Note présentée par Mr. S. Stoilow, Mc. A. R., dans la séance du 23 février 1940 INÉGALITÉS VÉRIFIÉES PAR UNE FONCTION D'ORDRE $n$$n$nn$n$ E'T PAR SES DÉRIVÉES

vérifiées par toute fonction non-concave d'ordre $n$$n$nn$n$, les points
(2)

étant donnés et les coefficients $p_i$$p_i$p_(i)p_{i}$p_i$ étant indépendants de la fonction $f$$f$ff$f$.
Les conditions nécessaires et suffisantes, que doivent satisfaire les coefficients $p_i$$p_i$p_(i)p_{i}$p_i$, pour qu'il en soit ainsi, s'obtiennent facilement, par exemple, à l'aide de la formule que nous pouvons appeler la formule fondamentale de transformation des différences divisées. Cette formule s'écrit ${}^2$${}^2$^(2){ }^{2}${}^2$ )

où $A_i,C_i$$A_i,C_i$A_(i),C_(i)A_{i}, C_{i}$A_i,C_i$ sont indépendants de la fonction $f$$f$ff$f$.
On obtient alors des conditions suffisantes pour l'inégalité (r) err écrivant

Ces conditions sont aussi nécessaires si la fonction est définie seulement sur les points (2):

On peut, d'ailleurs, obtenir facilement les coefficients $A_i,C_i$$A_i,C_i$A_(i),C_(i)A_{i}, C_{i}$A_i,C_i$ en particularisant convenablement la fonction $f$$f$ff$f$. En prenant d'abord

nous obtenons

Si nous prenons ensuite

nous obtenons

Lorsque la fonction $f$$f$ff$f$ est définie dans un intervalle contenant les points (2) les conditions (3) ne sont plus nécessaires pour $n>1$$n>1$n > 1n>1$n>1$. Pour que l'inégalité (I) ait lieu, quelle que soit la fonction $f$$f$ff$f$ définie dans un intervalle contenant à son intérieur les points (2), il faut et il suffit que cette inégalité soit vraie pour tout polynome de degré $n$$n$nn$n$ et pour toute fonction de la forme $(|x-\lambda |+x-\lambda {)}^n,\lambda$$(|x-\lambda |+x-\lambda {)}^n,\lambda$(|x-lambda|+x-lambda)^(n),lambda(|x-\lambda|+x-\lambda)^{n}, \lambda$(|x-\lambda |+x-\lambda {)}^n,\lambda$ étant une constante. En effet, toute fonction non-concave d'ordre $n$$n$nn$n$ est la limite d'une suite de fonctions qui sont, à un polynome additif de degré $n$$n$nn$n$ près, des sommes de telles fonctions $(|x-\lambda |+x-\lambda {)}^n$$(|x-\lambda |+x-\lambda {)}^n$(|x-lambda|+x-lambda)^(n)(|x-\lambda|+x-\lambda)^{n}$(|x-\lambda |+x-\lambda {)}^n$ à coefficients positifs ${}^3$${}^3$^(3){ }^{3}${}^3$ ).

On trouve ainsi les égalités nécessaires et suffisantes.

qui ne sont autre que $A_1=A_2=\dots =A_{n+1}=0$$A_1=A_2=\dots =A_{n+1}=0$A_(1)=A_(2)=dots=A_(n+1)=0A_{1}=A_{2}=\ldots=A_{n+1}=0$A_1=A_2=\dots =A_{n+1}=0$, exprimant que le premier membre de (I) est identiquement nul pour tout polynome de degré $\eta$$\eta$eta\eta$\eta$.

