Sur le prolongement des fonctions monotones et des fonctions convexes definies sur un nombre fini de points

Tiberiu Popoviciu
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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On the extension of monotone functions and convex functions defined on a finite number of points

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T. Popoviciu

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https://ictp.acad.ro/wp-content/uploads/2025/11/1938-a-Popoviciu-Bull.-Sect.-Sci.-Acad.-Roum.-Sur-le-prolongement-des-fonctions-monotones-et-des-fonctions-convexes-definies-sur-un-nombre-fini-de-points.pdf

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur le prolongement des fonctions monotones et des fonctions convexes definies sur un nombre fini de points, Bull. de le Sect. sci de l’Acad. Roum., 20 (1938) no. 7, pp. 196-199 (in French).

Sur ce travail

Journal

Bulletin Mathematique de la Societe des Sciences Mathematiques de Roumanie

Publié par

Société roumaine des sciences mathématiques

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[Zbl 0021.11702, JFM 64.1025.02]

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1938 a -Popoviciu- Bull. Sect. Sci. Acad. Roum. - Sur le prolongement des fonctions monotones et des
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SUR LE PROLONGEMENT DES FONCTIONS MONOTONES ET DES FONCTIONS CONVEXES DEFINIES SUR UN NOMBRE FINI DE POINTS

