ASUPRA UNEI GENERALIZĂRI A FORMULEI DE INTEGRARE NUMERICĂ A LUI GAUSS

DE
TIBERIU POPOVICIU
Comunicare prezentată la 4 mai 1955 in şedinta Filialet lsisi a Academiel R. P. R

§ 1. Formulele de tip Gauss.

1.

In problemele practice de calcul numeric, de multe ori se cere valoarea unei funcţionale líniare ¹ ) $\mathrm{A}[f]$ , definita pe un spațiu vectorial $S$ de functíi $f=f(x)$ , reale, de variabila realà $x$ , defínite șí continue pe un interval I. In cele ce urmează vom maí presupune că elementele luí $S$ sint derivabile de un numar suficient de ori, cel puţin pe punctele unde vor intervení aceste derivate. Vom presupune de asemenea că $S$ conține toate polinoamele in $x$ . In cele ce urmeaza vom impune functionalei $\vec{A}[f]$ si anumite condiţii restrictive, pe care le vom specifica atunci cind ele vor interveni.
2.

Să presupunem că se dau valorile

f^{(j)}\left(x_{i}\right),j=0,1,\ldots,r_{i}-1,i=1,2,\ldots,n\quad\left(f^{(0)}(x)=f(x)\right),

(1)

ale functiei $f(x)$ si ale primelor sale derivate $f^{\prime}(x),f^{\prime\prime}(x),\ldots$ pe punctele distincte
(2)

x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}

ale intervalului I. Pe punctul $x_{i}$ sint date valorile functiei și ale primelor sale $r_{i}-1$ derivate, astfel că numerele $r_{i},i=1,2,\ldots,n$ sint intregi pozitive.

Pentru fiecare $f\in S,\bar{A}[f]$ se poate aproxima cu o combinatie liniară data a valorilor (1) ale functiei $f(x)$ si ale primelor sale derivate pe punctele (2). Obţinem astfel formula de aproximare

\mathrm{A}[f]\approx\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{r_{i}-1}a_{i,j}f^{(j)}\left(x_{i}\right).

(3)

Punctele (2) sint nodurile acestej formule iar numerele $r_{i},i=1,2,\ldots,n$ sint ordinele de multiplicitate ale acestor noduri. Nodul $r_{i}$ are ordinul de

⁰⁰footnotetext: 1. Prin o functională liniară inţelegem o funcţonală aditivă și omugenă.

multiplicitate $r_{i},i=1,2,\ldots,n$ . Numerele $a_{i,j},j=0,1,\ldots,r_{i}-1,i=1,2,\ldots,n$ caracterizează formula de aproximare (3) de acest tip sí se pot numi coeficientii acesteí formule.

Restul $\mathrm{R}[f]$ al formulei (3) este, prin definiție, diferența dintre mem= brul întîi șí membrul al doilea al formuleí. Dacă decí adunăm restul la membrul al doilea al formuleí, această egalitate aproximatívă devine o egalitate obişnuita. Restul este, evident tot o functíonală líniară definită pe $S$ .
3. Se poate da și o altă interpretare formuleí de aproximare (3). O metodä generală pentru gäsirea unei valori aproximative pentru $\mathrm{A}[f]$ constă în a înlocuí funcția $f(x)$ printroo altă funcțe $\varphi\in S$ și a lua pe $\mathrm{A}[\varphi]$ ca valoare aproximativa pentru $\mathrm{A}[f]$ , deci $\mathrm{A}[f]\approx\mathrm{A}[\varphi]$ .

Din punct de vedere teoretic nimic nu ne impiedică să alegem functia $\varphi(x)$ cu totul arbitrar, doar cu singura restricție sá apartină lui $S$ . Insá dín punctul de vedere al aplícațiilor practíce, alegerea funcțieí $\varphi(x)$ trebuíe şi poate să fie în general restrînsă considerabil. Un caz important este atuncí cînd $\varphi(x)=\mathrm{B}[f\mid x]$ este un operator liniar dat, cu valorile în $S$ . In acest caz $\mathrm{A}[\varphi]=\mathrm{A}[\mathrm{B}[f\mid x]]$ este o functíonală líniară de $f$ , bine determinată și defínítă pe $S$ . Restul $\mathrm{R}[f]=\mathrm{A}[f]-\mathrm{A}[\varphi]$ va fi atunci de asemenea o funcțională líniară bíne determinată și definită pe $S$ .

O clasă importantă de funcţii $\varphi(x)$ de forma precedentă este formată de functíile de interpolare líniara generalizate

\varphi(x)=\mathrm{B}[f\mid x]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{ri-1}\varphi_{i,j}(x)f^{(j)}\left(x_{i}\right)

(4)

corespunzătoare nodurilor (2), cu ordinele de multjplicitate indicate si unde $\varphi_{i,j}(x)\in S,j=0,1,\ldots,r_{i}-1,i=1,2,\ldots,n$ sînt nişte funcţií date. Atunci formula $A[f]\approx A[\varphi]$ se reduce la (3), unde coefícienții sînt daţi de formulele

a_{i,j}=\mathrm{A}\left[\varphi_{i},j\right],j=0,1,\ldots,r_{i}-1,i=1,2,\ldots,n.

In particular, fie

\varphi(x)=\mathrm{L}(\underbrace{x_{1},x_{1},\ldots,x_{1}}_{r_{1}},\underbrace{x_{2},x_{2},\ldots,x_{2}}_{r_{2}},\ldots,\underbrace{x_{n},x_{n},\ldots,x_{n}}_{r_{n}};f\mid x)

polínomul de interpolare al luí Lagrange-Hermite de gradul

p=r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n}-1,

(5)

care ía, impreună cu primele sale $r_{i}-1$ derivate, valorile respective (1) pe noduríle $x_{i},i=1,2,\ldots,n$ . Această funcţie $\varphi(x)$ este de forma (4), unde

\varphi_{i,j}(x)==l_{i,j}(x),j=0,1,\ldots,r_{i}-1,i=1,2,\ldots,n

sînt polínoamele fundamentale de interpolare relative la nodurile (2) cu ordinele lor de multiplicitate respective. Aceste polinoame sînt complet determinate. Ele au nişte expresii bine cunoscute, dintre care reamintim formulele
(6) $\quad l_{i},r_{i-1}(x)=\frac{1}{\left(r_{i}-1\right)!\prod_{\begin{subarray}{c}j=1\\ j\neq i\end{subarray}}^{n}\left(x_{i}-x_{j}\right)r_{j}}\cdot\frac{l(x)}{x-x_{i}},i=1,2,\ldots,n$
unde
(7)

l(x)=\left(x-x_{1}\right)^{r_{1}}\left(x-x_{2}\right)^{r_{2}}\ldots\left(x-x_{nl}\right)^{r_{n}}.

In cazul considerat formula (3) devine
(8)

A[f]\approx\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{r_{i}r^{-1}}c_{ij}f^{(j)}\left(x_{i}\right)

unde

c_{i,j}=\mathbf{A}\left[l_{i},j\right],j=0,1,\ldots,r_{i}-1,i=1,2,\ldots,n

4.

Restul formulei (8) se bucură de importanta proprietate că se anuleaza pentru orice polinom de gradul $p,p$ fiind dat de formula (5).

In general dacá functíonala líníară $\mathbb{A}[f]$ este nulă pentru oríce polinom de gradul $m^{2}$ ), dar este diferita de zero pentru cel puțin un polinom de gradul $m+1$ , se zice că ea are gradul de exactitate $m$ . Aceasta definitíe se extinde în mod natural și la cazúrile $m=-1$ si $m=+\infty$ . Mai precis, gradul de exactitate este un număr intreg $\geq-1$ sau numărul impropriu $+\infty$ ataşat functionalei $\mathrm{A}[f]$ și perfect caracterizat de pros prietatea:
$1^{0}.m=-1$ , dacă $A[1]\neq 0$ ,
$2^{0}.\mathrm{A}[1]=\mathrm{A}[x]=\cdots=\mathrm{A}\left[x^{m}\right]=0,\mathrm{~A}\left[x^{n+1}\right]\neq 0$ , dacă $\mathrm{A}[1]=0$ si cel putin unul din numerele $\mathrm{A}\left[x^{i}\right],i=1,2,\ldots$ este diferit de zero,
$3^{0}.m=+\infty$ , dacă $\mathrm{A}\left[x^{i}\right]=0,i=0,1,\ldots$
In fine vom zice că functionala $\mathbb{A}[f]$ are gradul de exactitate cel putin $m$ , dacă are gradul de exactitate $\geq m$ , decí dacă se anulează pentru orice polinom de gradul $m$ .

Pentru simplificare vom zice că o formulă de aproxímare (3) are gradul de exactitate $m$ resp. are gradul de exactitate cel puțin $m$ , dacă restul acestei formule are gradul de exactitate $m$ resp. are gradul de exactitate cel puțin $m$ .

Cu această convenție putem spune că formula (8) are gradul de exactitate cel puțin $p$ .

Reamintim urmatoarea:
Teorema 1. Dacă formula (3) are gradul de exactitate cel putin p, această formulă coincide în mod necesar cu (8).

Demonstratía acesteí proprietătí am dat=o intr-o altă lucrare [9]. Demonstratía de acolo se referea la o funcţională líniara $A[f]$ particulară, ea însà nu depinde de forma acesteí functionale.

Teorema 1 ne spune că formula (8) joacà un rol special printre formulele (3) care se obtin variind coeficientif acestei formule. Formula (8) este, printre toate formulele (3) corespunzatoare unei functionale $\mathrm{A}[f]$ și unor noduri (2), date ímpreuna cu ordinele lor de multiplicitate resa pective, aceea (unica) care are gradul de exactitate maxim.
5. In general gradul de exactitate al formulel (8) este $p$ . In cazuri partículare acest grad de exactitate poate însă să fie si mai mare decît $p$ .

Definitie. Vom zice că formula (8) este de típ Gauss dacă gradul său de exactitate este cel putin $p+n$ .

⁰⁰footnotetext: 2. Printran polinom de gradul

m

, intelegem un polinom de gradul efectiv

\leqq m

. Un polinom de gradul 0 este o constantă, iar un polinom de gradul -1 , polinomuí identic nul,

Pentru ca formula (8) să fíe de tip Gauss este necesar și suficient ca restul său $\mathrm{R}[f]$ să se anuleze pentru orice polinom de gradul $p+n$ .

Un polinom $P(x)$ de gradul $p+n$ este totdeauna de forma

P(x)=l(x)Q(x)+Q_{1}(x),

unde $l(x)$ este polinomul (7), $Q(x)$ un polinom de gradul $n-1$ iar $Q_{1}(x)$ un polinom de gradul $p$ . Reciproc, orice polinom de această formă este de gradul $p+n$ . Atunci $R[P]=R[lQ]$ și din (8) rezultă imediat $R(lQ)=A[lQ]$ . Se deduce prin urmare că condiția necesară și suficientă ca formula (4) să fie de tip Gauss este ca să avem

(10)

\mathrm{A}[l\mathrm{Q}]=0

oricare ar fi polínomul $\mathrm{Q}(x)$ de gradul $n-1$ .
Două functíi $f,g$ pentru care avem $\AA [fg]=0$ se pot numi ortogonale faţă de functionala $\mathrm{A}[f]$ . Putem deci enunța :

Teorema 2. Conditia necesară si suficientă ca formula (8) să fie de tip Gauss este ca polinomul (7) să fie ortogonal cu orice polinom de gradul $n-1$ :

Ortogonalitatea polinomuluí $l(x)$ cu orice polinom de gradul $n-1$ este echivalentă cu ortogonalitatea lui cu $n$ polinoame de gradul $n-1$ liniar independente. Un astfel de sistem de $n$ polinoame este format dín primele $n$ puteri $1,x,x^{2},\ldots,x^{n-1}$ ale lui $x$ . Un alt sistem de acest fel este format din polinoamele

\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i-1}\right)\left(x-x_{i+1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right),i=1,2,\ldots,n,

(11)

deoarece presupunem că nodurile sînt distincte.
Acest din urmă exemplu ne arată că o formulă (8) de típ Gauss nu esie altceva decit o formulă de forma (8)

\mathrm{A}[f]\approx\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{r_{i}}c_{i,j}^{\prime}f^{(j)}\left(x_{i}\right),

(12)

corespunzătoare nodurilor (2), insă de ordíne de multíplícitate $r_{i}+1$ (in loc de $\left.r_{i}\right),i=1,2,\ldots,n$ respectiv $\mathdollar 1$ in care avem $c^{\prime}{}_{i},r_{i}=0,i=1,2,\ldots.n$ . Aceasta observație se datoreşte în principiu luí A. A. Markov [4]. Proprietatea rezultă din formulele (6); (9) corespunzătoare formulei (12).
6. In cele ce urmează vom presupune că functionala $\mathrm{A}[f]$ , numărul natural $n$ si ordinele de multiplicitate $r_{1},r_{2},\ldots,r_{n}$ ale nodurilor sint date.

Condiția de ortogonalitate, pe baza observației de maí sus, se poate interpreta și altfel. Putem privi pe

\phi=\phi\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)^{\prime}{}_{i}+1\right]

(13)

ca o funcţie (polinom) de $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ . Atunci

\begin{gathered}-\frac{1}{r_{i}+1}\cdot\frac{\partial\phi}{\partial x_{i}}=\mathrm{A}\left[l(x)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i-1}\right)\left(x-x_{i+1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)\right]\\ i=1,2,\ldots,n\end{gathered}

Rezultă că nodurile uneí formule (8) de tip Gauss formează totdeauna o soluție a sistemului algebric
(14)

\frac{\partial\phi}{\partial x_{i}}=0,\quad i=1,2,\ldots,n.

