Sur l’approximation des fonctions convexes d’ordre supérieur (II)

Tiberiu Popoviciu
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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On the approximation of higher-order convex functions (II)

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T. Popoviciu

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1938 b -Popoviciu- Bull. Sect. Sci. Acad. Roum. – Sur l’approximation des fonctions convexes d’ordre superieur (II)

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur l’approximation des fonctions convexes d’ordre supérieur (II), Bull. de la Sect. sci. de l’Acad. Roum., 20 (1938) no. 7, pp. 50-53; 192-195 (in French).

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1938 b -Popoviciu- Bull. Sect. Sci. Acad. Roum. - Sur l_approximation des fonctions convexes d’ordre

BULLETIN

No. 7

SOMMAIRE

SUR L'APPROXIMATION DES FONCTIONS CONVEXES D'ORDRE SUPERIEUR

PARTIBERIU POPOVICIUNote présentée par M. G. Tzitzéica, M.A.K.

I. - Dans un travail antérieur 1 1 ^(1){ }^{1}1 ), j 'ai démontré que toute fonction ∫ ( x ) ∫ ( x ) int(x)\int(x)∫(x) continue dans un intervalle fini et fermé ( a , b a , b a,ba, ba,b ) est la limite d'une stite uniformément convergente de polynomes qui conservent toutes les propriétés de convexité de f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x). Cette propriété est réalisée par les polynomes de M. S. Bernstein.
(I) P m ( x ) = 1 ( b − a ) m ∑ i = 0 m ( m i ) f ( a + i b − a m ) ( x − a ) i ( b − x ) m − i . (I) P m ( x ) = 1 ( b − a ) m ∑ i = 0 m   ( m i ) f a + i b − a m ( x − a ) i ( b − x ) m − i . {:(I)P_(m)(x)=(1)/((b-a)^(m))sum_(i=0)^(m)((m)/(i))f(a+i(b-a)/(m))(x-a)^(i)(b-x)^(m-i).:}\begin{equation*} P_{m}(x)=\frac{1}{(b-a)^{m}} \sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i} f\left(a+i \frac{b-a}{m}\right)(x-a)^{i}(b-x)^{m-i} . \tag{I} \end{equation*}(I)Pm(x)=1(b−a)m∑i=0m(mi)f(a+ib−am)(x−a)i(b−x)m−i.
Mais, en général, on ne peut rien dire sur les caractères de convexité des polynomes ( I I III ), en dehors de lintervalle ( a , b a , b a,ba, ba,b ). Dans la suite nous démontrerons la propriété suivante:
Toute fonction contiwue et non-concave d'ordre n n nnn dans l'intervalle ( a , b a , b a,ba, ba,b ) est limite d'une suile uniformément convergente dans cet intervalle de polynomes qui sonl convexes d'ordre n n nnn partout, donc dans ( − ∞ , + ∞ ) ( − ∞ , + ∞ ) (-oo,+oo)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞).
Nous supposons, bien entendu, que f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) ne se réduise pas à um polynome de degré n n nnn.
2. - Si nous disons qu'une fonction non-négative est non-concave d'ordre - 1 , la propriété précédente est vraie aussi pour n = − 1 n = − 1 n=-1n=-1n=−1. En effet, il existe dans ce cas une fonction continue g ( x ) g ( x ) g(x)g(x)g(x) telle que l'on ait f ( x ) = g 2 ( x ) f ( x ) = g 2 ( x ) f(x)=g^(2)(x)f(x)=g^{2}(x)f(x)=g2(x) dans ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b). Soit alors M = max | g ( x ) | M = max | g ( x ) | M=max|g(x)|M=\max |g(x)|M=max|g(x)| et ε ε epsi\varepsilonε tun nombre positif. ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b)
