GENERALIZAREA UNOR FORMULE DE INTERPOLARE PENTRU FUNCTTILE DE MAI MULTE VARIABILE ȘI UNELE CONSIDERATVII ASUPRA FORMULEI DE INTEGRARE NUMERICĂ A LUI GAUSS

D. D. STANCU
Comunicare prezentată de T. POPOVIOIU, membru corespondent al Academiei R.P.R.,
in cadrul celui de-al IV-lea Congres al matematicienilor romini din 27 mai- 4 iunie 1956

I

1.

Importanța calculului approximativ al unei funcții, definite direct, prin proprietătile ei, sau ca solutie a unei anumite ecuatii diferențiale, este deosebit de mare în aplicatiile tehnice.

Teoria interpolării polinomiale are un rol important în această directie. Utilizarea în mare măsură a polinoamelor de interpolare este justificată de structura analitică simplă a acestora, de posibilitatea întocmirii unor programe sistematice și simple de calcul, precum și de precizia suficient de bună la care ne conduc.
2. În cazul interpolării polinomiale a funcțiilor de mai multe variabile se întîlnesc însă dificultăți destul de mari. Chiar dacă nodurile de interpolare sînt distincte s-ar putea întîmpla ca un anumit polinom de interpolare să nu existe sau să nu fie unic. Se arată însă uşor că dacă nodurile nu sînt situate pe o hipersuprafață de un ordin egal cu gradul polinomului de interpolare atunci existența și unicitatea acestuia este asigurată.

Din punct de vedere practic este util să se dea anumite scheme concrete de noduri relativ la care polinomul de interpolare este perfect determinat și în plus să se obțină pentru acesta o expresie efectivă comodă pentru aplicații, pentru calcule.
3. Vom căuta în cele ce urmează să dăm cîteva distribuții mai generale de noduri decît cele care s-au folosit pînă acum, distribuții care permit să se utilizeze o varietate mare de rețele de noduri.
4. Să ne ocupăm mai întîi de cazul a două variabile.

Fie $f(x,y)$ o funcție definită și mărgintă într-un anumit domeni $D_{2}$ din plan. Să presupunem că se cunose valorile functiei $f(x,y)$ pe urm toarele puncte ale acestui domeniu

M_{ik}\left(x_{i},y_{ik}\right),\quad\left(k=1,m_{i};i=1,\overline{(n)}{}^{\star}\right)

Formula de interpolare a lui Lagrange relativă la variabila $x$ funcției $f(x,y)$ pe șirul de valori

x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}

se scrie sub forma

f(x,y)=\sum_{i=1}^{n}\frac{u(x)}{\left(x-x_{i}\right)u^{\prime}\left(x_{i}\right)}f\left(x_{i},y\right)+u(x)\left[x,x_{1},\ldots,x_{n};f(x,y)\right]

unde

u(x)=\coprod_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)

iar

\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};f\right]=\sum_{i=1}^{n}\frac{f\left(x_{i},y\right)}{u^{\prime}\left(x_{i}\right)}

este diferența divizată de ordinul $n-1$ a funcției $f(x,y)$ pentru valor lui $x:x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ .

Dar functia $\varphi_{i}(y)=f\left(x_{i},y\right)$ se poate dezvolta de asemenea du aceeaşi formulă de interpolare folosind valorile

y_{i1},y_{i2},\ldots,y_{i,m_{i}}.

Se obține

\begin{array}[]{r}\varphi_{i}(y)=f\left(x_{i},y\right)=\sum_{k=1}^{m_{i}}\frac{v_{i}(y)}{\left(y-y_{ik}\right)v_{i}^{\prime}\left(y_{ik}\right)}f\left(x_{i},y\right)+v_{i}(y)\left[y,y_{i1},\ldots\right.\\ \left.,y_{i,m_{i}};f\left(x_{i},y\right)\right]\end{array}

unde

v_{i}(y)=\prod_{p=1}^{m_{i}}\left(y-y_{ip}\right)

Înlocuind această expresie a lui $f\left(x_{i},y\right)$ în (2), găsim următoar formulă de interpolare

f(x,y)=L_{2}(x,y)+R_{2}(x,y)

unde

L_{2}(x,y)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m_{i}}\frac{u(x)}{\left(x-x_{i}\right)u^{\prime}\left(x_{i}\right)}\frac{v_{i}(y)}{\left(y-y_{ik}\right)v_{i}^{\prime}\left(u_{ik}\right)}f\left(x_{i},y_{ik}\right)

⁰⁰footnotetext:

\left.{}^{*}\right)

Prin

N=\overline{\alpha,\beta}

vom ințelege că

N

ia succesiv valorile

\alpha,\alpha+1,\ldots,\beta-1,\beta

este polinomul de interpolare de grad minim care coincide cu functia $f(x,y)$ pe nodurile (1), iar

	$\displaystyle R_{2}(x,y)=\dot{u}(x)\left[x,x_{1},\ldots,x_{n};f(x,y)\right]+\sum_{i=1}^{n}l_{i}(x)v_{i}(y)\left[y,y_{i1},\ldots\right.$
	$\displaystyle\left.\ldots,y_{i,m_{i}};f\left(x_{i},y\right)\right]$		(9)

l_{i}(x)=\frac{u(x)}{\left(x-x_{i}\right)u^{\prime}\left(x_{i}\right)},

(10)

este restul acestei formule de interpolare.
5. Subliniem că formula de interpolare (7) este mult mai generală decît formula clasică de interpolare a lui Lagrange pentru două variabile, intrucît ordonatele (4) depind de abscisa $x_{i}$ atît ca valoare cît şi ca număr (ceea ce am specificat prin indici).

Formula cunoscută de interpolare a lui Lagrange se obține dacă facem următoarele particularizări

y_{ik}=y_{k},m_{i}=m\quad(i=\overline{1,n}).

(11)

6.

Să dăm un exemplu. Presupunînd că
$n=5,m_{1}=3,m_{2}=4,m_{3}=5,m_{4}=$

=4,m_{5}=3

să scriem polinomul de interpolare pe nodurile

\begin{gathered}M_{1}(-2h,-h),M_{2}(-2h,0),M_{3}(-2h,h),\\ M_{4}\left(-h,-\frac{3h}{2}\right),M_{5}\left(-h,-\frac{h}{2}\right),M_{6}\left(-h,\frac{h}{2}\right),M_{7}\left(-h,\frac{3h}{2}\right),\\ M_{8}(0,-2h),M_{9}(0,-h),M_{10}(0,0),M_{11}(0,h),M_{12}(0,2h),\\ M_{13}\left(h,-\frac{3h}{2}\right),M_{14}\left(h,-\frac{h}{2}\right),M_{15}\left(h,\frac{h}{2}\right),M_{16}\left(h,\frac{3h}{2}\right),\\ M_{17}(2h,-h),M_{18}(2h,0),M_{19}(2h,h),\end{gathered}

care sînt nodurile unei rețele exagonale (vezi figura).

Obținem

		$\displaystyle L(x,y)=\frac{1}{48h^{6}}\left(x^{2}-h^{2}\right)x(x-2h)y(y-h)f(-2h,-h)-$
		$\displaystyle\quad-\frac{1}{24h^{6}}\left(x^{2}-h^{2}\right)x(x-2h)\left(y^{2}-h^{2}\right)f(-2h,0)+$
		$\displaystyle\quad+\frac{1}{48h^{6}}\left(x^{2}-h^{2}\right)x(x-2h)(y+h)yf(-2h,h)+$
		$\displaystyle+\frac{1}{36h^{7}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)x(x-h)\left(y^{2}-\frac{h^{2}}{4}\right)\left(y-\frac{3h}{2}\right)f\left(-h,-\frac{3h}{2}\right)-$
		$\displaystyle-\frac{1}{12h^{7}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)x(x-h)\left(y^{2}-\frac{9h^{2}}{4}\right)\left(y-\frac{h}{2}\right)f\left(-h,-\frac{h}{2}\right)+$
		$\displaystyle+\frac{1}{12h^{7}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)x(x-h)\left(y^{2}-\frac{9h^{2}}{4}\right)\left(y+\frac{h}{2}\right)f\left(-h,\frac{h}{2}\right)-$
		$\displaystyle-\frac{1}{36h^{7}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)x(x-h)\left(y^{2}-\frac{h^{2}}{4}\right)\left(y+\frac{3h}{2}\right)f\left(-h,\frac{3h}{2}\right)+$
		$\displaystyle+\frac{1}{96h^{8}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)\left(x^{2}-h^{2}\right)\left(y^{2}-h^{2}\right)y(y-2h)f(0,-2h)-$
		$\displaystyle\quad-\frac{1}{24h^{8}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)\left(x^{2}-h^{2}\right)\left(y^{2}-4h^{2}\right)y(y-h)f(0,-h)+$
		$\displaystyle\quad+\frac{1}{16h^{8}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)\left(x^{2}-h^{2}\right)\left(y^{2}-4h^{2}\right)\left(y^{2}-h^{2}\right)f(0,0)-$
		$\displaystyle\quad-\frac{1}{24h^{8}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)\left(x^{2}-h^{2}\right)\left(y^{2}-4h^{2}\right)(y+h)yf(0,h)+$
		$\displaystyle\quad+\frac{1}{96h^{8}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)\left(x^{2}-h^{2}\right)(y+2h)\left(y^{2}-h^{2}\right)yf(0,2h)+$
		$\displaystyle+\frac{1}{36h^{7}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)(x+h)x\left(y^{2}-\frac{h^{2}}{4}\right)\left(y-\frac{3h}{2}\right)f\left(h,-\frac{3h}{2}\right)-$
		$\displaystyle-\frac{1}{12h^{7}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)(x+h)x\left(y^{2}-\frac{9h^{2}}{4}\right)\left(y-\frac{h}{2}\right)f\left(h,-\frac{h}{2}\right)+$
		$\displaystyle+\frac{1}{12h^{7}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)(x+h)x\left(y^{2}-\frac{9h^{2}}{4}\right)\left(y+\frac{h}{2}\right)f\left(h,\frac{h}{2}\right)-$
		$\displaystyle-\frac{1}{36h^{7}}\left(x^{2}-4h^{2}\right)(x+h)x\left(y+\frac{3h}{2}\right)\left(y^{2}-\frac{h^{2}}{4}\right)f\left(h,\frac{3h}{2}\right)+$

		$\displaystyle+\frac{1}{48h^{6}}(x+2h)\left(x^{2}-h^{2}\right)xy(y-h)f(2h,-h)-$
		$\displaystyle-\frac{1}{24h^{6}}(x+2h)\left(x^{2}-h^{2}\right)x\left(y^{2}-h^{2}\right)f(2h,0)+$
		$\displaystyle+\frac{1}{48h^{6}}(x+2h)\left(x^{2}-h^{2}\right)x(y+h)yf(2h,h)$

7.

