are loc dacă $f$$f$ff$f$ este o funcţie continuă pe intervalul mărginit şi închis [ $x_1,x_2$$x_1,x_2$x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2}$x_1,x_2$ ] $(x_1<x_2)$$\left(x_1<x_2\right)$(x_(1) < x_(2))\left(x_{1}<x_{2}\right)$(x_1<x_2)$, derivabilă pe intervalul deschis ( $x_1,x_2$$x_1,x_2$x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2}$x_1,x_2$ ) şi $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ este un punct convenabil al acestui din urmă interval. Punctul $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ depinde de funcţia $f$$f$ff$f$ dar singura indicaţie care se poate da asupra lui, în general, este că apartine intervalului ( $x_1,x_2$$x_1,x_2$x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2}$x_1,x_2$ ). De altfel, oricare ar fi $c\in (x_1,x_2)$$c\in \left(x_1,x_2\right)$c in(x_(1),x_(2))c \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$c\in (x_1,x_2)$, putem construi uşor o funcţie $f$$f$ff$f$ care îndeplineşte condițiile impuse mai sus pentru valabilitatea formulei (1) și pentru care $c$$c$cc$c$ este singura valoare posibilă a lui $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$. În cazul însă cînd funcţia $f$$f$ff$f$ aparține unei mulțimi particulare de funcții, pozitia punctului $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ se poate, în anumite cazuri, preciza mai mult prin existenţa unui astfel de punct într-o anumită submulțime particulară a lui ( $x_1,x_2$$x_1,x_2$x_(1),x_(2)x_{1}, x_{2}$x_1,x_2$ ). În cele ce urmează vom examina asemenea probleme pentru formule de medie care generalizează formula (1) a creşterilor finite. 臨
2. Să considerăm o functională liniară (deci aditivă şi omogenă) reală $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$, definită pe o mulţime liniară $S$$S$SS$S$ formată din funcții reale și continue $f$$f$ff$f$, definite pe un interval dat $\mathbf{I}$$\mathbf{I}$I\mathbf{I}$\mathbf{I}$ (de lungime nenulă) a axei reale. Vom presupune totdeauna că $S$$S$SS$S$ conține toate polinoamele. Mulțimea $S$$S$SS$S$ poate să coincidă cu mulțimea tuturor funcțiilor continue $f:\mathbf{I}\to \mathbf{R}$$f:\mathbf{I}\to \mathbf{R}$f:IrarrRf: \mathbf{I} \rightarrow \mathbf{R}$f:\mathbf{I}\to \mathbf{R}$, dar poate să fie și mai restrînsă. În cele ce urmează, cînd va fi necesar, vom preciza multimea $S$$S$SS$S$ şi natura elementelor sale.

Gradul de exactitate al lui $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ este un întreg $m\geqq -1$$m\geqq -1$m >= -1m \geqq-1$m\geqq -1$ astfel că $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ se anulează pe orice polinom de gradul $m$$m$mm$m$ dar este diferit de zero pe cel

puțin un polinom de gradul $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$. Gradul de exactitate poate să nu existe, dar dacă există el este bine determinat și este caracterizat de proprietatea următoare:
$$\begin{array}{c}R(1)=0\text{dacă}m=-1,\\ R(1)=R(x)=\dots =R\left(x^m\right)=0,R\left(x^{m+1}\right)\fallingdotseq 0\text{dacă}m\geqq 0.\end{array}$$$$\begin{array}{c}R(1)=0\text{ dacă }m=-1,\\ R(1)=R(x)=\dots =R\left(x^m\right)=0,R\left(x^{m+1}\right)\fallingdotseq 0\text{ dacă }m\geqq 0.\end{array}$${:[R(1)=0" dacă "m=-1","],[R(1)=R(x)=dots=R(x^(m))=0","quad R(x^(m+1))≒0" dacă "m >= 0.]:}\begin{gathered} R(1)=0 \text { dacă } m=-1, \\ R(1)=R(x)=\ldots=R\left(x^{m}\right)=0, \quad R\left(x^{m+1}\right) \fallingdotseq 0 \text { dacă } m \geqq 0 . \end{gathered}$$\begin{array}{c}R(1)=0\text{ dacă }m=-1,\\ R(1)=R(x)=\dots =R\left(x^m\right)=0,R\left(x^{m+1}\right)\fallingdotseq 0\text{ dacă }m\geqq 0.\end{array}$$