Orice soluție a acestui sistem, in care valorile variabilelor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ sînt distincte, ne dă o formulă de tip Gauss. Sístemul (14) nu are însæ totdeauna o astfel de soluțe (reală).

Dacă mai multe numere $r_{i}$ sînt egale, nu considerăm ca distincte douðă formule de tip Gauss care difera numai prin o permutare a nodurilor avind această ordine de multiplicitate. Cu alte cuvinle formulele de típ Gauss depind numai de valorile distincte ale ordinelor de multiplicitate.

Pe baza acestei observatii, se poate uşor transforma sistemul (14) intrsaltul echivalent din punctul de vedere al căutăríi formulelor de tip Gauss. Astfel dacă $r_{1}^{\prime},r_{2}^{\prime},\ldots,r_{t}^{\prime}(1\leq t\leq n)$ sînt valorile dístincte ale ordis nelor de multiplicitate $r_{1},r_{2},\ldots,r_{n}$ , fie $n_{i}$ numarul nodurilor de ordin de multiplicitate $r_{i}^{\prime}$ $ $1\sigma_{1}^{(i)},\sigma_{2}^{(i)},\ldots,\sigma_{n_{i}}^{(i)}$ functifile simetrice fundamentale ale acestor noduri, $i=1,2,\ldots,t$ . Atunci, dín punctul de vedere al căutărí formulelor de tip Gauss, sistemul (14) este echivalent cu

\frac{\partial\phi}{\partial\sigma_{j}^{(i)}}=0,j=1,2,\ldots,n_{i},i=1,2,\ldots,t

(15)

Acest sistem este tot atît de simplu ca şi (14) in sensul că funcția $\phi$ este un polinom în raport cu $\sigma_{j}^{(i)},j=1,2,\ldots,n_{i},i=1,2,\ldots,t$ . Echivalența sisternelor (14’, (15), în sensul specificat rezultă din faptul că determinantul functional al functíilor simetrice fundamentale $\Sigma z_{1}z_{2}\ldots..z_{i},i=1,2,\ldots,k$ al variabilelor $z_{1},z_{2},\ldots,z_{k}$ in raport cu aceste variabile este diferit de zero, pentru orice sistem de valori diferite ale acestor variabile (a se vedea de ex. [6]).

Aceleaşi lucrurí se pot spune și despre sistemul care se deduce din (14), inlocuínd numai in parte nodurile corespunzătoare la ordíne de multís plicitate egale prin functilile lor simetrice fundamentale. Metoda prece. dentă se maí poate combina cu nişte transformarí líníare ale unora sau tuturor variabilelor $x_{i}$ ,
7. Trebuie să observăm că pentru o functională líniară dată $\AA [f]$ și pentru un sistem dat de ordine de multiplícitate, nu există totdeauna formule de tip Gauss.

Vom zíce că funcționala $\mathrm{A}[f]$ este de ordin de pozitivitate $k$ dacă $A\left[Q^{2}\right]>0$ , pentru orice polinom $Q(x)$ de gradul $k-1$ si neidentic nul.

Putem atuncí face observațía că pentru o functíonală de ordín de pozitivitate $k\geq\frac{1}{2}(p+n+2)$ și dacá cel puțin unul dintre ordinele de multiplicitate $r_{1},r_{2},\ldots,r_{n}$ este par, nu există níci o formulă de tip Gauss. Intradevar să presupunem, pentru fixarea ideilor, că $r_{i},r_{i+1},\ldots,r_{n}$ sînt numere pare, $0<i\leqq n$ , ceilaltí (dacă $1<i$ ) fiind impari. Atunci $l(x)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i-1}\right)$ este patratul unui polinom de gradul $\frac{1}{2}(p+i)\leq k-1$ . Avem deci $\mathbb{A}\left[l(x)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{i-1}\right)\right]>0,(\mathbb{A}[l]>0$ , dacă $i=1)$ , ceea ce, pe baza teoremei 2 , demonstreazá proprietatea.

Din contra, vom vedea că dacă toate numerele $r_{1},r_{2},\ldots,r_{n}$ sînt impare, există cel puţin o formulă de tip Gauss.

Formulele (14) ne sugereazà imediat examinarea extremelor relative ale functíei (13). Un extremum relativ atins de un sistem de valori diferite ale variabilelor $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ , ne demonstreazl existența a cel puțín unei formule de tip Gauss. Vom vedea că pe baza acesteí observafíi, această proprietate de existență are loc în partícular dacă $\mathbb{A}[f]$ este de ordin de pozitivitate $\geq\frac{1}{2}(p+n+1)$ si dacł toate ordinele de multiplicitate sînt impare.

In § urmator vom studia o problemi de extremum care, in partis cular ne va da soluţia problemei de mai sus. Proprietătíle obţinute in acest § trebuie considerate ca o generalizare a proprietztitor extremale bine cunoscute ale polinoamelor ortogonale si ale generalizarrilor acestora in sensul lui G. Polya [5] și D. Jackson [2, 3].

§ 2. Asupra unei probleme de minimum.

8.

Să consíderăm, în partícular, o functíonală liniară de forma

\mathrm{A}[f]=\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}f\left(y_{i}\right),

(16)

unde $k$ este un număr natural, $y_{1},y_{2},,,,y_{k},k$ puncte distincte ale axeí reale iar $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{k}$ sint $k$ numere pozitive date.

Vom nota cu $P_{n}$ multímea polínoamelor (reale) de gradul $n$ de forma $x^{n}+\cdots$ , deci cu coeficientul lui $x^{n}$ egal cu 1.

Se dau $t$ numere pozitive $s_{1},s_{2},\ldots,s_{t}$ si $t$ numere naturale $n_{1},n_{2},\ldots,n_{t}$ astfel încît fiecărui număr $s_{i}$ ît corespunde un număr $n_{i}$ . Pentru prescurtarea limbajului vom numi numerele $s_{i}$ puteri iar numerele $n_{i}$ gradele respeca tive corespunzătoare acestor puteri. Aceste denumiri sînt justífícate prín cele ce urmează.

Fie

\mu=\mu_{n_{1},n_{2},\ldots,n_{t}}^{\left(s_{1},s_{2},\ldots,s_{t}\right)}=\inf\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|s_{i}\right]

(17)

unde marginea inferioara este relativă la toate polínoamele $\pi_{i}\in P_{n_{i}}$ , $i=1,2,\ldots,t$ .

Orice sistem particular de polínoame $\pi_{i}\in P_{n_{i}},i=1,2,\ldots,t$ pentru care $A\left[\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|s_{i}\right]=\mu$ se va numi un sistem de polinoame minimizante sau, mai pe scurt, un sistem minimizant.

Cazul $t=1$ este bine cunoscut si a fost examinat in special de D. Jackson [3].
9. In cazul $n=n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{t}\geq k$ avem $\mu=0$ şi pentru ca sistemul $\pi_{i}\in P_{n_{i}},i=1,2,\ldots,t$ să fie minimizant este necesar şi suficient ca fiecare punct $y_{j},j=1,2,\ldots,k$ sa fie rădycină a cel puțin unuí polínom $\pi_{i}$ . In cazul $n<k$ rezultatele sînt mai putin banale si sînt date de următoarea:

Teorema 3. $\mathrm{A}[f]$ fiind o functională liniară de forma (16) cu punctele $y_{i}$ distincte si cu numerele $\lambda_{i}$ toate pozitive iar $s_{1},s_{2},\ldots,s_{t}$ un sistem de puteri (pozitive) si $n_{1},n_{2},\ldots,n_{t}$ un sistem de grade corespunzătoare date, cu suma lor $n=n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{t}<k$ :
$1^{0}$ . Există cel putin un sistem minimizant.
$2^{0}$ . Dacă $\pi_{i}\in P_{ni},i=1,2,\ldots,t$ este un sistem minimizant, polinoamele $\pi_{i}$ au toate rădacinile reale.

Dacă puterile $s_{1},s_{2},\ldots,s_{t}$ sint toate $>1$ , atunci orice sistem minimizant $\pi_{i}\in P_{n_{i}},i=1,2,\ldots,t$ mai verifică şi următoarele proprietăti:
$3^{0}$ . Toate rădăcinile polinomului
(18)

\pi=\pi(x)=\prod_{i=1}^{t}\pi_{i}

sînt distincte.
$4^{0}$ . Avem ³ )
(19)

\left.\left.\mathrm{A}\left|\prod_{i=1}^{t}\right|\pi_{i}\right|^{s_{i}-1}(\mathrm{sg}\pi)\mathrm{Q}\right]=0,

oricare ar fi polinomul $Q(x)$ de gradul $n-1$ .

$5^{\circ}$ . Rădăcinile polinomului (18) sînt separate de punctele $y_{1},y_{2},\ldots,y_{k}$ .

Observăm că în cazul teoremei 3, $\mu>0$ .

10. Pentru $1^{\circ}$ al teoremei 3 se demonstrează arătînd întîi că există un număr pozitiv $a$ astfel că dacă cel puțin unul dintre coeficienții polinoamelor $\pi_{i},i=1,2,\ldots,t$ este $\geq a$ în valoare absolută, avem

(20)

\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|^{s_{i}}\right]>\mu.

Proprifatea aceasta rezulta din următoarele trei leme:
Lema 1. Dacă $m<k$ și $\pi\in P_{m}$ , există un număr pozitiv $b_{m}$ astfel ca
(21)

|\pi|\geq b_{m}

pe cel putin $k-m$ din punctele $y_{i},i=1,2,\ldots,k$ .
Fíe pentru aceasta
(22)

\mathrm{E}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{m+1}\right)

cea mai bună aproximatie, în sensul lui Cebisev, a lui $x^{n}$ prín polis noame de gradul $m-1$ pe punctele distincte $z_{1},z_{2},\ldots,z_{m+1}$ . Valoarea lui (22) este bine cunoscută [13] dar nu este nevoie sá fie reprodusă aici. Retinem numai că acest număr este pozitiv ⁴ ).

Să luăm $b_{m}=\min\mathrm{E}\left(y_{i_{1}},y_{i_{2}},\ldots,y_{i_{m+1}}\right)$ , unde minimul se referă la. toate combinarile $i_{1},i_{2},\ldots,i_{m+1}$ cîte $m+1$ ale indicilor $1,2,\ldots,k$ . Din propríe tăţile polínoamelor de cea mai bună aproximaţie și din definiția număruluí $b_{m}$ rezultă că printre primele $m+1$ puncte $y_{i}$ există unul, fie $y_{j}$ pe care $|\pi|\geq b_{m}$ . Lasind la o parte punctul $y_{j1}$ , printre primele $m+1$ puncte $y_{i}$ rămase, există unul, fie $y_{j_{2}}$ , pe care $|\pi|\geqq b_{m}$ . Lăsăm la o parte şi punctul $y_{j2}$ și continuăm procedeul. In felul acesta determinăm punctele $y_{j1}$ , $y_{j_{2},\ldots,}y_{j_{m+1}}$ pe care inegalitatea (21) este verificať.

⁰⁰footnotetext: 3. Avem

sgz=-1,0

resp, 1 după cum

z<

=

resp.

>0

. Dacă

s

este un număr Intreg pozitiv si par, avem

|z|s-1\mathrm{sg}z=z^{s-1},|z|s-1=z^{s-1}

z

, oricare ar fi

z

. 4. Dacă

\epsilon=\min\left|z_{i}-z_{j}\right|

, avem

\mathrm{E}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{m+1}\right)>\frac{\epsilon^{m}}{m+1}

Observăm că numarul $b_{m}$ nu depinde de polinomul $\pi$ .
Lema 2. Dacă $\pi\in P_{m}$ si dacă avem $|\pi|\leqq\mathrm{M}$ , pe $m$ puncte distincte $z_{1},z_{2},\ldots,z_{m}$ , atunci există un număr pozitiv $\mathrm{F}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{m}\right)$ astfel că toti coeficientii polinomului $\pi$ să fie $<\mathrm{F}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{m}\right)\mathrm{M}$ , în valoare absolut $\check{a}$

Proprietatea este bine cunoscuta si ne putem dispensa de a da dem. strarea ei aici ⁵ ).

Lema 3. Dacă $\pi_{i}\in P_{ni},i=1,2,\ldots,t,n=n_{1}+n_{2}\ldots+n<k$ şi dacă

\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|^{s_{i}}\leqq\mathrm{~N},

(23)

pe punctele $y_{1},y_{2},\ldots,y_{k}$ , există un număr pozitiv $c$ , independent de polinoamele $\pi_{i},i=1,2,\ldots,t$ , astfel ca toti coeficientii acestor polinoame să fie $<c\mathrm{~N}$ în valoare absolută.

Demonstratía se poate face prin inductíe completă asupra lui $t$ . Pentru $t=1$ proprietatea este adevărată căcí atuncí (23) devine $\left|\tau_{1}\right|^{\mid s_{1}}\leq N$
și, pe baza lemei 2 , coeficiențit polinomului $\pi_{1}$ sînt $<\mathrm{F}\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n_{1}}\right)\mathrm{N}^{\overline{s_{1}}}$ în valoare absoluta.