În cazul a trei variabile, folosind nodurile

M_{ikj}\left(x_{i},y_{ik},z_{iki}\right)\left(i=\overline{1,n};k=\overline{1,m_{i}};j=\overline{\left.1,p_{ik}\right)}\right.

(12)

se obține formula de interpolare

f(x,y,z)=L_{3}(x,y,z)+R_{3}(x,y,z)

(13)

unde

L_{3}(x,y,z)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m_{i}}\sum_{j=1}^{p_{ik}}\frac{u(x)}{\left(x-x_{i}\right)u^{\prime}\left(x_{i}\right)}\frac{v_{i}(y)}{\left(y-y_{ik}\right)v_{i}^{\prime}\left(y_{ik}\right)}\frac{w_{ik}(z)}{\left(z-z_{ikj}\right)w_{ik}^{\prime}\left(z_{ikj}\right)}f\left(x_{i},y_{ik},z_{ikj}\right)

(14)

este polinomul de interpolare de grad minim care coincide cu funcţia. $f(x,y,z)$ pe nodurile (12), iar restul are expresia

	$\displaystyle\quad R_{3}(x,y,z)=u(x)\left[x,x_{1},\ldots,x_{n};f(x,y,z)\right]+$		(15)
	$\displaystyle\quad+\sum_{i=1}^{n}l_{i}(x)v_{i}(y)\left[y,y_{i1},\ldots,y_{im_{i}};f\left(x_{i},y,z\right)\right]+$
	$\displaystyle+\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m_{i}}l_{i}(x)h_{ik}(y)w_{ik}(z)\left[z,z_{ik1},\ldots,z_{ikp_{ik}};f\left(x_{i},y_{ik},z\right)\right].$

toarele

Mai sus, alături de notațiile deja explicate, am mai folosit şi urmă-

w_{ik}(z)=\prod_{s=1}^{x_{ik}}\left(z-z_{iks}\right),h_{ik}(y)=\frac{v_{i}(y)}{\left(y-y_{ik}\right)v_{i}^{\prime}\left(y_{ik}\right)}

8.

În cazul general, considerînd funcția

f(M)=f\left(t^{1},t^{2},\ldots,t^{s}\right)

lefinită şi mărginită într-un domeniu $D_{s}$ al spațiului euclidian $s$ - dimenional $E_{s}$ şi nodurile

\left.\begin{array}[]{c}M_{i_{1}i_{2}}\cdots i_{s}=M_{i_{1}i_{2}}\cdots i_{s}\left(t_{i_{1}}^{1},t_{i_{1}i_{2}}^{2}\cdots,t_{i_{1}i_{2}}^{s}\cdots i_{s}\right)\\ \left(i_{1}=\overline{1,n};i_{2}=\overline{1,m_{i_{1}}};\ldots;i_{s}=1,m_{i_{1}}\cdots i_{s-1}\right.\end{array}\right),\penalty 10000\ 25

în număr de

N=\sum_{i_{1}=1}^{n}\sum_{i_{2}=1}^{m_{i_{1}}}\ldots\sum_{i_{s-1}=1}^{m_{i_{1}}\ldots i_{s-2}}m_{i_{1}i_{2}\ldots i_{s-1}},

se obține formula de interpolare

f(M)=L_{s}(M)+R_{s}(M)

unde

L_{s}(M)=\sum_{i_{1}=1}^{n}\sum_{i_{2}=1}^{m_{i_{1}}}\ldots\sum_{i_{s}=1}^{m_{i_{1}}\ldots i_{s-1}}l_{i_{1}}^{1}\left(t^{1}\right)\ldots l_{i_{1}\ldots i_{s}}^{s}\left(t^{s}\right)f\left(M_{i_{1}\ldots i_{s}}\right),

(1)

\begin{gathered}l_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}^{k}\left(t^{k}\right)=\frac{u_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k-1}}^{k}\left(c^{k}\right)}{\left(l^{k}-l_{i_{1}\ldots i_{k}}^{k}\right)\dot{u}_{i_{1}\ldots i_{k-1}}^{k}\left(k_{i_{1}\ldots i_{k}}^{k}\right)}\\ u_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k-1}}^{k}\left(t^{k}\right)=\prod_{i_{k}=1}^{m_{i_{1}\ldots i_{k-1}}}\left(t^{k}-t_{i_{1}\ldots i_{k}}^{k}\right)\end{gathered}

este polinomul de interpolare de grad minim care coincide cu functia $f(1$ pe nodurile (16)

Restul formulei de interpolare (17) are expresia

R_{s}(M)=\sum_{k=1}^{s}\sum_{i_{1}=1}^{n}\sum_{i_{2}=1}^{m_{i_{1}}}\cdots\sum_{i_{k-1}=1}^{m_{i_{1}}\ldots i_{k-2}}l_{i_{1}}^{1}\left(t^{1}\right)\ldots l_{i_{1}\ldots i_{k-1}}^{k-1}u_{i_{1}\ldots i_{k-1}}^{k_{1}}\left(t^{k}\right)D_{i_{1}\ldots i_{k-1}}^{k}

unde

D_{i_{1}\ldots i_{k-1}}^{k}=\left[t^{k},t_{i_{1}\ldots i_{k-1}11}^{k}\ldots,t_{i_{1}\ldots i_{k-1}m_{k}}^{k};\varphi i_{1}\ldots i_{k-1}\right],

iar

\varphi_{i_{1}\ldots i_{k-1}}=f\left(t_{i_{1}}^{1},t_{i_{1}i_{2}}^{2},\ldots,t_{i_{1}\ldots i_{k-1}}^{k},t^{k},\ldots,t^{s}\right)

9.

In cazul particular *)

\begin{gathered}n=m_{1}+1,m_{i_{1}}=m_{2}+1,\ldots,m_{i_{1}\ldots i_{s-1}}=m_{s}+1\\ \left(i_{k}=\overline{1,m_{k}};k=\overline{1,s}\right)\end{gathered}

polinomul de interpolare (18) are gradul ( $m_{1},m_{2},\ldots,m_{s}$ ).
Nodurile de interpolare corespunzătoare

		$\displaystyle P_{i_{1}i_{2}\ldots i_{s}}\left(t_{i_{1}}^{1},t_{i_{1}i_{2}}^{2},\ldots,t_{i_{1}i_{2}\ldots i_{s}}^{s}\right)$
		$\displaystyle\left(i_{k}^{-}=\overline{1,m_{k}+1};k=\overline{1,s}\right)$

vom spune că determină o pseudo-rețea de ordinul $\left(m_{1},m_{2},\ldots,m_{s}\right)$ ,

Coeficientul lui $\left(t^{1}\right)^{m_{1}}\left(t^{2}\right)^{m_{2}}\cdots\left(t^{s}\right)^{m_{s}}$ din polinomul de interpolare, care se obține în acest caz, este

\Delta^{m_{1}m_{2}\ldots m_{s}}(f)=\sum_{i_{1}=1}^{m_{1}+1}\cdots\sum_{i_{s}=1}^{m_{s}+1}\frac{f\left(P_{\left.i_{1}i_{2}\ldots is\right)}\right.}{\prod_{k=1}^{s}\dot{v}_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k-1}}^{k}\left(l_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}^{k}\right)},

(21)

(1) unde

Expresia (21) o vom numi diferența divizată parțială de ordinul $\left(m_{1},m_{2},\ldots,m_{s}\right)$ a functiei $f(M)$ pe punctele (20).

Mentionăm cu acest prilej următoarea formulă care permite să se ⁽¹⁾ vadă care este structura acestei diferențe divizate parțiale

	$\displaystyle\Delta^{m_{1}m_{2}\ldots m_{s}(f)=}$
	$\displaystyle=\left[t_{1}^{1}\ldots,t_{m_{1}+1}^{1};\sum_{i_{1}=1}^{m_{1}+1}l_{i_{1}}^{1}\left(t^{1}\right)\left[t_{i_{1}1}^{2},\ldots,t_{i_{1}m_{2}+1}^{2};\ldots\right.\right.$		(22)
	$\displaystyle\left.\left.\sum_{i_{s-1}=1}^{m_{s-1}+1}l_{i_{1}\ldots i_{s-1}^{s-1}}^{s-1}\left(t^{s-1}\right)\left[t_{i_{1}\ldots i_{s-1}1}^{s}\cdots t_{i_{1}\ldots i_{s-1}m_{s+1}}^{s};f(M)\right]\ldots\right]\right].$

10.

Dacă în continuare particularizăm pseudo-rețeaua precedentă astfel ca să se reducă la aşa denumita rețea Merchaud *) de ordinul ( $m_{1}$ , $m_{2},\ldots,m_{s}$ ), determinată de nodurile

Q_{i_{1}i_{2}\ldots i_{s}}\left(t_{i_{1}}^{1},t_{i_{2}}^{2},\ldots,t_{i_{s}}^{s}\right)\quad\left(i_{k}=\overline{1,m_{k}+1};k=\overline{1,s}\right)

(23)

rezultatele precedente se simplifică mult.
Polinomul de interpolare (18) se reduce la bine cunoscutul **) polinom de interpolare al lui Lagrange pentru $s$ variabile.

