ASUPRA RESTULUI IN UNELE FORMULE DE DERIVARE NUMER1CĂ

de TIBERIU POPOVICIU

§ 1. Formule de exactitate maximă

1.

O formulă de derivare numerică este o formulă care permite evaluarea aproximativă a valorii derivatei de un anumit ordin dat al unei funcții, intr’un punct dat, printr’o combinație lineară dată a valorilor funcției și a unui număr finit dintre derivatele sale succesive, luate intr’un număr finit de puncte date.

O formulă de derivare numerică este deci o formulă de forma

f^{(m+r)}\left(x_{0}\right)=\sum_{j=0}^{r-1}a_{j}f^{(j)}\left(x_{0}\right)+\sum_{i=1}^{s}\sum_{j=0}^{r_{i}-1}a_{i,j}f^{(i)}\left(x_{i}\right)+R

(1)

care permite să atribuim lui $f^{(m+r)}\left(x_{0}\right)$ , ca valoare aproximativă, sumas din membrul al doilea (fără $R$ ). In această formulă coeficienții $a_{j},j=0,1,\ldots$ , $r-1,a_{i,j},j=0,1,\ldots,r_{i}-1,i=1,2,\ldots,s$ sunt niste constante reale date, $\operatorname{iar}f^{(i)}\left(x_{0}\right),j=0,1,\ldots,r-1,f^{(i)}\left(x_{i}\right),j=0,1,\ldots,r_{i}-1,i=1,2,\ldots,s$ sunt valorile functiei $f(x)$ și ale derivatelor sale succesive $f^{\prime}(x),f^{\prime\prime}(x),\ldots$ in punctele date $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots,x_{s}$ .

Numărul $R$ din membrul al doilea al formulei (1), este restul acestei formule. O expresie a restului, rezultată din natura funcţiei $f(x)$ , permite 0 evaluare a erorii care se comite prin aproximația indicată a membrului întâi.
2. Trebue să precizăm dela inceput ipotezele care vor fi păstrate în toată lucrarea și care sunt referitoare la datele formulei (1). Totodată, vom fixa şi câteva denumiri în legătură cu aceste date.
$1^{\circ}$ . Punctele

x_{1},x_{2},\ldots,x_{s}

(2)

de pe axa reală, presupuse distincte și în număr de $s\geqq 1$ , le vom numi nodurile formulei de derivare numerică.
$2^{\circ}$ . Fiecărui nod $x_{i}$ î este ataşat un ordin de multiplicitate $r_{i}$ . Numerele $r_{1},r_{2},\ldots,r_{s}$ sunt numere întregi pozitive.
$3^{\circ}$ . Punctul $x_{0}$ este diferit de nodurile (2) și îl vom numi punctul de deripare al formulei (1).
$\mathbf{4}^{\circ}$ . Punctului de derivare $x_{0}$ i se ataşează un ordin de multiplicitate $r$ , presupus întreg pozitiv sau nul.
$5^{\circ}$ . Numărul $m$ , intreg pozitio sau nul, îl vom numi indicele de derivare al formulei (1).

In fine relativ la funcția $f(x)$ vom face următoarea ipoteză, notând cu $[a,b]$ cel mai mic interval închis care conține nodurile și punctul de derivare.
$6^{\circ}$ . Functia reală $f(x)$ , de variabila reală $x$ , este definită si continuă în intervalul $[a,b]$ . Afară de aceasta, se presupune că ea admite derivatele care intervin efectiv în formula (1) și cel puțin în punctele în care valorile acestor derivate figurează efectiv în formula (1) ¹ ).

Ipoteza continuității este făcută în vederea studiului restului formulei (1).
Orice altă ipoteză făcută asupra datelor problemei va fi menționată în mod expres.

Există o mulțime infinită $\mathfrak{T}\mathfrak{C}$ de formule de derivare numerică (1), care sunt obtinute dând coeficientilor $a_{i},a_{i,j}$ toate valorile reale posibile și având toate următoarele caracteristice comune :
$1^{\circ}$ . Nodurile, $2^{\circ}$ . Ordinele de multiplicitate respective ale nodurilor, $3^{\circ}$ . Punctul de derivare, $4^{\circ}$ . Ordinul de multiplicitate al punctului de derivare, $5^{\circ}$ . Indicele de derivare.

Este util să notăm cu $p+1$ suma ordinelor de multiplicitate ale nodurilor, deci $r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{s}=p+1$ . Atunci $p\geqq 0$ și $p+1$ reprezintă numărul total al nodurilor, fiecare socotit cu ordinul său de multiplicitate. Pentru toate formulele din $\mathfrak{N}$ , numerele $p,r,m$ sunt aceleași.
Fiecărei formule (1) din $\mathfrak{N}$ î vom atașa două numere caracteristice importante : ordinul formulei si gradul de exactitate al formulei.
(3) Ordinul formulei (1) serveşte la precizarea sumei ordinelor de derivare, care intervin efectiv in membrul al doilea. Pentru aceasta, vom defini în felul următor numerele $r_{1}^{\prime},r_{2}^{\prime},\ldots,r_{s}^{\prime},r^{\prime}$ ataşate nodurilor şi punctului de derivare :
4. $r_{i}^{\prime}-1$ este ordinul cel mai înalt de derivare care intervine efectiv în nodul $x_{i}$ , deci,
$r_{i}^{\prime}=0$ , dacă toti coeficientii $a_{i,j},j=0,1,\ldots,r_{i}-1$ sunt nuli ;
$a_{i,r:-1}\neq 0,a_{i,j}=0,j=r_{i}^{\prime},r_{i}^{\prime}+1,\ldots,r_{i}-1$ , dacă coeficienții $a_{i,j}$ nu sunt toți nuli, $i=1,2,\ldots,s$ .
$r^{\prime}-1$ este ordinul cel mai inalt de derivare care intervine efectiv în punctul $x_{0}$ în membrul al doilea, deci,
$r^{\prime}=0$ , dacă $r=0$ sau dacă toți coeficienții $a_{j},j=0,1,\ldots,r-1$ sunt nuli,
$a_{r^{\prime}-1}\neq 0,a_{j}=0,j=r^{\prime},r^{\prime}+1,\ldots,r-1$ dacă coeficienții $a_{j}$ nu sunt toţi nuli.

⁰⁰footnotetext: ¹⁾ Acest fapt însemnează că coeficientul

a_{j}

a_{i,j}

corespunzător este diferit de zero.

Avem atunci :

0\leqq r^{\prime}\leqq r,0\leqq r_{i}^{\prime}\leqq r_{i};i=1,2,\ldots,s

Egalitatea $r^{\prime}=0$ , respectiv $r_{i}^{\prime}=0$ , insemnează că punctul de derivar€, respectiv nodul $x_{i}$ , nu figurează efectiv în membrul al doilea al formulei (1). Egalitatea $r^{\prime}=r(>0)$ , respectiv $r_{i}^{\prime}=r_{i}$ , însemnează că coeficientul $a_{r-1}$ , respectiv $a_{r_{i}-1}$ , este diferit de zero.

Prin definiție, suma $r_{1}^{\prime}+r_{2}^{\prime}+\ldots+r_{s}^{\prime}+r^{\prime}$ se va numi ordinul formulei de derivare numerică (1).

Ordinul formulei (1) este cel mult egal cu $p+r+1$ .
In mulțimea $\mathfrak{N}$ există o formulă care are ordinul egal cu 0 . Aceasta este formula trivială din $\mathscr{O}$ care are toți coeficienții $\overline{a_{j}},a_{i,j}$ nuli. Orice altă formulă din $\mathfrak{K}$ are ordinul pozitiv.

Furmula trivială nu prezintă niciun interes pentru problema derivării numerice.
4. Gradul de exactitate al formulei (1) ne arată cât de bună este aproximația studiată în cazul particular, când funcția $f(x)$ se reduce la un polinom de grad suficient de mic.

Restul $R$ al formulei (1) este valoarea, dată de această formulă, a unei funcționale aditive și omogene. Pentru a pune în evidență funcția $f(x)$ , vom nota această funcțională cu $R[f]$ .

Functionala $R[f]$ este definită in câmpul funcțiilor $f(x)$ , care verifică ipotezele de mai sus. Acest câmp este un câmp vectorial, care conține toate funcțiile derivabile de un număr suficient de ori în intervalul $[a,b]$ și deci, in particular, toate polinoamele.

Prin definitie, gradul de exactitate alfunctionalei $R[f]$ , sau al formulei (1), este un număr întreg $n\geq-1$ , astfel că :
$1^{\circ}.R[P]=0$ , pentru orice polinom $\boldsymbol{P}(x)$ de gradul $n^{1}$ ).
$2^{\circ}.R[P]\neq 0$ , pentru cel puțin un polinom $P(x)$ de gradul $n+1$ .
Definiția se aplică evident oricărei funcționale care este definită pentru toate polinoamele.

Din cauza aditivității și omogeneității funcționalei, gradul de exactitate $n$ se poate defini și prin următoarele proprietăți :
$1^{\circ}$ . Dacă $R[1]\neq 0$ , avem $n=-1$ .
$2^{\circ}$ . Dacă $R[1]=0,n$ este cel mai mic număr întreg, astfel ca

R\left[x^{i}\right]=0,i=0,1,\ldots.n,R\left[x^{n+1}\right]\neq 0.

Este utilă următoarea observație : pentru ca gradul de exactitate al func tionalei $R[f]$ să fie $>n$ , este necesar și suficient ca să avem $R[P]=0$ pentru orice polinom $P(x)$ de gradul $n$ şi $R\left(P_{1}\right)=0$ pentru cel puţin un pulinom $P_{1}(x)$ de grad efectiv $n+1$ . Intr’adevăr, orice polinom $Q(x)$ de gradul $n+1$ este de forma $Q(x)=CP_{1}(x)+P(x)$ , unde $C$ este o constantă și $P(x)$ un polinom de gradul $n$ . Avem atunci $R[Q]=CR\left[P_{1}\right]+R[P]=0$ .

Să introducem polinomul

l(x)=\left(x-x_{1}\right)^{\gamma_{1}}\left(x-x_{2}\right)^{\gamma_{2}}\ldots\left(x-x_{s}\right)^{\gamma_{s}}

(3)

⁰⁰footnotetext: ¹⁾ Un polinom de gradul -1 coincide cu polinomul identic nul.

Un calcul imediat ne dă atunci (enf. (1)).

R\left[\left(x-x_{0}\right)^{m^{\prime}+r}l(x)\right]=\left[\left(x-x_{0}\right)^{m^{\prime}+r}l(x)\right]_{x=x_{0}}^{(m+r)}=\frac{(m+r)!}{\left(m-m^{\prime}\right)!}l^{\left(m-m^{\prime}\right)}\left(x_{0}\right)

(4)

dacă $m^{\prime}$ este un număr întreg $\geq 0$ . Pentru $m^{\prime}>m$ această expresie este egală cu 0 .

Pentru $m^{\prime}=m$ , numărul (4) este diferit de 0 pe baza ipotezelor făcute. Rezultă de aici existenţa gradului de exactitate al funcționalei $R[f]$ . Mai rezultě uă acest grad de exactitate este $\leqq p+r+m$ .

Este clar că gradul de exactitate este determinat în mod unic.
Gradul de exactitate al formulei triviale din $\mathfrak{N}$ este egal cum $m+r-1$ , lucru ce se poate constata ușor.
5. Să considerăm polinomul de interpolare de gradul $p+r$

L(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x)

(5)

relativ la funcţia $f(x)$ și la sistemul de $p+r+1$ noduri, format din punctul $x_{0}$ repetat de $r$ ori și din punctele

\quad x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime}

(6)

care reprezintă nodurile (2), fiecare repetat de atâtea ori cât indică ordinul său de multiplicitate. Sistemul (6) reprezintă deci o renumerotare a nodurilor (2), ținând seama de multiplicitățile lor. Pentru fixarea notațiilor se poate presupune că :

x_{r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{i-1}+j}^{\prime}=x_{i},j=1,2,\ldots,r_{i},i=1,2,\ldots,s.

(7)

Dacă $r=0$ , punctul $\mathfrak{x}_{0}$ nu este nod al polinomului și nu figurează în notaţia (5).

Pclinomul (5) este polinomul de gradul cel mai mic care coincide cu functia $f(x)$ in cele $p+r+1$ noduri date. Prin aceasta se ințelege că, dacă un nod se repetă de $k$ ori, poline mul (5), impreună cu primele sale $k-1$ derivate, coincide cu functia $f(x)$ si cu primele sale $k-1$ derivate respective in acest nod. Polinc mul (5) este deci in general pclinomul lui Lagrange-Hermite [2], [3], care corespunde functiei și nodurilor puse in evidență prin notația (5), adică polinomul (unic) de gradul cel mai mic care verifică condițiile :

\begin{gathered}L^{(i)}(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1},x_{2},\ldots,x_{p+1};f\mid x_{i})=f^{(i)}\left(x_{v}\right)\\ i=0,1,\ldots,r_{i}-1,i=0,1,\ldots,s\quad\left(r_{0}=r\right)\end{gathered}

Forma explicită a pclinc mului (5) $\in$ ste bine cuncscută [3], [11]. Vom reaminti câteva din aceste rezultate sub forma utilizată aici.

\displaystyle\qquad\begin{aligned} L\left(\frac{d}{f_{0}},x_{0},\ldots,x_{0}\right.&\left.,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x\right)=\sum_{i=0}^{r-1}C_{i}(x)f^{(j)}\left(x_{0}\right)+\\ &+\sum_{i=1}^{s}\sum_{i=0}^{r_{i}-1}C_{i,j}(x)f^{(j)}\left(x_{i}\right)\end{aligned}

unde prima sumă din membrul al doilea dispare dacă $r=0$ . Aici $C_{j}(x)=C_{0,j}(x)$ , $C_{i,i}(x)$ sunt polinoame de gradul $p+r$ , complet determinate de condițiile
$1^{\circ}.C_{i,j}^{(j)}{}_{j}\left(x_{i}\right)=1$ ,
$2^{\circ}.C_{i,j}^{(u)}\left(x_{v}\right)=0$ , pentru $|u-j|+|v-i|\neq 0$ .

j=0,1,\ldots,r_{i}-1,\quad i=0,1,\ldots,s\quad\left(r_{0}=r\right).

Dacă punem

\left.\begin{array}[]{rl}c_{i}&=C_{j}^{(m+r)}\left(x_{0}\right),j=0,1,\ldots,r-1,\\ c_{i,j}&=C_{i,j}^{(m+r)}\left(x_{0}\right),j=0,1,\ldots,r_{i}-1,i=1,2,\ldots,s\end{array}\right\}

avem

L^{(m+r)}\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x_{0})=\sum_{j=0}^{r-1}c_{j}f^{(j)}\left(x_{0}\right)+

(10)

+\sum_{i=1}^{s}\sum_{i=0}^{r_{i}-1}c_{i,i}f^{(i)}\left(x_{i}\right)

și rezultă că

f^{(m+r)}\left(x_{0}\right)=L^{(m+r)}\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r}x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x_{0})+R

(E)

este o formulă de derivare numerică aparținând mulțimei $\mathfrak{N}$ .
Pe baza formulelor (9) este clar că pentru $m>p$ , formula (E) se reduce la formula banală. =
6. Ne propunem să determinăm gradul de exactitate al formulei (E). Pentru aceasta vom avea nevoie de următoarea lemă :

Le ma 1. Dacă două derivate de ordine consecutive $\mathrm{i},\mathrm{i}+1$ ale unui polinom cu toate rădăcinile reale au o rădăcină comună, această rădăcină este o rădăcină a polinomului de ordin de multiplicitate cel puțin egal cu $1+2$ .

Intr’adevăr, dacă rădăcina comună a derivatelor este $a$ , polinomul se poate scrie sub forma
$\alpha_{0}+\alpha_{1}(x-a)+\alpha_{2}(x-a)^{2}+\ldots+\alpha_{i-1}(x-a)^{i-1}+\alpha_{i+2}(x-a)^{i+2}+\ldots$
si dacă coeficientii $\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{i-1}$ nu ar fi toţi nuli, polinomul ar prezenta $o$ lacună de cel puțin 2 termeni, ceea ce este în contrazicere cu realitatea tuturor rădăcinilor. Presupunem, bineînțeles, că ordinul efectiv al polinomului este cel puţin $i$ .

Observăm acum că, dacă $f(x)$ este un polinom de gradul $p+r$ , avem

L\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x)=f(x)

(11)

şi pentru formula (E) avem atunci $R[f]=0$ . Aceasta ne arată că gradul de exactitate al formulei (E) este $\geq p+r$ . Se vede imediat că concluzia se menţine şi dacă (E) se reduce la formula banală.

Dacă $m\leq p$ , formula (4) ne dă, în particular,

	$\displaystyle R\left[\left(x-x_{0}\right)^{r}l(x)\right]$	$\displaystyle=\frac{(m+r)!}{m!}l^{(m)}\left(x_{0}\right),R\left[\left(x-x_{0}\right)^{r+1}l(x)\right]=$
		$\displaystyle=\frac{(m+r!)}{(m-1)!}l^{(m-1)}\left(x_{0}\right)$		(12)

și polinoamele $\left(x-x_{0}\right)^{r}l(x),\left(x-x_{0}\right)^{r+1}l(x)$ sunt respectiv de gradele efective $p+r+1,p+r+2$ .

Dacă $m=0$ , avem $l\left(x_{0}\right)\neq 0$ , pe baza ipotezelor făcute, iar dacă $m>0$ , ținând seamă și de lema 1, se vede că nu putem avea în acelaşi timp

l^{(m)}\left(x_{0}\right)=0,\quad l^{(m-1)}\left(x_{0}\right)=0.

Deducem deci următoarea teoremă :
Teorema 1. Gradul de exactitate al formulei $(E)$ este totdeauna $\geq\mathrm{p}+\mathrm{r}$ .

Dacă $\mathrm{m}>\mathrm{p}$ acest grad de exactitate este egal cu $\mathrm{m}+\mathrm{r}-1$ .
Dacă $\mathrm{m}\leqq\mathrm{p}$ , gradul de exactitate este egal cu $\mathrm{p}+\mathrm{r}$ dacă $1^{(\mathrm{m})}\left(\mathrm{x}_{0}\right)\neq 0$ şi este egal cu p + r + 1 dacă $1^{(\mathrm{m})}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=0$ .

Mai rezultă de aici că (E) se reduce la formula trivială dacă și numai dacă $m>p$ .
7. Fie (1) o formulă din $\mathfrak{M}$ , cu gradul de exactitate $\geqq p+r$ . Vom arăta că această formulă se reduce la formula (E). Pentru aceasta, să presupunem contrariul. Atunci, cel puţin unul din coeficienţii $a_{j}=a_{0,i},a_{i,j}$ este diferit de coeficientul $c_{j}=c_{0,j},c_{i,j}$ respectiv. Pentru moment, să notăm cu $R[f]$ restul formulei (1) și ou $R_{1}[f]$ restul formulei (E).

Pentru fixarea ideilor să presupunem că

a_{\beta,j}-c_{\beta,i}\left\{\begin{array}[]{l}\neq 0,j=\alpha\\ =0,j=\alpha+1,\alpha+2,\ldots,r_{i}-1.\quad\left(r_{0}=r\right)\end{array}\right.

Scăzând membru cu membru formula (E) din formula (1) și rezolvând în raport cu $f^{\left(\alpha_{1}\right)}\left(x_{\beta}\right)$ , găsim o formulă de forma

f^{(\alpha)}\left(x_{\beta}\right)=\sum_{j=0}^{\alpha-1}a_{j}^{\prime}f^{(j)}\left(x_{\beta}\right)+\sum_{i=1}^{s}\sum_{i=0}^{r_{i}-1}a_{i_{i},j}^{\prime}f^{(j)}\left(x_{i}\right)+R_{2}[f]

(14)

unde, dacă $\beta\neq 0$ în a doua sumă din membrul al doilea în loc de $x_{\beta},r_{\beta}$ se înțelege $x_{0},r$ respectiv. Restul $R_{2}[f]$ al formulei (14) este

R_{2}[f]=\frac{R_{1}[f]-R[f]}{a_{\beta,\alpha}-c_{\beta,\alpha}}

(15)

Avem, bineînțeles, $\alpha\leqq r_{\beta}-1\left(r_{0}=r\right)$ .
Pentru formula (14), numerele $p,r,m$ devin $p+r-r_{\beta},\max\{\alpha-1,0\},0$ respectiv, deci, pe baza unei observații dela punctul 4, gradul de exactitate
al acestei formule este $\leq p+r-r_{\beta}+\max\{\alpha-1,0\}\leq p+r-r_{\beta}+\alpha\leq<p+r-1$ . Insă din (15) se vede că gradul de exactitate este $\geq p+r$ . Această contrazicere ne arată că ipoteza (13) este inadmisibilă.

Putem dar enunța teorema următoare :
Teorema 2. În mulțimea $\mathfrak{I}\mathfrak{C}$ a formulelor de derivare numerică (1) există o formulă, și numai una singură, de grad de exactitate maxim, și această formulă este formula $(E)$ .

Pentru acest motiv, formula (E) se va numi o formulă de derivare numerică de exactitate maximă.
8. Putem acum preciza ordinul formulei ( $\mathbb{E}$ ). Acest ordin este $\leq p+r+1$ . Ordinul formulei poate să fie insă si mai mic decât $p+r+1$ , pentrucă anumiți coeficienți $c_{j},c_{i,j}$ pot fi nuli.

Dacă $m>p$ , ordinul este 0 .
Dacă $m\leq p$ , ordinul este un număr pozitiv. Să presupunem că acest ordin ar fi $p+r+1-\alpha$ , unde $\alpha\geq 0$ . In acest caz, formula (E) este în acelasi timp o formulă de derivare numerică dintr’o mulțime $\mathfrak{N}_{1}$ , care se deduce din $\mathscr{N}$ , modificând caracteristicele prin reducerea unui număr $\alpha$ de noduri (6) sau şi punctul $x_{0}$ de un anumit număr de ori, menținând însă suma $m+r$ . Numărul $p+r$ , prin trecerea în $\mathfrak{N}_{1}$ devine $p+r-\alpha$ . Dar formula având gradul de exactitate $\geq p+r\geq p+r-\alpha$ este o formulă de exactitate maximă în $\mathfrak{N}_{1}$ . In consecintă, sau formula se reduce la formula trivială din $\mathscr{N}_{1}$ , sau are gradul de exactitate cel mult egal $p+r+1-\alpha$ . Prima ipoteză este inadmisibilă pentrucă ar rezul formula să se reducă la formula trivială din $\mathfrak{I}\mathfrak{C}$ , ceea ce este zicere cu ipoteza $m\leq p$ . Din a doua ipoteză rezultă că $\alpha\leq 1$ . sall $\alpha=1$ .

Cazul $\alpha=1$ are loc dacă unul dintre coeficienții $c_{r-1},\,c_{i,r_{i}-1},\,i=1,2,\ldots,s$ este nul. De altfel, dacă unul dintre acești coeficienți este nul, ceilalți sunt în mod necesar diferiți de zero.

În cazul acesta, formula trece din mulțimea $\mathfrak{O}$ în mulțimea $\mathfrak{O}_{1}$ , prin suprimarea odată a punctului de derivare sau odată a unui nod $x_{i}$ . Prin această trecere, numerele $m,r$ devin $m+1,r-1$ respectiv, sau rămân neschimbate.

Primul caz nu poate avea loc decât dacă $m<p$ , pentru că altfel am ajunge în contrazicere cu faptul că formula în $\mathfrak{O}_{t}$ nu se reduce la formula trivială.

De asemenea, prin trecerea în $\mathscr{N}_{1}$ , polinomul $l(x)$ rămâne neschimbat sau devine $\frac{l(x)}{x-x_{i}}$ .

Formula considerată are în $\mathscr{N}_{1}$ gradul de exactitate $\leq p+r$ și rezultă că acest grad de exactitate este chiar $p+r$ , adică în $\mathfrak{K}_{1}$ formula se găsește în cazul când gradul său de exactitate se măreşte cu o unitate.

Din cele ce preced rezultă că vom avea $c_{r-1}=0$ , dacă și numai dacă $l^{(m+1)}\left(x_{0}\right)=0$ . Acest caz nu este posibil decât dacă $r>0$ și atunci toți coeficienţii $c_{i,r_{i}-1},i=1,2,\ldots,s$ sunt diferiți de zero, iar dacă $r>1$ avem și $c_{r-2}\neq 0$ . De asemenea, avem $c_{i,r_{i}-1}=0$ , dacă și numai dacă $\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]_{x=x_{0}}^{(m)}=0$ și atunci toți coeficienții $c_{\alpha,r_{\alpha}-1}\neq 0,\alpha=1,2,\ldots,i\leftarrow 1,i+1,\ldots,s$ . Avem de asemenea $c_{r-1}\neq 0$ dacă $r>0$ și $c_{i,r_{i}-2}\neq 0$ dacă $r_{i}>1$ .

Din discuția de mai sus rezultă următoarca teoremă :

Teorema-3. Dacă $\mathrm{m}\leq\mathrm{p}$ , gradul de exactitate al formulei ( $E$ ) este cel mult egal cu ordinul său. Gradul de exactitate şi ordinul, sunt egale dacă şi numai dacă $\mathrm{x}_{0}$ este o rădăcină, diferită de noduri, a unuia din polinoamele

l^{(m)}(x),l^{(m+1)}(x),\left\lfloor\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m)},\quad i=1,2,\ldots,s

(16)

In general, gradul de exactitate este $p+r$ si ordinul este $p+r+1$ . Gradul de exactitate și ordinul sunt ambii egali cu $p+r+1$ , dacă $x_{0}$ este o rădăcină a primului polinom (16). Gradul de exactitate și ordinul sunt ambii egali cu $p+r$ , dacă $x_{0}$ este o rădăcină a unuia din ultimele $s+1$ polinoame (16).
9. Din analiza precedentă rezultă că două oarecare dintre polinoamele (16) nu pot avea o rădăcină comună diferită de un nod. Acest lucru se poate demonstra și direct. Dacă $m=0$ , polinoamele, afară eventual de al doilea, nu au rădăcini diferite de noduri. De asemenea, proprietatea este imediată dacă $m=p$ , pentrucă atunci

l^{(p+1)}\left(x_{0}\right)=(p+1)!\neq 0,\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(p)}=p!\neq 0,i=1,2,\ldots,s

Să examinăm cazul general.
Din lema 1 rezultă că orice rădăcină comună a primelor două polinoame (16) este un nod de ordin de multiplicitate cel puțin egal cu $m+2$ .

Punând în evidență unul din ultimele $s$ polinoame (16), putem scrie

l^{(m)}(x)=\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m)}\left(x-x_{i}\right)+m\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m-1)}

Se vede de aici că orice rădăcină comună a polinoamelor $l^{(m)}(x),\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m)}$ este o rădăcină comună a polinoamelor $\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m)},\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m-1)}$ și, pe baza lemei 1 ; aceasta nu poate să fie decât un nod de ordin de multiplicitate cel puțin egal cu $m+1$ .

