Se consideră un spaţiu liniar normat¹) $V$$V$VV$V$ şi un subspaţiu $S$$S$SS$S$ al lui $V$$V$VV$V$. Fie $U$$U$UU$U$ o operație liniară ${}^2$${}^2$^(2){ }^{2}${}^2$ ), definită pe spațiul $V$$V$VV$V$ și cu valorile aparţinînd de asemenea spațiului $V$$V$VV$V$.

Definitia 1. Subspatiul S il numim subspatiu interpolator relativ la operatia $U$$U$UU$U$, dacă : $1^{\circ }$$1^{\circ }$1^(@)1^{\circ}$1^{\circ }$. oricare ar $fiv\in V$$fiv\in V$fiv in Vf i v \in V$fiv\in V$, avem $U(v)\in S;2^{\circ }$$U(v)\in S;2^{\circ }$U(v)in S;2^(@)U(v) \in S ; 2^{\circ}$U(v)\in S;2^{\circ }$. oricare ar $fiv\in S$$fiv\in S$fi quad v in Sf i \quad v \in S$fiv\in S$, avem $U(v)=v$$U(v)=v$U(v)=vU(v)=v$U(v)=v$.

Fie $\mathcal{U}$$\mathcal{U}$U\mathcal{U}$\mathcal{U}$ o mulțime de operaţii liniare definite pe spaţiul $V$$V$VV$V$ și cu valorile în $V$$V$VV$V$.

Definiția 2. Subspatiul S îl numim interpolator relativ la multimea $\mathcal{U}$$\mathcal{U}$U\mathcal{U}$\mathcal{U}$, dacă el este interpolator relativ la fiecare element $U\in \mathcal{U}$$U\in \mathcal{U}$U inUU \in \mathcal{U}$U\in \mathcal{U}$.

Pentru a exemplifica noțiunea de subspațiu interpolator fată de o operaţie $U$$U$UU$U$ să considerăm spațiul $C$$C$CC$C$ al funcţiilor continue pe intervalul $[0,1]$$[0,1]$[0,1][0,1]$[0,1]$. Să notăm cu $L_n$$L_n$L_(n)L_{n}$L_n$ un sistem de funcții ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_n(x)$${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_n(x)$varphi_(1)(x),varphi_(2)(x),dots,varphi_(n)(x)\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x), \ldots, \varphi_{n}(x)${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_n(x)$, din $C$$C$CC$C$, liniar independente. Există atunci cel puţin $n$$n$nn$n$ puncte distincte $x_1,x_2,\dots ,x_n$$x_1,x_2,\dots ,x_n$x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$x_1,x_2,\dots ,x_n$ în $[0,1]$$[0,1]$[0,1][0,1]$[0,1]$, astfel ca determinantul

să fie diferit de zero. Să considerăm subspațiul $S$$S$SS$S$ al lui $C$$C$CC$C$, format din toate combinaţiile liniare $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\phi }_i(x)$$\sum _{i=1}^n {\alpha }_i{\phi }_i(x)$sum_(i=1)^(n)alpha_(i)varphi_(i)(x)\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \varphi_{i}(x)$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\phi }_i(x)$ ale funcțiilor ${\phi }_i(x)$${\phi }_i(x)$varphi_(i)(x)\varphi_{i}(x)${\phi }_i(x)$. Determinantul (1) fiind presupus diferit de zero, există în $S$$S$SS$S$ o funcție și una singură $h(x)$$h(x)$h(x)h(x)$h(x)$, astfel ca $h\left(x_i\right)=y_i,i=1,2,\dots ,n,y_i$$h\left(x_i\right)=y_i,i=1,2,\dots ,n,y_i$h(x_(i))=y_(i),i=1,2,dots,n,y_(i)h\left(x_{i}\right)=y_{i}, i=1,2, \ldots, n, y_{i}$h\left(x_i\right)=y_i,i=1,2,\dots ,n,y_i$ fiind numere date oarecare. ${}^3$${}^3$^(3){ }^{3}${}^3$ ) Fie $U$$U$UU$U$ operația prin care se face să corespundă unei funcții oarecari $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ din $C$$C$CC$C$, functia $U(f)=H(\begin{array}{l}{\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_n\\ x_1,x_2,\dots ,x_n\end{array};f\mid x)$$U(f)=H\left(\begin{array}{l}{\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_n\\ x_1,x_2,\dots ,x_n\end{array};f\mid x\right)$U(f)=H([varphi_(1)","varphi_(2)","dots","varphi_(n)],[x_(1)","x_(2)","dots","x_(n)];f∣x)U(f)=H\left(\begin{array}{l}\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n} \\ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\end{array} ; f \mid x\right)$U(f)=H(\begin{array}{l}{\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_n\\ x_1,x_2,\dots ,x_n\end{array};f\mid x)$. Subspatiul $S$$S$SS$S$ considerat este interpolator faţă de operația $U(f)$$U(f)$U(f)U(f)$U(f)$ astfel definită.

