Notes sur les fonctions convexes d’ordre supérieur (III)

1.
- —
  
  Soit $f(x)$ une fonction non-concave (d’ordre 1) dans l’intervalle ( $a,b$ ). Cette fonction est caractérisée par l’inégalité

\left[x_{1},x_{2},x_{3};f\right]\geq 0,\left({}^{1}\right)

(1)

vérifiée par tout groupe de trois points distincts $x_{1},x_{2},x_{3}$ de $(a,b)$ .
De (1) résultent d’autres inégalités bien connues. Telle est l’inégalité de Jensen ( ² )

f\left(\frac{\Sigma p_{i}x_{i}}{\Sigma p_{i}}\right)\leqq\frac{\Sigma p_{i}f\left(x_{i}\right)}{\Sigma p_{i}},\quad p_{i}\geqq 0,\quad\Sigma p_{i}>0

(2)

m.M. G. Hardy, J. E. Littlewood et G. Polya ont déterminé toutes les inégalités de la forme

\sum_{i=1}^{m}f\left(x_{i}\right)\geqq\sum_{i=1}^{m}f\left(y_{i}\right)\left({}^{3}\right)

(3)

$\left({}^{1}\right)$ Pour les notations voir mes travaux antérieurs.
( ² ) J. L. W. V. JENSEN, »Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennesu. Acta Math., 30, 175-193 (1906).
( ³ ) G. H. Hardy, J. E. LITTLEWOOD, G. POLYA, »Some simple inequalities satisfied by convex functionss. Mess. of Math. 58, 145-152 (1929). Voir aussi J. Karamata, »Sur une inégalité relative aux fonctions convexess. Publ. Math. Univ. Belgrade, 1, 145-148 (1932).

SUR LES FONGTIONS CONVEXES DORDRE SUPERIEUR

En particulier, M. K. Toda a démontré que

\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}f\left(x_{i}\right)\geqq\frac{1}{m-1}\sum_{=1}^{m-1}f\left(y_{i}\right)

(4)

si $y_{i}$ sont les zéros de la dérivée du polynome $\prod_{i=1}^{m}\left(x-x_{i}\right)\left({}^{4}\right)$ . Ce résultat a été déja établi pour la fonction particulière $f(x)=x^{p}$ , dans le cas de $p$ entier positif par M. H. Bray ( ⁵, et dans le cas de $p\geqq 1$ quelconque par M. S. Kakeya (’).
2. - Il est facile de trouver les conditions nécessaires et suffisantes que doivent remplir les constantes non nulles $p_{i}$ et les points $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{m}$ de ( $a,b$ ) pour que l’on ait ( $m\geqq 3$ )

\sum_{i=1}^{m}p_{i}f\left(x_{i}\right)\geqq 0,

(5)

quelle que soit la fonction non-concave $f(x)$ .
Nous pouvons écrire

\sum_{i=1}^{m}p_{i}f\left(x_{i}\right)=\mathrm{A}_{0}f\left(x_{1}\right)+\mathrm{A}_{1}\left[x_{1},x_{2};f\right]+\sum_{r=1}^{n-2}\mathrm{C}_{r}\Delta_{2}^{r},

(6)

où

\Delta_{2}^{r}=\left[x_{r},x_{r+1},x_{r+2};f\right],\quad r=1,2,\ldots,m-2,

les constantes $\mathrm{A}_{0},\mathrm{\penalty 10000\ A}_{1},\mathrm{C}_{r}$ sont complètement déterminées et sont indépendantes de la fonction $f(x)$ . Les conditions nécessaires et suffisantes sont

\mathrm{A}_{0}=0,\quad\mathrm{\penalty 10000\ A}_{1}=0,\quad\mathrm{C}_{r}\geqq 0;\quad r\simeq 1,2,\ldots,m-2.

En effet, on peut construire une fonction non-concave $f(x)$ telle que $f\left(x_{1}\right),\left[x_{1},x_{2};f\right]$ aient des valeurs quelconques et $\Delta_{2}^{r}$ des valeurs non-négatives quelconques.

Pour déterminer les coefficients $\mathbf{A}_{0},\mathbf{A}_{1},\mathbf{C}_{r}$ il suffit de choisir ( $x$ ) convenablement. Si nous prenons d’abord $f(x)=\alpha x+\beta,\alpha,\beta$

étant des constantes quelconques, on trouve

\mathrm{A}_{0}=\sum_{i=1}^{m}p_{i},\quad\mathrm{\penalty 10000\ A}_{1}=\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}-x_{1}\sum_{i=1}^{m}p_{i}=\sum_{i=2}^{m}p_{i}\left(x_{i}-x_{1}\right).