D'après le théorème de Weierstrass pour tout 0 < ε ′ < min ( I , ε 2 M + I ) 0 < ε ′ < min I , ε 2 M + I 0 < epsi^(') < min(I,(epsi)/(2M+I))0<\varepsilon^{\prime}<\min \left(\mathrm{I}, \frac{\varepsilon}{2 M+\mathrm{I}}\right)0<ε′<min(I,ε2M+I) il existe un polynome P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x) tel que | g − P | < ε ′ | g − P | < ε ′ |g-P| < epsi^(')|g-P|<\varepsilon^{\prime}|g−P|<ε′ dans ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b). Nous avons
| P | < M + I , | g + P | < 2 M + I dans ( a , b ) , | P | < M + I , | g + P | < 2 M + I  dans  ( a , b ) , |P| < M+I,|g+P| < 2M+I" dans "(a,b),|P|<M+I,|g+P|<2 M+I \text { dans }(a, b),|P|<M+I,|g+P|<2M+I dans (a,b),
donc | f − P 2 | = | g 2 − P 2 | = | g − P | | g + P | < ε ′ ( 2 M + 1 ) < ε f − P 2 = g 2 − P 2 = | g − P | | g + P | < ε ′ ( 2 M + 1 ) < ε quad|f-P^(2)|=|g^(2)-P^(2)|=|g-P||g+P| < epsi^(')(2M+1) < epsi\quad\left|f-P^{2}\right|=\left|g^{2}-P^{2}\right|=|g-P||g+P|<\varepsilon^{\prime}(2 M+1)<\varepsilon|f−P2|=|g2−P2|=|g−P||g+P|<ε′(2M+1)<ε, dans ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b), ce qui démontre la propriété.
Nous potvons maintenant démontrer la propriété pour n n nnn quelconque. Supposons donc que f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) soit non-concave d'ordre n n nnn dans ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b) et soit ε ε epsi\varepsilonε un nombre positif quelconque. On peut déterminer un m m mmm tel que l'on ait
(2) | f − P m | < ε 2 , dans ( a , b ) (2) f − P m < ε 2 ,  dans  ( a , b ) {:(2)|f-P_(m)| < (epsi)/(2)","" dans "(a","b):}\begin{equation*} \left|f-P_{m}\right|<\frac{\varepsilon}{2}, \text { dans }(a, b) \tag{2} \end{equation*}(2)|f−Pm|<ε2, dans (a,b)
P m P m P_(m)P_{m}Pm étant le polynome ( I ), généralement de degré > n > n > n>n>n. Dans ce cas P m ( n + 1 ) ≧ 0 P m ( n + 1 ) ≧ 0 P_(m)^((n+1)) >= 0P_{m}^{(n+1)} \geqq 0Pm(n+1)≧0 dans ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b), il existe donc un polynome partout non-négatif P ( x ) P ( x ) P(x)P(x)P(x) tel que l'ori ait
| P m ( n + 1 ) − P | < ε ( n + 1 ) ! 2 ( b − a ) n + 1 , dans ( a , b ) P m ( n + 1 ) − P < ε ( n + 1 ) ! 2 ( b − a ) n + 1 ,  dans  ( a , b ) |P_(m)^((n+1))-P| < (epsi(n+1)!)/(2(b-a)^(n+1)),quad" dans "(a,b)\left|P_{m}^{(n+1)}-P\right|<\frac{\varepsilon(n+1)!}{2(b-a)^{n+1}}, \quad \text { dans }(a, b)|Pm(n+1)−P|<ε(n+1)!2(b−a)n+1, dans (a,b)
Le polynome
Q ( x ) = ∫ a x ( x − t ) n n ! P ( t ) d t + ∑ i = 0 n ( x − a ) i i ! P n ( i ) ( a ) Q ( x ) = ∫ a x   ( x − t ) n n ! P ( t ) d t + ∑ i = 0 n   ( x − a ) i i ! P n ( i ) ( a ) Q(x)=int_(a)^(x)((x-t)^(n))/(n!)P(t)dt+sum_(i=0)^(n)((x-a)^(i))/(i!)P_(n)^((i))(a)Q(x)=\int_{a}^{x} \frac{(x-t)^{n}}{n!} P(t) d t+\sum_{i=0}^{n} \frac{(x-a)^{i}}{i!} P_{n}^{(i)}(a)Q(x)=∫ax(x−t)nn!P(t)dt+∑i=0n(x−a)ii!Pn(i)(a)
