Sur quelques inegalités entre les fonctions convexes (II)

Tiberiu Popoviciu
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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On some inequalities between convex functions (II)

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T. Popoviciu

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1938 d -Popoviciu- Comptes Rendus des séances de l’Acad. des Sci. de Roumanie – Sur quelques inegalités entre les fonction convexes (II)

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur quelques inegalités entre les fonctions convexes (II), Comptes Rendus de l’Instit. de Sci. de Roum., 2 (1938), pp. 454-458 (in French).

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Comptes Rendus de l’Instit. de Sci. de Roum.

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1938 d -Popoviciu- Comptes Rendus des séances de l_Acad. des Sci. de Roumanie - Sur quelques inegali

113. Sur QUELQUES INEGALITES ENTRE LES FONCTIONS CONVEXES

(DEUXIÉME NOTE)
Par tiberiu popoviciu, Mc. A. S. R.
(Séance du 4 mars 1938)
I. Nous avons démontré dans la première Note que le maximum de A φ ( f ) A φ ( f ) A_(varphi)(f)\mathrm{A}_{\varphi}(f)Aφ(f) dans ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n, lorsque A ( f ) A ( f ) A(f)\mathrm{A}(f)A(f) est donné, ne peut être atteint que par une fonction élémentaire de degré n n nnn à au plus i sommet. Plus exactement, il existe toujours une fonction élémentaire h ( x ) h ( x ) h(x)h(x)h(x) de ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n, ayant au plus I sommet, telle que A ( h ) = A ( f ) , A φ ( h ) > A φ ( f ) A ( h ) = A ( f ) , A φ ( h ) > A φ ( f ) A(h)=A(f),A_(varphi)(h) > A_(varphi)(f)\mathrm{A}(h)=\mathrm{A}(f), \mathrm{A}_{\varphi}(h)>\mathrm{A}_{\varphi}(f)A(h)=A(f),Aφ(h)>Aφ(f), l'égalité n'étant possible si f f fff n'est pas une fonction élémentaire à o ou I sommet.
En particulier, pour n = 1 n = 1 n=1n=1n=1, le problème de maximum est complètement résolu puisque la valeur de l'intégrale A ( f ) A ( f ) A(f)\mathrm{A}(f)A(f) détermine complètement la fonction h h hhh.
Nous nous proposons d'examiner maintenant le cas n > 1 n > 1 n > 1n>1n>1. Il faut alors, choisir parmi les fonctions élémentaires à o ou I sommet, celle (ou celles) qui donne le maximum de A φ ( f ) A φ ( f ) A_(varphi)(f)A_{\varphi}(f)Aφ(f).
Nous allons utiliser une propriété auxiliaire, que nous avons déjà employée dans la note précédente, et que nous énonçons maintenant sous la forme suivante:
Soit φ φ varphi\varphiφ une fonction de la forme indiquée dans la première note. Soient ensuite f , f ∗ f , f ∗ f,f^(**)f, f^{*}f,f∗ deux fonctions continues, dérivables et croissantes dans l'intervalle fermé ( o , I o , I o,I\mathrm{o}, \mathrm{I}o,I ). De plus, les fonctions f , f ∗ f , f ∗ f,f^(**)f, f^{*}f,f∗ vérifient les propriétés :
I 0 . f ( o ) = f ∗ ( o ) = a ≥ o , f ( I ) = f ∗ ( I ) = b ≦ I , a ≥ b I 0 . f ( o ) = f ∗ ( o ) = a ≥ o , f ( I ) = f ∗ ( I ) = b ≦ I , a ≥ b I^(0).f(o)=f^(**)(o)=a >= o,f(I)=f^(**)(I)=b <= I,a >= b\mathrm{I}^{0} . f(\mathrm{o})=f^{*}(\mathrm{o})=a \geq \mathrm{o}, f(\mathrm{I})=f^{*}(\mathrm{I})=b \leqq \mathrm{I}, a \geq bI0.f(o)=f∗(o)=a≥o,f(I)=f∗(I)=b≦I,a≥b.
