BULLETIN DE LA SECTION SCIENTIFIQUE

I. Dans la note précédente nous avons considéré les fonctions d'ordre ( $n\mid k$$n\mid k$n∣kn \mid k$n\mid k$ ), dont les fonctions d'ordre $n$$n$nn$n$ sont un cas particulier ( $k=0$$k=0$k=0k=0$k=0$ ). Nous allons maintenant étudier une autre classe de fonctions, étroitement liées à ces fonctions.

Nous dirons que l'ensemble linéaire $E$$E$EE$E$ est décomposé en $m$$m$mm$m$ sous-ensembles consécutifs $E_1,E_2,\dots ,E_m$$E_1,E_2,\dots ,E_m$E_(1),E_(2),dots,E_(m)E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{m}$E_1,E_2,\dots ,E_m$ si: $1^{\circ }{E}_i\subseteq E,i=1,2,\dots ,m,2^{\circ }$$1^{\circ }{E}_i\subseteq E,i=1,2,\dots ,m,2^{\circ }$1^(@)E_(i)sube E,i=1,2,dots,m,2^(@)1^{\circ} E_{i} \subseteq E, i=1,2, \ldots, m, 2^{\circ}$1^{\circ }{E}_i\subseteq E,i=1,2,\dots ,m,2^{\circ }$ tout point de $E$$E$EE$E$ appartient à l'un des $E_i,3^{\circ }$$E_i,3^{\circ }$E_(i),3^(@)E_{i}, 3^{\circ}$E_i,3^{\circ }$ tout point de $E_i$$E_i$E_(i)E_{i}$E_i$ est à gauche de tout point de $E_{i+1},i=1,2,\dots ,m-1$$E_{i+1},i=1,2,\dots ,m-1$E_(i+1),i=1,2,dots,m-1E_{i+1}, i=1,2, \ldots, m-1$E_{i+1},i=1,2,\dots ,m-1$. Les sous-ensembles $E_i$$E_i$E_(i)E_{i}$E_i$ de $E$$E$EE$E$ sont donc des sections disjoints de $E$$E$EE$E$ et épuisant complètement l'ensemble $E$$E$EE$E$.

Introduisons maintenant la
Définition I. Nous dirons que la fonction $f$$f$ff$f$ est d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur $E$$E$EE$E$ si on peut décomposer l'ensemble $E$$E$EE$E$ en un nombre fini $m$$m$mm$m$ de sous-ensembles consécutifs

tels que sur chacun de ces sous-ensembles la fonction soit d'ordre $n$$n$nn$n$.
En particulier, pour $n=0$$n=0$n=0n=0$n=0$, on peut dire que $f$$f$ff$f$ est monotone par segments sur $E$$E$EE$E$. Pour $n=-1$$n=-1$n=-1n=-1$n=-1$ nous avons les fonctions qui changent de signe au plus un nombre fini de fois.

Nous dirons que la décomposition (1) est une décomposition de $E$$E$EE$E$ pour la fonction $f$$f$ff$f$, d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments.

Toute fonction définie sur une ensemble fini est, évidemment, d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments, quel que soit $n$$n$nn$n$.

Si $f$$f$ff$f$ est d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur $E$$E$EE$E$, la fonction $cf$$cf$cfc f$cf$, où $c$$c$cc$c$ est une constante, et, en particulier, la fonction - $f$$f$ff$f$, est aussi d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur $E$$E$EE$E$. Il en est ainsi, d'ailleurs, sur tout sous-ensemble de $E$$E$EE$E$.

Si $f$$f$ff$f$ est d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur $E$$E$EE$E$, toute fonction $f+P$$f+P$f+Pf+P$f+P$, où $P$$P$PP$P$ est un polynome de degré $n$$n$nn$n$, est aussi d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur $E$$E$EE$E$. Nous préciserons plus tard cette propriété.