Dacă functuile ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_n(x)$${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_n(x)$varphi_(1)(x),varphi_(2)(x),dots,varphi_(n)(x)\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x), \ldots, \varphi_{n}(x)${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_n(x)$, formează un sistem Cebîşev pe intervalul $[0,1]$$[0,1]$[0,1][0,1]$[0,1]$, atunci determinantul (1) este diferit de zero, oricare ar fi punctele distincte $x_1,x_2,\dots ,x_n$$x_1,x_2,\dots ,x_n$x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$x_1,x_2,\dots ,x_n$. Rezultă imediat că operația $U(f)=H(\begin{array}{l}{\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_n\\ x_1,x_2,\dots ,x_n\end{array};f\mid x)$$U(f)=H\left(\begin{array}{l}{\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_n\\ x_1,x_2,\dots ,x_n\end{array};f\mid x\right)$U(f)=H([varphi_(1)","varphi_(2)","dots","varphi_(n)],[x_(1)","x_(2)","dots","x_(n)];f∣x)U(f)=H\left(\begin{array}{l}\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n} \\ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\end{array} ; f \mid x\right)$U(f)=H(\begin{array}{l}{\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_n\\ x_1,x_2,\dots ,x_n\end{array};f\mid x)$ are proprietatea de mai sus pentru orice sistem de puncte distincte $x_1,x_2,\dots ,x_n$$x_1,x_2,\dots ,x_n$x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$x_1,x_2,\dots ,x_n$ din $[0,1]$$[0,1]$[0,1][0,1]$[0,1]$.

Un alt exemplu care are un rol important în analiza numerică, ni-1 oferă schema de interpolare a lui L. Gonciarov [1].

Se consideră sistemul de funcționale liniare

definit pe spatiul $C$$C$CC$C$.
Fie ${\mathcal{P}}_n$${\mathcal{P}}_n$P_(n)\mathcal{P}_{n}${\mathcal{P}}_n$ mulțimea polinoamelor de grad cel mult egal cu $n$$n$nn$n$. Să notăm ${\mathrm{cu}}_n{P}_n(A_0,A_1,\dots ,A_n;f\mid x)$${\mathrm{cu}}_n{P}_n\left(A_0,A_1,\dots ,A_n;f\mid x\right)$cu_(n)P_(n)(A_(0),A_(1),dots,A_(n);f∣x)\operatorname{cu}_{n} P_{n}\left(A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{n} ; f \mid x\right)${\mathrm{cu}}_n{P}_n(A_0,A_1,\dots ,A_n;f\mid x)$ polinomul $P_n(x)\in {\mathcal{D}}_n$$P_n(x)\in {\mathcal{D}}_n$P_(n)(x)inD_(n)P_{n}(x) \in \mathcal{D}_{n}$P_n(x)\in {\mathcal{D}}_n$, care satisface condițiile

