Asupra poligoanelor regulate

$M_1(P)$$M_1(P)$M_(1)(P)M_{1}(P)$M_1(P)$ este media aritmeticá iar $M_2(P)$$M_2(P)$M_(2)(P)M_{2}(P)$M_2(P)$ media patratică a distanțelor lui P de vârfurile poligonului. Avem totdeauna inegalitatea

şi egalitatea nu este posibilă decât dacă $\overline{\mathrm{PA}}=\overline{{\mathrm{PA}}_1}=\dots =\overline{{\mathrm{PA}}_{n-1}}$$\overline{\mathrm{PA}}=\overline{{\mathrm{PA}}_1}=\dots =\overline{{\mathrm{PA}}_{n-1}}$bar(PA)= bar(PA_(1))=dots= bar(PA_(n-1))\overline{\mathrm{PA}}=\overline{\mathrm{PA}_{1}}=\ldots=\overline{\mathrm{PA}_{n-1}}$\overline{\mathrm{PA}}=\overline{{\mathrm{PA}}_1}=\dots =\overline{{\mathrm{PA}}_{n-1}}$ Acest lucru are efectiv loc dacă și numai dacă $P$$P$PP$P$ este centrul de greutate al poligonului. Cu alte cuvinte raportul

are maximul egal cu 1 și acest maximum este atins dacă şi numai dacă P este centrul poligonului.

In cele ce urmează ne propunem să determinăm minimul raportului (1). E suficient să presupunem că centrul poligonului este originea și că vârfurile sunt reprezentate prin numerile complexe $e^{i\frac{2k\pi }{n}},k=0,1,\dots n-1$$e^{i\frac{2k\pi }{n}},k=0,1,\dots n-1$e^(i(2k pi)/(n)),k=0,1,dots n-1e^{i \frac{2 k \pi}{n}}, k=0,1, \ldots n-1$e^{i\frac{2k\pi }{n}},k=0,1,\dots n-1$. Punctul variabil $P$$P$PP$P$ va fi reprezentat prin numărul complex $\rho e^{i\theta },\rho$$\rho e^{i\theta },\rho$rhoe^(i theta),rho\rho e^{i \theta}, \rho$\rho e^{i\theta },\rho$ fiind modulul iar $\theta$$\theta$theta\theta$\theta$ argumentul, $\rho \geqq 0,0\leqq \theta \leqq 2\pi$$\rho \geqq 0,0\leqq \theta \leqq 2\pi$rho >= 0,0 <= theta <= 2pi\rho \geqq 0,0 \leqq \theta \leqq 2 \pi$\rho \geqq 0,0\leqq \theta \leqq 2\pi$. Avem átunci

Lemă. Raportul (1) are un minimum pozitiv atins pentru cel puţin un punct P din plan.
$\mathrm{E}(\mathrm{P})$$\mathrm{E}(\mathrm{P})$E(P)\mathrm{E}(\mathrm{P})$\mathrm{E}(\mathrm{P})$ este o functie continuă in tot planul și nu se anulează niciodată. Pe baza observațiilor de mai sus, dacă $P_1$$P_1$P_(1)P_{1}$P_1$ este un punct diferit de origine, avem
deci

(010) $min\mathrm{E}(\mathrm{P})\leqq a<1$$min\mathrm{E}(\mathrm{P})\leqq a<1$quad minE(P) <= a < 1\quad \min \mathrm{E}(\mathrm{P}) \leqq a<1$min\mathrm{E}(\mathrm{P})\leqq a<1$.
$\mathrm{Dar}\overline{{\mathrm{PA}}_k}\geqq |\rho -1|,{\mathrm{M}}_2(\mathrm{P})\leqq \rho +1$$\mathrm{Dar}\overline{{\mathrm{PA}}_k}\geqq |\rho -1|,{\mathrm{M}}_2(\mathrm{P})\leqq \rho +1$Dar bar(PA_(k)) >= |rho-1|,M_(2)(P) <= rho+1\operatorname{Dar} \overline{\mathrm{PA}_{k}} \geqq|\rho-1|, \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P}) \leqq \rho+1$\mathrm{Dar}\overline{{\mathrm{PA}}_k}\geqq |\rho -1|,{\mathrm{M}}_2(\mathrm{P})\leqq \rho +1$, deci

