Asupra unei clase de polinoame ortogonale şi unor formule generale de cuadratură cu număr minim de termeni

acum 2 ani

Dimitrie D. Stancu

Uncategorized

Rezumat

Autor(i)

Dimitrie D. Stancu
Universitatea Babeş-Bolyai
Institutul de Calcul, Academia Română

Cuvinte cheie

PDF

Versiune scanată.

Versiune PDF-LaTeX.

Citați articolul în forma

D.D. Stancu, Asupra unei clase de polinoame ortogonale şi unor formule generale de cuadratură cu număr minim de termeni, Buletin Mat. Soc. St. Mat. Fiz., R.P.R., 1(49) (1957) no. 4, pp. 479–498 (in Romanian).

Despre acest articol

Revista

Buletin Mat. Soc. St. Mat. Fiz., R. P. Romane

Editura

Academia Republicii S.R.

DOI

Print ISSN

Not available yet.

Online ISSN

Not available yet.

Profil Google Scholar

Lucrare in format HTML

1957f-Stancu-Asupra-unei-clase-de-polinoame-ortogonale-si-unor-formule-generale-de-cuadratura

BUL. MAT. al Soc. Șt. Mat. Fiz. din R.P.R.Tomul 1 (49), nr. 4, 1957

ASUPRA UNEI CLASE DE POLINOAME ORTOGONALE ŞI UNOR FORMULE GENERALE DE CUADRATURĂ CU NUMĂR MINIM DE TERMENI *)

DE
D. D. STANCU (Cluj)

ÎNTREPRINDEREA POLIGRAFICĂ
I A Ş I

In această lucrare am încercat să elaborăm o teorie care să ne permită să dăm o metodă, care să fie cît mai simplă și utilă din punct de vedere practic pentru construirea unor formule generale de cuadratură cu număr minim de termeni. In prima parte a lucrării am studiat o clasă de polinoame ortogonale simetrice, pe care apoi le-am folosit în foarte mare măsură în partea a doua a lucrării, unde am stabilit mai multe formule care generalizează formulele clasice de cuadratură de tip Gauss.

CAPITOLUL I

Asupra unei clase de polinoame ortogonale simetrice

Fie $p (x)$ o funcție definită in intervalul ( $α, β$ ), finit sau infinit, relativ la care există «momentele»

\begin{matrix} (1) & c_{r}^{'} = \int_{α}^{β} p (x) x^{r} d x (r = 0, 1, 2, \dots), \end{matrix}

iar

ϵ_{0}^{'} > 0

. Se știe că în aceste ipoteze există un șir de polinoame

{Φ_{m} (x)}

, complet determinate, exceptînd factorii constanți, de relațiile de ortogonalitate

\int_{α}^{β} p (x) Φ_{i} (x) Φ_{k} (x) d x = 0 (i \neq k; i, k = 0, 1, 2 \dots) .

\begin{matrix} (2) & Φ_{m} (x) | \begin{array}{cccccc} c_{0}^{'} & c_{1}^{'} & \dots & c_{m} & 1 & 1 \\ c_{1}^{'} & c_{2}^{'} & \dots & c_{m}^{'} & x \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ c_{m}^{'} & c_{m + 1}^{'} & \dots & c_{2 m - 1}^{'} & x^{m} \end{array} | (m = 0, 1, 2, \dots) \end{matrix}

2. Să presupunem acum că intervalul (

α, β

) e simetric faţă de origine: (

- a

,

+ a)

, iar

p (x)

e o funcție pară in acest interval, adică

p (- x) = p (x)

. Să presupunem îneă că există toate momentele

\begin{matrix} (') & c_{k} = \int_{- a}^{+ a} p (x) x^{k} d x (k = 0, 1, 2 \dots) \end{matrix}

In acest caz momentele de ordin impar

c_{2 i + 1}

sînt toate nule.
Se arată din aproape în aproape că formula (2) se reduce, în cazul

m = 2 n

, la

\begin{matrix} I_{2 n} (x) = | \begin{array}{cccccccc} c_{0} & 0 & c_{2} & 0 & \dots & c_{2 n - 2} & 0 & 1 \\ 0 & c_{2} & 0 & c_{4} & \dots & 0 & c_{2 n} & x \\ c_{2} & 0 & c_{4} & 0 & \dots & c_{2 n} & 0 & x^{2} \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ 0 & c_{2 n} & 0 & c_{2 n + 2} & \dots & 0 & c_{4 n - 2} & x^{2 n - 1} \\ c_{2 n} & 0 & c_{2 n + 2} & 0 & \dots & c_{4 n - 2} & 0 & x^{2 n} \end{array} | = \\ (3) & = | \begin{array}{ccccc} c_{2} & c_{4} & \dots & c_{2 n} \\ c_{4} & c_{6} & \dots & c_{2 n + 2} \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ c_{2 n} & c_{2 n + 2} & \dots & c_{4 n - 2} \end{array} | \cdot | \begin{array}{ccccc} c_{0} & c_{2} & \dots & c_{2 n - 2} & 1 \\ c_{0} & c_{4} & \dots & c_{2 n} & x^{2} \\ c_{4} & c_{6} & \dots & c_{2 n + 2} & x^{4} \\ . & . & . & . & . \\ c_{2 n} & c_{2 n + 2} & \dots & c_{4 n - 2} & x^{2 n} \end{array} |, \end{matrix}

jar în cazul

m = 2 n + 1

la următoarea

\begin{aligned} I_{2 n + 1} (x) = | \begin{array}{cccccccc} c_{0} & 0 & c_{2} & 0 & \dots & 0 & c_{2 n} & 1 \\ 0 & c_{2} & 0 & c_{4} & \dots & c_{2 n} & 0 & x \\ c_{2} & 0 & c_{4} & 0 & \dots & 0 & c_{2 n + 2} & x^{2} \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ c_{2 n} & 0 & c_{2 n + 2} & 0 & \dots & 0 & . & . \\ 0 & c_{2 n + 2} & 0 & c_{2 n + 4} & \dots & c_{4 n} & 0 & . \\ c_{4 n} & x^{2 n} \\ c_{2} & c_{4} & \dots & c_{2 n + 2} \\ . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . \\ c_{2 n} & c_{2 n + 2} & \dots & c_{4 n} \end{array} | \cdot | \begin{array}{ccccc} c_{2} & c_{4} & \dots & c_{2 n} & 1 \\ c_{4} & c_{6} & \dots & c_{2 n + 2} & x^{2} \\ c_{6} & c_{8} & \dots & c_{2 n + 4} & x^{4} \\ . & . & \dots & . & . \\ c_{2 n + 2} & c_{2 n + 4} & \dots & c_{4 n} & x^{2 n} \end{array} | x . \end{aligned}

$p (x)$ fiind definită mai sus, să considerăm o functie pondere de forma

\begin{matrix} (5) & q (x) = p (x) x^{2 s} \end{matrix}

unde 8 este un număr întreg

\geq 0

.
Monentele corespunzătoare acesteia sint

\begin{matrix} (6) & μ_{k, 2 s} = \int_{- a}^{+ a} η (x) x^{k} d x = \int_{- a}^{+ a} p (x) x^{2 s + k} d x \end{matrix}

Se observă că avem

Să notăm eu

{D_{m, 2 s} (x)}

sirul de polinoame ortogonale relativ la ponderea (5) şi intervalul

(- a, + a)

, finit sau infinit. Tinînd seama de formulele (2), (3) şi (4) avem

\begin{matrix} (7) & D_{2 n, 2 s} (x) = | \begin{array}{cccc} c_{2 s + 2} & c_{2 s + 4} & \dots & c_{2 s + 2 n} \\ c_{2 s + 4} & c_{2 s + 6} & \dots & c_{2 s + 2 n + 2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{2 s + 2 n} & c_{2 s + 2 n + 2} & \dots & c_{2 s + 4 n - 2} \end{array} | \cdot | \begin{array}{lllll} c_{2 s} & c_{2 s + 2} & \dots & c_{2 s + 2 n - 2} & 1 \\ c_{2 s + 2} & c_{2 s + 4} & \dots & c_{2 s + 2 n} & x^{2} \\ c_{2 s + 4} & c_{2 s + 6} & \dots & c_{2 s + 2 n + 2} & x^{4} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{2 s + 2 n} & c_{2 s + 2 n + 2} & \dots & c_{2 s + 4 n - 2} & x^{2 n} \end{array} | \end{matrix}

D_{2 n + 1, 2 s} (x) = | \begin{array}{lllll} c_{2 s} & c_{2 s + 2} & \dots & c_{2 s + 2 n} \\ c_{2 s + 2} & c_{2 s + 4} & \dots & c_{2 s + 2 n + 2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{2 s + 2 n} & c_{2 s + 2 n + 2} & \dots & c_{2 s + 4 n} \end{array} | \cdot | \begin{array}{lllll} c_{2 s + 2} & c_{2 s + 4} & \dots & c_{2 s + 2 n} & 1 \\ c_{2 s + 4} & c_{2 s + 6} & \dots & c_{2 s + 2 n + 2} & x^{2} \\ c_{2 s + 6} & c_{2 s + 8} & \dots & c_{2 s + 2 n + 4} & x^{4} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{2 s + 2 n + 2} & c_{2 s + 2 n + 4} & \dots & c_{2 s + 4 n} & x^{2 n} \end{array} | x