Cînd va fi necesar vom preciza încă natura funcționalei liniare $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$. Reamintim definiția simplicitătii funcţionalei liniare $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ :

Functionala liniară $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ se zice de forma simplă dacă există un număr intreg $m\geqq -1$$m\geqq -1$m >= -1m \geqq-1$m\geqq -1$, independent de functia $f$$f$ff$f$, astfel ca pentru orice $f\in S$$f\in S$f in Sf \in S$f\in S$ să avem

unde $K$$K$KK$K$ este o constantă diferită de zero independentă de functia $f$$f$ff$f$ şi ${\xi }_w\nu ==1,2,\dots ,m+2$${\xi }_w\nu ==1,2,\dots ,m+2$xi_(w)nu==1,2,dots,m+2\xi_{w} \nu= =1,2, \ldots, m+2${\xi }_w\nu ==1,2,\dots ,m+2$ sînt $m+2$$m+2$m+2m+2$m+2$ puncte distincte ale intervalului $\mathbf{I}$$\mathbf{I}$I\mathbf{I}$\mathbf{I}$, depinzînd $\widehat{ingeneraldefunctia}f$$\widehat{ingeneraldefunctia}f$hat(ingeneraldefunctia)f\hat{i n ~ g e n e r a l ~ d e ~ f u n c t i a ~} f$\widehat{ingeneraldefunctia}f$.

Numărul $m$$m$mm$m$ este determinat complet şi este tocmai gradul de exactitate al lui $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$. Avem $K=R\left(x^{m+1}\right)$$K=R\left(x^{m+1}\right)$K=R(x^(m+1))K=R\left(x^{m+1}\right)$K=R\left(x^{m+1}\right)$.

În formula (2) se notează cu $[y_1,y_2,\dots ,y_r;f]$$\left[y_1,y_2,\dots ,y_r;f\right]$[y_(1),y_(2),dots,y_(r);f]\left[y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{r} ; f\right]$[y_1,y_2,\dots ,y_r;f]$ diferența divizată, de ordinul $r-1$$r-1$r-1r-1$r-1$, a funcției $f$$f$ff$f$ pe punctele, sau nodurile (distincte sau $11u$$11u$11 u11 u$11u$ ) $y_1$$y_1$y_(1)y_{1}$y_1$, $y_2,\dots ,y_r$$y_2,\dots ,y_r$y_(2),dots,y_(r)y_{2}, \ldots, y_{r}$y_2,\dots ,y_r$.
3. Teoria funcțiilor convexe de ordin superior permite să se găsească diferite criterii de simplicitate ale functionalei liniare $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$. Un astfel de criteriu se poate enunța sub forma următoare:
teorema 1. O conditie necesară și suficientă pentru ca functionala liniară $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$, de grad de exactitate $m$$m$mm$m$, să fie de forma simplă este ca să avem $R(f)\ne 0$$R(f)\ne 0$R(f)!=0R(f) \neq 0$R(f)\ne 0$ pentru orice functie $f\in S$$f\in S$f in Sf \in S$f\in S$ convexă de ordinul $m$$m$mm$m$.

