Intre cele două regimuri principale (laminar și turbulent) de mișcare a fluidelor există un regim de trecere, numit tranziție, care prezintă atît proprietăți laminare, cît și turbulente. Curgerile laminare sînt descrise macroscopic cu ajutorul unor cîmpuri fundamentale (viteza, presiunea, densitatea, temperatura), care constituie soluția clasică a modelului Navier-Stokes-Fourier (N-S-F) diferențial sau integral. Să considerăm pentru simplitate cazul materialelor ne micropolare. Atunci acest model constă din patru ecuații de bilanț (pentru următoarele mărimi fizice: masă, impuls, energie și entropie) și condiții la limită și inițiale, în clase de, funcții Riemann integrabile. Forma diferențială a unei astfel de ecuații de bilanț este

unde : $g,f,p$$g,f,p$g,f,pg, f, p$g,f,p$ și $s$$s$ss$s$ sint respectiv densități ale mărimii fizice considerate ale fluxului, producției și aportului de astfel de mărime. Specificarea materialului se face postulînd pe bază experimentală sau deducînd din teoria constitutivă legături între $f,p$$f,p$f,pf, p$f,p$ și $s$$s$ss$s$ pe de o parte şi aceşti $g$$g$gg$g$ pe de alta, în legături (ecuații constitutive) apărînd presiunea și temperatura. Anumiți coeficienţi care apar datorită liniarității ecuațiilor constitutive se deter-

mină experimental macroscopic sau pe baze statistice. Deja de aici sînt posibile două interpretări ale mărimilor caracteristice fundamentale :
a) ele sînt medii statistice ale mărimilor aleatoare ce caracterizează mişearea la nivel microscopic. In acest caz mărimile nou apărute în ecuațiile constructive au interpretări pur macroscopice, coeficienții se determină experimental, iar caracteristicile fundamentale sînt ne aleatoare. Această interpretare conduce la existența unui prag (limita continuumului) de valabilitate a modelării ;
b) caracteristicile fundamentale sînt mărimi aleatoare, dar în modelare intră doar media lor statistică și anume : în membrul stîng al lụi (1) $g$$g$gg$g$ reprezintă media mărimii $\tilde{g}$$\tilde{g}$tilde(g)\tilde{g}$\tilde{g}$, iar $f,p$$f,p$f,pf, p$f,p$ și $s$$s$ss$s$ sint legături macroscopice care modelează efectul fluctuațiilor $\tilde{g}-g$$\tilde{g}-g$tilde(g)-g\tilde{g}-g$\tilde{g}-g$ microscopice la scară macroscopică. Această interpretare nu este obișnuită în cazul laminar.

În mişearea turbulentă, cîmpurile $g$$g$gg$g$ nụ mai sînt fizic relevante, iar aparatura de măsură folosită în regim laminar, aici nu mai este adecvată. Turbulența este un regim de curgere principial distinct de cel laminar : în cazul turbulent modelul N-S-F își păstrează valabilitatea, dar cîmpurile. (instantanee) furnizate de el nu mai sînt folositoare, datorită variaţiilor deosebit de rapide și complicate, practic aleatoare. O variație asemănătoare are loc pentru functia $f:(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R},f(x)=\sin x^{-1}$$f:(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R},f(x)=\sin x^{-1}$f:(0,oo)rarrR,f(x)=sin x^(-1)f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sin x^{-1}$f:(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R},f(x)=\sin x^{-1}$ care, pentru $x$$x$xx$x$ mari, este lent variabilă în vreme ce variația sa devine din ce în ce mai rapidă, cînd $x\to 0$$x\to 0$x rarr0x \rightarrow 0$x\to 0$. Cu toate acestea $f$$f$ff$f$ este infinit diferențiabilă dar stabilirea valorii sale într-un punct $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ apropiat de 0 este dificilă, cerînd o precizie din ce în ce mai mare. Foarte aproape de 0 este practic imposibilă o astfel de determinare, o mică abatere în specificarea lui $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ conducînd pentru $f\left(x_0\right)$$f\left(x_0\right)$f(x_(0))f\left(x_{0}\right)$f\left(x_0\right)$ la orice valoare cuprinsă între -1 și +1 (fig. 1). Literatura

oferă multe exemple de comportamente complicate ale unor funcții ce descriu dinamici deterministe. Deci, caracterul complicat al traiectoriilor în mișcare turbulentă și rapida variație a cîmpurilor menționate, nu implică neapărat cerința ca aceste cîmpuri să fie aleatoare şi deci ca modelul N -S -F să fie considerat în clase de funcții aleatoare. Totuși, practic, acest model nu mai este adecvat pentru descrierea la scară macroscopică a turbulenței, tot aşa cum în regimul laminar nu era relevantă o descriere microscopică discretă. Atunci, avem două posibilități analoage lui a) şi b) : a') mărimile caracteristice mişeării turbulente sînt medii statistice ale celor laminare, iar $f,p$$f,p$f,pf, p$f,p$ și $s$$s$ss$s$ sint legate de acestea prin postulări de modele de turbulență și fără să legăm pe $f,p$$f,p$f,pf, p$f,p$ și $s$$s$ss$s$ de vreo caracteristică a mișcării laminare. In acest caz, mediile statistice din turbulență apar ca duble medieri ale mărimilor microscopice ; b') caracteristicile turbulente sînt
mărimile aleatoare (sau mai bine zis puternic variabile şi complete) întilnite în modelarea laminară in timp ce $f,p$$f,p$f,pf, p$f,p$ și $s$$s$ss$s$ sînt rezultatul la scarai turbulenței a fluctuațiilor din caracteristicile laminare. Aceste interpretări țineau seama de modelul N-S-F valabil în cazul laminar. Există însă și o altă posibilitate și anume de a nu mai lega caracteristicile turbulente de cele laminare și a postula de la inceput că mărimile caracteristice tulbulenței sînt aleatoare, dar că acelea fizic relevante sînt mediile lor statistice legate de o scară molară, $f,p$$f,p$f,pf, p$f,p$ şi $s$$s$ss$s$ incluzind efectul macroscopic al fluctuațiilor la aceea scară [1], [2]. Atunci, in loc de modelul N-S-F determinist, avem unul stocastic, in clase de astfel de functii aleatoare. In teoriile clasice ale turbulenței se postulează tacit că în regim turbulent este valabil un model stochastic in clase de funcții aleatoare, fără să se specifice legătura între mediile statistice ale acestor funcţii și mărimile din modelul N-S-F determinist (care la numere Reynold mici era laminar) și fără să se lege scara continuumului turbulent, continuu construit por-nindu-se de la un sistem discret de grupări de molecule (moli) care pot să joace rolul moleculelor din cazul laminar. Această nespecificare face imposibilă o comparare și o legătură între mişearea laminauă și cea turbulentă, deoarece cele două regimuri sînt caracterizate de modele distincte și pe de altă parte provoacă serioase dificultăți în interpretarea fizică a rezultatelor teoretice. Se pare că modelul lungimii de amestec al lui Prandtl, bazat pe experimentele lui Nikuradze, ia în considerație scara molară drept scara microscopică a turbulenței, ceea ce explică concordanța sa deosebită cu rezultatele măsurătorilor. Acest punct de vedere este actualmente dezvoltat de şcoala sovietică condusă de V. V. Struminskii [2].