Să presupunem că propríetatea este adevărată pentru $t-1(t>1)$ puteri şi să o demonstrăm pentru $t$ puterí. Să presupunem deci că avem (23). Pe baza lemeí 1 , fie $y_{j_{1}},y_{j_{2}},\ldots,y_{j_{k-n_{1}}},k-n_{1}$ dintre punctele $y_{i}$ pe care avem $\left|\pi_{1}\right|\geqq b_{n_{1}}$ . Atunci $k-n_{1}>n_{2}+n_{3}+\cdots+n_{t}$ si pe aceste puncte avem $\underset{i=2}{\stackrel{{\scriptstyle t}}}\left|\pi_{i}\right|{}^{s}i\leqq Nb_{n_{1}}^{-s_{1}}$ . Rezultă că exista un număr $c^{\prime}$ astfel ca toti coefic cientii polinoamelor $\pi_{2},\pi_{3},\ldots,\pi_{t}$ să fíe $<c^{\prime}b_{n_{1}}^{-s_{1}}\mathrm{~N}$ , în valoare absolută. La fel demonstrăm că există un număr $c^{\prime\prime}$ astfel ca toțí coeficienții polinoa» melor $\pi_{1},\pi_{3},\pi_{4},\ldots,\pi_{t}$ să fie $<c^{\prime\prime}b_{n_{2}}^{-s_{2}}\mathrm{~N}$ , în valoare absoluta. Dacă $c=\max\left(c^{\prime}b_{n_{1}}^{-s_{1}},c^{\prime\prime}b_{n_{2}}^{-s_{2}}\right)$ , vedem că proprietatea este adevărată pentru $t$ puteri. Cu aceasta, lema 3 este demonstratz.
11. Să revením la pt. $1^{0}$ al teoremei 3.

Avem evident

\mu\leqq\mathrm{A}\left[|x|^{\left.\mid n_{1}s_{1}+n_{2}s_{2}+\cdots+n_{t}s_{t}\right]=\mathrm{T}.}\right.

Så presupunem acum că

\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|^{s_{i}}\leqq\mathrm{~N}_{1}=\frac{\mathrm{T}}{\min\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{k}\right)}

și fie $c_{1}$ , numarul $c$ corespunzätor lui $\mathrm{N}=\mathrm{N}_{1}$ dín lema 3.
Dacă atunci $a=c_{1}N_{1}$ și dacă cel puțin unul dín coeficientii polis noamelor $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{t}$ este $\geqq a$ în valoare absolută, avem $\prod_{i=1}\left|\pi_{i}\right|s_{i}>\mathrm{N}_{1}$ pe
5) Dacă $\delta=\max_{i}\left|z_{i}\right|$ , avem

\mathrm{F}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{m}\right)<\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{E}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{u}u\right)}+(\delta+1)^{m}.

cel puțin unul din punctele $y_{i}$ . Avem atunci $\left.\left.A\left|\prod_{i=1}^{t}\right|\pi_{i}\right|^{s_{i}}\right]>T\geq\mu$ si ines
galitatea (20) este verificata. galitatea (20) este verifícata.

Printroun rationament bine cunoscut putem acum demonstra exis= tenta a cel puțin unuí sístem minimizant.

Din definiția lui $\mu$ și din propríetătíle precedente, rezultă că putem găsi un şir infinit de sisteme de polinoame $\pi_{i}{}^{(m)}\in P_{n_{i}},i=1,2,\ldots,t,m=1,2,\ldots$ astfel ca, pe de o parte, toti coeficientif acestor polinoame sa fie $<a$ in valoarea absolută sí, pe de altă parte, dacă pentru prescurtare punem $\pi^{(m)}=\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}^{(m)}\right|s^{s}$ să avem

\lim_{m\rightarrow\infty}\mathbb{A}\left[\Pi^{(m)}\right]=\mu.

Putem atunci extrage dín şirul $\left(\Pi^{(m)}\right)_{m=1}^{\infty}$ un şir partial $\left(\Pi^{(vm)}\right)_{m=1}^{\infty}$ astfel ca

\lim_{n\rightarrow\infty}\pi_{i}^{(\gamma m)}=\pi_{i}^{*}\in P_{n_{i}},\quad i=1,2,\ldots,t

uniform in orice interval finit.
Rezultă atunci că polínoamele $\pi_{i}^{*},i=1,2,\ldots,t$ formează un sistem minimizant.

Cu aceasta pt. $1^{0}$ al teoremei 3 este demonstrat.
12. Fie $\pi_{i},i=1,2,\ldots,t$ un sistem de polinoame minimizante. Sà prea supunem că $1\leq u<t$ , unde $u$ este un numar natural și cal polinoamele $\pi_{1},\pi_{2},\ldots,\pi_{u}$ se descompun in produsul a doi factori reali $\pi_{i}=\pi_{i}^{\prime}\pi_{i}^{\prime\prime}$ , $i=1,2,\ldots,u$ astfel că $\pi_{i}^{\prime}\in P_{n^{\prime}i}\pi_{i}^{\prime\prime}\in P_{n^{\prime\prime}i}$ deci $\mathdollar\stackreln_{i}^{\prime}+n_{i}^{\prime\prime}=n_{i}$ . Putem presu pune $n_{i}^{\prime}>0,i=1,2,\ldots,u$ si $\mathrm{c}^{*}$ , in particular, factorul $\pi_{i}^{\prime\prime}$ se poate reduce si la 1 (atunci $n_{i}^{\prime\prime}=0,n_{i}^{\prime}=n_{i}$ ).

Să considerăm funcţionala liniară

\mathrm{A}_{1}[f]=\mathrm{A}\left[\left(\prod_{i=1}^{n}\left|\pi_{i}^{\prime\prime}\right|s_{i},\prod_{i=u+1}^{n}\left|\pi_{i}\right|s_{i}\right)f\right]

(24)

Această funcțională este de forma $A_{1}[f]=\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}^{\prime}f\left(y_{j}\right)$ , unde

\lambda_{j}^{\prime}=\lambda_{j}\prod_{i=1}^{u}\left|\pi_{i}^{\prime\prime}\left(y_{j}\right)\right|^{s_{i}}\cdot\prod_{i=u+1}^{n}\left|\pi_{i}\left(y_{j}\right)\right|^{s_{i}},j=1,2,\ldots,k

Se vede că cel mult $n_{1}^{\prime\prime}+n_{2}^{\prime\prime}+\cdots+n_{u}^{\prime\prime}+n_{u+1}n_{u+2}+\cdots+n_{t}$ coefis cienți $\lambda_{j}^{\prime}$ se anulează şi cel puțin $k^{\prime}=k-\left(n+n_{2}+\cdots+n_{t}^{\prime}+n_{1}^{\prime}+n_{2}^{\prime}+\cdots+\right.+n_{u}^{\prime}>n_{1}^{\prime}+n_{2}^{\prime}+\cdots+n_{u}^{\prime}$ sînt pozitivi. Pt. $1^{0}$ al teoremei 3 se aplică funcs tionalei (24) şi sistemul de polínoame $\pi_{1}^{\prime},\pi_{2}^{\prime},\ldots,\pi_{u}^{\prime}$ coincide în mod necesar ^cu un sistem minimízant pentru functionala (24), pentru puterile $s_{1},s_{2},\ldots,s_{u}$ carora corespund respectiv gradele $n_{1}^{\prime},n_{2}^{\prime},\ldots,n_{u}^{\prime}$ . Pentru a arăta acest lucru să presupunem contrariul şi fie atunci $\pi_{1}^{*},\pi_{c}^{*},\ldots,\pi_{u}^{*}$ un sistem minimizant corespunzător functionalei $\mathrm{A}_{1}[f]$ . Avem
$\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{u}\left|\pi_{i}^{*}\pi_{i}^{\prime\prime}\right|^{s_{i}}\prod_{i=u+1}^{t}\left|\pi_{i}\right|^{s_{i}}\right]=\mathrm{A}_{1}\left[\prod_{i=1}^{u}\left|\pi_{i}^{*}\right|^{s_{i}}\right]<\mathrm{A}_{1}\left[\prod_{i=1}^{u}\left|\pi_{i}^{\prime}\right|^{s_{i}}\right]=\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|^{s_{i}}\right]$
deci

\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{u}\left|\pi_{i}^{\star}\pi_{i}^{\prime\prime}\right|s_{i}\prod_{i=u+1}^{t}\left|\pi_{i}\right|^{s}i\right]<\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|s_{i}\right]

ceea ce contrazice ipoteza că $\pi_{i},i=1,2,\ldots,t$ este un sistem minimizant.

13. Pe baza observațiilor de mai sus, pentru a demonstra pentru $2^{\circ}$ al teoremei 3 este destul să presupunem $t=1$ , ceea ce simplifică raționamentul.

Fie atunci $\pi\in P_{n}$ un polinom minimizant. Să presupunem că $\pi$ nu ar avea toate rădăcinile reale. Atunci acest polinom are un factor real de forma $(x-a)^{2}+b^{2}$ , unde $b\neq 0$ .

Să punem

\pi(x)=\bigl[(x-a)^{2}+b^{2}\bigr]Q(x),\quad\pi_{1}(x)=(x-a)^{2}Q(x).

Atunci $\pi_{1}\in P_{n}$ și $|\pi_{1}|\leq|\pi|$ pentru orice $x$ . Însă inegalitatea strictă $|\pi_{1}|<|\pi|$ este verificată pe cel puțin unul din punctele $y_{i}$ .

Prin urmare,

A\bigl[|\pi_{1}|_{1}\bigr]<A\bigl[|\pi|_{1}\bigr],

ceea ce contrazice ipoteza că $\pi$ este un polinom minimizant.

Cu aceasta, pt. $2^{0}$ al teoremei 3 este demonstrat.
14. Pentru a demonstra pt. $3^{0}$ al teoremei 3 , pe baza celor stabilite la nr. 12, 13, este destul a considera numai cazul $t=2,n_{1}=n_{2}=1$ . Dacă atunci $\pi_{1},\pi_{2}$ este un sistem minimizant, trebuie să arătăm çă $\pi_{1}\neq\pi_{2}$ . Sa presupunem contrariul, decí cá am avea $\pi_{1}=\pi_{2}=\pi$ si fie $\psi(\epsilon)=\mathrm{A}\left[\left|\pi+s_{2}\epsilon\right|{}^{s_{1}}\left|\pi-s_{1}\epsilon\right|s_{2}\right]$ . Atunci $\psi(\epsilon)$ este o funcfie continuă și are o derivată contínux în $\epsilon\left(s_{1},s_{2}>1\right)$ .
Avem
(25) $\frac{d\psi}{d\epsilon}=-s_{1}s_{2}\left(s_{1}+s_{2}\right)\epsilon\mathrm{A}\left[\left|\pi+s_{2}\epsilon\right|^{s_{1}-1}\left|\pi-s_{1}\epsilon\right|^{s_{2}-1}sg\left(\pi+s_{2}\epsilon\right)\left(\pi-s_{1}\epsilon\right)\right]$

Insă

\mathrm{A}\|\pi+s_{2}\epsilon\left|s_{1}-1\right|\pi-\left.s_{1}\epsilon\right|^{s_{2}-1}\operatorname{sg}\left(\pi+s_{2}\epsilon\right)\left(\pi-s_{1}\epsilon\right)\mid>0,

pentru $|\epsilon|$ destul de mic, desarece membrul întîi este o functíe continuä de $\epsilon$ care pentru $\epsilon=0$ se reduce la $A\left[|\pi|s_{1}+s_{2}-2\right]>0$ . Din (25) rezultă deci sg $\frac{d\psi}{d\epsilon}=-$ sg $\epsilon$ , pentru $|\epsilon|$ destul de mic, ceea ce ne arată cá $\Psi(\epsilon)$ are un maximum relativ strict pentru $\epsilon=0$ . Pentru $|\epsilon|$ destul de mic dar $\neq 0$ avem decí

\mathbb{A}\left[\left|\pi+s_{2}\in\right|^{s_{1}}\left|\pi-s_{1}\in\right|^{s_{2}}\right]<\mathbb{A}\left[|\pi|{}^{s_{1}}+s_{2}\right]

ceea ce contrazice ipoteza că $\pi_{1}=\pi_{2}=\pi$ este un sistem minimizant. Cu aceasta am demonstrat că $\pi_{1}\neq\pi_{2}$ şi deci pt. $3^{0}$ al teoremei 3 .
15. Fie $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ rădăcinile polínomului $\pi_{1}\pi_{2}\ldots\pi_{t}$ , atunci
(26)

\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|^{s}i\right]=\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{n}\left|x-x_{i}\right|^{s^{\prime}i}\right]

este o functíe continuă de $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ . Pe baza rezultatelor precedente, în orice punct unde marginea inferioara (17) este atínsă, avem un minimum relativ al functiei. Dacà puterile $s_{1},s_{2},\ldots,s_{t}$ sînt toate $>1$ , aceste minime sînt atinse numaí pentru valori diferite ale variabilelor $x_{i}$ . In acest caz
insă functía (26) este derivabíla și decí, în aceste puncte, derivatele par: țiale de ordínul întîi ale funcţiei (26) sînt nule. Avem ⁶ )

		$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_{i}}\mathrm{~A}\left[\prod_{i=1}^{t}\left\|\pi_{i}\right\|^{si}\right]=s_{i}^{\prime}\mathrm{A}\left[\prod_{\begin{subarray}{c}j=1\\ j\neq i\end{subarray}}^{n}\left\|x-x_{j}\right\|^{s^{\prime}j}\cdot\left\|x-x_{i}\right\|^{s^{\prime}i}-1\operatorname{sg}\left(x-x_{i}\right)\right]=$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle s_{i}^{\prime}\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{t}\left\|\pi_{i}\right\|^{s}i^{-1}\cdot\operatorname{sg}\left(\prod_{i=1}^{t}\pi_{i}\right)\cdot\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{i-1}\right)\left(x-x_{i+1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)\right],$

de unde rezultă pt. $4^{0}$ al teoremeí 3 , observînd că în condiţiile de aicí polinoamele (i1) sînt liniar independente.
16. Enuntul pt. $5^{0}$ al teoremei 3 constituie, sub o formă mai com= pletă, o reciproca a proprietăți precedente în sensul că pt. $3^{0}$ rezultă dín pt. $4^{0}$ . De altfel proprietatea este ceva mai generală şi se poate enunța astfel:

Teorema 4. $\mathrm{A}[f]$ fiind o funcțională liniară de forma (16) cu punctele $y_{i}$ distincte și cu numerele $\lambda_{i}$ toate pozitive, iar $s_{1},s_{2},\ldots,s_{i}$ un sistem de puteri toate $>1$ și $n_{1},n_{2},\ldots,n_{t}$ un sistem de grade corespunzătoare, cu suma lor $n<k$ , dacă polinoamele $\pi_{i}\in P_{n_{i}},i=1,2,\ldots,t$ verifică egalitatea (19) pentru orice polinom $\mathrm{Q}(x)$ de gradul $n-1$ , atunci toate rădăcinile polinomului (18) stht reale, distincte si separate de punctele $y_{i}$ , $i=1,2,\ldots,k$ .