În acest caz diferența divizată parțială (21) ia forma

	$\displaystyle D^{m_{1}m_{2}\ldots m_{s}}(f)=$
	$\displaystyle{\left[\begin{array}[]{l}t_{1}^{1},t_{2}^{1},\ldots,t_{m_{1}+1}^{1}\\ t_{1}^{2},t_{2}^{2},\ldots,t_{m_{2}+1}^{2}\\ \ldots\ldots\ldots\ldots.;f\\ t_{1}^{s},t_{2}^{s},\ldots,t_{m_{s}+1}^{s}\end{array}\right]=\sum_{i_{1}=1}^{m_{1}+1}\cdots\sum_{i_{s}=1}^{m_{s}+1}\frac{f\left(t_{i_{1}}^{1},t_{i_{2}}^{2},\ldots,i_{i_{s}}^{s}\right)}{\prod_{k=1}^{s}\omega^{k}\left(t_{i_{k}}^{k}\right)}}$		(24)
	$\displaystyle\omega^{k}\left(t^{k}\right)=\prod_{i_{k}=1}^{m_{k}+1}\left(t^{k}-t_{i_{k}}^{k}\right)$

(ande

⁰⁰footnotetext: *) După numele lui A. Marchaud [2].
**) A se vedea de exemplu: D. L. Berman [3].

Formula (22) se simplifică foarte mult:

\begin{gathered}D^{m_{1}m_{2}\ldots m_{s}}(f)=\\ =\left[t_{1}^{1},\ldots,t_{m_{1}+1}^{1};\left[t_{1}^{2},\ldots,t_{m_{2}+1}^{2};\left[t_{1}^{s},\ldots,t_{m_{s}+1}^{s};f\right]\ldots\right]\right].\end{gathered}

Aceasta ne spune că în cazul unei rețele Marchaud o diferență diviz partială de ordinul ( $m_{1},m_{2},\ldots,m_{s}$ ) este o suprapunere de $s$ difere divizate de o variabilă, ordinea de suprapunere fiind oarecare.
11. Relativ la diferența divizată parțială (24) vom da cîteva form de medie utile pentru stabilirea structurii restului multor formule aproximare.

O primă formulă de medie este

\left[\begin{array}[]{l}t_{1}^{1},t_{2}^{1},\ldots,t_{m_{1}+1}^{1}\\ t_{1}^{2},t_{2}^{2},\ldots,t_{m_{2}+1}^{2}\\ \ldots\ldots\ldots\\ t_{1}^{8},t_{2}^{s},\ldots,t_{ms+1}^{s}\end{array}\right]=\frac{1}{m_{1}!m_{2}!\ldots m_{s}!}\frac{\partial^{m_{1}\ldots+m_{s}}f\left(\xi^{1},\ldots,\xi^{s}\right)}{\partial\left(\xi^{1}\right)^{m_{1}}\ldots\partial\left(\xi^{s}\right)^{m_{s}}}

unde $\xi^{i}$ este cuprins în cel mai mic interval care conține numerele ${}_{2}^{i},\ldots,t_{m_{i}+1}^{i}$ .

Această formulă, pentru cazul $s=2$ , se poate vedea în [4].
12. Să considerăm $s$ numere naturale $p_{1},p_{2},\ldots,p_{8}$ astfel ca.

1\leqq p_{i}\leqq m_{i}+2,(i=\overline{1,s}).

Ținînd seama de formula (24) se verifică uşor că avem

\begin{gathered}{\left[\begin{array}[]{c}t_{1}^{1},\ldots,t_{m_{1}+2}^{1}\\ t_{1}^{2},\ldots,t_{m_{2}+2}^{2}\\ \ldots\ldots\ldots\\ t_{1}^{s},\ldots,t_{m_{s}+2}^{s}\end{array};\prod_{i=1}^{s}\left(t^{i}-t_{p_{i}}^{i}\right)f(M)\right]=}\\ =\left[\begin{array}[]{cc}t_{1}^{1},\ldots,t_{p_{1}-1}^{1},t_{p_{1}+1}^{1},\ldots,t_{m_{1}+2}^{1}&\\ t_{1}^{2},\ldots,t_{p_{2}-1}^{2},t_{p_{2}+1}^{2},\ldots,t_{m_{2}+2}^{2}&;f(M)\\ \ldots..&..\\ t_{1}^{s},\ldots,t_{p_{s}-1}^{s},t_{p_{s}+1}^{s},\ldots,t_{m_{s}+2}^{s}&.\ldots\end{array}\right].\end{gathered}

Folosind identitățile

t^{i}-t_{p_{i}}^{i}=\frac{\left(t_{p_{i}}^{i}-t_{1}^{i}\right)\left(t^{i}-t_{m_{i}+2}^{i}\right)+\left(t_{m_{i}+2}^{i}-t_{p_{i}}^{i}\right)\left(t^{i}-t_{1}^{i}\right)}{t_{m_{i}+2}^{i}-t_{1}^{i}},

formula precedentă ne va conduce la formula de medie

		$\displaystyle{\left[\begin{array}[]{l}t_{1}^{1},\ldots,t_{p_{1}-1}^{1},t_{p_{1}+1}^{1},\ldots,t_{m_{1}+2}^{1}\\ t_{1}^{2},\ldots,t_{p_{2}-1}^{1},t_{p_{2}+1}^{2},\ldots,t_{m_{2}+2}^{2}\\ \cdot\ldots\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\\ t_{1}^{s},\ldots,t_{p_{s^{-}}-1}^{s},t_{p_{s}+1}^{s},\ldots,t_{p_{s}+2}^{s}\end{array}\right]=}$
		$\displaystyle=\frac{1}{\left.\prod_{i=}^{s}\underline{\iota}_{m_{i}+2}^{i}-l_{1}^{i}\right)}\sum_{j_{1}=1}^{2}\ldots\sum_{j_{s}=1}^{2}A_{j_{1}}^{1}\ldots A_{j_{s}}^{s}D_{j_{1}j_{2}\ldots j_{s}}^{m_{1}m_{2}\ldots m_{s}},$

unde

\begin{gathered}A_{1}^{k}=t_{p_{k}}^{k}-t_{1}^{k},A_{2}^{k}=t_{m_{k}+2}^{k}-t_{p_{k}}^{k}\\ D_{j_{1}j_{2}\ldots j_{s}}^{m_{1}m_{2}\ldots m_{s}}=\left[\begin{array}[]{c}t_{j_{1}}^{1},t_{j_{1}+1}^{1},\ldots,t_{j_{1}+m_{1}}^{1}\\ t_{j_{2}}^{2},t_{j_{2}+1}^{2},\ldots,t_{j_{2}+m_{2}}^{2};f(M)\\ \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\\ t_{j_{s}}^{s},t_{j_{s}+1}^{s},\ldots,t_{j_{s}+m_{s}}^{s}\end{array}\right].\end{gathered}

De exemplu în cazul $s=2$ această formulă de medie se scrie

\begin{gathered}{\left[\begin{array}[]{l}x_{1},\ldots,x_{p-1},x_{p+1},\ldots,x_{n+2}\\ y_{1},\ldots,y_{q-1},y_{q+1},\ldots,y_{m+2}\end{array};f(x,y)\right]=}\\ =\frac{1}{\left(x_{n+2}-x_{1}\right)\left(y_{m+2}-y_{1}\right)}\left\{\left(x_{p}-x_{1}\right)\left(y_{q}-y_{1}\right)\left[\begin{array}[]{lll}x_{1},&\ldots,&x_{n+1}\\ y_{1},&\ldots,&y_{m+1}\end{array}\right]+\right.\\ +\left(x_{n+2}-x_{p}\right)\left(y_{q}-y_{1}\right)\left[\begin{array}[]{l}x_{2},\ldots,\\ y_{1},\ldots,x_{m+2}\end{array};f\right]+\\ +\left(x_{p}-x_{1}\right)\left(y_{m+2}-y_{1}\right)\left[\begin{array}[]{l}x_{1},\ldots,x_{n+1}\\ y_{2},\ldots,y_{m+2}\end{array};f\right]+\\ \left.+\left(x_{n+2}-x_{p}\right)\left(y_{m+2}-y_{q}\right)\left[\begin{array}[]{l}x_{2},\ldots,x_{n+2}\\ y_{2},\ldots,y_{m+2}\end{array};f\right]\right\}.\end{gathered}

13.

Trinînd seama de formula (25), se poate extinde imediat, la $s$ variabile, o importantă teoremă de medie dată, în cazul unidimensional, de prof. T. Popoviciu [5], [6].

Considerînd următorul sistem de $N=m_{1}m_{2}\ldots m_{s}$ puncte

P_{i_{1}i_{2}\ldots i_{s}}\left(t_{i_{1}}^{1},t_{i_{2}}^{2},\ldots,t_{i_{s}}^{s}\right)\left(i_{k}=\overline{1,m_{k}};k=\overline{1,s)}\right.

(27)

ii presupunînd că

t_{1}^{r}<t_{2}^{r}<\ldots<t_{m_{r}}^{r},\quad m_{r}\geqslant n_{r}+2(r=\overline{1,s}),

orice diferență divizată parțială de ordinul $\left(n_{1}+1,n_{2}+1,\ldots,n_{s}\right.$ tande $\xi^{i}$ e cuprins în cel mai mic interval care conține numerele $t^{i}$ , pe $N=\prod^{s}\left(n_{k}+1\right)$ puncte, din cele de la (27), este o medie aritmet $\left.\right|_{1}^{i},\ldots,t_{m_{i}+1}^{i}$ .