2 0 2 0 2^(0)2^{0}20. On a A ( f ∗ ) = A ( f ) A f ∗ = A ( f ) A(f^(**))=A(f)\mathrm{A}\left(f^{*}\right)=\mathrm{A}(f)A(f∗)=A(f).
3. Il existe un nombre x 0 , 0 < x 0 < 1 x 0 , 0 < x 0 < 1 x_(0),0 < x_(0) < 1x_{0}, 0<x_{0}<1x0,0<x0<1, tel qu'on ait f ∗ ( x ) ⋚ f ( x ) f ∗ ( x ) ⋚ f ( x ) f^(**)(x)⋚f(x)f^{*}(x) \lesseqgtr f(x)f∗(x)⋚f(x), suivant que x ⋚ x 0 , 0 < x < 1 x ⋚ x 0 , 0 < x < 1 x⋚x_(0),0 < x < 1x \lesseqgtr x_{0}, 0<x<1x⋚x0,0<x<1.
Plus généralement nous pouvons supposer que f* est d'abord constamment égale à a et ensuite est croissante.
On a alors l'inégalité A φ ( f ∗ ) > A φ ( f ) 1 A φ f ∗ > A φ ( f ) 1 A_(varphi)(f^(**)) > A_(varphi)(f)^(1)\mathrm{A}_{\varphi}\left(f^{*}\right)>\mathrm{A}_{\varphi}(f){ }^{1}Aφ(f∗)>Aφ(f)1 ).
La démonstration est simple. D'après la représentation de φ φ varphi\varphiφ par une intégrale de Stieltjes, il suffit de démontrer la propriété pour les fonctions φ Λ . 2 φ Λ . 2 varphi_(Lambda).^(2)\varphi_{\Lambda} .{ }^{2}φΛ.2 ). Ceci revient à démontrer que
G ( λ ) = ∫ i ∗ 1 f ∗ d x − ∫ t 1 f d x + λ ( t ∗ − t ) > 0 , a < λ < b G ( λ ) = ∫ i ∗ 1   f ∗ d x − ∫ t 1   f d x + λ t ∗ − t > 0 , a < λ < b G(lambda)=int_(i^(**))^(1)f^(**)dx-int_(t)^(1)fdx+lambda(t^(**)-t) > 0,quad a < lambda < b\mathrm{G}(\lambda)=\int_{i^{*}}^{1} f^{*} d x-\int_{t}^{1} f d x+\lambda\left(t^{*}-t\right)>0, \quad a<\lambda<bG(λ)=∫i∗1f∗dx−∫t1fdx+λ(t∗−t)>0,a<λ<b
où λ = f ( l ) = f ∗ ( t ∗ ) λ = f ( l ) = f ∗ t ∗ lambda=f(l)=f^(**)(t^(**))\lambda=f(l)=f^{*}\left(t^{*}\right)λ=f(l)=f∗(t∗). Or, t , t ∗ t , t ∗ t,t^(**)t, t^{*}t,t∗ et le premier membre de cette inégalité sont des fonctions dérivables de λ λ lambda\lambdaλ. Nous avons
d G d λ = − f ∗ ( t ∗ ) d t ∗ d λ + f ( t ) d t d λ + λ ( d t ∗ d λ − d t d λ ) + ( t ∗ − t ) = t ∗ − t d G d λ = − f ∗ t ∗ d t ∗ d λ + f ( t ) d t d λ + λ d t ∗ d λ − d t d λ + t ∗ − t = t ∗ − t (dG)/(d lambda)=-f^(**)(t^(**))(dt^(**))/(d lambda)+f(t)(dt)/(d lambda)+lambda((dt^(**))/(d lambda)-(dt)/(d lambda))+(t^(**)-t)=t^(**)-t\frac{d \mathrm{G}}{d \lambda}=-f^{*}\left(t^{*}\right) \frac{d t^{*}}{d \lambda}+f(t) \frac{d t}{d \lambda}+\lambda\left(\frac{d t^{*}}{d \lambda}-\frac{d t}{d \lambda}\right)+\left(t^{*}-t\right)=t^{*}-tdGdλ=−f∗(t∗)dt∗dλ+f(t)dtdλ+λ(dt∗dλ−dtdλ)+(t∗−t)=t∗−t
La propriété résulte immédiatement du fait que t ∗ ⋛ t t ∗ ⋛ t t^(**)⋛tt^{*} \gtreqless tt∗⋛t suivant que λ ⋚ f ( x 0 ) λ ⋚ f x 0 lambda⋚f(x_(0))\lambda \lesseqgtr f\left(x_{0}\right)λ⋚f(x0).
