Sur quelques inegalités entre les fonction convexes (I)

Tiberiu Popoviciu
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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On some inequalities between convex functions (I)

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T. Popoviciu

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1938 e -Popoviciu- Comptes Rendus des séances de l’Acad. des Sci. de Roumanie – Sur quelques inegalités entre les fonction convexes (I)

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur quelques inegalités entre les fonction convexes (I), Comptes Rendus des séances de l’Académie des Sciences de Roumanie, 2 (1938), pp. 449-454 (in French).

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1938 e -Popoviciu- Comptes Rendus des séances de l_Acad. des Sci. de Roumanie - Sur quelques inegali

112. SUR QUELQUES INÉGALITÉS ENTRE LES FONCTIONS CONVEXES

(PREMIÈRE NOTE)
Par tiberiu popoviciu, Mc. A. S. r.
(Séance du 4 mars 1938).
  1. Soit φ = φ ( x ) φ = φ ( x ) varphi=varphi(x)\varphi=\varphi(x)φ=φ(x) une fonction définie, uniforme, continue et convexe (d'ordre I) dans l'intervalle fermé ( 0,1 ). Nous supposons que φ ( 0 ) = 0 , φ ( 1 ) = 1 0 ≦ φ ( x ) ≦ 1 φ ( 0 ) = 0 , φ ( 1 ) = 1 0 ≦ φ ( x ) ≦ 1 varphi(0)=0,varphi(1)=1quad0 <= varphi(x) <= 1\varphi(0)=0, \varphi(1)=1 \quad 0 \leqq \varphi(x) \leqq 1φ(0)=0,φ(1)=10≦φ(x)≦1. Il en résulte que φ ( x ) φ ( x ) varphi(x)\varphi(x)φ(x) est une fonction positive et croissante pour 0 < x ≦ I 0 < x ≦ I 0 < x <= I0<x \leqq \mathrm{I}0<x≦I. La dérivée à droite φ ′ ( x ) φ ′ ( x ) varphi^(')(x)\varphi^{\prime}(x)φ′(x) existe, est croissante pour 0 ≦ x < I 0 ≦ x < I 0 <= x < I0 \leqq x<\mathrm{I}0≦x<I, mais peut ne pas être bornée dans ( 0 , I 0 , I 0,I0, \mathrm{I}0,I ).
Considérons aussi une fonction f = f ( x ) f = f ( x ) f=f(x)f=f(x)f=f(x), définie, uniforme, continue et non-concave d'ordre 0 , 1 , … , n 0 , 1 , … , n 0,1,dots,n0,1, \ldots, n0,1,…,n dans l'intervalle ( 0 , 1 ) 1 ( 0 , 1 ) 1 (0,1)^(1)(0,1)^{1}(0,1)1 ). Nous supposons que f ( 0 ) = a ≧ 0 , f ( I ) = b ≦ I , a < b f ( 0 ) = a ≧ 0 , f ( I ) = b ≦ I , a < b f(0)=a >= 0,f(I)=b <= I,a < bf(0)=a \geqq 0, f(\mathrm{I})=b \leqq \mathrm{I}, a<bf(0)=a≧0,f(I)=b≦I,a<b et nous désignerons par ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n 1'ensemble des fonctions vérifiant toutes ces propriétés. On voit que ( E a b ) n ⊂ ( E a b ) n − 1 E a b n ⊂ E a b n − 1 (E_(a)^(b))_(n)sub(E_(a)^(b))_(n-1)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} \subset\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n-1}(Eab)n⊂(Eab)n−1, donc ( E a b ) n ⊂ ( E a b ) o , n > 0 E a b n ⊂ E a b o , n > 0 (E_(a)^(b))_(n)sub(E_(a)^(b))_(o),n > 0\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n} \subset\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{o}, n>0(Eab)n⊂(Eab)o,n>0. Dans ce travail nous
supposerons n > 0 n > 0 n > 0n>0n>0. Nous indiquerons les résultats aussi pour n = 0 n = 0 n=0n=0n=0, qui sont d'ailleurs à peu près tous connus.
Le problème que nous examinerons dans ce travail est le suivant : Etant donnée la fonction φ φ varphi\varphiφ, déterminer le maximum de A φ ( f ) A φ ( f ) A_(varphi)(f)\mathrm{A}_{\varphi}(f)Aφ(f) lorsque A ( f ) A ( f ) A(f)\mathrm{A}(f)A(f) est donné et f f fff parcourt l'ensemble ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n.
