Abstract
Autori
T. Popoviciu
Institutul de Calcul
Cuvinte cheie
Citați articolul în forma
T. Popoviciu, Unele aspecte ale problemei preciziei în calculele numerice, Bul. mat. al Soc. Şt. Mat. Fiz. din R.P.R., 1(49) (1957) no. 4, pp. 473-478 (in Romanian).
Despre acest articol
Journal
Bull. Math. de la Soc. Sci, Math. Phys. de la R.P.R
Publisher Name
DOI
Not available yet.
Print ISSN
Not available yet.
Online ISSN
Not available yet.
Google Scholar Profile
Referințe
[1] A. Cauchy, Sur les fonctions interpolaires, C. R. Acad. Sci. Paris 11 (1840), 775.
[2] D. V. Ionescu, Formule de cubatură în care domeniul de integrare este un triunghi oarecare, Stud. Cerc. Științ., Filiala Cluj VI (1955), 7.
[3] E. Moldovan, O generalizare a noțiunii de convexitate, Stud. Cerc. Științ., Filiala Cluj VI (1955), 65.
[4] М. И. Морозов, О некоторых вопросах равномерного приближения непрерывных функций посредством функций интерполяционных классов, Изв. АН СССР 16 (1952), 75.
[5] T. Popoviciu, Asupra formei restului în unele formule de aproximare ale analizei, Lucrările Sesiunii generale științifice, 2–12 iunie 1950, Ed. Acad. R.P.R., București, 1951, p. 183.
[6] T. Popoviciu, Considerații teoretice asupra utilizării practice a unor formule de interpolare, Bul. Științ. Acad. R.P.R., Secț. Șt. Mat. Fiz. XII, 2 (1951), 441.
[7] T. Popoviciu, Folytonos függvények középértéklételeiről, A Magyar Tud. Akad. II Oszt. Közl. IV (1954), 353.
[8] T. Popoviciu, Despre precizia calculului numeric în interpolarea prin polinomul lui Newton pe noduri echidistante, Stud. Cerc. Științ., Filiala Cluj VI (1956), 20.
[9] T. Popoviciu, Despre precizia calculului numeric în interpolarea prin polinoame, Bul. Științ. Acad. R.P.R., Secț. Șt. Mat. Fiz. VII, 4 (1955), 953.
[10] J. Radon, Restausdrücke bei Interpolation und Quadraturformeln durch bestimmte Integralen, Monatsh. Math. Phys. 42 (1935), 389.
[11] L. Tornheim, On n-parameter Families of Functions and Associated Convex Functions, Trans. Amer. Math. Soc. 69 (1950), 457.
Paper (preprint) in HTML form
UNELE ASPECTE ALE PROBLEMEI PRECIZIEI ÎN CALGULELE NUMERICE
(Comunicare făcută la Congresul matematicienilor romîni, București, mai-iunie 1956)
- Din imboldul necesităților practice, analiza numerică a luat o mare dezvotare în ultimele decenii. Problemele analizei numerice sînt foarte variate, dar toate se pot caracteriza prin aceea că prin ele se urmăreşte obținerea rezultatelor pînă la ultimele calcule numerice.
În cele ce urmează vom treee în revistă, foarte rezumativ, cîteva aspecte cu totul particulare ale unor probleme de analiză numerică, de altfel de mare importanță teoretică şi practică, aspecte care întră în cadrul preocupărilor Secției de matematică a Filialei din Cluj a Academiei R. P. Romine.
2. În multe probleme de analiză numerică se cere să se obţină un număr care depinde de o funcție
2. În multe probleme de analiză numerică se cere să se obţină un număr care depinde de o funcție
Din cauza prea marei complicații sau a insuficientei cumoaşteri a funcției
Există diferite procedee care permit să obținem o valoare aproximativă pentru
deci se poate lua ca o aproximație pentru
Un procedeu general pentru obținerea unei aproximații pentru funcționala
Se poate lua atunci numărul
De altfel egalitatea (3) este de forma (1) dacă funcția de aproximare
de argument
În cele ce urmează ne vom ocupa numai de astfel de formule de aproximare.