TIBERIU POPOVICIU
Note présentée par M. G. Tzitzéica, M. A. R.
x. - Je considère des fonctions f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) réelles, de la variable réelle x x xxx, définies et uniformes sur m m mmm points
(I)
x 1 < x 2 < … < x m . x 1 < x 2 < … < x m . x_(1) < x_(2) < dots < x_(m).x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m} .x1<x2<…<xm.
J'ai démontré que si la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est d'ordre n n nnn et n > x n > x n > xn>xn>x on nepeut pas, en général, prolozger cette fonction dans un intervalle contenant les points (I) 1 1 ^(1){ }^{1}1 ). Le prolongement est à fortiori impossible, en général, sur tout l'axe réel ( − ∞ , + ∞ − ∞ , + ∞ -oo,+oo-\infty,+\infty−∞,+∞ ). Il en résulte qu'il n'existe pas. en général, un polynome d'ordre n n nnn prenant les valeurs f ( x i ) f x i f(x_(i))f\left(x_{i}\right)f(xi) aux points x i x i x_(i)x_{i}xi. Il est d'ailleurs évident qu'il en est ainsi si la fonction n'est pas convexe ou concave, sans être poly:omiale d'ordre n n nnn sur (I). D'autre part unefonction monotone et the fonction d'ordre x x xxx sont toujours et partout. prolongeables.
Dans la suite je me propose de démontrer que si la fonction est strictement monotone (donc croissante ou déctoissante) ou bien si elle est convexe ou concave d'ordre r , le prolongement est toujours possible par un. polynome. En d'autres termes, je démontrerai les théorèmes suivants:
  1. Si m > 2 m > 2 m > 2m>2m>2 et f ( x 1 ) < f ( x 2 ) < … < f ( x m ) f x 1 < f x 2 < … < f x m f(x_(1)) < f(x_(2)) < dots < f(x_(m))f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)<\ldots<f\left(x_{m}\right)f(x1)<f(x2)<…<f(xm), on peut trouver un polynome croissant P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x) tel que l'on ait P ( x i ) = f ( x i ) , i = 1 , 2 , … , m P x i = f x i , i = 1 , 2 , … , m P(x_(i))=f(x_(i)),i=1,2,dots,mP\left(x_{i}\right)=f\left(x_{i}\right), i=1,2, \ldots, mP(xi)=f(xi),i=1,2,…,m.
    II. Si m > 3 m > 3 m > 3m>3m>3 et f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est convexe sur (I), donc [ x i , x i + x , x i + 2 ; f ] > 0 x i , x i + x , x i + 2 ; f > 0 [x_(i),x_(i+x),x_(i+2);f] > 0\left[x_{i}, x_{i+x}, x_{i+2} ; f\right]>0[xi,xi+x,xi+2;f]>0, i = 1 , 2 , … , m − 2 2 i = 1 , 2 , … , m − 2 2 i=1,2,dots,m-2^(2)i=1,2, \ldots, m-2^{2}i=1,2,…,m−22 ), on peut trowver un polynome convexe P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x) tel que l ′ l ′ l^(')l^{\prime}l′ on ait P ( x i ) = f ( x i ) , i = 1 , 2 … , m P x i = f x i , i = 1 , 2 … , m P(x_(i))=f(x_(i)),i=1,2dots,mP\left(x_{i}\right)=f\left(x_{i}\right), i=1,2 \ldots, mP(xi)=f(xi),i=1,2…,m.
Dans ces deux théorèmes et dans la suite il s'agit de polynomes croissants et de polynomes convexes şur tout l'axe réel ( − ∞ , + ∞ − ∞ , + ∞ -oo,+oo-\infty,+\infty−∞,+∞ ), à moins. qu'on ne dit pas le contraire.
2. Denontrons le théorème I. Soit P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x) le polynome cherché. Il faut alors que les nombres
(2) P C 0 = P ( x i + 1 ) − P ( x i ) ; i = 1 , 2 , … , m − 1 (2) P C 0 = P x i + 1 − P x i ; i = 1 , 2 , … , m − 1 {:(2)PC_(0)=P(x_(i)+1)-P(x_(i))quad;quad i=1","2","dots","m-1:}\begin{equation*} P C_{0}=P\left(x_{i}+1\right)-P\left(x_{i}\right) \quad ; \quad i=1,2, \ldots, m-1 \tag{2} \end{equation*}(2)PC0=P(xi+1)−P(xi);i=1,2,…,m−1
Solent positifs, On voit immédiatement que le théotème I revient au