Caracterul aleator al solutiei modelului N-S-F stocastic provine din caracterul aleator al datelor (condiții inițiale, condiții la limită, vîscozitate turbulentă, forțe exterioare aleatoare). De aceea in acest model fluctuatiile au natură exterioară (zgomot) [11]), sînt introduse in sistemul fluid și nu se dezvoltă din perturbaţii. In consecință, modelul N-S-F este adecvat descrierii turbulenței dezvoltate şi nu tranziției.

Modelele matematice efectiv folosite in investigarea turbulenţei dezvoltate se obţin simplificind modelul N-S-F stocastic intr-un mod diferit decit in cazul laminar, deoarece aici viscozitatea, nestationaritatea şi amestecul sînt condiții necesare de turbulenţa. Aceste simplificări se fac diferenţiat, tinîndu-se seama de proprietățile mediilor și corelațiilor și a legăturii dintre ele. Astfel, in teoriile statistice naive de tip Reynolds se postulează relaţia de închidere (modele de turbulență) de tip algebric, diferențial, integral sau mixt intre medii temporale și corelatii. În teoriile statistice propriu-zise se folosese medii probabilistice, dar si aici se introduc ipoteze simplificatoare : asupra mediilor și anume izotropia (in teoria lui Kolmogorov), sau se postulează relaţii între spectre și corelaţii (ca în teoria lui Heisenberg) sau se prescriu ordinele de mărime ale corelațiilor (în teoria lui Kraichnan) [3]. Teoria statistică a lui Hopf pare cea mai naturală și generală, singura care să permită o trecere spre interpretări laminare. Complexitatea acestei teorii face ca interesul actual pentru ea să fie pur teoretic. Pe baza ei s-a dezvoltat teoria solutiilor statistice bidimensionale ale lui Foias, de asemenea, deocamdata, numai de
interes teoretic, datorită gradului mare de abstracţie al aparatului matematic, folosit, dar care deja a zdruncinat credinţa de un secol că orice mişcare tubulentă este tridimensională [4].

În turbulenţă, simplificările nu privese mărimile instantanee, ci mediile, corelaţiile sau spectrele lor ; rezultă că în interacțiunile model fizic - model matematic - experiment, modelul fizic este cel mai important, deşi el este mereu corectat de experiment şi teorie (fig. 2). A se compara cu situația mai simplă din cazul laminar (fig. 3). Să remarcăm con-

diționarea experimentului de către ideea fizică, obligatorie, de altfel, în toată fizica [5], [6], [7]; de aceea, in laboratoarele de prestigiu, experimentatorii sînt aleşi dintre cei mai buni cunoscători ai teoriilor fizice. Pe de altă parte, se constată că dacă în cazul general matematicienii depind de ideiile fizice și de datele experimentale, în turbulență ei furnizează in plus, sugestii fizicienilor și experimentatorilor, apărînd astfel, concepte fizice, gîndite inițial matematic. In acest fel, a luat naştere matematica fizică, care apare în toate situaţiile in care ideile fizice sînt complexe, ne intuitive, ci sugerate de modelul matematic, deci ea apare mult și in turbulență.

Problema principială, majoră a mecanicii fluidelor este apariția comportamentului turbulent aleator, haotic dintr-un comportament regulat, laminar; cum ajung perturbațiile interne, caracterizate de mărimi nealeatoare, să se transforme în fluctuaţii (aleatoare) fără aport de stocasticitate din exterior. Cunoaşterea diferitelor tipuri particulare de turbulențe date de teoriile clasice menţionate este importantă practic dar stăpînirea mecanismului originii turbulenței ar fi covîrşitoare, deoarece ea ar permite adevăratul control al turbulenței, adică folosirea în profunzime, dirijata, a caracteristicilor turbulenţei şi nu în ultimul rînd a energiei sale mari. In plus, observarea structurilor coerente laminare dezvoltate în mişcări turbulente sporesc impasul în care se găsesc fundamentele teoriei turbulenței. Dificultaţile semnalate se întîlnesc in forme specifice In studiul celor mai diferite sisteme fizice şi ele se formulează astfel : de ce evoluţiile ordonate devin haotice şi de ce pe un fond de dezordine poate apare ordinea? Un răspuns la aceste întrebări îl oferă teoriile bazate pe conceptul de haos determinist : evoluţiile complet deterministe conțin în ele însele germenii dezordinii, fără aport de zgomot din exterior. Din punct de vedere matematic haosul determinist este o dinamică parti-
culară în spațiul fazelor (ataşat evoluției sistemului fizic, evoluție ce depinde de anumiţi parametri) in care portretul de fază are proprietăți probabiliste. De aceea, haosul deterministe este numit și haos de fază sau haos din spațiul fazelor. Interpretarea și caracterizarea sa matematică aparține matematicii fizice în care fenomenul fizic este interpretat pornin-du-se de la concepte matematice ataşate dinamicii din spațiul fazelor. Astfel, evoluția unui sistem fizic se numeşte haotică, dacă sistemul dinamic ataşat are un comportament haotic. Dinamica haotică de fază are diferite definiții. De exemplu, după Yorke, dinamica este haotică dacă mulțimea atractivă din spațiul fazelor conține o infinitate de orbite periodice, o infinitate numărabilă de orbite neperiodice și majoritatea orbitelor sînt hiperbolice, iar după Mandelbrot, dacă sistemul dinamic are un atractor fractal. Indiferent de definiția matematică, haosul determinist implică o dezordine macroscopică, constatată experimental sau observată direct. Trecerea de la dinamică regulată la una haotică, rămînind în cadrul determinist, are loc conform unor "scenarii", „drumuri spre turbulență" tipice. Prin turbulență, aici se înțelege o dinamică analoagă turbulenței dezvoltate a fluidelor și caracterizată de mărimi aleatoare. Haosul determinist este capătul "drumului", pe cînd generarea sa are loc pe parcursul unei întregi zone de variație a parametrilor fizici, corespunzătoare tranziţiei laminar - turbulent.

In marea lor majoritate, fenomenele lumii vii sau nevii sînt modelate de probleme pentru ecuaţii cu derivate partiale al căror comportament este departe de a fi înțeles. In anumite situații (e.g. cazul disipativ) unui astfel de fenomen i se ataşează o problemă Cauchy pentru un sistem de ecuații diferențiale ordinare, numită exemplu model, care păstrează caracteristicile esențiale de fază ale fenomenului fizic. Ideea reducerii studiului calitativ al unei ecuații cu derivate partiale la acela al unei ecuatii diferentiale ordinare este una dintre cele mai profunde din ultimii ani. Ea a apărut în urma prelucrării unei cantități imense de rezultate obținute la calculator, cu care ocazie s-a observat că mulțimea soluţiilor anumitor ecuaţii cu derivate parțiale se „aplatisează" ținînzînd, pe măsura depărtării de momentul inițial $(t=0)$$(t=0)$(t=0)(t=0)$(t=0)$, către o mulţime de dimensiune finită (varietate inerțială) de soluţii ale exemplului model [8]. Teoretic, Foiaş a ajuns să definească această varietate stabilind margini superioare ale numărului modurilor necesare să descrie (pentru $t\to \mathrm{\infty }$$t\to \mathrm{\infty }$t rarr oot \rightarrow \infty$t\to \mathrm{\infty }$ ) mulțimea soluțiilor către care tinde mulţimea tuturor soluţiilor modelului NavierStokes.