Dacă luăm $\rho >\frac{1+\alpha }{1-\alpha }$$\rho >\frac{1+\alpha }{1-\alpha }$rho > (1+alpha)/(1-alpha)\rho>\frac{1+\alpha}{1-\alpha}$\rho >\frac{1+\alpha }{1-\alpha }$, avem

Rezultă că minimul lui $E(P)$$E(P)$E(P)E(P)$E(P)$ în tot planul este acelaş $cu$$cu$cuc u$cu$ minimul lui $\mathrm{E}(\mathrm{P})$$\mathrm{E}(\mathrm{P})$E(P)\mathrm{E}(\mathrm{P})$\mathrm{E}(\mathrm{P})$ în cercul cu centrul în origine și de rază $\frac{1+\alpha }{1-\alpha }$$\frac{1+\alpha }{1-\alpha }$(1+alpha)/(1-alpha)\frac{1+\alpha}{1-\alpha}$\frac{1+\alpha }{1-\alpha }$. Acest din urmă cerc este un domeniu închis și mărginit deci, după o teoremă a lui Weierstruss, minimul lui $\mathrm{E}(\mathrm{P})$$\mathrm{E}(\mathrm{P})$E(P)\mathrm{E}(\mathrm{P})$\mathrm{E}(\mathrm{P})$ este atins. Acest minimum nu poate fi nul căci $\mathrm{E}(\mathrm{P})$$\mathrm{E}(\mathrm{P})$E(P)\mathrm{E}(\mathrm{P})$\mathrm{E}(\mathrm{P})$ nu se anuleazá, deci

Putem observa de altfel că, din cauza simetriei, minimul esfe atins în cel puțin $n$$n$nn$n$ puncte formând un poligon regulat cu centrul în origine.
3. Să trecem acum la determinarea efectivă a minimului.

Să presupunem că P se mişcă peo o semi-dreaptă ce pleacă din origine, cu alte cuvinte că $\theta$$\theta$theta\theta$\theta$ este fix și $\rho$$\rho$rho\rho$\rho$ variază dela 0 la $+\mathrm{\infty }$$+\mathrm{\infty }$+oo+\infty$+\mathrm{\infty }$. Să punem

Dacă $\rho$$\rho$rho\rho$\rho$ variază dela 0 la $+\mathrm{\infty }$$+\mathrm{\infty }$+oo+\infty$+\mathrm{\infty }$, $t$$t$tt$t$ creşte întâi dela 0 până la maximul său 1 pe care-l atinge pentru $\rho =1$$\rho =1$rho=1\rho=1$\rho =1$, pentru ca apoi să descrească tinzând către 0 . Avem

E (P) este atunci o funcție continuă de $t$$t$tt$t$ în intervalul închis $[0,1]$$[0,1]$[0,1][0,1]$[0,1]$ și este indefinit derivabilă în intervalul semiînchis $[0,1)$$[0,1)$[0,1)[0,1)$[0,1)$. Avem

deci

Se ştie atunci că $\mathrm{E}(\mathrm{P})$$\mathrm{E}(\mathrm{P})$E(P)\mathrm{E}(\mathrm{P})$\mathrm{E}(\mathrm{P})$ este o funcţie concavă de $t$$t$tt$t$ în intervalul închis $[0,1]$$[0,1]$[0,1][0,1]$[0,1]$. Această funcție nu se reduce la o constantă, deci minimul ei nu poate fi atins decât pentru extremitățile intervalului, adică pentru $t=0$$t=0$t=0t=0$t=0$ sau $t=1$$t=1$t=1t=1$t=1$. Pentru $t=0$$t=0$t=0t=0$t=0$ avem $\mathrm{E}(\mathrm{P})=1$$\mathrm{E}(\mathrm{P})=1$E(P)=1\mathrm{E}(\mathrm{P})=1$\mathrm{E}(\mathrm{P})=1$ deci minimul nu este atins decât pentru $t=1$$t=1$t=1t=1$t=1$ si atunci avem $p=1$$p=1$p=1p=1$p=1$.

