Sur les diffèrences des fonctions d’une variable réelle

Tiberiu Popoviciu
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Abstrait

Traduction en anglais du titre

On the differences of functions of a real variable

Auteur(s)

T. Popoviciu

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1938 f -Popoviciu- Comptes Rendus Seances Acad. Sci. Roum. – Sur les differences des fonctions d’une variable reelle

Pour citer ce travail

T. Popoviciu, Sur les diffèrences des fonctions d’une variable réelle, Comptes Rendus des séances de l’Académie des Sciences de Roumanie, 2 (1938) no. 2, pp. 112-114 (in Romanian).

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[Zbl 0018.25001, JFM 64.0205.03]

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1938 f -Popoviciu- Comptes Rendus Seances Acad. Sci. Roum. - Sur les differences des fonctions d_une

28. Sur LES DIFFERENCES DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

par TIBERIU POPOVICIU

Présentée par Miron Nicolesco, Mc. A. S. R.

(Séance du + juin 1937).

  1. Nous considérons des fonctions réelles, de la variable réelle x x xxx, définies et uniformes dans un intervalle fini et fermé qu'on peut supposer être ( 0,1 ). Posons, comme d'habitude,
Δ h n f ( x ) = ∑ i = o n ( − I ) n − i ( i i ) / ( x + i h ) , x + i h ⊂ ( O , I ) . Δ h n f ( x ) = ∑ i = o n   ( − I ) n − i ( i i ) / ( x + i h ) , x + i h ⊂ ( O , I ) . Delta_(h)^(n)f(x)=sum_(i=o)^(n)(-I)^(n-i)((i)/(i))//(x+ih),quad x+ih sub(O,I).\Delta_{h}^{n} f(x)=\sum_{i=o}^{n}(-\mathrm{I})^{n-i}\binom{i}{i} /(x+i h), \quad x+i h \subset(\mathrm{O}, \mathrm{I}) .Δhnf(x)=∑i=on(−I)n−i(ii)/(x+ih),x+ih⊂(O,I).
M. A. Marchaud a démontré 1 1 ^(1){ }^{1}1 ) que si f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est bornée et si Δ h n f ( x ) Δ h n f ( x ) Delta_(h)^(n)f(x)\Delta_{h}^{n} f(x)Δhnf(x) tend uniformément vers zéro lorsque h → 0 h → 0 h rarr0h \rightarrow 0h→0, la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est continue dans ( 0,1 ).
Nous avons la propriété plus précise :
Si f ( x ) f ( x ) f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x})f(x) est bornée dans un sous-intervalle, si petit soit-il, et si Δ h n f ( x ) Δ h n f ( x ) Delta_(h)^(n)f(x)\Delta_{h}^{n} \mathrm{f}(\mathrm{x})Δhnf(x) tend uniformément vers zéro pour h → 0 h → 0 hrarr0\mathrm{h} \rightarrow 0h→0, la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x})f(x) est continue dans ( 0,1 ).
Il suffit de démontrer que si f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est bornée dans ( c ; I c ; I c;Ic ; \mathrm{I}c;I ) elle l'est aussi dans ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1)(0,1). Soit | f ( x ) | < M , x ⊂ ( c , 1 ) | f ( x ) | < M , x ⊂ ( c , 1 ) |f(x)| < M,x sub(c,1)|f(x)|<M, x \subset(c, 1)|f(x)|<M,x⊂(c,1) et o < η < I − c n − 1 o < η < I − c n − 1 o < eta < (I-c)/(n-1)o<\eta<\frac{I-c}{n-1}o<η<I−cn−1 tel que | Δ h n f ( x ) | < M Δ h n f ( x ) < M |Delta_(h)^(n)f(x)| < M\left|\Delta_{h}^{n} f(x)\right|<\mathrm{M}|Δhnf(x)|<M pour | h | < η | h | < η |h| < eta|h|<\eta|h|<η. On a | f ( x ) | < 2 n M | f ( x ) | < 2 n M |f(x)| < 2^(n)M|f(x)|<2^{n} \mathrm{M}|f(x)|<2nM pour x ⩾ c − η x ⩾ c − η x >= c-etax \geqslant c-\etax⩾c−η, d'où on déduit que