Proprietatea de separare dín enunţ însemneazá că dacă presupunem punctele $y_{i}$ aranjate în ordine crescatoare, deci $y_{1}<y_{2}<\cdots<y_{k}$ , avem $\pi\left(y_{1}\right)\neq 0,\pi\left(y_{k}\right)\neq 0$ iar şirul

\pi\left(y_{1}\right),\pi\left(y_{2}\right)\ldots.,\pi\left(y_{k}\right)

(27)

prezintă (după suprimarea eventualílor termeni nuli) exact $n$ variaţíi de semn.

Observam întîi că, polinomul $\pi$ fínd de gradul $n$ , şírul (27) pre: zintă cel mult $n$ varía ii de semn. In plus, daca $\pi\left(y_{1}\right)=0,\pi\left(y_{k}\right)\neq 0$ sau dacă $\pi\left(y_{1}\right)\neq 0,\pi\left(y_{k}\right)=0$ cel mult $n-1$ , iar dacă $\pi\left(y_{1}\right)=\pi\left(y_{k}\right)=0$ cel mult $n-2$ variațíi de semn. In fine observăm că dín $n<k$ rezultă că cel putin un termen al şirului (27) este diferit de zero.

Să presupunem acum cá şirul ar prezenta numaí $n^{\prime}<n$ variatii de semn si fie

\pi\left(y_{j_{1}}\right),\pi\left(y_{j_{2}}\right),\ldots,\pi\left(y_{j_{n^{\prime}+1}}\right),j_{1}<j_{2}<\cdots<j_{n^{\prime}+1}

un subşir al lui (27) care prezintä exact $n^{\prime}$ variații de semn. Fie $i_{v}$ cel maí mic număr natural astfel ca $\pi\left(y_{jv}\right)\pi\left(y_{jv+iv}\right)<0$ . Astfel $1\leq i_{v}\leq j_{v+1}-j_{v}$ , $v=1,2,\ldots,n^{\prime}$ . Sa luăm punctele $\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n^{\prime}}$ astfel ca $y_{j_{v}}<\xi_{v}<y_{jv+i_{v}}$ , $v=1,2,\ldots,n^{\prime}$ și să consíderăm polinomul $\left.\mathrm{Q}(x)=\pi\left(y_{jn^{\prime}+1}\right)\left(x-\xi_{1}\right)x-\xi_{2}\right)\ldots\left(x-\xi_{n^{\prime}}\right)$ care este de gradul $n^{\prime}\leq n-1$ și care nu se anulează pe nící unul dín punctele $y_{i}$ . Din felul cum au fost alese punctele $\xi_{v}$ , rezultă că avem $si\pi\left(y_{j}\right)\mathrm{Q}\left(y_{t}\right)\geq 0,i=1.2,\ldots,k$ , si avem atuncí

6.

Avem
$\frac{d|x|s}{dx}=s|x|s-1$ sgx pentru $s>1$ si $\frac{d^{2}|x|s}{dx^{2}}=s(s-1)|x|s-2$ pentru $s\geq 2$

\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|^{s_{i}-1}(\mathrm{sg}\pi)\mathrm{Q}\right]=\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|s_{i}-1|\mathrm{Q}|\right]>0

in contradictíe cu egalitatea (19).
Cu aceasta, teorema 4 este demonstratĕ. Ea generalizează o propries tate stabilita mai de mult pentru $t=1,s_{1}=2$ [7].
17. Teorema 3 și rezultatele precedente ne arată cá problema de mínimum tratata revine totdeauna la cazul partícular cînd gradele cores punzatoare puterílor sint toate egale cu 1 .

Dacă pentru prescurtare notăm $\mathrm{cu}\mu^{s_{1}},s_{2},\ldots,s_{t}$ numărul (17) cînd toate gradele $n_{1},n_{2},\ldots,n_{t}$ sint egale cu 1 , avem

\mu^{s_{1}},s_{2},\ldots,s_{t}<\mu^{s_{2}}+s_{2},s_{3},s_{4},\ldots,s_{t}\quad(t>3)

şi în partícular $\mu^{s_{1}},s_{2},\ldots,s_{t}<\mu^{s_{1}}+s_{2}+\cdots+s_{t}$ .
In particular cazurile $t=1$ si $s_{1}=s_{2}=\cdots=s_{t}$ sint echivalente în sensul precedent.

Pentru a preciza unicitatea sistemuluí minimizant trebuie să spunem că nu se consideră ca distincte două sisteme de polínoame minimizante în care pentru fiecare grup de puteri egale, produsul polinoamelor $\pi_{i}$ este acelaşi.

Se știe că sistemul minímízant este unic dacă puteríle sînt egrale si $>1$ [3].

Dacă puterile $s_{i}$ nu sînt toate egale, unicitatea nu mai are loc in general după cum va rezulta din exemplele de la $\mathdollar 4$ . Tot aceste exemple ne arată că proprietatea exprimată de pt. $4^{0}$ al teoremei 3 nu caracterín zează sistemele minimizante, cu alte cuvinte, există și polinoame (18) pentru care proprietatea de ortogonalitate $4^{0}$ a teoremei 3 este veriffcată dar care nu sint formate cu un sistem minimizant.

Dacá puterile $s_{1},s_{2},\ldots,s_{t}$ sint toate $\geq 2$ , deci şi $s_{i}^{\prime}\geq 2,i=1,2,\ldots,n$ putem uşor demonstra că oríce sistem de polinoame $\pi_{i},i=1,2,\ldots,t$ care verificá propríetatea $4^{\circ}$ a teoremei 3 , decí in particular polínoamele mini= mizante, corespund la minime relative stricte ale funcției (26). Intrsadevăr, în acest caz, functía (26) are și derivate partiale de ordínul al doilea sí avem.

\begin{gathered}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}\mathrm{~A}\left[\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|^{s_{i}}\right]=s_{i}^{\prime}\left(s_{i}^{\prime}-1\right)\mathrm{A}\left[\left(\prod_{\begin{subarray}{c}j=1\\ j\neq i\end{subarray}}^{n}\left|x-x_{i}\right|^{s^{\prime}j}\right)\left|x-x_{i}\right|^{s^{\prime}i-2}\right]>0\\ i=1,2\ldots.,n\end{gathered}

(28)

\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\mathrm{~A}\left[\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|^{s_{i}}\right]=

$=s_{i}^{\prime}s_{j}^{\prime}\mathrm{A}\left[\left(\prod_{\begin{subarray}{c}v=1\\ v\neq i,v\neq j\end{subarray}}^{n}\left|x-x_{v}\right|^{s^{\prime}v}\right)\left|x-x_{i}\right|^{s^{\prime}{}_{i}-1}\left|x-x_{j}\right|^{s^{\prime}j^{-1}}\mathrm{sg}\left(x-x_{i}\right)\left(x-x_{j}\right)\right]=$
$=s_{i}^{\prime}s_{j}^{\prime}\mathrm{A}\mid\left(\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|^{s_{i}-1}\right)\left(\mathrm{sg}\prod_{i=1}^{t}\pi_{i}\right)\left(x-x_{1}\right)\ldots\left(x-x_{i-1}\right)\left(x-x_{i+1}\right)\ldots\left(x-xj_{-1}\right)$ .
$\left.\cdot\left(x-x_{j+1}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)\right]\quad i=1,2,\ldots,j-1,j=2,3,\ldots,n$ .

Pe baza proprietâtii de ortogonalitate (19) în punctele considerate, toate derivatele (28) sint nule șí proprietatea enunțată rezultă. În cazul când $n>k$ , este evident că, în sensul de mai sus, există o infinitate de sisteme minimizante.

Dacă $n=k$ , unicitatea nu are loc, în sensul de mai sus, decât dacă puterile sunt egale.

Este de observat că pentru $4^{\circ}$ al teoremei 3 subsistă și în cazul $n\geq k$ , chiar cu reciproca sa, în sensul că, dacă (19) are loc pentru orice polinom $Q(x)$ de gradul $n-1$ , sistemul $\pi_{i},i=1,2,\ldots,t$ este minimizant.

Într-adevăr, să presupunem că sistemul nu ar fi minimizant, deci că polinomul (18) nu s-ar anula pe toate punctele $y_{i}$ . Fie, pentru fixarea ideilor, $\pi(y_{k})\neq 0$ . Avem atunci…

\begin{gathered}A\left[\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\right|^{s_{i}-1}\cdot(\operatorname{sg}\pi)\left(x-y_{1}\right)\left(x-y_{2}\right)\ldots\left(x-y_{k-1}\right)\right]=\\ =\lambda_{k}\prod_{i=1}^{t}\left|\pi_{i}\left(y_{k}\right)\right|^{s_{i}-1}\operatorname{sg}\left(\pi\left(y_{k}\right)\right)\cdot\left(y_{k}-y_{1}\right)\left(y_{k}-y_{2}\right)\ldots\left(y_{k}-y_{k-1}\right)\neq 0\end{gathered}

ceea ce contrazice egalitatea (19).

§ 3. Existenta unor formule de tip Gauss.

18.

Avem întai următoarea:

Teorema 5. Pentru orice functională liniarä $\mathrm{A}[f]$ de forma (16), cu punctele $y_{i}$ distincte si cu numerele $\lambda_{i}$ toate pozitive, relativ la orice numar natural $n<k$ si la orice sistem de ordine de multiplicitate $r_{1},r_{2},\ldots.r_{n}$ format din numere impare, există cel putin o formulă (8) de tip Gauss.

Ipoteza ca numerele $r_{1},r_{2},\ldots,r_{n}$ să fie toate impare este esențială după cum rezultă uşor pe baza unor consideraţî analoage cu cele făcute la nr. 7.

Teorema 5 rezultă din teorema 3. Pentru a vedea acest lucru este destul sı luăm $t=n$ , puterile $s_{1},s_{2},\ldots,s_{n}(\geq 2)$ respectiv egale cu $r_{1}+1,r_{2}+1,\ldots,r_{n}+1$ și gradele corespunzătoare toate egale cu 1 . Dacă (2) sînt rădăcinile polinomului (18) corespunzător unuí sistem minimizant, avem

l(x)=\prod_{i=1}^{n}\left|x-x_{i}\right|^{s_{i}-1}\operatorname{sg}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)

si conditía (19) se reduce la ortogonalitatea polinomului $l(x)$ cu orice polinom de gradul $n-1$ .

In felul acesta, fiecărui sístem minimizant îi corespunde o formulă (8) de tip Gauss.
19. Să revenim la o funcțională liniara $\mathbb{A}[f]$ de ordín de pozitivitate $k$ , aşa cum a fost aceasta definită la nr. 7. Evident că dacă $\mathbb{A}[f]$ are ordinul de pozitivitate $k$ , el are sí ordinul de pozitivitate $k^{\prime}$ pentru orice $k^{\prime}<k$ .

Dacá introducem momentele

\alpha_{i}=\mathrm{A}\left[x^{i}\right],i=0,1,\ldots

(29)

și determinanții lui Hankel

A_{j}=\left\|\alpha_{\lambda+\mu}\right\|_{\lambda,\mu=0,1,\ldots,j},\quad j=0,1,\ldots

corespunzători, condiția necesară și suficientă ca funcționala $A[f]$ să aibă ordinul de pozitivitate $k$ este ca să avem…

A_{j}>0,j=0,1,\ldots,k-1,

sau, ceea ce este echivalent, ca forma patratica $\sum_{i,j=0}^{k-1}\alpha_{i+j}\xi_{i}\xi_{j}$ sä fie definită și pozitivă.

Este clar că în general determinarea formulelor de tip Gauss nu dea pinde decit de rapoartele mutuale ale primilor $p+n+1$ momente $\alpha_{i}$ , $i=0,1,\ldots,p+n$ ale lui $\mathrm{A}[f]$ . Mai precis în determinarea formulelor de tip Gauss se poate face abstractíe de o transformare liniară a varíabilei $x$ șí de un factor constant diferit de zero al functionalei $\mathrm{A}[f]$ . De altfei această observație este valabila în general pentru formulele de forma (3) care prín transform ^∗ íle indícate își păstrează forma şi gradul de exactítate.