Si on peut décomposer 1'ensemble $E$$E$EE$E$ en un nombre fini de sous-ensembles consécutifs, tels que sur chacun de ces sous-ensembles la fonctions soit d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments, cette fonction est d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur $E$$E$EE$E$.
2. Nous dirons qu'une décomposition (I) de $E$$E$EE$E$ pour la fonction $f$$f$ff$f$, d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments, est une décomposition propre si la fonction n'est d'ordre $n$$n$nn$n$ sur aucun des ensembles $E_i+E_{i+1},i=1,2,\dots ,m-1$$E_i+E_{i+1},i=1,2,\dots ,m-1$E_(i)+E_(i+1),i=1,2,dots,m-1E_{i}+E_{i+1}, i=1,2, \ldots, m-1$E_i+E_{i+1},i=1,2,\dots ,m-1$. Dans le cas contraire, nous dirons que (I) est une décomposition impropre. Il existe alors au moins un $E_i+E_{i+1}$$E_i+E_{i+1}$E_(i)+E_(i+1)E_{i}+E_{i+1}$E_i+E_{i+1}$ sur lequel la fonction est d'ordre $n$$n$nn$n$. En groupant convenablement les ensembles $E_i$$E_i$E_(i)E_{i}$E_i$ on peut réduire une décomposition impropre à une décomposition propre. Cette réduction peut s'effectuer en réunissant succesivement deux ensembles consécutifs $E_i,E_{i+1}$$E_i,E_{i+1}$E_(i),E_(i+1)E_{i}, E_{i+1}$E_i,E_{i+1}$ tels que sur $E_i+E_{i+1}$$E_i+E_{i+1}$E_(i)+E_(i+1)E_{i}+E_{i+1}$E_i+E_{i+1}$ la fonction soit d'ordre $n$$n$nn$n$.

En général pour une fonction d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments il y a plusieurs, et même une infinité (si $E$$E$EE$E$ est infini), de décompositions (I) de $E$$E$EE$E$. Le nombre $m$$m$mm$m$ des sous-ensembles (I) peut varier même d'une décomposition propre à une autre décomposition propre si $n\geqq 0$$n\geqq 0$n >= 0n \geqq 0$n\geqq 0$.

Le nombre $m$$m$mm$m$ des sous-ensembles de la décomposition (I) pour une fonction d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments a évidemment un minimum. Nous désignerons ce minimum par $h$$h$hh$h$ et nous introduirons 1a

Définition 2. Le nombre h, minimum de $m$$m$mm$m$, sera appelé le nombre caractéristique ou simplement la caractéristique de la fonction $f$$f$ff$f$, d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur $E$$E$EE$E$.

Il existe, évidemment, au moins une décomposition (I) ayant exactement $h$$h$hh$h$ termes. Il est clair que toute décomposition (I) ayant $h$$h$hh$h$ termes est une décomposition propre. On peut remarquer, en passant, que si la caractéristique de $f$$f$ff$f$ est $h$$h$hh$h$, l'ensemble $E$$E$EE$E$ doit avoir au moins $(n+2)h-n-1$$(n+2)h-n-1$(n+2)h-n-1(n+2) h-n-1$(n+2)h-n-1$ points.
3. Soit (I) une décomposition propre de $E$$E$EE$E$ pour la fonction $t$$t$tt$t$, d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur $E$$E$EE$E$. Soit $E_1^{\ast }$$E_1^{\ast }$E_(1)^(**)E_{1}^{*}$E_1^{\ast }$ le sous-ensemble de $E$$E$EE$E$ formé par les points $x\in E$$x\in E$x in Ex \in E$x\in E$ tels que $f$$f$ff$f$ soit d'ordre $n$$n$nn$n$ sur l'intersection de $E$$E$EE$E$ avec l'intervalle ( $a,x$$a,x$a,xa, x$a,x$ ), $a$$a$aa$a$ étant l'extrémité gauche de $E$$E$EE$E$. On voit que $E_1^{\ast }$$E_1^{\ast }$E_(1)^(**)E_{1}^{*}$E_1^{\ast }$ n'est pas vide puisque $E_1\subseteq E_1^{\ast }$$E_1\subseteq E_1^{\ast }$E_(1)subeE_(1)^(**)E_{1} \subseteq E_{1}^{*}$E_1\subseteq E_1^{\ast }$. On a aussi $E_1^{\ast }\subset E_1+E_2$$E_1^{\ast }\subset E_1+E_2$E_(1)^(**)subE_(1)+E_(2)E_{1}^{*} \subset E_{1}+E_{2}$E_1^{\ast }\subset E_1+E_2$, puisque la fonction n'est pas d'ordre $n$$n$nn$n$ sur $E_1+E_2$$E_1+E_2$E_(1)+E_(2)E_{1}+E_{2}$E_1+E_2$, la décomposition (I) étant, par hypothèse, une décomposition propre. L'ensemble $F_2=(E_1+E_2)-E_1^{\ast }$$F_2=\left(E_1+E_2\right)-E_1^{\ast }$F_(2)=(E_(1)+E_(2))-E_(1)^(**)F_{2}=\left(E_{1}+E_{2}\right)-E_{1}^{*}$F_2=(E_1+E_2)-E_1^{\ast }$ n'est pas vide et on a $F_2\subseteq E_2$$F_2\subseteq E_2$F_(2)subeE_(2)F_{2} \subseteq E_{2}$F_2\subseteq E_2$