funcţia $f(x)\in C$$f(x)\in C$f(x)in Cf(x) \in C$f(x)\in C$ fiind dată. Este clar că dacă determinantul

este diferit de zero, atunci pentru orice $f\in C$$f\in C$f in Cf \in C$f\in C$, există polinomul $P_n(A_0,A_1,\dots ,A_n;f\mid x)$$P_n\left(A_0,A_1,\dots ,A_n;f\mid x\right)$P_(n)(A_(0),A_(1),dots,A_(n);f∣x)P_{n}\left(A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{n} ; f \mid x\right)$P_n(A_0,A_1,\dots ,A_n;f\mid x)$ și el este unic determinat. Să considerăm operația $U(f)=P_n(A_0,A_1,\dots ,A_n;f\mid x)$$U(f)=P_n\left(A_0,A_1,\dots ,A_n;f\mid x\right)$U(f)=P_(n)(A_(0),A_(1),dots,A_(n);f∣x)U(f)=P_{n}\left(A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{n} ; f \mid x\right)$U(f)=P_n(A_0,A_1,\dots ,A_n;f\mid x)$. Subspatiul $D_n$$D_n$D_(n)D_{n}$D_n$ al lui $C$$C$CC$C$ este interpolator relativ la operatia $U$$U$UU$U$ astfel definită.

Particularizînd sistemul de functionale (2), obținem diferite procedee de interpolare bine cunoscute. De exemplu, dacă

atunci determinantul (4) devine
$$\left|\begin{array}{ccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \cdots & \frac{1}{n+1}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \cdots & \frac{1}{n+2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{1}{n+1}& \frac{1}{n+2}& \frac{1}{n+3}& \cdots & \frac{1}{2n+1}\end{array}\right|$$$$\left|\begin{array}{ccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \cdots & \frac{1}{n+1}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \cdots & \frac{1}{n+2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{1}{n+1}& \frac{1}{n+2}& \frac{1}{n+3}& \cdots & \frac{1}{2n+1}\end{array}\right|$$|[1,(1)/(2),(1)/(3),cdots,(1)/(n+1)],[(1)/(2),(1)/(3),(1)/(4),cdots,(1)/(n+2)],[cdots,cdots,cdots,cdots,cdots],[(1)/(n+1),(1)/(n+2),(1)/(n+3),cdots,(1)/(2n+1)]|\left|\begin{array}{cccccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \cdots & \frac{1}{n+2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+2} & \frac{1}{n+3} & \cdots & \frac{1}{2 n+1} \end{array}\right|$$\left|\begin{array}{ccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \cdots & \frac{1}{n+1}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \cdots & \frac{1}{n+2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{1}{n+1}& \frac{1}{n+2}& \frac{1}{n+3}& \cdots & \frac{1}{2n+1}\end{array}\right|$$
care se stie că este diferit de zero. Operaţia $U(f)={\mathcal{P}}_n(A_0,A_1,\dots ,A_n;f\mid x)$$U(f)={\mathcal{P}}_n\left(A_0,A_1,\dots ,A_n;f\mid x\right)$U(f)=P_(n)(A_(0),A_(1),dots,A_(n);f∣x)U(f)=\mathscr{P}_{n}\left(A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{n} ; f \mid x\right)$U(f)={\mathcal{P}}_n(A_0,A_1,\dots ,A_n;f\mid x)$ corespunzătoare sistemului (5) transformă orice funcție ${}^{4)}$${}^{4)}$^(4)){ }^{4)}${}^{4)}$ din $C$$C$CC$C$ în secțiunea de ordinul $n$$n$nn$n$ a seriei sale Fourier relativă la polinoamele lui Legendre.

