Asupra polinoamelor cari formează un şir Appell (II)

${\mathit{A}}_n,{\mathit{B}}_n,{\mathit{C}}_n$${\mathit{A}}_n,{\mathit{B}}_n,{\mathit{C}}_n$A_(n),B_(n),C_(n)\boldsymbol{A}_{n}, \boldsymbol{B}_{n}, \boldsymbol{C}_{n}${\mathit{A}}_n,{\mathit{B}}_n,{\mathit{C}}_n$ find polinoame in x de grade $0,1,2$$0,1,2$0,1,20,1,2$0,1,2$ respectiv.
In particular am studiat cazul când $A_n\ne 0$$A_n\ne 0$A_(n)!=0A_{n} \neq 0$A_n\ne 0$ pentru orice $n$$n$nn$n$ și cazul ${\mathit{A}}_n=0$${\mathit{A}}_n=0$A_(n)=0\boldsymbol{A}_{n}=0${\mathit{A}}_n=0$ pentru orice $n$$n$nn$n$. Ne propunem acum a studia cazul al treilea semnalat în articolul sus=citat, când unii din ${\mathit{A}}_n$${\mathit{A}}_n$A_(n)\boldsymbol{A}_{n}${\mathit{A}}_n$ sunt nuli. Observăm că e suficient, a presupune totdeauna $C_n\ne 0$$C_n\ne 0$C_(n)!=0C_{n} \neq 0$C_n\ne 0$, căci dacă am avea o con= ditic de forma ${\mathit{C}}_n\equiv 0$${\mathit{C}}_n\equiv 0$C_(n)-=0\boldsymbol{C}_{n} \equiv 0${\mathit{C}}_n\equiv 0$, avem un caz particular al conditiei ${\mathit{A}}_n=0$${\mathit{A}}_n=0$A_(n)=0\boldsymbol{A}_{n}=0${\mathit{A}}_n=0$. Se poate întâmpla ca relația (3) să nu fie unică; convenim a spune că ${\mathit{A}}_n\ne 0$${\mathit{A}}_n\ne 0$A_(n)!=0\boldsymbol{A}_{n} \neq 0${\mathit{A}}_n\ne 0$ când nu există nici o relație (3) unde $A_n=0$$A_n=0$A_(n)=0A_{n}=0$A_n=0$. Am văzut la No. 3 al articolului precedent când aşa ceva este posibil.

Vom întrebuinta notatiile din articolul precedent, la care cetitorul este rugat a se referi.
2. Să presupunem

Rezultă imediat că putem lua

fără a pierde din generalitatea problemei, căci dacă ${\mathit{A}}_m=0$${\mathit{A}}_m=0$A_(m)=0\boldsymbol{A}_{m}=0${\mathit{A}}_m=0$ sau îl putem
${}^1$${}^1$^(1){ }^{1}${}^1$ ) Nota a doua. functie $\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}$$\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}$____\_\_\_\_$\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}$
Formulele de recurentă stabilite la No. 4 al articolului precedent ne dau,

oricare at fi $m\ge 2$$m\ge 2$m >= 2m \geq 2$m\ge 2$. Rezultă imediaf egalitatea functie de ${\lambda }_{n+2},{\mu }_{n+2},{\nu }_{n+2},{\beta }_{n+2}$${\lambda }_{n+2},{\mu }_{n+2},{\nu }_{n+2},{\beta }_{n+2}$lambda_(n+2),mu_(n+2),nu_(n+2),beta_(n+2)\lambda_{n+2}, \mu_{n+2}, \nu_{n+2}, \beta_{n+2}${\lambda }_{n+2},{\mu }_{n+2},{\nu }_{n+2},{\beta }_{n+2}$, care se reduct

ezultă imediat egalitatea

din care

din

deducem

(6)

