Abstract
Autori
Cuvinte cheie
Citați articolul în forma
T. Popoviciu, Asupra polinoamelor cari formează un şir Appell (I), Bull. Mathematique de la Soc. Roumaine des Sciences, 33/34 (1932), pp. 11-21 (in Romanian)
(first note)
Despre acest articol
Journal
Bull. Mathematique de la Soc. Roumaine des Sciences
Publisher Name
DOI
https://www.jstor.org/stable/43769712
Print ISSN
Not available yet.
Online ISSN
Not available yet.
Google Scholar Profile
Referințe
Lucrarea in format html
ASUPRA POLINOAMELOR CARI FORMEAZA UN ŞIR APPELL de TIBERIU POPOVICIU
- Še zice că un şir de polinoame în xx :
{:(1)P_(0)","P_(1)","dots dotsP_(n)","dots dots:}\begin{equation*}
P_{0}, P_{1}, \ldots \ldots P_{n}, \ldots \ldots \tag{1}
\end{equation*}
unde pentru simplificare se poate presupune:
P_(0)=1,P_{0}=1,
fără a restrânge generalifatea, formează un şir Appell, dacă
{:(2)(dP_(n))/(dx)=nP_(n-1):}\begin{equation*}
\frac{d P_{n}}{d x}=n P_{n-1} \tag{2}
\end{equation*}
E uşor de văzut că F_(n)F_{n} este de forma
P_(n)=x^(n)+na_(1)x^(n-1)+n(n-1)a_(2)x^(n-2)+dots+n!a_(n),P_{n}=x^{n}+n a_{1} x^{n-1}+n(n-1) a_{2} x^{n-2}+\ldots+n!a_{n},
unde a_(1),a_(2),dots.nua_{1}, a_{2}, \ldots . n u depind de nn. Şirul (1) depinde deci de succesiu= nca de numere
{:a^(˙)_(1),a_(2),dots dotsa_(m),dots^(1))\left.\dot{a}_{1}, a_{2}, \ldots \ldots a_{m}, \ldots{ }^{1}\right)
Polinoamele considerate intervin în multe chesliuni importante dea=\mathrm{d} e \mathrm{a}= nalizǎ. Polinoamele lui Bernoulli şi Euler formează fiecare un şir Appell. Ele intervin in calculul difercnțelor finite. Polinoamele Rv(x,k)R v(x, k) studiate de DI. R. Racliş ^(2){ }^{2} ) verifică şi cle conditia (2). Polinoamele lui Hermite, putin transformate,
2^(n)H_(n)=e^(-x^(2))(d^(n))/(dx^(n))e^(x^(2))2^{n} H_{n}=e^{-x^{2}} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{x^{2}}
cari se întâlnesc în teoria ecuaţiilor cu derivate partiale şi în multe alte chestiuni, formează şi ele un şir Appell.
2. In lucrarea de faţă ne propunem a găsi toate şirurile (1) cari sax tisfac conditia (2), astfel ca între trei polinoame consecutive P_(n),P_(n-1)P_{n}, P_{n-1}, P_(n-2)P_{n-2} să avem o relaţie identică de forma:
(3)
A_(n)P_(n)+B_(n)P_(n-1)+C_(n)P_(n-2=0,)A_{n} P_{n}+B_{n} P_{n-1}+C_{n} P_{n-2=0,}
unde A_(n),B_(n),C_(n)A_{n}, B_{n}, C_{n} sunt polinoame în xx de grade 0,1,20,1,2, şi egalitatea are loc oricare ar fi nn. De exemplu polinoamele sus-amintite a lui Hermite safisfac o astfel de conditie.
3. Să presupunem întâi că A_(n)A_{n} e nul oricare ar fì nn. Relaţia (3) devine
{:(4)B_(n)P_(n-1)+C_(n)P_(n-2)=0:}\begin{equation*} B_{n} P_{n-1}+C_{n} P_{n-2}=0 \tag{4} \end{equation*}
2. In lucrarea de faţă ne propunem a găsi toate şirurile (1) cari sax tisfac conditia (2), astfel ca între trei polinoame consecutive P_(n),P_(n-1)P_{n}, P_{n-1}, P_(n-2)P_{n-2} să avem o relaţie identică de forma:
(3)
A_(n)P_(n)+B_(n)P_(n-1)+C_(n)P_(n-2=0,)A_{n} P_{n}+B_{n} P_{n-1}+C_{n} P_{n-2=0,}
unde A_(n),B_(n),C_(n)A_{n}, B_{n}, C_{n} sunt polinoame în xx de grade 0,1,20,1,2, şi egalitatea are loc oricare ar fi nn. De exemplu polinoamele sus-amintite a lui Hermite safisfac o astfel de conditie.