Uneori, exemplele model conțin tot ecuaţii cu derivate parţiale dar mult mai simple. In alte situații, echivalența ecuației cu derivate parțiale cu cea diferențială ordinară se referă nu la proprietăți asimptotice pentru $t\to \mathrm{\infty }$$t\to \mathrm{\infty }$t rarr oot \rightarrow \infty$t\to \mathrm{\infty }$ (ca în cazul problemelor de stabilitate și atractivitate menționate) ci $\lambda \to 0$$\lambda \to 0$lambda rarr0\lambda \rightarrow 0$\lambda \to 0$ sau $\lambda \to \mathrm{\infty }$$\lambda \to \mathrm{\infty }$lambda rarr oo\lambda \rightarrow \infty$\lambda \to \mathrm{\infty }$ unde $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ este un parametru fizic.

Matematica experimentală nu este o știință, ci o îndeletnicire care furnizează rezultate numerice deduse din rezolvarea la calculator a unor probleme pentru care nu se dispune de suficiente informații calitative riguroase, privind în special, existența și unicitatea soluției. Ea a fost impusă de cerințe practice stringente și s-a dezvoltat mult în ultimul timp, interferînd cu arta și matematica [9]. Descrierea completă a dinamicii de fază, chiar în cazul exemplelor model, este imposibilă în absența calculatorului. Dar, pe de altă parte, interpretarea corectă a rezultatelor furnizate de calculator devine chiar principial imposibilă în cazul unor ecuaţii care depind sensibil de data inițială. In decelarea erorii calculatorului de micile variații ale soluției, un rol din ce în ce mai mare revine matematicienilor care posedă cunoștințe de teoria modelării. În anii noștri, periodic au loc congrese asupra modelării, se țin cursuri de modelare la marile instituţii de învățămînt superior, apar cărți dedicate acestui subiect [10], [11]. Matematica aplicată, prin știința modelării, este cea care sesizează mutațiile importante ale științei contemporane. In particular ea orientează studiul turbulenței în direcții principial noi în care s-a angajat cercetarea mondială: legătura între laminar și turbulent via haos determinist al sistemelor dinamice.

Sistemul dinamic este un concept geometric (de topologie diferențială) care modelează mișcarea (evoluția) unui sistem material cu ajutorul unei mulțimi infinite de transformări indexate după un număr natural $n$$n$nn$n$ (în care caz sistemul se numeşte discret) sau după un parametru real $t$$t$tt$t$ numit timp (în care caz sistemul dinamic este continuu). Deci, un sistem dinamic discret este o aplicative $T:\mathbb{N}\to \mathcal{C}$$T:\mathbb{N}\to \mathcal{C}$T:NrarrCT: \mathbb{N} \rightarrow \mathcal{C}$T:\mathbb{N}\to \mathcal{C}$, unde $\mathcal{C}$$\mathcal{C}$C\mathcal{C}$\mathcal{C}$ este mulțimea transformărilor $T_n:M\to M$$T_n:M\to M$T_(n):M rarr MT_{n}: M \rightarrow M$T_n:M\to M$ ale spatiului fazelor $M$$M$MM$M$ care au proprietățile $T_{n+m}==T_n\circ T_{m}m,n\in \mathbb{N}$$T_{n+m}==T_n\circ T_{m}m,n\in \mathbb{N}$T_(n+m)==T_(n)@T_(m)m,n inNT_{n+m}= =T_{n} \circ T_{m} m, n \in \mathbb{N}$T_{n+m}==T_n\circ T_{m}m,n\in \mathbb{N}$ iar $T_0$$T_0$T_(0)T_{0}$T_0$ este transformarea identitate. $T$$T$TT$T$ duce un număr natural $n$$n$nn$n$ într-o funcţie $T_n$$T_n$T_(n)T_{n}$T_n$ și anume $T(n)=T_n$$T(n)=T_n$T(n)=T_(n)T(n)=T_{n}$T(n)=T_n$. La rîndul ei funcția $T_n$$T_n$T_(n)T_{n}$T_n$ duce orice element din $M$$M$MM$M$ intr-un element din $M$$M$MM$M$. Aplicaţiile de interval $g:[a,b]\to [a,b],[a,b]\subset \mathbb{R}$$g:[a,b]\to [a,b],[a,b]\subset \mathbb{R}$g:[a,b]rarr[a,b],[a,b]subRg:[a, b] \rightarrow[a, b],[a, b] \subset \mathbb{R}$g:[a,b]\to [a,b],[a,b]\subset \mathbb{R}$, generează sisteme dinamice discrete asociate unei rezolvări iterative a ecuației $x=g(x)$$x=g(x)$x=g(x)x=g(x)$x=g(x)$ și anume $T_n(x)=g\left(x_n\right)$$T_n(x)=g\left(x_n\right)$T_(n)(x)=g(x_(n))T_{n}(x)=g\left(x_{n}\right)$T_n(x)=g\left(x_n\right)$, deci $T_n(x)=g^n\left(x_0\right)$$T_n(x)=g^n\left(x_0\right)$T_(n)(x)=g^(n)(x_(0))T_{n}(x)=g^{n}\left(x_{0}\right)$T_n(x)=g^n\left(x_0\right)$ unde $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ este valoarea inițială din procesul iterativ, iar $M=[a,b]$$M=[a,b]$M=[a,b]M=[a, b]$M=[a,b]$. Aflarea soluției acestei ecuații revine la găsirea punctului fix ** al aplicației $g$$g$gg$g$. Dacă $g$$g$gg$g$ este contracție, atunci un procedeu de aproximaţii succesive în care $x_n=g^n\left(x_0\right)$$x_n=g^n\left(x_0\right)$x_(n)=g^(n)(x_(0))x_{n}=g^{n}\left(x_{0}\right)$x_n=g^n\left(x_0\right)$ converge către $x^{\ast }$$x^{\ast }$x^(**)x^{*}$x^{\ast }$ deci $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x^{\ast }$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim} x_n=x^{\ast }$lim_(n rarr oo)x_(n)=x^(**)\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x^{*}$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x^{\ast }$ pentru orice alegere a lui $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$. In acest procedeu apare şirul $x_0,x_1,x_2,\dots$$x_0,x_1,x_2,\dots$x_(0),x_(1),x_(2),dotsx_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots$x_0,x_1,x_2,\dots$, numit orbită sau traiectoria lui $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$, definit deci ca $T_0\left(x_0\right),T_1\left(x_0\right),T_2\left(x_0\right),\dots$$T_0\left(x_0\right),T_1\left(x_0\right),T_2\left(x_0\right),\dots$T_(0)(x_(0)),T_(1)(x_(0)),T_(2)(x_(0)),dotsT_{0}\left(x_{0}\right), T_{1}\left(x_{0}\right), T_{2}\left(x_{0}\right), \ldots$T_0\left(x_0\right),T_1\left(x_0\right),T_2\left(x_0\right),\dots$, reprezentînd locul pozițiilor lui $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$, cînd timpul discret $n$$n$nn$n$ crește de la zero la $\mathrm{\infty }$$\mathrm{\infty }$oo\infty$\mathrm{\infty }$ și deci descriind dinamica discretă a lui $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ în $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$R\mathbb{R}$\mathbb{R}$. Considerații geometrice simple arată că grafic $x_{n+1}$$x_{n+1}$x_(n+1)x_{n+1}$x_{n+1}$ se construieşte ducînd din $x_n$$x_n$x_(n)x_{n}$x_n$ o perpendiculară pe axa $x$$x$xx$x$ care înțeapă graficul lui $g$$g$gg$g$ in $P_1$$P_1$P_(1)P_{1}$P_1$. Din $P_1$$P_1$P_(1)P_{1}$P_1$ se duce o paralelă
la axa $x$$x$xx$x$ care ințeapă prima bisectoare în $P_2$$P_2$P_(2)P_{2}$P_2$; proiectia lui $P_2$$P_2$P_(2)P_{2}$P_2$ pe axa $x$$x$xx$x$ este tocmai $x_{n+1}$$x_{n+1}$x_(n+1)x_{n+1}$x_{n+1}$ (fig. 4). Orbita lui $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ este un şir de puncte astfel construite de pe axa $x$$x$xx$x$. Ea este descrisă cu ajutorul valorilor în $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ ale tuturor transfor-