.
4. Avînd in vedere formulele (7) si (8) se stabileşte imediat următoarea relaţie, care ne va fi foarte utilă in partea a doua a lucrării,

\begin{matrix} (9) & D_{2 n + 1, 2 s} (x) = α_{2 n, 2 s} x D_{2 n, 2 s + 2} (x) \end{matrix}

unde

\begin{matrix} (10) & α_{2 n, 2 s} = | \begin{array}{ccccc} c_{2 s} & c_{2 s + 2} & \dots & c_{2 s + 2 n} \\ c_{2 s + 2} & c_{2 s + 4} & \dots & c_{2 s + 2 n + 2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{2 s + 2 n} & c_{2 s + 2 n + 2} & \dots & c_{2 s + 4 n} \end{array} | : | \begin{array}{cccc} c_{2 s + 4} & c_{2 s + 6} & \dots & c_{2 s + 2 n + 2} \\ c_{2 s + 6} & c_{2 s + 8} & \dots & c_{2 s + 2 n + 4} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{2 s + 2 n + 2} & c_{2 s + 2 n + 4} & \dots & c_{2 s + 4 n} \end{array} | . \end{matrix}

Dacă notăm cu

{\tilde{D}}_{m, 2 s} (x)

produsul dintre

D_{m, 2 s} (x)

și o constantă

d_{m}

aleasă astfel incît

d_{m} D_{m, 2 s} (x)

să aibă coeficientul hui

x^{m}

egal cu 1 , relația (9) se va serie

\begin{matrix} (') & {\tilde{D}}_{2 n + 1, 2 g} (x) = x {\tilde{D}}_{2 n, 2 n + 2} (x) . \end{matrix}

Din formulele precedente se obtin, pentru $n = 0, 1, 2$ , următoarele polinoame:

\begin{aligned} {\tilde{D}}_{0, 2 s} (x) = 1, {\tilde{D}}_{1, 2 s} (x) = x, {\tilde{D}}_{2, 2 s} (x) = x^{2} - \frac{c_{2 s + 2}}{c_{2 s}}, {\tilde{D}}_{3, 2 s} (x) = x^{3} - \frac{c_{2 s + 1}}{c_{2 s + 2}} x_{2} \\ {\tilde{D}}_{4, 2 s} (x) = x^{4} + \frac{c_{2 s + 2} c_{2 s + 1} - c_{2 s} c_{2 s + 6}}{c_{2 s} c_{2 s + 1} - c_{2 s + 2}^{2}} x^{2} + \frac{c_{2 s + 2} c_{2 s + 6} - c_{2 s + 1}^{2}}{c_{2 s} c_{8 s + 1} - c_{2 s + 3}^{2}} \\ {\tilde{D}}_{5, 2 s} (x) = x^{5} + \frac{c_{2 s + 1} c_{2 s + B} - c_{2 s + 2} c_{2 s + 8}}{c_{2 s + 2} c_{2 s + 6} - c_{2 s + 4}^{2}} x^{3} + \frac{c_{2 s + 1} c_{2 s + 8} - c_{2 s + 6}^{2}}{c_{2 s + 2} c_{2 s + 6} - c_{2 s + 1}^{2}} x . \\ 6. Vom aråta acum că un 1. om oarccare D_{r, 2 s} (x), din sirul de polinoa \end{aligned}

ortogonale

{D_{m, 2 s} (x)}

, se poate exprima si cu ajutorul unor anumite polinoame din sirul

{l_{p} (x)}

, ale cărui elemente au fost definite la (3) si (4).

In mod precis vom demonstra că avem, dacă facem abstractie do unii factori constanti,

\begin{aligned} (!1) & D_{2 n, 2 s} (x) = \frac{1}{x^{2 s}} | \begin{array}{llll} I_{2 n} (x) & I_{2 n + 2} (x) & \dots & I_{2 n + 2 s} (x) \\ I_{2 n} (0) & I_{2 n + 2} (0) & \dots & I_{2 n + 2 s} (0) \\ I_{2 n}^{''} (0) & I_{2 n + 2}^{''} (0) & \dots & I_{2 n + 2 s}^{''} (0) \\ I_{2 n}^{(I V)} (0) & I_{2 n + 2}^{(I V)} (0) & \dots & I_{2 n + 2 s}^{(I V)} (0) \\ \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ I_{2 n}^{(2 s - 2)} (0) & I_{2 n + 2}^{(2 s - 2)} (0) & \dots . & I_{2 n + 2 s}^{(2 s - 2)} (0) \end{array} |, \\ (12) & D_{2 n + 1, 2 s} (x) = \frac{1}{x^{2 s}} | \begin{array}{llll} I_{2 n + 1} (x) & I_{2 n + 3} (x) & \dots & I_{2 n + 2 s + 1} (x) \\ I_{2 n + 1}^{'} (0) & I_{2 n + 3}^{'} (0) & \dots & I_{2 n + 2 s + 1}^{'} (0) \\ I_{2 n + 1}^{''} (0) & I_{2 n + 3}^{'''} (0) & \dots & I_{2 n + 2 s + 1}^{'''} (0) \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ I_{2 n + 1}^{(2 s - 1)} (0) & I_{2 n + 3}^{(2 s - 1)} (0) & \dots . & I_{2 n + 2 s + 1}^{(2 s - 1)} (0) \end{array} | \end{aligned}

Aici prin

{I_{r} (x)}

am notat, ca si mai sus, sirul de polino live la functia pondere pară

p (x)

si intervalul

Demonstratio. Formule acestea se demonstreaza intr-un mod foarte isemănător. Dacă se notează cu

y (x)

determinantul de la (11) si se tine seama ă

I_{2 k} (x)

contine numai termeni de forma

a_{i} x^{2 i} (i = 0, 1, \dots, k)

, constatam cá

y^{'} (0) = y^{'''} (0) = \dots = y^{(2 s - 1)} (0) = 0,

ar dacă avem in vedere expresia lui

y (2)

, putem serie

y (0) = y^{''} (0) = \dots = y^{(2 x - 2)} (0) = 0 .

Rezultă că

y (x)

e divizibil cu

y^{2 s}

.

Så notăm acum cu

z (x)

determinantul care figurează la (12). Intrucit un polinom

I_{2 k + 1} (x)

conţine numai termeni de forma

b_{i} x^{2 i + 1} (i = 0, 1, \dots, k)

, avem

z (0) = z^{''} (0) = \dots = z^{(2 s)} (0) = 0 .

Pe de altă parte, dacă se are in vedere expresia lui

z (x)

se găseste că

z^{'} (0) = z^{'''} (0) = \dots = z^{(2 s - 1)} (0) = 0 .

Din aceste egalități rezultă că z (x) o divizibil cu

x^{2 s + 1}

.
Faptul că sirul de polinoame

{D_{m, 2 s} (x)}

este ortogonal, relativ, la functia pondere ( 5 ) si intervalul (

- a, + a

), deci că

\int_{- a}^{+ a} p (x) x^{2 s} D_{m, 3 s} (x) D_{n, 2 s} (x) d x = 0 (m \neq n),

rezultă imediat, daeă avem în vedere că

x^{2 s} D_{m, 2 s} (x)

se exprimă printr-o combinatie liniară de polinoame de grad

≧ m

, extrase din sirul

{I_{k} (x)}

.
7. Intrucit ponderea

q (x) = p (x) x^{23}

oo funcție pară, șirul

{D_{m, 2 s} (x)}

e un șir de polinoame ortogonale simetrice; un polinom oarecare din acest sir are toate rădăcinile reale, distincte, cuprinse în

(- a, + a)

şi repartizate simetric față de origine.

