"Babeş-Bolyai" University, Faculty of Mathematics

Research Seminars

Seminar on Functional Analysis and Numerical Methods

Preprint Nr.1, 1986, pp.127-132

La Convergence de Certaines Methodes Iteratives pour Resoudre Certaines Equations Operatorielles

Ion Păvăloiu

Désignons pour $E$ un espace de Banach et considérons une équation opératorielle

(1)

x=\lambda D\left(x\right)+y,\qquad\lambda\in{\mathbb{R}},

où $D:E\rightarrow E$ est une application nonlinéaire.

Dans ce qui suit et pour resoudre l’équation (1), nous considérons le procédé itératif suivant:

(2)

x_{n+1}=x_{n}-A\left(x_{n}\right)\left[x_{n}-\lambda D\left(x_{n}\right)-y% \right],\qquad n=0,1,\ldots,x_{0}\in E

où $A\left(x\right):E\rightarrow E$ est une application lineaire pour chaque $x\in E$ .

Nous désignerons, pour fixer les idées, par $P:E\rightarrow E$ l’application $P\left(x\right)=x-\lambda D\left(x\right)-y$ .

Si nous supposons que l’application $D$ admet des dérivées jusqu’au second ordre inclusivement sur l’espace $E$ , alors $P^{\prime}\left(x\right)=I-\lambda D^{\prime}\left(x\right)$ et $P^{\prime\prime}\left(x\right)=-\lambda D^{\prime\prime}\left(x\right)$ . Si $r\in\mathbb{R}$ et $r>0,$ nous écrivons $S\left(x_{0},r\right)=\{x\in E;\left\|x-x_{0}\right\|\leq r\}$ .

En ce qui concerne la convergence du procédé (2) nous avons le théorème suivant:

Théorème 1.

Si les applications $D$ et $A\left(x\right),$ l’élément initial $x_{0}$ et le nombre réel $r>0$ remplissent les conditions:

i.

L’application $D$ admet des dérivées Frechet jusqu’au second ordre incusivement sur $S\left(x_{0},r\right);$
ii.

$\left\|A\left(x\right)\right\|\leq\beta$ pour chaque $x\in S\left(x_{0},r\right),$ où $\beta\in\mathbb{R}$ et $\beta>0;$
iii.

$\left\|I-P^{\prime}\left(x\right)A\left(x\right)\right\|\leq\alpha$ pour chaque $x\in S\left(x_{0},r\right)$ où $\alpha\in\mathbb{R}$ , $\alpha>0;$
iv.

$\left\|D^{\prime\prime}\left(x\right)\right\|\leq M\left|\lambda\right|$ , pour chaque $x\in S\left(x_{0},r\right)$ où $M\in\mathbb{R}$ , $M>0;$
v.

$\left(\beta\rho_{0}\right)/\left(1-d_{0}\right)\leq r$ où $\rho_{0}=\left\|P\left(x_{0}\right)\right\|,\ d_{0}=\frac{M\beta^{2}\rho_{0}}{2}$
vi.

$d_{0}<1,$

alors la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ générée par (2) est convergente et si nous écrivons $\bar{x}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n},$ alors $P\left(\bar{x}\right)=\theta$ . Nous avons la délimitation suivante:

(3)

\left\|\bar{x}-x_{n}\right\|\leq\frac{\beta d_{0}^{n}\rho_{0}}{1-d_{0}},\ n=0,% 1,\ldots\ .

Démonstration.

Nous montrerons par induction que les propriétés suivantes ont lieu:

a)

$x_{n}\in S\left(x_{0},r\right)$ pour chaque $n=0,1,\ldots\$ ;
b)

$\left\|P\left(x_{n}\right)\right\|\leq d_{0}^{n}\cdot\rho_{0},\ n=0,1,\ldots\ .$

En effet, nous déduisons de (2) pour $n=0$

\left\|x_{1}-x_{0}\right\|\leq\left\|A\left(x_{0}\right)\right\|\cdot\left\|P% \left(x_{0}\right)\right\|\leq\beta\rho_{0}\leq\beta\rho_{0}/\left(1-d_{0}% \right)\leq r

d’où il s’ensuit que $x_{0}\in B\left(x_{1},r\right)$ .