Prenons ensuite $f(x)=x-x_{r+1}+\left|x-x_{r+1}\right|,\quad 1\leqq r\leqq m-2$ , nous avons

\left[x_{i},x_{i+1},x_{i+2};f\right]=\begin{cases}0,&i\neq r\\ \frac{2}{x_{r+2}-x_{r}},&i=r\end{cases}

et l’égalité (6) nous donne

\mathrm{C}_{r}=\left(x_{r+2}-x_{r}\right)\sum_{i=r+2}^{m}p_{i}\left(x_{i}-x_{r+1}\right),\quad r=1,2,\ldots,m-2.

Nous avons donc la propriété suivante :
Pour que l’inégalité (5) soit vérifiée pour toute fonction nonconcave (d’ordre 1) $f(x)$ , il faut et il suffit que l’on ait
(7) $\quad\sum_{i=1}^{m}p_{i}=\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}=0,\sum_{i=r+2}^{m}p_{i}\left(x_{i}-x_{r+1}\right)\geqq 0,r=1,2,\ldots,m-2$ .

Si ces relations sont vérifiées et si de plus $f(x)$ est convexe, on a

\sum_{i=1}^{m}p_{i}f\left(x_{i}\right)>0.

La dernière partie de l’énoncé résulte du fait qu’on ne peut avoir $\sum_{i=r+2}^{m}p_{i}\left(x_{i}-x_{r+1}\right)=0,r=1,2,\ldots,m-2$ , les $p_{i}$ étant $\neq 0$ par hypothèse.
3. - Sous la torme (7) les conditions précédentes ne sont pas très commodes pour les applications.

Reprenons d’ab rd l’inégalité (3). Supposons que les $x_{i}$ soient donnés et disons que :

Les $y_{1},y_{2},\ldots,y_{m}$ vérifient la condition (C) si on peut trouver $m^{2}$ nombres non-négatifs $p_{ij}$ tels que

1.

$\sum_{i=1}^{m}p_{ij}=\sum_{j=1}^{m}p_{ij}=1,\quad i,j=1,2,\ldots,m$ .
$2^{0}.y_{i}=p_{i1}x_{1}+p_{i2}x_{2}+\cdots+p_{in}x_{m},\quad i=1,2,\ldots,m$ .
En appliquant l’inégalité (2) de Jensen, on voit que :
Si $y_{1},y_{2},\ldots,y_{m}$ vérifient la condition (C), l’inégalité (3) est vérifiée quelle que soit la fonction non-concare $f(x)$ .

Considérons, dans l’espace ordinaire à $m$ dimensions, le point $\mathrm{P}\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{m}\right)$ de coordonnées $y_{1},y_{2},\ldots,y_{m}$ . Nous dirons que ce point vérifie la condition (C) si ses coordonnées $y_{1}^{\prime},y_{2},\ldots,y_{m}$ vérifient cette condition.

Supposons que $x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{m},y_{1}\leqq y_{2}\leqq\ldots\leqq y_{m}$ et disons alors que :

Les $y_{1},y_{2},\ldots,y_{m}$ vérifient la condition ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ) si on a

\left\{\begin{array}[]{l}x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{i}\leqq y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{i},i=1,2,\ldots,m-1\\ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}=y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{m}(\eta).\end{array}\right.

Nous avons alors que ⁽⁸⁾
La condition nécessaire et suffisante pour que l’inégalité (3) soit vérifiée quelle que soit la fonction non-concave $f(x)$ est que les $y_{1},y_{2},\ldots,y_{m}$ vérifient la condition ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ).
4. - Nous nous proposons maintenant de démontrer que les conditions ( C ) et ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ) sont équivalentes ( ⁹ ). Pour cela il suffit de démontrer que si $y_{1},y_{2},\ldots,y_{m}$ vérifient la condition ( $C^{\prime}$ ) le point $\mathrm{P}\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{m}\right)$ vérifie la condition (C).

Remarquons que si un nombre quelconque de points $\mathrm{P}_{1},\mathrm{P}_{2},\ldots$ vérifient la condition (C) tout point qui appartient au plus petit domaine convexe qui contient les points $P_{1},P_{2},\ldots$ vérifie également la condition ( C ). On voit, d’autre part, que les points P vérifiant la condition ( $C^{\prime}$ ) forment un domaine convexe et borné $D$ . Or, le domaine D est formé par les hyperplans

\left\{\begin{array}[]{c}y_{i}=y_{i+1},y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{i}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{i},i=1,2,\ldots,m-1\\ y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{m}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}.\end{array}\right.

