"Babeş-Bolyai" University

Faculty of Mathematics and Physics

Research Seminars

Seminar on Functional Analysis and Numerical Methods

Preprint Nr.1, 1989, pp.105-110

Sur une Méthode de type Steffensen utilisée pour la résolution des équations opérationnelles non-linéaires

par
Ion Păvăloiu

Soit $X$ un espace de Banach et $Y$ un espace linéaire normé. Pour la résolution de l’équation

(1)

P\left(x\right)=\theta

où $P:X\rightarrow Y$ est un opérateur, et $\theta$ est l’élément nul de l’espace $Y$ , nous considérons les méthodes itératives suivantes:

(2)

x_{n+1}=Q_{1}\left(x_{n}\right)-\left[Q_{1}\left(x_{n}\right),Q_{2}\left(x_{n}% \right);P\right]^{-1}P\left(Q_{1}\left(x_{n}\right)\right)

(3)

x_{n+1}=Q_{2}\left(x_{n}\right)-\left[Q_{1}\left(x_{n}\right),Q_{2}\left(x_{n}% \right);P\right]^{-1}P\left(Q_{2}\left(x_{n}\right)\right)

Dans les relations (2) et (3) $Q_{1}\$ et $Q_{2}$ sont deux opérateurs itératifs attachés à l’équation (1) et par $\left[x,y:P\right]$ nous avons désigné la différence divisée de l’opérateur $P$ sur les noeuds $x,y\in X,$ [2], [3].

Pour préciser nous imposerons aux opérateurs $Q_{1}$ et $Q_{2}$ les conditions suivantes:

a)

Si $\bar{x}$ est une solution de l’équation (1) alors on a $\bar{x}=Q_{1}\left(\bar{x}\right)$ et $\bar{x}=Q_{2}\left(\bar{x}\right)$ et réciproquement, si $\bar{x}$ est un point fixe pour les opérateurs $Q_{1}$ et $Q_{2}$ alors $\bar{x}$ est une solution de l’équation (1);
b)

il existe les nombres $\beta_{1}>0,\ \beta_{2}>0$ tels que pour chaque $x\in X$ on a les inéqualités suivantes:

$\left\|Q_{1}\left(x\right)-x\right\|\leq\beta_{1}\left\|P\left(x\right)\right% \|,\ \;\;\left\|Q_{2}\left(x\right)-x\right\|\leq\beta_{2}\left\|P\left(x% \right)\right\|;$
c)

il existe les nombres réels et positifs $\alpha_{1}<\alpha_{2}$ et aussi les nombres naturels $k_{1},\ k_{2}$ tels que pour chaque $x\in X$ on a les inégalités suivantes:

$\left\|P\left(Q_{1}\left(x\right)\right)\right\|\leq\alpha_{1}\left\|P\left(x% \right)\right\|^{k_{1}},\ \ \left\|P\left(Q_{2}\left(x\right)\right)\right\|% \leq\alpha_{2}\left\|P\left(x\right)\right\|^{k_{2}}.$

On constate facilement que dans le cas où l’on part du même élément initial $x_{0}\in X$ , les méthodes itératives (2) et (3) fournissent la même suite d’approximations de la solution de l’équation (1).

Par la suite nous étudierons la convergence de la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ obtenu à l’aide de la méthode (2) ou (3).

Théorème 1.

Soit $x_{0}$ $\in X,~{}\delta>0$ et $S=\{x\in X:\left\|x-x_{0}\right\|\leq\delta\}$

Si on peut choisir l’élément initial $x_{0}$ , le nombre réel $\delta$ et les applications $Q_{1}\$ et $Q_{2}$ tels que:

i)

les applications $Q_{1}$ et $Q_{2}$ remplissent la condition a);
ii)

$Q_{1}\left(S\right)\subseteq S,\ Q_{2}\left(S\right)\subseteq S;$
iii)

les applications $Q_{1},\ Q_{2}$ et $P$ remplissent les conditions b) et c) pour chaque $x\in S;$
iv)

pour chaque $x,y\in S$ il existe $\left[x,y;P\right]^{-1}$ et il existe le nombre $B>0$ , tel que pour chaque $x,y\in S$ on ait $\big{\|}\left[x,y;P\right]^{-1}\big{\|}\leq B;$
v)

il existe le nombre $M>0$ , tel que pour chaque $x,y,z\in S$ on a $\left\|\left[x,y,z;P\right]\right\|\leq M$ ;
vi)