Minimul expresiei (1) nu poate fi deci atlns decât pe ceroul circumscris poligonului. Fie deci $\rho =1$$\rho =1$rho=1\rho=1$\rho =1$ și să variem per. $\theta$$\theta$theta\theta$\theta$. Ev destul să considerăm, din cauza simetriei, cazul $0\leqq \theta \leqq \frac{2\pi }{n}$$0\leqq \theta \leqq \frac{2\pi }{n}$0 <= theta <= (2pi)/(n)0 \leqq \theta \leqq \frac{2 \pi}{n}$0\leqq \theta \leqq \frac{2\pi }{n}$. Avem atunci
(3)

Avem însă

deci

şi

care este atins numai pentru $\theta =0$$\theta =0$theta=0\theta=0$\theta =0$ și $\theta =\frac{2}{n}$$\theta =\frac{2}{n}$theta=(2)/(n)\theta=\frac{2}{n}$\theta =\frac{2}{n}$.
Putem aşa dar enunta proprietatea următoare
Teorema 1. Dacă ${\mathrm{A}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{I}}\dots {\mathrm{A}}_{n-1}$${\mathrm{A}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{I}}\dots {\mathrm{A}}_{n-1}$A_(i)A_(I)dotsA_(n-1)\mathrm{A}_{\mathrm{i}} \mathrm{A}_{\mathrm{I}} \ldots \mathrm{A}_{n-1}${\mathrm{A}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{I}}\dots {\mathrm{A}}_{n-1}$ este un poligon regulat de n laturi şi P un punct din planul poligonului, avem
${\mathrm{M}}_1(\mathrm{P})\geqq \frac{{\mathrm{V}}^{\prime }2}{n}\mathrm{cotg}\frac{\pi }{2n}{\mathrm{M}}_2(\mathrm{P})$${\mathrm{M}}_1(\mathrm{P})\geqq \frac{{\mathrm{V}}^{\prime }2}{n}\mathrm{cotg}\frac{\pi }{2n}{\mathrm{M}}_2(\mathrm{P})$M_(1)(P) >= (V^(')2)/(n)cotg((pi)/(2n)M_(2))(P)\mathrm{M}_{1}(\mathrm{P}) \geqq \frac{\mathrm{V}^{\prime} 2}{n} \operatorname{cotg} \frac{\pi}{2 n} \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P})${\mathrm{M}}_1(\mathrm{P})\geqq \frac{{\mathrm{V}}^{\prime }2}{n}\mathrm{cotg}\frac{\pi }{2n}{\mathrm{M}}_2(\mathrm{P})$
sau
${{\overline{\mathrm{PA}}}_0+{\overline{\mathrm{PA}}}_1+\dots +{\overline{\mathrm{PA}}}_{n-1})}^2\geqq 2{\mathrm{cotg}}^2\frac{\pi }{2n}{\overline{\mathrm{PA}}}_0{}^2+{\overline{\mathrm{PA}}}_1{}^2+\dots +{\overline{\mathrm{PA}}}_{n-1})$$\left.{\left.{\overline{\mathrm{PA}}}_0+{\overline{\mathrm{PA}}}_1+\dots +{\overline{\mathrm{PA}}}_{n-1}\right)}^2\geqq 2{\mathrm{cotg}}^2\frac{\pi }{2n}{\overline{\mathrm{PA}}}_0{}^2+{\overline{\mathrm{PA}}}_1{}^2+\dots +{\overline{\mathrm{PA}}}_{n-1}\right)${: bar(PA)_(0)+ bar(PA)_(1)+dots+ bar(PA)_(n-1))^(2) >= 2cotg^(2)(pi)/(2n) bar(PA)_(0)^(2)+ bar(PA)_(1)^(2)+dots+ bar(PA)_(n-1))\left.\left.\overline{\mathrm{PA}}_{0}+\overline{\mathrm{PA}}_{1}+\ldots+\overline{\mathrm{PA}}_{n-1}\right)^{2} \geqq 2 \operatorname{cotg}^{2} \frac{\pi}{2 n} \overline{\mathrm{PA}}_{0}{ }^{2}+\overline{\mathrm{PA}}_{1}{ }^{2}+\ldots+\overline{\mathrm{PA}}_{n-1}\right)${{\overline{\mathrm{PA}}}_0+{\overline{\mathrm{PA}}}_1+\dots +{\overline{\mathrm{PA}}}_{n-1})}^2\geqq 2{\mathrm{cotg}}^2\frac{\pi }{2n}{\overline{\mathrm{PA}}}_0{}^2+{\overline{\mathrm{PA}}}_1{}^2+\dots +{\overline{\mathrm{PA}}}_{n-1})$
egalitatea nefiind adevărată decât dacă P coincide cu unul din vârfurile poligonului.
4. Unele din rezultatele precedente se pot generaliza uşor. Sǎ considerăm, în loc de media aritmetică ${\mathrm{M}}_1(\mathrm{P})$${\mathrm{M}}_1(\mathrm{P})$M_(1)(P)\mathrm{M}_{1}(\mathrm{P})${\mathrm{M}}_1(\mathrm{P})$, media de putere $r$$r$rr$r$ a distanțelor lui P la vârfurile poligonului, adică