Mentionăm că numerele $\xi^{1},\xi^{2},\ldots,\xi^{s}$ sînt aceleaşi în toate deriva(generalizată) de felul următor :

\begin{gathered}\left.\left\lvert\,\begin{array}[]{l}\overline{t_{i_{1},1}},t_{i_{1},2}^{1},\ldots,t_{i_{1},n_{1}+2}^{1}\\ t_{i_{2},1}^{2},t_{i_{2},2}^{2},\ldots,t_{i_{2},n_{2}+2}^{2};f(M)\\ \ldots\ldots\ldots,\ldots,\ldots,t_{i_{s},n_{s}+2}^{s}\\ t_{i_{s,1}}^{s},t_{i_{s,2}}^{s},\ldots,t_{i}^{s},\ldots,t_{i_{1}+n_{1}+1}^{1}\\ \sum_{j_{1}=1}^{m_{s}}\end{array}\right.\right\}=\\ =\sum_{j_{s}=1}^{m_{1}-n_{1}-1}C_{j_{1}j_{2},\ldots j_{s}}\left[\begin{array}[]{c}t_{j_{1}}^{1},t_{j_{1}+1}^{1},\ldots,t_{s}\\ t_{j_{2}}^{2},t_{j_{2}+1}^{2},\ldots,t_{j_{2}+n_{2}+1}^{2};f(M)\\ \cdot\cdot\ldots.\\ t_{j_{s}}^{2},t_{j_{s}+1}^{s},\ldots,t_{j_{s}+n_{s}+1}^{s}\end{array}\right],\end{gathered}

unde coeficienții

C_{j_{1}j_{2}\ldots j_{s}}\geqq 0\quad\left(j_{k}=\overline{1,m_{k}-n_{k}-1};k=\overline{1,s}\right)

sînt independenți de funcția $f(M)$ și

\sum_{j_{1}=1}^{m_{1}-n_{1}-1}\cdots\sum_{j_{s}=1}^{m_{s}-n_{s}-1}C_{j_{1}j_{2}\ldots j_{s}}=1,

iar

1=i_{p,1}<i_{p,2}<\ldots<i_{p,n_{p}+2}=m_{p}\quad(p=1,2,\ldots,s)

14.

In cazul particular al nodurilor (23) restul formulei (17) poate exprima cu ajutorul diferentelor divizate partiale *).

Pe baza formulei (25) și teoremelor de medie pe care le-am se poate arăta **) că restul acesta se poate exprima, bineînțeles în ipot că funcția $f(M)$ e derivabilă parțial de un număr suficient de ori, forma

\begin{gathered}R_{s}(M)=\sum_{\left(m_{1}+1\right)!}\frac{u^{1}\left(l^{1}\right)}{\left(m_{1}\right)}\frac{\partial^{m_{1}+1}f\left(\xi^{1},t^{2},\ldots,l^{s}\right)}{\partial\left(\xi^{1}\right)^{m_{1}+1}}-\\ -\sum\frac{u^{1}\left(l^{1}\right)u^{2}\left(l^{2}\right)}{\left(m_{1}+1\right)!\left(m_{2}+1\right)!}\frac{\partial^{m_{1}+m_{2}+2}f\left(\xi^{1},\xi^{2},l^{3},\ldots,l^{s}\right)}{\partial\left(\xi^{1}\right)^{m_{1}+1}\partial\left(\xi^{2}\right)^{m_{2}+1}}+\\ +\sum\frac{u^{1}\left(l^{1}\right)u^{2}\left(l^{2}\right)u^{3}\left(l^{3}\right)}{\left(m_{1}+1\right)!\left(m_{2}+1\right)!\left(m_{3}+1\right)!}\frac{\partial^{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3}f\left(\xi^{1},\xi^{2},\xi^{3},l^{4},\ldots,l^{s}\right)}{\partial\left(\xi^{1}\right)^{m_{1}+1}\partial\left(\xi^{2}\right)^{m_{2}+1}\partial\left(\xi^{3}\right)^{m_{3}+1}}-\\ +(-1)^{s}\prod_{i=1}^{s}\frac{u^{i}\left(l^{i}\right)}{\left(m_{i}+1\right)!}\frac{\partial^{m_{1}+\ldots+m_{s}+s}f\left(\xi^{1},\xi^{2},\ldots,\xi^{s}\right)}{\partial\left(\xi^{1}\right)^{m_{1}+1}\ldots\partial\left(\xi^{s}\right)^{m_{s}+1}},\end{gathered}

⁰⁰footnotetext: *) Vezi J. F. Steffensen [4].
**) Demonstrația am dat-o in lucrarea [1].

ele partiale care intervin.
Dacă se aplică fiecărei diferențe divizate parțiale, care intervine în expresia restului, doar formula de medie (26), cum au făcut unii autori n cazul $s=2$ , atunci nu se poate obtine acest rezultat, care pare să fie important atît din punct de vedere teoretie cît și practic.

II

15.

In această parte a lucrării ne vom ocupa de formulele de interare numerică de tip Gauss, folosind formulele de interpolare care sînt lefinite pe distribuția particulară de noduri de la (23).

Mai întîi vom face o observație asupra formulei de cvadratură a ui Gauss.
16. Să considerăm polinomul de interpolare al lui Lagrange-Hernite de gradul $2n-1$ :

	$\displaystyle L(x)=L\left(x_{1},x_{1},x_{2},x_{2},\right.$	$\displaystyle\left.\ldots,x_{.},x_{n};f\mid x\right)=$
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}h_{i}(x)f\left(x_{i}\right)+\sum_{=1}^{n}k_{i}(x)f^{\prime}\left(x_{i}\right)$		(29)

nde

h_{i}(x)=\left(1-\frac{\omega^{\prime\prime}\left(x_{i}\right)}{\omega^{\prime}\left(x_{i}\right)}\left(x-x_{i}\right)\right)l_{i}^{2}(x),k_{i}(x)=\left(x-x_{i}\right)l_{i}^{2}(x)

\omega(x)=\prod_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right),l_{i}(x)=\frac{\omega(x)}{\left(x-x_{i}\right)\omega^{\prime}\left(x_{i}\right)}.

A. Markov [7] a observat că dacă se aleg nodurile $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ pemai rădăcinile polinomului lui Legendre

P_{n}(x)=C_{n}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n}

(30)

tunci în formula de cvadratură

\int_{-1}^{+1}f(x)dx\approx\int_{-1}^{+1}L(x)dx=\sum_{i=1}^{n}A_{i}f\left(x_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n}B_{i}f^{\prime}\left(x_{i}\right)

(31)

ispar coeficienții $B_{i}$ şi se ajunge la formula de cvadratură a lui Gauss

\int_{-1}^{+1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}A_{i}f\left(x_{i}\right)

(32)

labilă pentru orice polinom $f(x)$ de grad cel mult $2n-1$ .
labilă pentru orice polinom $f(x)$ de grad cel mult $2n-1$ .

Această observație i-a permis lui A. A. Markov să stabileas Dar expresia restului acestei formule de cvadratură în cazul cînd $f(x)$ este funcție oarecare derivabilă de $2n$ ori.
17. Noi vom arăta că această situație are loc și în cazuri ceva n generale.

Să considerăm numerele distincte $x_{i},\lambda_{j}(i=1,n;j=\overline{1,k})$ . Forms ${}^{\text{si }}$ de interpolare a lui Lagrange relativă la aceste noduri și o funcție oa care $f(x)$ se scrie

f(x)=L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k};f\mid x\right)+R(x)

unde

\begin{gathered}R(x)=Q_{n}(x)S_{k}(x)\left[x,x_{1},\ldots,x_{n},\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k};f\right],\\ Q_{n}(x)=\prod_{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right),S_{k}(x)=\prod_{i=1}^{k}\left(x-\lambda_{i}\right)\end{gathered}

Folosind formula de interpolare (33) la calculul integralei *)

I_{1}=\int_{-1}^{+1}f(x)dx

se ajunge la formula de evadratură

\int_{-1}^{+1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}A_{i}f\left(x_{i}\right)+\sum_{j=1}^{k}B_{j}f\left(\lambda_{j}\right)+\int_{-1}^{+1}R(x)dx

De remarcat că dacă se ia $Q_{n}(x)\equiv P_{n}(x)$ , adică dacă nodu $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ se aleg tocmai rădăcinile polinomului lui Legendre $(?$ iar $k\leqq n$ , atunci avem de asemenea

B_{j}=0\quad(j=\overline{1,k})

şi, se obține, oricare ar fi $k\leqq n$ , formula de integrare numerică lui Gauss.

Într-adevăr, dacă în formula (37) se înlocuieşte $f(x)$ cu

\varphi(x)=P_{n}(x)\frac{S_{k}(x)}{\left(x-\lambda_{j}\right)S_{k}^{\prime}\left(\lambda_{j}\right)}

se obține
$\int_{-1}^{+1}\varphi(x)dx=B_{j}P_{n}\left(\lambda_{1}\right)+\int_{-1}^{+1}P_{n}(x)S_{k}(x)\left[x,x_{1},\ldots,x_{n},\lambda_{1},\ldots,\lambda_{k};\varphi(x)\right]$

⁰⁰footnotetext: *) In cele ce urmează vom folosi intervalul de integrare

[-1,+1]

; formulele ca obțin se pot transcrie imediat pentru un interval oarecare

[a,b]

fåcînd schimbarea de vari

x=\frac{b-a}{2}y+\frac{b+a}{2}

	$\displaystyle\int_{-1}^{+1}\varphi(x)dx=\int_{-1}^{+1}P_{n}(x)\frac{S_{k}(x)}{\left(x-\lambda_{j}\right)S_{k}^{\prime}\left(\lambda_{j}\right)}dx=0$
	$\displaystyle{\left[x,x_{1},\ldots,x_{n}\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{k};\varphi(x)\right]\equiv 0}$		(38)

(icăci $\varphi(x)$ este un polinom de gradul $n+k-1$ iar diferența divizată (38) are ordinul $n+k$ .