On trouve ensuite les inégalités nécessaires et suffisantes

${}^3$${}^3$^(3){ }^{3}${}^3$ ) Tiberiu Popoviciu, Sur le prolongement des fonctions convexes d'ordre supérieur, Bull. Math. Soc. Roumaine des Sci., 36, 75-108 (1934).
2. On peut généraliser l'inégalité ( x ) en introduisant aussi les valeurs des dérivées de $f$$f$ff$f$ aux points $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$. Pour simplifier supposons $f$$f$ff$f$ définie dans un intervalle contenant les points (2). Si $n>1$$n>1$n > 1n>1$n>1$ la fonction $f$$f$ff$f$, non-concave d'ordre $n$$n$nn$n$, a des dérivées continues $t^{\prime },t^{\prime \prime },\dots ,t^{(n-1)}$$t^{\prime },t^{\prime \prime },\dots ,t^{(n-1)}$t^('),t^(''),dots,t^((n-1))t^{\prime}, t^{\prime \prime}, \ldots, t^{(n-1)}$t^{\prime },t^{\prime \prime },\dots ,t^{(n-1)}$ et des dérivées à gauche du d et à droite d'ordre $n,f_g^{(n)},f_d^{(n)}\cdot [f_g^{(n)}={\left(f^{(n-1)}\right)}_g^{\prime },f_d^{(n)}={\left(f^{(n-1)}\right)}_d^{\prime }]$$n,f_g^{(n)},f_d^{(n)}\cdot \left[f_g^{(n)}={\left(f^{(n-1)}\right)}_g^{\prime },f_d^{(n)}={\left(f^{(n-1)}\right)}_d^{\prime }\right]$n,f_(g)^((n)),f_(d)^((n))*[f_(g)^((n))=(f^((n-1)))_(g)^('),f_(d)^((n))=(f^((n-1)))_(d)^(')]n, f_{g}^{(n)}, f_{d}^{(n)} \cdot\left[f_{g}^{(n)}=\left(f^{(n-1)}\right)_{g}^{\prime}, f_{d}^{(n)}=\left(f^{(n-1)}\right)_{d}^{\prime}\right]$n,f_g^{(n)},f_d^{(n)}\cdot [f_g^{(n)}={\left(f^{(n-1)}\right)}_g^{\prime },f_d^{(n)}={\left(f^{(n-1)}\right)}_d^{\prime }]$ en tout point intérieur.

On peut alors chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'on ait

où $0\leqq k_i\leqq n$$0\leqq k_i\leqq n$0 <= k_(i) <= n0 \leqq k_{i} \leqq n$0\leqq k_i\leqq n$ et $f^{(n)}$$f^{(n)}$f^((n))f^{(n)}$f^{(n)}$ désigne l'une des dérivées $f_g^{(n)},f_d^{(n)}$$f_g^{(n)},f_d^{(n)}$f_(g)^((n)),f_(d)^((n))f_{g}^{(n)}, f_{d}^{(n)}$f_g^{(n)},f_d^{(n)}$ (non pas nécessairement la même pour tous les $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$ ), quelle que soit la fonction $f$$f$ff$f$, non-concave d'ordre $n$$n$nn$n$ dans un intervalle contenant à son intérieur les points ${\overline{x}}_i$${\overline{x}}_i$bar(x)_(i)\bar{x}_{i}${\overline{x}}_i$. On voit facilement que les conditions nécessaires et suffisantes sont encore que l'inégalité ait lieu pour tout polynome de degré $n$$n$nn$n$ et pour toute fonction de 1a forme $(|x-\lambda |+x-\lambda {)}^n$$(|x-\lambda |+x-\lambda {)}^n$(|x-lambda|+x-lambda)^(n)(|x-\lambda|+x-\lambda)^{n}$(|x-\lambda |+x-\lambda {)}^n$. Ces conditions peuvent donc s'écrire

Si, de plus,

on peut affirmer que pour une fonction convexe d'ordre $n$$n$nn$n$ le signe $>$$>$>>$>$ a lieu dans (4).

Dans le cas $\sum _{i=1}^m(k_i+1)=n+2$$\sum _{i=1}^m \left(k_i+1\right)=n+2$sum_(i=1)^(m)(k_(i)+1)=n+2\sum_{i=1}^{m}\left(k_{i}+1\right)=n+2$\sum _{i=1}^m(k_i+1)=n+2$, l'inégalité peut s'écrire