3. Să presupunem întâi că A_(n)A_{n} e nul oricare ar fì nn. Relaţia (3) devine
{:(4)B_(n)P_(n-1)+C_(n)P_(n-2)=0:}\begin{equation*} B_{n} P_{n-1}+C_{n} P_{n-2}=0 \tag{4} \end{equation*}
Această relatie ne arată că P_(n-1),P_(n-2)P_{n-1}, P_{n-2}, au cel puțin n-3n-3 zerori comune şi cum P_(n-2)\mathrm{P}_{n-2} diferă numai printr'un factor constant de derivata lui P_(n-1)\mathrm{P}_{n-1}, urmează că P_(n-1)\mathrm{P}_{n-1} este de forma:
P_(n-1)=(x+a)^(n-2)(x+b_(n-1))P_{n-1}=(x+a)^{n-2}\left(x+b_{n-1}\right)
Relaţia fundamentală (2) ne dă imediat
(b_(n))/(n)=(b_(n-1))/(n-1)-(a)/(n(n-1))=(b_(n-1))/(n-1)-a((1)/(n-1)-(1)/(n)),\frac{b_{n}}{n}=\frac{b_{n-1}}{n-1}-\frac{a}{n(n-1)}=\frac{b_{n-1}}{n-1}-a\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right),
din care se are
b_(n)=(n(b_(2)-a)+2a)/(2)b_{n}=\frac{n\left(b_{2}-a\right)+2 a}{2}
Se poate aşa dal scrie
{:[P_(0)=1","P_(1)=x+(a+b)/(2)","P_(2)=(x+a)(x+b)],[(I)P_(n)=(x+a)^(n-1)(x+(n(b-a)+2a)/(2))]:}\begin{gather*}
\mathrm{P}_{0}=1, \mathrm{P}_{1}=x+\frac{a+b}{2}, \mathrm{P}_{2}=(x+a)(x+b) \\
\mathrm{P}_{n}=(x+a)^{n-1}\left(x+\frac{n(b-a)+2 a}{2}\right) \tag{I}
\end{gather*}
Se vede apoi că
{:[B_(n)=x+((n-2)(b-a)+2a)/(2)],[C_(n)=(x+a)(x+(n(b-a)+2a)/(2):}]:}\begin{aligned}
& B_{n}=x+\frac{(n-2)(b-a)+2 a}{2} \\
& C_{n}=(x+a)\left(x+\frac{n(b-a)+2 a}{2}\right.
\end{aligned}
Se ştie că un şir de polinoame Appel are o funcţie generatoare de forma.
F(z)e^(zx)=sum_(n=0)^(oo)(z^(n))/(n!)P_(n),F(z) e^{z x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} P_{n},
F(z)F(z) find funcţie numai de zz. Să căutăm funcţia generatoare a po= linoamelor (I).
{:[sum_(0)^(oo)(z^(n))/(n!)P_(n)=sum_(0)^(oo)(z^(n))/(n!)(x+a)^(n-1)(x+a+(n(b-a))/(2))],[=sum_(0)^(oo)(z^(n))/(n!)(x+a)^(n)+(b--a)/(2)sum_(n=1)^(oo)n(z^(n))/(n!)(x+a)^(n-1)],[=e^(z(x+a))+(b-a)/(2)ze^(z(x+a))],[=(1+(b-a)/(2)z)e^(za)e^(zx)]:}\begin{aligned}
\sum_{0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} P_{n} & =\sum_{0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}(x+a)^{n-1}\left(x+a+\frac{n(b-a)}{2}\right) \\
& =\sum_{0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}(x+a)^{n}+\frac{b--a}{2} \sum_{n=1}^{\infty} n \frac{z^{n}}{n!}(x+a)^{n-1} \\
& =e^{z(x+a)}+\frac{b-a}{2} z e^{z(x+a)} \\
& =\left(1+\frac{b-a}{2} z\right) e^{z a} e^{z x}
\end{aligned}
deci
F(z)=(1+(b-a)/(2)z)e^(za)F(z)=\left(1+\frac{b-a}{2} z\right) e^{z a}
- Să presupunem acum că A_(n)A_{n} este diferit de zero oricare ar fi n=2,3,dotsn=2,3, \ldots In acest caz din cauza omogeneitătii formulei (3) putem presupune
(5)
Punem acum
A_(n)=1,n=2,3,dotsA_{n}=1, n=2,3, \ldots
B_(n)=alpha_(n)x+beta_(n)B_{n}=\alpha_{n} x+\beta_{n}
C_(n)^(')=lambda_(n)x^(2)+mu_(n)x+v_(n)C_{n}^{\prime}=\lambda_{n} x^{2}+\mu_{n} x+v_{n}
mu_(n),beta_(n),lambda_(n),mu_(n),v_(n)\mu_{n}, \beta_{n}, \lambda_{n}, \mu_{n}, v_{n} depinzând numai de nn
Derivând relația (3), avem
(6) (n+B_(n)^('))P_(n-1)+(B_(n)(n-1)+C_(n))P_(n-2)+C_(n)(n-2)P_(n-3)=0\left(n+B_{n}^{\prime}\right) P_{n-1}+\left(B_{n}(n-1)+C_{n}\right) P_{n-2}+C_{n}(n-2) P_{n-3}=0 dar avem şi
(7)
Derivând relația (3), avem
(6) (n+B_(n)^('))P_(n-1)+(B_(n)(n-1)+C_(n))P_(n-2)+C_(n)(n-2)P_(n-3)=0\left(n+B_{n}^{\prime}\right) P_{n-1}+\left(B_{n}(n-1)+C_{n}\right) P_{n-2}+C_{n}(n-2) P_{n-3}=0 dar avem şi
(7)
P_(n-1)+B_(n-1)P_(n-2)+C_(n-1)P_(n-3)=0P_{n-1}+B_{n-1} \mathrm{P}_{n-2}+C_{n-1} \mathrm{P}_{n-3}=0
Dacă relatiile (6), (7) sunt distincte se poate deduce, prin eliminarea lui P_(n-1)P_{n-1} o relaţie de forma (4) și cădem peste cazul studiat mai înainte. Să presupunem deci că relaţiile (6), (7) sunt echivalente, trebue atunci ca:
{:(8)n+B_(n)^(')=(B(n-1)+C_(n)^('))/(B_(n-1))=(C_(n)(n-2))/(C_(n-1)):}\begin{equation*}
n+B_{n}^{\prime}=\frac{B(n-1)+C_{n}^{\prime}}{B_{n-1}}=\frac{C_{n}(n-2)}{C_{n-1}} \tag{8}
\end{equation*}
E clar că ambele relațiuni trebue să fie satisfăcute, căci dacă ar fi satisfăcută numai una am deduce o relaţie de forma
K.P_(n)=0,K . P_{n}=0,
care nu pot fi identic satisfăcute decât dacă K-=0K \equiv 0.