2. Considérons maintenant la fonction de ( E n b ) n E n b n (E_(n)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{n}^{b}\right)_{n}(Enb)n,
h ( x ) = a + a 1 x + a 2 x 2 + … a k x k + ( b − a − ∑ i = 1 k a i ) [ x − μ + | x − μ | 2 ( I − μ ) ] n h ( x ) = a + a 1 x + a 2 x 2 + … a k x k + b − a − ∑ i = 1 k   a i x − μ + | x − μ | 2 ( I − μ ) n h(x)=a+a_(1)x+a_(2)x^(2)+dotsa_(k)x^(k)+(b-a-sum_(i=1)^(k)a_(i))[(x-mu+|x-mu|)/(2(I-mu))]^(n)h(x)=a+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots a_{k} x^{k}+\left(b-a-\sum_{i=1}^{k} a_{i}\right)\left[\frac{x-\mu+|x-\mu|}{2(\mathrm{I}-\mu)}\right]^{n}h(x)=a+a1x+a2x2+…akxk+(b−a−∑i=1kai)[x−μ+|x−μ|2(I−μ)]n
où, 0 < μ < I , a i ≧ 0 , i = 1 , 2 , … , k − I , a k > 0 , k ≦ n − I , b − a − ∑ i = 1 k a i > 0 0 < μ < I , a i ≧ 0 , i = 1 , 2 , … , k − I , a k > 0 , k ≦ n − I , b − a − ∑ i = 1 k   a i > 0 0 < mu < I,a_(i) >= 0,quad i=1,2,dots,k-I,quada_(k) > 0,k <= n-I,b-a-sum_(i=1)^(k)a_(i) > 00<\mu<\mathrm{I}, a_{i} \geqq 0, \quad i=1,2, \ldots, k-\mathrm{I}, \quad a_{k}>0, k \leqq n-\mathrm{I}, b-a-\sum_{i=1}^{k} a_{i}>00<μ<I,ai≧0,i=1,2,…,k−I,ak>0,k≦n−I,b−a−∑i=1kai>0.
  1. Ce n'est qu'un cas particulier d'une inégalité qui, pour le cas fini a été donné par MM. G. H. 'Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, yoir : ,,Some simple inequalities satisfied by convex /unctions" Messenger of. math. 58 (1929) p. 145-152. Voir aussi J. Karamata ,Sur une inégalité relative aux fonctions convexes', Publ. Math. Univ. Belgrade t. i (1932) p. 145-148. Nous reviendrons d'ailleurs sur cette inégalité dans un autre travail.
  2. Je prie le lecteur de se rapporter à la première note pour les hypothèses faites sur les fonctions et pour les notations.
Nous avons
A ( h ) = a + a 1 2 + a 2 3 + … + a k k + 1 + ( b − a − ∑ i = 1 k a l ) ( 1 − μ ) n + 1 . A ( h ) = a + a 1 2 + a 2 3 + … + a k k + 1 + b − a − ∑ i = 1 k   a l ( 1 − μ ) n + 1 . A(h)=a+(a_(1))/(2)+(a_(2))/(3)+dots+(a_(k))/(k+1)+((b-a-sum_(i=1)^(k)a_(l))(1-mu))/(n+1).\mathrm{A}(h)=a+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\ldots+\frac{a_{k}}{k+1}+\frac{\left(b-a-\sum_{i=1}^{k} a_{l}\right)(1-\mu)}{n+1} .A(h)=a+a12+a23+…+akk+1+(b−a−∑i=1kal)(1−μ)n+1.
