1. 1.

   Considérons deux fontions réelles $f(x),g(x)$, définies et R-intégrables sur l’intervalle fini et fermé $[a,b](a<b)$. Si nous désignons par $\bar{f}$ une moyenne des valeurs de $f(\bar{x})$, donc un nombre tel que

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nous avons la première formule de la moyenne

qui est valable si $g(x)$ ne change pas de signe (est constamment $\geq 0$ ou constamment $\leqq 0$ sur $[a,b]$ ) et $f(x)$ est quelconque.

On peut démontrer que, sous l’hypothèse de sa continuité, l’invariance du signe de $g(x)$ est aussi nécessaire pour la valabilité de la formule (1), pour $f(x)$ quelconque.

En effet, supposons que $g(x)$ soit continue et qu’il change de signe sur $[a,b]$. Sans restreindre la généralité, nous pouvons supposer que

(car dans le cas contraire il suffit de prendre $-g(x)$ au lieu de $g(x)$ ) et il existe alors un point $x_{0}\in(a,b)$ tel que $g\left(x_{0}\right)<0$. Par suite de la continuité
de $g(x)$, si $\varepsilon>0$ est assez petit on a $a<x_{0}-\varepsilon<x_{0}<x_{0}+\varepsilon<b$ et $g(x)$ est négatif sur l’intervalle ( $x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon$ ).

Nous allons construire maintenant une fonction $f^{*}(x)$ qui soit:
$1^{\circ}$. Continue, positive et au plus égale à $1\operatorname{sur}\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right)$.
$2^{\circ}$. Nulle sur $\left[a,x_{0}-\varepsilon\right]$ et sur $\left[x_{0}+\varepsilon,b\right]$.
La fonction $f^{*}(x)$ est $R$-intégrable sur $[a,b]$ et nous avons $0\leqq\bar{f}^{*}\leqq 1$.
On peut, par ex., prendre
(3)

Si nous cherchons à appliquer la formule (1), en prennant pour $f(x)$ la fonction $f^{*}(x)$, nous avons, compte tenant de (2),

ce qui nous montre que l’égalité (1) est impossible.
Nous pouvons donc énoncer la propriété suivante:
I. Pour que la première formule de la moyenne (1) soit vraie pour toute fonction continue $g(x)$ et pour toute fonction $R$-intégrable $f(x)$, il faut et il suffit que $g(x)$ ne change pas de signe sur $[a,b]$.
2. A la formule intégrale (1) correspond la formule de la moyenne „en termes finis"

oùt les suites $\left(a_{i}\right),\left(b_{i}\right)$ sont réelles et

Nous désignons par $\left(c_{i}\right)$ la suite à $n$ termes $c_{1},c_{2},\ldots,c_{n},(n>1)$.
La formule de la moyemne (4) est vraie pour toute suite $\left(a_{i}\right)$ si les termes de 1a suite $\left(b_{i}\right)$ sont du même signe (tous $\geqq 0$ ou bien tous $\leq 0$ ).

Il est encore facile de voir que l’invariance du signe des $\overline{b_{i}}$ est nécessaire pour que la formule de la moyenne (4) soit vraie pour toute suite $\left(a_{i}\right)$. En effet, supposons que les $b_{i}$ ne soient pas tous du même signe. On peut supposer, sans restreindre la généralité, que $\sum_{i=1}^{n}b_{i}\geq 0$ (car dans le cas contraire on raisonne de la même manière sur la suite ( $-b_{i}$ )). Il existe alors un indice $k$ tel que $b_{k}<0$. Si nous prenons alors $a_{k}=1,a_{i}=0$, pour $i\neq k$, nous avons $0\leqq\bar{a}\leqq 1$ et $\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=b_{k}<0,\bar{a}\sum_{l=1}^{n}b_{i}\geq 0$ et l’égalité (4) est impossible.

Nous pouvons donc énoncer la propriété suivante:
I’. Pour que la formule de la moyenne (4) soit vraie pour toute suite $\left(a_{i}\right)$, il faut et il suffit que les termes de la suite ( $b_{i}$ ) soient du même signe.

La propriété I peut d’ailleurs être déduit de la propriété I’ par un passage à la limite, en tenant compte de la définition de l’intégrale R . Sans insister plus en détail, disons que les propriétés II, III, IV qui vont suivre résultent de la même manière respectivement des propriétés $\mathrm{II}^{\prime},\mathrm{III}^{\prime},\mathrm{IV}^{\prime}$.
3. C. BONFERRONI a démontré [1] que la première formule de la moyenne (1) est vraie pour toute fonction monotone $f(x)$ si $g(x)$ est R-intégrable et si son intégrale $G(x)=\int^{x}g(t)dt$ reste comprise entre $\boldsymbol{0}$ et $G(b)$ pour $x\in[a,b]$. La dernière propriété signifie que nous avons $0\leqq G(x)\leqq G(b)$ pour $x\in[a,b]$ resp. $G(b)\leqq G(x)\leqq 0$ pour $x\in[a,b]$ suivant que $0\leqq G(b)$ resp. $G(b)\leqq 0$.