În general dacă se consideră un sistem ortogonal de funcții într-un spaţiu de bază $V$$V$VV$V$, subspațiul liniar generat de acest sistem ${}^5$${}^5$^(5){ }^{5}${}^5$ ) este interpolator faţă de operația care transformă o funcție din $V$$V$VV$V$ în secțiunea de un ordin dat, a seriei sale Fourier, relativă la sistemul ortogonal considerat.
2. Să considerăm din nou spatiul liniar $V$$V$VV$V$ şi subspaţiile sale, $S_1\subset S_2$$S_1\subset S_2$S_(1)subS_(2)S_{1} \subset S_{2}$S_1\subset S_2$, despre care presupunem că sînt interpolatoare faţă de mulțimea ${\mathcal{U}}_1$${\mathcal{U}}_1$U_(1)\mathcal{U}_{1}${\mathcal{U}}_1$ respectiv ${\mathcal{U}}_2$${\mathcal{U}}_2$U_(2)\mathcal{U}_{2}${\mathcal{U}}_2$ de operații liniare.

Definitia 3. Un element $v$$v$vv$v$ al spatiului $V$$V$VV$V$ îl numim convex fată de subspatiul $S_1$$S_1$S_(1)S_{1}$S_1$, dacă pentru orice $U\in {\mathcal{U}}_2$$U\in {\mathcal{U}}_2$U inU_(2)U \in \mathcal{U}_{2}$U\in {\mathcal{U}}_2$ avem $U_2(v)\overline{ϵ}{S}_1$$U_2(v)\overline{ϵ}{S}_1$U_(2)(v) bar(epsilon)S_(1)U_{2}(v) \bar{\epsilon} S_{1}$U_2(v)\overline{ϵ}{S}_1$.

Dacă mulțimea ${\mathcal{U}}_1$${\mathcal{U}}_1$U_(1)\mathcal{U}_{1}${\mathcal{U}}_1$ conține cel puțin două elemente distincte, atunci putem da și următoarea definiție a convexității:

Definiția 3*. Un element v al spatiului V îl numim convex faţă de subspatiul $S_1$$S_1$S_(1)S_{1}$S_1$ dacă pentru orice pereche de elemente $U_1,U_2\in {\mathcal{U}}_1$$U_1,U_2\in {\mathcal{U}}_1$U_(1),U_(2)inU_(1)U_{1}, U_{2} \in \mathcal{U}_{1}$U_1,U_2\in {\mathcal{U}}_1$, avem $U_1(v)\ne U_2(v)$$U_1(v)\ne U_2(v)$U_(1)(v)!=U_(2)(v)U_{1}(v) \neq U_{2}(v)$U_1(v)\ne U_2(v)$.

$1^{\circ }.V$$1^{\circ }.V$1^(@).V1^{\circ} . V$1^{\circ }.V$ este spatiul functiilor continue pe un interval finit și închis $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$,
$2^{\circ }.S_2$$2^{\circ }.S_2$2^(@).S_(2)2^{\circ} . S_{2}$2^{\circ }.S_2$ este subspatiul generat de un sistem Cebîsev format din functiile ${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_n(x),n⩾2$${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_n(x),n⩾2$varphi_(1)(x),varphi_(2)(x),dots,varphi_(n)(x),n >= 2\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x), \ldots, \varphi_{n}(x), n \geqslant 2${\phi }_1(x),{\phi }_2(x),\dots ,{\phi }_n(x),n⩾2$, iar $S_1$$S_1$S_(1)S_{1}$S_1$ este subspatiul generat de functiile ${\phi }_1(x),\dots ,{\phi }_{n-1}(x)$${\phi }_1(x),\dots ,{\phi }_{n-1}(x)$varphi_(1)(x),dots,varphi_(n-1)(x)\varphi_{1}(x), \ldots, \varphi_{n-1}(x)${\phi }_1(x),\dots ,{\phi }_{n-1}(x)$, despre care se presupune că tormează de asemenea un sistem al lui Cebîşev,
$3^{\circ }$$3^{\circ }$3^(@)3^{\circ}$3^{\circ }$. multimea ${\mathcal{U}}_1$${\mathcal{U}}_1$U_(1)\mathcal{U}_{1}${\mathcal{U}}_1$ are ca elemente toate operatiile ${}^6$${}^6$^(6){ }^{6}${}^6$ )

