Remarques sur un théorème de Cauchy relatif aux séries à termes constants, non-négatifs et non-croissants

On établit des conditions dans lesquelles, de la convergence, respectivement de la divergence de la série (4), résulte celle de la série (1). Les suites $\left(u_{n}\right)$ , $\left(c_{n}\right)$ sont soumises à certaines restrictions de non-négativité ou de monotonie.

1.

A. L. Cauchy a démontré [2] que si la suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est non-négative et non-croissante, les séries

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_{n}$ (1)

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}u_{2^{n}}$ (2)

sont toujours de la même nature (toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes). O. Schlömilch a généralisé [6] cette propriété de la manière suivante : si la suite de nombres entiers $\left(g_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ vérifie les propriétés […]

g_{n}>g_{n-1}\geqq 0,g_{n\div 1}-g_{n}\leqq M\left(g_{n}-g_{n-1}\right),\quad n=1,2,\ldots

où $M$ est un nombre positif, les séries (1) et
(3)

\sum_{n=0}^{\infty}\left(g_{n+1}-g_{n}\right)u_{g_{n}}

sont de la même nature, quelle que soit la suite ( $u_{n}$ ) non-négative et noncroissante. J. C. Kluyver a encore précisé ce résultat [3].

Dans la suite, en complétant ces résultats, nous nous proposons de trouver des conditions suffisantes et nécessaires que doit vérifier la suite
non-négative $\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ (la suite des multiplicateurs) telles que, quelle que soit la suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ non-négative et non-croissante, les séries (1) et

\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}u_{n}

(4)

soient de la même nature.
Nous allons examiner un problème analogue, en soumettant la suite $\left(u_{n}\right)$ à une condition, en général, moins restrictive que la non-croissance.
2. D’après K. Knopp [4] on dit que la suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est $\alpha$ -fois monotone
si on a

\Delta^{\alpha}u_{n}=\sum_{\nu=0}^{\infty}(-1)^{\nu}\binom{\alpha}{\nu}u_{n+\nu}=\sum_{\nu=0}^{\infty}\binom{\nu-\alpha-1}{\nu}u_{n+\nu}\geqq 0,\quad n=0,1,\ldots

(5)

les séries du second membre étant convergentes.
Pour $\alpha=0$ nous avons $\Delta^{\mathrm{v}}u_{n}=u_{n}$ et nous obtenons les suites nonnégatives et pour $\alpha=1$ nous avons $\Delta^{1}u_{n}=u_{n}-u_{n+1}$ et nous obtenons les suites non-croissantes. Enfin $\Delta^{-1}u_{n}(\alpha=-1)$ se réduit à la série $\sum_{v=0}^{\infty}u_{n+v}$ .

A vrai dire pour $\alpha>0$ la définition de K. Knopp est un peu plus restrictive puisqu’il considère seulement des suites ( $u_{n}$ ) non-négatives, hypothèse que nous admettrons toujours dans la suite. Si $\alpha>0$ , une suite $\left(u_{n}\right)$ dont tous les termes sont égaux à un même nombre quelconque (positif, nul on négatif) est $\alpha$ -fois monotone puisqu’alors $\Delta^{\alpha}u_{n}=0$ , $n=0,1,\ldots$

Désignons par

\Delta_{m}^{\alpha}u_{n}=\sum_{\nu=0}^{m}\binom{\nu-\alpha-1}{\nu}u_{n+\nu},\quad m=0,1,\ldots

(6)

les sommes partielles de la série du second membre de (5).
Les différences d’ordre $\alpha(5)$ , pour $\alpha$ réel quelconque, ont été introduites par A. F. Andersen [1]. Ce même auteur considère les sommes (6) (avec une notation un peu différente).
3. Dans la suite nous considérons seulement le cas $0\leqq\alpha\leqq 1$ . Nous avons alors le

Lemme 1. Si $0\leqq\alpha\leqq 1$ , pour que la suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ soit $\alpha$ -fois monotone, il faut et il suffit que

\Delta_{m}^{\alpha}u_{n}\geqq 0,\quad.\quad m,n=0,1,\ldots

(7)

Remarquons que (si $0\leqq\alpha\leqq 1$ ) nous avons $\binom{\nu-\alpha-1}{\nu}\leqq 0,\quad\nu==1,2,\ldots$ (l’égalité n’est d’ailleurs pas possible si $0<\alpha<1$ ). Nous pouvons passer à la démonstration du lemme.

