Comunicare prezentată in şedinţa din 10 Iulie 1951

intervine de obiceiu în utilizarea ei practică în formula de interpolare a lui Newton ${}^1$${}^1$^(1){ }^{1}${}^1$ ).

Coeficienții

ai acestei formule sunt elementele de pe latura superioas ă (descendentă) a tabloului (triunghiular) de diferențe divizate

In formarea acestui tablou, ordinea nodurilor este respectată.
La orice permutare

a nodurilor (1) va corespunde o formulă de interpolare de forma (2)

Bineînţeles că restul $R(x)$$R(x)$R(x)R(x)$R(x)$ nu depinde de permutarea considerată şi se poate scrie
unde

Utilizarea practică a formulei de interpolare (5) ve depinde şi de rapiditatea şi ixactitater calcului coeficinturilor

acestei formule.
Aceşti coeficienţi se vor găsi pe latura superioară (descendentă) a tabloului de diferențe divizate corespunzător nodurilor luate in ordinea (4). Insă, pentru formarea acestui tablou, va fi avantajos ca nodurile (4) să fie în ordinea crescătoare a valorilor lor numerice, căci atunci toate împărţirile ce se fac cu diferenţa de noduri în vederea formării tabloului, se fac cu numere pozitive pe baza relaţiei de recurenţă

In felul acesta sunt eliminate erorile care ar putea proveni din neatentie la semnele diferenţelor de noduri.
2. Pentru simplificarea notaţiilor, să presupunem că nodurile, pe care le socotim distincte, sunt luate în ordinea crescătoare, deci că

Atunci, pe baza observatiei precedente, tabloul (3) este cel mai avantajos dintre toate cele $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ tablouri analoage obţinute permutând în toate modurile cele $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ noduri.

Observăm că nu numai formula de interpolare (2) se bucură de proprietatea că toţi coeficienţii săi sunt cuprinşi in tabloul (3). Să găsim atunci toate formulele (5) care au toţi coeficientii lor in tabloul (3). Vom zice că aceste formule apartin tabloului (3). Pentru aceasta este necesar şi suficient ca pentru orice $i=0,1,\dots ,n$$i=0,1,\dots ,n$i=0,1,dots,ni=0,1, \ldots, n$i=0,1,\dots ,n$ punctele $x_{{\nu }_1},x_{{\nu }_2},\dots ,x_{{\nu }_{i+1}}$$x_{{\nu }_1},x_{{\nu }_2},\dots ,x_{{\nu }_{i+1}}$x_(nu_(1)),x_(nu_(2)),dots,x_(nu_(i+1))x_{\nu_{1}}, x_{\nu_{2}}, \ldots, x_{\nu_{i+1}}$x_{{\nu }_1},x_{{\nu }_2},\dots ,x_{{\nu }_{i+1}}$ să fie $i+1$$i+1$i+1i+1$i+1$ puncte consecutive (luate într'o anumită ordine) ale şirului (1), deci ca permutarea

a numerelor $1,2\dots n+1$$1,2\dots n+1$1,2dots n+11,2 \ldots n+1$1,2\dots n+1$ să se bucure de proprietatea că orice sectiune

a şirului (9) să fie formată din $i+1$$i+1$i+1i+1$i+1$ numere naturale consecutive luate într'o anumită ordine.

Dacă convenim a spune despre o astfel de permutare (9) că este o permutare consecutivă permutării inițiale $1,2,\dots ,n+1$$1,2,\dots ,n+1$1,2,dots,n+11,2, \ldots, n+1$1,2,\dots ,n+1$, vedem că:
conditia necesară şi suficientă pentru ca formula de interpolare (5) să apartină tabloului (3) este ca permutarea (9) să fie o permutare consecutivă permutării initiale $1,2,\dots ,n+1$$1,2,\dots ,n+1$1,2,dots,n+11,2, \ldots, n+1$1,2,\dots ,n+1$ [permutării cu care s'a format tabloul (3)].

Să numim elemente vecine unui element al tabloului (3), acele elemente care se găsesc in coloana imediat precedentă şi în coloana imediat următoare, situate imediat deasupra si imediat dedesubtul elementului considerat. Elementele vecine elementului $[x_i,x,\dots ,x_{i+j};f]$$\left[x_i,x,\dots ,x_{i+j};f\right]$[x_(i),x,dots,x_(i+j);f]\left[x_{i}, x, \ldots, x_{i+j} ; f\right]$[x_i,x,\dots ,x_{i+j};f]$ sunt atunci figurate in schema