Le premier membre est la limite d'une différence divisée d'ordre $n+I$$n+I$n+In+I$n+I$, lorsque $k_i+I$$k_i+I$k_(i)+Ik_{i}+I$k_i+I$ de ses $n+2$$n+2$n+2n+2$n+2$ points tendent vers $x_i,i=I,2,\dots ,m$$x_i,i=I,2,\dots ,m$x_(i),i=I,2,dots,mx_{i}, i=I, 2, \ldots, m$x_i,i=I,2,\dots ,m$. Il est facile d'obtenir la forme explicite de cette différence divisée généralisée.
3. On peut aussi établir, quelques fois, l'exactitude de l'inégalité (4) en exprimant le premier membre sous la forme d'une somme de différences
divisées d'ordre $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ (de la forme généralisée (5)) choisies convenablement. Nous allons établir de cette façon une inégalité particulière intéressante. Soient $x_1<x_2<\dots <x_{n}n$$x_1<x_2<\dots <x_{n}n$x_(1) < x_(2) < dots < x_(n)nx_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n} n$x_1<x_2<\dots <x_{n}n$ points distincts de l'axe réel et posons

Soient ${\xi }_1<{\xi }_2<\dots <{\xi }_{n-\mathrm{I}}$${\xi }_1<{\xi }_2<\dots <{\xi }_{n-\mathrm{I}}$xi_(1) < xi_(2) < dots < xi_(n-I)\xi_{1}<\xi_{2}<\ldots<\xi_{n-\mathrm{I}}${\xi }_1<{\xi }_2<\dots <{\xi }_{n-\mathrm{I}}$ les zéros, tous réels, de la dérivée ${\phi }^{\prime }(x)$${\phi }^{\prime }(x)$varphi^(')(x)\varphi^{\prime}(x)${\phi }^{\prime }(x)$ du polynome $\phi (x)$$\phi (x)$varphi(x)\varphi(x)$\phi (x)$. Nous avons

Nous avons les formules suivantes
$[x_1,x_2,\dots ,x_n;f]=\sum _{i=1}^n\frac{f\left(x_i\right)}{{\phi }^{\prime }\left(x_i\right)},[{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-1};{\prime }^{\prime }]=n\sum _{i=1}^{n-1}\frac{f^{\prime }\left({\xi }_i\right)}{{\phi }^{\prime \prime }\left({\xi }_i\right)}$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_n;f\right]=\sum _{i=1}^n \frac{f\left(x_i\right)}{{\phi }^{\prime }\left(x_i\right)},\left[{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-1};{\prime }^{\prime }\right]=n\sum _{i=1}^{n-1} \frac{f^{\prime }\left({\xi }_i\right)}{{\phi }^{\prime \prime }\left({\xi }_i\right)}$[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f]=sum_(i=1)^(n)(f(x_(i)))/(varphi^(')(x_(i))),[xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n-1);'^(')]=nsum_(i=1)^(n-1)(f^(')(xi_(i)))/(varphi^('')(xi_(i)))\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right]=\sum_{i=1}^{n} \frac{f\left(x_{i}\right)}{\varphi^{\prime}\left(x_{i}\right)},\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n-1} ; \prime^{\prime}\right]=n \sum_{i=1}^{n-1} \frac{f^{\prime}\left(\xi_{i}\right)}{\varphi^{\prime \prime}\left(\xi_{i}\right)}$[x_1,x_2,\dots ,x_n;f]=\sum _{i=1}^n\frac{f\left(x_i\right)}{{\phi }^{\prime }\left(x_i\right)},[{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-1};{\prime }^{\prime }]=n\sum _{i=1}^{n-1}\frac{f^{\prime }\left({\xi }_i\right)}{{\phi }^{\prime \prime }\left({\xi }_i\right)}$, $[x_1,x_2,\dots ,x_n,{\xi }_j,{\xi }_j;f]=\sum _{i=1}^n\frac{f\left(x_i\right)}{{(x_i-{\xi }_j)}^2{\phi }^{\prime }\left(x_i\right)}+\frac{f^{\prime }\left({\xi }_j\right)}{\phi \left({\xi }_j\right)}$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_n,{\xi }_j,{\xi }_j;f\right]=\sum _{i=1}^n \frac{f\left(x_i\right)}{{\left(x_i-{\xi }_j\right)}^2{\phi }^{\prime }\left(x_i\right)}+\frac{f^{\prime }\left({\xi }_j\right)}{\phi \left({\xi }_j\right)}$[x_(1),x_(2),dots,x_(n),xi_(j),xi_(j);f]=sum_(i=1)^(n)(f(x_(i)))/((x_(i)-xi_(j))^(2)varphi^(')(x_(i)))+(f^(')(xi_(j)))/(varphi(xi_(j)))\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \xi_{j}, \xi_{j} ; f\right]=\sum_{i=1}^{n} \frac{f\left(x_{i}\right)}{\left(x_{i}-\xi_{j}\right)^{2} \varphi^{\prime}\left(x_{i}\right)}+\frac{f^{\prime}\left(\xi_{j}\right)}{\varphi\left(\xi_{j}\right)}$[x_1,x_2,\dots ,x_n,{\xi }_j,{\xi }_j;f]=\sum _{i=1}^n\frac{f\left(x_i\right)}{{(x_i-{\xi }_j)}^2{\phi }^{\prime }\left(x_i\right)}+\frac{f^{\prime }\left({\xi }_j\right)}{\phi \left({\xi }_j\right)}$,