| f ( x ) | < 2 n s M , x ⊂ ( 0 , 1 ) , s > c η . | f ( x ) | < 2 n s M , x ⊂ ( 0 , 1 ) , s > c η . |f(x)| < 2^(ns)M,quad x sub(0,1),quad s > (c)/( eta).|f(x)|<2^{n s} \mathrm{M}, \quad x \subset(0,1), \quad s>\frac{c}{\eta} .|f(x)|<2nsM,x⊂(0,1),s>cη.
Nous allons démontrer maintenant que le théorème de M. A. Marchaud s'étend aux fonctions mesurables :
Si f ( x ) f ( x ) f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x})f(x) est mesurable dans ( O , I ) ( O , I ) (O,I)(\mathrm{O}, \mathrm{I})(O,I) et si Δ h n f ( x ) Δ h n f ( x ) Delta_(h)^(n)f(x)\Delta_{h}^{n} \mathrm{f}(\mathrm{x})Δhnf(x) tend uniformément vers zéro pour h → 0 h → 0 hrarr0\mathrm{h} \rightarrow 0h→0, la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x})f(x) est continue dans ( 0 , I ) ( 0 , I ) (0,I)(0, \mathrm{I})(0,I).
En effet, si f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) n'est pas bornée, elle ne l'est pas non plus dans l'intervalle ( 0 , I 2 ) 0 , I 2 (0,(I)/(2))\left(0, \frac{I}{2}\right)(0,I2). Soit 0 < η < I 2 n 0 < η < I 2 n 0 < eta < (I)/(2n)0<\eta<\frac{I}{2 n}0<η<I2n tel que | Δ h n f ( x ) | < I Δ h n f ( x ) < I |Delta_(h)^(n)f(x)| < I\left|\Delta_{h}^{n} f(x)\right|<I|Δhnf(x)|<I pour | h | ⩽ η | h | ⩽ η |h| <= eta|h| \leqslant \eta|h|⩽η. Étant donné un nombre A > 0 A > 0 A > 0\mathrm{A}>0A>0, il existe un ξ ⊂ ( 0 , 1 2 ) ξ ⊂ 0 , 1 2 xi sub(0,(1)/(2))\xi \subset\left(0, \frac{1}{2}\right)ξ⊂(0,12) tel que | f ( ξ ) | > I + ( 2 n − I ) | f ( ξ ) | > I + 2 n − I |f(xi)| > I+(2^(n)-I)|f(\xi)|>\mathrm{I}+\left(2^{n}-\mathrm{I}\right)|f(ξ)|>I+(2n−I) A. Mais on a | Δ h n f ( ξ ) | < I Δ h n f ( ξ ) < I |Delta_(h)^(n)f(xi)| < I\left|\Delta_{h}^{n} f(\xi)\right|<\mathrm{I}|Δhnf(ξ)|<I pour n − I h η < h < η n − I h η < h < η (n-I)/(h)eta < h < eta\frac{n-\mathrm{I}}{h} \eta<h<\etan−Ihη<h<η,
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donc | f ( ξ + i h ) | > | f ( ξ + i h ) | > |f(xi+ih)| >|f(\xi+i h)|>|f(ξ+ih)|>. A pour au moins un i , i ⩽ i ⩽ n i , i ⩽ i ⩽ n i,i <= i <= ni, i \leqslant i \leqslant ni,i⩽i⩽n. On en déduit que 1'ensemble E | | f ( x ) | > A | | | f ( x ) | > A | ||f(x)| > A|||f(x)|>\mathrm{A}|||f(x)|>A| est de mesure ⩾ η n ⩾ η n >= (eta )/(n)\geqslant \frac{\eta}{n}⩾ηn. Le nombre A étant quelconque, c'est en contradiction avec un théorème de M. E. B o r e 1 sur les fonctions mesurables. La propriété énoncée en résulte. Le cas de 1'équation Δ h n f ( x ) = O Δ h n f ( x ) = O Delta_(h)^(n)f(x)=O\Delta_{h}^{n} f(x)=\mathrm{O}Δhnf(x)=O a été étudié par M. W. Sierpinski ( n = 2 ) 1 ) ( n = 2 ) 1 {:(n=2)^(1))\left.(n=2)^{1}\right)(n=2)1) et par nous-mêmes ( n > 2 ) 3 ) ( n > 2 ) 3 {:(n > 2)^(3))\left.(n>2)^{3}\right)(n>2)3).