⁽⁷⁾ La condition ( ^′ ) peut se mettre sous la forme symétrique

\begin{gathered}\min\left(x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+\ldots+x_{i_{k}}\right)\leqq y_{j_{1}}+y_{j_{2}}+\ldots+y_{j_{k}}\leqq\max\left(x_{i_{1}}+x_{i_{0}}+\ldots+x_{i_{k}}\right)\\ k=1,2,\ldots,m\end{gathered}

où le min et le max sont relatifs à toutes les combinaisons $i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}$ des nombres $1,2,\ldots,m$ pris $k$ à $k$ et $j_{1},j_{2},\ldots,jk$ sont $k$ nombres quelconquea de la suite $1,2,\ldots,m$ .
$\left({}^{8}\right)$ voir loc. cit. $\left({}^{9}\right)$ .
( ⁹ ) Cette propriété est due à MM. hardy, J. E. Littlewood et G. Polya. Voir : „Inequalities" Cambridge Univ. Press, XII-314 pp. (1934). (Note après la correcture).

Ce domaine peut aussi être considéré comme le plus petit domaine convexe contenant ceux des points d’intersections des hyperplans (9) qui vérifient la condition ( $C^{\prime}$ ). Il est facile de voir qu’il y a en tout $2^{m-1}$ de tels points. Ces points sont

(\underbrace{\xi_{1},\xi_{1},\ldots,\xi_{1}}_{i_{1}},\underbrace{\xi_{2},\xi_{2},\ldots,\xi_{2}}_{i_{2}},\ldots,\underbrace{\xi_{k},\xi_{k},\ldots,\xi_{k}}_{i_{k}})

où
$i_{1}+i_{2}+\cdots+i_{k}=m,\quad\xi_{r}=\frac{1}{i_{r}}\sum_{s=1}^{i_{r}}x_{i_{1}+i_{2}+\cdots+i_{r-1}+s}\quad,\quad r=1,2,\ldots,k$ .
Mais, tous ces points vérifient évidemment la condition (C). L’équivalence des deux conditions ( $C$ ) et ( $C^{\prime}$ ) est donc démontrée.
5. - Nous pouvons donc énoncer la propriété suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour que l’inégalité (3) soit vérifiée, quelle que soit la fonction non-concare $f(x)$ , est que les $y_{1},y_{2},\ldots,y_{m}$ vérifient la condition (C).

Nous pouvons toujours mettre une inégalité (b) sous la forme

\sum_{i=1}^{r}\alpha_{i}f\left(x_{i}\right)\geqq\sum_{i=1}^{s}\beta_{i}f\left(y_{i}\right)\quad(r+s\geqq 3)

(10)

où $\alpha_{i}>0,\beta_{i}>0,\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{r}=\beta_{1}+\beta_{2}+\cdots+\beta_{s}=1,x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{r}$ , $y_{1}<y_{2}<\cdots<y_{s}$ . On obtient cette inégalité de (3) en supposant d’abord que certains des points $x_{i},y_{j}$ viennent de coincider et ensuite par des passages à la limite (si les $\alpha_{i},\beta_{i}$ ne sont pas tous rationnels). Il est tacile de déduire alors de ce qui précède la propriété générale suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour que l’inégalité (10) soit vérifiée, quelle que soit la fonction non-concave $f(x)$ , est qu’on puisse trouver r.s nombres non-négatifs $p_{ij}$ de manière que l’on ait
$1^{0}.\sum_{j=1}^{r}p_{ij}=1,\quad i=1,2,\ldots,s$
(11) $2^{0}.\sum_{i=1}^{s}\beta_{i}p_{ij}=\alpha_{j},j=1,2,\ldots,r$
$3^{0}.y_{i}=p_{i1}x_{1}+p_{i2}x_{2}+\cdots+p_{ir}x_{r},\quad i=1,\ldots,s$ .
Il est clair que si $f(x)$ est convexe c’est le signe $>$ qui convient toujours dans (10).
6. - Comme application reprenons l’inégalité(4) de M. K. Toda.

Considérons le polynome $\mathbf{P}(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{m}\right)$ où nous pouvons supposer que les zéros (réels) $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ sont dis-
tincts et soient $y_{1},y_{2},\ldots,y_{m-1}$ les zéros de la dérivée $\mathbf{P}^{\prime}(x)$ . Nous allons montrer qu’on peut effectivement satisfaire aux conditions (11) où, dans ce cas,

\alpha_{1}=\alpha_{2}=\ldots=\alpha_{m}=\frac{1}{m}\quad,\quad\beta_{1}=\beta_{2}=\ldots=\beta_{m-1}=\frac{1}{m-1}.

