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Traduction en anglais du titre
On some inequalities between convex functions (I)
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T. Popoviciu, Sur quelques inegalités entre les fonction convexes (I), Comptes Rendus des séances de l’Académie des Sciences de Roumanie, 2 (1938), pp. 449-454 (in French).
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112. SUR QUELQUES INÉGALITÉS ENTRE LES FONCTIONS CONVEXES
(PREMIÈRE NOTE)
Par tiberiu popoviciu, Mc. A. S. r.
(Séance du 4 mars 1938).
Par tiberiu popoviciu, Mc. A. S. r.
(Séance du 4 mars 1938).
- Soit varphi=varphi(x)\varphi=\varphi(x) une fonction définie, uniforme, continue et convexe (d'ordre I) dans l'intervalle fermé ( 0,1 ). Nous supposons que varphi(0)=0,varphi(1)=1quad0 <= varphi(x) <= 1\varphi(0)=0, \varphi(1)=1 \quad 0 \leqq \varphi(x) \leqq 1. Il en résulte que varphi(x)\varphi(x) est une fonction positive et croissante pour 0 < x <= I0<x \leqq \mathrm{I}. La dérivée à droite varphi^(')(x)\varphi^{\prime}(x) existe, est croissante pour 0 <= x < I0 \leqq x<\mathrm{I}, mais peut ne pas être bornée dans ( 0,I0, \mathrm{I} ).
Considérons aussi une fonction f=f(x)f=f(x), définie, uniforme, continue et non-concave d'ordre 0,1,dots,n0,1, \ldots, n dans l'intervalle (0,1)^(1)(0,1)^{1} ). Nous supposons que f(0)=a >= 0,f(I)=b <= I,a < bf(0)=a \geqq 0, f(\mathrm{I})=b \leqq \mathrm{I}, a<b et nous désignerons par (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} 1'ensemble des fonctions vérifiant toutes ces propriétés. On voit que (E_(a)^(b))_(n)sub(E_(a)^(b))_(n-1)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} \subset\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n-1}, donc (E_(a)^(b))_(n)sub(E_(a)^(b))_(o),n > 0\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} \subset\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{o}, n>0. Dans ce travail nous
supposerons n > 0n>0. Nous indiquerons les résultats aussi pour n=0n=0, qui sont d'ailleurs à peu près tous connus.
Le problème que nous examinerons dans ce travail est le suivant : Etant donnée la fonction varphi\varphi, déterminer le maximum de A_(varphi)(f)\mathrm{A}_{\varphi}(f) lorsque A(f)\mathrm{A}(f) est donné et ff parcourt l'ensemble (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}.
Nous avons posé
A=A(f)=int_(0)^(1)fdx,quadA_(varphi)=A_(varphi)(f)=int_(0)^(1)varphi(f)dx\mathrm{A}=\mathrm{A}(f)=\int_{0}^{1} f d x, \quad \mathrm{~A}_{\varphi}=\mathrm{A}_{\varphi}(f)=\int_{0}^{1} \varphi(f) d x
Nous ferons ensuite quelques applications, en généralisant certains résultats connus.
2. Appelons fonction élémentaire de degré nn toute fonction dont la (n-1)^("ème ")(n-1)^{\text {ème }}è dérivée est une ligne polygonale. Une telle fonction est done de la forme
2. Appelons fonction élémentaire de degré nn toute fonction dont la (n-1)^("ème ")(n-1)^{\text {ème }}è dérivée est une ligne polygonale. Une telle fonction est done de la forme
{:(I)g(x)=P(x)+sum_(i=1)^(m)c_(i)[(x-x_(i)+|x-x_(i)|)/(2(I-x_(i)))]^(n):}\begin{equation*}
g(x)=\mathrm{P}(x)+\sum_{i=1}^{m} c_{i}\left[\frac{x-x_{i}+\left|x-x_{i}\right|}{2\left(\mathrm{I}-x_{i}\right)}\right]^{n} \tag{I}
\end{equation*}
P(x)=a_(o)+a_(1)x+a_(2)x^(2)+dots+a_(n)quadx^(n-1),0 <= x_(1) < x_(2) < dots < x_(m) < I\mathrm{P}(x)=a_{o}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} \quad x^{n-1}, 0 \leqslant x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}<\mathrm{I}.