Nous avons posé
A = A ( f ) = ∫ 0 1 f d x , A φ = A φ ( f ) = ∫ 0 1 φ ( f ) d x A = A ( f ) = ∫ 0 1   f d x , A φ = A φ ( f ) = ∫ 0 1   φ ( f ) d x A=A(f)=int_(0)^(1)fdx,quadA_(varphi)=A_(varphi)(f)=int_(0)^(1)varphi(f)dx\mathrm{A}=\mathrm{A}(f)=\int_{0}^{1} f d x, \quad \mathrm{~A}_{\varphi}=\mathrm{A}_{\varphi}(f)=\int_{0}^{1} \varphi(f) d xA=A(f)=∫01fdx, Aφ=Aφ(f)=∫01φ(f)dx
Nous ferons ensuite quelques applications, en généralisant certains résultats connus.
2. Appelons fonction élémentaire de degré n n nnn toute fonction dont la ( n − 1 ) ème ( n − 1 ) ème  (n-1)^("ème ")(n-1)^{\text {ème }}(n−1)ème  dérivée est une ligne polygonale. Une telle fonction est done de la forme
(I) g ( x ) = P ( x ) + ∑ i = 1 m c i [ x − x i + | x − x i | 2 ( I − x i ) ] n (I) g ( x ) = P ( x ) + ∑ i = 1 m   c i x − x i + x − x i 2 I − x i n {:(I)g(x)=P(x)+sum_(i=1)^(m)c_(i)[(x-x_(i)+|x-x_(i)|)/(2(I-x_(i)))]^(n):}\begin{equation*} g(x)=\mathrm{P}(x)+\sum_{i=1}^{m} c_{i}\left[\frac{x-x_{i}+\left|x-x_{i}\right|}{2\left(\mathrm{I}-x_{i}\right)}\right]^{n} \tag{I} \end{equation*}(I)g(x)=P(x)+∑i=1mci[x−xi+|x−xi|2(I−xi)]n
P ( x ) = a o + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n − 1 , 0 ⩽ x 1 < x 2 < … < x m < I P ( x ) = a o + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n − 1 , 0 ⩽ x 1 < x 2 < … < x m < I P(x)=a_(o)+a_(1)x+a_(2)x^(2)+dots+a_(n)quadx^(n-1),0 <= x_(1) < x_(2) < dots < x_(m) < I\mathrm{P}(x)=a_{o}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} \quad x^{n-1}, 0 \leqslant x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{m}<\mathrm{I}P(x)=ao+a1x+a2x2+…+anxn−1,0⩽x1<x2<…<xm<I.
Nous supposons que c i ≠ 0 , i = 1 , 2 , … , m c i ≠ 0 , i = 1 , 2 , … , m c_(i)!=0,i=1,2,dots,mc_{i} \neq 0, i=1,2, \ldots, mci≠0,i=1,2,…,m et nous dirons alors que la fonction élémentaire g ( x ) g ( x ) g(x)g(x)g(x) est à m m mmm sommets. Nous dirons que les sommets sont aux points x 1 , x 2 , … , x m x 1 , x 2 , … , x m x_(1),x_(2),dots,x_(m)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}x1,x2,…,xm. Si x 1 = 0 x 1 = 0 x_(1)=0x_{1}=0x1=0 il y a un sommet au point o 2 o 2 o^(2)o^{2}o2 ). Pour que la fonction élémentaire g ( x ) g ( x ) g(x)g(x)g(x) à m m mmm sommets appartienne à ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n il faut et il suffit que l'on ait
a o = a , a r ≧ 0 , r = 1 , 2 , … , n − 1 , c i > 0 , i = 1 , 2 , … , m , P ( 1 ) + ∑ i = 1 m c i = b a o = a , a r ≧ 0 , r = 1 , 2 , … , n − 1 , c i > 0 , i = 1 , 2 , … , m , P ( 1 ) + ∑ i = 1 m   c i = b a_(o)=a,a_(r) >= 0,r=1,2,dots,n-1,c_(i) > 0,i=1,2,dots,m,P(1)+sum_(i=1)^(m)c_(i)=ba_{o}=a, a_{r} \geqq 0, r=1,2, \ldots, n-1, c_{i}>0, i=1,2, \ldots, m, \mathrm{P}(1)+\sum_{i=1}^{m} c_{i}=bao=a,ar≧0,r=1,2,…,n−1,ci>0,i=1,2,…,m,P(1)+∑i=1mci=b.