mărilor $T_n$$T_n$T_(n)T_{n}$T_n$ cu $n⩾0$$n⩾0$n >= 0n \geqslant 0$n⩾0$ deci folosind întregul sistem dinamic $T$$T$TT$T$ dar referitor numai la un singur element $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ al spatiului fazelor. Cu ajutorul lui $T$$T$TT$T$ se poate descrie dinamica tuturor punctelor lui $[a,b]$$[a,b]$[a,b][a, b]$[a,b]$ deci se poate găsi mulțimea orbitelor tuturor punctelor din spatiul fazelor, mulțime numită portretul de fază al lui $T$$T$TT$T$. Produsul $\mathbb{N}\times \mathbb{M}$$\mathbb{N}\times \mathbb{M}$NxxM\mathbb{N} \times \mathbb{M}$\mathbb{N}\times \mathbb{M}$ se numește spațiul fazelor extins, iar șirul perechilor $(0,x_0),(1,x_1),(2,x_2),\dots$$\left(0,x_0\right),\left(1,x_1\right),\left(2,x_2\right),\dots$(0,x_(0)),(1,x_(1)),(2,x_(2)),dots\left(0, x_{0}\right),\left(1, x_{1}\right),\left(2, x_{2}\right), \ldots$(0,x_0),(1,x_1),(2,x_2),\dots$ se numeşte orbită din spațiul fazelor extins a lui $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$. Deoarece $T_n$$T_n$T_(n)T_{n}$T_n$ sint funcții, în spațiul fazelor extins orbitele nu se intersectează în schimb se pot interesecta în spațiul fazelor. Aspectul portretului de fază al unui sistem dinamic este dictat de prezența în cadrul acestui portret a unor orbite speciale, atractive. Orbita care pleacă din $x_0\in [a,b]$$x_0\in [a,b]$x_(0)in[a,b]x_{0} \in[a, b]$x_0\in [a,b]$ se numește partial atractivă pentru orbitele care pleacă din $x_0^{\prime }\in [c,d]\subset [a,b]$$x_0^{\prime }\in [c,d]\subset [a,b]$x_(0)^(')in[c,d]sub[a,b]x_{0}^{\prime} \in[c, d] \subset[a, b]$x_0^{\prime }\in [c,d]\subset [a,b]$ (unde $[c,d]\ni x_0$$[c,d]\ni x_0$[c,d]∋x_(0)[c, d] \ni x_{0}$[c,d]\ni x_0$ ) dacă distanța dintre ea și aceste orbite tinde la zero, deci dacă $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|T_n\left(x_0\right)-T_n\left(x_0^{\prime }\right)|=0$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim} \left|T_n\left(x_0\right)-T_n\left(x_0^{\prime }\right)\right|=0$lim_(n rarr oo)|T_(n)(x_(0))-T_(n)(x_(0)^('))|=0\lim _{n \rightarrow \infty}\left|T_{n}\left(x_{0}\right)-T_{n}\left(x_{0}^{\prime}\right)\right|=0$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|T_n\left(x_0\right)-T_n\left(x_0^{\prime }\right)|=0$. $[c,d]$$[c,d]$[c,d][c, d]$[c,d]$ se numeşte bazin de atractie. Dacă bazinul $[c,d]$$[c,d]$[c,d][c, d]$[c,d]$ coincide cu întregul spaţiu al fazelor [ $a,b$$a,b$a,ba, b$a,b$ ], atunci orbita ce porneşte din $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ se numeşte total atractivă sau, simplu, atractivă. Există o mulțime de alte tipuri de atractivitate sau de comportamente asimptotice pentru $n\to \mathrm{\infty }$$n\to \mathrm{\infty }$n rarr oon \rightarrow \infty$n\to \mathrm{\infty }$ ale orbitelor. Dintre orbitele tipice care pot fi atractive menţionăm orbitele periodice (sau ciclurile) de perioadă $n$$n$nn$n$ sau $n$$n$nn$n$-ciclurile în care $T_{m(n-1)+k}\left(x_0\right)=T_k\left(x_0\right)$$T_{m(n-1)+k}\left(x_0\right)=T_k\left(x_0\right)$T_(m(n-1)+k)(x_(0))=T_(k)(x_(0))T_{m(n-1)+k}\left(x_{0}\right)=T_{k}\left(x_{0}\right)$T_{m(n-1)+k}\left(x_0\right)=T_k\left(x_0\right)$ deci de forma $x_0,x_1,x_2,\dots x_n,x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$$x_0,x_1,x_2,\dots x_n,x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$x_(0),x_(1),x_(2),dotsx_(n),x_(0),x_(1),x_(2),dots,x_(n),dotsx_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}, x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots$x_0,x_1,x_2,\dots x_n,x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$ unde $0⩽k⩽n-1$$0⩽k⩽n-1$0 <= k <= n-10 \leqslant k \leqslant n-1$0⩽k⩽n-1$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast },m\in \mathbb{N}.1$$n\in {\mathbb{N}}^{\ast },m\in \mathbb{N}.1$n inN^(**),m inN.1n \in \mathbb{N}^{*}, m \in \mathbb{N} .1$n\in {\mathbb{N}}^{\ast },m\in \mathbb{N}.1$ - ciclul este orbita constantă $x_0,x_0,x_0,\dots$$x_0,x_0,x_0,\dots$x_(0),x_(0),x_(0),dotsx_{0}, x_{0}, x_{0}, \ldots$x_0,x_0,x_0,\dots$ in care, deci $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ este punct fix sau punct de echilibru al aplicatiei $g$$g$gg$g$ care a generat pe $T$$T$TT$T$. Imaginea în spațiul fazelor a 1 -ciclului coincide cu imaginea punctului fix $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$. Dacă un $n$$n$nn$n$-ciclu descrie mişcarea lui $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$, atunci $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ este punct fix al lui $g^n$$g^n$g^(n)g^{n}$g^n$ și se numeşte punct periodic de perioadă $n$$n$nn$n$. In spațiul fazelor un $n$$n$nn$n$-ciclu se reprezintă prin $n$$n$nn$n$ puncte. Punctul fix este un punct periodic de perioadă 1 . In cazul cînd $g$$g$gg$g$ este o contracție, atunci sistemul dinamic $T$$T$TT$T$ generat de $g$$g$gg$g$ are orbita constantă $x^{\ast },x^{\ast },x^{\ast },\dots$$x^{\ast },x^{\ast },x^{\ast },\dots$x^(**),x^(**),x^(**),dotsx^{*}, x^{*}, x^{*}, \ldots$x^{\ast },x^{\ast },x^{\ast },\dots$ (unde $x^{\ast }$$x^{\ast }$x^(**)x^{*}$x^{\ast }$ este punctul fix al lui $g$$g$gg$g$ ) drept orbită total atractivă.