Dacă $\mathrm{A}[f]$ este o functională líniară de ordín de pozitivitate $k$ , există un polinom $\rho_{k}\in P_{k}$ si unul singur care este ortogonal cu orice polinom de gradul $k-1$ . Acesta este polinomul ortogonal de gradul $k$ ataşat functio naleí $\mathrm{A}[f]^{7}$ ).

Polínomul $\rho_{k}$ are toate rădăcíníle reale și distíncte. Intradevar, in cazul contrar, acest polinom ar trebui sa aibä un dívizor de forma $(x-a)^{2}+b^{2}$ ( $a,b$ realí). Dacă atunci $p_{k}=\left[(x-a)^{2}+b^{2}\right]\mathrm{Q}$ , Q este un polinom de gradul $k-2$ și avem $\AA \left[\rho_{k}\mathrm{Q}\right]=\mathrm{A}\left[((x-a)\mathrm{Q})^{2}\right]+b^{2}\mathrm{~A}\left[\mathrm{Q}^{2}\right]>0$ , ceea ce contra= zice proprietatea de ortogonalitate.

E clar că polínomul $\rho_{k}$ nu depinde decit de prímele $2k$ momente $\alpha_{i},i=0,1,\ldots,2k-1$ ale lui $\mathrm{A}[f]$ .

In particular o functională de forma (16), în care $y_{i}$ sînt distinctí și $\lambda_{i}$ pozitivi, are gradul de pozitivitate $k$ . In acest caz $\rho_{k}(x)=\left(x-y_{1}\right)\left(x-y_{2}\right)\ldots\left(x-y_{k}\right)$ .

Dar avem şi un fel de reciproca a acestei proprietati în sensul ura mător. Dacă $y_{i},i=1,2,\ldots,k$ sint rădăciníle polinomului $\rho_{k}$ iar momentele (29) verifícă inegalitaţtile (30), există o funcțională liniară $\AA ^{(k)}[f]$ de forma (16), cu toți coeficiențíi $\lambda_{i}$ pozîtiví şi astfel ca să avem

\alpha_{i}=\mathrm{A}^{(t)}\left[x^{i}\right],i=0,1,\ldots,2k-1.

(31)

Intr-adevar, orice polinom $\mathrm{Q}(x)$ de gradul $k$ este de forma

\left.\mathrm{Q}(x)=a\rho_{k}(x)+\sum_{i=1}^{k}\frac{\rho_{k}(x)}{\left(x-y_{i}\right)\rho^{\prime}{}_{k}\left(y_{i}\right)}\mathrm{Q}y_{i}\right)

unde constanta $a$ este egală cu zero dacă şi numai dacă $\mathrm{Q}(x)$ este de gradul $k-1$ . Dacă $\mathrm{P}(x)$ este un polínom de gradul $2k-1$ , el este totdea $=$ una produsul a două polínoame (reale) $\mathrm{Q}(x),\mathrm{Q}_{1}(x)$ , primul de gradul $k$ si al doilea de gradul $k-1$ . Avem deci

		$\displaystyle\mathrm{P}(x)=\mathrm{Q}(x)\mathrm{Q}_{1}(x)=\left[a\rho_{k}(x)+\sum_{i=1}^{k}\frac{\rho_{k}(x)}{\left(x-y_{i}\right)\rho_{k}^{\prime}\left(y_{i}\right)}\mathrm{Q}\left(y_{i}\right)\right]$
		$\displaystyle{\left[\sum_{i=1}^{k}\frac{\rho_{k}(z)}{\left(x-y_{i}\right)\rho_{k}^{\prime}\left(y_{i}\right)}\mathrm{Q}_{1}\left(y_{i}\right)\right]=a\sum_{i=1}^{k}\rho_{k}(x)\frac{\rho_{k}(x)}{\left(x-y_{i}\right)\rho_{k}^{\prime}\left(y_{i}\right)}\mathrm{Q}_{1}\left(y_{i}\right)+}$

⁰⁰footnotetext: 7. Existenta si unicitatea poinomului

\rho_{k}

rezultă numai din

A_{k-1}\neq 0

. Dacă

A_{k-1}=0

un astfei de polinom sau nu există sau el nu este determinat in mod unic.

\begin{gathered}+\sum_{i=1}^{k}\left(\frac{\rho_{k}(x)}{\left(x-y_{i}\right)\rho_{k}^{\prime}y_{i}}\right)^{2}\mathrm{P}\left(y_{i}\right)+\\ +\sum_{\begin{subarray}{c}i,j=1\\ i\neq j\end{subarray}}^{k}\rho_{k}(x)\frac{\rho_{k}(x)}{\left(x-y_{i}\right)\left(x-y_{j}\right)\rho_{k}^{\prime}\left(y_{i}\right)\rho_{k}^{\prime}\left(y_{j}\right)}\mathrm{Q}\left(y_{i}\right)\mathrm{Q}_{1}\left(y_{j}\right)\end{gathered}

Dacá finem seamă de ortogonalitate, deducem

\mathrm{A}[\mathrm{P}]=\mathrm{A}^{(k)}[\mathrm{P}]=\sum_{i=1}^{ib}\lambda_{i}\mathrm{P}\left(y_{i}\right)

unde

\lambda_{i}=\mathrm{A}\left[\left(\frac{\rho_{k}(x)}{\left(x-y_{i}\right)\rho_{k}^{\prime}\left(y_{i}\right)}\right)^{2}\right]>0,i=1,2,\ldots,k

De aici rezulta, în particular, formulele (31).
Din analiza precedenta retinem:
Lema 4. – Dacă functionala liniară $\mathrm{A}[f]$ are ordinal de pozitivitate $k$ , se poate găsi o funcțională liniară $\mathrm{A}^{(k)}[f]$ de forma (16) cu toți coeficientii $\lambda_{i}$ pozitivi si astfel ca să avem $\mathrm{A}[f]=\mathrm{A}^{(l)}[f]$ , pentru orice polinom de gradul $2k-1$ .

Este uşor de vázut că functionala liniară $\AA ^{(k)}[f]$ este unică și este tocmaí cea determinată maí sus.
20. - Presupunem bineînțeles că dacă $\mathrm{A}[f]$ are ordínul de pozitís vitate $k$ , intervalu1 I conţine rădăcinile polínomuluí ortogonal de gradul $k$ atasat acestei functionale.

Putem face observatía că dacă $a$ este un numar astfel ca $\mathrm{A}\left[(x-a)\mathrm{Q}^{2}\right]>0$ , pentru orice polinom Q de gradul $k-1$ , rădăcinile polínomului $\rho_{k}$ sînt toate $>a$ . Intradevăr dacă $\rho_{k}$ ar avea o rădăcină $x_{0}\leq a$ , atunci dacă punem $\rho_{k}(x)=\left(x-x_{0}\right)\mathrm{Q}(x)$ , am avea $\mathrm{A}\left[\rho_{k}\mathrm{Q}\right]=\mathrm{A}\left[(x-a)\mathrm{Q}^{2}\right]++\left(\alpha-x_{0}\right)\mathrm{A}\left[\mathrm{Q}^{2}\right]>0$ , care centrazice ortogonalitatea. La fel se vede că dacă $\mathrm{A}\left[(x-b)\mathrm{Q}^{2}\right]<0$ , pentru orice ortog Q , nile lui $\rho_{k}$ sint toate $<b$ .

Astfel, de ex., functionalele clasice ale lui Jacobí, Laguerre și Hermite

I^{(\alpha,\beta)}[f]=\int_{-1}^{+1}(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}f(x)dx\quad(\alpha,\beta>-1)

(32)

L^{(\alpha)}[f]=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\alpha}f(x)dx\quad(\alpha>-1)

(33)

H[f]=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}f(x)dx

(34)

au ordinul de pozitivitate $k$ , pentru orice $k$ . In primul caz rădăcinile polís noamelor ortogonale sînt in intervalul ( $-1,1$ ), in al doilea in intervalul $(0,\infty)$ iar in al treilea caz in intervalul $(-\infty,+\infty)$ . In aceste cazurj este
deci destul să presupunem că I coincide respectiv cu aceste intervale.
In cazul functionalelor liniare pozitive rezultă in particular că rădă cinile polinoamelor ortogonale sînt în interiorul intervalului I .
21. - Revenind la problema noastrx, putem acum demonstra

Teorema 6. - Pentru orice functională liniară A [ $f$ ] care are ordinul de pozitivitate $k$ , relativ la orice număr natural si la orice sistem de ordine de multiplicitate $r_{1},r_{2},\ldots,r_{n}$ format numai din numere impare astfel ca $k\geq\frac{1}{2}(p+n+1)$ , există cel puțin o formulă (8) de tip Gauss.

Pentru a demonstra această teoremă este destul sà considerăm funca ţionala $\AA ^{(k)}[f]$ determinată de lema 4. Fie atunci (2) nodurile unei formule a lui Gauss relativă la funcționala $\AA ^{(t)}[f]\quad\mathrm{O}$ astfel de formulă există căci $k\geq n$ . Polinomul $l(x)$ este ortogonal cu orice polinom $\mathrm{Q}(x)$ de gradul $n-1$ faţa de functionala $\AA ^{(k)}[f]$ . Insă produsul $l(x)\mathrm{Q}(x)$ este de gradul $p+n\leq 2k-1$ , deci $\mathrm{A}[l\mathrm{Q}]=\mathrm{A}^{(lk)}[l\mathrm{Q}]=0$ . Polinomul $l(x)$ este deci ortogos nal cu orice polínom de gradul $n-1$ faţă de funcţionala $A[f]$ , ceea ce, pe baza teoremei 2, demonstrează proprietatea.

Se vede de asemenea că toate formulele de tip Gauss relative la funca ționala $A[f]$ se obtin în acest fel.

Egalítatea $k=n$ nu este posibilà decit dacă $r_{1}=r_{2}=\cdots=r_{n}=1$ . Atunci formula de tip Gauss este unică și are ca noduri tocmai rădăcinile polinomului $\rho_{k}$ ortogonal ataşat functionaleí $\mathrm{A}[f]$ . In afară de acest caz particular, in ipotezele indicate, nodurile oricărei formule de tip Gauss sînt separate de rădăcinile polinomului ortogonal $\rho_{k}$ ataşat functionaleí $\mathrm{A}[f]$ .

Observăm că, in condițiile teoremei 6, avem
(35)

\begin{gathered}\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)^{r_{i}+1}\right]=\\ =\mathrm{A}^{(k)}\left[\prod_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)^{r_{i}+1}\right]+\mathrm{A}\left[x^{p+n+1}\right]-\mathrm{A}^{(k)}\left[x^{p+n+1}\right].\end{gathered}

Se vede că asupra expresiei (35) se poate pune şi rezolva problema de minimum de la $\mathdollar 2$ , ca și in cazul functionalelor de forma (16). Este vorba bineinteles de problema de minimum care corespunde puterilor $r_{i}+1,i=1,2,\ldots,n$ si gradelor respective toate egale cu $1.{}^{8}$ ) Problema se reduce de altfel, pe baza egalitaţtif (35), la o problemă corespunzătoare pentru o funcțională de formă (16). Există deci, în partícular, formule de tip Gauss corespunzătoare sistemului minimizant al acestei probleme.

Dacă $\dot{A}[f]$ are ordinul de pozitivitate $k>\frac{1}{2}(p+n+1)$ , formula (35) se poate inlocui cu

\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)^{r_{i}+1}\right]=\mathrm{A}^{(k)}\left[\prod_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)^{r_{i}+1}\right]

In particular, o functionala linfara pozitivă are un ordin de pozitivitate $k$ pentru orice $k$ și deducem deci

⁰⁰footnotetext: 8. Marginea inferioară a acestei expresil nu mai este neapărat

\geq 0

Consecința 1. - Pentru orice functională liniară pozitivă, relativ la orice numär natural n şi la orice sistem de ordine de multiplicitate $r_{1},r_{2},\ldots,r_{n}$ format numai din numere impare, există cel putin o formulă de tip Gauss.

In acest caz nodurile unei formule de tip Gauss sînt in interiorul intervalului I și sînt separate de rădăcinile oricărui polinom ortogonal de gradul $k>\frac{1}{2}(p+n+1)$ atasat functionalei.

In particular (32), (33), (34) sînt functionale de acest fel.
Existenta formulelor de tip Gauss pentru cazul $r_{1}=r_{2}=\ldots=r_{n}=1\mathrm{~ms}$ par a fost demonstrată de P. Turán [12].
22.- Pentru restul $\mathrm{R}[f]$ al formulelor ⁽⁸⁾ de tip Gauss, avem

\mathrm{R}\left[x^{p+n+1}\right]=\mathrm{R}\left[l(x)\prod_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)\right]=\mathrm{A}\left[\prod_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)^{r_{i}+1}\right]

(36)

Rezultă că in condițiile teoremeí $6,\mathrm{R}\left[x^{p+n+1}\right]$ este cel mai mic, pen= tru și numai pentru formulele de tip Gauss care provín dín sistemele minímizante.

Dacă funcționala $A[f]$ are ordinul de pozitivitate $k>\frac{1}{2}(p+n+1)$ , toate formulele de tip Gauss au gradul de exactitate egal cu $p+n$ , deoarece, în acest caz dín (36) rezultă că $\mathrm{R}\left[x^{p+n+1}\right]>0$ .