Dans la suite nous considérons uniquement des fonctions élémentaires appartenant à ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n.
Conformément à la définition précédente, tout polynome de degré n − I n − I n-In-In−I est une fonction élémentaire de degré n n nnn à o sommets. Un polynome de degré effectif n n nnn est une fonction élémentaire de degré n n nnn à . I sommet, le sommet étant au point 0 .
Parmi les fonctions à I sommet on trouve les suivantes
(2) h λ ( x ) = a + ( b − a ) [ x − λ + | x − λ | 2 ( I − λ ) ] n , ( 0 ≦ λ < I ) . (2) h λ ( x ) = a + ( b − a ) x − λ + | x − λ | 2 ( I − λ ) n , ( 0 ≦ λ < I ) . {:(2)h_(lambda)(x)=a+(b-a)[(x-lambda+|x-lambda|)/(2(I-lambda))]^(n)","quad(0 <= lambda < I).:}\begin{equation*} h_{\lambda}(x)=a+(b-a)\left[\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2(I-\lambda)}\right]^{n}, \quad(0 \leqq \lambda<I) . \tag{2} \end{equation*}(2)hλ(x)=a+(b−a)[x−λ+|x−λ|2(I−λ)]n,(0≦λ<I).
Dans le cas n = 1 n = 1 n=1n=1n=1 toutes les fonctions à un sommet sont de cette forme.
La fonction (1) peut s'écrire
g ( x ) = ( b − a ) P ( x ) + a [ P ( I ) − b ] b − a + I b − a ∑ i = 1 m c i h x i ( x ) , g ( x ) = ( b − a ) P ( x ) + a [ P ( I ) − b ] b − a + I b − a ∑ i = 1 m   c i h x i ( x ) , g(x)=((b-a)P(x)+a[P(I)-b])/(b-a)+(I)/(b-a)sum_(i=1)^(m)c_(i)h_(x_(i))(x),g(x)=\frac{(b-a) \mathrm{P}(x)+a[\mathrm{P}(\mathrm{I})-b]}{b-a}+\frac{\mathrm{I}}{b-a} \sum_{i=1}^{m} c_{i} h_{x_{i}}(x),g(x)=(b−a)P(x)+a[P(I)−b]b−a+Ib−a∑i=1mcihxi(x),
qui nous montre qu'elle est la moyenne arithmétique (généralisée) d'un polynome de degré n n nnn-I et de m m mmm fonctions de la forme (2).
Toute fonction de ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n est la limite d'une suite uniformément convergente de fonctions élémentaires de ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n. Cette propriété peut d'ailleurs se préciser de la manière suivante. Si f f fff appartient à ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n, les dérivées f ′ , f ′ ′ , … , f ( n − 1 ) f ′ , f ′ ′ , … , f ( n − 1 ) f^('),f^(''),dots,f^((n-1))f^{\prime}, f^{\prime \prime}, \ldots, f^{(n-1)}f′,f′′,…,f(n−1) existent pour o ≦ x < I o ≦ x < I o <= x < I\mathrm{o} \leqq x<\mathrm{I}o≦x<I. La fonction f f fff est alors la limite d'une suite uniformément convergente de fonctions élémentaires de ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n, ces fonctions ayant toutes le même premier terme P ( x ) = a + x f ′ ( 0 ) + x 2 2 ! f ′ ′ ( 0 ) + … + x n − 1 ( n − 1 ) ! f ( n − 1 ) ( 0 ) P ( x ) = a + x f ′ ( 0 ) + x 2 2 ! f ′ ′ ( 0 ) + … + x n − 1 ( n − 1 ) ! f ( n − 1 ) ( 0 ) P(x)=a+xf^(')(0)+(x^(2))/(2!)f^('')(0)+dots+(x^(n-1))/((n-1)!)f^((n-1))(0)P(x)=a+x f^{\prime}(0)+\frac{x^{2}}{2!} f^{\prime \prime}(0)+\ldots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n-1)}(0)P(x)=a+xf′(0)+x22!f′′(0)+…+xn−1(n−1)!f(n−1)(0). De plus on peut supposer que la valeur de l'intégrale A A AAA est la même pour toutes ces fonctions.