Întrucît $P_{n}\left(\lambda_{j}\right)\neq 0$ , rezultă că

B_{j}=0\quad(j=\overline{1,n})

(si formula de cvadratură (37) se reduce la

\int_{-1}^{+1}f(x)dx=A_{1}f\left(x_{1}\right)+A_{2}f\left(x_{2}\right)+\ldots+A_{n}f\left(x_{n}\right)+\rho

(39)

(ande

\rho=\int_{-1}^{+1}R(x)dx

(40)

Pentru a determina coeficienții $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ să facem în formula (39)

f(x)=\frac{P_{n}(x)}{\left(x-x_{i}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)},\quad(i=\overline{1,n})

(41)

e obține imediat

A_{i}=\int_{-1}^{+1}\frac{P_{n}(x)dx}{\left(x-x_{i}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)},\quad(i=\overline{1,n})

(42)

18.

Avînd în vedere că oricare ar fi polinomul $S_{k}(x)$ de gradul $\leqq n$ , avem

S_{k}(x)=CP_{n}(x)+\sum_{\alpha=1}^{n}\frac{P_{n}(x)}{\left(x-x_{\alpha}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{\alpha}\right)}S_{k}\left(x_{\alpha}\right)

(43)

olare

\begin{gathered}L(x)=L\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{k};f\mid x\right)=\\ =\sum_{i=1}^{n}\frac{P_{n}(x)S_{k}(x)}{\left(x-x_{i}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)S_{k}\left(x_{i}\right)}f\left(x_{i}\right)+\sum_{j=1}^{k}\frac{P_{n}(x)S_{k}(x)}{\left(x-\lambda_{j}\right)P_{n}\left(\lambda_{j}\right)S_{k}^{\prime}\left(\lambda_{j}\right)}f\left(\lambda_{j}\right)\end{gathered}

se va putea pune sub forma

\begin{gathered}L(x)=C\sum_{i=1}^{n}P_{n}(x)\frac{P_{n}(x)}{\left(x-x_{i}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)S_{k}\left(x_{i}\right)}f\left(x_{i}\right)+\\ +\sum_{i=1}^{n}\sum_{\alpha=1}^{n}\frac{P_{n}(x)}{\left(x-x_{i}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)}\frac{P_{n}(x)}{\left(x-x_{\alpha}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{\alpha}\right)}\frac{S_{k}\left(x_{\alpha}\right)}{S_{k}\left(x_{i}\right)}f\left(x_{i}\right)+\\ \quad+\sum_{j=1}^{n}P_{n}(x)\frac{S_{k}(x)f\left(\lambda_{j}\right)}{\left(x-\lambda_{j}\right)P_{n}\left(\lambda_{j}\right)S_{k}^{\prime}\left(\lambda_{j}\right)}.\end{gathered}

Integrînd găsim că

\int_{-1}^{+1}L(x)dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{-1}^{+1}\left(\frac{P_{n}(x)}{\left(x-x_{i}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)}\right)^{2}f\left(x_{i}\right)dx

Deci coeficienții formulei de cvadratură (39) se mai pot exprima pr formula

A_{i}=\int_{-1}^{+1}\left(\frac{P_{n}(x)}{\left(x-x_{i}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)}\right)^{2}dx\quad(i=\overline{1,n})

care ne arată că formula de evadratură (39) are toți coeficienții poziti Acest rezultat se datoreşte lui Stieltjes [8].

Formula (39) este formula de integrare numerică a lui Gauss.
Pentru coeficienții acestei formule se pot da de asemenea, cum arătat Christoffel [9], şi următoarele expresii simple

A_{i}=\frac{\|_{2}}{\left(1-x_{i}^{2}\right)\left[P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)\right]^{2}}(i=\overline{1,n}).

Afară de aceasta, dacă se ține seama că între rădăcinile polinomului Legendre există relația $x_{i}=-x_{n-i+1}$ , se deduce imediat *) că avem asemenea

A_{i}=A_{n-i+1}(i=\overline{1,n}).

Formula de cvadratură a lui Gauss are, după cum bine se știe, grai de exactitate $2n-1$ .

Dacă se ia $k=n$ , restul (40) devine **)

\rho=\frac{n!}{[(2n)!]^{2}}\int_{-1}^{+1}S_{n}(x)\left[\left(x^{2}-1\right)^{n}\right]^{n}f^{(2n)}(\xi)dx

Aici $\xi$ este cuprins în cel mai mic interval care conține valo: iar $x,x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ .
*) Vezi de exemplu [10].
**) Coeficientul lui $x^{n}$ din $P_{n}(x)$ trebuie să fie egal cu 1 , cum se vede din (35), din motiv in (30) am ales $C_{n}=(n!):(2n)!$
unde in [11].
19. Mai sus am presupus că numerele $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{k}$ sînt distincte şi diferite de rădăcinile lui $P_{n}(x)^{*}$ ).

Să presupunem acum că numerele $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{k}$ , nu sînt în general distincte și anume: $\lambda_{j}$ are ordinul de multiplicitate $r_{j}$ , unde $j=\overline{1,s}$ iar $r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{s}=k\leqq n$ .

Să scriem expresia polinomului de interpolare al lui LagrangeHermite **), pe nodurile reprezentate de rădăcinile polinomului

\omega(x)=\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{s}\left(x-x_{i}\right)\left(x-\lambda_{j}\right)^{r_{j}}.

(48)

Avem

	$\displaystyle L_{H}(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\omega(x)}{\left(x-x_{i}\right)\omega^{\prime}\left(x_{i}\right)}f\left(x_{i}\right)+$
	$\displaystyle+\sum_{i=1}^{s}\sum_{j=0}^{r_{i}-1}\sum_{k=0}^{r_{i}-j-1}\frac{\omega(x)}{\left(x-\lambda_{i}\right)^{r_{i}}}\left\{\frac{\left(x-\lambda_{i}\right)^{j}}{j!}\left[\frac{\left(x-\lambda_{i}\right)^{k}}{k!}\left(\frac{\left(x-\lambda_{i}\right)^{r_{i}}}{\omega(x)}\right)_{\lambda_{i}}^{(k)}\right]f^{(j)}\left(\lambda_{i}\right)\right\}.$		(49)

În formula de interpolare

f(x)=L_{H}(x)+R(x)

(

\prime

)

restul are expresia

R(x)=\omega(x)[x,x_{1},\ldots,x_{n},\underbrace{\lambda_{1},\ldots,\lambda_{1}}_{r_{1}},\ldots,\underbrace{\lambda_{s},\ldots,\lambda_{s}}_{r_{s}};f].

(50)

Folosind formula (49) pentru calculul integralei (36) se ajunge la o formulă de evadratură de forma

\int_{-1}^{+1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}A_{i}f\left(x_{i}\right)+\sum_{i=1}^{s}\sum_{j=0}^{r_{i}-1}B_{ij}f^{(j)}\left(\lambda_{i}\right)+\rho

(51)

\rho=\int_{-1}^{+1}R(x)dx

Dacă $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ sînt rădăcinile polinomului lui Legendre $P_{n}(x)$ , atunci, ținînd seama de (49), se observă că

A_{i}=\int_{-1}^{+1}\frac{\omega(x)dx}{\left(x-x_{i}\right)\omega^{\prime}\left(x_{i}\right)},\quad(i=\overline{1,n})

(52)

B_{ij}=0\left(j=\overline{1,r_{i}-1};i=\overline{1,s}\right),

*) Dacă $S_{n}(x)\equiv P_{n}(x)$ se dă peste cazul lui A. A. Markov [7].
**) Expresia explicită a polinomului lui Lagrange-Hermite se poate vedea de exemplu
oricare ar fi rădăcinile polinomului de gradul $k\leqq n$

S_{k}(x)=\prod_{j=1}^{s}\left(x-\lambda_{j}\right)^{r_{j}}.

(53)

Ținînd seama de notațiile introduse, polinomul (48) se scrie

\omega(x)=P_{n}(x)S_{k}^{-}(x).

Avînd în vedere că oricare ar fi polinomul $S_{k}(x)$ , de gradul $k\leqq$ n el se poate pune sub forma (43), se găsește, ca și la punctul 18, expresi (44) pentru coeficienții $A_{i}$ ai formulei de cvadratură (51).

In definitiv constatăm că și în cazul de care ne-am ocupat în acei aliniat se ajunge la formula de cvadratură a lui Gauss *)

\int_{-1}^{+1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}A_{i}f\left(x_{i}\right)+\rho

()

Luînd $k=n$ , restul acestei formule va fi

	$\displaystyle\rho=\int_{-1}^{+1}P_{n}(x)S_{n}(x)[x,x_{1},\ldots,x_{n},\underbrace{\lambda_{1},\ldots,\lambda_{1}}_{r_{1}},\ldots,\underbrace{\lambda_{s},\ldots,\lambda_{s}}_{r_{s}};f]dx=$
	$\displaystyle=\frac{1}{(2n)!}\int_{-1}^{+1}P_{n}(x)S_{n}(x)f^{(2n)}(\xi)dx=$
	$\displaystyle=\frac{n!}{[(2n)]^{2}}\int_{-1}^{+1}S_{n}(x)\left[\left(x^{2}-1\right)^{n}\right]^{(n)}f^{(2n)}(\xi)dx.$		(55)

20.

Considerațiile precedente se pot face si asupra integralelo multíple. Să ne ocupăm, pentru uşurarea expunerii, de cazul integralelo duble.

Ne propunem să stabilim o formulă de cubatură cu un număr minir de termeni pentru integrala dublă

I_{2}=\iint_{D}f(x,y)dxdy

(56)

unde $D$ este patratul

-1\leqq x\leqq 1,\quad-1\leqq y\leqq 1

Să considerăm formula de interpolare

f(x,y)=L(x,y)+R(x,y),

(5i)

unde

L(x,y)=L\left(\begin{array}[]{l}x_{1},\ldots,x_{n},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{r}\\ y_{1},\ldots,y_{m},\beta_{1},\ldots,\beta_{s}\end{array};f\binom{x}{y},\right.