Avem de asemenea

		$\displaystyle{\left[\frac{l(x)}{x-x_{\alpha}}\right]^{(m)}=\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{\alpha}\right)\left(x-x_{\beta}\right)}\right]^{(m)}\left(x-x_{\beta}\right)+m\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{\alpha}\right)\left(x-x_{\beta}\right)}\right]^{(m-1)}}$
		$\displaystyle{\left[\frac{l(x)}{x-x_{\beta}}\right]^{(m)}=\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{\alpha}\right)\left(x-x_{\beta}\right)}\right]^{(m)}\left(x-x_{\alpha}\right)+m\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{\alpha}\right)\left(x-x_{\beta}\right)}\right]^{(m-1)}}$

de unde se vede că, dacă $\alpha\neq\beta$ , orice rădăcină comună a acestor polinoame este o rădăcină comună a polinoamelor

\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{\alpha}\right)\left(x-x_{\beta}\right)}\right]^{(m)},\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{\alpha}\right)\left(x-x_{\beta}\right)}\right]^{(m-1)}

și deci, pe baza lemei 1, este un nod de ordin de multiplicitate cel puțin egal cu $m+1$ .

In fine avem și

l^{(m+1)}(x)=\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m+1)}\left(x-x_{i}\right)+(m+1)\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m)}

(17)

care ne arată că orice rădăcină comună a polinoamelor

l^{(m+1)}(x),\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m)}

(18)

este o rădăcină comună a polinoamelor

\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m+1)}\left(x-x_{i}\right),\quad\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(n)}

Rezultă că orice rădăcină a polinoamelor (18) este sau nodul $x_{i}$ , sau, pe baza lemei 1, un nod de ordin de multiplicitate cel puțin egal cu $m+2$ .

Din analiza precedentă mai rezultă că prcprietatea coeficienților $c_{r-1}$ , $c_{r-2}$ (dacă $r>1$ ) de a nu putea fi ambii nuli este o consecință a faptului că polinoamele $l^{(m+1)}(x),l^{(m+2)}(x)$ nu pot avea o rădăcină comună diferită de un nod. Acest din urmă fapt rezultă din lema 1, pe baza căreia orice rădăcină comună a acestor polinoame este un nod de ordin de multiplicitate cel puțin c gal cu $m+3$ .

De asemenea, faptul că $c_{i,r_{i}-1},c_{i,r_{i}-2}$ (dacă $r_{i}>1$ ) nu pot fi ambii nuli rezultă din faptul că polinoamele

\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m)},\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{i}\right)^{2}}\right]^{(m)}

(19)

nu pot avea o rădăcină comună diferită de un nod. Avem însă

\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m)}=\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{i}\right)^{2}}\right]^{(m)}\left(x-x_{i}\right)+m\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{i}\right)^{2}}\right]^{(m-1)}

de unde se vede că orice rădăcină comună a polinoamelor (19) este o rădăcină comună a polinoamelor

\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{i}\right)^{2}}\right]^{(m)},\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{i}\right)^{2}}\right]^{(m-1)}

deci, pe baza lemei 1, un nod de ordin de multiplicitate egal cel puţin cu $m+1$ .

Teorema 3 și rezultatele precedente se pot stabili și direct, calculând coeficienții $c_{r-1},c_{r-2},c_{i,r_{i}-1},c_{i,r_{i}-2}i=1,2,\ldots,s$ ai polinomului (10).
10. Să revenim la formula (E). Vom spune că această formulă este excepfională, dacă ordinul său este egal cu gradul său de exactitate.

Formula (E) devine exceptională sub trei aspecte diferite : $1^{\circ}$ . Gradul de exactitate se mareşte cu o unitate, $2^{\circ}$ . Numărul $r^{\prime}$ , ataşat punctului de derivare, scade cu o unitate dela $r\left(r^{\prime}=r-1\right),3^{\circ}$ . Numărul $r_{i}^{\prime}$ , ataşat unui nod $x_{i}$ , scade cu o unitate dela $r_{i}^{\prime}\left(r_{i}^{\prime}=r_{i}-1\right)$ .

Din rezultatele dela punctul 8 rezultă însă că cele trei aspecte revin unul la altul prin trecerea formulei din mulțimea $\mathfrak{N}\mathfrak{C}$ intr’o mulțime analoagă $\mathfrak{N}_{\mathbf{1}}$ , prin următoarele modificări ale caracteristicelor lui $\mathfrak{N}$ .

Dacă formula (E) prezintă aspectul $1^{\circ}$ in $\mathfrak{M}$ , atunci ea prezintă :
Aspectul $2^{\circ}$ în mulțimea $\mathfrak{N}_{1}$ , obtinută prin mărirea cu o unitate a ordinului de multiplicitate a punctului de derivare și micsorarea cu o unitate a indicelui de derivare.

Aspectul $3^{\circ}$ in mulțimea $\mathscr{N}\mathfrak{c}_{1}$ , obtinută prin mărirea cu o unitate a ordinului de multiplicitate a nodului respectiv.

Dacă formula prezintă aspectul $2^{\circ}$ in $\mathscr{IK}$ , ea prezintă :
Aspectul $1^{\circ}$ in mulțimea $\mathfrak{N}_{1}$ , obținută prin micşorarea cu o unitate a ordinului de multiplicitate a punctului de derivare și mărirea cu o unitate a indicelui de derivare.

Aspectul $3^{\circ}$ în mulțimea $\mathfrak{N}_{1}$ , obținută prin micşorarea cu o unitate a ordinului de multiplicitate a punctului de derivare, mărirea cu o unitate a indicelui de derivare și mărirea cu o unitate a ordinului de multiplicitate a nodului respectiv.

Dacă formula prezintă aspectul $3^{\circ}$ in $\mathfrak{Ir}$ , ea prezintă :
Aspectul $1^{\circ}$ in mulțimea $\mathfrak{N}\mathfrak{C}_{1}$ , obtinută prin micsorarea cu o unitate a ordinului de multiplicitate a nodului respectiv.

Aspectul $2^{\circ}$ in mulțimea $\mathfrak{N}_{1}$ , obtinută prin mărirea cu o unitate a ordinului de multiplicitate a punctului de derivare, micsorarea cu o unitate a indicelui de derivare și micşorarea cu o unitate a ordinului de multiplicitate a nodului respectiv.
11. Echivalența celor trei aspecte ale excepționalității se poate exprima prin formule. Pentru a stabili aceste formule să considerăm formulele. generale :

	$\displaystyle L\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};f\mid x\right)=L\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\mid x\right)+$		(20)
	$\displaystyle+\prod_{i=1}^{k}\left(x-x_{i}\right)\cdot\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};f\right]$
	$\displaystyle L\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};f\mid x\right)=L\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k},\beta;f\mid x\right)+$
	$\displaystyle+\left(\alpha_{k+1}-\beta\right)\prod_{i=1}^{k}\left(x-\alpha_{i}\right)\cdot\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1},\beta;f\right]$		(21)

In aceste formule, $\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};f\right]$ este diferenta divizată de ordinul $k$ a functiei $f(x)$ pe cele $k+1$ noduri $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1}$ , distincte sau nu. Presupunem că se cunose definiția și principalele proprietăti ale diferențelor divizate, precum și de altfel ale polinoamelor de interpolare pe noduri distincte sau nu [6].

Furmula (20) ne dă, în particular

		$\displaystyle L(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x)=$
		$\displaystyle=L(\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r+1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x)-$
		$\displaystyle\quad-\left(x-x_{0}\right)^{r}l(x)[\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r+1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f]=$
		$\displaystyle=L(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime},x_{i};f\mid x)-$
		$\displaystyle\quad-\left(x-x_{0}\right)^{r}l(x)[\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime},x_{i};f].$

Derivând de $m+r$ ori și ținând seamă de $l^{(m)}\left(x_{0}\right)=0$ , deducem

	$\displaystyle L^{(m+r)}$	$\displaystyle\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x_{0})=$
		$\displaystyle=L^{(m+r)}\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r+1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x_{0})=$
		$\displaystyle=L^{(m+r)}\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime},x_{i};f\mid x_{0}),\left[l^{(m)}\left(x_{0}\right)=0\right]$

care indică trecerea formulei dela aspectul $1^{\circ}$ la aspectele $2^{\circ}$ şi $3^{\circ}$ respectiv. De asemenea, formulele (20), (21) ne dau

		$\displaystyle L\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x)=$
		$\displaystyle\quad=L\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r-1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x)+$
		$\displaystyle\quad+\left(x-x_{0}\right)^{r-1}l(x)[\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f]=$
		$\displaystyle\quad=L\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime},x_{i};f\mid x\right)+$
		$\displaystyle+\left(x_{0}-x_{i}\right)\left(x-x_{0}\right)^{r-1}l(x)\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime},x_{i};f]$

Derivând de $m+r$ ori și ținând seamă de $l^{(m+1)}\left(x_{0}\right)=0$ , deducem

		$\displaystyle L^{(m+r)}\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x_{0})=$
		$\displaystyle\quad=L^{(m+r)}\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r-1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x_{0})=$
		$\displaystyle\quad=L^{(m+r)}\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r-1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime},x_{i};f\mid x_{0}),\quad\left[l^{(m+1)}\left(x_{0}\right)=0\right]$

care indică trecerea formulei dela aspectul $2^{\circ}$ la aspectele $1^{\circ}$ si $3^{\circ}$ respectiv.
Tot formulele (20), (21) ne dau

		$\displaystyle L(\underbrace{}_{0},x_{0},\ldots,x_{0},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x)=$
		$\displaystyle\quad=L\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r},x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{p}^{\prime\prime};f\mid x)+$
		$\displaystyle\quad+\left(x-x_{0}\right)^{r}\frac{l(x)}{x-x_{i}}[\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x)=-$
		$\displaystyle\quad=L(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{p}^{\prime\prime};f\mid x)+$
		$\displaystyle\quad+\left(x_{i}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{r}\frac{l(x)}{x-x_{i}}[\underbrace{}_{\frac{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}{r+1}},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f]$

unde $x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{p}^{\prime\prime}$ sunt nodurile (6), dintre care s’a suprimat odată nodul $x_{i}$ . Derivând de $m+r$ ori și ținând seamă de $\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]_{x=x_{0}}^{(m)}=0$ , se deduce

	$\displaystyle L^{(m+r)}$	$\displaystyle\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x_{0})=$
		$\displaystyle=L^{(m+r)}\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r},x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{p}^{\prime\prime};f\mid x_{0})=$
		$\displaystyle=L^{(m+r)}(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r0},x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{p}^{\prime\prime};f\mid x_{0}),\left[\left(\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right)_{x=x_{0}}^{(m)}=0\right]$

care indică trecerea dela aspectul $3^{\circ}$ la aspectele $1^{\circ}$ și $2^{\circ}$ respectiv.
Noțiunea de formulă de exactitate maximă excepțională este astfel complet clarificată.
12. Fie $\mathfrak{T}^{0}$ reunirea mulțimilor $\mathfrak{N}$ , obținute variind punctul de derivare $x_{0}$ și lăsând neschimbate celelalte caracteristice ale lui $\mathfrak{N}$ . Există atunci un număr finit de formule excepționale în $\mathfrak{K}^{0}$ . Acest număr este egal cu numărul total al rădăcinilor distincte de noduri ale polinoamelor (16) dacă $r>0$ si este egal cu numărul total al rădăcinilor distincte de noduri ale primului și ultimelor $s$ polinoame (16) dacă $r=0$ .

Rădăcinile polinomului $l^{(m)}(x)$ sunt de două feluri. Unele, să le zicem improprii, provin din multiplicitatea nodurilor. Acestea sunt toate nodurile, dacă $m=0$ , și sunt acele noduri care sunt și rădăcini ale polinomului $l^{(m-1)}(x)$ , dacă $m>0$ . Orice rădăcină improprie este socotită cu ordinul său de multiplicitate și coincide, pe baza lemei 1, cu un nod de ordin de multiplicitate egal cu $m+1$ , cel puțin. Mai precis, numărul rădăcinilor impropri care coincid cu nodul $x_{i}$ este egal cu $\max\left\{0,r_{i}-m\right\}$ . Astfel, numărul total al rădăcinilor improprii ale polinomului $l^{(m)}(x)$ este egal cu

\sum_{i=1}^{s}\max\left\{0,r_{i}-m\right\}.

(22)

Celelalte rădăcini ale lui $l^{(m)}(x)$ , să le zicem proprii, sunt rădăcini simple. Astfel de rădăcini pot exista numai dacă $m>0$ . O rădăcină proprie poate coincide cu un nod, insă in orice caz nu cu cel mai mic sau cu cel mai mare dintre aceste noduri. Această din urmă proprietate rezultă din faptul că, rădăcinile derivatei unui polinom cu toate rădăcinile reale apartin totdeauna celui mai mic interval inchis care conține toate rădăcinile polinomului. Pe baza acestei proprietăți, dacă $l^{(m)}(x)$ se anulează într’un nod extrem, $l^{(n-1)}(x)$ se anulează de asemenea în acest nod. Acest nod are deci ordinul de multiplicitate cel puțin egal cu $m+1$ și deci este o rădăcină improprie. Dacă $x_{i}$ este rădăcină proprie, trebue să avem $r_{i}\leqq m-1$ . Pentru $r_{i}=m$ avem $l^{(m)}\left(x_{i}\right)\neq 0$ .

Numărul rădăcinilor proprii ale lui $l^{(m)}(x)$ este egal cu

N_{m}=p+1-m-\sum_{i=1}^{s}\max\left\{0,r_{i}-m\right\}

Dacă $m=0$ , avem $N_{m}=0$ . Dacă $m=1$ , avem $N_{m}=s-1$ si toate rădăcinile proprii sunt distincte de noduri. Dacă $m>1$ , cel mult max $\{0,s-2\}$ și bineînțeles cel mult $p+1-m$ , rădăcini proprii coincid cu un nod.

Numărul rădăcinilor improprii ale polinomului $\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}}\right]^{(m)}$ va fi egal cu

\sum_{i=1}^{s}\max\left\{0,r_{i}-m\right\}-\max\left\{0,r_{i}-m\right\}+\max\left\{0,r_{i}-m-1\right\}.

Rădăcinile proprii ale acestui polinom sunt simple și, pentru acelaşi motiv ca mai sus, diferite de cel mai mic și de cel mai mare nod. Rezultă că numărul total al rădăcinilor proprii ale ultimelor $s$ polinoame (16) este egal cu $(s-1)\left(N_{m}-1\right)+N_{m+1}$ . Rezultatele dela punctul 9 ne arată că două oarecare din polinoamele (16) nu pot avea o rădăcină comună diferită de un nod. De asemenea, formula (17) ne arată că, dacă $x_{i}$ este o rădăcină proprie a unuia din polinoamele (18), atunci este rădăcină proprie a ambelor polinoame (18), dar nu este rădăcină proprie a niciunui alt polinom (16). Dacă
un nod este o rădăcină proprie a polinomului $l^{(m)}(x)$ , atunci acest nod nu este rădăcină a niciunui alt polinom (16). Observăm, in fine, că cel mulţ - max $\{0,s-2\}$ noduri pot fi rădăcini proprii ale polinoamelor (16).

Din cele ce preced rezultă că putem enunța teorema următoare :
Teorema 4. Numărul N al formulelor (E) din $\mathfrak{N}^{0}$ , al căror grad de exactitate este egal cu $\mathrm{p}+\mathrm{r}+1$ , este egal cu 0 pentru $\mathrm{m}=0$ , egal cu s -1 pentru $\mathrm{m}=1$ și verifică inegalitătile

N_{m}-\max\{0,s-2\}\leq N^{\prime}\leqq N_{m}

pentru $\mathrm{m}>1$ .
Numărul $\mathrm{N}^{\prime\prime}$ al formulelor $(E)$ din $\mathfrak{N}^{0}$ , al căror ordin este egal cu $\mathrm{p}+\cdots$ este egal cu 0 dacă $\mathrm{m}=0,\mathrm{r}=0$ , egal cu $\mathrm{s}-1$ dacă $\mathrm{m}=0,\mathrm{r}>0$ și verifică inegalitățile.

\begin{gathered}\quad(s-1)\left(N_{m}-1\right)+N_{m+1}-\max\{0,s-2\}\leq\\ \leq N^{\prime\prime}\leq\left\{\begin{array}[]{l}(s-1)\left(N_{m}-1\right)+N_{m+1},\text{ dacă }r=0\\ (s-1)\left(N_{m}-1\right)+2N_{m+1},\text{ dacă }r>0\end{array}\right.\end{gathered}

pentru $\mathrm{m}>0$ .
Numărul N al formulelor (E) exceptionale din $\mathfrak{N}^{0}$ este egal cu 0 dacă $\mathrm{m}=\mathrm{r}=0$ , egàl cu s -1 dacă $\mathrm{m}=0,\mathrm{r}>0$ şi verifică inegalitățile

\begin{gathered}(s-1)\left(N_{m}-1\right)+N_{m}+N_{m+1}-\max\{0,s-2\}\leq\\ \leq N\leq\left\{\begin{array}[]{l}(s-1)\left(N_{m}-1\right)+N_{m}+N_{m+1},\text{ dacă }r=0\\ (s-1)\left(N_{m}-1\right)+N_{m}+2N_{m+1},\text{ dacă }r>0\end{array}\right.\end{gathered}

pentru $\mathrm{m}>0$ .
Numărul max $\{0,s-2\}$ din delimitările infcric are se poate amel a in functie de $p,m,s$ , dar nu ne ocupăm de această chestiune.
13. Putem delimita in mod destul de convenabil numărul (22) în funcţe numai de $p,m,s$ . Pentru aceasta ne vom folosi de următoarea lemă :

Lema 2. Dacă numerele $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k},\beta$ sunt nenegative, atunci are loc inegalitatea …

\max\left\{0,\sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}-k\beta\right\}\leq\sum_{i=1}^{k}\max\left\{0,\alpha_{i}-\beta\right\}\leq\max\left\{0,\sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}-\beta\right\}

(25)

Este destul să demonstrăm proprietatea pentru $k=2$ , căci pentru $k$ oarecare va rezulta prin inducţie completă.

Pentru $k=2$ , inegalitățile revin la ¹ )

\left|\alpha_{1}+\alpha_{2}-2\beta\right|\leq\left|\alpha_{1}-\beta\right|+\left|\alpha_{2}-\beta\right|\leq\left|\alpha_{1}+\alpha_{2}-\beta\right|+\beta

care se verifică imediat ² ).

⁰⁰footnotetext: 1. Avem

\max\{0,\alpha\}=\tfrac{1}{2}(\alpha+|\alpha|)

.
2. Fiecare membru este liniar în

\beta

, în intervalele determinate de punctele

0,\alpha_{1},\alpha_{2},\tfrac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2},\alpha_{1}+\alpha_{2},+\infty

. Este deci destul să se verifice inegalitățile pentru extremitățile finite ale acestor intervale și pentru

\beta>\alpha_{1}+\alpha_{2}

Prima inegalitate (23) revine la o inegalitate clasică și este adevărată oricare ar fi numerele $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k},\beta$ .

Revenind la delimitarea sumei (22), care pentru $m=0$ este egală cu $p+1$ , avem, pe baza lemei 2 ,
$\max\{0,p+1-sm\}\leq\sum_{i=1}^{s}\max\left\{0,r_{i}-m\right\}\leq\max\{0,p+2-s-m\}(m>0)$ , deoarece $r_{i}-1\geqq 0,m-1\geqq 0$ .

Observăm acum că $\left.{}^{1}\right)\alpha-\max\{\beta,\gamma\}=\min\{\alpha-\beta,\alpha-\gamma\}$ și deducem

	$\displaystyle\min\{p+1-m,s-1\}$	$\displaystyle\leqq N_{m}\leqq\min\{p+1-m,(s-1)m\},$		(24)
	$\displaystyle m$	$\displaystyle>0\quad\left(N_{0}=0\right).$

Numerele $(s-1)\left(N_{m}-1\right),N_{m},N_{m+1}$ sunt nule pentru $s=1$ .
Dacă $m=p$ , singurul punct $x_{0}$ pentru care formula poate să fie excepțională este

\frac{1}{p+1}\sum_{i=1}^{s}r_{i}x_{i}

(25)

pentrucă aceasta este rădăcina lui $i^{(p)}(x)$ .
Dacă $s>1,\quad 0<m<p$ , avem
$(s-1)[\min\{p+1-m,s-1\}-1]-\max\{0,s-2\}\geq 0,\min\{p-ms-1\}\geq 1$ care ne arată, ținând seamă de (24), că avem

(s-1)\left(N_{m}-1\right)+N_{m+1}-\max\{0,s-2\}\geq 1.

Ținând deci seama de teorema 4, deducem teorema următoare :
Teorema 5. În mulțimea respectivă nu există întotdeauna formule $(E)$ excepționale, afară de următoarele trei cazuri :

$1^{\circ}s=1.2^{\circ}m=p$ şi punctul (25) coincide cu un nod. $3^{\circ}m=0$ și $r=0$ .
14. Dacă in formula (1) avem $m+r>0$ și dacă coeficienții $a_{0}$ (dacă $r>0)a_{i,0},i=1,2\ldots,s$ sunt toți núli, formula este in acelaşi timp o formulă de derivare numerică pentru derivata $f^{\prime}(x)$ a funcţiei $f(x)$ . In acest caz, vom spune că formula (1) este reductibilă. In cazul contrar, vom spure că formula este ireductibilă. Formula (1) este deci reductibilă, respectiv ireductibilă, după cum în această formulă nu figurează niciuna, respectiv figurează efectiv cel puțin una, din valorile funcției in noduri și în punctul de derivare.

Este interesant să examinăm care sunt formulci de exactitate maximă reductibile. Pentru aceasta, să examinăm reductibilitatea formulei (E). Să presupunem că formula (E) nu este trivială și este reductibilă. Trebue atunci să avem $r=0$ , sau $r>1$ și $m+r>0$ . Să netăm cu ( $\mathrm{E}^{*}$ ) această for-
¹ ) Avem

\max\{\alpha,\beta\}=\frac{\alpha+\beta+|\alpha-\beta|}{2},\min\{\alpha,\beta\}=\frac{\alpha+\beta-|\alpha-\beta|}{2}.

mulă, privită ca o tormulă de derivare numerică pentru funcția $I^{\prime}(x)=g(x)$ . Folosind deci notațiile (10), avem

g^{(m+r-1)}\left(x_{0}\right)=\sum_{j=1}^{r-1}c_{j}g^{(j-1)}\left(x_{0}\right)+\sum_{i=1}^{s}\sum_{j=1}^{r_{i}-1}c_{i,j}g^{(j-1)}\left(x_{0}\right)+R

(*)

Pe baza celor stabilite mai sus, putem presupune că ordinul formulei (E) este $p+r+1$ . Să notăm cu $p^{*},r^{*},s^{*}$ numerele $p,r,s$ , corespunzătoare formulei (E*). Toate aceste fapte implică $r_{i}>1,i=1,2,\ldots,s$ şi avem atunci $p^{*}=p-s,s^{*}=s,r^{*}=0$ sau $r^{*}=r-1$ după cum $r^{\prime}=0$ sau $r>1$ .

Gradul de exactitate al formulei ( $\mathrm{E}^{*}$ ) este $p+r-1$ sau $p+r$ , după cum formula (E) nu este sau este exceptională, deoarece punând $g(x)=f^{r}(x)$ in $\left(\mathrm{E}^{*}\right)$ regăsim formula $(\mathrm{E})$ , iar $\left(x^{i}\right)^{\prime}=ix^{i-1}$ .

Se verifică acum imediat că $p+r-1\geqq p^{*}+r^{*}$ , ceea ce ne arată că (E*) este o formulă de exactitate maximă. Deoarece această formulă nu se reduce la formula trivială, gradul său de exactitate este $p^{*}+r^{*}$ sau $p^{*}+r^{*}+1$ , după cum ea nu este sau este exceptională. Am evaluat gradul de exactitate in două feluri diferite și rezultatele obținute trebue să coincidă. Dacă $s=1$ , formulele (E), (E*) nu pot fi exceptionale și atunci trebue să avem $p+r-1=p^{*}+r^{*}$ si se verifică imediat că această egalitate are loc dacă și numai dacă $r=0$ . Dacă $s>1$ , avem $p+r-1>p^{*}+r^{*}$ si egalitate intre gradele de exactitate nu poate avea loc decât dacă $p+r-1=p^{*}+r^{*}+1$ . Această egalitate are loc numai dacă $r=0$ si $s=2$ .

In definitiv deci, formula (E) nu poet
două cazuri :
nu poate fi reductibilă decât în următoarele cepțională.
acest caz, niciuna din formulele (E), (E*) nu este este exceptională.
Să se observe că o formulă (E) exceptionaľ este totă
In cazul $2^{\circ}$ , conditiile de exceptionalitate se scriu.

l^{(m)}\left(x_{0}\right)\neq 0,\quad\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}\right]_{x=x_{2}}^{(m-2)}=0

(26)

15.

Rămâne să mai demonstrăm că în cele două cazuri de mai sus formula (E) este efectiv reductibilă.

In cazul $1^{\circ}$ avem

L(\underbrace{x_{1},x_{1},\ldots,x_{1}}_{r_{1}};f\mid x)=\sum_{j=0}^{r_{1}-1}\frac{\left(x-x_{1}\right)^{j}}{j!}f^{(j)}\left(x_{1}\right)

deci $\mathrm{C}_{1,0}(x)=1$ , de unde $G_{1,0}^{(m)}\left(x_{0}\right)=c_{1,0}=0(m>0)$ .
In cazul $2^{\circ}$ , polinoamele $C_{1,0}^{\prime}(x),C_{2,0}^{\prime}(x)$ , de gradul $p-1$ , ⁹ pe baza formulelor (8) se divid cu polinomul

\frac{l(x)}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}

(27)

deci ele diferă numai prin niște factori constanţi de polinomul (27). Acești factori constanți sunt de altfel diferiți de zero, tot pe baza formulelor (8) ¹ ). Condițiile $c_{1,0}=c_{2,0}=0$ sunt deci echivalente cu a doua relație (26). Prima relație (26) este o consecință a analizei precedente.

Simultaneitatea condițiilor (26) se poate demonstra și direct. Avem

l^{\prime}(x)=\left[r_{1}\left(x-x_{2}\right)+r_{2}\left(x-x_{1}\right)\right]\frac{l(x)}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}

de unde deducem

	$\displaystyle l^{(m)}(x)=$	$\displaystyle{\left[r_{1}\left(x-x_{2}\right)+r_{2}\left(x-x_{1}\right)\right]\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}\right]^{(m-1)}+}$
		$\displaystyle+(p+1)(m-1)\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}\right]^{(m-2)}$

De aici se vede că orice rădăcină comună a polinoamelor $l^{(m)}(x)$ ,

		$\displaystyle{\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}\right]^{(m-2)}\text{ este o rădăcină comună a polinoamelor }}$
		$\displaystyle{\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}\right]^{(m-1)},\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}\right]^{(m-2)}}$

și o astfel de rădăcină, pe baza lemei 1 , coincide neapărat cu unul din nodurile $x_{1},x_{2}$ .