Ces considérations s'appliquent, en particulier, à la fonction φ φ varphi\varphiφ, qui appartient à ( E 0 1 ) 1 E 0 1 1 (E_(0)^(1))_(1)\left(\mathrm{E}_{0}^{1}\right)_{1}(E01)1, et servent à établir en toute rigueur les affirmations suivantes.
3. Soit φ φ varphi\varphiφ donnée et g ( x ) g ( x ) g(x)g(x)g(x) une fonction élémentaire de ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n ayant m > 1 m > 1 m > 1m>1m>1 sommets et donnée par la formule (I). Construisons la fonction.
g ∗ ( x ) = P ( x ) + ∑ i = 1 m − 2 c i [ x − x i + | x − x i | 2 ( I − x i ) ] n + c [ x − μ + | x − μ | 2 ( I − μ ) ] n g ∗ ( x ) = P ( x ) + ∑ i = 1 m − 2   c i x − x i + x − x i 2 I − x i n + c x − μ + | x − μ | 2 ( I − μ ) n g^(**)(x)=P(x)+sum_(i=1)^(m-2)c_(i)[(x-x_(i)+|x-x_(i)|)/(2(I-x_(i)))]^(n)+c[(x-mu+|x-mu|)/(2(I-mu))]^(n)g^{*}(x)=\mathrm{P}(x)+\sum_{i=1}^{m-2} c_{i}\left[\frac{x-x_{i}+\left|x-x_{i}\right|}{2\left(\mathrm{I}-x_{i}\right)}\right]^{n}+c\left[\frac{x-\mu+|x-\mu|}{2(\mathrm{I}-\mu)}\right]^{n}g∗(x)=P(x)+∑i=1m−2ci[x−xi+|x−xi|2(I−xi)]n+c[x−μ+|x−μ|2(I−μ)]n
et déterminons les constantes c , μ c , μ c,muc, \muc,μ de manière que 1'on ait g ∗ ( I ) = b g ∗ ( I ) = b g^(**)(I)=bg^{*}(\mathrm{I})=bg∗(I)=b, A ( g ∗ ) = A ( g ) A g ∗ = A ( g ) A(g^(**))=A(g)\mathrm{A}\left(g^{*}\right)=\mathrm{A}(g)A(g∗)=A(g). On trouve que c = c m − 1 + c m c = c m − 1 + c m c=c_(m-1)+c_(m)c=c_{m-1}+c_{m}c=cm−1+cm et μ = c m − 1 x m − 1 + c m x m c m − 1 + c m μ = c m − 1 x m − 1 + c m x m c m − 1 + c m mu=(c_(m-1)x_(m-1)+c_(m)x_(m))/(c_(m-1)+c_(m))\mu=\frac{c_{m-1} x_{m-1}+c_{m} x_{m}}{c_{m-1}+c_{m}}μ=cm−1xm−1+cmxmcm−1+cm, donc x m − 1 < μ < x m , c > 0 x m − 1 < μ < x m , c > 0 x_(m-1) < mu < x_(m),c > 0x_{m-1}<\mu<x_{m}, c>0xm−1<μ<xm,c>0 et g ∗ g ∗ g^(**)g^{*}g∗ est bien une fonction élémentaire de degré n n nnn à m − 1 m − 1 m-1m-1m−1 sommets appartenant à ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n.