La condition est nécessaire. En effet, si $m\geqslant 0$ , la série $\sum_{m+1}^{\infty}\binom{\nu-\alpha-1}{\nu}u_{n+\nu}$ est convergente et a termes non-positifs. De $\Delta^{\alpha}u_{n}\geqq 0$ il résulte donc

\Delta_{m}^{\alpha}u_{n}=-\sum_{\nu=m+1}^{\infty}\binom{\nu-\alpha-1}{\nu}u_{n+\nu}\geqq 0,\quad m=0,1,\ldots

La condition est suffisante. De (7) il résulte que

\sum_{\nu=1}^{\infty}\binom{\nu-\alpha-1}{\nu}u_{n+\nu}\geqq-u_{n},\quad m=1,2,\ldots

ce qui nous montre que la série $\sum_{v=1}^{\infty}\binom{v-\alpha-1}{v}u_{n+v}$ , à termes non-positifs, est convergente. La propriété en résulte.

Le lemme 1 est done démontré.
4. Dans la suite nous ferons usage d’une importante généralisation de la célèbre formule de transformation d’Abel. Cette formule générale est aussi due à A. F. Andersen [1] et on peut l’écrire sous la forme symétrique

\sum_{\nu=0}^{n}a_{n-\nu}b_{\nu}=\sum_{\nu=0}^{n}\Delta_{\nu}^{-\alpha}a_{n-\nu}\cdot\Delta_{n-\nu}^{\alpha}b_{\nu},

où $\alpha$ est un nombre quelconque.
Nous écrivons cette formule sous la forme suivante

\sum_{\nu=0}^{n}a_{\nu}b_{\nu}=\sum_{\nu=0}^{n}\left(\sum_{\mu=0}^{\nu}\binom{\alpha+\nu-\mu-1}{\nu-\mu}a_{\mu}\right)\Delta_{n-\nu}^{\alpha}b_{\nu}

(8)

Remarquons que $\sum_{v=0}^{n}\binom{\alpha+n-v-1}{n-v}:=\binom{\alpha+n}{n}$ et posons

C_{n}=\frac{1}{\binom{\alpha+n}{n}}\sum_{\nu=0}^{n}\binom{\alpha+n-\nu-1}{n-\nu}c_{\nu},\quad n=0,1,\ldots

(9)

et

C_{m,n}=\frac{1}{\binom{\alpha+n}{n}}\sum_{\nu=0}^{n}\binom{\alpha+n-\nu-1}{n-\nu}c_{m+\nu},\quad m,n=0,1,\ldots

(10)

qui ont un sens si $0\leqq\alpha\leqq 1$ (même pour d’autres valeurs de $\alpha$ , par exemple pour $\alpha>-1$ ).

Nous avons $C_{0,n}=C_{n},n=0,1,\ldots$
Pour $\alpha=0$ , les formules (9), (10) reviennent à $C_{n}=c_{n},C_{m,n}=c_{m+n}$ . respectivement.

Nous avons la formule

C_{m+1,n}=\frac{(\alpha+n+1)C_{m,n+1}-\alpha c_{m}}{n+1}.

(11)

5.

De la formule (11) il résulte que $\underline{\lim}C_{m,n},\varlimsup_{m,n}$ sont indépendants de $m$ . En particulier donc nous avons

\lim C_{n}=\underset{n}{\lim}C_{m,n},\varlimsup C_{n}=\varlimsup_{n}C_{m,n}

(12)

pour toute valeur de l’indice $m$ .
Nous en déduisons le
Lemme 2. $1^{\circ}$ . Pour que l’on ait $\lim C_{n}>0$ il faut et il suffit qu’il existe un indice $m$ tel que $\inf C_{m,n}>\overline{0}$ .
$2^{\circ}$ . Pour que l’on ait $\lim_{n}C_{n}<+\infty$ il faut et il suffit qu’il existe un indice $m$ tel que sup $C_{m,n}<+\infty$ .