Să arătăm că determinanții

y (x)

şi

z (x)

, care figurează la (11) și (12) nu sint identic nuli. Pentru a arăta de pildă că

z (x) ≢ 0

, e suficient să dovedim că e diferit de zero coeficientul lui

I_{2 n + 2 s + 1} (x)

, adică că

Să presupunem contrariul - şi anume că

A_{2 n + 1, s}^{(s)} = 0

. Atunci se vor putea găsi

s

constante, nu toate nule:

α_{0}, α_{1}, \dots, α_{s - 1}

, astfel încît să avem

\begin{matrix} (13) & \sum_{i = 0}^{s - 1} α_{i} I_{2 n + 2 i + 1}^{(2 k - 1)} (0) = 0, (k = 1, 2, \dots, s), \end{matrix}

căci determinantul acestui sistem, omogen în

α_{i} (i = 0, \dots, s - 1)

, este egal tocmai cu

A_{2 n + 1, s}^{(s)}

, care prin ipoteză e egal cu zero. Să punem

\begin{matrix} (14) & G_{2 n + 2 s - 1} (x) = \sum_{i = 0}^{s - 1} α_{i} I_{2 n + 2 i + 1} (x) . \end{matrix}

Acest polinom nu este identic nul, are gradul

2 n + 2 s - 1

și e ortogonal în

(- a, + a)

, fată de funcția pondere pară

p (x)

, cu orice polinom de grad mai mic decit

2 n + 1

. Tinînd seama de (13) şi de proprietatea

G_{2 n + 2 s - 1} (- x) = G_{2 n + 2 s - 1} (x)

, se constată că polinomul de la (14) are pe

x = 0

rădăcină multiplă de ordinul

2 s + 1

. Cîtul dintre polinomul acesta și

x^{2 s}

să îl notăm cu

C_{2 n - 1} (x)

; el are gradul cel mult

2 n - 1

. Avind in vedere că polinomul (14) e ortogonal faţă de orice polinom de grad mai mic ca

2 n + 1

și că

G_{2 n + 2 s - 1} (x) = x^{2 s} C_{2 n - 1} (x),

avem

\int_{- a}^{+ a} p (x) G_{2 n + 2 s - 1} (x) C_{2 n - 1} (x) d x = \int_{- a}^{+ a} p (x) x^{2 s} C_{2 n - 1}^{2} (x) d x = 0,

ceeace e imposibil căci produsul

p (x) x^{2 s} C_{2 n - 1}^{2} (x)

reprezintă o funcție pară. Rezultă că determinantul

z (x)

, de la (12), nu poate fi identic nul.

În mod absolut analog se demonstrează că

y (x) ≢ 0

in

(- a, + a)

.
8. Şirul de polinoame ortogonale

{D_{m, s} (x)}

in general nu este normat. In cele ce urmează ne propunem să normăm acest șir de polinoame.
Mai întii să normăm şirul

{D_{2 n + 1, 2 s} (x)}

. Avem

Dar

x^{2 s} D_{2 n + 1, 2 s} (x) = \sum_{i = 0}^{s} (- 1)^{i} A_{2 n + 1, s}^{(i)} I_{2 n + 2 i + 1} (x)

unde

A_{2 n + 1, s}^{(i)} (i = 0, 1, \dots, s)

sint constante. Pe baza formulelor precedente avem

δ_{2 n + 1, s} = \int_{- a}^{+ a} p (x) x^{2 s} D_{2 n + 1, 2 s}^{2} (x) d x = A_{2 n + 1, s}^{(0)} \int_{- a}^{+ a} p (x) D_{2 n + 1, 2 s} (x) I_{2 n + 1} (x) d x

\begin{matrix} D_{2 n + 1, 2 s} (x) = (- 1)^{s} A_{3 n + 1, s}^{(s)} β_{2 n + 2 s + 1} x^{2 n + 1} + \dots = \\ (- 1) A_{2 n + 1, s}^{(s)} \frac{β_{2 n + 2 s + 1}}{β_{2 n + 1}} I_{2 n + 1} (x) + \dots \end{matrix}

unde am notat cu

β_{2 r + 1}

coeficientul lui

x^{2 r + 1}

din polinomel ortogonal

I_{2 r + 1} (x)

. Dacă se foloseste notatia

γ_{2 n + 1}^{2} = \int_{- a}^{+ a} p (x) I_{2 n + 1}^{2} (x) d x

se va obtine

δ_{2 n + 1} = \int_{- a}^{+ a} p (x) x^{2 s} D_{2 n + 1}^{2} (x) d x = (- 1)^{s} A_{2 n + 1, s}^{(0)} A_{2 n + 1, s}^{(s)} \frac{β_{2 n + 2 s + 1}}{β_{2 n + 1}} \cdot γ_{2 n + 1}^{2}

Normind polinomm! (12), se găseste

\begin{aligned} {\hat{D}}_{2 n + 1, 2 s} (x) = \frac{1}{\pm \sqrt{d_{2 n + 1}}} D_{2 n + 1, 2 s} (x) = \\ (') & \pm \frac{1}{γ_{2 n + 1}} \sqrt{\frac{(- 1)^{n} β_{2 n + 1}}{A_{2 n + 1, s}^{(0)} A_{2 n + 1, s}^{(s)} β_{2 n + 2 s + 1}}} D_{2 n + 1, 2 s} (x) \end{aligned}

ande

A_{2 n + 1}^{(0)}

, si

A_{2 n + 1}^{(s)}

sint respectiv minorii elementelor

I_{2 n + 1} (x)

si

I_{2 n + 2 s + 1} (x)

liin determinantal de la (12). Semmul din sata radicalului se alege astfed incit cocfipentul lui

x^{2 n + 1}

din

{\hat{I}}_{2 n + 1, 2 s} (x)

să fie pozitiv. O formulă de acelaşi fel cul formula (15') se obtine pentru

{\hat{D}}_{2 n, 2 s} (x)

.
Je pul fi cuprinse în formula unică

\begin{matrix} (15) & {\hat{I}}_{m, 2 s} (x) = \pm \frac{1}{γ_{m}} \sqrt{\frac{(- 1)^{*} β_{m}}{A_{m, s}^{(0)} A_{m, s}^{(s)} β_{m + 2 s}}} D_{m, 2 s} (x), \end{matrix}

A_{m, s}^{(0)}, A_{m, s}^{(s)}

fiind respectiv minorii elementelor

I_{m} (x), I_{m + c} (x)

din determinantul care sigureasă in expresia lui

D_{m, 2 s} (x)

.
9. Dacă se folosese momentele

c_{2 s}, c_{2 s + 2}, \dots

si se tine seama de expresiile (7) si (8) ale polinoamelor

D_{m, 2 s} (x)

, prin normare se obt,in polinoamele

\begin{matrix} (16) & {\hat{D}}_{2 n, 2 s} (x) = \frac{1}{\sqrt{Δ_{2 n - 2, 2 s} Δ_{2 n, 2 s}}} | \begin{array}{lllll} c_{2 s} & c_{2 s + 2} & \dots & c_{2 s + 2 n - 2} & 1 \\ c_{2 s + 2} & c_{2 s + 4} & \dots & c_{2 s + 2 n} & x^{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{2 s + 2 n} & c_{2 s + 2 n + 2} & \dots & c_{2 s + 4 n - 2} & x^{2 n} \end{array} |, \\ {\hat{D}}_{2 n + 1, 2 s} (x) = \frac{1}{\sqrt{Δ_{2 n - 2, 2 s + 2} Δ_{2 n, 2 s + 2}}} | \begin{array}{ccccc} c_{2 s + 2} & c_{2 s + 4} & \dots & c_{2 s + 2 n} & 1 \\ c_{2 s + 4} & c_{2 s + 6} & \dots & c_{2 s + 2 n + 2} & r^{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{2 s + 2 n + 2} & c_{2 s + 2 n + 1} & \dots & c_{2 s + 4 n} & x^{2 n} \end{array} | x_{1}, \end{matrix}

unde am folosit notația

Δ_{2 n, 2 s} = | \begin{array}{llll} c_{2 s} & c_{2 s + 2} & \dots & c_{2 s + 2 n} \\ c_{2 s + 2} & c_{2 s + 4} & \dots & c_{3 s + 2 n + 2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{2 s + 2 n} & c_{2 s + 2 n + 2} & \dots & \dots \\ 2 s + 4 n \end{array} |

Menționăm îneă relația de recurentă care existä intre 3 polinoame consecutive din şirul ${{\tilde{D}}_{m, 2 n} (x)}$

\begin{matrix} (19) & {\tilde{D}}_{m, 2 s} (x) = x {\tilde{D}}_{m - 1, 2 s} (x) - λ_{m - 1, 2 s} {\tilde{D}}_{m - 2, 2 s} (x) . \end{matrix}

unde

\begin{matrix} (20) & λ_{m - 1, 2 s} = (\int_{- a}^{+ a} p (x) x^{2 s} {\tilde{D}}_{m - 1, 2 s}^{2} (x) d x) : (\int_{- a}^{+ a} p (x) x^{2 s} {\tilde{D}}_{m - 2, 2 s}^{2} (x) d x) \end{matrix}

Dacă se folosese formulele (11) si (12), se gåseste eă

\begin{matrix} (21) & λ_{m - 1, 2 s} = \frac{β_{m - 2} β_{m + 2 s - 2}}{β_{m - 1} β_{m + 2 s - 1}} \frac{A_{m - 1, s}^{(0)} A_{m - 2, s}^{(s)} A_{m - 1, s}^{(0)}}{A_{m - 2, s}^{(s)}} \frac{γ_{m - 1}^{2}}{γ_{m - 2}^{2}} \end{matrix}

iar dacă se folosese formulele (16) și (17) și avem in vedere că

\begin{matrix} (') & {\tilde{D}}_{2 n - 1, 2 s} (x) = \sqrt{\frac{Δ_{2 n, 2 s}}{Δ_{2 n - 2, 2 s}}} {\hat{D}}_{2 n, 2 s} (x), {\tilde{D}}_{2 n + 1, 2 s} (x) = \sqrt{\frac{Δ_{2 n, 2 s + 2}}{Δ_{2 n - 2, 2 s + 2}}} {\hat{D}}_{2 n + 1, 2 s} (x) \end{matrix}

se obtin formulele

\begin{matrix} (22) & λ_{2 n, 2 s} = \frac{Δ_{2 n, 2 s} Δ_{2 n - 1, 2 s + 2}}{Δ_{2 n - 2, 2 s} Δ_{2 n - 2, 2 s + 2}}, λ_{2 n - 1, 2 s} = \frac{Δ_{2 n - 2, 2 s + 2} Δ_{2 n - 1, 2 s}}{Δ_{2 n - 4, 2 s + 2} Δ_{2 n - 2, 2 s}} . \end{matrix}