Il existe un nombre μ ′ , μ < μ ′ < I μ ′ , μ < μ ′ < I mu^('),mu < mu^(') < I\mu^{\prime}, \mu<\mu^{\prime}<Iμ′,μ<μ′<I tel que l'on ait
(3) g ∗ ( x ) ≦ g ( x ) g ∗ ( x ) ≦ g ( x ) quadg^(**)(x) <= g(x)\quad g^{*}(x) \leqq g(x)g∗(x)≦g(x) suivant que x ≦ μ ′ x ≦ μ ′ x <= mu^(')x \leqq \mu^{\prime}x≦μ′, pour x m − 1 < x < I 4 x m − 1 < x < I 4 x_(m-1) < x < I^(4)x_{m-1}<x<I^{4}xm−1<x<I4 )
Considérons la fonction
φ λ ( x ) = x − λ + | x − λ | 2 , 0 ≦ λ < 1 φ λ ( x ) = x − λ + | x − λ | 2 , 0 ≦ λ < 1 varphi_(lambda)(x)=(x-lambda+|x-lambda|)/(2),quad0 <= lambda < 1\varphi_{\lambda}(x)=\frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2}, \quad 0 \leqq \lambda<1φλ(x)=x−λ+|x−λ|2,0≦λ<1
Si g ( x m − 1 ) < λ < b g x m − 1 < λ < b g(x_(m-1)) < lambda < bg\left(x_{m-1}\right)<\lambda<bg(xm−1)<λ<b, on a
A φ λ ( g ∗ ) − A φ λ ( g ) = ∫ i ∗ 1 g ∗ d x − ∫ t 1 g d x + λ ( t ∗ − t ) A φ λ g ∗ − A φ λ ( g ) = ∫ i ∗ 1   g ∗ d x − ∫ t 1   g d x + λ t ∗ − t Avarphi_(lambda)(g^(**))-Avarphi_(lambda)(g)=int_(i^(**))^(1)g^(**)dx-int_(t)^(1)gdx+lambda(t^(**)-t)\mathrm{A} \varphi_{\lambda}\left(g^{*}\right)-\mathrm{A} \varphi_{\lambda}(g)=\int_{i^{*}}^{1} g^{*} d x-\int_{t}^{1} g d x+\lambda\left(t^{*}-t\right)Aφλ(g∗)−Aφλ(g)=∫i∗1g∗dx−∫t1gdx+λ(t∗−t)
où λ = g ( t ) = g ∗ ( t ∗ ) λ = g ( t ) = g ∗ t ∗ lambda=g(t)=g^(**)(t^(**))\lambda=g(t)=g^{*}\left(t^{*}\right)λ=g(t)=g∗(t∗) et la propriété (3) nous montre que cette fonction de λ λ lambda\lambdaλ s'annule pour λ = g ( x m − 1 ) λ = g x m − 1 lambda=g(x_(m-1))\lambda=g\left(x_{m-1}\right)λ=g(xm−1) et λ = b λ = b lambda=b\lambda=bλ=b, est croissante pour g ( x m − 1 ) < λ < g ( μ ′ ) g x m − 1 < λ < g μ ′ g(x_(m-1)) < lambda < g(mu^('))g\left(x_{m-1}\right)<\lambda<g\left(\mu^{\prime}\right)g(xm−1)<λ<g(μ′) et décroissante pour g ( μ ′ ) < λ < b g μ ′ < λ < b g(mu^(')) < lambda < bg\left(\mu^{\prime}\right)<\lambda<bg(μ′)<λ<b. Il en résulte donc que
(4) A φ λ ( g ∗ ) > A φ λ ( g ) , g ( x m − 1 ) < λ < b (4) A φ λ g ∗ > A φ λ ( g ) , g x m − 1 < λ < b {:(4)Avarphi_(lambda)(g^(**)) > Avarphi_(lambda)(g)","quad g(x_(m-1)) < lambda < b:}\begin{equation*} \mathrm{A} \varphi_{\lambda}\left(g^{*}\right)>\mathrm{A} \varphi_{\lambda}(g), \quad g\left(x_{m-1}\right)<\lambda<b \tag{4} \end{equation*}(4)Aφλ(g∗)>Aφλ(g),g(xm−1)<λ<b
  1. Nous nous proposons de démontrer maintenant que A φ ( g ∗ ) >> A φ ( g ) A φ g ∗ >> A φ ( g ) A_(varphi)(g^(**))>>A_(varphi)(g)\mathrm{A}_{\varphi}\left(g^{*}\right)> >\mathrm{A}_{\varphi}(g)Aφ(g∗)>>Aφ(g). L'inégalité avec le signe ≧ ≧ >=\geqq≧ résulte bien de (4), mais il s'agit de prouver que l'égalité n'est pas possible.
