Soit $X$ un espace de Banach et

une équation opérationnelle où l’opérateur $P$ est défini sur l’espace $X$ et avec des valeurs dans l’espace linéaire normé $Y$.

Pour la résolution de l’équation (1) on consière en général un autre opérateur $Q$ défini sur l’espace $X$ et avec des valeurs dans le même espace.

A l’aide de l’opérateur itératif $Q$ on attachera à l’équation (1) le procédé itératif suivant.

En ce qui concerne la notion d’ordre de convergence introduite précédemment, a lieu le lemme suivant.

Dans la définition 2 où on a précisé la notion d’ordre de convergence d’un opérateur itératif on n’a pas inclus la condition que la suite ${\left(x_n\right)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ donnée par le procédé (2) soit convergente.

En ce sens, on est parti de l’idée qu’en pratique on est assez rarement conduit par certains procédés à la solution exacte des équations de forme (1). D’habitude, pour les besoins de la pratique, on peut se borner à une seule solution approchée. Un des critères simples d’appréciation du fait que $x$ est une solution approchée pour l’équation (1) consiste à vérifier dans quelle mesure le nombre réel et positif $\Vert P\left(x\right)\Vert$ est proche de zéro. Évidemment, plus il sera proche de zéro, plus on considérera que la solution approchée trouvée peut satisfaire plus exactement aux requêtes du problème pratique.

Dans ce qui suit, dans tous les problèmes de convergence qu’on étudiera, concernant l’équation (1) et le procédé (2) on examinera tant la manière dont la suite ${\left(\Vert P\left(x_n\right)\Vert \right)}_0^{\mathrm{\infty }}$ converge vers zéro que la manière dont la solution approchée, approche la solution exacte.

On présentera mainenant un critère géneral de convergence pour la suite ${\left(x_n\right)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ fournie par le procédé (2). Ce résultat pourra être considéré aussi comme un critère d’existence de la solution pour l’équation (1). Pour cela on supposera que l’oṕrateur itératif $Q$ a la forme:

On appliquera maintenant le théoréme 2 pour présenter quelques résultats dans le cas de procédés itératifs particuliers.

1. La méthode de Newton-Kantorovici [1], [2], [4], [10]

Le procédé itératif de Newton-Kantorovici est obtenu en employant l’opérateur itératif:

Dans ce cas-là, l’opérateur $\phi ,$ qui intervient dans le théorème précédent a la forme

En appliquant la théorème 2 pour $\alpha =0,\beta =B_0$ et $k=2$ on demontre facilement le théorème suivant:

2. La méthode de Tchébycheff [3], [11]

Pour cette méthode on considère le procédé itératif suivant:

Soit

et la méthode itérative correspondente est

Si on écrit

alors l’opérateur $R\left(x\right)$ a la forme (3^′).

On vérifie tout de suite l’égalité:

Dans ce qui suit, on étudiera la convergence du procédé itératif de Steffensen. Dans le travail [8] on a montré que l’opérateur itératif de Steffensen nous fournit les deux procédés itératifs équivalents suivants:

et

Relativement à ce procédé, il existe le théorème suivant:

Application.

On considère l’équation intégrale du type Fredholm

Cette équation admet, en plus de la solution $\phi \left(x\right)=0,$ une autre solution $\phi \left(x\right)=\frac{2e^x}{0.1\left(e^2-1\right)}.$

Pour la résolution de l’équation (1^′) on appliquera d’abord la méthode de l’itération simple. Soit donc ${\phi }_0=u_0{e}^x$ où $u_0$ est un nombre réel fixé, une solution initiale, et

Du procédé précédent il résulte que ${\phi }_n\left(x\right)$ a la forme:

où

Si le procédé itératif (3^′) converge, alors à la limite on obtient évidemment une des solutions de l’équation

L’éguation (4^′) admet les solutions

et

Suivant la terminologie adoptée par A.M. Ostrowski [5], on remarque que $u=0$ est un point de ”contraction” pour l’équation (4^′) puisque si on choisit alors le procédé itératif (3^′) converge et on a $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0.$ D’autre part le point $u=\frac{2}{0.1\left(e^2-1\right)}$ est un point ”répulsif” pour l’équation (4^′) puisque la fonction

satisfait à la condition:

Graphiquement, ce fait se présente ainsi (Fig. 1).