Pe baza uneí observatii făcute la nr. 5 și pe baza expresiel bine cunoscute a restului formulei de interpolare a lui LagrangesHermite, restul $\mathrm{R}[f]$ al unei formule (8) de tip Gauss se poate scrie
(37)

\mathrm{R}[f]=

$=\mathrm{A}[\prod_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)^{r_{i}+1}[\underbrace{x_{1},x_{1},\ldots,}_{r_{1}+1}x_{1},\underbrace{x_{2},x_{2},\ldots,x_{2}}_{r_{2}+1},\ldots,\underbrace{x_{n},x_{n},\ldots,x_{n}}_{r_{n}+1},x;f]]$
folosind o notație convenabila a diferențelor dívizate, care se pot defíní astfel :
Fíe
(38)

\mathrm{V}\binom{f_{1},f_{2},\ldots,f_{m+1}}{z_{1},z_{2},\ldots,z_{m+1}}=\left\|f_{j}\left(z_{i}\right)\right\|_{i,j=1,2,\ldots,n+1}

determinantul valorilor functíilor $f_{i}=f_{i}(x),i=1,2,\ldots,m+1$ pe punctele $z_{1},z_{2},\ldots,z_{m+1}$ ( $i$ este indicele liniilor iar $j$ al coloanelor), cu conditia că dacá un grup de $v$ puncte $z_{i}$ sînt confundate, cele $v(>1)$ liníi coresa punzătoare conțin valorile functiilor si ale primelor lor $v-1$ derivate pe acest punct. In particular

\mathrm{V}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{m+}\right)=\mathrm{V}\binom{1,x,\ldots,x^{m}}{z_{1},z_{2},\ldots,z_{m+1}}

: este determinantul lui Vandermonde al numerelor $z_{1},z_{2},\ldots,z_{m+1}$ iar

\left[z_{1},z_{2},\ldots z_{m+1};f\right]=\frac{\mathrm{V}\binom{1,x_{1},\ldots,x^{m-1},f}{z_{1},z_{2},\ldots,z_{m+1}}}{\mathrm{~V}\left(z_{1},z_{2},\ldots,z_{m+1}\right)}

este diferența dívizată (de ordínul $m$ ) a funcției $f(x)$ pe nodurile $z_{1},z_{2},\ldots$ , $z_{m+1}$ .

In cazul important pentru aplícații, cînd $\mathrm{A}[f]$ este o functíonală lis niară pozitivă, din (37) rezultă că avem $\mathrm{R}[f]>0$ dacă $f(x)$ este o funcţie convexă de ordinul $p+n$ . Se ştie atunci că avem [8],
(39)

\mathrm{R}[f]=\mathrm{R}\left[x^{p+n+1}\right]\mathrm{D}_{p+n+1}[f]

unde, pentru prescurtare, notăm cu $\mathrm{D}_{m}[f]$ o díferențã dívízatã de ordínul $m$ al functiei $f(x)$ pe $m+1$ noduri distincte convenabile (depinzînd de functía $f$ ) dín interiorul intervalului I. Aceste noduri pot fi alese oricit de aproape unul de altul $[\mathbf{1,10}]$ .

Dacð, în partícular, funcția $f(x)$ admite o derivată de ordínul $p+n+1$ , avem

\mathrm{R}[f]=\frac{\mathrm{R}\left[x^{p+n+1}\right]}{(p+n+1)!}f^{(p+n+1)}(\xi),

(40)

unde $\xi$ este un punct convenabil al interiorului intervalului $I$ . De asemenea, dacă $f(x)$ are o derivată de ordinul $p+n$ care verifică o condiție Lipschitz ordinară cu constanta $M$ , avem (41)

|\mathrm{R}[f]|\leqq\frac{\left|\mathrm{R}\left[x^{p+n+1}\right]\right|}{(p+n+1)!}\mathrm{M}

In formulele (39), (40), (41), coeficientul $\mathrm{R}\left[x^{p+n+1}\right]$ se poate inlocui cu valoarea lui scoasă din (36),

In fine în acest caz maí observăm că în sensul delímitarii restului, cele mai precise formule de tip Gauss sînt acelea care corespund siste. melor minimizante.

In cazul particular cînd $k=n$ și functionala este de forma (16), for mula de tip Gauss (unică) se reduce la formula banală

\mathrm{A}[f]\approx\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}f\left(y_{i}\right)

cu restul identic nul. Gradul de exactitate al acestei formule este $+\infty$ .

§ 4. - Determinarea cîtorva formule de tip Gauss

23.
- •
  
  Pentru a uniformiza notațifile, cînd este vorba de o functio: nalà linfară $\mathrm{F}[f]$ , notăm cu litera greacă mică corespunzătoare, afectată de indíci, momentele $\varphi_{i}=\mathrm{F}\left[x^{i}\right],i=0,1,\ldots,\mathrm{cu}$ litera greacă mare cores punzătoare, afectată de indici, determinantii lui Hankel $\phi_{i,j}=\left\|\varphi_{i+\lambda+\mu}\right\|\lambda,{}^{1}=0,1,\ldots,j,i,j=0,1,\ldots$ si, in particular, $\Phi_{j}=\Phi_{o,j}j=0,1,\ldots$

De asemenea introducem momentele transformate $\varphi_{i,j}(\xi)=\mathrm{F}\left[(\xi-x)^{i}x^{j}\right]$ , $i,j=0,1,\ldots$ , unde $\xi$ este un parametru independent de $x$ . Avem atunci

\varphi_{i,j}(\xi)=\sum_{v=0}^{i}(-1)^{v}\binom{i}{v}\xi^{i-v}\varphi_{v+j}

Determinantul lui Hankel $\phi_{i,j}(\xi)=\left\|\varphi_{i+\lambda+\mu^{\mu},0}(\xi)\right\|_{\lambda,\mu_{a-0,1}\ldots,j}$ care este un polis nom în $\xi$ , se poate aduce, prín transformări elementare de línii și coloane, la alte forme remarcabile. Astfel, avem ( $0\leq r\leq i$ ).
unde punem

\delta_{i}^{v}(\xi)=\binom{i}{v}\xi^{i-v},v,i=0,1,\ldots,\left(\delta_{i}^{v}(\xi)=0,\text{ pentru }i<v\right)

In particular, pentru $r=i$ formula (42) devine

\Phi_{i,j}(\xi)=\left|\begin{array}[]{lllll}\varphi_{0}&\varphi_{1}&\ldots&\ldots&\ldots\\ \varphi_{1}&\varphi_{2}&\ldots&\ldots&\varphi_{i+j}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\varphi_{i+j+1}\\ \varphi_{j}&\varphi_{j+1}&&&\varphi_{i+2j}\\ \delta_{0}^{0}(\xi)&\delta_{1}^{0}(\xi)&\ldots&\ldots&\delta_{i+j}^{0}(\xi)\\ \delta_{0}^{1}(\xi)&\delta_{1}^{1}(\xi)&\ldots&\ldots&\delta_{i+j}^{1}(\xi)\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \delta_{0}^{t-1}(\xi)&\delta_{1}^{i-1}\left(\xi_{1}\right.&\ldots&\delta_{i+j}^{i-1}(\xi)\end{array}\right|

De asemenea formula este valabila pentru $r=0$ sub forma următoare:

\Phi_{i,j}(\xi)=\left|\begin{array}[]{ccccc}\varphi_{i,j}(\xi)&\varphi_{i,1}(\xi)&\ldots&\varphi_{i,j}(\xi)\\ \varphi_{i,1}(\xi)&\varphi_{i,2}(\xi)&\ldots&\varphi_{i,j+1}(\xi)\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \varphi_{i,j}(\xi)&\varphi_{i,j+1}(\xi)&\ldots&\varphi_{i,2j}(\xi)\end{array}\right|

Dacă acestui din urmă determinant îi aplícăm o formulă de transfor: mare cunoscută (a se vedea de ex, [11]), deducem:

\left.\phi_{i,j}(\xi)=\frac{1}{(j+1)!}\mathrm{F}_{t_{1},t_{2},\cdots,t_{j+1}}\left[\prod_{V=1}^{j+1}\left(\xi-t_{V}\right)^{i}\right)V^{2}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{j+1}\right)\right]

unde notăm $\mathrm{cu}\mathrm{F}_{t_{1},t_{2}},\cdots,t_{j+1}$ aplícarea succesivă a operatorului F la varías bilele $t_{1},t_{2},\ldots,t_{j+1}$ .
24. - Pentru a determina efectiv toate formulele de típ Gauss, este suficient sx rezolvăm sistemul care se obține din (10) dacă înlocuim pe Q cu $n$ polinoame de gradul $n-1$ liniar independente. Aceasta revine la rezolvarea sistemuluí (14) sau al unui sistem echivalent în sensul de la nr. 6.

Ne vom ocupa în special de cazul cînd $n>1,1\leqq u<n$ și $r_{u+1}=r_{u+2}==\ldots=r_{n}=1$ . Celelalte ordíne de multiplicitate $r_{1},r_{2},\ldots.r_{u}$ sînt numere impare (unele sau toate pot fi egale și cu 1).

Presupunînd că am obținut nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{u}$ , celelalte nodurí sînt determinate în mod unic ca rădăciníle polinomuluí ortogonal $\rho_{n-u}$ de grav dul $n-u$ ataşat functionalei ⁹ )

\mathrm{C}[\mathrm{f}]=\mathrm{A}\left[\left(\prod_{i=1}^{n}\left(x_{i}-xr_{i}+1\right)f\right]\right.

Polinomul $\rho_{n-u}$ se poate obține prin rezolvarea unui sistem liniar. Dacă punem

\rho_{n-n}=(-1)^{n-u}\sum_{v=0}^{n-u}d_{v}(\xi)(\xi-x)^{v}\quad\left(d_{n-n}(\xi)=1\right)

avem

\sum_{v=0}^{n-u}d_{v}(\xi)r_{i+v,0}(\xi)=0,\quad i=0,1\ldots,n-u-1

(43)

Functionala $\mathrm{A}[f]$ , avînd ordinul de pozitivitate $k\geq\frac{1}{2}(p+n+1)$ , functionala $\mathrm{C}[f]$ va avea ordinul de pozitivitate $k-\frac{1}{2}\left(r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{u}+u\right)\geq n-u$ și deci sistemul (43) are o solufie unícă bine determinată. Determis nantul acestui sistem este independent de $\xi$ şi este egal cu $\Gamma_{n-u}$ .
25.- Sistemul (43) este echívalent cu ultimele $n-u$ ecuații (14). Tínînd seamă de acest sistem, prímele $u$ ecuatji (14) le vom înlocui cu altele care vor conține numai varíabilele $x_{1},x_{2},\ldots,x_{u}$ .

Pentru aceasta considerăm funcţionala

\mathrm{C}^{(j)}[f]=\mathrm{A}\left[\prod_{\begin{subarray}{c}i=1\\ i\neq j\end{subarray}}^{u}\left(x_{i}-x_{i}r_{i}+1\right)f\right]

(44)

Atunci a $j^{a}$ ecuatíe (14) se poate scrie
(45)

\mathbb{C}^{(j)}\left[\left(x_{j}-x\right)^{r}j\rho_{u-n}^{2}\right]=0

Observăm acum că $\mathrm{C}[f]=\mathrm{C}^{(j)}\left[\left(x_{j}-x\right)^{r}j^{+1}f\right]$ deci $y_{i,0}\left(x_{j}\right)=r_{r}^{(j)}{}_{j+i+i,0}\left(x_{j}\right)$ , $i=0,1\ldots$ , aşa că pentru $\xi=x_{j}$ , sistemul (43) devine

⁰⁰footnotetext: 9. Putem inlocui pe

\left(x-x_{i}\right)^{r}i^{+1}\mathrm{cu}\left(x_{i}-x\right)^{r}i^{+1}

căci numerele

r_{i}+1

sint pare.

(40)

\sum_{v=0}^{n-u}d_{v}\left(x_{j}\right)r_{rj+1+i+v,0}^{(j)}\left(x_{j}\right)=0,\quad i=1,\ldots,n-u-1

Dacă acum ținem seamă de acest sístem, ecuațía (45) devine
(47)

\sum_{v=0}^{n-u}d_{v}\left(x_{j}\right)r_{rj+v,c}^{(j)}\left(x_{j}\right)=0

Eliminind pe $d_{v}\left(x_{j}\right),v=0,1,\ldots,n-u-1$ din cele $n-u+1$ ecuaţii (56 (47), găsim
(48)

\Gamma_{r_{j}^{\prime},n-u}^{(j)}\left(x_{j}\right)=0.

Dacă aíci facem $j=1,2,\ldots,u$ găsim un sistem care ne determină nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{u}$ .