Soit maintenant la fonction
h ∗ ( x ) = a + a 1 x + a 2 x 2 + … + a k − 1 x k − 1 + ( a k − ε ) x k + + ( b − a − ∑ i = 1 k a i + ε ) [ x − μ ∗ + | x − μ ∗ | 2 ( 1 − μ ∗ ) ] n h ∗ ( x ) = a + a 1 x + a 2 x 2 + … + a k − 1 x k − 1 + a k − ε x k + + b − a − ∑ i = 1 k   a i + ε x − μ ∗ + x − μ ∗ 2 1 − μ ∗ n {:[h^(**)(x)=a+a_(1)x+a_(2)x^(2)+dots+a_(k-1)x^(k-1)+(a_(k)-epsi)x^(k)+],[+(b-a-sum_(i=1)^(k)a_(i)+epsi)[(x-mu^(**)+|x-mu^(**)|)/(2(1-mu^(**)))]^(n)]:}\begin{aligned} h^{*}(x) & =a+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{k-1} x^{k-1}+\left(a_{k}-\varepsilon\right) x^{k}+ \\ & +\left(b-a-\sum_{i=1}^{k} a_{i}+\varepsilon\right)\left[\frac{x-\mu^{*}+\left|x-\mu^{*}\right|}{2\left(1-\mu^{*}\right)}\right]^{n} \end{aligned}h∗(x)=a+a1x+a2x2+…+ak−1xk−1+(ak−ε)xk++(b−a−∑i=1kai+ε)[x−μ∗+|x−μ∗|2(1−μ∗)]n
où μ ∗ = μ − ε n − k + ( k + 1 ) μ ( k + 1 ) ( b − a − ∑ i = 1 k a i + ε ) μ ∗ = μ − ε n − k + ( k + 1 ) μ ( k + 1 ) b − a − ∑ i = 1 k   a i + ε mu^(**)=mu-epsi(n-k+(k+1)mu)/((k+1)(b-a-sum_(i=1)^(k)a_(i)+epsi))\mu^{*}=\mu-\varepsilon \frac{n-k+(k+1) \mu}{(k+1)\left(b-a-\sum_{i=1}^{k} a_{i}+\varepsilon\right)}μ∗=μ−εn−k+(k+1)μ(k+1)(b−a−∑i=1kai+ε) et ε ε epsi\varepsilonε un nombre positif tel que a k − ε > 0 , b − a − Σ k a i + ε > 0 , 0 < μ ∗ < 1 a k − ε > 0 , b − a − Σ k a i + ε > 0 , 0 < μ ∗ < 1 a_(k)-epsi > 0,b-a-Sigma^(k)a_(i)+epsi > 0,0 < mu^(**) < 1a_{k}-\varepsilon>0, b-a-\Sigma^{k} a_{i}+\varepsilon>0,0<\mu^{*}<1ak−ε>0,b−a−Σkai+ε>0,0<μ∗<1, ce qui est bien réalisable.
La fonction h ∗ ∗ h ∗ ∗ h^(**^(**))h^{\stackrel{*}{*}}h∗∗ est encore une fonction élémentaire à au plus r sommet appartenant ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n. Nous avons μ ∗ < μ 0 μ ∗ < μ 0 mu^(**) < mu_(0)\mu^{*}<\mu_{0}μ∗<μ0 et A ( h ∗ ) = A ( h ) A h ∗ = A ( h ) A(h^(**))=A(h)\mathrm{A}\left(h^{*}\right)=\mathrm{A}(h)A(h∗)=A(h). On vérifie, d'autre part, que la différence h ∗ − h h ∗ − h h^(**)-hh^{*}-hh∗−h est nulle pour x = 0 , I x = 0 , I x=0,Ix=0, \mathrm{I}x=0,I, est négative au voisinage de o et ne peut s'annuler qu'en un seul point en dehors de o et i. I,a propriété du Nr. précédent s'applique et on a
A φ ( h ∗ ) > A φ ( h ) . A φ h ∗ > A φ ( h ) . A_(varphi)(h^(**)) > A_(varphi)(h).\mathrm{A}_{\varphi}\left(h^{*}\right)>\mathrm{A}_{\varphi}(h) .Aφ(h∗)>Aφ(h).