O funcție $f$$f$ff$f$ se zice convexă de ordimul $m$$m$mm$m$ pe $\mathbf{I}$$\mathbf{I}$I\mathbf{I}$\mathbf{I}$ dacă toate diferențele sale divizate $[x_1,x_2,\dots ,x_{m+2};f]$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_{m+2};f\right]$[x_(1),x_(2),dots,x_(m+2);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m+2} ; f\right]$[x_1,x_2,\dots ,x_{m+2};f]$, de ordinul $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$, pe noduri distincte $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$, $x_2,\dots ,x_{m+2}\in \mathbf{I}$$x_2,\dots ,x_{m+2}\in \mathbf{I}$x_(2),dots,x_(m+2)inIx_{2}, \ldots, x_{m+2} \in \mathbf{I}$x_2,\dots ,x_{m+2}\in \mathbf{I}$, sînt pozitive. Dacă toate aceste diferente divizate sint nenegative functia se zice neconcava de ordinu $m$$m$mm$m$ (pe 1 ). In fine, daca rențele divizate de ordinul $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$ ale functiei $f$$f$ff$f$ sînt toate nez toate nepozitive, această funcţie se zice concavă respective ordinul $m$$m$mm$m$ (pe I). Trecînd de la functia $f$$f$ff$f$ la functia $-f$$-f$-f-f$-f$, proprietație functilor concave respectiv neconvexe de ordinul $m$$m$mm$m$ se deduc, în general, din proprietățile corespunzătoare ale functiilor convexe respectiv neconcave de ordinul $m$$m$mm$m$. O funcţie convexă (concavă) de ordinul $m$$m$mm$m$ este un caz particular de funcţie neconcavă (neconvexă) de ordinul $m$$m$mm$m$. Pentru ca o funcție să fie în acelaşi timp neconcavă și neconvexă de ordinul $m$$m$mm$m$ este necesar şi
suficient ca toate diferențele sale divizate de ordinul $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$, pe noduri distincte, să fie egale cu zero. O astfel de functie se numeşte polinomiala de ordinul $m$$m$mm$m$ (pe I) şi se reduce 1a un polinom de gradul $m$$m$mm$m$, mai exact la restrîngerea pe $\mathbf{I}$$\mathbf{I}$I\mathbf{I}$\mathbf{I}$ a unui polinom de gradul $m$$m$mm$m$.

Să trecem la o schiţare a demonstraţiei teoremei 1 .
Să arătăm întîi că condiția din enunţ este necesară. Să presupunem că functionala liniară $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$, de grad de exactitate $m$$m$mm$m$, este de formă simpla. Fie $f\in S$$f\in S$f in Sf \in S$f\in S$ o functie convexă de ordinul $m$$m$mm$m$. Avem atunci formula (2). unde $K\ne 0$$K\ne 0$K!=0K \neq 0$K\ne 0$. Dar, diferenta divizată din membrul al doilea este pozitivă. Avem deci $R(f)\ne 0$$R(f)\ne 0$R(f)!=0R(f) \neq 0$R(f)\ne 0$. deci $R(\mathrm{f})\ne 0$$R(\mathrm{f})\ne 0$R(f)!=0R(\mathrm{f}) \neq 0$R(\mathrm{f})\ne 0$.
sacum că conditia din enunt este si suficientă. Să presupunem că $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ este de grad de exactitate $m$$m$mm$m$ și este diferit de zero pentru $f\in \mathrm{S}$$f\in \mathrm{S}$f inSf \in \mathrm{~S}$f\in \mathrm{S}$ convex de ordinul $m$$m$mm$m$. Functia

aparține lui $S$$S$SS$S$ și un calcul simplu ne arată că avem $R(\phi )=0$$R(\phi )=0$R(varphi)=0R(\varphi)=0$R(\phi )=0$. Rezultă că $\phi$$\phi$varphi\varphi$\phi$ nu este convex de ordinul $m$$m$mm$m$. Dacă finem seamă de faptul că și - $\phi$$\phi$varphi\varphi$\phi$ aparține lui $S$$S$SS$S$ și că avem $R(-\phi )=-R(\phi )=0$$R(-\phi )=-R(\phi )=0$R(-varphi)=-R(varphi)=0R(-\varphi)=-R(\varphi)=0$R(-\phi )=-R(\phi )=0$, rezultă că $\phi$$\phi$varphi\varphi$\phi$ nu este nici concav de ordinul $m$$m$mm$m$. Există atunci $m+2$$m+2$m+2m+2$m+2$ puncte distincte ${\xi }_{\nu }\in \mathbf{I},\nu =1,2,\dots$${\xi }_{\nu }\in \mathbf{I},\nu =1,2,\dots$xi_(nu)inI,nu=1,2,dots\xi_{\nu} \in \mathbf{I}, \nu=1,2, \ldots${\xi }_{\nu }\in \mathbf{I},\nu =1,2,\dots$, $m+2$$m+2$m+2m+2$m+2$ astfel ca să avem

Ținînd seamă de liniaritatea diferenței divizate se deduce dormula (2), unde $K=R\left(x^{m+1}\right)=0$$K=R\left(x^{m+1}\right)=0$K=R(x^(m+1))=0K=R\left(x^{m+1}\right)=0$K=R\left(x^{m+1}\right)=0$.

