $p(x)$ și $q(x)$ în intervalul închis $\left[a_{1},b_{1}\right]$ precum și de toate proprietățile ce decurg din aceasta.

Observatia 2. Fie $\eta(x)$ o funcție oarecare aparținînd clasei $C_{2}(a,b)$ și satisfăcînd inegalitatea $\eta(x)>0$ oricare ar $\mathrm{fi}x\in(a,b)$. Efectuînd în expresia operatorului (6) schimbarea de funcție

obținem

Întrucît $\eta(x)\in C_{2}(a,b)$, rezultă că operatorul diferențial $\bar{L}(z)$ are coeficienții continui în ( $a,b$ ). Să notăm cu $\bar{p}(x)$ respectiv $\bar{q}(x)$ coeficienții operatorului $\bar{L}(z)$, adică

Ținînd seama de pozitivitatea funcției $\eta(x)$ în intervalul $(a,b)$ se verifică că dacă operatorul $L(y)$ are proprietatea $P_{2}(a,b)$, atunci și operatorul $\bar{L}(z)$ are proprietatea $P_{2}(a,b)$ și reciproc. Pentru ilustrare, să demonstrăm de exemplu reciproca afirmației de mai sus că dacă operatorul $\bar{L}(z)$ are proprietatea $P_{2}(a,b)$, atunci și operatorul $L(y)$ are proprietatea $P_{2}(a,b)$. Fie în acest scop un sistem de numere $x_{0}$,
$y^{\prime}{}_{0},y^{\prime\prime}{}_{0}$ satisfăcînd condițiile (7) și (8) și fie $x_{0},z^{\prime}{}_{0},z^{\prime\prime}{}_{0}$ sistemul corespunzător de numere, obținut cu ajutorul relației (12), ținînd seama de (11)

Aici s-a notat $\eta_{0}=\eta\left(x_{0}\right)$. Ținînd seama de relațiile (7), (8), (14), precum și de pozitivitatea funcției $\eta(x)$, se verifică că numerele $z_{0}^{\prime},z_{0}^{\prime\prime}$ din (15) satisfac inegalitățile $z_{0}^{\prime}<0,z_{0}^{\prime\prime}+\ddot{p}\left(x_{0}\right)z_{0}^{\prime}>0$, ceea ce ne arată că numerele $z_{0}^{\prime}$ și $z_{0}^{\prime\prime}$ satisfac condițiile (7) și (8) relativ la operatorul $\bar{L}(z)$. Întrucît prin ipoteză operatorul $\bar{L}(z)$ are proprietatea $P_{2}(a,b)$, rezultă că oricare ar fi numărul real $\varepsilon$ astfel ca $0<\varepsilon\leqq\leqq b-x_{0}$, există cel puțin un număr $\lambda\in\left(x_{0},x_{0}+\varepsilon\right)$ și cel puțin o funcție $\bar{r}_{\lambda}(x)$ continuă în ( $a,b$ ), satisfăcînd în intervalul [ $x_{0},\lambda$ ] inegalitatea

astfel încît pentru această funcție $\bar{r}_{\lambda}(x)$, ecuația diferențială în funcția necunoscută $z(x)$

să admită în intervalul ( $a,b$ ) o integrală particulară $z_{\lambda}(x)$ satisfăcînd condițiile