La fonction $f$$f$ff$f$ est d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur $E-E_1^{\ast }$$E-E_1^{\ast }$E-E_(1)^(**)E-E_{1}^{*}$E-E_1^{\ast }$ et nous avons la décomposition

de cet ensemble pour la fonction $f$$f$ff$f$. La décomposition (2) est, d'ailleurs, ou bien une décomposition propre de $E-E_1^{\ast }$$E-E_1^{\ast }$E-E_(1)^(**)E-E_{1}^{*}$E-E_1^{\ast }$, ou bien alors

est une décomposition propre de cet ensemble.

Tout comme nous avons déduit $E_1^{\ast }$$E_1^{\ast }$E_(1)^(**)E_{1}^{*}$E_1^{\ast }$ de $E$$E$EE$E$, nous pouvons déduire ${\mathrm{E}}_2^{\ast }$${\mathrm{E}}_2^{\ast }$E_(2)^(**)\mathrm{E}_{2}^{*}${\mathrm{E}}_2^{\ast }$ de $E-E_1^{\ast }$$E-E_1^{\ast }$E-E_(1)^(**)E-E_{1}^{*}$E-E_1^{\ast }$, puis $E_3^{\ast }$$E_3^{\ast }$E_(3)^(**)E_{3}^{*}$E_3^{\ast }$ de $E-(E_1^{\ast }+E_2^{\ast }),\dots$$E-\left(E_1^{\ast }+E_2^{\ast }\right),\dots$E-(E_(1)^(**)+E_(2)^(**)),dotsE-\left(E_{1}^{*}+E_{2}^{*}\right), \ldots$E-(E_1^{\ast }+E_2^{\ast }),\dots$, etc.

On voit immédiatement que nous avons le
Lemme I. La suite $E_1^{\ast },E_2^{\ast },\dots$$E_1^{\ast },E_2^{\ast },\dots$E_(1)^(**),E_(2)^(**),dotsE_{1}^{*}, E_{2}^{*}, \ldots$E_1^{\ast },E_2^{\ast },\dots$, est nécessairement finie et a au plus $m$$m$mm$m$ termes.

De ce lemme nous déduisons le
Théorème I. La suite $E_1^{\ast },E_2^{\ast }\dots$$E_1^{\ast },E_2^{\ast }\dots$E_(1)^(**),E_(2)^(**)dotsE_{1}^{*}, E_{2}^{*} \ldots$E_1^{\ast },E_2^{\ast }\dots$ a exactement $h$$h$hh$h$ termes, $h$$h$hh$h$ étant la caractéristique de la fonction $f$$f$ff$f$.