$\varepsilon_{0}=\left(MB^{2}\alpha_{1}\alpha_{2}\right)^{1/\left(q-1\right)}% \cdot\left\|P\left(x_{0}\right)\right\|<1$ où $q=k_{1}+k_{2};$
vii)

$\rho^{\frac{1}{q-1}}\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\varepsilon_{0}^{q^{i-1}}% \Big{(}B\alpha_{1}\rho^{\frac{k_{1}-1}{1-q}}\varepsilon_{0}^{q^{i-1}\left(k_{1% }-1\right)}+\beta_{1}\Big{)}\leq\delta$ où $\rho=MB^{2}\alpha_{1}\cdot\alpha_{2},$

alors on a les propriétés suivantes:

j)

la suite $\left(x_{n}\right)_{n\in N}$ obtenue à l’aide de la méthode (2) ou a l’aide de la méthode (3) est convergente et si nous désignons par $\bar{x}$ la limite de la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty},$ alors on a $P\left(\bar{x}\right)=\theta;$
jj)

si nous désignons par $\varepsilon_{n}$ -l’expression $\rho^{\frac{1}{q-1}}\left\|P\left(x_{n}\right)\right\|,$ alors on a $\varepsilon_{n}\leq\varepsilon_{0}^{q^{n}}$ pour chaque $n=0,1,\ldots;$
jjj)

on a l’inégalité suivante:

$\left\|\bar{x}-x_{n}\right\|\leq B\cdot\varepsilon_{0}^{q^{n}}\cdot\rho^{\frac% {1}{1-q}},$

pour chaque $n=0,1,2,\ldots$

Démonstration.

Prouvons d’abord que dans les hypothèses du théorème les éléments de la suite $\left(x_{n}\right)_{n\in N}$ appartiennent à l’ensemble $S$ .

En effet, de (2) nous déduisons:

	$\displaystyle\left\\|x_{1}-x_{0}\right\\|$	$\displaystyle\leq\left\\|x_{1}-Q_{1}\left(x_{0}\right)\right\\|+\left\\|Q_{1}% \left(x_{0}\right)-x_{0}\right\\|$
		$\displaystyle\leq\beta_{1}\left\\|P\left(x_{0}\right)\right\\|+B\left\\|P\left(Q_% {1}\left(x_{0}\right)\right)\right\\|$
		$\displaystyle\leq\big{(}\beta_{1}+B\alpha_{1}\left\\|P\left(x_{0}\right)\right% \\|^{k_{1}-1}\big{)}\left\\|P\left(x_{0}\right)\right\\|$
		$\displaystyle=\varepsilon_{0}\rho^{\frac{1}{1-q}}\Big{(}\beta_{1}+B\alpha_{1}% \varepsilon_{0}^{k_{1}-1}\cdot\rho^{\frac{k_{1}-1}{1-q}}\Big{)}\leq\delta$

d’où il résulte que $x_{1}\in S$ .

En tenant compte de l’identité

	$\displaystyle P\left(x_{1}\right)=$	$\displaystyle P\left(Q_{1}\left(x_{0}\right)\right)+\left[Q_{1}\left(x_{0}% \right),Q_{2}\left(x_{0}\right);P\right]\left(x_{1}-Q_{1}\left(x_{0}\right)\right)$
		$\displaystyle+\left[Q_{1}\left(x_{0}\right),Q_{2}\left(x_{0}\right),x;P\right]% \left(x_{1}-Q_{1}\left(x_{0}\right)\right)\left(x_{1}-Q_{2}\left(x_{0}\right)\right)$

et de (2), il résulte:

	$\displaystyle\left\\|P\left(x_{1}\right)\right\\|$	$\displaystyle\leq M\left\\|x_{1}-Q_{1}\left(x_{0}\right)\right\\|\cdot\left\\|x_{% 1}-Q_{2}\left(x_{0}\right)\right\\|$
		$\displaystyle\leq MB^{2}\alpha_{1}\alpha_{2}\cdot\left\\|P\left(x_{0}\right)% \right\\|^{q}\leq\rho\cdot\rho^{\frac{q}{1-q}}\cdot\varepsilon_{0}^{q}$
		$\displaystyle=\rho^{\frac{1}{1-q}}\cdot\varepsilon_{0}^{q}$

d’où il résulte:

\rho^{\frac{1}{1-q}}\left\|P\left(x_{1}\right)\right\|\leq\varepsilon_{0}^{q}

c’est-à-dire

\varepsilon_{1}\leq\varepsilon_{0}^{q}.