$x_i,i=1,2,\dots ,n-1$$x_i,i=1,2,\dots ,n-1$x_(i),quad i=1,2,dots,n-1x_{i}, \quad i=1,2, \ldots, n-1$x_i,i=1,2,\dots ,n-1$ fiind puncte distincte din $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$,

$4^{\circ }$$4^{\circ }$4^(@)4^{\circ}$4^{\circ }$. multimea $U_2$$U_2$U_(2)U_{2}$U_2$ are ca elemente toate operatiile ${}^7)U(f)=\mathrm{\Phi }(x_1,x_2,\dots ,x_n;f\mid x)$$\left.{}^7\right)U(f)=\mathrm{\Phi }\left(x_1,x_2,\dots ,x_n;f\mid x\right)${:^(7))U(f)=Phi(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f∣x)\left.{ }^{7}\right) U(f)=\Phi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f \mid x\right)${}^7)U(f)=\mathrm{\Phi }(x_1,x_2,\dots ,x_n;f\mid x)$, $x_i,i=1,2,\dots ,n$$x_i,i=1,2,\dots ,n$x_(i),i=1,2,dots,nx_{i}, i=1,2, \ldots, n$x_i,i=1,2,\dots ,n$, fiind puncte distincte din $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$, atunci definiția 3 este echivalentă cu definiția $3^{\ast }$$3^{\ast }$3^(**)3^{*}$3^{\ast }$.

Pentru demonstratia teoremei 1 este suficient să observăm că în polinomul de interpolare generalizat $\mathrm{\Phi }(x_1,x_2,\dots ,x_n;f\mid x)$$\mathrm{\Phi }\left(x_1,x_2,\dots ,x_n;f\mid x\right)$Phi(x_(1),x_(2),dots,x_(n);f∣x)\Phi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; f \mid x\right)$\mathrm{\Phi }(x_1,x_2,\dots ,x_n;f\mid x)$ coeficientul lui ${\phi }_n(x)$${\phi }_n(x)$varphi_(n)(x)\varphi_{n}(x)${\phi }_n(x)$ este diferența divizată generalizată [5]

Conform definiției 3, o funcție din $V$$V$VV$V$ este convexă față de $S_1$$S_1$S_(1)S_{1}$S_1$ dacă $[\begin{array}{c}{\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_n\\ x_1,x_2,\dots ,x_n\end{array};f]\ne 0$$\left[\begin{array}{c}{\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_n\\ x_1,x_2,\dots ,x_n\end{array};f\right]\ne 0$[[varphi_(1)","varphi_(2)","dots","varphi_(n)],[x_(1)","x_(2)","dots","x_(n)];f]!=0\left[\begin{array}{c}\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{n} \\ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\end{array} ; f\right] \neq 0$[\begin{array}{c}{\phi }_1,{\phi }_2,\dots ,{\phi }_n\\ x_1,x_2,\dots ,x_n\end{array};f]\ne 0$ pe orice sistem de puncte $x_1,x_2,\dots ,x_n$$x_1,x_2,\dots ,x_n$x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$x_1,x_2,\dots ,x_n$. Condiția $U_1(v)\ne U_2(v)$$U_1(v)\ne U_2(v)$U_(1)(v)!=U_(2)(v)U_{1}(v) \neq U_{2}(v)$U_1(v)\ne U_2(v)$ din definiția $3^{\ast }$$3^{\ast }$3^(**)3^{*}$3^{\ast }$ exprimă aceeaşi proprietate, pentru că exclude existența unui sistem de $n$$n$nn$n$ puncte $x_1,x_2,\dots ,x_n$$x_1,x_2,\dots ,x_n$x_(1),x_(2),dots,x_(n)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$x_1,x_2,\dots ,x_n$ pe care diferența divizată (6) să se anuleze.