In definitiv putem enunța teorema următoare :
Teorema 6. Dacă $\mathrm{m}\leq\mathrm{p}$ , formula (E) este reductibilă dacă şi numai dacă :
$1^{\circ}\cdot\mathrm{r}=0,\mathrm{\penalty 10000\ s}=1,\mathrm{\penalty 10000\ s}au$
$2^{\circ}.\mathrm{r}=0,\mathrm{\penalty 10000\ s}=2$ şi $\mathrm{x}_{0}$ este o rădăcină, diferită de nodurile $\mathrm{x}_{1},\mathrm{x}_{2}$ ale polinomului

\left[\frac{l(x)}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}\right]^{(m-1)}

Proprietățile sunt exprimate prin formulele

\begin{gathered}L^{(m)}(\underbrace{x_{1},x_{1},\ldots,x_{1}}_{r_{1}};f\mid x)=L^{(m-1)}(\underbrace{x_{1};x_{1},\ldots,x_{1}}_{r_{1}-1};f^{\prime}\mid x)\\ \begin{array}[]{c}L^{(m)}(\underbrace{x_{1},x_{1},\ldots,x_{1}}_{r_{1}},\underbrace{x_{2},x_{2},\ldots,x_{2}}_{r_{2}};f\mid x_{0})=\\ \left.=L^{(m-1)}\right)\end{array}\\ \underbrace{x_{1},x_{1},\ldots,x_{1}}_{r_{1}-1},\underbrace{x_{2},x_{2},\ldots,x_{2}}_{r_{2}-1};f^{\prime}\mid x_{0})\end{gathered}

unde $x_{0}$ -verifică a doua condiție (26).

⁰⁰footnotetext: 1. Din

C_{1,0}(x)+C_{2,0}(x)=1

rezultă că aceşti factori sunt de semne contrare şi egnli în valoare absolută.

§ 2. Câteva considerații asupra restului

16.

In anumite cazuri particulare importante, restul $R$ al formulei (1) se pune sub o formă simplă și comodă. In cazul formulei de interpolare a lui Lagrange-Hermite

f\left(x_{0}\right)=L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};fx_{0}\right)+R

(28)

avem

R=R[f]=l\left(x_{0}\right)\left[x_{0},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\right]

(29)

unde $l(x)$ este polinomul (3) deja definit şi care pe haza notaţiilor (7) se poate scrie şi

l(x)=\left(x-x_{1}^{\prime}\right)\left(x-x_{2}^{\prime}\right)\ldots\left(x-x_{p+1}^{\prime}\right).

Restul furmulei (28), sub forma (29), se exprimă ca un produs dintre un număr diferit de zero și independent de funcția $f(x)$ și o diferență divizată de ordinul $p+1$ al functiefi $f(x)$ .

Pe baza formulelor

\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k+1};x^{i}\right]=\left\{\begin{array}[]{l}0,\text{ pentru }i=0,1,\ldots,k-1\\ 1,\text{ pentru }i=k\end{array}\right.

este vizibil că formula (28) are gradul do exactitate $p$ . Punând $f(x)=l(x)=x^{n+1}+\ldots$ in (28) și ținând seamă de formula (11), vedem că factorul diferenței divizate din (29) este egal cu

R[l]=R\left[x^{p+1}\right]=l\left(x_{0}\right)

17.

Vom spune că restul formulei (1) sau că funcționala $R[f]$ este de formă simplă dacă avem

R[f]=M\cdot\left[\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n+2};f\right]

(31)

oricare ar fi funcția $f(x)$ , unde $n$ este gradul de exactitate al formulei, $M$ o constantă diferită de zero și independentă de functia $f(x)$ , iar $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n-1},n+2$ puncte distincte din intervalul deschis $(a,b)$ .

In acest caz, pe baza formulelor (30), coeficientul $M$ este dat de egalitatea $M=R\left[x^{n+1}\right]=R[P]$ , unde $P(x)$ este un polinom oarecare de gradul $n+1$ , cu primul coeficient 1 .

Punctele $\xi_{i}$ depind in general de functia $f(x)$ , iar intervalul $[a,b]$ cste cel precizat în § 1.

De exemplu, aşa cum vom vedta mai jos, restul formulei (28) este de formă simplă.

Pentru simplificarea notațiilor, vom nota cu $D_{k}[f]0$ diferență divizată de ordinul $k$ a funcţiei $f(x)$ pe $k+1$ noduri distincte arbitrare din intervalul ( $a,b$ ). Dacă deci formula (1) are gradul de exactitate $n$ şi dacă restyl este de formă simplà, avem $R[f]=R\left[x^{n+1}\right]\cdot D_{n+1}[f].8$

Definița precedenta subsista pentru $n\geq 0$ . 0 vom menține și pentru
extremitățile intervalului $[a,b]$ . Această convenție simplifică expunerea. De altfel, în cazul, aproape banal, când $n=-1$ , este in general uşor să se recunoască dacă se poate alege sau nu punctul $\xi_{1}$ , in interiorul intervalului

In cazul când restul este de formă simplă, formula (31) ne dă indicatii suficiente asupra structurii acestui rest, pe baza proprietăților do ale diferentelor divizate, proprietăţi pe care le expunem într’o alţ lo lo Aceste proprietăti permit să se exprime restul in mod analog, cu diferentelor divizate ale derivatei de un anúmit ordin dat a funcţiei $f(x)$ , când această derivată există în intervalul ( $a,b$ ).
18. Pe baza unui rezultat anterior [9], pentru recunoaşterea formei simple a restului putem aplica următorul criteriu :
C. Pentru ca funcționala R [f] aditivă şi omogenă, cu gradul de exactitate n, să fie de formă simplă este necesar şi suficient ca R [f] să fie diferit de zero pentru orice funcție $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ convexă de ordinul n in $[\mathrm{a},\mathrm{b}]^{1}$ ).

Definitia formei simple și criteriul C se aplică nu numai restului formulei (1) dar si unei functionale aditive și omogene $R[f]$ , definită intr’un câmp vectorial $F$ de funcții continue in intervalul $[a,b]$ și conținând toate polinoamele.

O funcție $f(x)$ se zice neconcasă de ordinul $n$ in intervalul $[a,b]$ , dacă toate diferențele sale divizate pe $n+2$ puncte distincte din $[a,b]$ sunt nenegative. Funcţia se zice, în particular, convexă de ordinul $n$ in acest interval, dacă toate aceste diferente divizate sunt pozitive. Vom semnala la locul lor proprietățile utilizate aici ale funcțiilor neconcave şi convexe.

O funcție neconcavă de ordinul $n\geq 1$ , deci în particular o funcție convexă de ordinul $n\geqslant 1$ , este continuă in intervalul deschis ( $a,b$ ). Dacă $n>1$ , ea admite derivate continue de ordinele $1,2,\ldots,n-1$ in intervalul ( $a,b$ ) In general, o astfel de funcție nu are insă o derivată de ordinul $n$ în toate punctele intervalului ( $a,b$ ).

In general, câmpul $F$ al funcționalei $R[f]$ nu conține toate functiile convexe de ordinul $n$ în ( $a,b$ ) pentrucă, pe de o parte, prin ipoteză câmpul $F$ este format din funcții continue în $[a,b]$ , pe de altă parte funcționala poate depinde de valori ale derivatelor de ordin $>n-1$ ale functiei $f(x)$ . Criteriul C este însă întotdeauna aplicabil deoarece din demonstratia acestui criteriu [7], rezultă că este suficient să considerăm numai functile ordinul $n$ care apartin lui $F$ .
19. In enuntul criteriului $C$ condiția $R[f]\neq 0$ se poate inlocui cu condiția $R\left[f_{1}\right]R\left[f_{2}\right]>0$ pentru două funcţii oarecare $f_{1}(x)$ și $f_{2}(x)\in F$ , convexe de ordinul $n$ . Această proprietate rezultă din următoarea lemă, foarte utilă în aplicarea criteriului C .

Lema 3. Dacă n este gradul de exactitate al funcționalei R[f] aditivă şi omogenă şi dacă putem găsi două funcții $\mathrm{f}_{1}(\mathrm{x}),\mathrm{f}_{2}(\mathrm{x})$ neconcase de ordinul $\mathrm{n}^{\prime}\leqq\mathrm{n}$ în intervalul $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ astfel ca

R\left[f_{1}\right]R\left[f_{2}\right]<0

(32)

atunci există o funcție $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ , convexă de ordinul $\mathrm{n}^{\prime}$ in $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ , astfel ca

R[f]=0

(33)

⁰⁰footnotetext: ¹⁾ Criteriul sub această formă este suficient aici. In general, din faptul că

R[f]\neq 0

, pentru orice funcție convexă de ordinul

n

, rezultă că gradul de exactitate este

n

Se știe că o combinație liniară, cu coeficienți pozitivi, de mai multe (un număr finit) funcții neconcave de ordinul $n^{\prime}$ , dintre care cel puțin una este convexă de ordinul $n^{\prime}$ , este o funcție convexă de ordinul $n^{\prime}$ .

Să observăm acum că funcția $(x-a)^{n+1}$ este convexă de ordinul $n^{\prime}$ în intervalul $[a,b]$ .

Pe de altă parte, $R\!\left[(x-a)^{n+1}\right]\neq 0$ , din cauza definiției gradului de exactitate.

Rezultă că funcțiile …

		$\displaystyle f_{1}^{*}(x)=f_{1}(x)+\frac{1}{2}\left\|\frac{R\left[f_{1}\right]}{R\left[(x-a)^{n+1}\right]}\right\|(x-a)^{n+1}$
		$\displaystyle f_{2}^{*}(x)=f_{2}(x)+\frac{1}{2}\left\|\frac{R\left[f_{2}\right]}{R\left[(x-a)^{n+1}\right]}\right\|(x-a)^{n+1}$

sunt convexe de ordinul $n^{\prime}$ .
Ţinând seamă de (32), un calcul simplu ne arată că

R\left[f_{1}^{*}\right]R\left[f_{2}^{*}\right]=\frac{3}{4}R\left[f_{1}\right]R\left[f_{2}\right]<0.

Rezultă că funcția

f(x)=f_{1}^{*}(x)-\frac{R\left[f_{1}^{*}\right]}{R\left[f_{2}^{*}\right]}f_{2}^{*}(x)

este convexă de ordinul $n^{\prime}$ şi, se verifică imediat, satisface egalitatea (33).
Lema 3 este deci demonstrată.
Pentru $n^{\prime}=n$ , aplicând criteriul C , se deduce următoarea teoremă :
Teo rema 7. Dacă n este gradul de exactitate al functionalei R[f], aditisă : și omogenă şi dacă putem găsi două functii $\mathrm{f}_{1}(\mathrm{x}),\mathrm{f}_{2}(\mathrm{x})\in\mathrm{F}$ , neconcave de ordinul n in $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ , astfel ca să avem (32), atunci funcționala nu este de formăsimplă.
20. Restul $R$ al formulei (1) se poate studia sub forma mai simetrică

R[f]=\sum_{i=0}^{s}\sum_{j=0}^{T_{m}}b_{i,j}f^{(j)}\left(x_{i}\right)

(34)

unde pentru moment putem presupune

a=x_{0}\leqslant x_{1}<\ldots<x_{s}\leqslant b

Bineînțeles, câmpul $F$ al funcționalei (34) este format din funcțiile $f(x)$ continue în $[a,b]$ şi admiţând derivatele în punctele unde intervin efectiv în expresia lui $R[f]$ .

Vom căuta să stabilim câteva proprietăți în legătură cu forma simplă a funcționalei (34).

Să presupunem că gradul de exactitate este $n$ . Vom arăta că funcționala nu poate depinde efectiv de derivatele de ordin $>n+1$ în caz că forma ei este simplă. Pentru aceasta va fi destul, pe baza teoremei 7, ca în cazul contrar să construim două funcții $f_{1}(x),f_{2}(x)\in F$ neconcave de ordinul $n$ , astfel ca să avem inegalitatea (32).

⁰⁰footnotetext: ¹ ) Se poate arăta, de exemplu, că derivata de ordinul

n^{\prime}+1

a funcției este pozitivă în intervalul

[a,b]

Să presupunem deci că $b_{i,k}\neq 0,b_{i,j}=0,j=k+1,k+2,\ldots$ , unde $k\geq n+2$ .

Fie $\varepsilon$ un număr pozitiv destul de mic și care în cursul demonstrației va fi precizat și mai mult.

Să definim funcția continuă $\varphi_{\varepsilon}(x)$ în felul următor :
$1^{\circ}.\varphi_{\varepsilon}\left(x_{i}\right)=1$ .
$2^{\circ}.\varphi_{\varepsilon}(x)=0$ pentru $x\in\left[a,x_{i}-\varepsilon\right]\cup\left[x_{i}+\varepsilon,b\right],x\in[a+2\varepsilon,b]$ , respectiv $x\in[a,b-2\varepsilon]$ , după cum $0<i<s,i=0$ , respectiv $i=s$ .
$3^{\circ}\varphi_{\varepsilon}(x)$ este linear in fiecare din intervalele rămase din $[a,b]$ deci în $\left[x_{i}-\varepsilon,x_{i}\right]$ şi $\left[x_{i},x_{i}+\varepsilon\right],[a,a+2\varepsilon]$ , respectiv $[b-2\varepsilon,b]$ , după cum $0<i<s,i=0$ , respectiv $i=s$ .

Avem atunci $\varphi_{\varepsilon}(x)\geqq 0$ pentru $x\in[a,b]$ .
Să considerăm acum funcția

f_{\varepsilon}(x)=\int_{a}^{x}\frac{(x-t)^{k-1}}{(k-1)!}\varphi_{\varepsilon}(t)dt

Atunci, dacă $\varepsilon<\max\left\{x_{1}-x_{0},x_{s}-x_{s-1},\frac{x_{s}-x_{0}}{2}\right\}$ avem

f_{\varepsilon}^{(li)}(x)=\varphi_{\varepsilon}(x),\text{ pentru }x\in[a,b]

$0=f_{\varepsilon}^{(l-1)}(a)\leqq f_{\varepsilon}^{(l-1)}(x)\leqq f_{\varepsilon}^{(l-1)}(b)=\int_{a}^{b}\varphi_{\varepsilon}(t)dt=\varepsilon,\quad$ pentru $\quad x\in[a,b]$

f_{\varepsilon}^{(j)}(x)=\int_{a}^{x}\frac{(x-t)^{k-2-j}}{(k-2-j)!}f_{\varepsilon}^{(k-1)}(t)dt,\quad\text{ pentru }\quad j=0,1,\ldots,k-2

Rezultă atunci imediat că
$0\leqq f_{\varepsilon}^{(i)}(x)\leqq\varepsilon\frac{(b-a)^{k-1-j}}{(k-1-j)!}$ , pentru $x\in[a,b]$ si $j=0,1,\ldots,k-1$ .

Fie acum $A$ o constantă oarecare diferită de zero și să considerăm funcția

f(x)=Af_{\varepsilon}(x)+|A|\frac{\varepsilon(b-a)^{k-n-2}}{(n+1)!(k-n-2)!}(x-a)^{n+1}

(36)

Avem atunci

f^{(n+1)}(x)=Af_{\varepsilon}^{(n+1)}(x)+|A|\frac{\varepsilon(b-a)^{k-n-2}}{(k-n-2)!}

și deci, pe baza lui (35),

f^{(n+1)}(x)\geq 0,\quad x\in[a,b].

Această inegalitate ne arată că funcția $f(x)$ este neconcavă de ordinul $n$ in $[a,b]$ .

Tinând seama de (36), deducem
$f^{(j)}(x)=\left\{\begin{array}[]{c}Af_{\varepsilon}^{(j)}(x)+|A|\frac{\varepsilon(b-a)^{k-n-2}}{(n+1-j)!(k-n-2)!}(x-a)^{n+1-j},\\ \quad j=0,1,\ldots,n+1\\ Af_{\varepsilon}^{(j)}(x),j=n+2,n+3,\ldots,k-1\end{array}\right.$
pentru $x\in[a,b]$ .
Ţinând seama de (35), avem

\left|f^{(j)}(x)\right|\leq 2|A|(b-a)^{k-1-i}\zeta,\quad j=0,1,\ldots,k-1,x\in[a,b].

(37)

Dacă acum presupunem că

\frac{1}{2}\min_{i=0,1,\ldots,s}\left\{x_{i+1}-x_{i}\right\}.

(38)

avem şi

f^{(j)}\left(x_{\alpha}\right)=0,\text{ pentru }j\geq k,\alpha=0,1,\ldots,i-1,i+1,\ldots,s.

(39)

Tinând seama de $f^{(k)}\left(x_{i}\right)=A$ şi de (34), (37), (39), deducem

\left|R[t]-b_{i,k}A\right|<\left(\sum_{i=0}^{s}\sum_{j=1}^{k-1}\left|b_{i,j}\right|\right)2|A|\cdot\max\left\{1,(b-a)^{k-1}\right\}\cdot\varepsilon

Alegând pe $\varepsilon$ destul de mic și în orice caz astfel ca inegalitatea (38) să fie verificată, deducem

\left|R[t]-b_{i,k}A\right|<\frac{\left|b_{i,k}A\right|}{2}

care ne arată că atunci $R[f]$ are semnul lui $b_{i,k}A$ . Dar $A$ a fost ales oarecare. Luând $A=1$ și notând cu $f_{1}(x)$ funcția (36) astfel obținută, și luând aroi $A=-1$ şi notând cu $/_{2}(x)$ funcția (36) astfel obținută, inegalitatea (32) cste verificată.

Putem dar enunța următoarea teoremă :
Te o rema 8. Dacă gradul de exactitate al funcționalei (34) este n, această junctională nu poale fi de formă simplă decât dacă nu conține efectip derivate de ordin $>\mathrm{n}+1$ .

Cu alte cuvinte, funcționala nu poate fi de formă simplă decât dacă $b_{i,j}=0$ pentru $j>n+1,i=0,1,\ldots,s$ .

Vom examina in particular funcționala (32) cu gradul de exactitate $-1,0$ sau 1.
21. Să presupunem că gradul de exactitate este -1. Teorema 8, care se aplică și aici, ne arată că funcţionala (32) este în mod necesar de forma

R[f]=\sum_{i=0}^{s}b_{i}f\left(x_{i}\right)

(40)

dacă ea este de formă simplă.

Pentru ca functionala (40) să fie de formă simplă, este necesar ca coeficienţii $b_{0},b_{1},\ldots,b_{s}$ să fie de același semn ¹ ). Intr’adevăr, să presupunem contrariul, și fie $b_{\alpha}b_{\beta}<0$ . Atunci, inegalitatea (32) este verificată daeă pentru $j_{1}(x)$ luăm o functie continuă nenegativă, astfel ca $j_{1}\left(x_{\alpha}\right)=1,j_{1}\left(x_{i}\right)=0$ , $j=0,1,\ldots,\alpha-1,\alpha+1,\ldots,s$ și pentru $t_{2}(x)$ luăm o funcție continuă nenegativă, astfel ea $f_{2}\left(x_{\beta}\right)=1,f_{2}\left(x_{j}\right)=0,j=0,1,\ldots,\beta-1,\beta+1,\ldots,s$ .

Condiţia este şi suficientă, căci dacă ea este indeplinită, din

R[1]=\sum_{i=0}^{s}b_{i}\neq 0

rezultă că $R[y]\neq 0$ pentru orice funcție pozitivă $f(x)$ .
Deducem prin urmare următoarea teoremă :
Teorema 9. Condiţia necesară şi suficientă ca funcţionala (40) să fie de gradul de exactitate -1 şi să fie de formă simplă este ca toți coeficientii $\mathrm{b}_{i},\mathrm{i}=0,1,\ldots,\mathrm{\penalty 10000\ s}$ să fie de acelaşi semn, fără să fie toți nuli.

Dacă condiția este indeplinită, avem deci

\sum_{i=0}^{s}b_{i}f\left(x_{i}\right)=\left(\sum_{i=0}^{s}b_{i}\right)D_{0}[f]

care exprimă de altfel o proprietate binecunoscută a funcţiilor continue. Aici $D_{0}[f]=f(\xi)$ . Punctul $\xi$ aparține, în general, intervalului inchis $[a,b]$ . Dacă, de exemplu, $s>1$ și cel puțin unul din coeficienții $b_{2},b_{3},\ldots,b_{s-1}$ este diferit de zero, punctul $\xi$ se poate alege in intervalul $(a,b)$ .

Ca o aplicație, să se observe că condiția necesară și suficientă pentru ca formula (1) să fie de grad de exactitate -1 și cu restul de formă simplă este ca $m=r=0$ si ca $a_{i,0}\leqq 0,a_{i,j}=0$ , pentru $j=1,2,\ldots,r_{i}-1,i=1,2,\ldots,s$ .
22. Dacă funcţionala (34) este de grad de exactitate 0 și de formă simplă, atunci, conform teoremei 8, ea este in mod necesar de forma

R[f]=\sum_{i=0}^{s}\left[b_{i}f\left(x_{0}\right)+b_{i}^{\prime}f^{\prime}\left(x_{i}\right)\right].

(41)

Condițiile ca gradul de exactitate să lie 0 sunt

\sum_{i=0}^{s}b_{i}=0,\quad\sum_{i=0}^{s}\left(b_{i}x_{0}+b_{i}^{\prime}\right)\neq 0.

(42)

Să căutăm acum condiții necesare pentru ca funcţionala să fie și de formă simplă.

Prima relație (42) este necesară căci 1 și -1 sunt ambele funcții nedescrescătoare și avem

R[1]\cdot R[-1]=-\left(\sum_{i=0}^{s}b_{i}\right)^{2}

și dacă condiția nu ar fi îndeplinită, am satisface la inegalitatea (32).
De asemenea, a doua condiție (42) este necesară, căci altfel am avea $R[x]=0$ , si $x$ este o funcție crescătoare.

⁰⁰footnotetext: ¹⁾ Aceasta insemnează că numerele sunt toate nenegative sau toate nepozitive. Un singur număr este considerat ca având totdeauna același semn.

Fie acum $f(x)$ o funcție continuă, nedescrescătoare, egală cu 0 pentru $x\in\left[a,x_{i-1}+\varepsilon\right]$ și egală cu 1 pentru $x\in\left[x_{i}-\varepsilon,b\right],\in$ fiind un număr pozitiv des.tul de mic $\left[\varepsilon<\frac{1}{2}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\right]$ . Avem atunci

R[f]=b_{i}+b_{i+1}+\ldots+b_{s}

Pe baza teoremei 7 , trebue deci ca numerele

b_{i}+b_{i+1}+\ldots+b_{s},\quad i=1,2,,\ldots s

(43)

să fie de acelaşi semn.
Fie apoi funcţia $f(x)$ egală cu 0 pentru $x\leq x_{i}-\varepsilon$ , egală cu $2\varepsilon$ pentru $x\geqq x_{i}+\varepsilon$ și lineară in intervalul $\left[x_{i}-\varepsilon,x_{i}+\varepsilon\right]$ , unde $\varepsilon$ este un număr pozitiv destul de mic, $\varepsilon<\min_{i=1,2,3}\left\{x_{i}-x_{i-1}\right\}$ . Această funcție este nedescrescătoare și avem

R[f]=\varepsilon\left[\left(b_{i}+b_{i+1}+\ldots+b_{s}\right)+b_{i+1}+b_{i+2}+\ldots+b_{s}\right]+b_{i}^{\prime}

Deoarece e poate fi luat oricât de mic, se vede, tot pe baza teoremei 7, că numerele

b_{0}^{\prime},b_{1}^{\prime},\ldots,b_{s}^{\prime}

(44)

împreună cu numerele (43) trebue să fie de același semn.
In fine, vom pune în evidență încă o condiție necesară. Fie $f(x)$ funcția definită în felul următor :

\begin{gathered}f(x)=x-\frac{\left(x-x_{i-1}\right)\left(x-x_{i}\right)\left(2x-x_{i-1}-x_{i}\right)}{\left(x_{i}-x_{i-1}\right)^{2}},\text{ pentru }x\in\left[x_{i-1},x_{i}\right]\\ i=1,2,\ldots,s.\end{gathered}

Avem atunci
$f^{\prime}(x)=-\frac{6}{\left(x_{i}-x_{i-1}\right)^{2}}\left(x-x_{i-1}\right)\left(x-x_{i}\right)$ , pentru $x\in\left[x_{i-1},x_{i}\right],i=1,2,\ldots,s$ și se vede că funcția este continuă și derivabilă în intervalul $[a,b]$ . Insă $f\left(x_{i}\right)=x_{i},f^{\prime}\left(x_{i}\right)=0,i=0,1,\ldots,s$ si $f^{\prime}(x)>0$ , pentru $x\in\left(x_{i-1},x_{i}\right)i=1,2,\ldots,s$ aşa că funcția $f(x)$ este crescătoare şi avem

R[f]=\sum_{i=0}^{s}b_{i}x_{i}

Deducem prin urmare condiția necesară

b_{i}x_{i}\neq 0

(45)

Să arătăm acum că condițiile stabilite sunt și suficiente.
Pe baza primei relații (42) putem scrie

R[f]=\sum_{i=1}^{s}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(b_{i}+b_{i+1}+\ldots+b_{s}\right)\left[x_{i-1},x_{i};f\right]+\sum_{i=0}^{s}b_{i}^{\prime}f^{\prime}\left(x_{i}\right)

(46)

care se obține aplicând formula de transformare a lui Abel.

Observăm acum că

\sum_{i=1}^{s}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(b_{i}+b_{i+1}+\ldots+b_{s}\right)=\sum_{i=0}^{s}b_{i}x_{i}

ceea ce se obține făcând $f(x)=x$ în (41) și (46). Condiția (15) implică deci faptul că numerele (43) nu sunt toate nule.

Dacă acum $f(x)$ este o funcţie crescătoare, avem

\left[x_{i-1},\dot{x}_{i};f\right]>0,i=1,2,\ldots,s,f^{\prime}\left(x_{i}\right)\geqq 0,i=0,1,\ldots.s

aşa că prima relație (42), condiția (45) și faptul că numerele (43), (44) sunt de același semn, implică, pe baza formulei (46), că $R[f]\neq 0$ .

Să se observe că prima relație (42) și condiția (45) atrag după sine a doua condiție (42), dacă numerele (43), (44) sunt de același semn.

Avem deci următoarea teoremă :
Teorem a 10. Conditiile necesare și suficiente pentru ca funcționala (41) să fie de gradul de exactitate 0 şi de formă simplă sunt ca să avem

\sum_{i=0}^{s}b_{i}=0,\quad\sum_{i=0}^{s}b_{i}x_{i}\neq 0

şi ca numerele

b_{s},b_{s}+b_{s-1},\ldots,b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{s},b_{0}^{\prime},b_{1}^{\prime},\ldots,b_{s}^{\prime}

să tie de acelaşi semn.
23. Pentru ca formula (1) să aibă gradul de exactitate 0 și să fie de formă simplă, este necesar să avem $m+r\leq 1$ și $a_{i,j}=0,j=2,3,\ldots,r_{i}-1$ , $i=1,2,\ldots,s$ . Pentru scrierea celorlalte condiții, trebue să se țină seama de poziția mutuală a nodurilor și a punctului de derivare.