2. Considérons l'expression plus générale 3 3 ^(3){ }^{3}3 ).
(1)
Δ h ( n ) f ( x ) = ∑ i = o n a i f ( x + i h ) Δ h ( n ) f ( x ) = ∑ i = o n   a i f ( x + i h ) Delta_(h)^((n))f(x)=sum_(i=o)^(n)a_(i)f(x+ih)\Delta_{h}^{(n)} f(x)=\sum_{i=o}^{n} a_{i} f(x+i h)Δh(n)f(x)=∑i=onaif(x+ih)
les a i a i a_(i)a_{i}ai étant des constantes données. Cette expression est d'ordre k si ∑ i = o n a i i j = 0 , j = 0 , I , … , k − I , ∑ i = o n a i i k ≠ 0 ∑ i = o n   a i i j = 0 , j = 0 , I , … , k − I , ∑ i = o n   a i i k ≠ 0 sum_(i=o)^(n)a_(i)i^(j)=0,j=0,I,dots,k-I,sum_(i=o)^(n)a_(i)i^(k)!=0\sum_{i=o}^{n} a_{i} i^{j}=0, j=0, \mathrm{I}, \ldots, k-\mathrm{I}, \sum_{i=o}^{n} a_{i} i^{k} \neq 0∑i=onaiij=0,j=0,I,…,k−I,∑i=onaiik≠0, donc si le polynôme F ( x ) = ∑ i = o n a i x i F ( x ) = ∑ i = o n   a i x i F(x)=sum_(i=o)^(n)a_(i)x^(i)\mathrm{F}(x)=\sum_{i=o}^{n} a_{i} x^{i}F(x)=∑i=onaixi a la racine I d'ordre k k kkk de multiplicité. Dans ce cas on peut déterminer un entier positif p p ppp et deux polynômes φ ( x ) , ψ ( x ) φ ( x ) , ψ ( x ) varphi(x),psi(x)\varphi(x), \psi(x)φ(x),ψ(x), de manière que l'on ait 4 4 ^(4){ }^{4}4 ) :
φ ( x ) F ( x ) + ψ ( λ ) F ( x P ) ≡ ( I − λ P ) k . φ ( x ) F ( x ) + ψ ( λ ) F x P ≡ I − λ P k . varphi(x)F(x)+psi(lambda)F(x^(P))-=(I-lambda^(P))^(k).\varphi(x) \mathrm{F}(x)+\psi(\lambda) \mathrm{F}\left(x^{\mathrm{P}}\right) \equiv\left(\mathrm{I}-\lambda^{\mathrm{P}}\right)^{k} .φ(x)F(x)+ψ(λ)F(xP)≡(I−λP)k.
I1 en résulte qu'on a une relation de la forme
(2) Δ p h k f ( x ) = ∑ i = o p n − h − i α i Δ h ( n ) f ( x + i h ) + ∑ i = o n − k − i β i Δ p h ( v ) f ( x + i h ) , (2) Δ p h k f ( x ) = ∑ i = o p n − h − i   α i Δ h ( n ) f ( x + i h ) + ∑ i = o n − k − i   β i Δ p h ( v ) f ( x + i h ) , {:(2)Delta_(ph)^(k)f(x)=sum_(i=o)^(pn-h-i)alpha_(i)Delta_(h)^((n))f(x+ih)+sum_(i=o)^(n-k-i)beta_(i)Delta_(ph)^((v))f(x+ih)",":}\begin{equation*} \Delta_{p h}^{k} f(x)=\sum_{i=o}^{p n-h-i} \alpha_{i} \Delta_{h}^{(n)} f(x+i h)+\sum_{i=o}^{n-k-i} \beta_{i} \Delta_{p h}^{(v)} f(x+i h), \tag{2} \end{equation*}(2)Δphkf(x)=∑i=opn−h−iαiΔh(n)f(x+ih)+∑i=on−k−iβiΔph(v)f(x+ih),
les α i , β i α i , β i alpha_(i),beta_(i)\alpha_{i}, \beta_{i}αi,βi étant des constantes indépendantes de x , h x , h x,hx, hx,h et de la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x).
On voit que les propriétés du Nr. I restent vraies pour 1'expression (1). En particulier, si ∑ i = o n a i = 0 ∑ i = o n   a i = 0 sum_(i=o)^(n)a_(i)=0\sum_{i=o}^{n} a_{i}=0∑i=onai=0 et si (1) tend uniformément vers zéro, la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est nulle identiquement dans ( 0 , I 0 , I 0,I0, \mathrm{I}0,I ). Si