est convexe d'ordre n ( − ∞ , + ∞ ) n ( − ∞ , + ∞ ) n(-oo,+oo)n(-\infty,+\infty)n(−∞,+∞) et nous avons
P m ( x ) − Q ( x ) = ∫ a x ( x − t ) n n ! [ P m ( n + 1 ) ( t ) − P ( t ) ] d t P m ( x ) − Q ( x ) = ∫ a x   ( x − t ) n n ! P m ( n + 1 ) ( t ) − P ( t ) d t P_(m)(x)-Q(x)=int_(a)^(x)((x-t)^(n))/(n!)[P_(m)^((n+1))(t)-P(t)]dtP_{m}(x)-Q(x)=\int_{a}^{x} \frac{(x-t)^{n}}{n!}\left[P_{m}^{(n+1)}(t)-P(t)\right] d tPm(x)−Q(x)=∫ax(x−t)nn![Pm(n+1)(t)−P(t)]dt
d'où
(3) | P m − Q | < ε ( n + 1 ) ! 2 ( b − a ) n + 1 ⋅ ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ ε 2 P m − Q < ε ( n + 1 ) ! 2 ( b − a ) n + 1 ⋅ ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ ε 2 quad|P_(m)-Q| < (epsi(n+1)!)/(2(b-a)^(n+1))*((x-a)^(n+1))/((n+1)!) <= (epsi)/(2)\quad\left|P_{m}-Q\right|<\frac{\varepsilon(n+1)!}{2(b-a)^{n+1}} \cdot \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \leq \frac{\varepsilon}{2}|Pm−Q|<ε(n+1)!2(b−a)n+1⋅(x−a)n+1(n+1)!≤ε2, dans ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b).
De (2) et (3) on déduit que
| f − Q | ≤ | f − P m | + | P m − Q | < ε 2 + ε 2 = ε , dans ( a , b ) | f − Q | ≤ f − P m + P m − Q < ε 2 + ε 2 = ε ,  dans  ( a , b ) |f-Q| <= |f-P_(m)|+|P_(m)-Q| < (epsi)/(2)+(epsi)/(2)=epsi," dans "(a,b)|f-Q| \leq\left|f-P_{m}\right|+\left|P_{m}-Q\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon, \text { dans }(a, b)|f−Q|≤|f−Pm|+|Pm−Q|<ε2+ε2=ε, dans (a,b)
ce qui démontre la propriété.
3. Nous allons donner une autre démonstration pour n = 1 n = 1 n=1n=1n=1, en nous servant directement des polynomes de M. S. Bernstein. Divisons l'intervalle ( a , b ) ( a , b ) (a,b)(a, b)(a,b) en r r rrr parties égales par les points
x i = a + i b − a r , i = 0 , 1 , … , r x i = a + i b − a r , i = 0 , 1 , … , r x_(i)=a+i(b-a)/(r),quad i=0,1,dots,rx_{i}=a+i \frac{b-a}{r}, \quad i=0,1, \ldots, rxi=a+ib−ar,i=0,1,…,r
et soit L γ ( x ) L γ ( x ) L_(gamma)(x)L_{\gamma}(x)Lγ(x) la fonction représentée par la ligne polygonale de sommets ( x i , f ( x i ) ) x i , f x i (x_(i),f(x_(i)))\left(x_{i}, f\left(x_{i}\right)\right)(xi,f(xi)). On sait que L γ ( x ) → f ( x ) L γ ( x ) → f ( x ) L_(gamma)(x)rarr f(x)L_{\gamma}(x) \rightarrow f(x)Lγ(x)→f(x) pour r → ∞ r → ∞ r rarr oor \rightarrow \inftyr→∞, uniformément dans ( a , b a , b a,ba, ba,b ). Si nous considérons les fonctions continues
φ i ( x ) = { 0 , dans ( a , x i ) x − x i , dans ( x i , b ) i = 1 , 2 , … , r − 1 φ i ( x ) = 0 ,  dans  a , x i x − x i ,  dans  x i , b i = 1 , 2 , … , r − 1 {:[varphi_(i)(x)={[0","," dans "(a,x_(i))],[x-x_(i)","," dans "(x_(i),b)]:}],[i=1","2","dots","r-1]:}\begin{aligned} \varphi_{i}(x) & = \begin{cases}0, & \text { dans }\left(a, x_{i}\right) \\ x-x_{i}, & \text { dans }\left(x_{i}, b\right)\end{cases} \\ i & =1,2, \ldots, r-1 \end{aligned}φi(x)={0, dans (a,xi)x−xi, dans (xi,b)i=1,2,…,r−1
nous pouvons écrire 2 2 ^(2){ }^{2}2 )