On peut encore démontrer que 1a condition imposée à $g(x)$ est nécessaire. Pour cela prenons la fonction

où $a\leqq\lambda\leqq b$ (nous avons $f(x)=1$ sur $[a,b]$ lorsque $\lambda=b$ ). Cette fonction est monotone (donc à fortiori R-intégrable) et nous avons $0\leq\bar{f}\leq 1$. La formule (1) nous donne alors $G(\lambda)=\bar{f}G(b)$ pour $\lambda\in[a,b]$, ce qui démontre la propriété.

Nous pouvons donc énoncer la propriété suivante:
II. Pour que la première formule de la moyenne (1) soit vraie pour toule fonction monotone $f(x)$, il faut et il suffit que l’intégrale $G(x)=\int^{x}g(t)dt$, de la fonction $R$-intégrable $g(x)$, reste comprise entre 0 et $G(b)$ pour $x\in[a,b]$
4. C. Bonferroni obtient la suffisance de la condition de la propriété II par un passage à la limite de la propriété correspondante relative à 1a formule (4).

Si nous considérons les sommes partielles $s_{i}=b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{i}$, $i=1,2,\ldots,n$ de la suite $\left(b_{i}\right)$, la formule de la moyenne (4) est vérifiée pour toute suite monotone $\left(a_{i}\right)$ si les termes de la suite $\left(s_{i}\right)$ restent compris (au sens large) entre 0 et $s_{n}$.

La démonstration de C. Bonferroni est la suivante. Remarquons que si les $s_{i},i=1,2,\ldots,n$ sont compris entre 0 et $s_{n},s_{n}-s_{i},i=1,2,\ldots,n$ sont aussi compris entre 0 et $s_{n}$. I a monotonie de la suite ( $a_{i}$ ) nous montre,
d’une part, que $\bar{a}$ est compris entre $a_{1}$ et $a_{n}$ et, d’autre part, qu’en utilisant la formule de transformation d’Abel, nous avons

La formule de la moyenne (4) èn résulte immédiatement.
La nécessité de la condition résulte en prenant la suite monotone $\left(a_{i}\right)$, où $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{i}=1,a_{i+1}=a_{i+2}=\ldots=a_{n}=0$.

Nous pouvons énoncer la propriété suivante
II’. Pour que la formule de la moyenne (4) soit vraie pour toute suite monotone $\left(a_{i}\right)$ il faut et il suffit que les termes de la suite $\left(s_{i}\right)$ des suites partielles de la suite $\left(b_{i}\right)$ restent compris entre 0 et $s_{n}$.
5. Considérons maintenant la seconde formule de la moyenne
oùt

Cette formule est valable pour toute fonction $f(x)$ R-intégrable si la fonction $g(x)$ est monotone sur $[a,b]$.

Supposons que $g(x)$ ait une dérivée continue $g^{\prime}(x)$ sur $[a,b]$. Nous pouvons alors démontrer que la monotonie de $g(x)$ est nécessaire pour que la formule (5) ait lieu pour $f(x)$ quelconque. En effet, si $g^{\prime}(x)$ est une fonction continue et si nous posons $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$, nous avons

et la formule (5) devient

donc revient à la première formule de la moyenne $(F(\xi)=\bar{F})$.
Dans notre cas la monotonie de $g(x)$ sur $[a,b]$ est équivalente aut fait que la dérivée $g^{\prime}(x)$ ne change pas de signe sur $[a,b]$. La nécessité de la condition que nous avons en vue résulte comme au nr. 1. Il faut seulement prendre la fonction $g^{\prime}(x)$ au liet de $g(x)$ et pour $F(x)$. une fonction $f^{*}(x)$
convenable. Puisque par construction $F(x)$ est une intégrale, pour satisfaire aux conditions $1^{\circ},2^{\circ}$ du nr. 1 , il suffit, par ex., de prendre pour $F(x)$ 1a fonction