Cazuri particulare ale formulelor (11) si (12).
$1^{\circ}$ . Dacĕ $s = 0$ avem $D_{m, 0} (x) = I_{m} (x)$ .
Dacă în loc de $I_{m} (x)$ se ia ${\tilde{I}}_{m} (x)$ si se face $s = 1$ in formulele (11) si (12). se obțin

\begin{matrix} (23) & x^{2} D_{2 n, 2} (x) = {\tilde{I}}_{2 n + 2} (0) {\tilde{I}}_{2 n} (x) - {\tilde{I}}_{2 n} (0) {\tilde{I}}_{2 n + 2} (x) \\ (24) & x^{2} D_{2 n + 1, 2} (x) = {\tilde{I}}_{2 n + 3}^{'} (0) {\tilde{I}}_{2 n + 1} (x) - {\tilde{I}}_{2 n + 1}^{'} (0) {\tilde{I}}_{2 n, + 3} (x) \end{matrix}

Formula (23) se poate aduce la o formă mai simplă. Intra-devăr, se știe că între 3 polinoame consecutive

{\tilde{I}}_{2 n + 2} (x), {\tilde{I}}_{2 n + 1} (x), {\tilde{I}}_{2 n} (x)

, există relația
unde

\begin{matrix} (25) & {\tilde{I}}_{2 n + 2} (x) + λ_{2 n + 1} {\tilde{I}}_{2 n} (x) = x {\tilde{I}}_{2 n + 1} (x), \end{matrix}

λ_{2 n + 1} = (\int_{- a}^{+ a} p (x) {\tilde{l}}_{2 n + 1}^{2} (x) d x) : (\int_{- a}^{+ a} p (x) {\tilde{l}}_{2 n}^{2} (x) d x)

Avînd in vedere că

\begin{matrix} (26) & T_{2 n} (x) = \frac{1}{Δ_{2 n - 2, 0}} | \begin{array}{ccccc} c_{0} & c_{2} & \dots & c_{2 n - 2} & 1 \\ c_{2} & c_{4} & \dots & c_{2 n} & n^{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & n^{2 n} \\ c_{2 n} & c_{2 n + 2} & \dots & c_{4 n - 2} & n^{2 n} \end{array} |, \end{matrix}

se gåseşte că
intrueît

\begin{aligned} (27) & λ_{2 n + 1} & = \frac{Δ_{2 n - 2, 0} Δ_{2 n, 2}}{Δ_{2 n, 0} Δ_{2 n - 2, 2}} . \\ (28) & I_{2 n} (0) & = (- 1)^{n} \frac{Δ_{2 n - 2, 2}}{Δ_{2 n - 2, 0}}, \end{aligned}

formula precedentă devine

\begin{matrix} (29) & λ_{2 n + 1} = - \frac{{\tilde{I}}_{2 n + 2} (0)}{{\tilde{I}}_{2 n} (0)} . \end{matrix}

Tinînd seama de (23), (25) şi (29) se ajunge la formula

\begin{matrix} (30) & {\tilde{Π}}_{2 n, 2} (x) = \frac{1}{x} {\tilde{I}}_{2 n + 1} (x) . \end{matrix}

În cazul gradului impar, dacă avem în vedere formula (24), se găseşte că

\begin{matrix} (31) & {\tilde{D}}_{2 n + 1, 2} (x) = \frac{1}{x^{2}} [{\tilde{I}}_{2 n + 3} (x) - \frac{{\tilde{I}}_{2 n + 3}^{'} (o)}{{\tilde{I}}_{2 n + 1}^{'} (o)} {\tilde{I}}_{2 n + 1} (x)] \end{matrix}

In cazul particular

\begin{matrix} (32) & a = 1, p (x) = {(1 - x^{2})}^{α} (α > - 1), \end{matrix}

polinoamele

I_{n} (x)

vor fi polinoamele ultrasferice ale lui J acobi

\begin{matrix} (33) & J_{n} (x) = \frac{1}{2^{n} n!} {(x^{2} - 1)}^{- α} {[{(x^{2} - 1)}^{n + α}]}^{(n)} . \end{matrix}

Avînd în vedere că

\begin{matrix} (34) & J_{2 n + 1}^{'} (0) = (- 1)^{n} \frac{(α + 2 n + 1) (α + 2 n) \dots (α + n + 1)}{2^{2 n} n!} \end{matrix}

se gåseste că, exceptînd un factor numeric, avem

\begin{aligned} x^{2} D_{2 n + 1, 2} (x) = 4 (n + 1) (α + n + 1) J_{2 n + 3} (x) + \\ (35) & + (α + 2 n + 3) (α + 2 n + 2) J_{2 n + 1} (x) \end{aligned}

Primele 6 polinoame

{\tilde{D}}_{m, 2} (x) \sin t

\begin{matrix} (36) & \begin{matrix} {\tilde{D}}_{0, 2} (x) = 1, {\tilde{D}}_{1, 2} (x) = x, {\tilde{D}}_{2, 2} (x) = x^{2} - \frac{3}{2 α + 5}, \\ {\tilde{D}}_{3, 2} (x) = x^{3} - \frac{5}{2 α + 7} x, {\tilde{D}}_{4, 2} (x) = x^{4} - \frac{10}{2 α + 9} x^{2} + \frac{15}{(2 α + 7) (2 α + 9)}, \\ {\tilde{D}}_{5, 2} (x) = x^{5} - \frac{14}{2 α + 11} x^{3} + \frac{35}{(2 α + 9) (2 α + 11)} x . \end{matrix}} \end{matrix}

Så mai considerăm şi următorul caz particular foarte important

\begin{matrix} (37) & a = \infty, p (x) = e^{- x^{2}} \end{matrix}

Polinoamele

I_{n} (x)

corespunzătoare sînt polinoamele lui Hermite

\begin{matrix} (') & H_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{n}} {[e^{- x^{2}}]}^{(n)} \end{matrix}

Avînd în vedere eă

\begin{matrix} (38) & H_{2 n + 1}^{'} (0) = (- 1)^{n} \frac{(2 n + 2)!}{(n + 1)!} \end{matrix}

formula (31) devine

\begin{matrix} (39) & {\tilde{D}}_{2 n + 1, 2} (x) = \frac{1}{x^{2}} [{\tilde{H}}_{2 n + 3} (x) + \frac{2 n + 3}{2} {\tilde{H}}_{2 n + 1} (x)] \end{matrix}

În acest caz primele 6 polinoame

D_{m, 2} (x)

sînt

\begin{matrix} (40) & \begin{array}{l} {\tilde{D}}_{0, 2} (x) = 1, {\tilde{D}}_{1, 2} (x) = x, {\tilde{D}}_{2, 2} (x) = x^{2} - \frac{3}{2}, {\tilde{D}}_{3, 2} (x) = x^{3} - \frac{5}{2} x \\ {\tilde{D}}_{4, 2} (x) = x^{4} - 5 x^{2} + \frac{15}{4}, {\tilde{D}}_{5, 2} (x) = x^{5} - 7 x^{3} + \frac{35}{4} x \end{array}} \end{matrix}

3%. Să mai considerăm şi cazul particular $s = 2$ al formulelor (11) si (12). Avem

\begin{aligned} (41) & x^{4} D_{2 n, 4} (x) & = | \begin{array}{lll} I_{2 n} (x) & I_{2 n + 2} (x) & I_{2 n + 4} (x) \\ I_{2 n} (0) & I_{2 n + 2} (0) & I_{2 n + 4} (0) \\ I_{2 n}^{''} (0) & I_{2 n + 2}^{''} (0) & I_{2 n + 4}^{''} (0) \end{array} | \\ (42) & x^{4} D_{2 n + 1, 4} (x) & = | \begin{array}{ccc} I_{2 n + 1} (x) & I_{2 n + 3} (x) & I_{2 n + 5} (x) \\ I_{2 n + 1}^{'} (0) & I_{2 n + 3}^{'} (0) & I_{2 n + 5}^{'} (0) \\ I_{2 n + 1}^{'''} (0) & I_{2 n + 3}^{'''} (0) & I_{2 n + 5}^{'''} (0) \end{array} | \end{aligned}