Pentru fixarea ideilor, putem presupune că nodurile sunt în ordine crescătoare, deci

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{s}

(47)

Trebue să distingem aici trei cazuri :
$1^{\circ}.m=r=0$ . Presupunând $x_{i-1}<x_{0}<x_{i}$ , condiţiile necesare şi suficiente sunt atunci

\sum_{i=1}^{s}a_{i,0}=1,\quad\sum_{i=1}^{s}a_{i,0}x_{i}\neq x_{0}

și ca numerele

\left.\begin{array}[]{c}-\left(a_{1,0}+a_{2,0}+\ldots+a_{j,0}\right),j=1,2,\ldots,i-1\\ a_{j,0}+a_{i+1,0}+\ldots+a_{s,0},j=i,i+1,\ldots,s\\ a_{i,1},j=1,2,\ldots,s\end{array}\right\}

să fie de același semn.
Dacă $i=1$ sau $i=s+1$ primul, respectiv al doilea șir de numere (48) dispare. In aceste cazuri avem $x_{0}<x_{1}$ , respectiv $x_{0}>x_{s}$ .
$2^{\circ}.m=0,r=1$ . Presupunând iarăşi $x_{i-1}<x_{0}<x_{i}$ condițiile necesare şi suficiente sunt

a_{0}+\sum_{i=0}^{s}a_{i,0}=0,\quad a_{0}x_{0}+\sum_{i=1}^{s}a_{i,0}x_{i}\neq 0

și ca toate numerele (48) să fie nepozitive, cu restricţia de mai sus, dacă $i=1$ sau $i=s+1$ .
3. $m=1,r=0$ . Condițiile necesare și suficiente sunt

\sum_{i=1}^{s}a_{i,0}=0,\quad\sum_{i=1}^{s}a_{i,0}x_{i}\neq 0

și ca numerele

a_{i,0}+a_{i+1,0}+\ldots+a_{s,0},\quad i=2,3,\ldots,s;\quad a_{i,1},\quad i=1,2,\ldots,s

să fie toate nepozitive.
Există o singură formulă (E) de grad de exactitate 0 , care este de formă simplă si pe care o vom semnala la § 5.
24. Dacă functionala (34) este de gradul de exactitate 1 și de formă simplă, atunci, conform teoremei 8, ea este în mod necesar de forma

R[f]=\sum_{i=0}^{s}\left[b_{i}f\left(x_{i}\right)+b_{i}^{\prime}f^{\prime}\left(x_{i}\right)+b_{i}^{\prime\prime}f^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)\right]

(49)

Condiţiile ca gradul de exactitate să fie 1 sunt

\sum_{i=0}^{s}b_{i}=0,\quad\sum_{i=0}^{s}\left(b_{i}x_{i}+b_{i}^{\prime}\right)=0,\quad\sum_{i=0}^{s}\left(b_{i}x_{i}^{2}+2b_{i}^{\prime}x_{i}+2b_{i}^{\prime\prime}\right)\neq 0

(50)

Să căutăm iarăşi condițiile necesare pentru ca funcţionala (49) să fie de formă simplă.

Primele două condiții (50) sunt necesare, deoarece funcţiile $1,-1,x,-x$ sunt neconcave de ordinul 1 și

R[1]R[-1]=-\left(\sum_{i=0}^{s}b_{i}\right)^{2},\quad R[x]R[-x]=-\left[\sum_{i=0}^{s}\left(b_{i}x_{i}+b_{i}^{\prime}\right)\right]^{2}

Să considerăm funcția

f(x)=\frac{x-x_{i}+\varepsilon+\left|x-x_{i}+\varepsilon\right|}{2}

unde $\varepsilon$ este un număr pozitiv $<x_{i}-x_{i-1}$ . Această funcţie este neconcavă de ordinul 1 in $[a,b]$ şi avem

\begin{array}[]{r}R[f]=\lambda_{i+1}+\lambda_{i+2}+\ldots+\lambda_{s}+b_{i}^{\prime}+b_{i+1}^{\prime}+\ldots+b_{s}^{\prime}+\\ +\varepsilon\left(b_{i}+b_{i+1}+\ldots+b_{s}\right)\end{array}

unde am pus

\lambda_{i}=\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(b_{i}+b_{i+1}+\ldots+b_{s}\right),\quad i=1,2,\ldots,s

De asemenea, funcția

f(x)=\frac{-x+x_{i-1}+\varepsilon+\left|x-x_{i-1}-\varepsilon\right|}{2}

este neconcavă de ordinul 1 în $[a,b]$ și avem ( $\varepsilon<x_{i}-x_{i-1}$ )

\begin{array}[]{r}R[f]=\lambda_{i}+\lambda_{i+1}+\ldots+\lambda_{s}+b_{i}^{\prime}+b_{i+1}^{\prime}+\ldots+b_{s}^{\prime}+\\ +\varepsilon\left(b_{i}+b_{i+1}+\ldots+b_{s}\right)\end{array}

Formulele (51) ; (52) au loc oricât de mic ar fi $\varepsilon$ pozitiv. Se deduce imediat, pe baza teoremei 8 , că numerele ¹ )

\left\{\begin{array}[]{l}\lambda_{i}+\lambda_{i+1}+\ldots+\lambda_{s}+b_{i}^{\prime}+b_{i+1}^{\prime}+\ldots+b_{s}^{\prime}\\ \lambda_{i+1}+\lambda_{i+2}+\ldots+\lambda_{s}+b_{i}^{\prime}+b_{i+1}^{\prime}+\ldots+b_{s}^{\prime}\end{array}\quad i=1,2,\ldots,s\right.

trebue să fie de același semn.
Fie acum $f(x)$ funcţia nulă pentru $x\leqq x_{i}-\varepsilon$ , egală cu $\left(x-x_{i}+\varepsilon\right)^{2}$ in intervalul $\left[x_{i}-\varepsilon,x_{i}+\varepsilon\right]$ și egală cu $4\varepsilon\left(x-x_{i}\right)$ pentru $x\geq x_{i}+\varepsilon$ . Aceasta este o funcție continuă neconcavă de ordinul 1 in $\left.[a,b]^{2}\right)$ și pentru $\varepsilon$ destul de mic $\left(\varepsilon<x_{i}-x_{i-1},x_{i+1}-x_{i}\right)$ avem

	$\displaystyle R[f]=\varepsilon^{2}b_{i}+2\varepsilon b_{i}^{\prime}+4\varepsilon\left(\lambda_{i+1}+\lambda_{i+2}\right.$	$\displaystyle+\ldots+\lambda_{s}+b_{i+1}^{\prime}+$
		$\displaystyle\left.+b_{i+2}^{\prime}+\ldots+b_{s}^{\prime}\right)+2b_{i}^{\prime\prime}$

Numărul $\varepsilon$ putând fi oricât de mic pozitiv, tot pe baza teoremei 8 , v dem că numerele

b_{0}^{\prime\prime},b_{1}^{\prime\prime},\ldots,b_{s}^{\prime\prime}

(54)

sunt de același semn cu numerele (53).
In fine, ca și în cazul $n=0$ , vom pune în evidență încă o condiție necesară. Fie $f(x)$ funcţia definită în felul următor :

f(x)=x^{2}-\frac{\left(x-x_{i-1}\right)^{2}\left(x-x_{i}\right)^{2}}{\left(x_{i}-x_{i-1}\right)^{2}},\text{ pentru }x\in\left[x_{i-1},x_{i}\right],\quad i=1,2,\ldots,s

Avem atunci
$f^{\prime\prime}(x)=-\frac{12}{\left(x_{i}-x_{i-1}\right)^{2}}\left(x-x_{i-1}\right)\left(x-x_{i}\right)$ , pentru $x\in\left[x_{i-1},x_{i}\right],i=1,2,\ldots,s$ .
Se vede că funcția este continuă și are o derivată a doua, continuă în intervalul $[a,b]$ . Insă $f\left(x_{i}\right)=x_{i}^{2},f^{\prime}\left(x_{i}\right)=2x_{i},f^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)=0,i=0,1,\ldots,s$ și $f^{\prime\prime}(x)>0$ pentru $x\in\left(x_{i-1},x_{i}\right),i=1,2,\ldots,s$ , aşa că funcţia $f(x)$ este convexă de ordinul 1 și avem

R[f]=\sum_{i=0}^{s}\left(b_{i}x_{i}^{2}+2b_{i}^{\prime}x_{i}\right)

¹ ) Pentru $i=s$ , al doilea număr se reduce la $b_{s}^{\prime}$ .
² ) Este util să se facă o reprezentare grafică a acestei funcții, ca și de altfel a celorlalle functii auxiliare intrebuinţate aici.

Avem, aşa dar, și condiția necesară

\sum_{i=0}^{s}\left(b_{i}x_{i}^{2}+2b_{i}^{\prime}x_{i}\right)\neq 0

(55)

Să arătăm acum că condițiile găsite sunt și suficiente. Acest lucru rezultă din formula

	$\displaystyle R[f]=\sum_{i=1}^{s}\left(x_{i}\right.$	$\displaystyle\left.-x_{i-1}\right)\left(\lambda_{i}+\lambda_{i+1}+\ldots+\lambda_{s}+b_{i}^{\prime}+b_{i+1}^{\prime}+\right.$
		$\displaystyle\left.+\ldots+b_{s}^{\prime}\right)\cdot\left[x_{i-1},x_{i-1},x_{i};f\right]+\sum_{i=1}^{s}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(\lambda_{i+1}+\lambda_{i+2}+\right.$
		$\displaystyle\left.+\ldots+\lambda_{s}+b_{i}^{\prime}+b_{i+1}^{\prime}+\ldots+b_{s}^{\prime}\right)\cdot\left[x_{i-1},x_{i},x_{i};f\right]+\sum_{i=0}^{s}b^{\prime\prime}f^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)$

care este valabilă când primele două condiții (50) sunt îndeplinite. Această formulă este un caz particular al formulei generale de transformare a diferențelor divizate și se obține aplicând de două ori formula de transformare a lui Abel [6]. Dacă punem $f(x)=x^{2}$ , deducem

\begin{gathered}\sum_{i=1}^{s}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(\lambda_{i}+\lambda_{i+1}+\ldots+\lambda_{s}+b_{i}^{\prime}+b_{i+1}^{\prime}+\ldots+b_{s}^{\prime}\right)+\\ +\sum_{i=1}^{s}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(\lambda_{i+1}+\lambda_{i+2}+\ldots+\lambda_{s}+b_{i}^{\prime}+b_{i+1}^{\prime}+\ldots+b_{s}^{\prime}\right)=\\ =\sum_{i=0}^{s}\left(b_{i}x_{i}^{2}+2b_{i}^{\prime}x_{i}\right)\end{gathered}

și atunci, pe baza ipotezei (55), cel puțin unul din numerele (53) este diferit de zero.

Dacă $f(x)$ este o funcție convexă de ordinul 1 , avem

\begin{gathered}{\left[x_{i-1},x_{i-1},x_{i};f\right]>0,\quad\left[x_{i-1},x_{i},x_{i};f\right]>0,\quad i=1,2\ldots,s}\\ f^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)\geq 0,i=0,1\ldots,s\end{gathered}

aşa că primele două egalități (50), condiția (55) și faptul că numerele (53), (54) sunt de același semn implică $R[f]\neq 0$ .

Să se observe că în aceleași condițiuni a treia relație (50) rezultă.
Teorema 11. Condițiile necesare și suficiente pentru ca funcționala (49) să fie de gradul de exactitate 1 și de formă simplă sunt ca primele două relatii (50) să fie verificate, ca inegalitatea (55) să fie verificată şi ca numerele (53), (54) să jie de același semn.
25. Pentru ca formula (1) să fie de gradul de exactitate 1 și de formă simplă, este necesar ca $m+r\leq 2$ şi ca $a_{i,j}=0,j=3,4\ldots,r_{i}-1,i=1,2\ldots s$ . Exprimarea celorlalte condiții depinde de pozițiile mutuale ale nodurilor și ale punctului de derivare.

Să presupunem că nodurile sunt în ordine crescătoare, că avem deci (47) : Vom putea exprima atunci condițiile necesare și suficiente după valorile lui
$m,r$ și poziția punctului $x_{0}$ faţă de noduri. Aceste condiții sunt destul de complicate. Va fi deci destul să arătăm in fiecare caz cum aducem restul la forma (49), studiată mai sus, și pentru care punctele $x_{0},x_{1}\ldots x_{s}$ sunt în ordine crescătoare. Condițiile vor fi exprimate atunci cu ajutorul coeficientilor $b_{i},b_{i}^{\prime},b_{i}^{\prime\prime}$ .

Trebue să distingem 6 cazuri. Vom presupune în general că $x_{i-1}<x_{0}<x1^{\circ}.m=r=0$ . O serie de condiții necesare și suficiente devin

\sum_{i=1}^{s}a_{i,0}=1,\sum_{i=1}^{s}\left(a_{i,0}x_{i}+a_{i,1}\right)=x_{0},\sum_{i=2}^{s}\left(a_{i,0}x_{i}^{2}+2a_{i,1}x_{i}\right)\neq x_{0}^{2}

iar celelalte condiții se deduc reducând restul la forma (49) ¹ ) ceea ce revine la înlocuirea în (49) a şirului de puncte $x_{0},x_{1},\ldots,x_{s}$ ou $x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1}$ , $x_{0},x_{i},\ldots x_{s}$ şi punând apoi

\left.\begin{array}[]{ll}b_{i}=a_{i+1,0},&b_{j}^{\prime}=a_{j+1,1},\quad b_{j}^{\prime\prime}=a_{j+1,2},\quad j=0,1,\ldots i-2\\ b_{i-1}=-1,&b_{i-1}^{\prime}=b_{i-1}^{\prime\prime}=0\\ b_{j}=a_{j,0},&b_{i}^{\prime}=a_{j,1},\quad b_{j}^{\prime\prime}=a_{j,2},\quad j=i,i+1,\ldots,s\end{array}\right\}

$2^{\circ}.m=0,r=1$ . Reducere analoagă, numai că a doua serie de formule (56) devine

b_{i-1}=a_{0},\quad b_{i-1}^{\prime}=-1,\quad b_{i-1}^{\prime\prime}=0

3.

$m=1,r=0$ . Reducere analoagă, a doua serie de formule (56) devine

b_{i-1}=0,\quad b_{i-1}^{\prime}=-1,\quad b_{i-1}^{\prime\prime}=0

4.

$m=0,r=2$ . Reducere analoagă cu

b_{i-1}=a_{0},\quad b_{i-1}^{\prime}=a_{1},\quad b_{i-1}^{\prime\prime}=-1

5.

$m=r=1$ . Reducere analoagă cu

b_{i-1}=a_{0},\quad b_{i-1}^{\prime}=0,\quad b_{i-1}^{\prime\prime}=-1

6.

$m=2,r=0$ . Reducere analoagă cu

b_{i-1}=b_{i-1}^{\prime}=0,\quad b_{i-1}^{\prime\prime}=-1

In cazurile $4^{\circ},5^{\circ},6^{\circ}$ semnul tuturor numerelor (53), (54) corespunzătoare este nepozitiv.

Dacă $i=1$ deci $x_{0}<x_{1}$ , prima serie de formule (56) se suprimă, iar dacă $i=s+1$ deci $x_{s}<x_{0}$ , a treia serie de formule (56) se suprimă.

Există 5 formule (E) de grad de exactitate 1 pe care le vom semnala în § 5.

⁰⁰footnotetext: ¹ ) Mai cxact (pentru simplificarea expunerii) restul schimbat de semn este adus la accastă formă, fapt care nu restrânge generalitatea problemei.

§ 3. Un criteriu pentru recunoaşterea formei simple a restului unei formule de exactitate maximă

26.

Să reluăm formula de derivare numerică (E). Vom presupune întâi $r=0$ , deci vom considera formula

f^{(m)}\left(x_{0}\right)=L^{(m)}\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x_{0}\right)+R

(57)

Pentru studiul restului acestei formule, putem pleca dela cazul $m=0$ , considerând întâi formula (28).

Deoarece la un moment dat va fi comod să considerăm punctul $x_{0}$ ca variabil, îl vom nota atunci, pentru mai multă claritate, cu $x$ . Formula (29) ne arată că dacă punem

R(x)=l(x)\left[x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\right]

(58)

restul formulei (28) este $R=R\left(x_{0}\right)$ , iar restul formulei (57) va fi dat de egalitatea

R=R[f]=R^{(m)}\left(x_{0}\right)

(59)

Derivata de ordinul $m,R^{(m)}(x)$ se poate calcula din formula (58). Avem

R^{(m)}(x)=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}l^{(m-i)}(x)\left[x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\right]^{(i)}

(

\prime

)

Insă [5]

\left[x,\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{li};j\right]^{(i)}=i!\underbrace{[x,x,\ldots,x}_{i+1},\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f]

(60)

din care se deduce și formula mai generală

	$\displaystyle{[\underbrace{x,x,\ldots,x}_{j},\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f]^{(i)}=}$		(61)
	$\displaystyle\qquad=\frac{(i+j-1)!}{(j-1)!}[\underbrace{x,x,\ldots,x}_{i+j},\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{1};\rho]$

unde $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}$ sunt noduri fixe si $x$ este 0 variabilă.
Ținând seama de (60), formula (59’) devine

R^{(m)}(x)=m!\sum_{i=0}^{m}\frac{l^{(m-i)}(x)}{(m-i)!}\underbrace{[x,x,\ldots,x}_{i+1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f]

(62)

27.

Vom transforma acum formula (62) într’o altă formulă care se va dovedi utilă.

Putem scrie

R^{(m)}(x)=\sum_{i=0}^{m}A_{m,i}(x)[\underbrace{x,x,\ldots,x}_{i+1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1-i}^{\prime};n]

(63)

unde coeficienții $A_{m,i}(x),i=0,1,\ldots,m$ sunt polinoame în $x$ , complet determinate și independente de funcția $f(x)$ .

Această formulă rezultă dintr’o formulă generală de transformare [6] aplicată funcționalei aditive și omogene (62), definită pentru funcțiile $f(x)$ date pe punctele

\underbrace{x,x,\ldots,x}_{m+1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime}

(64)

luate în această ordine.
Formula (63) se deduce din formula (62), aplicând în mod convenabil diferentelor divizate din membrul al doilea formula de recurență a diferențelor divizate până ce toate aceste diferențe divizate se exprimă linear și omogen în functie de diferente divizate de ordinul $p+1$ luate pe câte $p+2$ puncte consecutive din sirul (64).

Polinoamele $A_{m,i}(x),i=0,1,\ldots,m$ se pot calcula explicit punându-se sub o formă comodă. Derivând formula (63) în raport cu $x$ și ținând seama de formulele (59) și (61), deducem

	$\displaystyle\sum_{i=0}^{m+1}A_{m+1,i}(x)[\underbrace{x,x,\ldots,x}_{i+1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1-i}^{\prime};f]=$
$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum_{i=0}^{m}A_{m_{i}^{\prime}}^{\prime}(x)[\underbrace{x,x,\ldots,x}_{i+1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1-i}^{\prime};f]+$	(65)
$\displaystyle+$	$\displaystyle\sum_{i=0}^{m}(i+1)A_{m,i}(x)[\underbrace{x,x,\ldots,x}_{i+2},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1-i}^{\prime};f]$

Ținând seama de formula de recurență

	$\displaystyle\left.\frac{[x,x,\ldots,x}{i+2},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1-i}^{\prime};f\right]=$
	$\displaystyle\quad=\frac{1}{x-x_{p+1-i}^{\prime}}\left\{\frac{\left[x,x,\ldots,x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p-i}^{\prime};f\right]}{i+2}\right.$		(66)
	$\displaystyle\quad-\left[\frac{\left.x,x,\ldots,x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1-i}^{\prime};f\right]}{i+1}\right.$

și identificând coeficienţii în (65) deducem

	$\displaystyle A_{m+1,i}(x)=A_{m,i}^{\prime}(x)-(i+1)\frac{A_{m,i}(x)}{x-x_{p+1-i}^{\prime}}+i\frac{A_{m,i-1}(x)}{x-x_{p+2-i}^{\prime}}$		(67)
	$\displaystyle i=0,1,\ldots,m+1,\quad\left[A_{m,1}(x)=A_{m,m+1}(x)=0\right]$

28.

Pentru a găsi forma explicită a polinoamelor $A_{m,i}(x)$ vom mai introduce câteva notații uțile. Punem

l_{0}(x)=1,\quad l_{i}(x)=\left(x-x_{1}^{\prime}\right)\left(x-x_{2}^{\prime}\right),\ldots,\left(x-x_{i}^{\prime}\right),\quad i=1,2,\ldots,p+1

Avem atunci $l_{p+1}(x)=l(x)$ și

l_{i+1}(x)=\left(x-x_{i+1}^{\prime}\right)l_{i}(x),\quad i=0,1,\ldots,p

(68)

Dacă, pentru simplificarea scrierii, convenim să punem

l_{i,\alpha}(x)=\frac{1}{(i-\alpha)!}l_{i}^{(i-\alpha)}(x),\quad\alpha=0,1,\ldots,i

(69)

din (68) deducem imediat relațiile

	$\displaystyle l_{i+1,\alpha+1}(x)$	$\displaystyle=l_{i,\alpha+1}(x)+\left(x-x_{i+1}^{\prime}\right)l_{i,\alpha}(x)$		(70)
	$\displaystyle l_{i,\alpha}^{(\beta)}(x)$	$\displaystyle=\frac{(i-\alpha+\beta)!}{(i-\alpha)!}l_{i,\alpha-\beta}(x)$		(74)

In calcule se ia totdeauna $l_{i,\alpha}(x)=0$ , dacă $\alpha<0$ sau $\alpha>i$ .
Nodurile (6) le putem scrie sub forma

x_{i}^{\prime}=x_{0}+h_{i},\quad i=1,2,\ldots,p+1

(72)

atunci $h_{1},h_{2},\ldots,h_{p+1}$ sunt abaterile nodurilor respective de la punctul de derivare $x_{0}$ .

Vom nota cu $H_{i},i=0,1,\ldots,p+1\left(H_{0}=1\right)$ polinoamele simetrice fundamentale ale abaterilor $h_{i},i=1,2,\ldots,p+1$ si vom pune totdeauna $H_{i}=0$ , dacă $i<0$ sau $i>p+1$ . De asemenea, vom nota cu $H_{i,\alpha}$ , $\alpha=0,1,\ldots,i$ polinoamele simetrice fundamentale ale primelor $i$ abateri $h_{1},h_{2},\ldots,h_{i}\left(H_{i,0}=1,(i\geqslant 0)\right.$ și $H_{i,\alpha}=0$ pentru $\alpha<0$ şi $\left.\alpha>i\right)$ . Avem atunci formulele $H_{p+1,\alpha}=H_{\alpha},\alpha=0,1,\ldots,p+1$ si

l_{i,\alpha}\left(x_{0}\right)=(-1)^{\alpha}H_{i,\alpha},\alpha=0,1,\ldots,i,i=0,1,\ldots,p+1

(73)

Având în vedere cele expuse mai sus vom demonstra că avem

A_{m,i}(x)=m!\left(x-x_{p+1-i}^{\prime}\right)l_{p-i,p-m}(x),i=0,1,\ldots,m

(74)

Pentru aceasta observăm că $A_{0,0}(x)=l(x)=\left(x-x_{p+1}^{\prime}\right)l_{p,p}(x)$ și deci pentru $m=0$ , formulele (74) sunt adevărate. Să presupunem că aceste formule sunt adevărate pentru $m$ și să le demonstrăm pentru $m+1$ . Tinand seama de (67) și (74), deducem

	$\displaystyle A_{m+1,i}(x)$	$\displaystyle=m!\left[l_{p-i,p-m}(x)+\left(x-x_{p+1-i}^{\prime}\right)l_{p-i,p-m}^{\prime}(x)-\right.$
		$\displaystyle\left.-(i+1)l_{p-i,p-m}(x)+il_{p-i+1,p-m}(x)\right]$		(75)

Dar din (70), (71) rezultă că

\begin{gathered}l_{p-i,p-m}^{\prime}(x)=(m-i+1)l_{p-i,p-m-1}(x)\\ l_{p-i+1,p-m}(x)=l_{p-i,p-m}(x)+\left(x-x_{p+1-i}^{\prime}\right)l_{p-i,p-m}(x)\end{gathered}

şi inlocuind în (75), găsim

A_{m+1,i}(x)=(m+1)!\left(x-x_{p+1-i}^{\prime}\right)l_{p-i,p-m-1}(x),i=0,1,\ldots,m+1

care arată că formulele (74) sunt generale.
29. Aplicând formulei (63) formula de transformare a lui Abel, avem

	$\displaystyle R^{(m)}(x)=\sum_{i=0}^{m-1}\left[\sum_{\alpha=1}^{m-i}A_{m,i+\alpha}(x)\right]\left\{\frac{\left[x,x,\ldots,x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p-i}^{\prime};f\right]}{i+2}\right.$		(76)
	$\displaystyle\left.-\left[\frac{x,x,\ldots,x}{i+1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1-i}^{\prime};f\right]\right\}+\left[\sum_{i=0}^{m}A_{m,i}(x)\right]\left[x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1};f\right].$

Dacă, însă, în formula (63) punem $f(x)=x^{p+1}$ și ținem seamă de (30) deducem

\sum_{i=0}^{m}A_{m,i}(x)=l^{(m)}(x)

(77)

Observăm că din (70), (74) rezultă

\begin{gathered}\sum_{\alpha=1}^{m-i}A_{m,i+\alpha}(x)=m!\sum_{\alpha=1}^{m-i}\left[l_{p+1-i-\alpha,p-m+1}(x)-l_{p+i-\alpha,p-m+1}(x)\right]=\\ =m!l_{p-i,p-m+1}(x)\end{gathered}

Ţinând seama de formula de recurență (66) și de (77), formula (76) devine

	$\displaystyle R^{(m)}(x)=m\sum_{i=0}^{m-1}A_{m-1,i}(x)[\underbrace{x,x,\ldots,x}_{i+2},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1-i}^{\prime};f]+$		(78)
	$\displaystyle+l^{(m)}(x)\left[x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\right].$

Formulele (63), (78) subsistă, bineînțeles, oricare ar fi $x$ (și dacă $x$ coincide cu unul din nodurile $x_{i}^{\prime}$ ).
30. Numerele $A_{m,i}(x),i=0,1,\ldots,m$ nu pot fi toate nule. In cazul contrar, am avea $R[f]=0$ , oricare ar fi funcția $f(x)$ , ceea ce este în contrazicere cu faptul că formula (57) are, pe baza ipotezelor făcute la punctul 2, un grad de exactitate determinat. Cel puțin unul dintre numerele $A_{m,i}(x),i=0,1,\ldots,m$ este diferit de zero. Rezultatul acesta, precum şi cele ce urmează, subsistă dacă lărgim puțin ipotezele dela punctul 2. Putem să presupunem, mai general, că $x_{0}$ poate coincide și cu un nod. Trebue să presupunem însă atunci că

m\geq r_{i}\text{ dacă }x_{0}=x_{i},\quad i=1,2,\ldots,s

(79)

Dacă $x_{0}=x_{i}$ și $m<r_{i}$ restul formulei (57) este nul oricare ar fi funcția $f(x)$ .
Să presupunem că numerele $A_{m,i}\left(x_{0}\right)$ sunt toate de același semn ¹ ). Atunci, din observația de mai sus și din (77), rezultă că $l^{(m)}\left(x_{0}\right)\neq 0$ . Prin urmare, gradul de exactitate al formulei (57) este $p$ . Pentru fixarea ideilor să presupunem că

A_{m,j}\left(x_{0}\right)\neq 0

(80)

Din formula (74) rezultă atunci că

x_{0}\neq x_{p+1-i}^{\prime}

(81)

⁰⁰footnotetext: ¹ ) Vezi trimiterea ¹ ), dela pagina 75.