Observație. Noțiunea de convexitate introdusă prin definițiile 3 și $3^{\ast }$$3^{\ast }$3^(**)3^{*}$3^{\ast }$ nu coincide cu noțiunea de convexitate bine cunoscută [ 5,3 ], față de un sistem de funcții interpolatoare. În clasa elementelor convexe intră de data aceasta și elementele convexe și cele concave în sensul definițiilor din [4] și [5].

În cazul schemei de interpolare a lui Gonciarov este aplicabilă definiția 3.

În ipotezele făcute la începutul acestui alineat, este clar că există elemente convexe în sensul definiției 3 . Toate elementele lui $S_2$$S_2$S_(2)S_{2}$S_2$ care nu aparțin lui $S_1$$S_1$S_(1)S_{1}$S_1$ sînt convexe în sensul definiției 3 .

Este important de studiat, în teoria procedeelor de interpolare, acele scheme de interpolare - date prin definiția 2 - pentru care definițiile 3 și $3^{\ast }$$3^{\ast }$3^(**)3^{*}$3^{\ast }$ sînt echivalente.

TEOREMA 2. Dacă pentru $V_1,S,S_2,U_1,U_2$$V_1,S,S_2,U_1,U_2$V_(1),S,S_(2),U_(1),U_(2)V_{1}, S, S_{2}, U_{1}, U_{2}$V_1,S,S_2,U_1,U_2$ dați, definitiile 3 şi $3^{\ast }$$3^{\ast }$3^(**)3^{*}$3^{\ast }$ sînt echivalente, atunci are loc proprietatea : dacă $v\in V$$v\in V$v in Vv \in V$v\in V$ şi pentru $U_1$$U_1$U_(1)U_{1}$U_1$, $U_2\in U_1$$U_2\in U_1$U_(2)inU_(1)U_{2} \in U_{1}$U_2\in U_1$ avem $U_1(v)=U_2(v)$$U_1(v)=U_2(v)$U_(1)(v)=U_(2)(v)U_{1}(v)=U_{2}(v)$U_1(v)=U_2(v)$, atunci există un element $U_3\in U_2$$U_3\in U_2$U_(3)inU_(2)U_{3} \in U_{2}$U_3\in U_2$ astfel са $U_3(v)\in S_1$$U_3(v)\in S_1$U_(3)(v)inS_(1)U_{3}(v) \in S_{1}$U_3(v)\in S_1$.

Demonstrația teoremei 2 este imediată. În ea este cuprinsă ca ${\mathrm{un}}_{\mathrm{i}}\mathrm{caz}$${\mathrm{un}}_{\mathrm{i}}\mathrm{caz}$un_(i)caz\mathrm{un}_{\mathrm{i}} \mathrm{caz}${\mathrm{un}}_{\mathrm{i}}\mathrm{caz}$ particular, o proprietate a diferențelor divizate care stă la baza mai multor teoreme de medie legate de interpolarea prin funcții aparținînd unei mulțimi interpolatoare $[3,4,6]$$[3,4,6]$[3,4,6][3,4,6]$[3,4,6]$.
teorema 3. Fie $A[v]$$A[v]$A[v]A[v]$A[v]$ o funcțională liniară definită pe spatiul $V$$V$VV$V$ în care sînt date $S_1,S_2,{\mathcal{U}}_1$$S_1,S_2,{\mathcal{U}}_1$S_(1),S_(2),U_(1)S_{1}, S_{2}, \mathcal{U}_{1}$S_1,S_2,{\mathcal{U}}_1$ şi ${\mathcal{U}}_2$${\mathcal{U}}_2$U_(2)\mathcal{U}_{2}${\mathcal{U}}_2$. Dacă:
$1^{\circ }.A[v]=0$$1^{\circ }.A[v]=0$1^(@).A[v]=0quad1^{\circ} . A[v]=0 \quad$1^{\circ }.A[v]=0$ oricare ar $fiv\in S_1$$fiv\in S_1$fiv inS_(1)f i v \in S_{1}$fiv\in S_1$,
$2^{\circ }.A[v]\ne 0$$2^{\circ }.A[v]\ne 0$2^(@).A[v]!=02^{\circ} . A[v] \neq 0$2^{\circ }.A[v]\ne 0$ dacă v este convex fată de $S_1$$S_1$S_(1)S_{1}$S_1$ în sensul definiției 3, atunci pentru orice $v\in V$$v\in V$v in Vv \in V$v\in V$ există un element $U\in U_2$$U\in U_2$U inU_(2)U \in U_{2}$U\in U_2$ astfel ca $A[v]==A[U(v)]$$A[v]==A[U(v)]$A[v]==A[U(v)]A[v]= =A[U(v)]$A[v]==A[U(v)]$.