Mulțimea formată dintr-o orbită total atractivă sau din mulțimea tuturor orbitelor parțial atractive ale lui $T$$T$TT$T$ se numeşte mulțime atractivă a lui $T$$T$TT$T$. Dacă mulțimea atractivă este local o varietate, atunci ea se numeşte atractor. Cînd $T$$T$TT$T$ este generat de aplicația $g$$g$gg$g$ iar aplicația $g$$g$gg$g$ este o contracție, atunci mulțimea atractivă a lui $T$$T$TT$T$ este un atractor compus dintr-un singur element (orbita constantă corespunzătoare punctului fix). Dacă $g$$g$gg$g$
nu este contracție, atunci atractorul poate fi format dintr-un număr finit sau infinit de orbite parțial áractive. O mulțime atractivă care nu este varietate se numeşte atractor straniu sau atractor haotic; ea conține o infinitate de orbite parțial atractive (i.e. al căror bazin de atracţie este strict conținut în $M$$M$MM$M$ ) între care orbitele neatractive rătăcesc haotic. Caracterul determinant al dinamicii de fază rezultă din aceea că $T_n$$T_n$T_(n)T_{n}$T_n$ sînt funcții, deci duc un $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ într-un singur $T_n\left(x_0\right)$$T_n\left(x_0\right)$T_(n)(x_(0))T_{n}\left(x_{0}\right)$T_n\left(x_0\right)$. Dar cu tot acest caracter determinist, cînd $T$$T$TT$T$ posedă un atractor straniu dinamica de fază este haotică. Prin dinamică haotică se înțelege un portret de fază format din orbite complicat de descris (din cauza ordinei aproape întimplătoare a termenilor săi), orbite care tind indecis cînd către o orbită a atractorului straniu, cînd către alta, nu părăsesc vecinătatea acestuia, dar nici nu tind către el după o regulă simplă, deşi această tindere este complet specificată de valorile $T_n\left(x_0\right)$$T_n\left(x_0\right)$T_(n)(x_(0))T_{n}\left(x_{0}\right)$T_n\left(x_0\right)$. Deci, mişcarea unui punct $x_0\in M$$x_0\in M$x_(0)in Mx_{0} \in M$x_0\in M$ este haotică dacă, deși deterministă, ea are proprietăți nepredictibile (stocastice). Această dualitate: determinism pe de o parte (deoarece $T_n$$T_n$T_(n)T_{n}$T_n$ sint funcții) și impredictibilitatea practică (datorită complexității lui $T_n\left(x_0\right)=g^n\left(x_0\right)$$T_n\left(x_0\right)=g^n\left(x_0\right)$T_(n)(x_(0))=g^(n)(x_(0))T_{n}\left(x_{0}\right)=g^{n}\left(x_{0}\right)$T_n\left(x_0\right)=g^n\left(x_0\right)$ ) se numește haos determinist [12].

Se remarcă că acelaşi tip de haos determinist, deşi într-o măsură mult mai mică, era cuprins și în funcția sin $x^{-1}$$x^{-1}$x^(-1)x^{-1}$x^{-1}$. Dar acest haos nu este încă turbulență, deoarece el este teoretic predictibil, determinist, în timp ce prin definiție dinamică turbulentă este caracterizată de mărimi aleatoare. Cu toate acestea, haosul determinist este un capăt de drum spre turbulență, deoarece dinamica de fază este impredictibilă practic, dar are anumite proprietăți statistice comune cu turbulența. In acest fel, dacă sistemul dinamic $T$$T$TT$T$ depinde de un parametru real $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ și, pe măsură ce $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ creşte, mulțimea atratică a lui $T$$T$TT$T$ se modifică, din atractor devenind atractor straniu, rezultă că odată cu creşterea lui $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ se parcurge un drum spre turbulență și acest drum este un scenariu care depinde de sistemul dinamic $T$$T$TT$T$ concret. S-a constatat că există mai multe scenarii tipice pe care le vom expune la sfîrşitul lucrării după ce vom fi introdus şi alte noțiuni.

Sistemele dinamice discrete pot fi generate și de funcţi complexe, de variabilă complexă. Mult studiate sînt funcțiile raționale (cît de două polinoame) care posedă atractori bogați și dinamici haotice.

In cazul sistemelor dinamice continue numite și curgeri, toate definițiile și rezultatele de mai sus se transcriu corespunzător.

Dimensiunea unti sistem dinamic este dată de dimensiunea spatiului fazelor. Sistemele dinamice continue finit dimensionale sînt generate de soluții ale problemei Cauchy, pentru care soluţia există şi este unică,

pentru o ecuație (vectorială) diferențială ordinară, autonomă

( $\overrightarrow{f}$$\overrightarrow{f}$vec(f)\vec{f}$\overrightarrow{f}$ se numeşte cimp de vectori), dacă (1), (2) are soluție unică şi anume

unde $\overrightarrow{x}(t,{\overrightarrow{x}}_0)$$\overrightarrow{x}\left(t,{\overrightarrow{x}}_0\right)$vec(x)(t, vec(x)_(0))\vec{x}\left(t, \vec{x}_{0}\right)$\overrightarrow{x}(t,{\overrightarrow{x}}_0)$ este soluţia acelei probleme. De fapt, sistemul dinamic este generat de mulțimea acestor probleme corespunzătoare tuturor datelor ${\overrightarrow{x}}_0\in M$${\overrightarrow{x}}_0\in M$vec(x)_(0)in M\vec{x}_{0} \in M${\overrightarrow{x}}_0\in M$ sau, echivalent, de problema Cauchy a cărei dată inițială descrie pe $M$$M$MM$M$. Invers, oricărui sistem dinamic $T$$T$TT$T$, ale cărui valori $T_t$$T_t$T_(t)T_{t}$T_t$ sînt definite de (3), i se poate ataşa o problemă Cauchy (1), (2) a cărei soluție să genereze pe $T$$T$TT$T$. Specificarea lui $x_0$$x_0$x_(0)x_{0}$x_0$ în scrierea soluției lui (1), (2) arată că acea soluție corespunde datei initiale ${\overrightarrow{x}}_0$${\overrightarrow{x}}_0$vec(x)_(0)\vec{x}_{0}${\overrightarrow{x}}_0$. Aceeaşi scriere uşurează și o interpretare dinamică bazată pe definiția (3) : orbita (traiectoria) lui ${\overrightarrow{x}}_0$${\overrightarrow{x}}_0$vec(x)_(0)\vec{x}_{0}${\overrightarrow{x}}_0$ este imaginea funcţiei $\overrightarrow{x}(t,{\overrightarrow{x}}_0)$$\overrightarrow{x}\left(t,{\overrightarrow{x}}_0\right)$vec(x)(t, vec(x)_(0))\vec{x}\left(t, \vec{x}_{0}\right)$\overrightarrow{x}(t,{\overrightarrow{x}}_0)$ de $t$$t$tt$t$ (cu ${\overrightarrow{x}}_0$${\overrightarrow{x}}_0$vec(x)_(0)\vec{x}_{0}${\overrightarrow{x}}_0$ fixat). Cînd variază atît $t$$t$tt$t$ cît și ${\overrightarrow{x}}_0$${\overrightarrow{x}}_0$vec(x)_(0)\vec{x}_{0}${\overrightarrow{x}}_0$ se obține portretul de fază al lui $T$$T$TT$T$ și, corespunzător, mulțimea soluțiilor tuturor problemelor Cauchy ale căror date inițiale sînt în spaţiul fazelor $M$$M$MM$M$, care este izomorf cu ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$ și deci îl alegem drept ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$. Traiectoriile de fază ale sistemelor dinamice continue sînt deci curbe din ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$, variabila independentă $t$$t$tt$t$ a problemei (1), (2) jucînd rol de parametru pe acele traiectorii. Caracterizarea de continuu atribuită lui $T$$T$TT$T$ se datoreşte faptului că traiectoriile sale sînt continuu muri matematice (fiind curbe). 1 -ciclurilor din cazul discret le corespund aici soluțiile staţionare ale lui (2) deci vectorii constanți $x^{\ast }\in \mathrm{R}$$x^{\ast }\in \mathrm{R}$x^(**)inRx^{*} \in \mathrm{R}$x^{\ast }\in \mathrm{R}$, numiți puncte de echilibru, sau, simplu, echilibre, care satisfac ecuaţia