Nous avons

\frac{\mathrm{P}^{\prime}(x)}{\mathrm{P}(x)}=\frac{1}{x-x_{1}}+\frac{1}{x-x_{2}}+\ldots+\frac{1}{x-x_{m}}

d’où

\frac{1}{y_{i}-x_{1}}+\frac{1}{y_{i}-x_{2}}+\cdots+\frac{1}{y_{i}-x_{n}}=0,\quad i=1,2,\ldots,m-1

qui nous donne

y_{i}=\frac{\sum_{i=1}^{m}\frac{x_{i}}{\left(y_{i}-x_{j}\right)^{2}}}{\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{\left(y_{i}-x_{j}\right)^{2}}},\quad i=1,2,\ldots,m-1.

Il reste à démontrer que

	$\displaystyle\sum_{i=1}^{m-1}\frac{\frac{1}{\left(y_{i}-x_{i}\right)^{2}}}{\sum_{l=1}^{m}\frac{1}{\left(y_{i}-x_{l}\right)^{2}}}=-\sum_{i=-1}^{m-1}\frac{\left.\mathrm{P}y_{i}\right)}{\mathrm{P}^{\prime\prime}\left(y_{i}\right)}\cdot\frac{1}{\left(x_{j}-y_{i}\right)^{2}}=\frac{m-1}{m}$		(12)
	$\displaystyle j=1,2,\ldots,m$

Considérons le polynome

\mathrm{F}(x)=\mathrm{P}\left(x_{1}-\frac{1}{m}\left(x-\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots x_{m}}{m}\right)\mathrm{P}^{\prime}(x)\right.

de degré $m-2$ . Nous avons

\frac{\mathrm{F}(x)}{\mathrm{P}^{\prime}(x)}=\sum_{i=1}^{m-1}\frac{\mathrm{\penalty 10000\ F}\left(y_{i}\right)}{\mathrm{P}^{\prime\prime}\left(y_{i}\right)\left(x-y_{i}\right)}=\sum_{i=1}^{m-1}\frac{\mathrm{P}\left(y_{i}\right)}{\mathrm{P}^{\prime\prime}\left(y_{i}\left(x-y_{i}\right)\right.}.

Le premier membre de (12) peut donc s’écrire

\left[\frac{\mathrm{F}(x)}{\mathrm{P}^{\prime}(x)}\right]_{x=x_{j}}^{\prime}=\left[\frac{\mathrm{P}(x)}{\mathrm{P}^{\prime}(x)}-\frac{1}{m}\left(x-\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}}{m}\right)\right]_{x=x_{j}}^{\prime}=\frac{m-1}{m}.

On voit donc que l’inégalité de M. K. Toda est de cette façon une conséquence immédiate de l’inégalité (2).
7. - Pour fixer les idées supposous que

x_{1}\leqq y_{1}\leqq x_{2}\leqq y_{2}\leqq\cdots\leqq a_{m-1}\leqq y_{m-1}\leqq x_{m}

(13)

nous pouvons alors écrire les inégalités (7) qui expriment la condition ( $\mathrm{C}^{\prime}$ ). Les deux premières égalités (7) sont évidemment vérifiées. Il restent $2m-3$ inégalités qui, écrites sous une forme convenable, sont

$\displaystyle(m-1)\left(x_{1}+x_{2}\right.$	$\displaystyle\left.+\cdots+x_{i}\right)+ix_{i+1}\leq m\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{i}\right)$	(14)
$\displaystyle i$	$\displaystyle=1,2,\ldots,m-2.$
$\displaystyle(m-1)\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{i}\right)\leq m\left(y+y_{2}+\ldots+y_{i}\right)-iy_{i}$		( $\prime$ )
$\displaystyle i$	$\displaystyle=1,2,\ldots,m-1.$

On voit facilement que les inégalités (14’) résultent de (13) et (14) et de

\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{m}}{m}=\frac{y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{m-1}}{m-1}

(15)

donc
Si $x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{m}$ sont les zéros d’un polynome de degré $m$ et $y_{1}\leqq y_{2}\leqq\ldots\leqq y_{m-1}$ les zéros du polynome dérivé, nous avons les inégalités (14).

La première de ces inégalités n’est qu’une inégalité de laguerre. D’après cette inégalité le zéro $y_{i}$ est toujours compris dans l’intervalle $\left(x_{i}+\frac{x_{i+1}-x_{i}}{m},x_{i+1}-\frac{x_{i+1}-x_{i}}{m}\right)$ . M. R. Godeau a généralisé ce théorème de Laguerre en démontrant une inégalité qui revient en somme à la suivante ( ¹⁰ )

	$\displaystyle\frac{(m-i)x_{i}+r_{i+1}}{m-i+1}\leqq y_{i}\leqq\frac{ix_{i+1}+x_{i}}{i+1}$		(16)
	$\displaystyle i=1,2,\ldots,m-1$

Il est à remarquer que les inégalités (14) ne résultent pas en général de (13), (15) et (16). Pour le voir il suffit de prendre $m=5,\left\{\begin{array}[]{c}x_{1}=0,x_{2}=60,x_{3}=120,x_{4}=180,x_{5}=240\\ y_{1}=15,y_{2}=80,y_{3}=163,y_{4}=222.\end{array}\right.$

Les inégalités (14) sont donc des unégalités nouvelles entre les zéros d’un polynome et les zéros du polynome dérivé.