Il en résulte immédiatement que A φ ( h ∗ ) A φ h ∗ A_(varphi)(h^(**))\mathrm{A}_{\varphi}\left(h^{*}\right)Aφ(h∗) croît lorsque ε ε epsi\varepsilonε croît. Or, ε ε epsi\varepsilonε peut croïtre jusqu'à ce que l'une des égalités ε = a k , μ ∗ = 0 ε = a k , μ ∗ = 0 epsi=a_(k),mu^(**)=0\varepsilon=a_{k}, \mu^{*}=0ε=ak,μ∗=0 a lieu, donc
Lorsque la fonction φ φ varphi\varphiφ et A ( f ) A ( f ) A(f)\mathrm{A}(f)A(f) sont donnés, le maximum de A φ ( f ) A φ ( f ) A_(varphi)(f)A_{\varphi}(f)Aφ(f) dans ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n ne peut être atteint que si f f fff est ou bien une fonction h λ ( x ) h λ ( x ) h_(lambda)(x)h_{\lambda}(x)hλ(x), ou bien un polynome de degré au plus égal à n n nnn.
Quel que soit f f fff dans ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n on a a ≦ A ( f ) ≦ a + b 2 a ≦ A ( f ) ≦ a + b 2 a <= A(f) <= (a+b)/(2)a \leqq \mathrm{~A}(f) \leqq \frac{a+b}{2}a≦ A(f)≦a+b2. Pour une fonction h λ ( x ) h λ ( x ) h_(lambda)(x)h_{\lambda}(x)hλ(x) on a
A ( h λ ) = a + ( b − a ) ( r − λ ) n + I A h λ = a + ( b − a ) ( r − λ ) n + I A(h_(lambda))=a+((b-a)(r-lambda))/(n+I)\mathrm{A}\left(h_{\lambda}\right)=a+\frac{(b-a)(\mathrm{r}-\lambda)}{n+\mathrm{I}}A(hλ)=a+(b−a)(r−λ)n+I
donc a ≦ A ( h λ ) ≦ n a + b n + I a ≦ A h λ ≦ n a + b n + I a <= A(h_(lambda)) <= (na+b)/(n+I)a \leqq \mathrm{~A}\left(h_{\lambda}\right) \leqq \frac{n a+b}{n+\mathrm{I}}a≦ A(hλ)≦na+bn+I. Il en résulte qu'une fonction h λ h λ h_(lambda)h_{\lambda}hλ ne peut êtré maximisante que si a ≦ A ( f ) ≦ n a + b n + I a ≦ A ( f ) ≦ n a + b n + I a <= A(f) <= (na+b)/(n+I)a \leqq \mathrm{~A}(f) \leqq \frac{n a+b}{n+\mathrm{I}}a≦ A(f)≦na+bn+I. Il est clair que si A ( f ) > n a + b n + I A ( f ) > n a + b n + I A(f) > (na+b)/(n+I)\mathrm{A}(f)>\frac{n a+b}{n+\mathrm{I}}A(f)>na+bn+I 1a fonction (ou les fonctions) maximisante ne peut être qu'un polynome.
3. Il reste à chercher les polynomes maximisants de ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n. Soit
P ( x ) = a + a 1 x + a 2 x 2 + … a n x n , P ( x ) = a + a 1 x + a 2 x 2 + … a n x n , P(x)=a+a_(1)x+a_(2)x^(2)+dotsa_(n)x^(n),P(x)=a+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots \mathrm{a}_{n} x^{n},P(x)=a+a1x+a2x2+…anxn,
a i ≥ 0 , i = I , 2 … , n , ∑ i = 1 n a i = b − a a i ≥ 0 , i = I , 2 … , n , ∑ i = 1 n   a i = b − a a_(i) >= 0,i=I,2dots,n,sum_(i=1)^(n)a_(i)=b-aa_{i} \geq 0, i=\mathrm{I}, 2 \ldots, n, \sum_{i=1}^{n} a_{i}=b-aai≥0,i=I,2…,n,∑i=1nai=b−a, un polynome de ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))^(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)^{n}(Eab)n.