un analog al $k$$k$kk$k$-ciclurilor fiind torurile $T^{k-1}$$T^{k-1}$T^(k-1)T^{k-1}$T^{k-1}$ din ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb{R}}^n$R^(n)\mathbb{R}^{n}${\mathbb{R}}^n$. Curbele de pe $T^k$$T^k$T^(k)T^{k}$T^k$ sînt $k$$k$kk$k$-periodice în raport cu $t$$t$tt$t$. In particular, $T^1$$T^1$T^(1)T^{1}$T^1$ este orice curbă închisă topologic echivalentă cu cercul și deseori este numit ciclu limită.

Deşi, Poincaré a fost primul care a observat că sistemele dinamice neliniare (i.e. $cu\overrightarrow{f}$$cu\overrightarrow{f}$cu vec(f)c u \vec{f}$cu\overrightarrow{f}$ neliniar) pot avea mulțimi atractive bizare (i.e. atractorii stranii), totuși, incepind cu el, o atenție deosebită a fost acordată unor orbite atractive speciale: punctele de echilibru și ciclurile limită. Indepărtarea atenției de la atractorii stranii a avut un efect negativ asupra dezvoltării teoriei sistemelor dinamice; probabil însă că aceasta nu putea fi evitat, deoarece aceşti atractori intrau în categoria mulţimilor ciudate, ocolite de toţi matematicienii. Insuși Cantor cînd a dedus mulțimea care-i poartă numele a exclamat: „văd dar nu cred". Abia după anii 1975, odată cu introducerea fractalilor de către Mandelbrot, mulțimile neobișnuite au început să fie studiate sistematic în cadrul teoriei geometrice a măsurii.

Spre deosebire de cazul discret în care traiectoriile de fază sînt şiruri de puncte discrete, in sistemele dinamice continue traiectoriile de fază sînt curbe. Acestea se pot intersecta în spațiul fazelor dar nu in spațiul fazelor extins, care acum este $\mathbb{R}\times M$$\mathbb{R}\times M$Rxx M\mathbb{R} \times M$\mathbb{R}\times M$, deoarece $T_t$$T_t$T_(t)T_{t}$T_t$ sint funcţii și, corespunzător, problema Cauchy (1), (2) are soluție unică. Mişeării pe traiectorie a unui singur punct ${\overrightarrow{x}}_0$${\overrightarrow{x}}_0$vec(x)_(0)\vec{x}_{0}${\overrightarrow{x}}_0$ din spațiul fazelor î corespunde variația în timp a soluţiei $\overrightarrow{x}(t,{\overrightarrow{x}}_0)$$\overrightarrow{x}\left(t,{\overrightarrow{x}}_0\right)$vec(x)(t, vec(x)_(0))\vec{x}\left(t, \vec{x}_{0}\right)$\overrightarrow{x}(t,{\overrightarrow{x}}_0)$ a problemei Cauchy ataşată in care ${\overrightarrow{x}}_0$${\overrightarrow{x}}_0$vec(x)_(0)\vec{x}_{0}${\overrightarrow{x}}_0$ este fixat. O problemă Cauchy pentru o ecuație diferențială ordinară neautonomă de tipul (3) în care $\overrightarrow{f}=\overrightarrow{f}(t,\overrightarrow{x})$$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{f}(t,\overrightarrow{x})$vec(f)= vec(f)(t, vec(x))\vec{f}=\vec{f}(t, \vec{x})$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{f}(t,\overrightarrow{x})$ generează, dacă soluția sa există și este unică un sistem dinamic $n+1$$n+1$n+1n+1$n+1$ dimensional, deoarece in acest caz $t$$t$tt$t$ se ia drept

Ca orice funcție, un sistem dinamic $T$$T$TT$T$ este cunoscut cînd se cunose valorile sale, adică transformările $T_t$$T_t$T_(t)T_{t}$T_t$ pentru $\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}$$\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}$AA t inR\forall t \in \mathbb{R}$\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}$, sau, ținînd seama de (3), cînd se cunoaşte explicit dependența soluției $\overrightarrow{x}$$\overrightarrow{x}$vec(x)\vec{x}$\overrightarrow{x}$ de ${\overrightarrow{x}}_0$${\overrightarrow{x}}_0$vec(x)_(0)\vec{x}_{0}${\overrightarrow{x}}_0$. Aceasta este posibil doar cînd $\overrightarrow{f}$$\overrightarrow{f}$vec(f)\vec{f}$\overrightarrow{f}$ este funcție liniară sau afină de $\overrightarrow{x}$$\overrightarrow{x}$vec(x)\vec{x}$\overrightarrow{x}$. De exemplu, în cazul afin $\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=A\overrightarrow{x}+B$$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=A\overrightarrow{x}+B$vec(f)( vec(x))=A vec(x)+B\vec{f}(\vec{x})=A \vec{x}+B$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=A\overrightarrow{x}+B$, unde $A$$A$AA$A$ este o matrice $n\times n$$n\times n$n xx nn \times n$n\times n$, iar $B$$B$BB$B$ o matrice $n\times 1,A$$n\times 1,A$n xx1,An \times 1, A$n\times 1,A$ și $B$$B$BB$B$ depinzînd de $t$$t$tt$t$, soluţia $\overrightarrow{x}(t,t_0,{\overrightarrow{x}}_0)$$\overrightarrow{x}\left(t,t_0,{\overrightarrow{x}}_0\right)$vec(x)(t,t_(0), vec(x)_(0))\vec{x}\left(t, t_{0}, \vec{x}_{0}\right)$\overrightarrow{x}(t,t_0,{\overrightarrow{x}}_0)$ a problemei (1), (2) corespunzătoare în care $\overrightarrow{x}\left(t_0\right)={\overrightarrow{x}}_0$$\overrightarrow{x}\left(t_0\right)={\overrightarrow{x}}_0$vec(x)(t_(0))= vec(x)_(0)\vec{x}\left(t_{0}\right)=\vec{x}_{0}$\overrightarrow{x}\left(t_0\right)={\overrightarrow{x}}_0$ este dată de formula de variație a constantelor

unde $C(t,t_0)$$C\left(t,t_0\right)$C(t,t_(0))C\left(t, t_{0}\right)$C(t,t_0)$ este matricea fundamentală a lui (2) și are drept elemente $C_{ij}=x_i(t,t_0,{\overrightarrow{e}}_j)$$C_{ij}=x_i\left(t,t_0,{\overrightarrow{e}}_j\right)$C_(ij)=x_(i)(t,t_(0), vec(e)_(j))C_{i j}=x_{i}\left(t, t_{0}, \vec{e}_{j}\right)$C_{ij}=x_i(t,t_0,{\overrightarrow{e}}_j)$. In acest caz, sistemul dinamic continuu $T$$T$TT$T$ generat de
(1), (2) are valorile $T_t=C(t,t_0)+{\int }_{t_0}^{t}C(t,s)B(s)\mathrm{d}s$$T_t=C\left(t,t_0\right)+{\int }_{t_0}^t C(t,s)B(s)\mathrm{d}s$T_(t)=C(t,t_(0))+int_(t_(0))^(t)C(t,s)B(s)dsT_{t}=C\left(t, t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} C(t, s) B(s) \mathrm{d} s$T_t=C(t,t_0)+{\int }_{t_0}^{t}C(t,s)B(s)\mathrm{d}s$.