Démontrons la première partie du lemme. Si $\lim C_{n}>0$ , la suite $\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ doit contenir une infinité de termes positifs. Si $m$ est un indice tel que $c_{m}>0$ , on a $C_{m,n}>0,n=0,1,\ldots$ Nous avons alors inf $C_{m,n}>0$ , car autrement (si donc $\inf_{n}C_{m,n}=0$ ) il en résulterait $\underline{\lim^{n}}\cdot\mathscr{C}_{m,n}=0$ , ce qui contredit la première formule (12). Réciproquement, de inf $C_{m,n}>0$ il résulte $\underline{\lim}C_{m,n}>0$ , donc $\underline{\lim}C_{n}>0$ , d’après la formule ${}^{n}(12)$ .

Passons à la démonstration (plus simple) de la seconde partie du lemme 2.

Ceci résulte du fait qu’une suite est bornée supérieurement si et seulement si sa limite supérieure est $<+\infty$ . D’ailleurs, $\varlimsup\mathrm{lim}C_{n}$ et $\varlimsup_{n}C_{m,n}$ , quel que soit $m$ , sont en même temps finis ou infinis.
6. Désignons maintenant par $s_{n},n=0,1,\ldots$ , les sommes partielles de la série (1) et par $t_{n},n=0,1,\ldots$ , les sommes partielles de la série (4).

En appliquant la formule de transformation (8), nous en déduisons ( $t_{-1}=0$ )
(13)

t_{m+n}-t_{m-1}=\sum_{\nu=0}^{n}c_{m+\nu}u_{m+\nu}=\sum_{\nu=0}^{n}C_{m\cdot\nu}\binom{\alpha+\nu}{\nu}\Delta_{n-\nu}^{\alpha}u_{m+\nu},\quad m,n=0,1,\ldots

et, en particulier (en prenant $c_{n}=1,n=0,1,\ldots$ , et $s_{-1}=0$ )

s_{m+n}-s_{m-1}=\sum_{v=0}^{n}\binom{\alpha+v}{v}\Delta_{n-v}^{\alpha}u_{m+v},\quad m,n=0,1,\ldots

(14)

Nous allons maintenant démontrer le
Théorème 1. Si $0\leqq\alpha\leqq 1$ et si la suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est non-négative et $\alpha$ -fois monotone :
$1^{\circ}$ . Lorsque la suite non-négative $\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ vérifie l’inégalité $\underline{\lim}C_{n}>0$ , de la divergence de la série (1) résulte celle de la série (4).
$2^{\circ}$ . Lorsque la suite non-négative $\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ vérifie l’inégalité $\overline{1m}C_{n}<+\infty$ , de la convergence de la série (1) résulte celle de la série (4).

Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ a seulement un nombre fini de termes différents de zéro, les séries (1) et (4) sont toujours toutes les deux convergentes et le théorème 1 en résulte.

Dans le cas contraire (si donc une infinité de $u_{n}$ sont différents de zéro), supposons $\lim C_{n}>0$ . D’après le lemme 2 , il existe un indice $m$ tel que inf $C_{m,n}>\overline{0}$ . Il existe alors un $N$ tel que $s_{m+n}-s_{m-1}>0$ pour. $n>N.\stackrel{{\scriptstyle n}}{{\text{ De (13) et (14) il résulte que }}}$

\begin{gathered}0<\inf_{p}C_{m,p}\leqq\min\left(C_{m,0},\quad C_{m,1},\ldots,C_{m,n}\right)\leqq\\ \leqq\frac{t_{m+n}-t_{m-1}}{s_{m+n}-s_{m-1}},\text{ pour }n>N\end{gathered}

d’où résulte la première partie du théorème 1, en vertu des propriétés des séries à termes non-négatifs et de la première formule de la moyenne (relative aux moyennes arithmétiques pondérées).

La seconde partie du théorème résulte de la même manière de la formule

\begin{gathered}\frac{t_{m+n}-t_{m-1}}{s_{m+n}-s_{m-1}}\leqq\max\left(C_{m,0},C_{m,1},\ldots,C_{m,n}\right)\leqq\\ \leqq\sup_{p}C_{m,p}<+\infty,\text{ pour }n>N\end{gathered}

en supposant que sup $C_{m,n}<+\infty$ , le nombre $N$ étant toujours déterminé tel que $s_{m+n}-s_{m-1}>0$ pour $n>N$ .