Supposons que les éléments $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\in S,$

\varepsilon_{i}\leq\varepsilon_{0}^{q^{i}}

et démontrons que $x_{n+1}\in S$ et $\varepsilon_{n+1}\leq\varepsilon_{0}^{q^{n+1}}.$

En effet on a:

\left\|x_{n+1}-x_{0}\right\|\leq\sum_{i=1}^{n+1}\left\|x_{i}-x_{i-1}\right\|.

Mais

	$\displaystyle\left\\|x_{i}-x_{i-1}\right\\|$	$\displaystyle\leq\left\\|x_{i}-Q_{1}\left(x_{i-1}\right)\right\\|+\left\\|Q_{1}% \left(x_{i-1}\right)-x_{i-1}\right\\|$
		$\displaystyle\leq B\alpha_{1}\left\\|P\left(x_{i-1}\right)\right\\|^{k_{1}}+% \beta_{1}\left\\|P\left(x_{i-1}\right)\right\\|$
		$\displaystyle\leq\varepsilon_{i-1}\cdot\rho^{\frac{1}{1-q}}\left(\beta_{1}+B% \alpha_{1}\varepsilon_{i-1}^{k_{1}-1}\cdot\rho^{\frac{k_{1}-1}{1-q}}\right)$
		$\displaystyle\leq\varepsilon_{0}^{q^{i-1}}\cdot\rho^{\frac{1}{1-q}}\left(\beta% _{1}+B\alpha_{1}\cdot\varepsilon_{0}^{q^{i-1_{\left(k_{1}-1\right)}}}\rho^{% \frac{k_{1}-1}{1-q}}\right)$

d’où nous déduisons que

\left\|x_{n+1}-x_{0}\right\|\leq\delta

c’est-à-dire que $x_{n+1}\in S$ .

Par suite on a:

\left\|P\left(x_{n+1}\right)\right\|\leq MB^{2}\alpha_{1}\alpha_{2}\left\|P% \left(x_{n}\right)\right\|^{q}\leq\rho\cdot\rho^{\frac{q}{1-q}}\cdot% \varepsilon_{n}^{q}

d’où il résulte l’inégalité

\varepsilon_{n+1}\leq\varepsilon_{n}^{q}

c’est-à-dire

\varepsilon_{n+1}\leq\varepsilon_{0}^{q^{n+1}}

ce qu’il fallait démontrer.

Nous démontrerons maintenant que la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\$ fournie par la relation (2) est fondamentale.

En effet pour chaque $k\in{\mathbb{N}}$ on a:

	$\displaystyle\left\\|x_{n+k}-x_{n}\right\\|$	$\displaystyle\leq\sum_{i=n+1}^{n+k}\left\\|x_{i}-x_{i-1}\right\\|$
		$\displaystyle\leq\varepsilon_{0}^{q^{n}}\cdot\rho^{\frac{1}{1-q}}\sum_{i=n+1}^% {n+k}\varepsilon_{0}^{q^{i-1_{-q^{n}}}}\Big{(}B\alpha_{1}\rho^{\frac{k_{1}-1}{% 1-q}}\cdot\varepsilon_{0}^{q^{i-1}\left(k_{1}-1\right)}+\beta_{1}\Big{)}$

ce qui exprime que la suite $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ est fondamental.

Soit $\bar{x}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n};$ alors de l’inégalité ci-dessus où nous posons $n=0$ et faisons $k\rightarrow\infty$ , il résulte que

\left\|\bar{x}-x_{0}\right\|\leq\delta

c’est-à-dire $\bar{x}\in S.$

De l’inégalité

\varepsilon_{n}\leq\varepsilon_{0}^{q^{n}}

il résulte

\lim_{n\rightarrow\infty}\left\|P\left(x_{n}\right)\right\|=0

c’est-à-dire $P(\bar{x})=\theta,$ égalité qui exprime le fait que $\bar{x}$ est une solution de l’équation (1).