Dacă acum $f(x)$ este o funcție convexă de ordinul $p$ , avem

\underbrace{\left[x_{0},x_{0},\ldots,x_{0},\right.}_{i+1}x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1-i}^{\prime};f]\geq 0,i=0,1,\ldots,m.

(82)

Dar, o funcție convexă de ordinul $p(\geqq 0)$ se bucură de proprietatea că diferentele divizate de ordinul $p+1$ ale sale, pe noduri nu toate confundate, sunt pozitive. Din (81) rezultă deci că

\left[\frac{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}{j+1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1-i}^{\prime};f\right]>0.

(83)

Din formulele (74), (80), (82), (83) rezultă atunci că avem $R[f]\neq 0$ .
Pe baza criteriului C putem dar enunța teorema următoare :
Teorema 12. Dacă numerele $\mathrm{A}_{\mathrm{m},1}\left(\mathrm{x}_{0}\right),\mathrm{i}=0,1,\ldots,\mathrm{\penalty 10000\ m}$ sunt toate de acelaşi semn, gradul de exactitate al formulei (57) este p şi restul este de formă simplă.

In conditiile teoremei, restul este deci de forma

R=l^{(m)}\left(x_{0}\right)D_{p+1}[f].

Dacă presupunem că $l^{(m)}\left(x_{0}\right)=0$ , o demonstrație absolut analoagă bazată pe formula (78), ne permite să enunţăm

Teorema 13. Dacă ${}^{(\mathrm{m})}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=0$ şi dacă numerele $\mathrm{A}_{\mathrm{m}-1,\mathrm{i}}\left(\mathrm{x}_{0}\right)$ , $\mathrm{i}=0,1,\ldots,\mathrm{\penalty 10000\ m}-1$ sunt de acelaşi semn, gradul de exactitate al formulei (57) este egal cu p + 1 și restul este de formă simplă.

In conditiile teoremei restul este de forma

R=ml^{m-11}\left(x_{0}\right)D_{p+2}[f]

deoarece din (62) deducem

R\left[x^{p+2}\right]=ml^{(m-1)}\left(x_{0}\right).

Teoremele 12, 13 sunt valabile in ipoteza (79). Intr’adevăr, dacă $r_{i}\leqq m$ și $x_{0}=x_{i}$ , egalitățile $l^{(m)}\left(x_{0}\right)=0$ și $l^{(m-1)}\left(x_{0}\right)=0$ sunt incompatibile pe baza lemei 1.
31. Să considerăm acum cazul general al formulei (E). Vom arăta cum se poate reduce acest caz la cazul $r=0$ .

Dacă considerăm polinomul de gradul $r-1$

L(x)=L\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r};f\mid x)

(84)

și dacă ținem seama de formulele (28), (29), deducem

\frac{f(x)-L(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{r}}=[\underbrace{x,x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r};f].

(85)

Aplicând acum formula

L(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x)=

(86)

$=l(x)L(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r};\left.\frac{f(x)}{l(x)}\right\rvert\,x)+\left(x-x_{0}\right)^{r}L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};\left.\frac{f(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{r}}\right\rvert\,x\right)$
funcției $f(x)-L(x)$ și ţinând seama de relațiile

\begin{gathered}L(\underbrace{x_{0},x_{0}}_{r},\ldots,x_{0};\left.\frac{f(x)-L(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{r}}\right\rvert\,x)=0\\ L(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f(x)-L(x)\mid x)=\\ =L(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x)-L(x)\end{gathered}

deducem

\begin{gathered}L(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x)=\\ =L(x)+\left(x-x_{0}\right)^{r}L(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};[x,\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r};f]\mid x)\end{gathered}

de unde

	$\displaystyle L^{(m+r)}(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x_{0})=$
	$\displaystyle\Rightarrow\frac{(m+r)!}{m!}L^{(m)}(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};[x,\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r};f]\mid x_{0})$		(87)

Dar, din (85) rezultă şi

f^{(m+r)}\left(x_{0}\right)=\frac{(m+r)!}{m!}[x,\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r}]_{x=x_{0}}^{(m)}

(88)

Să notăm cu $R[f]$ restul formulei (E) și cu $R_{1}[f]$ restul formulei (57). Avem atunci, ținând seama de (87) și (88),

R[f]=\frac{(m+r)!}{m!}R_{1}[[x,\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{\boldsymbol{0}};f]]

(89)

iar formula (E) se poate scrie

	$\displaystyle f^{(m+r)}\left(x_{0}\right)=\frac{(m+r)!}{m!}L^{(m)}(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};[x,\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r};f]\mid x_{0})+$
	$\displaystyle+\frac{(m+r)!}{m!}R_{1}[[x,\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r};f]]$		(90)

32.

Pentru a merge mai departe, vom demonstra mai întâi

Le m a 4. Dacă functionala aditivă şi omogenă $\mathrm{R}_{1}$ [f] este de grad de exactitate $\mathrm{n}(\geqq 0)$ şi de formă simplă, atunci funcționala aditivă şi omogenă

R[f]=K\cdot R_{1}\left[\left[x,\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right]\right]

(91)

unde $K\neq 0$ este o constantă (independentă de funcţia $f(x)$ ) si $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}$ sunt k puncte fixe, este de gradul de exactitate n + k şi este de formă simplă.

Demonstraţia se face cu uşurintŭ. Avem $\left[x,\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};x^{i}\right]=0$ , pentru $i=0,1,\ldots,k-1$ , iar pentru $i\geq k$ această diferență divizată este un polinom de gradul $i-k$ , cu primul coeficient 1 , deci

\left[x,\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};x^{i}\right]=x^{i-k}+\ldots

De aici rezultă proprietatea relativă la gradul de exactitate.
Să presupunem acum că $f(x)$ este o funcţie convexă de ordinul $n+k$ . Spunem atunci că funcția de $x\left[x,\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right]$ este convexă de ordinul n. Intr’adevăr, avem
$\left[\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{n+2};\left[x,\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right]\right]=\left[\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{n+2},\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots\alpha_{k};f\right]>0$
dacă nodurile nu sunt toate confundate. Egalitatea (91) ne arată că $R[f]\neq 0$ , pentru orice funcţie $f(x)$ convexă de ordinul $n+k$ , deoarece $R_{\mathbf{1}}[\varphi]\neq 0$ pentru orice funcție $\varphi(x)$ convexă de ordinul $n$ , deci în particular, $R_{1}\left[\left[x,\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k};f\right]\right]\neq 0$ .

Lema 4 este complet demonstrată.
Ținând seama de formula (89), din tcoremele 12, 13 dcducem, bazându-ne pe lema precedentă

Teoreı a 14. Dacă $\mathrm{r}\geqslant 0$ este întreg şi dacă numerele $\mathrm{A}_{\mathrm{m},\mathrm{i}}\left(\mathrm{x}_{0}\right)$ , $\mathrm{i}=0,1,\ldots,\mathrm{\penalty 10000\ m}$ sunt de acelaşi semn, formula de derivare numerică $(E)$ are gradul de exactitate $\mathrm{p}+\mathrm{r}$ şi restul de formă simplă.

Pe baza formulei (12) restul se scrie atunci

R=\frac{(m+r)!}{m!}l^{(m)}\left(x_{0}\right)D_{p+r+1}[f]

(92)

Teorema 15. Dacă $\mathrm{r}\geq 0$ este întreg, dacă $1^{(\mathrm{m})}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=0$ şi dacă numerele $\mathrm{A}_{\mathrm{m}-1,\mathrm{i}}\left(\mathrm{x}_{0}\right),\mathrm{i}=0,1,\ldots,\mathrm{\penalty 10000\ m}-1$ sunt de acelaşi semn, formula de derivare numerică (E) are gradul de exactitate $\mathrm{p}+\mathrm{r}+1$ şi restul de formă simplă.

Pe baza formulelor (12) restul se scrie atunci

R=\frac{(m+r)!}{(m-1)!}l^{(m-1)}\left(x_{0}\right)D_{p+r+2}[f]

Teoremele 14, 15 sunt valabile în ipoteza exprimată de relaţia (79).
33. Din cele spuse rezultă că formula (E) are cu siguranță restul de formă simplă dacă $m=0$ . Formula (E) pentru $m=0$ are gradul de exactitate $p+r$ și restul

R=l\left(x_{0}\right)D_{p+r+1}[f]

în ipotezele dela punctul 2. In aceleași condiții, formula (E) are gradul de exactitate $p+r+1$ si restul

R=l\left(x_{0}\right)D_{p+r+2}[f]

dacă $m=1$ și $x_{0}$ este o rădăcină, diferită de noduri, a lui $l^{\prime}(x)$ .
Condiția impusă numerelor $A_{m,i}\left(x_{0}\right),i=0,1,\ldots,m$ , respectiv numerelor $A_{m-1},i\left(x_{0}\right),i=0,1,\ldots,m-1$ , este suficientă pentru ca formula (E) să aibă restul de formă simplă. Formarea numerelor $A_{m,i}\left(x_{0}\right)$ depinde de ordinea in care sunt luate nodurile (6). Mai precis, un sistem de numere $i=0,1,\ldots,m$ este caracterizat de ordinea in care sunt luate nor Pentru ca formula (E) să fie de grad de exactitate $p+r$ și să de formă simplă, este suficient ca unul din aceste sisteme să fie adoa restul numere de acelasi semn. Nu examinăm aici necesitatea acestei format din general. Rezultă insă din § 4 că în cazul $m=1$ conditia este condiții în

§ 4. Asupra câtorva aplicații ale rezultatelor precedente

Vom face aplicaţii ale formulelor precedente la următoarele 3 exemple : 34. Exemplul 1. Punctul de derivare $x_{0}$ este înafara celui mai mic interval deschis care conține nodurile (2).

Dacă presupunem că, mai general, ipoteza exprimată de condiția (79) este îndeplinită, avem

l^{(m)}\left(x_{0}\right)\neq 0

(93)

deci formula (E) este de grad de exactitate $p+\mathrm{r}$ și, in particular, nu este niciodată excepțională. Intr’adevăr, rădăcinile lui $l^{(m)}(x)$ aparțin celui mai mic interval închis care conține nodurile (2). Dacă $x_{0}$ nu aparține acestui interval, (93) este demonstrat. Să presupunem că $x_{0}$ coincide cu un nod extrem $x_{i}$ . In acest caz $l^{(\alpha)}\left(x_{i}\right)\neq 0$ pentru $\alpha\geq r_{i}$ . Dar $m\geq r_{i}$ , pe baza ipotezei (79), aşa că (93) rezultă și de data aceasta.

Abaterile ¹ ) $h_{i},i=1,2,\ldots,p+1$ ale nodurilor de punctul de derivare sunt în acest caz de același semn și anume nepozitive, respectiv nenegative, după cum

x_{0}\geqq x_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,p+1,\text{ respectiv }x_{0}\leqq x_{i}^{\prime},i=1,2,\ldots,p+1

Formula (73) ne arată atunci că

l_{\alpha,\gamma}\left(x_{0}\right)=(-1)_{\Sigma}^{\gamma}H_{\alpha,\gamma}\geq 0,\operatorname{respectiv}(-1)^{\dot{\gamma}}l_{\alpha,\gamma}\left(x_{0}\right)=H_{\alpha,\gamma}\geq 0,

oricare ar fi $\alpha$ şi $\gamma$ .

⁰⁰footnotetext: ¹⁾ Vezi punctul 28.

Tinând seama de formulele (74), avem atunci respectiv,

\begin{gathered}A_{m,i}\left(x_{0}\right)=(-1)^{p-m+1}m!h_{p+1-i}H_{p-i,p-m}\geqq 0,i=0,1,\ldots,m,\\ (-1)^{p-m+1}A_{m,i}\left(x_{0}\right)=m!h_{p+1-i}H_{p-i,p-m}\geqq 0,i=0,1,\ldots,m.\end{gathered}

Toate ipotezele în care a fost stabilită teorema 14 sunt deci indeplinite și putem enunța

Teorema 16. Dacă $\mathrm{r}\geq 0$ este întreg, m satisface condiția exprimată de (79) iar $\mathrm{x}_{0}$ este în afara celui mai mic interval deschis care contine nodurile (2), avem formula de derivare numerică ( $E$ ), cu gradul de exactitate $\mathrm{p}+\mathrm{r}$ şi cu restul de forma (92).

Ipotezele în care teorema este adevărată cer ca în cazul când $s=1$ , punctul $x_{0}$ să fie diferit de noduri.
35. Exemplul 2. Nodurile (2) sunt simetric distribuite faṭă de punctul de derivare $x_{0}$ . Pentru a simplifica limbajul vom spune, în acest caz, că formula (E) este o formulă simetrică.

In cazul simetric, putem să presupunem că punctul de derivare $x_{0}$ este diferit de noduri, deci că abaterile $h^{i}$ sunt diferite de zero. Numărul nodurilor este atunci par si egal cu $2q=p+1$ , unde $q>0$ . Pentru mai multă claritate vom nota cu $\pm t_{i},i=1,2,\ldots,q$ abaterile, unde $t_{1},t_{2},\ldots,t_{q}$ sunt $q$ numere pozitive (distincte sau nu). Vom nota cu $T_{i},i=0,1,\ldots,q$ polinoamele simetrice fundamentale ale numerelor $t_{1}^{2},t_{2}^{2},\ldots,t_{\eta}^{2}\left(T_{0}=1,T_{i}=0\right.$ , pentru $i<0$ și pentru $i>q$ ). Vom nota de asemenea cu $T_{i,\alpha},\alpha=0,1,\ldots,i$ polinoamele simetrice fundamentale ale numerelor $t_{1}^{2},t_{2}^{2},\ldots,t_{i}^{2}\left(T_{i,0}=1\right.$ , $T_{i,\alpha}=0$ , pentru $\alpha<0$ şi pentru $\alpha>i$ ). Avem atunci $T_{q,i}=T_{i},i=0,1,\ldots,q$ .

Avem

l^{(m)}\left(x_{0}\right)=\begin{cases}0,&\text{ dacă }m\text{ este impar }\\ (-1)^{\frac{m}{2}}m!T_{q-\frac{m}{2}}&\text{ dacă }m\text{ este par. }\end{cases}

Rezultă că $l^{(m)}\left(x_{0}\right)\neq 0$ sau $=0$ , după cum $m$ este par sau impar. Formula (E) este în acest caz excepțională dacă $r>0$ , iar rezultatele dela punctul 11 ne arată că este destul să considerăm numai cazul când $m$ este par, cazul $m$ impar reducându-se la acesta prin modificarea numărului $r$ .

In cazul când indicele de derivare $m$ este par, îl vom nota cu $2\mu$ , deci $m=2\mu$ , unde $0\leq\mu<q$ .

Să luăm acum nodurile în ordinea următoare :

x_{0}-t_{1},x_{0}+t_{1},x_{0}-t_{2},x_{0}+t_{2},\ldots,x_{0}-t_{q},x_{0}+t_{q}

Avem, aşa dar ¹ )

h_{\alpha}=x_{\alpha}^{\prime}-x_{0}=(-1)^{\alpha}t_{\left[\frac{\alpha+1}{2}\right]},\quad\alpha=1,2,\ldots,2q.

(94)

Pentru a calcula numerele $A_{2\mu,i}\left(x_{0}\right)$ vom calcula întâi numerele (73) corespunzătoare, unde $H_{i,\alpha}$ corespund la abaterile (94).

⁰⁰footnotetext: ¹ ) [z] însemnează cel mai mare întreg cuprins în z.

Dacă $\alpha$ este par, $\mathrm{H}_{\alpha,\gamma},\gamma=0,1,\ldots,\alpha$ sunt polinoamele simetrice fundamentale ale numerelor $\pm t_{i},i=1,2,\ldots,\frac{\alpha}{2}$ . Un calcul elementar ne arată că

H_{\alpha,\gamma}=\left\{\begin{array}[]{ll}0,&\text{ dacă }\gamma\text{ este impar }\\ (-1)^{\frac{\gamma}{2}}T_{\frac{\alpha}{2}},\frac{\gamma}{2},&\text{ dacă }\gamma\text{ este par. }\end{array}\quad(\alpha\text{ par })\right.

Dacă $\alpha$ este impar $H_{\alpha,\gamma},\gamma=0,1,\ldots,\alpha$ sunt polinoamele simetrice fundamentale ale numerelor $\pm t_{i},i=1,2,\ldots,\frac{\alpha-1}{2}$ și $\frac{t_{\alpha+1}}{2}$ . Formulele (70), (73) impreună cu (94), (95) ne dau

H_{\alpha,\gamma}=\begin{cases}(-1)^{\frac{\gamma-1}{2}}t_{\frac{\alpha+1}{2}}T_{\frac{\alpha-1}{2},\frac{\gamma-1}{2},}&\text{ dacă }\gamma\text{ este impar }\\ (-1)^{\frac{\gamma}{2}}T_{\frac{\alpha-1}{2},\frac{\gamma}{2}},&\text{ dacă }\gamma\text{ este par. }\end{cases}

Formulele (74) ne arată că avem

A_{2\mu,i}\left(x_{0}\right)=\left\{\begin{array}[]{cc}0,&\text{ dacă }i\text{ este impar }\\ (-1)^{q-\mu}(2\mu)!t_{q-\frac{i}{2}}^{2}T_{q-1-\frac{i}{2},q-\mu-1},&\text{ dacă }i\text{ este par. }\end{array}\right.

Se vede dar că avem

(-1)^{q-\mu}A_{2\mu,i}\left(x_{0}\right)\geqq 0,\quad i=0,1,\ldots,2q

și deci că toate condițiile teoremei 14 sunt indeplinite. Putem dar enunța
Te o re m a 17. Dacă $\mathrm{r}\geqq 0$ este un număr intreg, dacă $\mu$ este un număr întreg, astfel ca $0\leq\mu<q$ , iar $\mathrm{t}_{1},\mathrm{t}_{2},\ldots,\mathrm{t}_{q},q\geqq 1$ numere pozitive, avem formula de derivare numerică ¹ )

\begin{gathered}f^{(2\mu+r)}\left(x_{0}\right)=L^{(2\mu+r)}(x_{0},\underbrace{x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{0}\pm t_{1},x_{0}\pm t_{2},\ldots,x_{0}\pm t_{q};f\mid x_{0})+\\ +(-1)^{q-\mu}(2\mu+r)!T_{q-\mu}D_{2q+r}[f]\end{gathered}

de gradul de exactitate $2q+r-1$ .
36. Exemplul 3. Indicele de derivare $m$ este egal cu 1.

Pentru a examina acest caz, vom presupune că nodurile (2), deci și (6), sunt în ordine nedescrescătoare, deci

x_{1}^{\prime}\leqq x_{2}^{\prime}\leqq\ldots\leqq x_{p+1}^{\prime}

precum și

x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{s}.

(96)

⁰⁰footnotetext: 1. Pentru simplificarea notatiilor în polinomul de interpolare și în diferența divizată, notăm cu

x_{0}\pm t_{i}

cele două noduri simetrice

x_{0}-t_{i},x_{0}+t_{i}

Condiția $m=1$ implică $p\geqq 1$ . Vom presupune $s>1$ , deci că nodurile nu sunt toate confundate. In cazul contrar revenim de altfel la exemplul 1 studiat mai sus, care epuizează atunci problema.

Pentru simplificare, să notăm cu $\varphi(x)$ polinomul $l_{p}(x)$ . Avem deci

\varphi(x)=\left(x-x_{p+1}^{\prime}\right)\varphi(x)

(97)

şi

A_{1,0}(x)=\left(x-x_{p+1}^{\prime}\right)\varphi^{\prime}(x),\quad A_{1,1}(x)=\varphi(x)

de unde

A_{1,0}(x)A_{1,1}(x)=l(x)\varphi^{\prime}(x)

dacă polinoamele $A_{1,0}(x),A_{1,1}(x)$ sunt construite luând nodurile în ordinea (6).

Condiția ca aceste polinoame să fie de același semn devine deci

l(x)\varphi^{\prime}(x)\geqq 0.

(98)

In mod analog, dacă punem

l(x)=\left(x-x_{1}^{\prime}\right)\psi(x)

deci

\psi(x)=\left(x-x_{2}^{\prime}\right)\left(x-x_{3}^{\prime}\right)\ldots\left(x-x_{p+1}^{\prime}\right)

și dacă formăm polinoamele $A_{1,0}(x),A_{1,1}(x)$ luând nodurile în ordinea inversă $x_{p+1}^{\prime},x_{p}^{\prime},\ldots,x_{1}^{\prime}$ , condiția ca aceste polinoame să fie de același semn este ca

l(x)\Psi^{\prime}(x)\geqq 0.

(99)

Ipoteza exprimată prin condiția (79) revine aici la faptul că $x_{0}$ nu coincide cu un nod care, nu este simplu.

Ambele inegalități (98), (99) sunt verificate pentru $x=x_{0}$ , daçă $x_{0}$ coincide cu un nod sau dacă $x_{0}$ este înafară de cel mai mic interval care conține nodurile. Suntem atunci in cazul exemplului 1 de mai sus.

Dacă avem

\varphi^{\prime}(x)\psi^{\prime}(x)\leqq 0

(100)

una din inegalitățile (98), (99) este verificată pentru $x=x_{0}$ . Dacă deci, în acest caz, $x_{0}$ nu coincide cu un nod care nu este simplu, formula noastră are gradul de exactitate $p+r$ și restul de formă simplă. Va fi deci destul să examinăm punctul $x_{0}$ din intervalul deschis ( $x_{1},x_{s}$ ), pentru care inegalitatea (100) nu este verificată. Dacă în plus, în acest caz, gradul de exactitate este $p+r$ , vom vedea că restul nu este simplu.
37. Pentru a arăta acest lucru, ne vom baza, pe criteriul C și vom demonstra mai întâi

Lema 5. Dacă $\mathrm{x}_{0}\in\left(\mathrm{x}_{1},\mathrm{x}_{s}\right)$ şi dacă

\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)\Psi^{\prime}\left(x_{0}\right)>0

(101)

putem găsi o funcție convexă $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ de ordinul $\mathrm{p}+\mathrm{r}$ în intervalul $\left[\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{s}\right]$ , astfel ca să avem $\mathrm{R}[\mathrm{f}]=0$ .

Să presupunem condiția (79) îndeplinită.
Pe baza lemei 3 , este destul să putem construi două funcții $f_{1}(x),f_{2}(x)$ neconcave de ordinul $p+r$ , astfel ca inegalitatea (32) să fie verificată. Pentru aceasta, să considerăm funcțiile

\varphi_{\lambda}(x)=\left\{\begin{array}[]{cl}0,&\text{ pentru }x\in\left[x_{1},\lambda\right]\\ (x-\lambda)^{p+r},&\text{ pentru }x\in\left[\lambda,x_{s}\right]\end{array}\right.

definite pentru $\lambda\in\left[x_{1},x_{s}\right]$ .
Funcția $\varphi_{\lambda}(x)$ este neconcavă de ordinul $p+r$ în [ $x_{1},x_{s}$ ]. Dacă privim pe $\lambda$ ca variabil, $R\left[\varphi_{\lambda}\right]$ este un polinom de gradul $p+r$ in raport cu $x-\lambda$ , în orice interval care nu conține pe $x_{0}$ și nodurile.

	Avem formula
	$\displaystyle\qquad\begin{array}[]{l}R\left[\varphi_{\lambda}\right]=\left(x_{0}-x_{s}\right)\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)[\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{0},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p}^{\prime};\varphi_{\lambda}]+\\ \qquad+\varphi\left(x_{0}\right)[\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};\varphi_{\lambda}]\end{array}$

Dacă presupunem $x_{s-1}<\lambda<x_{s}$ și $x_{s}<\lambda$ , atunci se vede că $R\left[\varphi_{\lambda}\right]$ este ’un polinom in $x_{s}-\lambda$ , care se divide cu $\left(x_{s}-\lambda\right)^{p+r-r_{s}+1}$ și coeficienţii acestei puteri a lui $x_{s}-\lambda$ provin numai din primul termen al membrului al doilea al formulei (103). Avem însă atunci

		$\displaystyle{[\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};\varphi_{\lambda}]=}$
		$\displaystyle=[\underbrace{x_{s},x_{s},\ldots,x_{s}}_{r_{s}};\frac{(x-\lambda)^{p+r}}{\left(x-x_{0}\right)^{r+1}k_{s}(x)}]=$
		$\displaystyle=\frac{1}{\left(r_{s}-1\right)!}\left[\frac{(x-\lambda)^{p+r}}{\left(x-x_{0}\right)^{r+1}k_{s}(x)}\right]_{x=x_{0}}^{\left(r_{s}-1\right)}$

polinomul $k_{s}(x)$ fiind dat de $l(x)=\left(x-x_{0}\right)^{r_{s}}k_{s}(x)$ .
Făcând calculele găsim

R\left[\varphi_{\lambda}\right]=\left(x_{s}-\lambda\right)^{p+r-r_{s}+1}\left[\binom{p+r}{r_{s}-1}\frac{\left(x_{0}-x_{s}\right)\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)}{\left(x-x_{0}\right)^{r+1}k_{s}\left(x_{s}\right)}+\cdots\right]

termenii nescrişi fiind divizibili cu $x_{s}-\lambda$ .
De aici se vede că, dacă $\lambda$ este suficient de aproape de $x_{s}$ avem $R\left[\varphi_{\lambda}\right]\neq 0$ , şi mai precis ¹ )

\operatorname{sg}R\left[\varphi_{\lambda}\right]=-\operatorname{sg}\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right).

(104)

⁰⁰footnotetext: 1. Punem sg

z=-1,0,1

, după cum

z<0,z=0,z>0

. Avem relația fundamentală

\operatorname{sg}z_{1}z_{2}=\operatorname{sg}z_{1}\cdot\operatorname{sg}z_{2}

Funcţia $\psi_{\lambda}(x)=\varphi_{\lambda}(x)-(x-\lambda)^{p+r}$ este de asemenea neconcavă de ordinul $p+r$ . Dacă presupunem $\lambda<x_{0},\lambda\in\left(x_{1},x_{2}\right)$ şi folosim formula

	$\displaystyle R\left[\psi_{\lambda}\right]=\left(x_{0}-x_{1}\right)\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)$	$\displaystyle{[\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r+1},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};\psi_{\lambda}]+}$
		$\displaystyle+\psi\left(x_{0}\right)\left[\frac{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}{r+2},x_{2}^{\prime},x_{3}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};\psi_{\lambda}\right]$

găsim, ca mai sus, că polinomul $R\left[\psi_{\lambda}\right]$ in $x_{1}-\lambda$ este de forma

R\left[\psi_{\lambda}\right]=-\left(x_{1}-\lambda\right)^{p+r-r_{1}+1}\left[\binom{p+r}{r_{1}-1}\frac{\left(x_{0}-x_{1}\right)\psi^{\prime}\left(x_{0}\right)}{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{r+1}k_{1}\left(x_{1}\right)}+\cdots\right]

unde polinomul $k_{1}(x)$ este dat de $l(x)=\left(x-x_{1}\right)^{r_{1}}k_{1}(x)$ , iar termenii neseriși se divid cu $x_{1}-\lambda$ . De aici se vede că, dacă $\lambda$ este suficient de aproape de $x_{1}$ , avem $R\left[\psi_{\lambda}\right]\neq 0$ , s, i mai precis

\operatorname{sg}R\left[\psi_{\lambda}\right]=\operatorname{sg}\psi^{\prime}\left(x_{0}\right)

(105)

Formulele (104), (105) au fost deduse pe lângă ipotezele $\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)\neq 0$ , $\psi^{\prime}\left(x_{0}\right)\neq 0$ .