Considérons la fonction, non-décroissante et non-concave,
Φ ε ( x ) = { φ ( x ) , dans ( 0 , I − ε ) φ ( I − ε ) + ( x − I + ε ) φ ( I − ε ) , dans ( I − ε , I ) , Φ ε ( x ) = φ ( x ) ,       dans  ( 0 , I − ε ) φ ( I − ε ) + ( x − I + ε ) φ ( I − ε ) ,       dans  ( I − ε , I ) , Phi_(epsi)(x)={[varphi(x)","," dans "(0","I-epsi)],[varphi(I-epsi)+(x-I+epsi)varphi(I-epsi)","," dans "(I-epsi","I)","]:}\Phi_{\varepsilon}(x)=\left\{\begin{array}{lr} \varphi(x), & \text { dans }(0, \mathrm{I}-\varepsilon) \\ \varphi(\mathrm{I}-\varepsilon)+(x-\mathrm{I}+\varepsilon) \varphi(\mathrm{I}-\varepsilon), & \text { dans }(\mathrm{I}-\varepsilon, \mathrm{I}), \end{array}\right.Φε(x)={φ(x), dans (0,I−ε)φ(I−ε)+(x−I+ε)φ(I−ε), dans (I−ε,I),
où ε ε epsi\varepsilonε est un nombre positif assez petit et φ ′ φ ′ varphi^(')\varphi^{\prime}φ′ est la dérivée à droite de φ φ varphi\varphiφ. Nous avons
(5) Φ z ( x ) = ∫ 0 1 φ t ( x ) d Φ ε ′ ( t ) + α x (5) Φ z ( x ) = ∫ 0 1   φ t ( x ) d Φ ε ′ ( t ) + α x {:(5)Phi_(z)(x)=int_(0)^(1)varphi_(t)(x)dPhi_(epsi)^(')(t)+alpha x:}\begin{equation*} \Phi_{z}(x)=\int_{0}^{1} \varphi_{t}(x) d \Phi_{\varepsilon}^{\prime}(t)+\alpha x \tag{5} \end{equation*}(5)Φz(x)=∫01φt(x)dΦε′(t)+αx
l'intégrale étant de Stieltjes et α α alpha\alphaα une constante sans importance pour nous 5 5 ^(5){ }^{5}5 ).
On peut facilement démontrer que
A Φ Σ ( g ∗ ) − A Φ ε ( g ) = ∫ 0 1 { A φ l ( g ∗ ) − A ψ t ( g ) } d Φ ε ′ ( t ) A Φ Σ g ∗ − A Φ ε ( g ) = ∫ 0 1   A φ l g ∗ − A ψ t ( g ) d Φ ε ′ ( t ) A_(Phi Sigma)(g^(**))-A_(Phi epsi)(g)=int_(0)^(1){(A)varphi_(l)(g^(**))-Apsi_(t)(g)}dPhi_(epsi)^(')(t)\mathrm{A}_{\Phi \Sigma}\left(g^{*}\right)-\mathrm{A}_{\Phi \varepsilon}(g)=\int_{0}^{1}\left\{\mathrm{~A} \varphi_{l}\left(g^{*}\right)-\mathrm{A} \psi_{t}(g)\right\} d \Phi_{\varepsilon}^{\prime}(t)AΦΣ(g∗)−AΦε(g)=∫01{ Aφl(g∗)−Aψt(g)}dΦε′(t)
  1. Cette formule est analogue à celle donnée pour les fonctions non-convexes par MM. W. Blascke et G. Pick, voir: „Distanzschätzungen im Funktionenraum II". Math. Ann. Bd. 77 (1916) p. 277-300. L'introduction de la fonction Φ ε Φ ε Phi_(epsi)\boldsymbol{\Phi}_{\varepsilon}Φε n'est nécessaire que si b = 1 b = 1 b=1b=1b=1. Il peut arriver en effet, que la dérivée à droite de φ ( x ) φ ( x ) varphi(x)\varphi(x)φ(x) ne soit pas à variation bornée.
    qui résulte du fait que l'intégrale de S t i e 1 t j e s S t i e 1 t j e s Stie1tjesS t i e 1 t j e sStie1tjes du second membre existe.