L r ( x ) = f ( a ) + [ a , x 1 ; f ] ( x − a ) + ∑ i = 0 γ ( x i + 2 − x i ) [ x i , x i + 1 , x i + 2 ; f ] φ i + 1 ( x ) L r ( x ) = f ( a ) + a , x 1 ; f ( x − a ) + ∑ i = 0 γ   x i + 2 − x i x i , x i + 1 , x i + 2 ; f φ i + 1 ( x ) L_(r)(x)=f(a)+[a,x_(1);f](x-a)+sum_(i=0)^(gamma)(x_(i+2)-x_(i))[x_(i),x_(i+1),x_(i+2);f]varphi_(i+1)(x)L_{r}(x)=f(a)+\left[a, x_{1} ; f\right](x-a)+\sum_{i=0}^{\gamma}\left(x_{i+2}-x_{i}\right)\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; f\right] \varphi_{i+1}(x)Lr(x)=f(a)+[a,x1;f](x−a)+∑i=0γ(xi+2−xi)[xi,xi+1,xi+2;f]φi+1(x).
On voit maintenant qu'il suffit de démontrer la propriété pour les fonctions φ i ( x ) φ i ( x ) varphi_(i)(x)\varphi_{i}(x)φi(x). Prolongeons cette fonction dans l'intervalle
( x i − b + a , x i + b − a ) x i − b + a , x i + b − a (x_(i)-b+a,x_(i)+b-a)\left(x_{i}-b+a, x_{i}+b-a\right)(xi−b+a,xi+b−a)
par
φ i ( x ) = { 0 , dans ( x i − b + a , x i ) x → x i , dans ( x i , x i + b − a ) φ i ( x ) = 0 ,       dans  x i − b + a , x i x → x i ,       dans  x i , x i + b − a varphi_(i)(x)={[0","," dans "(x_(i)-b+a,x_(i))],[x rarrx_(i)","," dans "(x_(i),x_(i)+b-a)]:}\varphi_{i}(x)= \begin{cases}0, & \text { dans }\left(x_{i}-b+a, x_{i}\right) \\ x \rightarrow x_{i}, & \text { dans }\left(x_{i}, x_{i}+b-a\right)\end{cases}φi(x)={0, dans (xi−b+a,xi)x→xi, dans (xi,xi+b−a)
et soit P m , i ( x ) P m , i ( x ) P_(m,i)(x)P_{m, i}(x)Pm,i(x) le polynome de M. S. Bernstein de degré m m mmm de cette fonction dans l'intervalle ( x i − b + a , x i + b − a ) x i − b + a , x i + b − a (x_(i)-b+a,x_(i)+b-a)\left(x_{i}-b+a, x_{i}+b-a\right)(xi−b+a,xi+b−a). On vérifie, par un calcul direct, que P m , i ′ ′ ( x ) ≥ 0 P m , i ′ ′ ( x ) ≥ 0 P_(m,i)^('')(x) >= 0P_{m, i}^{\prime \prime}(x) \geq 0Pm,i′′(x)≥0 partorat, donc P m , i P m , i P_(m,i)P_{m, i}Pm,i est convexe (d'ordre I I III ) dans ( − ∞ , − ∞ ) ( − ∞ , − ∞ ) (-oo,-oo)(-\infty,-\infty)(−∞,−∞) si m m mmm est pair. On voit maintenant que si ε ε epsi\varepsilonε est un nombre positif quelconque, si nous déterminons les entiers positifs γ γ gamma\gammaγ et s s sss de manière que
| f − L y | < ε 2 , dans ( a , b ) | φ i − P 2 s , i | < ε 2 ( r − 1 ) ( x i + 2 + x i ) [ x i , x i + 1 , x i + 2 ; f ] f − L y < ε 2 , dans ( a , b ) φ i − P 2 s , i < ε 2 ( r − 1 ) x i + 2 + x i x i , x i + 1 , x i + 2 ; f {:[|f-L_(y)| < (epsi)/(2)","dans(a","b)],[|varphi_(i)-P_(2s,i)| < (epsi)/(2(r-1)(x_(i+2)+x_(i))[x_(i),x_(i+1),x_(i+2);f])]:}\begin{gathered} \left|f-L_{y}\right|<\frac{\varepsilon}{2}, \operatorname{dans}(a, b) \\ \left|\varphi_{i}-P_{2 s, i}\right|<\frac{\varepsilon}{2(r-1)\left(x_{i+2}+x_{i}\right)\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; f\right]} \end{gathered}|f−Ly|<ε2,dans(a,b)|φi−P2s,i|<ε2(r−1)(xi+2+xi)[xi,xi+1,xi+2;f]
dan
( x i − b + a , x i + b − a ) , i = 1 , 2 … , r − 1 3 ) , x i − b + a , x i + b − a , i = 1 , 2 … , r − 1 3 , {:(x_(i)-b+a,x_(i)+b-a)quad,quad i=1,2dots,r-1^(3)),\left.\left(x_{i}-b+a, x_{i}+b-a\right) \quad, \quad i=1,2 \ldots, r-1{ }^{3}\right),(xi−b+a,xi+b−a),i=1,2…,r−13),