Il est clair, en effet, que cette suite s'obtient indépendamment de toute décomposition propre, (I) (et même indépendamment de toute décomposition propre ou impropre). Mais il existe une décomposition propre ayant $h$$h$hh$h$ termes, donc la suite a $h^{\prime }\leqq h$$h^{\prime }\leqq h$h^(') <= hh^{\prime} \leqq h$h^{\prime }\leqq h$ termes. Il est clair, d'autre part que cette suite est une décomposition propre de $E$$E$EE$E$ pour la fonction $f$$f$ff$f$ don', $h^{\prime }\ge h$$h^{\prime }\ge h$h^(') >= hh^{\prime} \geq h$h^{\prime }\ge h$, d'après la définition du nombre $h$$h$hh$h$. On a lonc montre le théorème.

Definition 3. Nous dirons que

est la décomposition canonique de $E$$E$EE$E$ pour la fonction $f$$f$ff$f$ d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur $E$$E$EE$E$.

Bien entendu, ils peuvent exister d'autres décompositions propres ayant $h$$h$hh$h$ termes.

Remarquons que $E_i^{\ast },E_{i+1}^{\ast },\dots ,E_j^{\ast }$$E_i^{\ast },E_{i+1}^{\ast },\dots ,E_j^{\ast }$E_(i)^(**),E_(i+1)^(**),dots,E_(j)^(**)E_{i}^{*}, E_{i+1}^{*}, \ldots, E_{j}^{*}$E_i^{\ast },E_{i+1}^{\ast },\dots ,E_j^{\ast }$ est la décomposition canonique de la somme $E_i^{\ast }+E_{i+1}^{\ast }+\dots +E_j^{\ast },i\geqq I,j\leqq h$$E_i^{\ast }+E_{i+1}^{\ast }+\dots +E_j^{\ast },i\geqq I,j\leqq h$E_(i)^(**)+E_(i+1)^(**)+dots+E_(j)^(**),i >= I,j <= hE_{i}^{*}+E_{i+1}^{*}+\ldots+E_{j}^{*}, i \geqq I, j \leqq h$E_i^{\ast }+E_{i+1}^{\ast }+\dots +E_j^{\ast },i\geqq I,j\leqq h$ et la fonction $f$$f$ff$f$ a le nombre caractéristique $j-i+I$$j-i+I$j-i+Ij-i+I$j-i+I$ sur cet ensemble.
4. Démonstrons la propriété suivante

Théorème 2. Si h est la caractéristique de la fonction $f$$f$ff$f$, d'ordre $n$$n$nn$n$ par segments sur $E$$E$EE$E$, le nombre $m$$m$mm$m$ des termes d'une décomposition propre de $E$$E$EE$E$ pour la fonction $f$$f$ff$f$, est toujours compris entre $h$$h$hh$h$ et $2h-\mathrm{I},h\leqq m\leqq 2h-\mathrm{I}$$2h-\mathrm{I},h\leqq m\leqq 2h-\mathrm{I}$2h-I,h <= m <= 2h-I2 h-\mathrm{I}, h \leqq m \leqq 2 h-\mathrm{I}$2h-\mathrm{I},h\leqq m\leqq 2h-\mathrm{I}$.

Il suffit de démontrer l'inégalité $m\le 2h-1$$m\le 2h-1$m <= 2h-1m \leq 2 h-1$m\le 2h-1$. Nous allons démontrer la propriété par induction sur le nombre $h$$h$hh$h$. Soit (I) une décomposition propre et (3) la décomposition canonique.