In cazul (32), dacă se are în vedere că

\begin{matrix} J_{2 n} (0) = (- 1)^{n} \frac{(α + 2 n) (α + 2 n - 1) \dots (α + n + 1)}{2^{2 n} n!}, \\ J_{2 n}^{''} (0) = (- 1)^{n - 1} (α + 2 n) (α + 2 n - 1) \dots (α + n + 1) (2 α + 2 n + 1), \\ J_{2 n + 1}^{'''} (0) = (- 1)^{n - 1} \frac{(α + 2 n + 1) (α + 2 n) \dots (α + n + 1) (2 α + 2 n + 3)}{2^{2 n - 1} (n - 1)!} (n - 1)! \\ că J_{2 n + 1}^{'} (0) e dat de formula (34), se găseste \end{matrix}

wem formulele

11 CLASEDEPOLENOAMEORTOGONALEST PORMULEGENERALEDECUADRATURA 489

^{4} D_{2 n, 4} (x) = 16 (n + 1) (n + 2) (α + n + 1) (α + n + 2) (2 α + 4 n + 3) J_{2 n + 4} (x) +

+ 8 (n + 1) (α + n + 1) (α + 2 n + 3) (α + 2 n + 4) (2 α + 4 n + 5) J_{2 n + 2} (x) +

\begin{aligned} (43) & x^{4} D_{2 n + 1, 4} (x) & = 16 (n + 1) (n + 2) (α + n + 1) (α + n + 2) (2 α + 4 n + 5) J_{2 n + 5} (x) + \\ + 8 (n + 1) (α + n + 1) (α + 2 n + 4) (α + 2 n + 5) (α + 4 n + 7) J_{2 n + 8} (x) + \\ (44) & + (α + 2 n + 2) (α + 2 n + 3) (α + 2 n + 4) (α + 2 n + 1) (2 α + 4 n + 9) J_{2 n + 1} (x) \end{aligned}

Formulele (43) şi (44) pot fi cuprinse în formula rnică

\begin{aligned} x^{4} D_{m, 4} (x) & = 16 ({[\frac{m}{2}]}^{'} + 1) ([\frac{m}{2}] + 2) (α + [\frac{m}{2}] + 1) (α + [\frac{m}{2}] + 2) (2 α + \\ + 2 m + 3) J_{m + 4} (x) + 8 ([\frac{m}{2}] + 1) (α + [\frac{m}{2}] + 1) (α + m + 3) (α + \\ + m + 4) (α + 2 m + 5) J_{m + 2} (x) + (α + m + 1) (α + m + 2) (α + \\ (45) & + m + 3) (α + m + 4) (2 α + 2 m + 7) J_{m} (x) \end{aligned}

unde eu

[β]

am notat partea întreagă a numărului

β

.
Primele 4 plinoame

D_{m, 4} (x)

sînt

{\tilde{D}}_{0, 4} (x) = 1, {\tilde{D}}_{1, 4} (x) = x, {\tilde{D}}_{2, 4} (x) = x^{2} - \frac{5}{2 α + 7}, {\tilde{D}}_{3, 4} (x) = x^{2} - \frac{7}{2 α + 9} x

.
16. În cazul polinoamelor lui Hermite (38'), avînd în vedere că

\begin{matrix} H_{2 n} (0) = (- 1)^{n} \frac{(2 n)!}{n!}, H_{2 n}^{''} (0) = 4 (- 1)^{n - 1} \frac{(2 n)!}{(n - 1)!}, H_{2 n + 1}^{'''} (0) = \\ = 8 (- 1)^{n - 1} \frac{(2 n + 1)!}{(n - 1)!} \end{matrix}

şi că

H_{2 n + 1}^{'} (0)

are valoarea de la (38), formulele (41) si (42) ne conduc la următoarele

\begin{matrix} (46) & {\tilde{D}}_{2 n, 4} (x) = \frac{1}{x^{4}} [{\tilde{H}}_{2 n + 4} (x) + (2 n + 3) {\tilde{H}}_{2 n + 2} (x) + \frac{(2 n + 1) (2 n + 3)}{4} {\tilde{H}}_{2 n} (x)], \end{matrix}

{\tilde{D}}_{2 n + 1, 4} (x) = \frac{1}{x^{4}} [{\tilde{H}}_{2 n + 5} (x) + (2 n + 5) {\tilde{H}}_{2 n + 3} (x) + (2 n + 3) (2 n + 5) {\tilde{H}}_{2 n + 1} (x)]

.

Primele 4 polinoame

{\tilde{D}}_{m, 4} (x)

corespunzătoare funcţiei pondere (37) sînt

{\tilde{D}}_{0, 4} (x) = 1, {\tilde{D}}_{1, 4} (x) = x, {\tilde{D}}_{2, 4} (x) = x^{2} - \frac{5}{2}, {\tilde{D}}_{3, 4} (x) = x^{3} - \frac{7}{2} x

CAPITOLUL 11

Asupra unor ionmule de cuadratură de tip Gauss generalizate
17. Definiție. Vom numi formulă de cuadratură de tip Gauss generalizată orice formulă de cuadratură de forma

\begin{matrix} (48) & \int_{a}^{b} p (t) f (t) d t = \sum_{i = 1}^{s} \sum_{k = 0}^{r_{i - 1}} a_{i, k} f^{(k)} (t_{i}) + ρ [f] \end{matrix}

care are gradul de exactitate

2 N - 1

, unde

N

este numărul coeficientilor

a_{i, k}

diferisi de zero.

În cazul

s = n

şi

r_{1} = r_{2} = \dots = r_{n} = 1

, se obține formula de cuadratură clasică de tip Gauss, ale cărei noduri

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

sînt cele

n

rădăcini reale şi distincte ale polinomului

Φ_{n} (b)

ortogonal, relativ la intervalul (

a, b

) şi functia pondere

p (t)

, cu orice polinom de grad mai mic ca n.

În acest capitol vom arăta că există si alte formule de cuadratură de tip Gauss generalizate.
18. În acest scop să considerăm polinoamele

\begin{matrix} (49) & h (x) = \prod_{i = 1}^{m} (x - x_{i}), g (x) = \prod_{k = 1}^{r} (x - α_{k}), l (x) = x^{2 s}, \end{matrix}

care au rădăcinile reale.
Formula de interpolare a lui Lagrange-Hermite, relativă la o functie

f (x)

- derivabilă de un număr suficient de ori - şi la

m + r + 2 s

noduri, care coincid cu rădăcinile polinoamelor (49), e de forma
unde

\begin{matrix} (50) & f (x) = L (\underset{2 s}{\underset{⏟}{0 \dots, 0}}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}, α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}; f ∣ x) + R (x) \end{matrix}

\begin{matrix} L (\underset{2 s}{\underset{⏟}{0, \dots, 0}}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}, α_{I}, α_{2}, \dots, α_{r}; f ∣ x) = L_{2 s + m + r} (x) = \\ = \sum_{i = 1}^{m} \frac{h_{i} (x)}{h_{i} (x_{i})} \frac{g (x)}{g (x_{i})} \frac{x^{2 s}}{x_{i}^{2 s}} f (x_{i}) + \sum_{k = 1}^{r} \frac{h (x)}{h (α_{k})} \frac{g_{k} (x)}{g_{k} (α_{k})} \frac{x^{2 s}}{α_{k}^{2 s}} f (α_{k}) + \\ (51) & + \sum_{i = 0}^{2 s - 1} \sum_{k = 0}^{2 s - i - 1} \frac{x^{i}}{i!} [\frac{x^{k}}{k!} {(\frac{1}{u (x)})}_{x = 0}^{(k)} | u (x) f_{(0)}^{(i)} \\ h_{i} (x) = \frac{h (x)}{x - x_{i}}, g_{k} (x) = \frac{g (x)}{x - α_{k}}, u (x) = h (x) g (x) \end{matrix}

iar
19. Dacă se inmultęste cu funcția pondere

p (x)

, despre care presupunem că e parå în (

- a, + a

) si astfel încît să existe momentele (

1^{'}

), si se integrează, se obtine următoarea formulă de cuadratură

\begin{matrix} (53) & \int_{- a}^{+ a} p (x) / (x) d x = \sum_{i = 1}^{m} A_{i} f (x_{j}) + \sum_{j = 1}^{r} B_{j} f (α_{j}) + \sum_{k = 0}^{2 s - 1} c_{k} f_{(0)}^{(k)} + p [f] . \end{matrix}

Expresiile coeficiențiilor şi restului acestei formule sînt evidente.
Vom încerca acum să determinăm pe

h (x)

astfel ca toți coeficienții

B_{j}

să dispară. Cu acest prilej vom stabili următoarea

Teoremă. Condilia necesară si suficientă ca in formula de cuadratură-(53), unde

r = m

, să avem, oricare sînt

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}, B_{1} = B_{2} = \dots = B_{m} = 0

, este ca

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}

så fie cele

m

rădăcini reale si distincte ale polinomului

D_{m, 2 s} (x)

.