Ceci revient, d’ailleurs, à prendre pour $f(x)$ la fonction

Nous pouvons énoncer la propriété suivante:
III. Pour que la formule de la moyenne (5) soit vraie pour toule fonction $g(x)$ ayant une dérivée continue sur $[a,b]$ et pour toute fonction $f(x)R$-intégrable sur $[a,b]$, il faut et il suffit que $g(x)$ soit monotone sur $[a,b]$.
6. A la formule (5) correspond également une formule de la moyenne „en termes finis"
où $\vec{r}$ est une valeur moyenne des $n-1$ premiers termes de la suite ( $r_{i}$ ) des suites partielles $r_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{i},\quad i=1,2,\ldots,n$ de la suite ( $a_{i}$ ), donc

La formule de la moyenne (6) est vraic pour toute suite $\left(a_{i}\right)$ si la suite $\left(b_{i}\right)$ est monotone. La démonstration est simple, puisque si nous remarquons que

on revient à la première formule de la moyenne.
La nécessité de la monotonie de la suite ( $b_{i}$ ), pour que (6) reste vrai pour toute suite ( $a_{i}$ ), résulte immédiatement en prenant $a_{i}=1,a_{i+1}=-1$ et $a_{k}=0$, pour $k\neq i,i+1$, successivement pour $i=1,2,\ldots,n-1$.

Nous pouvons donc énoncer la propriété suivante:
III’. Pour que la formule de la moyenne (6) soit vraie pour toute suite: $\left(a_{i}\right)$, il faut et il suffit que la suite $\left(b_{i}\right)$ soit monotone.
7. C. Bonferroni dans son travail cité [1] a également démontré que la formule de la moyenne (5) est valable pour toute fonction $f(x)$ dont l’intégrale $F(x)=\int f(t)dt$ est monotone si $g(x)$ reste compris (au sens large): entre $g(a)$ et $g(b)$ pour $x\in[a,b]$.

En supposant $g(x)$ continue, la condition énoncée est aussi nécessaire. En effet, supposons que $g(x)$ soit continue et prenons pour $f(x)$ la fonction (3), oì $x_{0}$ est un point de $(a,b)$ et $\varepsilon$ un nombre positif suffisamment petit. En supposant que la formule de la moyenne (5) soit vérifiée, nous avons l’une des égalités
$\frac{1}{2\varepsilon}\int_{x_{\sigma}\varepsilon}^{x_{0}+\varepsilon}g(x)dx=\left\{\begin{array}[]{l}g(b),\text{ pour }\xi\leqq x_{0}-\varepsilon,\\ \frac{\left(\xi-x_{0}+\varepsilon\right)g(a)+\left(x_{0}+\varepsilon-\xi\right)g(b)}{2\varepsilon},\text{ pour }\xi\in\left(x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon\right),\\ g(a),\text{ pour }\xi\geq x_{0}+\xi,\end{array}\right.$
On voit donc que pour $\varepsilon$ positif et assez petit,
(7)

reste compris entre $g(a)$ et $g(b)$. Mais si $\varepsilon\rightarrow 0$, la moyenne intégrale (7) tend vers $g\left(x_{0}\right)$, qui reste donc aussi compris entre $g(a)$ et $g(b)$.

Nous pouvons donc énoncer 1a propriété suivante :
IV. Pour que la formule de la moyenne (5) soit vraie pour toute fonction: $f(x)$, dont l’intégrale $\int_{a}^{x}f(t)dt$ est monotone, il faut et il suffit que la fonction $g(x)$, supposée continue, reste comprise entre $g(a)$ et $g(b)$ pour $x\in[a,b]$.
8. Ici encore $C$. Bonferroni obtient la suffisance de la condition de la propriété IV par un passage à la limite.

La formule de la moyenne (6) est vérifiée pour toute suite ( $a_{i}$ ) dont les termes sont du même signe si les termes de la suite $\left(b_{i}\right)$ restent compris entre $b_{1}$ et $b_{n}$. La démonstration est la suivante. Lorsque les $a_{i}$ sont du même signe et les $b_{i}$ sont compris entre $b_{1}$ et $b_{n}$, nous avons

La formule de la moyenne en résulte immédiatement.

La nécessité de la condition résulte en prenant $a_{i}=1$ et $a_{k}=0$, pour $k\neq i$. Nous avons alors $0\leqq\bar{r}\leqq 1$ et la formule (6) nous donne $b_{i}=\bar{r}b_{1}++(1-\bar{r})b_{n}$, qui montre bien que $b_{i}$ est compris entre $b_{1}$ et $b_{n}$.

Nous pouvons donc énoncer la propriété suivante:
IV’. Pour que la formule de la moyenne (6) soit vraie pour toute suite $\left(a_{i}\right)$ dont les termes sont tous du même signe, il faut et il suffit que les $b_{i}$, $i=1,2,\ldots,n$ restent compris entre $b_{1}$ et $b_{n}$.