Nous supposons que c_(i)!=0,i=1,2,dots,mc_{i} \neq 0, i=1,2, \ldots, m et nous dirons alors que la fonction élémentaire g(x)g(x) est à mm sommets. Nous dirons que les sommets sont aux points x_(1),x_(2),dots,x_(m)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}. Si x_(1)=0x_{1}=0 il y a un sommet au point o^(2)o^{2} ). Pour que la fonction élémentaire g(x)g(x) à mm sommets appartienne à (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} il faut et il suffit que l'on ait
a_(o)=a,a_(r) >= 0,r=1,2,dots,n-1,c_(i) > 0,i=1,2,dots,m,P(1)+sum_(i=1)^(m)c_(i)=ba_{o}=a, a_{r} \geqq 0, r=1,2, \ldots, n-1, c_{i}>0, i=1,2, \ldots, m, \mathrm{P}(1)+\sum_{i=1}^{m} c_{i}=b.
Dans la suite nous considérons uniquement des fonctions élémentaires appartenant à (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}.
Nous supposons que c_(i)!=0,i=1,2,dots,mc_{i} \neq 0, i=1,2, \ldots, m et nous dirons alors que la fonction élémentaire g(x)g(x) est à mm sommets. Nous dirons que les sommets sont aux points x_(1),x_(2),dots,x_(m)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}. Si x_(1)=0x_{1}=0 il y a un sommet au point o^(2)o^{2} ). Pour que la fonction élémentaire g(x)g(x) à mm sommets appartienne à (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} il faut et il suffit que l'on ait
a_(o)=a,a_(r) >= 0,r=1,2,dots,n-1,c_(i) > 0,i=1,2,dots,m,P(1)+sum_(i=1)^(m)c_(i)=ba_{o}=a, a_{r} \geqq 0, r=1,2, \ldots, n-1, c_{i}>0, i=1,2, \ldots, m, \mathrm{P}(1)+\sum_{i=1}^{m} c_{i}=b.
Dans la suite nous considérons uniquement des fonctions élémentaires appartenant à (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}.
Conformément à la définition précédente, tout polynome de degré n-In-I est une fonction élémentaire de degré nn à o sommets. Un polynome de degré effectif nn est une fonction élémentaire de degré nn à . I sommet, le sommet étant au point 0 .
Parmi les fonctions à I sommet on trouve les suivantes
{:(2)h_(lambda)(x)=a+(b-a)[(x-lambda+|x-lambda|)/(2(I-lambda))]^(n)","quad(0 <= lambda < I).:}\begin{equation*}
h_{\lambda}(x)=a+(b-a)\left[\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2(I-\lambda)}\right]^{n}, \quad(0 \leqq \lambda<I) . \tag{2}
\end{equation*}
Dans le cas n=1n=1 toutes les fonctions à un sommet sont de cette forme.
La fonction (1) peut s'écrire
g(x)=((b-a)P(x)+a[P(I)-b])/(b-a)+(I)/(b-a)sum_(i=1)^(m)c_(i)h_(x_(i))(x),g(x)=\frac{(b-a) \mathrm{P}(x)+a[\mathrm{P}(\mathrm{I})-b]}{b-a}+\frac{\mathrm{I}}{b-a} \sum_{i=1}^{m} c_{i} h_{x_{i}}(x),
qui nous montre qu'elle est la moyenne arithmétique (généralisée) d'un polynome de degré nn-I et de mm fonctions de la forme (2).
Toute fonction de (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} est la limite d'une suite uniformément convergente de fonctions élémentaires de (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}. Cette propriété peut d'ailleurs se préciser de la manière suivante. Si ff appartient à (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}, les dérivées f^('),f^(''),dots,f^((n-1))f^{\prime}, f^{\prime \prime}, \ldots, f^{(n-1)} existent pour o <= x < I\mathrm{o} \leqq x<\mathrm{I}. La fonction ff est alors la limite d'une suite uniformément convergente de fonctions élémentaires de (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}, ces fonctions ayant toutes le même premier terme P(x)=a+xf^(')(0)+(x^(2))/(2!)f^('')(0)+dots+(x^(n-1))/((n-1)!)f^((n-1))(0)P(x)=a+x f^{\prime}(0)+\frac{x^{2}}{2!} f^{\prime \prime}(0)+\ldots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n-1)}(0). De plus on peut supposer que la valeur de l'intégrale AA est la même pour toutes ces fonctions.
Ces considérations s'appliquent, en particulier, à la fonction varphi\varphi, qui appartient à (E_(0)^(1))_(1)\left(\mathrm{E}_{0}^{1}\right)_{1}, et servent à établir en toute rigueur les affirmations suivantes.
