Sur les fonctions convexes d’une variable réelle

ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur les fonctions convexes d'une variable réelle. Note ( ${}^2$${}^2$^(2){ }^{2}${}^2$ ) de M. T. Popovici.
I. Nous considérons des fonctions uniformes, réelles de la variable réelle $x$$x$xx$x$, définies sur un ensemble linéaire et borné E. Posons

Par définition, la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est convexe, non concave, polynomiale,
${}^{(1)}$${}^{(1)}$^((1)){ }^{(1)}${}^{(1)}$ Nous le montrerons avec plus de détails dans un Mémoire ultérieur.
$\left({}^2\right)$$\left({}^2\right)$(^(2))\left({ }^{2}\right)$\left({}^2\right)$ Séance du ir juin 1930.
C. R., 19.30, 1* Semestre. (T. 190, N•25.)

est $>,\ge ,<,\le 0$$>,\ge ,<,\le 0$> , >= , < , <= 0>, \geq,<, \leq 0$>,\ge ,<,\le 0$, pour tout ensemble de $n+2$$n+2$n+2n+2$n+2$ points $x_1,x_2,\dots ,x_{n+2}$$x_1,x_2,\dots ,x_{n+2}$x_(1),x_(2),dots,x_(n+2)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+2}$x_1,x_2,\dots ,x_{n+2}$ appartenant à E. Toutes ces fonctions forment la classe des fonctions d'ordre $n$$n$nn$n$. Si $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est convexe ou non concave, la fonction - $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est concave ou non convexe de mème ordre.

Une fonction d'ordre $n>0$$n>0$n > 0n>0$n>0$, définie et bornée sur un ensemble fermé, est continue, sauf peut-être aux extrémités.

Une fonction d'ordre donné, définie sur un ensemble fermé, atteint son maximum et son minimum.

Une fonction convexe ou concave d'ordre $n$$n$nn$n$ ne peut prendre plus de $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ fois la mème valeur. Une fonction convexe et bornée d'ordre $n$$n$nn$n$, définie sur un ensemble dense dans un intervalle, atteint son maximum en $\left[\frac{n+3}{2}\right]$$\left[\frac{n+3}{2}\right]$[(n+3)/(2)]\left[\frac{n+3}{2}\right]$\left[\frac{n+3}{2}\right]$ points et son minimum en $\left[\frac{n+2}{2}\right]$$\left[\frac{n+2}{2}\right]$[(n+2)/(2)]\left[\frac{n+2}{2}\right]$\left[\frac{n+2}{2}\right]$ points au plus $;[\alpha ]$$;[\alpha ]$;[alpha];[\alpha]$;[\alpha ]$ désignant le plus grand entier non supérieur à $\alpha$$\alpha$alpha\alpha$\alpha$.
II. Une fonction d'ordre $n>1$$n>1$n > 1n>1$n>1$, définie et bornée dans un intervalle ouvert $(a,b)$$(a,b)$(a,b)(a, b)$(a,b)$, a une dérivée dans tout cet intervalle. Si la fonction est convexe d'ordre $n$$n$nn$n$, cette dérivée est convexe d'ordre $n-1$$n-1$n-1n-1$n-1$, et réciproquement. Dans tous les cas, elle est une fonction d'ordre $n-1$$n-1$n-1n-1$n-1$. Il en résulte que la dérivée $(n-1{)}^{\text{lìme}}$$(n-1{)}^{\text{lìme }}$(n-1)^("lìme ")(n-1)^{\text {lìme }}$(n-1{)}^{\text{lìme }}$ existe.

La dérivée d'une fonction d'ordre donné est bornée dans tout intervalle complètement intérieur à ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ).

Si $f^{(n+1)}(x)$$f^{(n+1)}(x)$f^((n+1))(x)f^{(n+1)}(x)$f^{(n+1)}(x)$ existe, la condition $f^{(n+1)}(x)>0$$f^{(n+1)}(x)>0$f^((n+1))(x) > 0f^{(n+1)}(x)>0$f^{(n+1)}(x)>0$ est suffisante pour que $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ soit convexe d'ordre $n$$n$nn$n$, la condition $j^{(n+1)}(x)\ge 0$$j^{(n+1)}(x)\ge 0$j^((n+1))(x) >= 0j^{(n+1)}(x) \geq 0$j^{(n+1)}(x)\ge 0$ est nécessaire et suffisante pour que $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ soit non concave d'ordre $n$$n$nn$n$.