Avem apoi relația de recurență: ${\beta }_m[(n+1)+(m-n-2){\lambda }_{n+2}]-{\beta }_{m-1}|n+1+(m-n-3){\lambda }_{n+2}|+{\mu }_{n+2}=0$${\beta }_m\left[(n+1)+(m-n-2){\lambda }_{n+2}\right]-{\beta }_{m-1}\left|n+1+(m-n-3){\lambda }_{n+2}\right|+{\mu }_{n+2}=0$beta_(m)[(n+1)+(m-n-2)lambda_(n+2)]-beta_(m-1)|n+1+(m-n-3)lambda_(n+2)|+mu_(n+2)=0\beta_{m}\left[(n+1)+(m-n-2) \lambda_{n+2}\right]-\beta_{m-1}\left|n+1+(m-n-3) \lambda_{n+2}\right|+\mu_{n+2}=0${\beta }_m[(n+1)+(m-n-2){\lambda }_{n+2}]-{\beta }_{m-1}|n+1+(m-n-3){\lambda }_{n+2}|+{\mu }_{n+2}=0$ de unde

Pentru a resolva complet problema rănâne să se determine ${\lambda }_m,{\mu }_m$${\lambda }_m,{\mu }_m$lambda_(m),mu_(m)\lambda_{m}, \mu_{m}${\lambda }_m,{\mu }_m$, $v_m,p_m,{\alpha }_m$$v_m,p_m,{\alpha }_m$v_(m),p_(m),alpha_(m)v_{m}, p_{m}, \alpha_{m}$v_m,p_m,{\alpha }_m$ pentru $m\le n+2$$m\le n+2$m <= n+2m \leq n+2$m\le n+2$.

Am văzut însă că

Putem scrie pentru simplificare

şi rezultatul general se va obține substituind lui $x,b_1,\mathrm{pc}x+b,a-b$$x,b_1,\mathrm{pc}x+b,a-b$x,b_(1),pcx+b,a-bx, b_{1}, \mathrm{pc} x+b, a-b$x,b_1,\mathrm{pc}x+b,a-b$ res= pectiv. Nu se pierde astfel nimic din generalitate, căci

caracterul polinoamelor se mentine deci prin această simplificare
3. Fie $k=0$$k=0$k=0k=0$k=0$, deci

polinoamele ${\mathit{P}}_{i,}\mathit{i}<\mathit{n}$${\mathit{P}}_{i,}\mathit{i}<\mathit{n}$P_(i,)i < n\boldsymbol{P}_{i,} \boldsymbol{i}<\boldsymbol{n}${\mathit{P}}_{i,}\mathit{i}<\mathit{n}$, sunt determinate, constantele ${\lambda }_m,{\mu }_m,{\nu }_m,{\alpha }_m,{\beta }_m\mathrm{cu}=$${\lambda }_m,{\mu }_m,{\nu }_m,{\alpha }_m,{\beta }_m\mathrm{cu}=$lambda_(m),mu_(m),nu_(m),alpha_(m),beta_(m)cu=\lambda_{m}, \mu_{m}, \nu_{m}, \alpha_{m}, \beta_{m} \mathrm{cu}=${\lambda }_m,{\mu }_m,{\nu }_m,{\alpha }_m,{\beta }_m\mathrm{cu}=$ noscute pentru $m\le n+1$$m\le n+1$m <= n+1m \leq n+1$m\le n+1$.

Să punem

c. ${\mathit{c}}_1$${\mathit{c}}_1$c_(1)\boldsymbol{c}_{1}${\mathit{c}}_1$ fiind două constante. Se vede că pentru a avea un caz interesant, nereductibil la cele studiate până acum, trebue să presupunem $c\ne 0$$c\ne 0$c!=0c \neq 0$c\ne 0$.

Aven atunci

şi se scoate imediat

Formulele (4), (5), (6), (7) ne dau acum $\mathrm{pc}{\lambda }_m,{\mu }_m,{\nu }_m,{\alpha }_m,{\beta }_m$$\mathrm{pc}{\lambda }_m,{\mu }_m,{\nu }_m,{\alpha }_m,{\beta }_m$pclambda_(m),mu_(m),nu_(m),alpha_(m),beta_(m)\mathrm{pc} \lambda_{m}, \mu_{m}, \nu_{m}, \alpha_{m}, \beta_{m}$\mathrm{pc}{\lambda }_m,{\mu }_m,{\nu }_m,{\alpha }_m,{\beta }_m$ şi toate relatiile (3) sunt determinate.