Cu aceasta teorema 1 este demonstrată.
Dacă $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ este de gradul de exactitate $m$$m$mm$m$ şi este de forma simplă, avem

pentru orice funcţie $f\in S$$f\in S$f in Sf \in S$f\in S$ convexă de ordinul $m$$m$mm$m$. Intr-adevăr, $x^{m+1}$$x^{m+1}$x^(m+1)x^{m+1}$x^{m+1}$ este o funcţie convexă de ordinul $m$$m$mm$m$, deci dacă $f$$f$ff$f$ este convex de ordinul $m$$m$mm$m$ produsul $R\left(x^{m+1}\right)R(f)$$R\left(x^{m+1}\right)R(f)$R(x^(m+1))R(f)R\left(x^{m+1}\right) R(f)$R\left(x^{m+1}\right)R(f)$ este diferit de zero. Să presupunem că $R\left(x^{m+1}\right)R(f)<0$$R\left(x^{m+1}\right)R(f)<0$R(x^(m+1))R(f) < 0R\left(x^{m+1}\right) R(f)<0$R\left(x^{m+1}\right)R(f)<0$. Atunci functia $R\left(x^{m+1}\right)\phi ={\left[R\left(x^{m+1}\right)\right]}^{2}f-R\left(x^{m+1}\right)R(f)x^{m+1}$$R\left(x^{m+1}\right)\phi ={\left[R\left(x^{m+1}\right)\right]}^{2}f-R\left(x^{m+1}\right)R(f)x^{m+1}$R(x^(m+1))varphi=[R(x^(m+1))]^(2)f-R(x^(m+1))R(f)x^(m+1)R\left(x^{m+1}\right) \varphi=\left[R\left(x^{m+1}\right)\right]^{2} f-R\left(x^{m+1}\right) R(f) x^{m+1}$R\left(x^{m+1}\right)\phi ={\left[R\left(x^{m+1}\right)\right]}^{2}f-R\left(x^{m+1}\right)R(f)x^{m+1}$ este (ca sumă a două funcţii convexe) o funcţie convexă de ordinul $m$$m$mm$m$. Insă $R\left(R\left(x^{m+1}\right)\phi \right)==R\left(x_{m+1}\right)R(\phi )=0$$R\left(R\left(x^{m+1}\right)\phi \right)==R\left(x_{m+1}\right)R(\phi )=0$R(R(x^(m+1))varphi)==R(x_(m+1))R(varphi)=0R\left(R\left(x^{m+1}\right) \varphi\right)= =R\left(x_{m+1}\right) R(\varphi)=0$R\left(R\left(x^{m+1}\right)\phi \right)==R\left(x_{m+1}\right)R(\phi )=0$, ceea ce, pe baza teoremei 1 , este imposibil. Cu aceasta inegalitatea (4) este demonstrată.

In aceleaşi condiţiuni dacă $f$$f$ff$f$ este o funcţie neconcavă de ordinul $m$$m$mm$m$ avem

Intr-adevăr, pentru orice $\epsilon >0$$\epsilon >0$epsi > 0\varepsilon>0$\epsilon >0$, functia $f+\epsilon x^{m+1}$$f+\epsilon x^{m+1}$f+epsix^(m+1)f+\varepsilon x^{m+1}$f+\epsilon x^{m+1}$ este convexă de ordinul $m$$m$mm$m$ şi avem deci $R\left(x^{m+1}\right)R(f+\epsilon x^{m+1})=R\left(x^{m+1}\right)R(f)+\epsilon {\left[R\left(x^{m+1}\right)\right]}^2>0$$R\left(x^{m+1}\right)R\left(f+\epsilon x^{m+1}\right)=R\left(x^{m+1}\right)R(f)+\epsilon {\left[R\left(x^{m+1}\right)\right]}^2>0$R(x^(m+1))R(f+epsix^(m+1))=R(x^(m+1))R(f)+epsi[R(x^(m+1))]^(2) > 0R\left(x^{m+1}\right) R\left(f+\varepsilon x^{m+1}\right)=R\left(x^{m+1}\right) R(f)+\varepsilon\left[R\left(x^{m+1}\right)\right]^{2}>0$R\left(x^{m+1}\right)R(f+\epsilon x^{m+1})=R\left(x^{m+1}\right)R(f)+\epsilon {\left[R\left(x^{m+1}\right)\right]}^2>0$, de unde, făcînd pe $\epsilon$$\epsilon$epsi\varepsilon$\epsilon$ să tindă către 0 , se deduce inegalitatea (5).