Le théorème général du Nr. 4 permet encore d’établir d’autres inégalités pour les fonctions convexes. Nous ne voulons pas insister ici davantage sur cette question.
8. - Passons maintenant aux fonctions non-concaves d’ordre $n>1$ . Une telle fonction est caractérisée par l’inégalité

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2};f\right]\geqq 0

(17)

vérifiée par tout groupe de $n+2$ points distincts $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+2}$ de l’ensemble E sur lequel la fonction est définie.

Cherchons encore les conditions nécessaires et suffisantes que doivent remplir les constantes non-nulles $p_{i}$ et les points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ de E pour que l’on ait l’inégalité (5 ( $m\geqq n+2$ ) quelle que soit la fonction $f(x)$ , non-concave d’ordre $n$ .

Dans ce cas nous pouvons écrire

	$\displaystyle\sum_{i=1}p_{i}f\left(x_{i}\right)=\mathrm{A}_{0}f\left(x_{1}\right)+\mathrm{A}_{1}\left[x_{1},x_{2};f\right]+\ldots+$		(18)
	$\displaystyle\ldots+\mathrm{A}_{n}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]+\sum_{i=1}^{m-n-1}\mathrm{C}_{i}\Delta_{n+1}^{i}$

où on a posé

\Delta_{n+1}^{i}=\left[x_{i},x_{i+1},\ldots,x_{i+n+1};f\right],i=1,2,\ldots,m-n-1

(19)

et où les $A_{i}$ et les $C_{i}$ ne dépendent pas de la fonction $f(r)$ .
On peut déterminer les coefficients $A_{i},C_{i}$ par un calcul facile sur lequel nous n’insistons pas ici. On trouve

		$\displaystyle\mathrm{A}_{0}=\sum_{i=1}^{m}p_{i}$
		$\displaystyle\mathrm{\penalty 10000\ A}_{1}=\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}-x_{1}\sum_{i=1}^{m}p_{i}=\sum_{i=2}^{m}p_{i}\left(x_{i}-x_{1}\right)$
		$\displaystyle\mathrm{A}_{2}=\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}+x_{1}x_{2}\sum_{i=1}^{m}p_{i}=\sum_{i=3}^{m}p_{i}\left(x_{i}-x_{1}\right)\left(x_{i}-x_{2}\right)$
		$\displaystyle\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot$
		$\displaystyle\mathrm{A}_{n}=\sum_{i=n+1}^{m}p_{i}\left(x_{i}-x_{1}\right)\left(x_{i}-x_{2}\right)\ldots\left(x_{i}-x_{n}\right)$
		$\displaystyle\mathrm{C}_{r}=\left(x_{r+n+1}-x_{r}\right)\sum_{i=r+n+1}^{m}p_{i}\left(x_{i}-x_{r+1}\right)\left(x_{i}-x_{r+2}\right)\ldots\left(x_{i}-x_{r+n}\right)$
		$\displaystyle r=2,\ldots;m-n-1.$

Il est clair qu’on obtient des conditions suffisantes pour l’inégalité (5) en écrivant

\mathrm{A}_{0}=\mathrm{A}_{1}=\ldots=\mathrm{A}_{n}=0\quad,\quad\mathrm{C}_{r}\geqq 0,r=1,2,\ldots,m-n-1

On voit facilement que ces relations sont équivalentes aux suivantes

\left\{\begin{array}[]{c}\sum_{i=1}^{m}p_{i}=\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}=\ldots=\sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i}^{n}=0\\ \sum_{i=r+n+1}^{m}p_{i}\left(x_{i}-x_{r+1}\right)\left(x_{i}-x_{r+2}\right)\ldots\left(r_{i}-x_{r+n}\right)\geq 0\\ r=1,2,\ldots,m-n-1.\end{array}\right.