  1. W. Sierpinski: Sur les fonctions convexes mesurables. Fund. Math. t. I (1920), p. 125-129). M. W. Sierpinski a démontré aussi ce théorème sans utiliser 1'axiome de Zermelo, voir: Sur l'équation fonctionnelle f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) id. p. 116-122.
  2. T. Popoviciu: Sur quelques propriétés des fonctions d'une ou de deux variables réelles. Mathematica t. VIII (1934) p. I— 85.
  3. T. Pcpoviciu: Sur certaines équations fonctionnelles définissant des polynômes". Mathematica t. X, (1934), p. 197-211.
  4. Nous donnerons la démonstration dans un travail qui paraîtra dans le t. XIV de la revue „Mathematica".
    ∑ i = o n a i = 0 , ∑ i = o n a i i = 0 ∑ i = o n   a i = 0 , ∑ i = o n   a i i = 0 sum_(i=o)^(n)a_(i)=0,sum_(i=o)^(n)a_(i)i=0\sum_{i=o}^{n} a_{i}=0, \sum_{i=o}^{n} a_{i} i=0∑i=onai=0,∑i=onaii=0 et si (1) tend vers zéro pour tout x x xxx, la fonction est continue dans ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1)(0,1)(0,1).
  5. M. A. Marchaud a également démontré que si f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est bornée et si le rapport h − h Δ h h f ( x ) h − h Δ h h f ( x ) h^(-h)Delta_(h)^(h)f(x)h^{-h} \Delta_{h}^{h} f(x)h−hΔhhf(x) tend uniformément vers une fonction déterminée g ( x ) g ( x ) g(x)g(x)g(x), la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) a une dérivée k e ̀ m e k e ̀ m e k^(ème)k^{e ̀ m e}kème continue qui est (évidemment) égale à g ( x ) g ( x ) g(x)g(x)g(x). Démontrons que ce théorème est encore vrai pour les fonctions mesurables, donc
Si f ( x ) f ( x ) f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x})f(x) est mesurable et si h − k Δ h k f ( x ) h − k Δ h k f ( x ) h^(-k)Delta_(h)^(k)f(x)\mathrm{h}^{-k} \Delta_{h}^{k} \mathrm{f}(\mathrm{x})h−kΔhkf(x) tend uniformément vers une fonction g ( x ) g ( x ) g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x})g(x), la dérivée k ème k ème  k^("ème ")k^{\text {ème }}kème  de f ( x ) f ( x ) f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x})f(x) existe, est continue et on a f ( k ) ( x ) = g ( x ) f ( k ) ( x ) = g ( x ) f^((k))(x)=g(x)\mathrm{f}^{(k)}(\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{x})f(k)(x)=g(x) dans ( 0 , I ) ( 0 , I ) (0,I)(0, \mathrm{I})(0,I).
En effet, pour tout h , h − k Δ h k f ( x ) h , h − k Δ h k f ( x ) h,h^(-k)Delta_(h)^(k)f(x)h, h^{-k} \Delta_{h}^{k} f(x)h,h−kΔhkf(x) est une fonction mesurable, donc g ( x ) g ( x ) g(x)g(x)g(x) l'est aussi. Remarquons que Δ 2 h h f ( x ) = ∑ i = o h ( k i ) Δ h k f ( x + i h ) Δ 2 h h f ( x ) = ∑ i = o h   ( k i ) Δ h k f ( x + i h ) Delta_(2h)^(h)f(x)=sum_(i=o)^(h)((k)/(i))Delta_(h)^(k)f(x+ih)\Delta_{2 h}^{h} f(x)=\sum_{i=o}^{h}\binom{k}{i} \Delta_{h}^{k} f(x+i h)Δ2hhf(x)=∑i=oh(ki)Δhkf(x+ih), donc