De cette formule et de la définition de Φ ε Φ ε Phi_(epsi)\Phi_{\varepsilon}Φε il résulte que A Φ ( g ∗ ) A Φ g ∗ A_(Phi)(g^(**))\mathrm{A}_{\Phi}\left(g^{*}\right)AΦ(g∗) -- A Φ ε ( g ) A Φ ε ( g ) APhi_(epsi)(g)\mathrm{A} \Phi_{\varepsilon}(g)AΦε(g) est positif et ne décroît pas lorsque ε ε epsi\varepsilonε décroît. On a done
lim 3 → 0 [ A Φ ε ( g ∗ ) − A Φ ε ( g ) ] = A φ ( g ∗ ) − A φ ( g ) > 0 lim 3 → 0   A Φ ε g ∗ − A Φ ε ( g ) = A φ g ∗ − A φ ( g ) > 0 lim_(3rarr0)[A_(Phi epsi)(g^(**))-A_(Phi epsi)(g)]=A_(varphi)(g^(**))-A_(varphi)(g) > 0\lim _{3 \rightarrow 0}\left[\mathrm{~A}_{\Phi \varepsilon}\left(g^{*}\right)-\mathrm{A}_{\Phi \varepsilon}(g)\right]=\mathrm{A}_{\varphi}\left(g^{*}\right)-\mathrm{A}_{\varphi}(g)>0lim3→0[ AΦε(g∗)−AΦε(g)]=Aφ(g∗)−Aφ(g)>0
  1. Considérons maintenant une fonction f f fff de ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n. Soit la fonction élémentaire de degré n n nnn à I sommet
    h ( x ) = a + x f ′ ( o ) + x 2 2 ! f ′ ′ ( o ) + … + x n − 1 ( n − I ) ! f ( n − 1 ) ( o ) + d [ x − ρ + | x − ρ | 2 ( I − ρ ) ] n h ( x ) = a + x f ′ ( o ) + x 2 2 ! f ′ ′ ( o ) + … + x n − 1 ( n − I ) ! f ( n − 1 ) ( o ) + d x − ρ + | x − ρ | 2 ( I − ρ ) n h(x)=a+xf^(')(o)+(x^(2))/(2!)f^('')(o)+dots+(x^(n-1))/((n-I)!)f^((n-1))(o)+d[(x-rho+|x-rho|)/(2(I-rho))]^(n)h(x)=a+x f^{\prime}(\mathrm{o})+\frac{x^{2}}{2!} f^{\prime \prime}(\mathrm{o})+\ldots+\frac{x^{n-1}}{(n-\mathrm{I})!} f^{(n-1)}(\mathrm{o})+d\left[\frac{x-\rho+|x-\rho|}{2(\mathrm{I}-\rho)}\right]^{n}h(x)=a+xf′(o)+x22!f′′(o)+…+xn−1(n−I)!f(n−1)(o)+d[x−ρ+|x−ρ|2(I−ρ)]n
    où d , ρ d , ρ d,rhod, \rhod,ρ sont complètement déterminés par les conditions h ( I ) = b h ( I ) = b h(I)=bh(I)=bh(I)=b, A ( h ) = A ( f ) . h ( x ) A ( h ) = A ( f ) . h ( x ) A(h)=A(f).h(x)\mathrm{A}(h)=\mathrm{A}(f) . h(x)A(h)=A(f).h(x) appartient à ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n et on a A φ ( h ) ≧ A φ ( f ) A φ ( h ) ≧ A φ ( f ) A_(varphi)(h) >= A_(varphi)(f)\mathrm{A}_{\varphi}(h) \geqq \mathrm{A}_{\varphi}(f)Aφ(h)≧Aφ(f). Nous nous proposons de démontrer que l'égalité n'est possible que si h = f h = f h=fh=fh=f.
Reprenons 1a formule (5) ; nous avons
A Φ s ( h ) − A Φ s ( f ) = ∫ 0 1 { A φ t ( h ) − A φ t ( f ) } d Φ ε ′ ( t ) A Φ s ( h ) − A Φ s ( f ) = ∫ 0 1   A φ t ( h ) − A φ t ( f ) d Φ ε ′ ( t ) A_(Phi s)(h)-A_(Phi s)(f)=int_(0)^(1){A_(varphi t)(h)-A_(varphi t)(f)}dPhi_(epsi)^(')(t)\mathrm{A}_{\Phi s}(h)-\mathrm{A}_{\Phi s}(f)=\int_{0}^{1}\left\{\mathrm{~A}_{\varphi t}(h)-\mathrm{A}_{\varphi t}(f)\right\} d \Phi_{\varepsilon}^{\prime}(t)AΦs(h)−AΦs(f)=∫01{ Aφt(h)−Aφt(f)}dΦε′(t)
La fonction A φ i ( h ) − A φ t ( f ) A φ i ( h ) − A φ t ( f ) Avarphi_(i)(h)-Avarphi_(t)(f)\mathrm{A} \varphi_{i}(h)-\mathrm{A} \varphi_{t}(f)Aφi(h)−Aφt(f) est continue en t t ttt et est ≧ 0 ≧ 0 >= 0\geqq 0≧0.
On démontre facilement que si f f fff ne se réduit pas à une fonction élémentaire de degré n n nnn à o ou I sommet, cette fonction n'est pas identiquement nulle. On a donc A Φ ε ^ ( h ) − A Φ ε ^ ( f ) > 0 A Φ ε ^ ( h ) − A Φ ε ^ ( f ) > 0 A_(Phi widehat(epsi))(h)-A_(Phi widehat(epsi))(f) > 0\mathrm{A}_{\Phi \widehat{\varepsilon}}(h)-\mathrm{A}_{\Phi \widehat{\varepsilon}}(f)>0AΦε^(h)−AΦε^(f)>0, tout au moins pour ε ε epsi\varepsilonε assez petit. La propriété demandée en résulte comme plus haut.
