Reducerea unei forme biliniare la o formă canonică

acum 6 luni

D.V. Ionescu

Uncategorized

Abstract

Autori

Dumitru V. Ionescu

Institutul de Calcul

Cuvinte cheie

PDF

https://ictp.acad.ro/scm/journal/article/view/42/42

Citați articolul în forma

D.V. Ionescu, Reducerea unei forme biliniare la o formă canonică. (Romanian) Stud. Cerc. Mat. (Cluj) 10 1959 45–49.
[Reduction of a bilinear form to a canonical form]

Despre acest articol

Journal

Studii şi cercetări matematice

Publisher Name

Academia Republicii S.R.

DOI

https://ictp.acad.ro/scm/journal/article/view/42

Print ISSN

Not available yet.

Online ISSN

Not available yet.

Google Scholar Profile

MR0130264

Referințe

??

Lucrare in format HTML

scm,+1959_201_20Ionescu2

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

REDUCEREA UNEI FORME BILINEARE LA O FORMĂ CANONICĂ

DED. V. IONESCU

Într-o notă din Buletinul Academiei poloneze de Științe, din 1957, M. A1tman [1] a dat o generalizare a metodei lui Jacobi pentru forme bilineare. Ne permitem să arătăm că am prezentat la prima sesiune știinţifică a Societății de științe matematice și fizice din R.P.R., în 1955 [2], o lucrare care conține ca un caz particular reducerea unei forme bilineare la o formă canonică. În această notă dăm o altă metodă pentru obținerea formei canonice.

Să considerăm forma bilineară

\begin{matrix} (1) & Φ = \sum_{i, n = 1}^{n} a_{i, k} x_{i} y_{k} \end{matrix}

şi fie

\begin{matrix} (2) & X_{k} = \sum_{j = 1}^{n} a_{j, k} x_{j}, Y_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} y_{j} \end{matrix}

unde

i, k = 1, 2, \dots, n

.
Fie

r

rangul matricei

{‖ a_{i k} ‖}_{1}^{n}

şi să presupunem că notațiile au fost astfel alese, încît determinanții

\begin{matrix} (3) & Δ_{h} = | \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1 h} \\ \cdot & \dots & \cdot \\ a_{h 1} & \dots & a_{h h} \end{array} | \end{matrix}

să nu fie nuli, ceea ce este totdeauna posibil, unde

h = 1, 2, \dots, r

.

În acest caz se demonstrează că

\begin{matrix} (4) & Φ = \frac{- 1}{Δ_{r}} | \begin{array}{cccc} a_{11} & \dots & a_{1 r} & Y_{1} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{r 1} & \dots & a_{r r} & Y_{r} \\ X_{1} & \dots & X_{r} & 0 \end{array} \end{matrix}

Aplicînd algoritmul lui Gauss (vezi [3]) pentru a rezolva ecuațiile lineare (2) în

y_{k}

şi

x_{i}

, aceste ecuații se pot scrie sub forma

\begin{array}{r} a_{11} y_{1} + a_{12} y_{2} + \dots + a_{1 n} y_{n} = Y_{1} \\ a_{22}^{(1)} y_{2} + \dots + a_{2 n}^{(1)} y_{n} = Y_{2}^{(1)} \\ a_{n 2}^{(1)} y_{2} + \dots + a_{n n}^{(1)} y_{n} = Y_{n}^{(1)} \\ a_{11} x_{1} + a_{21} x_{2} + \dots + a_{n 1} x_{n} = X_{1} \\ a_{22}^{(1)} x_{2} + \dots + a_{n 2}^{(1)} x_{n} = X_{2}^{(1)} \\ a_{2 n}^{(1)} x_{2} + \dots + a_{n n}^{(1)} x_{n} = X_{n}^{(1)} \end{array}

şi

a_{i k}^{(1)} = \frac{| \begin{matrix} a_{11} a_{1 k} \\ a_{i 1} a_{1 k} \end{matrix} |}{Δ_{1}}, X_{k}^{(1)} = \frac{| \begin{array}{cc} a_{11} a_{1 k} \\ X_{1} X_{k} \end{array} |}{Δ_{1}}, Y_{i}^{(1)} = \frac{| \begin{matrix} a_{11} Y_{1} \\ a_{i 1} Y_{i} \end{matrix} |}{Δ_{1}}

unde

Se demonstrează atunci că

Φ = \frac{- 1}{Δ_{r}} | \begin{array}{ccccc} a_{11} & 0 & \dots & 0 & Y_{1} \\ 0 & a_{22}^{(1)} & \dots & a_{2 r}^{(1)} & Y_{2}^{(1)} \\ \cdot & \cdot & \dots & \cdot & \cdot \\ 0 & a_{r 2}^{(1)} & \dots & a_{r r}^{(1)} & Y_{r}^{(1)} \\ X_{1} & X_{2}^{(1)} & \dots & X_{r}^{(1)} & 0 \end{array} |