Nous supposerons que $x_{i}\in S\left(x_{0},r\right)$ pour chaque $i=0,1,\ldots,k$ . Nous avons alors

(4)	$\displaystyle\left\\|P\left(x_{i}\right)\right\\|$	$\displaystyle\leq\left\\|P\left(x_{i}\right)-P\left(x_{i-1}\right)-P^{\prime}% \left(x_{i-1}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\right\\|$
	$\displaystyle\quad+\left\\|P\left(x_{i-1}\right)+P^{\prime}\left(x_{i-1}\right)% \left(x_{i}-x_{i-1}\right)\right\\|$
	$\displaystyle\leq\tfrac{M\beta^{2}}{2}\left\\|P\left(x_{i-1}\right)\right\\|^{2}% +\alpha\left\\|P\left(x_{i-1}\right)\right\\|,\qquad i=1,2,\ldots,k$

d’où en écrivant $d_{i-1}=\frac{M\beta^{2}}{2}\left\|P\left(x_{i-1}\right)\right\|+\alpha,\ i=1,% 2,\ldots$ et an tenant compte de $v i .$ on déduit immédiatement les inégalités suivantes:

(5)

d_{0}\geq d_{1}\geq d_{2}\geq\cdots\geq d_{k}.

Il résulte de (4) et (5)

(6)

\left\|P\left(x_{i}\right)\right\|\leq d_{0}\left\|P\left(x_{i-1}\right)\right% \|,\qquad i=1,2,\ldots,k.

Il s’ensuit

\left\|P\left(x_{i}\right)\right\|\leq d_{0}^{i}\rho_{0},\qquad i=1,2,\ldots,k.

Nous montrerons à présent que $x_{k+1}\in S\left(x_{0},r\right)$ . En effet, nous avons

	$\displaystyle\left\\|x_{k+1}-x_{0}\right\\|$	$\displaystyle\leq\sum_{i=0}^{n}\left\\|x_{i+1}-x_{i}\right\\|\leq\beta\sum_{i=0}% ^{k}\left\\|P\left(x_{i}\right)\right\\|$
		$\displaystyle\leq\beta\rho_{0}\sum_{i=0}^{k}d_{0}^{i}\leq\tfrac{\beta\rho_{0}}% {1-d_{0}}\leq r.$

Supposons que $n,p\in{\mathbb{N}}$ , nous avons alors

(7)		$\displaystyle\left\\|x_{n+p}-x_{n}\right\\|$	$\displaystyle\leq\sum_{i=1}^{p}\left\\|x_{n+i}-x_{n+i-1}\right\\|\leq\beta\sum_{% i=1}^{p}\left\\|P\left(x_{n+i-1}\right)\right\\|$
		$\displaystyle\leq\beta\rho_{0}\sum_{i=1}^{p}d_{0}^{n+i-1}\leq\tfrac{\beta\rho_% {0}d_{0}^{n}}{1-d_{0}},$

d’où il s’ensuit que la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ générés par (2) est convergente. Si nous écriveons $\bar{x}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}$ et passons à la limite dans l’inégalité (7) quand $p\rightarrow\infty$ , alors nous avons

(8)

\left\|\bar{x}-x_{n}\right\|\leq\frac{\beta\rho_{0}d_{0}^{n}}{1-d_{0}}.

On déduit immédiatement de (8) pour $n=0$ que $\bar{x}\in S\left(x_{0},r\right)$ . Si nous tenons compte que $P$ est une appication continue, il résulte de b)

\lim_{n\rightarrow\infty}P\left(x_{n}\right)=P\left(\bar{x}\right)=\theta,

c’est-à-dire que $\bar{x}$ est une solution de l’équation (1).

Nous traitons à présent le cas où l’application $A\left(x\right)$ est donnée par l’égalité

A\left(x\right)=I+\lambda D^{\prime}\left(x\right).

Nous avons alors

I-P^{\prime}\left(x\right)A\left(x\right)=I-\left(I-\lambda D^{\prime}\left(x% \right)\right)\left(I+\lambda D^{\prime}\left(x\right)\right)=\lambda^{2}\left% (D^{\prime}\left(x\right)\right)^{2}.

Si nous supposons que

\left\|D^{\prime}\left(x\right)\right\|\leq b,

il s’ensuit alors

\left\|I-P^{\prime}\left(x\right)A\left(x\right)\right\|\leq\lambda^{2}\cdot b% ^{2},\qquad\text{pour chaque\ }x\in S\left(x_{0},r\right).