3. Soit varphi\varphi donnée et g(x)g(x) une fonction élémentaire de (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} ayant m > 1m>1 sommets et donnée par la formule (I). Construisons la fonction.
3. Soit varphi\varphi donnée et g(x)g(x) une fonction élémentaire de (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} ayant m > 1m>1 sommets et donnée par la formule (I). Construisons la fonction.
g^(**)(x)=P(x)+sum_(i=1)^(m-2)c_(i)[(x-x_(i)+|x-x_(i)|)/(2(I-x_(i)))]^(n)+c[(x-mu+|x-mu|)/(2(I-mu))]^(n)g^{*}(x)=\mathrm{P}(x)+\sum_{i=1}^{m-2} c_{i}\left[\frac{x-x_{i}+\left|x-x_{i}\right|}{2\left(\mathrm{I}-x_{i}\right)}\right]^{n}+c\left[\frac{x-\mu+|x-\mu|}{2(\mathrm{I}-\mu)}\right]^{n}
et déterminons les constantes c,muc, \mu de manière que 1'on ait g^(**)(I)=bg^{*}(\mathrm{I})=b, A(g^(**))=A(g)\mathrm{A}\left(g^{*}\right)=\mathrm{A}(g). On trouve que c=c_(m-1)+c_(m)c=c_{m-1}+c_{m} et mu=(c_(m-1)x_(m-1)+c_(m)x_(m))/(c_(m-1)+c_(m))\mu=\frac{c_{m-1} x_{m-1}+c_{m} x_{m}}{c_{m-1}+c_{m}}, donc x_(m-1) < mu < x_(m),c > 0x_{m-1}<\mu<x_{m}, c>0 et g^(**)g^{*} est bien une fonction élémentaire de degré nn à m-1m-1 sommets appartenant à (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}.
Il existe un nombre mu^('),mu < mu^(') < I\mu^{\prime}, \mu<\mu^{\prime}<I tel que l'on ait
(3) quadg^(**)(x) <= g(x)\quad g^{*}(x) \leqq g(x) suivant que x <= mu^(')x \leqq \mu^{\prime}, pour x_(m-1) < x < I^(4)x_{m-1}<x<I^{4} )
(3) quadg^(**)(x) <= g(x)\quad g^{*}(x) \leqq g(x) suivant que x <= mu^(')x \leqq \mu^{\prime}, pour x_(m-1) < x < I^(4)x_{m-1}<x<I^{4} )
Considérons la fonction
varphi_(lambda)(x)=(x-lambda+|x-lambda|)/(2),quad0 <= lambda < 1\varphi_{\lambda}(x)=\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}, \quad 0 \leqq \lambda<1
Si g(x_(m-1)) < lambda < bg\left(x_{m-1}\right)<\lambda<b, on a
Avarphi_(lambda)(g^(**))-Avarphi_(lambda)(g)=int_(i^(**))^(1)g^(**)dx-int_(t)^(1)gdx+lambda(t^(**)-t)\mathrm{A} \varphi_{\lambda}\left(g^{*}\right)-\mathrm{A} \varphi_{\lambda}(g)=\int_{i^{*}}^{1} g^{*} d x-\int_{t}^{1} g d x+\lambda\left(t^{*}-t\right)
où lambda=g(t)=g^(**)(t^(**))\lambda=g(t)=g^{*}\left(t^{*}\right) et la propriété (3) nous montre que cette fonction de lambda\lambda s'annule pour lambda=g(x_(m-1))\lambda=g\left(x_{m-1}\right) et lambda=b\lambda=b, est croissante pour g(x_(m-1)) < lambda < g(mu^('))g\left(x_{m-1}\right)<\lambda<g\left(\mu^{\prime}\right) et décroissante pour g(mu^(')) < lambda < bg\left(\mu^{\prime}\right)<\lambda<b. Il en résulte donc que
{:(4)Avarphi_(lambda)(g^(**)) > Avarphi_(lambda)(g)","quad g(x_(m-1)) < lambda < b:}\begin{equation*}
\mathrm{A} \varphi_{\lambda}\left(g^{*}\right)>\mathrm{A} \varphi_{\lambda}(g), \quad g\left(x_{m-1}\right)<\lambda<b \tag{4}
\end{equation*}
- Nous nous proposons de démontrer maintenant que A_(varphi)(g^(**))>>A_(varphi)(g)\mathrm{A}_{\varphi}\left(g^{*}\right)> >\mathrm{A}_{\varphi}(g). L'inégalité avec le signe >=\geqq résulte bien de (4), mais il s'agit de prouver que l'égalité n'est pas possible.