Să considerăm acum funcțiile

f_{1}(x)=\varphi_{\lambda_{s}}(x),\quad f_{2}(x)=\psi_{\lambda_{1}}(x)

Atunci, dacă $\lambda_{1}$ este suficient de aproape de $x_{1}$ iar $\lambda_{s}$ suficient de aproape de $x_{s}$ , din (101), (104), (105), deducem

\operatorname{sg}R\left[f_{1}\right]R\left[f_{2}\right]=-\operatorname{sg}\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)\psi^{\prime}\left(x_{0}\right)=-1

și inegalitatea (32) este verificată.
Lema 5 este complet demonstrată.
Din cele ce preced rezultă că, dacă $m=1$ și dacă $x_{0}$ nu coincide cu un nod care nu este simplu, formulele de derivare numerică (E) prezintă unul din următoarele 3 aspecte :
$1^{\circ}$ . Dacă $l^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ , gradul de exactitate este $p+r+1$ , cu restul de formă simplă.
$2^{\circ}$ . Dacă $x_{0}\in\left(x_{1},x_{s}\right),l^{\prime}\left(x_{0}\right)\neq 0$ și dacă inegalitatea (101) este verificată, gradul de exactitate este $p+r$ , insă restul nu este de formă simplă.
$3^{\circ}$ . Pentru toate celelalte valori ale lui $x_{0}$ , gradul de exactitate este $p+r$ și restul de formă simplă.
38. Putem determina cu mai multă precizie poziţia punctului $x_{0}$ după cele trei cazuri semnalate.

Fie $y_{1},y_{2},\ldots,y_{s-1}$ rădăcinile distincte de noduri, ale derivatei $l^{\prime}(x)$ . Aceste rădăcini sunt separate de nodurile (96) și putem presupune

x_{i}<y_{i}<x_{i+1},\quad j=1,2,\ldots,s-1

Polinomul $\varphi^{\prime}(x)$ are $s-2$ , respectiv $s-1$ , rădăcini diferite de noduri după cum $r_{s}=1$ , rcspectiv $r_{s}>1$ . Să notăm aceste rădăcini, în ordinea lor crescătoare, prin $z_{1}^{\prime},z_{2}^{\prime},\ldots,z_{s-1}^{\prime}$ , unde $z_{s-1}^{\prime}$ nu există dacă $r_{s}=1$ . Avem atunci

x_{j}<z_{j}^{\prime}<y_{i+1},\quad j=1,2,\ldots,s-2

iar dacă $r_{s}>1$ , aceste inegalități au loc și pentru $j=s-1$ .
Din proprietatea binecunoscută a variației rădăcinilor derivatei unui polinom cu toate rădăcinile reale [8], rezultă că

y_{j}<z_{j}^{\prime},\quad j=1,2,\ldots,s-2

(106)

inegalitate care are loc și pentru $j=s-1$ , dacă $r_{s}>1$ .
Să punem acum, prin definiție, $z_{s-1}^{\prime}=x_{s}$ , dacă $r_{s}=1$ . Atunci, inegalitatea (106) este adevărată totdeauna și pentru $j=s-1$ .

In intervalele dintre noduri, $\varphi^{\prime}(x)$ , deci si $l(x)\varphi^{\prime}(x)$ , schimbă de semn, trecând prin punctele $z_{1}^{\prime},z_{2}^{\prime},\ldots$ Dar, din (97) rezultă că

l\left(y_{i}\right)\varphi^{\prime}\left(y_{j}\right)=-\varphi^{2}\left(y_{j}\right)<0

Rezultă deci, că inegalitatea (98) este verificată numai in intervalele

\left(-\infty,x_{1}\right],\left[z_{1}^{\prime},x_{2}\right],\left[z_{2}^{\prime},x_{3}\right],\ldots,\left[z_{s-2}^{\prime},x_{s-1}\right],\left[z_{s-1}^{\prime},\infty\right)

Să notăm de asemenea cu $z_{1}^{\prime\prime},z_{2}^{\prime\prime},\ldots,z_{s-1}^{\prime\prime}$ rădăcinile, diferite de noduri, ale lui $\Psi^{\prime}(x)$ , unde $z_{1}^{\prime\prime}$ nu există dacă $r_{1}=1$ . Ca și mai sus, se vede că

x_{j}<z_{j}^{\prime\prime}<y_{j}<x_{j+1},\quad j=1,2,\ldots,s-1

inegalități care sunt adevărate totdeauna convenind a pune, prin definiție, $z_{1}^{\prime\prime}=x_{1}$ dacă $r_{1}=1$ .

Rezultă atunci, ca și mai sus, că inegalitatea (105) este verificată numai în intervalele

\left(-\infty,z_{1}^{\prime\prime}\right],\left[x_{2},z_{2}^{\prime\prime}\right],\left[x_{3},z_{3}^{\prime\prime}\right],\ldots,\left[x_{s-1},z_{s-1}^{\prime\prime}\right],\left[x_{s},\infty\right)

Din analiza precedentă rezultă în definitiv
Te o rema 18. Dacă $\mathbf{r}\geq 0$ este un număr întreg, dacă $\mathbf{x}_{0}$ nu coincide cu un nod care nu este simplu şi dacă $\mathrm{m}=1$ , formula de derivare numerică (E) este :
$1^{\circ}$ . Cu gradul de exactitate $\mathrm{p}+\mathrm{r}+1$ şi ca restul de formă simplă, dacă $\mathrm{x}_{0}$ coincide $cu$ unul din punctele $\mathrm{y}_{1},\mathrm{y}_{2},\ldots,\mathrm{y}_{5-1}$ .
$2^{\circ}$ . Cu gradul de exactitate $\mathrm{p}+\mathrm{r}$ și clu restul de formă simplă, dacă $\mathrm{x}_{0}$ aparține unuia din intervalele

\left.\left(-\infty,z_{1}^{\prime\prime},\right]z_{s-1}^{\prime},\infty\right),\left[z_{j}^{\prime},z_{j+1}^{\prime\prime}\right],\quad j=1,2,\ldots,s-2

$3^{\circ}.Cu$ gradul de exactitate $\mathrm{p}+\mathrm{r}$ , însă cu rest diferit de forma simplă, dacă $\dot{\mathrm{x}}_{0}$ apartine unuia din intervalele

\left(z_{i}^{\prime\prime},y_{i}\right),\left(y_{i},z_{i}^{\prime}\right),\quad j=1,2,\ldots,s-1

Restul, in cazurile $1^{0}$ și $2^{0}$ respectiv este

R=(r+1)!l\left(x_{0}\right)D_{p+r+2}[f],R=(r+1)!l^{\prime}\left(x_{0}\right)D_{p+r+1}[f]

Aceste rezultate au fost găsite, pe altă cale și sub o formă mai puţin generală, de G. D. Birkhoff [1].
39. Din rezultatele precedente se poate trage o concluzie asupra formulei (E) în cazul când $m=2$ . In acest caz, dacă $l^{\prime\prime}(x)=0$ și numerele $A_{1,0}\left(x_{0}\right)$ , $A_{1,1}\left(x_{0}\right)$ sunt de acelaşi semn, restul formulei este de formă simplă. Pentru realizarea condiției de semn va fi destul să demonstrăm următoarea lemă :

Lema 6. Rădăcinile derivatei a doua $1^{\prime\prime}(\mathrm{x})$ a polinomului $1(\mathrm{x})$ sunt toate cuprinse in intervalele deschise

\left(-\infty,z_{1}^{\prime\prime}\right),\left(z_{s-1}^{\prime},\infty\right),\left(z_{j}^{\prime},z_{j+1}^{\prime\prime}\right),\quad j=1,2,\ldots,s-2

Demonstrația se face simplu, dacă ne bazăm pe felul cum variază rădăcinile derivatei când rădăcinile polinomului variază [8]. Să demonstrăm, de exemplu, că în intervalul $\left[y_{i},z_{i}^{\prime}\right]$ polinomul $l^{\prime\prime}(x)$ nu se anulează.

Acest lucru este evident dacă $j=s-1$ și $r_{s}=1$ , pentru că atunci $y_{s-1}$ este cea mai mare rădăcină a lui $l^{\prime}(x)$ și această rădăcină este simplă.

În celelalte cazuri observăm că $l^{\prime\prime}(y_{j})\neq 0$ , pentru că $y_{i}$ este rădăcină simplă a lui $l^{\prime}(x)$ , iar din (112) deducem …

l^{\prime\prime}\left(z_{j}^{\prime}\right)=\varphi^{\prime\prime}\left(z_{j}^{\prime}\right)\left(z_{j}^{\prime}-x_{s}\right)\neq 0

pentrucă atunci $z_{j}^{\prime}\neq x_{s}$ iar $\varphi^{\prime\prime}\left(z_{j}^{\prime}\right)\neq 0$ deoarece $z_{j}^{\prime}$ este rădăcină simplă a lui $\varphi^{\prime}(x)$ .

In intervalul deschis $\left(y_{j},z_{j}^{\prime}\right)$ , polinomul $l^{\prime\prime}(x)$ poate avea cel mult $o$ rădăcină pentrucă, altfel, $l^{\prime}(x)$ ar trebui să aibă o rădăcină în acest interval, ceea ce este imposibil. Să presupunem că ar exista o rădăcină a lui $l^{\prime\prime}(x)$ în intervalul ( $y_{j},z_{j}^{\prime}$ ). Această rădăcină s’ar mentine in intervalul ( $y_{j},z_{j}^{\prime}$ ), în timp ce primele $r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{j}-1$ noduri şi ultimele $r_{j+1}+r_{j+2}++\ldots+r_{s}-2$ noduri ar varia. Făcând pe primele să tindă către $-\infty$ , iar pe ultimele către $+\infty$ , vedem că proprietatea ar trebui să fie adevărată în cazul particular

p=2,x_{1}<x_{2}\leq x_{3},\quad j=1

(107)

pentrucă, în timpul acestei variații, $y_{j},z_{j}^{\prime}$ rămân la distanță finită pe axa reală.

In cazul (107) avem însă $y_{1}<z_{1}^{\prime}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ și rădăcina $\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}$ a lui $l^{\prime\prime}(x)$ este mai mare decât $z_{1}^{\prime}$ . Proprietatea este demonstrată.

Polinomul $l^{\prime\prime}(x)$ nu se anulează deci in intervalele $\left[y_{j},z_{j}^{\prime}\right]j=1,2,\ldots,s-1$ . La fel se demonstrează că acest polinom nu se anulează în intervalele

\left[z_{j}^{\prime\prime},y_{i}\right],\quad j=1,2,\ldots,s-1

Lema 6 este complet demonstrată.
Deducem prin urmare
Teorema 19. Dacă $\mathrm{r}\geq 0$ este un număr întreg, dacă $\mathrm{x}_{0}$ nu coincide eu un nod care nu este simplu şi dacă $\mathrm{m}=2,\mathrm{l}^{\prime\prime}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=0$ , formula de derivare numerică $(E)$ are gradul de exactitate $\mathrm{p}+\mathrm{r}+1$ şi restul de formă simplă.

Restul formulei este

R=(r+2)!\cdot l^{\prime}\left(x_{0}\right)D_{p+r+2}[f]

§5. Asupra câtorva formule explicite de derivare numerică

Utilizarea practică a formulelor de derivare numerică (E) depinde în mare măsură de forma explicită sub care se pune derivata respectivă a polinomului de interpolare. Rapiditatea și precizia calculului numeric efectiv depind de această formă explicită. De asemenea, utilizarea eventuală a tablelor numerice și a maşinilor de calcul necesită un studiu amănunțit al acestor forme explicite. Problema aceasta are o foarte vastă literatură. Ne limităm aici să cităm cercetările lui S. E. Micheladze [4] și J. F. Steffensen [10].

Vom examina două feluri de astfel de forme explicite :
$1^{\circ}$ . Formule de derivare numerică fără diferențe.
$2^{\circ}$ . Formule de derivare numerică cu diferente.
In această lucrare ne interesează mai ales să dăm o completare a rezultatelor din §§ precedente. Intr’o lucrare următoare vom relua și alte exemple importante.

Formule fără diferențe

40.

Formulele de derivare númerică de exactitate maximă se pot clasifica după valorile numerelor $p,m,r,r_{1},r_{2},\ldots,r_{s}$ care intră în caracteristicèle acestei formule, precum și după natura lor particulară, ca de exemplu : gradul de exactitate, reductibilitate, exceptionalitate, simetrie. In particular, formulele simetrice prezintă un interes deosebit și studiul acestora a fost reluat in ultimul timp de către S. E. Micheladze [4].

Vom presupune totdeuna $m\leq p$ .
Făcând abstracție de valorile nodurilor și de ordinea lor de mărime mutuală, unui sistem de valori ale lui $p,m,r$ ii corespund atâtea tipuri de formule în câte feluri putem alege ordinele de multiplicitate $r_{1},r_{2},\ldots,r^{s}$ cu suma egală cu $p+1$ . Acest număr este egal cu numărul $\Omega_{p+1}$ al soluțiilor in numore întregi nenegative $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{p+1}$ ale ecuației diophantiene

\alpha_{1}+2\alpha_{2}+3\alpha_{3}+\ldots+p\alpha_{p}+(p+1)\alpha_{p+1}=p+1

Deoarece $m$ ia valorile $0,1,\ldots,p$ , numărul formulclor pentru $p$ și $r$ dați va si $(p+1)\Omega_{p+1}$ .

Rezultă că numărul formulelor (E) cu gradıl de exartitate $e(\geq 0)$ și neexceptionale (generale) este egal cu

\Omega_{1}+2\Omega_{2}+3\Omega_{3}+\ldots+(e+1)\Omega_{e+1}

Pentru enumerarea formulelor (E) exceptionale, este suficient, pe baza rezultatelor dela punctul 10 , să considerăm numai acele formule excepţionale care provin din mărirea gradului de exactitate cu o unitate ¹ ). Numărul acestor formule pentru $p,r$ dati este $p\left(\Omega_{p+1}-1\right)$ , deoarece astfel de formule nu pot exista pentru $s=1$ și pentru $m=0$ . In schimb, pentru $s>1$ si $m>0$ , pe baza inegalităților (24), există astfel de formule. Pentru $p,r,m$ dați (și $s>1$ ) aceste
¹⁾ Formule prezentând aspectul $1^{\circ}$ (punctul 10).
formule nu dispar decât pentru poziții mutuale particulare ale nodurilor. In enumerarea formulelor excepționale nu facem distincție între diferitele rădăcini, distincte de noduri, ale polinomului $l^{(m)}(x)$ . Rezultă atunci că numărul formulelor excepţionale cu gradul de exactitate $e(\geq 2)$ este

\Omega_{2}+2\Omega_{3}+3\Omega_{4}+\ldots+(e-1)\Omega_{s}-\frac{e(e-1)}{2}

Pentru enumerarea formulelor simetrice, luăm $p=2q-1,q>0$ . Am văzut că putem presupune $m=2\mu$ . Pentru $q,r,\mu$ daţi vor exista $\Omega_{q}$ tipuri de astfel de formule. Pentru $q,r$ dati vom avea deci $q\Omega_{q}$ astfel de formule. In fine, gradul de exactitate al formulei fiind $2q+r-1$ , numărul formulel 1 . simetrice s, cu gradul de exactitate $e(\geq 1)$ este

\Omega_{1}+2\Omega_{2}+3\Omega_{3}+\ldots+\left[\frac{e+1}{2}\right]\Omega_{\left[\frac{e+1}{2}\right]}

Dacă $e$ este par, toate aceste formule sunt excepționale. Dacă însă $e$ este impar pentru $r=0$ , formulele nu sunt excepționale. Deci, în acest caz, $\frac{e+1}{2}\Omega_{\frac{e+1}{2}}$ dintre aceste formule sunt neexceptionale.

Pentru enumerarea formulelor reductibile deosebim două cazuri. Unele cu toate nodurile confundate ( $r=0,s=1$ ). Pentru un $p$ dat există $p$ astfel de formule, corespunzând valorilor $1,2,\ldots,p$ ale lui $m$ . Gradul lor de exactitate este $p$ ; există, deci, $e$ astfel de formule de grad de exactitate $e(\geq 1)$ . Celelalte formule reductibile au două noduri distincte ( $r=0,s=2$ ), care pot prezenta $\left[\frac{p+1}{2}\right]$ tipuri diferite. Dintre acestea insă, numai la $\left[\frac{p+1}{2}\right]-1$ pot corespunde formule reductibile, pentrucă dacă $r_{1}=1$ , $r_{2}=p$ , polinomul (27) are toate rădăcinile confundate. De asemenea, $m$ nu poate lua decât valorile $2,3,\ldots,p-1$ . Pentru un $p(\geq 3)$ dat, avem deci $(p-2)\left(\left[\frac{p+1}{2}\right]-1\right)$ astfel de formule. Aceste formule fiind neexcepționale, există $(e-2)\left(\left[\frac{e+1}{2}\right]-1\right)$ astfel de formule cu gradul de exactitate $e(\geq 3)$ .

Tabloul următor rezumă discuția de mai sus, relativ la numărul formulelor de exactitate maximă, după natura lor specificată, de la gradul de exactitate $0$ până la gradul de exactitate $5$ inclusiv.

Tinem seamă de următoarele valori ale numerelor,

\Omega_{1}=1,\quad\Omega_{2}=2,\quad\Omega_{3}=3,\quad\Omega_{4}=5,\quad\Omega_{5}=7,\quad\Omega_{6}=11

41.

Pentru a obține formulele de exactitate maximă, putem pleca dela cazul $r=0,s=p+1$ . Această din urmă condiţie este echivalentă cu faptul că toate nodurile sunt simple, adică punctele (6) sunt distincte. Avem atunci

L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x\right)=\sum_{i=1}^{p+1}\frac{l(x)}{\left(x-x_{i}^{\prime}\right)l^{\prime}\left(x_{i}^{\prime}\right)}f\left(x_{i}^{\prime}\right)

(108)

Pentru a exprima coeficienţii formulei (E) cu ajutorul abaterilor $h_{i}$ ale nodurilor de punctul de derivare, introducem, pe lângă notațiile dela punctul 28, şi numerele $H_{\alpha}^{(i)},\alpha=0,1,\ldots,p$ care sunt polinoamele simetrice fundamentale ale lui $h_{1},h_{2},\ldots,h_{i-1},h_{i+1},\ldots,h_{p+1}\left(H_{0}^{(i)}=1,H_{\alpha}^{(i)}=0\right.$ pentru $\alpha<0$ și pentru $\alpha>p$ ). Fie

\lambda(x)=\left(x-h_{1}\right)\left(x-h_{2}\right)\ldots\left(x-h_{p+1}\right).

Avem atunci $l(x)=\lambda\left(x-x_{0}\right)$ , deci $l^{\prime}\left(x_{i}^{\prime}\right)=\lambda^{\prime}\left(h_{i}\right)$ şi formula (73) ne dă

l^{(m)}\left(x_{0}\right)=(-1)^{p+1-m}m!H_{p+1-m}

precum şi

\left.\left[\frac{l(x)}{x-x_{i}^{\prime}}\right]_{x=x_{0}}^{(m)}=(-1)^{p-m}m\right\rvert\,H_{p-m}^{(i)},\quad i=1,2,\ldots,p+1

Tinând seama de formula (108), deducem

\frac{(-1)^{p-m}}{m!}f^{(m)}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=1}^{p+1}\frac{H_{p-m}^{(i)}}{\lambda^{\prime}\left(\bar{h}_{i}\right)}f\left(x_{0}+h_{i}\right)+R

(109)

Trecerea dala cazul $r=0$ la cazul $r>0$ se face utilizând formula (90). Formula (84) ne dă

L(x)=L\underbrace{\left(x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}\right.}_{r};f\mid x)=\sum_{i=0}^{r-1}\frac{\left(x-x_{0}\right)^{j}}{j\mid}f^{(j)}\left(x_{0}\right)

(110)

si din (85) deducem atunci

[x_{0}+h_{i},\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r};f]=\frac{1}{h_{i}^{r}}\left[f\left(x_{0}+h_{i}\right)-\sum_{i=0}^{r-1}\frac{h_{i}^{i}}{j!}f^{(j)}\left(x_{0}\right)\right]

(111)

așa că ținând seama de formulele (90) și (109) deducem

	$\displaystyle\frac{(-1)^{p-m}}{(m+r)!}f^{(m+r)}\left(x_{0}\right)=-\sum_{j=0}^{r-1}\left[\sum_{i=1}^{p+1}\frac{H_{p-m}^{(i)}}{h_{i}^{r-j}\lambda^{\prime}\left(h_{i}\right)}\right]\cdot\frac{f^{(j)}\left(x_{0}\right)}{j!}+$		(112)
	$\displaystyle+\sum_{i=1}^{p+1}\frac{H_{p-m}^{(i)}}{h_{i}^{r}\lambda^{\prime}\left(h_{i}\right)}f\left(x_{0}+h_{i}\right)+R$

Dacă $H_{p+1-m}\neq 0$ , această formulă are gradul de exactitate $p+r$ , şi dacă restul este de formă simplă, avem

R=-H_{p+1-m}D_{p+r+1}[f].

Dacă $H_{p+1-m}=0$ , formula devine exceptională și are gradul de exactitate $p+r+1$ și dacă restul este de formă simplă, avem

R=H_{p+2-m}D_{p+r_{+}+2}[f]

Plecând dela formula (111), stabilită în cazul când abaterile $h$ sunt distincte (și diferite de zero), obținem celelalte tipuri de formule de derivare numerică (E) făcând ca, pe grupe convenabile, abaterile să tindă una către alta.
42. Pentru a evalua coeficienții lui $f^{(j)}\left(x_{0}\right),j=0,1,\ldots,r-1$ în formula (112), putem să ne folosim de formula (86). Referindu-ne la notatiile din formula (10), deducem din (86)

\sum_{j=0}^{r-1}c_{j}f^{(j)}\left(x_{0}\right)=[l(x)L(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r};\left.\frac{f(x)}{l(x)}\right\rvert\,x)]_{x=x_{0}}^{(m+r)}

(113)

Ţinând seama de (110) avem

	$\displaystyle{[l(x)L(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r};\left.\frac{f(x)}{l(x)}\right\rvert\,x)]_{x=x_{0}}^{(m+r)}=}$		(114)
	$\displaystyle=\sum_{j=0}^{r-1}\frac{1}{j!}\left[l(x)\left(x-x_{0}\right)\right]_{x=x_{0}}^{(m+r)}\cdot\left[\frac{f(x)}{l(x)}\right]_{x+x_{0}}^{(j)}$

Insă, pe baza formulelor (69), (73),

\left[l(x)\left(x-x_{0}\right)^{j}\right]_{x=x_{\mathrm{f}}}^{(m+r)}=(-1)^{p+1-m-r+j}(m+r)!H_{p+1-m-r+j}

Din compararea formulelor (113), (114) deducem deci

c_{r-1-j}=\frac{(-1)^{p-m-j}(m+r)!}{(r-1-j)!}\sum_{\alpha=0}^{j}H_{p-m-j+\alpha}\frac{(-1)^{\alpha}}{\alpha!}\left[\frac{1}{l(x)}\right]_{x=x_{0}}^{(\alpha)}.

(115)

Dar, din egalitatea

l(x)\frac{1}{l(x)}=1

deducem

\left.\begin{array}[]{l}(-1)^{p+1}H_{p+1}\left[\frac{1}{l(x)}\right]_{x=x_{0}}=1\\ \sum_{\alpha=0}^{i}H_{p+1-i+\alpha}\frac{(-1)^{\alpha}}{\alpha!}\left[\left.\frac{1}{l(x)}\right|_{a=x_{0}}^{(\alpha)}=0,\quad i=1,2,\ldots\right.\end{array}\right\}

Eliminând pe

\frac{(-1)^{\alpha}}{\alpha!}\left[\frac{1}{l(x)}\right]_{x=x_{\theta}}^{(\alpha)},\quad\alpha=0,1,\ldots,j

din ecuația (115) și din primele $j+1$ ecuații (116), deducem

		$\displaystyle c_{r-1-j}=\frac{(-1)^{m+1}(m+r)!}{(r-1-j)!H_{p+1}^{i+1}}\left\|\begin{array}[]{llllll}H_{p}&H_{p+1}&0&0\ldots\ldots&0\\ H_{p-1}&H_{p}&H_{p+1}&0\ldots\ldots&0\\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&\ldots\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ H_{p+1-j}&H_{p+2-j}&\ldots\ldots&\ldots&H_{p+1}\\ H_{p-m-j}&H_{p-m-j+1}&\ldots\ldots&\ldots&H_{p-m}\end{array}\right\|$
		$\displaystyle\quad j=1,\ldots,r-1.$

Comparând această formulă cu (112) deducem in definitiv

	$\displaystyle\sum_{i=1}^{p+1}\frac{H_{p-m}^{(i)}}{h_{i}^{j+1}\lambda^{\prime}\left(h_{i}\right)}=\frac{(-1)^{p}}{H_{p+1}^{j+1}}$	$\displaystyle\left\lvert\,\begin{array}[]{ccccc}H_{p}&H_{p+1}&0&0&\ldots\\ H_{p-1}&H_{p}&H_{p+1}&0&\ldots\\ \cdots&\ldots&\ldots&0\\ H_{p+1-j}&H_{p+2-j}&\ldots&\ldots&\ldots\\ H_{p-m-j}&H_{p-m-j+1}&\ldots&\ldots&\ldots\end{array}H_{p+1}\right.$		(117)
		$\displaystyle\quad j=0,1,\ldots,r-1.$

43.