Demonstrație. Avînd în vedere că

\begin{matrix} (54) & B_{k} = \int_{- a}^{+ a} p (x) \frac{h (x)}{h (α_{k})} \frac{g_{k} (x)}{g_{k} (α_{k})} \frac{x^{2 s}}{α_{k}^{2 s}} d x (x = 1, 2, \dots, r) \end{matrix}

se observă că pentru a avea

B_{k} = 0 (k = 1, 2, \dots, r)

este necesar să avem

\int_{- a}^{+ a} p (x) x^{2 s} h (x) g_{k} (x) d x = 0 (k = 1, 2, \dots, r)

Dacă se ia

r = m

, se constată că e necesar ca

h (x)

să fie astfel incît

\int_{- a}^{+ a} p (x) x^{2 s} h (x) q (x) d x

unde

q (x)

e un polinom oarecare de grad

n - 1

(căci

α_{i}

sînt arbitrari). Rezultă că e necesar ca

h (x)

så fie ortogonal relativ la ponderea

p (x) x^{2 s}

si intervalul (

- a

,

+ a)

fată de orice polinom de grad cel mult

m - 1

; aceasta însemnează că, exceptind un factor numeric, el trebuie să coincidă eu polinomul

D_{m, 2 s} (x)

definit în eap. I.

Suficiența condiției este evidentă.
Observare. Dacă

r ⩽ m

atunci coeficienții

B_{k} (k = 1, 2, \dots, r)

vor fi deasemenea nuli dacă

h (x) = {\tilde{D}}_{m, 2 s} (x)

. Nu se poate însă ca să se ia

r > m

căci se găsese pentru

x_{i}

valori imaginare. Insemnează că dacă fixăm gradul de exactitate la

2 N - 1

, nu se poate ca numărul termenilor să fie mai mic decît

N

.
20. Avind în vedere că în formula (51) valorile

f^{(2 j - 1)} (0) (j = 1, 2, \dots, s)

sint inmulțite prin polinoame în care intervin numai puterile impare ale lui

x

, că

p (x)

e o functie pară și că intervalul de integrare e simetric faţă de origine, rezultă că toti coeficienții lui

j^{(2 j - 1)} (0)

din formula (53) vor fi nuli.

In aceste conditii formula de cuadratură (53) se reduee, în cazul

m = 2 n

, la următoarea

\begin{matrix} (55) & \int_{- a}^{+ a} p (x) f (x) d x = \sum_{= 1}^{2 n} A_{i} f (x_{i}) + \sum_{k = 0}^{s - 1} C_{2 k} f_{(0)}^{(2 k)} + ρ [f] \end{matrix}

^{1}

) Paranteza [ . . . ] reprezintă diferen(a divizată relativă la funcţia

f (x)

şi nodurile puse in evidentä.

\begin{matrix} (52) & R (x) = h (x) g (\dot{x}) x^{2 s} [x, \underset{2 s}{\underset{⏟}{0, \dots, 0}}, x_{1} x_{2}, \dots, x_{m}, α_{1} α_{2}, \dots, α_{r}; f]^{1}) . \end{matrix}

iar in cazul

m = 2 n + 1

la

\begin{matrix} (56) & \int_{- a}^{+ a} p (x) f (x) d x = \sum_{k = 1}^{2 n} A_{i}^{'} f (x_{i}) + \sum_{k = 0}^{N} C_{2 k}^{'} f_{(0)}^{(2 k)} + ρ^{'} [f] . \end{matrix}

Nodurile

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2 n}

care intervin mai sus sis sînt rădăcinile lui

D_{2 n, 2 s} (x)

sau

D_{2 n, 2 s + 2} (x)

le vom numi nodurile fundamentale ale formulelor de cuadratură (55) şi (56).
21. Dacă se tine seama de formula (

9^{'}

) si de o observatie

^{2}

) pe care am făcut-o si in

[1, 3]

, se constată că formula (56) e tot de tipul (55). Intr-adevăr, formula (55) folosesto drept noduri efective rădăcinile polinomului

x^{2 e} D_{2 n, 2 s} (x)

, în timp ce formula (56) foloseste drept noduri rădăcinile polinomului

x^{2 s} D_{2 n + 1, 2 s} (x)

. Dar in baza formulei (

9^{'}

), avem

x^{2 s} D_{2 n + 1, 2 s} = x^{2 s + 1} D_{2 n, 2 s + 2} (x)

. Dar formula care foloseste ca noduri rădăcinile polinoamelor

x^{2 s + 1} D_{2 n, 2 s + 2} (x), x^{2 s + 2} D_{2 n, 2 s + 2} (x)

sînt evident identice.

Avînd în vedere această observație, se constată că este suficient să se studieze formulele de tipul (55), adică acele formule în care

x = 0

e nod de ordinul

2 s

, iar

x_{i}

sînt rădăcinile polinomului

D_{2 n, 2 s} (x)

, definit prin mai multe formule în cap. I al acestei lucrări. E evident că formula (55) este oformulă de tip Gauss generalizată.
22. Vom căuta acum să stabilim nişte formule cît mai simple pentru calculul coeficienților formulei de cuadratură (55). Intrucît ei sînt independenți de

f (x)

să înlocuim în (55)
unde

h (x) = D_{2 n, 2 s} (x)

.

f (x) = \frac{h (x)}{h_{i} (x_{i})} \frac{x^{2 s}}{x_{i}^{2 s}} (i = 1, 2, \dots, 2 n),

Vom obține că

\begin{matrix} (57) & A_{i} = \int_{- a}^{+ a} p (x) \frac{D_{2 n, 2 s} (x)}{(x - x_{i}) D_{2 n, 2 s}^{'} (x_{i})} \frac{x^{2 s}}{x_{i}^{2 s}} d x \end{matrix}

Tinînd seama că oricare este pollnomul $g (x)$ , de grad $r ≦ 2 n$ , avem

g (x) = C D_{2 n, 2 s} (x) + \sum_{ν = 1}^{2 n} \frac{D_{2 n, 2 s} (x)}{(x - x_{ν}) D_{2 n, 2 s}^{'} (x_{ν})} g (x_{ν})

unde

C \neq 0

dacă

r = 2 n

si

C = 0

dacă

r < 2 n

, atunei primele două sume din formula (51), in care se ia

h (x) = D_{2 n, 2 s} (x)

, devin

\begin{matrix} C \sum_{i = 1}^{2 n} \frac{D_{2 n, 2 s} (x)}{(x - x_{i}) D_{2 n, 2 s}^{'} (x_{i})} \frac{D_{2 n, 2 s} (x)}{g (x_{i})} \frac{x^{2 s}}{x_{i}^{2 s}} f (x_{i}) + \\ + \sum_{k = 1}^{r} \frac{D_{2 n, 2 s} (x)}{D_{2 n, 2 s} (α_{k}) (x - α_{k}) g^{'} (α_{k})} \frac{x^{2 s}}{α_{k}^{2 s}} f (α_{k}) + \\ + \sum_{i = 1}^{2 n} \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{D_{2 n, 2 s} (x)}{(x - x_{i}) D_{2 n, 2 s}^{'} (x_{i}) (x - x_{k}) D_{2 n, 2 s}^{'} (x_{k}) g (x_{i})} \frac{g (x_{k})}{x_{i}^{2 s}} / (x_{i}) \end{matrix}

Dacă se înmulțeşte cu

l (x)

, se integrează de la

- a

la

+ a

şi se tine seama de definiția lui

D_{2 n .2 s} (x)

, se obtine suma

\sum_{i = 1}^{2 n} \int_{- a}^{+ a} p (x) {[\frac{D_{2 n, 2 s} (x)}{(x - x_{i}) D_{2 n, 2 s}^{'} (x_{i})}]}^{2} \frac{x^{2 s}}{x_{i}^{2 s}} f (x_{i})

In felul acesta pentru coeficienții

A_{i}

se găsese si expresiile următoare

\begin{matrix} (58) & A_{i} = \int_{- a}^{+ a} p (x) {(\frac{D_{2 n, 2 s} (x)}{(x - x_{i}) D_{2 n, 2 s}^{'} (x_{i})})}^{2} \frac{x^{2 s}}{x_{i}^{2 s}} d x \end{matrix}

Avînd in vedere că

p (x) > 0

in (

- a, + a

), putem trage concluzia că toți coeficienții

A_{i}

ai formulei (55) sînt pozitivi. Dacă tinem seama că

D_{2 n}

,2s (x) este un polinom ortogonal simetric, relativ la ponderea (5) si intervalul (

- a, + a

), și presupunem că

x_{1} < x_{2} < \dots < x_{2 n}

se constată că

A_{i} = A_{2 n - i + 1} (i = 1, 2, \dots, 2 n)

Coeficienții $C_{2 k} (k = 0, 1, \dots, s - 1)$ din formula (50) se pot exprima deasemenea independent de parametrii $α_{1} α_{2}, \dots, α_{r}$ . Intr-adevăr, să considerăm polinomul de interpolare

\begin{matrix} L (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2 n} 0, \dots 0; f ∣ x) = \\ = \sum_{i = 1}^{2 n} \frac{D_{2 n, 2 s} (x)}{(x - x_{i}) D_{2 n, 2 s}^{'} (x_{i})} \frac{x^{2 s}}{x_{i}^{2 s}} f (x_{i}) + \sum_{j = 0}^{2 s - 1} l_{j} (x) f_{(0)}^{(j)} \end{matrix}

unde

\begin{matrix} (59) & l_{i} (x) = \frac{x^{j}}{j!} [\sum_{k = 0}^{2 s - j - 1} \frac{x^{k}}{k!} {(\frac{1}{D_{2 n, 2 s} (x)})}_{x = 0}^{(k)}] D_{2 n, 2 s} (x) \end{matrix}

Coeficienții formulelor de cuadratură fiind independenți de funeţia de integrat

f (x)

, să inlocuim în (55)

f (x) = l_{i} (x) (j = 0, 1, \dots, 2 s - 1)

Se obfine imediat că

\begin{matrix} (60) & C_{2 k} = \int_{- a}^{+ a} p (x) l_{2 k} (x) d x (k = 0, 1, \dots, s - 1) \end{matrix}

Vom căuta acum să dăm pentru coeficienții $A_{i} (i = 1, 2, \dots, 2 n)$ formule explicite, care credem că sînt foarte utile in practică.