Si $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est d'ordre $n$$n$nn$n$ dans ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ) et

on a

pour les points $x$$x$xx$x$ situés dans l'intervalle
$\{\frac{a(\cos \frac{\pi }{n}+\cos \frac{\pi }{3n})+b(1-\cos \frac{\pi }{2n})}{1+\cos \frac{\pi }{n}},\frac{b(\cos \frac{\pi }{n}+\cos \frac{\pi }{2n})÷a(1-\cos \frac{\pi }{2n})}{1+\cos \frac{\pi }{n}}\}$$\left\{\frac{a\left(\cos \frac{\pi }{n}+\cos \frac{\pi }{3n}\right)+b\left(1-\cos \frac{\pi }{2n}\right)}{1+\cos \frac{\pi }{n}},\frac{b\left(\cos \frac{\pi }{n}+\cos \frac{\pi }{2n}\right)÷a\left(1-\cos \frac{\pi }{2n}\right)}{1+\cos \frac{\pi }{n}}\right\}${(a(cos((pi )/(n))+cos((pi)/(3n)))+b(1-cos((pi)/(2n))))/(1+cos((pi )/(n))),(b(cos((pi )/(n))+cos((pi)/(2n)))-:a(1-cos((pi)/(2n))))/(1+cos((pi )/(n)))}\left\{\frac{a\left(\cos \frac{\pi}{n}+\cos \frac{\pi}{3 n}\right)+b\left(1-\cos \frac{\pi}{2 n}\right)}{1+\cos \frac{\pi}{n}}, \frac{b\left(\cos \frac{\pi}{n}+\cos \frac{\pi}{2 n}\right) \div a\left(1-\cos \frac{\pi}{2 n}\right)}{1+\cos \frac{\pi}{n}}\right\}$\{\frac{a(\cos \frac{\pi }{n}+\cos \frac{\pi }{3n})+b(1-\cos \frac{\pi }{2n})}{1+\cos \frac{\pi }{n}},\frac{b(\cos \frac{\pi }{n}+\cos \frac{\pi }{2n})÷a(1-\cos \frac{\pi }{2n})}{1+\cos \frac{\pi }{n}}\}$,
$c,c_1$$c,c_1$c,c_(1)c, c_{1}$c,c_1$ étant deux constantes indépendantes de $n$$n$nn$n$.
Pour les autres points de l'intervalle ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ), la dérivée a en général une
croissance dépendant de la fonction, comme le prouve l'exemple des polynomes (').
III. La fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$, d'un caractère de convexité déterminé, se prolonge sur un ensemble ${\mathrm{E}}_1$${\mathrm{E}}_1$E_(1)\mathrm{E}_{1}${\mathrm{E}}_1$ si l'on peut trouver une fonction de même nature définie sur $\mathrm{E}+{\mathrm{E}}_1$$\mathrm{E}+{\mathrm{E}}_1$E+E_(1)\mathrm{E}+\mathrm{E}_{1}$\mathrm{E}+{\mathrm{E}}_1$, qui coïncide avec $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ sur E .

Le prolongement de la fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ d'ordre $n>1$$n>1$n > 1n>1$n>1$, définie et bornée sur un ensemble fini de points, est en général impossible. Au contraire, si l'ordre est o ou i, le prolongement est toujours possible. Une fonction convexe (ou concave) d'ordre o ou i définie sur un ensemble finise prolonge par un polynome de même nature. C'est une conséquence du fait qu'une fonction continue dans ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ) put é un polynome présed tes caractères de convexité de la fonction. Ces par nomes d'approximation sont, par exemple, les polynomes de M S. polytein :

IV. Prenons un nombre quelconque de points dans l'intervalle $(a,b)$$(a,b)$(a,b)(a, b)$(a,b)$

et une fonction $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ définie dans ( $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ).
Si l'ensemble des quantités

est borné, nous pouvons dire que $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ est une fonction it $n^{\text{ieme}}$$n^{\text{ieme }}$n^("ieme ")n^{\text {ieme }}$n^{\text{ieme }}$ variation bornée ( ${}^2$${}^2$^(2){ }^{2}${}^2$ ).

Si $n>0$$n>0$n > 0n>0$n>0$, la fonction est continue. Si $n>1$$n>1$n > 1n>1$n>1$, la fonction a une dérivée. Cette dérivée est à $(n-1{)}^{\text{ieme}}$$(n-1{)}^{\text{ieme }}$(n-1)^("ieme ")(n-1)^{\text {ieme }}$(n-1{)}^{\text{ieme }}$ variation bornée. On en déduit alors que toute fonction à $n^{\text{iémo}}$$n^{\text{iémo }}$n^("iémo ")n^{\text {iémo }}$n^{\text{iémo }}$ variation bornée est la somme d'une fonction non concave et d'une fonction non convexe d'ordre $n$$n$nn$n$.