Relaţiile (8) sunt nişte identităti în xx, trebue deci ca :
(9)
Relaţiile (8) sunt nişte identităti în xx, trebue deci ca :
(9)
{:[n+alpha_(n)=(alpha^(n)(n-1)+2lambda_(n))/(alpha_(n-1))=(beta_(n)(n-1)+mu_(n))/(beta_(n-1))=(lambda_(n))/(lambda_(n-1))(n-2)=],[(mu_(n))/(mu_(n-1))(n-2)=(v_(n))/(v_(n))(n-2)]:}\begin{gathered}
n+\alpha_{n}=\frac{\alpha^{n}(n-1)+2 \lambda_{n}}{\alpha_{n-1}}=\frac{\beta_{n}(n-1)+\mu_{n}}{\beta_{n-1}}=\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{n-1}}(n-2)= \\
\frac{\mu_{n}}{\mu_{n-1}}(n-2)=\frac{v_{n}}{v_{n}}(n-2)
\end{gathered}
- ABERIU POPOVICIU
(10)
A_(n)=1//" сӑ ":A_{n}=1 / \text { сӑ }:сӑ
ceeace se obtine anulând coeficientul lui x^(n)x^{n}. Se deduce imediat egalitatea
n-1-lambda_(n)=(lambda_(n))/(lambda_(n-1))(n-2)n-1-\lambda_{n}=\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{n-1}}(n-2)
sau
(n-1)/(lambda_(n))=(n-2)/(lambda_(n)-1)+1\frac{n-1}{\lambda_{n}}=\frac{n-2}{\lambda_{n}-1}+1
din care
(11)
(11)
lambda_(n)=((n-1)lambda_(2))/(1+lambda_(2)(n-2))\lambda_{n}=\frac{(n-1) \lambda_{2}}{1+\lambda_{2}(n-2)}
apoi se deduce
{:(12)mu_(n)=((n-1)mu_(2))/(1+lambda_(2)(n-2))","nu_(2)=((n-1)v_(2))/(1+lambda_(2)(n-2)):}\begin{equation*}
\mu_{n}=\frac{(n-1) \mu_{2}}{1+\lambda_{2}(n-2)}, \nu_{2}=\frac{(n-1) v_{2}}{1+\lambda_{2}(n-2)} \tag{12}
\end{equation*}
Din(10):\operatorname{Din}(10):
{:(13)alpha_(n)=-1-((n-1)lambda_(2))/(1+lambda_(2)(n-2))=-(1+lambda_(2)(2n-3))/(1+lambda_(2)(n-2)):}\begin{equation*}
\alpha_{n}=-1-\frac{(\mathrm{n}-1) \lambda_{2}}{1+\lambda_{2}(\mathrm{n}-2)}=-\frac{1+\lambda_{2}(2 n-3)}{1+\lambda_{2}(n-2)} \tag{13}
\end{equation*}
In fine din raportul al treilea şi al patrulea al relatiei (9) se deduce.
beta_(n)[1+lambda_(2)(n-2)∣-beta_(n-1)[1+lambda_(2)(n-3)]+mu_(2)=0:}\beta_{n}\left[1+\lambda_{2}(n-2) \mid-\beta_{n-1}\left[1+\lambda_{2}(n-3)\right]+\mu_{2}=0\right.
din care:
{:(14)beta_(n)=(beta_(2)-(n-2)mu_(2))/(1+lambda_(2)(n-2)):}\begin{equation*}
\beta_{n}=\frac{\beta_{2}-(n-2) \mu_{2}}{1+\lambda_{2}(n-2)} \tag{14}
\end{equation*}
Formulele (11), (12), (13), (14) rczolvă problema şi se vede că po= linoamele verifică relația:
{:[(15){:[1+lambda(n-2)]P_(n)+[-x[1+lambda(2_(n)-3)]+beta-(n-2)mu]P_(n-1):}],[+(n-1)(lambdax^(2)+mu x+v)P_(n-2)=0]:}\begin{gather*}
{[1+\lambda(n-2)] P_{n}+\left[-x\left[1+\lambda\left(2_{n}-3\right)\right]+\beta-(n-2) \mu\right] P_{n-1}} \tag{15}\\
+(n-1)\left(\lambda x^{2}+\mu x+v\right) P_{n-2}=0
\end{gather*}
şi depind de patru constante arbitrare lambda,mu,nu,beta\lambda, \mu, \nu, \beta, unde am suprimat indi= ccle 2 pentru simpliticare.
Se poate calcula acum functia generatoare. Pentru aceasta se înmulteşte relatia (15) cu(z^(n-2))/((n-2)!)\mathrm{cu} \frac{z^{n-2}}{(n-2)!} se face n=2,3,dotsn=2,3, \ldots și se admă. Găsim astfel
{:[dz^(3)Zz+(d^(2)Z)/(dz^(2))[1-z(2lambda x+mu)]+(dZ)/(d)[beta-x-lambda x+],[(16){:+Z(lambdax^(2)+mu x+v)]+Z(lambdax^(2)+mu x+v)=0],[Z=sum_(n=0)^(oo)(z^(''))/(n!)P_(n)]:}\begin{align*}
d z^{3} Z z+ & \frac{d^{2} Z}{d z^{2}}[1-z(2 \lambda x+\mu)]+\frac{d Z}{d}[\beta-x-\lambda x+ \\
& \left.+Z\left(\lambda x^{2}+\mu x+v\right)\right]+Z\left(\lambda x^{2}+\mu x+v\right)=0 \tag{16}\\
Z & =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{\prime \prime}}{n!} P_{n}
\end{align*}
dacă facem
Z=e^(zx)F(z)Z=e^{z x} F(z)
F(z)F(z) e functie de zz nu şi de xx; ecuaţia devine :
unde :
unde :
(d Phi)/(dz)+x Phi=0\frac{d \Phi}{d z}+x \Phi=0
{:(17)Phi=lambda zF^('')+(1-lambda-z mu)F^(')+(zv+beta+mu)F=0:}\begin{equation*}
\Phi=\lambda z F^{\prime \prime}+(1-\lambda-z \mu) F^{\prime}+(z v+\beta+\mu) F=0 \tag{17}
\end{equation*}
Funcţia FF este prin urmare dată de ecuația (17).