Putem scric în cazul din faţă

unde şirul de polinoame

verifică relatiile

Deci şirul de polinoame :

unde

este un şir APPELL verificând condiţia:
(11) $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+s+1}{s})R_s+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+s}{s-1})B_{n+s+1}{R}_{s-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+s-1}{s-2})$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+s+1}{s})R_s+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+s}{s-1})B_{n+s+1}{R}_{s-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+s-1}{s-2})$quad((n+s+1)/(s))R_(s)+((n+s)/(s-1))B_(n+s+1)R_(s-1)((n+s-1)/(s-2))\quad\binom{n+s+1}{s} R_{s}+\binom{n+s}{s-1} B_{n+s+1} R_{s-1}\binom{n+s-1}{s-2}$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+s+1}{s})R_s+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+s}{s-1})B_{n+s+1}{R}_{s-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+s-1}{s-2})$

Si polinoamele ${\mathit{R}}_s$${\mathit{R}}_s$R_(s)\boldsymbol{R}_{s}${\mathit{R}}_s$ intră in cazul studiat in a ficolul precedent sub No. 4.
Dar avem

întrăm deci in cazul general luând:

Se obţine apoi

căci ${\mathit{R}}_0=\mathit{c}$${\mathit{R}}_0=\mathit{c}$R_(0)=c\boldsymbol{R}_{0}=\boldsymbol{c}${\mathit{R}}_0=\mathit{c}$,

şi deci funtia generatoare este

Se poate dar spune pentru cazul general

că polinoamele sunt generate de functia

$b,c,d$$b,c,d$b,c,db, c, d$b,c,d$ find constante arbitrare.
Rezultatul precedent a fost obtinut in ipoteza $\sigma \ne 0$$\sigma \ne 0$sigma!=0\sigma \neq 0$\sigma \ne 0$.
Dacă $\sigma =0$$\sigma =0$sigma=0\sigma=0$\sigma =0$ procedeul pe care l'am aplicat in lucrarea precedentă nu are sens, dar e uşor de văzut că formula rămâne aplicabilă. Se obține funce tia generatoare

$P_{n+1}={\mathrm{x}}^n(\mathrm{x}+\frac{n+1}{n}{b}_1)+c,P_{n+2}={\mathrm{x}}^{n+1}(\mathrm{x}+\frac{n+2}{n}{b}_1)+(n+2)c\mathrm{x}+c_1$$P_{n+1}={\mathrm{x}}^n\left(\mathrm{x}+\frac{n+1}{n}{b}_1\right)+c,P_{n+2}={\mathrm{x}}^{n+1}\left(\mathrm{x}+\frac{n+2}{n}{b}_1\right)+(n+2)c\mathrm{x}+c_1$P_(n+1)=x^(n)(x+(n+1)/(n)b_(1))+c,P_(n+2)=x^(n+1)(x+(n+2)/(n)b_(1))+(n+2)cx+c_(1)P_{n+1}=\mathrm{x}^{n}\left(\mathrm{x}+\frac{n+1}{n} b_{1}\right)+c, P_{n+2}=\mathrm{x}^{n+1}\left(\mathrm{x}+\frac{n+2}{n} b_{1}\right)+(n+2) c \mathrm{x}+c_{1}$P_{n+1}={\mathrm{x}}^n(\mathrm{x}+\frac{n+1}{n}{b}_1)+c,P_{n+2}={\mathrm{x}}^{n+1}(\mathrm{x}+\frac{n+2}{n}{b}_1)+(n+2)c\mathrm{x}+c_1$ şi $\mathit{c}\ne 0$$\mathit{c}\ne 0$c!=0\boldsymbol{c} \neq 0$\mathit{c}\ne 0$.

Se găseşte că

Putem scrie şi aci

și polinoamele $Q_s$$Q_s$Q_(s)Q_{s}$Q_s$ verifică relatia (9). Se deduc polinoamele $\mathit{R}$$\mathit{R}$R\boldsymbol{R}$\mathit{R}$, cu relatia (11), care se scrie

şi se poate lua

şi functia generatoare este :

Se are pentru cazul general imediat :

Se poate ataşa cazului general luând

după cum am văzut în articolul trecut.
Am găsit :

Ecuatia care dă funcția generatoare se scrie:
punem

Toate integralele acestei ecuaţii sunt holomorfe în jurul originei. Intr'a= devăr avem un polinom