Pentru proprietățile functiilor convexe de ordin superior, pentru noțiunea de simplicitate a unei functionale liniare et pentru diverse alte proprietăti utilizate in această lucrare se pot consulta lucrarile mele anterioare. De exemplu, lucrarea mea din „Studii și Cercetări", Cluj [4].

Dacă $m\ge 0$$m\ge 0$m >= 0m \geq 0$m\ge 0$ se poate chiar afirma că punctele $\xi ,v=1,2,\dots ,m+2$$\xi ,v=1,2,\dots ,m+2$xi,v=1,2,dots,m+2\xi, v=1,2, \ldots, m+2$\xi ,v=1,2,\dots ,m+2$ din formula (2) sînt în interiorul intervalului $\mathbf{I}$$\mathbf{I}$I\mathbf{I}$\mathbf{I}$,

Dacă $m\geqq 0$$m\geqq 0$m >= 0m \geqq 0$m\geqq 0$, dacă $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ este de gradul de exactitate $m$$m$mm$m$ de formă simplă și dacă $f$$f$ff$f$ are o derivată $f^{(m+1)}$$f^{(m+1)}$f^((m+1))f^{(m+1)}$f^{(m+1)}$ de ordinul $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$ pe interiorul lui $\mathbf{I}$$\mathbf{I}$I\mathbf{I}$\mathbf{I}$, avem
(6)

unde $\xi$$\xi$xi\xi$\xi$ este în interiorul lui $\mathbf{I}$$\mathbf{I}$I\mathbf{I}$\mathbf{I}$.
Formulele (2) și (6) permit, în cazul simplicitătii, să delimităm funcţionala $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ dacă se cunosc delimitări ale diferenţei divizate de ordinul $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$ a funcţiei $f$$f$ff$f$, sau ale derivatei sale de ordinul $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$, presupusă existentă.
4. Să presupunem că funcționala liniară $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ este definită pe mulțimea $S$$S$SS$S$ a functiilor continue pe I și avînd o derivata $f^{(m+1)}$$f^{(m+1)}$f^((m+1))f^{(m+1)}$f^{(m+1)}$ de ordinul $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$ pe interiorul us. Presupunem ca $m\geqq 0$$m\geqq 0$m >= 0m \geqq 0$m\geqq 0$ și că $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ este de gradul de exactitate funct dat în interiorul lui $\mathbf{I}$$\mathbf{I}$I\mathbf{I}$\mathbf{I}$, funcţionala

este liniară și se anulează pe orice polinom de gradul $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$. Punînd $f==x^{m+2}$$f==x^{m+2}$f==x^(m+2)f= =x^{m+2}$f==x^{m+2}$ şi ţinînd seama de (6), se vede că există o valoare bine determinată ${}^c$${}^c$^(c){ }^{c}${}^c$ (din interic for se anulează pe orice polinom de graul $m+2$$m+2$m+2m+2$m+2$. Numărul $c$$c$cc$c$ este dat de ecuaţia
(8)

Avem următoarea
I e m a 1. Pe lîngă ipotezele precedente, funcționala liniară
(9)

este definită pe $S$$S$SS$S$ şi este de grad de exactitate $m+2$$m+2$m+2m+2$m+2$.
Este destul să arătăm că $R_1\left(x^{m+3}\right)$$R_1\left(x^{m+3}\right)$R_(1)(x^(m+3))R_{1}\left(x^{m+3}\right)$R_1\left(x^{m+3}\right)$ nu este egal cu 0 .