Les $m-n-1$ dernières inégalités peuvent d’ailleurs s’écrire aussi autrement. Si nous supposons, en effet, que les $n+1$ premières égalités (20) sont vérifiées, on a

\begin{gathered}\sum_{i=1}^{m}p_{i}\left(x_{i}-x_{r+1}\right)\left(x_{i}-x_{r+2}\right)\ldots\left(x_{i}-x_{r+n}\right)=0\\ r=1,2,\ldots,m-n-1\end{gathered}

ce qui nous donne, dans ce cas,

	$\displaystyle\mathrm{C}_{r}=-\left(x_{r+n+1}-x_{r}\right)\sum_{i=1}^{r}p_{i}\left(x_{i}-x_{r+1}\right)\left(x_{i}-x_{r+2}\right)\ldots\left(x_{i}-x_{r+n}\right)$		(21)
	$\displaystyle r=1,2,\ldots,m-n-1$

On peut donc écrire les inégalités (20) sous la forme

\begin{gathered}\sum_{i=1}^{r}p_{i}\left(x_{i}-x_{r+1}\right)\left(x_{i}-x_{r+2}\right)\ldots\left(x_{i}-x_{r+n}\right)\leqq 0\\ r=1,2,\ldots,m-n-1\end{gathered}

Si nous supposons maintenant que la tonction soit définie seulement sur les $m$ points $x_{i}$ , on peut évidemment prendre pour $f\left(x_{1}\right),\left[x_{1},x_{2};f\right],\ldots,\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n+1};f\right]$ des valeurs quelconques et pour $\Delta_{n+1}^{r},r=1,2,\ldots,m-n-1$ des valeurs non-négatives quelconques. Il en résulte donc que :

La condition nécessaire et suffisante pour que l’inégalité (5) soit vérifiée pour toute fonction non-concave d’ordre n définie sur les points $x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}$ est que les relations (20) soient rérifiées.

Si de plus la fonction est convexe d’ordre $n$ c’est le signe $>$ qui convient dans (5).
9. - Supposons maintenant qu’il s’agit d’une fonction définie dans un intervalle ( $a,b$ ) qui contient les points $x_{i}$ . Les conditions (20) sont encore suffisantes mais elles ne sont plus nécessaires. Ceci résulte de mon travail sur le prolongement des fonctions convexes( ¹¹ ). En effet, dans ce cas les nombres $\Delta_{n+1}^{r}$ vérifient certaines inégalités, en dehors des inégalités évidentes $\div_{n+1}^{r}\geq 0$ . Rappelons nous d’abord ces résultats. Considérons les fonctions $\psi_{i}(x)$ définies dans l’intervalle $\left(x_{1},x_{m}\right)$ de la manière suivante

\psi_{i}(x)=\left\{\begin{array}[]{l}0,\text{ dans }\left(x_{1},x_{i}\right)\\ -\sum_{j=0}^{k}\frac{\left(x_{i+j}-x\right)^{n}}{Q_{i}^{\prime}\left(x_{i+j}\right)},\text{ dans }\left(x_{i+k},x_{i+k+1}\right),k=0,1,\ldots,n\\ 0,\text{ dans }\left(x_{i+n+1},x_{m}\right)\end{array}\right.

où nous avons posé

\mathrm{Q}_{i}(x)=\left(x-x_{i}\right)\left(x-x_{i+1}\right)\ldots\left(x-x_{i+n+1}\right),i=1,2,\ldots,m-n-1

Nous avons alors démontré le résultat suivant :
Pour qu’il existe une fonction non-concave d’ordre n définie dans l’intervalle $\left(x_{1},x_{m}\right)$ et prenant les valeurs $f\left(x_{i}\right)$ aux points $x_{i}$ il faut el il suffit que l’on ait

\sum_{r=1}^{m-n-1}\lambda_{r}\Delta_{n+1}^{r}\geqq 0

quels que soient les nombres $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{m-n-1}$ chousis de manière que la fonction

\psi(x)=\sum_{r=1}^{m-n-1}\lambda_{r}\psi_{r}(x)

soit non-négative dans l’intervalle $\left(x_{i},x_{m}\right)\left({}^{12}\right)$
De plus nous savons qu’on peut prendre, par exemple,

\Delta_{n+1}^{r}=\psi_{r}(x),r=1,2,\ldots,m-n-1

$x$ étant un point de ( $x_{1},x_{m}$ ).
Revenons maintenant à notre problème. Les $n+1$ premières égalités (20) sont encore nécessaires. Pour le voir il suffit de re-
$\left({}^{11}\right)$ Tiberiu Popoviciu „Sur le prolongement des fonctions convexes d’ordre supérieur" Bull. Math. Soc. Roumanie des Sc. 36, 75-108 (1934).
$\left({}^{12}\right)$ Nous prenons comme intervalle $(a,b)$ l’intervalle $\left(x_{1},x_{m}\right)$ . Ceci ne restreint pas la généralité puisque nous savons qu’on peut prolonger une fonction d’ordre $n$ en dehors de l’intervalle. Voir loc. cit. $\left({}^{11}\right)$ .
marquer qu’on peut choisir comme fonction $f(x)$ un polynome quelconque de degré $\leqq n$ .