et si nous posons
Q ( x ) = f ( a ) + [ a , x 1 ; f ] ( x − a ) + ∑ i = 0 r − 2 ( x i + 2 − x i ) [ x i , x i + 1 , x i + 2 ; f ] P 2 s , i + 1 ( x ) Q ( x ) = f ( a ) + a , x 1 ; f ( x − a ) + ∑ i = 0 r − 2   x i + 2 − x i x i , x i + 1 , x i + 2 ; f P 2 s , i + 1 ( x ) Q(x)=f(a)+[a,x_(1);f](x-a)+sum_(i=0)^(r-2)(x_(i+2)-x_(i))[x_(i),x_(i+1),x_(i+2);f]P_(2s,i+1)(x)Q(x)=f(a)+\left[a, x_{1} ; f\right](x-a)+\sum_{i=0}^{r-2}\left(x_{i+2}-x_{i}\right)\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; f\right] P_{2 s, i+1}(x)Q(x)=f(a)+[a,x1;f](x−a)+∑i=0r−2(xi+2−xi)[xi,xi+1,xi+2;f]P2s,i+1(x).
le polynome Q ( x ) Q ( x ) Q(x)Q(x)Q(x) est partout convexe (d'ordre I) et nous avons
| f − Q | < ε , dans ( a , b ) | f − Q | < ε ,  dans  ( a , b ) |f-Q| < epsi," dans "(a,b)|f-Q|<\varepsilon, \text { dans }(a, b)|f−Q|<ε, dans (a,b)
    • Remarquons que pour m m mmm pair les polynomes P m , i P m , i P_(m,i)P_{m, i}Pm,i sont croissants dans l'intervalle ( x i − b + a , + ∞ ) x i − b + a , + ∞ (x_(i)-b+a,+oo)\left(x_{i}-b+a,+\infty\right)(xi−b+a,+∞). Nous avons donc aussi la propriété suivante:
Toute fonction continue, non-décroissante et non-concave (d'ordre I) dans l'intervalle ( a , b a , b a,ba, ba,b ) est la limite d'une suite uniformément convergente de polynomes qui sont croissants dans ( a , + ∞ a , + ∞ a,+ooa,+\inftya,+∞ ) et convexes (d'ordre 1) dans ( − ∞ , + ∞ ) ( − ∞ , + ∞ ) (-oo,+oo)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞).
Il est clair qu'on peut trouver des polynomes d'approximation tels qu'ils soient croissants dans l'intervalle ( c , + ∞ c , + ∞ c,+ooc,+\inftyc,+∞ ), c c ccc étant un nombre ≤ a ≤ a <= a\leq a≤a mais, il est évident, qu'on ne peut pas prendre c = − ∞ c = − ∞ c=-ooc=-\inftyc=−∞. Une propriété analogue à lieu pour les fonctions continues non-croissantes et nonconcaves. Dans ce cas les polynomes sont décroissants dans
( − ∞ , d ) , où d ≥ b . ( − ∞ , d ) , où  d ≥ b .  (-oo,d)", où "d >= b". "(-\infty, d) \text {, où } d \geq b \text {. }(−∞,d), où d≥b. 
On peut aussi obtenir des suites de polynomes d'approximation indéfinie conservant à la fois plusieurs propriétés de convexité, partout ou dans des intervalles ( c + ∞ ) , ( − ∞ , d ) ( c + ∞ ) , ( − ∞ , d ) (c+oo),(-oo,d)(c+\infty),(-\infty, d)(c+∞),(−∞,d), mais nous n'insistons pas ici davantage sur ces questions.
Cernăuti, 27 Septembre 1938.
  1. 1 1 ^(1){ }^{1}1 ) Voir: Tiberiu Popoviciu, Sur l'approximation des fonctions convexes d'ordre supériew, «Mathematica», t. X (1935), pp. 49-54.
  2. 2 ) 2 ) ^(2)){ }^{2)}2) Pour les notations, voir mes travaux antérieurs.
    3 ) 3 ) ^(3)){ }^{3)}3) Si [ x i , x i + 1 , x i + 2 ; f ] = 0 x i , x i + 1 , x i + 2 ; f = 0 [x_(i),x_(i+1),x_(i+2);f]=0\left[x_{i}, x_{i+1}, x_{i+2} ; f\right]=0[xi,xi+1,xi+2;f]=0, nous pouvons supprimer de nos considérations 1a fonction ϕ i ϕ i phi_(i)\phi_{i}ϕi correspondante.
1938

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