| I 2 k ∑ i = o k ( k i ) g ( x + i h ) − g ( x ) | ⩽ ⩽ | Δ 2 h k f ( x ) ( 2 h ) k − g ( x ) | + I 2 k ∑ i = o h ( k i ) | Δ h h f ( x + i h ) h k − g ( x + i h ) | I 2 k ∑ i = o k   ( k i ) g ( x + i h ) − g ( x ) ⩽ ⩽ Δ 2 h k f ( x ) ( 2 h ) k − g ( x ) + I 2 k ∑ i = o h   ( k i ) Δ h h f ( x + i h ) h k − g ( x + i h ) {:[|(I)/(2^(k))sum_(i=o)^(k)((k)/(i))g(x+ih)-g(x)| <= ],[ <= |(Delta_(2h)^(k)f(x))/((2h)^(k))-g(x)|+(I)/(2^(k))sum_(i=o)^(h)((k)/(i))|(Delta_(h)^(h)f(x+ih))/(h^(k))-g(x+ih)|]:}\begin{aligned} & \left|\frac{\mathrm{I}}{2^{k}} \sum_{i=o}^{k}\binom{k}{i} g(x+i h)-g(x)\right| \leqslant \\ & \leqslant\left|\frac{\Delta_{2 h}^{k} f(x)}{(2 h)^{k}}-g(x)\right|+\frac{\mathrm{I}}{2^{k}} \sum_{i=o}^{h}\binom{k}{i}\left|\frac{\Delta_{h}^{h} f(x+i h)}{h^{k}}-g(x+i h)\right| \end{aligned}|I2k∑i=ok(ki)g(x+ih)−g(x)|⩽⩽|Δ2hkf(x)(2h)k−g(x)|+I2k∑i=oh(ki)|Δhhf(x+ih)hk−g(x+ih)|
L'expression d'ordre I I III,
I 2 h ∑ i = o k ( k i ) g ( x + i h ) − g ( x ) , I 2 h ∑ i = o k   ( k i ) g ( x + i h ) − g ( x ) , (I)/(2^(h))sum_(i=o)^(k)((k)/(i))g(x+ih)-g(x),\frac{\mathrm{I}}{2^{h}} \sum_{i=o}^{k}\binom{k}{i} g(x+i h)-g(x),I2h∑i=ok(ki)g(x+ih)−g(x),
tend donc (d'ailleurs uniformément) vers zéro. Il en résulte que g ( x ) g ( x ) g(x)g(x)g(x) est continue et, par conséquent, bornée dans ( 0 , I 0 , I 0,I0, \mathrm{I}0,I ). Alors, Δ h h f ( x ) Δ h h f ( x ) Delta_(h)^(h)f(x)\Delta_{h}^{h} f(x)Δhhf(x) tend uniformément vers zéro, donc f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) est aussi continue. La propriété énoncée en résulte.
Si on pose f ( x ) = x h f ( x ) = x h f(x)=x^(h)f(x)=x^{h}f(x)=xh dans (2), on trouve
I p k ∑ i = o p n − k − 1 α i + ∑ i = o n − k − 1 β i = k ! ∑ i = o k a i i k I p k ∑ i = o p n − k − 1   α i + ∑ i = o n − k − 1   β i = k ! ∑ i = o k   a i i k (I)/(p^(k))sum_(i=o)^(pn-k-1)alpha_(i)+sum_(i=o)^(n-k-1)beta_(i)=(k!)/(sum_(i=o)^(k)a_(i)i^(k))\frac{\mathrm{I}}{p^{k}} \sum_{i=o}^{p n-k-1} \alpha_{i}+\sum_{i=o}^{n-k-1} \beta_{i}=\frac{k!}{\sum_{i=o}^{k} a_{i} i^{k}}Ipk∑i=opn−k−1αi+∑i=on−k−1βi=k!∑i=okaiik
et nous déduisons la propriété suivante :
Si f ( x ) f ( x ) f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x})f(x) est mesurable ou si f ( x ) f ( x ) f(x)\mathrm{f}(x)f(x) est bornée et si h − k Δ h ( n ) f ( x ) h − k Δ h ( n ) f ( x ) h^(-k)Delta_(h)^((n))f(x)\mathrm{h}^{-k} \Delta_{h}^{(n)} \mathrm{f}(\mathrm{x})h−kΔh(n)f(x) tend uniformément vers une fonction g ( x ) g ( x ) g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x})g(x), la fonction f ( x ) f ( x ) f(x)\mathrm{f}(\mathrm{x})f(x) a une dérivée k ème k ème  k^("ème ")\mathrm{k}^{\text {ème }}kème  continue et on a
f ( k ) ( x ) = k ! ∑ i = o n a i i k g ( x ) , x ⊂ ( 0 , I ) . f ( k ) ( x ) = k ! ∑ i = o n   a i i k g ( x ) , x ⊂ ( 0 , I ) . f^((k))(x)=(k!)/(sum_(i=o)^(n)a_(i)i^(k))g(x),quad x sub(0,I).f^{(k)}(x)=\frac{k!}{\sum_{i=o}^{n} a_{i} i^{k}} g(x), \quad x \subset(0, \mathrm{I}) .f(k)(x)=k!∑i=onaiikg(x),x⊂(0,I).
    1. A. Marchaud: Sur les dérivées et sur les différences des fonctions de variables réelles. Journ, de Math. t. 6 (1927), p. 337-425.
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