Considérons la fonction, non-décroissante et non-concave,
Phi_(epsi)(x)={[varphi(x)","," dans "(0","I-epsi)],[varphi(I-epsi)+(x-I+epsi)varphi(I-epsi)","," dans "(I-epsi","I)","]:}\Phi_{\varepsilon}(x)=\left\{\begin{array}{lr}
\varphi(x), & \text { dans }(0, \mathrm{I}-\varepsilon) \\
\varphi(\mathrm{I}-\varepsilon)+(x-\mathrm{I}+\varepsilon) \varphi(\mathrm{I}-\varepsilon), & \text { dans }(\mathrm{I}-\varepsilon, \mathrm{I}),
\end{array}\right.
où epsi\varepsilon est un nombre positif assez petit et varphi^(')\varphi^{\prime} est la dérivée à droite de varphi\varphi. Nous avons
{:(5)Phi_(z)(x)=int_(0)^(1)varphi_(t)(x)dPhi_(epsi)^(')(t)+alpha x:}\begin{equation*}
\Phi_{z}(x)=\int_{0}^{1} \varphi_{t}(x) d \Phi_{\varepsilon}^{\prime}(t)+\alpha x \tag{5}
\end{equation*}
l'intégrale étant de Stieltjes et alpha\alpha une constante sans importance pour nous ^(5){ }^{5} ).
On peut facilement démontrer que
A_(Phi Sigma)(g^(**))-A_(Phi epsi)(g)=int_(0)^(1){(A)varphi_(l)(g^(**))-Apsi_(t)(g)}dPhi_(epsi)^(')(t)\mathrm{A}_{\Phi \Sigma}\left(g^{*}\right)-\mathrm{A}_{\Phi \varepsilon}(g)=\int_{0}^{1}\left\{\mathrm{~A} \varphi_{l}\left(g^{*}\right)-\mathrm{A} \psi_{t}(g)\right\} d \Phi_{\varepsilon}^{\prime}(t)
- Cette formule est analogue à celle donnée pour les fonctions non-convexes par MM. W. Blascke et G. Pick, voir: „Distanzschätzungen im Funktionenraum II". Math. Ann. Bd. 77 (1916) p. 277-300. L'introduction de la fonction Phi_(epsi)\boldsymbol{\Phi}_{\varepsilon} n'est nécessaire que si b=1b=1. Il peut arriver en effet, que la dérivée à droite de varphi(x)\varphi(x) ne soit pas à variation bornée.
qui résulte du fait que l'intégrale de Stie1tjesS t i e 1 t j e s du second membre existe.
De cette formule et de la définition de Phi_(epsi)\Phi_{\varepsilon} il résulte que A_(Phi)(g^(**))\mathrm{A}_{\Phi}\left(g^{*}\right) -- APhi_(epsi)(g)\mathrm{A} \Phi_{\varepsilon}(g) est positif et ne décroît pas lorsque epsi\varepsilon décroît. On a done
lim_(3rarr0)[A_(Phi epsi)(g^(**))-A_(Phi epsi)(g)]=A_(varphi)(g^(**))-A_(varphi)(g) > 0\lim _{3 \rightarrow 0}\left[\mathrm{~A}_{\Phi \varepsilon}\left(g^{*}\right)-\mathrm{A}_{\Phi \varepsilon}(g)\right]=\mathrm{A}_{\varphi}\left(g^{*}\right)-\mathrm{A}_{\varphi}(g)>0
- Considérons maintenant une fonction ff de (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}. Soit la fonction élémentaire de degré nn à I sommet
h(x)=a+xf^(')(o)+(x^(2))/(2!)f^('')(o)+dots+(x^(n-1))/((n-I)!)f^((n-1))(o)+d[(x-rho+|x-rho|)/(2(I-rho))]^(n)h(x)=a+x f^{\prime}(\mathrm{o})+\frac{x^{2}}{2!} f^{\prime \prime}(\mathrm{o})+\ldots+\frac{x^{n-1}}{(n-\mathrm{I})!} f^{(n-1)}(\mathrm{o})+d\left[\frac{x-\rho+|x-\rho|}{2(\mathrm{I}-\rho)}\right]^{n}
où d,rhod, \rho sont complètement déterminés par les conditions h(I)=bh(I)=b, A(h)=A(f).h(x)\mathrm{A}(h)=\mathrm{A}(f) . h(x) appartient à (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} et on a A_(varphi)(h) >= A_(varphi)(f)\mathrm{A}_{\varphi}(h) \geqq \mathrm{A}_{\varphi}(f). Nous nous proposons de démontrer que l'égalité n'est possible que si h=fh=f.