Nous en déduisons
(6) $-\sum _{j=1}^n\frac{\phi \left({\xi }_j\right)}{{\phi }^{\prime \prime }\left({\xi }_j\right)}[x_1,x_2,\dots ,x_n,{\xi }_j,{\xi }_j;f]=$$-\sum _{j=1}^n \frac{\phi \left({\xi }_j\right)}{{\phi }^{\prime \prime }\left({\xi }_j\right)}\left[x_1,x_2,\dots ,x_n,{\xi }_j,{\xi }_j;f\right]=$-sum_(j=1)^(n)(varphi(xi_(j)))/(varphi^('')(xi_(j)))[x_(1),x_(2),dots,x_(n),xi_(j),xi_(j);f]=-\sum_{j=1}^{n} \frac{\varphi\left(\xi_{j}\right)}{\varphi^{\prime \prime}\left(\xi_{j}\right)}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \xi_{j}, \xi_{j} ; f\right]=$-\sum _{j=1}^n\frac{\phi \left({\xi }_j\right)}{{\phi }^{\prime \prime }\left({\xi }_j\right)}[x_1,x_2,\dots ,x_n,{\xi }_j,{\xi }_j;f]=$

Le polynome

étant de degré $n-2$$n-2$n-2n-2$n-2$ nous avons

et

La formule (6) peut donc s'écrire
$\frac{n-\mathrm{I}}{n}[x_1,x_2,\dots ,x_n;f]-\frac{\mathrm{I}}{n}[{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-1};f^{\prime }]=$$\frac{n-\mathrm{I}}{n}\left[x_1,x_2,\dots ,x_n;f\right]-\frac{\mathrm{I}}{n}\left[{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-1};f^{\prime }\right]=$(n-I)/(n)[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f]-(I)/(n)[xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n-1);f^(')]=\frac{n-\mathrm{I}}{n}\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right]-\frac{\mathrm{I}}{n}\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n-1} ; f^{\prime}\right]=$\frac{n-\mathrm{I}}{n}[x_1,x_2,\dots ,x_n;f]-\frac{\mathrm{I}}{n}[{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-1};f^{\prime }]=$

Nous avons

et nous pouvons énoncer le théorème suivant
Si $x_1,x_2,\dots ,x_n$$x_1,x_2,\dots ,x_n$x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$x_1,x_2,\dots ,x_n$ sont $n$$n$nn$n$ points de l'axe réels et ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-1}$${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-1}$xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n-1)\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n-1}${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-1}$ sont les zéros de la dérivée du polynome $\phi (x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$$\phi (x)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\dots \left(x-x_n\right)$varphi(x)=(x-x_(1))(x-x_(2))dots(x-x_(n))\varphi(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right)$\phi (x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$, toute fonction $f$$f$ff$f$, non-concave d'ordre $n$$n$nn$n$ dans un intervalle contenant à son intérieur les points $x$$x$xx$x$, vérifie l'inégalité
(7) $(n-1)[x_1,x_2,\dots ,x_n;f]\ge [{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-1};t^{\prime }]$$(n-1)\left[x_1,x_2,\dots ,x_n;f\right]\ge \left[{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-1};t^{\prime }\right]$quad(n-1)[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f] >= [xi_(1),xi_(2),dots,xi_(n-1);t^(')]\quad(n-1)\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right] \geq\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n-1} ; t^{\prime}\right]$(n-1)[x_1,x_2,\dots ,x_n;f]\ge [{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_{n-1};t^{\prime }]$.