Un element are deci, în general, 4 elemente vecine. Fac exceptie numai elementele de pe laturile tabloului triunghiular şi anume : elementele $[x_1;f][x_{n+1};f]$$\left[x_1;f\right]\left[x_{n+1};f\right]$[x_(1);f][x_(n+1);f]\left[x_{1} ; f\right]\left[x_{n+1} ; f\right]$[x_1;f][x_{n+1};f]$ care au un singur element vecin, $[x_2;f],[x_3;f],\dots ,[x_n;f],[x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f]$$\left[x_2;f\right],\left[x_3;f\right],\dots ,\left[x_n;f\right],\left[x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f\right]$[x_(2);f],[x_(3);f],dots,[x_(n);f],[x_(1),x_(2),dots,x_(n+1);f]\left[x_{2} ; f\right],\left[x_{3} ; f\right], \ldots,\left[x_{n} ; f\right],\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]$[x_2;f],[x_3;f],\dots ,[x_n;f],[x_1,x_2,\dots ,x_{n+1};f]$ numai două elemente vecine, $\mathrm{iar}[x_1,x_2;f],[x_1,x_2,x_3;f],\dots ,[x_1,x_2,\dots ,x_n;f][x_n,x_{n+1};f],[x_{n-1},x_n,x_{n+1};f],[x_2,x_3,\dots ,x_{n+1};f]$$\mathrm{iar}\left[x_1,x_2;f\right],\left[x_1,x_2,x_3;f\right],\dots ,\left[x_1,x_2,\dots ,x_n;f\right]\left[x_n,x_{n+1};f\right],\left[x_{n-1},x_n,x_{n+1};f\right],\left[x_2,x_3,\dots ,x_{n+1};f\right]$iar[x_(1),x_(2);f],[x_(1),x_(2),x_(3);f],dots,[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f][x_(n),x_(n+1);f],[x_(n-1),x_(n),x_(n+1);f],[x_(2),x_(3),dots,x_(n+1);f]\operatorname{iar}\left[x_{1}, x_{2} ; f\right],\left[x_{1}, x_{2}, x_{3} ; f\right], \ldots,\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right] \left[x_{n}, x_{n+1} ; f\right],\left[x_{n-1}, x_{n}, x_{n+1} ; f\right],\left[x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]$\mathrm{iar}[x_1,x_2;f],[x_1,x_2,x_3;f],\dots ,[x_1,x_2,\dots ,x_n;f][x_n,x_{n+1};f],[x_{n-1},x_n,x_{n+1};f],[x_2,x_3,\dots ,x_{n+1};f]$ numai 3 elemente vecine. Este uşor de văzut că dacă $n=1$$n=1$n=1n=1$n=1$ exista numai elemente cu unul sau două elemente vecine, iar dacă $n=2$$n=2$n=2n=2$n=2$, numai elemente cu unu, două sau trei elemente vecine.

Coeficientii (8) ai formulelor (5) care aparțin tabloului (3) sunt aiunci caracterizati de proprietatea că doi coeficienţi consecutivi oarecare sunt elemente vecine in tabloul (3).
3. Numărul formulelor de interpolare (5), aparţinând tabloului (3) se poate usor determina. O formulă (5) se obţine alegând coeficienţii câte unul din fiecare coloană, doi coeficienti consecutivi find vecini. Numărul $N_n$$N_n$N_(n)N_{n}$N_n$ al acestor formule este deci egal cu numărul drumurilor ce se pot descrie plecând din prima coloană până în ultima, trecând numai prin elemente vecine. Toate aceste drumuri se termină cu elementul $[x_1,x_2\dots ,x_{n+1};f]$$\left[x_1,x_2\dots ,x_{n+1};f\right]$[x_(1),x_(2)dots,x_(n+1);f]\left[x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n+1} ; f\right]$[x_1,x_2\dots ,x_{n+1};f]$. Dar elementele $[x_1,x_2,\dots ,x_n;f],[x_2,x_3,\dots ,x_{n+1};f]$$\left[x_1,x_2,\dots ,x_n;f\right],\left[x_2,x_3,\dots ,x_{n+1};f\right]$[x_(1),x_(2),dots,x_(n);f],[x_(2),x_(3),dots,x_(n+1);f]\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f\right],\left[x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n+1} ; f\right]$[x_1,x_2,\dots ,x_n;f],[x_2,x_3,\dots ,x_{n+1};f]$ sunt vecine cu elementul din ultima coloană, iar numărul drumurilor care trec prin fiecare din aceste elemente este evident egal cu $N_{n-1}$$N_{n-1}$N_(n-1)N_{n-1}$N_{n-1}$. Rezultă deci că $N_n=2N_{n-1}$$N_n=2N_{n-1}$N_(n)=2N_(n-1)N_{n}=2 N_{n-1}$N_n=2N_{n-1}$. Insă, $N_1=2$$N_1=2$N_(1)=2N_{1}=2$N_1=2$ deci $N_n=2^n$$N_n=2^n$N_(n)=2^(n)N_{n}=2^{n}$N_n=2^n$.