Supposons que la valeur donnée de A = A ( f ) A = A ( f ) A=A(f)\mathrm{A}=\mathrm{A}(f)A=A(f) vérifîe les inégalites
et que A ( P ) = A A ( P ) = A A(P)=A\mathrm{A}(\mathrm{P})=\mathrm{A}A(P)=A. Le polynome de ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n,
(2) P ∗ ( x ) = a + α x i 1 + β x j (2) P ∗ ( x ) = a + α x i 1 + β x j {:(2)P^(**)(x)=a+alphax^(i)^(1)+betax^(j):}\begin{equation*} \mathrm{P}^{*}(x)=a+\alpha x^{i}{ }^{1}+\beta x^{j} \tag{2} \end{equation*}(2)P∗(x)=a+αxi1+βxj
est alors complètement déterminé par la condition A ( P ∗ ) = A ( P ) A P ∗ = A ( P ) A(P^(**))=A(P)\mathrm{A}\left(\mathrm{P}^{*}\right)=\mathrm{A}(\mathrm{P})A(P∗)=A(P). On a
α = j ( j + r ) ( A − j a + b j + I ) , β = j ( j + r ) [ ( j − I ) a + b j − A ] . α = j ( j + r ) A − j a + b j + I , β = j ( j + r ) ( j − I ) a + b j − A . alpha=j(j+r)(A-(ja+b)/(j+I)),quad beta=j(j+r)[((j-I)a+b)/(j)-A].\alpha=j(j+\mathrm{r})\left(\mathrm{A}-\frac{j a+b}{j+\mathrm{I}}\right), \quad \beta=j(j+\mathrm{r})\left[\frac{(j-\mathrm{I}) a+b}{j}-\mathrm{A}\right] .α=j(j+r)(A−ja+bj+I),β=j(j+r)[(j−I)a+bj−A].
Mais, le polynome P ∗ − P P ∗ − P P^(**)-P\mathrm{P}^{*}-\mathrm{P}P∗−P ne peut s'annuler qu'en un seul point différent de o o ooo et I I III et, de plus, ce polynome est négatif dans le voisinage de 0 . Il en résulte que A φ ( P ∗ ) > A φ ( P ) A φ P ∗ > A φ ( P ) A_(varphi)(P^(**)) > A_(varphi)(P)\mathrm{A}_{\varphi}\left(\mathrm{P}^{*}\right)>\mathrm{A}_{\varphi}(\mathrm{P})Aφ(P∗)>Aφ(P).
Finalement donc si on a l'inégalité (1), la fonction maximisante (unique) est le polynome (2).
4. Nous pouvons maintenant énoncer notre résultat définitif:
Si φ φ varphi\varphiφ est une fonction définie, non-décroissante et non-concave (ou non-convexe) dans l'intervalle termé ( O , I ) ( O , I ) (O,I)(\mathrm{O}, \mathrm{I})(O,I) et si f f fff est une fonction de ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n, on a l'inégalité
(3) ∫ o 1 φ ( f ) d x ≦ ( o u ≥ ) ∫ o 1 φ { a + j ( j + 1 ) [ ( A − j a + b j + 1 ) + + ( ( j − 1 ) a + b j − A ) x ] x j } 1 d x si j a + b j + I ≦ A ≦ ( j − 1 ) a + b j , 2 ≦ j ≦ n (3) ∫ o 1   φ ( f ) d x ≦ ( o u ≥ ) ∫ o 1   φ a + j ( j + 1 ) A − j a + b j + 1 + + ( j − 1 ) a + b j − A x x j 1 d x  si  j a + b j + I ≦ A ≦ ( j − 1 ) a + b j , 2 ≦ j ≦ n {:[(3)int_(o)^(1)varphi(f)dx <= (ou >= )int_(o)^(1)varphi{a+j(j+1)[(A-(ja+b)/(j+1))+:}],[+(((j-1)a+b)/(j)-A)x]x^(j)}^(1)dx],[" si "(ja+b)/(j+I) <= A <= ((j-1)a+b)/(j)","quad2 <= j <= n]:}\begin{gather*} \int_{o}^{1} \varphi(f) d x \leqq(o u \geq) \int_{o}^{1} \varphi\left\{a+j(j+1)\left[\left(\mathrm{A}-\frac{j a+b}{j+1}\right)+\right.