Reprenons 1a formule (5) ; nous avons
A_(Phi s)(h)-A_(Phi s)(f)=int_(0)^(1){A_(varphi t)(h)-A_(varphi t)(f)}dPhi_(epsi)^(')(t)\mathrm{A}_{\Phi s}(h)-\mathrm{A}_{\Phi s}(f)=\int_{0}^{1}\left\{\mathrm{~A}_{\varphi t}(h)-\mathrm{A}_{\varphi t}(f)\right\} d \Phi_{\varepsilon}^{\prime}(t)
La fonction Avarphi_(i)(h)-Avarphi_(t)(f)\mathrm{A} \varphi_{i}(h)-\mathrm{A} \varphi_{t}(f) est continue en tt et est >= 0\geqq 0.
On démontre facilement que si ff ne se réduit pas à une fonction élémentaire de degré nn à o ou I sommet, cette fonction n'est pas identiquement nulle. On a donc A_(Phi widehat(epsi))(h)-A_(Phi widehat(epsi))(f) > 0\mathrm{A}_{\Phi \widehat{\varepsilon}}(h)-\mathrm{A}_{\Phi \widehat{\varepsilon}}(f)>0, tout au moins pour epsi\varepsilon assez petit. La propriété demandée en résulte comme plus haut.
On démontre facilement que si ff ne se réduit pas à une fonction élémentaire de degré nn à o ou I sommet, cette fonction n'est pas identiquement nulle. On a donc A_(Phi widehat(epsi))(h)-A_(Phi widehat(epsi))(f) > 0\mathrm{A}_{\Phi \widehat{\varepsilon}}(h)-\mathrm{A}_{\Phi \widehat{\varepsilon}}(f)>0, tout au moins pour epsi\varepsilon assez petit. La propriété demandée en résulte comme plus haut.
Finalement donc :
Si la fonction varphi\varphi et le nombre A(f)\mathrm{A}(f) sont donnés, le maximum de A_(varphi)(f)\mathrm{A}_{\varphi}(f) dans (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} ne peut être atteint que pour une fonction élémentaire de degré nn à au plus I sommet.
Si la fonction varphi\varphi et le nombre A(f)\mathrm{A}(f) sont donnés, le maximum de A_(varphi)(f)\mathrm{A}_{\varphi}(f) dans (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} ne peut être atteint que pour une fonction élémentaire de degré nn à au plus I sommet.
Dans le cas n=1n=1 la fonction h(x)h(x) est complètement déterminée par la valeur de l'intégrale A . On a donc la propriété suivante:
Si varphi\varphi est donnée et f une fonction continue, non-décroissanle et nonconcave dans (O,I)(\mathrm{O}, \mathrm{I}), on a
{:(6)int_(0)^(1)varphi(f)dx <= (b+a-2(A))/(b-a)varphi(a)+(2((A)-a))/((b-a)^(2))int_(a)^(b)varphi(x)dx","quadA=int_(0)^(1)fdx:}\begin{equation*}
\int_{0}^{1} \varphi(f) d x \leqq \frac{b+a-2 \mathrm{~A}}{b-a} \varphi(a)+\frac{2(\mathrm{~A}-a)}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} \varphi(x) d x, \quad \mathrm{~A}=\int_{0}^{1} f d x \tag{6}
\end{equation*}
l'égalité n'étant possible que pour la fonction
t=a+(b-a)(x-lambda+|x-lambda|)/(2(I-lambda)),lambda=(b+a-2(A))/(b-a)t=a+(b-a) \frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2(\mathrm{I}-\lambda)}, \lambda=\frac{b+a-2 \mathrm{~A}}{b-a}
- On dit aussi qu'une telle fonction est ( n+1n+1 )-fois monotone.
- Nous avons déjà considéré de telles fonctions dans un travail antérieur, voir : Tiberiu Popoviciu, „Sur le prolongement des fonctions convexes d'ordre supérieur". Bull. Math. Soc. Roum. Sc., t. 36 (1934), p. 75-108.
- Dans le cas m=2m=2, on a évidemment
- La position du point mu^(')\mu^{\prime} dans l'intervalle ( mu,r\mu, \mathrm{r} ) dépend des valeurs de c_(m-1),c_(m)c_{m-1}, c_{m}. En particulier, si n=1n=1 on a toujours mu < mu^(') < x_(m)\mu<\mu^{\prime}<x_{m}.