5. Să presupunem lambda=mu=0\lambda=\mu=0, ecuația (17) se scrie
5. Să presupunem lambda=mu=0\lambda=\mu=0, ecuația (17) se scrie
F^(')+(zv+beta)F=0F^{\prime}+(z v+\beta) F=0
şi avem imediat
F(z)=e^(-(v)/(2)z^(2)-beta z)F(z)=e^{-\frac{v}{2} z^{2}-\beta z}
căci P_(0)=1P_{0}=1. Polinoamele satisfac relatia
(15)^(')(15)^{\prime}
(15)^(')(15)^{\prime}
P_(n)-(x-beta)P_(l-1)+(n-1)vvP_(n-2)=0P_{n}-(x-\beta) P_{l-1}+(n-1) \vee P_{n-2}=0
Aceste polinoame se reduc la polinoamele lui Hermite. Intr'adevăr functia generatoare a polinoamelor H_(n)H_{n} este
e^((z^(2))/(4)+zx)=sum_(0)^(oo)(z^(n))/(n!)H_(n)(x)e^{\frac{z^{2}}{4}+z x}=\sum_{0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} H_{n}(x)
iar functia generatoare a polinoamelor noastre este :
e^(-(v)/(2)z^(2)-beta z+zx)=e^(((sqrt(-2vz))^(2))/(4)+2(x-beta))e^{-\frac{v}{2} z^{2}-\beta z+z x}=e^{\frac{(\sqrt{-2 v z})^{2}}{4}+2(x-\beta)}
deci
{:(15)P_(n)(x)=(sqrt(-2v))^(n)H_(n)((x-beta)/(sqrt(-2v))):}\begin{equation*}
P_{n}(x)=(\sqrt{-2 v})^{n} H_{n}\left(\frac{x-\beta}{\sqrt{-2 v}}\right) \tag{15}
\end{equation*}
Să presupunem acum că lambda\lambda, u nu sunt ambele nule și fie omega\omega una din rădăcinile ecuațici
{:(18)lambdaz^(2)-mu z+v=0:}\begin{equation*}
\lambda z^{2}-\mu z+v=0 \tag{18}
\end{equation*}
Să puncm
F=e^(wz)F_(1)F=e^{w z} F_{1}
ecuatia (17) devine
(19) lambda zF^('')_(1)+(2omega lambda z-z mu+1-lambda)F^(')_(1)+[omega(1-lambda)+beta+mu]F=0\lambda z F^{\prime \prime}{ }_{1}+(2 \omega \lambda z-z \mu+1-\lambda) F^{\prime}{ }_{1}+[\omega(1-\lambda)+\beta+\mu] F=0 și după definitia ce am dat funcției generatoare trebue să căutăm soluția holomorfă în jurul originei şi care pentru z=0z=0 este egală cu 1. Ori accasta este totdeauna posibil în general.
(19) lambda zF^('')_(1)+(2omega lambda z-z mu+1-lambda)F^(')_(1)+[omega(1-lambda)+beta+mu]F=0\lambda z F^{\prime \prime}{ }_{1}+(2 \omega \lambda z-z \mu+1-\lambda) F^{\prime}{ }_{1}+[\omega(1-\lambda)+\beta+\mu] F=0 și după definitia ce am dat funcției generatoare trebue să căutăm soluția holomorfă în jurul originei şi care pentru z=0z=0 este egală cu 1. Ori accasta este totdeauna posibil în general.
Inainte de a merge mai departe să reamintim câteva rezultate : Ecuațiile
(20) xy^('')+(gamma-x)y^(')-alpha y=0x y^{\prime \prime}+(\gamma-x) y^{\prime}-\alpha y=0 (Ecuatia lui Kummer)
admit solutiunile
(20) xy^('')+(gamma-x)y^(')-alpha y=0x y^{\prime \prime}+(\gamma-x) y^{\prime}-\alpha y=0 (Ecuatia lui Kummer)
admit solutiunile
xy^('')+gammay^(')-y=0quad" (Ecuaţia lui Bessel) "x y^{\prime \prime}+\gamma y^{\prime}-y=0 \quad \text { (Ecuaţia lui Bessel) }ţ
{:[G(alpha","gamma","x)=sum_(n=0)^(oo)(alpha(alpha+1)dots(alpha+n-1))/(gamma(gamma+1)dots(gamma+n-1))*(x^(n))/(n!)],[T(gamma","x)=sum_(0)^(oo)(1)/(gamma(gamma+1)dots(gamma+n-1))*(x^(n))/(n!)]:}\begin{gathered}
G(\alpha, \gamma, x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha+1) \ldots(\alpha+n-1)}{\gamma(\gamma+1) \ldots(\gamma+n-1)} \cdot \frac{x^{n}}{n!} \\
T(\gamma, x)=\sum_{0}^{\infty} \frac{1}{\gamma(\gamma+1) \ldots(\gamma+n-1)} \cdot \frac{x^{n}}{n!}
\end{gathered}
cari în general sunt nişte functiuni întregi
Facem acum mai multe ipoteze :
a) lambda!=0\lambda \neq 0, ecuaţia (18) având rădăcinile distincte.
Facem acum mai multe ipoteze :
a) lambda!=0\lambda \neq 0, ecuaţia (18) având rădăcinile distincte.