Putem de asemenea determina numărul formulelor (5) aparţinând tabloului (3) în care primul nod este $x_i$$x_i$x_(i)x_{i}$x_i$. Dacă notăm acest număr cu $C_n^{i-1}$$C_n^{i-1}$C_(n)^(i-1)C_{n}^{i-1}$C_n^{i-1}$, avem evident $C_n^o=1,C_n^n=1$$C_n^o=1,C_n^n=1$C_(n)^(o)=1,C_(n)^(n)=1C_{n}^{o}=1, C_{n}^{n}=1$C_n^o=1,C_n^n=1$ si pe baza recurenței precedente

Se deduce cu uşurinţă de aici că $C_n^{i-1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i-l})$$C_n^{i-1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i-l})$C_(n)^(i-1)=((n)/(i-l))C_{n}^{i-1}=\binom{n}{i-l}$C_n^{i-1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i-l})$.
Mai general, numărul formulelor (5) apartinând tabloului (3) în care primele $j$$j$jj$j$ noduri sunt $x_i,x_{i+1},\dots ,x_{i+j-1}$$x_i,x_{i+1},\dots ,x_{i+j-1}$x_(i),x_(i+1),dots,x_(i+j-1)x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{i+j-1}$x_i,x_{i+1},\dots ,x_{i+j-1}$ intr'o anumită ordine oarecare, este egal ou $2^{j-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j+1}{i-1})$$2^{j-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j+1}{i-1})$2^(j-1)((n-j+1)/(i-1))2^{j-1}\binom{n-j+1}{i-1}$2^{j-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j+1}{i-1})$.
4. Să presupunem că $(n+1)$$(n+1)$(n+1)(n+1)$(n+1)$ ! se divide cu $2^n$$2^n$2^(n)2^{n}$2^n$ şi fie atunci $(n+1)!=2^{n}p$$(n+1)!=2^{n}p$(n+1)!=2^(n)p(n+1)!=2^{n} p$(n+1)!=2^{n}p$. Se poate pune însă întrebarea dacă nu pot fi găsite $p$$p$pp$p$ tablouri de diferenţe divizate, obținute prin permutări convenabile ale nodurilor (1), astfel ca ele să contină toate cele $(n-1)$$(n-1)$(n-1)(n-1)$(n-1)$ ! formule (5). In acest caz ar trebui ca fiecare din cele $(n+1)$$(n+1)$(n+1)(n+1)$(n+1)$ ! formule (5), să aparţină unuia și numai unui singur tablou dintre cele $p$$p$pp$p$ tablouri considerate. Vom arăta că acest lucru este imposibil afară de cazul banal $\mathrm{n}=1$$\mathrm{n}=1$n=1\mathrm{n}=1$\mathrm{n}=1$.

In primul rând, trebue să observăm că $(n+1)$$(n+1)$(n+1)(n+1)$(n+1)$ ! se divide cu $2^n$$2^n$2^(n)2^{n}$2^n$ dacă şi numai dacă $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ este o putere a lui 2 . Intr'adevăr, se știe din teoria numerelor că factorul prim 2 figurează în ( $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ )! exact la puterea ( $n>1$$n>1$n > 1n>1$n>1$ )

unde $a_0{a}_1\dots a_k$$a_0{a}_1\dots a_k$a_(0)a_(1)dotsa_(k)a_{0} a_{1} \ldots a_{k}$a_0{a}_1\dots a_k$ este numărul $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ scris în sistemul diadic. Trebue deci să avem $\sum _{i=0}^k{a}_i=1$$\sum _{i=0}^k a_i=1$sum_(i=0)^(k)a_(i)=1\sum_{i=0}^{k} a_{i}=1$\sum _{i=0}^k{a}_i=1$, de unde $a_0=1,a_1=a_2=\dots =a_k=0$$a_0=1,a_1=a_2=\dots =a_k=0$a_(0)=1,a_(1)=a_(2)=dots=a_(k)=0a_{0}=1, a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{k}=0$a_0=1,a_1=a_2=\dots =a_k=0$, adică

Mai exact, se vede că ( $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ )! se divide cu $2^n$$2^n$2^(n)2^{n}$2^n$ numai dacă avem (10) și atunci câtul $p$$p$pp$p$ este un număr impar.