La propriété est vraie pour $h=1$$h=1$h=1h=1$h=1$. Dans ce cas, en effet, la fonction est d'ordre $n$$n$nn$n$ sur $E$$E$EE$E$, donc on ne peut avoir que $m=1$$m=1$m=1m=1$m=1$. Supposons maintenant que la propriété soit vraie pour $h-\mathrm{I}(h>\mathrm{I})$$h-\mathrm{I}(h>\mathrm{I})$h-I(h > I)h-\mathrm{I}(h>\mathrm{I})$h-\mathrm{I}(h>\mathrm{I})$ et démontrons-la pour $h$$h$hh$h$. Considérons les ensembles $F=E-E_m,F^{\ast }=E-E_h^{\ast }$$F=E-E_m,F^{\ast }=E-E_h^{\ast }$F=E-E_(m),F^(**)=E-E_(h)^(**)F=E-E_{m}, F^{*}=E-E_{h}^{*}$F=E-E_m,F^{\ast }=E-E_h^{\ast }$. La décomposition canonique de $F^{\ast }$$F^{\ast }$F^(**)F^{*}$F^{\ast }$ est $E_1^{\ast },E_2^{\ast },\dots ,E_{h-1}^{\ast }$$E_1^{\ast },E_2^{\ast },\dots ,E_{h-1}^{\ast }$E_(1)^(**),E_(2)^(**),dots,E_(h-1)^(**)E_{1}^{*}, E_{2}^{*}, \ldots, E_{h-1}^{*}$E_1^{\ast },E_2^{\ast },\dots ,E_{h-1}^{\ast }$. Trois cas peuvent se présenter:

(4)

est une décomposition de $F^{\ast }$$F^{\ast }$F^(**)F^{*}$F^{\ast }$ pour la fonction $f$$f$ff$f$. Si (4) est une décomposition propre nous avons $m\leqq 2h-3$$m\leqq 2h-3$m <= 2h-3m \leqq 2 h-3$m\leqq 2h-3$, donc à fortiori $m\leqq 2h-$$m\leqq 2h-$m <= 2h-m \leqq 2 h-$m\leqq 2h-$ I. Si (4) est une décompostion impropre, la décomposition

est une décomposition propre, donc $m-\mathrm{I}\leqq 2h-3$$m-\mathrm{I}\leqq 2h-3$m-I <= 2h-3m-\mathrm{I} \leqq 2 h-3$m-\mathrm{I}\leqq 2h-3$ et nous avons encore $m\leqq 2h$$m\leqq 2h$m <= 2hm \leqq 2 h$m\leqq 2h$ - I (D'ailleurs, si $m=2$$m=2$m=2m=2$m=2$, ce qui ne peut arriver que si $h=2$$h=2$h=2h=2$h=2$, la suite (5) se réduit au seul terme $F^{\ast }$$F^{\ast }$F^(**)F^{*}$F^{\ast }$ ).
$2^{\circ }F=F^{\ast }$$2^{\circ }F=F^{\ast }$2^(@)F=F^(**)2^{\circ} F=F^{*}$2^{\circ }F=F^{\ast }$, alors

est une décomposition propre de $F^{\ast }$$F^{\ast }$F^(**)F^{*}$F^{\ast }$, donc $m-\mathrm{I}\leqq 2h-3$$m-\mathrm{I}\leqq 2h-3$m-I <= 2h-3m-\mathrm{I} \leqq 2 h-3$m-\mathrm{I}\leqq 2h-3$ et $m\leqq 2h-\mathrm{I}$$m\leqq 2h-\mathrm{I}$m <= 2h-Im \leqq 2 h-\mathrm{I}$m\leqq 2h-\mathrm{I}$. $3^{\circ }{F}^{\ast }\subset F$$3^{\circ }{F}^{\ast }\subset F$3^(@)F^(**)sub F3^{\circ} F^{*} \subset F$3^{\circ }{F}^{\ast }\subset F$, alors on ne peut avoir $E_{m-1}\subseteq E_h^{\ast }$$E_{m-1}\subseteq E_h^{\ast }$E_(m-1)subeE_(h)^(**)E_{m-1} \subseteq E_{h}^{*}$E_{m-1}\subseteq E_h^{\ast }$, car on aurait $E_{m-1}+E_m\subseteq E_h^{\ast }$$E_{m-1}+E_m\subseteq E_h^{\ast }$E_(m-1)+E_(m)subeE_(h)^(**)E_{m-1}+E_{m} \subseteq E_{h}^{*}$E_{m-1}+E_m\subseteq E_h^{\ast }$, contrairement à 1'hypothèse que (I) est une décomposition propre. On voit immédiatement que l'une des suites

