de Tiberiu Popoviciu
Il existe un nombre naturel N_(n)\mathrm{N}_{\mathrm{n}} tel que de toute suite de nombres réels ayant au moins N_(n)\mathrm{N}_{\mathrm{n}} termes on peut extraire au moins une suite par tielle monotone de nn termes mais, on peut construire une suite ayant N_(n)-1\mathrm{N}_{\mathrm{n}}-1 termes dont aucune suite partielle de nn termes n'est monotone. On demontre que N_(3)=5\mathrm{N}_{3}=5 et (n-1)^(2) < N <= (5)/(6)n(\mathrm{n}-1)^{2}<\mathrm{N} \leqslant \frac{5}{6} n ! La valeur exacte de N_(n)\mathrm{N}_{\mathrm{n}} reste á trouver (égale, trés probablement, à (n-1)^(2)+1(n-1)^{2}+1 ).
sunt de același semn sau nule se zice că șirul (1) este monoton. Mai precis șirul (1) se zice crescător, nedescrescător, constant, necrescător resp. descrescător, după cum avem
Evident că şirurile crescătoare și constante sunt cazuri pars ticulare ale șirurilor nedescrescătoare. Dacă șirul (1) este crescător, nedescrescător, etc. șirul opuselor
este resp. descrescător, necrescător, etc. și reciproc. Putem deci lua ca tip de şir monoton, șirul descrescător.
2. Fiind date numerele naturale i_(1) < i_(2) < dots < i_(k) <= m\mathrm{i}_{1}<\mathrm{i}_{2}<\ldots<\mathrm{i}_{\mathrm{k}} \leq \mathrm{m}; șirul
se numeşte un șir parţial al luí (1). E clar căun şír (1) cu mm termeni
are ((m)/(k))\binom{m}{k} şiruri parțiale cu kk termeni și în total 2^(m)-12^{m}-1 șiruri pars țiale cu un număr oarecare de termeni (fiecare termen c_(i)c_{\mathrm{i}} fors mează el singur un șir parțial).
Avem proprietatea aproape evidentă.
Teoremma 1. Dacă sirul (I) este crescător, nedescrescător, etc. orice şir partial (având cel puțin 2 termeni) este deasemenea crescător, nedescrescător, etc.
Reciproca teoremei este banală. Insăși definiția ne spune că pentru ca șirul (1) să fie crescător, nedescrescător, etc, e necesar, și suficient ca șirurile parțiale
să fie crescătoare, nedescrescătoare, etc.
Dacă considerăm monotonía fără a specifica sensul ei, ajungem la următoarea
Teoremma 2. Condiţia necesară şi suficientă ca şirul (1) să fie monoton este ca toate șirurile partiale de trei termeni să fie monotone.
Pentru şirul parțial c_(j),c_(j),c_(k),i < j < kc_{\mathrm{j}}, c_{\mathrm{j}}, c_{\mathrm{k}}, i<j<k, condiția necesară și suficientă de monotonie este
(2)
Să demonstrăm acum teorema 2. Condilia este evident necesară după teorema 1. Să demonstrăm că ea este şi suficientă. Să presupunem că (2) este satisfăcută, orícare ar fi i/_j/_k <= mi \angle j \angle k \leq m. Dacă şirul (1) nu ar fi monoton, şirul diferențelor
(3)
ar avea cel puţin doi termeni diferiți de zero și de semne con trare. Fie Deltac_(r)\Delta c_{r} primul termen !=0\neq 0 in (3) şi Deltac_(s),s > r\Delta c_{s}, s>r primul termen !=0\neq 0 și de semn contrar cu Deltac_(r)\Delta c_{r} în (3). Avem Deltac_(r)Deltac_(s) < 0\Delta c_{r} \Delta c_{s}<0, iar prin construcția lui ss
care ee in contrazicere cu (2).
Cele ce preced demonstrează complet teorema (2).
3. Se poate pune acum intrebarea dacă un șir oarecare (1) contine șiruri partiale monotone de cel puțin trei termeni.
Vom demonstra pentru aceasta următoarea
Teorema 3. Orice şir (1) de (cel puțin) cinci termeni are cel putin un șir partial monoton de trei termeni.
Intr'adevăr, cel puțin unul din șirurile C_(1),C_(2),C_(3);C_(2),C_(3),C_(4);C_(3),C_(4),C_(5);C_(2),C_(4),C_(5);C_(1),C_(2),C_(4)\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{C}_{3} ; \mathrm{C}_{2}, \mathrm{C}_{3}, \mathrm{C}_{4} ; \mathrm{C}_{3}, \mathrm{C}_{4}, \mathrm{C}_{5} ; \mathrm{C}_{2}, \mathrm{C}_{4}, \mathrm{C}_{5} ; \mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{C}_{4} trebue să fie monoton. In cazul contrar ar trebuí să avem
ceeace e absurd.