Să considerăm formula lui Christoffel-Darboux

\begin{matrix} K_{2 n - 1} (t, x) = \sum_{i = 0}^{2 n - 1} {\hat{D}}_{i, 2 s} (t) {\hat{D}}_{i, 2 s} (x) = \\ (61) & = \sqrt{λ_{2 n, 2 s}} \frac{{\hat{D}}_{2 n, 2 s} (t) {\hat{D}}_{2 n - 1, 2 s} (x) - {\hat{D}}_{2 n, 2 s} (x) {\hat{D}}_{2 n - 1, 2 s} (t)}{t - x}, \end{matrix}

unde am întrebuințat notațiile de la (15), (16), (17) si (20). Dacă înmulțim cu

p (t) t^{2 s}

ambii membri ai acestei formule şi integrăm de la

- a

la

+ a

, obținem

\int_{- a}^{+ a} p (t) t^{2 s} \frac{{\hat{D}}_{2 n, 2 s} (t) {\hat{D}}_{2 n - 1, 2 s} (x) - {\hat{D}}_{2 n, 2 s} (x) {\hat{D}}_{2 n - 1, 2 s} (t)}{t - x} d t = \frac{1}{\sqrt{λ_{2 n, 2 s}}};

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2 n}

fiind rădăcinile polinomului ortonormal

D_{2 n, 2 s} (x)

, să înlocuim în formula aceasta

x = x_{i}

; se obține

\begin{matrix} (62) & \int_{- a}^{+ a} p (t) t^{2 s} \frac{{\hat{D}}_{2 n, 2 s} (t)}{t - x_{i}} d t = \frac{1}{\sqrt{λ_{2 n, 2 s}} {\hat{D}}_{2 n - 1, 2 s} (x_{i})} \end{matrix}

Tinînd seama de formulele (57) şi (62), se deduce că

\begin{matrix} (63) & A_{i} = \frac{1}{\sqrt{λ_{2 n, 2 s} x_{i}^{2 s}} {\hat{D}}_{2 n, 2 s}^{'} (x_{i}) {\hat{D}}_{2 n - 1, 2 s} (x_{i})} \end{matrix}

Dacă avem în vedere formulele (18), (22) şi (22') aceste expresii se pot pune şi sub forma

\begin{matrix} (64) & A_{i} = \frac{Δ_{2 n - 2, 2 s + 2}}{Δ_{2 n - 4, 2 s + 2}} \cdot \frac{1}{x_{i}^{2 s} {\tilde{D}}_{2 n, 2 s}^{'} (x_{i}) {\tilde{D}}_{2 n - 1, 2 s} (x_{i})} \end{matrix}

Se mai pot obține expresii analoage cu acestea dacă se folosese formulele (15) şi (21).
26. Să ne ocupăm acum de evaluarea restului formulei de cuadratură (55).

Dacă se ia

m = r = 2 n

si se ține seama de formula (52), vom găsi pentru restul formulei de cuadratură (55) expresia

\begin{matrix} (65) & ρ [f] = \int_{- a}^{+ a} p (x) {\tilde{D}}_{2 n, 2 s} (x) x^{2 s} g (x) [x, 0, \dots, 0 x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2 n}, α_{1}, α_{2}, \dots, α_{2 n}; f] d x \end{matrix}

Considerînd cazul limită

g (x) \equiv {\tilde{D}}_{2 n, 2 s} (x)

se obține că

ρ [f] = \int_{- a}^{+ a} p (x) {\tilde{D}}_{2 n, 2 s}^{2} (x) x^{2 s} [x, \underset{2 s}{\underset{⏟}{0, \dots, 0}}, x_{1}, x_{1}, x_{2}, x_{2}, \dots, x_{2 n}, x_{2 n}; f] d x

Dacă presupunem că

f (x)

are derivate de or linul

4 n + 2 s

- in orice punct u intervalului (

- a, + a

) - si aplicăm o cunoscută teoremă de medie relativă la liferenţele divizate, vom obtine evaluarea

ρ [f] = \frac{1}{(4 n + 2 s)!} \int_{- a}^{+ a} {\tilde{D}}_{2 n, 2 s}^{2} (x) x^{2 s} f_{(n)}^{(4 n + 2 s)} d x

inde

η

apartine intervalului cel mai mic care ii conține pe

x, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{2 n}, 0

.

Avînd în vedere că

p (x) x^{2 s} D_{2 n, 2 s}^{2} (x) \geq 0

in

(- 1, + 11)

, se poate aplica prima teoremă a mediei calculului integral si se va obţine pentru restul formulei de cuadratură (55) evaluarea

\begin{matrix} (66) & ρ [f] = \frac{f_{(5)}^{(4 n + 2 s)}}{(4 n + 2 s)!} \int_{- a}^{+ a} p (x) x^{2 s} {\tilde{D}}_{2 n, 2 s}^{2} (x) d x \end{matrix}

unde

ξ \in (a, + a)

.
27. În cele ce urmează vom construi în mod efectiv mai multe exomple de formule de cuadratură, folosind rezultatele generale obținute mai sus

^{3}

).

Să presupunem că

s = 1

.

1^{\circ}

. In cazul cind nodurile fundamentale sint rădăcinile polinomului

D_{2^{n, 2}} (x)

, formula de cuadratură (55) se reduce la formula generală de tip Gauss cu număr impar de noduri

^{4}

):

\begin{matrix} (67) & \int_{- a}^{+ a} p (x) f (x) d x = C_{0} f (0) + \sum_{i = 1}^{2 n} A_{i} f (x_{i}) + \frac{f_{(ξ)}^{(4 n + 2)}}{(4 n + 2)!} \int_{- a}^{+ a} p (x) {\tilde{I}}_{2 n + 1}^{2} (x) d x \end{matrix}

2^{\circ}

. In cazul cînd se folosese drept noduri rădăcinile polinomului

x^{2} D_{2 n + 1, 2} (x)

, se obțin formule de cuadratură de tip Gauss generalizate. Să dăm cîteva exemple. Să avem în vedere că dacă

p (x)

are expresia de la (32), primele 6 polinoame

D_{m, 2} (x)

corespunzătoare au fost date la (36).

3^{\circ}

. In cazul

m = 1

se obține formula

\begin{aligned} \int_{- 1}^{+ 1} {(1 - x^{2})}^{α} f (x) d x & = 2^{α + 1} \frac{Γ (α + 1) \dot{Γ} (α + 2)}{Γ (2 α + 4)} [2 (2 α + 3) f (0) + f^{''} (0)] \\ (68) & + 2^{α} \frac{\dot{Γ} (α + 1) Γ (α + 3)}{Γ (2 α + 6)} f_{(ξ)}^{(IV)}, \end{aligned}

unde

Γ (λ)

e funcția lui

E u l e r

de speţa a doua.

4^{\circ}

. Formula corespunzătoare cazului

m = 3

a fost gåsită, pe o cale deosebită, de prof. T. Popoviciu [4].