est une décomposition propre de $F^{\ast }$$F^{\ast }$F^(**)F^{*}$F^{\ast }$. On a donc $m-\mathrm{I}\leqq 2h-3$$m-\mathrm{I}\leqq 2h-3$m-I <= 2h-3m-\mathrm{I} \leqq 2 h-3$m-\mathrm{I}\leqq 2h-3$ ou $m-2\leqq 2h-3$$m-2\leqq 2h-3$m-2 <= 2h-3m-2 \leqq 2 h-3$m-2\leqq 2h-3$, donc toujours $m\leqq 2h-\mathrm{I}$$m\leqq 2h-\mathrm{I}$m <= 2h-Im \leqq 2 h-\mathrm{I}$m\leqq 2h-\mathrm{I}$ (si $h=2$$h=2$h=2h=2$h=2$ on voit facilement que $m\leqq 3$$m\leqq 3$m <= 3m \leqq 3$m\leqq 3$ ).

La propriété est donc vraie aussi pour $h$$h$hh$h$ et le théorème 2 en résulte.
Le nombre $m$$m$mm$m$ peut effectivement prendre toutes les valeurs comprises entre $h$$h$hh$h$ et $2h-1$$2h-1$2h-12 h-1$2h-1$. Soit, en effet, la fonction

définie sur l'ensemble $E=\{1,2,\dots ,3h-2\}$$E=\{1,2,\dots ,3h-2\}$E={1,2,dots,3h-2}E=\{1,2, \ldots, 3 h-2\}$E=\{1,2,\dots ,3h-2\}$ et monotone par segments sur cet ensemble. Les décompositions
(6) $\{1,2\},\{3,4,5\},\{6,7,8\},\dots ,\{3h-6,3h-5,3h-4\},\{3h-3,3h-2\}$$\{1,2\},\{3,4,5\},\{6,7,8\},\dots ,\{3h-6,3h-5,3h-4\},\{3h-3,3h-2\}${1,2},{3,4,5},{6,7,8},dots,{3h-6,3h-5,3h-4},{3h-3,3h-2}\{1,2\},\{3,4,5\},\{6,7,8\}, \ldots,\{3 h-6,3 h-5,3 h-4\},\{3 h-3,3 h-2\}$\{1,2\},\{3,4,5\},\{6,7,8\},\dots ,\{3h-6,3h-5,3h-4\},\{3h-3,3h-2\}$ (6) $\{\mathrm{I}\},\{2,3\},\{4\},\{5,6\},\dots ,\{3i-2\},\{3i-\mathrm{I},3i\},\{3i+\mathrm{I},3i+2\}$$\{\mathrm{I}\},\{2,3\},\{4\},\{5,6\},\dots ,\{3i-2\},\{3i-\mathrm{I},3i\},\{3i+\mathrm{I},3i+2\}${I},{2,3},{4},{5,6},dots,{3i-2},{3i-I,3i},{3i+I,3i+2}\{\mathrm{I}\},\{2,3\},\{4\},\{5,6\}, \ldots,\{3 i-2\},\{3 i-\mathrm{I}, 3 i\},\{3 i+\mathrm{I}, 3 i+2\}$\{\mathrm{I}\},\{2,3\},\{4\},\{5,6\},\dots ,\{3i-2\},\{3i-\mathrm{I},3i\},\{3i+\mathrm{I},3i+2\}$, $\{3i+3,3i+4,3i+5\},\{3i+6,3i+7,3i+8\},\dots$$\{3i+3,3i+4,3i+5\},\{3i+6,3i+7,3i+8\},\dots${3i+3,3i+4,3i+5},{3i+6,3i+7,3i+8},dots\{3 i+3,3 i+4,3 i+5\},\{3 i+6,3 i+7,3 i+8\}, \ldots$\{3i+3,3i+4,3i+5\},\{3i+6,3i+7,3i+8\},\dots$,