3. În utilizarea practică a unei aproximații de forma (1) este deosebit de important să se aprecieze croarea care se comite prin această aproximare. In căutarea unei astfel de aprecieri o delimitare convenabilă a restului
3. În utilizarea practică a unei aproximații de forma (1) este deosebit de important să se aprecieze croarea care se comite prin această aproximare. In căutarea unei astfel de aprecieri o delimitare convenabilă a restului
a formulei (1) este de mare importanță. In sfîrşit, pentru a obține o astfel de delimitare un studiu aprofundat al structurii restului
Dacă, de exemplu,
4. In cazul unei functionale liniare
4. In cazul unei functionale liniare
In această relatie, valabilă in condiții foarte generale, unde
Este deosebit de interesant cazul cînd unul din numerele
Forma (7) a restului precizează mult structura lui, legîndu-l de proprietățile diferențiale ale funcţiei
țile diferențiale ale unei funcţii este asigurată de o scrio de proprietăți, aşa-zise de medie, dintre care cele mai simple sînt cunoscute deja de la Cauchy [1] iar altele au fost stabilite mai recent [7].
5. Nu insistăm mai pe larg asupra structurii restului
a) Structura (7) a restului
b) Pînă în prézent nu se cunoaşte nimic analog pentru cazul cînd
țile diferențiale ale unei funcţii este asigurată de o scrio de proprietăți, aşa-zise de medie, dintre care cele mai simple sînt cunoscute deja de la Cauchy [1] iar altele au fost stabilite mai recent [7].
5. Nu insistăm mai pe larg asupra structurii restului
a) Structura (7) a restului
b) Pînă în prézent nu se cunoaşte nimic analog pentru cazul cînd
Se pare că problema structurii restului
c) În exemplul citat al metodei lui Runge-Kutta restul depinde de o funcție de mai multe variabile. Restul formulelor de aproximare de forma (1) sau (3), în care
6. Pentru a obține o aproximație a numărului
c) În exemplul citat al metodei lui Runge-Kutta restul depinde de o funcție de mai multe variabile. Restul formulelor de aproximare de forma (1) sau (3), în care
6. Pentru a obține o aproximație a numărului
Pentru executarea calculelor, indiferent dacă ele se fac direct, eu ajutorul unor instrumente de calcul sau cu maşina, se urmează totdeauna un program care, în particular, precizează ordinea în care sînt executate diferitele operații.
La efectuarea fiecărei operații (elementare) și în special la înmulțiri şi împărțiri, se comit în general erori din cauză că în practică folosim numai anumite numere, aşa-zisele numere practice care se exprimă de obicei prin fracții zecimale limitate sau chiar limitate la un anumit număr de cifre zecimale. In felul acesta în cursul efectuării calculului lui
afceta rezultatul tinal urmărit. Aproximatia astfel calculată a lui
7. În practica calculului numeric, stabilirea, în fiecare caz, a unui program de calcul anumit joacă un mare rol. Din punct de vedere teoretic asemenea programe se vor putca studia, cel puțin în cazurile concrete cele mai simple, cu ajutorul diferitcor expresii care reprezinta pe
00, Pentru a vedea întrucîtva varietatea maic de probleme care se pun în leğtură cu aceste considerații vom expune un caz concret simplu.
tom Să prosupunem că (4) este polinomul de interpolare al lui Lagrange
relativ la functia
afceta rezultatul tinal urmărit. Aproximatia astfel calculată a lui
7. În practica calculului numeric, stabilirea, în fiecare caz, a unui program de calcul anumit joacă un mare rol. Din punct de vedere teoretic asemenea programe se vor putca studia, cel puțin în cazurile concrete cele mai simple, cu ajutorul diferitcor expresii care reprezinta pe
00, Pentru a vedea întrucîtva varietatea maic de probleme care se pun în leğtură cu aceste considerații vom expune un caz concret simplu.
tom Să prosupunem că (4) este polinomul de interpolare al lui Lagrange
relativ la functia
Să presupunem apoi că este vorba de problema interpolării cu ajutorul polinomului (8) al lui Lagrange, deci de calculul valorii
- Stud Calculul valorii (9) pe punctul
Bre 8. Fie formula
unde indicele
nu este nevoie de
O altă observație, care se poate face relativ la calculul precedent, este că în obținerea ficeărui termen înmulţirea prin
Primul mod de a proceda, care constă în a calcula, în prealabil, coeficienții lui
Al doilea procedeu, care constă în lăsarea la urmă a cfectuării împărțirii în calculul termenilor (eventual numai a unora dintre termenii) sumei (10), poate prezenta avantaje în cazul unor date particulare simple, permițînd să se profite de anumite simplificări în cursul calculului, ca de exemplu de simplificări de fracții ordinare etc. si care nu sînt avantajoase în cazul primului mod de a organiza calculele. Trebuie să subliniem însă că asemenea simplificări nu pot fi prevăzute teoretic si nu intră în general în cadrul preocupărilor teoretice ale calculului iumeric.