Prin transformarea
z=(lambda t)/(mu-2omega lambda)z=\frac{\lambda t}{\mu-2 \omega \lambda}
ecuatia (19) devine
deci
deci
t(d^(2)F_(1))/(dt^(2))+((1-lambda)/(lambda)-t)(dF_(1))/(lambda t)-(omega(1-lambda)+beta+mu)/(2omega lambda-mu)F_(1)=0t \frac{d^{2} F_{1}}{d t^{2}}+\left(\frac{1-\lambda}{\lambda}-t\right) \frac{d F_{1}}{\lambda t}-\frac{\omega(1-\lambda)+\beta+\mu}{2 \omega \lambda-\mu} F_{1}=0
F_(1)=G((omega(1-lambda)+beta+mu)/(2omega lambda-mu),(1-lambda)/(lambda),((mu-2omega lambda)z)/(lambda))F_{1}=G\left(\frac{\omega(1-\lambda)+\beta+\mu}{2 \omega \lambda-\mu}, \frac{1-\lambda}{\lambda}, \frac{(\mu-2 \omega \lambda) z}{\lambda}\right)
b) lambda!=0\lambda \neq 0, ecuația (18) având rădăcinile cgale, deci
Facem
mu=2omega lambda\mu=2 \omega \lambda
şi avem
z=-((lambda^(˙))t)/(omega(1+lambda)+beta)z=-\frac{\dot{\lambda} t}{\omega(1+\lambda)+\beta}
t(d^(2)F_(1))/(dt^(2))+(1-lambda)/(lambda)(dF_(1))/(dt)-F_(1)=0t \frac{d^{2} F_{1}}{d t^{2}}+\frac{1-\lambda}{\lambda} \frac{d F_{1}}{d t}-F_{1}=0
şi deci
F_(1)=T((1-lambda)/(lambda),-(omega(1+lambda)+beta)/(lambda)z)F_{1}=T\left(\frac{1-\lambda}{\lambda},-\frac{\omega(1+\lambda)+\beta}{\lambda} z\right)
c) lambda=c\lambda=\mathrm{c}, averm
w=(v)/( mu)w=\frac{v}{\mu}
şi ecur."a devine
(1-z mu)F_(1)^(')+((v)/( mu)+beta+mu)F_(1)=0(1-z \mu) F_{1}^{\prime}+\left(\frac{v}{\mu}+\beta+\mu\right) F_{1}=0
deci
F_(1)=(1-mu z)^(((nu )/(mu)+beta+mu)/(mu))F_{1}=(1-\mu z)^{\frac{\frac{\nu}{\mu}+\beta+\mu}{\mu}}
Functia generatoare în acest caz este
e^((v)/( mu)z+zx)(1-mu z)((v)/( mu)+beta+mu)/(mu)e^{\frac{v}{\mu} z+z x}(1-\mu z) \frac{\frac{v}{\mu}+\beta+\mu}{\mu}
Cazul studiat în § 3 intră aci. Dacă v=o avem nişte polinoame P_(n)P_{n} care sunt tocmai polinoamele Q_(n)(x,lambda)Q_{n}(\mathrm{x}, \lambda) studiate de noi într'o lucrare ante= rioară ^(2){ }^{2} )
Nu mai insist asupra cazurilor particulare ce pot proveni de exemplu din faptul că
(1-lambda)/(lambda)\frac{1-\lambda}{\lambda}
este un număr întreg negativ. Acest caz se deduce din teoria ecuaților lui Kummer și Bessel.
6. Polinoamele P_(n)P_{n} studiate de noi se pot ataşa funcţiei hipergeome= trice și a confluentelor ei. Vom da resultatele fără a insista asupra detaliilor calculelor. Dīı formulele (2), (15) deducem că polinomul P_(n)P_{n} satisface ecua= ţia diferentială lincară.
(21)
6. Polinoamele P_(n)P_{n} studiate de noi se pot ataşa funcţiei hipergeome= trice și a confluentelor ei. Vom da resultatele fără a insista asupra detaliilor calculelor. Dīı formulele (2), (15) deducem că polinomul P_(n)P_{n} satisface ecua= ţia diferentială lincară.
(21)
{:[(lambdax^(2)+mu x+nu)y^('')+[-x(1+lambda(2n-3))+beta-(n-2)mu∣y^(')+:}],[+n[1+lambda(n-2)]y=0]:}\begin{gathered}
\left(\lambda x^{2}+\mu x+\nu\right) y^{\prime \prime}+\left[-x(1+\lambda(2 n-3))+\beta-(n-2) \mu \mid y^{\prime}+\right. \\
+n[1+\lambda(n-2)] y=0
\end{gathered}
Deosebim cazurile :
a) lambda=0,mu!=0\lambda=0, \mu \neq 0, prin transformarea
a) lambda=0,mu!=0\lambda=0, \mu \neq 0, prin transformarea
t=(mu x+v)/(mu^(x))t=\frac{\mu x+v}{\mu^{x}}
ecuatia (21) devine
ty^('')+[-t+(v)/(mu^('))+(beta )/(mu)-(n-2)]y^(')+ny=0,quad epsi=(v)/(mu^(2))+(beta )/(mu)t y^{\prime \prime}+\left[-t+\frac{v}{\mu^{\prime}}+\frac{\beta}{\mu}-(n-2)\right] y^{\prime}+n y=0, \quad \varepsilon=\frac{v}{\mu^{2}}+\frac{\beta}{\mu}
deci
P_(n)=((-1)^(n)mu^(n)(xi+1)xi(xi-1)dots(xi-n+2))/(n!)G(-n,xi-n+2,(mu x+nu)/(mu^(2)))P_{n}=\frac{(-1)^{n} \mu^{n}(\xi+1) \xi(\xi-1) \ldots(\xi-n+2)}{n!} G\left(-n, \xi-n+2, \frac{\mu x+\nu}{\mu^{2}}\right)
observând că coeficientul lui x^(n)x^{n} este 1 ,
b) lambda=0,mu=0\lambda=0, \mu=0. Acesta c cazul polinoamelor lui Hermite.