5^{\circ}

. In cazul

m = 5

se obțin nodurile fundamentale

\begin{aligned} (69) & - x_{1} = x_{4} = \sqrt{\frac{7 (2 α + 9) + 2 \sqrt{7 (α + 2) (2 α + 9)}}{(2 α + 9) (2 α + 11)}} \\ - x_{2} = x_{3} = \sqrt{\frac{7 (2 α + 9) - 2^{1} 7 (α + 2) (2 α + 9)}{(2 α + 9) (2 α + 11)}} \end{aligned}

si formula de cuadratură de grad de exactitate 11 :

\begin{aligned} \int_{- 1}^{+ 1} {(1 - x^{2})}^{α} f (x) d x = \frac{4^{α + 1} Γ (α + 1) Γ (α + 4)}{1225 (α + 2) Γ (2 α + 8)} {896 (α + 1) (α + 2)^{2} (34 α + 123) / (0) + \\ + 2240 (α + 1) (α + 2)^{2} f^{''} (0) + 3 (2 α + 9) [7 (α + 2) (52 α^{2} + 316 α + 389) - \\ - (92 α^{2} + 396 α + 179) \sqrt{7 (α + 2) (2 α + 9)}] [(x_{1}) + f (x_{4})] + \\ + 3 (2 α + 9) [7 (α + 2) (52 α^{2} + 316 α + 389) + (92 α^{2} + \\ + 396 α + 179) \sqrt{7 (α + 2) (2 α + 9)}] [(x_{2}) + f (x_{3})]} + \\ (70) & \frac{4 (α + 1}{4455 (2 α + 9) (2 α + 11)} \frac{Γ (α + 3) Γ (α + 7)}{Γ (2 α + 14)} f_{(ξ)}^{(2)} . In cazul α = 0 (70) \end{aligned}

- x_{1} = x_{4} = \sqrt{\frac{21 + 2 \sqrt{14}}{33}}, - x_{2} = x_{3} = \sqrt{\frac{21 - 2 \sqrt{14}}{33}}

\int_{- 1}^{+ 1} f (x) d x = \frac{1}{514500} [440832 f (0) + 8960 f^{''} (0) +

\begin{matrix} (71) & + 27 (5446 - 537 \sqrt{14}) (f (x_{1}) + f (x_{4})) + 27 (5446 + 537 \sqrt{14}) (f (x_{2}) + f (x_{3}))] + \end{matrix}

i iar în cazul

α = - \frac{1}{2}

se reduce la

\begin{matrix} (71) & + \frac{1}{476804928600} l_{(ξ)}^{(12)} \end{matrix}

\begin{aligned} \int_{- 1}^{+ 1} \frac{f (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = \frac{π}{29400} [8904 f (0) + 210 f^{''} (0) + 4 (1281 - 4 \sqrt{21}) (/ (x_{1}) + / (x_{4})) + \\ + 4 (1281 + 4)^{'} \overset{―}{21}) (/ (x_{2}) + / (x_{3}))] + \frac{π}{71565312000} / (\frac{12}{5}), \end{aligned} unde .

28. In cazul cind

p (x) = e^{- x^{2}}, i i = \infty, \dot{s} = 1

, primele 6 polinoame

{\tilde{D}}_{m, 2} (x)

corespunzătoare au fost date la (40).

6^{\circ}

. Cazului

m = 1

ii corespunde formula

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} f (x) d x = \frac{\sqrt{π}}{4} [4 f (0) + f^{''} (0)] + \frac{V π}{32} f_{(ξ)}^{(I V)}

^{7} 7^{0}

. Formula corespunzătoare cazului

m = 3

a fost obţinută, prin consideratii deosebite, de către prof. T. Popoviciu [4].

8^{\circ}

. In cazul

m = 5

avem nodurile fundamentale

- x_{1} = x_{4} = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{14}}{2}}, - x_{2} = x_{3} = \sqrt{\frac{7 - \sqrt{14}}{2}}

si formula de cuadratură de grad de exactitate 11

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} f (x) d x = \frac{V \bar{π}}{4900} {3808 f (0) + 280 f^{''} (0) + 3 (91 + 23 \sqrt{14}) [f (x_{2}) + \\ + f (x_{3})] + 3 (91 - 23 \sqrt{14)} [f (x_{1}) + f (x_{4})]} + \frac{V \bar{π}}{36495360} f_{(\frac{12}{5})} \end{aligned}

29. Să mai dăm şi cîteva exemple în cazul

s = 2

.

9^{\circ}

. Dacă

p (x)

are expresia de la (32), polinoamele

D_{m, 4} (x)

care ne dau nodurile fundamentale se pot obține cu ajutorul formulei (45).

Dacă

m = 2

se obține, pe baza observațiilor deja făcute, formula de cuadratură care corespunde lui

m = 3

din cazul

s = 1

. In general cazurilor

m = 2 n, s = 2

şi

m = 2 n + 1, s = 1

le corespunde aceiaşi formulă de cuadratură de grad de exactitate

4 n + 3

.

10^{\circ}

. Dacă

m = 3

se obține următoarea formulă de cuadratură, de grad de exactitate 9:

\begin{aligned} \int_{- 1}^{+ 1} {(1 - x^{2})}^{α} f (x) d x = 2^{2 α + 1} \frac{Γ (α + 1) Γ (α + 4)}{343 Γ (2 α + 8)} {64 (α + 1) (4 α + 11) (82 α + \\ + 285) f (0) + 112 (α + 1) (34 α + 125) f^{''} (0) + 196 (α + 1) f^{(IV)} (0) + 60 (2 α + \\ + 9)^{3} [f (- \sqrt{\frac{7}{2 α + 9}}) + f (\sqrt{\frac{7}{2 α + 9)}})]} + \frac{4^{α} Γ (α + 2) Γ (α + 6)}{135 (2 α + 9) Γ (2 α + 12)} f_{(5)}^{(10)} . \end{aligned}

Pentru

α = 0

aceasta se reduce la

\begin{matrix} \int_{- 1}^{+ 1} f (x) d x = \frac{1}{36015} {(50160 f (0) + 3500 f^{''} (0) + 49 f^{(1 V)} (0) + 10935 [f (- \frac{V \overset{―}{7}}{3}) + \\ + f (\frac{V \overset{―}{7}}{3})]} + \frac{1}{404157600} f_{(5)}^{(10)}, \end{matrix}

iar pentru

α = \frac{- 1}{2}

si

α = \frac{1}{2}

se transformă respectiv in formulele

\begin{matrix} \int_{+ 1}^{- 1} \frac{f (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = \frac{π}{65856} {35136 f (0) + 3024 f^{''} (0) + 49 f^{(1 V)} (0) + 15360 [f (- \frac{V \overset{―}{7}}{8}) + \\ + f (\frac{V \overset{―}{7}}{8})]} + \frac{π}{530841600} f_{(ξ)}^{(10)} \end{matrix}

\begin{aligned} \int_{- 1}^{+ 1} | 1 - x^{2} f (x) d x = \frac{π}{175616} {67808 / (0) + 3976 f^{''} (0) + 49 f^{(1 V)} (0) + \\ + 10000 | / (- \sqrt{0, 7}) + f (\sqrt{0, 7}) |} + \frac{π}{1592524800} / (\frac{10}{5}) \end{aligned}

Dacă $p (x) = e^{- x}, a = \infty, s = 2, m = 3$ , se obtine formula de cuadratură de tip Gauss generalizată:

\begin{matrix} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2}} f (x) d x = \frac{V π}{16464} {15744 f (0) + 2856 f^{''} (0) + 147 f_{1}^{(VI)} (0) + 360 [f (- \frac{V 7}{2}) + \\ + f (\frac{V \overset{―}{7}}{2})]} + \frac{V \bar{π}}{552960} f_{(ξ)}^{(10)} \end{matrix}

cu 5 termeni şi de grad de exactitate 9 .
Primit la 5.VII.1957.

BIBLIOGRAFIE

D. D. Staneu, Generalizarea unor formule de interpolare pentru functiile de mai multe variabile si unele considerasii asupra sormulei de integrare numerică a lui Gauss, Bul. Stiint. Acad. R.P.R., Sect. Mat.-Fiz., 9, 2 (1957), 287-313.
D. D. Stancu, Generalizarea formulei de cuadratură a lui Gauss - Christoffel, Stud. și Cerc. Stiint. Iaşi, Seria Matem., 1 (1957), 1-18.
D. D. Stancu, O melodă pentru construirea de sormule de cuadratură de grad inall de exactitate, Comunicările Acad. R.P.R. (sub tipar).
T. Popovici, Asupra unei generalizări a formulei de integrare numerică a lui (iumss, Stud. şi Cerc. Stiin}. Iaşi 6 (1955), 29-57.

*) Comunicare prezentată la Academia R.P.R. la 1. VII. 1957.
$^{2)}$ In baza căreia dacă la $n$ noduri fundamentale se ataşează alte $k (≦ n)$ noduri arbitrare, in formula de cuadratură respectiva vor ti nuli toti coeficientii valoritor functici de integrat pe noile noduri introduse.
1. Unele cazuri particulare ale formulei generale (55) au fost Intilnite deja in lucrăc $[2, 3]$ .
2. Care stut tocmal rădăcinile polinomului $I 2 n + 1 (x)$ de la (4).

1957

Asupra unei clase de polinoame ortogonale şi unor formule generale de cuadratură cu număr minim de termeni

Rezumat

Autor(i)

Cuvinte cheie

PDF

Citați articolul în forma

Despre acest articol

Revista

Editura

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Referințe bibliografice

Lucrare in format HTML

ASUPRA UNEI CLASE DE POLINOAME ORTOGONALE ŞI UNOR FORMULE GENERALE DE CUADRATURĂ CU NUMĂR MINIM DE TERMENI *)

CAPITOLUL I

Asupra unei clase de polinoame ortogonale simetrice

11 CLASEDEPOLENOAMEORTOGONALEST PORMULEGENERALEDECUADRATURA 489

CAPITOLUL 11

BIBLIOGRAFIE

Related Posts