Să considerăm câteva cazuri particulare
$1^{\circ}$ . Pentru $r=0,s=1$ , avem

	$\displaystyle f^{(m)}\left(x_{0}\right)=\sum_{j=0}^{p-m}(-1)^{i}\frac{h^{i}}{j!}f^{(m+j)}\left(x_{0}+h\right)+$	$\displaystyle(118)$		(118)
		$\displaystyle+(-1)^{p+1-m}\frac{(p+1)!}{(p+1-m)!}h^{p+1-m}D_{p+1}[f]$

Aceasta este formula lui Taylor, cu o nouă expresie a restului. Pentru $m>0$ , obținem prima serie de formule reductibile.
$2^{\circ}$ . Pentru $p=m=0$ , obținem formula

\frac{1}{r!}f^{(r)}\left(x_{0}\right)=-\sum_{i=0}^{r-1}\frac{1}{j!h^{r-j}}f^{(j)}\left(x_{0}\right)+\frac{1}{r!}f\left(x_{0}+h\right)-hD_{r+1}[f]

(119)

Această formulă rezultă și din formula lui Taylor (118) (pentru $m=0$ și cu o schimbare de notație). Pentru $p\Rightarrow m=r=0$ , cele două formule (118), (119) coincid.
$3^{\circ}$ . Să presupunem că $p=1,m=0$ . Un calcul simplu ne arată că, determinantul din membrul al doilea al formulei (117) este egal cu

\frac{h_{1}^{j+2}-h_{2}^{j+2}}{h_{1}-h_{2}}

și deducem formula

	$\displaystyle\frac{1}{r!}f^{(r)}\left(x_{0}\right)=-\sum_{j=0}^{r-1}\frac{1}{j!\left(h_{1}h_{2}\right)^{r-j}}\cdot\frac{h_{1}^{r-j+1}-h_{2}^{r-j+1}}{h_{1}-h_{2}}f^{(j)}\left(x_{0}\right)-$
	$\displaystyle\quad-\frac{1}{\left(h_{1}h_{2}\right)^{r}\left(h_{1}-h_{2}\right)}\left[h_{2}^{r+1}f\left(x_{0}+h_{1}\right)-h_{1}^{r+1}f\left(x_{0}+h_{2}\right)\right]+h_{1}h_{2}D_{r+2}[f].$		(120)

Din aceasta se deduce și formula limită ( $\left.h_{2}\rightarrow h_{1}=h\right)$

	$\displaystyle\frac{1}{r!}f^{(r)}\left(x_{0}\right)=$	$\displaystyle-\sum_{j=0}^{r-1}\frac{r-j+1}{j!h^{r-j}}f^{(j)}\left(x_{0}\right)+\frac{r+1}{h^{r}}f\left(x_{0}+h\right)-$
		$\displaystyle-\frac{1}{h^{r-1}}f^{\prime}\left(x_{0}+h\right)+h^{2}D_{r+2}[f]$		(121)

$4^{\circ}$ . Pentru $p=m=1$ , determinantul din membrul al doilea al formulei (116) este egal cu

\frac{h_{1}^{i+1}-h_{2}^{i+1}}{h_{1}-h_{2}}

ṣi deducem formula

	$\displaystyle\frac{1}{(r+1)!}f^{(r+1)}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=0}^{r-1}\frac{1}{j!\left(h_{1}h_{2}\right)^{r-j}}\cdot\frac{h_{1}^{r-j}-h_{2}^{r-j}}{h_{1}-h_{2}}f^{(j)}\left(x_{0}\right)+$
	$\displaystyle\quad+\frac{1}{\left(h_{1}h_{2}\right)^{r}\left(h_{1}-h_{2}\right)}\left[h_{2}^{r}f\left(x_{0}+h_{1}\right)-h_{1}^{r}f\left(x_{0}+h_{2}\right)\right]+R$		(122)

Această formulă este de gradul de exactitate $r+1$ , dacă $h_{1}+h_{2}\neq 0$ , dar restul în general nu este de formă simplă. Din această formulă deducem și formula limită ( $h_{2}\rightarrow h_{1}=h$ )

	$\displaystyle\frac{1}{(r+1)!}f^{(r+1)}\left(x_{0}\right)=\sum_{j=0}^{r-1}\frac{r-i}{j!h^{r-i+1}}f^{(j)}\left(x_{0}\right)-\frac{r}{h^{r+1}}f\left(x_{0}+h\right)+$
	$\displaystyle+\frac{1}{h^{r}}f^{\prime}\left(x_{0}+h\right)-2hD_{r+2}[f]$		(123)

Dacă $h_{1}+h_{2}=0$ , formula (122) devine excepţională și se poate scrie sub forma

\begin{array}[]{r}\frac{1}{(r+1)!}f^{(r+1)}\left(x_{0}\right)=-\sum_{j=0}^{\left[\frac{r-1}{2}\right]}\frac{1}{(r-1-2j)!}\cdot\frac{1}{h^{2i+2}}f^{(r-1-2j)}\left(x_{0}\right)+\\ +\frac{1}{2h^{r+1}}\left[f\left(x_{0}+h\right)+(-1)^{r+1}f\left(x_{0}-h\right)\right]-h^{2}D_{r+3}[f]\end{array}

44.

Dintre formulele de gradul de exactitate $\leqq 5$ nu vom scrie explicit decât pe acelea pentru care $s\Rightarrow 1$ , deci pentru care nodurile sunt toate confundate, afară bineînțeles de acelea care au și fost semnalate. Restul acestor formule este de formă simplă. Pentru gradele de exactitate $0,1,2,3,4,5$ , exista respectiv $1,3,6,10,15,21$ astfel de formule. Dintre aceste formule 1, $3,4,5$ respectiv 6 se deduc din formula (118) și câte una din formulele (119), (121), (123). Grupăm cele $0,0,0,3,7$ respectiv 12 formule rămase după gradul lor de exactitate. In paranteză, după formulă, indicăm pe rând valorile corespunzătoare ale numerelor $p,r,m$ . Pentru simplificare particulare pe care le scriem, presupunem $x_{0}=0$ . Se trece la cazul lui $x_{0}$ oarecare, printr’o transformare lineară simplă.

Gradul de exactitate 3 :
(F1) $\quad f^{\prime}(0)=\frac{3}{h}[f(h)-f(0)]-2f^{\prime}(h)+\frac{h}{2}f^{\prime\prime}(h)-h^{3}D_{4}[f]\quad(2,1,0)$
(F2) $f^{\prime\prime}(0)=\frac{6}{h^{2}}[f(0)-f(h)]+\frac{6}{h}f^{\prime}(h)-2f^{\prime\prime}(h)+6h^{2}D_{4}[f]\quad(2,1,1)$
(F3) $f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{6}{h^{3}}[f(h)-f(0)]-\frac{6}{h^{2}}f^{\prime}(h)+\frac{3}{h}f^{\prime\prime}(h)-18hD_{4}[f]\quad(2,1,2)$
Gradul de exactitate 4 :
(F4) $f^{\prime}(0)=\frac{4}{h}[f(h)-f(0)]-3f^{\prime}(h)+hf^{\prime\prime}(h)-\frac{h^{2}}{6}f^{\prime\prime\prime}(h)+h^{4}D_{5}[f](3,1,0)$
(F5) $f^{\prime\prime}(0)=\frac{12}{h^{2}}[f(0)-f(h)]+\frac{12}{h}f^{\prime}(h)-5f^{\prime\prime}(h)+hf^{\prime\prime\prime}(h)-8h^{3}D_{5}[f](3,1,1)$
(F6) $f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{24}{h^{3}}[f(h)-f(0)]-\frac{24}{h^{2}}f^{\prime}(h)+\frac{12}{h}f^{\prime\prime}(h)-3f^{\prime\prime\prime}(h)+$

+36h^{2}D_{5}[f]

(3,1,2)

\begin{array}[]{r}f^{IV}(x)=\frac{24}{h^{4}}[f(0)-f(h)]+\frac{24}{h^{3}}f^{\prime}(h)-\frac{12}{h^{2}}f^{\prime\prime}(h)+\\ \frac{4}{h}f^{\prime\prime\prime}(h)-96hD_{5}[f]\end{array}

(F8) $f^{\prime\prime}(0)=\frac{12}{h^{2}}[f(h)-f(0)]-\frac{6}{h}\left[f^{\prime}(0)+f^{\prime}(h)\right]+f^{\prime\prime}(h)-2h^{3}D_{5}[f](2,2,0)$ .
(F9) $f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{48}{h^{3}}[f(0)-f(h)]+\frac{18}{h^{2}}f^{\prime}(0)+\frac{80}{h^{2}}f^{\prime}(h)-$

-\frac{6}{h}f^{\prime\prime}(h)+18h^{2}D_{5}[\gamma]

(F10) $f^{IV}(0)=\frac{72}{h^{4}}[f(h)-f(0)]-\frac{24}{h^{3}}f^{\prime}(0)-\frac{48}{h^{3}}f^{\prime}(h)+$

\frac{12}{h^{2}}f^{\prime\prime}(h)-72hD_{5}[f]

Gradul de exactitate 5 :
(F11) $f^{\prime}(0)=\frac{5}{h}[f(h)-f(0)]-4f^{\prime}(h)+\frac{3}{2}hf^{\prime\prime}(h)-$

\frac{1}{3}h^{2}f^{\prime\prime\prime}(h)+\frac{h^{3}}{24}f^{IV}(h)-h^{5}D_{6}[f]

(4,1,0)

(F12) $f^{\prime\prime}(0)=\frac{20}{h^{2}}[f(0)-(fh)]+\frac{20}{h}f^{\prime}(h)-9f^{\prime\prime}(h)+$

+\frac{7}{3}hf^{\prime\prime\prime}(h)-\frac{h^{2}}{3}f^{IV}(h)+10h^{4}D_{6}[f]

(F13) $f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{60}{h^{3}}[f(h)-f(0)]-\frac{60}{h^{2}}f^{\prime}(h)+\frac{30}{h}f^{\prime\prime}(h)-$

-9f^{\prime\prime\prime}(h)+\frac{3}{2}hf^{lV}(h)-60h^{3}D_{6}[f]

(4,1,2)

(F14) $f^{\prime V}(0)=\frac{120}{h^{4}}[f(0)-f(h)]+\frac{120}{h^{3}}f^{\prime}(h)-\frac{60}{h^{2}}f^{\prime\prime}(h)+$

+\frac{20}{h}f^{\prime\prime\prime}(h)-4f^{lV}(h)+240h^{2}D_{6}[f]

(4,1,3)

(F15) $f^{V}(0)=\frac{120}{h^{5}}[f(h)-f(0)]-\frac{120}{h^{4}}f^{\prime}(h)+\frac{60}{h^{3}}f^{\prime\prime}(h)-$
$(4,1,4)$ .

-\frac{20}{h^{2}}f^{\prime\prime\prime}(h)+\frac{5}{h}f^{IV}(h)-600hD_{6}[f]

(F16) $f^{\prime\prime}(0)=\frac{20}{h^{2}}[f(h)-f(0)]-\frac{8}{h}f^{\prime}(0)-\frac{12}{h}f^{\prime}(h)+$
(F17) $f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{120}{h^{3}}[f(0)-f(h)]+\frac{36}{h^{2}}f^{\prime}(0)+\frac{84}{h^{2}}f^{\prime}(h)-$

-\frac{24}{h}f^{\prime\prime}(h)+3f^{\prime\prime\prime}(h)-24h^{3}D_{6}[f]

(3,2,1)

(F18) $f^{IV}(0)=\frac{360}{h^{4}}[f(h)-f(0)]-\frac{96}{h^{3}}f^{\prime}(0)-\frac{264}{h^{3}}f^{\prime}(h)+$

\frac{84}{h^{2}}f^{\prime\prime}(h)-\frac{12}{h}f^{\prime\prime\prime}(h)+144h^{2}D_{6}[f]

(3,2,2)

(F19) $f^{V}(0)=\frac{480}{h^{5}}[f(0)-f(h)]+\frac{120}{h^{4}}f^{\prime}(0)+\frac{360}{h^{4}}f^{\prime}(h)-$

-\frac{120}{h^{3}}j^{\prime\prime}(h)+\frac{20}{h^{2}}f^{\prime\prime\prime}(h)-480hD_{6}[\not]

(3,2,3)

f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{60}{h^{3}}[f(h)-f(0)]-\frac{36}{h^{2}}f^{\prime}(0)-\frac{9}{h}f^{\prime\prime}(0)-

(F20)

-\frac{24}{h^{2}}f^{\prime}(h)+\frac{3}{h}f^{\prime\prime}(h)-6h^{3}D_{6}[f]

(2,3,0)

(F21) $\quad f^{\prime V}(0)=\frac{360}{h^{4}}[f(0)-f(h)]+\frac{192}{h^{3}}f^{\prime}(0)+\frac{36}{h^{2}}f^{\prime\prime}(0)+$

+\frac{168}{h^{3}}f^{\prime}(h)-\frac{24}{h^{2}}f^{\prime\prime}(h)+72h^{2}D_{6}[f]

(2,3,1)

(F22) $f^{V}(0)=\frac{720}{h^{5}}[f(h)-f(0)]-\frac{360}{h^{4}}f^{\prime}(0)-\frac{60}{h^{3}}f^{\prime\prime}(0)-$

-\frac{360}{h^{\mathbf{4}}}f^{\prime}(h)+\frac{60}{h^{3}}f^{\prime\prime}(h)-360hD_{6}[f]

(2,3,2)

45.

Formulele excepţionale se obțin impunând abaterilor restricţia $H_{p+1-m}=0$ . Vom scrie formulele exceptionale de grad de exactitate $\leq 5$ , insă numai pe acelea corespunzătoare lui $s=2$ , fără acelea care rezultă din formula (124). In acest caz, cele două abateri distincte $h_{1},h_{2}$ sunt legate de o relatie care permite să le exprimăm sub forma $\alpha h,\beta h(\alpha,\beta$ fiind două numere fixe). Raportul numerelor $\alpha,\beta$ nu este totdeauna rational. Restul acestor formule este de formă simplă când $m=1,2$ , sau când formula este simetrică. Pentru gradele de exactitate $3,4,5$ avem respectiv $2,8,16$ astfel de formule, dintre care la 6 forma simplă a restului nu rezultă din cele ce preced. In paranteză, indicăm valorile lui $p,r,m$ , precum și restricția la care este supus $h_{1}$ și $h_{2}$ , ordinul de multiplicitate a nodului $x_{2}$ fiind cel puţin egal cu al lui $x_{1}$ .

+3f^{\prime\prime}(h)-\frac{h}{3}f^{\prime\prime\prime}(h)+2h^{4}D_{6}[f]

Gradul de exactitate 3 :

f^{\prime}(0)=\frac{4}{9h}[f(h)-f(-2h)]-\frac{1}{3}f^{\prime}(-2h)-4h^{3}D_{4}[f]

(F23)

\left(2,0,1;2h_{1}+h_{2}=0\right)

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=\frac{2}{9h^{2}}[f(-2h)-f(h)]+\frac{2}{3h}f^{\prime}(h)-6h^{2}D_{4}[f]$		(F24)
	$\displaystyle\left(2,0,2;h_{1}+2h_{3}=0\right)$

Gradul de exactitate 4 :

(F25) $\quad f^{\prime}(0)=\frac{27}{64h}[f(h)-f(-3h)]-\frac{11}{16}f^{\prime}(-3h)-$

-\frac{3h}{8}f^{\prime\prime}(-3h)-27h^{4}D_{5}[f]\quad\left(3,0,1;3h_{1}+h_{2}=0\right)

f^{\prime}(0)=\frac{3}{4h}[f(h)-f(-h)]-\frac{1}{4}\left[f^{\prime}(h)+f^{\prime}(-h)\right]+h^{4}D_{5}[f]

(F26)

\left(3,0,1;h_{1}+h_{2}=0\right)

(F27)

f^{\prime\prime}(0)=\frac{3}{4h^{2}}[f(h)-f(-h)]-\frac{3}{2h}f^{\prime}(-h)-\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(-h)-4h^{3}D_{5}[f]

\left(3,0,2;h_{1}+h_{2}=0\right)

(F28)

		$\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=\frac{2\sqrt{3}+3}{3h^{2}}\left\{f(h)-f(-[2-\sqrt{3}]h)-(2-\sqrt{3})hf^{\prime}(h)-\right.$
		$\displaystyle\left.-hf^{\prime}(-[2-\sqrt{3}]h)\right\}+4(3\sqrt{3}-5)h^{3}D_{5}[f]$
		$\displaystyle\left(3,0,2;h_{1}^{2}+4h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}=0\right)$

(F29)

\begin{array}[]{r}f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{3}{32h^{3}}[f(h)-f(-3h)]-\frac{3}{8h^{2}}f^{\prime}(h)+\frac{3}{4h}f^{\prime\prime}(h)+R\\ \left(3,0,3;h_{1}+3h_{2}=0\right)\end{array}

(F30)

f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{3}{2h^{3}}[f(-h)-f(h)]+\frac{3}{2h^{2}}\left[f^{\prime}(h)+f^{\prime}(-h)\right]-12h^{2}D_{5}[f]

\left(3,0,3;h_{1}+h_{2}=0\right)

(F31)

\begin{array}[]{r}f^{\prime\prime}(0)=\frac{1}{18h^{2}}[16f(h)+11f(-2h)-27f(0)]+\frac{1}{3h}f^{\prime}(-2h)-\\ -8h^{3}D_{5}[f]\quad\left(2,1,1;2h_{1}+h_{2}=0\right)\end{array}

(F32)

\begin{array}[]{r}f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{1}{3h^{3}}[9f(0)-8f(h)-f(-2h)]+\frac{2}{h^{2}}f^{\prime}(h)-18h^{2}D_{5}[7]\\ \left.(2,1,2);h_{1}+2h_{2}=0\right)\end{array}

Gradul de exactitate 5 :

	$\displaystyle f^{\prime}(0)$	$\displaystyle=\frac{256}{625h}[f(h)-f(-4h)]-\frac{131}{125}f^{\prime}(-4h)-\frac{28}{25}hf^{\prime\prime}(-4h)-$		(F33)
		$\displaystyle-\frac{8}{15}h^{2}f^{\prime\prime\prime}(-4h)-256h^{5}D_{6}[f]\quad\left(4,0,1;4h_{1}+h_{2}=0\right)$

(F34)

	$\displaystyle f^{\prime}(0)=$	$\displaystyle\frac{216}{625h}[f(2h)-f(-3h)]-\frac{1}{125}\left[27f^{\prime}(2h)+64f^{\prime}(-3h)\right]-$
		$\displaystyle-\frac{6h}{25}f^{\prime\prime}(-3h)+08h^{5}D_{6}[f]\quad\left(4,0,1;3h_{1}+2h_{2}=0\right)$

(F35) $f^{\prime\prime}(0)=\frac{108}{625h^{2}}[f(2h)-f(-3h)]-\frac{108}{125h}f^{\prime}(-3h)-\frac{29}{25}f^{\prime\prime}(-3h)-$

-\frac{3h}{5}f^{\prime\prime\prime}(-3h)-270h^{4}D_{6}[f]\quad\left(4,0,2;3h_{1}+2h_{2}=0\right)

(F36) $\quad f^{\prime\prime}(0)=\frac{9(117+62\sqrt{6})}{625h^{2}}\left[f(h)-f\left(-\frac{3-\sqrt{6}}{3}h\right)\right]++\frac{9(54+19\sqrt{6})}{250h}\left[(\sqrt{6}-2)f^{\prime}(h)+\frac{\sqrt{6}}{3}f^{\prime}\left(-\frac{3-\sqrt{6}}{3}h\right)\right]+\frac{3\sqrt{6}-2}{25}f^{\prime\prime}$

-\frac{2}{3}(3+4\sqrt{6})h^{4}D_{6}[f]\quad\left(4,0,2;3h_{1}^{2}+6h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}=0\right)

(h)

(F37) $f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{48}{625h^{3}}[f(3h)-f(-2h)]-\frac{48}{125h^{2}}f^{\prime}(-2h)-\frac{24}{25h}f^{\prime\prime}(-2h)-$

-\frac{3}{5}f^{\prime\prime\prime}(-2h)+R\quad\left(4,0,3;2h_{1}+3h_{2}=0\right)

(F38) $\quad f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{6(311+129\sqrt{6})}{625h^{3}}[f(-[3-\sqrt{6}]h)-f(h)]+$

		$\displaystyle+\frac{3(81+34\sqrt{6})}{125h^{2}}f^{\prime}(-[3-\sqrt{6}]h)+\frac{3(107+48\sqrt{6})}{125h^{2}}f^{\prime}(h)-$
		$\displaystyle\quad-\frac{3(2+3\sqrt{6})}{25}f^{\prime\prime}(h)+R\quad\left(4,0,3;h_{1}^{2}+6h_{1}h_{2}+3h_{2}^{2}=0\right)$

(F39) $\quad f^{IV}(0)=\frac{24}{625h^{4}}[f(-4h)-f(h)]+\frac{24}{125h^{3}}f^{\prime}(h)-\frac{12}{25h^{2}}f^{\prime\prime}(h)+$

+\frac{4}{5h}f^{\prime\prime\prime}(h)+R\quad\left(4,0,4;h_{1}+4h_{2}=0\right)

(F40) $\quad f^{IV}(0)+\frac{72}{625h^{4}}[f(-2h)-f(3h)]+\frac{24}{125h^{3}}\left[f^{\prime}(3h)+2f^{\prime}(-2h)\right]+$

+\frac{12}{25h^{2}}t^{\prime\prime}(-2h)+R\quad\left(4,0,4;2h_{1}+3h_{2}=0\right)

(F41) $\quad f^{\prime\prime}(0)=\frac{1}{96h^{2}}[81f(h)+47f(-3h)-128f(0)]+\frac{5}{8h}f^{\prime}(-3h)+$

+\frac{1}{4}f^{\prime\prime}(-3h)-54h^{4}D_{6}[f]\quad\left(3,1,1;3h_{1}+h_{2}=0\right)

(F42) $\quad f^{\prime\prime}(0)=\frac{2}{h^{2}}[f(-h)-2f(0)+f(h)]+\frac{1}{2h}\left[f^{\prime}(-h)-f^{\prime}(h)\right]+2h^{4}D_{6}[f]$

\left(3,1,1;h_{1}+h_{2}=0\right)

(F43) $\quad f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{1}{4h^{3}}[48f(0)-9f(-h)-39f(H)]+\frac{15}{2h}f^{\prime}(h)-\frac{3}{2}f^{\prime\prime}(h)+$

12h^{4}D_{6}[f]\quad\left(3,1,2;h_{1}+h_{2}=0\right)

(F44) $\quad f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{-12(5+3\sqrt{3})}{h^{3}}f(0)+\frac{3(1+\sqrt{3})}{h^{3}}f(h)++\frac{3(19+11\sqrt{3})}{h^{3}}f([\sqrt{3}-2]h)-\frac{\sqrt{3}}{h^{2}}f^{\prime}(h)+\frac{12+7\sqrt{3}}{h^{2}}f^{\prime}([\sqrt{3}-2]h)++12(3\sqrt{3}-5)h^{3}D_{6}[f]\quad\left(3,1,2;h_{1}^{2}+4h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}=0\right)$
(F45)

	$\displaystyle f^{\prime V}(0)=$	$\displaystyle\frac{1}{8h^{4}}[f(-3h)+3f(h)-4f(0)]-$
		$\displaystyle-\frac{15}{2h^{3}}f^{\prime}(h)+\frac{3}{h^{2}}f^{\prime\prime}(h)+R\quad\left(3,1,3;h_{1}+3h_{2}=0\right)$

(F46) $\quad f^{\prime V}(0)=\frac{12}{h^{4}}[2f(0)-f(h)-f(-h)]+\frac{6}{h^{3}}\left[f^{\prime}(h)-f^{\prime}(-h)\right]-$

-48h^{2}D_{6}[f]\quad\left(3,1,3,h_{1}+h_{2}=0\right)

(F47) $\quad f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{1}{6h^{3}}[16f(h)-9f(0)-7f(-2h)]-$

-\frac{1}{2h^{2}}\left[9f^{\prime}(0)+f^{\prime}(-2h)\right]-24h^{3}D_{6}[f]\quad\left(2,2,1;2h_{1}+h_{2}=0\right)

(F48)

\begin{array}[]{r}f^{IV}(0)=\frac{2}{3h^{4}}[27f(0)+f(-2h)-28f(h)]+\frac{4}{\dot{h}^{3}}\left[3f^{\prime}(0)+2f^{\prime}(h)\right]-\\ -72h^{2}D_{6}[f]\quad\left(2,2,2;h_{1}+2h_{2}=0\right)\end{array}

46.

Formulele reductibile din a doua serie (cu $s=2$ ) se obțin uşor din formulele excepționale deoarece o astfel de formulă este excepțională ca o formulă de derivare numerică a funcției $f^{\prime}(x)$ . O formulă reductibilă cu caracteristicele $p,(r=)0,m$ se obține din formula excepțională corespunzătoare cu caracteristicele respective $p-2,0,m-1$ . Cele 9 formule reductibile de grad de exactitate $\leq 5$ , din această serie, se obțin din formula (124) pentru $r=0$ și din formulele (F23) - (F30). Aceste formule sunt

Gradul de exactitate 3 :

(F49)

f^{\prime\prime}(0)=\frac{1}{2h}\left[f^{\prime}(h)-f^{\prime}(-h)\right]-4h^{2}D_{4}[f]

(3,0,2)

Gradul de exactitate 4 :
(F50)

\begin{array}[]{r}f^{\prime\prime}(0)=\frac{4}{9h}\left[f^{\prime}(h)-f^{\prime}(-2h)\right]-\frac{1}{3}f^{\prime\prime}(-2h)-20h^{3}D_{5}[f;\\ \left(4,0,2;2h_{1}+h_{2}=0\right)\end{array}

(F51)

f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{2}{9h^{2}}\left[f^{\prime}(-2h)-f^{\prime}(h)\right]+\frac{2}{3h}f^{\prime\prime}(h)-30h^{2}D_{5}[f]

$\left(4,0,3;h_{1}+2h_{2}=0\right)$
Gradul de exactitate 5 :

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=\frac{27}{64h}\left[f^{\prime}(h)-f^{\prime}(-3h)\right]-\frac{11}{16}f^{\prime\prime}(-2h)-\frac{3h}{8}f^{\prime\prime\prime}(-3h)-$		(F52)
	$\displaystyle-162h^{4}D_{6}[f]\quad\left(5,0,2;3h_{1}+h_{2}=0\right)$

(F53)

\begin{array}[]{r}f^{\prime\prime}(0)=\frac{3}{4h}\left[f^{\prime}(h)-f^{\prime}(-h)\right]-\frac{1}{4}\left[f^{\prime\prime}(h)+f^{\prime\prime}(-h)\right]+6h^{4}D_{6}[f]\\ \left(5,0,2;h_{1}+h_{2}=0\right)\end{array}

(F54) $\quad f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{3}{4h^{2}}\left[f^{\prime}(h)-f^{\prime}(-h)\right]-\frac{3}{2h}f^{\prime\prime}(-h)-$

-\frac{1}{2}f^{\prime\prime\prime}(-h)-24h^{3}D_{6}[f]\quad\left(5,0,3;h_{1}+h_{2}=0\right)

(F55)

\begin{array}[]{r}f^{\prime\prime\prime}(0)=\frac{2\sqrt{3}+3}{3h^{2}}\left\{f^{\prime}(h)-f^{\prime}(-[2-\sqrt{3}]h)-(2-\sqrt{3})hf^{\prime\prime}(h)-\right.\\ \left.-hf^{\prime\prime}(-[2-\sqrt{3}]h)\right\}+24(3\sqrt{3}-5)h^{3}D_{6}[f]\\ \left(5,0,3;h_{1}^{2}+4h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}=0\right)\end{array}

(F56) $\quad f^{\prime}V(0)=\frac{3}{32h^{3}}\left[f^{\prime}(h)-f^{\prime}(-3h)\right]-\frac{3}{8h^{2}}f^{\prime\prime}(h)+\frac{3}{4h}f^{\prime\prime\prime}(h)+\boldsymbol{R}$

\left(5,0,4;h_{1}+3h_{2}=0\right)

(F57)

\begin{array}[]{r}f^{IV}(0)=\frac{3}{2h^{3}}\left[f^{\prime}(-h)-f^{\prime}(h)\right]+\frac{3}{2h^{2}}\left[f^{\prime\prime}(h)+f^{\prime\prime}(-h)\right]-72h^{2}D_{6}[f]\\ \left(5,0,4;h_{1}+h_{2}=0\right)\end{array}

Simplicitatea restului, în cazul formulelor (F49), (F53), (F57), rezultă din simetria acestor formule.