Dacă $0<r<2$$0<r<2$0 < r < 20<r<2$0<r<2$ avem încă ${\mathrm{M}}_r(\mathrm{P})\leqq {\mathrm{M}}_2(\mathrm{P})$${\mathrm{M}}_r(\mathrm{P})\leqq {\mathrm{M}}_2(\mathrm{P})$M_(r)(P) <= M_(2)(P)\mathrm{M}_{r}(\mathrm{P}) \leqq \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P})${\mathrm{M}}_r(\mathrm{P})\leqq {\mathrm{M}}_2(\mathrm{P})$ iar dacă $r>2$$r>2$r > 2r>2$r>2$ avem ${\mathrm{M}}_r(\mathrm{P})\geqq {\mathrm{M}}_2(\mathrm{P})$${\mathrm{M}}_r(\mathrm{P})\geqq {\mathrm{M}}_2(\mathrm{P})$M_(r)(P) >= M_(2)(P)\mathrm{M}_{r}(\mathrm{P}) \geqq \mathrm{M}_{2}(\mathrm{P})${\mathrm{M}}_r(\mathrm{P})\geqq {\mathrm{M}}_2(\mathrm{P})$, egalitatea neputând avea loc, in ambele cazuri, decât dacă $P$$P$PP$P$ este centrul poligonului. Fie

Dacă $0<r<2,{\mathrm{E}}_r(\mathrm{P})$$0<r<2,{\mathrm{E}}_r(\mathrm{P})$0 < r < 2,E_(r)(P)0<r<2, \mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})$0<r<2,{\mathrm{E}}_r(\mathrm{P})$ are un minimum atins, iar dacă $r>2$$r>2$r > 2r>2$r>2$ un maximum atins. In cazul de faţă expresia (2) devine
şı

$\frac{d^2{\mathrm{E}}_r^r(\mathrm{P})}{d{t}^2}=\frac{r(r-2)}{4}\sum _{k=0}^{n-1}{\cos }^2(\theta -\frac{2k\pi }{n}){[1-t\cos (\theta -\frac{2k\pi }{n})]}^{\frac{r}{2}-2}$$\frac{d^2{\mathrm{E}}_r^r(\mathrm{P})}{d{t}^2}=\frac{r(r-2)}{4}\sum _{k=0}^{n-1} {\cos }^2\left(\theta -\frac{2k\pi }{n}\right){\left[1-t\cos \left(\theta -\frac{2k\pi }{n}\right)\right]}^{\frac{r}{2}-2}$(d^(2)E_(r)^(r)(P))/(dt^(2))=(r(r-2))/(4)sum_(k=0)^(n-1)cos^(2)(theta-(2k pi)/(n))[1-t cos(theta-(2k pi)/(n))]^((r)/(2)-2)\frac{d^{2} \mathrm{E}_{r}^{r}(\mathrm{P})}{d t^{2}}=\frac{r(r-2)}{4} \sum_{k=0}^{n-1} \cos ^{2}\left(\theta-\frac{2 k \pi}{n}\right)\left[1-t \cos \left(\theta-\frac{2 k \pi}{n}\right)\right]^{\frac{r}{2}-2}$\frac{d^2{\mathrm{E}}_r^r(\mathrm{P})}{d{t}^2}=\frac{r(r-2)}{4}\sum _{k=0}^{n-1}{\cos }^2(\theta -\frac{2k\pi }{n}){[1-t\cos (\theta -\frac{2k\pi }{n})]}^{\frac{r}{2}-2}$
care este $<0$$<0$< 0<0$<0$ resp. $>0$$>0$> 0>0$>0$ după cum $0<r<2$$0<r<2$0 < r < 20<r<2$0<r<2$ resp. $r>2$$r>2$r > 2r>2$r>2$. Se deduce ca mai sus că minimul resp. maximul lui ${\mathrm{E}}_r(\mathrm{P})$${\mathrm{E}}_r(\mathrm{P})$E_(r)(P)\mathrm{E}_{r}(\mathrm{P})${\mathrm{E}}_r(\mathrm{P})$ nu poate fi atins decât pe cercul circumscris poligonului