⁰⁰footnotetext: *) Intr-o nouă lucrare [12] am dat o importantă generalizare acestei formule clasice lui Gauss.

jar
in care

	$\displaystyle u(x)=\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=0}^{r}\left(x-x_{j}\right)\left(x-\alpha_{i}\right)$		(60)
	$\displaystyle v(y)=\prod_{i=1}^{m}\prod_{j=1}^{s}\left(y-y_{i}\right)\left(y-\beta_{i}\right)$

Folosind formula de interpolare (57) pentru calculul integralei (56) se obține o formulă de cubatură de forma

	$\displaystyle\iint_{D}f(x,y)dxdy=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}A_{ik}f\left(x_{i},y_{k}\right)+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{s}B_{ij}f\left(x_{i},\beta_{j}\right)+$
	$\displaystyle+\quad\sum_{l=1}^{r}\sum_{k=1}^{m}C_{lk}f\left(\alpha_{l},y_{k}\right)+\sum_{l=1}^{r}\sum_{j=1}^{s}D_{lj}f\left(\alpha_{l},\beta_{j}\right)+\rho$		(61)

unde

\rho=\iint_{D}R(x,y)dxdy

(62)

Dacă se aleg numerele

x_{1},x_{2},\ldots,x_{n};y_{1},y_{2},\ldots,y_{\ldots}

astfel încît ele să fie respectiv rădăcinile polinoamelor lui Legendre $P_{n}(x)$ , $P_{n}(y)$ şi notăm

E_{r}(x)=\prod_{i=1}^{r}\left(x-\alpha_{i}\right),\quad F_{\mathrm{s}}(y)=\coprod_{k=1}^{s}\left(y-\beta_{k}\right),

(63)

se constată că

	$\displaystyle B_{ij}=0,C_{lk}=0,D_{lj}=0$		(64)
	$\displaystyle(i=\overline{1,n};k=\overline{1,m};l=\overline{1,r};j=\overline{1,s})$

Coeficienții rămaşi au expresiile

A_{ik}=\frac{1}{P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)P_{m}^{\prime}\left(y_{k}\right)E_{r}\left(x_{i}\right)F_{s}\left(y_{k}\right)}\iint_{D}\frac{P_{n}(x)E_{r}(x)P_{m}(y)F_{s}(y)}{\left(x-x_{i}\right)\left(y-y_{k}\right)}dxdy

Intrucit oricare ar fi polinoamele (63), cu $r\leqq n,s\leqq m$ , avem

\begin{gathered}E_{r}(x)=C_{1}P_{n}(x)+\sum_{\nu=1}^{n}\frac{P_{n}(x)E_{r}\left(x_{\nu}\right)}{\left(x-x_{\nu}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{\nu}\right)}\\ F_{s}(y)=C_{2}P_{m}(y)+\sum_{\mu=1}^{m}\frac{P_{m}(y)F_{s}\left(y_{\mu}\right)}{\left(y-y_{\mu}\right)P_{m}^{\prime}\left(y_{\mu}\right)}\end{gathered}

unde $C_{1}\neq 0,C_{2}\neq 0$ dacă $r=n$ si $s=m$ , iar $C_{1}=C_{2}=0$ dacă $r<n$ si $s<m$ , se găsesc pentru coeficienții (64) expresiile

A_{ik}=\iint_{D}\left(\frac{P_{n}(x)}{\left(x-x_{i}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)}\right)^{2}\left(\frac{P_{m}(y)}{\left(y-y_{k}\right)P_{m}^{\prime}\left(y_{k}\right)}\right)^{2}dxdy

(65)

Ținînd seama de (64), formula de cubatură (61) se reduce la

\iint_{D}f(x,y)dxdy=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}A_{ik}f\left(x_{i},y_{k}^{*}\right)+\rho

(66)

Dacă luăm

f(x,y)=\frac{P_{n}(x)P_{m}(y)}{\left(x-x_{i}\right)\left(y-y_{k}\right)}

se găsesc și următoarele expresii pentru coeficienții acestei formule de cubatură

A_{ik}=\iint_{D}\frac{P_{n}(x)}{\left(x-x_{i}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)}\frac{P_{m}(y)}{\left(y-y_{k}\right)P_{m}^{\prime}\left(y_{k}\right)}dxdy

((67)

Se observă că

A_{ik}=C_{i}D_{k}

unde

C_{i}=\int_{-1}^{+1}\frac{P_{n}(x)}{\left(x-x_{i}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)}dx,\quad D_{k}=\int_{-1}^{+1}\frac{P_{m}(y)}{\left(y-y_{k}\right)P_{m}^{\prime}\left(y_{k}\right)}dy

Pe baza rezultatului lui Christoffel, semnalat la punctul 18, se găseste e

A_{ik}=\frac{4}{\left(1-x_{i}^{2}\right)\left(1-y_{k}^{2}\right)\left[P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)P_{m}^{\prime}\left(y_{k}\right)\right]^{2}}

(168)

Avem de asemenea relațiile

A_{ik}=A_{n-i+1},m-i+1(i=\overline{1,n};k=\overline{1,m})

21.

Printr-un procedeu asemănător cu cel folosit în cazul unei varia bile, se arată că rezultatele precedente se păstrează și atunci cînd rădăcinil polinoamelor (63) nu sînt distincte.
22.

Să căutăm acum expresia restului formulei de cubatură de tip Gauss (66), care are gradul de exactitate $(2n-1,2m-1)$ .

Făcînd $r^{\prime}=n$ , şi $s=m$ , formulele (59) și (62) ne conduc la următoarea expresie a restului

\rho=\iint_{D}^{c}R(x,y)dxdy

(69)

unde

		$\displaystyle R(x,y)=P_{n}(x)E_{n}(x)\left[x,x_{1},\ldots,x_{n},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n};f\right]+$
		$\displaystyle\quad+P_{m}(y)F_{m}(y)\left[y,y_{1},\ldots,y_{m},\beta_{1},\ldots,\beta_{m};f\right]-$
		$\displaystyle-P_{n}(x)E_{n}(x)P_{m}(y)F_{m}(y)\left[\begin{array}[]{l}x,x_{1},\ldots,x_{n},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\\ y,y_{1},\ldots,y_{m},\beta_{1},\ldots,\beta_{m}\end{array};f\right].$

Cazului tratat de A. A. Markov pentruo variabilă îi corespunde pentru două variabile cazul

E_{n}(x)\equiv P_{n}(x),F_{m}(y)\equiv P_{m}(y)

(

\prime

)

cînd restul precedent va deveni

		$\displaystyle R(x,y)=P_{n}^{2}(x)\left[x,x_{1},x_{1},\ldots,x_{n},x_{n};f\right]+$
		$\displaystyle\quad+P_{m}^{2}(y)\left[y,y_{1},y_{1},\ldots,y_{m},y_{m};f\right]-$
		$\displaystyle-P_{n}^{2}(x)P_{m}^{2}(y)\left[\begin{array}[]{lll}x,x_{1},x_{1},\ldots,x_{n},x_{n}\\ y,y_{1}y_{1},\ldots,y_{m},y_{m}\end{array};f\right]$

Vrem să găsim o evaluare a restului (69) în acest caz.
T,inînd seama de formula (25), de proprietatea de aditivitate a diferentelor divizate şi de formula de medie (26), putem scrie succesiv,

\begin{gathered}\iint_{D}\left\{P_{n}^{2}(x)\left[x,x_{1},x_{1},\ldots,x_{n},x_{n};f\right]-P_{n}^{2}(x)P_{m}^{2}(y)\left[\begin{array}[]{l}x,x_{1},x_{1},\ldots,x_{n},x_{n}\\ y,y_{1},y_{1},\ldots,y_{m},y_{m}\end{array}\right]\right]_{n}^{+1}dxdy\\ =\int_{-1}^{+1}\left\{\int_{-1}^{+1}P_{n}^{2}(x)\left[x,x_{1},x_{1},\ldots,x_{n},x_{n};f(x,y)-P_{m}^{2}(y)\left[y,y_{1},y_{1},\ldots,y_{m},y_{m};\right.\right.\right.\\ f(x,y)]]dx\}dy=\\ =\int_{-1}^{+1}\left\{\left[\xi^{\prime},x_{1},x_{1},\ldots,x_{n},x_{n};f\left(\xi^{\prime},y\right)-P_{m}^{2}(y)\left[y,y_{1},y_{1},\ldots,y_{m},y_{m};\right.\right.\right.\\ \left.\left.\left.f\left(\xi^{\prime},y\right)\right]\right]\int_{-1}^{+1}P_{n}^{2}(x)dx\right\}dy=\\ =\int_{-1}^{+1}A_{n}\left\{\frac{1}{(2n)!}\frac{\partial^{2n}f(\xi,y)}{\partial\xi^{2n}}-\frac{P_{m}^{2}(y)}{(2n)!}\left[y,y_{1},y_{1},\ldots,y_{m},y_{m};\frac{\partial^{2n}f(\xi,y)}{\partial\xi^{2n}}\right]\right\}dy=\\ =\frac{2A_{n}}{(2n)!}\frac{\partial^{2n}f\left(\xi,\eta_{1}\right)}{\partial\xi^{2n}}-\frac{A_{n}}{(2n)!}\int_{-1}^{+1}P_{m}^{2}(y)\left[y,y_{1},y_{1},\ldots,y_{n},y_{m};\frac{\partial^{2n}f(\xi,y)}{\partial\xi^{2n}}\right]dy\end{gathered}

unde

A_{n}=\int_{-1}^{+1}P_{n}^{2}(x)dx=\frac{2^{2n+1}(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)!}

lar $\eta_{1}$ şi $\xi$ sînt respectiv cuprinşi în intervalul $[-1,+1]$ și cel mai m interval care conține valorile $x,x_{1},\ldots,x_{n}$ .