Du théorème 1 résulte le
Corollatre 1. Si $0\leqq\alpha\leqq 1$ et si la suite $\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ vérifie les inégalités

0<\underline{\lim}C_{n}\leqq\varlimsup\lim C_{n}<+\infty

où les $C_{n}$ sont donnés par les formules (9), les séries (1) et (4) sont de la même nature.

Remarques. La généralité plus ou moins grande des conditions du théorème 1 résulte, d’une part, du fait que d’après K. Knopp [4] si $0\leqq\beta\leqq\alpha\leqq 1$ toute suite $\alpha$ -fois monotone (et tendant vers 0 ) est aussi $\beta$ -fois monotone et, d’autre part, si pour mettre en évidence l’ordre $\alpha$ , nous désignons par $C_{n}^{(\alpha)}$ les expressions (9), nous avons

C_{n}^{(\alpha)}=\frac{1}{\binom{\alpha+n}{n}}\sum_{v=0}^{n}\binom{\alpha-\beta+n-v-1}{n-v}\binom{\beta+v}{v}C_{v}^{(\beta)}.

On a

\sum_{v=0}^{n}\binom{\alpha-\beta+n-v-1}{n-v}\binom{\beta+v}{v}=\binom{\alpha+n}{n}

tous les termes de la somme du premier membre étant $\geq 0$ . Remarquons aussi que, pour tout $v$ donné, on a
$\frac{\binom{\alpha-\beta+n-\nu-1}{n-\nu}\binom{\beta+\nu}{\nu}}{\binom{\alpha+n}{n}}=\frac{\binom{\beta+\nu}{\nu}\binom{n}{\nu}^{n-\nu-1}}{\binom{\alpha+n}{\nu}}\prod_{\gamma=0}^{n}\left(1-\frac{\beta+1}{\alpha+\gamma+1}\right)\rightarrow 0$
pour $n\rightarrow 0$ . Il résulte alors de la théorie de la sommabilité par séries divergentes que

\lim C_{n}^{(\beta)}\leqq\lim C_{n}^{(\alpha)}\leqq\varlimsup C_{n}^{(\alpha)}\leqq\varlimsup C_{n}^{(\beta)}.

Pour le cas $\alpha=1$ nous allons donner un résultat plus complet.
7. Pour être complet nous allons examiner d’abord le cas $\alpha=0$ , qui est d’ailleurs bien connu dans la théorie des séries. Nous avons le

Théorème 2. Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est non-négative :
$1^{\circ}$ . Pour que de la divergence de la série (1) résulte celle de la série (4), il faut et il suffit que l’on ait $\lim c_{n}>0$ .
$2^{\circ}$ . Pour que de la convergence $\overline{de}$ la série (1) résulte celle de la série
(4), il faut et il suffit que l’on ait $\overline{\lim}c_{n}<+\infty$ .

On suppose, bien entendu, que la suite $\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est non-négative.
La suffisance des conditions résulte du théorème 1. Il reste à démontrer que ces conditions sont aussi nécessaires.

Nous montrerons d’abord que si $\underline{\lim}c_{n}=0$ , on peut trouver une série
(1) divergente telle que la série (4) soit convergente. En effet, dans ce cas, on peut trouver une suite partielle (infinie)
(15)

c_{n_{t}},c_{n_{2}},\ldots,c_{n_{k}},\ldots

de $\left(c_{n}\right)$ telle que l’on ait

c_{n_{k}}<\frac{1}{k},\quad k=1,2,\ldots

Il suffit alors de considérer la série (1), où

u_{n}=0,n\neq n_{k},u_{n_{k}}=\frac{1}{k},\quad k=1,2,\ldots

—

Montrons maintenant que si $\varlimsup c_{n}=+\infty$ , on peut trouver une série (1) convergente telle que la série correspondante (4) soit divergente. Dans ce cas on peut trouver la suite partielle (15) de manière que

c_{n_{k}}>k,\quad k=1,2,\ldots

et il suffit de prendre

u_{n}=0,n\neq n_{k},u_{n_{k}}=\frac{1}{k^{2}},\quad k=1,2,\ldots

Nous déduisons aussi le
Corollatre 2. Pour que les séries (1) et (4) soient de la même nature quelle que soit la suite non-négative $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ , il faut et il suffit que la suite non-négative $\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ vérifie les inégalités $0<\underline{\lim}c_{n}\leqq\lim c_{n}<+\infty$ .
8. Reprenons maintenant le cas $\alpha=1$ . Nous avons alors le