Continuînd algoritmul lui Gauss, se ajunge la identitatea

Φ = \frac{- 1}{Δ_{r}} | \begin{array}{cccccc} a_{11} & 0 & 0 & \dots & 0 & Y_{1} \\ 0 & a_{22}^{(1)} & 0 & \dots & 0 & Y_{2}^{(1)} \\ 0 & 0 & a_{33}^{(2)} & \dots & 0 & Y_{3}^{(2)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & . \end{array} |

unde

Y_{h}^{(h - 1)}

şi

X_{h}^{(h - 1)}

sînt membrii ai doilea ai ecuaţiilor lineare

\begin{aligned} a_{11} y_{1} + a_{12} y_{2} + \dots + a_{1 n} y_{n} & = Y_{1} \\ a_{22}^{(1)} y_{2} + \dots + a_{2 n}^{(1)} y_{n} & = Y_{2}^{(1)} \\ a_{r r}^{(r - 1)} y_{r} + \dots + a_{r n}^{(r - 1)} y_{n} & = Y_{r}^{(r - 1)} \\ a_{11} x_{1} + a_{21} x_{2} + \dots + a_{n 1} x_{n} & = X_{1} \\ a_{22}^{(1)} x_{2} + \dots + a_{n 2}^{(1)} x_{n} & = X_{2}^{(1)} \\ a_{r r}^{(r - 1)} x_{r} + \dots + a_{n r}^{(r - 1)} x_{n} & = X_{r}^{(r - 1)} \end{aligned}

şi
ul lui Gauss.
obținute prin algoritmul lui Gauss.
Se demonstrează că

\begin{matrix} (6) & X_{k}^{(k - 1)} = \frac{P_{k} (x)}{Δ_{k}}, Y_{i}^{(i - 1)} = \frac{Q_{i} (x)}{Δ_{i}}, a_{h h}^{(h - 1)} = \frac{Δ_{h}}{Δ_{h - 1}} \end{matrix}

unde

\begin{matrix} (7) & P_{k} (x) = | \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1 k} \\ \cdot & \dots & \cdot \\ a_{k - 1, 1} & \dots & a_{k - 1, k} \\ X_{1} & \dots & X_{k} \end{array} |, Q_{i} (y) = | \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1, i - 1} Y_{1} \\ \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot \\ a_{i 1} & \dots & a_{i, i - 1} Y_{i} \end{array} | \end{matrix}

Dezvoltînd determinantul din identitatea (5), se obţine forma canonică a formei bilineare (1)

Φ = \frac{X_{1} Y_{1}}{a_{11}} + \frac{X_{2}^{(1)} Y_{2}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}} + \dots + \frac{X_{r}^{(r - 1)} Y_{r}^{(r - 1)}}{a_{r r}^{(r - 1)}}

care cu ajutorul formulelor (6) şi (7) se scrie sub forma definitivă

\begin{matrix} (8) & Φ = \frac{P_{1} (x) Q_{1} (y)}{Δ_{0} Δ_{1}} + \frac{P_{2} (x) Q_{2} (y)}{Δ_{1} Δ_{2}} + \dots + \frac{P_{r} (x) Q_{r} (y)}{Δ_{r - 1} Δ_{r}} . \end{matrix}

Se vede uşor că

P_{k} (x)

nu depinde de

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k - 1}

, că

Q_{i} (y)

nu depinde de

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{i - 1}

şi că

\frac{D (P_{1}, \dots, P_{r})}{D (x_{1}, \dots, x_{r})} = \frac{D (Q_{1}, \dots, Q_{r})}{D (y_{1}, \dots, y_{r})} = Δ_{1} Δ_{2} \dots Δ_{r} \neq 0,

ceea ce dovedeşte că formele lineare

P_{k} (x)

şi

Q_{i} (y)

sînt linear independente.

Cînd forma bilineară (1) este simetrică, adică

a_{i k} = a_{k i}

, avem

P_{i} (x) = Q_{i} (x)

şi formula (8) devine

\begin{matrix} (9) & Φ = \frac{Q_{1} (x) Q_{1} (y)}{Δ_{0} Δ_{1}} + \frac{Q_{2} (x) Q_{2} (y)}{Δ_{1} Δ_{2}} + \dots + \frac{Q_{r} (x) Q_{r} (y)}{Δ_{r - 1} Δ_{r}} . \end{matrix}

În cazul particular al formelor patratice

x_{k} = y_{k}

, formula precedentă dă formula clasică a lui Jacobi de descompunere a unei forme patratice într-o sumă de patrate

\begin{matrix} (10) & \sum_{i, k = 1}^{n} a_{i k} x_{i} x_{k} = \frac{Q_{1}^{2} (x)}{Δ_{0} Δ_{1}} + \frac{Q_{2}^{2} (x)}{Δ_{1} Δ_{2}} + \dots + \frac{Q_{r}^{2} (x)}{Δ_{r - 1} Δ_{r}} \end{matrix}

Dacă forma bilineară (1) este cu coeficienți şi nedeterminate complexe și în plus hermitică, adică

a_{i k} = \overset{―}{a_{k i}}

, ea se poate scrie sub forma

Φ_{1} = \sum_{i, k = 1}^{n} a_{i k} \overset{―}{x_{i}} y_{k} .