Cu acestea restul devine

\begin{gathered}\rho=\frac{2A_{n}}{(2n)!}\frac{\partial^{2n}f\left(\xi,\eta_{1}\right)}{\partial\xi^{2n}}+\int_{-1}^{1}P_{m}^{2}(y)\left[y,y_{1},y_{1},\ldots,y_{m},y_{m};\int_{-1}^{1}f(x,y)dx-\right.\\ \left.-\frac{A_{n}}{(2n)!}\frac{\partial^{2n}f(\xi,y)}{\partial\xi^{2n}}\right]dy=\frac{2A_{n}}{(2n)!}\frac{\partial^{2n}f\left(\xi,\eta_{1}\right)}{\partial\xi^{2n}}+A_{m}\left[\eta^{\prime},y_{1},y_{1},\ldots,y_{m},y_{m};\right.\\ \left.\int_{-1}^{1}f\left(x,\eta^{\prime}\right)dx-\frac{A_{n}}{(2n)!}\frac{\partial^{2n}f\left(\xi,\eta^{\prime}\right)}{\partial\xi^{2n}}\right]=\frac{2A_{n}}{(2n)!}\frac{\partial^{2n}f\left(\xi,\eta_{1}\right)}{\partial\xi^{2n}}+\frac{2A_{m}}{(2m)!}\frac{\partial^{2m}f\left(\xi_{1},\eta\right)}{\partial\eta^{2m}}-\\ -\frac{A_{n}A_{m}}{(2n)!(2m)!}\frac{\partial^{2n+2m}f(\xi,\eta)}{\partial\xi^{2n}\partial\eta^{2m}}.\end{gathered}

În felul acesta se ajunge la următoarea expresie pentru restul formu de cubatură (66)

\begin{gathered}\rho=\frac{2^{2n+2}}{2n+1}\frac{n!}{[(n+1)(n+2)\ldots 2n]^{3}}\frac{\partial^{2n}f\left(\xi,\eta_{1}\right)}{\partial\xi^{2n}}+\\ +\frac{2^{2m+2}}{2m+1}\frac{m!}{[(m+1)(m+2)\ldots 2m]^{3}}\frac{\partial^{2m}f\left(\xi_{1},\mu\right)}{\partial\eta^{2m}}-\\ -\frac{2^{2n+2m+2}}{(2n+1)(2m+1)}\frac{n!m!}{[(n+1)(n+2)\ldots 2n]^{3}[(m+1)(m+2)\ldots 2m]^{3}}\frac{\partial^{2n+2m}f(\xi)}{\partial\xi^{2n}\partial\eta^{2}}\end{gathered}

Să considerăm acum cîteva cazuri particulare ale formulei (6 $1^{\circ}.n=m=1$ .

\begin{gathered}\iint_{D}f(x,y)dxdy=4f(0,0)+\rho_{1}\\ \rho_{1}=\frac{2}{3}\frac{\partial^{2}f\left(\xi,\eta_{1}\right)}{\partial\xi^{2}}+\frac{2}{3}\frac{\partial^{2}f\left(\xi_{1},\eta\right)}{\partial\eta^{2}}-\frac{1}{9}\frac{\partial^{4}f(\xi,\eta)}{\partial\xi^{2}\partial\eta^{2}}.\end{gathered}

$2^{\circ}.n=m=2$ .
$3^{\circ}.m=n=3$ .

	$\displaystyle\iint_{D}f(x,y)dxdy=\frac{1}{81}\left\{25\left[f\left(-\sqrt{\frac{3}{5}},\sqrt{\frac{3}{5}}\right)+f\left(-\sqrt{\frac{3}{5}},\sqrt{\frac{3}{5}}\right)+\right.\right.$
	$\displaystyle\left.\quad+f\left(\sqrt{\frac{3}{5}},-\sqrt{\frac{3}{5}}\right)+f\left(\sqrt{\frac{3}{5}},\sqrt{\frac{3}{5}}\right)\right]+40\left[f\left(-\sqrt{\frac{3}{5}},0\right)+\right.$
	$\displaystyle\left.\left.+f\left(0,-\sqrt{\frac{3}{5}}\right)+f\left(0,\sqrt{\frac{3}{5}}\right)+f\left(\sqrt{\frac{3}{5}},0\right)\right]+64f(0,0)\right\}+\rho_{3}$		(73)
	$\displaystyle\rho_{3}=\frac{1}{7875}\frac{\partial^{6}f\left(\xi,\eta_{1}\right)}{\partial\xi^{6}}+\frac{1}{7875}\frac{\partial^{6}f\left(\xi_{1},\eta\right)}{\partial\eta^{6}}-\frac{1}{248062500}\frac{\partial^{12}f(\xi,\eta)}{\partial\xi^{6}\partial\eta^{6}}$

23.

Dacă polinoamele $E_{n}(x)$ și $F_{m}(y)$ nu se aleg ca la stabilirea restului. (70), determinarea restului e destul de complicată.

Să dăm un exemplu.
Dacă se alege $m=n=2$ am văzut că se obține formula de cubatură (72). Pentru evaluarea restului ei să alegem

E_{2}(x)=x^{2}-1,F_{2}(y)=y^{2}-1.

(i) Restul conform formulei (69) și următoarei va fi
unde

\rho=\iint_{D}\int_{D}r(x,y)dxdy

\begin{gathered}r(x,y)=\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-\frac{1}{3}\right)\left[x,-1,-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},1;f\right]+\\ +\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-\frac{1}{3}\right)\left[y,-1,-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},1;f\right]-\\ -\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-\frac{1}{3}\right)\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-\frac{1}{3}\right)\left[\begin{array}[]{l}x,-1,-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},1\\ y,-1,-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},1\end{array}\right].\end{gathered}

*) Această formulă a mai fost intilnită in mod incidental de către Mikeladze

Acum apar unele dificultăți din cauză că polinoamele care înmulte, diferențele divizate de mai sus nu păstrează un semn constant în domenj de integrare.

Făcînd o descompunere convenabilă a domeniului de integrare poate obține, după unele transformări, următoarea expresie a restul

$\displaystyle\rho$	$\displaystyle=\frac{14\sqrt{3}}{1215}\frac{\partial^{4}f\left(\xi_{1},\eta\right)}{\partial\xi_{1}^{4}}+\frac{2(9-7\sqrt{3})}{1215}\frac{\partial^{4}f\left(\xi_{2},\eta\right)}{\partial\xi_{2}^{2}}+$
$\displaystyle+$	$\displaystyle\frac{14\sqrt{3}}{1215}\frac{\partial^{4}f\left(\xi,\eta_{1}\right)}{\partial\eta_{1}^{4}}+\frac{2(9-7\sqrt{3})}{1215}\frac{\partial^{4}f\left(\xi,\eta_{2}\right)}{\partial\eta_{2}^{4}}-$
	$\displaystyle-\frac{49}{492075}\frac{\partial^{8}f\left(\xi_{1},\eta_{1}\right)}{\partial\xi_{1}^{4}\partial\eta_{1}^{4}}-\frac{14(3\sqrt{3}-7)}{492075}\frac{\partial^{8}f\left(\xi_{3},\eta_{3}\right)}{\partial\xi_{3}^{4}\partial\eta_{3}^{4}}-$
	$\displaystyle-\frac{2(38-21\sqrt{3})}{492075}\frac{\partial^{8}f\left(\xi_{2},\eta_{2}\right)}{\partial\xi_{2}^{4}\partial\eta_{2}^{4}}$	(7.)

În ipoteza că în patratul D avem

\left|\frac{\partial^{4}f(x,y)}{\partial x^{4}}\right|\leqq L,\left|\frac{\partial^{4}f(x,y)}{\partial y^{4}}\right|\leqq M,\left|\frac{\partial^{8}f(x,y)}{\partial x^{4}\partial y^{4}}\right|\leqq N

rezultă următoarea delimitare a acestui rest

|\rho|\leqq\frac{2}{135}(L+M)+\frac{N}{18225}

De remarcat că aceeași delimitare se obține dacă se pleacă de expresia (72) a restului. De fapt restul (70) trebuie să fie şi el independe de parametri $\alpha_{i},\beta_{k}$ . In exemplul precedent expresia corectă a restu este cea de la (72). Formula (72’) diferă doar în aparență de cea de la (7.
24. Rezultatele care preced se pot extinde acum foarte uşor la cazu mai multe variabile.

Să prezentăm pe scurt cîteva rezultate din cazul a trei variabi
Fie integrala triplă

I_{3}=\iiint_{V}f(x,y,z)dxdydz

unde $V$ este cubul

-1\leqq x,y,z\leqq+1

Folosind formula de interpolare

f(x,y,z)=L(x,y,z)+R(x,y,z)

unde

L(x,y,z)=L\left(\left.\begin{array}[]{l}x_{1},\ldots,x_{n},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{r}\\ y_{1},\ldots,y_{m},\beta_{1},\ldots,\beta_{s};f\\ z_{1},\ldots,z_{p},\gamma_{1},\ldots,\gamma_{1}\end{array}\right\rvert\,\begin{array}[]{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)

este polinomul de interpolare care coincide cu funcția $f(x,y,z)$ pe nodurile jar

\begin{array}[]{cl}M_{ijk}\left(x_{i},y_{j},z_{k}\right)&(i=\overline{1,n};j=\overline{1,m};k=\overline{1,p})\\ P_{\mu\nu\lambda}\left(\alpha_{\mu},\beta_{\nu},\gamma_{\lambda}\right)&(\mu=\overline{1,r};\nu=\overline{1,s};\lambda=\overline{1,t})\end{array}

	$\displaystyle R(x,y,z)$	$\displaystyle=u(x)\left[x,x_{1},\ldots,x_{n},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{r};f\right]+$
		$\displaystyle+v(y)\left[y,y_{1},\ldots,y_{m},\beta_{1},\ldots,\beta_{s};f\right]+$
		$\displaystyle+w(z)\left[z,z_{1},\ldots,z_{p},\gamma_{1},\ldots,\gamma_{t};f\right]-$