Théorème 3. Si la suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est non-négative et non-croissante :
$1^{\circ}$ . Pour que de la divergence de la série (1) résulte calle de la série (4), il faut et il suffit que l’on ait $l>0$ .
$2^{\circ}$ . Pour que de la convergence de la série (1) résulte celle de la série (4), il faut et il suffit que l’on ait $L<+\infty$ .

Conservant les notations précédentes, dans l’énoncé de ce théorème nous avons posé aussi

l=\underline{\lim}\frac{c_{0}+c_{1}+\ldots+c_{n}}{n+1},\quad L=\overline{\lim}\frac{c_{0}+c_{1}+\ldots+c_{n}}{n+1}.

(16)

La suffisance des conditions résulte du théorème 1 . Nous avons donné cette propriété il y a déjà longtemps [5]. Il reste à démontrer que les conditions sont aussi nécessaires.

Supposons d’abord $l=0$ . Nous allons construire une série (1) divergente telle que la série (4) soit convergente.

En vertu de la première formule (12), de toute suite $\left(C_{m,n}\right)_{n=0}^{\infty}$ on peut extraire une suite partielle tendant vers zéro. On peut, en particulier, trouver un $n_{1}$ tel que $C_{n_{1}}<1$ . On peut ensuite trouver un $n_{2}$ , aussi grand que l’on veut, en particulier un $n_{2}>n_{1}$ tel que $C_{n_{1}+1,n_{2}-n_{1}-1}<\frac{1}{2}$ . On peut trouver ensuite un $n_{3}$ aussi grand que l’on veut, en particulier tel que $n_{3}-2n_{2}+n_{1}>0$ et tel que $C_{n_{2}+1,n_{3}-n_{2}-1}<\frac{1}{3}$ . En général, pour tout $k=2,3,\ldots$ et les $n_{1},n_{2},\ldots,n_{k-1}$ étant déterminés, on peut trouver un $n_{k}$ , aussi grand que l’on veut, en particulier un $n_{k}$ vérifiant l’inégalitó

n_{k}-2n_{k-1}+n_{k-2}>0,\quad k=3,4,\ldots\left(n_{2}>n_{1}\right)

(17)

et tel que

C_{n_{k-1}+1,n_{k}-n_{k-1}-1}<\frac{1}{k},\quad k=1,2,\ldots\left(n_{0}=-1\right).

(18)

Définissons alors la série (1) telle que

u_{n_{k-1}+1}=u_{n_{k-1}+2}=\ldots=u_{n_{k}}=\frac{1}{k\left(n_{k}-n_{k-1}\right)},\quad k=1,2,\ldots\left(n_{0}=-1\right).

Cette série est divergente puisque

s_{n_{k}}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{k},\quad k=1,2,\ldots

mais la série (4) est convergente puisque dans ce cas de la formule (13) il résulte

	$\displaystyle t_{n_{k}}-t_{n_{k-1}}=C_{n_{k-1}+1,n_{k}-n_{k-1}-1}\left(n_{k}-n_{k-1}\right)u_{n_{k}}$
		$\displaystyle k=2,\ldots\left(n_{0}=-1,t_{-1}=0\right)$

d’où, en tenant compte de (18),

t_{n_{k}}<1+\frac{1}{2^{2}}+\ldots+\frac{1}{k^{2}},\quad k=1,2,\ldots

Pour que la démonstration soit complète il faut démontrer que dans cet exemple la suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est bien non-croissante. Or ceci résulte de (17). En effet, on a d’abord $n_{k}-n_{k-1}>0$ et l’inégalité $u_{n_{k-1}}>u_{n_{k}}$ revient à
ou

\begin{gathered}\frac{1}{(k-1)\left(n_{k-1}-n_{k-2}\right)}>\frac{1}{k\left(n_{k}-n_{k-2}\right)}\\ k\left(n_{k}-n_{k-1}\right)-(k-1)\left(n_{k-1}-n_{k-2}\right)=\\ =k\left(n_{k}-2n_{k-1}+n_{k-2}\right)+\left(n_{k-1}-n_{k-2}\right)>0\end{gathered}

ce qui est vrai.
Supposons maintenant que $L=+\infty$ . Nous allons construire une série (1) convergente telle que la série correspondante (4) soit divergente.