Din teorema precedentă putem deduce următoarea
Teoremna 4. Orice şir de (cel puțin) (5)/(6)n!\frac{5}{6} n! termeni are cel putin un şir partial monoton de nn termeni ( n >= 3n \geqslant 3 ).
Fie şirul (1) cu m=(5)/(6)n!m=\frac{5}{6} n! Vom demonstra teorema prin inducţie. Proprietatea e deja demonstrată pentru n=3n=3. Să presupunem că ea e adevărată pentru n-1n-1 și să arătăm că va fi adevărată şi pentru nn. Dacă punem k=(5)/(6)(n-1)!k=\frac{5}{6}(n-1)!, fiecare din șirurile
(4) c_(ik+1),c_(ik+2),dots,c_((i+1)k),i=0,1,dots n-1c_{i k+1}, c_{i k+2}, \ldots, c_{(i+1) k}, i=0,1, \ldots n-1
conține prin ipoteză, cel puțin un șir parțial monoton de n-1n-1 termeni. Din șirurile (4) să scoatem deci șirurile parțiale monotone de n-1n-1 termeni
(5) quadc_(1)^((i+1)),c_(2)^((i+1)),dots,c_(n-1)^((i+1)),i=0,1,dots n-1\quad c_{1}^{(i+1)}, c_{2}^{(i+1)}, \ldots, c_{n-1}^{(i+1)}, i=0,1, \ldots n-1
Următoarele două cazuri se pot atunci întâmpla
a) Există printre şirurile (5) două cel puțin, de monotonie opusă.
e monoton şi e un şir extras din (1).
b) Toate sirurile (5) sunt monotone de acelaşi sens. Putem presupune că toate sunt nedescrescătoare. Dacă acum există un ii astfel ca c_(n-1)^((i)) <= c_(n-1)^((i+1))\mathrm{c}_{\mathrm{n}-1}^{(\mathrm{i})} \leqslant \mathrm{c}_{\mathrm{n}-1}^{(\mathrm{i}+1)} atunci şirul de nn termeni
e monoton şi extras din (1). In cazul contrar trebue să avem c_(n-1)^((i)) > c_(n-1)^((i+1)),i=1,2,dots,n-1c_{n-1}^{(i)}>c_{n-1}^{(i+1)}, i=1,2, \ldots, n-1 şi şirul de nn termeni
Rezultă din cele ce preced că există un număr N_(n)\mathrm{N}_{\mathrm{n}} astfel ca orice şir având cel puțin N_(n)\mathrm{N}_{\mathrm{n}} termeni conține cel puțin un şir partial monoton de nn termeni, dar există cel puțin un șir (1) cu N_(n)-1\mathrm{N}_{\mathrm{n}}-1 termeni care nu conține nici un şir parļial monoton de nn termeni.
Teorema 4 ne arată că N <= (5)/(6)n!N \leqslant \frac{5}{6} n! Pe de altă parte șirul n-1,n-2,dots.,2,1,2n-2,2n-3,dots.,n,3n-3n-1, n-2, \ldots ., 2,1,2 n-2,2 n-3, \ldots ., n, 3 n-3, 3n-4,dots,2n-1,dots,(n-1)^(2),(n-1)^(2)-1,dots,(n-2)n-(n-3)3 n-4, \ldots, 2 n-1, \ldots,(n-1)^{2},(n-1)^{2}-1, \ldots,(n-2) n-(n-3) de (n-1)^(2)(n-1)^{2} termeni nu conține nici un șir parțial monoton de nn termeni. Rezultă că N_(n) > (n-1)^(2)\mathrm{N}_{\mathrm{n}}>(n-1)^{2}.
Numărul N_(n)\mathrm{N}_{\mathrm{n}} este egal cu 5 pentru n=3n=3. Ar fi interesant de determinat valoarea lui pentru nn oarecare. E foarte probabil că N_(n)=(n-1)^(2)+1\mathrm{N}_{n}=(n-1)^{2}+1, acest lucru rămâne însă de demonstrat.
Se mai poate pune problema determinării numărului minim de șiruri partiale monotone de nn termeni cari se pot extrage dína tr'un şir având un număr dat m >= N_(n)m \geqslant \mathrm{~N}_{\mathrm{n}} de termeni. E uşor de văzut că acest număr este cel puţin egal cu
când rr este restul împărțirii lui mm prín n-1n-1.
Se poate uşor constata că problema pusă aici este echivalentă cu o problemă de analiză combinatorie. Fiind dată o permutație a primelor mm numere naturale, e vorba câte grupe de nn termeni există în această permutație cari termeni, păstrându-și locul lor să formeze o succesiune crescătoare sau descrescătoare?
Observare. Problema extragerii de șiruri partíale monotone se poate pune și pentru șirurile infinite de numere. Se vede uşor că din orice șir infinit se poate extrage un șir parțial infinit și monoton. Problema nu trebue considerată însă ca fiind epuizată astfel. Problema ar trebui examinată și pentru șirurile transfinite de un număr ordinal (transfinit) dat de termeni.