Lemme I. Ltant donnés m-I nombres positifs a 1 , a 2 , … , a m − 1 a 1 , a 2 , … , a m − 1 a_(1),a_(2),dots,a_(m-1)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m-1}a1,a2,…,am−1, on peut trouver un polynome croissant P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x) tel que l'on ait
p i = a i , i = 1 , 2 , … , m − 1 , p i = a i , i = 1 , 2 , … , m − 1 , p_(i)=a_(i),i=1,2,dots,m-1,p_{i}=a_{i}, i=1,2, \ldots, m-1,pi=ai,i=1,2,…,m−1,
Di etant les nombres (2)
Considérons le point M ( p 1 , p 2 , … , p m − x ) M p 1 , p 2 , … , p m − x M(p_(1),p_(2),dots,p_(m-x))M\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{m-x}\right)M(p1,p2,…,pm−x) de coordonnées p i p i p_(i)p_{i}pi dans l'espace ordinare a m m mmm-I dimensions. A chaque polynome croissant P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x) correspond ainsi un point M M MMM. Lorsque P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x) varie, M M MMM décrit un domaine qui est évidemment convexe (puisque si P , P 1 P , P 1 P,P_(1)P, P_{1}P,P1 sont deux polynomes croissants, le polynone P P PPP t P P PPP is aussi croissant). D'autre part, le point 2 A ( a 1 , a 2 , 2 , 3 , 4 , − 1 A a 1 , a 2 , 2 , 3 , 4 , − 1 A(a_(1),a_(2),2,3,4,-1:}A\left(a_{1}, a_{2}, 2,3,4,-1\right.A(a1,a2,2,3,4,−1 de coordonnées positives a i a i a_(i)a_{i}ai appartient aussi à un domane convexe. On en conclut que le lemme I résultera du
Iemme. I. Pour ohquie valuent de j = 1 , 2 , 5 j = 1 , 2 , 5 j=1,2,5j=1,2,5j=1,2,5, m m mmm - I et pour tout ε > 0 ε > 0 epsi > 0\varepsilon>0ε>0, on peutistrouver un polynome crossant P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x) tel que l'on ait
Pour faire la démonstration soit ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b), un intervalle contenant les points (I) et considérons la fonction continue g ( x ) g ( x ) g(x)g(x)g(x) définie par
Nous savons quon peut trouver un polynome Q ( x ) Q ( x ) Q(x)Q(x)Q(x) croissant dans ( − ∞ , + ∞ ) ( − ∞ , + ∞ ) (-oo,+oo)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) tel que 1 on ait 3 )
| ⋅ g − Q | < ε ′ , dans ( a , b ) , | ⋅ g − Q | < ε ′ ,  dans  ( a , b ) , |*g-Q| < epsi^(')," dans "(a,b),|\cdot g-Q|<\varepsilon^{\prime}, \text { dans }(a, b),|⋅g−Q|<ε′, dans (a,b),
où ε ′ < min ( I 4 , ε 4 ) ε ′ < min I 4 , ε 4 epsi^(') < min((I)/(4),(epsi)/(4))\varepsilon^{\prime}<\min \left(\frac{I}{4}, \frac{\varepsilon}{4}\right)ε′<min(I4,ε4). On voit alors immédiatement que le polynome
P ( x ) = Q ( x ) Q ( x j + 1 ) − Q ( x j ) P ( x ) = Q ( x ) Q x j + 1 − Q x j P(x)=(Q(x))/(Q(x_(j+1))-Q(x_(j)))P(x)=\frac{Q(x)}{Q\left(x_{j+1}\right)-Q\left(x_{j}\right)}P(x)=Q(x)Q(xj+1)−Q(xj)
vérifie le lemme II.
3. - Passons à la démonstration du théorème II. Dans ce cas il faut que les nombres
(3) p i = [ x i , x i + 1 , x i + 2 ; f ] , i = 1 , 2 , … , m − 2 (3) p i = x i , x i + 1 , x i + 2 ; f , i = 1 , 2 , … , m − 2 {:(3)p_(i)=[x_(i),x_(i+1),x_(i+2);f]","i=1","2","dots","m-2:}\begin{equation*} p_{i}=\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; f\right], i=1,2, \ldots, m-2 \tag{3} \end{equation*}(3)pi=[xi,xi+1,xi+2;f],i=1,2,…,m−2
soient positifs. Le théorème revient alots au
Lemme III. Étant donnés m − 2 m − 2 m-2m-2m−2 nombres positifs a 1 , a 2 , … a n − 2 a 1 , a 2 , … a n − 2 a_(1),a_(2),dotsa_(n-2)a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n-2}a1,a2,…an−2, on peut trouver un polynome convexe P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x) tel que l'on ait
p i = a i , i = I , 2 , … , m − 2 p i = a i , i = I , 2 , … , m − 2 p_(i)=a_(i),i=I,2,dots,m-2p_{i}=a_{i}, i=I, 2, \ldots, m-2pi=ai,i=I,2,…,m−2