\right. \tag{3}\\ \left.\left.+\left(\frac{(j-1) a+b}{j}-\mathrm{A}\right) x\right] x^{j}\right\}^{1} d x \\ \text { si } \frac{j a+b}{j+\mathrm{I}} \leqq \mathrm{~A} \leqq \frac{(j-1) a+b}{j}, \quad 2 \leqq j \leqq n \end{gather*}(3)∫o1φ(f)dx≦(ou≥)∫o1φ{a+j(j+1)[(A−ja+bj+1)++((j−1)a+bj−A)x]xj}1dx si ja+bj+I≦ A≦(j−1)a+bj,2≦j≦n
et l'inégalité
(4) ∫ o 1 φ ( f ) d x ≦ ( o u ≧ ) b + n a − ( n + r ) A b − a φ ( a ) + + ( n + 1 ) ( A − a ) n ( b − a ) b − a n ∫ a b φ ( x ) d x ( x − a ) n − 1 n (4) ∫ o 1   φ ( f ) d x ≦ ( o u ≧ ) b + n a − ( n + r ) A b − a φ ( a ) + + ( n + 1 ) ( A − a ) n ( b − a ) b − a n ∫ a b   φ ( x ) d x ( x − a ) n − 1 n {:[(4)int_(o)^(1)varphi(f)dx <= (ou >= )(b+na-(n+r)A)/(b-a)varphi(a)+],[+((n+1)(A-a))/(n(b-a)root(n)(b-a))int_(a)^(b)(varphi(x)dx)/(root(n)((x-a)^(n-1)))]:}\begin{align*} & \int_{o}^{1} \varphi(f) d x \leqq(o u \geqq) \frac{b+n a-(n+\mathrm{r}) \mathrm{A}}{b-a} \varphi(a)+ \tag{4}\\ & +\frac{(n+1)(\mathrm{A}-a)}{n(b-a) \sqrt[n]{b-a}} \int_{a}^{b} \frac{\varphi(x) d x}{\sqrt[n]{(x-a)^{n-1}}} \end{align*}(4)∫o1φ(f)dx≦(ou≧)b+na−(n+r)Ab−aφ(a)++(n+1)(A−a)n(b−a)b−an∫abφ(x)dx(x−a)n−1n
si a ≦ A ≦ n a + b n + I a ≦ A ≦ n a + b n + I a <= A <= (na+b)/(n+I)a \leqq \mathrm{~A} \leqq \frac{n a+b}{n+\mathrm{I}}a≦ A≦na+bn+I.
Si de plus la fonction φ φ varphi\varphiφ est convexe (ou concave), l'égalité dans (3) n'est possible que si
f ( x ) = a + j ( j + I ) [ ( A − j a + b j + I ) + ( ( j − I ) a + b j − A ) x ] x j f ( x ) = a + j ( j + I ) A − j a + b j + I + ( j − I ) a + b j − A x x j f(x)=a+j(j+I)[(A-(ja+b)/(j+I))+(((j-I)a+b)/(j)-A)x]x^(j)f(x)=a+j(j+\mathrm{I})\left[\left(\mathrm{A}-\frac{j a+b}{j+\mathrm{I}}\right)+\left(\frac{(j-\mathrm{I}) a+b}{j}-\mathrm{A}\right) x\right] x^{j}f(x)=a+j(j+I)[(A−ja+bj+I)+((j−I)a+bj−A)x]xj
et l'égalité dans (4) que si
f ( x ) = a + ( b − a ) [ x − λ + ∣ x − λ 2 ( I − λ ) ] n , λ = b + n a − ( n + 1 ) A b − a . f ( x ) = a + ( b − a ) x − λ + ∣ x − λ 2 ( I − λ ) n , λ = b + n a − ( n + 1 ) A b − a . f(x)=a+(b-a)[(x-lambda+∣x-lambda)/(2(I-lambda))]^(n),quad lambda=(b+na-(n+1)A)/(b-a).f(x)=a+(b-a)\left[\frac{x-\lambda+\mid x-\lambda}{2(\mathrm{I}-\lambda)}\right]^{n}, \quad \lambda=\frac{b+n a-(n+1) \mathrm{A}}{b-a} .f(x)=a+(b−a)[x−λ+∣x−λ2(I−λ)]n,λ=b+na−(n+1)Ab−a.