Pentru demonstrație, să presupunem mai întîi $A[v]=0$$A[v]=0$A[v]=0A[v]=0$A[v]=0$. Atunci elementul $v$$v$vv$v$ nu poate fi convex faţă de $S_1$$S_1$S_(1)S_{1}$S_1$. Deci există $U\in U_2$$U\in U_2$U inU_(2)U \in U_{2}$U\in U_2$ astfel ca $U(v)\in S_1$$U(v)\in S_1$U(v)inS_(1)U(v) \in S_{1}$U(v)\in S_1$, şi prin urmare $A[U(v)]=0$$A[U(v)]=0$A[U(v)]=0A[U(v)]=0$A[U(v)]=0$. Dacă $A[v]\ne 0$$A[v]\ne 0$A[v]!=0A[v] \neq 0$A[v]\ne 0$, considerăm elementul $z=v-\frac{A[v]}{A[g]}g$$z=v-\frac{A[v]}{A[g]}g$z=v-(A[v])/(A[g])gz=v-\frac{A[v]}{A[g]} g$z=v-\frac{A[v]}{A[g]}g$, unde $g\in S_2$$g\in S_2$g inS_(2)g \in S_{2}$g\in S_2$ și $g\overline{ϵ}{S}_1$$g\overline{ϵ}{S}_1$g bar(epsilon)S_(1)g \bar{\epsilon} S_{1}$g\overline{ϵ}{S}_1$. Rezultă că $A[g]\ne 0$$A[g]\ne 0$A[g]!=0A[g] \neq 0$A[g]\ne 0$ și $A[z]=0$$A[z]=0$A[z]=0A[z]=0$A[z]=0$. Există prin urmare un $U\in {\mathcal{U}}_2$$U\in {\mathcal{U}}_2$U inU_(2)U \in \mathcal{U}_{2}$U\in {\mathcal{U}}_2$ astfel ca $A[U(z)]=0$$A[U(z)]=0$A[U(z)]=0A[U(z)]=0$A[U(z)]=0$. Dar din cauza liniarităţii, $U(z)=U(v)-\frac{A[v]}{A[g]}U[g]$$U(z)=U(v)-\frac{A[v]}{A[g]}U[g]$U(z)=U(v)-(A[v])/(A[g])U[g]U(z)=U(v)-\frac{A[v]}{A[g]} U[g]$U(z)=U(v)-\frac{A[v]}{A[g]}U[g]$. Operaţia $U$$U$UU$U$ conservă elementul $g\in S_2$$g\in S_2$g inS_(2)g \in S_{2}$g\in S_2$. Rezultă $A[U(v)]=A[v]$$A[U(v)]=A[v]$A[U(v)]=A[v]A[U(v)]=A[v]$A[U(v)]=A[v]$.