Pe baza celor spuse la nr. 23, se maí poate scrie

\Gamma_{r_{j},n-u}^{(j)}\left(x_{j}\right)=\frac{1}{(n-u+1)!}C_{t_{1},t_{2},\ldots,t_{n-u}+1}^{(j)}\left[\prod_{\nu=1}^{n-u+1}\left(x_{j}-t_{\nu}\right)^{r_{j}}\right)

\left.V^{2}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n-u+1}\right)\right]

și dacă ținem seamă de (44),

\begin{gathered}\Gamma_{r_{j},n-u}^{(j)}\left(x_{j}\right)=\\ =\frac{1}{(n-u+1)!}\mathrm{A}_{t_{1},t_{2},\ldots,t_{n-u+1}}\left[\left(\prod_{\begin{subarray}{c}i=1\\ i\neq j\end{subarray}}^{u-u=1}\prod_{v=1}^{n-u+1}\left(x_{i}-t_{v}\right)^{r_{i}+1}\right)^{n-u+1}\left(x_{v=1}^{n-u+1}t_{v}\right)^{r}j\right)\\ \left..V^{2}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n-u+1}\right)\right]\end{gathered}

Odată nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{u}$ determinate din sistemul indicat, se poate găsi polinomul $\rho_{n-u}$ calculînd din sistemul (47) coefícienții $d_{v}\boldsymbol{x}_{j}{}^{\prime},v=0,1,\ldots$ …, $n-u-1$ . Se poate scríe acest polinom explicit cu ajutorul momens telor functíonalei $\mathrm{C}[f]$ . Avem

	Avem		(49)
	$\displaystyle\rho_{n-n}(x)=\frac{\Gamma_{1},n-u-1(x)}{\Gamma_{n-u-1}}$

Dacă $\mathrm{A}[f]$ are un ordin de pozitívitate $\geqq r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{u}+n$ , putem obține polinomul $\rho_{n-u}$ si cu ajutorul unei cunoscute formule a luí Chrisa toffel (vezi de ex. [11]). Pentru aceasta să notăm cu $\mathrm{P}_{m}(x)$ polinomul ortos gonal de gradul $m$ ataşat func ionalei $\mathrm{A}[f]$ . Acest polínom este bine determinat pentru $m\leq n+r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{u}$ .

Atunci polinomul $\rho_{n-u}(x)\prod_{i=1}^{u}\left(x-x_{i}\right)^{r}{}^{r+1}$ diferă numai príntrsun fac ^a tor constant de

StCeroStlasi,VI-1

\mathrm{V}\binom{\mathrm{P}_{n-u},\mathrm{P}_{n-u+1},\ldots.,\mathrm{P}_{n+r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{u}}}{\underbrace{x_{1},x_{1},\ldots.,x_{1}}_{r_{1}+1},\underbrace{x_{2},x_{2},\ldots,x_{2}}_{r_{2}+1},\ldots,\underbrace{x_{u},x_{u},\ldots,x_{u},x}_{r_{u}+1}}

26.

In particular, dacă $u=1$ , functionala $C^{(1)}[f]$ se reduce la $A[f]$ şi se deduce că nodul $x_{1}$ este o rădăcină a polínomuluí

	$\displaystyle A_{r_{1},n-1}(x)=$	$\displaystyle\left\|\begin{array}[]{llll}\alpha_{r_{1},0}(x)&\alpha_{r_{1},1}(x)&\ldots&\alpha_{r_{1},n-1}(x)\\ \alpha_{r_{1},1}&(x)&\alpha_{r_{1},2}(x)&\ldots\\ \cdot&\cdot&\alpha_{r_{1},n}(x)\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ \alpha_{r_{1},n-1}(x)&\alpha_{r_{1},n}(x)&\ldots&\alpha_{r_{1},2n-2}(x)\end{array}\right\|=$
	$\displaystyle\frac{1}{n!}A_{t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}}\left[\left(\prod_{\nu=1}^{n}\left(x-t_{\nu}\right)\right)^{\left.r_{1}1V^{2}\left(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}\right)\right]}\right.$	$\displaystyle=$

care, dacà $r_{1}=1$ , diferă numai príntrsun factor constant de polínomul or togonal de gradul $n$ ataşat functionalei $A[f]$ .

In ce priveşte calculul polínomului $\rho_{n-1}$ , in acest caz, putem aplica formula (49). Dacă $\AA [f]$ are un ordin de pozitivitate $\geq n+r_{1}$ avem

	$\displaystyle\mathrm{V}(\underbrace{\begin{array}[]{l}\mathrm{P}_{n-1},\mathrm{P}_{n},\ldots,\mathrm{P}_{n+r_{1}-1}\\ x_{1},x_{1},\ldots,x_{1}\end{array}}_{r_{1}+1})\rho_{n-1}(x)\left(x-x_{1}\right)_{r_{1}+1}=$		(50)
	$\displaystyle=\mathrm{V}\left(\begin{array}[]{l}\mathrm{P}_{n-1},\mathrm{P}_{n},\ldots,\mathrm{P}_{n+r_{1}}\\ x_{1},x_{1},\ldots,x_{1},x\\ r_{1}+1\end{array}\right)\cdot$

Din determinantul din membrul al doilea al formuleí (50) se poate uşor scoate factorul $\left(x-x_{1}\right)r_{1}+1$ căci, in prima linie elementul $\mathrm{P}_{n+i}(x)$ se poate inlocuí, pe baza celorlate $r_{1}+1$ linifi cu ( $i=-1,0,1,2,\ldots,r_{1}$ )
$\sum_{v=r_{1}+1}^{n+i}\frac{\left(x-x_{1}\right)^{v}}{v!}\mathrm{P}_{n+i}^{v}\left(x_{1}\right)=\left(x-x_{1}\right)^{r_{1}+1}\sum_{v=r_{1}+1}^{n+i}\frac{\left(w-x_{1}\right)^{v}-r_{1}-1}{v!}P_{n+i}^{(v)}\left(x_{1}\right)$
27. Putem calcula pe $R\left[x^{p+n+1}\right]$ relativ la restul formulelor de tip Gauss astfel obfinute. Din formulele (36), (44) deducem

\mathrm{R}\left[x^{p+n+1}\right]=\mathrm{C}^{(j)}\left[\left(x_{j}-x\right)^{r}j+1\rho_{n-u}^{2}\right]

şi daca ținem seama de (46) obținem

\left.\mathrm{R}\mid x^{p+n+1}\right]=\sum_{\nu=0}^{n-u}d_{\nu}\left(x_{j}\right)\gamma_{r^{\prime}j+1+n-u+\nu,0}^{(i)}\left(x_{j}\right)

(51)

(51), obtinem
(52)

\mathrm{R}\left[x^{p+n+1}\right]=\frac{\Gamma_{r_{j}^{\prime}+1,n-u}^{(j)}\left(x_{j}\right)}{\Gamma_{r_{j}+1,n-u-1}^{(j)}\left(x_{j}\right)}

Bineînțeles, în această formulă trebuie să înlocuim nodurile $x_{1},x_{2},\ldots$ , $x_{u}$ cu valorile lor calculate din sistemul care se deduce din (48) dacá fas cem $j=1,2,\ldots,u$ .

In partícular dacă $u=1$ , avem

\mathrm{R}\left[x^{p+n+1_{1}}\right]=\frac{Ar_{1+1,n-1}\left(x_{1}\right)}{Ar_{1+1,n-2}\left(x_{1}\right)}

In general calculul lui (51) este complicat. Numai daca $r_{1}=r_{2}=\ldots r_{u}=1$ (formula de típ Gauss este atunci unică) avem valoarea binecunosı cută (în acest caz $p=n-1$ )

\mathrm{R}\left[x^{2n}\right]=\frac{A_{n}}{A_{n-1}}

28.

Să considerăm cazul particular $n=2,r_{1}=3,r_{2}=1$ și sà pres supunem că $\mathrm{A}[f]$ are un ordin de pozitivitate $\geqq 3$ . Nodul $x_{1}$ este o ră: dăcină a ecuațieí

\left(\alpha_{0}\alpha_{2}-\alpha_{1}^{2}\right)x^{6}+3\left(\alpha_{1}\alpha_{2}-\alpha_{0}\alpha_{3}\right)x^{5}+3\left(\alpha_{1}\alpha_{3}+\alpha_{0}\alpha_{4}-2\alpha_{2}^{2}\right)x^{4}+\left(8\alpha_{2}\alpha_{3}-\right.

(53)

$\left.-7\alpha_{1}\alpha_{4}-\alpha_{0}\alpha_{5}\right)x^{3}+3\left(\alpha_{2}\alpha_{4}+\alpha_{1}\alpha_{5}-2\alpha_{3}^{2}\right)x^{2}+3\left(\alpha_{3}\alpha_{4}-\alpha_{2}\alpha_{5}\right)x+\alpha_{3}\alpha_{5}-\alpha_{+}^{2}=0$
Nodul $x_{2}$ este dat de formula

x_{2}=\frac{\alpha_{1}x_{1}^{3}-3\alpha_{2}x_{1}^{2}+3\alpha_{3}x_{1}-\alpha_{4}}{\alpha_{0}x_{1}^{3}-3\alpha_{1}x_{1}^{2}+3\alpha_{2}x_{1}-\alpha_{3}}

iar numărul $\mathrm{R}\left[x^{6}\right]$ de

		$\displaystyle R\left[x^{6}\right]=\alpha_{2}x_{1}^{4}-4\alpha_{3}x_{1}^{3}+6\alpha_{4}x_{1}^{2}-4\alpha_{5}x_{1}+\alpha_{6}-$
		$\displaystyle\quad-\frac{\left(\alpha_{1}x_{1}^{4}-4\alpha_{2}x_{1}^{3}+6\alpha_{3}x_{1}^{2}-4\alpha_{4}x_{1}+\alpha_{5}\right)^{2}}{\alpha_{0}x_{1}^{4}-4\alpha_{1}x_{1}^{3}+6\alpha_{2}x_{1}^{2}-4\alpha_{3}x_{1}+\alpha_{4}}$

Ecuația (53) are cel puțin două rădăcini reale, deoarece, pe baza ipotezelor făcute, ea este de grad par și are cel puțin o rădăcină reală¹⁰. Avem deci cel puțin două formule de tip Gauss, dintre care însă, în general, numai una corespunde sistemului minimizant.

Pentru a arăta acest lucru, este suficient să particularizăm în mod convenabil momentele $\alpha_{0}=1,\ \alpha_{1}=0,\ \alpha_{2}=4,\ \alpha_{3}=24,\ \alpha_{4}=200,\ \alpha_{5}=-408$ .

Atunci ecuația (53) se reduce la

(x^{2}+2x-8)(x^{4}-20x^{3}+174x^{2}-214x+1556)=0,

care are numai două rădăcini reale, pe $2$ și $-4$ . Acestea sunt valorile nodului $x_{1}$ în cele două formule de tip Gauss corespunzătoare.

Valorile nodului $x_{2}$ sunt $-13$ , $5$ , iar valorile lui $R[x^{6}]$ sunt $-12920+\alpha_{6}$ , respectiv $-10760+\alpha_{6}$ .

Cele două formule de tip Gauss se pot scrie

		$\displaystyle A[f]\approx\frac{1}{3375}\left[\left(3367f(2)-6630f^{\prime}(2)+12600f^{\prime\prime}(2)+8f(-13)\right]\right.$
		$\displaystyle A[f]\approx\frac{1}{729}\left[593f(-4)+1696f^{\prime}(-4)+1782f^{\prime\prime}(-4)+136f(5)\right]$

Prima formulă singură corespunde unuí sistem minimizant.
29. Vom zice că funcționala $\mathrm{A}[f]$ este simetrică de ordinul $k$ dacă prin o transformare liniara a variabilei $x$ putem face ca momentele cu indici impari $\alpha_{2i-1},i=12,\ldots,k$ să devină nule. Astfel de functionale sînt, de ex., acelea de forma $\int^{j}\rho(x)f(x)dx$ , unde $a,b$ sînt finiţi iar func ţia $\rho(x)$ verificá propríetatea $\rho(x)=\rho(b+a-x)$ . De asemenea funca tionalele de forma $\int_{-\infty}^{\infty}\rho(x)f(x)dx$ , unde $\rho(x)$ este o funcţie para.

Revenind la cazul $n=2$ . $r_{1}=3,r_{2}=1$ studiat mai sus, să presus punem că functionala $\mathrm{A}[f]$ are un ordin de pozitivitate $\geq 3$ și $\alpha_{5}=0$ sí un ordin de simetrie $\geqq 3$ . Putem să presupunem atunci $\alpha_{1}=\alpha_{3}=\alpha_{5}=0$ şi ecuaţia (53) devine

\alpha_{0}\alpha_{2}x^{6}+3\left(\alpha_{0}\alpha_{4}-2\alpha_{2}^{2}\right)x^{4}+3\alpha_{2}\alpha_{4}x^{2}-\alpha_{4}^{2}=0

(54)

In condițiile în care sîntem ( $\alpha_{0}>0,\alpha_{2}>0,\alpha_{0}\alpha_{4}-\alpha_{2}^{2}>0$ ) se verís fică imediat că această ecuație nu are decit două rădăcini reale inegale şi egale în valoare absoluta ¹¹ ). Avem deci două formule de típ Gauss cu acelaşi $\mathrm{R}\left[x^{6}\right]$ .

In particular, pentru functionala $J^{(0,0)}[f]$ , avem $\alpha_{0}=2,\alpha_{2}=\frac{2}{3}$ , $\alpha_{4}=\frac{2}{5}$ sj rădăcinile ecuației (54) sînt $\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}$ . Făcînd calculele, obțis nem formula de tip Gauss

\begin{gathered}f^{(0,0)}[f]=\frac{1}{128}\left[175f\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)-\frac{40}{\sqrt{5}}f^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+\frac{32}{3}f^{\prime\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+81f\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\right]+\\ +\frac{128}{1575}\mathrm{D}_{6}[f]\end{gathered}

și o a doua formulă de tip Gauss, cu acelaşi rest, care se deduce dín aceasta inlocuind pe $\sqrt{5}\mathrm{cu}-\sqrt{5}$ .
30. Vom considera și cazul cînd $n=3,r_{1}=3,r_{2}=r_{3}=1$ , presus punind că $A[f]$ are un ordin de pozitivitate $\geq 4$ și un ordin de simetríe $\geq 4$ . Atunci putem presupune $\alpha_{1}=\alpha_{3}=\alpha_{5}=\alpha_{7}=0$ si nodul $x_{1}$ este 0 rădăcină a ecuațieí

⁰⁰footnotetext: 11. Pentru discutie este destul să presupunem

\alpha_{0}=\alpha_{2}=1

. Atunçi dacă

\alpha_{4}\geq 2

, proprietatea rezultă din regula semnelor lui Descartes iar dacă

1<\alpha_{4}<2

din faptul că derivata ecuatièi in

x^{2}

nu are rădăcinile reale.