D’après la remarque précédente la condition

\psi^{*}(x)=\sum_{r=1}^{m-n-1}\mathrm{C}_{r}\psi_{r}(x)\geqq 0,\quad\text{ pour }\quad x_{1}\leqq x\leqq x_{m}

(23)

est nécessaire et on voit immédiatement que cette condition est aussi suffisante.

Pour que l’inégalité (5) soit vérifiée pour toute fonction nonconcave d’ordre $nf(x)$ , définie dans un intervalle $(a,b)$ contenant les points $x_{i}$ il faut et il suffit que l’on ait

		$\displaystyle\sum_{i=1}^{m}p_{i}=\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}=\ldots=\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}^{n}=0$
		$\displaystyle\psi^{*}(x)\geqslant 0,\text{ pour }x_{1}\leqq x\leqq x_{m}$

$\psi^{*}(x)$ étant la fonction (23).
Si la fonction est convexe d’ordre $n$ e’est le signe $>$ qui convient dans (5).
10. - L’inégalité (23) peut se mettre sous une autre forme. Compte tenant de (21) et (22) on trouve, par un calcul sur lequel il est inutile d’insister,

\psi^{*}(x)=-\sum_{s=1}^{r}p^{s}\left(x^{s}-x\right)^{n},\text{ dans }\left(x_{r},x_{r+1}\right),r=1,2,\ldots,m-1

(24)

Compte tenant des $n+1$ premières égalités (20) on a aussi
donc

\sum_{s=1}^{m}p_{s}\left(x_{s}-x\right)^{n}=0

$\left(24^{\prime}\right)\psi^{*}(x)=\sum_{s=r+1}^{m}\mu_{s}\left(x_{s}-x\right)^{n}$ , dans $\left(x_{r},x_{r+1}\right),r=1,2,\ldots,m-1$ .
Nous pouvons donc énoncer la propriété cherchée sous la forme suivante

Pour que l’inégalité (5) soit vérifiée pour toute fonction nonconcave $f(x)$ , définie "aus un intervalle ( $a,b$ ) contenant les points $x_{i}$ , il faut et il suffit que

1^{0}\sum_{i=1}^{m}p_{i}=\sum_{i=1}^{m}p_{i}r_{i}=\ldots=\sum_{i=1}^{m}p_{i}x_{i}^{n}=0

$2^{0}$ Le polynome - $\left.\sum_{s=1}^{m}p_{s}{}^{\prime}x_{s}-x\right)^{n}\left[\right.$ ou $\left.\sum_{s=r+1}^{m}p_{s}\left(x_{s}-x\right)^{n}\right]$ soit nonnégatif dans l’intervalle ( $x_{r},x_{r+1}$ ) pour $r=1,2,\ldots,m-1$ .

Remarquons, en passant, que la condition nécessaire et suffisante de prolongeabilité peut aussi s’énoncer de la manière suivante

Pour que la fonction non-concave d’ordre $nf(x)$ , définie sur les points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ soit prolongeable dans l’intervalle $\left(x_{1},x_{m}\right)$ il faut et il suffit que quels que soient les nombres $\mu_{1},\mu_{2},\ldots,\mu_{m}$ choisis de manière que
$1^{0}\sum_{i=1}^{m^{\prime}}\mu_{i}=\sum_{i=1}^{m}\mu_{i}x_{i}=\ldots=\sum_{i=1}^{m}\mu_{i}x_{i}^{n}=0$ .
20. Le polynome $-\sum_{s=1}^{r}\mu_{s}\left(x_{s}-x\right)^{n}\left[\right.$ ou $\left.\sum_{s=r+1}^{m}\mu_{s}\left(x_{s}-x\right)^{n}\right]$ soit non-négatif dans l’intervalle ( $x_{r},x_{r+1}$ ) pour $r=1,2,\ldots,m-1$ , on ait l’inégalité

\sum_{i=1}^{m}\mu_{i}f\left(x_{i}\right)\geqq 0

11.
- —
  
  Revenons à l’inégalité (5). Prenant $r=m-1$ nous voyons que la condition $p_{m}>0$ est nécessaire. Prenant $r=1$ nous trouvons qu’il faut que $-p_{1}\left(x_{1}-x\right)^{n}>0$ dans $\left(x_{1},x_{2}\right)$ , donc $(-1)^{n+1}p_{1}>0$ est aussi nécessaire. On peut donc dire que

Si l’inégalité (5) est vérifiée pour toute fonction non-concave d’ordre $n$ définie dans un intervalle ( $a,b$ ) contenant les points $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}$ il est nécessaire que l’on ait
(25) $\quad(-1)^{n+1}p_{1}>0,\quad p_{m}>0$ .