p i p i p_(i)p_{i}pi etant les nombres (3).
Comme plus haut, on voit que cette propriété résulte de la suivante, exprimée par le
Lemme IV. Pour chaque valeur de j = 1 , 2 , … , m − 2 j = 1 , 2 , … , m − 2 j=1,2,dots,m-2j=1,2, \ldots, m-2j=1,2,…,m−2 et pour tout ε > 0 ε > 0 epsi > 0\varepsilon>0ε>0, on peut trouver un polynome convexe P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x) tel que l'on ait
p j = I , p i < ε , i = I , 2 , … , j − I , j + I , … , m − 2 . p j = I , p i < ε , i = I , 2 , … , j − I , j + I , … , m − 2 . p_(j)=I,p_(i) < epsi,i=I,2,dots,j-I,j+I,dots,m-2.p_{j}=\mathrm{I}, p_{i}<\varepsilon, i=\mathrm{I}, 2, \ldots, j-\mathrm{I}, j+\mathrm{I}, \ldots, m-2 .pj=I,pi<ε,i=I,2,…,j−I,j+I,…,m−2.
La démonstration se fait comme plus haut pour le lemme II, en considérant la fonction
h ( x ) = { 0 , dans ( a , x i + 1 ) x − x j + x , dans ( x i + x , b ) h ( x ) = 0 ,       dans  a , x i + 1 x − x j + x ,       dans  x i + x , b h(x)={[0","," dans "(a,x_(i+1))],[x-x_(j+x)","," dans "(x_(i+x),b)]:}h(x)= \begin{cases}0, & \text { dans }\left(a, x_{i+1}\right) \\ x-x_{j+x}, & \text { dans }\left(x_{i+x}, b\right)\end{cases}h(x)={0, dans (a,xi+1)x−xj+x, dans (xi+x,b)
Dans ce cas nous potvons trouver un polynome Q ( x ) Q ( x ) Q(x)Q(x)Q(x) convexe dans − ∞ , + ∞ − ∞ , + ∞ -oo,+oo-\infty,+\infty−∞,+∞ ) tel que l'on ait
| h − Q | < ε ′ , dans ( a , b ) | h − Q | < ε ′ ,  dans  ( a , b ) |h-Q| < epsi^(')," dans "(a,b)|h-Q|<\varepsilon^{\prime}, \text { dans }(a, b)|h−Q|<ε′, dans (a,b)
quel que petit que soit le nombre positif ε ′ 4 ε ′ 4 epsi^(')^(4)\varepsilon^{\prime}{ }^{4}ε′4 ).
4. - Sans insister sur les démonstrations disons, pour terminer, que nous avons encore les propriétés suivantes;
III. Si m > 2 m > 2 m > 2m>2m>2 et la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est croissante et convexe sur (1), on peut trouver un polynome P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x), croissant dans un intervalle ( a , + ∞ ) ( a , + ∞ ) (a,+oo)(a,+\infty)(a,+∞) oit a ≦ x 1 a ≦ x 1 a <= x_(1)a \leqq x_{1}a≦x1 et convexe dans ( − ∞ , + ∞ ) ( − ∞ , + ∞ ) (-oo,+oo)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) tel que l'on ait P ( x i ) = f ( x i ) ; i = 1 P x i = f x i ; i = 1 P(x_(i))=f(x_(i));i=1P\left(x_{i}\right)=f\left(x_{i}\right) ; i=1P(xi)=f(xi);i=1, 2 , … , m 2 , … , m 2,dots,m2, \ldots, m2,…,m.
IV. Si m > 2 m > 2 m > 2m>2m>2 et la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est décroissante et convexe sur (1), on. peut trouver un polynome P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x), décroissant dans un intervalle ( − ∞ , b ) ( − ∞ , b ) (-oo,b)(-\infty, b)(−∞,b) où b ≥ x m b ≥ x m b >= x_(m)b \geq x_{m}b≥xm et convexe dans ( − ∞ , + ∞ ) ( − ∞ , + ∞ ) (-oo,+oo)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) tel que l'on ait P ( x i ) = f ( x i ) P x i = f x i P(x_(i))=f(x_(i))P\left(x_{i}\right)=f\left(x_{i}\right)P(xi)=f(xi), i = 1 , 2 , … , m i = 1 , 2 , … , m i=1,2,dots,mi=1,2, \ldots, mi=1,2,…,m.
Cernăuti, 28 septembre 2938.
  1. 1 1 ^(1){ }^{1}1 ) Voir: Tiberiu Popoviciu, Sur le prolongement des fonctions convexes d'ordre supérieur, « Bull. Math. Soc. Roumaine des Sc.», t. 36 (1934), pp. 75-108.
    2 2 ^(2){ }^{2}2 ) Pour les notations volr mes travaux antérieurs.
  2. 3 3 ^(3){ }^{3}3 ) Voir Tiberiu Popoviciu, Suy l'approzimation des fonotions convexes d'ordre superieure, dans ce Bulletin.
  3. 4 4 ^(4){ }^{4}4 ) Voir loc. cit. (note précédente).
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