Finalement donc :
Si la fonction φ φ varphi\varphiφ et le nombre A ( f ) A ( f ) A(f)\mathrm{A}(f)A(f) sont donnés, le maximum de A φ ( f ) A φ ( f ) A_(varphi)(f)\mathrm{A}_{\varphi}(f)Aφ(f) dans ( E a b ) n E a b n (E_(a)^(b))_(n)\left(\mathrm{E}_{a}^{b}\right)_{n}(Eab)n ne peut être atteint que pour une fonction élémentaire de degré n n nnn à au plus I sommet.
Dans le cas n = 1 n = 1 n=1n=1n=1 la fonction h ( x ) h ( x ) h(x)h(x)h(x) est complètement déterminée par la valeur de l'intégrale A . On a donc la propriété suivante:
Si φ φ varphi\varphiφ est donnée et f une fonction continue, non-décroissanle et nonconcave dans ( O , I ) ( O , I ) (O,I)(\mathrm{O}, \mathrm{I})(O,I), on a
(6) ∫ 0 1 φ ( f ) d x ≦ b + a − 2 A b − a φ ( a ) + 2 ( A − a ) ( b − a ) 2 ∫ a b φ ( x ) d x , A = ∫ 0 1 f d x (6) ∫ 0 1   φ ( f ) d x ≦ b + a − 2 A b − a φ ( a ) + 2 ( A − a ) ( b − a ) 2 ∫ a b   φ ( x ) d x , A = ∫ 0 1   f d x {:(6)int_(0)^(1)varphi(f)dx <= (b+a-2(A))/(b-a)varphi(a)+(2((A)-a))/((b-a)^(2))int_(a)^(b)varphi(x)dx","quadA=int_(0)^(1)fdx:}\begin{equation*} \int_{0}^{1} \varphi(f) d x \leqq \frac{b+a-2 \mathrm{~A}}{b-a} \varphi(a)+\frac{2(\mathrm{~A}-a)}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} \varphi(x) d x, \quad \mathrm{~A}=\int_{0}^{1} f d x \tag{6} \end{equation*}(6)∫01φ(f)dx≦b+a−2 Ab−aφ(a)+2( A−a)(b−a)2∫abφ(x)dx, A=∫01fdx
l'égalité n'étant possible que pour la fonction
t = a + ( b − a ) x − λ + | x − λ | 2 ( I − λ ) , λ = b + a − 2 A b − a t = a + ( b − a ) x − λ + | x − λ | 2 ( I − λ ) , λ = b + a − 2 A b − a t=a+(b-a)(x-lambda+|x-lambda|)/(2(I-lambda)),lambda=(b+a-2(A))/(b-a)t=a+(b-a) \frac{x-\lambda+|x-\lambda|}{2(\mathrm{I}-\lambda)}, \lambda=\frac{b+a-2 \mathrm{~A}}{b-a}t=a+(b−a)x−λ+|x−λ|2(I−λ),λ=b+a−2 Ab−a
    1. On dit aussi qu'une telle fonction est ( n + 1 n + 1 n+1n+1n+1 )-fois monotone.
    1. Nous avons déjà considéré de telles fonctions dans un travail antérieur, voir : Tiberiu Popoviciu, „Sur le prolongement des fonctions convexes d'ordre supérieur". Bull. Math. Soc. Roum. Sc., t. 36 (1934), p. 75-108.
    1. Dans le cas m = 2 m = 2 m=2m=2m=2, on a évidemment
    2. La position du point μ ′ μ ′ mu^(')\mu^{\prime}μ′ dans l'intervalle ( μ , r μ , r mu,r\mu, \mathrm{r}μ,r ) dépend des valeurs de c m − 1 , c m c m − 1 , c m c_(m-1),c_(m)c_{m-1}, c_{m}cm−1,cm. En particulier, si n = 1 n = 1 n=1n=1n=1 on a toujours μ < μ ′ < x m μ < μ ′ < x m mu < mu^(') < x_(m)\mu<\mu^{\prime}<x_{m}μ<μ′<xm.
1938

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