Următoarea problemă Cauchy, clasică, pentru un sistem de ecuații cu derivate partiale

în care $\overrightarrow{N}$$\overrightarrow{N}$vec(N)\vec{N}$\overrightarrow{N}$ este un operator în general neliniar, generează un sistem dinamic continuu infinit dimensional $T$$T$TT$T$ unde $T_t\left({\overrightarrow{u}}_0\right)=\overrightarrow{u}(t,\overrightarrow{x};{\overrightarrow{u}}_0),T_t$$T_t\left({\overrightarrow{u}}_0\right)=\overrightarrow{u}\left(t,\overrightarrow{x};{\overrightarrow{u}}_0\right),T_t$T_(t)( vec(u)_(0))= vec(u)(t,( vec(x)); vec(u)_(0)),T_(t)T_{t}\left(\vec{u}_{0}\right)=\vec{u}\left(t, \vec{x} ; \vec{u}_{0}\right), T_{t}$T_t\left({\overrightarrow{u}}_0\right)=\overrightarrow{u}(t,\overrightarrow{x};{\overrightarrow{u}}_0),T_t$ sint definite pe spatiul fazelor infinit dimanional $M$$M$MM$M$ al functiilor netede ${\overrightarrow{u}}_0(\overrightarrow{x})$${\overrightarrow{u}}_0(\overrightarrow{x})$vec(u)_(0)( vec(x))\vec{u}_{0}(\vec{x})${\overrightarrow{u}}_0(\overrightarrow{x})$ care satisfac anumite condiții la limită pe $\partial \mathrm{\Omega }$$\partial \mathrm{\Omega }$del Omega\partial \Omega$\partial \mathrm{\Omega }$. Cu toate că explicitarea dependenței lui $T_t$$T_t$T_(t)T_{t}$T_t$ de ${\overrightarrow{u}}_0$${\overrightarrow{u}}_0$vec(u)_(0)\vec{u}_{0}${\overrightarrow{u}}_0$ este în general imposibilă, simpla existență a acestor funcții și anumite proprietăți ale lor le fac deosebit de folositoare in teoria calitativă. Problemelor fizicii matematice li se ataşează sisteme dinamice mai ales pentru acest studiu calitativ, care în afara existenței, unicității și stabilității privește și atractivitatea, bifurcația și comportamentul asimptotic al soluțiilor acelor probleme. Sistemele dinamice fiind obiecte geometrice conduc la denumirea de teorie geometrică a ecuațiilor diferențiale pentru teoria calitativă.

Punerea problemelor Cauchy sub formă de sistem dinamic este o problemă matematică deosebit de dificilă.

Problema bifurcației mulțimii soluţilor unei probleme pentru o ecuație diferențială apare cînd acele probleme depind de un parametru fizic $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ sau de mai mulți. Bifurcația mulțimii soluțiilor problemelor stationare se numeşte bifurcație statică și analizează dependența acelei mulțimi de parametru (dependență care nu este funcție de $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$, ci funcție multiformă de $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ ). Teoriile de bifurcație statică furnizează poziția și numărul punctelor de bifurcație, numărul și forma varietăților bifurcate, mărginirea acestora, comportamentul lor pentru valori deosebite ale lui $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$. Studiul în jurul punctelor de bifurcaţie se numeşte local; cel al varietăţilor
bifurcate este un studiu global. Bifurcația mulțimii S a soluțiilor problemelor nestaționare se numeşte bifurcație dinamică. ${\lambda }_0$${\lambda }_0$lambda_(0)\lambda_{0}${\lambda }_0$ este punct de bifurcație pentru $S$$S$SS$S$ dacă la traversarea lui ${\lambda }_0,S$${\lambda }_0,S$lambda_(0),S\lambda_{0}, S${\lambda }_0,S$ își schimbă proprietățile topologice, deci dacă protretul de fază pentru $\lambda <{\lambda }_0$$\lambda <{\lambda }_0$lambda < lambda_(0)\lambda<\lambda_{0}$\lambda <{\lambda }_0$ nu este topologic echivalent cu cel pentru $\lambda >{\lambda }_0$$\lambda >{\lambda }_0$lambda > lambda_(0)\lambda>\lambda_{0}$\lambda >{\lambda }_0$. Spre deosebire de cazul static o bifurcație dinamică poate avea loc cînd se modifică doar proprietățile atractive ale atractorului sistemului dinamic ataşat, dar nu și componența acelui atractor.

In afara sistemelor dinamice definite există unele mai generale studiate de teoria sistemelor dinamice, parte a topologiei diferentiale. Topologia diferenţială alături de analiza pe varietăţi și alte ramuri matematice alcătuiesc analiza globală în cadrul cărora se studiază azi evoluțiile complexe ale sistemelor. Topologia studiază aplicațiile dintre spații; cînd aceste aplicații sînt diferențiale atunci ele formează obiectul topologiei diferențiale. Ó ramură importantă a analizei globale este teoria ergodică care studiază mişcarea în spații, mai generale, cu măsură $\tilde{M}=(\mathrm{M},\mathrm{\Sigma },\mu )$$\tilde{M}=(\mathrm{M},\mathrm{\Sigma },\mu )$widetilde(M)=(M,Sigma,mu)\widetilde{M}=(\mathrm{M}, \Sigma, \mu)$\tilde{M}=(\mathrm{M},\mathrm{\Sigma },\mu )$ unde $M$$M$MM$M$ este spațiul fazelor sistemului dinamic $T,\mathrm{\Sigma }$$T,\mathrm{\Sigma }$T,SigmaT, \Sigma$T,\mathrm{\Sigma }$ este o $\sigma$$\sigma$sigma\sigma$\sigma$-algebră de submulţimi ale lui $M$$M$MM$M$, iar $\mu$$\mu$mu\mu$\mu$ este o măsură definită pe $\mathrm{\Sigma }$$\mathrm{\Sigma }$Sigma\Sigma$\mathrm{\Sigma }$. Spațiile cu măsură sînt spaţii ale fazelor pentru obiecte $T$$T$TT$T$ mai generale decît $T$$T$TT$T$, numite de asemenea, în teoria ergodică, sisteme dinamice. Din punctul de vedere al teoriei probabilităților $M$$M$MM$M$ poate fi interpretat ca spațiu al realizărilor unui proces aleator, iar măsura $\mu$$\mu$mu\mu$\mu$ pe $M$$M$MM$M$ ca distribuție de probabilitate pentru acest proces. Un sistem dinamic se zice ergodic dacă $\mu (A)=0$$\mu (A)=0$mu(A)=0\mu(A)=0$\mu (A)=0$ sau 1 pentru orice mulțime invariantă $A$$A$AA$A$. Dacă $\tilde{T}$$\tilde{T}$tilde(T)\tilde{T}$\tilde{T}$ este un sistem dinamic ergodic atunci pentru orice $x\in M$$x\in M$x in Mx \in M$x\in M$, media în timp este egală cu media spațială, rezultat cunoscut sub numele de teorema ergodică și folosit în teoria lui Reynolds, deşi această teoremă n-a fost demonstrată pentru modelul Navier-Stokes. Mai demult, teoria ergodică privea în principal teoremele de mediere și problemele calitative; se credea că spectrul este principalul invariant al sistemelor dinamice. Ulterior, s-a constatat că entropia este principalul invariant al sistemelor dinamice, teoria ergodică devenind in ultimii 25 de ani, o știință care studiază proprietățile statistice ale sistemelor dinamice [13], cu ajutorul notiunilor fundamentale de ergodicitate, amestec, spectru, entropie. În cadrul său se studiază, în mod natural, proprietățile probabiliste ale sistemelor deterministe [10].