P_(n)=((-1)^(n)mu^(n)(xi+1)xi(xi-1)dots(xi-n+2))/(n!)G(-n,xi-n+2,(mu x+nu)/(mu^(2)))P_{n}=\frac{(-1)^{n} \mu^{n}(\xi+1) \xi(\xi-1) \ldots(\xi-n+2)}{n!} G\left(-n, \xi-n+2, \frac{\mu x+\nu}{\mu^{2}}\right)
observând că coeficientul lui x^(n)x^{n} este 1 ,
b) lambda=0,mu=0\lambda=0, \mu=0. Acesta c cazul polinoamelor lui Hermite.
Să presupunem nu=(1)/(2),beta=0\nu=\frac{1}{2}, \beta=0, ecuatia devine
y^('')-2xy^(')+-2ny=0.y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+-2 n y=0 .
Prin transformarea
x^(2)=tx^{2}=t
se obtine
ty^('')+((1)/(2)-t)y^(')+(n)/(2)y=0t y^{\prime \prime}+\left(\frac{1}{2}-t\right) y^{\prime}+\frac{n}{2} y=0
care ne dă pentru nn par, solutia
H_(n)(x)=((-1)^((n)/(2))*1*3*5dots(n-1))/(2^((n)/(2)))G(-(n)/(2),(1)/(2),x^(2))H_{n}(x)=\frac{(-1)^{\frac{n}{2}} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(n-1)}{2^{\frac{n}{2}}} G\left(-\frac{n}{2}, \frac{1}{2}, x^{2}\right)
Pentru nn impar luăm întâi ca nouă funcție
y=xzy=x z
şi obtinem, urmând acelaş procedcu:
H_(n)(x)=((-1)^((n-1)/(2))*1*3*5cdots n)/(2^((n-1)/(2)))xx G(-(n-1)/(2),(3)/(2),x^(2))H_{n}(x)=\frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots n}{2^{\frac{n-1}{2}}} \times G\left(-\frac{n-1}{2}, \frac{3}{2}, x^{2}\right)
Pentru cazul general vom avea deci, după (15)^('')(15)^{\prime \prime} :
P_(n)(x)={[(-1)^((n)/(2))","1.3.5 dots(n-1)(sqrt(-v))^(n)G(-(n)/(2),(1)/(2),-((x-beta)^(2))/(2v))],[(-1)^((n-1)/(2))","1.3.5.dots n.(sqrt()-v)^(n-1)(x-beta)G(-(n-1)/(2),(3)/(2),-((x-beta)^(2))/(2v))]:}P_{n}(x)=\left\{\begin{array}{l}(-1)^{\frac{n}{2}}, 1.3 .5 \ldots(n-1)(\sqrt{-v})^{n} G\left(-\frac{n}{2}, \frac{1}{2},-\frac{(x-\beta)^{2}}{2 v}\right) \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}}, 1.3 .5 . \ldots n .(\sqrt{ }-v)^{n-1}(x-\beta) G\left(-\frac{n-1}{2}, \frac{3}{2},-\frac{(x-\beta)^{2}}{2 v}\right)\end{array}\right.
după cum nn este par sau impar.
c) lambda!=0\lambda \neq 0 şi ecuatia (18) are două rădăcini distincte w_(1),w_(2)w_{1}, w_{2}.
P_(n)(x)={[(-1)^((n)/(2))","1.3.5 dots(n-1)(sqrt(-v))^(n)G(-(n)/(2),(1)/(2),-((x-beta)^(2))/(2v))],[(-1)^((n-1)/(2))","1.3.5.dots n.(sqrt()-v)^(n-1)(x-beta)G(-(n-1)/(2),(3)/(2),-((x-beta)^(2))/(2v))]:}P_{n}(x)=\left\{\begin{array}{l}(-1)^{\frac{n}{2}}, 1.3 .5 \ldots(n-1)(\sqrt{-v})^{n} G\left(-\frac{n}{2}, \frac{1}{2},-\frac{(x-\beta)^{2}}{2 v}\right) \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}}, 1.3 .5 . \ldots n .(\sqrt{ }-v)^{n-1}(x-\beta) G\left(-\frac{n-1}{2}, \frac{3}{2},-\frac{(x-\beta)^{2}}{2 v}\right)\end{array}\right.
după cum nn este par sau impar.
c) lambda!=0\lambda \neq 0 şi ecuatia (18) are două rădăcini distincte w_(1),w_(2)w_{1}, w_{2}.