9. Se cunose avantajele pe care le prezintă, în problema interpolării prin polinoame, formula lui Nowton
9. Se cunose avantajele pe care le prezintă, în problema interpolării prin polinoame, formula lui Nowton
(primul termen find
care comportă în general
10. În încheiere și relativ la programul do calcul semnalat pentru formula (12) mai putem face următoarele observații.
a) Căutînd să reducem la minimum clorile de calcul care se acumulează prin acest program, găsim o justificare a întrebuințării diforitelor formule particulare de interpolare, după poritia punctului
b) In cazul nodurilor echidistante, în loc de diferențe divizate se întrebuințează diferențe obişnuite a căror formare nu comportă împărțiri. Se poate dar ádmite în general că tabloul diferențelor nu comportă erori de calcul. Am arătat într-o altă lucrare [8] că pentru programul (13) modificat în acest sens se poate preciza o delimitare a erorilor de calcul acumulate, întocmind şi tablouri suficiente în practică pentru găsirea rapidă a unor astfel de delimitări.
10. În încheiere și relativ la programul do calcul semnalat pentru formula (12) mai putem face următoarele observații.
a) Căutînd să reducem la minimum clorile de calcul care se acumulează prin acest program, găsim o justificare a întrebuințării diforitelor formule particulare de interpolare, după poritia punctului
b) In cazul nodurilor echidistante, în loc de diferențe divizate se întrebuințează diferențe obişnuite a căror formare nu comportă împărțiri. Se poate dar ádmite în general că tabloul diferențelor nu comportă erori de calcul. Am arătat într-o altă lucrare [8] că pentru programul (13) modificat în acest sens se poate preciza o delimitare a erorilor de calcul acumulate, întocmind şi tablouri suficiente în practică pentru găsirea rapidă a unor astfel de delimitări.
BIBLIOGRAFIE
- A. Cauch y, Sur les fonctions interpolaires, C. R. de l'Acad. Sci. Paris 11 (1840), 775.
- D. V. I one scu, Formule de cubalură in care domentul de integrare esle un triunghi ourecare, Stud. și Cerc. Ştiinţ., Filiala Cluj, VI (1955), 7.
- E. Moldovan, O generalizare a notiunii de convexitate, Stud. și Cerc. Ştiin}. Filiala Cituj VI (1955), 65.
- М. И. Морозов, О некоторых вопросах равномерного приближения непрерывных функ. ций посредством функций интерполяционных классов, Изв. АН СССР 16 (1952), 75
- T. Popoviciu, Asupra formei restului in tunele formule de aproximare ale analizei. Lucrările Sesiunii generale știintifice din 2-12 iunie 1950, Ed. Acad. R.P.R., Bucureşti 1951, p. 183.
-
- Consideratii teoretice asupra udilizării practice a unor formule de interpolare, Bul. știinţ. Acad. R.P.R., Secţ. Şt. Mat. l'iz, XIJ, 2 (1951), 441.
-
- Folytonos fuggvények középértéklételeiröl, A Magyar Tud. Akad. II Oszt. Közl. IV (1954), 353.
-
- Despre precizia calculului numeric în interpolarea prin polinomul lui Newlon pe noduri echidistante, Stud. și Cerc. Ştiint. Filiala Cluj VI (1956), 20.
-
- Despre precizia calculului numeric în interpolarea prin polinoame, Bul. Stiinl.. Acad. R.P.R., Secț. Şt. Mat. Fiz., VII, 4 (1955), 953.
- J. Radon, Restausdrücke bei Interpolation und Quadraturformeln durch bestimmle Integralen, Monatshefte lür Math. u. Physik 42 (1935), 389.
- L. Tornheim, On n-parameter Families of Functions and Associated Convex Frunctions, Trans. Amer. Math. Soc. 69 (1950), 457.