Ținind seamă de (8), avem
(10) $R\left(x^{m+1}\right)R_1\left(x^{m+3}\right)=\frac{1}{2(m+2)}[2(m+2)R\left(x^{m+1}\right)R\left(x^{m+3}\right)-(m+3)R^2\left(x^{m+2}\right)]$$R\left(x^{m+1}\right)R_1\left(x^{m+3}\right)=\frac{1}{2(m+2)}\left[2(m+2)R\left(x^{m+1}\right)R\left(x^{m+3}\right)-(m+3)R^2\left(x^{m+2}\right)\right]$R(x^(m+1))R_(1)(x^(m+3))=(1)/(2(m+2))[2(m+2)R(x^(m+1))R(x^(m+3))-(m+3)R^(2)(x^(m+2))]R\left(x^{m+1}\right) R_{1}\left(x^{m+3}\right)=\frac{1}{2(m+2)}\left[2(m+2) R\left(x^{m+1}\right) R\left(x^{m+3}\right)-(m+3) R^{2}\left(x^{m+2}\right)\right]$R\left(x^{m+1}\right)R_1\left(x^{m+3}\right)=\frac{1}{2(m+2)}[2(m+2)R\left(x^{m+1}\right)R\left(x^{m+3}\right)-(m+3)R^2\left(x^{m+2}\right)]$.

unde $z$$z$zz$z$ este un parametru independent de $x$$x$xx$x$, avem

Avem deci $P^{(m+1)}(x)>0$$P^{(m+1)}(x)>0$P^((m+1))(x) > 0P^{(m+1)}(x)>0$P^{(m+1)}(x)>0$ pentru $x\ne -z$$x\ne -z$x!=-zx \neq-z$x\ne -z$. Rezultă că polinomul (11) este convex de ordinul $m$$m$mm$m$ (peste tot). Pe baza inegalităţii (4), avem

oricare ar fi $z$$z$zz$z$. Rezultă că discriminantul acestui trinom de gradul al doilea în $z$$z$zz$z$ este negativ, deci că avem

şi egalitatea (10) ne arată că

Lema 1 rezultă de aici.
Vom vedea mai jos că funcţionala liniară (9) este de forma simplă.
5. Vom presupune acum că intervalul I se reduce la intervalul mărginit și închis $[a,b](a<b)$$[a,b](a<b)$[a,b](a < b)[a, b](a<b)$[a,b](a<b)$ şi că elementele $f$$f$ff$f$ ale lui $S$$S$SS$S$ au o derivată continuă de ordinul $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$ pe $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$.

Continuăm să presupunem că $m\geqq 0$$m\geqq 0$m >= 0m \geqq 0$m\geqq 0$.
Fie atunci $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ o funcţională liniară definită pe $S$$S$SS$S$, de grad de exactitate $m$$m$mm$m$ şi de formă simplă. Să considerăm funcţionala liniată (9), numărul $c$$c$cc$c$ fiind determinat de ecuatia (8). Avem atunci $a<c<b$$a<c<b$a < c < ba<c<b$a<c<b$.

Avem următoarea

Le m a 2. Pe lîngă ipotezele precedente, dacă există un întreg $k,0\le k\le \leqq m+1$$k,0\le k\le \leqq m+1$k,0 <= k≤≦m+1k, 0 \leq k \leq \leqq m+1$k,0\le k\le \leqq m+1$ astfel ca funcționala liniară $R(f)$$R(f)$R(f)R(f)$R(f)$ să fie mărginită faṭ̆ de norma

atunci avem

pentru orice functie $f\in S$$f\in S$f in Sf \in S$f\in S$ neconcavă de ordinul $m+2$$m+2$m+2m+2$m+2$.
Fie functiile

unde $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ este un parametru independent de $x$$x$xx$x$ și cuprins între $a$$a$aa$a$, şi $b$$b$bb$b$.

Vom demonstra că inegalitatea (14) este verificată pentru această funcfie, deci dacă punem $f={\phi }_{m+3,\lambda }$$f={\phi }_{m+3,\lambda }$f=varphi_(m+3,lambda)f=\varphi_{m+3, \lambda}$f={\phi }_{m+3,\lambda }$. Într-adevăr

și dacă ținem seamă de (8), avem

Dar functiile

sînt neconcave de ordinul $m$$m$mm$m$ deoarece derivatele lor de ordinul $m+1$$m+1$m+1m+1$m+1$ sînt respectiv