Dans ce cas nous pouvons choisir les nombres $n_{1},n_{2},\ldots,n_{k},\ldots$ de manière que l’on ait encore (17) et

C_{n_{k-1}+1,n_{k}-n_{k-1}-1}>k,\quad k=1,2,\ldots\left(n_{0}=-1\right)

Définissons alors la série (1) telle que
$u_{n_{k-1}+1}=u_{n_{k-1}+2}=\ldots=u_{n_{k}}=\frac{1}{k^{2}\left(n_{k}-n_{k-1}\right)},\quad k=1,2,\ldots\left(n_{0}=-1\right)$ .
Dans ce cas la série (1) est convergente puisque

s_{n_{k}}=1+\frac{1}{2^{2}}+\ldots+\frac{1}{k^{2}},\quad k=1,2,\ldots

mais la série (4) est divergente puisque

t_{n_{k}}>1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{k},\quad k=1,2,\ldots

La suite $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est encore non-croissante puisque l’inégalité $u_{n_{k-2}}>u_{n_{k}}$ revient à

\frac{1}{(k-1)^{2}\left(n_{k-1}-n_{k-2}\right)}>\frac{1}{k^{2}\left(n_{k}-n_{k-1}\right)}

ou

k^{2}\left(n_{k}-2n_{k-1}+n_{k-2}\right)+(2k-1)\left(n_{\dot{k}-1}-n_{k-2}\right)>0

Du théorème 3 nous déduisons le
Corollarre 3. Pour que les séries (1) et (4) soient de la même nature, quelle que soit la suite non-négative et non-décroissante $\left(u_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ , il faut et il suffit que la suite non-négative $\left(c_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ vérifie les inégalités $0<l\leqq L<+\infty$ , où les nombres $l,L$ sont donnés par (16).

Dans le cas (3) de Schlömilch nous pouvons d’abord remarquer que $g_{n}\geqq g_{n-1}+1$ , donc $g_{n}\geqq g_{0}+n$ , pour $n=1,2,\ldots$ Le nombre $M$ est nécessairement $\geqq 1$ . Fn. effet, rous avons $1\leqq g_{n+1}-g_{n}\leqq\leq M^{n}\left(y_{1}-g_{0}\right)$ qui, pour $0<M<1$ ne peut être vérifié pour $n$ assez grand. Si $g_{k}\leqq n<g_{k+1},\quad(k>0)$ nous avons

\frac{g_{k+1}-g_{0}}{g_{k+1}}\leqq C_{n}\leqq\frac{g_{k+1}-g_{n}}{g_{k}+1}

d’où il résulte

	$\displaystyle\frac{k+1}{g_{0}+k+1}$	$\displaystyle\leqq\frac{g_{k+1}-g_{0}}{g_{k+1}}\leqq C_{n}\leqq\frac{g_{k}+M\left(g_{k}-g_{k-1}\right)-g_{0}}{g_{k}+1}=$
		$\displaystyle=\frac{(1+M)g_{k}}{g_{k}+1}-\frac{Mg_{k-1}+g_{0}}{g_{k}+1}<M+1$

ce qui nous montre que dans ce cas $l\geqq 1,L\leqq M+1$ . D’ailleurs de $C_{g_{k+1}-1}=\frac{g_{k+1}-g_{0}}{g_{k+1}}$ et de $g_{k+1}\rightarrow+\infty$ pour $k\rightarrow+\infty$ , il résulte que $l=1$ .

Dans le cas particulier (2), de Cauchy, nous avons $g_{k}=2^{k},k=0,1,\ldots$ et $l=1,L=2$ .

Reçu le 23 octobre 1967
Institut de Calcul
la République Socialiste de Roumanie de la Filiale de Cluj

Remarques sur un théorème de Cauchy relatif aux séries à termes constants, non-négatifs et non-croissants

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