Resturile formulelor (F50), (F51), (F52), (F54) şi (F55) se pot scrierespectiv

\begin{gathered}-4h^{3}D_{4}\left[f^{\prime}\right],\quad-6h^{2}D_{4}\left[f^{\prime}\right],\quad-27h^{4}D_{5}\left[f^{\prime}\right],\quad-4h^{3}D_{5}\left[f^{\prime}\right],\\ 4(3\sqrt{3}-5)h^{3}D_{5}\left[f^{\prime}\right].\end{gathered}

Dar funcționala ( $n\geqq 2$ )

R[f]=\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n};f^{\prime}\right]

unde $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\hat{\alpha}_{n}$ sunt $n$ puncte fixe, nu toate confundate, este de grad de exactitate $n-1$ și este de formă simplă. Proprietatea relativă la gradul de exactitate rezultă din formula (30). Simplicitatea rezultă din faptul că, dacă $f(x)$ este o funcție convexă de ordinul $n=1,f^{\prime}(x)$ este o funcție convexă de ordinul $n-2$ . Avem în acest caz $R\left[x^{n}\right]=n$ , deci

\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n};f^{\prime}\right]=nD_{n}[f]

intervalul $[a,b]$ fiind cel mai mic interval închis care conține punctele $\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}$ . De aici rezultă formula

D_{n-1}\left[f^{\prime}\right]=nD_{n}[f]

a cărei însemnătate este clară şi din care am dedus resturile formulelor (F50), (F51), (F52), (F54) și (F55).
47. Formulele (E) simetrice se pot scrie întrebuințând notațiile dela punctul 35, scriind abaterile sub forma $\pm t_{i},i=1,2,\ldots,q$ . Dacă notăm cu $T_{\alpha}^{(i)},\alpha=0,1,\ldots,q-1$ polinoamele simetrice fundamentale ale lui $t_{1}^{2},t_{2}^{2},\ldots,t_{i-1}^{2},t_{i+1}^{2},\ldots,t_{l}^{2}\left(T_{0}^{(i)}=1,T_{\alpha}^{(i)}=0\right.$ , pentru $\alpha<0$ şi $\left.\alpha>q-1\right)$ si dacă ținem seama de (94), deducem

\begin{gathered}H_{2q-2\mu-1}^{(2i)}=(-1)^{q-\mu}t_{\iota}T_{q-\mu-1}^{(i)},H_{2q-2\mu-1}^{(2i-1)}=(-1)^{q-\mu-1}t_{i}T_{q-\mu-1}^{(i)}\\ i=1,2,\ldots,q\end{gathered}

Avem şi

H_{\alpha}=\left\{\begin{array}[]{cc}0,&\text{ pentru }\alpha\text{ impar }\\ (-1)^{\frac{\alpha}{2}}T_{\frac{\alpha}{2}}&\text{ pentru }\alpha\text{ par. }\end{array}\right.

Să punem

\rho(x)=\left(x-t_{1}^{2}\right)\left(x-t_{2}^{2}\right)\ldots\left(x-t_{q}^{2}\right)

atunci $\lambda(x)=\rho\left(x^{2}\right)$ , de unde, ținând seama de (94),

\lambda^{\prime}\left(h_{2i}\right)=2t_{i}\rho^{\prime}\left(t_{i}^{2}\right),\quad\lambda^{\prime}\left(h_{2i-1}\right)=-2t_{i}\rho^{\prime}\left(t_{i}^{2}\right).

Făcând calculele, formula (109) devine

\frac{(-1)^{q-\mu-1}}{(2\mu)!}f^{2\mu}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=1}^{q}\frac{T_{\eta-\mu-1}^{(i)}}{2\rho^{\prime}\left(t_{i}^{2}\right)}\left[f\left(x_{0}+t_{i}\right)+f\left(x_{0}^{\prime}-t_{i}\right)\right]-T_{q-\mu}D_{2q}[f]

Pentru a trece la cazul $r>0$ , ținem seama de formulele (85) şi $(90)$ . Observăm că

\begin{gathered}{[x_{0}+t_{i},\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r};f]+[x_{0}-t_{i},\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r};f]=}\\ =2[x_{0}\pm t_{i},\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r-1};f]\end{gathered}

membrul al doilea reducându-se prin definiție la $f\left(x_{0}+t_{i}\right)+f\left(x_{0}-t_{i}\right)$ , când $r=0$ . Deducem deci ¹ )

	$\displaystyle\frac{(-1)^{q-\mu-1}}{(2\mu+r)!}f^{(2\mu+r)}\left(x_{0}\right)=$	$\displaystyle\sum_{i=1}^{q}\frac{T_{q-\mu-1}^{(i)}}{\rho^{\prime}\left(t_{i}^{2}\right)}[x_{0}\pm t_{i},\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r-1};f]-$
		$\displaystyle-T_{q-\mu}D_{2q+r}[f].$		(126)

Tinând seama de (111), mai deducem

\begin{gathered}{[x_{0}\pm t_{i},\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r-1};f]=\frac{1}{2t_{i}^{r}}\left[f\left(x_{0}+t_{i}\right)+(-1)^{r}f\left(x_{0}-t_{i}\right)-\right.}\\ \left.-2\sum_{i=0}^{\left[\frac{r}{2}\right]}\frac{t_{i}^{r-2i}}{(r-2j)!}f^{(r-2j)}\left(x_{0}\right)\right]\end{gathered}

Inlocuind în (126), obţinem în definitiv formula

	$\displaystyle\frac{(-1)^{q-\mu-1}}{(2\mu+r)!}f^{(2\mu+r)}\left(x_{0}\right)=-\sum_{j=0}^{\left[\frac{r}{2}\right]}\left[\sum_{i=1}^{\eta}\frac{T_{q-\mu-1}^{(i)}}{t_{i}^{2j}\rho^{\prime}\left(t_{i}^{2}\right)}\right]\frac{f^{(r-2j)}\left(x_{0}\right)}{(r-2j)!}+$
	$\displaystyle+\sum_{i=1}^{q}\frac{T_{q-\mu-1}^{(i)}}{2t_{i}^{r}\rho^{\prime}\left(t_{i}^{2}\right)}\left[f\left(x_{0}+t_{i}\right)+(-1)^{r}f\left(x_{0}-t_{i}\right)\right]-T_{q-\mu}D_{2q+r}[f].$		(127)

⁰⁰footnotetext: ¹ ) Vezi notația prescurtată la ^-1 ), dela pagina 39.

Coeficienții lui $f^{(r-2j)}\left(x_{0}\right),j=0,1,\ldots,\left[\frac{r}{2}\right]$ în această formulă se pot calcula ca și mai sus, în cazul formulei (112). Făcând calculele şi urmărind procedeul de mai sus deducem

\begin{gathered}\sum_{i=1}^{q}\frac{T_{q-\mu-1}^{(i)}}{t_{i}^{2j}p^{\prime}\left(t_{\imath}^{2}\right)}=\frac{(-1)^{q-1}}{T_{q}^{j}}\left\lvert\,\begin{array}[]{ccccc}T_{q-1}&T_{q}&0&0&\ldots\\ T_{q-2}&T_{q-1}&T_{q}&0&\ldots\\ \cdots&\cdots&\cdots&0\\ T_{q-j+1}&T_{q-i+2}&\cdots&\cdots&\cdots\\ T_{q-\mu-i}&T_{q-\mu-j+1}&\cdots&\cdots&T_{q}\\ &=0,1,\ldots,\left[\frac{r}{2}\right]\end{array}\right.\end{gathered}

Acest rezultat se poate deduce și din (117), ţinând seama de (125). Formula (127) este valabilă atâta timp cât abaterile $\pm t_{i}$ sunt distincte. Formulele de celelalte tipuri se obțin făcând ca abaterile $t_{i},i=1,2,\ldots,q$ . să tindă, pe grupe, una către alta.
48. Din (120) deducem formula simetrică ( $h_{1}+h_{2}=0$ )

\frac{1}{r!}f^{(r)}\left(x_{0}\right)=-\sum_{j=1}^{\left[\frac{r}{2}\right]}\frac{f^{(r-2i)}\left(x_{0}\right)}{(r-2j)!h^{2j}}+\frac{1}{2h^{r}}\left[f\left(x_{0}+h\right)+(-1)^{r}f\left(x_{0}-h\right)\right]-h^{2}D_{r+2}[f].

Aceasta, pentru $r=0,1,2,3,4$ , ne dă formulele simetrice de grad de exactitate $1,2,3,4,5$ ,

\begin{array}[]{ll}\text{ (F58) }f(0)=\frac{1}{2}[f(h)+f](-h)-h^{2}D_{2}[f]&(1,0,0)\\ \left(\text{ F59) }f^{\prime}(0)=\frac{1}{2h}[f(h)-f(-h)]-h^{2}D_{3}[f]\right.&(1,1,0)\\ \text{ F60) }\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(0)=-\frac{f(0)}{h^{2}}+\frac{1}{2h^{2}}[f(h)+f(-h)]-h^{2}D_{4}[f]&(1,2,0)\\ \text{ F61) }\frac{1}{6}f^{\prime\prime\prime}(0)=-\frac{f^{\prime}(0)}{h^{2}}+\frac{1}{2h^{3}}[f(h)-f(-h)]-h^{2}D_{5}[f]&(1,3,0)\\ \text{ F62) }\frac{1}{24}f^{IV}(0)=-\frac{f(0)}{h^{4}}-\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2h^{2}}+\frac{1}{2h^{4}}[f(h)+f(-h)]-h^{2}D_{6}[f]&(1,4,0)\end{array}

Afară de aceasta, mai avem următoarele formule simetrice de grad de exactitate $\leq 5$ :

Gradul de exactitate 3 :

\text{ (F63) }f(0)=\frac{u^{2}[f(t)+f(-t)]-t^{2}[f(u)+f(-u)]}{2\left(u^{2}-t^{2}\right)}+t^{2}u^{2}D_{4}[f]\quad(-3,0,0)

(F64) $f(0)=\frac{f(h)+f(-h)}{2}-\frac{h}{4}\left[f^{\prime}(h)-f^{\prime}(-h)\right]+h^{4}D_{4}[f]$
(F65) $f^{\prime\prime}(0)=\frac{f(t)+f(-t)-f(u)-f(-u)}{t^{2}-u^{2}}-2\left(t^{2}+u^{2}\right)D_{4}[f]\quad(3,0,2)$ .
La acestea se mai adaugă formula (F49).
Gradul de exactitate 4 :
(F66) $f^{\prime}(0)=\frac{u^{3}[f(t)-f(-t)]-t^{3}[f(u)-f(-u)]}{2ut\left(u^{2}-t^{2}\right)}+t^{2}u^{2}D_{5}[f]\quad(3,1,0)$ .
(F67) $f^{\prime\prime\prime}(0)=3\frac{u[f(t)-f(-t)]-t[f(u)-f(-u)]}{ut\left(t^{2}-u^{2}\right)}-6\left(t^{2}+u^{2}\right)D_{5}[f].(3,1,2)$
La acestea se mai adaugă formulele (F26), (F30).
Gradul de exactitate 5 :
(F68) $f(0)=\frac{\sum u^{2}\nu^{2}\left(\nu^{2}-u^{2}\right)[f(t)+f(-t)]}{\left(\nu^{2}-u^{2}\right)\left(\nu^{2}-t^{2}\right)\left(u^{2}-t^{2}\right)}-t^{2}u^{2}\nu^{2}D_{6}[f]$
(F69) $f(0)=\frac{u^{2}\left(u^{2}-2t^{2}\right)[f(t)+f(-t)]+t^{4}[f(u)+f(-u)]}{2\left(u^{2}-t^{2}\right)^{2}}-$

-\frac{u^{2}t}{4\left(u^{2}-t^{2}\right)}\left[f^{\prime}(t)-f^{\prime}(-t)\right]-t^{4}u^{2}D_{6}[f]

(5,0,0)

(F70) $f(0)=\frac{f(h)+f(-h)}{2}-\frac{5h}{16}\left[f^{\prime}(h)-f^{\prime}(-h)\right]+$

+\frac{h^{2}}{16}\left[f^{\prime\prime}(h)+f^{\prime\prime}(-h)\right]-h^{6}D_{6}[f]

(5,0,0)

(F71) $f^{\prime\prime}(0)=\frac{\Sigma\left(u^{4}-p^{4}\right)[f(t)+f(-t)]}{\left(v^{2}-u^{2}\right)\left(v^{2}-t^{2}\right)\left(u^{2}-t^{2}\right)}+2\left(\Sigma t^{2}u^{2}\right)D_{6}[f]$
(F72) $f^{\prime\prime}(0)=\frac{2t^{2}}{\left(u^{2}-t^{2}\right)^{2}}[f(t)+f(-t)-f(u)-f(-u)]+$

\frac{u^{2}+t^{2}}{2t\left(ut^{2}-t^{2}\right)}\left[f^{\prime}(t)-f^{\prime}(-t)\right]+2t^{2}\left(t^{2}+2u^{2}\right)D_{6}[/]

(5,0,2)

(F73) $f^{\prime\prime}(0)=\frac{12\Sigma\left(v^{2}-u^{2}\right)[f(t)+f(-t)]}{\left(v^{2}-u^{2}\right)\left(v^{2}-t^{2}\right)\left(u^{2}-t^{2}\right)}-24\left(\Sigma t^{2}\right)D_{6}[f]$
(F74) $f^{IV}(0)=\frac{12}{\left(u^{2}-t^{2}\right)^{2}}[f(u)+f(-u)-f(t)-f(-t)]-$

\frac{6}{t\left(u^{2}-t^{2}\right)}\left[f^{\prime}(t)-f^{\prime}(-t)\right]-24\left(2t^{2}+u^{2}\right)D_{6}[/]

(5,0,4)

(F75) $f^{\prime\prime}(0)=-2\frac{u^{2}+t^{2}}{u^{2}t^{2}}f(0)+\frac{u^{4}[/(t)+f(-t)]-t^{4}[f(u)-f(-u)]}{t^{2}u^{2}\left(u^{2}-t^{2}\right)}+$

+2t^{2}u^{2}D_{6}[f]

(3,2,0)

(F76) $f^{IV}(0)=\frac{24}{u^{2}t^{2}}f(0)-12\frac{u^{2}[f(t)+f(-t)]-t^{2}[f(u)+f(-u)]}{t^{2}u^{2}\left(u^{2}-t^{2}\right)}$

-24\left(t^{2}+u^{2}\right)D_{6}[f]

(3,2,2)

La acestea se mai adaugă formulele (F42), (F46), (F53) și (F57). Abaterile $h,t,u,v,\ldots$ care într’o formulă se presupun diferite între ele și diferite de zero. Sumația din formulele (F68), (F71) și (F73) se referă la permutările circulare ale literelor $t,u,0$ . Pentru simplificarea scrierii, am presupus și aici $x_{0}=0$ .

Formule cu diferente

49.

Vom indica, pe scurt, modul cum se obţin aceste formule, fără a ne preocupa acum de forma restului. Dacă folosim notațiile precedente, formula lui Newton

L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x\right)=\sum_{i=0}^{p}\left(x-x_{1}^{\prime}\right)\left(x-x_{2}^{\prime}\right)\ldots\left(x-x_{i}^{\prime}\right)\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{i+1}^{\prime};f\right]

ne dă

		$\displaystyle L^{(m)}\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x_{0}\right)=$
		$\displaystyle\quad=m!\sum_{i=m}^{n}(-1)^{i-m}H_{i,i-m}\left[h_{1},h_{2},\ldots,h_{i+1};f\left(x_{0}+x\right)\right]$

pentrucă, ținând seama de (72), avem ¹ )

\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{i+1}^{\prime};f(x)\right]=\left[h_{1},h_{2},\ldots,h_{i+1};f\left(x_{0}+x\right)\right].

Deducem următoarea formulă de derivare numerică

f^{(m)}\left(x_{0}\right)=m!\sum_{i=m}^{n}(-1)^{i-m}H_{i,i-m}\left[h_{1},h_{2},\ldots,h_{i+1};f\left(x_{0}+x\right)\right]+R

(128)

Dacă ne folosim de formula (21), deducem
$L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p}^{\prime};f\mid x\right)=L\left(x_{0},x_{1},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p}^{\prime};f\mid x\right)+$

+\left(x_{p+1}^{\prime}-x_{0}\right)\left(x-x_{1}^{\prime}\right)\left(x-x_{2}^{\prime}\right)\ldots\left(x-x_{p}^{\prime}\right)\left[x_{0},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\right]

de unde obținem formula de derivare numerică

$\displaystyle f^{(m)}\left(x_{0}\right)=$	$\displaystyle m!$	(129)
	$\displaystyle\sum_{j=m-1}^{p-1}(-1)^{i-m+1}H_{i,i-m+1}\left[0,h_{1},h_{2},\ldots,h_{i+1};f\left(x_{0}+x\right)\right]+$
	$\displaystyle+m!h_{p+1}H_{p,p-m}\left[0,h_{1},h_{2},\ldots,h_{p+1};f\left(x_{0}+x\right)\right]+R$

1.

Pentru mai multă claritate, punem în evidență și variabila $x$ in notația diferenței divizate (si a polinomului de interpolare).

50.

Să vedem cum trecem la cazul $r>0$ . Din formula generală ¹ )

	$\displaystyle L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};fg\mid x\right)=$		(130)
	$\displaystyle\quad=\sum_{i=0}^{p}L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};l_{i}(x)g(x)\mid x\right)\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{i+1}^{\prime};f\right]$

dacă $x_{0}$ este diferit de noduri, deducem

		$\displaystyle L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};\left.\frac{f(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{r}}\right\rvert\,x\right)=$
		$\displaystyle\quad=\sum_{i=0}^{p}L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};\left.\frac{l_{i}(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{r}}\right\rvert\,x\right)\left[x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\right]$

Ținând seama de formulele (86) și (113), obținem

	$\displaystyle L^{(m+r)}(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0},}$	$\displaystyle\left.x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x_{0}\right)=\sum_{j=0}^{r-1}c_{i}f^{(j)}\left(x_{0}\right)+$
		$\displaystyle+\frac{(m+r)!}{m!}\sum_{i=0}^{p}I_{i}^{(r)}\left[h_{1},h_{2},\ldots,h_{p+1};f\left(x_{0}+x\right)\right]$

unde coeficienții $I_{i}^{(r)}$ sunt dați de formula

I_{i}^{(r)}=L^{(m)}\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};\left.\frac{l_{i}(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{r}}\right\rvert\,x_{0}\right),\quad i=0,1,\ldots,p

Din formula (130) se mai deduce
$L\left(x_{0},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};fg\mid x\right)=L\left(x_{0},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};g\mid x\right)f\left(x_{0}\right)+$

+\left(x-x_{0}\right)\sum_{i=0}^{p}L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};l_{i}(x)g(x)\mid x\right)\left[x_{0},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};\lceil].\right.

Inlocuind aici funcția $g(x)$ cu $\left(x-x_{0}\right)g(x)$ , deducem $\left.{}^{2}\right)$
$L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};fg\mid x\right)=L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};g\mid x\right)f\left(x_{0}\right)+$

+\sum_{i=0}^{p}L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};l_{i}(x)\left(x-x_{0}\right)g(x)\mid x\right)\left[x_{0},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{i+}^{\prime}\right.

Avem prin urmare și formula

		$\displaystyle L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};\left.\frac{f(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{r}}\right\rvert\,x\right)=L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};\left.\frac{1}{\left(x-x_{0}\right)^{r}}\right\rvert\,x\right)f\left(x_{0}\right)+$
		$\displaystyle\quad+\sum_{i=0}^{p}L\left(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};\left.\frac{l_{i}(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{r-1}}\right\rvert\,x\right)\left[x_{0},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{i+1}^{\prime};f\right]$

¹ ) Egalitatea rezultă din faptul că cele două polinoame de gradul $p$ , din membrul intâiu şi al doilea, coincid in nodurile $x_{i}^{\prime}$ .
² ) Se poate proceda ca la formula (130).

Deducem de aici eă, dacă $r>0$ și dacă $x_{0}$ este diferit de noduri,

\begin{gathered}L^{(m+r)}(\underbrace{x_{0},x_{0},\ldots,x_{0}}_{r},x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{p+1}^{\prime};f\mid x_{0})=\sum_{j=0}^{r-1}c_{j}f^{(j)}\left(x_{0}\right)+\\ +\frac{(m+r)!}{m!}\left\{I_{0}^{(i)}/\left(x_{0}\right)+\sum_{i=0}^{p}I_{i}^{(r-1)}\left[0,h_{1},h_{2},\ldots,h_{i+1};f\left(x_{0}+x\right)\right]\right\}\end{gathered}

In definitiv avem următoarele formule de derivare numerică

	$\displaystyle f^{(m+r)}\left(x_{0}\right)=\sum_{j=0}^{r-1}c_{j}f^{(j)}\left(x_{0}\right)+$
	$\displaystyle+\frac{(m+r)!}{m!}\sum_{i=0}^{r}I_{i}^{r)}\left[h_{1},h_{2},\ldots,h_{i+1};f\left(x_{0}+x\right)\right]+R$		(131)
	$\displaystyle f^{(m+r)}\left(x_{0}\right)=\sum_{j=0}^{r-1}c_{i}f^{(j)}\left(x_{0}\right)+$		(132)
	$\displaystyle+\frac{(m+r)!}{m!}\left\{I_{0}^{(r)}f\left(x_{0}\right)+\sum_{i=0}^{n}I_{i}^{(r-1)}\left[0,h_{1},h_{2},\ldots,h_{i+1};f\left(x_{0}+x\right)\right]+R.\right.$

Ce eficiontii $I_{i}^{(r)}$ se pot calcula cu ajutorul formulei de recurență

I_{i}^{(r)}=I_{i+1}^{(r+1)}+h_{i+1}I_{i}^{(r+1)}\left(I_{p+1}^{(r)}=0\right)

dând lui $r$ , in mod succesiv, valorile $-1,0,1,2,\ldots$ și observând că

\begin{gathered}I_{0}^{(0)}=I_{1}^{(0)}=\ldots=I_{m-1}^{(0)}=0,I_{i}^{(0)}=m!(-1)^{i-m}H_{i,i-m}\\ i=m,m+1,\ldots,p.\end{gathered}

Coeficienții $c_{j},j=0,1,\ldots,r-1$ au fost calculați mai sus.
51. Formula (131) este comodă, in particular, dacă nodurile sunt echidistante, iar formula (132), dacă nodurile și punctul de derivare formează un sistem echidistant.

Pentru a exemplifica cele spuse, vom considera un caz particular.
Să presupunem că $r=0,m=1$ , că nodurile sunt echidistante și simetrice faţă de $x$ . Folosind notațiile (94), punând

t_{i}=(2i-1)h,\quad i=1,2,\ldots,q

(133)

și observând că

H_{i,i-1}=h_{1}h_{2}\ldots h_{i}\left(\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\ldots+\frac{1}{h_{i}}\right)

deducem

H_{i,i-1}=\left\{\begin{array}[]{cc}0,&\text{ pentru }i\text{ par }\\ (-1)^{\frac{i-1}{2}1^{2}\cdot 3^{2}}&\ldots(i-2)^{2}h^{i-1},\text{ pentru }i\text{ impar }\\ &\left(H_{1,0}=1\right)\end{array}\right.

Formula (128) devine

f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=1}^{q}H_{2i-1,2i-2}\left[h_{1},h_{2},\ldots,h_{2i};f\left(x_{0}+x\right)\right]+R

Introducând notația obișnuită a difercnțelor și ţinând seama de (94), (133), deducem

\left[h_{1},h_{2},\ldots,h_{2i};f\left(x_{0}+x\right)\right]=\frac{\Delta_{2h}^{2i-1}f\left(x_{0}-[2i-1]h\right)}{(2i-1)!(2h)^{2i-1}},i=1,2,\ldots,q.

Dacă folosim și relaţiile (134), avem in de finitiv formula de derivate numerică

\begin{gathered}f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=1}^{q}\frac{(-1)^{i-1}(2i-2)!}{(2i-1)[(i-1)!]^{2}2^{4i-3}h}\Delta_{2h}^{2i-1}/\left(x_{0}-[2i-1]h\right)+\\ +1^{2}\cdot 3^{2}\cdots(2q-1)^{2}h^{2q}D_{2q+1}[f]\end{gathered}

Să presupunem că nodurile sunt simctrice față de $x_{0}$ și că impreună cu acest punct formează un sistem de puncte echidistante. Atunci putem itiliza fo.mula (129).

In loc de (133) luăm

\iota_{i}=ih,i=1,2,\ldots q

Avem atunci

H_{i,i}=\left\{\begin{array}[]{l}(-1)^{\frac{i+1}{2}}\left[\left(\frac{i-1}{2}\right)!\right]^{2}\frac{i+1}{2}h^{i},\text{ pentru }i\text{ impar }\\ (-1)^{\frac{i}{2}}\left[\left(\frac{i}{2}\right)!\right]^{2}h^{i},\text{ pentru }i\text{ par }\end{array}\right.

și

\left[0,h_{1},h_{2},\ldots,h_{i+1};n\right]=\left\{\begin{array}[]{l}\frac{\Delta_{h}^{i+1}/\left(x_{0}-\frac{i+1}{2}h\right)}{(i+1)!h^{i+1}},\text{ pentru }i\text{ impar }\\ \frac{\Delta_{h}^{i+1}/\left(x_{0}-\frac{i+2}{2}h\right)}{(i+1)!h^{i+1}},\text{ pentru }i\text{ par }\end{array}\right.

și deducem formula de derivare numerică

		$\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=0}^{q-1}\frac{(-1)^{i}(i!)^{2}}{(2i+1)!2h}\left[2\Delta_{h}^{2i+1}f\left(x_{0}-[i+1]h\right)+\right.$
		$\displaystyle\left.\quad+\Delta_{h}^{2i+2}f\left(x_{0}-[i+1]h\right)\right]+(q!)^{2}D_{2q+1}[!]$

Sectia de Stiinte Matematice a Filialei Academiei R.P.R., Cluj

Asupra restului în unele formule de derivare numerică

Abstract

Autori

Cuvinte cheie

PDF

Citați articolul în forma

Despre acest articol

Journal

Publisher Name

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Referințe

References

Lucrare in format HTML

ASUPRA RESTULUI IN UNELE FORMULE DE DERIVARE NUMER1CĂ

§ 1. Formule de exactitate maximă

§ 2. Câteva considerații asupra restului

§ 3. Un criteriu pentru recunoaşterea formei simple a restului unei formule de exactitate maximă

§ 4. Asupra câtorva aplicații ale rezultatelor precedente

§5. Asupra câtorva formule explicite de derivare numerică

Formule fără diferențe

Gradul de exactitate 4 :

Gradul de exactitate 3 :

Formule cu diferente

Related Posts