De l’identité

P\left(\bar{x}\right)-P\left(x_{n}\right)=\left[\bar{x},x_{n};P\right]\left(% \bar{x}-x_{n}\right)

il résulte que

\left\|\bar{x}-x_{n}\right\|\leq B\left\|P\left(x_{n}\right)\right\|\leq B% \cdot\rho^{\frac{1}{1-q}}\varepsilon_{0}^{q^{n}}.

Le théorème est donc démontré. ∎∎

Bibliographie

[1] ^†^†margin: clickable $\rightarrow$ Păvăloiu, I., Asupra operatorilor iterativi, Studii şi Cercetări Matematice, 23 (1971), 10, 1537–1544.
[2] Păvăloiu, I., ^†^†margin: clickable $\rightarrow$ Introducere în teoria aproximării soluţiilor ecuaţiilor, Ed. Dacia, 1976.
[3] Ul’m, S., Ob oboboscennyh rezdelennîh reznostiak I, Izv. Akad. Nauk Estonskoi SSR 16 (1867), 1, 13–36.

Institutul de Calcul

Oficiul Poştal 1

C.P. 68

3400 Cluj-Napoca

Romania

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	$\displaystyle\left\\|x_{1}-x_{0}\right\\|$	$\displaystyle\leq\left\\|x_{1}-Q_{1}\left(x_{0}\right)\right\\|+\left\\|Q_{1}% \left(x_{0}\right)-x_{0}\right\\|$
		$\displaystyle\leq\beta_{1}\left\\|P\left(x_{0}\right)\right\\|+B\left\\|P\left(Q_% {1}\left(x_{0}\right)\right)\right\\|$
		$\displaystyle\leq\big{(}\beta_{1}+B\alpha_{1}\left\\|P\left(x_{0}\right)\right% \\|^{k_{1}-1}\big{)}\left\\|P\left(x_{0}\right)\right\\|$
		$\displaystyle=\varepsilon_{0}\rho^{\frac{1}{1-q}}\Big{(}\beta_{1}+B\alpha_{1}% \varepsilon_{0}^{k_{1}-1}\cdot\rho^{\frac{k_{1}-1}{1-q}}\Big{)}\leq\delta$

	$\displaystyle\left\\|P\left(x_{1}\right)\right\\|$	$\displaystyle\leq M\left\\|x_{1}-Q_{1}\left(x_{0}\right)\right\\|\cdot\left\\|x_{% 1}-Q_{2}\left(x_{0}\right)\right\\|$
		$\displaystyle\leq MB^{2}\alpha_{1}\alpha_{2}\cdot\left\\|P\left(x_{0}\right)% \right\\|^{q}\leq\rho\cdot\rho^{\frac{q}{1-q}}\cdot\varepsilon_{0}^{q}$
		$\displaystyle=\rho^{\frac{1}{1-q}}\cdot\varepsilon_{0}^{q}$

	$\displaystyle\left\\|x_{i}-x_{i-1}\right\\|$	$\displaystyle\leq\left\\|x_{i}-Q_{1}\left(x_{i-1}\right)\right\\|+\left\\|Q_{1}% \left(x_{i-1}\right)-x_{i-1}\right\\|$
		$\displaystyle\leq B\alpha_{1}\left\\|P\left(x_{i-1}\right)\right\\|^{k_{1}}+% \beta_{1}\left\\|P\left(x_{i-1}\right)\right\\|$
		$\displaystyle\leq\varepsilon_{i-1}\cdot\rho^{\frac{1}{1-q}}\left(\beta_{1}+B% \alpha_{1}\varepsilon_{i-1}^{k_{1}-1}\cdot\rho^{\frac{k_{1}-1}{1-q}}\right)$
		$\displaystyle\leq\varepsilon_{0}^{q^{i-1}}\cdot\rho^{\frac{1}{1-q}}\left(\beta% _{1}+B\alpha_{1}\cdot\varepsilon_{0}^{q^{i-1_{\left(k_{1}-1\right)}}}\rho^{% \frac{k_{1}-1}{1-q}}\right)$

On a Steffensen type method for solving nonlinear operator equations

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Sur une Méthode de type Steffensen utilisée pour la résolution des équations opérationnelles non-linéaires

Théorème 1.

Démonstration.

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