Expresia (3) devine acum

Această expresie este o funcţie continuă de $\theta$$\theta$theta\theta$\theta$ în intervalul $[0,\frac{2\pi }{n}]$$\left[0,\frac{2\pi }{n}\right]$[0,(2pi)/(n)]\left[0, \frac{2 \pi}{n}\right]$[0,\frac{2\pi }{n}]$. Avem, in intervalul deschis $(0,\frac{2\pi }{n})$$\left(0,\frac{2\pi }{n}\right)$(0,(2pi)/(n))\left(0, \frac{2 \pi}{n}\right)$(0,\frac{2\pi }{n})$
$\frac{d^2{\mathrm{E}}_r^r(\mathrm{P})}{d{t}^2}=-\frac{r(\sqrt{2}{)}^{rn-1}}{4n}\sum _{k=0}^1|{\sin }^{r-2}(\frac{k\pi }{n}-\frac{\theta }{2})|[1-r{\cos }^2(\frac{k\pi }{n}-\frac{\theta }{2}]$$\frac{d^2{\mathrm{E}}_r^r(\mathrm{P})}{d{t}^2}=-\frac{r(\sqrt{2}{)}^{rn-1}}{4n}\sum _{k=0}^1 \left|{\sin }^{r-2}\left(\frac{k\pi }{n}-\frac{\theta }{2}\right)\right|\left[1-r{\cos }^2\left(\frac{k\pi }{n}-\frac{\theta }{2}\right]\right.$(d^(2)E_(r)^(r)(P))/(dt^(2))=-(r(sqrt2)^(rn-1))/(4n)sum_(k=0)^(1)|sin^(r-2)((k pi)/(n)-(theta)/(2))|[1-rcos^(2)((k pi)/(n)-(theta)/(2)]:}\frac{d^{2} \mathrm{E}_{r}^{r}(\mathrm{P})}{d t^{2}}=-\frac{r(\sqrt{2})^{r n-1}}{4 n} \sum_{k=0}^{1}\left|\sin ^{r-2}\left(\frac{k \pi}{n}-\frac{\theta}{2}\right)\right|\left[1-r \cos ^{2}\left(\frac{k \pi}{n}-\frac{\theta}{2}\right]\right.$\frac{d^2{\mathrm{E}}_r^r(\mathrm{P})}{d{t}^2}=-\frac{r(\sqrt{2}{)}^{rn-1}}{4n}\sum _{k=0}^1|{\sin }^{r-2}(\frac{k\pi }{n}-\frac{\theta }{2})|[1-r{\cos }^2(\frac{k\pi }{n}-\frac{\theta }{2}]$
și se vede că această derivată este totdeauna negativă dacă $r\leqq 1$$r\leqq 1$r <= 1r \leqq 1$r\leqq 1$. Se poate dar enunța următoarea generalizare a teoremei 1.

Teorema 2. Dacă $A_0{A}_1\dots A_{n-1}$$A_0{A}_1\dots A_{n-1}$A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)A_{0} A_{1} \ldots A_{n-1}$A_0{A}_1\dots A_{n-1}$ este un poligon regulat de $n$$n$nn$n$ laturi, $r$$r$rr$r$ un număr pozitiv $\leqq 1$$\leqq 1$<= 1\leqq 1$\leqq 1$ si $P$$P$PP$P$ un punct din planul poligonului, avem

egalitatea nefiind adevărată decât dacă $P$$P$PP$P$ coincide cu unul din vârfurile poligonului.
5. Dară $r>1$$r>1$r > 1r>1$r>1$ problema e mai complicată. Vom examina aici numai cazul când $r$$r$rr$r$ este un număr intreg pozitiv şi par, $r=2m$$r=2m$r=2mr=2 m$r=2m$. Totul revine atunci la evaluarea sumei