Se demonstrează că în acest caz avem

P_{i} (x) = \overset{―}{Q_{i} (x)}

şi formula de descompunere (8) devine

Φ_{1} = \frac{\overset{―}{Q_{1}} (x) Q_{1} (y)}{Δ_{0} Δ_{1}} + \frac{\overset{―}{Q_{2} (x)} Q_{2} (y)}{Δ_{1} Δ_{2}} + \dots + \frac{\overset{―}{Q_{r} (x)} Q_{r} (y)}{Δ_{r - 1} Δ_{r}}

determinanții

Δ_{i}

fiind reali.
Cînd

x_{i} = y_{i}

, formula precedentă dă descompunerea unei forme patratice hermitice într-o sumă de patrate

\begin{matrix} (11) & \sum_{i, k = 1}^{n} a_{l k} {\bar{x}}_{i} x_{k} = \frac{{| Q_{1} (x) |}^{2}}{Δ_{0} Δ_{1}} + \frac{{| Q_{2} (x) |}^{2}}{Δ_{1} Δ_{2}} + \dots + \frac{{| Q_{r} (x) |}^{2}}{Δ_{r - 1} Δ_{r}} . \end{matrix}

BIBLIO GRAFIE

A1tman M., A generalisation of Jacobi's method for bilinear forms. Bull. de l'Acad. Polon. des Sci., 1957, tom. V, p. 99-104.
Ionescu D. V., O identitate importantă şi descompunerea unei forme bilineare într-o sumă de produse. Gazeta matematică şi fizică, Seria A, 1955, p. 303-312 (referat înReterativnîi Jurnal - Matematika, 1957, ref. nr. 1146).
Gantmacher F. R., Teoria matricelor, Moscova, 1953, c. II, p. 28 (trad. litograf. din 1. rusă).

СВЕДЕНИЕ БИЛИНЕИНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ (Краткое содержание)

В одной заметке из Бюллетеня Польской Академии Наук за 1957 г. М. Альтман [1] дал обобщение метода Якобы для билинейных форм. На первой научной сессии Общества математических и физических наук PHP в 1955 г. [2] была представлена работа, содержащая частный случай сведения билинейной формы к коническому виду. В этой заметке приводится новый мегод получения канонической формы.

Сначала доказывается тождество (5) для билинейной формы (1), откуда следует каноническая форма (8), где

P (x), Q (x)

и

Δ_{i}

даны формулами (7) и (3). В качестве частного случая получается формула (10), представляющая классическое разложение Якоби для квадратической формы, а также формула (11), представляющая разложение хермитовой квадратической формы в сумму квадратов.

RÉDUCTION D'UNE FORME BILINÉAIRE À UNE FORME CANONIQUE
(Résumé)

Dans une note du Bulletin de 1'Académie polonaise des Sciences, de 1957, M. Altman [1] a donné une généralisation de la méthode de Jacobi pour les formes bilinéaires. Je me permets de signaler que j'ai présenté à la première session scientifique de la Société des Sciences mathématiques et physiques de la R.P.R., en 1955 [2], un travail qui comprend comme cas particulier la réduction d'une forme bilinéaire à une forme canonique, et dans cette note je donne en résumé la méthode que j'ai employée.

On démontre d'abord pour la forme bilinéaire (1), 1'identité (5), d'où résulte la forme canonique (8), les

P_{i} (x), Q_{i} (y)

et

Δ_{i}

étant donrés far les formules (7) et (3). On obtient comme cas particulier la formule (10) qui est 1a décomposition classique de Jacobi de la forme quadratique et la formule (11) qui est la décomposition d'une forme quadratique hermitienne en une somme de carrés.

1959

Reducerea unei forme biliniare la o formă canonică

Abstract

Autori

Cuvinte cheie

PDF

Citați articolul în forma

Despre acest articol

Journal

Publisher Name

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Referințe

Referinte

Lucrare in format HTML

REDUCEREA UNEI FORME BILINEARE LA O FORMĂ CANONICĂ

BIBLIO GRAFIE

СВЕДЕНИЕ БИЛИНЕИНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ (Краткое содержание)

RÉDUCTION D'UNE FORME BILINÉAIRE À UNE FORME CANONIQUE
(Résumé)

Related Posts

Reducerea unei forme biliniare la o formă canonică

Abstract

Autori

Cuvinte cheie

PDF

Citați articolul în forma

Despre acest articol

Journal

Publisher Name

DOI

Print ISSN

Online ISSN

Referințe

Referinte

Lucrare in format HTML

REDUCEREA UNEI FORME BILINEARE LA O FORMĂ CANONICĂ

BIBLIO GRAFIE

СВЕДЕНИЕ БИЛИНЕИНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ (Краткое содержание)

RÉDUCTION D'UNE FORME BILINÉAIRE À UNE FORME CANONIQUE (Résumé)

Related Posts

RÉDUCTION D'UNE FORME BILINÉAIRE À UNE FORME CANONIQUE
(Résumé)