Făcând transformarea
x=(w_(1)-w_(2))t-w_(1)x=\left(w_{1}-w_{2}\right) t-w_{1}
avem ecuatia in tt :
{:[t(1-t)y^('')+[rho+(1+lambda(2n-3))/(lambda)t]y^(')-(n)/( lambda)[1+lambda(n-2)]y=0],[rho=(omega_(1)[1+lambda(2n-3)]+beta-(n-2)mu)/(lambda(omega_(2)-omega_(1)))]:}\begin{gathered}
t(1-\mathrm{t}) y^{\prime \prime}+\left[\rho+\frac{1+\lambda(2 n-3)}{\lambda} t\right] y^{\prime}-\frac{n}{\lambda}[1+\lambda(n-2)] y=0 \\
\rho=\frac{\omega_{1}[1+\lambda(2 n-3)]+\beta-(n-2) \mu}{\lambda\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right)}
\end{gathered}
care e de forma hipergeometrică :
t(1-t)y^('')+[zeta-(xi+eta+1)t]y^(')-xi eta y=0t(1-t) y^{\prime \prime}+[\zeta-(\xi+\eta+1) t] y^{\prime}-\xi \eta y=0
cu solutia
Phi(xi,eta,zeta,t)=sum_(n=0)^(oo)(xi(xi+1)dots(xi+n-1)eta(eta+1)dots(eta+n-1))/(tau(zeta+1)dots(zeta+n-1))(f^(n))/(n!)\Phi(\xi, \eta, \zeta, t)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\xi(\xi+1) \ldots(\xi+n-1) \eta(\eta+1) \ldots(\eta+n-1)}{\tau(\zeta+1) \ldots(\zeta+n-1)} \frac{f^{n}}{n!}
Polinomul căutat e deci de forma :
Phi(xi,eta,zeta,t)=sum_(n=0)^(oo)(xi(xi+1)dots(xi+n-1)eta(eta+1)dots(eta+n-1))/(tau(zeta+1)dots(zeta+n-1))(f^(n))/(n!)\Phi(\xi, \eta, \zeta, t)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\xi(\xi+1) \ldots(\xi+n-1) \eta(\eta+1) \ldots(\eta+n-1)}{\tau(\zeta+1) \ldots(\zeta+n-1)} \frac{f^{n}}{n!}
Polinomul căutat e deci de forma :
{:[P_(n)=((-1)^(n)lambda^(n)rho(rho+1)dots(rho+n-1)(omega_(1)-omega_(2))^(n))/(n![lambda(n-2)+1][lambda(n-1)+1]dots[lambda(2omega-3)+1])],[Phi(-n,-(1+lambda(n-2))/(lambda),rho,(x_(1)+omega_(1))/(omega_(1)-omega_(2)))]:}\begin{gathered}
P_{n}=\frac{(-1)^{n} \lambda^{n} \rho(\rho+1) \ldots(\rho+n-1)\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)^{n}}{n![\lambda(n-2)+1][\lambda(n-1)+1] \ldots[\lambda(2 \omega-3)+1]} \\
\Phi\left(-n,-\frac{1+\lambda(n-2)}{\lambda}, \rho, \frac{x_{1}+\omega_{1}}{\omega_{1}-\omega_{2}}\right)
\end{gathered}
d) lambda!=0\lambda \neq 0, şi ecuatia (18) are o rădăcină dublă w=(mu)/(2lambda)w=\frac{\mu}{2 \lambda}.
Facem
t=-(lambda(x+omega))/(omega(1+lambda)+beta)t=-\frac{\lambda(x+\omega)}{\omega(1+\lambda)+\beta}
acuatia devine :
t^(2)y^('')-[1+(1+lambda(2n-3))/(lambda)t]y^(')+(n)/( lambda)[1+lambda(n-2)]y=0t^{2} y^{\prime \prime}-\left[1+\frac{1+\lambda(2 n-3)}{\lambda} t\right] y^{\prime}+\frac{n}{\lambda}[1+\lambda(n-2)] y=0
Această ecuațic e de forma:
t^(2)y^('')-[1-(xi+eta+1)t]y^(')+xi eta y=0t^{2} y^{\prime \prime}-[1-(\xi+\eta+1) t] y^{\prime}+\xi \eta y=0
căreia am ataşat seria divergentă ^(1){ }^{1} ).
T(xi,eta,l)=sum_(omega=0)^(oo)(xi(xi+1)dots(xi+n-1)eta(eta+1)dots(eta+n-1))/(n!)p^(n)T(\xi, \eta, l)=\sum_{\omega=0}^{\infty} \frac{\xi(\xi+1) \ldots(\xi+n-1) \eta(\eta+1) \ldots(\eta+n-1)}{n!} p^{n}
Rezultă dar, că polinomul e de forma
{:[P_(n)=((-1)^(n)[mu(1+lambda)+2lambda beta)^(n))/(2^(n)lambda^(n)[lambda(n-2)+1][lambda(n-3)+1]dots(lambda+1)(1-lambda))],[T(-n,-(1+lambda(n-2))/(lambda),(2lambda^(2)x+lambda mu)/(mu(1+lambda)+2lambda beta))]:}\begin{aligned}
P_{n}= & \frac{(-1)^{n}[\mu(1+\lambda)+2 \lambda \beta)^{n}}{2^{n} \lambda^{n}[\lambda(n-2)+1][\lambda(n-3)+1] \ldots(\lambda+1)(1-\lambda)} \\
& T\left(-n,-\frac{1+\lambda(n-2)}{\lambda}, \frac{2 \lambda^{2} x+\lambda \mu}{\mu(1+\lambda)+2 \lambda \beta}\right)
\end{aligned}
- In fine pentru ca studiul de fată să fie complet, revenind la pros blema initială, ar trebui să examinăm cazul când unii din A_(n)A_{n} sunt nuli. Pentru a nu lungi mult acest articol, vom da numai indicatiuni asupra acestui caz urmând ca să publicăm ulterior un studiu eomplet.
Să demonstrăm întâi lema:
Dacă polinomul f(x)f(\mathrm{x}) este de forma
(22) f(x)=(x+a)^(n)(x+b)^(m)quad n > 1,m > 1,a!=bf(x)=(x+a)^{n}(x+b)^{m} \quad n>1, m>1, a \neq b, nici una din derivatele f^('),f^(''),dotsf^((m+n-3))f^{\prime}, f^{\prime \prime}, \ldots f^{(m+n-3)} nu poate fif i de aceeaş formă. Cu alte cuvinte : ecuatia
Dacă polinomul f(x)f(\mathrm{x}) este de forma
(22) f(x)=(x+a)^(n)(x+b)^(m)quad n > 1,m > 1,a!=bf(x)=(x+a)^{n}(x+b)^{m} \quad n>1, m>1, a \neq b, nici una din derivatele f^('),f^(''),dotsf^((m+n-3))f^{\prime}, f^{\prime \prime}, \ldots f^{(m+n-3)} nu poate fif i de aceeaş formă. Cu alte cuvinte : ecuatia
- Vezi : T. Popoviciu loc. cit. p. 6.