		$\displaystyle-u(x)v(y)\left[\begin{array}[]{l}x,x_{1},\ldots,x_{n},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{r}\\ y,y_{1},\ldots,y_{m},\beta_{1},\ldots,\beta_{s}\end{array};f-\right.$
		$\displaystyle-u(x)w(z)\left[\begin{array}[]{l}x,x_{1},\ldots,x_{n},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{r}\\ z,z_{1},\ldots,z_{p},\gamma_{1},\ldots,\gamma_{t}\end{array}\right]-$
		$\displaystyle-v(y)w(z)\left[\begin{array}[]{l}y,y_{1},\ldots,y_{m},\beta_{1},\ldots,\beta_{s}\\ z,z_{1},\ldots,z_{p},\gamma_{1},\ldots,\gamma_{t}\end{array};\right]+$
		$\displaystyle+u(x)v(y)w(z)\left[\begin{array}[]{l}x,x_{1},\ldots,x_{n},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{r}\\ y,y_{1},\ldots,y_{m},\beta_{1},\ldots,\beta_{s};f\\ z,z_{1},\ldots,z_{p},\gamma_{1},\ldots,\gamma_{t}\end{array}\right]$

în care

		$\displaystyle u(x)=P_{n}(x)E_{r}(x),E_{r}(x)=\prod_{i=1}^{r}\left(x-\alpha_{i}\right)$
		$\displaystyle v(y)=P_{m}(y)F_{s}(y),F_{s}(y)=\prod_{j=1}^{s}\left(y-\beta_{j}\right)$
		$\displaystyle w(z)=P_{p}(z)G_{l}(z),G_{t}(z)=\prod_{k=1}^{t}\left(z-\gamma_{k}\right)$
		$\displaystyle P_{q}(u)=C_{q}\frac{d^{q}}{du^{q}}\left(u^{2}-1\right)^{q}$

se obtine, indiferent dacă $\alpha_{i},\beta_{j},\gamma_{k}(i=1,2,\ldots,r\leqq n;j=1,2,\ldots..,s\leqq m;k=1,2,\ldots,t\leqq p)$ sînt distincți sau nu, formula de cubatură

\iiint_{V}f(x,y,z)dxdydz=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{p}A_{ij:}f\left(x_{i},y_{j},z_{k}\right)+\rho,

(74)

unde

\rho=\iiint_{V}R(x,y,z)dxdydz

iar

	$\displaystyle A_{ijk}$	$\displaystyle=\iiint_{V}\frac{P_{n}(x)}{\left(x-x_{i}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)}\frac{P_{m}(y)}{\left(y-y_{j}\right)P_{m}^{\prime}\left(y_{j}\right)}\frac{P_{p}(z)}{\left(z-z_{k}\right)P_{p}^{\prime}\left(z_{k}\right)}dxdydz=$
		$\displaystyle\left.=\iiint\int_{V}\frac{P_{n}(x)}{\left(x-x_{i}\right)P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)}\frac{P_{m}(y)}{\left(y-y_{j}\right)P_{m}^{\prime}\left(y_{j}\right)}\frac{P_{p}(z)}{\left(z-z_{k}\right)P_{p}^{\prime}\left(z_{k}\right)}\right)^{2}dxdydz=$
		$\displaystyle=\frac{8}{\left(1-x_{i}^{2}\right)\left(1-y_{j}^{2}\right)\left(1-z_{k}^{2}\right)\left[P_{n}^{\prime}\left(x_{i}\right)P_{m}^{\prime}\left(y_{j}\right)P_{p}^{\prime}\left(z_{k}\right)\right]^{2}}.$

25.

Să considerăm două cazuri particulare ale formulei de cubatură (74). $1^{\circ}.n=m=p=1$ .

		$\displaystyle\iiint_{V}f(x,y,z)dxdydz=8f(0,0,0)+\rho$
	$\displaystyle\rho=$	$\displaystyle\frac{4}{3}\left[\frac{\partial^{2}f\left(\xi,\eta^{\prime},\zeta^{\prime}\right)}{\partial\xi^{2}}+\frac{\partial^{2}f\left(\xi^{\prime},\eta,\zeta^{\prime}\right)}{\partial\eta^{2}}+\frac{\partial^{2}f\left(\xi^{\prime},\eta^{\prime},\zeta\right)}{\partial\zeta^{2}}\right]-$
	$\displaystyle-$	$\displaystyle\frac{1}{9}\left[\frac{\partial^{4}f\left(\xi,\eta^{\prime},\zeta^{\prime}\right)}{\partial\xi^{2}\partial\eta^{2}}+\frac{\partial^{4}f\left(\xi,\eta^{\prime},\zeta\right)}{\partial\xi^{2}\partial\zeta^{2}}+\frac{\partial^{4}f\left(\zeta^{\prime},\eta,\zeta\right)}{\partial\eta^{2}\partial\zeta^{2}}\right]+$
	$\displaystyle+$	$\displaystyle\frac{1}{108}\frac{\partial^{6}f(\xi,\eta,\zeta)}{\partial\xi^{2}\partial\eta^{2}\partial\zeta^{2}}$

In aceste expresii polinomul lui Legendre $P_{q}(u)$ conține factor numeric $C_{q}=\frac{1}{2^{q}\cdot q!}$ .

Între acești coeficienți există relațiile

A_{i,j,k}=A_{n-i+1,m-j+1,p-k+1}(i=\overline{1,n};j=\overline{1,m};k=\overline{1,p}).

Dacă se presupune că

r=n,s=m,t=p

şi

E_{n}(x)\equiv P_{n}(x),F_{m}(y)\equiv P_{m}(y),G_{p}(z)\equiv P_{p}(z),

pentru restul formulei de cubatură (74) se obține următoarea expresie

\begin{gathered}\rho=\frac{2^{2n+3}}{2n+1}\frac{n!}{[(n+1)(n+2)\ldots 2n]^{3}}\frac{\partial^{2n}f\left(\xi,\eta^{\prime},\zeta^{\prime}\right)}{\partial\xi^{2n}}+\\ +\frac{2^{2m+3}}{2m+1}\frac{m!}{[(m+1)(m+2)\ldots 2m]^{3}}\frac{\partial^{2m}f\left(\xi^{\prime},\eta,\zeta^{\prime}\right)}{\partial\eta^{2m}}+\\ +\frac{2^{2p+3}}{2p+3}\frac{p!}{[(p+1)(p+2)\ldots 2p]^{3}}\frac{\partial^{2p}f\left(\xi^{\prime},\eta^{\prime},\zeta\right)}{\partial\zeta^{2p}}-\\ -\frac{2^{2n+2m+2}}{(2n+1)(2m+1)}\frac{n!m!}{[(n+1)(n+2)\ldots 2n]^{3}[(m+1)(m+2)\ldots 2m]^{3}}\frac{\partial^{2n+2m}f\left(\xi,\eta,\zeta^{\prime}\right)}{\partial\xi^{2n}\partial\eta^{2m}}\\ -\frac{2^{2n+2p+2}}{(2n+1)(2p+1)}\frac{n!p!}{[(n+1)(n+2)\ldots 2n]^{3}[(p+1)(p+2)\ldots 2p]^{3}}\frac{\partial^{2n+2p}f\left(\xi,\eta^{\prime},\right.}{\partial\xi^{2n}\partial\zeta^{2p}}\\ -\frac{2^{2m+2p+2}}{(2m+1)(2p+1)}\frac{m!p!}{[(m+1)(m+2)\ldots 2m]^{3}[(p+1)(p+2)\ldots 2p]^{3}}\frac{\partial^{2m+2p}f\left(\xi^{\prime},\eta,\eta^{\prime}\right.}{\partial\eta^{2m}\partial\zeta^{2p}}\\ \left.+\frac{2^{2n+2m+2p+1}}{(2n+1)(2m+1)(2p+1)}\frac{n!m!p!}{[(n+1)\ldots 2n]^{3}[(m+1)\ldots 2m]^{3}[(p+1)\ldots 2p]^{3}}\frac{\partial^{2n+2m+2p}(\xi,n}{\partial\xi^{2n}\partial\eta^{2m}\partial\zeta^{\prime 2}}\right)\end{gathered}

$2^{\circ}.n=m=p=2$ .

\begin{gathered}\iiint_{V}f(x,y,z)dxdydz=f\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+f\left(\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\\ +f\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+f\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)+f\left(\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+f\left(\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)+\\ +f\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)+f\left(\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{\sqrt{3}},\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)+\rho\\ \rho=\frac{4}{135}\left[\frac{\partial^{4}f\left(\xi,\eta^{\prime},\zeta^{\prime}\right)}{\partial\xi^{4}}+\frac{\partial^{4}f\left(\xi^{\prime},\eta,\zeta^{\prime}\right)}{\partial\eta^{4}}+\frac{\partial^{4}f\left(\xi^{\prime},\eta^{\prime},\zeta\right)}{\partial\zeta^{4}}\right]-\\ \frac{1}{18225}\left[\frac{\partial^{8}f\left(\xi,\eta,\zeta^{\prime}\right)}{\partial\xi^{4}\partial\eta^{4}}+\frac{\partial^{8}f\left(\xi,\eta^{\prime},\zeta\right)}{\partial\xi^{4}\partial\zeta^{4}}+\frac{\partial^{8}f\left(\xi^{\prime},\eta,\zeta\right)}{\partial\eta^{4}\partial\zeta^{4}}\right]+\frac{1}{9841500}\frac{\partial^{12}f(\xi,\eta,\zeta)}{\partial\xi^{4}\partial\eta^{4}\partial\zeta^{4}}.\end{gathered}

26.

Intr-o lucrare viitoare vom construi, plecînd de la formulele de interpolare pe care le-am dat în această lucrare, formule de cubatură pentru integralele duble și triple în cazul cînd domeniul de integrare este un poligon regulat, un cerc, un poliedru regulat sau sferă.

Generalizarea unor formule de interpolare pentru funcţiile de mai multe variabile şi unele consideraţii asupra formulei de integrare numerică a lui Gauss

Rezumat

Autor(i)

Cuvinte cheie

PDF

Citați articolul în forma

Despre acest articol

Revista

Editura

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Referințe bibliografice

Lucrare in format HTML

GENERALIZAREA UNOR FORMULE DE INTERPOLARE PENTRU FUNCTTILE DE MAI MULTE VARIABILE ȘI UNELE CONSIDERATVII ASUPRA FORMULEI DE INTEGRARE NUMERICĂ A LUI GAUSS

I

II

Related Posts