Să presupunem acum că avem (10) si că $n>1$$n>1$n > 1n>1$n>1$, deci $k>1$$k>1$k > 1k>1$k>1$. Fie atunci $p$$p$pp$p$ tablouri de diferențe divizate. Dacă toate cele ( $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ )! formule (5) ar apartine la aceste $p$$p$pp$p$ tablouri, ar trebui în particular să aparţină acestor tablouri exact $n$$n$nn$n$ ! formule cu primul nod $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$. Insă, oricărui tablou de diferențe divizate aparține cel puţin o formulă cu primul nod $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$ și am văzut că numărul formulelor cu primul nod $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$ care aparţine unui tablou nu poate fi decât

Fie atunci a numărul tablourilor, dintre cele $p$$p$pp$p$ considerate, cărora apartin $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$((n)/(i))\binom{n}{i}$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$ formule cu primul nod $x_1$$x_1$x_(1)x_{1}$x_1$. Trebue să avem

Acest lucru este însă imposibil. Intr'adevăr, din (11) deducem

care este imposibil, deoarece în ipoteza (10) se demonstrează că toate numerele
$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})-1,i=1,2\dots ,n-1$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})-1,i=1,2\dots ,n-1$((n)/(1))-1,i=1,2dots,n-1\binom{n}{1}-1, i=1,2 \ldots, n-1$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})-1,i=1,2\dots ,n-1$ sunt pare, iar numărul $n!-p$$n!-p$n!-pn!-p$n!-p$ este impar.
5. Să presupunem că nodurile (1) sunt în ordinea crescătoare, deci că $x_1<x_2<\dots <x_{n+1}$$x_1<x_2<\dots <x_{n+1}$x_(1) < x_(2) < dots < x_(n+1)x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{n+1}$x_1<x_2<\dots <x_{n+1}$ si fie $x$$x$xx$x$ un punct fix al axei reale diferit de aceste noduri. Ne propunem atunci să determinăm permutarea (4) astfel ca numerele

să fie cele mai mici posibile.
In utilizarea formulei (5) a lui Newton, această proprietate se pune atunci când voim ca multiplicatorul $l(x)$$l(x)$l(x)l(x)$l(x)$ al restului (6) să fie cel mai mic posibil în valoare absolută, atunci când oprim această formulă succesiv la $1,2,\dots ,n+1$$1,2,\dots ,n+1$1,2,dots,n+11,2, \ldots, n+1$1,2,\dots ,n+1$ termeni. Intr'adevăr, avem, pe baza formulelor (5), (6), (7),

Este uşor de văzut că problema noastră este echivalentă cu următoarea: Să se determine permutarea (4) astfel ca şirul

să fie nedescrescător.
Prin această proprietate, permutarea (4) nu este neapărat determinată în mod unic, dar vom demonstra că:
x fiind un punct dat al axei reale, orice permutare (4) pentru care şirul (13) este nedescrescător este o permutare consecutivă permutării inițiale $1,2,\dots ,\mathrm{n}+1$$1,2,\dots ,\mathrm{n}+1$1,2,dots,n+11,2, \ldots, \mathrm{n}+1$1,2,\dots ,\mathrm{n}+1$.

Proprietatea aceasta subsistă indiferent de faptul că $x$$x$xx$x$ coincide sau mu eu un nod.

Pentru a demonstra proprietatea va fi destul să arătăm că dacă $v_1,v_2,\dots ,v_i$$v_1,v_2,\dots ,v_i$v_(1),v_(2),dots,v_(i)v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{i}$v_1,v_2,\dots ,v_i$ sunt numere naturale consecutive intr'o anumită ordine şi numerele naturale $v_1,v_2,\dots ,v_i,v_{i+1}$$v_1,v_2,\dots ,v_i,v_{i+1}$v_(1),v_(2),dots,v_(i),v_(i+1)v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{i}, v_{i+1}$v_1,v_2,\dots ,v_i,v_{i+1}$ se bucură de aceastǎ proprietate.

Să observăm întâi că avem

dacă şi numai dacă

( $x\leqq \frac{x_1+x_2}{2}$$x\leqq \frac{x_1+x_2}{2}$x <= (x_(1)+x_(2))/(2)x \leqq \frac{x_{1}+x_{2}}{2}$x\leqq \frac{x_1+x_2}{2}$ pentru $r=1$$r=1$r=1r=1$r=1$ si $\frac{x_n+x_{n+1}}{2}\leqq x$$\frac{x_n+x_{n+1}}{2}\leqq x$(x_(n)+x_(n+1))/(2) <= x\frac{x_{n}+x_{n+1}}{2} \leqq x$\frac{x_n+x_{n+1}}{2}\leqq x$ pentru $r=n+1$$r=n+1$r=n+1r=n+1$r=n+1$ )
Să presupunem acum că $v_{i_1},v_{i_2},\dots ,v_i$$v_{i_1},v_{i_2},\dots ,v_i$v_(i_(1)),v_(i_(2)),dots,v_(i)v_{i_{1}}, v_{i_{2}}, \ldots, v_{i}$v_{i_1},v_{i_2},\dots ,v_i$ sunt $i$$i$ii$i$ numere naturale consecutive si fie $s,s+1,\dots ,s+i-1$$s,s+1,\dots ,s+i-1$s,s+1,dots,s+i-1s, s+1, \ldots, s+i-1$s,s+1,\dots ,s+i-1$ aceste numere. Avem atunci

deci