(55)

		$\displaystyle\alpha_{2}\left(\alpha_{0}\alpha_{4}-\alpha_{2}^{2}\right)x^{9}+3\left(\alpha_{2}^{2}\alpha_{4}-2\alpha_{0}\alpha_{4}^{2}+\alpha_{0}\alpha_{2}\alpha_{6}\right)x^{7}+3\left(3\alpha_{2}\alpha_{4}^{2}-4\alpha_{2}^{2}\alpha_{6}+\right.$
		$\displaystyle\left.+\alpha_{0}\alpha_{4}\alpha_{6}\right)x^{5}+\left(11\alpha_{2}\alpha_{4}\alpha_{6}-10\alpha_{4}^{3}-\alpha_{0}\alpha_{6}^{2}\right)x^{3}+3\alpha_{6}\left(\alpha_{4}^{2}-\alpha_{2}\alpha_{6}\right)x=0.$

Deoarece $\alpha_{2}(\alpha_{0}\alpha_{4}-\alpha_{2}^{2})>0$ , $\alpha_{6}(\alpha_{4}^{2}-\alpha_{2}\alpha_{6})<0$ , această ecuație are cel puțin 3 rădăcini reale și anume rădăcina $0$ și alte două diferite și egale în valoare absolută¹². Avem deci cel puțin trei formule de tip Gauss.

Celelalte două noduri sunt rădăcinile polinomului ortogonal de gradul $2$ atașat funcționalei $C[f]$ corespunzătoare.

Afară de un factor constant diferit de zero, acest polinom, pe baza formulei (49), se poate scrie sub forma

\begin{gathered}{\left[\left(\alpha_{0}x_{1}^{4}+6\alpha_{2}x_{1}^{2}+\alpha_{4}\right)x+4\left(\alpha_{2}x_{1}^{3}+\alpha_{4}x_{1}\right)\right]\left[\left(\alpha_{2}x_{1}^{4}+6\alpha_{4}x_{i}^{3}+\alpha_{6}\right)x+4\left(\alpha_{4}x_{1}^{9}+\right.\right.}\\ \left.\left.+\alpha_{6}x_{1}\right)\right]-\left[4\left(\alpha_{2}x_{1}^{3}+\alpha_{4}x_{1}\right)x+\alpha_{2}x_{1}^{4}+6\alpha_{4}x_{1}^{2}+\alpha_{6}\right]^{2}\end{gathered}

Numarul $R\left[x^{8}\right]$ relativ la restul formulei este egal cu

$\frac{\left|\begin{array}[]{ccr}\alpha_{0}x_{1}^{4}+6\alpha_{2}x_{1}^{2}+\alpha_{4}&4\alpha_{2}x_{1}^{3}+4\alpha_{4}x_{1}&\alpha_{2}x_{1}^{4}+6\alpha_{4}x_{1}^{2}+\alpha_{6}\\ 4\alpha_{2}x_{1}^{3}+4\alpha_{4}x_{1}&\alpha_{2}x_{1}^{4}+6\alpha_{4}x_{1}^{2}+\alpha_{6}&4\alpha_{4}x_{1}^{3}+4\alpha_{6}x_{1}\\ \alpha_{2}x_{1}^{4}+6\alpha_{4}x_{1}^{2}+\alpha_{6}&4\alpha_{4}x_{1}^{3}+4\alpha_{6}x_{1}&\alpha_{4}x_{1}^{4}+6\alpha_{6}x_{1}^{2}+\alpha_{8}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}[]{cc}\alpha_{0}x_{1}^{4}+6\alpha_{2}x_{1}^{2}+\alpha_{4}&4\alpha_{2}x_{1}^{3}+4\alpha_{4}x_{1}\\ 4\alpha_{2}x_{1}^{3}+4\alpha_{4}x_{1}&\alpha_{2}x_{1}^{4}+6\alpha_{4}x_{1}^{2}+\alpha_{6}\end{array}\right|}$

Dacă nodul $x_{1}$ este egal cu 0 , celelalte două noduri sînt
$\sqrt{\frac{\alpha_{6}}{\alpha_{4}}},-\sqrt{\frac{\alpha_{6}}{\alpha_{4}}}$ , iar $\mathrm{R}\left[x^{8}\right]=\frac{\alpha_{4}\alpha_{8}-\alpha_{6}^{2}}{\alpha_{4}}$ sí găsim formula de tip Gauss $\AA [f]\approx\frac{1}{2\alpha_{6}^{2}}\left[2\left(\alpha_{0}\alpha_{6}^{2}-\alpha_{4}^{3}\right)f(0)+\left(\alpha_{2}\alpha_{6}-\alpha_{4}^{2}\right)\alpha_{0}f^{\prime\prime}(0)+\alpha_{4}^{3}\left[f\left(\sqrt{\frac{\alpha_{6}}{\alpha_{4}}}\right)+f\left(-\sqrt{\frac{\alpha_{6}}{\alpha_{4}}}\right)\right]\right]$

In particular avem formulele

\begin{gathered}\begin{aligned} J^{(\alpha,\alpha)}[f]=&\frac{2^{2\alpha+2}\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\alpha+3)}{25\Gamma(2\alpha+0)}\left[8\left(\alpha+1,\left(2\alpha+57,f(0)+20(\alpha+1)f^{\prime\prime}(0)+\right.\right.\right.\\ &\left.+3(2\alpha+7)^{2}\left(f\left(\sqrt{\frac{5}{2\alpha+7}}\right)+f\left(-\sqrt{\frac{5}{2\alpha+7}}\right)\right)\right]+\\ &\left.+15\frac{2^{2\alpha+7}\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\alpha+5)}{(2\alpha+7)\Gamma(2\alpha+10)}D_{8}[f]\quad(\alpha>-1)^{13}\right)\end{aligned}\\ \begin{aligned} I^{(0,0)}[f]=&\frac{1}{375}\left[456f(0)+20f^{\prime\prime}(0)+147\left(f\left(\sqrt{\frac{5}{7}}\right)+f\left(-\sqrt{\frac{5}{7}}\right)\right)\right]+\\ &+\frac{8}{441}D_{8}[f]\end{aligned}\end{gathered}

12.

Ar fi şl aici interesant de demonstrat că, in conditiile problemei, ecuatia (55) are numai trei rădăcini reale.
13.

In aceastà formulă $\Gamma(x)$ este functía euleriană de speta a doua.
$\mathrm{H}\mid f]=\frac{\sqrt{\pi}}{50}\left[44f(0)+5f^{\prime\prime}(0)+3\left(f\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)+f\left(-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)\right)\right]+\frac{15\sqrt{\pi}}{8}\mathrm{D}_{8}[f]$ .

31.

Pentru a arăta că nu toate cele treí formule corespund unuil siss tem minimizant in sensul de la $\mathdollar 2$ , să considerăm cazul particular cind $\alpha_{0}=1,\alpha_{2}=2,\alpha_{4}=8,\alpha_{6}=\frac{288}{5}$ . Ecuaţia (55) devine atuncí

x\left(x^{2}-4\right)\left(25x^{6}+100x^{4}+400x^{2}+6912\right)=0

care are rădăcinile reale 0,2 și - 2. Acestea fiind valorile posibile ale nodului $x_{1}$ , celelatte două nodurí $x_{2},x_{3}$ sint respectiv rădăciníle ecuaţíilor $5x^{2}-36=0,5x^{2}+20x+16=0$ , si $5x^{2}-20x+16=0$ . Valorile corespuns zătoare ale lui $\mathrm{R}\left[x^{8}\right]$ sint $\alpha_{8}-\frac{2^{7}.81}{5^{2}}$ pentru $x=0$ si $\alpha_{8}-\frac{2^{7}.89}{5^{2}}$ pentru

		Formulele de tip Gauss astfel obtinute sint
		$\displaystyle\qquad\mathrm{A}[f]\approx\frac{1}{3\overline{24}}\left[274f(0)+144f^{\prime\prime}(0)+25\left(f\left(\frac{6}{\sqrt{5}}\right)+f\left(-\frac{6}{\sqrt{5}}\right)\right)\right]$
		$\displaystyle+\frac{25}{2}(91+07\sqrt{5})f\left(\frac{1}{2.19^{8}}\left[6443f(2)-3686f^{\prime}(2)+1444f^{\prime\prime}(2)+\right.\right.$
		$\displaystyle\mathrm{A}[f]\approx\frac{1}{2.19^{3}}\left[6443f(-2)+3686f^{\prime}(-2)+1444f^{\prime\prime}(-2)+\right.$
		$\displaystyle+\frac{25}{2}\left(291-107\sqrt{5}f\left(\frac{10+2\sqrt{5}}{5}\right)+\frac{25}{2}(291+107\sqrt{5})f\left(\frac{10-2\sqrt{5}}{5}\right)\right]$

32.

Pentru cazul cînd toate ordinele de multiplicitate sint egale intre ele, avem următoarea proprietate datorită lui P. Turán [12].

Teorema 7. Pentru orice functională liniară $\mathrm{A}[f]$ care are ordinul de pozitivitate $k$ , relativ la orice numar natural n şi la orice sistem de $n$ ordine de multiplicitate, toate egale cu un acelaşi număr impar $r$ astfel ca $k\geqq\frac{1}{2}n(r+1)$ , există o formulă (8) de tip Gauss şi una singură.

Demonstrațía luí P. Turá n constá in a observa că dacă, in acest caz, condiţia de ortogonalitate (10) este veriffcată, polínomul $\pi=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right)$ este minimizant. Intradevar, fie $\mathrm{Q}\epsilon P_{n}$ un polinom dife rit de $\pi$ . Avem atunci

\mathrm{Q}^{r+1}-\pi^{r+1}=(r+1)(\mathrm{Q}-\pi)\pi^{r}+\frac{r+1}{2}\left[(\mathrm{Q}-\pi)\pi^{\frac{r-1}{2}}\right]^{2}+

+\sum_{\nu=1}^{r-1}\nu\left[\left(\mathrm{Q}^{2}-\pi^{2}\right)\mathrm{Q}^{\frac{r-3}{2}-\nu+1}\pi^{\nu-1}\right]^{2}

sif finind seamă de ortogonalitate, de faptul că $Q-\pi$ este un polinom de gradul $n-1$ , iar

(\mathrm{Q}-\pi)^{\frac{r-1}{2}},\left(\mathrm{Q}^{2}-\pi^{2}\right)\mathrm{Q}^{\frac{r-3}{2}-\nu+1}\pi^{\nu-1},\nu=1.2,\ldots,\frac{r-1}{2}

sint polínoame de gradul $\frac{1}{2}n(r+1)-1\leqq k-1$ , deducem

\begin{gathered}\mathrm{A}\left[\mathrm{Q}^{r+1}\right]-\mathrm{A}\left[\pi^{r+1}\right]=\frac{r+1}{2}\mathrm{~A}\left[\left((\mathrm{Q}-\pi)\pi\frac{r-1}{2}\right)^{2}\right]+\\ +\sum_{\nu=1}^{\frac{r-1}{2}}\nu\mathrm{~A}\left[\left(\left(\mathrm{Q}^{2}-\pi^{2}\right)\mathrm{Q}^{\frac{r-3}{2}-\nu+1}\pi^{-1}\right)^{2}\right]\\ \geq\frac{r+1}{2}\mathrm{~A}\left[\left((\mathrm{Q}-\pi)\pi^{\frac{r-1}{2}}\right)^{2}\right]>0\end{gathered}

decí $\mathrm{A}\left[Q^{r+1}\right]>\mathrm{A}\left[\pi^{r+1}\right]$ , ceea ce demonstrează teorema. Se vede că dea monstrația rămine valabilă și pentru $r=1$ .

BIBLIOGRAFIE

1.

Cauchy A., Sur les fonctions Interpolaires. Comptes rendus Ac. Sci. Parls, 11, pp. 775.789, 1840.
2.

Jackson D., The thery of approximation, 1930.
3.

Idem thons. An hons. A. Diff Ma1cm., (2), 25, pp. 184.152, 1924.
4.

Mar a G. Sur, Dalgorithme toulour,
5.

Po1 y a G., Jur un algorithme toujours convergent pourobtenir les polynomes de mention continue, quel coque. Comples rendus Ac. Sci. Parls, 157, pp, 840-843, 1913.
6.

Popove timatic, Burresti, 1926, pr 35.38, algebrice, Bul. Soc. Studentilor in ma*
7.

Idem Sur a is bem Gis.
8.

Idem Acad. Roumaine, XVI, pp. 214=217, 1934.
9.

Id Lucrasupra formel restur in unele formule de aproximatie ale analizei, crarile ses. $t., Acad R.P.R., 1950, pp. 183:186.
10.

Idem Cerc. Matem., III, pp. 53:122, 1952.

Asupra unei generalizări a formulei de integrare numerică a lui Gauss

Abstract

Autori

Cuvinte cheie

PDF

Citați articolul în forma

Despre acest articol

Journal

Publisher Name

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Google Scholar Profile

Referințe

Lucrare in format HTML