Si on représente graphiquement dans le système de coordonnées $(u,v)$ les courbes $v=u$ et $v=\frac{0.1\left(e^2-1\right)}{2}{u}^2$ alors les solutions de l’équation (4^′) ne sont autre chose que les abscisses des points d’intersection des deux courbes.

Sur la figure ci-dessus on remarque qu’en choisissant par example on aura $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}=0,$ c’est-à-dire qu’à l’aide du procédé (3^′) on obtient $\phi \left(x\right)=0.$ Si $u_0>\frac{2}{0.1\left(e^2-1\right)}$ alors $lim{u}_n=\mathrm{\infty },$ c’est-à-dire que le procédé (2^′) est divergent. En prenant pour le nombre $e$ la valeur approchée $e\approx 2,71288183$ et en employant le procédé (3^′) on obtient les résultats compris dans le tableau 1 ²²2Dans ce tableau on n’a introduit que les valeurs qui suffisent pour en déduire les conclusions nécessaires sur la convergence des suites d’itérations correspondentes.

Tableau 1

Évidemment, les résultats des calculs nous montrent que  si on prend $u_0=3$ alors la suite des approximations successives a comme limite la valeur $u=0.$ Si on prend par exemple $u_0=4.9$ alors $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }.$

Pour mieux illustrer la valabilité des conclusions on a pris pour $u_0$ la valeur $u_0=3.145$ qui diffère très peu de la solution exacte, mais laquelle est plus grande que celle-ci. Dans ce cas-là, en effectuant la suite des itérations successives on remarque que, même si après les premières quatre itérations la troisième chiffre décimal du résultat est conservé, ce qui pourrait nous donner l’illusion d’une possibilité de convergence du procédé, on sera convaincu pourtant, en continuant le procédé, que même dans ce cas on a $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }.$

On a montré ici, par plusieurs moyens que la solution $\phi \left(x\right)=\frac{2e^x}{0.1\left(e^2-1\right)}$ de l’équation (1^′) ne peut être obtenue que par itération simple. En partant des mêmes approximations initiales on résoudra maintenant l’équation (1^′) en appliquant la méthode de Steffensen. Pour cela on remarquera que l’équation (1^′) peut être mise sous la forme

où

En prenant, comme dans le procédé précédent, une solution initiale de la forme ${\phi }_0=u_0{e}^x$ on trouve $\psi \left({\phi }_0\right)=\frac{0.1\left(e^2-1\right)}{2}{u}_0^2{e}^x$ et un calcul simple nous montre que la méthode de Steffensen nous donne pour la deuxième approximation ${\phi }_1\left(x\right)$ l’expression suivante

On en déduit qu’en général, la méthode de Steffensen nous conduit à la suite suivante d’approximations

où

En prenant pour $u_0$ les valeurs $u_0=3$ et $u_0=4.9$ on obtient les résultats compris dans le tableau 2.

En analysant ce tableau, il en résulte que si on choisit convenablement l’approximation initiale ${\phi }_0,$ à l’aide de la méthode de Steffensen on obtient la soltuion $\phi \left(x\right)=\frac{2}{0.1\left(e^2-1\right)}{e}^x.$

Si dans le procédé (7^′) on part d’une approximation initiale $u_0,$ assez aprochée de zéro, alors on obtiendra la deuxième solution $\phi \left(x\right)=0.$ L’exemple étudié précédemment illustre la valabilité des résultats théoriques obtenus dans cette note dans les sens suivants:

- il $y$ a des cas où la méthode de l’itération simple ne converge pas vers la solution cherchée, quelque soit le choix de l’approximation initiale. Mais en appliquant la méthode de Steffensen et en choisissant l’approximation initiale d’une manière convenable on obtiendra la solution cherchée. (Ce fait est valable pour n’importe quelle méthode qui possède un ordre de convergence supérieur ou égal à 2).

-la méthode de Steffensen converge rapidement.

Remarquons, par exemple, qu’en partant de l’approximation intiale $u_0=4.9$ la méthode de l’itération simple est divergente, tandis que la méthode de Steffensen nous conduit au résultat désiré en 6 pas.

Pour ${\phi }_0=3e^x$ on va essayer d’illustrer numériquement la rapidité de la convergence de la suite $\left\{\Vert P^{\ast }\left({\phi }_n^{\ast }\left(x\right)\right)\Vert \right\}$ vers zéro.