(23)
f^((k))(x)=0quad k=1,2,dots m+n-3f^{(k)}(x)=0 \quad k=1,2, \ldots m+n-3
are cel putin trei rădăcini distincte.
Dacă a,ba, b, sunt reali lema rezultă din teorema lui Rolle. Ori în cazul general se poate face o transformare
Dacă a,ba, b, sunt reali lema rezultă din teorema lui Rolle. Ori în cazul general se poate face o transformare
y=ux+vy=u x+v
u,vu, v fiind reali sau complexi, astfel ca rădăcinile ecuației transformate să fie reale. Cum o astfel de transformare nu schimbă caracterul ecuației (23) rezultă că lema este adevărată oricare ar fi a,b;a!=ba, b ; a \neq b.
Dacă acum A_(n)=0A_{n}=0, din ecuațiile (2), (3) scoatem
{:(24)P_(n-1)=(x+a)^(k)(x+b)^(n-1-k):}\begin{equation*}
P_{n-1}=(x+a)^{k}(x+b)^{n-1-k} \tag{24}
\end{equation*}
şi dacă încă A_(n^('))=0,n^(') > nA_{n^{\prime}}=0, n^{\prime}>n
P_(n^(')-1)=(x+a^('))^(k^('))(x+b^('))^(n^(')-1-k^('))P_{n^{\prime}-1}=\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}^{\prime}\right)^{k^{\prime}}\left(\mathrm{x}+b^{\prime}\right)^{n^{\prime}-1-k^{\prime}}
Dar P_(n-1)P_{n-1} este o derivată a lui P_(n^(')-1)P_{n^{\prime}-1}, afară de un factor constant; deci relația precedentă e compatibilă cu (24), numai dacă k=0,k=1k=0, k=1.
Să presupunem dar că
{:(25)P_(n)=(x+a)^(k)(x+b)^(n-k):}\begin{equation*}
P_{n}=(\mathrm{x}+a)^{k}(\mathrm{x}+b)^{n-k} \tag{25}
\end{equation*}
se vede că dacă mai mulți A_(n)\mathrm{A}_{n} sunt nuli există un nn, cel puţin, pentru care p_(n)p_{n} e de forma (25) unde k=0k=0 sau 1 .
Pe ecuația (15) se vede că se poate întâmpla ca un singur A_(n)A_{n} să fie nul. Dacă
lambda=-(1)/(n-1)\lambda=-\frac{1}{n-1}
P_(n)P_{n} verifică ecuatia diferentială:
(-(x^(2))/(n-1)+mu x+v)Y^(')+((n)/(n-1)x+beta-(n-1)mu)Y=0\left(-\frac{x^{2}}{n-1}+\mu x+v\right) Y^{\prime}+\left(\frac{n}{n-1} x+\beta-(n-1) \mu\right) Y=0
Dar P_(n)P_{n} fiind luat sub forma (25), avem
P_(n^('))=(x+a)^(k-1)(x+b)^(n-1-k)(nx+k(b-a)+na)P_{n^{\prime}}=(\mathrm{x}+a)^{k-1}(\mathrm{x}+b)^{n-1-k}(n \mathrm{x}+k(b-a)+n a)
unde presupunem k > 1,n-k >= kk>1, n-k \geq k.
Se vede numai decât că
Se vede numai decât că
mu=-(a+b)/(n-1),v=-(ab)/(n-1),beta=-(a+b)+(k(b-a)+na)/(n-1)\mu=-\frac{a+b}{n-1}, v=-\frac{a b}{n-1}, \beta=-(a+b)+\frac{k(b-a)+n a}{n-1}
In ce priveşte funcţia generatoare suntem în cazul a) dela Nr. 5. Putem lua omega=b\omega=b, şi ecuaţia în tt a lui F_(1)F_{1} este
{:(26)t(d^(2)F_(1))/(dt^(2))-(n+t)(dF_(1))/(dt)+kF_(1)=0:}\begin{equation*}
t \frac{d^{2} F_{1}}{d t^{2}}-(n+t) \frac{d F_{1}}{d t}+k F_{1}=0 \tag{26}
\end{equation*}
t==(a-b)zt==(a-b) z
Ecuaţia (26) are soluţia
Csum_(i=0)^(k)(k(k-1)dots(k-i+1))/(n(n-1)dots(n-i+1))*(t^(i))/(i!)C \sum_{i=0}^{k} \frac{k(k-1) \ldots(k-i+1)}{n(n-1) \ldots(n-i+1)} \cdot \frac{t^{i}}{i!}
Tinand deci seamă de forma pe care trebue s'o aibe functia genem ratoare rezultă că
F_(1)=sum_(i=0)^(k)(k(k-1)dots(k-i+1))/(n(n-1)dots(n-i+1))*((a-b)^(2)z^(i))/(i!)F_{1}=\sum_{i=0}^{k} \frac{k(k-1) \ldots(k-i+1)}{n(n-1) \ldots(n-i+1)} \cdot \frac{(a-b)^{2} z^{i}}{i!}
Paris, 22 Octombrie 1928.
- Pentru legălura ce există între aceşti coeficienti și șirul (1) se poate vedea „ AA. supra unor polinoame remarcabile" de T. Popoviciu (Arad 1927).
- Vezi Revista Universitară Matematică 1 (1), pag. 1-15,
- T. Popoviciu "Asupra unor polinoame remarcabile" pag. 14.