Nous avons

\left\|A\left(x\right)\right\|\leq 1+\left|\lambda\right|\cdot b,

pour chaque $x\in B\left(x_{0},r\right)$ . En ce cas la condition vi du théorème 1 devient pour $\alpha=\lambda^{2}\cdot b^{2}$ et $\beta=1+\left|\lambda\right|\cdot b$

M\left(1+\left|\lambda\right|b^{2}\right)\cdot\rho_{0}+2\lambda^{2}\cdot b^{2}% -2<0

ce qui, en supposans $2-M\rho_{0}>0$ , conduit à l’inégalité

\left|\lambda\right|<\tfrac{b\left(2-M\rho_{0}\right)}{2+M\rho_{0}}.

∎

En tenant compte de ce qui précède, il résulte du théorème 1 le théorème suivant:

Théorème 2.

Si l’application $D,$ l’élément initial $x_{0}$ et le nombre réel $r>0$ remplissent les conditions suivantes:

i.

L’application $D$ admet des dérivées Fréchet jusqu’au second ordre inclusivement pour chaque $x\in S\left(x_{0},r\right);$
ii.

$\left\|D^{\prime}\left(x\right)\right\|\leq b$ pour chaque $x\in S\left(x_{0},r\right);$
iii.

$\left\|D^{\prime\prime}\left(x\right)\right\|\leq M\left|\lambda\right|$ pour chaque $x\in S\left(x_{0},r\right);$
iv.

$2-M\rho_{0}>0$ où $\rho_{0}=\left\|x_{0}-\lambda D\left(x_{0}\right)-y\right\|;$
v.

$\tfrac{\rho_{0}\left(1+\left|\lambda\right|b\right)}{1-d_{0}}\leq r\ \text{o\`% {u} \ }d_{0}=M\tfrac{1+\left|\lambda\right|b^{2}}{2}\rho_{0}+\lambda^{2}\cdot b% ^{2};$
vi.

$\left|\lambda\right|\leq b\tfrac{2-M\rho_{0}}{2+M\rho_{0}},$

alors la suite générée par

x_{n+1}=x_{n}-[1-\lambda D^{\prime}\left(x_{n}\right)]\left[x_{n}-\lambda D% \left(x_{n}\right)-y\right],\qquad n=0,1,\ldots,

converge vers la solution $\bar{x}$ de l’équation (1) et l’on a la délimitation:

\left\|\bar{x}-x_{n}\right\|\leq\frac{\left(1+\left|\lambda\right|b\right)d_{0% }^{n}\rho_{0}}{1-d_{0}},\qquad n=0,1,\ldots

Bibliographie

[1] L.V. Kantorovici, O metodî Niutona Trudî Mat. Inst. V.A. Steklova 28, 104–144 (1949).
[2] ^†^†margin: clickable $\rightarrow$ A. Diaconu, I. Păvăloiu, Sur quelque méthodes itératives pour la resolution des équations opérationnelles, Rev. Anal. Numér. Theor. Approx., vol. 1, 45–61 (1972). (journal link )
[3] ^†^†margin: clickable $\rightarrow$ I. Păvăloiu, Sur les procédés itératifs à un ordre élévé de convergence, Mathematica (Cluj), 12 (35) 1, 149–158 (1970).

(4)	$\displaystyle\left\\|P\left(x_{i}\right)\right\\|$	$\displaystyle\leq\left\\|P\left(x_{i}\right)-P\left(x_{i-1}\right)-P^{\prime}% \left(x_{i-1}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\right\\|$
	$\displaystyle\quad+\left\\|P\left(x_{i-1}\right)+P^{\prime}\left(x_{i-1}\right)% \left(x_{i}-x_{i-1}\right)\right\\|$
	$\displaystyle\leq\tfrac{M\beta^{2}}{2}\left\\|P\left(x_{i-1}\right)\right\\|^{2}% +\alpha\left\\|P\left(x_{i-1}\right)\right\\|,\qquad i=1,2,\ldots,k$

The convergence of certain iterative methods for solving certain operator equations

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La Convergence de Certaines Methodes Iteratives pour Resoudre Certaines Equations Operatorielles

Théorème 1.

Démonstration.

Théorème 2.

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