Studiul portretului de fază presupune determinarea : 1) dimensiunii atractorului (dimensiume care este de diferite tipuri : capacitatea termenilor, dimensiunea Hausdorff, dimensiunea fractală, informația, dimensiunea lui Renyi, dimensiunea lui Liapunov) ; 2) entropia (topologică, metrică, de tip Kolmogorov-Sinai) ; 3) spectrul exponenților Liapunov ; 4) funcții de distribuție de probabilitate pentru secțiunile și aplicațiilePoincaré.

De exemplu, în spații metrice o dimensiune metrică este capacitatea $d_c$$d_c$d_(c)d_{c}$d_c$ : fie $A$$A$AA$A$ o mulţime mărginită din ${\mathbb{R}}^n;$${\mathbb{R}}^n;$R^(n);\mathbb{R}^{n} ;${\mathbb{R}}^n;$ atunci $d_c(A)=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{\ln N(\epsilon )}{\ln (1/\epsilon )}$$d_c(A)=\underset{\epsilon \to 0}{lim} \frac{\ln N(\epsilon )}{\ln (1/\epsilon )}$d_(c)(A)=lim_(epsi rarr0)(ln N(epsi))/(ln(1//epsi))d_{c}(A)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln (1 / \varepsilon)}$d_c(A)=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{\ln N(\epsilon )}{\ln (1/\epsilon )}$, unde $N(\epsilon )$$N(\epsilon )$N(epsi)N(\varepsilon)$N(\epsilon )$ este numărul minim de curburi $n$$n$nn$n$-dimensionale de latură $\epsilon$$\epsilon$epsi\varepsilon$\epsilon$ care pot acoperi pe $A$$A$AA$A$. Dacă $A$$A$AA$A$ este mulţimea lui Cantor, atunci
$d_c(A)=\frac{\ln 2}{\ln 3}\approx 0,63$$d_c(A)=\frac{\ln 2}{\ln 3}\approx 0,63$d_(c)(A)=(ln 2)/(ln 3)~~0,63d_{c}(A)=\frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0,63$d_c(A)=\frac{\ln 2}{\ln 3}\approx 0,63$. Pentru diferite tipuri de mulţimi se pot defini diferite tipuri de dimensiuni. Atractorii pot fi caracterizaţi cu ajutorul dimensiunii topologice care este un număr intreg egal cu dimensiunea spatitului euclidian local izomorf cu acea varietate. Tipurile celelalte de dimensiuni sînt necesare pentru atractorii haotici pentru care nu se poate defini dimensiunea topologică, deci acele dimensiuni ale atractorilor haotici sînt numere neîntregi. De exemplu, atractorul straniu al lui Lorenz este o mulțime de puncte din ${\mathbb{R}}^3$${\mathbb{R}}^3$R^(3)\mathbb{R}^{3}${\mathbb{R}}^3$ care seamănă cu o suprafaţă, dar care are o anumită grosime mică, dimensiunea sa Hausdorff fiind 2,06 .

Faptul că un atractor este straniu rezultă din aceea că, cel mai mare exponent Liapunov $\lambda ={\int }_0^{1}P(X)[\ln \left|\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}X}\right|]\mathrm{d}X$$\lambda ={\int }_0^1 P(X)\left[\ln \left|\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}X}\right|\right]\mathrm{d}X$lambda=int_(0)^(1)P(X)[ln|(dg)/((d)X)|]dX\lambda=\int_{0}^{1} P(X)\left[\ln \left|\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{~d} X}\right|\right] \mathrm{d} X$\lambda ={\int }_0^{1}P(X)[\ln \left|\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}X}\right|]\mathrm{d}X$, unde $P(X)$$P(X)$P(X)P(X)$P(X)$ este probabilitatea de a găsi o aplicație $g$$g$gg$g$ în intervalul ( $X,X+\mathrm{d}X$$X,X+\mathrm{d}X$X,X+dXX, X+\mathrm{d} X$X,X+\mathrm{d}X$ ), este pozitiv. Pentru caracterizarea stocasticitătii atractorilor haotici cu ajutorul exponenţilor lui Liapunov recomandăm [14].

O proprietate importantă a atractorilor stranii este aceea că mişcarea asimptotică spre ei este haotică (aparent) și sensibilă de punctul de plecare (data inițială), această haoticitate (exprimată prin proprietățile probabilistice menţionate) fiind intrinsecă, fără aport de zgomot. Atractorii stranii sînt structural stabili (adică orbitele lor nu sînt afectate semnificativ de mici perturbaţii). Posibilitatea apariției atractorilor stranii este importantă, deoarece prin aceasta, comportarea pe timp lung a soluțiilor este de natură aparent aleatoare, ceea ce nu este de asteptat din punctul de vedere traditional al sistemelor dinamice. Această impredictibilitate pe termen lung este o consecință a proprietății de hiperbolicitate a sistemului dinamic, deci de aplatisare a spatitului fazelor in general in infinit de multe direcţii. De această proprietate este legată noțiunea de varietate inerţială.

Mulțimile fractale sau, pe scurt, fractalii, sînt mulțimi care nu pot fi caracterizate relevant de o dimensiune topologica a lor sau a oricărei părți conexe a lor, ci de o dimensiune Hausdorff fracționară. Ele sînt neobişnuite, parțial sau total discrete, pot fi sub formă de curbe dense, suprafețe subțiri, pot avea arie nulă dar conțin linii în orice directie și multe alte ciudățenii. Cu toate acestea ele sînt intilnite peste tot, formează regula și nu excepția. Neregularitatea lor caracteristică îndepărtează de ele pe cel obişnuit cu simetriile şi formele simple ale geometriei euclidiene : punct, dreaptă, plan, spațiu euclidian. Noțiunea de fractal a fost introdusă în 1975 de B. Mandelbrot drept mulțime care are dimensiunea Hausdorff mai mare ca dimensiunea topologică (a oricărei părţi conexe) a sa. Cei mai mulți fractali nu sînt varietăți. Cel mai simplu fractal este mulțimea triadică a lui Cantor. Alte exemple : prafurile dense, traiectoriile browniene, coastele mărilor și oceanelor, crestele munților, frontierele bazinelor de atracție ale anumitor aplicații. Unele mulțimi fractale sînt autosimilare
(asemenea cu părți ale lor) ; fractalii autosimilari pot fi generaţi iterativ. Deoarece, atractorii stranii cunoscuţi nu sînt varietăți şi posedă dimensiune Hausdorff fracționară, ei sînt fractali, de aceea atractorii haotici se mai numese si atractori fractali.

In experimentele numerice și în multe studii teoretice au fost puse in evidenţă drumuri tipice de trecere spre turbulență cînd parametrul $\lambda$$\lambda$lambda\lambda$\lambda$ al sistemului dinamic creşte. De obicei în orice evoluție se întîlnesc mai multe astfel de scenarii.