Considérons le polynome $\mathrm{P}(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{m}\right)$ ayant comme zéros les nombres $x_{1}\leqq x_{2}\leqq\ldots\leqq x_{m}$ distincts ou non et posons

\mathrm{M}_{f}(\mathbf{P})=\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{m}\right)}{m}.

Nous avons des expressions analogues $\mathrm{M}_{f}\left(\mathrm{P}^{\prime}\right),\mathrm{M}_{f}\left(\mathrm{P}^{\prime\prime}\right),\ldots$ pour les dérivées successives $\mathrm{P}^{\prime},\mathrm{P}^{\prime\prime},\ldots$ du polynome P .

Formons alors l’expression suivante

\mathrm{F}_{n}f(\mathrm{P})=\binom{n}{0}\mathrm{M}_{f}(\mathrm{P})-\binom{n}{1}\mathrm{M}_{f}\left(\mathrm{P}^{\prime}\right)+\cdots+(-1)^{n}\binom{n}{n}\mathrm{M}_{f}\left(\mathrm{P}^{(n)}\right)

qui est une sorte de différence d’ordre $n\left({}^{13}\right)$ .
( ¹³ ) Si $\mathrm{P}(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{1}-mh\right)^{n-1}$ l’expression $\Gamma_{n}f(\mathrm{P})$ ne diffère que par un facteur constant positif de la différence divisée $\left[x_{i},x_{i}+h,x_{i}+2h,\ldots,x_{i}+nh,x_{i}+mh;f\right]$ .

Un problème de M. K. Toda, examiné dans ses travaux cités $\left({}^{14}\right)$ peut se poser de la manière suivante :

L’expression $\mathrm{F}_{n}f(\mathrm{P})$ reste-elle non-négative quelle que soit la fonction $f(x)$ non-concave d’ordre $n$ et quel que soit le polynome $\mathrm{P}(x)$ ayant ses zéros dans l’intervalle $(a,b)$ ?

La réponse est que ceci n’est possible que si $n=1$ .
M. K. Toda a bien démontré que $\mathrm{F}_{n}f(\mathrm{P})$ est nul lorsque $f(x)$ est un polynome de degré $\leqq n$ et cette propriété constitue des relations fort intéressantes entre les zéros d’un polynome et ceux de ses dérivées successives.

L’expression $\mathrm{F}_{n}f(\mathrm{P})$ est une expression de la forme du premier membre de (5).

Il est clair maintenant que la propriété ne peut être vraie pour $n$ pair. Il suffit, en effet, de prendre $\mathrm{P}(x)$ tel que $x_{1}<x_{2}\leqq\ldots$ … $\leqq x_{m-1}<x_{m}$ et alors le premier et le dernier coefficient $p_{i}$ sont tous les deux égaux à $\frac{1}{m}$ . Les conditions nécessaires (25) ne sont pas vérifiées.

Dans le cas de $n$ impair $>1$ prenons le polynome $\mathrm{P}(x)==\left(x-x_{1}\right)^{2}\left(x-x_{2}\right)^{m-2},x_{1}<x_{2},m\geqq n+3$ . Le premier coefficient $p_{1}$ est égal à

\frac{2}{m}-\frac{n}{m-1}=-\frac{(n-2)m+2}{m(m-1)}<0

et le dernier coefficient $p_{i}$ est égal à

\begin{gathered}\frac{m-2}{m}-\binom{n}{1}\frac{m-3}{m-1}+\binom{n}{2}\frac{m-4}{m-2}-\cdots+(-1)^{n}\frac{m-n-2}{m-n}=\\ =(-1)^{n+1}2\left[\frac{1}{m-n}-\binom{n}{1}\frac{1}{m-n+1}+\cdots+(-1)^{n-1}\binom{n}{n-1}\frac{1}{m-1}+(-1)^{n}\frac{1}{m}\right]=\\ =(-1)^{n+1}2\int_{0}^{1}x^{m-n-1}(1-x)^{n}dx>0\end{gathered}

11 en résulte donc que la propriété ne peut étre vraie pour $n$ impair $>1$ .

On peut facilement voir que, plus généralement, $F_{n}f(P)$ ne peut être de signe constant pour tout $P$ et pour toute fonction non-concave d’ordre $n$ que si $n=1$ .

Notes sur les fonctions convexes d’ordre supérieur (III)

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NOTES SUR LES FONCTIONS CONVEXES D’ORDRE SUPÉRIEUR (III)

Sur certaines inégalités vérifiées par les fonctions convexes

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