Si on a A = j a + b j + I A = j a + b j + I A=(ja+b)/(j+I)\mathrm{A}=\frac{j a+b}{j+\mathrm{I}}A=ja+bj+I, la formule (3) ou (4) peut aussi s'écrire
∫ o 1 φ ( f ) d x ≦ ( o u ≧ ) 1 j b − a j ∫ n b φ ( x ) d x ( x − a ) j − 1 j ∫ o 1   φ ( f ) d x ≦ ( o u ≧ ) 1 j b − a j ∫ n b   φ ( x ) d x ( x − a ) j − 1 j int_(o)^(1)varphi(f)dx <= (ou >= )(1)/(jroot(j)(b-a))int_(n)^(b)(varphi(x)dx)/(root(j)((x-a)^(j-1)))\int_{o}^{1} \varphi(f) d x \leqq(o u \geqq) \frac{1}{j \sqrt[j]{b-a}} \int_{n}^{b} \frac{\varphi(x) d x}{\sqrt[j]{(x-a)^{j-1}}}∫o1φ(f)dx≦(ou≧)1jb−aj∫nbφ(x)dx(x−a)j−1j
  1. Dans le cas n = 0 , f n = 0 , f n=0,fn=0, fn=0,f est une fonction continue et non-décroissante. Le maximum de A φ ( f ) A φ ( f ) A_(varphi)(f)\mathrm{A}_{\varphi}(f)Aφ(f) n'est atteint par aucune fonction f f fff. On a
max A φ ( f ) = ( b − A ) φ ( a ) + ( A − a ) φ ( b ) b − a max A φ ( f ) = ( b − A ) φ ( a ) + ( A − a ) φ ( b ) b − a maxA_(varphi)(f)=((b-A)varphi(a)+(A-a)varphi(b))/(b-a)\max \mathrm{A}_{\varphi}(f)=\frac{(b-\mathrm{A}) \varphi(a)+(\mathrm{A}-a) \varphi(b)}{b-a}maxAφ(f)=(b−A)φ(a)+(A−a)φ(b)b−a
mais l'égalité ne peut avoir lieu si φ φ varphi\varphiφ est convexe et f f fff continue. Le maximum est, dans ce cas, atteint par des fonctions limites de ( E a b ) 0 E a b 0 (E_(a)^(b))_(0)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{0}(Eab)0. Une telle fonction maximisante est, par exemple, la fonction
f ( x ) = { a , 0 ≦ x ≦ b − A b − a b , b − A b − a ≦ x ≦ I f ( x ) = a ,      0 ≦ x ≦ b − A b − a b ,      b − A b − a ≦ x ≦ I f(x)={[a",",0 <= x <= (b-A)/(b-a)],[b",",(b-A)/(b-a) <= x <= I]:}f(x)= \begin{cases}a, & 0 \leqq x \leqq \frac{b-\mathrm{A}}{b-a} \\ b, & \frac{b-\mathrm{A}}{b-a} \leqq x \leqq \mathrm{I}\end{cases}f(x)={a,0≦x≦b−Ab−ab,b−Ab−a≦x≦I
Si φ φ varphi\varphiφ est une fonction concave on a la même propriété pour le minimum de l'intégrale A φ ( f ) A φ ( f ) A_(varphi)(f)\mathrm{A}_{\varphi}(f)Aφ(f).

ВЕСОВЫОМИЕ СОМИЕ МИНТЕ





















a H = a H = a H . a H = a H = a H a H = a H = a H . a H = a H = a H a^(H)=a^(H)=a^(H).a^(H)=a^(H)=a^(H)a^{H}=a^{H}=a^{H} . a^{H}=a^{H}=a^{H}aH=aH=aH.aH=aH=aH



A. { A 2 = A 2 − A P = 4 A 2 = A 2 − A P = 4  A.  A 2 = A 2 − A P = 4 A 2 = A 2 − A P = 4 " A. "{[A^(2)=A^(2)-AP=4],[A^(2)=A^(2)-AP=4]:}\text { A. }\left\{\begin{array}{l} A^{2}=A^{2}-A P=4 \\ A^{2}=A^{2}-A P=4 \end{array}\right. A. {A2=A2−AP=4A2=A2−AP=4




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