Să ne reamintim formula

Avem însă
$\sum _{k=0}^{n-1}\cos 2s[\frac{k\pi }{n}-\frac{\theta }{2}]=\{\begin{array}{lll}0,& \text{dacă}& s\not\equiv 0\end{array}(mod\mathrm{n})$$\sum _{k=0}^{n-1} \cos 2s\left[\frac{k\pi }{n}-\frac{\theta }{2}\right]=\left\{\begin{array}{l}0,\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\text{ dacă }\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}s\not\equiv 0\end{array}(mod\mathrm{n})\right.$sum_(k=0)^(n-1)cos 2s[(k pi)/(n)-(theta)/(2)]={[0","," dacă ",s≢0](modn):}\sum_{k=0}^{n-1} \cos 2 s\left[\frac{k \pi}{n}-\frac{\theta}{2}\right]=\left\{\begin{array}{lll}0, & \text { dacă } & s \not \equiv 0\end{array}(\bmod \mathrm{n})\right.$\sum _{k=0}^{n-1}\cos 2s[\frac{k\pi }{n}-\frac{\theta }{2}]=\{\begin{array}{lll}0,& \text{ dacă }& s\not\equiv 0\end{array}(mod\mathrm{n})$
deci

[ $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ ] însemnând cel mai mare întreg $\leqq \lambda$$\leqq \lambda$<= lambda\leqq \lambda$\leqq \lambda$.
In special dacă $m<n$$m<n$m < nm<n$m<n$, avem

și se poate enunţa următoarea

Teorema 3. Dacă meste un număr întreg ( $>1$$>1$> 1>1$>1$ ) şi $A_0{A}_1\dots A_{n-1}$$A_0{A}_1\dots A_{n-1}$A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)A_{0} A_{1} \ldots A_{n-1}$A_0{A}_1\dots A_{n-1}$ un poligon regulat de $n\ge m$$n\ge m$n >= mn \geq m$n\ge m$ laturi iar $P$$P$PP$P$ un punct îr planul poligonului, avem

egalitatea nefiind adevărată decât dacă $P$$P$PP$P$ este pe cercul circumseris poligonului.

Dacă avem $m>n$$m>n$m > nm>n$m>n$, se vede pe structura lui $S_m$$S_m$S_(m)S_{m}$S_m$ că maximul este atins pentru $\theta =0$$\theta =0$theta=0\theta=0$\theta =0$ si $\theta =\frac{2\pi }{n}$$\theta =\frac{2\pi }{n}$theta=(2pi)/(n)\theta=\frac{2 \pi}{n}$\theta =\frac{2\pi }{n}$ dacă $n$$n$nn$n$ este par şi pentru $\theta =\frac{\pi }{n}$$\theta =\frac{\pi }{n}$theta=(pi )/(n)\theta=\frac{\pi}{n}$\theta =\frac{\pi }{n}$ dacă $n$$n$nn$n$ este impar, deci

Teorema 4. Dacà $A_0{A}_1\dots A_{n-1}$$A_0{A}_1\dots A_{n-1}$A_(0)A_(1)dotsA_(n-1)A_{0} A_{1} \ldots A_{n-1}$A_0{A}_1\dots A_{n-1}$ este un poligon regulat de $n(\geqq 3)$$n(\geqq 3)$n( >= 3)n(\geqq 3)$n(\geqq 3)$ laturi şi $m$$m$mm$m$ un număr întreg si pozitiv >in, oricare ar fi punctul $P$$P$PP$P$ din planul poligonului avem

egalitatea nefiind adevarată decât dacă
$1^{0}n$$1^{0}n$1^(0)n1^{0} n$1^{0}n$ fiind par, $P$$P$PP$P$ coincide cu unul din vârfurile poligonului.
$2^{0}n$$2^{0}n$2^(0)n2^{0} n$2^{0}n$ fiind impar, $P$$P$PP$P$ coincide cu mijlocul unui arc de cerc circumscris limitat de două vârfuri consecutive ale poligonului.
6. Pentru a încheia atrag atentia cetitorilor asupra faptului că mai multe din rezultatele precedente ar fi interesante de complectat. In primul rând ar trebui văzut, în cazul special examinat de noi, ce se întâmplă dacă $r$$r$rr$r$ este un nnmăr pozitiv oarecare mai mare ca 1. Ar trebui pe urmă examinat cazul când în loc de un poligon regulat se ia un poligon oarecare. Se poate ușor vedea că în general (pentru un poligon oarecare) raportul

unde $0<p<q$$0<p<q$0 < p < q0<p<q$0<p<q$, are un minimum atins. Acest minimum depinde de poligonul considerat și are un maximum când acest poligon variază. Este foarte probabil că acest „maximum minimorum " este atins, în particular, pentru un poligon regulat.

Bucureşti, 29 Noembrie 1941.