$\left(6_{h-1}\right)\{1\},\{2,3\},\{4\},\{5,6\},\dots ,\{3h-5\},\{3h-4,3h-3\},\{3h-2\}$$\left(6_{h-1}\right)\{1\},\{2,3\},\{4\},\{5,6\},\dots ,\{3h-5\},\{3h-4,3h-3\},\{3h-2\}$(6_(h-1)){1},{2,3},{4},{5,6},dots,{3h-5},{3h-4,3h-3},{3h-2}\left(6_{h-1}\right)\{1\},\{2,3\},\{4\},\{5,6\}, \ldots,\{3 h-5\},\{3 h-4,3 h-3\},\{3 h-2\}$\left(6_{h-1}\right)\{1\},\{2,3\},\{4\},\{5,6\},\dots ,\{3h-5\},\{3h-4,3h-3\},\{3h-2\}$, sont des décompositions propres de $E$$E$EE$E$. La décompositions (6i) a $h+i$$h+i$h+ih+i$h+i$ termes, $i=0,1,\dots ,h-1$$i=0,1,\dots ,h-1$i=0,1,dots,h-1i=0,1, \ldots, h-1$i=0,1,\dots ,h-1$. La décomposition ( $6_0$$6_0$6_(0)6_{0}$6_0$ ) est précisément la décomposition canonique.

Le nombre $h$$h$hh$h$ est toujours compris entre $\frac{m+I}{2}$$\frac{m+I}{2}$(m+I)/(2)\frac{m+I}{2}$\frac{m+I}{2}$ et $m$$m$mm$m$. Il en résulte que si $m=2$$m=2$m=2m=2$m=2$, on doit avoir $h=2$$h=2$h=2h=2$h=2$. Si $m>2,h$$m>2,h$m > 2,hm>2, h$m>2,h$ peut être plus petit que $m$$m$mm$m$ sauf si $n=-\mathrm{I}$$n=-\mathrm{I}$n=-In=-\mathrm{I}$n=-\mathrm{I}$, lorsque nous avons le

Théorème 3. Si $n=-1$$n=-1$n=-1n=-1$n=-1$, toute décomposition propre de $E$$E$EE$E$ a $h$$h$hh$h$ termes. En effet, si (I) est une décomposition propre de $E$$E$EE$E$, on peut trouver les points $x_i\in E_i,i=1,2,\dots ,m$$x_i\in E_i,i=1,2,\dots ,m$x_(i)inE_(i),i=1,2,dots,mx_{i} \in E_{i}, i=1,2, \ldots, m$x_i\in E_i,i=1,2,\dots ,m$, tels que $f\left(x_i\right)f\left(x_{i+1}\right)<0,i=1,2$$f\left(x_i\right)f\left(x_{i+1}\right)<0,i=1,2$f(x_(i))f(x_(i+1)) < 0,i=1,2f\left(x_{i}\right) f\left(x_{i+1}\right)<0, i=1,2$f\left(x_i\right)f\left(x_{i+1}\right)<0,i=1,2$, $\cdots ,m-I$$\cdots ,m-I$cdots,m-I\cdots, m-I$\cdots ,m-I$. Deux points consécutifs $x_i,x_{i+1}$$x_i,x_{i+1}$x_(i),x_(i+1)x_{i}, x_{i+1}$x_i,x_{i+1}$ ne peuvent donc appartenir à un même $E_j^{\ast }$$E_j^{\ast }$E_(j)^(**)E_{j}^{*}$E_j^{\ast }$. On a donc $m\leqq h$$m\leqq h$m <= hm \leqq h$m\leqq h$. D'autre part, $m\ge h$$m\ge h$m >= hm \geq h$m\ge h$, d'après la défidu nombre $h$$h$hh$h$. Done $m=h$$m=h$m=hm=h$m=h$.

Cernăuți, le 22 avril 1940.